| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Об одном свойстве дискретных моделей волнового кинетического уравнения А. В. Бобылевab a Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук b Российский университет дружбы народов им. П. Лумумбы
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10142e 
Реферативные базы данных:
     Волновое кинетическое уравнение (ВКУ) связано с теорией слабой турбулентности для нелинейного уравнения Шрёдингера (см., например, [1], [2] и ссылки в этих работах). Это уравнение, отвлекаясь от его физического смысла, удобно рассматривать как частный случай кинетического уравнения типа Больцмана для функции распределения (плотности вероятности в $\mathbb{R}^d $) $f(v,t)$, где переменные $v \in \mathbb{R}^d $, $d \geqslant 2$, и $t \in \mathbb{R}_+$ интерпретируются для наглядности как скорость частиц и время. В общем случае уравнение типа Больцмана для $f(v,t)$ имеет следующий вид [3] (аргумент $t$ функции $f(v,t)$ опущен):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{df}{dt}&=\int_{\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d} dv_2\, dv_3\, dv_4\, \delta[v+v_2-v_3-v_4]\, \delta[|v|^2+|v_2|^2-|v_3|^2-|v_4|^2] \\ &\qquad\times F(f_1,f_2; f_3,f_4),\qquad f_1=f(v),\quad f_i=f(v_i),\ \ i=2,3,4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Обычно предполагается, что $F(x_1,x_2;x_3,x_4)=F(x_2,x_1;x_3,x_4)=-F(x_3,x_4;x_1,x_2)$. Случай $F=F_{\rm B}$ соответствует классическому уравнению Больцмана, а случай $F=F_{\rm w}$ – ВКУ, где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_{\rm B}(x_1,x_2;x_3,x_4)&=x_3 x_4-x_1 x_2, \\ F_{\rm w}(x_1,x_2 ; x_3,x_4)&=x_3 x_4(x_1+x_2)-x_1 x_2(x_3+x_4). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Если в (1) положить $F=F_{\rm B}$, то получим обычное уравнение Больцмана для твердых шаров в случае $d=3$, для псевдомаксвелловских молекул в случае $d=2$ (см. [3]). Поэтому естественно попытаться применить к (1) для $F=F_{\rm w}$ известные методы классической кинетической теории. В частности, по аналогии с дискретными моделями уравнения Больцмана, которым посвящена большая литература (см., например, [4], [5] и ссылки в этих работах), можно ввести дискретные модели уравнения (1) для функции $F_{\rm w}$. Для этого сначала определим некоторое конечное множество “скоростей” $V \subset \mathbb{R}^d$ и заменим функцию $f(v,t)$ на вектор $f(t) \in \mathbb{R}^n$:
$$
\begin{equation}
V=\{v_1,\dots,v_n\},\quad f(t)=\{f_1(t),\dots,f_n(t)\},\qquad n \geqslant 4.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь неявно предполагается, что $f_i(t)$ аппроксимирует при $n \to \infty$ функцию $f(v,t)$ в точке $v=v_i \in \mathbb{R}^d$, $i=1,\dots,n$. Уравнение (1) заменяется системой $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\frac{df_i}{dt}=\sum_{j,k,l=1}^{n}\Gamma_{ij}^{kl} F_{\rm w}(f_i,f_j;f_k,f_l),\qquad \Gamma_{ij}^{kl}=\Gamma_{ji}^{kl}=\Gamma_{kl}^{ij},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где (при фиксированном $V$) постоянные $\Gamma^{kl}_{ij} \geqslant 0$ зависят только от $|v_i-v_j|=|v_k-v_l|$ при всех натуральных $1 \leqslant i,j,k,l \leqslant n$. Строгое неравенство $\Gamma^{kl}_{ij} > 0$ возможно, только если $v_i+v_j=v_k+v_l$, $|v_i|^2+|v_j|^2=|v_k|^2+|v_l|^2$. Для того чтобы дискретная модель (3), (4) обладала основными свойствами исходного уравнения (1), требуются некоторые ограничения на множество $V$ и коэффициенты уравнения (4).
Определение. Модель (3), (4) называется нормальной, если множество $V$ удовлетворяет следующим требованиям: (a) все его $n$ элементов $v_i \in \mathbb{R}^d$ попарно различны и не лежат в подпространстве размерности $d' \leqslant d-1$ или на сфере в $\mathbb{R}^d$; (b) множество $V$ не содержит изолированных точек, т. е. для любого индекса $1 \leqslant i \leqslant n$ в (4) найдутся такие $1 \leqslant j,k,l \leqslant n$, что $\Gamma^{kl}_{ij} > 0$; (c) если функциональное уравнение $h(v_i)+h(v_j)=h(v_k)+h(v_l)$ выполняется одновременно для всех индексов $(i,j;k,l)$, для которых $\Gamma^{kl}_{ij}>0$, то существуют такие постоянные $\alpha,\gamma \in \mathbb{R}$, $\beta \in \mathbb{R}^d$, что $h(v)=\alpha+\beta \cdot v+\gamma|v|^2$. Методы построения нормальных моделей хорошо разработаны (см. статью [4] и ссылки в ней), поэтому ниже мы рассматриваем только такие модели. Легко показать, что для них $n \geqslant 6$. Перейдем к изложению основного результата работы. Рассмотрим задачу Коши для уравнений (4) с начальными условиями
$$
\begin{equation}
f\big|_{t=0}=f^{(0)}=\{f_1^{(0)},\dots,f_n^{(0)}\},\qquad f_i^{(0)} >0, \ \ i=1,\dots,n, \quad \sum_{i=1}^{n}f_i^{(0)}v_i=0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Последнее равенство несколько упрощает задачу, но не ограничивает общности.
Теорема. Пусть дискретная модель (3), (4) ВКУ (1), где $F=F_{\rm w}$, является нормальной. Пусть, кроме того, множество $V$ таково, что $v_1=0$ и если $v_i \in V$, то $(-v_i) \in V$ для всех $ i=1,\dots,n$. Тогда задача Коши для уравнений (4) с начальными данными, удовлетворяющими условиям (5), имеет единственное решение $f(t)=\{f_1(t),\dots,f_n(t)\}$ при всех $t >0$. При этом для всех $1 \leqslant i \leqslant n$ (i) $0< f^{(0)}_{i}\exp(-c\rho_{0}^{2}t) \leqslant f_i(t)<\rho_0$, $\rho_0 =\sum_{i=1}^{n} f^{(0)}_{i}$, где постоянная $c > 0$ не зависит от $f^{(0)}$; (ii) $\lim_{t \to \infty}f_i(t)=a(1+b|v_i|^2)^{-1}$, $a \sum_{i=1}^{n}(1+b |v_i|^2)^{-1}=\rho_0$, где число $b >-M^{-1}$, $M=\max\{|v_i|^2, \ 1 \leqslant i \leqslant n\}$, есть наибольший действительный корень уравнения Можно показать, что функция $T_0(b)$, определенная равенством (6), монотонно убывает на интервале $[-M^{-1},\infty)$ от своего максимального значения $T_0(-M^{-1})=M$ до нуля при $b \to \infty$. Поэтому корень $b(T_0)$, о котором говорится в п. (ii) теоремы, единственен. Доказательство теоремы основано на том факте, что уравнения (4), подобно уравнению Больцмана, обладают монотонно невозрастающим функционалом (функцией Ляпунова) [3]. Решения уравнений (4) для дискретных моделей ВКУ сходятся при $t \to \infty$ к равновесному решению, которое играет ту же роль, что распределение Максвелла для дискретных моделей уравнения Больцмана. В отличие от случая уравнения Больцмана, это свойство дискретных моделей не переносится на случай самого ВКУ (1) с $F=F_{\rm w}$ (2) из-за расходимости интегралов. Тем не менее это свойство может оказаться полезным для исследования асимптотики решений уравнения (1) с $F=F_{\rm w}$, поскольку это уравнение аппроксимируется дискретными моделями при $n \to \infty$ (доказательство из [6] легко распространяется на ВКУ при $d=3$). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bob23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|