| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Детерминантное центральное расширение и Д. В. Осипов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10138e 
Реферативные базы данных:
    В этой заметке класс детерминантного центрального расширения некоторого группового функтора, определенного над коммутативными $\mathbb{Q}$-алгебрами, вычислен в виде произведения $2$-коциклов, состоящих из символа Конту-Каррера, примененного к попарным $\cup$-произведениям $1$-коциклов. Это есть локальная теорема Римана–Роха в относительной размерности $1$ для обратимых пучков, записанная во второй группе когомологий групповых функторов. Под (коммутативным групповым или групповым) функтором $H$ будем подразумевать ковариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию (абелевых групп или групп) множеств. Пусть $H_{\mathbb{Q}}$ – ограничение функтора $H$ на коммутативные $\mathbb{Q}$-алгебры, $H^{\times n}$ – функтор, являющийся $n$-м прямым произведением функтора $H$. Групповые законы во всех группах мы записываем мультипликативно. Пусть $R$ – коммутативное кольцо, а $G$ и $F$ – групповой и коммутативный групповой функторы соответственно, определенные над коммутативными $R$-алгебрами, и функтор $G$ действует на функторе $F$ (т. е. $F$ есть $G$-модуль). Пусть $\operatorname{Hom}(G^{\times n},F)$ – абелева группа всех (без учета групповых структур) морфизмов функторов $G^{\times n} \to F$. Абелева группа $H^n(G,F)$ (см. [4; § 2.3.1]) есть $n$-я группа когомологий комплекса
$$
\begin{equation}
C^0 (G,F) \xrightarrow{\delta_0} C^{1}(G, F) \xrightarrow{\delta_1} \cdots \xrightarrow{\delta_{n-1}} C^{n}(G,F) \xrightarrow{\delta_n} \cdots,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $C^0(G,F)=F(R)$, $C^k(G,F)=\operatorname{Hom}(G^{\times k},F)$, если $k \geqslant 1$, и $\delta_{n}c(g_1,\dots,g_{n+1})= g_1 c(g_2,\dots,g_{n+1}) \prod_{i=1}^n c(g_1,\dots,g_i g_{i+1}, \dots,g_{n+1})^{(-1)^i}\cdot c(g_1,\dots,g_n)^{(-1)^{n+1}}$, $c \in C^n(G,F)$ и $g_j \in G(A)$, $1 \leqslant j \leqslant n+1$, для любой коммутативной $R$-алгебры $A$. Элемент из группы $\operatorname{Ker}\delta_n$ называется $n$-коциклом функтора $G$ с коэффициентами в функторе $F$.
Для любых $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в $G$-модулях $F_1$ и $F_2$ соответственно получаем $2$-коцикл $\lambda_1 \cup \lambda_2$ на функторе $G$ с коэффициентами в функторе $F_1 \otimes F_2$, так что $(\lambda_1 \cup \lambda_2)(g_1,g_2)=\lambda_1(g_1) \otimes g_1(\lambda_2(g_2))$, где для любой коммутативной $R$-алгебры $A$ имеем $(F_1 \otimes F_2)(A)=F_1(A) \otimes_{\mathbb{Z}} F_2(A)$ и $g_1$, $g_2$ – любые элементы из группы $G(A)$. Это индуцирует $\cup$-произведение между первыми группами когомологий. Любой морфизм $G$-модулей индуцирует гомоморфизм соответствующих групп когомологий функтора $G$. Фиксация коммутативной $R$-алгебры $A$ задает отображение из комплекса (1) в бар-комплекс для $G(A)$-модуля $F(A)$ и гомоморфизм $H^n(G,F) \to H^n(G(A),F(A))$, совместимый с $\cup$-произведениями. Далее $A$ – любое коммутативное кольцо. Центральным расширением групповых функторов называется короткая точная последовательность групповых функторов, становящаяся центральным расширением групп после ограничения на любое $A$. Центральные расширения функтора $G$ при помощи функтора $F$, которые допускают сечение из функтора $G$ (лишь как функторов), классифицируются с точностью до изоморфизма элементами группы $H^2(G,F)$, где $F$ – тривиальный $G$-модуль. Пусть ${\mathbb G}_m(A)=A^*$. Пусть $L{\mathbb G}_m $ – коммутативный групповой функтор такой, что $L {\mathbb G}_m (A)=A((t))^*$, где $A((t))=A[[t]][t^{-1}]$. Кольцо $A((t))$ есть топологическое кольцо со следующей базой окрестностей нуля: $U_l=t^l A[[t]]$, $l \in \mathbb{Z}$. Пусть ${{\mathcal Aut}^{\rm c, alg} ({\mathcal L})}$ – групповой функтор такой, что ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ есть группа всех $A$-автоморфизмов $A$-алгебры $A((t))$, являющихся гомеоморфизмами [4; § 2.1]. Любой элемент $\varphi \in {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}(A)$ однозначно определен элементом $\widetilde{\varphi}=\varphi(t)\in A((t))^*$ (это задает структуру функтора). Так как $L {\mathbb G}_m$ есть ${{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}$-модуль, можем определить групповой функтор $\mathcal{G}=L{\mathbb G}_m \rtimes{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})$. Отметим, что $L{\mathbb G}_m$ есть $\mathcal{G}$-модуль из-за естественного морфизма ${\mathcal{G} \to {{\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})}}$. Имеем естественное непрерывное действие группы ${\mathcal G}(A)$ на модуле $A((t))$ такое, что $(h,\varphi)(f)=h \cdot \varphi(f)$, где $f \in A((t))$, $h \in L{\mathbb G}_m(A)$, $\varphi \in {\mathcal Aut}^{\rm c,alg}({\mathcal L})(A)$. Для любых элементов $g_1,g_2\! \in {\mathcal G}(A)$ имеется число $l\! \in {\mathbb Z}$ такое, что ${t^{l} A[[t]] \subset g_i(A[[t]])}$ и $g_i(A[[t]]) / t^l A[[t]]$ – проективные $A$-модули конечного ранга для $i=1$ и $i=2$ (см. [4; § 3.2]). Получаем определение относительного детерминанта (который не зависит от выбора числа $l$ с точностью до канонического изоморфизма):
$$
\begin{equation*}
\det(g_1(A[[t]]) \mid g_2 (A[[t]]))= \operatorname{Hom}_A(\wedge^{\max}_A (g_1(A[[t]])/ t^l A[[t]]), \wedge^{\max}_A (g_2(A[[t]])/ t^l A[[t]])).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $g_1, g_2, g_3, g \in {\mathcal G}(A)$, тогда имеются канонические изоморфизмы $A$-модулей
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \det(g_1(A[[t]]) \mid g_2(A[[t]])) \otimes_A \det(g_2(A[[t]]) \mid g_3(A[[t]])) \xrightarrow{\sim} \det(g_1(A[[t]]) \mid g_3(A[[t]])), \\ g\colon \det(g_1(A[[t]]) \mid g_2(A[[t]])) \xrightarrow{\sim} \det(gg_1(A[[t]]) \mid gg_2(A[[t]])). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть группа $\widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть множество пар $(g,s)$, где $g \in {\mathcal G}(A)$ и элемент $s$ принадлежит $A$-модулю ${\det(g (A[[t]]) \mid A[[t]])}$ и порождает этот $A$-модуль. Групповой закон следующий: $(g_1,s_1)(g_2,s_2)=(g_1 g_2,g_1(s_2) \otimes s_1)$. Соответствие $A \mapsto \widetilde{{\mathcal G}}(A)$ есть групповой функтор, определяющий детерминантное центральное расширение функтора ${\mathcal G}$ при помощи функтора ${\mathbb G}_m$, где гомоморфизм $\widetilde{{\mathcal G}}(A) \twoheadrightarrow {\mathcal G}(A)$ есть $(g,s) \mapsto g$. Символ Конту-Каррера $\operatorname{CC}$ – морфизм групповых функторов ${L{\mathbb G}_m \otimes L{\mathbb G}_m \to {\mathbb G}_m}$, имеющий много интересных свойств (см. [1], [5; § 2]). В частности, морфизм $\operatorname{CC}$ есть морфизм ${\mathcal G}$-модулей, где функтор ${\mathcal G}$ действует диагонально на функторе $L{\mathbb G}_m \otimes L {\mathbb G}_m$ и тривиально на функторе ${\mathbb G}_m$ (см. [3]). Для любых двух $1$-коциклов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$ определим $2$-коцикл $\langle \lambda_1,\lambda_2 \rangle= \operatorname{CC} \mathrel{\circ} (\lambda_1 \cup \lambda_2)$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе ${\mathbb G }_m$, где $\circ$ обозначает композицию морфизмов функторов. Рассмотрим $1$-коциклы $\Lambda$ и $\Omega$ на функторе ${\mathcal G}$ с коэффициентами в функторе $L{\mathbb G}_m$, где $\Lambda((h,\varphi))=h$ и $\Omega((h,\varphi))={\widetilde{\varphi}}^{\,\prime}=d\varphi(t)/dt$ для $(h,\varphi) \in {\mathcal G}(A)$. Теорема. Детерминантное центральное расширение группового функтора ${\mathcal G}$ при помощи группового функтора ${\mathbb G}_m$ допускает естественное сечение ${\mathcal G} \to \widetilde{\mathcal G}$ как функторов и поэтому задает элемент $\mathcal D$ в группе $H^2({\mathcal G},{\mathbb G}_m)$. В группе $H^2({\mathcal G}_{\mathbb{Q}},{{\mathbb G}_m}_{\mathbb{Q}})$ имеем Формально равенство (2) выглядит как изоморфизм Делиня–Римана–Роха из [2]. Рассмотрим проективную кривую $C$ над полем $k$ и коммутативную $k$-алгебру $A$. Элементы из ${\mathcal G}(A)$ переклеивают схему $C_A=C \times_k A$ и пучок ${\mathcal O}_{C_A}$ вдоль проколотой формальной окрестности постоянного сечения (в гладкую точку). Слои детерминантного центрального расширения над элементами из ${\mathcal G}(A)$ канонически изоморфны разнице между детерминантами высших прямых образов переклеенных пучков и пучка ${\mathcal O}_{C_A}$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|