| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Условия надкритичности для ветвящихся блужданий в случайной убивающей среде с единственным центром размножения В.А. Куценкоa, С. А. Молчановb, Е. Б. Яроваяa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10147e 
Реферативные базы данных:
     Рассматривается ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) по одномерной решетке $\mathbb{Z}$ с непрерывным временем. На решетке вне нуля задано поле независимых одинаково распределенных случайных величин $\mathcal{M}=\{\mu(x,\cdot),x\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}$, которые определены на некотором вероятностном пространстве $(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})$. Предполагается, что каждая случайная величина $\mu(x,\cdot\,)$ принимает значения из отрезка $[0,c]$, $c\geqslant0$, и имеет на нем положительную плотность. Поле $\mathcal{M}$ образует на $\mathbb{Z}$ “случайную убивающую среду”, которая определяет интенсивность исчезновения частиц в ВСБ. Реализацию поля $\mathcal{M}$ обозначим через $\mathcal{M}(\omega)=\{\mu(x,\omega),x\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}$, $\omega\in\Omega$. Дополнительно введем параметр $\Lambda\geqslant 0$, отвечающий за интенсивность размножения частиц в нуле, и параметр $\varkappa>0$, управляющий интенсивностью блуждания частиц по решетке. Пусть в момент времени $t=0$ на $\mathbb{Z}$ находится одна частица. Дальнейшая эволюция происходит следующим образом. Если частица находится в нуле, то за время $h\to0$ она с вероятностью $\Lambda h+o(h)$ разделится надвое, с вероятностью $\varkappa h+o(h)$ переместится равновероятно в одну из соседних точек и с вероятностью $1-\Lambda h-\varkappa h+o(h)$ останется на месте. Если же частица находится в точке $x\neq 0$, то за время $h\to0$ она с вероятностью $\mu(x,\omega) h+o(h)$ исчезнет, с вероятностью $\varkappa h+o(h)$ переместится равновероятно в одну из соседних точек и с вероятностью $1-\mu(x,\omega)-\varkappa h+o(h)$ останется на месте. Новые частицы эволюционируют по тому же закону независимо друг от друга и от всей предыстории. Процесс ветвления частиц в точке $x\in\mathbb{Z}$ описывается потенциалом $V(x,\omega):=\Lambda\delta_0(x)-\mu(x,\omega)(1-\delta_0(x))$, где $\delta_y(x)$ – функция Кронекера. Поведение ВСБ в момент времени $t$ определяется набором численностей частиц $N_{t}(y,\omega)$ в точках $y\in\mathbb{Z}$. Обычно рассматривают среднюю численность частиц [1], [2]: $m_1(t,x,y,\omega)=\mathsf{E}_{x} N_{t}(y,\omega)$, где $\mathsf{E}_{x}$ – математическое ожидание при условии $N_0(y,\omega)=\delta_y(x)$. Мы будем изучать вероятность $P(\Lambda,\varkappa,c)$ реализации среды, при которой наблюдается экспоненциальный рост $m_1(t,x,y,\omega)$ (надкритичность) при заданных параметрах $\Lambda$, $\varkappa$ и $c$. Формально $\displaystyle P(\Lambda,\varkappa,c) =\mathsf{P}\biggl\{\omega\in\Omega\colon\!\lim_{t\to\infty} \frac{m_1(t,x,y,\omega)}{C(x,y)e^{\lambda(\omega) t}}=1\, \forall x,y \in \mathbb{Z}\biggr\}$, где функции $C$, $\lambda$ и $m_1$ положительны, а также дополнительно зависят от $\Lambda$, $\varkappa$ и $c$. Цель настоящей работы – оценить $P(\Lambda,\varkappa,c)$ как функцию от $\Lambda,\varkappa,c$. Воспользуемся подходом, описанным, например, в [2], [3], и запишем для $m_1(t,x,y,\omega)$ задачу Коши: $\partial m_1(t,x,y,\omega)/\partial t=(\varkappa\Delta m_1)(t,x,y,\omega)+V(x,\omega)m_1(t,x,y,\omega)$ с начальным условием $m_1(0,x,y,\omega)=\delta_y(x)$, где $\varkappa\Delta f(x)=\varkappa[f(x+1)/2+f(x-1)/2-f(x)]$ – разностный лапласиан на $\mathbb{Z}$. Здесь и далее все операторы определены на $l_2(\mathbb{Z})$. Вводя случайный самосопряженный оператор $H(\omega)=\varkappa\Delta+V(x,\omega)$, выписанную ранее задачу Коши можно представить в виде $\partial m_1(t,x, y, \omega)/\partial t= H(\omega)m_1(t,x,y,\omega)$, $m_1(0,x,y,\omega)=\delta_y(x)$. В задачах такого вида поведение $m_1$ зависит от структуры спектра оператора $H(\omega)$. Лемма 1. Спектр $H(\omega)$ почти наверное состоит из неслучайной существенной части $[-2\varkappa-c;0]$ и, возможно, случайного собственного значения $\lambda(\Lambda,\varkappa,c,\omega)>0$. Доказательство следует схеме рассуждений из работы [4]. В частности, для каждого $\lambda_0\in[-2\varkappa-c;0]$ и почти любой реализации среды $\omega_0\in\Omega$ удается построить такую последовательность ортонормированных функций $\{f_i(x,\lambda_0,\omega_0)\}\in l_2(\mathbb{Z})$, $i\in\mathbb{N}$, что $\|H(\omega)f_n-\lambda_0f_n\|\to0$ при $n\to\infty$. Отсюда следует, что любое $\lambda_0\in[-2\varkappa-c;0]$ почти наверное принадлежит существенному спектру. Случайное собственное значение $\lambda(\Lambda,\varkappa,c,\omega)$ может появиться вследствие одноточечного возмущения самосопряженного оператора в нуле. В следующей лемме найден явный вид собственной функции $u_\lambda(x)$, соответствующей $\lambda>0$. Доказательство проводится подстановкой выражения $u_\lambda(x)$ в задачу на собственные значения. Лемма 2. Если положительное собственное значение $\lambda(\Lambda,\varkappa,c,\omega)$ существует, то соответствующая ему собственная функция задается абсолютно сходящимся рядом $\displaystyle u_\lambda(x)=\sum_{\gamma\colon x\to0}\prod_{z\in\gamma}\frac{\varkappa/2}{\mu(z,\omega)+\lambda+\varkappa}$, где $\gamma\colon a \rightsquigarrow b$ – путь $\{a=x_1,x_2,\dots,x_n\not=b\}$ из точки $a$ в точку $b$ с переходами в соседние точки решетки, причем (i) путь $\gamma$ не пересекает $0$, (ii) точка $b$ не считается входящей в путь $\gamma$. Значение $u_\lambda(0)$ равно $1$. Для “самой плохой” реализации среды $\mu(x,\omega)\equiv c$ ряд для $u_\lambda(x)$ в лемме 2 может быть выражен через элементарные функции. То же верно и для случая “самой хорошей” среды $\mu(x,\omega)\equiv 0$. Отсюда вытекает следующий результат. Теорема 1. Если $\Lambda\geqslant\sqrt{2\varkappa c+c^2}-c$, то собственное значение $\lambda(\omega)$ принадлежит отрезку $[\sqrt{(\Lambda+c)^2+\varkappa^2}-(\varkappa+c); \sqrt{\Lambda^2+\varkappa^2}-\varkappa]$ и, соответственно, $P(\Lambda,\varkappa,c)=1$. Теперь рассмотрим неслучайную среду с убиванием частиц в точках $x=-1$ и $x=1$ с интенсивностями $\mu_{-1}>0$ и $\mu_{1}>0$ соответственно. Тогда задача Коши примет вид $\partial m_1(t,x, y)/\partial t=H_{1}m_1(t,x,y)$, $m_1(0,x,y)=\delta_y(x)$, где $H_1:=\varkappa \Delta+\delta_0(x)\Lambda-\delta_1(x)\mu_1-\delta_{-1}(x)\mu_{-1}$. Лемма 3. Положительное собственное значение оператора $H_1$ существует тогда и только тогда, когда $\Lambda>(\mu_1+\mu_{-1}+2\sigma\mu_1\mu_{-1})/[(1+\sigma\mu_1)(1+\sigma\mu_{-1})]$, где $\sigma=2/\varkappa$. Рассмотрим набор сред $\Omega_1=\{\omega\in\Omega\colon \mu(1,\omega)=\mu_{1}, \mu(-1,\omega)=\mu_{-1}\}$. Средняя численность частиц в неслучайной среде будет почти наверное больше средней численности в любой среде из $\Omega_1$. Это замечание и лемма 3 влекут следующий результат. Теорема 2. $P(\Lambda,\varkappa,c)\leqslant\mathsf{P}\{\Lambda> (\xi_1+\xi_2+2\sigma\xi_1\xi_{2})/[(1+\sigma\xi_1)(1+\sigma\xi_{2})]\}$, где $\xi_i$ – независимые копии $\mu(x,\omega)$. Таким образом, предложены новые подходы к изучению ВСБ в случайных средах. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KutMolYar23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|