| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Математическая жизнь К девяностолетию со дня рождения Владимира Николаевича Судакова (1934–2016) С. Г. Бобков, В. И. Богачев, Д. Н. Запорожец, И. А. Ибрагимов  Владимир Николаевич Судаков родился 10 января 1934 г. в Ленинграде, где прошло его детство. Во время блокады Ленинграда он оставался в городе, продолжая учебу в школе. Отвечая на вопрос о том, как он относился к изучению немецкого языка в школе, куда приходилось ходить под немецкими бомбами, Владимир Николаевич говорил: <<У нас при входе в школу висел транспарант “Deutsche Sprache ist eine Waffe”, т. е. “Немецкий язык – оружие”. Так и относился>>. Во время блокады от истощения умер его дед, отдававший ему свою пайку хлеба, был тяжело ранен его отец, воевавший на подступах к городу. После окончания школы В. Н. Судаков поступил на математико-механический факультет Ленинградского университета, где в студенческие годы на него большое влияние оказал Глеб Павлович Акилов. После успешного завершения обучения в университете Владимир Николаевич поступил в аспирантуру Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова (ЛОМИ), где его научным руководителем стал Леонид Витальевич Канторович. Впоследствии В. Н. Судаков был принят в лабораторию статистических методов ЛОМИ, которой на тот момент заведовал Юрий Владимирович Линник, и проработал там всю жизнь. Научное творчество Владимира Николаевича охватывает широкий круг задач функционального анализа, теории меры, теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Объединяющим мотивом его исследований можно назвать меры и компакты в бесконечномерных пространствах. За 60 лет, начиная с выхода его первой научной работы [21], сданной в печать в 1956 г. и появившейся в 1957 г., он опубликовал десятки журнальных статей и выдающуюся монографию [37]. Результат первой статьи [21] – интересное наблюдение, относящееся к критериям компактности в $L^p$ А. Н. Колмогорова и М. Рисса. Как показал Колмогоров, множество $G$ в пространстве $L^p(F)$, где $F$ – ограниченное измеримое множество в $\mathbb{R}^n$, лежит в компакте в точности тогда, когда оно ограничено по норме и удовлетворяет условию где $f_h$ – усреднение Стеклова, т. е. $S_h(x)$ – шар с центром в $x$ радиуса $h$, $|S_h(x)|$ – его объем. Из этого критерия следует критерий компактности ограниченного множества $G$ в пространстве $L^p(\mathbb{R}^n)$: к условию Колмогорова (1) надо добавить условие
$$
\begin{equation}
\lim_{R\to \infty}\,\sup_{f\in G} \int_{x\colon |x|\geqslant R} |f(x)|^p \, dx=0.
\end{equation}
\tag{2}
$$
В близком критерии М. Рисса вместо условия (1) требуется условие
$$
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\,\sup_{f\in G} \int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|^p \, dx=0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
В работе [21] показано, что из условий (1) и (2) (или (3) и (2)) вытекает ограниченность $G$ по норме, поэтому ее можно не требовать. Здесь, конечно, важно, что речь идет о пространстве функций на всем $\mathbb{R}^n$, а не на ограниченном множестве. Бесконечномерные компакты – один из любимых сюжетов Владимира Николаевича, появляющийся во многих его работах.
Следующая его статья [22] открывает второе его любимое направление – меры на бесконечномерных пространствах. В 1950-х годах интенсивно развивалось интегрирование в функциональных пространствах, мотивированное потребностями теории случайных процессов и квантовой теории поля. В этом направлении возникли интересные задачи общетеоретического характера, в том числе задачи о бесконечномерных аналогах меры Хаара. Буквального аналога нет, как нет и борелевских вероятностных мер, эквивалентных своим сдвигам. Однако имеются меры с обширными запасами векторов квазиинвариантности (т. е. сдвиги на такие векторы эквивалентны данной мере). Для множества $K$ в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$ существование борелевской вероятностной меры $\mu$, для которой все сдвиги $\mu(\,\cdot\, -k)$ на векторы $k\in K$ эквивалентны $\mu$, равносильно тому, что $K$ лежит в образе оператора Гильберта–Шмидта, т. е. такого ограниченного оператора $T$, что сходится ряд из $\|Te_n\|^2$ для некоторого ортонормированного базиса $\{e_n\}$ (а тогда и для всякого базиса). Для общих банаховых пространств никакого критерия нет, даже для пространства непрерывных функций $C[0,1]$. Несложное наблюдение состоит в том, что такое множество должно покрываться счетным набором компактов (отсюда видно, что оно не может быть всем бесконечномерным пространством). В работах [22] и [25] получены более тонкие результаты. В [22] показано, что если конечная мера определена на $\sigma$-алгебре подмножеств несепарабельного метрического линейного пространства $E$, содержащей все шары, то она не может быть квазиинвариантна относительно всех сдвигов. В [25] доказано, что замкнутое уравновешенное множество может состоять из векторов квазиинвариантности в точности тогда, когда оно имеет вид $S+L$, где $L$ – конечномерное подпространство и $S$ – подмножество эллипсоида Гильберта–Шмидта. Результаты этих двух работ составили основное содержание кандидатской диссертации В. Н. Судакова (см. [24]), защищенной в 1962 г. К теории меры на бесконечномерных пространствах относятся также работы [23] и [43]. В совместной статье [19] с известным польским математиком А. Пелчинским получено обобщение известного результата Р. С. Филлипса о недополняемости $c_0$ в $l^\infty$: показано, что в банаховом пространстве $m(S)$ ограниченных функций на несчетном множестве $S$ недополняемо подпространство $m_0(S)$, состоящее из функций $f$, для которых при каждом $\varepsilon>0$ множество $\{s\colon |f(s)|>\varepsilon\}$ имеет мощность, меньшую мощ- ности $S$. В работе [26] дана следующая интересная характеризация подмножеств эллипсоидов Гильберта–Шмидта. Пусть $H$ – сепарабельное гильбертово пространство, $M\subset H$. Множество $M$ лежит в эллипсоиде Гильберта–Шмидта в точности тогда, когда для всякого ортонормированного базиса $\{e_n\}$ конечна величина
$$
\begin{equation*}
S(\{e_n\}) =\sum_{n=1}^\infty\,\sup_{m\in M} |(m,e_n)|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом конечен супремум этих величин по всем ортонормированным базисам.
В совместной работе [20] с И. В. Романовским затронута тема, остававшаяся в центре внимания Владимира Николаевича всю его жизнь: пространства Лебега–Рохлина и условные меры. Этой теме посвящены также статья [30] и последняя работа Владимира Николаевича [39]. Сообщением [27] на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г. В. Н. Судаков начал новое направление, принесшее ему мировую известность. Это направление было вдохновлено вопросом А. Н. Колмогорова об условиях непрерывности траекторий гауссовского процесса в терминах его ковариационной функции. В развитом В. Н. Судаковым подходе важную роль играет геометрия подмножеств гильбертова пространства, связанного с процессом. А именно: свойства гауссовского процесса $(X(t))_{t\in T}$, определенного на произвольном параметрическом множестве $T$, исследуются с помощью полуметрики Если при этом $T$ в этой метрике сепарабельно, то на том же вероятностном пространстве существует сепарабельная модификация процесса $X$. Другой выдающийся результат В. Н. Судакова связывает первый внутренний объем $V_1$ выпуклого тела в гильбертовом пространстве с максимумом изонормального гауссовского процесса на этом множестве. В [37; предложение 14] он доказал, что для всякого выпуклого компактного множества $T \subset H$ справедливо следующее соотношение: Следует отметить, что знаменитое неравенство Ферника–Судакова было получено Владимиром Николаевичем как непосредственное следствие данного представления и чисто геометрического утверждения о том, что если после некоторого упорядочивания дли́ны ребер одного многомерного симплекса не превосходят длин ребер другого, то это же неравенство выполняется и для их первых объемов (см. [37; теорема 2]).Основные результаты этого направления представлены в трудах конференций [28] и [35], кратких заметках [29] и [31], а итоги подведены в монографии [37]. Эта монография, ставшая замечательным вкладом в теорию бесконечномерных вероятностных распределений и общую теорию меры, выросла из докторской диссертации Владимира Николаевича [33], [34], защищенной в 1973 г. Близкие результаты примерно в те же годы были независимо получены американским математиком Р. М. Дадли и французским математиком К. Ферником. Хотя полное решение проблемы характеризации непрерывности гауссовского процесса было дано много позже М. Талаграном, именно условия Дадли–Ферника–Судакова оказались наиболее полезными на практике. Выдающимся вкладом В. Н. Судакова в теорию гауссовских мер стали также совместные работы [36] и [13]. В первой из этих работ установлено знаменитое неравенство Судакова–Цирельсона–Борелла (Кристер Борелл доказал его независимо примерно в то же время): если $V$ – выпуклое измеримое множество в пространстве с центрированной радоновской гауссовской мерой $\gamma$ и $\Pi$ – измеримое полупространство вида $\{l\geqslant 0\}$ с некоторым измеримым линейным функционалом $l$, причем выполнено неравенство $\gamma(V)\geqslant \gamma(\Pi)$, то
$$
\begin{equation*}
\gamma(sV)\geqslant \gamma(s\Pi) \quad\text{при всех}\ \ s\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Другой важный результат из [36] дает оценку
$$
\begin{equation*}
\Phi^{-1}(\gamma(A+\delta U))\geqslant \Phi^{-1}(\gamma(A))+\delta,\qquad \delta >0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – счетная степень стандартной гауссовской меры на прямой, $A$ – борелевское множество положительной $\gamma$-меры, $U$ – замкнутый единичный шар в гильбертовом пространстве $l^2$. Это неравенство верно и для всякой центрированной радоновской гауссовской меры $\gamma$, если в качестве $U$ брать замкнутый единичный шар в гильбертовом подпространстве Камерона–Мартина меры $\gamma$ (для счетной степени стандартной гауссовской меры таким подпространством служит $l^2$). В работе [13] доказан весьма важный факт, что если борелевская функция $f$ липшицева подпространства $H$ Камерона–Мартина меры $\gamma$, т. е. $|f(x+h)-f(x)|\leqslant C|h|_H$ при $h\in H$, то функция $\exp(\varepsilon f^2)$ интегрируема по мере $\gamma$ при $\varepsilon<(2C^2)^{-1}$. Обе эти работы содержат еще ряд важных результатов о функциях распределения полунорм на пространствах с гауссовскими мерами.
Первоначальное доказательство гауссовского изопериметрического неравенства было основано на трудной изопериметрической теореме на сфере (восходящей к работам П. Леви и Э. Шмидта). Впоследствии гауссовский случай стал исходной точкой для большого числа исследований, новых подходов и развития новых инструментов, множества приложений и дальнейших обобщений с точки зрения “феномена концентрации меры” (этот термин был предложен В. Д. Мильманом в начале 1970-х годов, чтобы подчеркнуть роль размерности для уклонений липшицевых функций на сфере). Феномен концентрации меры на сфере проявляется, например, при изучении распределений линейных функционалов на многомерном евклидовом пространстве по отношению к изотропным вероятностным мерам. Важное открытие, сделанное В. Н. Судаковым в 1978 г. в [38], гласит, что почти все такие распределения концентрируются вокруг некоего типического распределения на прямой. Эта небольшая заметка послужила толчком для возникновения широкого направления на стыке функционального анализа и теории вероятностей, и мы отсылаем читателя к монографии [6], посвященной теореме Судакова и описанию ее дальнейшего развития. Помимо результатов о свойствах траекторий гауссовских процессов, в [37] представлен обширный материал (глава III объемом более 100 страниц), связанный с измеримыми разбиениями, условными мерами, бистохастическими мерами и операторами и проблемами Г. Биркгофа и Г. Монжа. Основным результатом в этом направлении является доказательство существования независимого дополнения к двум данным измеримым разбиениям стандартного пространства с мерой при широких условиях. Этот результат можно рассматривать как ответ на вопрос, ставившийся Г. Биркгофом (анонс дан в заметке [32]). В заключительном п. 13 главы III предлагается решение проблемы Монжа оптимальной транспортировки. Восходящая к исследованиям Г. Монжа конца XVIII в., эта проблема в современной формулировке (данной А. М. Вершиком в 1970 г.) состоит в следующем. Для заданных борелевских вероятностных мер $\mu$ и $\nu$ на $\mathbb{R}^n$, имеющих конечные первые моменты, найти борелевское преобразование $T$ меры $\mu$ в меру $\nu$, минимизирующее интеграл по всем преобразованиям меры $\mu$ в $\nu$. Конечно, эта задача имеет абстрактную версию для общих пространств с мерами и функций стоимости $h(x,y)$ вместо $|x-y|$ (тогда минимизируется интеграл от $h(T(x),x)$ по мере $\mu$). Однако даже для функции стоимости $|x-y|$ минимум может не достигаться для сингулярных мер. Сам Монж имел дело со случаем, когда обе меры были ограничениями обычного объема на два множества с равными объемами. Существование минимума считалось очевидным, а изучались свойства возможных минимизирующих отображений. Лишь в 1970 г., когда А. М. Вершик привлек внимание к этому вопросу, стало понятно, что доказательства существования решения задачи Монжа нет. В. Н. Судаков взялся за возникшую проблему и развил метод построения решения в случае произвольной (не обязательно евклидовой) нормы на $\mathbb{R}^n$ и абсолютно непрерывных мер с конечными первыми моментами. Метод существенно использует условные меры и измеримые разбиения. В течение более 20 лет существование решения задачи Монжа при таких условиях считалось установленным фактом, пока не появились сомнения в обоснованности одного из переходов в рассуждениях В. Н. Судакова. Далее события развивались драматически. В работе [2] был построен контрпример к вызвавшему сомнения промежуточному техническому утверждению В. Н. Судакова, связанному с тонкими вопросами использования условных мер. Таким образом, четверть века спустя и основной факт оказался под вопросом. Однако несколько групп исследователей (см. [2], [3], [8], [15], [41], [11], [9]) смогли получить корректные, хотя и очень сложные и длинные, обоснования важных частных случаев теоремы Судакова, в том числе для стандартной евклидовой нормы (до тех пор даже и этот случай оставался под вопросом). Наконец, в работе [12] были сняты все ограничения на норму. Конечно, Владимир Николаевич был весьма встревожен известием о найденном пробеле, тем более с контрпримером к фрагменту его доказательства, поэтому в конце жизни он был очень обрадован сообщением о полной реабилитации его теоремы. Более того, все доказательства в упомянутых выше работах использовали совершенно иные подходы, но в работах [4], [5], [10] был реабилитирован и его подход, а именно было показано, что обоснование возможно и на пути Судакова, если модифицировать техническое утверждение с найденным пробелом.Замечательные результаты В. Н. Судакова вошли не только в его монографию [37], но и в книги многих других авторов – см., например, [1], [6], [7], [16], [42], [17], [18], [40]. В заметках [14] и [44] приведены некоторые комментарии к работам В. Н. Судакова и воспоминания о нем. Владимир Николаевич обладал обширными знаниями не только в области математики, но и по литературе и истории, им собрана весьма богатая библиотека по этим областям. Его также чрезвычайно интересовали различные вопросы из физики, по поводу которых он консультировался со своим другом Леонидом Александровичем Халфиным. Вместе с супругой Людмилой Николаевной он воспитал сына Андрея, также математика. Владимир Николаевич Судаков оставил яркий след в науке и в сердцах тех, кто его знал. Его вклад в математику и его широчайшая эрудиция продолжают вдохновлять новые поколения ученых и исследователей. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BobBogZap24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|