| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Группа Пикара связной аффинной алгебраической группы В. Л. Поповab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10107e 
Реферативные базы данных:
    Все рассматриваемые ниже алгебраические многообразия считаются определенными над основным алгебраически замкнутым полем $k$. Мы придерживаемся принятой в [1] точке зрения на алгебраические группы и используем следующие обозначения. Если $S$ – связная полупростая алгебраическая группа, то $\widehat S$ – ее универсальная накрывающая, а $\pi(S)$ – ядро канонической изогении $\widehat S\to S$. Если $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, а $H$ – ее замкнутая подгруппа, то $\varepsilon_{G,H}\colon \operatorname{Hom}_{\rm alg}(H,\mathbb G_m)\to \operatorname{Pic}(G/H)$ – гомоморфизм, который каждому характеру $\chi\colon H\to \mathbb G_m$ ставит в соответствие класс одномерного однородного векторного расслоения над $G/H$, определенного $\chi$ (см. [2; теорема 4]). Если $\varphi\colon X\to Y$ – морфизм гладких неприводимых алгебраических многообразий, то $\varphi^*\colon \operatorname{Pic}(Y)\to \operatorname{Pic}(X)$ – ассоциированный с $\varphi$ гомоморфизм групп Пикара (см. [3; гл. III, § 1, разд. 2]). Напомним, что коммутант связной редуктивной алгебраической группы связен и полупрост (см. [1; I.2.2, II.14.2]). Целью этой заметки является доказательство следующей теоремы. Теорема. Пусть $G$ – связная аффинная алгебраическая группа, ${\mathcal R}_u(G)$ – ее унипотентный радикал, $\varrho\colon G\to G/{\mathcal R}_u(G)$ – канонический гомоморфизм, $S$ – коммутант связной редуктивной группы $G/{\mathcal R}_u(G)$, а $\iota\colon S\hookrightarrow G/{\mathcal R}_u(G)$ – тождественное вложение. Тогда следующие канонические гомоморфизмы являются изоморфизмами: Следствие. Группа $\operatorname{Pic}(G)$ канонически изоморфна группе $\operatorname{Hom}_{\rm alg}(\pi(S),\mathbb G_m)$ и неканонически изоморфна группе $\pi(S)$. Пример. Пусть $G=\operatorname{GL}_n$. Тогда группа ${\mathcal R}_u(G)$ тривиальна, а коммутантом группы $G$ является полупростая группа $\operatorname{SL}_n$. Последняя односвязна, так что $\pi(\operatorname{SL}_n)$ – тривиальная группа. Поэтому по теореме $\operatorname{Pic}(G)$ – тривиальная группа. Это согласуется с тем, что групповое многообразие группы $\operatorname{GL}_n$ изоморфно открытому подмножеству в $\mathbb A^{n^2}$. В доказательстве теоремы используется следующая лемма. Лемма. Пусть $X$ – неприводимое гладкое алгебраическое многообразие, $U$ – непустое открытое подмножество в $\mathbb A^{d}$, а $u_0$ – точка из $U$. Тогда для морфизмов гомоморфизмы $\alpha^*$ и $\beta^*$ являются взаимно обратными изоморфизмами. Доказательство леммы. Рассмотрим морфизмы
$$
\begin{equation}
\gamma\colon X\times \mathbb A^d \to X,\ \ (x,a)\mapsto x,\quad\text{и}\quad \delta\colon X\times U \to X\times\mathbb A^d,\ \ (x, u)\mapsto (x, u).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из (1) и (2) следует, что имеют место равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma\circ\delta\circ\beta=\operatorname{id}_X\!\!\quad\text{и}\quad \alpha\circ\beta=\operatorname{id}_X\!. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Как известно, $\gamma^*$ – изоморфизм (см. [4; гл. II, предложение 6.6 и его доказательство]), а $\delta^*$ – сюръекция (см. [4; гл. II, предложение 6.5, (a)]). Отсюда и из левого равенства в (3) следует, что $\beta^*$ – изоморфизм. Ввиду правого равенства в (3) это показывает, что $\alpha^*$ – тоже изоморфизм, а $\alpha^*$ и $\beta^*$ взаимно обратны. Доказательство теоремы и следствия. Поскольку связная аффинная алгебраическая группа ${\mathcal R}_u(G)$ унипотентна, из [5; предложения 1, 2] следует, что
(a) групповое многообразие группы ${\mathcal R}_u(G)$ изоморфно аффинному пространству; (b) существует коммутативная диаграмма в которой $\tau$ – изоморфизм групповых многообразий (но, вообще говоря, не групп), а $\upsilon$ – естественная проекция на второй сомножитель.Ввиду леммы из (a) и (4) следует, что $\varrho^*$ – изоморфизм. Согласно [6; теорема 1] в группе $G/{\mathcal R}_u(G)$ существует такой тор $Z$, что отображение $\mu\colon S\times Z\to G/{\mathcal R}_u(G)$, $(s,z)\mapsto sz$, является изоморфизмом групповых многообразий (но, вообще говоря, не групп). Рассмотрим коммутативную диаграмму в которой $\nu\colon S\to S\times Z$, $s\mapsto (s,e)$, где $e$ – единичный элемент. Поскольку групповое многообразие тора $Z$ изоморфно открытому подмножеству аффинного пространства, из (5) и леммы следует, что $\iota^*$ – изоморфизм.Ввиду полупростоты группы $\widehat S$ группа $\operatorname{Hom}_{\rm alg}(\widehat S,\mathbb G_m)$ тривиальна, а ввиду относвязности группы $\widehat S$ тривиальна группа $\operatorname{Pic}(\widehat S)$ (см. [2; предложение 1]). Согласно [2; теорема 4] отсюда следует, что $\varepsilon_{\widehat{S}, \pi(S)}$ – изоморфизм. Теорема доказана. Первая часть ее следствия непосредственно вытекает из теоремы, а вторая – из того, что $\pi(S)$ – конечная абелева группа. Замечание. Приведенная выше теорема вносит исправление в теорему 6 из [2]. В последней утверждается, что группа $\operatorname{Pic}(G)$ изоморфна $\pi\bigl(G/{\mathcal R}(G)\bigr)$, где ${\mathcal R}(G)$ – разрешимый радикал группы $G$. Если расширение $1\to {\mathcal R}(G)\to G\to G/{\mathcal R}(G)\to 1$ расщепляется, то группа $G/{\mathcal R}(G)$ изоморфна коммутанту группы $G/{\mathcal R}_u(G)$, так что сформулированное утверждение верно ввиду доказанной выше теоремы. Но в общем случае это не так, что показывает приведенный выше пример: в нем группа $G/{\mathcal R}(G)$ изоморфна $\operatorname{PGL}_n$, а $\pi(\operatorname{PGL}_n)$ изоморфна группе всех корней $n$-й степени из $1$ в поле $k$. Эта последняя группа нетривиальна, если $n$ не является степенью характеристики поля $k$ (однако группа $\operatorname{Pic}(G)$ тривиальна для любого $n$). Я благодарен Шуай Вану (Shuai Wang), который обратил мое внимание на приведенный пример; это привело к написанию настоящей заметки. Я также признателен С. О. Горчинскому, комментарии которого привели к приведенному выше доказательству леммы и акценту на канонический характер конструкции (первоначальное доказательство леммы в препринте [7] было более геометрическим).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|