| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения О сходимости рациональных аппроксимаций Эрмита–Паде С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10144e 
Реферативные базы данных:
    1.Пусть функция $f$ задана степенным рядом в бесконечно удаленной точке $z=\infty$: Если известны $N$ первых коэффициентов $c_0,\dots,c_{N-1}$ ряда (1), то на их основе можно определить несколько конструктивных аппроксимаций исходной функции $f$ (см. [10]; “конструктивность” понимается здесь в том смысле, как это сформулировано в [2; § 2]). Естественно поставить вопрос об оптимальности таких аппроксимаций. В дальнейшем предполагается, что $N=2n+1=3m+1=4\ell+1$, где $n,m,\ell\in\mathbb{N}$. Это условие не связано с существом дела, а носит чисто технический характер (см. (2)–(4)).Наиболее известные, востребованные и исследованные конструктивные аппроксимации степенного ряда – это аппроксимации Паде (АП) $[n/n]_f=P_n/Q_n$, где полиномы $P_n,Q_n\not\equiv0$, $\deg{P_n},\deg{Q_n}\leqslant n$, определяются из соотношения Сходимость АП в классе многозначных аналитических функций с конечным числом особых точек вытекает из теории Шталя 1985–1986 гг. [7]. Вместе с тем существуют и другие способы конструктивной аппроксимации степенного ряда (1) по заданному набору из $N$ его первых коэффициентов, которые не так известны, как АП. Здесь мы обсудим рациональные аппроксимации, построенные по полиномам Эрмита–Паде 2-го типа для систем $f$, $f^2$ и $f$, $f^2$, $f^3$. Оказывается, с точки зрения оптимального использования $N$ коэффициентов ряда (1) рациональные аппроксимации Эрмита–Паде имеют определенные преимущества перед АП (см. (10), а также [4], [3]). Сходимость таких аппроксимаций исследована пока только для частных случаев (см. [1], [6], [5], [4]). В работе [3] представлены некоторые численные результаты, связанные с уравнением Ван дер Поля. Эти результаты показывают, что использование полиномов Эрмита–Паде для систем $f$, $f^2$ и $f$, $f^2$, $f^3$ существенно расширяет возможности численного анализа свойств функции $f$ на основе коэффициентов ряда (1). В частности, таким образом можно распознать квадратичные точки ветвления функции, заданной рядом (см. [9]). Цель настоящей работы – представить теоретические результаты, показывающие, что рациональные аппроксимации Эрмита–Паде оказываются более оптимальными, чем АП.Для системы $f$, $f^2$ определим полиномы Эрмита–Паде $P^{(2)}_{2m,0}\not\equiv 0$, $P^{(2)}_{2m,1}$, $P^{(2)}_{2m,2}$, $\deg{P^{(2)}_{2m,j}}\leqslant 2m$, из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} (P^{(2)}_{2m,0}f-P^{(2)}_{2m,1})(z)&=O(z^{-m-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(2)}_{2m,0}f^2-P^{(2)}_{2m,2})(z)&=O(z^{-m-1}),&\qquad z&\to\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Аналогично для системы $f$, $f^2$, $f^3$ определим полиномы Эрмита–Паде $P^{(3)}_{3\ell,0}\not\equiv0$, $P^{(3)}_{3\ell,1}$, $P^{(3)}_{3\ell,2}$, $P^{(3)}_{3\ell,3}$, $\deg{P^{(3)}_{3\ell,j}}\leqslant 3\ell$, из соотношений
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} (P^{(3)}_{3\ell,0}f-P^{(3)}_{3\ell,1})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(3)}_{3\ell,0}f^2-P^{(3)}_{3\ell,2})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty, \\ (P^{(3)}_{3\ell,0}f^3-P^{(3)}_{3\ell,3})(z)&=O(z^{-\ell-1}),&\qquad z&\to\infty. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4}
$$
2.Пусть функция $f\in\mathcal{H}(\infty)$ задана явным представлением: $f(z):=[(A-1/{\varphi(z)})\times(B-1/{\varphi(z)})]^{-1/2}$, $z\notin E:=[-1,1]$, где $1<A<B$, $\varphi(z)=z+(z^2-1)^{1/2}$ и выбрана такая ветвь функции $(\,\cdot\,)^{1/2}$, что $\varphi(z)\sim 2z$ при $z\to\infty$. Класс таких функций обозначим через $\mathcal Z(E)$. Функция $f$ – алгебраическая функция 4-го порядка с четырьмя точками ветвления $\pm1$, $a$, $b$, где $a=(A+1/A)/2$, $b=(B+1/B)/2$, $1<a<b$. Все точки ветвления $f$ – 2-го порядка. В [8] показано, что $f$, $f^2$, $f^3$ – система Никишина:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f(z)=(AB)^{-1/2}+\widehat{\sigma}(z),\qquad f^2(z)=(AB)^{-1}+(AB)^{-1/2}\,\widehat{\sigma}(z)+\widehat{s}_1(z), \\ f^3(z)=(AB)^{-3/2}+(AB)^{-1}\,\widehat{\sigma}(z)+(AB)^{-1/2}\,\widehat{s}_1(z)+ \widehat{s}_2(z), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\operatorname{supp}\sigma=\operatorname{supp}{s}_1= \operatorname{supp}{s}_2=E$, $\operatorname{supp}{\sigma}_2=F:=[a,b]$, $s_1:=\langle\sigma,\sigma_2\rangle$, $s_2:=\langle\sigma,\sigma_2,\sigma\rangle$. Обозначим через $M_1(F)$ класс всех единичных (борелевских) мер с носителем на $F$. Пусть $g_E(t,z)$ – функция Грина для области $D:=\widehat{\mathbb{C}}\setminus{E}$ с особенностью в точке $t=z$, и пусть $V^\mu(z)$ – логарифмический, а $G^\mu_E(z)$ – гринов потенциалы меры $\mu\in M_1(F)$:
$$
\begin{equation}
V^\mu(z):=\int\log\frac{1}{|t-z|}\,d\mu(t),\quad G^\mu_E(z):=\int g_E(t,z)\,d\mu(t),\qquad z\in\widehat{\mathbb{C}}\setminus{F}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Для любого $\theta\in(0,\infty)$ существует [6] единственная мера $\lambda=\lambda(\theta)\in M_1(F)$ такая, что выполняется условие равновесия $\theta V^\lambda(x)+G^\lambda_E(x)+ \theta g_E(x,\infty)\equiv\operatorname{const}$, $x\in F$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть $f\in\mathcal Z(E)$. Тогда при $N\to\infty$ равномерно внутри $D$ Из теоремы Шталя вытекает, что
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to\infty}|f(z)-[n/n]_f(z)|^{1/N}=\exp\{-g_E(z,\infty)\}=:\delta_1(z).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Можно показать, что $G^{\lambda(1)}_E(z)>2G^{\lambda(3)}_E(z)/3$, $z\in D$. Из (9), (7) и (8) получаем, что
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|