| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Производная категория пространства модулей параболических расслоений на А. В. Фонарёвab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10116e 
Реферативные базы данных:
     1. Модули расслоений на кривыхДля простоты все многообразия будут рассматриваться над полем комплексных чисел. Пусть $C$ – гладкая проективная кривая рода $g\geqslant 2$. В работе [1] было показано, что для общей $C$ ее ограниченная производная категория когерентных пучков, $D(C)$, вкладывается в производную категорию $D(M)$, где $M$ – многообразие модулей стабильных расслоений ранга $2$ на $C$ с фиксированным детерминантом нечетной степени. Данный результат был независимо получен в работе [2]. Общее утверждение, которое, по-видимому, было окончательно доказано в [3], состоит в том, что имеется полуортогональное разложение
$$
\begin{equation}
D(M) =\bigl\langle \mathcal{O}, \mathcal{O}(1), D(C), D(C)(1), \ldots, D(S^{g-2}C), D(S^{g-2}C)(1), D(S^{g-1}C) \bigr\rangle,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $S^iC$ обозначает $i$-ю симметрическую степень кривой. В работе [1] использовалось явное геометрическое описание многообразия $M$ для гиперэллиптической кривой. Пусть $C$ – гиперэллиптическая кривая рода $g$. Выберем однородные координаты на $\mathbb{P}^1$ так, чтобы точки ветвления гиперэллиптической проекции $p_i=(1:a_i)$, $i=1,\dots,2g+2$, не попали на бесконечность. С кривой $C$ ассоциирована связка квадрик, порожденная квадриками
$$
\begin{equation}
q_0=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_{d}x_{d}^2, \qquad q_\infty=-(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{d}^2),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $d=2g+2$, а $x_i$, $i=1,\dots,d$, – координаты в фиксированном $d$-мерном векторном пространстве $V$. Оказывается, что $M$ изоморфно многообразию $(g-1)$-мерных подпространств в $V$, изотропных относительно $q_0$ и $q_\infty$ (см. [4]).
2. Модули параболических расслоений на $\mathbb{P}^1$Естественно попробовать обобщить предыдущие результаты на случай пространства $V$ размерности $d=2g+1$, где $g>1$. Вновь рассмотрим связку квадрик (2), где $a_1,\dots,a_{2g+1}$ – различные числа. Оказывается, что многообразие подпространств размерности $g-1$ в $V$, изотропных относительно $q_0$ и $q_\infty$, изоморфно многообразию модулей $\mathcal{M}$ стабильных квазипараболических расслоений ранга $2$ и степени $0$ на $\mathbb{P}^1$ с весами $1/2$ в отмеченных точках $p_i=(1:a_i)$ (см. [5]). В то же время $\mathcal{M}$ изоморфно многообразию модулей расслоений ранга $2$ на $\mathbb{P}^1$ со стековой $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-структурой в точках $p_i$ (см. [6]); обозначим последний стек символом $\mathcal{C}$. Следующая гипотеза дает обобщение разложения (1). Гипотеза. Имеется полуортогональное разложение где $\widetilde{S^k\mathcal{C}}$ обозначает корневой стек, получающийся из $\mathbb{P}^k$ извлечением квадратного корня из объединения $2g+1$ гиперплоскости в общем положении. Из [7; теорема 4.9] следует, что в производной категории $D(\widetilde{S^k\mathcal{C}})$ имеется полный исключительный набор. В частности, то же должно быть верно для $D(\mathcal{M})$. 3. Вычисление ранга группы $K_0(\mathcal{M})$В качестве свидетельства в пользу справедливости гипотезы вычислим ранг группы Гротендика левой и правой частей (3). Согласно [7; теорема 4.9], в производной категории $\widetilde{S^k\mathcal{C}}$ имеется полуортогональное разложение, индексированное подмножествами $I\subseteq\{1,\dots,2g+1\}$, компоненты которого суть производные категории пересечения $\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\mathbb{P}^{k-|I|}$, где $H_i$ – соответствующая гиперплоскость. Получаем, что ранг группы Гротендика правой части (3) равен
$$
\begin{equation*}
l_g=\displaystyle\sum_{k=0}^{g-1}\displaystyle\sum_{t=0}^k(t+1) \begin{pmatrix} 2g+1 \\ k-t\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользуемся интерпретацией $\mathcal{M}$ как многообразия модулей параболических расслоений. В работе [8] была построена цепочка многообразий $\mathcal{M}_0, \mathcal{M}_1,\dots,\mathcal{M}_{g-1}$ таких, что $\mathcal{M}_0=\mathbb{P}^{2g-2}$, $\mathcal{M}_1$ есть раздутие $\mathcal{M}_0$ в $(2g+1)$-й точке, $\mathcal{M}_{g-1}\simeq\mathcal{M}$, а $\mathcal{M}_{i+1}$ получается из $\mathcal{M}_i$ антифлипом: в $\mathcal{M}_i$ нужно раздуть
$$
\begin{equation*}
n_i=\begin{pmatrix} 2g+1 \\ i+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2g+1 \\ i-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2g+1 \\ i-3 \end{pmatrix} + \cdots
\end{equation*}
\notag
$$
подмногообразий, изоморфных $\mathbb{P}^i$, после чего исключительные дивизоры стягиваются в $\mathcal{M}_{i+1}$ на подмногообразия, изоморфные $\mathbb{P}^{2g-3-i}$. Далее, $\operatorname{rk}K_0(\mathcal{M}_0)$ равен $2g-1$, в то время как из формулы раздутия имеем $\operatorname{rk} K_0(\mathcal{M}_{i+1})-\operatorname{rk} K_0(\mathcal{M}_i)=n_i(2g-3-2i)$. Таким образом можно вычислить $r_g=\operatorname{rk}\mathcal{M}=\operatorname{rk}\mathcal{M}_{g-1}$. Приводя коэффициенты при $ \begin{pmatrix} 2g+1 \\ i \end{pmatrix}$, получаем равенство $l_g=r_g$. Оказывается, обе величины можно выразить замкнутой формулой. Автор благодарен А. Г. Кузнецову и П. Белмансу за интересные беседы.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Fon23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|