| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения О взаимодействии ударных волн в двумерных изобарических средах Ю. Г. Рыков Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10145e 
Реферативные базы данных:
     В заметке рассматриваются возможные виды взаимодействия сильных особенностей в двумерной среде при отсутствии собственного перепада давления. Непосредственная модель таких сред представляет собой уравнения газовой динамики, в которых формально давление $P$ положено равным нулю. Полученная система уравнений является квазилинейной системой с неполным набором собственных чисел и векторов. Поэтому ее обобщенные решения следует понимать в смысле мер Радона [1], а соответствующие ударные волны представляют собой эволюционирующие сильные особенности, содержащие $\delta$-функцию плотности $\varrho$ на многообразиях разной размерности. Рассматриваемая система уравнений моделирует процессы концентрации материи и используется при описании ряда явлений в дисперсных и многофазных средах (см., например, [2]), в астрофизических приложениях, связанных с крупномасштабной структурой Вселенной (см., например, обзор [3]). Также имеют место параллели с формализмом квантовой механики (уравнение Шрёдингера), возникшие при рассмотрении самогравитирующих сред (см., например, [4], [5]). Отметим, что в приложениях возникают неклассические ударные волны и другого типа, которые удовлетворяют условиям эволюционности, отличающимся от известных условий Лакса (см., например, [6]). Пусть $\mathbf{x}\equiv(x,y)$, $(t,\mathbf{x})\in\mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}^{2}$, $\mathbf{\nabla}=(\partial/\partial x,\partial/\partial y)$, тогда двумерная система уравнений газовой динамики без давления может быть записана следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\varrho}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\cdot \varrho\mathbf{u}=0,\qquad \frac{\partial(\varrho\mathbf{u})}{\partial t}+\mathbf{\nabla}\cdot (\varrho\mathbf{u}\otimes\mathbf{u})=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\varrho\geqslant 0$ – плотность среды, $\mathbf{u}\equiv (u,v)$ – вектор скорости и $\otimes$ обозначает тензорное произведение. Пусть также заданы начальные данные Коши $\varrho(0,\mathbf{x})=\varrho_0(\mathbf{x})\in L^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, $\mathbf{u}(0,\mathbf{x})=\mathbf{u}_{0}(\mathbf{x})\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})$. Для обобщенных решений системы (1) характерно возникновение таких кривых в пространстве $\mathbf{x}$ или, эквивалентно, поверхностей в пространстве $(t,\mathbf{x})$, на которых возникает концентрация массы и импульса с плотностями $M(t,l)$, $\mathbf{I}(t,l)$. Пусть указанные поверхности задаются параметрически как $\mathbf{X}\equiv\bigl(\chi(t,l),\gamma(t,l)\bigr)$, тогда для обобщенных решений (1) выполнены соотношения Ренкина–Гюгонио (см. [7], [8]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial M}{\partial t}&=\frac{\partial\chi}{\partial l} \{V[\varrho]-[\varrho v]\}-\frac{\partial\gamma}{\partial l} \{U[\varrho]-[\varrho u]\}, \\ \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial t}&=\frac{\partial\chi}{\partial l} \{V[\varrho\mathbf{u}]-[\varrho v\mathbf{u}]\}- \frac{\partial\gamma}{\partial l}\{U[\varrho\mathbf{u}]- [\varrho u\mathbf{u}]\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\mathbf{I}=M\mathbf{U}$, $\mathbf{U}\equiv(U,V)\equiv (\partial\chi/\partial t,\partial\gamma/\partial t)$ и $[f]\equiv f(t,\mathbf{X}+0)-f(t,\mathbf{X}-0)$.
В [7] также показано, что, вообще говоря, при столкновении ударные волны (2) образуют ударную волну того же типа, но с возросшей плотностью. Однако оказывается, что существуют взаимодействия и другого типа. Теорема 1. Существуют такие начальные данные $\varrho_{0}$, $\mathbf{u}_{0}$, что в обобщенном решении системы (1) есть две ударные волны типа (2), которые при взаимодействии порождают в мерах массы и импульса $\delta$-функцию в точке в пространстве $\mathbf{x}$. Утверждение теоремы 1 означает, что в задаче Коши для (1) возможно образование эволюционирующей иерархии ударных волн на многообразиях разной размерности; в отношении модифицированного соотношения Ренкина–Гюгонио в этом случае см. [9]. Такая иерархия будет иметь гораздо более богатую структуру при переходе к многомерному случаю. Также теорема 1 реализует абстрактную конструкцию в [10] и позволяет дать следующую вариационную трактовку обобщенного решения в терминах лагранжева отображения ${\mathcal L}_{t}\colon\mathbf{a}\to\mathbf{x}$, где $\mathbf{a}\equiv (a,b)$ – координаты на начальной (лагранжевой) плоскости, в случае взаимодействия, приводящего к возникновению $\delta$-функции в точке. Зафиксируем $t>0$. Пусть $A_{1}$ – множество некоторых взаимонепересекающихся областей в $\mathbb{R}^{2}$, а $A_{2}$ – множество областей, полученное следующим образом. Рассмотрим набор взаимонепересекающихся областей $G_{\alpha}\subset \mathbb{R}^{2}\setminus A_{1}$ вида $G_{\alpha}=\{\mathbf{a}_{\alpha}(s,l), s\in [s_{\alpha}^{1},s_{\alpha}^{2}],\,l\in[l_{\alpha}^{1},l_{\alpha}^{2}]\}$. Тогда для каждого $\alpha$ в $A_{2}$ включаются все области, описываемые параметризацией $\mathbf{a}_{\alpha}$, но с условием, что $l\in[l^{1},l^{2}]\subset[l_{\alpha}^{1},l_{\alpha}^{2}]$ и $0<|l^{1}-l^{2}|\leqslant|l_{\alpha}^{1}-l_{\alpha}^{2}|$. Пусть также $A_{3}$ – множество всех областей, лежащих в $\mathbb{R}^{2}\setminus(A_{1}\cup A_{2})$, и $B=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}$. Обозначим
$$
\begin{equation}
\mathbf{F}(t,\mathbf{x};G)=\iint_{G}\biggl[\mathbf{u}_{0}(\mathbf{a})- \frac{\mathbf{x}-\mathbf{a}}{t}\biggr] \varrho_{0}(\mathbf{a})\,d\mathbf{a},\qquad G\in B.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Производной $\mathbf{F}$ по области, содержащей точку $\mathbf{a}$, назовем величину
$$
\begin{equation}
\frac{\delta\mathbf{F}}{\delta\mathbf{a}}=\lim_{|G|\downarrow\min} \frac{\mathbf{F}(t,\mathbf{x};G)}{|G|}\,,\qquad \mathbf{a}\in G\in B
\end{equation}
\tag{4}
$$
(запись $|G|\downarrow\min$ означает, что площадь $G$ стремится к минимуму при условии $G\in B$).
Здесь заметим, что, вообще говоря, в (3) вместо меры $\varrho_{0}\,d\mathbf{a}$ может быть использована произвольная неотрицательная мера Радона $M_{0}(d\mathbf{a})$. Однако в этом случае формула (4) требует дополнительной аккуратности. Теорема 2. Пусть существует обобщенное решение системы (1). Рассмотрим произвольное $t>0$, тогда для любого $\mathbf{a}\in\mathbb{R}^{2}$, за исключением множества лебеговской меры нуль, существует такое $\mathbf{x}$, что $\delta\mathbf{F}(t,\mathbf{x};G)/\delta\mathbf{a}=0$. Теорема 2 описывает свойства лагранжева отображения ${\mathcal L}_{t}$ и является реализацией более абстрактной формы вариационного принципа в [11]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ryk23} |
|
||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|