С. О. Горчинский, Вик. С. Куликов, В. В. Никулин, Д. О. Орлов, Д. В. Осипов, В. Л. Попов, Н. А. Тюрин, Г. Б. Шабат, А. И. Шафаревич, В. В. Шокуров, “Игорь Ростиславович Шафаревич (к столетию со дня рождения)”, УМН, 78:6(474) (2023), 187–198; Russian Math. Surveys, 78:6 (2023), 1167

Выдающийся русский математик, философ и публицист Игорь Ростиславович Шафаревич родился 3 июня 1923 г. в Житомире, на малой родине своих родителей. Отец Ростислав Степанович окончил физико-математический факультет Московского императорского университета по отделению астрономии, однако в вихре революции и гражданской войны научная карьера талантливого молодого человека не смогла реализоваться в полной мере: возвратившись в Москву после рождения сына, он вынужден был преподавать в различных техникумах и институтах Москвы теоретическую механику, чтобы содержать в эти трудные времена молодую семью. Мать Юлия Яковлевна получила филологическое образование и преподавала в школе русский язык и литературу, при этом главной своей работой считая воспитание одаренного сына. Более тридцати лет семья Шафаревичей прожила в маленькой комнате общей коммунальной квартиры на Большой Спасской улице; здесь однажды пришлось им пережить обыск НКВД, когда в качестве улик следователи забрали детские книжки сына на немецком языке, но счастливым образом отец, вызванный на Лубянку и уже попрощавшийся с семьей, вернулся с полученными обратно “уликами”, и делу не дали хода.

С ранних лет Игорь Шафаревич полюбил чтение, с особым интересом изучал историю античного мира и, как он сам впоследствии рассказывал, видел себя профессиональным историком, а уроки математики не вызывали в нем большого энтузиазма. Однако в возрасте 13 лет произошел перелом: мальчику во время болезни пришлось самому заниматься по школьным учебникам и вдруг обнаружилось, что геометрия и алгебра не менее красивы и привлекательны, чем античные мифы или древнегреческая поэзия, и учебники были проработаны самостоятельно от корки до корки. Родители с неодобрением восприняли просьбу сына снабдить его учебниками университетских курсов, и было поставлено условие, что алгебру он будет учить по немецким книгам, а геометрию – по французским. Это не охладило пыл молодого таланта, учебники были приобретены у букинистов на развале, и школьник погрузился в высшую математику. Освоив стандартные курсы первых ступеней университета, школьник Игорь Шафаревич обращается с просьбой к декану механико-математического факультета МГУ Л. А. Тумаркину разрешить ему сдать базовые предметы за первый курс. Тумаркин не просто разрешает сдачу экзаменов, но направляет Шафаревича к трем выдающимся профессорам факультета: аналитическую геометрию будет принимать профессор Борис Николаевич Делоне, алгебру – профессор Александр Геннадиевич Курош, а математический анализ – профессор Израиль Моисеевич Гельфанд. Выбор был не случаен – каждый из них был не просто отличным математиком, но чутким педагогом: например, И. М. Гельфанд сразу предложил кроме стандартного учебника изучить дополнительные материалы, присовокупив стопку нужных книг; А. Г. Курош порекомендовал ван дер Вардена для более широкого ознакомления с алгеброй; ну а Б. Н. Делоне сразу огорошил начинающего юного математика советом бросить все прочие предметы и выучить теорию Галуа, при этом вручив книгу Н. Г. Чеботарева, в которой соискатель немедленно потерялся. Таким образом, предметы были сданы уже по расширенной программе, и вчерашний школьник, едва закончив девятый класс, оказался полноправным студентом старших курсов механико-математического факультета. В 1938 г. он уже полноправно участвует в семинарах, слушает спецкурсы (первый – И. М. Гельфанда, причем Игорь Ростиславович вспоминал, что это и для Израиля Моисеевича был первый спецкурс, прочитанный на факультете). В сегодняшнем понимании Израиль Моисеевич становится и первым научным руководителем Игоря Шафаревича, хотя официально соруководителем диплома считался также и Александр Геннадиевич Курош. Но самую большую роль в воспитании молодого таланта играет Борис Николаевич Делоне: кроме математики – походы в консерваторию (и это увлечение на всю оставшуюся жизнь), походы туристические и альпинистские (и это тоже увлечение на всю оставшуюся жизнь). Делоне совершает “должностное преступление” – берет книги в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова на все лето для студента Шафаревича, хотя разрешено только краткосрочное использование вне читального зала, приводит его в сам институт, знакомит с сотрудниками и даже приглашает на заседание ученого совета (Игорь Ростиславович много лет спустя вспоминал детали выступления академика А. Н. Крылова на том совете). И настойчиво направляет молодого друга в сторону теории Галуа, хотя пока что эта тема откладывается – в 1940 г. Игорь Шафаревич защищает диплом на “гельфандовскую” тему и вместе со своим однокурсником В. А. Рохлиным поступает в аспирантуру.

Война разрушает все планы: аспирант второго года Шафаревич два месяца копает окопы в Можайском районе, затем по возвращении в Москву Б. Н. Делоне и А. Г. Курош ходатайствуют об эвакуации выдающегося аспиранта вместе с университетом в Ашхабад, при этом уже налаженные научные связи большею частью разрушаются – Математический институт как подразделение Академии наук в это же время эвакуируют в Казань. Несмотря на это, в 1942 г. Игорь Шафаревич успешно защищает кандидатскую диссертацию и становится докторантом Математического института, а в 1943 г., после возвращения из эвакуации, начинает одновременно преподавать в Московском университете.

В первой работе И. Р. Шафаревича, опубликованной в 1943 г., дано описание топологических полей, допускающих определение топологии через нормирование. Критерий формулируется в терминах рассмотренных в работе понятий топологически нильпотентных элементов и ограниченных множеств, активно используемых, в том числе в современной теории колец Хубера. Статья была замечена мировым сообществом: в 1948 г. известный канадско-американский математик И. Капланский пишет об “элегантном результате И. Р. Шафаревича”. Защитив по этой тематике в 1942 г. кандидатскую диссертацию, в дальнейшем Игорь Ростиславович к ней не возвращался.

На целое десятилетие областями научных интересов И. Р. Шафаревича становятся теория Галуа и алгебраическая теория чисел, причем начинает он с изучения расширений локальных полей. Доказано, что для простого числа $p$ и локального поля $K\supset {\mathbb Q}_p$, не содержащего первообразные корни степени $p$ из единицы, группа Галуа максимального $p$-расширения является свободной про-$p$-группой с $[K:{\mathbb Q}_p]+1$ образующими. В качестве основных приложений решены обратная задача теории Галуа и задача погружения для таких полей и конечных $p$-групп. Эти результаты вошли в докторскую диссертацию И. Р. Шафаревича, защищенную в 1946 г., а немного позднее, в 1949 г., он был удостоен за них премии Московского математического общества. Интересно отметить, что в это время И. Р. Шафаревич еще не использует явным образом теорию когомологий групп, которая тогда только появилась. В дальнейшем он сделает ее одним из своих основных математических инструментов.

К числу крупнейших достижений алгебраической теории чисел относится общий закон взаимности, полученный И. Р. Шафаревичем в 1950 г. и являющийся решением девятой проблемы Гильберта. Более точно, при $p>2$ для локального поля $K\supset {\mathbb Q}_p$ с $\mu_p\subset K$ и $\alpha,\beta\in K^*$ найдена явная формула для символа норменного вычета $(\alpha,\beta)\in \mu_{p}$. Данное выражение является далеко идущим обобщением знака в квадратичном законе взаимности Гаусса и позволяет доказать общий закон взаимности для произвольных, не только квадратных, корней. Важнейшей концептуальной чертой формулы Шафаревича является прозрачно продемонстрированная им аналогия с вычетами дифференциальных форм на римановой поверхности. В целом аналогия между числами и функциями прочно вошла почти во все научное творчество Игоря Ростиславовича, была передана его ученикам и стала одной из основных идей московской школы алгебраической геометрии.

Формула Шафаревича получила интенсивное развитие как в работах первого ученика И. Р. Шафаревича Андрея Ивановича Лапина, так и в работах его многочисленных последователей, включая С. В. Востокова, Х. Брюкнера, К. Ивасаву, Э. Уайлса, К. Като, а также ученика Игоря Ростиславовича В. А. Абрашкина. Формула была значительно обобщена, при этом обнаружилось множество ее интерпретаций, в том числе в терминах современных теорий $p$-адических когомологий.

В 1952 г. И. Р. Шафаревич становится членом редколлегии журнала “Известия РАН. Серия математическая”, в которой проработает более шестидесяти лет, до 2017 г., при этом являясь с 1957 по 1977 г. заместителем главного редактора.

После работы по общему закону взаимности И. Р. Шафаревич снова обращается к обратной задаче теории Галуа, но теперь уже не для локальных, а для глобальных числовых полей. Его усилия увенчиваются успехом, и в 1954 г. появляется большой цикл работ на эту тему, кульминацией которого является решение обратной задачи теории Галуа для разрешимых групп: доказано, что для произвольного числового поля $K\supset {\mathbb Q}$ и разрешимой конечной группы $G$ существует расширение Галуа $K\subset L$ с группой Галуа $G$. Использованная при получении этих результатов техника привлекает тонкие арифметические свойства числовых полей, поэтапное построение расширений требует поистине филигранной отделки каждой детали конструкции. Кроме того, в этих работах И. Р. Шафаревич начинает существенно применять гомологическую алгебру, используя ряд результатов Д. К. Фаддеева о когомологиях групп.

За цикл работ по решению обратной задачи теории Галуа для полей алгебраических чисел и разрешимых групп И. Р. Шафаревичу в 1959 г. была присуждена Ленинская премия.

Рассмотрению обратной задачи теории Галуа для полей алгебраических чисел и неразрешимых групп посвящены более поздние работы ученика Игоря Ростиславовича Г. В. Белого, которому для этого потребовалось совершить свое знаменитое открытие: охарактеризовать комплексные гладкие проективные кривые, допускающие определение над полем алгебраических чисел, как кривые, накрывающие проективную прямую с ветвлением лишь над тремя точками.

И. Р. Шафаревич продолжает заниматься подобными проблемами в конце пятидесятых – начале шестидесятых годов вместе со своим учеником С. П. Демушкиным. Ими решены задачи погружения для локальных и глобальных полей в ряде важных случаев, показано, что некоторое известное ранее когомологическое препятствие является единственным в локальном случае, и найдено дополнительное препятствие в глобальном случае.

Параллельно с этими исследованиями в 1957 г. И. Р. Шафаревич публикует совместную работу со своим учеником А. И. Кострикиным о когомологиях нильпотентных алгебр Ли. А именно, для локальной конечномерной аугментированной алгебры $A$ над полем $k$ найдены нижние и верхние оценки на ряд Пуанкаре $\displaystyle P_A(t)=\sum_{i\geqslant 0}\dim\operatorname{Ext}^i_A(k,k)\,t^i$ и поставлен вопрос о его рациональности. Хотя в общем случае оказалось, что ряд $P_A(t)$ может быть нерациональным, для важного случая $k={\mathbb F}_p$, $A={\mathbb F}_p[G]$, где $G$ есть $p$-группа, его рациональность была вскоре, в 1959 г., доказана учеником Игоря Ростиславовича Е. С. Голодом.

В середине 1950-х годов И. Р. Шафаревич начинает заниматься алгебраической геометрией. Естественно, что первые задачи, которые он рассматривает, находятся на стыке теории чисел и геометрии – они относятся к теории эллиптических кривых. Им установлена биекция между множеством торсоров эллиптической кривой $E$ над полем $k$ и группой когомологий Галуа $H^1(G_k,E(k^{\mathrm{sep}}))$. Полученная впервые, такая когомологическая интерпретация подобных объектов имела в дальнейшем далекие обобщения и стала стандартным инструментом в алгебраической и арифметической геометрии.

При помощи данной когомологической интерпретации И. Р. Шафаревич решает одну давно стоявшую проблему в теории диофантовых уравнений: им доказано, что для любого натурального числа $d$ существует кривая рода $1$ над ${\mathbb Q}$ с гладким вложением в проективное пространство степени $d$ и без вложений меньшей степени. Все эти результаты стали первыми шагами в теории главных однородных пространств – новом разделе алгебраической геометрии, возникшем в 1950-х годах и независимо от И. Р. Шафаревича развивавшемся американскими математиками С. Ленгом и Дж. Тейтом.

И. Р. Шафаревич обнаруживает фундаментальную роль группы классов торсоров абелева многообразия $A$ над числовым полем $K$, имеющих точку над любым пополнением поля $K$. В честь автора данная группа обозначается в мировой математической литературе русской буквой “Ш” и называется группой Шафаревича–Тейта. Вычисление данной группы и, в частности, доказательство ее гипотетической конечности являются одними из труднейших и интереснейших проблем теории диофантовых уравнений. Наиболее сильные результаты здесь получены учеником Игоря Ростиславовича В. А. Колывагиным, доказавшим конечность группы Шафаревича–Тейта, а также гипотезу Бёрча–Свиннертона-Дайера для всех (модулярных) эллиптических кривых, аналитический ранг которых не больше единицы.

В 1958 г. в возрасте 35 лет Игорь Ростиславович Шафаревич был избран членом-корреспондентом АН СССР.

В обширной работе 1961 г., посвященной юбилею И. М. Виноградова, проводится фундаментальное исследование торсоров для абелева многообразия $A$ над полем рациональных функций $K$ на кривой $C$ над алгебраически замкнутым полем. При этом сначала в локальном случае устанавливается двойственность между группой торсоров для $A$ и модулем Тейта двойственного абелева многообразия $\widehat{A}$. В дальнейшем это обобщалось многими авторами, включая ученика Игоря Ростиславовича О. Н. Введенского. В глобальном функциональном случае дается описание группы Шафаревича–Тейта и коядра соответствующего гомоморфизма локализации. При этом И. Р. Шафаревич, еще до появления теории этальных когомологий, фактически вычисляет эйлерову характеристику конструктивного пучка в этальной топологии на $C$. Подобные результаты были получены независимо А. Оггом, а затем обобщены А. Гротендиком. Соответствующая формула для эйлеровой характеристики этального пучка на кривой получила название формулы Гротендика–Огга–Шафаревича. Кроме многочисленных приложений к постоянным и неразветвленным абелевым многообразиям над $K$, в упомянутой выше работе также найден критерий неразветвленности абелева многообразия в терминах представления группы Галуа, названный впоследствии критерием Нерона–Огга–Шафаревича.

Начиная с 1960 и по 1995 г. И. Р. Шафаревич является заведующим отделом алгебры в МИАН. В 1960 г. он был избран членом Германской академии естествоиспытателей “Леопольдина”.

Уже в работах по главным однородным пространствам выявилась особенность, характерная и для дальнейших исследований И. Р. Шафаревича: в большинстве своих работ он подходит к геометрии как теоретико-числовик и, наоборот, к теории чисел как геометр. Именно так построен пленарный доклад И. Р. Шафаревича на Международном математическом конгрессе 1962 г. в Стокгольме. Особое место в нем занимают две гипотезы об алгебраических кривых, определенных над числовым полем или над полем рациональных функций на кривой над конечным полем. Вдохновляясь классическими теоремами Ш. Эрмита и Г. Минковского, И. Р. Шафаревич предполагает конечность числа кривых над $K$ с заданным родом $g\geqslant 2$ и фиксированным конечным множеством $S$ плохой редукции. Кроме того, для $K={\mathbb Q}$, $g\geqslant 1$ и $S=\varnothing$ он предполагает, что кривых с такими инвариантами не существует (последнюю гипотезу можно сформулировать, с некоторыми простыми уточнениями, также и в геометрическом случае).

Функциональный аналог первой гипотезы был доказан учениками Игоря Ростиславовича А. Н. Паршиным и С. Ю. Аракеловым. Более того, для произвольного глобального поля А. Н. Паршин свел к первой гипотезе знаменитую гипотезу Морделла. Вместе с результатами еще одного представителя научной школы И. Р. Шафаревича, Ю. Г. Зархина, это стало важнейшими шагами на пути к доказательству гипотезы конечности Шафаревича и гипотезы Морделла над числовыми полями, найденному впоследствии Г. Фальтингсом. При этом функциональный аналог гипотезы Морделла был доказан двумя разными способами – А. Н. Паршиным и, ранее, учеником Игоря Ростиславовича Ю. И. Маниным.

Вторая гипотеза была обобщена и доказана учеником И. Р. Шафаревича В. А. Абрашкиным и независимо французским математиком Ж.-М. Фонтеном.

И. Р. Шафаревич возвращается к изучению групп Галуа числовых полей в важной работе, опубликованной в 1963 г. на русском языке в журнале Publications Mathématiques de l’IHÉS. Теперь он исследует группу Галуа $G_K(p,S)$ максимального про-$p$-расширения поля алгебраических чисел $K$, имеющего ветвление в фиксированном конечном множестве $S$ неархимедовых точек поля $K$. В арифметических терминах получена формула для числа образующих $d$ группы $G_K(p,S)$, а на число соотношений $r$ найдена явная верхняя оценка. Группа $G_K(p,S)$ исследовалась в дальнейшем, в том числе учеником И. Р. Шафаревича немецким математиком Х. Кохом.

Помимо ряда важных следствий в алгебраической теории чисел, И. Р. Шафаревич обнаруживает связь между гипотетической на тот момент нижней оценкой на $r$ для конечных $p$-групп и проблемой башни в теории полей классов. Уже через год в совместной работе с его учеником Е. С. Голодом доказывается, что для конечной $p$-группы выполняется неравенство $r>(d-1)^2/4$, и тем самым положительно решается остававшаяся открытой более сорока лет проблема башни. При помощи развитых в этой работе методов Е. С. Голод получил отрицательное решение обобщенной проблемы Бернсайда.

В 1964 г. выходит совместная с З. И. Боревичем книга “Теория чисел”, в основу которой были положены лекционные курсы, читавшиеся И. Р. Шафаревичем в Московском университете. Этот учебник был сразу же переведен на английский, немецкий, французский и японский языки.

В 1961–1963 гг., параллельно с исследованиями в области алгебраической теории чисел, Игорь Ростиславович организует работу семинара, небольшой коллектив которого формируется в основном из его учеников: в него входят Б. Г. Авербух, Ю. Р. Вайнберг, А. Б. Жижченко, Ю. И. Манин, Б. Г. Мойшезон, А. Н. Тюрин, Г. Н. Тюрина. Целью семинара является разбор классических работ итальянских алгебраических геометров с современной на тот момент точки зрения. Независимо подобная деятельность велась также О. Зариским вместе с Д. Мамфордом в США и К. Кодаирой в Японии.

Результатом работы семинара становится опубликованный в 1965 г. сборник статей, долгое время являвшийся единственным систематическим изложением теории поверхностей. Он оказал огромное влияние на исследования алгебраических поверхностей во всем мире, был переведен на английский язык в 1967 г. и на немецкий язык в 1968 г. Семинар и книга послужили основным импульсом для дальнейшего развития алгебраической геометрии в Москве. Непосредственно выросшие отсюда исследования включают в себя следующие направления: рациональные поверхности и рациональные многомерные многообразия, решение проблемы Люрота (В. А. Исковских–Ю. И. Манин) и классификацию трехмерных многообразий Фано (В. А. Исковских); теория векторных расслоений на алгебраических кривых и поверхностях (А. Н. Тюрин, Ф. А. Богомолов); поверхности типа К3 (Г. Н. Тюрина, И. Р. Шафаревич–И. И. Пятецкий-Шапиро, В. В. Никулин, А. Н. Рудаков, Вик. С. Куликов и др.); многомерная бирациональная и комплексная аналитическая геометрия (Б. Г. Мойшезон); нерациональные односвязные поверхности с тривиальным геометрическим родом (И. В. Долгачев); геометрия и арифметика рациональных поверхностей (Ю. И. Манин); классификация комплексных неалгебраических поверхностей (Ф. А. Богомолов).

В 1966 г. публикуются записки лекций, прочитанных И. Р. Шафаревичем в Tata Institute в Бомбее, Индия. В них изучаются минимальные модели и геометрия схем размерности $2$, расслоенных над схемой размерности $1$. Это впервые дает возможность серьезного рассмотрения арифметических поверхностей как геометрических объектов. В частности, И. Р. Шафаревичем ставится вопрос о геометрическом подходе к арифметическим поверхностям с учетом архимедовых слоев. Это служит стимулом для создания его учеником С. Ю. Аракеловым арифметической теории пересечений, названной впоследствии геометрией Аракелова. Подход С. Ю. Аракелова использует более ранние конструкции А. Н. Паршина, связанные с функциями Грина.

После завершения работы семинара по алгебраическим поверхностям И. Р. Шафаревич организует в 1964–1966 гг. в МИАН семинар, на котором обсуждаются разные работы, связанные с полученной Э. Картаном классификацией простых транзитивных псевдогрупп преобразований. Отчасти результатом этой деятельности становятся две статьи с А. И. Кострикиным, определившие на десятилетия вперед программу классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями положительной характеристики. В них сформулирована гипотеза, предсказывающая, что для простого числа $p>5$ все простые конечномерные ($p$-)алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $p$ являются классическими или принадлежат одному из четырех картановских типов. В результате многолетней работы различных авторов, включая Р. Блока, Р. Вильсона, Х. Штраде, А. Премета, гипотеза оказалась доказанной.

В работе 1966 г., одной из очень немногих написанных И. Р. Шафаревичем на английском языке, автор с целью исследования группы автоморфизмов аффинного пространства над полем нулевой характеристики инициирует развитие нового направления в алгебраической геометрии – теории бесконечномерных алгебраических многообразий. А именно, он рассматривает $\operatorname{Aut}(\mathbb A^n)$ как объект бесконечномерной алгебраической геометрии: в современной терминологии как групповое инд-аффинное многообразие. И. Р. Шафаревичем доказана гладкость инд-аффинного многообразия $\operatorname{Aut}({\mathbb A}^n)$, а также его порождаемость аффинными и верхнетреугольными преобразованиями как группового инд-аффинного многообразия. Кроме того, доказана простота группового инд-аффинного многообразия $\operatorname{SAut}({\mathbb A}^n)$, состоящего из автоморфизмов с единичным якобианом. В более поздней работе 2004 г., посвященной памяти ученика Игоря Ростиславовича А. Н. Тюрина, рассматривается структура группового инд-аффинного многообразия на группе обратимых матриц над кольцом многочленов над полем.

Заметим, что аналогичные результаты оказываются неверными для группы комплексных точек $\operatorname{Aut}({\mathbb A}^n)({\mathbb C})$ на $\operatorname{Aut}({\mathbb A}^n)$, рассматриваемой как абстрактная группа. А именно, И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев построили пример элемента в $\operatorname{Aut}({\mathbb A}^n)({\mathbb C})$, не разложимого в произведение аффинных и верхнетреугольных преобразований, а В. И. Данилов доказал, что $\operatorname{SAut}({\mathbb A}^n)({\mathbb C})$ не является простой группой.

Бесконечномерные объекты алгебраической геометрии рассматриваются И. Р. Шафаревичем также в контексте униформизации алгебраических многообразий, причем здесь возникают уже не инд-, а проалгебраические многообразия. В статье 1966 г., совместной с И. И. Пятецким-Шапиро, рассматривается алгебраический аналог униформизации. А именно, для произвольного многообразия $X$ ставится вопрос о существовании проконечного накрытия проалгебраическим многообразием $\widetilde{X}\to X$, неразветвленного над открытым подмножеством в $X$ и квазиоднородного, т. е. для которого общая орбита группы $\operatorname{Aut}(\widetilde{X})$ плотна. Доказано, что все факторы ограниченных симметрических областей по арифметическим группам обладают таким свойством. Это потребовало подробного изучения с алгебраической точки зрения полей автоморфных функций и алгебр автоморфных форм, а также развития ряда новых понятий в теории проалгебраических многообразий.

В контексте униформизации алгебраических многообразий И. Р. Шафаревич также ставил позднее следующий вопрос: верно ли, что для любого комплексного гладкого проективного многообразия $X$ его односвязная накрывающая $\widetilde{X}$ голоморфно выпукла? Как заметил Я. Коллар, положительный ответ на данный вопрос равносилен существованию морфизма алгебраических многообразий $X\to \operatorname{Sh}(X)$ в нормальное многообразие $\operatorname{Sh}(X)$ со связными слоями, для которого связное подмногообразие $Z\subset X$ стягивается в точку тогда и только тогда, когда образ гомоморфизма $\pi_1(Z)\to \pi_1(X)$ конечен. При этом если рассматривать только максимальный абелев фактор фундаментальных групп, то соответствующим вариантом отображения Шафаревича является отображение Альбанезе. Хотя в общем случае вопрос о существовании отображения Шафаревича остается открытым, в направлении его положительного решения был получен значительный прогресс в работах многих авторов, включая Я. Коллара, Л. Кацаркова, Ф. Эссидьё, Т. Пантева, М. Рамачандрана, Р. Трегера и др.

Во время пребывания в Париже в 1966 г. И. Р. Шафаревич находит совместно с Дж. Тейтом примеры эллиптических кривых сколь угодно большого ранга над полем ${\mathbb F}_p(t)$. Данные примеры являются формами над ${\mathbb F}_p(t)$ суперсингулярных эллиптических кривых, определенных над ${\mathbb F}_p$, и, в частности, эти эллиптические кривые изотривиальны над ${\mathbb F}_p(t)$. Примеры неизотривиальных эллиптических кривых над ${\mathbb F}_p(t)$ с неограниченным рангом были построены значительно позднее Д. Ульмером. Вопрос о неограниченности ранга эллиптических кривых над числовыми полями остается открытой проблемой в теории чисел.

В 1966–1967 гг. И. Р. Шафаревич читает на механико-математическом факультете МГУ курс лекций, представляющий многогранное изложение теории дзета-функций. Курс записывается Ю. И. Маниным и вскоре публикуется в виде отдельной монографии.

И. Р. Шафаревич становится президентом Московского математического общества на период с 1970 по 1973 г.

В этом время И. Р. Шафаревич активно работает в области теории К3-поверхностей. Вместе с абелевыми поверхностями они являются аналогом эллиптических кривых. Легко показать, что, как и комплексные эллиптические кривые, комплексные абелевы поверхности и, более общо, комплексные абелевы многообразия однозначно определяются своей первой целочисленной структурой Ходжа. Однако при попытках доказать аналогичное утверждение для К3-поверхностей возникают существенные трудности, и долгое время эта проблема казалась экспертам неприступной. Тем не менее И. Р. Шафаревичу совместно с И. И. Пятецким-Шапиро удается доказать аналог теоремы Торелли для К3-поверхностей; это составляет содержание доклада И. Р. Шафаревича на Международном математическом конгрессе в Ницце в 1970 г. А именно, доказывается, что для любых двух К3-поверхностей $X$ и $X'$ имеется естественная биекция

В доказательстве используется локальная теорема Торелли для К3-поверхностей, доказанная ранее ученицей И. Р. Шафаревича Г. Н. Тюриной. Кроме того, устанавливается, что отображение периодов для К3-поверхностей является открытым вложением с плотным образом. Сюръективность отображения периодов была доказана позднее учеником И. Р. Шафаревича Вик. С. Куликовым. В качестве одного из приложений теорема Торелли позволяет описывать группы автоморфизмов К3-поверхностей в терминах арифметических свойств решеток. В частности, в работах ученика И. Р. Шафаревича В. В. Никулина была дана классификация К3-поверхностей с конечными группами автоморфизмов. Идеи, связанные с теоремой Торелли для К3-поверхностей, приобрели в дальнейшем разнообразное развитие в работах многих авторов – здесь следует упомянуть работы учеников Игоря Ростиславовича А. Н. Тодорова и А. Н. Тюрина, а также работы Д. О. Орлова, М. С. Вербицкого, Д. Бёрнса, М. Раппопорта, Э. Луиенги, К. Петерса, Ю.-Т. Сиу.

В еще одной статье того же периода, также совместной с И. И. Пятецким-Шапиро, из теоремы Торелли для комплексных алгебраических К3-поверхностей выводится аналог гипотезы Римана для К3-поверхностей над конечными полями. Данное доказательство существенно отличается от доказательства, найденного независимо П. Делинем.

В 1972 г. публикуется книга И. Р. Шафаревича “Основы алгебраической геометрии”, до сих пор являющаяся одним из лучших и наиболее популярных в мировой литературе учебников по алгебраической геометрии.

По случаю вручения Хейнемановской премии Гёттингенской академии наук в 1973 г. И. Р. Шафаревич читает ставшую программной лекцию “О некоторых тенденциях развития математики”.

В 1974 г. И. Р. Шафаревича избирают членом Национальной академии наук США и Американской академии наук и искусств.

Аналитические методы исследования комплексных алгебраических поверхностей типа К3 казались непреодолимым препятствием к изучению этих поверхностей над полями положительной характеристики. Первый прорыв в этом направлении был совершен в статье М. Артина, которую, по словам И. В. Долгачева, И. Р. Шафаревич рассматривал как одну из самых красивых статей, когда-либо им прочитанных. В ней было введено понятие периодов для суперсингулярных К3-поверхностей, т. е. для К3-поверхностей над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики, у которых все классы во вторых этальных когомологиях алгебраичны.

Данная тема получила фундаментальное развитие в большом цикле работ 1976–1984 гг., написанных совместно с учеником И. Р. Шафаревича А. Н. Рудаковым, а также частично совместно с Т. Цинком. В данных работах доказано отсутствие векторных полей на К3-поверхностях в положительной характеристике, что позволяет строить формальное многообразие модулей. Обнаружена унирациональность суперсингулярных К3-поверхностей над полем характеристики $2$. Главные результаты – построение многообразия модулей суперсингулярных К3-поверхностей, доказательство полноты этого многообразия модулей (т. е. отсутствия вырождений суперсингулярных К3-поверхностей), аналогов теоремы Торелли и сюръективности отображения периодов.

И. Р. Шафаревичем опубликовано множество монографий и учебников (часть из них в соавторстве). Прозрачность и ясность изложения, обилие неформальных примеров и мотивировок, постепенный переход от простейших ситуаций к более сложным – характерные черты книг И. Р. Шафаревича. Написанная совместно с В. В. Никулиным книга “Геометрии и группы”, опубликованная в 1983 г., является введением в современную геометрию, доступным даже для школьников старших классов. Созданный на одном дыхании в 1986 г. обзор “Основные понятия алгебры” сразу же приобретает широкую известность, причем даже среди специалистов в далеких от алгебры областях. Обзор “Алгебраические поверхности”, написанный совместно с В. А. Исковских в 1989 г., является прекрасным учебником для студентов, интересующихся алгебраической геометрией.

В 1978 г. И. Р. Шафаревич становится почетным доктором университета Париж-XI (Орсе). С 1981 г. он является членом Лондонского королевского общества. В 1991 г. И. Р. Шафаревича избирают академиком РАН.

В поздние годы научного творчества И. Р. Шафаревич вновь обращается ко всем трем основным направлениям своих исследований: алгебре, алгебраической геометрии, теории чисел. В работе 1990 г. им исследуется многообразие модулей конечномерных нильпотентных коммутативных алгебр $N$ (без единицы) с условием $N^3=0$. Описаны особенности и размерности неприводимых компонент данного многообразия модулей, а также установлено взаимно однозначное соответствие между неприводимыми компонентами и значениями размерности $r=\dim(N^2)$. Кроме того, исследуется устойчивость таких алгебр, т. е. замкнутость рассматриваемого класса при деформациях в классе всех коммутативных ассоциативных алгебр. Оказывается, что при $2<r\leqslant (d-1)(d-2)/6+2$ алгебры из соответствующих неприводимых компонент устойчивы, а при $r>(d^2-1)/3$ они неустойчивы; здесь $d=\dim(N/N^2)$. В более поздней работе 2001 г., посвященной памяти ученика Игоря Ростиславовича А. И. Кострикина, высказывается подтвержденная рядом примеров гипотеза о том, что особенности неприводимых компонент многообразия модулей алгебр, содержащих полупростые классы, имеют коразмерность не меньше $2$.

В двух статьях 1996 г. И. Р. Шафаревич доказывает конечность для числа К3-поверхностей с числом Пикара 20 и для абелевых поверхностей с числом Пикара 4, определенных над числовым полем или расширением поля ${\mathbb C}(t)$ ограниченной степени. В следующем по сложности случае после максимально возможного значения числа Пикара им доказывается конечность числа решеток Нерона–Севери К3-поверхностей с числом Пикара 19 и абелевых поверхностей с числом Пикара 3, определенных над расширением поля ${\mathbb C}(t)$ ограниченной степени. Высказывается общая гипотеза о конечности числа решеток Нерона–Севери К3-поверхностей и абелевых поверхностей, определенных над числовым полем или расширением поля ${\mathbb C}(t)$ ограниченной степени. В дальнейшем гипотеза исследовалась и была доказана в частных случаях в работах М. Орра, А. Н. Скоробогатова, Ю. Г. Зархина.

В написанной в 90-летнем возрасте статье И. Р. Шафаревич, следуя идеям К. Хегнера, изложил элементарное доказательство теоремы о десятом дискриминанте, т. е. утверждения о том, что существует лишь девять одноклассных мнимых квадратичных полей. Доказательство К. Хегнера, являясь полным математическим рассуждением, было недостаточно ясно изложено и более пятнадцати лет оставалось непонятным математическому сообществу; затем доказательства теоремы о десятом дискриминанте появились в работах Х. Старка, А. Бейкера, а исходные идеи К. Хегнера были превращены в не вызывающее сомнений доказательство в работах М. Дейринга и Б. Бёрча. Наконец, совершенно прозрачное доказательство, основанное на более геометрических методах, было дано И. Р. Шафаревичем в курсе лекций, прочитанных им в МГУ в 1970-х годах. Это доказательство и составило содержание последней научной статьи И. Р. Шафаревича, написанной великим мастером со всей присущей ему ясностью и элегантностью изложения и концептуальной глубиной используемых подходов.

Интересы Игоря Ростиславовича не ограничивались рамками математики: еще в самом начале своего творческого пути он делал выбор между математикой и историей, и в дальнейшем его огромное гуманитарное дарование не осталось под спудом. В шеститомном полном собрании сочинений первые пять томов содержат исследования по широкому кругу вопросов: от классической музыки до биологии, от истории собственно математики до истории России. Одно из первых исследований было посвящено этологии Конрада Лоренца, науке о поведении животных, но в гораздо более широких рамках – уже тогда вопросы истории и обществоведения существенно занимали Игоря Ростиславовича, что естественным образом требовало сравнения основ построения человеческого общества с принципами построения сообществ различных живых существ. Именно в связи с историей родной страны возникло исследование, подытоженное книгой “Социализм как явление мировой истории”, вышедшей на разных языках и привлекшей широкое внимание во всем мире. В этой книге автор как настоящий ученый принимает вызов и развенчивает главный миф эпохи – утверждение о том, что марксизм есть научное учение. В дальнейшей работе “Две дороги к одному обрыву”, опубликованной в журнале “Новый мир”, Игорь Ростиславович вскрывает глубинную связь двух, казалось бы, антагонистических формаций – капитализма и социализма, которые на самом деле единым фронтом выступают против естественного течения жизни, против индивидуальности человека и в том числе против природы, которую желают перекроить, покорить и обратить в некую фабрику, запрограммированную управлением узкой группы избранных.

Воспитанный с ранних лет в академической среде, Игорь Ростиславович не принял некоторых принципов, в то время в этой среде бытовавших, и на протяжении всей своей жизни стоял за правду, насколько это бывало возможно. Это выражалось в постоянной защите и поддержке тех, кто бывал ущемляем по каким бы то ни было соображениям. В 1953 г. он отстаивал своего, как в дальнейшем оказалось, будущего ученика Юрия Манина при приеме в Московский университет; в дальнейшем отстаивал Бориса Мойшезона, которого пытались привлечь по статье за тунеядство после защиты кандидатской диссертации; многократно выступал в защиту “матшкольников”, проваливаемых на экзаменах в МГУ. Но, видимо, такая помощь – от случая к случаю – не удовлетворяла совести Игоря Ростиславовича, и он в поисках более активного участия вступает в комитет по правам человека, во главе которого стоял другой выдающийся ученый – академик А. Д. Сахаров. Однако выбором темы для своего первого доклада комитету Игорь Ростиславович разрушает уже сложившиеся рамки либерального правозащитного движения – его доклад о нарушении прав верующих в СССР, и прежде всего православных, превращает его в народного заступника, которому простые люди писали со всей страны о своих бедах. И когда другой выдающийся ученый, академик О. А. Ладыженская, знакомит Игоря Ростиславовича с А. И. Солженицыным, эта встреча для обоих дает возможность обрести друга и соработника, в главном – созвучного, в мелочах – дополняющего. Давно задуманный Солженицыным сборник неподцензурных размышлений о судьбах России, получивший образное название “Из-под глыб”, обретает второго основного автора, которым и выступил Игорь Ростиславович, предложивший для сборника несколько статей. Во время работы над сборником Игорь Ростиславович становится невольным свидетелем ареста Солженицына, а последовавшая за этим высылка писателя задержала выход всего сборника.

Казалось бы, гуманитарная составляющая творчества выдающегося ученого не должна влиять на математическую, однако сотрудничество с Солженицыным отзывается тяжелым ударом для математической жизни не только самого Игоря Ростиславовича, но и будущих поколений математиков: он отстраняется от преподавания в Московском университете, а вслед за ним лишаются возможности преподавать и некоторые из его учеников.

Через двадцать лет история повторится: после выхода работы “Русофобия” ангажированная часть мирового математического сообщества предпримет попытку изолировать Игоря Ростиславовича от математического мира, в том числе требуя аннулировать приглашения на математические мероприятия (что и было частично сделано) и исключить его из Национальной академии наук США (что не получилось сделать; позднее в знак протеста против американской внешней политики Игорь Ростиславович выйдет из этой академии сам). Не вдаваясь в подробности, могущие далеко вывести за рамки данного текста, отметим только, что ни тогда, ни позже изданию этой книги Игоря Ростиславовича не препятствовали юридические или моральные нормы ни России, ни тех европейских стран (включая Германию), в которых она была напечатана на разных языках. Уже после ухода Игоря Ростиславовича один из его учеников, участвовавший в коллективном письме против своего учителя в связи с “Русофобией”, оценил, возможно, излишнюю по его мнению, мотивированность в выборе фактов, приводимых в тексте, исключительно как следствие горячего сочувствия автора страданиям, выпавшим на долю русского народа в двадцатом столетии.

И еще одна тема, сопряженная с математической, серьезно затрагивается в работах Игоря Ростиславовича: в нескольких его эссе обсуждается классическая музыка, прежде всего музыка Д. Д. Шостаковича, причем уровень обсуждения, по свидетельству знатоков, высокопрофессиональный. Даже без музыкального образования оказывается возможным экстраполировать математическую интуицию в иной гармонии. Так же и с литературой: будучи знатоком и поклонником литературы античной, Игорь Ростиславович был знаком практически со всем спектром литературы мировой и оставил после себя интересные и глубокие заметки о наиболее значимых, но не всегда широко известных произведениях русской литературы двадцатого века.

Конечно же, не обойденной осталась и тема философии и истории самой математики: в недавно вышедшем сборнике под редакцией А. Н. Паршина, ближайшего ученика Игоря Ростиславовича, были собраны воспоминания и об учителях, и о коллегах и друзьях, и об учениках. Одним из наиболее интересных и цитируемых произведений, вошедших в сборник, является лекция, написанная для прочтения в Гёттингене в связи с присуждением Игорю Ростиславовичу Хейнемановской премии. Здесь ставится вопрос, не малый для всякого математика, а именно – в чем цель самой математики? И ответ, после содержательных рассуждений, суммирует всю работу Игоря Ростиславовича – и математическую, и гуманитарную, сочетает вместе оба пути, которым следовал в своей жизни Игорь Ростиславович.

Помимо 35 непосредственных учеников Игоря Ростиславовича – алгебраистов, геометров, специалистов по теории чисел – школа И. Р. Шафаревича насчитывает более 300 математиков, подавляющее большинство из которых являются всемирно известными учеными высочайшего уровня. Каждый из многочисленных учеников И. Р. Шафаревича хранит воспоминания о пути, пройденном рядом с Игорем Ростиславовичем, как о счастливейшем этапе в своем творческом становлении.

Образец цитирования: С. О. Горчинский, Вик. С. Куликов, В. В. Никулин, Д. О. Орлов, Д. В. Осипов, В. Л. Попов, Н. А. Тюрин, Г. Б. Шабат, А. И. Шафаревич, В. В. Шокуров, “Игорь Ростиславович Шафаревич (к столетию со дня рождения)”, УМН, 78:6(474) (2023), 187–198; Russian Math. Surveys, 78:6 (2023), 1167–1178

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GorKulNik23}

\by С.~О.~Горчинский, Вик.~С.~Куликов, В.~В.~Никулин, Д.~О.~Орлов, Д.~В.~Осипов, В.~Л.~Попов, Н.~А.~Тюрин, Г.~Б.~Шабат, А.~И.~Шафаревич, В.~В.~Шокуров

\paper Игорь Ростиславович Шафаревич (к столетию со дня рождения)

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 6(474)

\pages 187--198

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10158}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10158}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4723264}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78.1167G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 6

\pages 1167--1178

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10158e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001202852000007}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85190288722}