| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях) Вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений А. Р. Алимовab, К. С. Рютинac, И. Г. Царьковac a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10113e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеВ геометрической теории приближения наиболее важными вопросами исследования приближающих множеств являются вопросы существования и единственности элементов наилучшего приближения, устойчивости операторов наилучших или почти наилучших приближений, солнечности или протосолнечности. Часто определяющими свойствами приближающих множеств оказываются наличие или отсутствие устойчивости аппроксимации. Последние напрямую связаны со структурными характеристиками приближающих множеств и тем самым зачастую влекут и другие аппроксимативные свойства. Одной из характеристик устойчивости аппроксимации является наличие непрерывной, равномерно непрерывной или даже гладкой $\varepsilon$-выборки (точные определения даются ниже в разделе 3). Поэтому важно установить, какие из структурных характеристик абстрактных приближающих множеств влекут наличие или отсутствие такой устойчивости. Эти исследования позволяют выявлять аппроксимативные свойства конкретных объектов приближения. В настоящей работе мы постараемся осветить вопросы устойчивости $\varepsilon$-выборок, а также показать и раскрыть их связь с другими аппроксимативными характеристиками классических объектов аппроксимации, среди которых мы рассматриваем, в частности, алгебраические дробно-рациональные функции, обобщенные дробно-рациональные функции, кусочно полиномиальные функции и т. п. (аппроксимативные свойства указанных классов функций рассматриваются, например, в монографиях [15], [46], [14], [38], [5]). Исследуемые задачи рассматриваются как в линейных нормированных пространствах, так и в пространствах с несимметричной нормой или полунормой. Работа организована следующим образом. В разделе 2 приводятся основные определения из теории пространств с несимметричным расстоянием и их обобщений. В разделе 3 даются общие теоремы о существовании непрерывных выборок из множества почти наилучших приближений. Также приводятся теоремы о существовании непрерывных выборок относительно стоимостных функционалов и их семейств. В разделе 4 приводятся результаты о существовании непрерывных выборок в нормированных и несимметрично нормированных пространствах. Приводятся примеры множеств, обладающих непрерывной $\varepsilon$-выборкой при всех $\varepsilon>0$: $n$-звенные ломаные, $n$-звенные $r$-полиномиальные функции и их обобщения, $k$-монотонные функции и обобщенные дробно-рациональные функции. Ряд классических вопросов обобщенного дробно-рационального приближения (существование, единственность, устойчивость и характеризация наилучшего приближения) освещается в разделе 5. Вопросы существования непрерывных выборок на множество обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $L^p$, $0<p<\infty$, рассматриваются в разделе 6. В разделе 7 приводятся результаты о равномерно непрерывных выборках в пространствах непрерывных функций на некоторые множества обобщенных рациональных функций. 2. Пространства с несимметричным расстоянием и их обобщенияНиже наряду с классическими нормированными и полунормированными пространствами мы будем рассматривать пространства с несимметричной нормой и несимметричной полунормой, пространства с несимметричной метрикой и полуметрикой, а также пространства $X$ с заданной на них стоимостной функцией $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$. По определению несимметричная норма $\| {\,\cdot\,} |$ на линейном вещественном пространстве $X$ удовлетворяет следующим аксиомам: 1) $\|\alpha x|=\alpha\|x|$ для всех $\alpha\geqslant 0$, $x\in X$; 2) $\|x+y|\leqslant \|x|+\|y|$ для всех $x,y\in X$; 3) $\|x|\geqslant 0$ для всех $x\in X$ и 3a) $\|x|= 0\Leftrightarrow x=0$. Класс несимметричных пространств, являющийся важным и полезным расширением класса линейных нормированных пространств, имеет многочисленные приложения в задачах теории аппроксимации, вариационного исчисления, теоретической информатики и математической экономики. Функционал $\| {\,\cdot\,} |$, удовлетворяющий аксиомам 1)–3), называется несимметричной полунормой. В последнее время теория несимметричных пространств и их приложений получила интенсивное развитие: в частности, вопросы, относящиеся к функциональному анализу и топологии, рассматриваются в [17], [18], [24], задачи оптимального размещения (location problems) с несимметричными нормами изучаются, например, в [25], [47], [43] (в задачах такого рода важную роль также играют чебышёвские центры и сети относительно несимметричных норм), задачи, связанные со статистическим методом главных компонент (одним из наиболее популярных методов компактного представления данных), исследуются в [56]. По поводу других приложений см. также [17]. В геометрической теории приближений несимметричные нормы возникают в ряде задач (см., например, [4], [6], [27], [29], [68]). Естественно возникают несимметричные расстояния и в теории приближений функций, являясь “мостиком” между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями. Обзор некоторых результатов, относящихся к общей теории несимметрично нормированных пространств и задаче характеризации элементов наилучшего приближения выпуклыми множествами в таких пространствах, приведен в [18], [17] и [1]. Определение 2.1. Функция $\rho\colon X\times X\to\mathbb{R}_+$ называется несиммметричной полуметрикой на множестве $X$, если: 1) $\rho(x,x)= 0$ для всех $x\in X$; 2) $\rho(x,z)\leqslant \rho(x,y)+ \rho(y,z)$ для всех $x,y,z\in X$. Пара $(X,\rho)$ называется несимметричным полуметрическим пространством. Функция называется полуметрикой симметризации.Пространство $(X,\rho)$ называется полным, если оно полно относительно полуметрики $\sigma$. Ниже аппроксимативно-геометрические характеристики множеств будут определяться также относительно общей стоимостной функции (частным случаем такой стоимостной функции $G({\,\cdot\,} , {\,\cdot\,})$ является несимметричная (полу)норма $\| {\,\cdot\,} |$ на линейном пространстве $X$).Определение 2.2. Пусть $(X,\rho)$ – полуметрическое пространство. Отображение $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ называется стоимостной функцией, если $G\geqslant 0$ и $G(x,x)=0$ для всех $x\in X$. Определение 2.3. Пусть $(X,\rho)$ – полуметрическое пространство, $A\subset X$, и пусть $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – непрерывная (относительно полуметрики $\rho$) стоимостная функция. Обозначим В частном случае $G(x,y)=\|x-y|$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x,r) & :=B_{\| {\,\cdot\,} |}(x,r) =\{y\in X\mid \|y-x|\leqslant r\}, \\ \mathring{B}(x,r) & := \mathring{B} _{\| {\,\cdot\,} |} (x,r)=\{y\in X\mid \|y-x|< r\}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$B(x,r)$ – замкнутый, а $\mathring{B}(x,r)$ – открытый шар в линейном полунормированном (или несимметричном полунормированном) пространстве $X =(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ (соответственно $X =(X,{\| {\,\cdot\,} |})$) с центром $x$ радиуса $r$. Замечание 2.1. Ниже индекс $G$ (а также $\| {\,\cdot\,} |$ или $\| {\,\cdot\,} \|$) будет использоваться для указания той стоимостной функции (или ее частного случая – несимметричной (полу)нормы $\| {\,\cdot\,} |$), относительно которой исследуются аппроксимативные и геометрические характеристики множеств. В дальнейшем индекс $G$ (или $\| {\,\cdot\,} |$) опускается, если из контекста ясно, какая функция $G$ (или несимметричная (полу)норма $\| {\,\cdot\,} |$) рассматривается. Далее мы в основном будем рассматривать симметричную и несимметричную нормы (полунормы) на пространстве $X$. Мы будем говорить, что исходная (полу)норма $\| {\,\cdot\,} \|$ и несимметричная норма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентны, если открытые шары $\mathring{B}_{\| {\,\cdot\,} |}(x,r)$ порождают ту же топологию, что и (полу)норма $\| {\,\cdot\,} \|$. Для подмножества $M$ несимметрично нормированного (полунормированного) пространства $X$ через $P_M$ и $P_M^\varepsilon$ мы обозначаем соответственно операторы метрической проекции и $\varepsilon$-метрической проекции точки $x\in X$ на множество $M$, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P_Mx & := \{y\in M\mid \|y-x|=\rho(x,M)\}, \\ P_M^\varepsilon x & := \{y\in M\mid \|y-x|\leqslant \rho(x,M)+\varepsilon\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\rho(y,M):=\inf_{z\in M}\|z-y|$ – расстояние от точки $y\in X$ до множества $M$. В полуметрическом пространстве $(X,\rho)$ расстояние от точки $y\in X$ до непустого подмножества $M\subset X$ определяется формулой $\rho(y,M):=\inf_{z\in M}\rho(y,z)$. Несложно видеть, что для всех $x,y\in X$: 1) $\rho(x,M)\leqslant \rho(y,M)+\rho(x,y)$; 2) $|\rho(x,M)- \rho(y,M)|\leqslant \max\{\rho(x,y),\rho(y,x)\}$. В настоящее время активно изучаются структурные и топологические свойства множеств почти наилучшего приближения (2.2), а также их приложения в вычислительной математике. В дополнение к работам, указанным выше, отметим [3], [7], [23], [34], [42], [62]–[67], [70]. 3. Определение непрерывной $\varepsilon$-выборки. Общие теоремы о непрерывных выборках. Теоремы о непрерывных выборках относительно стоимостных функционалов и их семействХорошо известно (С. Б. Стечкин, А. К. Клайн, X. Мэли и K. Вицгаль, Х. Вернер; см., например, [5; замечания 2.6 и 15.17]), что в $C[a,b]$ оператор метрической проекции на любое конечномерное чебышёвское подпространство размерности $\geqslant 2$ не является устойчивым (липшицевым), а на множество дробно-рациональных функций – разрывен [39]. В связи с этим естественно изучать устойчивость операторов почти наилучшего приближения ($\varepsilon$-выборок). В этом разделе изучаются множества, для которых при всех $\varepsilon>0$ существуют непрерывные $\varepsilon$-выборки (т. е. выборки из множества почти наилучших приближений), а также выборки из оператора метрической проекции ($0$-выборки). Для таких множеств будут изучены их структурные и аппроксимативные свойства. В частности, будет дана характеризация замкнутых подмножеств банаховых пространств (более общо – полных симметризуемых несимметрично полунормированных пространств), обладающих непрерывной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Будут также приведены результаты о существовании непрерывных $\varepsilon$-выборок в случае непрерывного изменения множеств (теорема 4.3) и норм пространства, в котором эти множества содержатся (теорема 3.2). Определение 3.1. Пусть $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – непрерывная стоимостная функция на полуметрическом пространстве $(X,\rho)$, и пусть $\varepsilon>0$, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если для всех $x\in X$ выполняется неравенство (соответственно $G(x, \varphi(x))\leqslant (1+\varepsilon)\rho_G(x,M))$, где $G$-расстояние $\rho_G(x,M)$ определено в (2.1).Частным случаем стоимостной функции $G(x,y)$ является несимметричная норма $\|x-y|$ (или $\|y-x|$). Для случая (полу)нормированных пространств определение 3.1 принимает следующий вид. Определение 3.2. Пусть $\varepsilon>0$, $M\subset X$. Отображение $\varphi\colon X\to M$ называется аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой, если для всех $x\in X$ выполняется неравенство Геометрически эти неравенства означают, что для всех $x\in X$. Понятие почти наилучшего приближения введено Д. Вулбертом. В связи с интересом к некорректным задачам и другим приложениям устойчивость операторов почти наилучшего приближения изучали В. И. Бердышев [12], [13], О. А. Лисковец, А. В. Маринов, В. А. Морозов, Р. Вегман и др. (см., например, [40], [50]). Различные результаты о множествах, допускающих устойчивую $\varepsilon$-выборку, и об устойчивости задач минимизации можно найти в работах [3], [32], [8]–[11], [36], [52], [53], [60], [69], [70]. Отдельно упомянем монографию Д. Реповша и П. В. Семенова [48], в которой дается обзор существующих результатов о непрерывных выборках из многозначных отображений. Отметим, что в случае, когда $M$ – множество классических дробно-рациональных функций $\mathscr{R}_{n,m}$ ($m\geqslant 1$) в $C[0,1]$ (см. формулу (5.2) ниже), метрическая проекция на $M$ разрывна, но при этом, согласно одному результату С. В. Конягина [32], для любого $\varepsilon>0$ на $M$ существует непрерывная $\varepsilon$-выборка. Еще один пример невыпуклого множества, обладающего непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$, дается единичной сферой произвольного бесконечномерного нормированного пространства. Отметим, что произвольное выпуклое множество обладает аддитивной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$, а если это множество еще и замкнуто, то на него существует и мультипликативная $\varepsilon$-выборка. Существование непрерывной $\varepsilon$-выборки на подпространство банахова пространства является непосредственным следствием классической теоремы Майкла о селекции (см., например, [5; 16.9]). Из результатов В. И. Бердышева, А. В. Маринова [40], П. А. Альбрехта следует существование липшицевых аддитивных $\varepsilon$-выборок на конечномерные подпространства с константой Липшица $\varepsilon^{-1}$. П. А. Альбрехт исследовал дифференцируемость $\varepsilon$-выборок на подпространства и получил оценки констант Липшица $\varepsilon$-выборок, имеющие правильный порядок по $\varepsilon$ (при $\varepsilon\to0$), в классических пространствах (см., например, [50]). Из упомянутых результатов следует, что существуют $\varepsilon$-выборки, более гладкие, чем оператор метрической проекции. И. Г. Царьков показал, что существуют ограниченное выпуклое замкнутое множество $M$ из пространства $C[0,1]$ и число $\varepsilon>0$ такие, что при любом $\delta >0$ не существует равномерно непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборки на $M$ в окрестности $\mathscr{O}_\delta (M)=\{x\mid \rho(x,M)\leqslant \delta \}$. Определение 3.3. Множество $A$ в полуметрическом пространстве $(X,\rho)$ называется бесконечно связным, если для всех $n\in\mathbb{N}$ и произвольного непрерывного отображения $\varphi\colon\operatorname{bd}B\to A$, где $B\subset\mathbb{R}^n$ – единичный шар, существует непрерывное продолжение $\widetilde{\varphi}\colon B\to A$ (здесь и ниже $\operatorname{bd} A$ – граница множества $A$). Если $\mathrm{Q}$ обозначает некоторое свойство (например, “связность”), мы будем говорить, что множество $M$ обладает свойством
К примеру, множество $M\subset X $ $\mathring{B}$-бесконечно связно, если его пересечение с любым открытым шаром бесконечно связно. Определение 3.4. Пусть $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – непрерывная стоимостная функция на полуметрическом пространстве $(X,\rho)$. Множество $M\subset X$ называется $ \mathring{B} _G$-бесконечно связным, если для всех $x\in X$ и $r\in\mathbb{R}_+$ множество $ \mathring{B} _G(x, r)\cap M$ бесконечно связно. Как и выше, индекс $G$ (или $\| {\,\cdot\,} |$) опускается, если из контекста ясно, какая стоимостная функция $G$ (или несимметричная (полу)норма $\| {\,\cdot\,} |$) рассматривается на $X$. Замечание 3.1. $\mathring{B}$-бесконечно связное множество может не быть $B$-бесконечно связным, т. е. его пересечение с некоторым замкнутым шаром может быть не бесконечно связным и даже несвязным (см. [57; теорема 5]). Также отметим, что множество обобщенных рациональных дробей в пространстве непрерывных функций $C(Q)$ $\mathring{B}$-бесконечно связно и даже $B$-бесконечно связно (см., например, теорему 5.2 ниже). Определение 3.5. Пусть $(X,\rho)$ – полуметрическое пространство. Отображение $\vartheta\colon X\to\overline{\mathbb{R}}$ полунепрерывно снизу на $X$, если для любой точки $x\in X$ и последовательности $(x_n)\subset X$ такой, что $\rho(x,x_n)\to0$ ($n\to\infty$); это эквивалентно условию Теорема 3.1 (см. [63]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ – линейное полунормированное пространство, $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – стоимостная функция, равномерно непрерывная на любом ограниченном множестве, и пусть $M \subset X$ $ \mathring{B} _G$-бесконечно связно. Тогда для любой полунепрерывной снизу функции $\psi\colon X\to {}\kern.01em\overline{\kern-.005em \mathbb{R}}{} $ такой, что $\rho_G(x,M)<\psi(x)$ ($x\in X$), существует отображение $\varphi\in C(X,M)$ такое, что Аналогично, для непустого открытого множества $D \subset X$ и полунепрерывной снизу функции $\psi\colon D\to {}\kern.01em\overline{\kern-.005em \mathbb{R}}{} $ такой, что $\rho_G(x,M)<\psi(x)$ ($x\in D$), существует отображение $\varphi\in C(D,M)$ такое, что $G(x,\varphi(x))<\psi(x)$ ($x\in D$). Определение 3.6. Пусть $(X,\rho)$ и $(Y,g)$ – полуметрические пространства, $G\in C(Y\times X\times X,\mathbb{R})$, $\mathscr{G}=\{G_y=G(y, {\,\cdot\,} , {\,\cdot\,})\}$ – семейство непрерывных стоимостных функций. Положим Отображение $F\colon Y\to 2^X$ называется $\mathscr{G}$-устойчивым [65], если выполнены следующие условия: 1) $F(y)\neq\varnothing$ для всех $y\in Y$; 2) функция $\pi(x,y)=\rho_{\mathscr{G}}(y,x,F(y))\colon X\times Y\to R$ непрерывна на $X\times Y$; 3) модуль $\mathscr{G}$-устойчивости где $E\subset Y\times X$ – произвольное ограниченное множество и $y_0\in Y$, стремится к нулю при $\delta\to0+$.В следующей теореме приводится результат о существовании непрерывной $\varepsilon$-выборки в случае, когда изменяется непрерывно как множество, так и норма пространства, в котором это множество содержится. Теорема 3.2 (см. [63]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} \|$) – полное линейное полунормированное пространство, $(Y,\| {\,\cdot\,} \|)$ – линейное полунормированное пространство, $G$ – равномерно непрерывная вещественная функция на любом ограниченном подмножестве из $Y\times X\times X$, $\mathscr{G}=\{G_y=G(y, {\,\cdot\,} , {\,\cdot\,})\}=\{\| {\,\cdot\,} - {\,\cdot\,} \|_y\}$, где $\{\| {\,\cdot\,} \|_y\}$ – семейство полунорм на $X$, эквивалентных исходной полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$; отображение $F\colon Y\to 2^X$ является $\mathscr{G}$-устойчивым и для всех $y\in Y$ множество $M_y=F(y)$ замкнуто и $ \mathring{B} _{G_y}$-бесконечно связно (т. е. $ \mathring{B} $-бесконечно связно относительно полунормы $\| {\,\cdot\,} \|_y$). Тогда существует отображение $f\in C(X\times Y\times(0,+\infty);X)$ такое, что $\varphi({\,\cdot\,})=f({\,\cdot\,} ,y,\varepsilon)$ является непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой на множество $M_y=F(y)$ в пространстве $X_y=(X,\| {\,\cdot\,} \|_y)$, т. е. Определение 3.7. Пусть $(X,\theta)$ – полуметрическое пространство. Говорят, что множество $M\subset X$ обладает $\mathrm{UV}^\ell$-свойством, если для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что для всех непрерывных отображений $f$ единичной сферы $S^{\ell-1}\subset \mathbb{R}^\ell$ в $\delta$-окрестность $M$ существует непрерывное продолжение $f_0\colon B^\ell\to O_{\varepsilon}(M)$ на единичный шар $B^\ell\subset \mathbb{R}^\ell$ (т. е. $f_0\big|_{S^{\ell-1}}\equiv f)$. Говорят, что множество $M$ обладает $\mathrm{UV}^\infty$-свойством, если оно обладает $\mathrm{UV}^\ell$-свойством для всех $\ell\in\mathbb{N}$. Ниже $\operatorname{AC}(M)$ – множество точек аппроксимативной компактности для $M$ (т. е. множество таких точек $x$, что из любой последовательности $(y_n)_{n\in\mathbb N} \subset M$, удовлетворяющей соотношению $\|x-y_n\|\to\rho(x,M)$, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из $M$). Теорема 3.3 (см. [67]). Пусть $M$ – $ \mathring{B} $-бесконечно связное подмножество банахова пространства $X$, и пусть $x\in\operatorname{AC}(M)$. Тогда множество $P_Mx$ обладает $\mathrm{UV}^\infty$-свойством, более того, $P_Mx$ является клеточноподобным компактом. Определение 3.8 (см. [67]). Подмножество $M$ линейного нормированного пространства $X$ называется устойчиво монотонно линейно связным, если существует непрерывное отображение $p\colon M\times M\times[0,1]\to M$ такое, что ${p(x,y,\,\cdot\,)}$ является монотонным путем, соединяющим точки $x,y\in M$. Замечание 3.2. Множество обобщенных рациональных дробей $\mathscr{R}_U$ (при выпуклом $U$; см. (5.3) ниже) в пространстве $C(Q)$ устойчиво монотонно линейно связно и, следовательно, обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$ (см. [8; теорема 2.3]). В [60] показано, что любое аппроксимативно компактное монотонно линейно связное множество обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой при всех $\varepsilon>0$ и, следовательно, $\mathring{B}$-бесконечно связно. Поэтому для любой точки $x\in X$ множество $P_Mx$ является $\mathring{B}$-бесконечно связным. В работе [62] доказано, что устойчиво монотонно линейно связное множество (и, следовательно, любое его пересечение с открытым или замкнутым шаром) является $\mathring{B}$-бесконечно связным и даже $\mathring{B}$-стягиваемым ($B$-стягиваемым) множеством. Отсюда в силу теоремы 4.4 (см. ниже) вытекает следующее утверждение. Следствие 3.1 (см. [64]). Пусть $X$ – банахово пространство, $M\subset X$ – устойчиво монотонно линейно связное множество (или $P$-компактное монотонно линейно связное множество) с непрерывной по Хаусдорфу метрической проекцией. Тогда множество $M$ обладает непрерывной выборкой из метрической проекции. Упомянем несколько результатов о структурных свойствах множеств в гильбертовых пространствах. Определение 3.9. Пусть $n\geqslant 2$. Множество $M\subset X$ называется $ \mathring{B} ^n$-бесконечно связным, если его пересечение с любым открытым шаром либо пусто, либо $ \mathring{B} ^{n-1}$-бесконечно связно. $\mathring{B}^1$-бесконечная связность определяется как $\mathring{B}$-бесконечная связность. Имеют место следующие результаты (см. [61]). Теорема 3.4. В гильбертовом пространстве класс всех $ \mathring{B} $-бесконечно связных множеств совпадает с классом всех $ \mathring{B} ^n$-бесконечно связных множеств. Теорема 3.5. В гильбертовом пространстве непустое пересечение $ \mathring{B} $-бесконечно связного множества с конечным числом открытых шаров $ \mathring{B} $-бесконечно связно. 4. Непрерывные выборки в нормированных и несимметрично нормированных пространствах4.1. Достаточные и необходимые условия существования непрерывных $0$-выборок и $\varepsilon$-выборокДалее мы рассмотрим структурные и аппроксимативные свойства множеств, при которых нам будет гарантирована возможность непрерывной выборки. В частности, будут получены достаточные условия на структуру ближайших точек, или на само множество, или на множество почти ближайших точек, при которых эта задача имеет положительное решение. Также будут получены характеризационные условия на множество, которое обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Из теоремы 5 работы [65] вытекает следующий результат. Теорема 4.1. Пусть $X =(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметрично нормированное пространство, $M\subset X$ $\mathring{B}$-бесконечно связно. Тогда для любой полунепрерывной снизу функции $\psi\colon X\to {}\kern.01em\overline{\kern-.005em \mathbb{R}}{} $ такой, что $\rho(x,M)<\psi(x)$ ($x\in X$), существует непрерывное (на прообразе рассматривается топология нормы симметризации, а в образе – топология исходного пространства) отображение $\varphi\colon X\to M$ такое, что $\|\varphi(x)- x|<\psi(x)$ ($x\in X$). Определение 4.1. Пусть $(Y,\rho)$ и $(X,\theta)$ – полуметрические пространства. Отображение $F\colon Y\to 2^X$ называется устойчивым, если для каждой точки $y_0\in Y$ и произвольного ограниченного множества $E\subset X$. В работе [63] доказана следующая теорема. Теорема 4.2. Пусть $(X,\|\cdot\|)$ – полное линейное полунормированное пространство, $(Y,\|\cdot\|)$ – линейное полунормированное пространство, отображение $F\colon Y\to 2^X$ устойчиво и для всех $y\in Y$ множество $M_y=F(y)$ замкнуто и $\mathring{B}$-бесконечно связно. Тогда существует отображение $f\in C(X\times Y\times(0,+\infty);X)$ такое, что $f(\cdot,y,\varepsilon)$ является непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для множества $M_y=F(y)$ в пространстве $(X,\|\cdot\|)$. Определение 4.2. Пусть $(X,\rho)$ и $(Y,\gamma)$ – полуметрические пространства, $M\subset X$, и пусть $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – непрерывная стоимостная функция. Отображение $F\colon Y\to 2^M$ назовем $G$-устойчивым, если выполнены следующие условия: 1) $F(y)\neq\varnothing$ для всех $y\in Y$; 2) функция непрерывна на $X\times Y$;3) модуль $G$-устойчивости где $E\subset X$ – произвольное ограниченное множество и $y_0\in Y$, стремится к нулю при $\delta\to0+$.Теорема 4.3 (см. [64]). Пусть ${(X,\| {\,\cdot\,} |)}$ – несимметрично полунормированное пространство, несимметричная полунорма на котором эквивалентна некоторой полунорме пространства $X$, относительно которой оно полно. Пусть отображение $F\colon X\to 2^X$ является $\| {\,\cdot\,} |$-устойчивым, и пусть для всех $y\in X$ множество $M_y=F(y)$ замкнуто и $\mathring{B}$-бесконечно связно (т. е. $\mathring{B}$-бесконечно связно относительно полунормы $\| {\,\cdot\,} |)$. Тогда существует отображение $f\in C(X\times X\times (0,+\infty);X)$ такое, что $\varphi(\,\cdot\,)=f(\,\cdot\,,y,\varepsilon)$ является непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для множества $M_y=F(y)$ в пространстве $X=(X,\| {\,\cdot\,} |)$, т. е. на $X$ выполнено неравенство Определение 4.3. Для непустых подмножеств $M,N\subset Y$ через обозначим одностороннее хаусдорфово расстояние между $M$ и $N$, а через – хаусдорфово расстояние. Напомним, что отображение $F\colon X\to 2^Y$ метрических пространств $X$ и $Y$ называется непрерывным (полунепрерывным сверху) по Хаусдорфу, если Теорема 4.4 (см. [64]). Пусть $X$ – банахово пространство и $M\subset X$ – $P$-$\mathring{B}$-бесконечно связное множество существования с непрерывной по Хаусдорфу метрической проекцией. Тогда это множество $P$-стягиваемо и обладает непрерывной выборкой из метрической проекции. Для множества $E\subset X$ его $\varepsilon$-окрестностью назовем множество Теорема 4.5 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметрично полунормированное пространство, на котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме пространства $X$, и пусть непустое множество $A\subset X$ $\mathring{B}$-бесконечно связно. Тогда множество $A$ обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$ и любая $r$-окрестность ($r>0$) этого множества $\mathring{B}$-бесконечно связна. Определение 4.4. Компакт $Y$ называется клеточноподобным, если существуют абсолютный окрестностный ретракт $Z$ и вложение $i\colon Y\to Z$ такое, что образ $i(Y)$ стягиваем в любой своей окрестности $U\subset Z$. Определение 4.5. Пусть $G\colon X\times X\to\mathbb{R}$ – стоимостная функция. Множество $M\subset X$ называется $B$-клеточноподобным (или $P$-клеточноподобным), если пересечение $M$ с любым замкнутым шаром либо пусто, либо клеточноподобно (соответственно если $P_Mx$ клеточноподобно для всех $x\in X$) относительно функции $G$. В случае стоимостной функции $G(x,y)=\|y-x|$ вместо $P_G$ и $B_G$ мы пишем соответственно $P_{\| {\,\cdot\,} |}$ и $B_{\| {\,\cdot\,} |}$ или просто $P$ и $B$, если (несимметричная) полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ ясна из контекста. Определение 4.6. Множество $A$ в полуметрическом пространстве $(Y,\nu)$ называется аппроксимативно бесконечно связным [3; § 7], если для всех $n\in\mathbb{N}$, единичного шара $B\subset\mathbb{R}^n$ и $\varepsilon>0$ произвольное непрерывное отображение $\varphi\colon\operatorname{bd}B\to A$ обладает $\varepsilon$-продолжением на $B$, т. е. существует непрерывное отображение $\varphi_\varepsilon\colon B\to A$, для которого $\|\varphi(x)-{\varphi}_\varepsilon(x)\|<\varepsilon$ ($x\in\operatorname{bd}B$). Теорема 4.6 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметричное линейное полунормированное пространство, в котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$, относительно которой пространство $(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ полно, и пусть $M\subset X$ есть $\mathring{B}$-аппроксимативно бесконечно связное замкнутое множество. Тогда $M$ $\mathring{B}$-бесконечно связно. Теорема 4.7 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметричное линейное полунормированное пространство, в котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$, относительно которой пространство $(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ полно, и пусть $M\subset X$ есть $P$-клеточноподобное множество существования с полунепрерывной сверху по Хаусдорфу метрической проекцией. Тогда множество $M$ $\mathring{B}$-бесконечно связно и обладает $\| {\,\cdot\,} |$-непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Теорема 4.8 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметричное линейное полунормированное пространство, в котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$, относительно которой пространство $(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ полно; пусть, далее, $M\subset X$ замкнуто и обладает для любого $\varepsilon>0$ непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой. Тогда если $M\cap\mathring{B}(x_0,R)\neq\varnothing$, то множество $M\cap\mathring{B}(x_0,R)$ является ретрактом шара $\mathring{B}(x_0,R)$. Теорема 4.9 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметричное линейное полунормированное пространство, в котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$, относительно которой пространство $(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ полно, и пусть множество $M\subset X$ $\mathring{B}$-бесконечно связно и замкнуто. Тогда $M$ $\mathring{B}$-стягиваемо. Теорема 4.10 (см. [64]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – несимметрично полунормированное конечномерное пространство, в котором несимметричная полунорма $\| {\,\cdot\,} |$ эквивалентна некоторой полунорме $\| {\,\cdot\,} \|$, и пусть $M\subset X$ – множество существования с $\| {\,\cdot\,} |$-полунепрерывной снизу метрической проекцией. Тогда множество $M$ $B$-клеточноподобно. Определение 4.7. Несимметрично полунормированное пространство $X=(X,\| {\,\cdot\,} |)$ называется симметризуемым, если найдется число $K\geqslant 1$ такое, что где $\|x\|:=\max\{\|x|,\|{-}x|\}$. Теорема 4.11 (характеризация множеств, обладающих непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$; см. [65]). Пусть $(X,\| {\,\cdot\,} |)$ – полное симметризуемое линейное несимметричное полунормированное пространство, и пусть множество $M\subset X$ непусто и замкнуто. Тогда следующие условия равносильны: a) для любых $x\in X$ и $\delta>0$ множество $\mathring{P}^\delta_Mx$ является ретрактом шара; b) для любых $x\in X$ и $\delta>0$ множество $\mathring{P}^\delta_Mx$ стягиваемо по себе в точку; c) $M$ – $\mathring{B}$-бесконечно связно; d) для любого $\varepsilon>0$ существует непрерывная (аддитивная мультипликативная) $\varepsilon$-выборка для $M$; e) для любой полунепрерывной снизу функции $\psi\colon X\to (0,+\infty)$ такой, что $\psi(x)>\rho(x,M)$, $x\in X$, существует такое отображение $\varphi\in C(X,M)$, что $\|\varphi(x)-x\|<\psi(x)$ для всех $x\in X$; f) для любой полунепрерывной снизу функции $\theta\colon X\to (1,+\infty)$ существует такое отображение $\varphi\in C(X,M)$, что $\|\varphi(x)-x\|\leqslant\theta(x)\rho(x,M)$ для всех $x\in X$. Пример 4.1. В пространстве всех непрерывных функций на компакте $Q$ рассмотрим несимметричную норму Нам потребуется следующее числовое неравенство:
$$
\begin{equation*}
\frac{b}{d} \leqslant \frac{a+b}{c+d} \leqslant\frac{a}{c},
\end{equation*}
\notag
$$
где мы предполагаем, что $c,d>0$ и $b/d\leqslant a/c$. Из этого неравенства, в частности, вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\frac{b}{d} \leqslant \frac{\lambda a+(1-\lambda)b}{\lambda c+(1-\lambda)d} \leqslant \frac{a }{c }
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\lambda\in[0,1]$ при прежних остальных условиях. Отсюда для любого $w\in\mathbb{R}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\lambda a+(1-\lambda)b}{\lambda c+(1-\lambda)d}-w\biggr| \leqslant \max\biggl\{\biggl|\frac{b}{d}-w\biggr|, \biggl|\frac{a}{c}-w\biggr|\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданных выпуклых множеств $U,V\subset C(Q,\mathbb{R})$ рассмотрим множество обобщенных рациональных дробей
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_{U,V} =\biggl\{\frac{p(x)}{q(x)}\biggm| p\in U,\ q\in V,\ q>0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенного выше числового неравенства следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{(1-\lambda)p_0(x)+\lambda p(x)}{(1-\lambda)q_0(x)+\lambda q(x)} \in\biggl[\frac{p_0(x)}{q_0(x)},\frac{p(x)}{q(x)}\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $p_0(x)/q_0(x),p(x)/q(x)\in\mathscr{R}_{U,V}$ и $\lambda\in[0,1]$ (здесь левый конец отрезка не обязательно меньше правого). Отсюда вытекает, что для любых обобщенных дробей $p_0(x)/q_0(x)$, $p(x)/q(x)$, принадлежащих множествам $\mathscr{R}_{U,V}\cap B(g,R)$ или $\mathscr{R}_{U,V}\cap \mathring{B}(g,R)$, дробь
$$
\begin{equation*}
\frac{(1-\lambda)p_0(x)+\lambda p(x)}{(1-\lambda)q_0(x)+\lambda q(x)}, \qquad\lambda\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
также принадлежит соответственно этим множествам. Следовательно, множество $\mathscr{R}_{U,V}$ и $B$-стягиваемо, и $\mathring{B}$-стягиваемо в пространстве $C_{\psi_+,\psi_-}(Q)$. Поэтому в силу теоремы 3.1 множество $\mathscr{R}_{U,V}$ обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Аналогично можно рассмотреть множество (здесь $U$ – произвольное выпуклое подмножество из $C(Q)$). Множество $\mathscr{P}_U$ является частным случаем множества обобщенных дробей $\mathscr{R}_{U,V}$, а именно,
$$
\begin{equation*}
\mathscr{P}_U=\mathscr{R}_{U,V}, \quad\text{где}\ \ V=\biggl\{\frac{1}{q}\in C_{\psi_+,\psi_-}(Q)\biggm| q>0\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(так как $p(x)q(x)=p(x)/(1/q(x))$). Отсюда вытекает, что в несимметричном пространстве $C_{\psi_+,\psi_-}(Q)$ множество $\mathscr{P}_U$ и $B$-стягиваемо, и $\mathring{B}$-стягиваемо, а следовательно, $\mathring{B}$-бесконечно связно. Поэтому множество $\mathscr{P}_U$ обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$ (по поводу дальнейших деталей см. [8] и раздел 5 ниже). Следующий результат непосредственно вытекает из теорем 4.11 и 3.5. Теорема 4.12. Пусть замкнутое подмножество $M$ гильбертова пространства обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Тогда любое непустое пересечение множества $M$ с любым конечным числом открытых шаров обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Замыкание такого пересечения обладает непрерывной мультипликативной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. 4.2. Примеры множеств, обладающих непрерывной $\varepsilon$-выборкой при всех $\varepsilon>0$Результаты этого пункта получены И. Г. Царьковым [66]. Определение 4.8. Пусть $n\in\mathbb{N}$, и пусть $K>0$, $a<b$. Через $S(n,K)=S(n,K,[a,b])$ обозначим множество всех $n$-звенных $K$-липшицевых ломаных, т. е. функций $s\in C[a,b]$, для которых найдется разбиение $T=\{t_i\}_{i=0}^{k}$, $1\leqslant k\leqslant n$, отрезка $[a,b]$ такое, что $s\big|_{\Delta_j}=A_jt+B_j$, где $\Delta_j=[t_{j-1},t_j]$ – невырожденные отрезки разбиения, $A_j,B_j\in\mathbb{R}$ и $|A_j|\leqslant K$, $j=1,\dots,k$. Пусть $k(\tau)$, $0\leqslant \tau\leqslant 1$, – непрерывная кривая в линейном нормированном пространстве $X$. Кривая $k({\,\cdot\,})$ называется монотонной, если $f(k(\tau))$ является монотонной функцией по $\tau$ для любого $f\in\operatorname{ext}S^*$ (здесь и далее $\operatorname{ext}S^*$ – множество крайних точек единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства). Определение 4.9. Множество $M\subset X$ называют монотонно линейно связным, если любые две точки из $M$ можно соединить непрерывной монотонной кривой (дугой) $k({\,\cdot\,})\subset M$. Отметим, что монотонно линейно связное множество всегда $B$-связно (т. е. его пересечение с любым замкнутым – а следовательно, и с любым открытым – шаром связно). По поводу дальнейших деталей см. [5; § 7.7]). Теорема 4.13 (И. Г. Царьков [66]). Множество всех $n$-звенных ломаных $S_n=\bigcup\limits_{m=1}^\infty S(n,m)$ монотонно линейно связно в пространстве $C[a,b]$. Отсюда, пользуясь свойством совпадения класса всех замкнутых множеств, обладающих локальными $\varepsilon$-выборками для всех $\varepsilon>0$, c классом всех замкнутых множеств, обладающих глобальными $\varepsilon$-выборками для всех $\varepsilon>0$, можно вывести существование непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборки на $S_n$ в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Ранее другим способом этот результат был получен Е. Д. Лившицем (см. [37]). В [60] показано, что каждое аппроксимативно компактное монотонно линейно связное множество обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой при всех $\varepsilon>0$. Отсюда вытекает следующее утверждение. Теорема 4.14. Множество $S(n,K)$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Замечание 4.1. Множества $S(n,K)$ и $S_n$ монотонно линейно связны в пространстве $L^\infty[a,b]$, $a<b$, относительно множества $\mathscr{E}=\{\delta_t\}_t\subset (L^\infty[a,b])^*$, где $\delta_t$ – дельта-функция на $L^\infty[a,b]$, равная существенному значению $f$ в точке $t$, если $t$ – точка Лебега функции $f$, и равная нулю в противном случае. Множество $\mathscr{E}$ является $1$-определяющим на $L^\infty[a,b]$ (см. [66; § 2]). Поэтому для множества $M= S_n\vee S(n,K)$ и для всех $\varepsilon>0$ найдется непрерывное отображение $g\colon L^\infty[a,b]\to M$ такое, что Пусть $F\colon [a,b]\to 2^\mathbb{R}$ – такое многозначное отображение, что $F(t)$ – промежуток в $\mathbb{R}$, $t\in[a,b]$. Рассмотрим множества
$$
\begin{equation*}
S^F(n,K) =\{s\in S(n,K)\mid s(t)\in F(t)\ \forall\, t\in[a,b]\}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
S^F_n =\{s\in S_n\mid s(t)\in F(t)\ \forall\, t\in[a,b]\} =\bigcup_{m\in\mathbb{N}}S^F(n,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $S^F(n,K)$ – подмножество всех $K$-липшицевых функций из $S^F_n$, поэтому $S^F(n,K)$ ограниченно компактно, если $S^F_n$ замкнуто. Теорема 4.15. Если множество $S^F_n$ (или $S^F(n,K)$) замкнуто и непусто, то оно является монотонно линейно связным множеством в пространстве $C[a,b]$ и обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Доказательство. Монотонная линейная связность $S^F(n,K)$ вытекает из монотонной линейной связности множества $S(n,K)$; отсюда в силу равенства следует монотонная линейная связность множества $S^F_n$. В силу теоремы 3 из работы [60] ограниченная компактность $S^F(n,K)$ влечет существование непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборки в $C[a,b]$ на это множество для всех $\varepsilon>0$. Пусть $N\subset C[a,b]$ – произвольный компакт, и пусть для любого $\varepsilon>0$ найдется число $m\in\mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\rho(x,S^F(n,m))\leqslant \rho(x,S^F_n)+\frac\varepsilon2, \qquad x\in N.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует непрерывное отображение $g\colon N\to S^F(n,m)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|g(x)-x\| \leqslant \rho(x,S^F(n,m))+\frac \varepsilon2 \leqslant \rho(x,S^F_n)+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [60; предложение 1] отсюда ввиду произвольности выбора компакта $K$ и $\varepsilon>0$ вытекает существование на множестве $S^F_n$ непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборки в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Теорема доказана. Теперь рассмотрим вопрос о существовании непрерывных $\varepsilon$-выборок для множества $n$-звенных ломаных с локализованными узлами [66]. Рассмотрим набор из $n+1$ отрезка $\mathscr{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=0}^{n}$, где $a=a_0=b_0\leqslant a_1\leqslant b_1\leqslant\cdots\leqslant a_k\leqslant b_k\leqslant\cdots\leqslant a_n=b_n=b$. Через $S(\mathscr{T}_n)$ обозначим функции $s$, представляющие собой ломаные с узлами $\{t_k\}_{k=0}^{n}$ такие, что $t_k\in[a_k,b_k]$, $k= 0,\dots, n$. Положим
$$
\begin{equation*}
\kappa(\mathscr{T}_n):=\min_{k=0,\dots,n-1}\{a_{k+1}-b_k\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 4.10. Для ограниченного множества $\varnothing\neq M\subset X$ его оболочка Банаха–Мазура $\operatorname{m}(M)$ (также называемая покрытием или шаровой оболочкой) определяется как пересечение всех замкнутых шаров, содержащих $M$. Подмножество $M\subset X$ называют $\operatorname{m}$-связным (или связным по Менгеру [16]), если Теорема 4.16. Множество $S(\mathscr{T}_n)$ связно по Менгеру в $C[a,b]$; если же различные отрезки из набора $\mathscr{T}_n$ не пересекаются, то $S(\mathscr{T}_n)$ – ограниченно компактное монотонно линейно связное множество в $C[a,b]$. Доказательство. Пусть $s_1,s_2\in S(\mathscr{T}_n)$, и пусть – узлы ломаных $s_1$ и $s_2$ соответственно. Через обозначим соответственно наборы вершин этих ломаных. Последовательно по индукции построим вершины $\{x_k=(t_k,s(t_k))\}$ и, следовательно, саму ломаную $s\in \mathrm{m}(s_1,s_2)$, отличную от $s_1$ и $s_2$.
Пусть $\mathscr{A}\subset S^*$. Через $ [\![ x,y ]\!] _{\mathscr{A}}$ обозначим множество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \bigl\{z\in X\mid \min \{x^*(x),x^*(y)\}\leqslant x^*(z)\leqslant \max\{x^*(x),x^*(y)\} \ \forall\, x^*\in\mathscr{A}\bigr\} \\ & \qquad=\bigl\{z\in X\mid x^*(z)\in[x^*(x),x^*(y)] \ \forall\, x^*\in\mathscr{A}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В нашем случае $\mathrm{m}(x,y)= [\![ x,y ]\!] _{\mathscr{A}}$, где $\mathscr{A}=\{\delta(\cdot-t_0)\}_{t_0\in[a,b]}$ – семейство дельта-функций, образующих множество всех непрерывных экстремальных функционалов на $C[a,b]$.
В качестве $x_0$ возьмем точку $(x_0^1+x_0^2)/2$. Если $x_0^1 \neq x_0^2$, то перейдем к следующему индукционному шагу $k=1$. Если $x_0^1=x_0^2$, то найдется такое минимальное число $m\in\mathbb{N}$, что $x_m^1 \neq x_m^2$. Положим $x_i=x_i^1=x_i^2$ для $i=0,\dots,m-1$ и $x_m=(x_m^1+x_m^2)/2$ и перейдем к следующему индукционному шагу $k=m+1$ (если, конечно, $k<n$). Предположим, что построена вершина $x_{k}\in (x_k^1,x_k^2)$, $1\leqslant k<n$. Построим следующую вершину $x_{k+1}$. Если $x_{k+1}^1=x_{k+1}^2$, то положим $x_{i+1}=x_{i+1}^1$ для всех $i\geqslant k$. Тем самым мы определим все вершины ломаной $s$ и, следовательно, саму эту ломаную. Нетрудно убедиться, что $s$ – искомая ломаная. Пусть теперь $x_{k+1}^1\neq x_{k+1}^2$ и отрезки $[x_{k}^1,x_{k+1}^1]$ и $[x_{k}^2,x_{k+1}^2]$ не пересекаются. Рассмотрим случай, когда отрезок $[x_{k},x_{k+1}^1]$ ($[x_{k},x_{k+1}^2]$) пересекается с относительной внутренностью отрезка $[x_{k}^2,x_{k+1}^2]$ ($[x_{k}^1,x_{k+1}^1]$). Отметим, что в этом случае отрезок $[x_{k},x_{k+1}^1]$ ($[x_{k},x_{k+1}^2]$) не пересекается с относительной внутренностью отрезка $[x_{k}^1,x_{k+1}^1]$ ($[x_{k}^2,x_{k+1}^2]$), и положим $x_{i+1}=x_{i+1}^2$ ($x_{i+1}=x_{i+1}^2$) для всех $i\geqslant k $. Таким образом, $s\equiv s_2$ ($s\equiv s_1$) на отрезке $[t^1_{k+1},b]$ и $s$ – требуемая ломаная. В случае же, когда отрезок $[x_{k},x_{k+1}^1]$ не пересекается с относительной внутренностью отрезка $[x_{k}^2,x_{k+1}^2]$, положим $x_{i+1}=x_{i+1}^1$ для всех $i\geqslant k $. Таким образом, $s\equiv s_1$ на отрезке $[t^1_{k+1},b]$ и $s$ – требуемая ломаная. Далее, пусть $x_{k+1}^1\neq x_{k+1}^2$ и отрезки $[x_{k}^1,x_{k+1}^1]$ и $[x_{k}^2,x_{k+1}^2]$ пересекаются. Проведем через точку их пересечения и точку $x_k$ прямую $\ell_k$. Через $x_{k+1}$ обозначим точку пересечения прямой $\ell_k$ и отрезка $[x_{k+1}^1,x_{k+1}^2]$. Нетрудно видеть, что $x_{k+1}\in (x_{k+1}^1,x_{k+1}^2)$. После этого перейдем к шагу $k+1$ (если, конечно, $k+1<n$). Таким образом, мы либо на $n$-м шаге, либо ранее определим все вершины $X=\{x_k\}_{k=0}^n$ ломаной $s$, а следовательно, и саму ломаную, которая будет обладать требуемыми свойствами. Из произвольности выбора ломаных $s_1$ и $s_2$ вытекает связность по Менгеру множества $S(\mathscr{T}_n)$ в пространстве $C[a,b]$. Если различные отрезки из набора $\mathscr{T}_n$ не пересекаются, то $\kappa(\mathscr{T}_n)>0$ и, следовательно, все функции из ${S(\mathscr{T}_n)\cap [\![ s_1,s_2 ]\!] _{\mathscr{A}}}$ в пространстве $C[a,b]$ являются $\|s_1-s_2\|/\kappa(\mathscr{T}_n)$-липшицевыми. Поэтому множество ${S(\mathscr{T}_n)\mathrel{\cap} [\![ s_1,s_2 ]\!] _{\mathscr{A}}}$ компактно и, согласно сказанному выше, связно по Менгеру. Как следствие, это множество линейно связно, а значит, функции $s_1$ и $s_2$ можно соединить монотонным путем, лежащим в $S(\mathscr{T}_n)$. Таким образом, $S(\mathscr{T}_n)$ монотонно линейно связно. Ограниченная компактность вытекает из того, что все функции $s\in S(\mathscr{T}_n)$ такие, что $\|s\|\leqslant C$, являются $2C/\kappa(\mathscr{T}_n)$-липшицевыми. Теорема доказана. Пусть $F\colon [a,b]\to 2^\mathbb{R}$ – такое многозначное отображение, что $F(t)$ – промежуток в $\mathbb{R}$, $t\in[a,b]$. Рассмотрим множества
$$
\begin{equation*}
S^F(\mathscr{T}_n) =\{s\in S(\mathscr{T}_n)\mid s(t)\in F(t) \ \forall\, t\in[a,b]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.17. Множество $S^F(\mathscr{T}_n)$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Доказательство. Пусть $\mathscr{T}_n=\{[a_k,b_k]\}_{k=0}^{n}$. Для любого отрезка $[a_k,b_k]$ рассмотрим вложенную последовательность отрезков $\{[a_k^j,b_k^j]\}_{j\in\mathbb{N}}$, для которых $(a_k,b_k)=\bigcup\limits_{j\in\mathbb{N}}[a_k^j,b_k^j]$. Через $\mathscr{T}_{n,j}$ обозначим набор отрезков $\{[a_k^j,b_k^j]\}_{k=0}^{n}$. Отметим, что $\kappa(\mathscr{T}_{n,j})>0$. Кроме того, $\bigcup\limits_jS^F(\mathscr{T}_{n,j})$ всюду плотно в $S^F(\mathscr{T}_n)$.
В силу теоремы 3 из [60] из ограниченной компактности и монотонной линейной связности множества $S^F(\mathscr{T}_{n,j})$ вытекает существование непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборки на это множество для всех $\varepsilon>0$ в $C[a,b]$. Пусть $N\subset C[a,b]$ – произвольный компакт. Предположим, что для произвольного $\varepsilon>0$ найдется число $j\in\mathbb{N}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\rho(x,S^F(\mathscr{T}_{n,j})) \leqslant \rho(x,S^F(\mathscr{T}_{n,j}))+\frac\varepsilon2, \qquad x\in N.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдется непрерывное отображение $g\colon N\to S^F(\mathscr{T}_{n,j})\subset S^F(\mathscr{T}_n)$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|g(x)-x\| \leqslant \rho(x,S^F(\mathscr{T}_{n,j}))+\frac\varepsilon2 \leqslant \rho(x,S^F(\mathscr{T}_{n,j}))+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу [60; предложение 1] отсюда ввиду произвольности выбора компакта $K$ и $\varepsilon>0$ вытекает существование на замкнутом множестве $S^F_n$ непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборки в $C[a,b]$ для всех $\varepsilon>0$. Теорема доказана. Рассмотрим вопрос о существовании непрерывных $\varepsilon$-выборок для множества $n$-звенных $r$-полиномиальных функций и их обобщений в пространствах $W^r_p[a,b]$ (см. [66]). Через $S^r_n=S^r_n[a,b]$, $a<b$, обозначим множество всех $n$-звенных $r$-полиномиальных функций, являющихся $r$-первообразными $n$-звенных кусочно постоянных функций $s$ из $S^0_n=S^0_n[a,b]$, т. е. таких $s\colon [a,b]\to\mathbb{R}$, что существует разбиение $T=\{t_i\}_{i=0}^{n}$, где $a=t_0\leqslant t_1\leqslant\cdots\leqslant t_n=b$, для которого $s|_{(t_{i-1},t_i)}$ является постоянной. Под пространством $W^r_p=W^r_p[a,b]$, $1\leqslant p<\infty$, будем понимать класс всех функций $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$, у которых существует абсолютно непрерывная $(r-1)$-я производная $f^{(r-1)}$ и $f^{(r)}\in L^p=L^p[a,b]$. На этом пространстве мы будем рассматривать полунорму $\|f\|_{W^r_p}:=\|f^{(r)}\|_{L^p}$. По определению положим $W^0_p[a,b]=L^p[a,b]$. Теорема 4.18 (см. [66]). В полунормированном пространстве $W^r_p$ множество $S^r_n$ обладает непрерывной мультипликативной (аддитивной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Рассмотрим далее следующее обобщение кусочно полиномиальных функций. Пусть $\Phi$ – выпуклое замкнутое непустое подмножество пространства $L^p[0,1]$, $1\leqslant p<\infty$, и пусть $\varepsilon\in (0,1)$. Ниже будем предполагать, что множество $\Phi$ ограниченно компактно в $L^p[0,1]$. Через $\Phi_{[c,d]}$ обозначим сужение функций из $\Phi$ на отрезок $[c,d]\subset[0,1]$. Иногда для удобства будем считать, что $\Phi_{[c,d]}$ естественно вложено в $L^p[0,1]$, в этом случае всякую функцию из $\Phi_{[c,d]}$ продолжим нулем вне отрезка $[c,d]$. Так как $\Phi_{[c,d]}$ выпукло замкнуто и $\Phi$ ограниченно компактно, отображение $F\colon \mathbb{R}^2\to2^{L^p[0,1]}$, задаваемое формулой $F(c,d):=\Phi_{[\widehat{c},\widehat{d}]}$, где $[\widehat{c},\widehat{d}]=[c,d]\cap [0,1]$, устойчиво (см. определение 4.1). В силу теоремы 4.2 существует непрерывное отображение $\tau=\tau_{c,d}(\cdot)\colon L^p[0,1]\times\mathbb{R}^2\to\Phi_{[\widehat{c},\widehat{d}]}$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\|\tau(f)-f\|_{L^p[c,d]} \leqslant \biggl(1+\frac\varepsilon4\biggr)\rho(f,\Phi_{[c,d]})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех функций $f\in L^p[c,d]$. Здесь при применении теоремы 4.2 мы считаем, что $[c,d]\subset [0,1]$, и функции $\tau(f),f\in L^p[c,d]$ рассматриваются как функции из $L^p[0,1]$, совпадающие с $\tau(f)$ и $f$ соответственно на отрезке $[c,d]$ и равные нулю вне этого отрезка. Однако далее мы будем полагать, что $\tau(f)$ – элемент пространства $L^p[c,d]$. Через $S^\Phi_n=S^\Phi_n[0,1]$ обозначим множество всех $n$-звенных $\Phi$-функций, т. е. таких функций $s\colon [0,1]\to\mathbb{R}$, что существует разбиение
$$
\begin{equation*}
T=\{t_i\}_{i=0}^{n}, \qquad 0=t_0\leqslant t_1\leqslant\cdots\leqslant t_n=1,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого $s|_{(t_{i-1},t_i)}$ является некоторой функцией $\varphi\in\Phi_{[t_{i-1},t_i]}$. Через $S^{\Phi,r}_n=S^{\Phi,r}_n[0,1]$ обозначим $r$-первообразные функций из $S^{\Phi }_n$. Теорема 4.19. В полунормированном пространстве $W^r_p$ множество $S^{\Phi,r}_n$ обладает непрерывной мультипликативной (аддитивной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Замечание 4.2. Теорема 4.19 остается верной в случае, когда вместо ограниченной компактности множества $\Phi$ предполагается лишь его замкнутость. В [60] доказан следующий результат, на который опирается теорема 4.19. Предложение 4.1. Пусть $M$ – замкнутое подмножество полного симметризуемого линейного полунормированного несимметричного пространства такое, что для всех $\varepsilon>0$ и произвольного компакта $K\subset X$ существует непрерывное отображение $\psi\colon K\to O_\varepsilon(M)$ такое, что Тогда множество $M$ $\mathring{B}$-бесконечно связно и обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Перейдем теперь к вопросу о непрерывных $\varepsilon$-выборках для множества $k$-монотонных функций (см. [62]). Ниже дается положительный ответ на следующий вопрос Б. С. Кашина: обладает ли множество $k$-монотонных функций в пространстве $C[a,b]$ непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$? Для решения данной задачи нам потребуется решить аналогичную задачу для $k$-монотонных векторов в пространстве $\ell^\infty_n$ – пространстве всех $n$-мерных векторов $x=(x_1,\dots,x_n)$, $x_l\in\mathbb{R}$, $l=1,\dots,n$, c нормой
$$
\begin{equation*}
\|x\| =\|x\|_{\ell^\infty_n} =\max_{l=1,\dots,n}|x_l|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathscr{L}^k$ – множество всех $k$-монотонных векторов $x=(x_1,\dots,x_n)\in\ell^\infty_n$, т. е. таких, что существует набор номеров
$$
\begin{equation*}
1=n_0<n_1<n_2<\cdots<n_l<n_{l+1}=n, \qquad l\leqslant k,
\end{equation*}
\notag
$$
для которого
$$
\begin{equation*}
x_{n_i}\leqslant \cdots\leqslant x_{n_{i+1}} \quad\text{и}\quad x_{n_{i+1}}\geqslant\cdots\geqslant x_{n_{i+2}}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
x_{n_i}\geqslant\cdots\geqslant x_{n_{i+1}} \quad\text{и}\quad x_{n_{i+1}}\leqslant \cdots\leqslant x_{n_{i+2}}
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $i=0,\dots,l-1$. Номера $n_1,\dots,n_l$ будем называть моментами перемены монотонности элемента $x$, а число $l$ – количеством перемен знаков. Лемма 4.1 (см. [62]). Для двух различных векторов $x$ и $y$ в пространстве $\ell^\infty_n$ существует вектор $z\in\ell^\infty_n$, $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$, такой, что число перемен монотонности этого вектора не превосходит максимума перемен монотонности для $x$ и $y$. Доказательство. Пусть $m_0<n$ – максимальный номер, для которого Если такого номера нет, то положим $m_0=0$. Пусть $i$ – минимальный номер такой, что $n_i>m_0$ (здесь $n_i$ – момент перемены монотонности для элемента $x$; если же такого номера $i$ нет, то полагаем $n_i=m_0+1$). Без потери общности будем считать, что номер перемены монотонности для $y$, больший $m_0$, не меньше, чем $n_i$. Рассмотрим сначала случай, когда $m_0\geqslant 1$. Исследуем различные варианты монотонности для наборов чисел $\{x_{m_0},\dots,x_{n_i}\}$ и $\{y_{m_0},\dots,y_{n_i}\}$.
1) Рассмотрим случай одинаковой монотонности (возрастания):
$$
\begin{equation*}
x_{m_0}\leqslant \cdots\leqslant x_{n_i} \quad\text{и}\quad y_{m_0}\leqslant \cdots\leqslant y_{n_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим вектор $z\in\ell^\infty_n$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, z_1=x_1=y_1,\quad\dots,\quad z_{m_0}=x_{m_0}=y_{m_0}, \\ z_j=\frac{1}{2}(x_j+y_j)\quad \text{для всех}\ \ j=(m_0+1),\dots,n_i. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для всех $j>n_i$ полагаем $z_j=x_j$. Тогда число перемен монотонности вектора $z$ не больше, чем у вектора $x$. Кроме того, $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$ и, как нетрудно видеть, $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$.
2) Рассмотрим один из случаев разной монотонности:
$$
\begin{equation*}
x_{m_0}\leqslant \cdots\leqslant x_{n_i} \quad\text{и}\quad y_{m_0}\geqslant\cdots\geqslant y_{n_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае полагаем
$$
\begin{equation*}
z_1=x_1=y_1, \quad\dots,\quad z_{m_0}=x_{m_0}=y_{m_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению числа $m_0$ верны соотношения
$$
\begin{equation*}
y_{n_i} \leqslant\cdots \leqslant y_{m_0+2} \leqslant y_{m_0+1} \leqslant y_{m_0} =x_{m_0}\leqslant x_{m_0+1} \leqslant x_{m_0+2} \leqslant\cdots \leqslant x_{n_i} =:z_{n_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $y_{m_0+1}<x_{m_0+1}$. Если $x_{m_0}<x_{m_0+1}$, то полагаем
$$
\begin{equation*}
z_{m_0+1}=\frac{1}{2}(x_{m_0}+x_{m_0+1}), \qquad z_j= \begin{cases} x_{m_0+1}, & j=m_0+2,\dots,n_i,\\ x_j, & j>n_i. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае число перемен монотонности вектора $z$ не больше числа перемен монотонности вектора $x$. Если же $x_{m_0}=x_{m_0+1}$, то полагаем
$$
\begin{equation*}
z_{m_0+1}=\frac{1}{2}(y_{m_0}+y_{m_0+1}) =\frac{1}{2}(x_{m_0+1}+y_{m_0+1}) \quad\text{и}\quad z_j=y_j,\ \ j>m_0+1.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае число перемен монотонности вектора $z$ ограничено сверху числом перемен монотонности вектора $y$. По построению $z\neq x,y$ и $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$. Как следствие, $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$.
Случаи
Разберем теперь случай $m_0=0$. Исследуем различные варианты монотонности наборов чисел $\{x_{m_0},\dots,x_{n_i}\}$ и $\{y_{m_0},\dots,y_{n_i}\}$. I) Рассмотрим случай одинаковой монотонности (возрастания):
$$
\begin{equation*}
x_1\leqslant \cdots\leqslant x_{n_i} \quad\text{ и }\quad y_1\leqslant \cdots\leqslant y_{n_i}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим
$$
\begin{equation*}
z_j=\frac{1}{2}(x_j+y_j) \quad \text{для всех}\ \ j=1,\dots,n_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Для всех $j>n_i$ полагаем $z_j=x_j$. Тогда число перемен монотонности вектора $z$ не больше, чем у вектора $x$. Кроме того, $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$ и, как нетрудно видеть, $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$.
II) Пусть $x_1\leqslant \cdots\leqslant x_{n_i}$ и $y_1\geqslant\cdots\geqslant y_{n_i}$. Если $y_1<x_1$, то положим
$$
\begin{equation*}
z_1=\frac12(x_1+y_1) \quad\text{и}\quad z_j=x_j,\ \ j\geqslant 2.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае число перемен монотонности вектора $z$ не больше числа перемен монотонности вектора $x$ и $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$. Поэтому $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$.
Рассмотрим случай $y_1>x_1$. Пусть $m$ – наибольшее из чисел в диапазоне $1,\dots,n_i$ таких, что $x_1=\cdots=x_m$ и $y_1=\cdots=y_m$. Если $m=n_i$, то положим
$$
\begin{equation*}
z_j=\frac{1}{2}(x_j+y_j),\ \ j=1,\dots,n_i, \quad\text{и}\quad z_j=x_j,\ \ j>n_i.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$ и $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$. Если $m<n_i$, то или $y_m>y_{m+1}$, или $x_m<x_{m+1}$. В первом случае определим
$$
\begin{equation*}
z_j=\max\biggl\{y_{m+1},\frac{1}{2}(x_1+y_1)\biggr\}, \ \ \text{если}\ j\leqslant m+1, \quad\text{и}\quad z_j=y_j,\ \ \text{если}\ j>m+1.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$ и $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$. Во втором случае положим
$$
\begin{equation*}
z_j =\min\biggl\{x_{m+1},\frac{1}{2}(x_1+y_1)\biggr\}, \ \ \text{если}\ j\leqslant m+1, \quad\text{и}\quad z_j =x_j,\ \ \text{если}\ j>m+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $z_j\in[x_j,y_j]$ для всех $j$ и $z\in \mathrm{m}(x,y)\setminus\{x,y\}$.
Во всех рассмотренных выше случаях число перемен монотонности у вектора $z$ не больше, чем у векторов $x$ и $y$. Случаи
Сегмент $ [\![ x,y ]\!] $ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[\![ x,y ]\!] =\bigl\{z\in X \mid \min\{x^*(x),x^*(y)\}\leqslant x^*(z)\leqslant \max\{x^*(x),x^*(y)\} \ \forall\,x^*\in\operatorname{ext}S_{X^*}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 4.3. В конечномерных пространствах $X_n$ связность по Менгеру и монотонная линейная связность эквивалентны для замкнутых множеств (см., например, [5; § 7.7]); кроме того, эти множества обладают непрерывной $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$ (см., например, [3]). Также отметим, что в сепарабельном или рефлексивном пространстве $\operatorname{m}(x,y)= [\![ x,y ]\!] $ (см., например, [5; § 7.7.1]). Следствие 4.1. Множество всех $k$-монотонных векторов $\mathscr{L}^k$ связно по Менгеру и монотонно линейно связно в $\ell^\infty_n$. Доказательство. Связность по Менгеру (m-связность) вытекает из леммы 4.1, а в силу конечномерности пространства множество $\mathscr{L}^k$ монотонно линейно связно как замкнутое множество. Определение 4.11. Функцию $f\in C[a,b]$ назовем $k$-монотонной, если отрезок $[a,b]$ можно разбить на не более чем $k$ отрезков, на каждом из которых функция $f$ будет монотонной. Теорема 4.20. Множество $\mathscr{M}_k$ всех $k$-монотонных функций в пространстве $C[a,b]$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon>0$. Доказательство. Поскольку $\mathscr{M}_k$ замкнуто, достаточно доказать теорему для случая аддитивной выборки. Возьмем произвольный компакт $K\subset C[a,b]$, и пусть $N\subset K$ есть $(\varepsilon/6)$-сеть для $K$. Для любой функции $g\in N$ рассмотрим функцию Положим $F:=\{f_g\}_{g\in N}$. Пусть $T=T_M=\{t_j\}_{j=0}^{M-1}$ – такое разбиение отрезка $[a,b]$, что для всех функций $\psi\in F\cup N$ и для ломаной $\ell_\psi$ с вершинами $\{(t_j,\psi(t_j))\}_{j=0}^{M-1}$ верно неравенство Отметим, что $\ell_\psi\in\mathscr{M}_k$ для всех функций $\psi\in\mathscr{M}_k$.
Определим отображение $\Phi\colon C[a,b]\to\ell^\infty_M$, положив $\Phi(f)=\{f(t_j)\}_{j=0}^{M-1}$. Образ множества $\mathscr{M}_k$ при отображении $\Phi$ совпадает с $\mathscr{L}^k$ в $\ell^\infty_M$. При этом
$$
\begin{equation*}
\Phi(\ell_\psi)=\Phi(\psi) \quad\text{и}\quad \|\Phi(\psi_1)-\Phi(\psi_2)\|_{\ell^\infty_M} =\|\ell_{\psi_1}-\ell_{\psi_2}\|_{C[a,b]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим отображение $\widehat\Phi$ следующим образом: точке $x=(x_1,\dots,x_M)\in\ell^\infty_M$ поставим в соответствие ломаную с вершинами $\{(t_j,x_{j+1})\}_{j=0}^{M-1}$. Отметим, что $\widehat\Phi(\Phi(\psi))=\ell_\psi$ для всех функций $\psi\in C[a,b]$.
Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat N=\Phi(N),\qquad \widehat K=\Phi(K),\qquad \widehat F=\Phi(F).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой функции $\psi\in N$ имеем
$$
\begin{equation*}
\rho_{\ell^\infty_M}(\Phi(\psi),\mathscr{L}^k) \leqslant \rho_{\ell^\infty_M}(\Phi(\psi),\widehat{F}) =\rho_{C[a,b]}(\ell_\psi,F) \leqslant\rho_{C[a,b]}(\ell_\psi,\mathscr{M}_k)+\frac{\varepsilon}{6}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для любой функции $\psi\in K$ существует функция $\psi_0\in N$ такая, что $\|\psi-\psi_0\|\leqslant \varepsilon/6$. Как следствие,
$$
\begin{equation*}
\rho_{C[a,b]}(\psi,\mathscr{M}_k) \leqslant \rho_{C[a,b]}(\psi_0,\mathscr{M}_k)+\frac{\varepsilon}{6},
\end{equation*}
\notag
$$
что дает
$$
\begin{equation*}
\rho_{\ell^\infty_M}(\Phi(\psi),\mathscr{L}^k) \leqslant \rho_{C[a,b]}(\ell_{\psi_0},\mathscr{M}_k)+\frac{\varepsilon}{3}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\Psi$ – непрерывная $(\varepsilon/6)$-выборка на множество $\mathscr{L}^k$ в пространстве $\ell^\infty_M$ (ее существование вытекает из следствия 4.1 и замечания 4.3 перед ним). Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widehat\Phi(\Psi(u))-\widehat\Phi(u)\|_{C[a,b]} & =\|\Psi(u)-u\|_{\ell^\infty_M} \leqslant \rho_{\ell^\infty_M}(u,\mathscr{L}^k) +\frac{\varepsilon}{6} \\ & \leqslant \rho_{C[a,b]}(\widehat\Phi(u),\mathscr{M}_k) +\frac{\varepsilon}{2} \quad \text{для всех}\ \ u\in\widehat K. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что отображение $G=\widehat\Phi\circ\Psi\circ\Phi$ является непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой на компакте $K$. Действительно, для всех $\psi\in K$ имеем и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|G(\psi)-\psi\| & \leqslant \|G(\psi)-\ell_\psi\|+\frac{\varepsilon}{6} =\|\widehat\Phi(\Psi(\Phi(\psi)))-\widehat\Phi(\Phi(\ell_\psi))\| +\frac{\varepsilon}{6} \\ & =\|\widehat\Phi(\Psi(\Phi(\psi)))-\widehat\Phi(\Phi(\psi))\| +\frac{\varepsilon}{6} \leqslant \rho_{C[a,b]}(\widehat\Phi(\Phi(\psi)),\mathscr{M}_k) +\frac{4\varepsilon}{6} \\ & \leqslant \rho_{C[a,b]}(\psi,\mathscr{M}_k) +\|\widehat\Phi(\Phi(\psi))-\psi\|+\frac{4\varepsilon}{6} \leqslant \rho_{C[a,b]}(\psi,\mathscr{M}_k) +\frac{5\varepsilon}{6}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно предложению 4.1 множество $\mathscr{M}_k$ обладает непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой на пространстве $C[a,b]$. Теорема доказана. Отметим, что в связи с теоремой 4.20 оказывается интересным изучить вопрос существования непрерывной выборки из метрической проекции для множества всех $k$-монотонных функций в пространстве $C[a,b]$ в зависимости от $k$. Пусть $\mathscr{M}_{k,n}$ – множество всех непрерывных функций являющихся покоординатно $k$-монотонными функциями, т. е. $f_m\in\mathscr{M}_k$ для всех $m=1,\dots,n$.Теорема 4.21. Множество $\mathscr{M}_{k,n}\subset C([a,b],\ell^\infty_n)$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для всех $\varepsilon>0$. Доказательство. Доказательства для аддитивной и мультипликативной выборок аналогичны. Разберем случай аддитивной выборки.
Пусть $\varphi\colon C[a,b]\to\mathscr{M}_k$ – непрерывная $\varepsilon$-выборка, построенная в предыдущей теореме. Искомая $\varepsilon$-выборка $\Phi\colon C([a,b],\ell^\infty_n)\to\mathscr{M}_{k,n}$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\Phi(f) =(\varphi(f_1),\dots,\varphi(f_n)) \quad\text{для всех}\ \ f=(f_1,\dots,f_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \max_{x\in[a,b]}\|\Phi(f)(x)-f(x)\|_{\ell^\infty_n} =\max_{x\in[a,b]}\max_{m=1,\dots,n}|\varphi(f_m)(x)-f_m(x)| \\ &\qquad =\max_{m=1,\dots,n}\!\|\varphi(f_m)(x) \,{-}\,f_m(x)\|_{C[a,b]} \leqslant \max_{m=1,\dots,n} \{\rho_{C[a,b]}(f_m,\mathscr{M}_k)+\varepsilon\} \\ &\qquad =\max_{m=1,\dots,n} \Bigl\{\inf_{g_m\in\mathscr{M}_k}\|g_m-f_m\|_{C[a,b]}\Bigr\} +\varepsilon \\ &\qquad =\max_{m=1,\dots,n} \Bigl\{\inf_{g=(g_1,\dots,g_n)\in\mathscr{M}_{k,n}} \|g_m-f_m\|_{C[a,b]}\Bigr\}+\varepsilon \\ &\qquad \leqslant \inf_{g\in\mathscr{M}_{k,n}} \|g-f\|_{C([a,b],\ell^\infty_n)}+\varepsilon =\inf_{g\in\mathscr{M}_{k,n }} \|g-f\|_{C([a,b],\ell^\infty_n)}+\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема доказана. 5. Классические вопросы обобщенного дробно-рационального приближения: существование, единственность, устойчивость и характеризация наилучшего приближенияПод классическими вопросами дробно-рационального приближения мы понимаем вопросы существования, единственности, устойчивости наилучшего или почти наилучшего приближения, а также различные виды солнечности. Важность исследования вопросов существования и солнечности (характеризации элементов наилучшего приближения) обобщенных дробно-рациональных функций связана с их многочисленными приложениями в теории приближений и вычислительной математике (см., например, [28], [45], [14], [55]). Для подмножества $\varnothing \neq M\subset X$ точка $x\in X\setminus M$ называется точкой солнечности (см., например, [5; § 10.2], [3; § 2]), если существует точка $y\in P_Mx\neq \varnothing$ (называемая точкой светимости) такая, что
$$
\begin{equation}
y\in P_M((1-\lambda)y+\lambda x) \quad\text{для всех}\ \ \lambda\geqslant 0
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(это геометрически означает, что из точки $y$ исходит “солнечный” луч, проходящий через $x$, для каждой точки которого $y$ является ближайшей из множества $M$). Точка $x\in X\setminus M$ называется точкой строгой солнечности, если $P_Mx\neq\varnothing$ и условие (5.1) выполнено для любой точки $y\in P_Mx$ (т. е. все ближайшие точки являются точками светимости). Если же для $x\in X\setminus M$ условие (5.1) выполнено для любой точки $y\in P_Mx$, то точка $x$ называется точкой строгой протосолнечности (при этом, в отличие от точки строгой солнечности, ближайшая к $x$ точка $y$ не обязана существовать). Замкнутое множество $M\subset X$ называется солнцем, если каждая точка $x\in X\setminus M$ является точкой солнечности. Множество $M\subset X$ называется строгим протосолнцем, если каждая точка $x\in X\setminus M$ является точкой строгой протосолнечности. Чебышёвское множество (множество существования и единственности), являющееся солнцем, называется чебышёвским солнцем. Строгие протосолнца являются наиболее общими объектами, удовлетворяющими обобщенному критерию Колмогорова наилучшего приближения (см., например, [7]), а именно, точка, не лежащая в строгом протосолнце, может быть отделена от него опорным конусом с вершиной в (ближайшей) точке светимости (конечно, если такая точка существует). Как и в случае выпуклых множеств, такое свойство характеризует солнца (строгие (прото)солнца) [7; § 5]. По этой причине строгие протосолнца иногда называют множествами Колмогорова. Рассмотрим следующее классическое семейство дробно-рациональных функций в пространстве $C[a,b]$:
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}_{n,m} =\mathscr{R}_{n,m}[a,b] :=\biggl\{\frac{p}{q}\biggm| p\in\mathscr{P}_n,\ q\in\mathscr{P}_m,\ q\neq 0\biggr\},
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\mathscr{P}_n$ – подпространство алгебраических многочленов степени не выше $n$. Хорошо известно, что $\mathscr{R}_{n,m}$ – чебышёвское солнце в $C[a,b]$ (см., например, [8; § 2]). Однако в $L^p[a,b]$, $1\leqslant p<\infty$, Н. В. Ефимовым и С. Б. Стечкиным из общих теорем геометрической теории приближений было установлено, что $\mathscr{R}_{n,m}$, $m\geqslant 1$, является множеством существования, но не единственности. В случае $L^1[a,b]$ ими же было показано отсутствие единственности наилучшего приближения классом $\mathscr{R}_{0,2}$. И. Г. Царьков [69], используя общие теоремы геометрической теории приближений, доказал отсутствие единственности наилучшего приближения в $L^1[a,b]$ для всех классов дробей $\mathscr{R}_{n,m}$, $m\geqslant 1$. Мы также рассмотрим более общий класс рациональных функций:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}^V_W:=\biggl\{r=\frac{v}{w}\biggm| v\in V,\ w\in W\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $Q$ – метрический компакт, $V,W\subset C(Q)$ – выпуклые множества, причем $W$ состоит из положительных функций. Известно (см., например, [8]), что множество $\mathscr{R}^V_W$ является строгим протосолнцем в $C(Q)$. Изучим следующее обобщение классов $\mathscr{R}_{n,m}$ и $\mathscr{R}^V_W$. Пусть $V,W\subset C(Q)$, и пусть $U\subset V\times W$ – непустое выпуклое множество. Определим следующий класс обобщенных дробно-рациональных функций:
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}_U :=\{r\in C(Q)\mid rw=v,\ w\not\equiv 0,\ (v,w)\in U\}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Теорема 5.1 (см. [8]). Множество обобщенных дробно-рациональных функций $\mathscr{R}_U$ является строгим протосолнцем в $C(Q)$. Этот результат означает, что дроби наилучшего приближения классом $\mathscr{R}_U$ характеризуются в терминах критерия Колмогорова элемента наилучшего приближения, что, в свою очередь, позволяет строить алгоритмы нахождения наилучших дробей [14], [21], [22], [44], [55]. Задача об устойчивости элементов (почти) наилучшего приближения традиционно связана со свойствами аппроксимативной компактности множества или существования непрерывных $\varepsilon$-выборок. Хорошо известно, что в невырожденных случаях (т. е. при $m\geqslant 1$) метрическая проекция на (чебышёвское) множество $\mathscr{R}_{n,m}$ имеет точки разрыва в $C[a,b]$, но при этом, как, в частности, доказал С. В. Конягин, для любого $\varepsilon>0$ на $\mathscr{R}_{n,m}$ существует непрерывная $\varepsilon$-выборка (см. [32], а также раздел 3 выше). Следующий результат обобщает и расширяет результат С. В. Конягина (см. также [50]). Теорема 5.2 (см. [8]). Множество обобщенных рациональных дробей $\mathscr{R}_U$ (при выпуклом $U$; см. (5.3)) в $C(Q)$ является устойчиво монотонно линейно связным множеством, и, следовательно, на это множество существует непрерывная аддитивная $\varepsilon$-выборка для любого $\varepsilon>0$. В случае замкнутости $\mathscr{R}_{U}$ для любого $\varepsilon>0$ существует непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка на $\mathscr{R}_{U}$. Кроме того, $\mathscr{R}_{U}$ является $B$-стягиваемым $(\mathring{B}$-стягиваемым) множеством в $C(Q)$. Исследование вопросов существования наилучшего приближения обобщенными рациональными функциями было начато в работах Э. Чини, Х. Л. Лоеба, Г. Ш. Рубинштейна, Б. Бёма, Ч. Данхема и др. (см. [5; § 11.1]). В отличие от классического случая приближения классом $\mathscr{R}_{n,m}$ в $C[a,b]$, существование (и единственность) элементов обобщенного рационального приближения в пространстве непрерывных функций, вообще говоря, не имеет места. Определение 5.1. Пусть $Q$ – хаусдорфов компакт, и пусть $U\subset V\times W$, где $V,W\subset C(Q)$. Будем говорить, что множество Определение 5.2. Направленность $(x_\delta)$ называют $\Delta$-сходящейся к точке $x\in C(Q)$ (обозначение: $x_\delta \overset{\Delta}{\to}x$), если найдется плотное подмножество $Q_0\subset Q$ такое, что $x_\delta (t)\to x(t)$ при любом $t\in Q_0$ (см. [20]). Подмножество $M\subset C(Q)$ называют ограниченно $\Delta$-компактным, если любая ограниченная направленность из $M$ содержит поднаправленность, $\Delta$-сходящуюся к точке из $M$ (см. [20], [5; § 4.3]). Пусть далее $Q$ – компакт, $V,W\subset C(Q)$ – ограниченно компактные множества, и пусть $U\subset V\times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_U :=\{r\in C(Q)\mid rw=v,\ w\not\equiv 0,\ (v,w)\in U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.3 (см. [8]). Пусть множество $\mathscr{R}_U$ алгебраически полно и для любой ненулевой функции из $W$ дополнение ее множества нулей в $Q$ всюду плотно. Тогда $\mathscr{R}_U$ ограниченно $\Delta$-компактно в пространстве $C(Q)$ и, как следствие, является множеством существования в $C(Q)$. Утверждение теоремы 5.3 также имеет место в пространстве $L^\infty(Q,\mu)$, где $Q$ – единица $\sigma$-алгебры борелевских множеств, а $\mu$ – $\sigma$-аддитивная борелевская мера на $Q$. Пусть $D$ – компактная область в $\mathbb{R}^n$, $V,W\subset C(D)$ – непустые ограниченно компактные множества, состоящие из вещественно-аналитических функций, и пусть $U\subset V\times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_U(D) :=\{r\in C(D)\mid rw=v,\ w\not\equiv 0,\ (v,w)\in U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 5.1 (см. [8]). Если множество $\mathscr{R}_U(D)$ алгебраически полно, то оно ограниченно $\Delta$-компактно в пространстве $C(D)$. Как следствие, $\mathscr{R}_U(D)$ есть множество существования в пространстве $C(D)$ и множество $P_{\mathscr{R}_U}x$ $\Delta$-компактно для любого $x\in C(D)$. В качестве следствия теоремы 5.3 мы получаем один из результатов Ф. Дойча [20]: множество
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}^W_V :=\{r\in C[a,b] \mid rw=v,\ w\in W,\ w\not\equiv 0,\ v\in V\}
\end{equation*}
\notag
$$
является множеством существования в $C[a,b]$, где $V$, $W$ – конечномерные подпространства пространства $C[a,b]$, состоящие из аналитических функций. Случай, рассмотренный в следствии 5.1, включает в себя случай многомерных алгебраических дробно-рациональных функций $\mathscr{R}_U$, где множество $U=V\times W$ алгебраически полно. Из теоремы 5.3 мы также получаем следующий классический результат (в нем проксиминальность множества $\mathscr{R}_{n,m}$ доказана независимо Н. И. Ахиезером и Дж. Уолшем): множество дробно-рациональных функций $\mathscr{R}_{n,m}$ ограниченно $\Delta$-компактно в $C[a,b]$. В частности, $\mathscr{R}_{n,m}$ является множеством существования и множество $P_{\mathscr{R}_{n,m}}x$ $\Delta$-компактно для любого $x\in C[a,b]$. Рассмотрим вопрос существования наилучшего дробно-рационального приближения в $L^p$, $1\leqslant p<\infty$. Хорошо известно (см., например, [5; § 11.3]), что множество $\mathscr{R}_{n,m}$ аппроксимативно компактно в $L^p[a,b]$, $1\leqslant p<\infty$, и, следовательно, является множеством существования. Определение 5.3. Пусть $\Sigma$ – $\sigma$-алгебра на $\Omega $ и $\mu$ – $\sigma$-конечная мера на $\Sigma$. Будем говорить, что последовательность функций $x_n\colon\Omega\to\mathbb{R}$ aes-сходится1 к функции $x\colon\Omega\to\mathbb{R}$, если для любого множества $A\in\Sigma$, $\mu(A)<\infty$, найдется подпоследовательность номеров $(n_k)$ такая, что $(x_{n_k})$ сходится к $x$ почти всюду на $A$. Множество $M$ aes-компактно, если из любой последовательности $(x_n)\subset M$ можно выделить подпоследовательность, aes-сходящуюся к элементу $x\in M$. Множество $M$ ограниченно aes-компактно, если пересечение $M$ с любым замкнутым шаром aes-компактно. Пусть $\mu$ – $\sigma$-конечная мера на пространстве $\Omega$, $L^p=L^p(\Omega,\Sigma, \mu)$, $1\leqslant p<\infty$. Пусть $V\subset L^1$, $W\subset L^q$ – конечномерные подпространства ($1/p+1/q=1$, $1<p,q<\infty$; если $p=1$, то $q=\infty$), и пусть $U\subset V\times W$ – непустое множество. Определение 5.4. Будем говорить, что множество алгебраически полно, если условия эквивалентны тому, что $(v,w)\in U$. Теорема 5.4 (см. [8]). Предположим, что множество $\mathscr{R}_U(\Omega)$ алгебраически полно и для любой ненулевой функции из $W$ множество ее нулей в $\Omega$ имеет меру нуль. Тогда множество $\mathscr{R}_U(\Omega)$ ограниченно aes-компактно в $L^p(\Omega)$ при любом $1\leqslant p<\infty$ и аппроксимативно компактно. Как следствие, $\mathscr{R}_U(\Omega)$ – множество существования. Пусть $\mu$ – мера Лебега на $D$, где $D$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$, граница которой имеет нулевую меру Лебега. Далее рассмотрим пространства $L^p=L^p(D)=L^p(D,\mu)$, $1\leqslant p<\infty$, и конечномерные подпространства $V\subset L^1$, $W\subset L^q$, состоящие из вещественно-аналитических функций (где $1/p+1/q=1$, $1<p,q<\infty$; если $p=1$, то $q=\infty$). Пусть $U\subset V\times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций
$$
\begin{equation}
\mathscr{R}_U(D) :=\{r\in L^p(D)\mid rw=v,\ w\not\equiv 0,\ (v,w)\in U\}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Следствие 5.2 (см. [8]). Пусть множество $\mathscr{R}_U(D)$ алгебраически полно. Тогда $\mathscr{R}_U(D)$ ограниченно aes-компактно. Как следствие, $\mathscr{R}_U(D)$ аппроксимативно компактно и является множеством существования в $L^p(D)$ при любом $1\leqslant p<\infty$. Отметим, что если $D=[a,b]\subset \mathbb{R}$, то класс рациональных функций $\mathscr{R}_U(D)$, где $D=[a,b]$, совпадает с классом
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}^0_U[a,b] :=\{r\in C[a,b]\mid rw=v,\ w\not\equiv 0,\ (v,w)\in U\}.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом этого из следствия 5.2 вытекает следующий известный результат Ф. Дойча–Р. Э. Хаффа [20]: множество $\mathscr{R}^W_V[a,b]$ аппроксимативно компактно в $L^p[a,b]$ при любом $1\leqslant p<\infty$ и, как следствие, является множеством существования; здесь $V$, $W$ – конечномерные подпространства пространства $L^p[a,b]$, состоящие из вещественно-аналитических функций. Определение 5.5 (см. [69]). Множество $A\subset M\subset X$ не соткано из отрезков, если для любого отрезка $[a,b]$, где $a\in A$, $b\in M$, $[a,b]\not\subset M$, и для любого числа $\delta>0$ существует точка $c\in A\cap O_\delta(a)$ такая, что $(c,b)\cap O_\delta(a)\not\subset A$. Для ограниченно компактных множеств $V\subset L^1$, $W\subset L^\infty$ (не обязательно выпуклых) рассмотрим следующий класс обобщенных дробно-рациональных функций:
$$
\begin{equation*}
\widehat{R}^V_W :=\biggl\{r=\frac{v}{w}\in L^1 \biggm| v\in V,\ w\in W,\ w>0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.5 (И. Г. Царьков [69]). Пусть $\widehat{R}^V_W$ – ограниченно aes-компактное чебышёвское множество в пространстве $L^1$, содержащееся в некотором линейном многообразии таком, что множество нулей любой не тождественно равной нулю функции из этого многообразия имеет меру нуль. Пусть также для любой окрестности $O(x_0)$ любой точки $x_0\in\widehat{R}^V_W$ множество $O(x_0)\cap \widehat{R}^V_W$ не соткано из отрезков. Тогда $\widehat{R}^V_W$ – аппроксимативно компактное выпуклое множество. Пусть $D$ – ограниченная область в $\mathbb{R}^n$, граница которой имеет нулевую меру Лебега, пусть $\mu$ – мера Лебега на $D$, $L^1=L^1(D, \mu)$. Пусть $V\subset L^1$ – конечномерное подпространство размерности $n\in\mathbb{N}$, $W\subset L^1$, и пусть $U\subset V\times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций
$$
\begin{equation*}
R ^1_U(D):=\bigl\{r\in L^1(D)\mid rw=v,\ w\not\equiv 0, \ (v,w)\in U \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительно будем считать, что для любых различных $w_1,w_2\in W\setminus\{0\}$ и любой функции $r\in R ^1_U(D)$, для которой функции $r w_1$ и $r w_2$ лежат в $V$, функции $r w_1$ и $r w_2$ совпадают. В этом случае будем говорить, что $R^1_U(D)$ обладает свойством несократимости. Теорема 5.6 (И. Г. Царьков [69]). Пусть $R^1_U(D)$ – ограниченно aes-компактное (или аппроксимативно компактное) множество в пространстве $L^1$, обладающее свойством несократимости, и пусть линейная оболочка множества $R^1_U(D)$ всюду плотна в $L^1(D)$. Тогда для любого $(n+1)$-мерного подпространства $L\subset L^1[D]$, состоящего из вещественно-аналитических функций, существует функция из $L$, для которой есть по крайней мере две ближайшие дроби из $R^1_U(D)$. Для пространств $L^p$, $1<p<\infty$, имеют место следующие аналоги теоремы 5.6 (см. [8]). Теорема 5.7. Если множество рациональных дробей $\mathscr{R}_U(D)$ (см. (5.5)) алгебраически полно и невыпукло, то оно не является чебышёвским множеством в $L^p(D)$, $1<p<\infty$. Более того, в этом случае для любого выпуклого множества $H$, всюду плотного в $L^p(D)$, $1<p<\infty$, найдется точка $x\in H$ такая, что множество $P_{\mathscr{R}_U(D)}x$ не ациклично. Теорема 5.8. Если множество рациональных дробей $\mathscr{R}_{n,m}$ (определенное формулой (5.2)) невыпукло (это верно, если $m\geqslant 1$), то оно не является чебышёвским множеством в $L^p[a,b]$, $1<p<\infty$. Более того, в этом случае для любого выпуклого множества $H$, всюду плотного в $L^p[a,b]$, $1<p<\infty$, найдется точка $x\in H$ такая, что множество $P_{\mathscr{R}_{n,m}}x$ не ациклично. Утверждение теорем 5.6–5.8 можно сравнить со следующей известной теоремой Д. Браесса (см., например, [5; теорема 11.6]). Пусть $1<p<\infty$, $n\geqslant 0$, $m\geqslant 1$. Тогда любое $(n+2)$-мерное подпространство $E$ пространства $L^p[a,b]$ такое, что $E\cap \mathscr{R}_{n,m}=\{0\}$, содержит функцию, имеющую по крайней мере два элемента наилучшего приближения из класса $\mathscr{R}_{n,m}$. Здесь стоит отметить, что в теореме 5.6 результат о “плохих” свойствах образов метрической проекции на множество $\mathscr{R}_U(D)$ (и, в частности, на $\mathscr{R}_{n,m}$) получается с помощью общих методов геометрической теории приближений. 6. Существование непрерывных выборок на множество обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $L^p$, $0<p<\infty$Вопрос существования непрерывных выборок из множества почти наилучших приближений для множества дробно-рациональных функций исследовался сначала в равномерной метрике (см. разделы 3 и 7). В случае пространств $L^p[0,1]$, $1<p<\infty$, И. Г. Царьков [58] показал, что при достаточно малом $\varepsilon>0$ любая аддитивная $\varepsilon$-выборка на $\mathscr{R}_{n,m}$, $m\geqslant 1$, разрывна. Аналогичный вопрос для множества обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $L^p[0,1]$ был изучен К. С. Рютиным [51], [53]. В этом разделе $X=L^p[0,1]$, $0<p<\infty $; под нормой $\| {\,\cdot\,} \|$ мы будем понимать норму пространства $L^p[0,1]$ (если не оговорено противное). Напомним, что функционал $\|\cdot\|=\|\cdot\|_{L^p[0,1]}$ является нормой при $p\geqslant 1$, а при $0<p<1$ функционал $\|\cdot\|^p=\|\cdot\|^p_{L^p[0,1]}$ является метрикой. Определение 6.1 . Пусть $V$, $W$ – подпространства в $X$. Рассмотрим следующий класс обобщенных дробно-рациональных функций: замыкание этого множества в $X$ обозначим через $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$. Везде далее мы предполагаем, что множества $\mathscr{R}_{V,W}$ и $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ непусты. Отметим, что в случае, когда $W=\operatorname{span}1$, множества $\mathscr{R}_{V,W}$ и $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ совпадают с подпространством $V$. Если же $W=\operatorname{span}g$ ($\operatorname{ess\,inf} g>0$), то задача переходит в задачу для подпространства $V/g$. Всюду в этом разделе $\operatorname{span}\{f_1,f_2,\dots,f_k\}$ обозначает линейную оболочку множества $(f_j)_{j=1}^{k} \subset X$ ($k\in\mathbb{N}$). Обычно мы предполагаем, что система $(f_j)$ линейно независима. Через $\chi_A(\cdot)$ мы обозначаем характеристическую функцию множества $A$. Определение 6.2. Мы называем $V$ и $W$ допустимой парой в $X=L^p[0,1]$, $0<p<\infty$, если $V,W\subset L^p[0,1]$ – конечномерные подпространства измеримых на $[0,1]$ функций, удовлетворяющие следующим условиям: 1) $\dim V\geqslant 1$, $\dim W\geqslant 1$; 2) найдется функция $w_0\in W$ такая, что $\operatorname{ess\,inf} w_0>0$ на $[0,1]$. Заметим, что если $V$, $W$ – допустимая пара в $X$, то $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ – непустое замкнутое подмножество в $X$. Пусть функция $C(m,n,p)$ определена следующим образом: если $1\leqslant p<\infty$, $m,n\in\mathbb{N}$, то $C(m,n,p):=n^{1/p}$, а если $0<p\leqslant 1$, $m,n\in\mathbb{N}$, то $C(m,n,p):=n (m+1)^{1-p}$. Теорема 6.1. Пусть $V$, $W$ – допустимая пара в $X$, $\dim V=m$, $\dim W =n$, где $m,n<\infty$, и пусть $R=\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$. Тогда для любой константы $C>C(m,n,p)$ существует такое непрерывное отображение $\Phi\colon X\to R$, что Отметим, что этот результат является хорошо известным в следующем случае: $1\leqslant p<\infty$, $V$ – подпространство в $L^p$, а $W=\operatorname{span}1$, т. е. когда $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}=V$ (мы называем это случаем подпространства); он легко следует из классической теоремы Майкла о непрерывных выборках. Если же $0<p<1$, то $L^p$ не является нормированным пространством, и даже случай подпространства требует доказательства. Мы будем использовать для доказательства метод усреднения, применявшийся П. В. Альбрехтом (см., например, [36]). Пусть $\Delta\subset \mathbb{R}^{m+n}$ – выпуклый многогранник размерности $m+n$, и пусть $\Sigma$ – множество всех симплексов $\sigma$ таких, что каждая вершина $\sigma$ является вершиной $\Delta$ и $\dim \sigma\leqslant n$. Для доказательства теоремы 6.1 нам понадобится следующая лемма. Лемма 6.1. Пусть $\Delta\subset \mathbb{R}^{m+n}$ – выпуклый многогранник с непустой внутренностью, а $\pi$ – аффинное подпространство в $\mathbb{R}^{m+n}$, $\dim \pi= m$. Тогда Доказательство теоремы 6.1. Пусть $\rho(x):=\rho(x,R)$, и пусть где $x\in X$ и $\alpha>0$. Рассмотрим Ясно, что $W^+$ – замкнутый выпуклый конус с непустой внутренностью в пространстве $W$. Из определения $W^+$ следует, что $W^+\cap (-W^+)=\{0\}$. Поэтому можно подобрать аффинную гиперплоскость $\Gamma$ в $W$, которая не проходит через $0$ и пересекает любой из лучей, лежащих в конусе $W^+$ и исходящих из $0$, в точности по одной точке. Положим $Q=W^+\cap \Gamma$. Легко видеть, что $Q$ является компактным подмножеством $\Gamma$. Пусть $U=V\times \Gamma$, всюду далее $u=(v,w)$, где $v\in V,\ w\in\Gamma$. Мы считаем, что на $V$ и $\Gamma$ заданы меры Лебега $dv$ и $dw$ соответственно.
Определим два отображения $r\colon V\times Q\to\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ и $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
r(u):=\frac{v}{w}, \qquad f(t)=f_x(t):=\max\{0,(1+\alpha)\rho(x)-t\}
\end{equation*}
\notag
$$
(отображение $r$ определено, вообще говоря, не на всем множестве $V\times Q$). Легко видеть, что любую дробь $y\in R$ можно представить в виде $y=v/w$, где $v\in V$, $w\in Q$. Каждой точке $x\in X$ поставим в соответствие ограниченное множество
$$
\begin{equation*}
\Omega(x)=\{u\in U \mid r(u)\in P^{\alpha}(x),\ w\in Q\}, \qquad \Omega=\Omega(x)\subset V\times Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\Psi(x) =\biggl(\int_\Omega uf(\|x(u)-r(u)\|)\,du\biggr)\cdot \biggl(\int_\Omega f(\|x(u)-r(u)\|)\,du\biggr)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $du=dv\,dw$. Покажем, что отображение $\Phi=r\circ\Psi$ является искомым. Для этого оценим сверху норму $\|x -\Phi(x)\|$. Пусть $\widehat u=(\widehat v,\widehat w):=\Psi(x)$. Ниже мы покажем, что $r(\widehat u)$ корректно определено, т. е. $r(\widehat u)\in R \subset X$. Заметим, что $\Psi(x)\in\operatorname{conv}\Omega(x)$. По теореме Каратеодори (см., например, [5; приложение B]) найдутся точки
$$
\begin{equation*}
u_0=(v_0, w_0),\ u_1=(v_1, w_1),\ \dots,\ u_{m+n}=(v_{m+n-1}, w_{m+n-1}) \in V\times Q
\end{equation*}
\notag
$$
и числа такие, что
$$
\begin{equation*}
\widehat u=\sum_{j=0}^{m+n-1} \mu_j u_j, \qquad \sum_{j=0}^{m+n-1}\mu_j=1
\end{equation*}
\notag
$$
и $r(u_j)\in P^{\alpha}(x)$ для любого $0\leqslant j\leqslant m+n-1$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
Y(\widehat w) :=\biggl\{\tilde v=\sum_{k=0}^{n-1} \xi_{k} v_{j_k} \biggm| \sum_{k=0}^{n-1} \xi_k=1, \ \xi_k\geqslant 0, \ \sum_{k=0}^{n-1} \xi_k w_{j_k}=\widehat w\biggr\} \subset V.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любой функции $\tilde v\in Y(\widehat w)$ имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\tilde v}{\widehat w}-x\biggr\| \leqslant\gamma(n,p) (1+\alpha)\rho(x),
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\gamma(n,p):=n^{1/p}$ при $1\leqslant p<\infty$ и $\gamma(n,p):=n$ при $0<p<1$. Докажем (6.1) при $0<p<1$. Прежде всего, выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\tilde v}{\widehat w}-x\biggr|^p =\Biggl| \dfrac{\sum_{k=0}^{n-1} \xi_k (v_{j_k} -xw_{j_k})} {\sum_{k=0}^{n-1}{\xi_kw_{j_k}}} \Biggr|^p \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \biggl|\frac{v_{j_k}}{w_{j_k}}-x\biggr|^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\frac{\tilde v}{\widehat w}-x\biggr\| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \biggl\|\frac{v_{j_k}}{w_{j_k}}-x\biggr\| \leqslant n(1+\alpha)\rho(x) =\gamma(n,p)(1+\alpha)\rho(x).
\end{equation*}
\notag
$$
При $1\leqslant p<\infty$ неравенство (6.1) доказывается аналогичным образом.
Из леммы 6.1 следует, что $\widehat v\in\operatorname{conv}Y(\widehat w)$. В самом деле, применяя эту лемму для $\Delta=\operatorname{conv}\{u_0,\dots,u_{m+n-1}\}$, $\pi=\{(v,w)\in U\mid w=\widehat w\}$, получим, что $\widehat v\in\operatorname{conv}Y(\widehat w)$. Итак, найдутся числа $\eta_0,\eta_1,\dots, \eta_{m}\in[0,1]$ и точки $\tilde v_0, \dots, \tilde v_m\in Y(\widehat w)$ такие, что $\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\eta_j=1$ и $\displaystyle\widehat v=\sum_{j=0}^m \eta_j \tilde v_j$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\|\Phi(x)-x\| =\biggl\|\frac{\widehat v}{\widehat w}-x\biggr\| =\biggl\|\sum_{j=0}^m \eta_j\biggl(\frac{\tilde v_j}{\widehat w}-x\biggr)\biggr\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя неравенство (6.1), получим, что
$$
\begin{equation*}
\|\Phi(x)-x \| \leqslant \sum_{j=0}^m\eta_j^p n(1+\alpha)\rho(x) \leqslant(m+1)^{1-p} n(1+\alpha)\rho(x)
\end{equation*}
\notag
$$
при $0<p<1$. Аналогичным образом при $1\leqslant p<\infty$ можно показать, что
Итак, для любых $0<p<\infty$ и $\delta>0$ можно подобрать число $\alpha>0$ такое, что для любой точки $x\in X$ справедлива оценка $\|x-\Phi(x)\|\leqslant C\rho(x)$. Заметим, что $\Omega(x)$ и оба интеграла, участвующие в определении $\Psi$, непрерывно зависят от точки $x$, а знаменатель $\Psi$ не обращается в нуль. Следовательно, отображение $\Phi$ непрерывно. Теорема доказана. Далее будет показано, что в $X=L^p[0,1]$ ($0<p<1$) нет непрерывных $\varepsilon$-выборок для всех достаточно малых $\varepsilon>0$ в некоторых простых случаях приближения обобщенными дробно-рациональными функциями (в том числе и в случае подпространств). Теорема 6.2. Рассмотрим следующие два случая. A. Пусть $V$ – произвольное подпространство пространства $L^p[0,1]$, $0<p<1$, $\dim V<\infty$, и пусть $W=\operatorname{span}1$. B. Пусть $V$ и $W$ – подпространства пространства $L^p[0,1]$, $0<p<1$, такие, что $V=\operatorname{span}1$, $\dim W<\infty$ и найдется функция $w_0\in W$, для которой $\operatorname{ess\,inf}w_0>0$ на $[0,1]$. В обоих случаях A и B не существует непрерывной мультипликативной $\varepsilon$-выборки $\Phi\colon L^p\to\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ ни при каком $0\leqslant \varepsilon<2^{1-p}-1$. Доказательство. Сначала установим справедливость теоремы 6.2 в случае A, т. е. когда $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ является подпространством $V$. Можно выбрать гиперплоскость $\Gamma$ в $V$ и функцию $\psi\in V$ таким образом, что $\|\psi\|=1$ и $\rho(\psi,\Gamma)=1$. В самом деле, требуемая функция $\psi$ может быть построена следующим образом: берем произвольную точку $q\in V\setminus\Gamma$, пусть $q_0$ – ближайшая к $q$ точка $\Gamma$. Легко видеть, что найдется число $c\in\mathbb{R}$, для которого $\|\psi\|=1$, где $\psi:=c(q-q_0)$. Для произвольного $\sigma>0$ можно построить кривую $\gamma=\{\gamma(s)\}\subset X$, $s\in[0,1]$, со следующими свойствами:
a) $\gamma(0)=\psi$, $\gamma(1)=-\psi$; b) $(2^{1-p}-\sigma)\rho(\gamma(s),V)<\rho(\gamma(s),\Gamma)$ для любого $s\in[0,1]$. Если $E\subset [0,1]$, то через $V[E]$ мы обозначаем множество ограничений элементов $V$ на $E$. Мы применим одну идею Д. Камунтавичюса [30]. По любому числу $N>1$ можно (см. [30]) построить разбиение (с точностью до множеств меры нуль) отрезка $[0,1]$ на счетное число измеримых подмножеств $E_j$ ($j\in J$) со следующими свойствами: 1) $0<\mu(E_j)$, $V[E_j]\subset L^{\infty}(E_j)$ для любого $j\in J$; 2) $\operatorname{ess\,sup}_{\tau\in E_j}f(\tau)- \operatorname{ess\,inf}_{\tau\in E_j}f(\tau)\leqslant \|f\|^{1/p}/N$ для всех $f\in V$, $j\in J$. Зафиксируем некоторое (достаточно большое) число $N$ и отвечающее ему разбиение $E_j$ ($j\in J$). В дальнейшем мы укажем, как следует выбирать $N$. Для любого $j\in J$ зафиксируем семейство $\{H_j(\lambda)\}_{\lambda\in[0,1]}$ измеримых подмножеств множества $E_j$ такое, что выполнены соотношения $\mu(H_j(\lambda))=\lambda\mu(E_j)$ и $H_j(\lambda)\subset H_j(\mu)$, если $\lambda\leqslant \mu$. Положим $G_j(\lambda):=E_j\setminus H_j(\lambda)$. Требуемую кривую $\{\gamma(s)\}$ зададим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\gamma(s)=\sum_J \psi\cdot \chi_{G_j(s)}-\sum_J \psi \cdot \chi_{H_j(s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что условие b) действительно выполняется для $\gamma(s)$. Прежде всего,
$$
\begin{equation*}
\rho(\gamma(s),V) \leqslant \min\bigl\{\|\gamma(s)-\psi\|,\|\gamma(s)+\psi\|\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $H(s):=\bigcup\limits_J H_j(s)$, $G(s):=\bigcup\limits_J G_j(s)$. Ясно, что
$$
\begin{equation*}
\min\bigl\{\|\gamma(s)-\psi\|,\|\gamma(s)+\psi\|\bigr\} =\min\biggl\{\int_{H(s)}|2\psi|^p\,d\mu,\int_{G(s)}|2\psi|^p\,d\mu\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
что не превосходит $2^{p-1}$.
Покажем, что для любого $\delta>0$ можно подобрать $N>0$ (из условия 2)) такое, что неравенство $\|\gamma(s)-f\|\geqslant 1-\delta$ выполнено для любых $s\in[0,1]$ и $f\in\Gamma$. Будем рассуждать от противного: пусть найдется некоторое число $\delta_0>0$ такое, что для любого $N>0$ можно подобрать $f\in\Gamma$ и $s\in[0,1]$, для которых справедлива оценка $\|\gamma(s)-f\|\leqslant 1-\delta_0$. Для $v\in V$ определим число $v_j:=\operatorname{ess\,inf}_{\tau\in E_j} v(\tau)$ и рассмотрим функцию $\displaystyle\widehat{v}:=\sum_J v_j\chi_{E_j}$. Из условия 2) следует, что подобная функция $\widehat{v}$ сколь угодно хорошо приближает $v$ в метрике пространства $L^{\infty}$ (при $N\to\infty$). Взяв достаточно большое $N$, мы получим:
$$
\begin{equation*}
A_j:=|f_j-\psi_j|^p, \qquad B_j:=|f_j+\psi_j|^p, \qquad \mu_j:=\mu(E_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда неравенства (i) и (ii) могут быть записаны следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1-s)\sum_J A_j\mu_j +s\sum_J B_j \mu_j\leqslant 1-\frac{2}{3}\,\delta_0, \\ \sum_J A_j\mu_j\geqslant 1- \frac{\delta_0}{3}, \qquad \sum_J B_j\mu_j\geqslant 1- \frac{\delta_0}{3} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– противоречие. Итак, мы показали, что построенная нами кривая $\{\gamma(s)\}$ удовлетворяет условию b); условие a) выполнено по построению $\{\gamma(s)\}$.
Чтобы завершить доказательство теоремы в случае A, предположим, что $\Phi\colon X\to V$ – непрерывная $\varepsilon$-выборка, а $1+\varepsilon<2^{1-p}$. Рассмотрим кривую $\{\gamma(s)\}$, отвечающую некоторому числу $\sigma>0$ такому, что $1+\varepsilon<2^{1-p}-\sigma$. Мы утверждаем, что никакая $\varepsilon$-выборка $\Phi$ не может быть непрерывной даже на $\{\gamma(s)\}$. В самом деле, легко видеть, что $\Phi(\gamma(0))=\psi$, $\Phi(\gamma(1))=-\psi$, а из наших рассмотрений следует, что $\{\Phi(\gamma(s))\}\cap\Gamma=\varnothing$. Но тогда множество $\{\Phi(\gamma(s))\}$ не может быть связным. Теорема 6.2 для случая A доказана. Для доказательства теоремы в случае B необходимо рассмотреть кривую $\{\widetilde{\gamma}(s)\}$ такую, что $\widetilde{\gamma}(0)=1/w_0$, $\widetilde{\gamma}(1)=-1/w_0$ и для любого $s\in[0,1]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
(2^{1-p}-\sigma)\rho(\widetilde{\gamma}(s),\overline{\mathscr{R}}_{V,W}) <\|\widetilde{\gamma}(s)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая кривая $\widetilde{\gamma}$ строится аналогично $\gamma$. Для завершения доказательства в этом случае (случае B) остается взять $\widetilde{\gamma}$ вместо $\gamma$ и $\{0\}$ вместо $\Gamma$ и заметить, что множество $\{\Phi(\widetilde{\gamma}(s))\}$ не может быть связным. Теорема 6.2 доказана. Замечание 6.1. На самом деле в теореме 6.2 доказано несколько больше, чем утверждается. А именно, установлено отсутствие не только непрерывных $\varepsilon$-выборок, определенных на всем пространстве $L^p$, но и непрерывных $\varepsilon$-выборок, определенных на каком-либо его подмножестве $M$, содержащем кривую $\{\gamma(s)\}$ (или $\{\widetilde{\gamma}(s)\}$). Важным примером такого множества $M$ является единичный шар в $L^p$. Теперь разберем случай пространства $X=L^1[0,1]$. Покажем, что при малых $\varepsilon>0$ не существует непрерывной мультипликативной $\varepsilon$-выборки на множество обобщенных дробно-рациональных функций в этом пространстве. Здесь мы ограничимся случаем, когда $V$ – подпространство в $L^1[0,1]$, а $W$ – подпространство в $C[0,1]$. Непустота $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ гарантируется существованием положительной функции в $W$. Напомним (см. [35; § II.1], [8; приложение A]), что множество линейно независимых функций $\{p_0,\dots,p_{k-1}\}\subset C^{k-1}[0,1]$ ($k\in\mathbb{N}$) называется $\mathrm{ET}$-системой на отрезке $[0,1]$, если у любой функции $p\not\equiv 0$ из линейной оболочки, натянутой на систему $p_0,\dots,p_{k-1}$, имеется не более $k-1$ нулей на $[0,1]$ при условии, что каждый нуль засчитывается столько раз, какова его алгебраическая кратность. Линейную оболочку $\mathrm{ET}$-системы мощности $k$ мы будем называть $\mathrm{ET}_{k-1}$-пространством. Сформулируем условия, налагаемые на $V$, $W$:
$$
\begin{equation*}
(\widetilde{V},\widetilde{W}), \quad\text{где}\quad \widetilde{W}=\frac{1}{w_0}\,W, \quad \widetilde{V}=\frac{1}{w_0}\,V.
\end{equation*}
\notag
$$
Для пары $(\widetilde{V},\widetilde{W})$ будут по-прежнему выполнены условия 1) и 2). Положим
$$
\begin{equation*}
W^+ =\{w\in W \mid w(\tau)\geqslant 0\ \text{на}\ [0,1]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для всякой функции $r\in\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ можно подобрать пару $v\in V$, $w\in W^+$ такую, что почти всюду на $[0,1]$ верно равенство $r(\tau)=v(\tau)/w(\tau)$. Теорема 6.3. Пусть для пары $(V,W)$ выполнены условия 1) и 2). Тогда существует число $\varepsilon_0= \varepsilon_0(V,W)>0$ такое, что для любой непрерывной мультипликативной $\varepsilon$-выборки $\Phi\colon L^1[0,1]\to\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ верно неравенство $\varepsilon \geqslant\varepsilon_0$. Равномерную норму на $W$ обозначим через $\|\cdot\|_C$, обычную $L^1$-норму – через $\| {\,\cdot\,} \|$. Для краткости мы будем иногда писать $\mathscr{R}$ вместо $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$. Далее, через $I(m)$ обозначим множество $\{1,\dots,m\}$, где $m\in\mathbb{N}$, и пусть
$$
\begin{equation*}
\Delta =\biggl\{\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_N)\in\mathbb{R}^N\biggm| \sum_{j=1}^N\lambda_j=1,\ \lambda_j\geqslant 0\ \forall\, j\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– “стандартный” симплекс. Под окрестностью некоторой точки $\tau\in[0,1]$ будем понимать отрезок с центром в точке $\tau$. Нам потребуется несколько вспомогательных утверждений. Пусть $v\in V$, $v\not=0$. Тогда найдутся число $d=d(v)\in (0,1)$ и измеримое множество $T=T(v)\subset [d/10, 1-d/10]$ такие, что $\mu(T)=d$ и $v(\tau)\not =0$ на $T$. Лемма 6.2 (см. [53]). Пусть пара $(V,W)$ удовлетворяет условиям 1) и 2). Тогда для любого $\delta>0$ и почти каждой точки $\widetilde{\tau}\in T$ можно найти функцию $r(\tau)\in\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ и окрестность $U$ точки $\widetilde{\tau}$ такие, что выполнены соотношения Следствие 6.1. Для любых $N\in\mathbb{N}$ и $\delta>0$ найдутся точки $\tau_1,\dots,\tau_N\in T$, функции $e_1(\tau),\dots,e_N(\tau)\in\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$ и окрестности $U_1,\dots,U_N$ точек $\tau_1,\dots,\tau_N$ такие, что при любом $j\in I(N)$ выполнены соотношения Лемма 6.3 (см. [53]). Пусть пара $(V,W)$ удовлетворяет условиям 1) и 2), и пусть заданы числа $h>0$, $K>n/2$ и различные точки $\tau_j\in (0,1)$ ($j\in I(K)$). Тогда для любого $C>0$ существует $\delta>0$ такое, что если $r(\tau)\in\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$, $U_j$ – окрестности точек $\tau_j$, $\mu(U_j)\leqslant \delta$ и $\displaystyle\int_{U_j} |r(\tau)|\,d\tau\geqslant h$ для всякого $j\in I(K)$, то Положим $F(\tau,a):=[0,1]\setminus [\tau-a, \tau+a]$, где $a\in(0,1/10)$, $\tau\in[2a,1-2a]$ и определим $S(W):=\{w\in W^+\mid\|w\|=1\}$. Лемма 6.4 (см. [53]). Пусть заданы $\mathrm{ET}_{n-1}$-пространство $W$ ($n\geqslant 3$) и число $a\in(0,1/10)$. Тогда существуют числа $\delta_0=\delta_0(a,W)>0$ и $k=k(a,W)>0$ такие, что для любых $\tau_0\in[2a,1-2a]$, $\theta>0$ и $w\in S(W)$, $w(\tau_0)\leqslant k\theta$, найдется функция $f\in W^+$ со следующими свойствами: Пусть заданы число $\delta>0$, функции $e_j$ ($j\in I(N)$) (из следствия 6.1) и множество $J\subset I(N)$ мощности $\leqslant N-1$. Положим
$$
\begin{equation*}
G(J):=\operatorname{conv}\{(e_j)_{j\in J}\}, \qquad \gamma:=\operatorname{conv}\{(e_j)_{j\in I(N)}\},
\end{equation*}
\notag
$$
и пусть $\delta<\eta$ (точные условия на параметр $\eta>0$ содержатся в доказательстве леммы 6.5). Имеет место следующий результат. Лемма 6.5. 1) $\rho(g,R)\leqslant(N-1)(1+\delta)/N$ для любой точки $g\in\gamma$. 2) Для любых точек $g\in G(J)$ и $r\in R$ при $\varepsilon\in[0,1)$ из условий $\|g-r\|\leqslant (1+\varepsilon)\rho(g,R)$ и $j_0\in I(N)\setminus J$ следует, что $\displaystyle\int_{U_{j_0}} |r(\tau)|\,d\tau\leqslant 5\varepsilon$. Доказательство. Проверим 1). Если $\displaystyle g =\sum_{j=1}^N\mu_j e_j\in\gamma$ ($\mu\in\Delta$), то
Теперь докажем 2). Пусть $\displaystyle r(\tau)=\frac{v(\tau)}{w(\tau)}$, $\displaystyle\int_{U_{j_0}}|r(\tau)|\,d\tau= \sigma>4\varepsilon$, где $v\in V$, $w\in W^+$ и $\|w\|_C=1$. Пусть $\eta<a:=\delta/(10N)$ и $O=[-a+\tau_{j_0},\tau_{j_0}+a]$ – окрестность точки $\tau_{j_0}$. Тогда $U_{j_0}\subset O$ и $O\cap U_j=\varnothing$ при $j\not =j_0$. Положим $U=U_{j_0}$, $E=O\setminus U$ и $ F=[0,1]\setminus O$. Заметим, что из утверждения 1) леммы (при $\varepsilon<1$, $\delta<1/3$) следует неравенство $\|r\|\leqslant 4$. Отсюда получаем, что $\displaystyle\int_O |v(\tau)|\,d\tau\leqslant 4$. Для любого $q>0$ существует $\delta_1>0$ такое, что из неравенств $\mu(U)=\delta\leqslant \delta_1$ и $\displaystyle\int_O|v(\tau)|\,d\tau\leqslant 4$ вытекает оценка В итоге имеем $\min_U w(\tau)\leqslant q/\sigma$. Положим $\theta=q/(2k\varepsilon)$, где число $k$ определено в лемме 6.4, а $q$ таково, что $4\theta/(1+\theta)\leqslant \varepsilon/4$. Можно подобрать $\delta_1>0$, для которого $w(\tau_{j_0})\leqslant 2q/\sigma\leqslant k\theta$. Применив лемму 6.4, получим функцию $f$. Рассмотрим дробь $\tilde r={v}/(w+f)$. Проведем необходимые оценки.Во-первых, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_E\biggl|g(\tau)-\tilde r(\tau)\biggr|\,d\tau & \leqslant\delta +\int_E\frac{|v(\tau)|}{w(\tau)+f(\tau)}\,d\tau \leqslant \delta +\int_E\frac{|v(\tau)|}{w(\tau)}\,d\tau \\ & \leqslant\int_E\biggl|g(\tau)-\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau +2\delta, \vphantom{\Biggr|} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где мы воспользовались тем, что $\displaystyle\int_{O}|g(\tau)|\,d\tau\leqslant\delta$. Во-вторых,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int_U\biggl|g(\tau)-\frac{v(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)}\biggr|\,d\tau \leqslant\delta +\int_U\biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)}\biggr|\,d\tau \\ \leqslant\delta +\frac{1}{2} \int_U\biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau =\delta+\frac{\sigma}{2} \leqslant\int_U\biggl|g(\tau)-\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau -\frac{\sigma}{2}+2\delta. \vphantom{\Biggr|} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\int_F\biggl|g(\tau)-\frac{v(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)}\biggr|\,d\tau \leqslant\int_F\biggl|g(\tau)-\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau +\int_F\biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)} -\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\|r\|\leqslant 4$, последний интеграл оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_F\biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)}-\frac{v(\tau)}{w(\tau)} \biggr|\,d\tau & \leqslant \int_F \biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr| \biggl(1-\frac{w(\tau)}{w(\tau)+f(\tau)} \biggr)\,d\tau \\ & \leqslant\frac{\theta}{1+\theta} \int_F \biggl|\frac{v(\tau)}{w(\tau)}\biggr|\,d\tau \leqslant\frac{4\theta}{1+\theta}. \vphantom{\Biggr|} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, справедлива оценка $ \rho(g,R)\leqslant \|g-\tilde r\|\leqslant \|g-r\|-\sigma/2 +4\delta +4\theta/(1+\theta)$. Отсюда и из неравенства $\|g-r\|\leqslant (1+\varepsilon)\rho(g,R)$ получаем (мы считаем, что $\eta\leqslant\varepsilon/16$). Положим Итак, $\sigma\leqslant 5\varepsilon$. Лемма доказана. Лемма 6.6. Пусть $\sigma>0$ достаточно мало, а $\psi\colon\Delta\to\Delta$ – непрерывное отображение такое, что для любой грани $G$ симплекса $\Delta$ ($0\leqslant \dim G<\dim \Delta$) выполнено неравенство $\sup_{a\in\psi(G)}\rho(a,G)\leqslant \sigma$. Тогда где $p=(1/N,\dots,1/N)$ – центр симплекса $\Delta$. Доказательство. Предположим противное: пусть $p\not\in\psi(\Delta)$. Рассмотрим отображение $f\colon \Delta\to\Delta$, определенное таким образом: $f(x)=l(\psi(x);p)\cap \partial\Delta$, где $l(a,b)$ – луч, идущий из $a$ в $b$. Заметим, что у $f$ нет неподвижных точек. Это, однако, противоречит теореме Брауэра о неподвижной точке. Лемма доказана. Перейдем к доказательству теоремы 6.3. Доказательство. Пусть $N=[n/2]+1$. Мы покажем, что при любом $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ можно подобрать такие $\delta>0$, соответствующие функции $e_1,\dots,e_N$ (из следствия 6.1) и симплекс
$$
\begin{equation*}
\gamma =\biggl\{f_\lambda\in L^1[0,1] \biggm| f_\lambda=\sum_{j=1}^N \lambda_j e_j,\ \lambda\in\Delta \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
что $\Phi$ будет иметь точки разрыва уже на $\gamma$ (ограничения на $\varepsilon_0$ станут ясны в процессе доказательства). Пусть $r_\lambda=\Phi(f_\lambda)$. Рассмотрим отображение $F\colon \gamma\to\mathbb{R}^N$, устроенное следующим образом:
$$
\begin{equation*}
F(f_\lambda) =\frac{1}{S(f_\lambda)}(F_1(r_\lambda),\dots,F_N(r_\lambda))
\end{equation*}
\notag
$$
где отображения $F_j\colon L^1[U_j]\to\mathbb{R}$, $j\in I(N)$, определены как интегралы и $\displaystyle S(f_\lambda):=\sum_{j=1}^{N} F_j(r_\lambda)$ (ниже мы покажем, что $S(f_\lambda)>0$). Заметим, что $F(\gamma)\subset\Delta$. Достаточно показать, что так определенное отображение $F$ не может быть непрерывным на всем $\gamma$. Для любого $j\in I(N)$ имеет место неравенство $F_j(f_\mu)\geqslant 1-\delta$. Из определения $\varepsilon$-выборки следует, что
$$
\begin{equation*}
(1+\varepsilon)\rho(f_\mu,R) \geqslant \|f_\mu-r_\mu\| \geqslant \sum_{j=1}^N F_j (f_\mu-r_\mu) \geqslant 1-N\delta -\sum_{j=1}^N F_j(r_\mu).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из первой части леммы 6.5 для любого $\mu\in\Delta$ имеем
$$
\begin{equation*}
S(f_\mu) \geqslant 1-N\delta-(1+\varepsilon)(1+\delta)\frac{N-1}{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, при достаточно малых $\varepsilon,\delta>0$ справедлива оценка $S(f_\mu)\geqslant 1/(2N)$. Из этой оценки и второй части леммы 6.5 следует, что в нашей ситуации применима лемма 6.6. Таким образом, найдется точка $f_\lambda\in\gamma$ такая, что $F(f_\lambda)=(1/N,\dots,1/N)$. Применяя лемму 6.3 при $C=2$, получаем неравенство $\|r_\lambda\|\geqslant 2$, которое противоречит оценке
$$
\begin{equation*}
\|r_\lambda\| \leqslant (1+\varepsilon)\rho(f_\lambda,R)+\|f_\lambda\| \leqslant \frac{N-1}{N}(1+\delta)(1+\varepsilon)+1+\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6.3 доказана. Замечание 6.2. (i) Теорема 6.3 применима к множеству алгебраических рациональных функций $\mathscr{R}_{m,n}$, $n\geqslant 2$. Более того, можно доказать ее аналог при $n=1$; однако в этом случае для доказательства используется несколько иная конструкция. (ii) Из приведенных результатов следует, что $\varepsilon_0(V,W)$ равно $\varepsilon_0(n)$, т. е. зависит только от $\dim W=n$. (iii) Фактически в теореме 6.3 установлено, что при малом $\varepsilon>0$ любая $\varepsilon$-выборка разрывна на любом множестве, содержащем построенный выше симплекс $\gamma$. Важным примером подобного множества является пересечение единичного шара в $L^1[0,1]$ с линейной оболочкой множества $\overline{\mathscr{R}}_{V,W}$. В заключение этого раздела дадим несколько комментариев. 1. Теоремы 6.1 и 6.2 могут быть получены для пространств $L^p(Z,\mu)$, где $(Z,\mu)$ – произвольное множество с неатомарной мерой $\mu$, $\mu(Z)<\infty$. Доказательства требуют лишь незначительного изменения. 2. Из результатов этого раздела следует, что в $L^p$, $0<p<\infty$, для некоторых множеств обобщенных рациональных функций $\overline{\mathscr{R}}$ существует постоянная $\varepsilon_0=\varepsilon_0[\overline{\mathscr{R}}]\in[0,\infty)$ такая, что при $\varepsilon\in[0,\varepsilon_0)$ никакая мультипликативная $\varepsilon$-выборка на $\overline{\mathscr{R}}$ не может быть непрерывной на всем $L^p$ (и даже на единичном шаре в $L^p$), но для любого $\varepsilon>\varepsilon_0$ можно построить мультипликативную $\varepsilon$-выборку на $\overline{\mathscr{R}}$, определенную и непрерывную на всем $L^p$. Величина $\varepsilon_0[\overline{\mathscr{R}}]$ совпадает с точной нижней гранью таких чисел $\varepsilon\geqslant 0$, что существует непрерывная $\varepsilon$-выборка из единичного шара пространства $L^p$ на множество $\overline{\mathscr{R}}$. Это следует из наших построений и следующего простого наблюдения. Пусть $X$ – линейное нормированное пространство, $B$ – его единичный шар, $K$ – конус в $X$. Если для заданного числа $\varepsilon>0$ существует непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка $\Phi\colon B\to K$, то существует и непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка $\widetilde{\Phi}\colon X\to K$. Требуемая выборка строится следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\Phi}(x) :=\|x\|\Phi\biggl(\frac{x}{\|x\|}\biggr)\quad \text{при}\ \ \|x\|>1 \quad\text{и}\quad \widetilde{\Phi}(x) :=\Phi(x)\quad \text{при}\ \ \|x\|\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подобная конструкция может быть осуществлена и в пространствах $L^p$, $0<p<1$. Следовательно, для них также имеет место отмеченный выше факт. 3. Из теорем 6.1 и 6.2 следует, что для любого числа $0<p<1$ и подпространства $V$ в $L^p[0,1]$ такого, что $\dim V=1$, выполнено $\varepsilon_0[V]=2^{1-p}-1$ (величина $\varepsilon_0[V]$ определена выше). 4. Для некоторых подпространств можно получить лучшие результаты, нежели те, которые дает теорема 6.1. Рассмотрим $L^{(n)}:=\operatorname{span}(\chi^{(j)})$, где $\chi^{(j)}:=\chi_{[(j-1)/n,j/n]}$, а $1\leqslant j\leqslant n$. Покажем, что $\varepsilon_0 \bigl[L^{(n)}\bigr]=2^{1-p}-1$ для всех $n\in\mathbb{N}$ и $0<p<1$. Пусть $\pi_j\colon L^p[0,1]\to L^p[0,1]$, $1\leqslant j\leqslant n$, – оператор проектирования, заданный формулой $\pi_j (f)=\chi^{(j)} f$, где $f\in L^p$. Положим $V_j=\pi_j (L^{(n)})$, $X_j=\pi_j(L^p[0,1])$, $1\leqslant j\leqslant n$. Легко видеть, что $V_j$ – одномерное пространство, а $X_j$ отождествляется с $L^p[(j-1)/n,j/n]$. Из теоремы 6.1 получаем, что для любых $\sigma>0$ и $1\leqslant j\leqslant n$ существует непрерывная мультипликативная $(2^{1-p}-1+\sigma)$-выборка $\Phi_j\colon X_j\to V_j$. Для $x\in L^p[0,1]$ положим $\displaystyle\Phi(x):=\sum_{j=1}^{n}\Phi_j(\pi_j(x))$. Для любого числа $\sigma>0$ отображение $\Phi$ задает непрерывную $(2^{1-p}-1+\sigma)$-выборку из $L^p[0,1]$ на $L^{(n)}$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\|\Phi(x)-x\|=\sum_{j=1}^n \|\Phi_j(\pi_j(x))-\pi_j(x)\|\leqslant (2^{1-p}+\sigma)\sum_{j=1}^n\rho(\pi_j(x),V_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для любого $x\in L^p[0,1]$ имеем $\displaystyle\sum_{j=1}^n\rho(\pi_j(x),V_j)=\rho(x,L^{(n)})$, что в итоге дает $\|\Phi(x)-x\|\leqslant(2^{1-p}+\sigma)\rho(x,L^{(n)})$.
7. Устойчивость операторов почти наилучшего обобщенного рационального приближения в равномерной метрикеП. Кирхбергер [31] показал, что в пространстве $C[0,1]$ (однозначный) оператор метрической проекции на подпространство $\mathscr{P}_n$ многочленов степени не выше $n$ непрерывен и локально липшицев. Этот результат имеет множество обобщений. Отметим одно из них. Согласно известной теореме Д. Дж. Ньюмена, Г. С. Шапиро и Н. Г. Чеботарева (см. [5; теорема 2.13]) конечномерное чебышёвское подпространство $L$ в пространстве $C(Q)$ обладает свойством сильной единственности наилучшего приближения, а следовательно, оператор метрической проекции на него локально липшицев (см. [5; теорема 2.12]) и, более того, локально равномерно липшицев на множестве $C[a,b]\setminus L$ (см. [5; теорема 2.10]). А. В. Маринов распространил последний результат на случай пространств $C(Q)$ ($Q$ – метрический компакт) и получил ряд нетривиальных результатов об устойчивости оператора почти наилучшего приближения на выпуклое подмножество линейного нормированного пространства в терминах модулей выпуклости и гладкости пространства. Отсутствие устойчивости (равномерной непрерывности или, эквивалентно, липшицевости) оператора метрической проекции на подпространство многочленов степени $\leqslant n$ в равномерной норме впервые отметил С. Б. Стечкин (см. [5; замечание 2.6 и пример 5.3]). А именно, для любого $\varepsilon>0$ он указал такие функции $x,y\in C[-1,1]$, что $\|x-y\|<\varepsilon$, но $\|P_Lx-P_Ly\|\geqslant 1$, где $L:=\operatorname{span}\{1,t\}$ – (чебышёвское) подпространство в $C[-1,1]$. Аналогичный общий результат для произвольного конечномерного чебышёвского подпространства $L\subset C(Q)$, $\dim L\geqslant 2$ ($Q$ – бесконечный компакт), позже установил А. K. Клайн2 (см. [5; § 2.2]). Эти результаты показывают отсутствие глобальной липшицевости (или, эквивалентно, равномерной непрерывности) метрической проекции при приближении конечномерными чебышёвскими подпространствами размерности $\geqslant 2$ в $C(Q)$ на бесконечном компакте. В пространстве $\ell^\infty_n$ метрическая проекция на чебышёвское подпространство глобально липшицева на всем пространстве (см. [5; замечание 2.6]). В работе И. Г. Царькова [59] показано, что оценки модуля непрерывности $\varepsilon$-выборки, полученные в [40], точны по порядку размерности, и доказано, что найдутся ограниченное выпуклое замкнутое множество $Y$ из пространства $C[0,1]$ и число $\varepsilon>0$ такие, что ни при каком $\delta>0$ не существует равномерно непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборки из окрестности $U_\delta(Y)=\{x \kern-1pt \mid \kern-1pt \rho(x,Y)\leqslant \delta\}$ на $Y$. С. В. Конягин в [33] анонсировал следующее утверждение: ни при каком $\varepsilon\in(0,2)$ не существует равномерно непрерывной $\varepsilon$-выборки из $C[0,1]$ на $\mathscr{R}_{0,1}$. В работе А. В. Маринова [41] была получена оценка константы Липшица локально липшицевой выборки на множества обобщенных дробей в $C[0,1]$. К. С. Рютин [50] получил достаточные условия существования липшицевой ретракции из окрестности многообразия, лежащего в произвольном нормированном пространстве, на это многообразие. Построение такой ретракции связано с задачей построения липшицевой мультипликативной $\varepsilon$-выборки. В качестве следствия (при большом $\varepsilon>0$) построена липшицева мультипликативная $\varepsilon$-выборка из $C[0,1]$ на $\mathscr{R}_{0,1}$. Пусть $X =(X,\| {\,\cdot\,} \|)$ – вещественное линейное нормированное пространство, $M\subset X$ и заданы некоторые $\delta_0,\xi_1,\xi_2>0$, $n\in\mathbb{N}$. Обозначим для краткости ${B}^n=\{x\in\mathbb{R}^n \mid |x|\leqslant 1\}$, где $| {\,\cdot\,} |$ – евклидова норма на $\mathbb{R}^n$. Определение 7.1. Множество $M\subset X$ называется $L$-поверхностью с параметрами $(n,\delta_0,\xi_1,\xi_2)$, если выполнены следующие условия: 1) фиксировано максимальное множество $\Sigma=\{m_\alpha\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\subset M$ такое, что для любого $\alpha\in\mathscr{A}$ выполнено неравенство $\inf_{\beta\not=\alpha}\|m_\beta-m_\alpha\|\geqslant \delta$, где $\delta=\delta_0/20$; 2) для любой точки $m\in\Sigma$ существуют ее окрестность $V_m\subset M$ и гомеоморфизм $q=q(m)\colon V_{m}\to B^n$ такие, что a) справедливо включение $B(m,\delta_0)\cap M\subset V_m$, b) для любых точек $l_1,l_2\in V_{m}$ выполнено неравенство $\xi_1|q (l_1)-q (l_2)|\leqslant \|l_1-l_2\|\leqslant \xi_2 |q (l_1)-q (l_2)|$; 3) для любых $m_1,m_2\in\Sigma$ таких, что $V_{m_1}\cap V_{m_2}\not=\varnothing$, отображение $q_{12}:=q (m_1)\circ q(m_2)^{-1}\colon {B}^n\to {B}^n$ является аффинным; тем самым, существуют вектор $v_{12}\in\mathbb{R}^n$ и линейный оператор $T_{12}$ такие, что $q_{12}(u)=T_{12} u +v_{12}$. Отметим следующий результат [53] о существовании липшицевой ретракции. Теорема 7.1. Пусть $M$ – $L$-поверхность с параметрами $(n,\delta_0,\xi_1,\xi_2)$. Тогда существует $K$-липшицева ретракция $\Phi\colon\mathscr{O}_\eta(M)\to M$ из окрестности $\mathscr{O}_\eta(M)=\{x\in X\mid \rho(x,M)<\eta\}$ на $M$, где $\eta=\eta(n,\delta_0,\xi_1,\xi_2)>0$ и $ K=K(n,\delta_0,\xi_1,\xi_2)>0$. Были выделены некоторые подклассы $L$-поверхностей (липшицевы и почти липшицевы), которые важны для приложений. Геометрия множеств $\mathscr{R}_{n,m}$ представляется интересной темой для изучения. Отметим работу [19], в которой исследуется топология некоторых пространств алгебраических рациональных функций. Оказывается, что $\mathscr{R}_{0,m}$, $m\in\mathbb{N}$, является конусом, его пересечение со сферой $S(0,1)$ есть $\gamma_m \sqcup (-\gamma_m)$, а множество $\gamma_m$ гомеоморфно $\mathbb{R}^m$. Кроме того, $\gamma_1$ является почти липшицевой кривой, т. е. существует параметризация $\varphi\colon \mathbb{R}\to\gamma_1$, обладающая следующим свойством: найдутся числа $c_1,c_2,\mu>0$ такие, что для любых точек $t_1,t_2\in\mathbb{R}$ выполнено условие
$$
\begin{equation*}
\min\{c_1| t_1-t_2|,\mu\} \leqslant \|\varphi(t_1)-\varphi(t_2)\| \leqslant c_2|t_1-t_2|.
\end{equation*}
\notag
$$
Из приведенных выше результатов выводится (см. [49]) существование липшицевой ретракции $C[0,1]$ на $\mathscr{R}_{0,1}$. К сожалению, применить теорему 7.1 к множествам $\mathscr{R}_{n,m}$ при $n\in\mathbb{Z}_+$, $m\geqslant3$ (как это было сделано для $\mathscr{R}_{0,1}$), не представляется возможным. Это связано со следующим результатом [50]: если $m\geqslant 3$, $n\in\mathbb{Z}_+$, то для любых чисел $N\in\mathbb{N}$ и $\delta\in (0,1/100)$ найдется множество $\{r_j\}_{1\leqslant j\leqslant N}\subset\mathscr{R}_{n,m}\cap S(0,1)$ со следующими свойствами: 1) $\min_{1\leqslant i\not=j\leqslant N} \|r_i-r_j\|\geqslant \delta/10$; 2) $\max_{1\leqslant i\not=j\leqslant N}\|r_i-r_j\|\leqslant 2\delta$. В работе [54] исследовался вопрос существования равномерно непрерывных на шаре пространства $\varepsilon$-выборок на множества обобщенных рациональных функций при малом $\varepsilon>0$ в пространствах $X=C(K)$, где $K$ – метрический компакт. Пусть $V$, $W$ – подпространства в $C(K)$ такие, что $\dim V=m$, $\dim W=n$, где $m,n\in\mathbb{N}$, и существует функция $w_0\in W$ такая, что $w_0>0$ на $K$. Рассмотрим множество обобщенных дробей
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_{V,W} =\mathscr{R}_{V,W}(K) =\operatorname{Cl}\Bigl\{r=\frac{v}{w}\Bigm|v\in V,\ w\in W,\ w>0\ \text{на } K \Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Cl}$ – замыкание в $C(K)$. Теорема 7.2 (см. [54]). Пусть $B$ – единичный шар в пространстве $C(K)$, множество $\mathscr{R}_{V,W}\cap B$ компактно и для любой функции $w\in W\setminus \{0\}$ выполнено условие $\operatorname{int}\{\tau\in K \mid w(\tau)=0\}=\varnothing$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует равномерно непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка $\Phi\colon B\to\mathscr{R}_{V,W}$. Следующая теорема показывает, что примеры “компактных семейств дробей” (удовлетворяющих условиям теоремы 7.2) имеются для пространств $V$, $W$ любой конечной размерности. Теорема 7.3 (см. [54]). Пусть $B$ – единичный шар в $C[0,1]$. Тогда для любых чисел $m,n\in\mathbb{N}$ найдется пара подпространств $V,W\subset C^{\infty}[0,1]\subset C[0,1]$ таких, что $\dim V=m$, $\dim W=n$ и множество $\mathscr{R}_{V,W}\cap B$ непусто и компактно. Однако при малом $\varepsilon>0$ не бывает равномерно непрерывных на шаре пространства $\varepsilon$-выборок на некоторые множества обобщенных рациональных функций. Пусть $V$, $W$ – подпространства в $X=C[0,1]$ такие, что $V=\operatorname{span}\varphi_{0}$, $W=\operatorname{span}\{w_1,\dots ,w_n\}$, $n\geqslant 2$, и $\{w_j \}_{j=1}^{n}$ — базис в $W$. Рассмотрим следующее множество обобщенных рациональных дробей в $C[0,1]$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{R}_{V,W} =\operatorname{Cl}\Bigl\{r=\frac{v}{w} \Bigm| v\in V,\ w\in W,\ w\not=0\ {на}\ [0,1]\Bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Cl} $ – замыкание. Потребуем от подпространств $V$, $W$ выполнения следующих условий: 1) $\ \varphi_{0}(\tau)>0$ при всех $\tau\in[0,1]$; 2) найдется функция $f\in W$ такая, что $f(\tau)>0$ при всех $\tau\in[0,1]$; 3) множество нулей любой ненулевой функции $f\in W$ нигде не плотно на отрезке $[0,1]$. Теорема 7.4 (см. [52]). Пусть $V$, $W$ обладают свойствами 1)–3). Тогда для любого $\varepsilon\in (0, 2)$ не существует равномерно непрерывной мультипликативной $\varepsilon$-выборки из единичного шара в $C[0,1]$ на $\mathscr{R}_{V,W}$. Условия на подпространства $V$, $W$ из теоремы 7.4 не являются необходимыми. Есть примеры, показывающие, что можно ослабить условие 1) на подпространство $V$, но совсем отказаться от него нельзя. Аналогичный теореме 7.4 результат получен в [52] и для комплексных функций (при этом предполагается, что $\varepsilon\in (0,1)$). В связи с теоремами 7.2 и 7.4 C. В. Конягин выдвинул следующую гипотезу. Пусть $V$, $W$ – конечномерные подпространства в $C(K)$, $B$ – единичный шар в $C(K)$. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) множество $\mathscr{R}_{V,W}(K)\cap B$ непусто и компактно; 2) для любого $\varepsilon>0$ существует равномерно непрерывная мультипликативная $\varepsilon$-выборка из $B$ на $\mathscr{R}_{V,W}(K)$. Авторы благодарят рецензента за полезные замечания, позволившие улучшить первоначальную версию статьи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AliRyuTsa23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|