| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Математическая жизнь Борис Николаевич Четверушкин (к восьмидесятилетию со дня рождения) А. И. Аптекарев, С. И. Безродных, М. А. Гузев, С. И. Кабанихин, Б. С. Кашин, С. В. Кисляков, В. В. Козлов, Н. Ю. Лукоянов, М. Б. Марков, Д. О. Орлов, Ю. С. Осипов, И. Б. Петров, В. П. Платонов, И. А. Тайманов, В. Ф. Тишкин, Д. В. Трещев, Е. Е. Тыртышников, М. В. Якобовский  26 января 2024 г. исполнилось восемьдесят лет со дня рождения Бориса Николаевича Четверушкина, научного руководителя Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, выдающегося ученого в области прикладной математики, математического моделирования и параллельных вычислений, педагога и организатора науки, академика РАН, члена Президиума РАН, заместителя академика-секретаря Отделения математических наук РАН. Борис Николаевич родился в Москве. В 1960 г. он с серебряной медалью окончил московскую школу № 170. С июля 1960 г. – студент факультета аэрофизики и прикладной математики МФТИ. Наиболее сильное влияние на его первоначальный научный кругозор оказали лекции по математическому анализу, аналитической механике, теории пограничного слоя, численным методам, которые читали Л. Д. Кудрявцев, Ф. Р. Гантмахер, А. А. Дородницын, А. А. Самарский и другие выдающиеся ученые и педагоги. В конце третьего курса он распределился на базовую кафедру при Институте прикладной математики АН СССР в возглавляемый А. А. Самарским отдел № 3 Института, в котором в 1966 г. стал младшим научным сотрудником. Руководителем его дипломной работы, а затем и кандидатской диссертации (1971 г.) был один из пионеров отечественной вычислительной математики, активный участник Атомного проекта В. Я. Гольдин. В 1981 г. Борис Николаевич стал доктором физико-математических наук. Примерно к этому времени сформировался, в основном, научный стиль Бориса Николаевича, впитавший в себя лучшие черты научной школы Тихонова–Самарского. К ним относятся многостороннее и глубокое понимание сущности изучаемых физических, механических, химических и других процессов и явлений, искусство формулировки адекватных математических моделей, допускающих подробное исследование методами современной науки, умение предложить соответствующие им вычислительные модели и алгоритмы с учетом возможностей и специфики существующих технических средств информатики, сочетание высокого теоретического уровня научной деятельности с ее практической направленностью, целостное системное видение решаемых проблем. Научные интересы Б. Н. Четверушкина, начиная с первых работ конца 60-х годов XX в., были связаны с численным решением кинетических уравнений, моделированием задач механики сплошной среды, в которых присутствует существенное влияние кинетического переноса. В 1970-х – начале 1980-х годов Б. Н. Четверушкиным совместно с В. Я. Гольдиным были разработаны алгоритмы и программное обеспечение, позволяющие решать задачи динамики излучающего газа, в частности, описывать высокотемпературные газодинамические процессы. Этими методами, даже на вычислительной технике начала 80-х годов ХХ в., удавалось решать пространственно двумерные многогрупповые (учитывающие зависимость коэффициента фотонов от частоты) задачи радиационной газовой динамики. Результаты этих исследований были обобщены в монографии Б. Н. Четверушкина “Математическое моделирование задач динамики излучающего газа” (Наука, М., 1985). Среди этих методов отметим алгоритм осреднения по энергиям фотонов для случая, когда коэффициент поглощения представим в виде где $f_1>0$, $f_2>0$, $\nu$ – частота фотона, $T$ и $\rho$ – соответственно температура и плотность газа.Даже в простейшем случае плоского слоя интенсивность энергии излучения описывается уравнениями переноса где – равновесная интенсивность излучения, $h$ – постоянная Планка, $k$ – постоянная Больцмана, $c$ – скорость света. Интенсивность энергии $I(t,x,\nu,\mu)$ зависит не только от пространственной переменной $x$ и времени $t$, но и от частоты фотона $\nu$ и угловой переменной $\mu=\cos\theta$ (угла $\theta$ между направлением полета фотона и осью $x$).Причем зависимость от частоты фотона $\nu$ является наиболее трудоемкой с точки зрения вычислительных затрат в виду сложной зависимости коэффициента $\kappa$ от $\nu$. Поток энергии излучения $W$ определяется из уравнения (2): Было предложено определять поток $W$ с помощью интеграла меньшей кратности, вводя переменную $z=\mu f_1^{-1}(\nu)$:
$$
\begin{equation}
W=\int_{-\max f_1^{-1}(\nu)}^{\max f_1^{-1}(\nu)}zI\,dz.
\end{equation}
\tag{4}
$$
В свою очередь, интенсивность $I(t,x,z)$ определяется из уравнения меньшей размерности где источник излучения $F$ определяется заранее как
$$
\begin{equation}
F(T,|z|)=\int_{\omega_{|z|}} f_1^2(\nu)I\nu \rho\,d\nu,
\end{equation}
\tag{6}
$$
а область интегрирования задается так: $\omega_{|z|}:=\{f_1^{-1}(\nu)\geqslant |z|\}$ (см. рис. 1).
Таким образом удается понизить размерность уравнения переноса, исключив наиболее сложную зависимость от частоты $\nu$. Этот подход обобщается и на пространственно двумерный случай. Заметим, что нахождение $F(T,\rho)$ с помощью выражения (6) соответствует определению интеграла по Лебегу. Решение систем линейных уравнений, возникающих при разностной аппроксимации параболических и эллиптических уравнений, считается важным направлением прикладной математики. Б. Н. Четверушкиным был предложен оригинальный итерационный “$\alpha$-$\beta$-метод” решения таких уравнений, который продемонстрируем на примере пятиточечной разностной схемы:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, BU_{i,n-1}+KU_{i-1,n}-CU_{in}+EU_{i+1,n}+VU_{i,n+1}+F_{in}=0, \\ 1\leqslant i\leqslant N_i,\qquad 1<n\leqslant N_n. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Предположим, что решение системы (7) удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} U_{in}&=\alpha_{i+1,n}U_{i+1,n}+\beta_{i+1,n},&\qquad i&=1,\ldots,N_i-1, \\ U_{in}&=\gamma_{i-1,n}U_{i-1,n}+d_{i-1,n},&\qquad i&=N_i,\ldots,2; \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{8}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} U_{in}&=\widetilde{\alpha}_{i,n+1}U_{i,n+1}+\widetilde{\beta}_{i,n+1},&\qquad n&=1,\ldots,N_n-1, \\ U_{in}&=\widetilde{\gamma}_{i,n-1}U_{i,n-1}+\widetilde{d}_{i,n-1},&\qquad n&=N_n,\ldots,2. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Если мы знаем пару коэффициентов $\alpha$, $\beta$, то решение $U$ находится обратной прогонкой вдоль строк или столбцов. Для нахождения восьми прогоночных коэффициентов проделаем следующую процедуру. Используя (9), получим трехточечную разностную схему для $U_{i-1,n}$, $U_{in}$ и $U_{i+1,n}$, а с помощью (8) получим схему для $U_{i,n-1}$, $U_{in}$, $U_{i,n+1}$. Эти трехточечные схемы можно использовать для получения соотношений прогонки вдоль строк и столбцов. В результате получается система из восьми уравнений относительно $\alpha$, $\gamma$, $\widetilde{\alpha}$, $\widetilde{\gamma}$, $\beta$, $d$, $\widetilde{\beta}$, $\widetilde{d}$. Нелинейная система относительно коэффициентов $\alpha$, $\gamma$, $\widetilde{\alpha}$, $\widetilde{\gamma}$ решается автономно. После этого, с уже известными $\alpha$, $\gamma$, $\widetilde{\alpha}$, $\widetilde{\gamma}$, решается линейная система относительно коэффициентов $\beta$, $d$, $\widetilde{\beta}$, $\widetilde{d}$. Достоинством указанного метода является его робастность, позволяющая успешно решать характерные для высокотемпературной газовой динамики задачи с сильной зависимостью коэффициентов поглощений от температуры и плотности. Кроме того, метод удобен для многопроцессорной реализации. Важным научным достижением Б. Н. Четверушкина явились предложенные им кинетически согласованные схемы и квазигазодинамическая система уравнений, успешно развиваемые им совместно с учениками и сотрудниками, из которых в первую очередь следует выделить д. ф.-м. н. Т. Г. Елизарову. В течении сорока лет алгоритм успешно использовался для решения задач гидро- и газовой динамики (включая моделирование процессов в вязком и теплопроводном газе, неустановившихся и турбулентных течений), задач аэроакустики и моделирования процессов горения. Основное отличие данного подхода от других методов заключается в том, что в нем в явном виде учитывается связь между кинетическим и гидродинамическим описанием сплошной среды, хорошо известная в теоретической механике, но ранее не применявшаяся в практических вычислениях. Квазигазодинамическая (КГД) система, несмотря на явные внешние различия, отличается от уравнений Навье–Стокса лишь на члены второго порядка малости по числу Кнудсена. Неслучайно данные расчетов, полученные на основе использования КГД системы и уравнений Навье–Стокса, фактически не различаются. Вместе с тем моделирование на основе КГД системы обладает целым рядом преимуществ. Прежде всего, КГД система обладает корректностью, физической основой которой является тот факт, что при построении этой системы учитывается сглаживание решения на расстоянии порядка длины свободного пробега молекул $l$ или времени между столкновениями $\tau$. По сути дела, диссипативные члены КГД системы являются регуляризаторами, построенными на основе естественных физических ограничений. По аналогии с КГД системами был сформулирован принцип о том, что в задачах механики сплошной среды существуют естественные пространственно-временные пределы, меньше которых дальнейшая детализация решения не имеет смысла. Уравнения Навье–Стокса справедливы для чисел Кнудсена $ \operatorname{Kn}$, меньших $10^{-3}$. Для б\’ольших $\operatorname{Kn}$ необходимо использовать более сложные кинетические модели. КГД система допускает макроскопическое описание до более высоких чисел $\operatorname{Kn} \leqslant 0.1$. Это дает дополнительные возможности при описании умеренно разреженных газов, капиллярных течений, течений в пористых средах, например при цифровом моделировании керна. КГД система, в отличие от уравнений Навье–Стокса, является гиперболической. В ней присутствуют члены с малыми коэффициентами при второй производной по времени от газодинамических параметров. Это позволяет строить более устойчивые явные схемы, что дает дополнительные возможности при моделировании на высокопроизводительных системах с экстрамассивным параллелизмом. Обобщением этого приема является сформулированный Б. Н. Четверушкиным принцип гиперболизации, когда к параболическому уравнению добавляется член с малым коэффициентом при второй производной по времени, что позволяет строить достаточно устойчивые явные схемы, идеально адаптируемые к архитектуре систем с экстрамассивным параллелизмом. Результаты этих исследований обобщены в монографии Б. Н. Четверушкина “Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений” (МАКС Пресс, М., 2004). Интересным представляется распространение данного подхода на описание магнитогидродинамических процессов. Используя для описания распределения частиц, движущихся в магнитном поле напряженности $\overline{B}$, комплекснозначную функцию распределения
$$
\begin{equation}
f=\frac{\rho(f,\vec{x}\,)}{(2\pi RT(t,\vec{x}\,))^{3/2}} \exp\biggl\{\frac{-\bigl(\vec{\xi}-\vec{u}-{\rm i}\vec{B}/{\sqrt{4\pi\rho}}\,\bigr)^2}{2RT}\biggr\}
\end{equation}
\tag{10}
$$
(здесь $\rho$ – плотность, $T$ – температура, $\vec{u}(t,\vec{x}\,)$ – макроскопическая скорость системы, $R$ – газовая постоянная, $\vec{\xi}$ – скорость молекулы, ${\rm i}$ – мнимая единица), можно получить магнитогидродинамические уравнения, не прибегая к уравнениям Максвелла.
Магнитогидродинамический аналог КГД системы использовался для моделирования пространственно-трехмерной задачи о поглощении вещества Галактики черной дырой и образовании космической струи, а также задачи о течении расплава в системе охлаждения ядерного реактора. Расчеты астрофизической задачи проводились на пространственной сетке, состоящей из $8\cdot 10^9$ узлов. Следует отметить, что использование более грубых сеток, состоящих из менее чем $5\cdot 10^7$ узлов, не позволяет описать эффект образования космической струи. Важным направлением деятельности Б. Н. Четверушкина явилась работа по развитию методов параллельных вычислений и их применению для решения естественно-научных и технических задач. Уже в начале 1990-х годов совместно с Т. Г. Елизаровой в рамках проекта под общим руководством нобелевского лауреата И. Р. Пригожина удалось реализовать хорошо масштабируемую на многие процессоры явную схему на базе КГД систем для решения современных задач гидро- и газовой динамики. Ярким примером научно-организационной деятельности Б. Н. Четверушкина явился запуск в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН первого в России гетерогенного компьютера К-100, осуществленный совместно с НИИ “Квант”. В этом компьютере в качестве ускорителей используются графические платы. В настоящее время эти системы доминируют среди вычислительных систем высокой и сверхвысокой производительности. Вместе с тем для успешного применения гетерогенных систем требуются алгоритмы, сочетающие редко коррелирующие свойства логической простоты и эффективности. На создание таких вычислительных методов ориентированы усилия Б. Н. Четверушкина и его научной школы. В последнее время Б. Н. Четверушкин активно занимается проблемами искусственного интеллекта и обработки больших данных, развивая направление гибридного искусственного интеллекта. Характерной чертой этого направления является соединение методов нейрообработки данных и традиционных математических моделей. Эти и более поздние научные достижения были во многом основаны на идеях Бориса Николаевича и его учеников, предложивших новые подходы к построению дискретных моделей и алгоритмов применительно к возможностям современной вычислительной техники. Их реализация вывела научную школу Б. Н. Четверушкина на ведущие позиции в отечественной прикладной математике. К настоящему времени школа Бориса Николаевича включает в себя признанных ученых: двух членов-корреспондентов РАН, более десяти докторов и тридцати кандидатов наук, большую группу талантливой молодежи. Результаты отражены в сотнях научных публикаций, включая несколько монографий. В 2000 г. Б. Н. Четверушкин избран членом-корреспондентом, а в 2011 г. – действительным членом РАН. В 1986 г. по решению ЦК КПСС и Совета министров СССР на базе отдела № 3 при ИПМ им. М. В. Келдыша был создан Всесоюзный Центр математического моделирования (в 1990 г. преобразованный в самостоятельный Институт математического моделирования (ИММ) АН СССР). Его директором-организатором стал А. А. Самарский, а заместителем директора – Б. Н. Четверушкин. С 1998 г. по 2008 г. Борис Николаевич – директор ИММ РАН. В 2008 г. в связи с укрупнением научных организаций РАН коллектив ИММ переходит в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, и Борис Николаевич становится его директором, а в 2016 г. – научным руководителем. В 2013 г. Б. Н. Четверушкин избран членом Президиума РАН. Организаторский стиль Б. Н. Четверушкина неотделим от стиля его научной работы и характеризуется тщательным анализом стоящих перед институтом задач, выбором стратегической цели и разработкой способов ее достижения, активным и, как правило, успешным поиском источников финансирования, быстрым и сбалансированным принятием решений по взаимодействию между подразделениями Института и внешними организациями, включая зарубежные, тщательным подбором кадров. Уделяя исключительное внимание практической реализации исследований, он заботится также об их связи с фундаментальной наукой и о пропаганде достижений коллектива. Он – главный редактор журнала “Математическое моделирование”, организатор и ведущий участник большого количества престижных научных форумов, заведующий кафедрами в Московском физико-техническом институте и на факультете ВМК Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Свою основную задачу Борис Николаевич видит в сохранении высокого уровня нашей прикладной математики, прежде всего в области массивных вычислений и крупномасштабных вычислительных экспериментов на современных суперкомпьютерах, один из которых установлен в ИПМ. Академик Б. Н. Четверушкин – заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии им. А. Н. Крылова РАН (2001 г.), он награжден орденом Дружбы (2016 г.), Золотой медалью им. М. В. Келдыша РАН (2021 г.). Б. Н. Четверушкин – лауреат Демидовской премии за 2023 г. В 2024 г. Борис Николаевич Четверушкин награжден орденом “За заслуги перед Отечеством” 4-й степени. Коллегам хорошо известна его любовь к русской культуре и истории, доброжелательное уважение к людям, открытость, заботливость и готовность им помочь. Мы поздравляем Бориса Николаевича с юбилеем и желаем крепкого здоровья, научного долголетия и новых достижений на благо отечественной науки. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptBezGuz24} |
|
|||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|