| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Нижняя оценка триангуляционной сложности 3-многообразий с краем Д. Д. Нигомедьяновab, Е. А. Фоминыхabc a Санкт-Петербургский государственный университет b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10146e 
Реферативные базы данных:
    Понятие сложности является важным организующим принципом при изучении трёхмерных многообразий. Пусть $M$ – связное компактное $3$-многообразие с краем. Идеальной триангуляцией многообразия $M$ называется реализация внутренности многообразия $M$ в виде склейки конечного числа копий стандартного тетраэдра с удалёнными вершинами по аффинным гомеоморфизмам их граней. Триангуляционной сложностью $c_{\Delta}(M)$ многообразия $M$ называется наименьшее число тетраэдров среди всех идеальных триангуляций многообразия $M$. Верхние оценки сложности обычно возникают из явного построения триангуляций, в то время как поиск нижних оценок в общем случае является трудной задачей. Отметим ряд нижних оценок триангуляционной сложности многообразий с краем [1]–[3], с помощью которых были установлены точные значения сложности для бесконечных серий $3$-многообразий. Наш вклад в это направление исследований состоит в установлении новой нижней оценки сложности многообразий через их гомологии с коэффициентами в поле $\mathbb{Z}_2$. Более точно, мы доказываем следующую теорему. Теорема 1. Пусть $M$ – связное компактное $3$-многообразие с краем. Тогда выполнено неравенство $c_{\Delta}(M) \geqslant \beta_1(M,\mathbb{Z}_2)$. Для доказательства теоремы применим эквивалентный подход к сложности через теорию специальных спайнов С. В. Матвеева [4]. Через $\mathtt{d}(P)$ и $\mathtt{v}(P)$ обозначим число $2$-компонент и число истинных вершин специального полиэдра $P$ соответственно. Поскольку все вершины особого графа полиэдра $P$ имеют валентность $4$, то он содержит ровно $2\mathtt{v}(P)$ рёбер и $\chi(P)=\mathtt{d}(P)-\mathtt{v}(P)$. Через $\beta_k(X,\mathbb{Z}_2)$ обозначим $k$-е число Бетти пространства $X$ с коэффициентами в поле $\mathbb{Z}_2$. Лемма. Для любого связного специального полиэдра $P$ справедливы соотношения: (i) $\mathtt{d}(P) \geqslant \beta_2(P, \mathbb{Z}_2)+1$; (ii) $\mathtt{d}(P)-(\beta_2(P, \mathbb{Z}_2)+1)= \mathtt{v}(P)-\beta_1(P, \mathbb{Z}_2)$. Доказательство. Специальный полиэдр $P$ обладает естественной структурой клеточного комплекса, образованной истинными вершинами, рёбрами и $2$-компонентами. Рассмотрим клеточный цепной комплекс полиэдра $P$: $0\to C_{2}\xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0\to 0$ с коэффициентами в поле $\mathbb{Z}_2$. Имеем: $\mathtt{d}(P)=\dim C_2=\dim(\operatorname{Ker} \partial_2)+ \dim(\operatorname{Im} \partial_2)=\beta_2(P, \mathbb{Z}_2)+ \dim(\operatorname{Im} \partial_2)$. Рёбра и $2$-компоненты полиэдра $P$ обозначим через $\gamma_1,\dots,\gamma_{2\mathtt{v}(P)}$ и $\alpha_1,\dots,\alpha_{\mathtt{d}(P)}$ соответственно. Из определения специального полиэдра следует, что $\partial_2(\alpha_1+\cdots+\alpha_{\mathtt{d}(P)})= \gamma_1+\cdots+\gamma_{2\mathtt{v}(P)}$. Поэтому $\dim(\operatorname{Im} \partial_2) \geqslant 1$, что влечёт утверждение (i).
Так как полиэдр $P$ связен, то $\chi(P)=1-\beta_1(P, \mathbb{Z}_2)+ \beta_2(P, \mathbb{Z}_2)=\mathtt{d}(P)-\mathtt{v}(P)$, что влечёт утверждение (ii). Лемма доказана. Доказательство теоремы 1. Пусть $P$ – специальный полиэдр, двойственный минимальной идеальной триангуляции многообразия $M$ (см. [4]). Тогда $c_{\Delta}(M)=\mathtt{v}(P)$. Поскольку $\partial M \ne \varnothing$, полиэдр $P$ гомотопически эквивалентен многообразию $M$, в частности, $\beta_1(P, \mathbb{Z}_2)=\beta_1(M, \mathbb{Z}_2)$. Тогда лемма влечёт $c_{\Delta}(M) \geqslant \beta_1(M, \mathbb{Z}_2)$. Теорема доказана.
В [5] показано, что число рёбер в любой идеальной триангуляции компактного $3$-многообразия $M$ с краем оценивается снизу числом $|\partial M|$ компонент связности края $\partial M$. Это влечёт следующую нижнюю оценку на сложность. Теорема 2. Пусть $M$ – связное компактное $3$-многообразие с краем. Тогда выполнено неравенство $c_{\Delta}(M) \geqslant |\partial M|-\chi(M)$. Доказательство. Пусть $P$ – специальный полиэдр, двойственный минимальной идеальной триангуляции $\mathcal{T}$ многообразия $M$. Тогда $\chi(M)=\chi(P)$, $c_{\Delta}(M)=\mathtt{v}(P)$ и $\mathtt{d}(P)$ равняется числу рёбер триангуляции $\mathcal{T}$. Из [5; лемма 2.1] имеем $\mathtt{d}(P) \geqslant |\partial M|$. Отсюда следует, что $c_{\Delta}(M)=\mathtt{d}(P)-\chi(P) \geqslant |\partial M|-\chi(M)$. Теорема доказана.
Оказалось, что нижняя оценка, данная в теореме 1, сильнее оценки из теоремы 2. Теорема 3. Пусть $M$ – компактное $3$-многообразие с краем. Тогда выполнено неравенство $\beta_1(M, \mathbb{Z}_2) \geqslant |\partial M|-\chi(M)$. Доказательство. Рассмотрим длинную точную последовательность относительных гомологий с коэффициентами в поле $\mathbb{Z}_2$. Из точности последовательности имеем: $\beta_0(\partial M; \mathbb{Z}_2)=\dim(\operatorname{Im} \psi)+ \dim(\operatorname{Im} \varphi) \leqslant \beta_0(M; \mathbb{Z}_2)+ \beta_1(M, \partial M; \mathbb{Z}_2)$. Двойственность Лефшеца даёт изоморфизм $H_1(M, \partial M; \mathbb{Z}_2) \cong H^2(M; \mathbb{Z}_2)$. Поскольку группа $H_2(M; \mathbb{Z}_2)$ конечно порождена, векторные пространства $H_2(M; \mathbb{Z}_2)$ и $H^2(M; \mathbb{Z}_2)$ конечномерны и взаимно двойственны. В частности, они имеют одинаковую размерность, поэтому $\beta_1(M,\partial M;\mathbb{Z}_2)=\beta_2(M;\mathbb{Z}_2)$. Суммируя сказанное выше, получаем Теорема доказана.
В последующих работах мы опишем класс $\mathcal{M}_h$ связных компактных $3$-многообразий с краем, для которых достигается нижняя оценка из теоремы 1. Мы покажем, что класс $\mathcal{M}_h$ бесконечен и все многообразия в нём, за исключением шести многообразий малой сложности, являются гиперболическими с вполне геодезическим краем.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NigFom23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|