М. Я. Мазалов, “О соизмеримости некоторых емкостей с гармоническими”, УМН, 78:5(473) (2023), 183–184; Russian Math. Surveys, 78:5 (2023), 964

Пусть ${\mathbf x}=(x_1,\dots,x_N) \in {\mathbb R}^N$, $N\geqslant3$, а $L({\mathbf x})$ – однородный полином второй степени в ${\mathbb R}^N$ с постоянными комплексными коэффициентами, удовлетворяющий условию эллиптичности: $L({\mathbf x})=0 \Leftrightarrow{\mathbf x}=0$. Следующее утверждение установлено в [1; лемма 3].

Полином $L({\mathbf x})$ является символом эллиптического дифференциального оператора ${\mathcal L}$; например, полиному $|{\mathbf x}|^2=\sum_{n=1}^N x_n^2$ соответствует лапласиан ${\mathcal L}=\Delta$ в ${\mathbb R}^N$. Фундаментальное решение $\Phi({\mathbf x})=\Phi_{{\mathcal L}}({\mathbf x})$ оператора ${\mathcal L}$ – однородная порядка $2-N$ функция класса $C^{\infty}({\mathbb R}^N \setminus \{0\})$, точный вид которой дается в [1; теорема 1].

Емкость $\gamma_{{\mathcal L,+}}$ вводится аналогично классической гармонической емкости теории потенциала $\gamma_{\Delta}$. Пусть $K\subset{\mathbb R}^N$ – компакт, тогда

Так как $|\Phi_{{\mathcal L}}({\mathbf x})|\leqslant A_1(L)|{\mathbf x}|^{2-N}$ для любого ${\mathcal L}$, то $A(L)\gamma_{{\mathcal L},+}(K)\geqslant \gamma_{\Delta}(K)$ для произвольного $K$. Рассмотрим вопрос о возможности обращения последнего неравенства (т. е. о соизмеримости $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{{\mathcal L},+}$). В общем случае он не тривиален, так как ${\mathcal L}$ – оператор с комплексными коэффициентами.

При $N=3$ и $N=4$ соизмеримость емкостей $\gamma_{\Delta}$ и $\gamma_{{\mathcal L},+}$ установлена в [1; следствие 3], но на случай $N>4$ доказательство не распространяется. Далее (теорема 1) мы докажем соответствующее утверждение для всех $N\geqslant3$; при $N>4$ – это фактически гипотеза 1 из [1]. Cлучай $N=2$ был исследован в [2; предложение 2.3].

Доказательство. В силу (2) существует неотрицательная мера $\mu$ такая, что $\operatorname{Spt}(\mu)\subset K$, $\|\mu*\Phi_{{\mathcal L}}\|_{{\rm L}^{\infty}({\mathbb R}^N)}\leqslant1$ и $\|\mu\|\geqslant(1/2)\gamma_{{\mathcal L},+}(K)$. Проведем стандартную регуляризацию меры $\mu$. Зафиксируем функцию $\varphi_1 \in C^{\infty}_0(B)$ (где $B$ – единичный шар в ${\mathbb R}^N$) такую, что $\varphi_1\geqslant0$ и $\displaystyle\int_{B}\varphi_1({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=1$. Для $\varepsilon>0$ положим $\varphi_{\varepsilon}({\mathbf x})= \varepsilon^{-N}\varphi_1({\mathbf x}/\varepsilon)$, так что $\displaystyle\int_{|{\mathbf x}|\leqslant\varepsilon} \varphi_{\varepsilon}({\mathbf x})\,d{\mathbf x}= 1$. Пусть $h_{\varepsilon}=\mu*\varphi_{\varepsilon}$; тогда $h_{\varepsilon}\geqslant0$, $h_{\varepsilon}\in C^{\infty}_0(K_{\varepsilon})$, где $K_{\varepsilon}$ – замыкание $\varepsilon$-окрестности компакта $K$, и $\displaystyle\int_{{\mathbb R}^N}h_{\varepsilon}({\mathbf x}) \,d{\mathbf x}=\|\mu\|$.

Рассмотрим следующий (в общем случае комплексный) интеграл энергии:

$$ \begin{equation} I_{h_{\varepsilon},{\mathcal L}}=-(N-2)\sigma_N\int_{K_{\varepsilon}} (h_{\varepsilon}*\Phi_{{\mathcal L}})({\mathbf x})h_{\varepsilon} ({\mathbf x})\,d{\mathbf x}=-(N-2)\sigma_N \langle h_{\varepsilon}*\Phi_{{\mathcal L}}|h_{\varepsilon}\rangle, \end{equation} \tag{3} $$

где $\sigma_N$ – площадь единичной сферы в ${\mathbb R}^N$. В нормировке учитываем, что при ${\mathcal L}=\Delta$ получается (положительный) интеграл энергии, связанный с ядром $1/|{\mathbf x}|^{N-2}$ (см. [3; гл. I, § 4]). В угловых скобках записано действие распределения на пробную функцию.

Поскольку $\Phi_{{\mathcal L}}$ – локально интегрируемая функция в ${\mathbb R}^N$ и $h_{\varepsilon}\in C^{\infty}_0({\mathbb R}^N)$, то интеграл в (3) абсолютно сходится. В силу соотношений $h_{\varepsilon}*\Phi_{\mathcal L}= (\mu*\Phi_{{\mathcal L}})*\varphi_{\varepsilon}$ и $\|\mu*\Phi_{{\mathcal L}}\|_{{\rm L}^{\infty}({\mathbb R}^N)}\leqslant 1$ имеем $\|h_{\varepsilon}*\Phi_{{\mathcal L}}\|_{{\rm L}^{\infty} ({\mathbb R}^N)}\leqslant1$, поэтому

$$ \begin{equation} |I_{h_{\varepsilon},{\mathcal L}}|\leqslant(N-2)\sigma_N\|\mu\|. \end{equation} \tag{4} $$

Пусть $({\mathbf y},{\mathbf x})=y_1x_1+\cdots+y_Nx_N$ для ${\mathbf y},{\mathbf x}\in{\mathbb R}^N$. Так как $h_{\varepsilon}$ – вещественная функция из $C^{\infty}_0({\mathbb R}^N)$, то ее прямое и обратное преобразования Фурье

$$ \begin{equation*} F[h_{\varepsilon}]({\mathbf x})=\int_{{\mathbb R}^N} e^{-i({\mathbf y},{\mathbf x})}h_{\varepsilon}({\mathbf y})\, d{\mathbf y},\quad F^{-1}[h_{\varepsilon}]({\mathbf x})=\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{{\mathbb R}^N} e^{i({\mathbf y},{\mathbf x})}h_{\varepsilon}({\mathbf y})\,d{\mathbf y}= \frac{\overline{F[h_{\varepsilon}]({\mathbf x})}}{(2\pi)^N} \end{equation*} \notag $$

принадлежат пространству Шварца ${\mathcal S}({\mathbb R}^N)$ функций, быстро убывающих на бесконечности. Если $\psi\in{\mathcal S}({\mathbb R}^N)$, $\Psi\in{\mathcal S'}({\mathbb R}^N)$, где ${\mathcal S'}({\mathbb R}^N)$ – пространство распределений умеренного роста в ${\mathbb R}^N$, то на функции $\Psi$ преобразования Фурье действуют по формулам $\langle F[\Psi]|\psi\rangle=\langle \Psi|F[\psi]\rangle$, $\langle F^{-1}[\Psi]|\psi\rangle=\langle \Psi|F^{-1}[\psi]\rangle$, при этом $\langle \Psi|\psi\rangle=\langle F[\Psi]|F^{-1}[\psi]\rangle$.

При $N\geqslant3$ распределение $F[\Phi_{{\mathcal L}}]$ совпадает с локально интегрируемой в ${\mathbb R}^N$ функцией $-1/L$, где $L=L({\mathbf x})$ – символ оператора ${\mathcal L}$. В силу $F[h_{\varepsilon}*\Phi_{{\mathcal L}}]=-F[h_{\varepsilon}]/L$ имеем

$$ \begin{equation} \langle h_{\varepsilon}*\Phi_{{\mathcal L}}|h_{\varepsilon}\rangle= -\frac{1}{(2\pi)^N}\int_{{\mathbb R}^N}|F[h_{\varepsilon}({\mathbf x})]|^2 \frac{1}{L({\mathbf x})}\,d{\mathbf x}. \end{equation} \tag{5} $$

Из (3) и (5) получаем (где $\vartheta$ – число из (1)):

$$ \begin{equation} I_{h_{\varepsilon},{\mathcal L}}=e^{i\vartheta}\, \frac{(N-2)\sigma_N}{(2\pi)^N} \int_{{\mathbb R}^N}|F[h_{\varepsilon}({\mathbf x})]|^2\, \frac{e^{-i\vartheta}}{L({\mathbf x})}\,d{\mathbf x}. \end{equation} \tag{6} $$

В силу (1) имеет место следующая оценка в ${\mathbb R}^N\setminus\{0\}$ (где $A_2=A_2(L)>0$): $A_2\operatorname{Re}\dfrac{e^{-i\vartheta}}{L({\mathbf x})}= A_2\,\dfrac{\operatorname{Re}(e^{i\vartheta} L({\mathbf x}))} {|L({\mathbf x})|^2}\geqslant\dfrac{A_2\tau}{|L({\mathbf x})|} \geqslant \dfrac{1}{|{\mathbf x}|^{2}}$.

Отсюда и из (4), (6) следует, что

$$ \begin{equation} I_{h_{\varepsilon},\Delta}\leqslant A_3(L)\|\mu\|, \end{equation} \tag{7} $$

где $I_{h_{\varepsilon},\Delta}$ – интеграл энергии (3) при ${\mathcal L}=\Delta$ (и, соответственно, $L({\mathbf x})=|{\mathbf x}|^{2}$).

Пусть $h_{\varepsilon}^0=h_{\varepsilon}/\|\mu\|$. Тогда $\displaystyle\int_{{\mathbb R}^N}h_{\varepsilon}^0({\mathbf x})\, d{\mathbf x}=1$, а (3) и (7) дают: $I_{h_{\varepsilon}^0,\Delta}\leqslant A_3(L)/\|\mu\|$.

Напомним (см., например, [3; гл. II, § 1]), что одно из эквивалентных определений гармонической емкости компакта $K_{\varepsilon}$ – это $1/\inf(I_{\mu^0,\Delta})$, где инфимум берется по всем неотрицательным мерам $\mu^0$ таким, что $\operatorname{Spt}(\mu^0)\subset K_{\varepsilon}$ и $\|\mu^0\|=1$.

Отсюда (с учетом того, что $\|\mu\|\geqslant(1/2)\gamma_{{\mathcal L},+}(K)$) следует, что $A\gamma_{\Delta}(K_{\varepsilon})\geqslant 2\|\mu\|\geqslant \gamma_{{\mathcal L},+}(K)$. Осталось устремить $\varepsilon$ к нулю и воспользоваться тем, что $\lim_{\varepsilon\to0}\gamma_{\Delta}(K_{\varepsilon})= \gamma_{\Delta}(K)$ (см., например, [3; гл. II, § 1, п. 5] или [4; предложение 3.1]). Теорема доказана.

Список литературы