| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Топология дополнения к каустике лагранжева ростка типа В. Д. Седых Российский государственный университет нефти и газа (национальный исследовательский университет) им. И. М. Губкина
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10106e 
Реферативные базы данных:
     Световые каустики, эволюты плоских кривых и прочие огибающие систем лучей являются множествами критических значений так называемых лагранжевых отображений (см. [1], [5]). Эти множества называются каустиками. Согласно теореме Арнольда о лагранжевых особенностях, ростки лагранжева отображения $f\colon L\to V$ общего положения гладкого многообразия $L$ в гладкое многообразие $V$ той же размерности $n\leqslant 5$ устойчивы и просты (т. е. имеют нулевую модальность). Они лагранжево эквивалентны росткам в нуле отображения
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,\quad (\overline{t},\overline{q})\mapsto \biggl(-\frac{\partial S(\overline{t},\overline{q})} {\partial \overline{t}}\,,\overline{q}\biggr),\quad \overline{t}=(t_1,\dots,t_k),\quad \overline{q}=(q_{k+1},\dots,q_n),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $S=S(\overline{t},\overline{q})$ – функция одного из следующих типов ($\mu\leqslant n+1$ – целое):
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} A_{\mu}^\pm\colon\ \ S&= \pm t_1^{\mu+1}+q_{\mu-1}t_1^{\mu-1}+\cdots+q_2t_1^2, &\qquad \mu&\geqslant 1; \\ D_{\mu}^{\pm}\colon\ \ S&= t_1^2t_2\pm t_2^{\mu-1}+q_{\mu-1}t_2^{\mu-2}+\cdots+q_3t_2^2, &\qquad \mu&\geqslant 4; \\ E_6^\pm\colon\ \ S&=t_1^3\pm t_2^4+q_5t_1t_2^2+q_4t_1t_2+q_3t_2^2, &\qquad \mu&=6. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Класс эквивалентности ростка лагранжева отображения в критической точке относительно лагранжевой эквивалентности называется (лагранжевой) особенностью. Тип функции $S$ определяет тип этой особенности (ростка). Число $\operatorname{codim}X_{\mu}=\mu-1$ называется коразмерностью особенности типа $X_{\mu}$. В дальнейшем $X_{\mu}^\delta$ обозначает $X_{\mu}^+$ при $\delta=+1$ и $X_{\mu}^-$ при $\delta=-1$. Если $\mu$ четное или $\mu=1$, то лагранжевы ростки типов $A_{\mu}^{+}$ и $A_{\mu}^{-}$ лагранжево эквивалентны и обозначаются через $A_{\mu}$. Каждой точке $y$ пространства образа $V$ собственного лагранжева отображения $f$ общего положения с простыми устойчивыми особенностями можно поставить в соответствие неупорядоченный набор символов из теоремы Арнольда, обозначающих типы ростков $f$ в прообразах точки $y$. Формальное коммутативное произведение $\mathcal{A}$ этих символов называется типом мультиособенности отображения $f$ в точке $y$ (или типом моноособенности, если $y$ имеет лишь один прообраз). Если прообраз $f^{-1}(y)$ пуст, то полагают $\mathcal{A}=\mathbf{1}$. Множество $\mathcal{A}_f$ точек $y\in V$, в которых отображение $f$ имеет мультиособенность типа $\mathcal{A}=X_1\cdots X_p$, является гладким подмногообразием в объемлющем пространстве $V$. Оно называется многообразием мультиособенностей типа $\mathcal{A}$. Его коразмерность $\operatorname{codim}\mathcal{A}$ равна $\sum_{i=1}^{p}\operatorname{codim}X_i$. В работе [2] была изучена топология многообразий мультиособенностей лагранжевых ростков типов $A_\mu^{\pm}$ и $D_\mu^{\pm}$ (при всех $n$). В частности, из теоремы 7.8 этой работы следует, что общее число связных компонент дополнения к каустике отображения (1) с особенностью типа $D_{\mu}^\delta$ в нуле равно: $(k^2+3k-2)/2$, если $\mu=2k$, $\delta=+1$; $(k^2+k)/2$, если $\mu=2k$, $\delta=-1$; и $(k^2+3k)/2$, если $\mu=2k+1$, $\delta=\pm1$. Среди них соответственно $(k^2-3k+2)/2$, $(k^2-k)/2$ и $(k^2-k)/2$ компонент гомотопически эквивалентны окружности, а остальные стягиваемы. В [3], [4], [6] исследованы многообразия мультиособенностей лагранжева ростка типа $E_6^{\pm}$ в точках его каустики, а также дополнение к образу. В настоящей заметке описана топология связных компонент дополнения к каустике ростка $E_6^{\pm}$ в его образе. Теорема. Пусть лагранжево отображение $f$ задано формулой (1). Предположим, что оно имеет особенность типа $E_6^{\pm}$ в нуле. Тогда дополнение к каустике отображения $f$ имеет ровно семь связных компонент: по две связные компоненты многообразия мультиособенностей каждого из типов $A_1^2$, $A_1^4$, $A_1^6$ и одна – дополнение к образу. Все они стягиваемы, кроме одной связной компоненты типа $A_1^4$. Эта нестягиваемая компонента гомотопически эквивалентна окружности $S^1$. Ее прообраз при отображении $f$ имеет три связные компоненты. Сужение $f$ на одну из них является двулистным накрытием, а сужение на каждую из двух других – диффеоморфизмом. Рассмотрим произвольное собственное лагранжево отображение $f\colon L\to V$ общего положения с простыми устойчивыми особенностями. Предположим, что оно имеет мультиособенность типа $\mathcal{B}$ в точке $y\in V$, где $\operatorname{codim}\mathcal{B}=c$. Выберем окрестность $U$ начала координат $0$ в $\mathbb{R}^{c}$ и рассмотрим гладкое вложение $h\colon U\to V$ такое, что $h(0)=y$, причем подмногообразие $h(U)\subset V$ трансверсально многообразию $\mathcal{B}_f$ в точке $y$. Через $B_{\varepsilon}\subset \mathbb{R}^{c}$ обозначим открытый $c$-мерный шар с радиусом $\varepsilon>0$ и центром в $0$. Тогда существует положительное число $\varepsilon_0=\varepsilon_0(f,y,h)$ такое, что для любых $\mathcal{A}$ и $\varepsilon<\varepsilon_0$ множество $h(B_{\varepsilon})\cap \mathcal{A}_f$ является гладким многообразием, класс эквивалентности которого относительно диффеоморфизмов зависит только от типов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Обозначим это многообразие через $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$. Мультиособенность типа $\mathcal{B}$ примыкает к мультиособенности типа ${\mathcal A}$, если $\mathcal{A}\ne\mathcal{B}$ и $\Xi_\mathcal{A}(\mathcal{B})\ne\varnothing$. Эйлерова характеристика $J_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ многообразия $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ называется индексом примыкания мультиособенности типа $\mathcal{B}$ к мультиособенности типа $\mathcal{A}$. Примыкание мультиособенности типа $\mathcal{B}$ к мультиособенности типа $\mathcal{A}$ называется простым, если все связные компоненты многообразия $\Xi_{\mathcal{A}}(\mathcal{B})$ стягиваемы. В противном случае примыкание называется сложным. Из работ [3], [4], [6] и теоремы, сформулированной выше, получаем Следствие. Индексы всех примыканий моноособенности типа $E_6^\delta$ к мультиособенностям лагранжева отображения общего положения таковы:
Все примыкания, кроме примыкания к мультиособенности типа $A_1^4$, являются простыми. Примыкание к мультиособенности типа $A_1^4$ является сложным. Замечание. В работе [2] была найдена система соотношений между индексами примыкания лагранжевых мультиособенностей (см. [2; теорема 5.2]). Индексы, указанные в следствии, удовлетворяют всем этим соотношениям. С другими результатами о топологических свойствах лагранжевых отображений можно познакомиться по книге [7]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sed23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|