Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 3(471), страницы 165–169 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10109 (Mi rm10109)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10109

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages 549–554
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10109e

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

18 июня 2022 г. ушел из жизни выдающийся советский и российский математик, ярчайший представитель московской школы алгебраической геометрии, заведующий отделом алгебры Математического института им. В. А. Стеклова РАН, академик Российской академии наук Алексей Николаевич Паршин.

Алексей Николаевич родился 7 ноября 1942 г. в городе Свердловске. В это время его родители Николай Алексеевич (инженер-строитель) и Любовь Михайловна (домашняя хозяйка) находились в Свердловске в эвакуации. Уже в 1943 г. семья вернулась в Москву.

В 1959 г. Алексей Николаевич поступил на механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, который он окончил в 1964 г. Во время учебы в университете Алексей Николаевич был участником семинаров двух великих математиков, И. М. Гельфанда и И. Р. Шафаревича, но в конце концов его научным руководителем стал И. Р. Шафаревич, основатель московской школы алгебраической геометрии. После окончания МГУ Алексей Николаевич поступил в аспирантуру Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. В 1967 г. А. Н. Паршин защитил кандидатскую диссертацию, после чего долгие годы работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук: с 1968 по 1995 г. как младший, старший и ведущий научный сотрудник, с 1995 г. – как заведующий отделом алгебры, затем отделом алгебры и теории чисел, а потом снова отделом алгебры.

Уже в студенческие годы проявились его незаурядные математические способности: в своей первой статье, которая была его дипломной работой, А. Н. Паршин предложил конструкцию “неабелева якобиана” римановой поверхности, где, в частности, определялись и изучались свойства итерированных интегралов. Это было сделано независимо от работ К. Т. Чена. Данная работа стала началом серии замечательных исследований А. Н. Паршина, посвященных различным обобщениям классической теории полей классов.

Результаты, полученные Алексеем Николаевичем во время учебы в аспирантуре, приобрели впоследствии широкую известность. В то время он занимался сформулированной И. Р. Шафаревичем гипотезой конечности, согласно которой существует лишь конечное число неособых проективных алгебраических кривых фиксированного рода больше $1$ над глобальным полем (т. е. конечным расширением поля рациональных чисел или поля рациональных функций одной переменной с коэффициентами из конечного поля) с фиксированным множеством плохой редукции (за исключением очевидных случаев). Такие кривые естественным образом определяют поверхности, расслоенные над одномерной базой. А. Н. Паршину удалось доказать гипотезу конечности для алгебраических поверхностей в случае полной базы (т. е. для семейств кривых без вырождений), причем в общем случае кривых над функциональным полем он доказал ограниченность высоты рассматриваемого множества кривых – первый важный этап доказательства гипотезы конечности (в полной общности данную гипотезу для кривых над функциональными полями доказал позднее С. Ю. Аракелов).

Кроме того, в это же время А. Н. Паршин показал, что из гипотезы Шафаревича над числовыми полями следует знаменитая гипотеза, сформулированная английским математиком Л. Морделлом в 1922 г., о конечности числа рациональных точек на кривых рода больше $1$ над числовым или функциональным полем. Из этого, в частности, следовало новое доказательство гипотезы Морделла для кривых над функциональными полями (первое доказательство было дано Ю. И. Маниным). Конструкция, использовавшаяся для этого вывода, впоследствии цитировалась и цитируется до сих пор всеми специалистами как “трюк Паршина”. Благодаря этим достижениям А. Н. Паршин был выбран приглашенным докладчиком на Международном математическом конгрессе в Ницце в 1970 г., а в 1971 г. ему была присуждена премия Московского математического общества для молодых математиков (совместно с С. Ю. Аракеловым). Кроме того, в 1983 г. немецкий математик Г. Фалтингс, используя описанные выше результаты А. Н. Паршина, доказал гипотезу Морделла для кривых над числовыми полями, за что был удостоен Филдсовской премии.

Чуть позже, развивая результаты в том же направлении, А. Н. Паршин определил канонические высоты на арифметических поверхностях и многообразиях модулей абелевых многообразий и доказал с их помощью теоремы конечности для изогений абелевых поверхностей, а также гипотезу Тейта о гомоморфизмах для эллиптических кривых над функциональными полями конечной характеристики. В 1988 г. он сформулировал гипотетическое неравенство для арифметических поверхностей (аналог неравенства Богомолова–Мияоки–Яу для алгебраических поверхностей) и показал, что это неравенство влечет доказательство многих очень известных гипотез: эффективной гипотезы Морделла, неравенства Шпиро для эллиптических кривых и $abc$-гипотезы. Помимо этих результатов, в работе 1990 г., посвященной 60-летию выдающегося математика Александра Гротендика, А. Н. Паршин открыл возможность применения гиперболической геометрии Кобаяши к проблемам теории чисел: он доказал гипотезу Ленга о целых точках на абелевых многообразиях и дал новое доказательство теоремы Рейно о рациональных точках на абелевых многообразиях над полем функций.

Еще одно направление в арифметической геометрии, которым А. Н. Паршин, в том числе с учениками, занимался в течение долгих лет, начиная с середины семидесятых годов прошлого века, и одним из создателей которого он был, – это теория многомерных локальных полей, многомерных аделей и ее приложения к многомерной теории полей классов, т. е. к явному описанию абелевых расширений Галуа полей рациональных функций алгебраических многообразий, определенных над конечными полями, или полей рациональных функций арифметических схем.

Одной из главных мотивировок А. Н. Паршина для создания теории многомерных аделей были потенциальные приложения этой теории к проблемам дзета-функций и $L$-функций многомерных арифметических схем, которые обобщают классические дзета-функции и $L$-функции на арифметические многообразия, а также приложения к различным вопросам алгебраической геометрии. Работы, связанные с этим кругом вопросов, составили его докторскую диссертацию.

В 1970-е и 1980-е годы А. Н. Паршин построил теорию полей классов для $n$-мерных локальных полей (равных характеристик) и алгебраических поверхностей над конечными полями с использованием алгебраической $K$-теории. Необходимо отметить, что для построения этой теории и, в частности, для геометрического определения $n$-мерного локального поля А. Н. Паршин предложил идею использовать в качестве основного локального объекта на многомерных схемах не точку или дивизор, а флаг вложенных друг в друга подсхем. Эта идея оказалась впоследствии чрезвычайно плодотворной и продолжает использоваться в работах разных математиков по сей день. Используя ее, А. Н. Паршин предложил также необходимую в теории полей классов конструкцию групп аделей, связанных с алгебраическими поверхностями, дал новое локальное определение вычета и формулу для суммы вычетов. Кроме того, он применил эти адельные конструкции к теории пучков, дав новые вычислительные средства для когомологий, теории пересечений, двойственности Серра, классов Чженя.

В 1990-е годы А. Н. Паршин открыл аналог теоремы Ж.-П. Серра о связи векторных расслоений и основ Брюа–Титса в случае алгебраической поверхности, определив и изучив для этого основы Брюа–Титса групп $\operatorname{GL}(m,K)$ над $n$-мерным локальным полем $K$.

В середине 1990-х годов А. Н. Паршин начинает интересоваться теорией интегрируемых систем. Многомерные локальные поля, введенные и изучавшиеся им ранее, он применил в этой теории. Круг его интересов составляют уравнения КдФ (Кортевега–де Фриза) и КП (Кадомцева–Петвиашвили), связи с солитонными уравнениями (в духе школы Л. Д. Фаддеева) и алгебраическая теория КП (в духе школы М. Сато). Было известно, что некоторый класс решений этих уравнений получается при помощи алгебраических кривых (достижения школы С. П. Новикова), а также при помощи иерархий и бесконечномерного грассманиана Сато. Алексей Николаевич организует семинар для студентов и аспирантов на мехмате МГУ и читает курс лекций по этим темам. В конце девяностых годов прошлого века и в начале нулевых годов нового века Алексей Николаевич пишет несколько работ, в которых он построил обобщение интегрируемой системы Кадомцева–Петвиашвили (в форме Лакса) для случая любого числа переменных и доказал существование у такой системы бесконечного числа законов сохранения, а также построил обобщение соответствия Кричевера для случая алгебраических поверхноcтей. В этих конструкциях возникали не только многомерные локальные поля, но и многомерные локальные тела – тела формальных итерированных псевдодифференциальных операторов. В дальнейшем многомерное соответствие Кричевера, а также многомерная теория Сато развивались его учениками на протяжении многих лет.

В середине нулевых А. Н. Паршин вернулся к кругу вопросов, связанных с многомерной теорией полей классов и $L$-функциями двумерных арифметических схем. В это же время он пишет первые совместные работы со своими учениками, а семинар для студентов и аспирантов продолжается на регулярной основе в новом здании МИАН. Постоянными участниками семинара в разные годы были как ученики А. Н. Паршина (А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов, Е. В. Бедулев, С. О. Горчинский, М. В. Мазо, М. А. Дубовицкая, С. А. Арналь, Р. Я. Будылин, И. В. Белошапка), так и многие другие молодые (и не только), теперь уже известные, математики, специализирующиеся в алгебраической геометрии, алгебре, теории чисел (С. С. Галкин, В. С. Жгун, С. Ю. Рыбаков, К. А. Шрамов, А. И. Зыкин, А. И. Ефимов и др.). В совместной работе с С. О. Горчинским Алексей Николаевич дал адельное доказательство голоморфной формулы Лефшеца для действия тора на когомологиях расслоений.

В нескольких совместных работах с Д. В. Осиповым Алексей Николаевич построил гармонический анализ на двумерных локальных полях и на пространствах аделей двумерных арифметических схем, и в качестве приложения этот анализ был применен для нового доказательства теоремы Римана–Роха на алгебраической поверхности над конечным полем. Мотивировкой для этих работ было развитие метода Тейта–Ивасавы для аналитического продолжения $L$-функций с арифметических схем размерности 1 на арифметические схемы размерности 2. В ряде работ (одна из которых – совместно с С. А. Арналь) А. Н. Паршин развил теорию представлений дискретных групп Гейзенберга, связав их с двумерными локальными полями (включая классификацию бесконечномерных неприводимых представлений конечного веса таких групп, построение пространства модулей представлений как комплексного многообразия, вычисление характеров как модулярных форм на пространстве представлений). Об этих результатах он рассказал на международном математическом конгрессе в Хайдарабаде в 2010 г., где он выступал уже в качестве пленарного докладчика.

Активные исследования в этом направлении А. Н. Паршин продолжил и в десятых годах этого века. В последнее десятилетие он изучал связи между глобальной двумерной теорией полей классов и классическим одномерным соответствием Ленглендса, волнующим умы многих крупных математиков. В частности, А. Н. Паршин сформулировал гипотезу о прямом образе, обобщающую конструкцию из классической программы Ленглендса на случай относительной размерности 1. Он показал, что из этой гипотезы следует классическая гипотеза Хассе–Вейля для $L$-функций двумерных арифметических схем. Также он продолжил развивать теорию представлений дискретных групп Гейзенберга и их связей с локальными полями и аделями в серии статей (в том числе совместно с Д. В. Осиповым).

Стиль математических работ А. Н. Паршина отличается оригинальностью и высоким научным уровнем. А. Н. Паршин обладал замечательной математической интуицией, позволявшей не только доказывать теоремы, но и ставить глубокие вопросы, стимулирующие развитие математики на долгие годы. Доказанные им гипотезы позволили решить задачи теории чисел, которые десятилетия оставались не решенными до этого. Созданные им методы позволили исследовать арифметические задачи при помощи, казалось бы, далекого геометрического аппарата.

Творчество А. Н. Паршина было многогранно: помимо математических трудов он писал научно-популярные математические статьи для широкой аудитории, а также глубоко изучал вопросы истории и философии науки. В частности, в 1990-е годы он принимал активное участие в издании и комментировании трудов Германа Вейля и Давида Гильберта, в изучении и публикации трудов П. А. Флоренского, а в нулевые также участвовал в создании и проведении семинара “Русская философия (традиция и современность)”. Его работы по истории науки и русской философии, собранные в монографии “Путь. Математика и другие миры”, нашли самый широкий круг читателей. А. Н. Паршин занимал очень активную общественную позицию: в последнее десятилетие он, не жалея сил и времени, боролся с реформами Российской академии наук, начавшимися в 2013 г., и с бюрократическим насаждением библиометрии. Алексей Николаевич никогда не оставался в стороне от того, что происходило вокруг. Он много помогал другим людям и делился своими идеями.

А. Н. Паршин являлся выдающимся, всемирно признанным математиком, крупнейшим специалистом по алгебраической геометрии и теории чисел. За время работы в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук он добился значительных успехов, которые были высоко оценены его коллегами: 26 мая 2000 г. был избран членом-корреспондентом РАН по Отделению математики, а 22 декабря 2011 г. – действительным членом (академиком) РАН по Отделению математических наук. За выдающиеся научные заслуги А. Н. Паршин, помимо упомянутых докладов на международных математических конгрессах и премии Московского математического общества для молодых математиков, был удостоен премии имени Александра фон Гумбольдта (ФРГ) в 1996 г., ученой степени доктора honoris causa Университета Париж-XIII в 2002 г., премии им. И. М. Виноградова РАН в 2004 г., был награжден золотой медалью им. П. Л. Чебышёва РАН в 2012 г. В 2017 г. он был выбран в члены Европейской Академии.

На посту заведующего отделом алгебры (а также, на время его существования, отделом алгебры и теории чисел) Математического института им. В. А. Стеклова РАН А. Н. Паршин вел также большую научно-организационную работу по развитию отдела и руководству его коллективом. Он являлся председателем совета по защите диссертаций по алгебре, геометрии и теории чисел при МИАН, членом редколлегий российских научных журналов “Алгебра и анализ”, “Математический сборник”, “Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления”, “Вопросы философии” и, в разное время, международных математических журналов “Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal)” и “International Journal of Mathematics”.

Стоит вспомнить, что А. Н. Паршин возглавил отдел алгебры (созданный и возглавяемый до этого многие годы И. Р. Шафаревичем) в МИАНе в середине девяностых годов XX в., в очень трудное время для российской науки. В это время многие крупные алгебраические геометры уехали из России. В последующие годы отдел алгебры (позже разделившийся на отдел алгебры и отдел алгебраической геометрии) в МИАНе пополнялся многими яркими молодыми математиками, став крупным международным центром и местом притяжения для алгебраических геометров из России и многих известных университетов по всему миру.

А. Н. Паршиным было опубликовано свыше 70 научных работ. Среди его учеников 3 доктора и 5 кандидатов наук. Список математических трудов А. Н. Паршина можно найти на сайте: http://mathnet.ru/person/11177.

Все, кто знал Алексея Николаевича Паршина, будут помнить его как выдающегося ученого, организатора науки и замечательного человека.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BogVerVos23}
\by Ф.~А.~Богомолов, А.~М.~Вершик, С.~В.~Востоков, С.~О.~Горчинский, А.~Б.~Жеглов, Ю.~Г.~Зархин, С.~В.~Конягин, Вик.~С.~Куликов, Ю.~В.~Нестеренко, Д.~О.~Орлов, Д.~В.~Осипов, И.~А.~Панин, В.~П.~Платонов, В.~Л.~Попов, Ю.~Г.~Прохоров, А.~Л.~Смирнов
\paper Алексей Николаевич Паршин (некролог)
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 3(471)
\pages 165--169
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10109}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10109}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4673247}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..549B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 3
\pages 549--554
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10109e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001146055900004}