| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Об интегрируемости деформированной системы Руйсенарса–Шнайдера А. В. Забродинabc a Сколковский институт науки и технологий b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" c Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10105e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеИнтегрируемые многочастичные системы классической механики играют значительную роль в современной математической физике. Они интересны и содержательны как с математической, так и с физической точки зрения, имеют важные приложения и глубокие связи с различными проблемами в математике и физике. История интегрируемых многочастичных систем начинается со знаменитой модели Калоджеро–Мозера (КМ) [1]–[4], которая существует в рациональной, тригонометрической (гиперболической) и эллиптической версиях. В наиболее общем эллиптическом случае уравнения движения $N$-частичной системы КМ имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot x_i=4\sum_{j\ne i}^N\wp '(x_{ij}), \qquad x_{ij}=x_i-x_j,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где точка означает производную по времени. В этой статье мы используем стандартную $\sigma$-функцию Вейерштрасса, а также функции Вейерштрасса
$$
\begin{equation*}
\zeta(x)=\frac{\sigma'(x)}{\sigma(x)}\quad\text{и}\quad \wp (x)=-\zeta'(x)
\end{equation*}
\notag
$$
(их определения и свойства приведены в разделе 10). Вырождая эллиптические функции до тригонометрических и рациональных, получаем тригонометрическую и рациональную версии модели КМ. Эллиптическая модель КМ является гамильтоновой и полностью интегрируемой, т. е. имеет $N$ независимых интегралов движения в инволюции. Интегрируемость этой модели была доказана различными методами в [5] и [6], см. также книгу [7]. Позднее было обнаружено [8], [9], что модель КМ допускает однопараметрическую деформацию, сохраняющую интегрируемость, о которой часто говорят как о ее релятивистском обобщении. Параметр деформации $\eta$ в этой интерпретации является обратной скоростью света. Эта модель теперь называется системой Руйсенарса–Шнайдера (РШ). Как и в модели КМ, в наиболее общей версии системы РШ взаимодействие между частицами описывается с помощью эллиптических функций. Уравнения движения имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot x_i+\sum_{j\ne i}^N \dot x_i \dot x_j\bigl(\zeta (x_{ij}+\eta)+ \zeta (x_{ij}-\eta)-2\zeta(x_{ij})\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Подходящим образом взятый предел $\eta \to 0$ приводит к уравнениям (1.1). Система РШ является гамильтоновой с гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\mathsf{H}_1=\sum_{i=1}^N e^{p_i}\prod_{j\ne i}^N \frac{\sigma(x_{ij}+\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Интегрируемость системы РШ была доказана в [9]. Она имеет сохраняющиеся величины $\mathsf{H}_k$, $\overline{\mathsf{H}}_k$, $k\in \mathbb{N}$, которые являются высшими гамильтонианами в инволюции (для $N$-частичной системы первые $N$ из них независимы). После замечательных работ [10]–[13] тесная связь многочастичных систем типа Калоджеро–Мозера с динамикой полюсов сингулярных решений (в общем случае эллиптических) нелинейных интегрируемых дифференциальных уравнений, таких как уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) и Кадомцева–Петвиашвили (КП), стала общим местом для специалистов. Эта связь заключается в том, что эллиптическая система КМ описывает движение полюсов эллиптических решений уравнения КП. В работе [14] было показано, что система РШ играет ту же роль для сингулярных решений уравнения решетки Тоды, о которой можно думать как об интегрируемой разностной деформации уравнения КП. (В контексте решетки Тоды параметр $\eta$ можно отождествить с постоянной решетки.) А именно, эволюция полюсов во времени $t=t_1$ иерархии Тоды совпадает с динамикой РШ в соответствии с уравнениями движения (1.2). Позднее это соответствие было распространено [15] на уровень иерархий: эволюция полюсов в высших временах $t_k$ и $\bar t_k$ иерархии Тоды дается гамильтоновыми потоками системы РШ с высшими гамильтонианами $\mathsf{H}_k$ и $\overline{\mathsf{H}}_k$. Недавно была найдена [16] дальнейшая деформация модели РШ, которая представляет собой динамическую систему, описывающую временную эволюцию полюсов эллиптических решений решетки Тоды со связью типа B [17]. Уравнения движения деформированной системы РШ имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot x_i +\sum_{j\ne i}^N\dot x_i \dot x_j \bigl(\zeta (x_{ij}+\eta)+ \zeta (x_{ij}-\eta)-2\zeta (x_{ij})\bigr)+g(U_i^--U_i^+)=0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
U_i^{\pm}=\prod_{j\ne i}^N U^{\pm}(x_{ij}),\qquad U^{\pm}(x_{ij})= \frac{\sigma(x_{ij}\pm 2\eta) \sigma(x_{ij}\mp \eta)} {\sigma(x_{ij}\pm \eta)\sigma(x_{ij})}\,,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
и $g$ является параметром деформации. При $g=0$ имеем систему РШ. Очевидно, что $g\ne 0$ можно убрать из формул растяжением временной переменной $t\to g^{-1/2}t$. В дальнейшем мы без потери общности фиксируем $g=\sigma(2\eta)$. При этом выборе уравнения (1.4) в точности совпадают с динамическими уравнениями для полюсов, возникающими при соглашении о выборе временной переменной, принятом для решетки Тоды со связью типа B. В работе [16] было показано, что предел $\eta \to 0$ в уравнениях (1.4) воспроизводит уравнения движения
$$
\begin{equation}
\ddot x_i+6\sum_{j\ne i}^N(\dot x_i+\dot x_j)\wp '(x_{ij})- 72 \sum_{j,k\ne i, j\ne k} \wp (x_{ij})\wp '(x_{ik})=0,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
найденные в работе [18] для динамики полюсов эллиптических решений B-версии уравнения КП (BКП). В [16] было также показано, что система (1.4) может быть получена ограничением гамильтонова потока с гамильтонианом $\mathsf{H}_1^-=\mathsf{H}_1-\overline{\mathsf{H}}_1$ системы РШ с $N=2N_0$ частицами на подпространство $\mathcal{P}$ половинной размерности $4N_0$-мерного фазового пространства ${\mathcal F}$, соответствующее конфигурациям, в которых $2N_0$ частиц попарно слипаются, образуя $N_0$ пар с расстоянием между частицами в каждой паре равным $\eta$. Такие конфигурации мгновенно разрушаются потоком с гамильтонианом $\mathsf{H}_1^+ =\mathsf{H}_1 +\overline{\mathsf{H}}_1$, но сохраняются потоком с гамильтонианом $\mathsf{H}_1^- =\mathsf{H}_1 -\overline{\mathsf{H}}_1$, и соответствующая динамика может быть ограничена на подпространство $\mathcal{P}$. Это ограничение дает уравнения (1.4), где $N$ надо заменить на $N_0$, а $x_i$ ($i=1,\dots,N_0$) является координатой $i$-й пары, двигающейся как целое с фиксированным расстоянием между двумя частицами. На самом деле подпространство $\mathcal{P}$ лагранжево; значение этого факта в теории деформированной системы РШ еще предстоит понять. В этой статье мы устанавливаем факты, свидетельствующие об интегрируемости деформированной системы РШ (1.4). А именно, мы в явном виде находим полный набор независимых интегралов движения. Наш метод основан на том факте (доказанном в статье), что подпространство $\mathcal{P}$ сохраняется не только потоком с гамильтонианом $\mathsf{H}_1^-$, но и всеми высшими гамильтоновыми потоками с гамильтонианами $\mathsf{H}_k^-$. (Однако потоки с гамильтонианами $\mathsf{H}_k^+$ не сохраняют пространство $\mathcal{P}$.) Это дает возможность найти интегралы движения $N_0$-частичной деформированной системы РШ ограничением известных интегралов движения $2N_0$-частичной системы РШ на подпространство пар $\mathcal{P}$, и это то, что мы делаем в данной статье. Основной результат этой работы – следующие явные выражения для интегралов движения системы (1.4) (с $g=\sigma(2\eta)$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_n&=\frac{1}{2}\sum_{m=0}^{[n/2]} \frac{\sigma(n\eta) \sigma^{2m-n}(\eta)}{m! \, (n-2m)!} \sum_{[i_1\dots i_{n-m}]}^N \dot x_{i_{m+1}}\cdots \dot x_{i_{n-m}} \prod_{\substack{\alpha,\beta =m+1 \\ \alpha <\beta}}^{n-m} V(x_{i_\alpha i_\beta }) \\ &\qquad\times \biggl[\,\prod_{\gamma =1}^m\, \prod_{\ell \ne i_1, \dots,i_{n-m}}^N U^{+}(x_{i_{\gamma}\ell})+ \prod_{\gamma =1}^m\,\prod_{\ell \ne i_1, \dots,i_{n-m}}^N U^{-}(x_{i_{\gamma}\ell})\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
V(x_{ij})=\frac{\sigma^2(x_{ij})}{\sigma(x_{ij} +\eta)\sigma(x_{ij}-\eta)}
\end{equation*}
\notag
$$
и $U^{\pm}(x_{ij})$ дано в (1.5). В (1.7) индекс $n$ меняется от 1 до $N$ и $\displaystyle{ \sum_{[i_1 \dots i_{n-m}]}^N}$ означает суммирование по всем различным индексам $i_1,\dots,i_{n-m}$ от $1$ до $N$; $[n/2]$ – целая часть числа $n/2$. При $m=0$ произведение $\displaystyle{\prod_{\gamma =1}^0}$ во второй строчке (1.7) надо положить равным $1$. Аналогично, при $2m=n$ произведение $\dot x_{i_{m+1}}\cdots \dot x_{i_{n-m}}$ надо также положить равным $1$. Вот некоторые примеры для малых значений $n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J_1&=\sum_{i=1} \dot x_i, \\ J_2&=\frac{\sigma(2\eta)}{2\sigma^2(\eta)}\biggl[\,\sum_{i\ne j} \dot x_i \dot x_j V(x_{ij})+\sigma^2(\eta) \sum_i \biggl(\,\prod_{\ell\ne i}U^+(x_{i\ell})+ \prod_{\ell\ne i}U^-(x_{i\ell})\biggr)\biggr], \\ J_3&=\frac{\sigma(3\eta)}{6\sigma^3(\eta)} \biggl[\,\sum_{i\ne j,k, \, j\ne k} \dot x_i \dot x_j \dot x_k V(x_{ij})V(x_{ik})V(x_{jk}) \\ &\qquad+3\sigma^2(\eta) \sum_{i\ne j} \dot x_j \biggl(\,\prod_{\ell\ne i,j}U^+(x_{i\ell})+ \prod_{\ell\ne i,j}U^-(x_{i\ell})\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Отметим, что член с $m=0$ в (1.7) есть $n$-й интеграл движения системы РШ (1.2). Мы также находим производящую функцию интегралов движения:
$$
\begin{equation}
R(z, u )=\det_{1\leqslant i,j\leqslant N} \bigl(z\delta_{ij}- \dot x_i \phi(x_{ij}-\eta,u)- \sigma(2\eta)z^{-1} U_i^-\phi(x_{ij}-2\eta,u)\bigr),
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\phi(x,u):=\frac{\sigma(x+u)}{\sigma(u)\sigma(x)}\,.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Уравнение $R(z,u)=0$ задает спектральную кривую, которая является интегралом движения. Интересная задача об интегрируемой дискретизации по времени систем КМ и РШ была рассмотрена в работах [19], [20], см. также книгу [21]. Эта задача тесно связана с преобразованиями Бэклунда систем КМ и РШ [22]–[24] и так называемой самодуальной формой уравнений движения [25], [26]. Идея заключается в том, что преобразование Бэклунда можно рассматривать как эволюцию в дискретном времени на один шаг. Уравнения движения наиболее общей эллиптической версии $N$-частичной системы РШ, полученные в [20], следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\prod_{k=1}^N \sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1}-\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n}+\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}) \\ &\qquad+\prod_{k=1}^N\sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1})\sigma(x_i^{n}-x_k^{n}-\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}+\eta)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $x_i^n$ – координата $i$-й частицы на $n$-м шаге дискретного времени. Подходящим образом взятый непрерывный по времени предел уравнений (1.11) дает уравнения движения модели РШ (1.2). В этой работе мы предлагаем интегрируемую дискретизацию по времени деформированной системы РШ, полученную методом, аналогичным тому, который ведет к (1.11) от (1.2). Уравнения движения в дискретном времени имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mu \prod_{k=1}^N \sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1}) \sigma(x_i^{n}- x_k^{n}+\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}-\eta) \\ \notag &\qquad\qquad+\mu \prod_{k=1}^N \sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1}+\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n}-\eta)\sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}) \\ \notag &\qquad=\mu^{-1} \prod_{k=1}^N \sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1}-\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n}+\eta) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}) \\ &\qquad\qquad+\mu^{-1}\prod_{k=1}^N \sigma(x_i^{n}-x_k^{n+1}) \sigma(x_i^{n}-x_k^{n}-\eta)\sigma(x_i^{n}-x_k^{n-1}+\eta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $\mu$ – параметр, зависящий от постоянной решетки во времени. Структура левой и правой частей этих уравнений такая же, как и в левой части (1.11). Отметим, что такой вид уравнений движения был предсказан И. М. Кричевером некоторое время назад. Уравнения (1.12) имеют два разных непрерывных предела. Один из них дает уравнения движения деформированной системы РШ (1.4). Другой приводит к уравнениям, полученным в работе [18] как уравнения движения полюсов эллиптических решений полудискретного уравнения BКП. Как и уравнения движения системы РШ, уравнения (1.12) допускают тригонометрическое (или гиперболическое) и рациональные вырождения. В тригонометрическом пределе один из двух квазипериодов $\sigma$-функции стремится к $\infty$, а $\sigma(x)\to \sin x$. В рациональном пределе оба квазипериода стремятся к $\infty$, а $\sigma(x)\to x$. В этой статье мы не будем обсуждать специфику тригонометрического и рационального пределов. Мы также даем обобщение деформированной модели РШ на теорию поля на решетке (“полевой аналог”), в котором координаты частиц $x_i$ становятся “полями” $x_i(x,t)$, зависящими не только от времени $t$, но и от пространственной переменной $x$. Следуя методу, развитому в работе [27] для модели КМ и примененному в [28] к модели РШ, мы получаем уравнения движения как уравнения для полюсов более общих эллиптических решений (названных в [27] эллиптическими семействами) полностью дискретного уравнения BКП. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем основные факты, относящиеся к эллиптической модели РШ. В разделе 3 показываем, воспроизводя результат работы [16], что динамика деформированной системы РШ представляет собой $\mathsf{H}_1^{-}$-поток системы РШ, ограниченный на пространство пар. Ядро статьи – раздел 4, где доказано, что пространство пар инвариантно по отношению ко всем высшим $\mathsf{H}^{-}_k$-потокам, и в явном виде найдены интегралы движения деформированной системы РШ, а также их производящая функция. В разделе 5 мы находим преобразование Бэклунда деформированной системы РШ. В разделе 6 цепочка преобразований Бэклунда интерпретируется как эволюция в дискретном времени и получены уравнения движения в дискретном времени. Также обсуждаются возможные непрерывные по времени пределы. В разделе 7 показано, что уравнения движения (1.12) деформированной модели РШ в дискретном времени описывают динамику полюсов эллиптических решений полностью дискретного уравнения BКП. Раздел 8 посвящен нахождению решеточного полевого аналога полностью дискретной деформированной системы РШ. В разделе 9 приводятся заключительные замечания и перечислены нерешенные проблемы. Имеются также два приложения. В приложении A (раздел 10) даны определения и основные свойства функций Вейерштрасса. В приложении B (раздел 11) доказано тождество для эллиптических функций, которое является ключевым для доказательства теоремы 4.1 в разделе 4. Эта статья выросла из наших совместных работ [16], [17] с Игорем Кричевером. Вскоре после того, как эта работа была начата, мой старший друг и соавтор Игорь Кричевер ушел из жизни. Он работал до последних дней, и мы имели несколько проясняющих обсуждений. Со скорбью и благодарностью я посвящаю эту статью его памяти. 2. Система РШЗдесь собраны основные факты, относящиеся к эллиптической системе РШ. Мы следуем работе [9]. $N$-частичная эллиптическая модель РШ является полностью интегрируемой гамильтоновой системой. Канонические скобки Пуассона между координатами и импульсами таковы: $\{x_i,p_j\}=\delta_{ij}$. Интегралы движения в инволюции имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_n=\sum_{\mathcal{I}\subset \{1,\dots,N\}, \, |\mathcal{I}|=n} \exp \biggl(\,\sum_{i\in \mathcal{I}}p_i\biggr) \prod_{i\in \mathcal{I},\, j\notin \mathcal{I}} \frac{\sigma(x_{ij}+\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,, \qquad n=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Сумма берется по всем подмножествам $\mathcal{I}$ множества $\{1,\dots,N\}$ из $n$ элементов. Естественно положить $\mathsf{I}_0=1$. Важные частные случаи формул (2.1) следующие:
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_1=\sum_{i=1}^N e^{p_i}\prod_{j\ne i} \frac{\sigma(x_{ij}+\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
что есть гамильтониан $\mathsf{H}_1$ киральной модели РШ, и От аналогичных формул в статье [9] наши формулы отличаются каноническим преобразованием
$$
\begin{equation*}
e^{p_i}\to e^{p_i}\prod_{j\ne i} \frac{\sigma^{1/2}(x_{ij}+\eta)}{\sigma^{1/2} (x_{ij}-\eta)}\,,\quad x_i\to x_i,
\end{equation*}
\notag
$$
которое позволяет избавиться от квадратных корней в формулах из [9]. Обозначим временную переменную, соответствующую гамильтонову потоку с гамильтонианом $\mathsf{H}_1=\mathsf{I}_1$, через $t_1$. Скорости частиц даются формулой
$$
\begin{equation}
\overset{*}x_i=\frac{\partial \mathsf{H}_1}{\partial p_i}= e^{p_i}\prod_{j\ne i}\frac{\sigma(x_{ij}+\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где звездочка означает производную по $t_1$. Отметим, что в терминах скоростей интегралы движения (2.1) имеют вид
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_n=\frac{1}{n!} \sum_{[i_1 \dots i_n]}^N \overset{*}x_{i_1}\cdots \overset{*}x_{i_n} \prod_{\substack{\alpha,\beta =1 \\ \alpha <\beta}}^{n} \frac{\sigma^2(x_{i_\alpha i_\beta})} {\sigma(x_{i_\alpha i_\beta}+\eta)\sigma(x_{i_\alpha i_\beta}-\eta)}\,.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Здесь $\displaystyle{\sum_{[i_1 \dots i_n]}^N}$ означает суммирование по всем различным индексам $i_1,\dots,i_n$ от $1$ до $N$. Нетрудно проверить, что гамильтоновы уравнения $\overset{*}p_i=-\partial \mathsf{H}_1/\partial x_i$ эквивалентны следующим уравнениям движения:
$$
\begin{equation}
\overset{**}x_i+\sum_{k\ne i}^N\overset{*}x_i\overset{*}x_k \bigl(\zeta(x_{ik}+\eta)+\zeta(x_{ik}-\eta)-2\zeta(x_{ik})\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
которые совпадают с уравнениями (1.2). Можно также ввести интегралы движения $\mathsf{I}_{-n}$:
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_{-n}=\mathsf{I}_{N}^{-1}\mathsf{I}_{N-n}= \sum_{\mathcal{I}\subset \{1,\dots,N\}, \, |\mathcal{I}|=n} \exp\biggl(-\sum_{i\in \mathcal{I}}p_i\biggr) \prod_{i\in \mathcal{I},\, j\notin \mathcal{I}} \frac{\sigma(x_{ij}-\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
В частности,
$$
\begin{equation}
\mathsf{I}_{-1}=\sum_{i=1}^N e^{-p_i}\prod_{j\ne i} \frac{\sigma(x_{ij}-\eta)}{\sigma(x_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Легко проверить, что уравнения движения по времени $\bar t_1$, соответствующем гамильтониану $\overline{\mathsf{H}}_1=\sigma^2(\eta)\mathsf{I}_{-1}$, такие же, как (1.2) (и (2.6)). Введем по-другому нормированные интегралы движения:
$$
\begin{equation}
\mathsf{J}_n=\frac{\sigma(|n|\eta)}{\sigma^n(\eta)}\, \mathsf{I}_n,\qquad n=\pm 1,\dots,\pm N.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
В работе [15] было показано, что высшие гамильтонианы модели РШ могут быть получены из уравнения спектральной кривой
$$
\begin{equation}
z^N +\sum_{n=1}^N \phi_n(\lambda )\, \mathsf{J}_n \, z^{N-n}=0, \quad \phi_n(\lambda)=\frac{\sigma(\lambda-n\eta)}{\sigma(\lambda)\sigma(n\eta)}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
как
$$
\begin{equation}
\mathsf{H}_n=\operatorname*{res}_{z=\infty} \bigl(z^{n-1}\lambda (z)\bigr).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В общем случае они представляются в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf{H}_n&=\mathsf{J}_n +Q_n(\mathsf{J}_1,\dots,\mathsf{J}_{n-1}), \\ \overline{\mathsf{H}}_n&=\mathsf{J}_{-n} + Q_n(\mathsf{J}_{-1},\dots,\mathsf{J}_{-n+1}) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для $n\in \mathbb{N}$, где $Q_n$ – некоторые однородные полиномы степени однородности $n$ (степень $\mathsf{J}_k$ полагается равной $k$). Например,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf{H}_1&=\mathsf{J}_1, \\ \mathsf{H}_2&=\mathsf{J}_2 -\zeta (\eta)\mathsf{J}_1^2, \\ \mathsf{H}_3&=\mathsf{J}_3 -(\zeta (\eta)+ \zeta (2\eta))\mathsf{J}_1\mathsf{J}_2 + \biggl(\frac{3}{2}\, \zeta^2(\eta)- \frac{1}{2}\,\wp (\eta)\biggr)\mathsf{J}_1^3 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
(см. [15]). Мы также введем гамильтонианы
$$
\begin{equation}
\mathsf{H}_n^{\pm}=\mathsf{H}_n \pm \overline{\mathsf{H}}_n.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
В контексте решетки Тоды динамика РШ соответствует динамике полюсов эллиптических решений, и гамильтонианы $\mathsf{H}_n^{\pm}$ генерируют потоки $\partial_{t_n}\pm \partial_{\bar t_n}$, где $t_n$, $\bar t_n$ – канонические высшие времена иерархии решетки Тоды.
3. Деформированная модель РШ как динамическая система для пар РШ-частицВ этом разделе мы воспроизводим результат работы [16] и показываем, что ограничение динамики системы РШ с $N=2N_0$ частицами на подпространство $\mathcal{P}$, в котором частицы слипаются в $N_0$ пар таких, что (см. рис. 1), приводит к уравнениям движения деформированной системы РШ для координат пар. Естественно ввести переменные которые являются координатами пар. В [16] было доказано, что такая структура сохраняется $\mathsf{H}_1^-$-потоком $\partial_t=\partial_{t_1}-\partial_{\bar t_1}$, но разрушается $\mathsf{H}_1^+$-потоком $\partial_{t_1}+\partial_{\bar t_1}$. Следовательно, чтобы определить динамическую систему, нужно зафиксировать $T_1^+=(t_1+\bar t_1)/2$ равное нулю, т. е. положить $\bar t_1=-t_1$, и рассмотреть эволюцию во времени $t=T_1^-=(t_1 -\bar t_1)/2$.Для скоростей $\dot x_i=\partial \mathsf{H}_1^-/\partial p_i$ имеем:
$$
\begin{equation}
\dot x_{2i-1} =e^{p_{2i-1}}\prod_{j=1, \ne 2i-1}^{2N_0} \frac{\sigma(x_{2i-1, j}+\eta)}{\sigma(x_{2i-1,j})}+ \sigma^2(\eta)e^{-p_{2i-1}}\prod_{j=1, \ne 2i-1}^{2N_0} \frac{\sigma(x_{2i-1, j}-\eta)}{\sigma(x_{2i-1, j})}\,,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
\dot x_{2i} =e^{p_{2i}} \prod_{j=1,\ne2i}^{2N_0} \frac{\sigma(x_{2i, j}+\eta)}{\sigma(x_{2i,j})}+ \sigma^2(\eta)e^{-p_{2i}}\prod_{j=1, \ne 2i}^{2N_0} \frac{\sigma(x_{2i, j}-\eta)}{\sigma(x_{2i, j})}\,.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
При наложении связи (3.1) первый член в правой части (3.3) обращается в нуль. Также обращается в нуль второй член в (3.4). Тогда в терминах координат пар, $X_i$, уравнения (3.3), (3.4) гласят:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot x_{2i-1}&=\sigma(\eta)\sigma(2\eta)e^{-p_{2i-1}}\prod_{j=1,\ne i}^{N_0} \frac{\sigma(X_{ij}-2\eta)}{\sigma(X_{ij})}\,, \\ \dot x_{2i}&=\frac{\sigma(2\eta)}{\sigma(\eta)} e^{p_{2i}} \prod_{j=1, \ne i}^{N_0}\frac{\sigma(X_{ij}+2\eta)}{\sigma(X_{ij})}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Из (3.5) ясно, что если положить
$$
\begin{equation}
p_{2i-1}=\alpha_i+P_i, \quad p_{2i}=\alpha_i-P_i, \qquad i=1,\dots,N_0,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\alpha_i= \log \sigma(\eta)+\frac{1}{2}\sum_{j\ne i}^{N_0} \log \frac{\sigma(X_{ij}-2\eta)}{\sigma(X_{ij}+2\eta)}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
и $P_i$ произвольны, то мы имеем $\dot x_{2i-1}= \dot x_{2i}$ для всех $i$, так что расстояние между частицами в каждой паре сохраняется в процессе эволюции. Под действием $\mathsf{H}_1^{-}$-потока каждая пара движется как целое. Уравнения (3.5) тогда становятся эквивалентными одному уравнению
$$
\begin{equation}
\dot X_i=\sigma(2\eta)e^{-P_i}\prod_{j\ne i}^{N_0} \frac{(\sigma(X_{ij}-2\eta)\sigma(X_{ij}+2\eta))^{1/2}}{\sigma(X_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Мы перешли от исходного $4N_0$-мерного фазового пространства ${\mathcal F}$ с координатами $(\{x_i\}_N,\{p_i\}_N)$ к $2N_0$-мерному подпространству $\mathcal{P}\subset {\mathcal F}$ пар, определенному наложением связей
$$
\begin{equation}
\begin{cases} x_{2i}-x_{2i-1}=\eta,\ x_{2i-1}=X_i, \\ p_{2i-1}+p_{2i}=2\log \sigma(\eta)+\displaystyle\sum_{j\ne i} \log \dfrac{\sigma(X_{ij}-2\eta)}{\sigma(X_{ij}+2\eta)}\,. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Координатами в $\mathcal{P}$ являются $(\{X_i\}_{N_0},\{P_i\}_{N_0})$. Предложение 3.1. Подпространство $\mathcal{P}\subset {\mathcal F}$, заданное связями (3.9), лагранжево. Доказательство. Мы должны доказать, что ограничение канонической 2-формы на подпространство $\mathcal{P}$ половинной размерности тождественно равно нулю. А это простое вычисление с помощью уравнений (3.6), (3.7) и (3.9). Теорема 3.1. Подпространство $\mathcal{P}$ сохраняется гамильтоновым потоком с гамильтонианом $\mathsf{H}_1^{-}=\mathsf{H}_1-\overline{\mathsf{H}}_1$, и уравнения движения деформированной модели РШ (1.4) получаются ограничением этого потока на подпространство $\mathcal{P}$. Доказательство. Ограничивая второй набор гамильтоновых уравнений,
$$
\begin{equation*}
\dot p_i=-\frac{\partial\mathsf{H}_1^-}{\partial x_i}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
на подпространство $\mathcal{P}$, имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\dot p_{2i-1}=\sigma(\eta)\sigma(2\eta)e^{-\alpha_i -P_i} \\ \notag &\quad\times\prod_{k=1, \ne i}^{N_0} \frac{\sigma(X_{ik}-2\eta)}{\sigma(X_{ik})} \biggl[\,\sum_{j=1,\ne i}^{N_0}\bigl(\zeta(X_{ij}-2\eta)- \zeta(X_{ij})\bigr)+\zeta (\eta)-\zeta(2\eta)\biggr] \\ \notag &\quad+\sigma(\eta)\sigma(2\eta)\sum_{l=1,\ne i}^{N_0}e^{-\alpha_l -P_l} \prod_{k=1, \ne l}^{N_0}\frac{\sigma(X_{lk}-2\eta)}{\sigma(X_{lk})} \bigl(\zeta(X_{il}+\eta)-\zeta (X_{il})\bigr) \\ \notag &\quad-\frac{\sigma(2\eta)}{\sigma(\eta)}\sum_{l=1}^{N_0} e^{\alpha_l-P_l} \prod_{k=1, \ne l}^n\frac{\sigma(X_{lk}+2\eta)}{\sigma(X_{lk})} \bigl(\zeta(X_{il}-2\eta)-\zeta (X_{il}-\eta)\bigr) \\ &\quad+\sigma^{-1}(\eta)e^{\alpha_i+P_i}\prod_{k=1, \ne i}^{N_0} \frac{\sigma(X_{ik}+\eta)}{\sigma(X_{ik}-\eta)}- \sigma(\eta)e^{-\alpha_i+P_i}\prod_{k=1, \ne i}^{N_0} \frac{\sigma(X_{ik}-\eta)}{\sigma(X_{ik}+\eta)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Взяв производную по времени от (3.8), получим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \ddot X_i&=-\sigma(2\eta)\dot P_i e^{-P_i}\prod_{j\ne i}^{N_0} \frac{(\sigma(X_{ij}-2\eta)\sigma(X_{ij}+2\eta))^{1/2}}{\sigma(X_{ij})} \\ &\qquad+\frac{1}{2}\sum_{j\ne i}^{N_0}\dot X_i(\dot X_i-\dot X_j) \bigl(\zeta(X_{ij}-2\eta)+\zeta(X_{ij}+2\eta)-2\zeta (X_{ij})\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Найдем, чему равно участвующее здесь $\dot P_i$. Подставляя в равенство $\dot P_i=-\dot \alpha_i+\dot p_{2i-1}$ выражение для $\dot p_{2i-1}$ из (3.10) и принимая во внимание (3.8), приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot P_i&=-\dot \alpha_i +\dot X_i \biggl[\,\sum_{j\ne i}^{N_0} \bigl(\zeta (X_{ij}-2\eta)-\zeta (X_{ij})\bigr) +\zeta (\eta)- \zeta (2\eta)\biggr] \\ &\qquad+\sum_{l\ne i}^{N_0} \dot X_l \bigl(\zeta (X_{il}+\eta)- \zeta(X_{il})\bigr)-\sum_{l=1}^{N_0}\dot X_l\bigl(\zeta(X_{il}-2\eta)- \zeta (X_{il}-\eta)\bigr) \\ &\qquad+e^{P_i}\prod_{k\ne i}^{N_0} \frac{\sigma^{1/2}(X_{ik}-2\eta)\sigma(X_{ik}+\eta)} {\sigma^{1/2}(X_{ik}+2\eta)\sigma(X_{ik}-\eta)}-e^{P_i}\prod_{k\ne i}^{N_0} \frac{\sigma^{1/2}(X_{ik}+2\eta) \sigma(X_{ik}-\eta)} {\sigma^{1/2}(X_{ik}-2\eta)\sigma(X_{ik}+\eta)}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя формулу (3.7), чтобы вычислить $\dot\alpha_i$, и подставляя получившееся выражение для $\dot P_i$ в (3.11), окончательно имеем:
$$
\begin{equation}
\ddot X_i=-\sum_{j\ne i}^{N_0}\dot X_i \dot X_j\bigl(\zeta (X_{ij}+\eta)+ \zeta (X_{ij}-\eta)-2\zeta(X_{ij})\bigr)+\sigma(2\eta)(U_i^+-U_i^-),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
U_i^{\pm}=\prod_{j\ne i}^{N_0} \frac{\sigma(X_{ij}\pm 2\eta)\sigma(X_{ij}\mp\eta)} {\sigma(X_{ij}\pm\eta)\sigma(X_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Это уравнения (1.1), (1.2) деформированной системы РШ (при $g=\sigma(2\eta)$, $N= N_0$). Теорема доказана. 4. Интегралы движенияВ этом разделе мы докажем, что подпространство $\mathcal{P}$ инвариантно не только по отношению к $\mathsf{H}_1^{-}$-потоку, но и по отношению ко всем высшим $\mathsf{H}_k^{-}$-потокам. Это дает возможность найти интегралы движения $J_n$ деформированной модели РШ путем ограничения интегралов движения $\mathsf{J}_n$, $\mathsf{J}_{-n}$ модели РШ на подпространство $\mathcal{P}$. Мы будем обозначать ограничение интеграла $\mathsf{J}_k$ как $J_k$:
$$
\begin{equation}
J_k(\{X_i\}_{N_0},\{P_i\}_{N_0})= \mathsf{J}_k(\{x_\ell\}_N,\{p_\ell\}_N)\big|_{\mathcal{P}}, \qquad k\in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Обозначение $\mathsf{J}_k (\{x_\ell\}_N,\{p_\ell\}_N)\big|_{\mathcal{P}}$ подразумевает, что переменные $x_\ell$, $p_\ell$ связаны соотношениями (3.9), т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x_{2i-1}&=X_i, &\qquad x_{2i}&=X_i+\eta, \\ p_{2i-1}&=\alpha_i(\{X_j\}_{N_0})+P_i, &\qquad p_{2i}&=\alpha_i(\{X_j\}_{N_0})-P_i, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_i$ дается формулой (3.7). Отметим, что $J_k$ можно рассматривать как функции от $\{X_j\}_{N_0}$ и $\{\dot X_j\}_{N_0}$ в силу (3.8), и
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial J_k}{\partial P_i}= -\dot X_i\,\frac{\partial J_k}{\partial \dot X_i}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные обозначения будут использоваться для ограничений гамильтонианов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_k (\{X_i\}_{N_0},\{P_i\}_{N_0})&= \mathsf{H}_k(\{x_\ell\}_N,\{p_\ell\}_N)\big|_{\mathcal{P}}, \\ \bar H_k(\{X_i\},\{P_i\})&= \overline{\mathsf{H}}_k(\{x_\ell\}_N,\{p_\ell\}_N)\big|_{\mathcal{P}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
4.1. Инвариантность подпространства $\mathcal{P}$ под действием гамильтоновых потоков $\partial_{t_k}-\partial_{\bar t_k}$Этот пункт посвящен доказательству следующей теоремы. Теорема 4.1. Пространство пар $\mathcal{P}$, определенное соотношениями (3.9), инвариантно по отношению к гамильтоновым потокам $\partial_{t_k}-\partial_{\bar t_k}$ с гамильтонианами $\mathsf{H}_k^{-}$ для всех $k\geqslant 1$. Явные выражения для интегралов движения деформированной системы РШ будут следовать из доказательства. Для того чтобы доказать, что сохраняется первый набор связей, $x_{2i-1}-x_{2i}= \eta$, нужно показать, что
$$
\begin{equation*}
(\partial_{t_k}-\partial_{\bar t_k})x_{2i-1}= (\partial_{t_k}-\partial_{\bar t_k})x_{2i}\quad\text{для всех } i=1,\dots,N_0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{H}_k}{\partial p_{2i-1}}- \frac{\partial \overline{\mathsf{H}}_k}{\partial p_{2i-1}}= \frac{\partial \mathsf{H}_k}{\partial p_{2i}}- \frac{\partial \overline{\mathsf{H}}_k}{\partial p_{2i}}\,,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
если координаты и импульсы ограничены на пространство $\mathcal{P}$. Заметим, что из уравнений (3.6) следует, что $\partial_{p_{2i-1}}-\partial_{p_{2i}}=\partial_{P_i}$, так что (4.3) эквивалентно
$$
\begin{equation}
\frac{\partial H_k}{\partial P_i}=\frac{\partial \bar H_k}{\partial P_i}\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из (2.12) следует, что достаточно доказать, что $J_n=J_{-n}$. Обозначим через $\mathcal{N}$ множество $\{1,\dots,N_0\}$. Разделяя в (2.1) суммирование по нечетным и четным индексам (с $m$ нечетными и $n-m$ четными индексами), можно записать для $0<n\leqslant N_0$: где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{n,m}&=\frac{\sigma(n\eta)}{\sigma^n(\eta)}\, \sum_{\substack{\mathcal{I},\mathcal{J}\subseteq \mathcal{N} \\ |\mathcal{I}|=m, \,|\mathcal{J}|=n-m}}\biggl(\,\prod_{i\in \mathcal{I}} e^{p_{2i-1}}\biggr)\biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{J}}e^{p_{2j}}\biggr) \\ \notag &\qquad\times \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{I}}\, \prod_{i\in \mathcal{I}}\frac{\sigma(X_{i\ell}+\eta)}{\sigma(X_{i\ell})} \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{I}}\, \prod_{j\in \mathcal{J}} \frac{\sigma(X_{j\ell}+2\eta)}{\sigma(X_{i\ell}+\eta)} \\ &\qquad \times \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{J}}\, \prod_{i\in \mathcal{I}} \frac{\sigma(X_{i\ell})}{\sigma(X_{i\ell}-\eta)} \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{J}}\, \prod_{j\in \mathcal{J}} \frac{\sigma(X_{j\ell}+\eta)}{\sigma(X_{j\ell})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Очевидно, что это выражение равно нулю, если пересечение $\mathcal{I}\cap (\mathcal{N}\setminus \mathcal{J})$ непусто, т. е. множество $\mathcal{I}$ должно быть подмножеством $\mathcal{J}$: $\mathcal{I}\subseteq \mathcal{J}$. Так как $|\mathcal{I}|=m$, $|\mathcal{J}|=n-m$, это возможно, только если $m\leqslant [n/2]$, в противном случае $J_{n,m}$ равно нулю. Используя (3.6)–(3.8), имеем:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl(\,\prod_{i\in \mathcal{I}}e^{p_{2i-1}}\biggr) \biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{J}}e^{p_{2j}}\biggr) &=\frac{\sigma^n(\eta)}{\sigma^{n-2m}(2\eta)} \biggl(\,\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \{i\}} \frac{\sigma(X_{i\ell}-2\eta)}{\sigma(X_{i\ell}+2\eta)}\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{J}\setminus \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}\setminus \{j\}} \frac{\sigma(X_{j\ell})}{\sigma(X_{j\ell}+2\eta)}\biggr) \prod_{j\in \mathcal{J}\setminus \mathcal{I}}\dot X_j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение для $J_{-n,m}$ аналогично, но в этом случае $m$ есть число четных, а не нечетных индексов и $\eta$ во всех сомножителях произведений надо заменить на $-\eta$. После подстановки в (4.6) и сокращений получим:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{\pm n,m}&=\frac{\sigma(n\eta)}{\sigma^{n-2m}(\eta)} \sum_{\substack{\mathcal{J}\\ |\mathcal{J}|=n-m}} \, \sum_{\substack{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{J}\\ |\mathcal{I}|=m}} \biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{J}\setminus \mathcal{I}} \dot X_j\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\,\prod_{\substack{i,j\in \mathcal{J}\setminus\mathcal{I} \\ i<j}} V(X_{ij})\biggr) \biggl(\,\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N} \setminus \mathcal{J}}U^{\pm}(X_{i\ell})\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(X_{ij}) =\frac{\sigma^2(X_{ij})}{\sigma(X_{ij}+\eta)\sigma(X_{ij}-\eta)}\,,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
U^{\pm}(X_{ij}) =\frac{\sigma(X_{ij}\pm 2\eta)\sigma(X_{ij}\mp \eta)} {\sigma(X_{ij}\pm \eta)\sigma(X_{ij})}\,.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Перейдя от суммирования по подмножествам $\mathcal{J}\subset \mathcal{N}$ и $\mathcal{I}\subseteq \mathcal{J}$ к суммированию по подмножествам $\mathcal{I}$ и $\mathcal{I}'$ таким, что $\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing$ ($\mathcal{I}'=\mathcal{J}\setminus \mathcal{I}$), можно записать (4.7) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J_{\pm n, m}&=\frac{\sigma(n\eta)}{\sigma^{n-2m}(\eta)} \sum_{\substack{\mathcal{I}, \mathcal{I}', \, \mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m, \, |\mathcal{I}'|=n-2m}} \biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{I}'}\dot X_j\biggr) \biggl(\,\prod_{\substack{i,j\in \mathcal{I}' \\ i<j}} V(X_{ij})\biggr) \\ &\qquad\times\biggl(\,\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N} \setminus (\mathcal{I}\cup \mathcal{I}')} U^{\pm}(X_{i\ell})\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Равенство $J_{n,m}=J_{-n,m}$ – следствие приводимой ниже леммы. Лемма 4.1. Для любого $\mathcal{N}'\subseteq \mathcal{N}=\{1,\dots,N_0\}$ верно тождество Лемма доказана в приложении B (раздел 11). Применив лемму 4.1 с $\mathcal{N}'=\mathcal{N}\setminus \mathcal{I}'$ к (4.10), видим, что $J_{n,m}=J_{-n,m}$. Формула (1.7) для интегралов движения во введении – явным образом симметризованная версия (4.10): Мы доказали половину утверждения теоремы 4.1, а именно что первый набор связей в (3.9), $x_{2i}-x_{2i-1}=\eta$, инвариантен под действием потоков $\partial_{t_k}-\partial_{\bar t_k}$.Докажем, что второй набор связей в (3.9) тоже сохраняется. Мы должны показать, что равенство в (3.9) остается справедливым после применения $\partial_{t_n}- \,\partial_{\bar t_n}$ к обеим частям. В левой части имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \mathsf{H}^{-}_n}{\partial x_{2i-1}}+ \frac{\partial \mathsf{H}^{-}_n}{\partial x_{2i}}= \frac{\partial \mathsf{H}^{-}_n}{\partial X_{i}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы упростить обозначения, можно без потери общности положить $i=1$. Тогда мы должны доказать, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \mathsf{H}^{-}_n}{\partial X_1}= \sum_{k\ne 1} \biggl(\frac{\partial\mathsf{H}^{-}_n}{\partial p_1}- \frac{\partial \mathsf{H}^{-}_n}{\partial p_{2k-1}}\biggr) \bigl(\zeta (X_{1k}+2\eta)-\zeta (X_{1k}-2\eta)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.12) ясно, что это эквивалентно
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{J}^{-}_n}{\partial X_1}= \sum_{k\ne 1} \biggl(\frac{\partial\mathsf{J}^{-}_n}{\partial p_1}- \frac{\partial \mathsf{J}^{-}_n}{\partial p_{2k-1}}\biggr) \bigl(\zeta (X_{1k}+2\eta)-\zeta (X_{1k}-2\eta)\bigr).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Повторяя вычисление, ведущее к (4.10), для ограничения $\partial\mathsf{J}_{\pm n}/\partial p_{2k-1}$ на подпространство $\mathcal{P}$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{J}_n}{\partial p_{2k-1}} = \frac{\sigma(n\eta)}{\sigma^{n-2m}(\eta)}\sum_{m=0}^{[n/2]}\, \sum_{\substack{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m, \, |\mathcal{I}'|=n-2m}} \Theta (k\in \mathcal{I}) X_{\mathcal{I}'}U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{J}_{-n}}{\partial p_{2k-1}} = \frac{\sigma(n\eta)}{\sigma^{n-2m}(\eta)}\sum_{m=0}^{[n/2]}\, \sum_{\substack{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m, \, |\mathcal{I}'|=n-2m}} \Theta (k\in \mathcal{I}\cup \mathcal{I}') X_{\mathcal{I}'} U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
X_{\mathcal{I}'} =\biggl(\,\prod_{j\in \mathcal{I}'}\dot X_j\biggr) \prod_{\substack{j_1, j_2 \in \mathcal{I}'\\ j_1<j_2}}V_{j_1 j_2},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
$$
\begin{equation}
U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{\pm} =\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{j\in \mathcal{N}\setminus (\mathcal{I}\cup \mathcal{I}')} U^{\pm}(X_{ij})
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
и $\Theta (S)$ – функция, равная единице, если утверждение $S$ истинно, и нулю в противном случае. Объединяя (4.13) и (4.14), получаем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\partial \mathsf{J}_n^-}{\partial p_{2k-1}}&= \sum_{m=0}^{[n/2]}\kappa_{nm} \biggl\{\,\sum_{\substack{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m, \, |\mathcal{I}'|=n-2m}} \Theta(k\in \mathcal{I}) X_{\mathcal{I}'}(U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-}+ U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}) \\ &\qquad+\sum_{\substack{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m, \, |\mathcal{I}'|=n-2m}} \Theta (k\in \mathcal{I}') X_{\mathcal{I}'} U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где Аналогичное вычисление дает
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{J}_{\pm n}}{\partial X_1}= \sum_{m=0}^{[n/2]}\kappa_{nm}\, \sum_{\substack{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing \\ |\mathcal{I}|=m,\, |\mathcal{I}'|=n-2m}} X_{\mathcal{I}'} U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{\mp}Z_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{\pm},
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Z_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}&=\Theta (1 \in \mathcal{I}) \biggl(\,\sum_{\ell \in \mathcal{N}\setminus(\mathcal{I}\cup\mathcal{I}')} \bigl(\zeta(X_{1\ell}+\eta)-\zeta (X_{1\ell}-\eta)\bigr)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ \sum_{\ell \in \mathcal{I}'}\bigl(\zeta (X_{1\ell}+\eta)- \zeta (X_{1\ell})\bigr)\biggr) \notag \\ \notag &\qquad+\Theta (1 \in \mathcal{I}\cup \mathcal{I}') \biggl(\,\sum_{\ell \in \mathcal{N}\setminus(\mathcal{I}\cup\mathcal{I}')} \bigl(\zeta (X_{1\ell}+2\eta)-\zeta (X_{1\ell})\bigr)\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ \sum_{\ell \in \mathcal{I}'}\bigl(\zeta (X_{1\ell}+ 2\eta)- \zeta(X_{1\ell}+\eta)\bigr)\biggr) \notag \\ \notag &\qquad+\Theta (1 \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{I}) \biggl(\,\sum_{\ell \in \mathcal{I}}\,\bigl(\zeta (X_{1\ell}+ 2\eta)- \zeta (X_{1\ell})\bigr)\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ \sum_{\ell \in \mathcal{I}'} \bigl(\zeta (X_{1\ell}+ 2\eta)-\zeta (X_{1\ell}+\eta)\bigr)\biggr) \notag \\ &\qquad+\Theta (1 \in \mathcal{N}\setminus (\mathcal{I}\cup\mathcal{I}')) \biggl(\,\sum_{\ell \in \mathcal{I}}\, \bigl(\zeta(X_{1\ell}+\eta)-\zeta(X_{1\ell}-\eta)\bigr)\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ \sum_{\ell \in \mathcal{I}'}\bigl(\zeta (X_{1\ell}+ \eta)- \zeta(X_{1\ell})\bigr)\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
и $Z_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-}$ получается из $Z_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}$ заменой $\eta \to -\eta$. Это выражение может быть приведено к более удобной форме с использованием очевидных соотношений
$$
\begin{equation*}
\Theta(1 \in \mathcal{I}\cup \mathcal{I}')= \Theta(1 \in \mathcal{I})+\Theta(1 \in \mathcal{I}'), \quad \Theta(1 \in \mathcal{N}\setminus \mathcal{I})=1-\Theta(1 \in \mathcal{I}).
\end{equation*}
\notag
$$
Правые части (4.17) и (4.19) – суммы по $m=0,\dots,[n/2]$. Обозначим $m$-е члены в суммах через $\dfrac{\partial \mathsf{J}_{n,m}^-}{\partial p_{2k-1}}$ и $\dfrac{\partial \mathsf{J}_{\pm n,m}^-}{\partial X_1}$. Мы сейчас покажем, что
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathsf{J}_{n,m}}{\partial X_1}- \frac{\partial \mathsf{J}_{-n,m}}{\partial X_1}= \sum_{k\ne 1}\biggl(\frac{\partial \mathsf{J}^{-}_{n,m}}{\partial p_1}- \frac{\partial \mathsf{J}^{-}_{n,m}}{\partial p_{2k-1}}\biggr) \bigl(\zeta(X_{1k}+2\eta)-\zeta (X_{1k}-2\eta)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
откуда и будет следовать (4.12). Прямое вычисление дает:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\kappa_{nm}^{-1}\biggl\{\frac{\partial \mathsf{J}_{n,m}^{-}}{\partial X_1}- \sum_{k\ne 1}\biggl(\frac{\partial\mathsf{J}^{-}_{n,m}}{\partial p_1}- \frac{\partial \mathsf{J}^{-}_{n,m}}{\partial p_{2k-1}}\biggr) \bigl(\zeta (X_{1k}+2\eta)-\zeta(X_{1k}-2\eta)\bigr)\biggr\} \\ \notag &\qquad=\sum_{\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'= \varnothing} X_{\mathcal{I}'}\biggl\{\Theta (1 \in \mathcal{I}) \biggl[U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-}\sideset{}{'}\sum_\ell \zeta^{-}(X_{1\ell}) \\ \notag &\qquad\qquad-U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+} \sideset{}{'}\sum_\ell\zeta^{+}(X_{1\ell})+ U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}\sideset{}{'}\sum_{\ell\in \mathcal{I}} \zeta^{+}(X_{1\ell}) \\ \notag &\qquad\qquad+U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+} \sideset{}{'}\sum_{\ell\in \mathcal{I}} \zeta^{-}(X_{1\ell})-U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-} \sideset{}{'}\sum_{\ell\in \mathcal{I}}\zeta^{-}(X_{1\ell})- U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-} \sideset{}{'}\sum_{\ell\in \mathcal{I}}\zeta^{+}(X_{1\ell}) \\ \notag &\qquad\qquad+U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}\sum_{\ell\in \mathcal{I}'} \zeta^{+}(X_{1\ell})-U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-} \sum_{\ell\in \mathcal{I}'}\zeta^{-}(X_{1\ell})\biggr] \\ &\qquad\qquad+\Theta (1 \in \mathcal{I}') \biggl[U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+}\sum_{\ell\in \mathcal{I}} \zeta^{-}(X_{1\ell})-U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-} \sum_{\ell\in \mathcal{I}}\zeta^{+}(X_{1\ell})\biggr]\notag \\ &\qquad\qquad+\sum_{k\ne 1}\Theta (k \in \mathcal{I}) \biggl[ U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{-} \zeta^{+}(X_{1k})- U_{\mathcal{I}\mathcal{I}'}^{+} \zeta^{-}(X_{1k})\biggr]\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
где
$$
\begin{equation}
\zeta^{\pm}(X)=\zeta(X\pm 2\eta)+\zeta(X\mp\eta)-\zeta(X+\pm\eta)-\zeta(X)
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
и сумма $\displaystyle\sideset{}{'}\sum_\ell$ берется по $\ell \ne 1$. Лемма 4.2. Имеет место следующее тождество: Доказательство. Это производная по $X_1$ тождества (4.11) из леммы 4.1 с $\mathcal{N}'=\mathcal{N}\setminus \mathcal{I}'$. Используя тождество (4.24), легко видеть, что правая часть в (4.22) равна нулю. Следовательно, инвариантность подпространства пар $\mathcal{P}$ под действием потоков с гамильтонианами $\mathsf{H}^{-}_n$ доказана. До сих пор мы рассматривали ограничение интегралов $\mathsf{J}_n$ при $n<N/2=N_0$. Случай $N/2 <n\leqslant N$ может быть рассмотрен аналогично; результат в этом случае таков: ограничение интегралов $\mathsf{J}_n$ при $N_0 <n\leqslant 2N_0$ равно $J_{n-2N_0}$. Доказательство теоремы 4.1 также может быть распространено на этот случай. Наконец, скажем несколько слов о том, находятся ли найденные интегралы движения в инволюции. Поскольку гамильтонова структура деформированной системы РШ (если она существует) неизвестна, мы не можем вычислить скобки Пуассона между интегралами движения и доказать, что они равны нулю. Наши интегралы движения являются функциями координат и скоростей, а не координат и импульсов. Однако в любой интегрируемой системе все интегралы движения в инволюции сохраняются потоками, генерируемыми любым из них. Каждый высший гамильтониан $\mathsf{H}^{-}_n$ системы РШ порождает поток $\partial_{T_n^-}$ на “фазовом пространстве” $\mathcal{P}$ деформированной системы РШ. Из того факта, что интегралы системы РШ находятся в инволюции, следует, что ограничения $H_n$ гамильтонианов РШ на пространство $\mathcal{P}$ сохраняются под действием всех потоков $\partial_{T_k^-}$. В этом смысле мы можем сказать, что интегралы движения $H_n$ и $J_n$ деформированной системы РШ находятся в инволюции. 4.2. Производящая функция интегралов движенияИзвестно, что интегралы движения системы РШ с $2N$ частицами можно объединить в производящую функцию, которая представляется как детерминант матрицы $zI- L(u)$ размера $2N\times 2N$, где $I$ – единичная матрица, $z$ – спектральный параметр и $L(u )$ – матрица Лакса, зависящая от еще одного спектрального параметра $u$. Матрица Лакса имеет вид где функция $\phi(x,u)$ дается формулой
$$
\begin{equation}
\phi(x,u)=\frac{\sigma(x+u)}{\sigma(u)\sigma(x)}\,.
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Предложение 4.1 [9]. Выполняется соотношение Доказательство основано на известной формуле для детерминанта эллиптической матрицы Коши:
$$
\begin{equation}
\det_{1\leqslant i,j\leqslant n}\phi (y_i-x_j)= \frac{\sigma\bigl(u+\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)\bigr)}{\sigma(u)}\, \frac{\prod_{k<l}\sigma(y_k-y_l)\sigma(x_l-x_k)} {\prod_{k,l}\sigma(y_k-x_l)}\,.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
В этом пункте мы построим производящую функцию для интегралов движения (1.7). Идея заключается в том, чтобы ограничить матрицу Лакса (4.25) на подпространство $\mathcal{P}$. Однако прямое ограничение невозможно, поскольку некоторые матричные элементы становятся бесконечными. Тем не менее мы увидим, что детерминант (4.27) остается конечным. Для регуляризации матрицы Лакса положим (в конце мы устремим $\varepsilon$ к нулю). При $\varepsilon=0$ имеем $\partial_{t_1}x_{2i}=\dot X_i$ и $\partial_{t_1}x_{2i-1}=0$. Чтобы двинуться дальше, мы должны найти $\partial_{t_1}x_{2i-1}$ с точностью до первого не равного тождественно нулю члена порядка $\varepsilon$. Простое вычисление показывает, что
$$
\begin{equation}
\partial_{t_1}x_{2i-1}=\varepsilon \sigma(2\eta) \dot X_i^{-1}U_i^- +O(\varepsilon^2),
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
где $U_i^-$ дается формулой (3.13) (с $N_0\to N$). Дальнейшее вычисление матричных элементов матрицы Лакса не представляет трудностей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_{2i-1, 2j-1}&:=L_{ij}^{({\textrm oo})}= \varepsilon \sigma(2\eta)\dot X_i^{-1}U_i^-\phi (X_{ij}-\eta,u)+ O(\varepsilon^2), \\ L_{2i-1, 2j}&:=L_{ij}^{({\textrm oe})}= \varepsilon \sigma(2\eta)\dot X_i^{-1}U_i^-\phi(X_{ij}-2\eta,u)+ O(\varepsilon^2), \\ L_{2i, 2j-1}&:=L_{ij}^{({\textrm eo})}= \dot X_i\phi(X_{ij}+\varepsilon,u)+\delta_{ij}O(1)+O(\varepsilon), \\ L_{2i,2j}&:=L_{ij}^{({\textrm ee})}=\dot X_i\phi(X_{ij}-\eta,u)+O(\varepsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
После перенумерации строк и столбцов матрицу Лакса можно представить как блочную $(2 \times 2)$-матрицу:
$$
\begin{equation}
L=\begin{pmatrix} L_{ij}^{({\textrm oo})} & L_{ij}^{({\textrm oe})} \\ L_{ij}^{({\textrm eo})} & L_{ij}^{({\textrm ee})} \end{pmatrix}, \qquad i,j=1,\dots,N.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Мы видим, что $L_{ii}^{({\textrm eo})}$ сингулярны при $\varepsilon \to 0$, так как $\phi (\varepsilon,u)=\varepsilon^{-1}+O(1)$. Используя формулу для детерминанта блочной матрицы, имеем:
$$
\begin{equation*}
\det(zI-L)=\det \bigl(zI-L^{({\textrm oo})}\bigr) \det\bigl(zI-L^{({\textrm ee})}-L^{({\textrm eo})} (zI-L^{({\textrm oo})})^{-1}L^{({\textrm oe})}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что правая часть остается конечной при $\varepsilon \to 0$. Чтобы найти предел при $\varepsilon \to 0$, мы можем положить $L_{ij}^{({\textrm oo})}=0$, а в других блоках забыть про степени $\varepsilon$, следующие за лидирующей. Действуя таким образом, находим:
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon \to 0}\bigl(L^{({\textrm eo})}(zI-L^{({\textrm oo})})^{-1} L^{({\textrm oe})}\bigr)_{ij}=\sigma(2\eta)z^{-1}U_i^-\phi (X_{ij}-2\eta,u).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, производящая функция интегралов движения такова:
$$
\begin{equation}
R(z,u )=\det_{1\leqslant i,j\leqslant N} \bigl(z\delta_{ij}- \dot X_i \phi(X_{ij}-\eta,u )- \sigma(2\eta)z^{-1} U_i^- \phi(X_{ij}-2\eta,u )\bigr).
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
Предложение 4.2. Производящая функция $R(z,u)$ дается явной формулой Набросок доказательства. Доказательство заключается в длинном, но прямом вычислении, которое использует формулу для детерминанта суммы двух матриц и формулу (4.28) для детерминанта эллиптической матрицы Коши. Вот некоторые подробности. Прежде всего, детерминант $\det(I+M)$ равен сумме всех диагональных миноров матрицы $M$ всех размеров, включая “пустой минор”, который надо положить равным единице. После этого мы сталкиваемся с детерминантами вида $\det (A_{\mathcal{J}}+B_{\mathcal{J}})$, где $A_{\mathcal{J}}$, $B_{\mathcal{J}}$ – диагональные миноры матриц $\dot X_i\phi(X_{ij}-\eta,u)$, $\sigma(2\eta)z^{-1} U_i^- \phi(X_{ij}-2\eta,u)$ размера $n\leqslant N$ со строками и столбцами, занумерованными индексами из множества
$$
\begin{equation*}
\mathcal{J}=\{j_1,\dots,j_n\} \subseteq \{1,\dots,N\}\qquad (j_1< j_2 <\cdots <j_n \leqslant N).
\end{equation*}
\notag
$$
Формула для детерминанта суммы двух матриц утверждает, что
$$
\begin{equation*}
\det (A_{\mathcal{J}} +B_{\mathcal{J}})=\sum_{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{J}}\det A^{(B)}_{\mathcal{J}\setminus \mathcal{I}},
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по всем подмножествам $\mathcal{I}$ множества $\mathcal{J}$ и $A^{(B)}_{\mathcal{J}\setminus \mathcal{I}}$ – матрица $A_{\mathcal{J}}$, в которой строки с номерами из множества $\mathcal{I}$ заменены на соответствующие строки матрицы $B_{\mathcal{J}}$. Каждая матрица $A^{(B)}_{\mathcal{J}\setminus \mathcal{I}}$ – это эллиптическая матрица Коши (умноженная на диагональную матрицу), так что ее детерминант известен. Чтобы показать это, в (4.28) положим $x_j=X_j$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} y_j&=X_j -\eta, &\quad \text{если } j&\in \mathcal{J}\setminus \mathcal{I}, \\ y_j&=X_j-2\eta, &\quad \text{если } j&\in \mathcal{I}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Детерминант в (4.33) представляется как полином Лорана от $z$ с коэффициентами, которые записываются как суммы по множествам $\mathcal{I},\mathcal{I}'\subseteq \{1,\dots,N\}$ таким, что $\mathcal{I}\cap \mathcal{I}'=\varnothing$, как в (4.10). Это завершает доказательство предложения. Характеристическое уравнение задает риманову поверхность $\widetilde{\Gamma}$, которая представляет собой $2N$-листное накрытие $u$-плоскости. Эта риманова поверхность – интеграл движения. Ее точка – это пара $P=(z,u)$, где $z$, $u$ связаны уравнением (4.35). Имеется $2N$ точек над каждой точкой $u$. Из вида правой части формулы (4.34) легко заключить, что риманова поверхность $\widetilde{\Gamma}$ инвариантна относительно одновременных преобразований
$$
\begin{equation}
u \mapsto u +2\omega, \quad z\mapsto e^{-2\zeta (\omega)\eta}z \quad \text{и} \quad u \mapsto u +2\omega', \quad z\mapsto e^{-2\zeta (\omega')\eta}z.
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
Фактор $\widetilde{\Gamma}$ по преобразованиям (4.36) – алгебраическая кривая $\Gamma$, накрывающая эллиптическую кривую с периодами $2\omega$, $2\omega'$. Это спектральная кривая деформированной модели РШ. Предложение 4.3. Спектральная кривая $\Gamma$ обладает голоморфной инволюцией $\iota$ с двумя неподвижными точками. Доказательство. В предыдущем пункте было доказано, что $J_{-k}=J_k$. Следовательно, уравнение $R(z,u)=0$ инвариантно при инволюции как легко видеть из (4.34). Неподвижные точки могут лежать над точками $u_{*}$ такими, что $u_{*}=2N\eta-u_{*}$ по модулю решетки периодов $2\omega$, $2\omega'$, т. е. $u_{*}=N\eta-\omega_\alpha$, где $\omega_\alpha$ равно либо нулю, либо одному из трех полупериодов Подставляя это в уравнение спектральной кривой и учитывая, что $J_{-k}=J_k$, заключаем, что неподвижными точками являются $(\pm 1,N\eta)$, а над точками $u_{*}=N\eta-\omega_\alpha$ с $\omega_\alpha \ne 0$ неподвижных точек нет. Предложение доказано.
5. Преобразование БэклундаПосле работ [10]–[13] тесная связь многочастичных систем типа КМ и РШ и нелинейных интегрируемых дифференциальных и разностных уравнений, заключающаяся в том, что эти системы описывают динамику полюсов сингулярных решений нелинейных уравнений, стала общим местом для специалистов. Хорошо известно, что нелинейные интегрируемые уравнения служат условиями совместности линейных дифференциальных и разностных уравнений для “волновой функции” $\psi$. Полюсы решений нелинейных уравнений (нули тау-функции) являются одновременно полюсами $\psi$-функции, так что они подчиняются уравнениям движения типа КМ и РШ. В действительности нули $\psi$-функции подчиняются тем же самым уравнениям, и это приводит к идее построить преобразование Бэклунда систем КМ и РШ путем перехода от полюсов к нулям. Этот метод хорошо работает для всех ранее известных примеров, и мы собираемся применить его к случаю решетки Тоды со связью типа B. Первая линейная задача для решетки Тоды со связью типа B имеет следующий вид [17]:
$$
\begin{equation}
\partial_t \psi(x)=v(x)\bigl(\psi(x+\eta)-\psi(x-\eta)\bigr),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $v(x)$ выражается через тау-функцию $\tau(x)$: Для эллиптических решений тау-функция имеет вид где предполагается, что все ее нули $x_j$ различны, так что $v(x)$ – эллиптическая функция с периодами $2\omega$, $2\omega'$. Следовательно, решения уравнения (5.1) можно искать среди двоякоблоховских функций, т. е. таких, что
$$
\begin{equation*}
\psi(x+2\omega)=B\psi(x), \quad \psi(x+2\omega')=B'\psi(x)
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми блоховскими множителями $B$, $B'$. Полюсы функции $\psi$ – нули тау-функции, так что мы можем представить решения уравнения (5.1) в виде
$$
\begin{equation}
\psi(x)=\mu^{x/\eta}\exp\bigl((\mu-\mu^{-1})t\bigr)\, \frac{\hat\tau(x)}{\tau(x)}\,,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где с некоторыми $y_i$. Тогда $\psi$-функция действительно является двоякоблоховской с блоховскими множителями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B&=\mu^{2\omega/\eta}\exp\biggl(2\zeta(\omega)\sum_{j=1}^N(x_j-y_j)\biggr), \\ B'&=\mu^{2\omega'/\eta}\exp\biggl(2\zeta(\omega') \sum_{j=1}^N(x_j-y_j)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже мы увидим (см. предложение 5.1), что так что блоховские множители не зависят от времени. В работе [16] было доказано, что полюсы $x_j$ $\psi$-функции удовлетворяют уравнениям движения (1.3) для любого $\mu$. Теорема 5.1. Нули $y_i$ и полюсы $x_i$ $\psi$-функции, удовлетворяющей уравнению (5.1), связаны системой уравнений Это так называемые самодуальные уравнения движения. Они симметричны относительно замены
$$
\begin{equation*}
x_j \leftrightarrow y_j,\quad \mu \leftrightarrow \mu^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Переход $x_j \to y_j$ можно рассматривать как преобразование Бэклунда деформированной системы РШ. Доказательство теоремы 5.1. Подставляя анзац (5.4) в уравнение (5.1) с $v(x)$ таким, как в (5.2), получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{\partial_t\hat\tau(x)}{\hat\tau(x)}-\frac{\partial_t\tau(x)}{\tau(x)}+ \mu-\mu^{-1}=\mu\frac{\hat\tau(x+\eta)\tau(x-\eta)}{\hat\tau(x)\,\tau(x)}- \mu^{-1}\frac{\tau(x+\eta)\hat\tau(x-\eta)}{\tau(x)\, \hat\tau(x)}\,.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Очевидно, что оно инвариантно относительно одновременной замены
$$
\begin{equation*}
\tau \leftrightarrow \hat\tau,\quad \mu \leftrightarrow \mu^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
так что $y_j$ удовлетворяют тем же уравнениям движения (1.3). Обе части уравнения (5.7) имеют простые полюсы в точках $x=x_j$ и $x=y_j$. Приравнивая вычеты, приходим к уравнениям (5.6). Теорема доказана. Нужно отметить, что уравнения движения (1.4) для $x_j$ и $y_j$ в принципе можно вывести из уравнений (5.6). Для этого от уравнений (5.6) нужно взять производную по времени и воспользоваться ими еще раз, подставив выражения для $\dot x_j$, $\dot y_j$ через $x_j$, $y_j$. Уравнения (1.4) тем самым окажутся эквивалентны некоторому нетривиальному тождеству для эллиптических функций многих переменных, которое слишком сложно для того, чтобы доказывать его “в лоб”. Однако нам нет нужды в таком доказательстве, поскольку уравнения движения для $x_j$ следуют из результата работы [16], а уравнения для $y_j$ – из симметрии $x_j \leftrightarrow y_j$. Отметим, что преобразование Бэклунда для системы РШ отличается от (5.6) отсутствием вторых членов в правых частях. В этом смысле оно содержится в (5.6) как формальный предельный случай $\mu \to \infty$ (или $\mu \to 0$). Это следует из уравнений (5.6). Доказательство основано на тождествах для $\sigma$-функции типа Фэя высших степеней (см., например, [24]). Оно практически повторяет соответствующее доказательство из работы [24], и мы его здесь опустим. 6. Динамика в дискретном времени и непрерывные пределыПреобразование Бэклунда $x_j \to y_j$ можно интерпретировать как эволюцию в дискретном времени на один шаг. Обозначив переменную дискретного времени через $n\in \mathbb{Z}$, положим $x_i=x_i^n$, $y_i=x_i^{n+1}$. Сдвинув $n\to n-1$ во втором уравнении системы (5.6), чтобы левые части этих уравнений стали одинаковыми, приходим к выводу, что и правые части должны быть равны, что дает уравнения (1.12), или
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\prod_{j=1}^N\frac{\sigma(x_i^{n}-x_j^{n+1}) \sigma(x_i^{n}-x_j^{n}+\eta)\sigma(x_i^{n}-x_j^{n-1}-\eta)} {\sigma(x_i^{n}-x_j^{n+1}+\eta)\sigma(x_i^{n}-x_j^{n}-\eta) \sigma(x_i^{n}-x_j^{n-1})} \\ \notag &\qquad=-1+\mu^{-2}\prod_{j=1}^N \frac{\sigma(x_i^{n}-x_j^{n+1})\sigma(x_i^{n}- x_j^{n-1}+\eta)} {\sigma(x_i^{n} -x_j^{n+1}+\eta)\sigma(x_i^{n}-x_j^{n-1})} \\ &\qquad\qquad\;\;+ \mu^{-2}\prod_{j=1}^N \frac{\sigma(x_i^{n}-x_j^{n+1}-\eta)\sigma(x_i^{n}-x_j^{n}+\eta)} {\sigma(x_i^{n} -x_j^{n+1}+\eta)\sigma(x_i^{n}-x_j^{n}-\eta)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Обсудим непрерывный предел уравнений (6.1). На самом деле они допускают различные непрерывные пределы. В одном из них введем переменные и предположим, что они ведут себя гладко при изменении времени, т. е. при $\varepsilon \to 0$, где мы ввели постоянную решетки $\varepsilon$ на оси времени, так что непрерывной временной переменной будет $t=n\varepsilon$. В терминах переменных $X_j^n$ уравнения (6.1) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\prod_{j=1}^N\frac{\sigma(X_i^{n}-X_j^{n+1}-\eta) \sigma(X_i^{n}-X_j^{n}+\eta)\sigma(X_i^{n}-X_j^{n-1})} {\sigma(X_i^{n}-X_j^{n+1})\sigma(X_i^{n}-X_j^{n}-\eta) \sigma(X_i^{n}-X_j^{n-1}+\eta)} \\ \notag &\qquad=-1+\mu^{-2}\prod_{j=1}^N \frac{\sigma(X_i^{n}-X_j^{n+1}-\eta)\sigma(X_i^{n}-X_j^{n-1}+2\eta)} {\sigma(X_i^{n} -X_j^{n+1})\sigma(X_i^{n}- X_j^{n-1}+\eta)}\notag \\ &\qquad\qquad+\mu^{-2}\prod_{j=1}^N \frac{\sigma(X_i^{n}-X_j^{n+1}-2\eta)\sigma(X_i^{n}-X_j^{n}+\eta)} {\sigma(X_i^{n} -X_j^{n+1}) \sigma(X_i^{n}-X_j^{n}-\eta)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
Мы должны разложить их по степеням $\varepsilon$, учитывая, что
$$
\begin{equation*}
X_j^{n\pm 1}=X_j \pm \varepsilon \dot X_j+ \frac{1}{2}\,\varepsilon^2 \ddot X_j+O(\varepsilon^3)
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varepsilon \to 0$. Процедура разложения бесхитростна. Достаточно разложить до порядка $\varepsilon$. Для самосогласованности процедуры разложения нужно потребовать, чтобы $\mu^{-1}$ было порядка $\varepsilon$. Положив $\mu^{-1}=\varepsilon$, в лидирующем порядке получим уравнения (1.4) для $X_j$. Другая возможность – предположить, что гладкими во времени являются исходные переменные, т. е.
$$
\begin{equation*}
x_j^{n\pm 1}=x_j \pm \varepsilon \dot x_j+ \frac{1}{2}\, \varepsilon^2 \ddot x_j +O(\varepsilon^3).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае надо разлагать уравнения (6.1). Легко видеть, что в случае общего положения, если $\mu^{-2}-1=O(1)$ при $\varepsilon \to 0$, лидирующий порядок будет $\varepsilon$, и разложение дает уравнения РШ (1.2). Однако если $\mu^{-2}-1=O(\varepsilon)$ (скажем, $\mu^{-2} =1+\alpha \varepsilon+O(\varepsilon^2)$), то первый порядок дает тождество $0=0$ и нужно разлагать до второго порядка по $\varepsilon$. Процедура довольно сложная, но прямая. В результате получаются уравнения, выведенные в работе [18] для динамики полюсов эллиптических решений полудискретного уравнения BКП:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sum_{j\ne i}(\ddot x_i \dot x_j -\dot x_i\ddot x_j) \biggl(\frac{\wp '(\eta)}{\wp (x_{ij})-\wp (\eta)}-2\zeta(\eta)\biggr) \\ \notag &\qquad+\sum_k\,\sum_{j\ne i,k}\dot x_i \dot x_j \dot x_k \, \frac{\wp '(x_{ij})}{\wp (x_{ij})-\wp (\eta)} \biggl(\frac{\wp'(\eta)}{\wp (x_{ij})-\wp(\eta)}-2\zeta(\eta)\biggr) \\ \notag &\qquad-2\zeta(\eta)\sum_{j\ne i} \dot x_i \dot x_j^2\, \frac{\wp '(x_{ij})}{\wp (x_{ij})-\wp (\eta)} \\ &\qquad-\alpha\biggl(\ddot x_i+\sum_{j\ne i}\dot x_i \dot x_j \bigl(\zeta(x_{ij}+\eta)+\zeta(x_{ij}-\eta)-2\zeta (x_{ij})\bigr)\biggr)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
(здесь исправлена ошибка, допущенная в [18], где отсутствовала сумма в третьей строчке). В отличие от ранее обсуждавшихся уравнений движения, эти уравнения не разрешены относительно $\ddot x_j$.
7. Деформированная система РШ в дискретном времени из полностью дискретного уравнения BКПВ этом разделе мы показываем, что эллиптическая деформированная система РШ в дискретном времени (1.12) является динамической системой для полюсов эллиптических решений полностью дискретного уравнения BКП [29]. Начнем с непрерывной иерархии BКП [30], [31]. Введем бесконечный набор непрерывных “времен” $\mathbf{t}=\{t_1,t_3,t_5,\dots\}$, занумерованных нечетными числами. Это независимые переменные иерархии. Зависимая переменная – тау-функция $\tau = \tau(\mathbf{t})$. Иерархия BКП закодирована в порождающем билинейном соотношении для тау-функции [31]:
$$
\begin{equation}
\oint_{C_{\infty}}\frac{dz}{2\pi i z}\, \exp\bigl(\xi (\mathbf{t},z)- \xi(\mathbf{t}', z)\bigr) \tau (\mathbf{t}-2[z^{-1}])\, \tau (\mathbf{t}' +2[z^{-1}])=\tau(\mathbf{t})\tau(\mathbf{t}'),
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
справедливом для всех $\mathbf{t}$, $\mathbf{t}'$. Здесь мы используем стандартные обозначения
$$
\begin{equation*}
\xi(\mathbf{t},z)=\sum_{k=1,3,5,\dots}t_k z^k, \qquad \mathbf{t}\pm 2[z^{-1}]=\biggl\{t_1 \pm \frac{2}{z}\,,t_3 \pm \frac{2}{z^3}\,,t_5 \pm \frac{2}{z^5}\,,\dots\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Контур $C_{\infty}$ – большая окружность вокруг бесконечности такая, что сингулярности подынтегрального выражения, идущие от тау-функциональных множителей, находятся внутри контура, а те, что идут от экспоненциального множителя, находятся снаружи. Дискретное уравнение BКП получается следующим образом. Положим
$$
\begin{equation}
\tau({\ell },m,n):=\tau(\mathbf{t}-2{\ell}[a^{-1}]-2m[b^{-1}]-2n[c^{-1}])
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
и рассмотрим это выражение как функцию дискретных переменных $\ell$, $m$, $n$. Предложение 7.1 [29]. Функция $\tau({\ell},m,n)$ удовлетворяет уравнению Это полностью дискретное уравнение BКП, впервые появившееся в работе Т. Мивы [29]. Доказательство предложения 7.1. Положив
$$
\begin{equation*}
t_k'=t_k-\frac{2a^{-k}}{k}-\frac{2b^{-k}}{k}- \frac{2c^{-k}}{k}
\end{equation*}
\notag
$$
в билинейном соотношении, мы можем вычислить интеграл в левой части (7.1) с помощью вычетов. (При этом надо учитывать, что полюсы в точках $a$, $b$, $c$, происходящие от экспоненциального множителя, лежат вне контура и контур надо стягивать к бесконечности.) В результате получается уравнение (7.3). Предложение доказано. Введем волновую функцию $\psi({\ell},m;z)$ формулой
$$
\begin{equation}
\psi({\ell },m;z)=e^{\xi(\mathbf{t},z)}\biggl(\frac{a-z}{a+z}\biggr)^{\ell} \biggl(\frac{b-z}{b+z}\biggr)^{m}\,\frac{\tau(\mathbf{t}-2{\ell}[a^{-1}]- 2m[b^{-1}]-2[z^{-1}])}{\tau(\mathbf{t}-2l[a^{-1}]-2m[b^{-1}])}\,.
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
Предложение 7.2. Функция $\psi({\ell},m;z)$ удовлетворяет линейному уравнению где Доказательство. После подстановки (7.4) в (7.5) можно убедиться, что (7.5) эквивалентно дискретному уравнению BКП (7.3), что и требовалось доказать. До сих пор все дискретные переменные входили в уравнения симметричным образом. Теперь мы нарушим эту симметрию, выделив одну из переменных (скажем, $\ell$), считая ее переменной на пространственной решетке с постоянной решетки $\eta$. В соответствии с этим соглашением введем непрерывную пространственную переменную $x=\ell\eta$, так что $\ell \pm 1$ соответствует $x\pm \eta$. Дискретной временной переменной будет $m$. Удобно изменить обозначения:
$$
\begin{equation*}
\tau(\ell,m,n)\to \tau^{m}(x), \quad \psi(\ell,m)\to\psi^{m}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
(предполагается, что переменная $n$ фиксирована). В этих обозначениях уравнение (7.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\psi^{m+1}(x)-\psi^m(x+\eta)= \kappa u^m(x)\bigl(\psi^{m+1}(x+\eta)-\psi^m(x)\bigr),
\end{equation}
\tag{7.7}
$$
$$
\begin{equation}
u^m(x)=\frac{\tau^m(x)\tau^{m+1}(x+\eta)} {\tau^{m}(x+\eta)\tau^{m+1}(x)}\,, \quad \kappa=\frac{a-b}{a+b}\,.
\end{equation}
\tag{7.8}
$$
Укажем, как при этом выглядят два предела непрерывного времени, которые обсуждались в предыдущем разделе. В случае первого предела (который ведет к решетке Тоды со связью типа B) надо устремить $b\to a$ и $m\to \infty$ таким образом, чтобы непрерывная временная переменная $t=m(b^{-1}-a^{-1})$ оставалась конечной и ненулевой. В случае второго предела (который ведет к полудискретному уравнению BКП) надо устремить $b\to \infty$ и $m\to \infty$ таким образом, чтобы непрерывная временная переменная $t=mb^{-1}$ оставалась конечной и ненулевой. Теперь мы готовы получить уравнения движения для полюсов по $x$ волновой функции $\psi^m(x)$ (которые являются нулями $\tau^m(x)$) как функций дискретного времени $m$. Теорема 7.1. Для эллиптических по $x$ решений полюсы волновой функции $\psi^m(x)$ (нули $\tau^m(x)$) удовлетворяют уравнениям движения (1.12) деформированной модели РШ в дискретном времени. Доказательство. В соответствии с (7.4) запишем волновую функцию в виде
$$
\begin{equation}
\psi^m(x)=\lambda^{x/\eta}\nu^m\,\frac{\hat\tau^m(x)}{\tau^m(x)}\,,
\end{equation}
\tag{7.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda=\frac{a-z}{a+z}\,,\qquad \nu=\frac{b-z}{b+z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в терминах $\lambda$ и $\nu$ мы имеем В случае эллиптических решений надо положить
$$
\begin{equation}
\tau^m(x)=\prod_{j=1}^N \sigma(x-x_j^m), \qquad \hat \tau^m(x)=\prod_{j=1}^N \sigma(x-y_j^m)
\end{equation}
\tag{7.11}
$$
и предположить, что все $x_j^m$ различны. Подставив (7.9) в линейное уравнение (7.7), получим следующее уравнение, связывающее $\tau^m(x)$ и $\hat \tau^m(x)$:
$$
\begin{equation}
\nu\,\frac{\hat\tau^{m+1}(x)}{\tau^{m+1}(x)}- \lambda\,\frac{\hat \tau^{m}(x+\eta)}{\tau^{m}(x+\eta)}= \lambda \nu \kappa\frac{\tau^m(x) \hat\tau^{m+1}(x+\eta)} {\tau^{m}(x+\eta)\tau^{m+1}(x)}- \kappa\frac{\hat \tau^m(x) \tau^{m+1}(x+\eta)} {\tau^{m}(x+\eta)\tau^{m+1}(x)}\,.
\end{equation}
\tag{7.12}
$$
Обе части имеют простые полюсы в точках $x=x_i^{m+1}$ и $x=x_i^m-\eta$. Приравнивая вычеты в этих полюсах и при необходимости делая сдвиг $m\to m-1$, получим уравнения
$$
\begin{equation}
\nu \tau^{m-1}(x_i^m+\eta)\hat\tau^m(x_i^m) = \lambda \nu \kappa \tau^{m-1}(x_i^m)\hat\tau^m(x_i^m+\eta)- \kappa \tau^m(x_i^m+\eta)\hat\tau^{m-1}(x_i^m),
\end{equation}
\tag{7.13}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda\tau^{m+1}(x_i^m -\eta)\hat \tau^m(x_i^m) = \kappa\tau^{m+1}(x_i^m)\hat \tau^m(x_i^m-\eta)- \lambda \nu\kappa \tau^m(x_i^m-\eta)\hat \tau^{m+1}(x_i^m).
\end{equation}
\tag{7.14}
$$
Положив $x=x_i^m$ и $x=x_i^{m+1}-\eta$ в (7.12), видим, что один из членов обращается в нуль. Делая при необходимости сдвиг $m\to m-1$, получим уравнения
$$
\begin{equation}
\kappa\tau^{m+1}(x_i^m +\eta)\hat \tau^m(x_i^m) = \lambda\tau^{m+1}(x_i^m)\hat \tau^m(x_i^m+\eta)- \nu\tau^m(x_i^m+\eta)\hat \tau^{m+1}(x_i^m),
\end{equation}
\tag{7.15}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda \nu \kappa\tau^{m-1}(x_i^m-\eta)\hat\tau^m(x_i^m) = \nu \tau^{m-1}(x_i^m)\hat\tau^m(x_i^m-\eta)- \lambda \tau^m(x_i^m-\eta)\hat\tau^{m-1}(x_i^m).
\end{equation}
\tag{7.16}
$$
Уравнения (7.13) и (7.15) можно рассматривать как систему линейных уравнений для $\hat\tau^m(x_i^m)$ и $\hat\tau^m(x_i^m+\eta)$. По правилу Крамера находим решение $\hat\tau^m(x_i^m)$:
$$
\begin{equation}
\hat \tau^m(x_i^m)=-\kappa \tau^m(x_i^m+\eta)\frac{\begin{vmatrix} \hat \tau^{m-1}(x_i^m) & \lambda \nu \tau^{m-1}(x_i^m) \\ \nu \hat \tau^{m+1}(x_i^m) & \lambda \tau^{m+1}(x_i^m) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \nu \tau^{m-1}(x_i^m+\eta) & -\lambda \nu \kappa\tau^{m-1}(x_i^m) \\ -\kappa \tau^{m+1}(x_i^m+\eta) & \lambda \tau^{m+1}(x_i^m) \end{vmatrix}}\,.
\end{equation}
\tag{7.17}
$$
В свою очередь, уравнения (7.14) и (7.16) можно рассматривать как систему линейных уравнений для $\hat\tau^m(x_i^m)$ и $\hat\tau^m(x_i^m-\eta)$; решение $\hat\tau^m(x_i^m)$ дается формулой
$$
\begin{equation}
\hat\tau^m(x_i^m)=-\kappa \tau^m(x_i^m-\eta)\frac{\begin{vmatrix} \lambda \nu \hat \tau^{m+1}(x_i^m) & \tau^{m+1}(x_i^m) \\ \lambda \hat \tau^{m-1}(x_i^m) & \nu \tau^{m-1}(x_i^m) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} -\lambda \tau^{m+1}(x_i^m-\eta) & \kappa \tau^{m+1}(x_i^m) \\ \lambda \nu \kappa \tau^{m-1}(x_i^m-\eta) & -\nu\tau^{m-1}(x_i^m) \end{vmatrix}}\,.
\end{equation}
\tag{7.18}
$$
Приравняв правые части (7.17) и (7.18), получим уравнения для динамики полюсов $x_i^m$ в дискретном времени:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\tau^{m+1}(x_i^m)\tau^m(x_i^m-\eta)\tau^{m-1}(x_i^m+\eta)+ \tau^{m+1}(x_i^m-\eta)\tau^m(x_i^m +\eta)\tau^{m-1}(x_i^m) \\ \notag &\qquad=\kappa^2\tau^{m+1}(x_i^m+\eta)\tau^m(x_i^m-\eta)\tau^{m-1}(x_i^m) \\ &\qquad\qquad+\kappa^2\tau^{m+1}(x_i^m)\tau^m(x_i^m +\eta) \tau^{m-1}(x_i^m -\eta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.19}
$$
Это и есть уравнения (1.12). Теорема доказана. 8. Полевой аналог деформированной системы РШ на пространственно-временной решеткеИзвестно, что интегрируемые модели типа КМ и РШ допускают обобщения на теории поля (“полевые аналоги”), в которых координаты частиц $x_i$ становятся “полями” $x_i(x,t)$, зависящими не только от времени $t$, но и от пространственной переменной $x$. Уравнения движения этих более общих моделей могут быть получены как уравнения для полюсов более общих эллиптических решений (названных в [27] эллиптическими семействами) нелинейных интегрируемых уравнений. В этом случае надо рассматривать решения, которые являются эллиптическими функциями некоторой линейной комбинации $\lambda$ высших времен $t_k$ иерархии, тогда их полюсы $\lambda_i(x,t)$ будут функциями пространственной и временной переменных $x$, $t$ (в случае КМ/КП $x=t_1$, $t=t_2$). Они удовлетворяют системе дифференциальных или разностных уравнений, которые являются уравнениями движения полевых аналогов систем КМ и РШ. Такие решения были получены этим методом в [27] и [28] соответственно (см. также [32], где обсуждались эллиптические семейства решений решетки Тоды со связью). В этом разделе мы применяем указанный метод к полностью дискретному уравнению BКП и находим полевое обобщение деформированной модели РШ на пространственно-временной решетке. А именно, мы рассмотрим эллиптические семейства решений полностью дискретного уравнения BКП и найдем динамические уравнения для полюсов. 8.1. Уравнения движения на пространственно-временной решетке из эллиптических семейств для полностью дискретного уравнения BКПМы начнем с иерархии BКП (7.1). Пусть $\lambda=\displaystyle\sum_{j \text{ - нечетное}} \beta_j t_j$ – произвольная линейная комбинация времен иерархии. В соответствии с [27] тау-функция $\tau(\lambda,\mathbf{t})$ решения, которое является эллиптической функцией от $\lambda$, имеет общий вид
$$
\begin{equation}
\tau(\lambda,\mathbf{t})=\rho (\mathbf{t})\exp(c_1\lambda+c_2\lambda^2) \prod_{j=1}^N \sigma(\lambda-\lambda_j(\mathbf{t})),
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где $\rho (\mathbf{t})$ не зависит от $\lambda$, а $c_1$, $c_2$ – некоторые константы. Заметим, что сдвиг $\lambda$ на любой период должен привести к эквивалентной тау-функции, т. е. функции, которая отличается от исходной умножением на экспоненту от линейной формы по временам. Следовательно, нули $\lambda_i$ тау-функции (полюсы решения) должны удовлетворять условию
$$
\begin{equation}
\sum_i\lambda_i(\mathbf{t})=\text{ линейная форма по $\mathbf{t}$}.
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Это означает, что “центр масс” множества нулей $\lambda_i$ движется равномерно по всем временам. Для полностью дискретного уравнения BКП мы можем рассмотреть эллиптические решения вида
$$
\begin{equation}
\tau^m (\lambda,x)=\rho^m(x)\exp(c_1\lambda+c_2\lambda^2) \prod_{j=1}^N \sigma(\lambda-\lambda_j^m (x)),
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
где $x$ – пространственная переменная, а $m$ – дискретное время. Мы предположим, что все $\lambda_j$ различны. Теорема 8.1. Нули $\lambda_j^m(x)$ тау-функции $\tau^m(\lambda,x)$ удовлетворяют системе уравнений Доказательство. Положим
$$
\begin{equation}
\sigma^m(\lambda,x):=\prod_{j=1}^N\sigma(\lambda-\lambda_j^m(x)).
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Будем искать решения уравнения (7.7) в виде
$$
\begin{equation}
\psi^m(x)=\frac{\hat\tau^m(\lambda,x)}{\sigma^m(\lambda,x)}\,.
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
Подставляя (8.3), (8.7) в (7.7), получим уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\hat\tau^{m+1}(\lambda,x)}{\sigma^{m+1}(\lambda,x)}- \frac{\hat \tau^{m}(\lambda,x+\eta)}{\sigma^{m}(\lambda,x+\eta)} \\ &\qquad=\kappa^m(x)\, \frac{\sigma^{m}(\lambda,x)\hat\tau^{m+1}(\lambda,x+\eta)} {\sigma^{m}(\lambda,x+\eta) \sigma^{m+1}(\lambda,x)}- \kappa^m(x)\,\frac{\sigma^{m+1}(\lambda,x+\eta)\hat \tau^{m}(\lambda,x)} {\sigma^{m}(\lambda, x+\eta) \sigma^{m+1}(\lambda,x)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
Последующие вычисления аналогичны проведенным в предыдущем разделе. Обе части (8.8) – эллиптические функции от $\lambda$ с простыми полюсами при $\lambda=\lambda_i^{m+1}(x)$ и $\lambda=\lambda_i^m(x-\eta)$. Приравнивая вычеты в этих полюсах и делая при необходимости сдвиги $m\to m-1$, $x\to x-\eta$, получим уравнения
$$
\begin{equation}
\nonumber \sigma^{m-1}(\lambda_i^{m}(x),x+\eta)\hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x)= \kappa^{m-1}(x)\sigma^{m-1}(\lambda_i^{m}(x),x) \hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x+\eta)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\kappa^{m-1}(x)\sigma^{m}(\lambda_i^{m}(x),x+\eta) \hat\tau^{m-1}(\lambda_i^m(x),x),
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \sigma^{m+1}(\lambda_i^{m}(x),x-\eta)\hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x)= \kappa^{m}(x-\eta)\sigma^{m+1}(\lambda_i^{m}(x),x) \hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x-\eta)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\kappa^{m}(x-\eta)\sigma^{m}(\lambda_i^{m}(x),x-\eta) \hat\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x).
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Положив $\lambda=\lambda_i^m(x)$ и $\lambda=\lambda_i^{m+1}(x-\eta)$ в (8.8), видим, что один из членов обращается в нуль. Делая при необходимости сдвиги $m\to m-1$, $x\to x-\eta$, получим уравнения
$$
\begin{equation}
\nonumber \kappa^{m}(x)\sigma^{m+1}(\lambda_i^{m}(x),x+\eta) \hat\tau^{m}(\lambda^m_i(x),x)=\sigma^{m+1}(\lambda_i^{m}(x),x) \hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x+\eta)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\sigma^{m}(\lambda_i^{m}(x), x+\eta)\hat\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x),
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \kappa^{m-1}(x-\eta)\sigma^{m-1}(\lambda_i^{m}(x),x-\eta) \hat\tau^{m}(\lambda^m_i(x),x)=\sigma^{m-1}(\lambda_i^{m}(x),x) \hat\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x-\eta)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\sigma^{m}(\lambda_i^{m}(x),x-\eta)\hat\tau^{m-1}(\lambda_i^m(x),x).
\end{equation}
\tag{8.12}
$$
Обратимся к уравнениям (8.9) и (8.11). Их можно рассматривать как систему линейных уравнений на $\hat\tau^m(\lambda_i^m(x),x)$ и $\hat \tau^m(\lambda_i^m(x),x+\eta)$. В свою очередь, уравнения (8.10) и (8.12) можно рассматривать как систему линейных уравнений на $\hat\tau^m(\lambda_i^m(x),x)$ и $\hat \tau^m(\lambda_i^m(x), x-\eta)$. Решая их для $\hat \tau^m(\lambda_i^m(x),x)$ с помощью правила Крамера, как в предыдущем разделе, и приравнивая результаты, получим уравнения (8.4). Теорема доказана. Уравнения (8.4) – это уравнения движения полевого аналога деформированной модели РШ на пространственно-временной решетке. Они напоминают уравнения (1.12) и сводятся к ним, если положить
$$
\begin{equation*}
\lambda_i^m(x)=x_i^m +x\quad\text{и}\quad \kappa^m(x)=\kappa={\textrm const}.
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $\kappa \to 0$, когда правая часть стремится к нулю, уравнения (8.4) сводятся к полностью дискретной версии полевого обобщения модели РШ [28] (см. также [33], где аналогичные уравнения были получены из эллиптической пары Лакса общего вида). Отметим также, что уравнения (8.4) могут быть записаны полностью в терминах функции $\tau^m(\lambda,x)$ (8.3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x)\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x-\eta) \tau^{m-1}(\lambda_i^m(x),x+\eta) \\ \notag &\qquad\qquad+\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x-\eta) \tau^{m}(\lambda_i^m(x),x+\eta)\tau^{m-1}(\lambda_i^m(x),x) \\ \notag &\qquad=\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x)\tau^{m}(\lambda_i^m(x),x+\eta) \tau^{m-1}(\lambda_i^m(x), x-\eta) \\ &\qquad\qquad+\tau^{m+1}(\lambda_i^m(x),x+\eta) \tau^{m}(\lambda_i^m(x),x-\eta)\tau^{m-1}(\lambda_i^m(x),x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.13}
$$
В следующем пункте мы обсудим пределы непрерывного времени этих уравнений. 8.2. Пределы непрерывного времениДля того чтобы перейти к пределу непрерывного времени, перепишем уравнения (8.4) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\kappa^m (x-\eta)}{\kappa^{m-1}(x)}\prod_j \frac{\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m+1}(x))\sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m}(x-\eta)) \sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m-1}(x+\eta))} {\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m-1}(x)) \sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m+1}(x-\eta))\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m}(x+\eta))} \\ \notag &\quad=-1+\kappa^m(x)\kappa^m (x-\eta)\prod_j \frac{\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m+1}(x+\eta)) \sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m}(x-\eta))}{\sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m}(x+\eta)) \sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m+1}(x-\eta))} \\ &\quad\quad\,+\kappa^{m-1}(x-\eta)\kappa^m (x-\eta)\prod_j \frac{\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m+1}(x))\sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m-1}(x-\eta))}{\sigma(\lambda_i^m(x)- \lambda_j^{m-1}(x))\sigma(\lambda_i^m(x)-\lambda_j^{m+1}(x-\eta))} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.14}
$$
и предположим, что $\lambda_j^m$ и $\rho^m$ ведут себя гладко при изменении времени, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda_i^{m\pm 1}(x)&=\lambda_i(x)\pm \varepsilon \dot\lambda_i(x)+ \frac{1}{2}\varepsilon^2 \ddot\lambda_i(x)+O(\varepsilon^3), \\ \rho^{m\pm 1}(x)&=\rho(x)\pm \varepsilon \dot \rho(x)+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предел не представляет трудностей. Мы должны разложить уравнение по степеням $\varepsilon$ при $\varepsilon \to 0$. Если $\kappa^2\ne 1$, первый неисчезающий порядок есть $\varepsilon$, и мы получаем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\ddot\lambda_i(x)+\sum_j\bigl[\dot\lambda_i(x)\dot\lambda_j(x-\eta) \zeta\bigl(\lambda_i(x)-\lambda_j(x-\eta)\bigr)\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ \dot\lambda_i(x)\dot\lambda_j(x+\eta) \zeta\bigl(\lambda_i(x)-\lambda_j(x+\eta)\bigr)\bigr] \notag \\ &\qquad-2\sum_{j\ne i}\dot \lambda_i(x) \dot\lambda_j(x) \zeta\bigl(\lambda_i(x)-\lambda_j(x)\bigr)+ \bigl(c(x-\eta)-c(x)\bigr)\dot\lambda_i(x)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
c(x)=\frac{\dot \rho (x+\eta)}{\rho (x+\eta)}- \frac{\dot\rho(x)}{\rho(x)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя уравнения (8.15) по всем $i$ и принимая во внимание условие (8.2), найдем, что $c(x)$ выражается через $\lambda_i$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
c(x)=\biggl(\,\sum_k\dot \lambda_k(x)\biggr)^{-1}\sum_{i,j}\dot\lambda_i(x) \dot\lambda_j(x+\eta)\zeta\bigl(\lambda_i(x)-\lambda_j(x+\eta)\bigr).
\end{equation}
\tag{8.16}
$$
Уравнения (8.15), (8.16) были получены в [28] как уравнения движения полевого аналога модели РШ. Если $\kappa^2=1$, то в порядке $\varepsilon$ получаем тождество $0=0$ и нужно раскладывать до порядка $\varepsilon^2$. Действуя таким образом, можно получить полевой аналог уравнений (6.4). Мы не будем приводить их здесь из-за их громоздкости. Как и в предыдущем разделе, возможен и другой непрерывный предел. Введем поля $\varphi_i^m(x)$, $\omega^m(x)$ на решетке, положив
$$
\begin{equation}
\lambda_i^m(x)=\varphi_i^m(x+m\eta), \quad \rho^m(x)=\omega^m (x+m\eta),
\end{equation}
\tag{8.17}
$$
и предположим, что эти новые поля имеют гладкий предел непрерывного времени в том смысле, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_i^{m\pm 1}(x)&=\varphi_i(x)\pm \varepsilon\dot\varphi_i(x)+ \frac{1}{2}\,\varepsilon^2 \ddot\varphi_i(x)+O(\varepsilon^3), \\ \omega^{m\pm 1}(x)&=\omega(x)\pm \varepsilon \dot\omega(x)+O(\varepsilon^2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах этих новых полей уравнения (8.14) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\kappa^m (x-\eta)}{\kappa^{m-1}(x)}\kern-1pt\prod_j\kern-1pt \frac{\sigma(\varphi_i^m(x)-\kern-1pt\varphi_j^{m+1}(x+\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)-\kern-1pt \varphi_j^{m}(x-\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)- \kern-1pt \varphi_j^{m-1}(x))} {\sigma(\varphi_i^m(x)-\kern-1pt\varphi_j^{m}(x+\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)-\kern-1pt \varphi_j^{m-1}(x-\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)-\kern-1pt\varphi_j^{m+1}(x))} \\ \notag &=-1+\kappa^m(x)\kappa^m (x-\eta)\prod_j \frac{\sigma(\varphi_i^m(x)-\varphi_j^{m+1}(x+2\eta))\sigma(\varphi_i^m(x)- \varphi_j^{m}(x-\eta))}{\sigma(\varphi_i^m(x)-\varphi_j^{m}(x+\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)-\varphi_j^{m+1}(x))} \\ &\qquad\;\; +\kappa^{m-1}(x-\eta)\kappa^m (x-\eta)\notag\\ &\qquad\qquad\qquad\times\prod_j \frac{\sigma(\varphi_i^m(x)-\varphi_j^{m-1}(x-2\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)- \varphi_j^{m+1}(x+\eta))}{\sigma(\varphi_i^m(x)- \varphi_j^{m-1}(x-\eta)) \sigma(\varphi_i^m(x)-\varphi_j^{m+1}(x))}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.18}
$$
Предел $\varepsilon \to 0$ существует, если $\kappa =\varepsilon$. Тогда в порядке $\varepsilon$ получаем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\ddot\varphi_i(x)+\sum_j \bigl[\dot \varphi_i(x)\dot \varphi_j(x-\eta) \zeta \bigl(\varphi_i(x)-\varphi_j(x-\eta)\bigr)\notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+ \dot \varphi_i(x) \dot\varphi_j(x+\eta) \zeta \bigl(\varphi_i(x)- \varphi_j(x+\eta)\bigr)\bigr] \notag \\ \notag &\qquad-2\sum_{j\ne i}\dot \varphi_i(x) \dot\varphi_j(x) \zeta\bigl(\varphi_i(x)-\varphi_j(x)\bigr)-\partial_t\log (w(x))\dot\varphi_i(x) \\ &\qquad+w(x)w(x+\eta)G_i^++w(x)w(x-\eta)G_i^-=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
w(x)=\frac{\omega(x+\eta)\omega(x-\eta)}{\omega^2(x)}
\end{equation}
\tag{8.20}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag G_i^+&=\frac{\sigma(\varphi_i(x)-\varphi_i(x+2\eta))\sigma(\varphi_i(x)- \varphi_i(x-\eta))}{\sigma(\varphi_i(x)-\varphi_i(x+\eta))} \\ &\qquad\times\prod_{j\ne i}\frac{\sigma(\varphi_i(x)-\varphi_j(x+2\eta)) \sigma(\varphi_i(x)-\varphi_j(x-\eta))}{\sigma(\varphi_i(x)-\varphi_j(x+\eta)) \sigma(\varphi_i(x)-\varphi_j(x))}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.21}
$$
а $G_i^-$ получается из $G_i^+$ заменой $\eta \to -\eta$. Суммируя уравнения (8.19) по всем $i$, получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\partial_t \log(w(x)) \sum_i \dot \varphi_i(x)= F(x)+w(x)w(x+\eta)\sum_i G_i^+ +w(x)w(x-\eta)\sum_i G_i^-,
\end{equation}
\tag{8.22}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F(x)&=\sum_{i,j}\bigl[\dot \varphi_i (x)\dot \varphi_j (x+\eta)\zeta \bigl( \varphi_i (x)-\varphi_j(x+\eta)\bigr) \\ &\qquad+\dot\varphi_i(x)\dot\varphi_j(x-\eta)\zeta\bigl(\varphi_i(x)- \varphi_j(x-\eta)\bigr)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8.23}
$$
Уравнения (8.19) вместе с (8.22) образуют систему из $N+1$ дифференциальных уравнений для $N+1$ полей $\varphi_j (x)=\varphi_j (x,t)$ ($j=1,\dots,N$), $w(x)=w(x,t)$. В отличие от уравнений (8.15), где дополнительное поле не было динамическим и могло быть исключено из уравнений движения, в настоящем случае поле $w$ динамическое. Уравнения (8.19), (8.22) доставляют полевое обобщение деформированной системы РШ (1.4).
9. Заключительные замечания и открытые вопросыВ настоящей статье мы нашли полный набор интегралов движения деформированной системы РШ с уравнениями движения (1.4). Это указывает на интегрируемость системы. Наш метод основан на том факте, что деформированная система РШ эквивалентна динамической системе для пар частиц в стандартной модели РШ (с четным числом частиц), двигающихся как целое, так что расстояние между частицами в каждой паре равно $\eta$ – обратной “скорости света” в модели РШ (релятивистском обобщении модели КМ). Такие пары сохраняются только “половиной” высших гамильтоновых потоков, так что мы рассматриваем только $\mathsf{H}_k^-$-потоки и полагаем временные переменные, ассоциированные с $\mathsf{H}_k^+$-потоками, равными нулю. Конфигурации в полном фазовом пространстве ${\mathcal F}$, в которых частицы слипаются в пары, образуют подпространство половинной размерности $\mathcal{P}\subset {\mathcal F}$, и было доказано, что это подпространство лагранжево и инвариантно под действием всех $\mathsf{H}_k^-$-потоков. Тогда интегралы движения деформированной системы РШ могут быть получены ограничением известных интегралов движения модели РШ на подпространство $\mathcal{P}$. Это было сделано в настоящей статье. В пределе $\eta \to 0$ (в котором система РШ переходит в систему КМ) частицы в каждой паре слипаются в одной точке. Этот сингулярный предел обсуждался в статье [34]. Интересен вопрос о том, возможны ли в этом смысле какие-либо кластеры частиц РШ, отличные от пар. Например, можно рассмотреть “струны”, состоящие из $M$ частиц, такие, что координаты частиц в $i$-й струне равны
$$
\begin{equation*}
x_{Mi+1-\alpha}=X_i+(M-\alpha)\eta,\qquad \alpha=1,\dots,M,
\end{equation*}
\notag
$$
где $X_i$ – координата струны, двигающейся как целое. Естественно задать вопрос, сохраняют ли некоторые гамильтоновы потоки модели РШ эту струнную структуру. Необходимо подчеркнуть, что связь между стандартной системой РШ и деформированной системой нетривиальна и имеет различные аспекты. С одной стороны, последняя является обобщением первой и включает ее как частный случай, поскольку уравнения движения (1.4) отличаются от уравнений движения (1.2) системы РШ наличием дополнительных членов. Однако, с другой стороны, деформированная система РШ содержится в системе РШ, так как она может рассматриваться как ее редукция в том смысле, что уравнения движения (1.4) получаются ограничением динамики РШ на подпространство пар $\mathcal{P}$. Мы нашли интегрируемую дискретизацию по времени деформированной системы РШ. Наш метод основан на явном виде преобразования Бэклунда, которое получено как уравнения, связывающие динамику полюсов и нулей двоякоблоховского решения $\psi$ линейной задачи для решетки Тоды со связью типа B. Как и в других системах типа КМ и РШ, преобразование Бэклунда – это переход от полюсов к нулям $\psi$-функции, и этот переход интерпретируется как один шаг вперед в эволюции в дискретном времени. Мы также обсудили возможные непрерывные пределы уравнений в дискретном времени. Один из них дает уравнения движения деформированной системы РШ, а другой – уравнения движения для полюсов эллиптических решений полудискретного уравнения BКП [18]. Было также показано, что уравнения движения деформированной системы РШ в дискретном времени описывают эволюцию полюсов эллиптических решений полностью дискретного уравнения BКП. Кроме того, рассмотрев более общие эллиптические решения этого последнего (так называемые эллиптические семейства), мы нашли полевое обобщение деформированной модели РШ на пространственно-временной решетке. Хотелось бы отметить, что уравнения движения (1.11) системы РШ в дискретном времени мистическим образом совпадают с уравнениями вложенного анзаца Бете, которые возникают в теории квантовых интегрируемых систем с эллиптической $R$-матрицей. Остается непонятным, является ли это совпадение случайным или оно имеет какие-то глубокие причины. В этой связи естественно спросить, имеют ли уравнения движения (1.12) деформированной системы РШ в дискретном времени какое-либо отношение к квантовым интегрируемым системам. А именно, вопрос в том, существует ли квантовая интегрируемая система, решаемая анзацем Бете или каким-либо другим методом, для которой Бете-подобные уравнения имели бы вид (1.12). Наконец, перечислим некоторые нерешенные проблемы, возникающие в связи с деформированной системой РШ. Во-первых, важным представляется ответ на вопрос, является деформированная система РШ гамильтоновой или нет. С этим связана проблема квантования деформированной системы РШ. Во-вторых, было бы очень желательно найти коммутационные представления уравнений движения (1.4) и (1.12), такие как представление Лакса или представление в виде тройки Манакова [35]. Известно, что именно это последнее представление существует для уравнений (1.6), которые могут быть получены из (1.4) в пределе $\eta \to 0$. Поэтому естественно предположить, что для уравнений (1.4) существует представление в виде тройки Манакова для всех $\eta \ne 0$. Мы надеемся обсудить эти вопросы в другом месте. 10. Приложение A: функции ВейерштрассаВ этом приложении приведены определения и основные свойства функций Вейерштрасса: $\sigma$-функции, $\zeta$-функции и $\wp$-функции, которые широко используются в основном тексте. Пусть $\omega$, $\omega'$ – комплексные числа такие, что $\operatorname{Im}(\omega'/\omega)>0$. Функция Вейерштрасса $\sigma$ с квазипериодами $2\omega$, $2\omega'$ определяется следующим бесконечным произведением по решетке $2\omega m+2\omega' m'$, $m,m'\in \mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma(x)=\sigma(x\mid\omega,\omega')= x\prod_{s\ne 0}\biggl(1-\frac{x}{s}\biggr) \exp\biggl(\frac{x}{s}+\frac{x^2}{2s^2}\biggr), \\ \notag s=2\omega m+2\omega' m',\quad m,m'\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10.1}
$$
Это нечетная целая квазипериодическая функция в комплексной плоскости. При $x\to 0$ Свойства монодромии $\sigma$-функции при сдвигах на квазипериоды следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma(x+2\omega)&=-\exp\bigl(2\zeta(\omega)(x+\omega)\bigr)\sigma(x), \\ \sigma(x+2\omega')&=-\exp\bigl(2\zeta(\omega')(x+\omega')\bigr)\sigma(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.3}
$$
Здесь $\zeta (x)$ есть $\zeta$-функция Вейерштрасса, определенная как Из свойств монодромии следует, что функция
$$
\begin{equation*}
f(x)=\prod_{\alpha=1}^M \frac{\sigma(x-a_\alpha)}{\sigma(x-b_\alpha)}\,,\qquad \sum_{\alpha=1}^M(a_\alpha-b_\alpha)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
является двоякопериодической с периодами $2\omega$, $2\omega'$ (эллиптической функцией). Функция Вейерштрасса $\zeta$ может быть представлена следующей суммой по решетке:
$$
\begin{equation}
\zeta(x)=\frac{1}{x}+\sum_{s\ne 0} \biggl(\frac{1}{x-s}+\frac{1}{s}+\frac{x}{s^2}\biggr),\qquad s=2\omega m+2\omega' m',\quad m,m'\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{10.5}
$$
Это нечетная функция с полюсами первого порядка в точках решетки. При $x\to 0$ имеем При сдвигах аргумента на квазипериоды $\zeta$-функция преобразуется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \zeta(x+2\omega)&=\zeta(x)+\zeta(\omega), \\ \zeta(x+2\omega')&=\zeta(x)+\zeta(\omega'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10.7}
$$
Значения $\zeta(\omega)$ и $\zeta(\omega')$ связаны тождеством $2\omega'\zeta(\omega)-2\omega\zeta(\omega')=\pi i$. Из трансформационных свойств (10.7) следует, что функция
$$
\begin{equation*}
g(x)=\sum_{\alpha =1}^M A_\alpha \zeta (x-a_\alpha),\qquad \sum_{\alpha =1}^M A_\alpha=0,
\end{equation*}
\notag
$$
является эллиптической. Функция Вейерштрасса $\wp$ определяется как $\wp(x)=-\zeta'(x)$. Ее можно представить как сумму по решетке:
$$
\begin{equation}
\wp(x)=\frac{1}{x^2}+\sum_{s\ne 0} \biggl(\frac{1}{(x-s)^2}- \frac{1}{s^2}\biggr),\qquad s=2\omega m+2\omega'm',\quad m,m'\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{10.8}
$$
Это четная двоякопериодическая функция с периодами $2\omega$, $2\omega'$ и полюсами второго порядка в точках решетки $s=2\omega m+2\omega' m'$ с целыми $m$, $m'$. При $x\to 0$ имеем Функции Вейерштрасса связаны различными нетривиальными тождествами. Здесь мы приведем два, которые необходимы при вычислениях, ведущих к уравнению (6.4):
$$
\begin{equation}
\zeta(x+\eta)+\zeta (x-\eta)-2\zeta (x) = \frac{\wp '(x)}{\wp (x)-\wp(\eta)}\,,
\end{equation}
\tag{10.9}
$$
$$
\begin{equation}
\wp (x+\eta)-\wp (x-\eta) = -\frac{\wp'(x)\wp'(\eta)}{(\wp(x)-\wp(\eta))^2}\,.
\end{equation}
\tag{10.10}
$$
Их доказательство стандартно. Обе части являются эллиптическими функциями от $x$, и сингулярные члены в обеих частях совпадают. Следовательно, разность между левой и правой частями является константой, которая может быть найдена, если положить $x$ равным некоторому специальному значению.
11. Приложение B: доказательство леммы 4.1Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F_m^{\pm}&=\sum_{\substack{\mathcal{I}\subset \mathcal{N}'\\ |\mathcal{I}|=m}}\,\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'\setminus \mathcal{I}}U^{\pm}(X_{i\ell}) \\ &=\sum_{\substack{\mathcal{I}\subset \mathcal{N}'\\ |\mathcal{I}|=m}}\, \prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'\setminus \mathcal{I}} \frac{\sigma(X_{i\ell}\pm 2\eta)\sigma(X_{i\ell}\mp \eta)} {\sigma(X_{i\ell}\pm \eta)\,\sigma(X_{i\ell})} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.1}
$$
и рассмотрим функцию $f_m=F_m^{+}-F_m^{-}$. Это симметрическая функция от переменных $X_j$, $j\in \mathcal{N}'$. Легко видеть, что это эллиптическая функция по каждому $X_j$. Утверждение леммы заключается в том, что $f_m=0$ для всех $m$. При $m=1$ имеем:
$$
\begin{equation}
f_1=\sum_{i\in \mathcal{N}'} \prod_{\ell\in\mathcal{N}'\atop \ell \ne i} \frac{\sigma(X_{i\ell}+ 2\eta)\,\sigma(X_{i\ell}- \eta)} {\sigma(X_{i\ell}+ \eta)\, \sigma(X_{i\ell})} -\sum_{i\in \mathcal{N}'}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'\atop\ell \ne i} \frac{\sigma(X_{i\ell}- 2\eta)\,\sigma(X_{i\ell}+\eta)} {\sigma(X_{i\ell}-\eta)\,\sigma(X_{i\ell})}=0,
\end{equation}
\tag{11.2}
$$
поскольку это выражение пропорционально сумме вычетов эллиптической функции
$$
\begin{equation*}
f(X)=\prod_{\ell \in \mathcal{N}'} \frac{\sigma(X-X_\ell+2\eta)\,\sigma(X-X_\ell-\eta)} {\sigma(X-X_\ell+\eta)\,\sigma(X-X_\ell)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем доказывать, что $f_m=0$ для всех $m$ по индукции. Предположим, что $f_m=0$ для некоторого $m$; покажем, что это верно и для $m+1$. В силу симметрии достаточно рассмотреть $f_m$ как функцию от $X_1$ (без потери общности предположим, что $\mathcal{N}'\ni 1$). Возможные полюсы этой функции – это простые полюсы в точках $X_1=X_j$ и $X_1=X_j\pm\eta$. Докажем, что вычеты в этих полюсах равны нулю. Для полюсов при $X_1=X_j$ это особенно просто: нетрудно видеть, что даже без предположения индукции. Рассмотрим полюс при $X_1=X_2+\eta$ (опять без потери общности предположим, что $\mathcal{N}'\ni 2$). Введем краткие обозначения
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}'_{1}=\mathcal{N}'\setminus \{1\},\quad \mathcal{N}'_{2}=\mathcal{N}'\setminus \{2\},\quad \mathcal{N}'_{12}=\mathcal{N}'\setminus \{1,2\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname*{res}_{X_1=X_2+\eta} f_m &=\sigma(2\eta) \sum_{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{N}'_{12}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{12}\setminus \mathcal{I}} U^-(X_{1\ell})\prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{1} \setminus \mathcal{I}} U^-(X_{i\ell}) \\ &\qquad-\sigma(2\eta)\sum_{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{N}'_{12}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{12}\setminus \mathcal{I}} U^+(X_{2\ell})\, \prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{2} \setminus \mathcal{I}} U^+(X_{i\ell}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.3}
$$
где $|\mathcal{I}|=m-1$. Так как $X_1=X_2+\eta$, имеем $U^+(X_{2\ell})=U^-(X_{1\ell})$. После простых преобразований произведений равенство (11.3) представляется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \operatorname*{res}_{X_1=X_2+\eta} f_m&=\sigma(2\eta) \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{12}} U^-(X_{1\ell})\biggl[\,\sum_{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{N}'_{12}}\, \prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{12} \setminus \mathcal{I}} U^-(X_{i\ell}) \\ &\qquad-\sum_{\mathcal{I}\subseteq \mathcal{N}'_{12}}\, \prod_{i\in \mathcal{I}}\, \prod_{\ell \in \mathcal{N}'_{12} \setminus \mathcal{I}}U^+(X_{i\ell})\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11.4}
$$
Выражение в квадратных скобках – не что иное, как $f_{m-1}$, что равно нулю в силу предположения индукции. Следовательно, для всех $m$. Полюс при $X_1=X_2-\eta$ и полюсы при $X_1=X_j\pm \eta$ рассматриваются аналогично. Мы показали, что эллиптическая функция $f_m$ как функция от $X_1$ регулярна. Значит, она не зависит от $X_1$. В силу симметрии эта функция – константа, не зависящая от всех $X_j$. Чтобы ее найти, можно положить $X_{j}=\varepsilon j$ и устремить $\varepsilon$ к нулю. Легко видеть, что $f_m$ после этой подстановки становится нечетной функцией от $\varepsilon$, так что константный член $\propto \varepsilon^0$ в разложении при $\varepsilon \to 0$ отсутствует. Это означает, что константа равна нулю. Автор благодарен А. Маршакову и В. Прокофьеву за обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zab23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|