| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 4 статьях) Динамика метрик в пространствах с мерой и масштабированная энтропия А. М. Вершикabc, Г. А. Вепревbd, П. Б. Затицкийae a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Санкт-Петербургский государственный университет c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук d University of Geneva, Geneva, Switzerland e University of Cincinnati, Cincinnati, OH, USA
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10103e 
Реферативные базы данных:
     Глава 1. Категория метрических пространств с мерой. Исторический очерк и краткое содержание обзора1.1. Пространства с мерой и метрикой1.1.1. Меры и метрики – общие соображенияСовместное рассмотрение меры и метрики в одном пространстве имеет давнюю традицию. Однако, разумеется, ей предшествовал долгий период формирования самих понятий метрических (и топологических) пространств, метризации (Ф. Хаусдорф, П. С. Урысон и др.) и соответствующих понятий пространств с мерой (А. Лебег, Дж. фон Нейман, А. Н. Колмогоров, В. А. Рохлин и др.; 1900–1940-е годы). В работах 1930–1950-х годов (Дж. Окстоби, С. Улам, А. Д. Александров и др.) обе структуры уже рассматривались одновременно, но все же как вполне отдельные. Заметим, что точка зрения некоторых математиков, например Н. Бурбаки (см. его том “Интегрирование” – 1960-е годы), состояла в том, что пространств с мерой как отдельной структуры вообще не существует, а есть лишь та или иная процедура интегрирования функций. Такая односторонняя позиция привела Н. Бурбаки к игнорированию определенных разделов математики, таких как эргодичеcкая теория, теория сигма-алгебр, вероятностные концепции и т. д. Отсутствие понимания того, например, что теория интегрирования функций едина для любых метрических пространств, сдерживало развитие и теории меры в функциональных пространствах; с другой стороны, многие комбинаторные конструкции теории меры и эргодической теории не были востребованы и применены в классическом анализе из-за существования разделительной стены между ними. Игнорирование самой структуры и категории пространств с мерой является причиной того, что наиболее содержательная и рабочая часть теории меры – геометрия различных конфигураций сигма-подалгебр (измеримых разбиений) – остается малоизвестной и недостаточно разработанной. 1.1.2. Метрические тройки и mm-пространстваНовый период начался с работ М. Громова, подытоженных в книге [14]. В ней, в частности (глава $3\frac{1}{2}$), систематически изучались так называемые mm-пространства, т. е. пространства с метрикой и мерой. При этом важная точка зрения, высказанная М. Громовым и одновременно А. М. Вершиком в [59], [57], состояла в том, что, в противоположность классической схеме, в которой рассматривались различные борелевские меры на фиксированном полном метрическом пространстве, предлагалось изучать различные метрики на фиксированном пространстве с мерой (пространстве Лебега–Рохлина). В книге [14] этот подход назван “reversed definition of mm spaces”. Эта точка зрения последовательно проводилась в работах [48]–[51], [78], [80], [82]–[87] и изложена в данном обзоре. А именно, была построена теория метрических троек $(X,\mu,\rho)$ – пространство, мера, метрика. При этом метрическое пространство $(X,\rho)$ предполагалось полным сепарабельным, а пространство с мерой $(X,\mu)$ – пространством Лебега–Рохлина (в случае непрерывной меры изоморфным mod 0 в смысле теории меры отрезку $[0,1]$ с мерой Лебега или счетному произведению двоеточий с мерой Хаара), с естественным согласованием структур этих пространств (см. подробно в п. 2.1.2). М. Громов доказал классификационную теорему для таких троек относительно группы сохраняющих меру изометрий, а А. М. Вершик придал ей форму, в которой явно описывались инварианты троек, а именно матричные распределения – меры на пространстве матриц расстояний. Подробности см. в [14], [55], [56] и в главе 2 настоящего обзора. Одно из главных преимуществ нового акцента состояло в возможности рассмотрения динамики метрик относительно группы автоморфизмов, сохраняющих меру, и открытии нового источника инвариантов динамических систем с инвариантной мерой, связанных с этой динамикой, таких как масштабированная энтропия. Это – основная тема настоящего обзора, краткий перечень результатов которого мы приводим в следующих пунктах настоящей главы. Перенос центра тяжести с метрики на меру, с одной стороны, облегчает изучение пары мера–метрика – уже потому, что, как общеизвестно, с точностью до метрического изоморфизма существует единственное такое сепарабельное полное пространство с непрерывной мерой, заданной на полной сигма-алгебре множеств, – единичный отрезок с лебеговой мерой или, эквивалентно, счетное произведение двоеточий с мерой Хаара. Поэтому мы фактически можем себе представлять весь возможный арсенал mm-структур как некоторое множество метрик на универсальном пространстве с мерой $(X,\mu)$. Правда, нам сначала придется признать, что метрика $\rho$ есть лишь класс совпадающих почти всюду измеримых функций двух переменных, удовлетворяющий известным аксиомам почти всюду (т. е. $\bmod \ 0$); такой объект назван почти метрикой. Однако имеет место теорема об исправлении (теорема 2.2), позволяющая всегда выделить множество полной меры, на котором эта почти метрика исправляется до настоящей полуметрики. При этом единственным требованием согласования метрики с мерой является требование сепарабельности метрики, по которому сигма-алгебра множеств, порожденная всеми шарами положительного радиуса, является плотной в сигма-алгебре классов измеримых множеств mod 0 (см. теорему 2.4). Тройки $(X,\mu,\rho)$ – пространство, мера, метрика, – обладающие свойством сепарабельности $\bmod \ 0$, называются допустимыми (или просто метрическими тройками), они и составляют предмет изучения настоящей главы. В теоремах 2.17 и 2.18 мы приводим многочисленные эквивалентные формулировки свойства допустимости. Среди прочих, важным критерием допустимости тройки $(X,\mu,\rho)$ является конечность при каждом положительном $\varepsilon$ так называемой эпсилон-энтропии этой тройки – логарифма количества шаров радиуса $\varepsilon$, которые покрывают все пространство, кроме разве что множества меры $\varepsilon$. Если отождествлять совпадающие почти всюду метрики, то всегда можно считать, что метрическое пространство является полным (по принятой терминологии – польским). Действительно, в случае неполного пространства можно рассмотреть пополнение пространства и продолжить меру на него; разность между пополнением пространства и исходным пространством будет иметь меру нуль. Для метрических троек классические теоремы, формулируемые обычно в очень скромных предположениях, обобщаются до очень общих утверждений. Например, развитием известной теоремы Лузина о непрерывности измеримой функции является следующее утверждение: любые две допустимые метрики являются топологически эквивалентными (т. е. гомеоморфными друг другу) на некотором множестве сколь угодно близкой к единице меры (см. теоремы 2.5 и 2.6). 1.1.3. Матричные распределения и классификация метрических троек (и mm-пространств)В п. 2.3 намечено доказательство классификационной теоремы о метрических тройках, поэтому здесь мы ограничимся лишь точной формулировкой теоремы о матричных распределениях и их характеризации. Касательно возможности классификации метрических пространств см. [34]. Рассмотрим множество метрических троек $(X,\mu,\rho)$, где $\mu$ – невырожденная непрерывная мера (т. е. ее носитель есть $X$). Напомним, что предполагается, что метрическое пространство $(X,\rho)$ – полное сепарабельное, а $(X,\mu)$ – пространство Лебега с непрерывной мерой. Классификация mm-пространств относительно сохраняющих меру изометрий дана М. Громовым [14] и А. М. Вершиком [61]. В формулировке Громова полным инвариантом служит набор согласованных между собой в естественном смысле случайных матриц (т. е., при всех натуральных $n$, матриц расстояний между $n$ точками, выбранными случайно и независимо в соответствии с данным распределением). Фактически в доказательстве используется метод моментов и теорема Вейерштрасса. Доказательство Вершика использует понятие матричного распределения метрики (см. ниже) или, более общо, измеримой функции нескольких переменных. Теорема 1.1 (матричное распределение как инвариант метрической тройки). Полной системой инвариантов метрической тройки $(X,\mu,\rho)$ с невырожденной мерой относительно группы всех почти изометрий, сохраняющих меру, является матричное распределение $\mathfrak{D}_\infty=\mathfrak{D}_\infty(X,\mu,\rho)$, т. е. вероятностная мера на пространстве бесконечных матриц расстояний, являющаяся по определению образом меры Бернулли $(X^{\infty},\mu^{\infty})$ при отображении Доказательство теоремы 1.1 основано на индивидуальной эргодической теореме и свойствах пополнения метрических пространств. В связи с этим доказательством возникает вопрос каким образом описать матричные распределения как меры на множестве матриц расстояний? Этот вопрос подробно обсуждается в п. 2.3.2. Оказывается, эти меры могут быть описаны с помощью специального понятия простоты меры. Это понятие, как и связанные рассмотрения, имеют общий характер и применимы не только к классификации метрик, но и к классификации произвольных измеримых функций нескольких переменных (см. [40], [58], [70], [71]). С матричными распределениями связан целый ряд задач теории меры и “learning theory” (что на русский естественно перевести как “теория узнавания” или “теория восстановления”); в частности, в настоящей работе рассматривается задача восстановления метрики и меры в пространствах по рандомизированным тестам, в которых энтропия и спектры играют важную роль. 1.1.4. Cпектральная эквивалентность метрических троекСформулируем одну важную проблему, имеющую приложения к теории узнавания и к спектральной теории графов и возникающую одновременно с определением матричного распределения. Свяжем с матричным распределением допустимой метрики совокупность спектров главных миноров случайных матриц расстояний. Напомним, что это система перемежающихся случайных наборов вещественных чисел
$$
\begin{equation*}
\{\lambda_1^n(\omega) \geqslant \lambda_2^n(\omega) \geqslant\cdots \geqslant \lambda_n^n(\omega)\}, \qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно рассматривать эту систему как случайную бесконечную треугольную матрицу. Определяет ли эта случайная матрица исходное матричное распределение и тем самым исходную метрику? Схожий вопрос: в какой мере спектр того или иного оператора, естественно возникающего при рассмотрении геометрического объекта, определяет сам этот объект? Широко известный вопрос М. Каца “Можно ли услышать форму барабана?” – как раз из этой серии: однозначно ли восстанавливается риманово многообразие по спектру оператора Лапласа? Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный. Другой пример из ранней истории эргодической теории – определяется ли спектром оператора Купмана преобразование, сохраняющее меру, по которому этот оператор построен? Наиболее содержательным отрицательным ответом служит открытие энтропии Шеннона–Колмогорова, являющейся неспектральным инвариантом преобразования. Наш вопрос в известном смысле соответствует этим двум примерам, и ответ, скорее всего, также отрицательный. Но, разумеется, ситуация в нашем случае совершенно иная. Например, ответ на такой же вопрос о мерах на бесконечных симметричных (или эрмитовых) матрицах, инвариантных относительно ортогональной (унитарной), а не симметрической группы, – положителен, потому что спектр есть полный инвариант уже в конечномерном случае. Здесь были бы полезны численные эксперименты. Нам известна только одна вычислительная работа [6], которая была выполнена по инициативе А. М. Вершика, показавшая сильную зависимость набора случайных спектров от размерности сфер $S^n$. Интересен характер тех метрик, которые однозначно определяются системой спектров; в общем же случае ответ, скорее, отрицательный. Нам представляется плодотворной задача изучения случайных спектров матричного распределения (см. [74], а также [28]). С другой стороны, имеется большое количество работ, посвященных изучению спектров матриц расстояний конкретных метрических пространств (и матриц инцидентности графов) – см., например, [16]. 1.1.5. Конус метрических троек и универсальное метрическое пространство Урысона с меройМножество суммируемых допустимых метрик на пространстве с фиксированной мерой образует конус в пространстве функций двух переменных $L^1(X^2,\mu^2)$; мы рассматриваем естественную норму, в которой этот конус является полным нормированным конусом (см. п. 2.1.4). Естественно изучать те или иные классы метрик как подмножества этого конуса, а численные характеристики метрических троек – как функции на этом конусе. В частности, мы рассматриваем эпсилон-энтропию как функцию на этом конусе или на расслоениях над этим конусом. О свойствах отображения $(X,\mu,\rho) \to \mathfrak{D}_\infty(X,\mu,\rho)$ конуса допустимых метрик в пространство мер на матрицах расстояний подробно рассказано в п. 2.3. Здесь уместно сказать о связи рассматриваемых вопросов с пространством Урысона. Универсальное метрическое пространство Урысона $(\mathbb{U},\rho_{\rm U})$ в последние годы стало (после полувекового забвения) популярным объектом исследований. В работах [55], [59] был доказан несколько удивительный факт: в пространстве всех возможных метрик на счетном множестве, снабженном слабой топологией, всюду плотное $G_{\delta}$-подмножество состоит из метрик, пополнение по которым есть пространство, изоморфное пространству Урысона. По-видимому, эта типичность пространств Урысона сохраняется и в контексте допустимых троек: совокупность всех (полу)метрических троек $(X,\mu,\rho)$, для которых (полу)метрическое пространство $(X,\rho)$ изометрично проcтранству Урысона, оказывается типичным в слабой топологии конуса допустимых метрик, т. е. всюду плотным $G_{\delta}$-множеством в пространстве всех метрических троек. Отсюда следует, что и множество троек, в которых дополнительно мера является непрерывной и невырожденной, а метрика урысоновская, также является типичным в пространстве всех метрических троек. Ничего не известно о вероятностных борелевских мерах на пространстве Урысона, нет даже характерных примеров таких мер, однако, несомненно, такие меры будут определены в дальнейших исследованиях. 1.2. Метрические инварианты динамики в эргодической теорииРассмотрим, как можно использовать допустимые метрики в теории динамических систем. К сожалению, впечатляющая картина успехов эргодической теории во второй половине прошлого века страдала одним недостатком, который в полной мере по-настоящему стал ощущаться недавно, а именно, по тем или иным причинам в эргодических конструкциях редко использовались метрики в фазовом пространстве. Более того, метрику старались исключить даже в тех случаях, когда польза от нее была очевидна. В настоящее время выяснилось, что использование метрики часто позволяет определять новые метрические (от слова “мера”) инварианты динамических систем, а именно, метрика нетривиальным образом используется для некоторой конструкции, а полученный в результате этого ответ от исходной метрики не зависит. Первый пример такого инварианта – масштабированная энтропия, первоначально определенная А. М. Вершиком и исследованная авторами настоящего обзора в последующих работах. Ниже кратко объясняется, в чем состоит этот инвариант. Подробно он описан в главе 3 обзора, где собрана серия результатов, доказанных в последние годы и составляющих новое направление в эргодической теории. 1.2.1. Масштабированная энтропия динамических системМы изучаем самую простую из различных возможностей использования метрики. А именно, ставим в соответствие допустимой метрике ее обычную эпсилон-энтропию, т. е. росток функции от эпсилон. Усредняя метрику, как принято в теории преобразований с инвариантной мерой, мы получаем последовательность таких ростков эпсилон-энтропий. Основной факт, высказанный в виде гипотезы в [62], [63] и доказанный в [84] с помощью свойств метрических троек, состоит в том, что асимптотика энтропии, если она существует, как класс эквивалентности растущих (по номеру усреднения) последовательностей эпсилон-энтропий не зависит от выбора начальной метрики, и, таким образом, эта асимптотика является новым инвариантом динамической системы (см. п. 3.1.1). Этот инвариант и был назван масштабированной энтропией автоморфизма (см. [62], [63]). В этом определении по умолчанию предполагалось, что класс эквивалентности последовательностей эпсилон-энтропий не зависит от эпсилон, если эпсилон достаточно мало. Именно так обстоит дело во многих примерах. Например, класс $\{cn\}$ отвечает положительной колмогоровской энтропии, а класс постоянных (по $n$) последовательностей – дискретному спектру. Как было доказано С. Ференци и К. К. Парк в [10] и П. Б. Затицким в [85], любой класс эквивалентности растущих субаддитивных последовательностей между этими двумя монотонными асимптотиками реализуется для некоторого автоморфизма (см. п. 3.2.2). Но реально до сих пор встречались лишь немногие из них. Подсчет масштабированной энтропии для конкретных автоморфизмов – непростая задача, и выполнен он лишь для некоторых примеров. 1.2.2. Сравнение с классической энтропиейС одной стороны, инвариант – масштабированная энтропия – представляет собой существенное обобщение понятия энтропии и энтропийной теории Шеннона–Колмогорова на случай, когда колмогоровская энтропия равна нулю. Но здесь оказывается важной роль самого понятия энтропии mm-пространства, т. е. энтропии метрического пространства с мерой. А при наличии группы автоморфизмов возникает идея усреднения метрик под действием (например, аменабельной) группы. Имя К. Шеннона здесь упомянуто неслучайно. По-видимому, никто за эти долгие годы не обращал внимания и не занимался расшифровкой приложении 7 к знаменитой работе Шеннона [45], посвященной основам теории информации и ее применениям. В этом приложении Шеннон в весьма конкретной и не сразу поддающейся обобщению форме предлагает ту же самую, что и высказанная через 60 лет (!) в работах [62], [63], идею о том, что надо изучать асимптотику обычной энтропии метрического пространства с мерой (т. е. энтропию метрической тройки) для последовательных усреднений метрики относительно автоморфизма или группы автоморфизмов. По-видимому, ни А. Н. Колмогоров (cм. [27]), ни многочисленные его последователи не обратили достаточного внимания на то, что энтропия автоморфизма вычисляется как асимптотическая энтропия метрического пространства с мерой (при этом результат не зависит от метрики, см. п. 3.1.1). Правда, Шеннона, как позже и Колмогорова, интересовал лишь случай процессов, передающих информацию (К-процессов). То, что определение остается осмысленным и в случае произвольных автоморфизмов, не было замечено никем до самого последнего времени. В наших терминах в качестве метрических троек Шеннон рассматривает конечные фрагменты стационарного процесса, снабженные полуметрикой Хемминга, что не всегда удобно, но эта модель усреднений универсальна. Дальнейшее развитие теории Колмогоровым и его последователями В. А. Рохлиным и Я. Г. Синаем несколько скрывало общность идеи Шеннона, что отчасти вполне оправданно, поскольку на тот момент внимание было сконцентрировано на системах с положительной энтропией (гиперболических, хаотических и т. д.). Заметим, что появившиеся вскоре после работ по метрической энтропии статьи о топологической энтропии выглядели бы гораздо более естественно в рамках теории метрических троек. 1.2.3. Стабильность и нестабильностьВ работе [48] (см. также п. 3.3.1 настоящего обзора) сделан важный шаг в изучении масштабированной энтропии, состоящий в том, что ответ на вопрос о существовании единого для всех эпсилон класса эквивалентности роста энтропий при усреднении метрик может быть отрицательным для специально построенных метрических троек, т. е. асимптотика может существенно зависеть от эпсилон. Поэтому в определении класса эквивалентности следует рассматривать функции двух переменных – от $n$ (номера усреднения метрики) и от $\varepsilon$. Окончательное определение масштабированной энтропии включает такой более грубый класс эквивалентности энтропии для данного автоморфизма (см. п. 3.1.1). Предположительно, автоморфизмы, для которых асимптотика энтропий усреднений зависит от эпсилон, – типичны. По-видимому, данное здесь определение является наиболее общим из всех возможных определений, связанных с энтропийным ростом автоморфизмов или групп автоморфизмов (в аменабельном случае). Было бы интересно развить теорию масштабированной энтропии и на неаменабельные группы (см. п. 3.5). Заметим, что близкие обобщения классической энтропии предлагались и ранее, например энтропия Кириллова–Кушниренко (последовательностная энтропия, см. [31]), медленная энтропия Катка–Тувено (см. [24]), теоретикомерная сложность Ференци (см. [9]), однако теория метрических троек потенциально, по всей видимости, содержит и неэнтропийные инварианты систем; вопрос лишь в том, как их можно выразить с помощью численных инвариантов метрических троек, например с помощью матричных распределений. 1.2.4. Дальнейшее использование метрикВведение масштабированной энтропии является лишь первым шагом в использовании метрик в эргодической теории. Более того, этот шаг мог быть сделан с использованием только одной полуметрики и ее усреднений, а именно усреднений метрики на образующем разбиении в символической модели автоморфизма, т. е. последовательности метрик Хэмминга. Масштабированная энтропия использует лишь самый грубый инвариант метрики – асимптотику количества $\varepsilon$-шаров, почти покрывающих пространство с мерой. Следующий этап должен состоять в том, чтобы изучить с помощью меры более сложные характеристики последовательностей метрических пространств и выделить те их свойства, которые являются инвариантами автоморфизма или группы автоморфизмов. Эта задача, по-видимому, до сих пор не изучалась, и можно предположить, что за этим изучением стоит сложная и интересная комбинаторика того, как континуальная динамика аппроксимируется конечными конструкциями. Это сильно отличается, во всяком случае на первый взгляд, от обычных теорий аппроксимаций. Более 50 лет остается нерешенным вопрос об инвариантах небернуллиевских K-автоморфизмов, открытых Д. Орнштейном. Можно предположить, что геометрический подход к их анализу с помощью метрик поможет продвинуться в этом вопросе. На это указывает характеристика, предложенная А. М. Вершиком, а именно вторичная энтропия фильтрации (см. [67]). 1.2.5. Функции нескольких переменных как источник динамических инвариантовДругая общая идея состоит в том, что привычный прием функционального анализа – замена изучения тех или иных объектов изучением функций на них – использовался в теории динамических систем в очень ограниченном виде (идея Купмана): динамической системе $\{T_g\colon g\in G\}$ ставится в соответствие группа операторов
$$
\begin{equation*}
\{U_g\colon f\mapsto U_g(f)(\,\cdot\,)=f(g^{-1}\,\cdot\,)\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $f$ принадлежит тому или иному пространству функций одной переменной. В этом суть спектральной теории динамических систем, доставляющей спектральные инварианты системе. Но тот же прием можно использовать для функций нескольких переменных, например для пространства функций двух переменных, и не произвольных, а, скажем, метрик; таким образом мы открываем совершенно новый путь для построения инвариантов динамических систем. Более подробно: используя теорию допустимых метрических троек, изложенную в главе 2, мы можем динамической системе с инвариантной мерой поставить в соответствие группу операторов в пространстве метрических троек. Так, выше мы фактически вложили группу сохраняющих меру автоморфизмов в группу преобразований метрических троек и убедились, что некоторые инварианты троек (асимптотика энтропий усреднений) не зависят от метрики и тем самым становятся инвариантом исходной группы автоморфизмов пространства с мерой. С другой стороны, метрика позволяет ввести новые понятия в развитие некоторых классических фактов. Одним из таких понятий является чисто метрическое понятие “виртуальной непрерывности” измеримой функции нескольких переменных, позволяющее корректно ограничивать такую функцию на элементы меры нуль некоторого измеримого разбиения. Эта проблема автоматически решается положительно ($\bmod \ 0$) для произвольной измеримой функции одной переменной – в этом состоит теорема Рохлина (см. [39]). Уже для функций двух и более переменных, вообще говоря, не существует ограничения на элементы измеримого разбиения. Ограничение существует для так называемых виртуально непрерывных функций, определение которых – чисто метрическое (см. работу [80] и определение 2.7 в п. 2.1.3 настоящего обзора). В частности, любая допустимая метрика виртуально непрерывна и поэтому допускает ограничение, превращая тем самым почти каждый элемент любого измеримого разбиения в mm-пространство. Виртуальная непрерывность не использует никаких локальных свойств функций (вроде гладкости и др.) и позволяет по-новому понять теоремы продолжения функций нескольких переменных и теоремы вложения Соболева (см. [79]). 1.2.6. Общая постановка проблемы метрического изоморфизма с учетом метрики: каталитические инвариантыРассмотрим проблему изоморфизма автоморфизмов, сохраняющих меру, т. е. проблему сопряженности в группе классов совпадающих $\bmod \ 0$ автоморфизмов, сохраняющих меру. Будем рассматривать ее сначала в несколько расширенной постановке, а именно, будем предполагать, что группа автоморфизмов действует в пространстве Лебега $X$ с непрерывной мерой $\mu$, в котором будут также рассматриваться различные допустимые метрики $\rho$. Зафиксируем в этом пространстве какой-либо эргодический автоморфизм $T$ и одну из допустимых метрик $\rho$. Рассмотрим своеобразную статсумму из метрик (точнее, нормированный ряд по степеням $z\in [0,1)$) и предположим, что он сходится (буквально или обобщенно):
$$
\begin{equation*}
\Omega_T(\rho,z)\equiv \Omega_T(z)=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}z^n\rho(T^n x,T^n y),\qquad z\in [0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы рассматриваем функцию от $z$, т. е. $\Omega_T(\,\cdot\,)$, как метрику, являющуюся деформацией метрики $\rho$ (при $z=0$) под действием автоморфизма $T$. Заметим, что при фиксированном $z$ каждое слагаемое есть результат применения оператора $z\cdot U_T\otimes U_T$, действующего на конусе допустимых метрик (на пространстве функций двух переменных). Сумма ряда по $n$, соответственно, есть оператор Рассмотрим функцию $\Omega_T(z)$ в окрестности точки $z=1$. Удобно положить $z=1-\delta$, тогда
$$
\begin{equation*}
\Omega_{T}(\rho,z)= \delta\sum_{n=0}^{\infty}(1-\delta)^n \rho(T^n x,T^n y),\qquad 1>\delta \geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нас будет интересовать поведение деформации $\Omega_T(\,\cdot\,)$ в окрестности точки $\delta=0$, т. е. $z=1$. Предположим, что с каждым полным сепарабельным метрическим пространством с мерой $(X,\mu,\rho)$ соотнесен некий инвариант (относительно изометрий метрического пространства), значения которого представляют собой вещественные функции $\Phi_\rho(\,\cdot\,)$ некоторого аргумента (обозначим его $\varepsilon$), единого для всех метрических пространств (например, функция от эпсилон, равная логарифму числа шаров радиуса эпсилон, покрывающих почти все пространство). Предположим, что имеется деформация $\Omega_{T}(\rho,z)$ метрических пространств, и рассмотрим функции $\Phi_{\rho}(z,\varepsilon)$ двух вещественных переменных $z\in [0,1)$ и $\varepsilon>0$. Наконец, введем классы эквивалентности функций двух переменных, зависящие от $\varepsilon$ и от параметра деформации $z$. А именно, сначала образуем классы эквивалентности функций от $z$ при фиксированном $\varepsilon$; если окажется, что такой класс не зависит от $\varepsilon$, то он и берется в качестве инварианта. Если при разных $\varepsilon$ классы различаются, то образуются более грубые классы, которые объединяют в один все классы при разных $\varepsilon$. Так или иначе, классы фактически ставятся в соответствие семейству метрик $\Omega_{T}(\rho,z)$, определяемых статсуммой $\Omega$. Будем говорить, что класс эквивалентности функции двух переменных $\Phi_{\rho}(z,\varepsilon)$ является каталитическим1 инвариантом автоморфизма $T$, если этот класс не зависит от начальной метрики $\rho=\rho_0$ и, следовательно, соответствует только автоморфизму $T$. Подробности см. в [69]. В тех случаях, когда класс эквивалентности зависит от начальной метрики, возникает естественное отношение эквивалентности на начальных метриках (класс метрик с одним и тем же инвариантом) и можно говорить об относительном каталитическом инварианте при фиксированном классе начальных метрик. Относительные инварианты также представляют интерес для проблемы классификации, которая уже более подробна, чем обычная проблема метрического изоморфизма. Главный вопрос состоит в том, какие инварианты метрики (относительно изометрий) можно использовать с такой же продуктивностью, как энтропию метрического пространства с мерой. Этот вопрос остается открытым. Еще одна возможность расширения идеи каталитических инвариантов заключается в том, чтобы рассматривать не только инварианты самого метрического пространства, но и инварианты типа флагов метрических пространств $X_1 \supset X_2\supset \cdots \supset X_n$ в том же самом смысле, что и выше. Здесь, несомненно, есть перспективы, но они требуют более подробного изучения самих метрических пространств и их инвариантов относительно изометрий $X_1$. Глава 2. Метрические тройки2.1. Метрические тройки, допустимость2.1.1. Измеримые полуметрики и почти метрики, теоремы исправленияКлассический подход к изучению mm-пространств $(X,\mu,\rho)$, т. е. пространств $X$ с мерой $\mu$ и метрикой $\rho$, обычно основывается на изучении различных борелевских мер $\mu$ на фиксированном метрическом пространстве $(X,\rho)$. Мы же, как было сказано в главе 1, рассматриваем тематику метрических пространств с мерой с относительно новой точки зрения. Она, по-видимому, впервые была высказана в работах [59] и [57]. Мы отправляемся от фиксированного пространства с мерой $(X,\mathcal{A},\mu)$ (пространства Лебега–Рохлина, стандартного вероятностного пространства с непрерывной мерой, т. е. изоморфного отрезку $[0,1]$ с мерой Лебега) и изучаем различные метрики $\rho$ на этом пространстве. Условием, связывающим топологическую и измеримую структуры, является измеримость метрики $\rho$ как функции двух переменных; такие метрики мы будем называть измеримыми. Кроме того, нам неизбежно приходится рассматривать естественные обобщения метрик – полуметрики2. В контексте выбранного подхода к изучению метрик (и полуметрик) как измеримых функций на $(X^2,\mu^2)=(X\times X,\mu\times \mu)$ естественным образом возникает понятие почти метрики – функции, для которой определяющие метрику соотношения выполнены не всюду, а лишь почти всюду. Определение 2.1. Измеримая неотрицательная функция $\rho$ на $(X^2,\mu^2)$ называется почти метрикой (или метрикой $\bmod \ 0$) на $(X,\mu)$, если (a) $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ для $\mu^2$-почти всех пар $(x,y) \in X^2$; (b) $\rho(x,z)\leqslant \rho(x,y)+\rho(y,z)$ для $\mu^3$-почти всех троек $(x,y,z) \in X^3$. Так, например, предел по мере или почти всюду последовательности измеримых метрик априори может оказаться лишь почти метрикой. Оказывается, что верна следующая теорема об исправлении почти метрик (см. [86]). Теорема 2.2 (теорема об исправлении). Если $\rho$ – почти метрика на $(X,\mu)$, то найдется такая полуметрика $\widetilde \rho$ на $(X,\mu)$, что $\mu^2$-почти всюду выполнено равенство $\rho=\widetilde \rho$. Доказательство теоремы об исправлении основано на двух шагах: отождествлении пространства $(X,\mu)$ с окружностью $\mathbb{S}$ с мерой Лебега $m$ и применении теоремы Лебега о дифференцировании. Для почти метрики $\rho$ на $(\mathbb{S},m)$ в качестве ее исправления можно взять функцию
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\rho}(x,y)=\varlimsup_{T \to 0^+}\frac{1}{T^2}\int_0^T\, \int_0^T \rho(x+t,y+s)\,dt\,ds, \qquad x,y \in \mathbb{S},
\end{equation*}
\notag
$$
которая совпадает с $\rho$ почти всюду и оказывается полуметрикой. Теорема 2.2 позволяет в дальнейшем ограничиться рассмотрением измеримых полуметрик, а не почти метрик. В частности, из этой теоремы следует, что множество измеримых полуметрик замкнуто относительно предельных переходов по мере и почти всюду. Развитие идей об исправлении применительно к функциям нескольких переменных можно найти в работе [36]. 2.1.2. Допустимость. Связь измеримой и метрической структурВ дальнейшем мы будем работать в основном с так называемыми допустимыми полуметриками и метриками. Одно из определений допустимости – сепарабельность на подмножестве полной меры. Определение 2.3. Измеримая (полу)метрика $\rho$ на пространстве $(X,\mathcal{A}, \mu)$ называется допустимой, если найдется такое подмножество $X_0\subset X$, что $\mu(X_0)=1$ и (полу)метрическое пространство $(X_0,\rho)$ сепарабельно. Тройку $(X,\mu,\rho)$ также будем называть допустимой (полу)метрической тройкой или просто метрической тройкой. Связь между структурами измеримого и метрического пространства на $X$ освещается в следующих утверждениях. Допустимая метрика на $(X,\mathcal{A},\mu)$ порождает борелевскую сигма-алгебру $\mathcal{B}$, мера $\mu$ оказывается борелевской – определенной на $\mathcal{B}$. Теорема 2.4 (см. [80]). Если $\rho$ – допустимая метрика на пространстве $(X,\mathcal{A},\mu)$, то мера $\mu$ является мерой Радона на метрическом пространстве $(X,\rho)$. Порожденная метрикой $\rho$ борелевская сигма-алгебра $\mathcal{B}$ на $X$ является подалгеброй исходной сигма-алгебры $\mathcal{A}$ и плотна в ней. Включение $\mathcal{B}\subset \mathcal{A}$ следует из того, что индикаторы открытых шаров радиуса $R$ являются сечениями множества $\{(x,y) \in X\times X\colon \rho(x,y)<R\}$ и поэтому лежат в $\mathcal{A}$. В силу сепарабельности $\pmod 0$ любое открытое множество является счетным объединением шаров, поэтому также лежит в $\mathcal{A}$. Плотность $\mathcal{B}$ в $\mathcal{A}$ следует из свойства максимальности лебеговской сигма-алгебры. Подробности см. в [80]. Следствием радоновости меры является следующий несколько неожиданный факт, демонстрирующий в каком-то смысле свойство универсальности допустимой метрической тройки. Теорема 2.5 (см. [80]). Если $\rho_1$ и $\rho_2$ – две допустимые метрики на пространстве $(X,\mu)$, то для любого $\varepsilon>0$ найдется такое подмножество $X_0 \subset X$, что $\mu(X_0) > 1-\varepsilon$ и задаваемые метриками $\rho_1$, $\rho_2$ топологии на $X_0$ совпадают. Из этой теоремы можно вывести следующую обобщенную теорему Лузина. Теорема 2.6 (обобщенная теорема Лузина). Пусть $(X,\mu,\rho)$ – метрическая тройка, а функция $f$ измерима на $(X,\mu)$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдется такое подмножество $X_0 \subset X$, что $\mu(X_0) > 1-\varepsilon$ и функция $f$ непрерывна на $(X_0,\rho)$. Отметим, что в работе [5] изложен обратный подход к доказательству этих результатов: теорема 2.4 о радоновости меры выводится из обобщенной теоремы Лузина. В заключение этого пункта приведем следующее замечание. Допустимой полуметрике $\rho$ на пространстве $(X,\mu)$ поставим в соответствие разбиение $\xi_\rho$ на множества нулевого диаметра: точки $x,y \in X$ лежат в одном элементе разбиения $\xi_\rho$ в том и только том случае, если $\rho(x,y)=0$. Допустимость полуметрики $\rho$ гарантирует, что разбиение $\xi_\rho$ является измеримым. Тем самым, допустимая полуметрика $\rho$ индуцирует допустимую метрику на факторпространстве $X/\xi_\rho$. 2.1.3. Метрики и разбиенияПусть $\pi\colon(X,\mu)\to (Y,\nu)$ – измеримое отображение, переводящее меру $\mu$ в меру $\nu$. Пусть $\xi$ – разбиение на прообразы точек при отображении $\pi$. Классический результат В. А. Рохлина (см. [39]) говорит о существовании и единственности ($\bmod \ 0$) условных мер $\mu_y$ на элементах $\pi^{-1}(y)$ для $\nu$-почти всех $y \in Y$ таких, что мера $\mu$ есть интеграл мер $\mu_y$ по мере $\nu$: Каждой измеримой функции $f$ на пространстве $(X,\mu)$ можно поставить в соответствие систему сужений $f_y=f\big|_{\pi^{-1}(y)}$ на пространствах $(\pi^{-1}(y),\mu_y)$, $y \in Y$. Для $\nu$-почти всех $y \in Y$ сужение $f_y$ является измеримой функцией. При замене функции $f$ на эквивалентную (совпадающую с ней $\mu$-почти всюду) функцию для $\nu$-почти всех $y\in Y$ следы $f_y$ заменяются на эквивалентные по мере $\mu_y$. Тем самым, сужения измеримой функции на слои измеримого разбиения корректно определены. Аналогичный вопрос для функции многих переменных был поставлен А. М. Вершиком: можно ли корректно определить сужения определенной почти всюду функции нескольких переменных на элементы измеримого разбиения? Ответ, вообще говоря, отрицательный. Однако для так называемых виртуально непрерывных функций нескольких переменных можно дать корректное определение сужения на слои измеримого разбиения. Приведем одно из возможных определений виртуально непрерывных функций.Определение 2.7. Измеримая функция $f$ на $(X^2,\mu^2)$ называется собственно виртуально непрерывной, если найдутся такие подмножество $X'\subset X$ полной меры и допустимая метрика $\rho$ на $(X,\mu)$, что $f$ непрерывна на $X'\times X'$ по метрике $\rho\times \rho$. Измеримая функция $f$ на $(X^2,\mu^2)$ называется виртуально непрерывной, если она совпадает с некоторой собственно виртуально непрерывной функцией $\mu^2$-почти всюду. Простым примером не виртуально непрерывной функции является индикатор множества “над диагональю”: функция $\chi_{\{x>y\}}$ на $X^2$, где $X=[0,1]$. Теорема 2.8. Если две собственно виртуально непрерывные функции $f$ и $g$ на $(X^2,\mu^2)$ совпадают $\mu^2$-почти всюду, то найдется подмножество $X_0\subset X$ полной меры такое, что $f$ и $g$ совпадают на квадрате $X_0^2$. Если $\xi$ – разбиение на прообразы точек при измеримом отображении $\pi\colon (X,\mu) \to (Y,\nu)$ и $\{\mu_y\}_{y \in Y}$ – соответствующая система условных мер, то для $\nu$-почти всех $y \in Y$ сужения $f$ и $g$ на $\pi^{-1}(y)\times \pi^{-1}(y)$ совпадают $(\mu_y\times \mu_y)$-почти всюду. Приведенная теорема позволяет корректно определить сужение виртуально непрерывной функции как сужение эквивалентной ей собственно виртуально непрерывной функции. Предложение 2.9. Допустимая полуметрика $\rho$ на пространстве $(X,\mu)$ является собственно виртуально непрерывной функцией. Действительно, допустимая полуметрика $\rho$, рассматриваемая как функция двух переменных, тривиальным образом непрерывна на $X\times X$ по полуметрике $\rho\times \rho$. Поэтому корректно определены сужения $\rho$ на элементы измеримого разбиения $\xi$. Более того, для $\nu$-почти всех $y\in Y$ сужение полуметрики $\rho$ на слой $\pi^{-1}(y)$ является допустимой полуметрикой на $(\pi^{-1}(y),\mu_y)$. Подробнее про виртуально непрерывные функции см. в работах [79] и [80]. В этих работах, в частности, обсуждается связь понятия виртуальной непрерывности с такими классическими вопросами анализа, как теоремы о следах функций из пространств Соболева, а также о следах ядер ядерных операторов. Виртуальная непрерывность появляется также в теоремах двойственности типа Монжа–Канторовича (см. работы [80], [5] и [4]). 2.1.4. Конус суммируемых допустимых полуметрик, m-нормаМы ограничимся в дальнейшем изучением суммируемых допустимых полуметрик, т. е. допустимых полуметрик $\rho$ с конечным интегралом
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times X} \rho(x,y)\,d\mu(x)\,d\mu(y) < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированного пространства с мерой $(X,\mu)$ символом $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ обозначим множество всех суммируемых допустимых полуметрик на $(X,\mu)$. В п. 2.2.1 мы покажем, что это множество – выпуклый конус в $L^1(X^2,\mu^2)$. Группа $\operatorname{Aut}(X,\mu)$ автоморфизмов пространства $(X,\mu)$ действует сдвигами на конусе $\mathcal{A}dm(X,\mu)$. Изучаемая в главе 3 динамика метрик – фактически изучение этого действия. Орбиты этого действия состоят из попарно изоморфных метрик. В дальнейшем мы будем обсуждать эти орбиты и усреднения метрик по ним. В частности, мы будем исследовать поведение инвариантов автоморфизмов, которые возникают при изучении этого действия. Каждой метрике $\rho$ из конуса $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ соответствует стабилизатор – группа сохраняющих меру $\mu$ изометрий $\bmod \ 0$ пространства $(X,\rho)$. Конус $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ не замкнут в пространстве $L^1(X^2,\mu^2)$, его замыканием является множество всевозможных (не обязательно допустимых) суммируемых полуметрик. Для работы с допустимыми полуметриками часто удобно работать с другой нормой, которая индуцирована в $L^1$ конусом всех суммируемых полуметрик; эта норма была введена в работе [78]. Определение 2.10. Для функции $f \in L^1(X^2,\mu^2)$ определим ее (конечную или бесконечную) m-норму следующим образом: Символом $\mathbb{M}(X,\mu)$ обозначим подпространство функций в $L^1(X^2,\mu^2)$, имеющих конечную m-норму. Очевидно, что m-норма мажорирует стандартную норму в $L^1(X^2,\mu^2)$, поэтому из сходимости в m-норме следует сходимость в $L^1(X^2,\mu^2)$. Очевидно также включение $\mathcal{A}dm(X,\mu) \subset \mathbb{M}(X,\mu)$. В п. 2.2.2 мы обсудим свойства конуса допустимых метрик и m-нормы, будет показано, что пространство $\mathbb{M}(X,\mu)$ и конус $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ полны в m-норме. Наряду с конусом $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ мы также будем рассматривать его подмножество – конус $\mathcal{A}dm_+(X,\mu)$, состоящий из суммируемых допустимых метрик. Он является плотным подмножеством в $\mathcal{A}dm(X,\mu)$. 2.2. Эпсилон-энтропия метрической тройки2.2.1. Эпсилон-энтропия и характеризации допустимостиОдной из простейших функциональных характеристик, описывающих метрическую тройку, является восходящее еще к Шеннону понятие эпсилон-энтропии (см. главу 1). Определение 2.11. Пусть $\rho$ – измеримая полуметрика на $(X,\mu)$ и $\varepsilon>0$. Тогда $\varepsilon$-энтропия $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)$ полуметрической тройки $(X,\mu,\rho)$ определяется как $\log k$, где $k$ – минимальное число (или бесконечность), для которого пространство $X$ может быть представлено в виде объединения $X=X_0 \cup X_1\cup \dots \cup X_k$ измеримых множеств так, что $\mu(X_0)<\varepsilon$ и $\operatorname{diam}_{\rho}(X_j)<\varepsilon$ при всех $j=1,\dots,k$. Для $\varepsilon\geqslant 1$ положим $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)=0$. Иногда бывает важно рассматривать “недиагональный” вариант этого понятия с двумя параметрами, $\varepsilon$ и $\delta$: при этом условие $\mu(X_0)<\varepsilon$ заменяется на условие $\mu(X_0)<\delta$. В работе [72] такая энтропия названа mm-энтропией. Свойство допустимости измеримой полуметрики легко описывается в терминах ее эпсилон-энтропий. Лемма 2.12. Измеримая полуметрика допустима тогда и только тогда, когда ее $\varepsilon$-энтропия конечна для любого $\varepsilon>0$. Используя это простое описание, легко понять, что сумма двух допустимых полуметрик снова является допустимой полуметрикой. Действительно, эпсилон-энтропия суммы полуметрик допускает следующую оценку:
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_{2\varepsilon}(X,\mu,\rho_1+\rho_2) \leqslant \mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho_1)+\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что множество всех допустимых полуметрик на пространстве $(X,\mu)$, как и множество $\mathcal{A}dm(X,\mu)$, образует выпуклый конус. Из определения видно, что для фиксированной метрической тройки $(X,\mu, \rho)$ функция $\varepsilon \mapsto \mathbb{H}_{\varepsilon}(X,\mu, \rho)$ является невозрастающей, кусочно постоянной и непрерывной слева. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_{\varepsilon+}(X,\mu, \rho)=\lim_{\delta \to 0^+} \mathbb{H}_{\varepsilon+\delta}(X,\mu, \rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функции $\mathbb{H}_{\varepsilon+}(X,\mu,\rho)$ и $\mathbb{H}_{\varepsilon}(X,\mu,\rho)$ являются полунепрерывными снизу и сверху соответственно на конусе $\mathcal{A}dm(X,\mu)$. Более того, справедлива следующая оценка. Лемма 2.13. Пусть $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X, \mu)$ таковы, что $\|\rho_1-\rho_2\|_\mathrm{m} < \delta^2/4$. Тогда для любого $\varepsilon > 0$ Другой способ определить энтропию метрической тройки – через аппроксимацию меры дискретными в метрике Канторовича. Определение 2.14. Пусть $(X,\mu,\rho)$ – метрическая тройка с конечным первым моментом (т. е. $\rho$ – суммируемая на $(X^2,\mu^2)$), и пусть $\varepsilon>0$. Определим Приведем двусторонние оценки, связывающие данные выше определения эпсилон-энтропий. Лемма 2.15. Пусть $(X,\mu,\rho)$ – метрическая тройка с конечным первым моментом. Пусть $0< \delta < \varepsilon$ таковы, что для любого подмножества $A \subset X$ если $\mu(A)<\delta$, то Тогда Лемма 2.16. Пусть $(X,\mu,\rho)$ – метрическая тройка с конечным первым моментом. Тогда при любом $\varepsilon>0$ имеет место оценка Доказательства лемм 2.15 и 2.16 мы приводим в приложении A.1. Следующая теорема из работы [78] дает несколько равносильных переформулировок допустимости полуметрики. Теорема 2.17 (эквивалентные условия допустимости). Пусть $\rho$ – измеримая полуметрика на $(X,\mu)$. Следующие утверждения равносильны: (a) полуметрика $\rho$ допустима; (b) для любого $\varepsilon>0$ эпсилон-энтропия $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)$ конечна; (c) мера $\mu$ может быть аппроксимирована дискретными мерами в метрике Канторовича $d_{\rm K}$; иными словами, для любого $\varepsilon>0$ эпсилон-энтропия $\mathbb{H}^{\rm K}_\varepsilon(X,\mu,\rho)$ конечна; (d) для $\mu$-почти всех $x \in X$ при любом $\varepsilon>0$ шар радиуса $\varepsilon$ в полуметрике $\rho$ с центром в $x$ имеет положительную меру; (e) для любого подмножества $A \subset X$ положительной меры существенный инфимум функции $\rho$ на $A\times A$ равен нулю. Равносильность пунктов (a)–(c) теоремы уже обсуждалась выше. Пункт (e) теоремы удобен для использования в качестве критерия недопустимости измеримой полуметрики. Приведем еще одну характеризацию допустимости полуметрики из работы [78] – в терминах попарных расстояний между элементами случайной последовательности точек. Теорема 2.18. Пусть $\rho$ – измеримая полуметрика на $(X,\mu)$, а $(x_n)_{n=1}^\infty$ – случайная последовательность точек, выбранная независимо по мере $\mu$. (i) Если метрика $\rho$ допустима, то для любой положительной константы $\varepsilon$ вероятность следующего события стремится к нулю при $n$, стремящемся к бесконечности:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\textit{найдется такое множество индексов } I \subset \{1,2,\dots,n\} \textit{ размера} \\ &\textit{хотя бы } \varepsilon n, \textit{ что } \rho(x_i, x_j) > \varepsilon \textit{ для любых различных } i,j \in I. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(ii) Если метрика $\rho$ не является допустимой, то существует такая положительная константа $\varepsilon$, что вероятность события (2.3) стремится к единице. В заключение этого пункта приведем теорему, которая позволяет оценить эпсилон-энтропию метрической тройки через эпсилон-энтропии случайных конечных подпространств. Теорема 2.19. Пусть $(X,\mu,\rho)$ – метрическая тройка, а $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ – случайная по мере $\mu^\infty$ последовательность. Пусть $(X_n,\mu_n,\rho_n)$ – (случайная) конечная метрическая тройка, где $X_n=\{x_1, \ldots, x_n\}$, $\mu_n$ – равномерная мера на $X_n$ и $\rho_n(x_i,x_j)=\rho(x_i,x_j)$. Тогда почти наверное (i) справедлива оценка снизу для эпсилон-энтропии $\rho$:
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_n\mathbb{H}_{\varepsilon}(X_n, \mu_n, \rho_n) \leqslant \mathbb{H}_{\varepsilon}(X, \mu, \rho);
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) справедлива оценка сверху для эпсилон-энтропии $\rho$: Подчеркнем, что теорема 2.19 по сути дает оценку эпсилон-энтропии метрической тройки в терминах ее матричного распределения (см. п. 2.3.1). 2.2.2. Сходимость в конусе допустимых полуметрикВ данном пункте мы приводим серию результатов из работы [78], описывающих свойства пространства $\mathbb{M}(X,\mu)$ и конуса допустимых полуметрик $\mathcal{A}dm(X,\mu)$, снабженных m-нормой и нормой из $L^1(X^2,\mu^2)$. Лемма 2.21. Пусть последовательность суммируемых полуметрик $\rho_n$ на $(X,\mu)$ сходится к некоторой функции $\rho$ в m-норме. Если для каждого $\varepsilon> 0$ при достаточно больших $n$ имеет место оценка $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho_n)<\infty$, то функция $\rho$ является допустимой полуметрикой. Следствие 2.22. Предел последовательности допустимых полуметрик в m-норме есть допустимая полуметрика. Конус $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ допустимых полуметрик замкнут и полон в m-норме. Следующая лемма утверждает, что предел в $L^1(X^2,\mu^2)$ последовательности допустимых полуметрик с равномерно ограниченными эпсилон-энтропиями является допустимой полуметрикой. Лемма 2.23. Пусть $M \subset \mathcal{A}dm(X,\mu)$ таково, что для каждого $\varepsilon>0$ множество $\{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)\colon \rho \in M\}$ ограничено. Тогда замыкание множества $M$ по норме пространства $L^1(X^2,\mu^2)$ лежит в конусе $\mathcal{A}dm(X,\mu)$. Теорема 2.24. Пусть последовательность суммируемых полуметрик $\rho_n$ сходится к допустимой полуметрике $\rho$ в $L^1(X^2,\mu^2)$. Тогда имеет место сходимость $\rho_n$ к $\rho$ в m-норме. Следствие 2.25. На конусе $\mathcal{A}dm(X,\mu)$ задаваемая m-нормой топология совпадает с топологией, задаваемой стандартной нормой в $L^1(X^2,\mu^2)$. 2.2.3. Компактность и предкомпактность в конусе допустимых полуметрикСогласно следствию 2.25 множество суммируемых допустимых полуметрик компактно в m-норме тогда и только тогда, когда оно компактно в $L^1(X^2,\mu^2)$. Приводимые в этом пункте теоремы из работы [78] дают критерий предкомпактности семейства допустимых полуметрик в m-норме. Теорема 2.26. Множество $M \subset \mathcal{A}dm(X,\mu)$ предкомпактно в m-норме тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: (a) равномерная интегрируемость: множество $M$ равномерно интегрируемо на $(X^2,\mu^2)$; (b) равномерная допустимость: для любого $\varepsilon>0$ существуют такие $k \geqslant 0$ и разбиение $X$ на множества $X_j$, $j=1,\dots,k$, что для каждой полуметрики $\rho \in M$ найдется такое множество $A \subset X$, что $\mu(A)<\varepsilon$ и $\operatorname{diam}_{\rho}(X_j\setminus A) < \varepsilon$ для всех $j=1,\dots,k$. Отметим, что согласно теореме Данфорда–Петтиса равномерная интегрируемость является необходимым и достаточным условием предкомпактности в слабой топологии в $L^1$. Следствие 2.27. Если множество $M\subset \mathcal{A}dm(X,\mu)$ является предкомпактным в m-норме, то его замыкание в $L^1(X^2,\mu^2)$ совпадает с замыканием в m-норме и лежит в $\mathcal{A}dm(X,\mu)$. При этом для любого $\varepsilon>0$ конечна величина $\sup\{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)\colon \rho \in M\}$. Оказывается, что для выпуклых множеств допустимых полуметрик последнее утверждение из следствия 2.27 является также и достаточным условием предкомпактности в m-норме. Теорема 2.28. Выпуклое множество $M \subset \mathcal{A}dm(X,\mu)$ является предкомпактным в m-норме тогда и только тогда, когда супремум $\sup\{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)\colon \rho \in M\}$ конечен для любого $\varepsilon>0$. Приведенные выше критерии предкомпактности имеют важное приложение в динамике. Они используются для доказательства критерия дискретности спектра сохраняющего меру преобразования (см. теорему 3.15). 2.3. Метрические тройки: классификация, матричное распределение, расстояние между тройкамиДо сих пор, говоря о метрической тройке, мы имели в виду метрику на фиксированном стандартном вероятностном пространстве $(X,\mu)$. В этом пункте мы временно отходим от данной парадигмы и говорим о метрических тройках, не фиксируя при этом конкретное стандартное вероятностное пространство с непрерывной мерой. Две суммируемые метрические тройки $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$ изоморфны, если существует изоморфизм пространств с мерой $(X_1,\mu_1)$ и $(X_2,\mu_2)$, переводящий метрику $\rho_1$ в метрику $\rho_2$ ($\bmod \ 0$). В данном пункте речь пойдет в том числе о классификации допустимых метрических троек с точностью до изоморфизма. Возвращаясь к фиксированному пространству $(X,\mu)$ и конусу $\mathcal{A}dm_+(X,\mu)$ допустимых метрик на нем, мы тем самым говорим об орбитах под действием группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X,\mu)$. Как уже говорилось в первой главе, М. Громовым (см. [14]) и независимо А. М. Вершиком (см. [55]) было доказано, что задача классификации метрических троек является “гладкой” в том смысле, что существует полная система инвариантов, характеризующая допустимую метрическую тройку с точностью до изоморфизма, – матричное распределение. Полная система инвариантов не только оказалась проста и наглядна, но стала существенным инструментом изучения метрических пространств. В п. 2.3.3 мы приводим два естественных способа количественно измерить различие между неизоморфными метрическими тройками, а именно, мы вводим два расстояния и обсуждаем их свойства. 2.3.1. Классификация метрических пространств с мерой и матричное распределениеВ данном пункте мы даем подробное изложение того, о чем кратко сообщалось в п. 1.1.3. Для фиксированной метрической тройки $(X,\mu,\rho)$ и натурального $n$ выберем случайно и независимо $n$ точек $x_1,\dots,x_n$ в пространстве $X$ в соответствии с распределением $\mu$. Рассмотрим матрицу расстояний $(\rho(x_i,x_j))_{i,j=1}^n$ между этими точками – случайную матрицу расстояний на $n$ точках. Символом $\mathfrak{D}_n=\mathfrak{D}_n(X,\mu,\rho)$ обозначим полученное распределение на пространстве $M_n$ квадратных матриц размера $n\times n$. Мера $\mathfrak{D}_n$ является образом меры $\mu^n$, заданной на $X^n$, при отображении
$$
\begin{equation*}
F_n \colon X^n \to M_n, \quad (x_1,\dots,x_n) \mapsto (\rho(x_i,x_j))_{i,j=1}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2.29. Мера $\mathfrak{D}_n$ называется матричным распределением размерности $n$ метрической тройки $(X,\mu,\rho)$. Следующие свойства конечномерных матричных распределений вытекают непосредственно из определения. Замечание 2.30. Для фиксированной метрической тройки $(X,\mu,\rho)$ распределения $\mathfrak{D}_n$ имеют место следующие свойства: (a) распределение $\mathfrak{D}_n$ сосредоточено на пространстве матриц расстояний размера $n\times n$ (обозначим его символом $R_n$); (b) распределение $\mathfrak{D}_n$ инвариантно относительно действия группы $S_n$ одновременными подстановками столбцов и строк; (c) распределение $\mathfrak{D}_n$ является проекцией распределения $\mathfrak{D}_{n+1}$ на матрицы размера $n\times n$, образованные первыми $n$ строками и столбцами. Символом $\mathfrak{D}_\infty=\mathfrak{D}_\infty(X,\mu,\rho)$ обозначим проективный предел конечномерных распределений $\mathfrak{D}_n$ – распределение на пространстве $M_\infty$ матриц $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Эта мера сосредоточена на пространстве бесконечных матриц расстояний (симметричных матриц с неотрицательными вещественными элементами, удовлетворяющих неравенству треугольника), обозначим его символом $R_\infty$. Более того, мера $\mathfrak{D}_\infty$ является инвариантной относительно действия группы $S^\infty$, одновременно переставляющей столбцы и строки матриц (кратко – диагональной симметрической группы). Мера $\mathfrak{D}_\infty$ является образом меры Бернулли $\mu^\infty$, заданной на $X^\infty$, при отображении
$$
\begin{equation}
F_\infty \colon X^\infty \to M_\infty,\quad (x_j)_{j=1}^\infty \mapsto (\rho(x_i,x_j))_{i,j=1}^\infty.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Случайная матрица по распределению $\mathfrak{D}_\infty$ – матрица расстояний $(\rho(x_i,x_j))_{i,j=1}^\infty$, где последовательность точек $(x_i)_{i=1}^\infty$ в пространстве $X$ выбрана случайно и независимо в соответствии с распределением $\mu$. Определение 2.31 (см. [55]). Мера $\mathfrak{D}_\infty$ называется матричным распределением метрической тройки $(X,\mu,\rho)$. Независимо М. Громовым и А. М. Вершиком установлена теорема, утверждающая, что матричное распределение полностью определяет метрическую тройку с точностью до автоморфизма. М. Громов: совокупность мер $\mathfrak{D}_n$, $n\in \mathbb{N}$, есть полная система инвариантов метрической тройки $(X,\mu,\rho)$, т. е. необходимым и достаточным условием эквивалентности двух троек является совпадение при всех $n$ соответствующих мер $\mathfrak{D}_n$. А. М. Вершик: мера $\mathfrak{D}_\infty$ на пространстве бесконечных матриц расстояний есть полный инвариант метрической тройки $(X,\mu,\rho)$. Иначе говоря, две допустимые невырожденные метрики изоморфны тогда и только тогда, когда их матричные распределения совпадают. Равносильность двух заключений – очевидна; первое утверждение было доказано М. Громовым, при этом использовались весьма специальные аналитические соображения. После сообщения теоремы А. М. Вершику последний дал совершенно иное доказательство, основанное на простейшей эргодической теореме (теореме Бореля об усиленном законе больших чисел для последовательности независимых случайных величин). Анализ обоих доказательств см. в книге [14]. Мы приведем второе доказательство. Оба доказательства получены в конце 1990-х годов и опубликованы: первое – в [14], второе – в [59]. Теорема 2.32 (Громов, Вершик). Две метрические тройки $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$ изоморфны тогда и только тогда, когда матричные распределения $\mathfrak{D}_\infty(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $\mathfrak{D}_\infty(X_2,\mu_2,\rho_2)$ этих троек совпадают. Доказательство. Необходимость условия очевидна. Для доказательства достаточности покажем, что метрическая тройка $(X,\mu,\rho)$ однозначно восстанавливается по своему матричному распределению.
Напомним, что мы можем предполагать, что метрическое пространство $(X,\rho)$ является полным, а мера $\mu$ – невырожденной, т. е. ее носитель совпадает со всем пространством (нет непустых открытых в смысле метрики множеств меры нуль). Отсюда и из эргодической теоремы следует, что почти всякая по мере $\mu^{\infty}$ последовательность точек всюду плотна в $(X,\rho)$. Следовательно, пространство, являющееся замыканием (точнее, пополнением) почти любой последовательности, есть всё $X$. Остается восстановить на пространстве меру. По той же эргодической теореме мера любого шара, и даже пересечения конечного множества шаров с центрами в точках нашей последовательности, однозначно восстанавливается как плотность точек этой последовательности, лежащих в таком пересечении. Как известно, алгебра множеств, натянутая на множество всех (или почти всех) шаров произвольного радиуса в сепарабельном метрическом пространстве, всюду плотна в алгебре всех измеримых множеств. Поэтому значение меры на этой алгебре однозначно определяет меру на всем пространстве $X$. Тем самым, мы восстановили метрическую тройку по ее матричному распределению. Теорема доказана. Замечание 2.33. Заключение теоремы 2.32 становится неверным, если заменить допустимые метрики на допустимые полуметрики. Контрпримером может послужить допустимая полуметрика, которая не различает пары точек, и метрика, получаемая из нее факторизацией, отождествляющей точки с нулевым расстоянием. Также заключение теоремы 2.32 становится неверным, если отказаться от условия допустимости метрик. Метрики, получаемые из описанных выше полуметрик добавлением константы, имеют одинаковое матричное распределение, но не являются изоморфными. 2.3.2. Характеризация матричных распределенийТеорема 2.32 Громова–Вершика исчерпывающе классифицирует метрические тройки с помощью матричных распределений, т. е. вероятностных мер на множестве $R_\infty$ бесконечных матриц расстояний. Однако пока остается открытым вопрос, без ответа на который невозможно окончательное завершение классификационных проблем: какими могут быть представленные инварианты в данном случае – какие меры могут быть матричными распределениями mm-пространств? Выше было отмечено, что они должны быть инвариантными и эргодическими относительно действия диагональной симметрической группы. Но этого недостаточно. Отметим, что множество всех инвариантных мер на множестве бесконечных симметричных матриц (не обязательно являющихся матрицами расстояний) относительно диагональной группы было найдено Д. Олдосом [2], его пересечение с эргодическими мерами на $R_\infty$ значительно шире множества матричных распределений. Рассматриваемая нами задача есть задача классификации метрик как измеримых функций двух переменных относительно одновременного действия на обе переменные группы преобразований, сохраняющих меру. Именно это свойство при определенных условиях выделяет матричные распределения из более широкого запаса мер на бесконечных матрицах. Отметим очевидные свойства метрик $\rho(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ как измеримых функций двух переменных. Измеримая симметрическая функция двух переменных называется чистой, если отображение $x \mapsto \rho(x,\,\cdot\,)$ является инъекцией $\bmod \ 0$, т. е. для почти всех пар $x \ne x'$ соответствующие функции одной переменной $f(x,\,\cdot\,)$ и $f(x',\,\cdot\,)$ не являются равными почти всюду. Очевидно, что метрика есть чистая функция (полуметрика – нет). Несложно доказать следующее утверждение. Лемма 2.34. Следующие два свойства метрической тройки $(X,\mu,\rho)$ эквивалентны: (a) группа сохраняющих меру $\mu$ изометрий $\bmod \ 0$ пространства $(X,\rho)$ является тривиальной, т. е. состоит из тождественного преобразования (в этом случае будем говорить, что допустимая метрика неприводима); (b) отображение $F_\infty$ пространства $(X^\infty,\mu^\infty)$ в пространство $M_\infty$ есть изоморфизм на образ (см. (2.4)). Таким образом, матричное распределение неприводимой метрики есть изоморфный образ меры Бернулли. Тем самым, наша задача состоит в том, чтобы описать изоморфные образы мер Бернулли при отображении $F_\infty$. Эти образы как меры на матрицах расстояний мы назовем простыми мерами. Внутреннее описание простых мер связано с более детальным рассмотрением сигма-подалгебр, на которых меры заданы, и мы не будем здесь на этом останавливаться. В работе [71] такое описание дано для близкого случая, а именно для не обязательно симметрических функций нескольких переменных. С другой стороны, в работе [68] для мер на нумерациях частично упорядоченных множеств введено понятие, эквивалентное понятию размерности меры на матрицах; простота отвечает размерности 1. Уместно упомянуть в связи с теоремой Олдоса, что отсутствие понятия размерности (простоты) затрудняет понимание того, почему инвариантные меры в этой теореме распадаются на два не похожих друг на друга класса; различие состоит в том, на каких сигма-подалгебрах определены меры. Подробный обзор соответствующих понятий и их приложений будет дан в другой работе. В заключение этого пункта приведем теорему, дающую энтропийное описание матричных распределений метрических троек. Пусть $\varepsilon>0$. Для конечной матрицы расстояний размера $n\times n$ ее $\varepsilon$-энтропией назовем $\varepsilon$-энтропию задаваемого ею метрического пространства на $n$ точках с равномерной мерой. Будем говорить, что бесконечная матрица расстояний $A=(a_{i,j})_{i,j=1}^\infty$ энтропийно допустима, если для каждого $\varepsilon>0$ равномерно по $n$ ограничены $\varepsilon$-энтропии ее угловых миноров размера $n\times n$ – матриц $(a_{i,j})_{i,j=1}^n$. Матрицу $A$ будем называть суммируемой, если существует и конечен предел
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\,\sum_{j=1}^n a_{i,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.35 (энтропийная характеристика матричных распределений допустимых метрик). Матричное распределение $\mathfrak{D}_\infty(X,\mu,\rho)$ суммируемой метрической тройки $(X,\mu,\rho)$ есть эргодическая относительно одновременной перестановки строк и столбцов мера на $R_\infty$, сосредоточенная на суммируемых энтропийно допустимых матрицах. Обратно, любая эргодическая мера $D$, сосредоточенная на суммируемых энтропийно допустимых матрицах, является матричным распределением некоторой суммируемой метрической тройки $(X,\mu,\rho)$. Прокомментируем доказательство теоремы. Суммируемость и энтропийная допустимость $\mathfrak{D}_\infty$-почти каждой матрицы следует из закона больших чисел и теоремы 2.19. Обратно, пусть $A=(a_{i,j})_{i,j=1}^\infty$ – суммируемая энтропийно допустимая матрица расстояний, почти каждая точка из носителя меры $D$. Для каждого $n$ пусть $(X_n,\mu_n,\rho_n)$ – полуметрическое пространство на $n$ точках, задаваемое матрицей $(a_{i,j})_{i,j=1}^n$ и снабженное равномерной мерой. Условие суммируемости и энтропийной допустимости матрицы $A$ позволяет доказать, что последовательность полуметрических троек $(X_n,\mu_n,\rho_n)$ является предкомпактной относительно специальной метрики $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ (см. определение 2.36 и теорему 2.38 ниже). Пусть допустимая полуметрическая тройка $(X,\mu,\rho)$ – предельная точка этой последовательности троек. Матричное распределение $\mathfrak{D}_\infty(X,\mu,\rho)$ является слабым пределом подпоследовательности матричных распределений $\mathfrak{D}_\infty(X_n,\mu_n,\rho_n)$, поэтому оказывается равным исходной мере $D$ в силу ее эргодичности. 2.3.3. Две метрики на метрических тройкахРассмотрим два способа измерить расстояние между тройками $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$, оба в духе расстояния Хаусдорфа–Громова. Первый способ заключается в том, чтобы реализовать оба пространства с мерой на одном и том же пространстве $(X,\mu)$ и минимизировать расстояние между полуметриками в m-норме. Определение 2.36. Расстоянием $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ между двумя полуметрическими тройками $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$ назовем инфимум по всевозможным каплингам $(X,\mu)$ пространств $(X_1,\mu_1)$ и $(X_2,\mu_2)$ (с проекциями $\psi_1 \colon X \to X_1$, $\psi_2 \colon X \to X_2$) m-расстояний между полуметриками $\rho_1\circ \psi_1$ и $\rho_2\circ \psi_2$ на пространстве $(X,\mu)$: Второй естественный способ измерить расстояние между полуметрическими тройками – реализовать изометрически оба полуметрических пространства в одном полуметрическом пространстве $(X,\rho)$ и при этом минимизировать расстояние между мерами, например, по метрике Канторовича $d_{\rm K}$. Определение 2.37. Расстоянием $\operatorname{Dist}_{\rm K}$ между двумя полуметрическими тройками $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$ назовем инфимум по всевозможным изометрическим вложениям пространств $\phi_1\colon (X_1,\rho_1) \to (X,\rho)$ и $\phi_2\colon (X_2,\rho_2) \to (X,\rho)$ расстояний по Канторовичу на пространстве $(X,\rho)$ между мерами $\phi_1(\mu_1)$ и $\phi_2(\mu_2)$: Следующая теорема утверждает, что полученные этими двумя способами расстояния между полуметрическими тройками эквивалентны. Теорема 2.38. Для любых двух суммируемых полуметрических троек $(X_1,\mu_1,\rho_1)$ и $(X_2,\mu_2,\rho_2)$ имеют место неравенства Доказательство теоремы 2.38 (как и следующей теоремы 2.40) приводится в приложении A.2. Замечание 2.39. Функции $\operatorname{Dist}_{\rm K}$ и $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ являются метриками на множестве классов изоморфности допустимых суммируемых метрических троек. В частности, они равны нулю тогда и только тогда, когда две допустимые метрические тройки изоморфны. Сходимость последовательности допустимых метрических троек в любой из этих метрик влечет слабую сходимость матричных распределений. Множество всех допустимых полуметрических троек является полным пространством относительно расстояния $\operatorname{Dist}_{\rm K}$ (и $\operatorname{Dist}_{\rm m}$). Функции $\operatorname{Dist}_{\rm K}$ и $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ являются полуметриками на множестве классов изоморфности допустимых суммируемых полуметрических троек. Так, расстояние между допустимой полуметрической тройкой и метрической тройкой, получаемой из нее факторизацией по множествам нулевого диаметра, равно нулю. Следующая теорема является аналогом теоремы 2.26, она дает критерий предкомпактности семейства допустимых полуметрических троек в $\operatorname{Dist}_{\rm m}$-метрике (и $\operatorname{Dist}_{\rm K}$-метрике). Теорема 2.40. Множество $M =\{(X_i,\mu_i,\rho_i)\colon i \in I\}$ суммируемых допустимых полуметрических троек предкомпактно в $\operatorname{Dist}_{\rm m}$-метрике (и $\operatorname{Dist}_{\rm K}$-метрике) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: (a) полуметрики $\rho_i$ равномерно интегрируемы:
$$
\begin{equation*}
\lim_{R \to \infty}\,\sup_{i\in I} \int_{\rho_i > R} \rho_i \, d\mu_i^2=0;
\end{equation*}
\notag
$$
(b) для любого $\varepsilon>0$ равномерно ограничены $\varepsilon$-энтропии: Теорема 2.40, в несколько иной формулировке, может быть найдена в работе [13], где рассматриваются и другие способы измерения расстояний между метрическими тройками и их свойства (см. также [46]). В работе [11] исследуется липшицевость отображений, ставящих в соответствие метрической тройке конечномерное матричное распределение $\mathfrak{D}_n$, $n \geqslant 1$. Для этого на пространстве квадратных матриц $M_n$ размерности $n$ вводится специальное расстояние, а расстояние между распределениями определяется при помощи метрики Прохорова, метризующей слабую топологию. Сформулируем результат такого же типа для бесконечномерных матричных распределений $\mathfrak{D}_\infty$. Отметим, что если $\rho$ – суммируемая полуметрика на пространстве $(X,\mu)$, то случайная матрица расстояний $A$ почти наверное является суммируемой, т. е. обладает конечным средним:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{av}(A):=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\, \sum_{j=1}^n A_{i,j}=\int_{X^2}\rho\, d\mu^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для двух суммируемых матриц расстояний $A$ и $B$ определим расстояние между ними следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mdist}(A,B)=\inf\{\operatorname{av}(D)\colon |A_{i,j}-B_{i,j}|\leqslant D_{i,j}\ \forall\,i,j \in \mathbb{N}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всевозможным суммируемым матрицам расстояний $D$, поэлементно мажорирующим разность матриц $A$ и $B$. Отметим сходство определений полуметрики $\operatorname{mdist}$ с m-нормой (см. определение 2.10). Используя расстояние $\operatorname{mdist}$ на пространстве суммируемых матриц расстояний, мы можем определить расстояние Канторовича между матричными распределениями и оценить его сверху. Теорема 2.41. Расстояние Канторовича между матричными распределениями двух метрических троек не превосходит расстояния $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ между этими тройками. 2.3.4. Универсальное метрическое пространство УрысонаЗамечательным результатом П. С. Урысона (1898–1924), опубликованным в уже посмертной его статье 1927 г. [47], было открытие универсального полного сепарабельного метрического пространства. Пространством Урысона называют теперь единственное с точностью до изометрии полное сепарабельное метрическое пространство $(\mathbb{U},\rho_{\rm U})$, обладающее двумя свойствами: (a) любое сепарабельное метрическое пространство изометрически вкладывается в $\mathbb{U}$ (универсальность); (b) для любых двух изометричных компактных подмножеств пространства $\mathbb{U}$ и любой их изометрии существует продолжение этой изометрии до изометрии всего пространства на себя (однородность). Начиная с 2000-х годов это пространство после долгих лет забвения стало предметом изучения многих математиков. Обратим внимание на один из многочисленных результатов. Важным свойством пространства Урысона является его “типичность” в следующем смысле. Теорема 2.42 [61]. Рассмотрим множество $\mathrm{M}$ всех метрик на счетном множестве $\mathrm{N}$ (например, на натуральном ряде) и снабдим его естественной слабой топологией. Тогда всюду плотное подмножество типа $G_{\delta}$ (т. е. “типичное ”) в $\mathrm{M}$ состоит из метрик, пополнение по которым множества $\mathrm{N}$ изометрично пространству Урысона $(\mathbb{U},\rho_{\rm U})$. Доказательство этого факта уточняет построение Урысона: пространство строится с помощью индуктивного процесса, определяющего матрицу расстояний (матрицу Урысона) – см. [61]. Естественно, что, определяя на пространстве Урысона некоторую вероятностную борелевскую невырожденную непрерывную меру $\mu$, мы получаем метрическую тройку $(\mathbb{U},\mu,\rho_{\rm U})$. Возникает вопрос о том, какую часть в пространстве $\mathcal{A}dm_+(X,\mu)$ всех метрических троек на пространстве Лебега $(X,\mu)$ образуют пространства, изоморфные пространству Урысона. Рассмотрим слабую топологию на пространстве метрических троек. Для этого отождествим каждую метрическую тройку с ее матричным распределением (вероятностной мерой на пространстве $R_\infty$ матриц расстояний). Топология на матричных распределениях – слабая топология на пространстве мер на $R_\infty$ – тем самым задает слабую топологию на тройках. В соответствии с процитированной выше теоремой 2.42 множество урысоновых матриц (задающих метрическое пространство, пополнение которого является пространством Урысона) является всюду плотным $G_\delta$-множеством в $R_\infty$. Поэтому множество вероятностных мер, сосредоточенных на урысоновых матрицах, является всюду плотным $G_\delta$-множеством в пространстве вероятностных мер на $R_\infty$. По-видимому, множество матричных распределений, сосредоточенных на урысоновых матрицах, является всюду плотным $G_\delta$-множеством в множестве матричных распределений метрических троек. Вопрос о том, какой тип метрических пространств образует типичное множество в пространстве троек относительно нормированной топологии, – открыт. Естественный и очень важный вопрос состоит в том, как определять на пространстве Урысона невырожденные непрерывные меры. Нет ли среди них каких-либо выделенных мер – вроде меры Винера в пространстве $C(0,1)$ непрерывных функций на $[0,1]$ (заметим кстати, также универсальном, но не однородном пространстве)? Этот вопрос открыт, он связан с другим важным вопросом: нет ли в пространстве $\mathbb{U}$ какой-либо выделенной структуры? Напомним (см. [7]), что в $\mathbb{U}$ можно ввести структуру абелевой непрерывной (не локально-компактной) группы, но, к сожалению, не единственным образом. Каждой невырожденной мере на $\mathbb{U}$ отвечает матричное распределение, поэтому можно поставить вопрос следующим образом: найти матричные распределения, сосредоточенные на матрицах Урысона. Фактически эта проблема сводится к построению эргодической меры, сосредоточенной на множестве матриц расстояний Урысона и инвариантной относительно бесконечной симметрической группы. Глава 3. Динамика на допустимых метриках3.1. Масштабированная энтропияМы предполагаем, что читатель знаком с началами классической энтропийной теории (см., например, работы [26], [29], [35], [41]). Как уже было сказано, мы изучаем новый вариант энтропийной теории, основанный на динамике допустимых метрик. Фактически использование метрики было указано еще в работе К. Шеннона, но не получило дальнейшего развития и было забыто. Рассмотрение метрики выявляет новые свойства автоморфизмов и позволяет расширить теорию Колмогорова на автоморфизмы с нулевой энтропией. Сходные идеи были высказаны в работах [9], [24] (см. также обзор [21]). Мы, следуя определению А. М. Вершика, излагаем теорию масштабированной энтропии, начала которой были сформулированы в работах [62]–[64]. 3.1.1. Определение масштабированной энтропии. Асимптотические классыПусть $T$ – автоморфизм стандартного вероятностного пространства $(X,\mu)$. Напомним, что для суммируемой допустимой полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ символом $T^{-1}\rho$ мы обозначаем ее сдвиг под действием $T$, а символом $T_{\rm av}^n\rho$ – усреднение первых $n$ сдвигов:
$$
\begin{equation*}
T_{\rm av}^n\rho(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\rho(T^i x,T^i y).
\end{equation*}
\notag
$$
В этой главе мы изучаем асимптотическое поведение последовательностей эпсилон-энтропий полуметрических троек $(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)$. Напомним, что эпсилон-энтропия $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho)$ полуметрической тройки есть логарифм минимально возможного количества шаров радиуса $\varepsilon$, покрывающих всё пространство $X$, за исключением множества меры не более $\varepsilon$ (см. определение 2.11). Так как нас интересует лишь асимптотика таких функций, мы будем рассматривать их с точностью до асимптотической эквивалентности в следующем смысле. Для двух последовательностей $h=\{h_n\}$ и $h'=\{h'_n\}$ неотрицательных чисел мы будем писать $h \preceq h'$, если $h_n=O(h'_n)$, и $h_n \asymp h'_n$, если выполнены оба соотношения $h\preceq h'$ и $h' \preceq h$; в последнем случае будем говорить, что последовательности $h$ и $h'$ эквивалентны. Определение 3.1. Для двух функций $\Phi,\Psi \colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$ мы будем писать $\Phi \preceq \Psi$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что В этом случае мы будем говорить, что $\Psi$ асимптотически доминирует $\Phi$. Будем называть $\Phi$ и $\Psi$ эквивалентными и писать $\Phi \asymp \Psi$, если $\Psi \preceq \Phi \preceq \Psi$. Класс эквивалентности данной функции $\Phi$ по отношению $\asymp$ будем обозначать символом $[\Phi]$ и называть асимптотическим классом. Отношение $\preceq$ естественным образом переносится на классы эквивалентности и задает частичный порядок. Отметим, что класс эквивалентности функции $\Phi$ по существу определяется в два этапа: сначала при фиксированном $\varepsilon$ мы рассматриваем класс последовательностей, эквивалентных $\Phi(\varepsilon,n)$, при $n$, стремящемся к бесконечности, затем мы объединяем все функции $\Phi$ с данной точной верхней гранью таких классов при $\varepsilon$, стремящемся к нулю (см. п. 3.3.2). Поэтому класс $[\Phi]$ можно рассматривать как росток асимптотики функции $\Phi$ в точке $(0,\infty)$. Для данной полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ будем рассматривать функцию $\Phi_\rho \colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$, определяемую формулой
$$
\begin{equation}
\Phi_\rho(\varepsilon,n)=\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Приводимая ниже теорема утверждает, что введенный асимптотический класс функции $\Phi_\rho$ не зависит от выбора допустимой метрики $\rho$ или, более общо, порождающей полуметрики. Полуметрика $\rho$ на $(X,\mu)$ называется порождающей для $T$ (или $T$-порождающей), если ее сдвиги под действием $T$ различают точки $\bmod \ 0$, т. е. если для любых $x$, $y$ из некоторого подмножества $X_0\subset X$ полной меры найдется такое $n$, что $T^n\rho(x,y)>0$. Ясно, что любая метрика является порождающей полуметрикой. Отметим, что понятие порождающей полуметрики является прямым аналогом порождающего (образующего) разбиения из классической энтропийной теории (см. [41]). Существование счетных и конечных образующих разбиений изучалось в работах [41], [30]. Следующая теорема, доказанная в работе [84], естественным образом перекликается с теоремой Колмогорова–Синая о независимости энтропии Колмогорова от порождающего разбиения. Теорема 3.2. Пусть $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ – это $T$-порождающие полуметрики. Тогда классы $[\Phi_{\rho_1}]$ и $[\Phi_{\rho_2}]$ совпадают. Доказательство теоремы 3.2 основано на следующей лемме. Лемма 3.3. Пусть $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Если $\rho_1$ есть $T$-порождающая полуметрика, то для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что Набросок доказательства леммы 3.3 и ее более сильного аналога, позволяющего уточнить рассматриваемый инвариант, приведен в п. 3.7.1. Теорема 3.2 позволяет дать следующее определение масштабированной энтропии динамической системы $(X,\mu,T)$. Определение 3.4. Масштабированной энтропией $\mathcal{H}(X,\mu,T)$ динамической системы $(X,\mu,T)$ называется асимптотический класс $[\Phi_\rho]$ для некоторой (а тогда и любой) $T$-порождающей полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Подчеркнем, что класс $\mathcal{H}(X,\mu,T)$ сохраняется при изоморфизме, т. е. является метрическим инвариантом динамических систем. Отметим также, что масштабированная энтропия как функция динамической системы монотонна относительно факторотображения. Замечание 3.5. Если система $(X_2,\mu_2,T_2)$ – фактор системы $(X_1,\mu_1,T_1)$, то $\mathcal{H}(X_2,\mu_2,T_2) \preceq \mathcal{H}(X_1,\mu_1,T_1)$. Пример вычисления масштабированной энтропии: сдвиг Бернулли. Инвариантное определение масштабированной энтропии с помощью измеримых метрик позволяет во многих случаях установить связь между топологической и метрической динамикой (см., например, [44], [51], [50]). Однако для явного вычисления масштабированной энтропии в конкретных примерах метрических действий часто бывает полезно выбрать порождающее разбиение и соответствующую ему разрезную полуметрику (которая также является порождающей). В этом случае вычисление нашего инварианта сводится к рассмотрению последовательности конечномерных кубов с метрикой Хэмминга и мерой – проекцией некоторой стационарной меры $\mu$ на первые $n$ координат. В качестве примера такого вычисления мы рассмотрим классический сдвиг Бернулли на двухсимвольном алфавите. Теорема 3.6. Сдвиг на пространстве бинарных последовательностей $X=\{0,1\}^\mathbb{Z}$ c мерой Бернулли $\mu$ с параметром $1/2$ имеет масштабированную энтропию $\mathcal{H}=[n]$. Доказательство. Ввиду независимости масштабированной энтропии от метрики, для вычисления инварианта достаточно рассмотреть разрезную порождающую полуметрику $\rho$, соответствующую разбиению по нулевой координате. Для двух последовательностей $x,y \in \{0,1\}^\mathbb{Z}$ расстояние в полуметрике $\rho$ между $x$ и $y$ равно $|x_0-y_0|$.
Среднее $T_{\rm av}^n \rho$ есть метрика Хэмминга, соответствующая первым $n$ координатам. Следовательно, полуметрическая тройка $(\{0,1\}^\mathbb{Z},\mu,T_{\rm av}^n \rho)$ с точностью до факторизации по множествам диаметра $0$ изоморфна бинарному кубу размерности $n$ с равномерной мерой и метрикой Хэмминга. Зафиксируем $\varepsilon \in (0,1/2)$. Мера любого шара радиуса $\varepsilon$ не превосходит $2^{-c(\varepsilon)n}$ в силу центральной предельной теоремы для схемы Бернулли. Тем самым, где оценка сверху тривиальна – логарифм количества элементов в бинарном кубе размерности $n$. Следовательно, асимптотический класс функции $\Phi_\rho(\varepsilon,n)=\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)$ совпадает с классом функции $(\varepsilon,n) \mapsto n$. Тем самым, $\mathcal{H}=[n]$. Теорема доказана.3.1.2. Определение масштабированной энтропии с помощью метрики КанторовичаДля определения масштабированной энтропии мы могли бы вместо обычной эпсилон-энтропии $\mathbb{H}_{\varepsilon}(X,\mu,\rho)$ использовать величину $\mathbb{H}^{\rm K}_{\varepsilon}(X,\mu,\rho)$, определяемую с помощью аппроксимации меры $\mu$ дискретными мерами в метрике Канторовича (см. определение 2.14). Однако в результате мы получили бы тот же инвариант: леммы 2.15 и 2.16 показывают, что асимптотическое поведение величин $\mathbb{H}^{\rm K}_{\varepsilon}(X,\mu, T_{\rm av}^n\rho)$ и $\mathbb{H}_{\varepsilon}(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)$ одинаково. Таким образом, справедливо следующее предложение. Предложение 3.7. Пусть $T$ – сохраняющее меру преобразование пространства $(X,\mu)$, и пусть $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ есть $T$-порождающая полуметрика. Тогда Доказательство. Найдем $\varepsilon,\delta > 0$, удовлетворяющие предположению леммы 2.15. Заметим, что неравенство (2.1) с данными $\varepsilon$ и $\delta$ выполнено для всех усреднений $T_{\rm av}^n\rho$ полуметрики $\rho$. Применяя леммы 2.15 и 2.16 для полуметрики $T_{\rm av}^n\rho$, мы получим Тем самым, $\mathbb{H}^{\rm K}_{\varepsilon}(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho) \in [\Phi_\rho]=\mathcal{H}(X,\mu,T)$. Предложение доказано. 3.1.3. Определение масштабированной энтропии с помощью статсуммыВместо обычного усреднения метрики за $n$ итераций преобразования $T$ мы могли бы рассматривать статсумму $\Omega_T$ из п. 1.2.6 (см. также работу [69]), т. е. взвешенное среднее с экспоненциально убывающими весами. Напомним, что
$$
\begin{equation*}
\Omega_T(\rho,z)\equiv \Omega_T(z)=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty} z^n \rho(T^n x, T^n y),\qquad z\in [0,1).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы можем рассмотреть энтропийную функцию, заданную аналогично формуле (3.1):
$$
\begin{equation*}
\widetilde\Phi_\rho(\varepsilon,z)= \mathbb{H}_\varepsilon(x,\mu,\Omega_T(\rho,z)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следуя определению 3.1, можно рассмотреть асимптотический класс $[\widetilde\Phi_\rho]$. Несложно проверить, следуя доказательству теоремы 3.2, что этот класс также не зависит от выбора порождающей допустимой полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ и является метрическим инвариантом. Однако по существу ничего нового мы не получим – класс $[\widetilde\Phi_\rho]$ полностью определяется масштабированной энтропией $\mathcal{H}(T)$ следующим образом. Предложение 3.8. Пусть $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ – порождающая полуметрика. Тогда функция $\widetilde\Phi_\rho(\varepsilon,1-1/n)$ принадлежит классу $\mathcal{H}(T)$. Доказательство предложения 3.8 приведено в приложении A.3. 3.2. Масштабирующая энтропийная последовательностьПрежде чем обсуждать свойства масштабированной энтропии в общем случае, мы остановимся на важном частном случае, когда асимптотика эпсилон-энтропий усреднений в существенном не зависит от эпсилон. В этом случае наш инвариант значительно упрощается и становится классом асимптотически эквивалентных последовательностей, который мы называем масштабирующей энтропийной последовательностью. Автоморфизм, обладающий такой последовательностью, мы называем стабильным. Сдвиги Бернулли, как и все преобразования положительной энтропии Колмогорова, преобразования с дискретным спектром и множество других (см. п. 3.2.2), являются стабильными. В первоначальных работах [62]–[64] фактически рассматривался именно случай масштабирующей последовательности и предполагалось, что стабильный случай является общим. Как мы увидим в п. 3.3.1, существуют эргодические автоморфизмы, не являющиеся стабильными. Несмотря на это, масштабирующая энтропийная последовательность играет важную роль в излагаемой теории масштабированной энтропии. Случай стабильного автоморфизма изучался в работах [62]–[64], [78], [84], [85], [87]. 3.2.1. Масштабирующая последовательность и стабильные классыОпределение 3.9. Будем называть асимптотический класс $\mathcal{H}$ стабильным, если он содержит функцию $\Phi(\varepsilon,n)$, не зависящую от $\varepsilon$, т. е. $\Phi(\varepsilon,n)=h_n$. Динамическая система $(X,\mu,T)$ называется стабильной, если класс $\mathcal{H}(X,\mu,T)$ стабилен. Отметим, что для двух функций $\Phi(\varepsilon, n)=h_n$ и $\Phi'(\varepsilon,n)=h'_n$ соотношения $\preceq$ и $\asymp$ выполняются в том и только том случае, когда они выполняются для последовательностей $h=\{h_n\}$ и $h'=\{h'_n\}$. Определение 3.10. Пусть $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ – суммируемая допустимая полуметрика на $(X,\mu)$. Неубывающая последовательность $h=\{h_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ положительных чисел называется масштабирующей для $(X,\mu,T,\rho)$, если при любом достаточно малом положительном $\varepsilon$ выполнено соотношение Отметим, что имеет смысл говорить не об одной масштабирующей последовательности, а сразу о целом классе. Действительно, если последовательность $h$ является масштабирующей, то последовательность $h'$ тоже является масштабирующей тогда и только тогда, когда $h' \asymp h$. Класс масштабирующих последовательностей обозначим символом $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T,\rho)$. Ясно, что класс $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T,\rho)$ является сечением асимптотического класса $[\Phi_\rho]$ множеством последовательностей. Тем самым, следующая теорема, доказанная в работе [84], следует из теоремы 3.2 об инвариантности масштабированной энтропии. Теорема 3.11 позволяет дать следующее определение масштабирующей последовательности динамической системы $(X,\mu,T)$. Определение 3.12. Последовательность $h=\{h_n\}$ называется масштабирующей последовательностью системы $(X,\mu,T)$, если $h \in \mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T,\rho)$ для некоторой (а тогда и любой) $T$-порождающей полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Класс всех масштабирующих последовательностей системы $(X,\mu,T)$ обозначим символом $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T)$. Подчеркнем, что класс $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T)$ масштабирующих последовательностей является метрическим инвариантом динамических систем. Однако (в отличие от класса $\mathcal{H}$) класс $\mathcal{H}_{\rm seq}$, как мы увидим в п. 3.3.1, может оказаться пустым. 3.2.2. Возможные значения масштабирующей последовательностиОдин из первых естественно возникающих вопросов: какие значения может принимать введенный инвариант, т. е. какие последовательности могут являться масштабирующими последовательностями некоторой динамической системы? Следующие две теоремы, доказанные в работах [85], [87], дают описание всевозможных значений масштабирующей последовательности. Теорема 3.13. Если класс $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T)$ масштабирующих последовательностей не пуст, то в нем найдется неубывающая субаддитивная последовательность положительных чисел. Теорема 3.14. Любая субаддитивная неубывающая последовательность положительных чисел является масштабирующей для некоторой эргодической системы $(X,\mu,T)$. В работе [85] приводится явное построение автоморфизма с наперед заданной масштабирующей последовательностью, реализованного с помощью адического преобразования на графе упорядоченных пар и специальных центральных мер на этом графе (см. также работы [75]–[77] и п. 3.4.3 настоящего обзора). Теорема 3.14 дает богатое семейство автоморфизмов с данными энтропийными свойствами и является одним из ключевых результатов в теории масштабированной энтропии и полезным инструментом в приложениях. Отметим, что теорема 3.14 показывает существенное различие между масштабированной энтропией и функцией сложности топологической символической системы: сложность $p(n)$ либо является ограниченной функцией, либо такова, что $p(n) \geqslant n$, в то время как масштабированная энтропия может иметь любую наперед заданную асимптотику. При этом неравенство $\mathcal{H} \preceq [\log p(n)]$ выполнено для любой инвариантной меры. В работах [10], [24] изучались возможные значения родственных инвариантов медленного энтропийного типа. Мы обсуждаем связь этих инвариантов с масштабированной энтропией в п. 3.7.2. Пусть $\operatorname{Subadd}$ обозначает множество классов эквивалентности всевозможных субаддитивных неубывающих последовательностей положительных чисел по отношению $\asymp$. Отношение $\preceq$ переносится на эти классы эквивалентности и задает на $\operatorname{Subadd}$ частичный порядок, относительно которого $\operatorname{Subadd}$ является верхней полурешеткой. Наименьший элемент $\operatorname{Subadd}$ – класс эквивалентности постоянной последовательности $h_n=1$, наибольший – класс эквивалентности линейной последовательности $h_n=n$. Следующие две теоремы, доказанные в работах [64], [78], [84], дают описание динамических систем, масштабирующие последовательности которых принимают эти крайние значения. Теорема 3.15. Пусть $T$ – автоморфизм пространства $(X,\mu)$. Следующие условия равносильны: (a) $T$ имеет чисто точечный (дискретный) спектр; (b) последовательность $h_n=1$ является масштабирующей для $(X,\mu,T)$; (c) существует $T$-инвариантная допустимая метрика $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Теорема 3.16. Последовательность $h_n=n$ является масштабирующей для системы $(X,\mu,T)$ тогда и только тогда, когда энтропия Колмогорова положительна: $h(T)>0$. В частности, системы с максимальным и минимальным ростом масштабированной энтропии являются стабильными. 3.3. Свойства масштабированной энтропии3.3.1. Пример нестабильной системыНекоторое время вопрос о существовании масштабирующей последовательности для любого эргодического автоморфизма $T$ стандартного вероятностного пространства $(X,\mu)$ оставался открытым. Пример эргодического автоморфизма $T$ и допустимой метрики $\rho$ на $(X,\mu)$, для которых масштабирующая последовательность в смысле определения 3.10 не существует, был построен в [48]. Причина этого явления заключается в том, что при разных $\varepsilon>0$ скорость роста $\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)$ по $n$ может существенно различаться: для каждого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)} {\mathbb{H}_\delta(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Построение такого нестабильного автоморфизма требует, однако, конструкции стабильных систем, удовлетворяющих теореме 3.14. Выберем семейство $h^{(k)}=\{h_n^{(k)}\}_{n \in \mathbb{N}}$, $k \in \mathbb{N}$, возрастающих субаддитивных последовательностей так, что при каждом $k$ выполнено соотношение Для каждого $k\in \mathbb{N}$ найдем такой эргодический автоморфизм $T_k$ на стандартном вероятностном пространстве $(X_k, \mu_k)$, что $h^{(k)} \in \mathcal{H}_{\rm seq}(X_k,\mu_k,T_k)$. Такой автоморфизм существует в силу теоремы 3.14. Следующая теорема, доказанная в работе [48], гарантирует существование нестабильных автоморфизмов.Теорема 3.17. Предположим, что $(X,\mu,T)$ – эргодический джойнинг систем $(X_k,\mu_k,T_k)$, $k \in \mathbb{N}$. Тогда класс $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T)$ масштабирующих энтропийных последовательностей системы $(X,\mu,T)$ пуст. Идея, лежащая в основе этой теоремы, заключается в том, что если бы система $(X,\mu,T)$ обладала масштабирующей последовательностью $h$, то эта последовательность должна была бы быть точной верхней гранью для всех последовательностей $h^{(k)}$, $k \in \mathbb{N}$. Однако множество $\operatorname{Subadd}$ не содержит точную верхнюю грань строго возрастающей последовательности, поэтому класс $\mathcal{H}_{\rm seq}(X,\mu,T)$ пуст. Этот пример раскрывает смысл определения 3.1: асимптотический класс функции $\Phi$ можно отождествить с точной верхней гранью классов последовательностей $\Phi(\varepsilon, \,\cdot\,)$. 3.3.2. Возможные значения масштабированной энтропии. Полурешетка функцийВ этом пункте мы изучаем асимптотические классы, которые могут являться масштабированной энтропией некоторой динамической системы. Следующие две теоремы, доказанные в работе [48], дают описание возможных значений масштабированной энтропии. Теорема 3.18. Для любой системы $(X,\mu,T)$ в классе $\mathcal{H}(X,\mu,T)$ масштабированной энтропии всегда можно найти функцию $\Phi \colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$ со следующими свойствами: (a) $\Phi(\,\cdot\,, n)$ не возрастает при любом $n \in \mathbb{N}$; (b) $\Phi(\varepsilon, \,\cdot\,)$ не убывает и субаддитивна при любом $\varepsilon>0$. Теорема 3.19. Для любой функции $\Phi\colon \mathbb{R}_+\times\mathbb{N}\to \mathbb{R}_+$, обладающей свойствами (a) и (b) из предыдущей теоремы, найдется такая эргодическая система $(X,\mu,T)$, что $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,T)$. Доказательства теорем 3.18 и 3.19 существенно используют соответствующие результаты для стабильного случая (теоремы 3.13 и 3.14). Отметим, что аналог теоремы 3.19 для действий аменабельных групп (см. п. 3.5) неизвестен авторам – вопрос описания множества возможных значений масштабированной энтропии групповых действий остается открытым. Можно рассмотреть частично упорядоченное множество классов эквивалентности всех функций двух переменных с условиями монотонности (a) и (b) из теоремы 3.18. Это множество является верхней полурешеткой. Полурешетка $\operatorname{Subadd}$ субаддитивных неубывающих последовательностей естественным образом вкладывается в эту решетку. В отличие от полурешетки $\operatorname{Subadd}$, рассматриваемая полурешетка функций обладает следующим свойством: любое счетное подмножество имеет точную верхнюю грань. Более того, эта полурешетка функций является минимальной полурешеткой с данным свойством, содержащей $\operatorname{Subadd}$, так как каждая масштабированная энтропия $[\Phi(\,\cdot\,,\,\cdot\,)]$ есть точная верхняя грань счетного набора последовательностей $h^m=\{\Phi(1/m,n)\}_n$, $m \in \mathbb{N}$. Предложение 3.20. Пусть $(X_k,\mu_k,T_k)$ – (конечная или счетная) последовательность систем, а $(X,\mu,T)$ – их джойнинг. Тогда $\mathcal{H}(X,\mu,T)$ есть точная верхняя грань последовательности $\mathcal{H}(X_k,\mu_k,T_k)$. 3.3.3. Типичная масштабированная энтропияГруппа $\operatorname{Aut}(X,\mu)$ всех автоморфизмов пространства $(X,\mu)$, снабженная слабой топологией, является польским топологическим пространством, что позволяет говорить о типичности автоморфизмов, обладающих заданными свойствами. Оказывается, что масштабированная энтропия типичного автоморфизма $T\in \operatorname{Aut}(X,\mu)$ не сравнима с произвольной наперед заданной функцией (кроме тривиальных крайних случаев ограниченного и линейного роста). Следующая теорема была доказана в работе [49]. Теорема 3.21. Пусть функция $\Phi(\varepsilon,n)$ при каждом $n$ убывает по $\varepsilon$, а при каждом $\varepsilon>0$ неограниченно возрастает и является сублинейной по $n$. Тогда множество автоморфизмов, масштабированная энтропия которых не сравнима с $\Phi$, является типичным в $\operatorname{Aut}(X,\mu)$. Замечание 3.22. Теорему 3.21 можно переформулировать в виде двух утверждений: множество автоморфизмов $T$, удовлетворяющих $\mathcal{H}(T) \prec \Phi$, пренебрежимо, и множество автоморфизмов $T$, удовлетворяющих $\mathcal{H}(T) \succ \Phi$, также пренебрежимо. Доказательство теоремы 3.21 использует связь между масштабированной энтропией и последовательностной энтропией Кириллова–Кушниренко (см. работу [31]) и результаты работы [42] о типичности бесконечной энтропии Кириллова–Кушниренко. Мы обсуждаем связь масштабированной энтропии с последовательностной энтропией в п. 3.7.2. Отметим, что близкие результаты о типичных значениях родственных инвариантов были получены в работах [1], [3]. 3.3.4. Масштабированная энтропия и эргодическое разложениеМасштабированная энтропия неэргодической системы может расти быстрее, чем масштабированная энтропия всех эргодических компонент. Действительно, рассмотрим стандартный пример неэргодического преобразования тора (см., например, работу [31]):
$$
\begin{equation*}
(x,y)\mapsto (x,y+x),\quad\text{где}\quad x, y \in \mathbb{T}^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Эргодические компоненты этого преобразования являются поворотами окружности, т. е. имеют ограниченную масштабированную энтропию, а сама система имеет неограниченную масштабированную энтропию $\mathcal{H}=[\log n]$. Однако существует следующая оценка в обратную сторону. Предложение 3.23. Пусть $(X,\mu,T)$ – динамическая система и – разложение на эргодические компоненты. Предположим, что последовательность $h= (h_n)$ такова, что для всех $\alpha$ из некоторого множества положительной меры выполнено соотношение Тогда $\mathcal{H}(X,\mu,T) \succeq h_n$. Доказательство предложения 3.23 приведено в приложении A.4. 3.4. Примеры вычисления масштабированной энтропииВ этом пункте мы приводим несколько результатов о вычислении масштабированной энтропии конкретных автоморфизмов. Отметим, что нахождение масштабированной энтропии в общем случае может быть трудоемким. Открытые вопросы о вычислении масштабированной энтропии конкретных автоморфизмов, например автоморфизма Паскаля (см. работу [65]), сформулированы в приложении B. Мы уже упомянули в п. 3.2.2, что преобразования положительной энтропии Колмогорова и только они имеют масштабированную энтропию $\mathcal{H}=[n]$, а преобразования с дискретным спектром и только они имеют ограниченную масштабированную энтропию, т. е. $\mathcal{H}=[1]$. 3.4.1. Подстановочные динамические системыПусть $A$ – алфавит конечного размера $|A| > 1$. Символом $A^*$ обозначим множество всех слов конечной длины над алфавитом $A$. Подстановкой называется произвольное отображение $\xi\colon A \to A^*$. Отображение $\xi$ естественным образом продолжается до отображения $\xi\colon A^* \to A^*$ и, более того, до отображения $\xi\colon A^{\mathbb{N}} \to A^{\mathbb{N}}$, где $A^{\mathbb{N}}$ – пространство односторонних последовательностей элементов множества $A$, снабженное тихоновской топологией произведения. Мы будем считать, что подстановка $\xi$ такова, что существует бесконечное слово $u\in A^{\mathbb{N}}$, инвариантное относительно $\xi$: $\xi(u)=u$. Пусть $T\colon A^{\mathbb{N}} \to A^{\mathbb{N}}$ – левый сдвиг. Подстановочной динамической системой называется пара $(X_\xi,T)$, где $X_\xi$ есть замыкание орбиты точки $u$ под действием преобразования $T$. Подстановка называется примитивной, если для некоторого $n \in \mathbb{N}$ и любых $\alpha,\beta \in A$ буква $\beta$ встречается в слове $\xi^n(\alpha)$. Если подстановка $\xi$ примитивна, то на топологическом компакте $X_\xi$ существует единственная $T$-инвариантная борелевская вероятностная мера $\mu^\xi$. Мы говорим, что $\xi$ является подстановкой постоянной длины, если существует такое $q \in \mathbb{N}$, что $|\xi(\alpha)|=q$ для любого $\alpha \in A$. Высота $h(\xi)$ подстановки определяется как наибольшее такое натуральное $k$, взаимно простое с $q$, что если $u_n=u_0$, то $k \mid n$. Столбцовое число $c(\xi)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
c(\xi)=\min \bigl\{|\{\xi^k(\alpha)_i \colon \alpha \in A \}| \colon k \in \mathbb{N}, i < q^k \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подробнее о подстановочных динамических системах см., например, в книге [38]. Масштабированная энтропия подстановочной динамической системы, соответствующей подстановке постоянной длины, была вычислена в работе [84]. Теорема 3.24. Пусть $\xi$ – инъективная примитивная подстановка постоянной длины. Тогда $\mathcal{H}(X_\xi,\mu^\xi,T)=[\log n]$, если $c(\xi) \not=h(\xi)$, и $\mathcal{H}(X_\xi,\mu^\xi,T)=[1]$, если $c(\xi)=h(\xi)$. Одним из частных случаев подстановочных систем, описываемых теоремой 3.24, является автоморфизм Морса. Автоморфизм Чакона не является подстановкой постоянной длины, однако он также имеет логарифмическую масштабированную энтропию. Следующая теорема вытекает из результатов работы [9]. Связь между подстановками и стационарными адическими преобразованиями изучалась в работе [73]. Там же можно найти примеры адических реализаций подстановочных динамических систем, в том числе автоморфизма Чакона. 3.4.2. Орициклические потокиЕще одним примером классического автоморфизма с логарифмической масштабированной энтропией являются орициклические потоки. Родственные инварианты энтропийного типа для классических потоков изучались в работах [20], [22], [31]. Приводимая ниже теорема следует из результатов работы [22]. Теорема 3.27. Поток орициклов на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет масштабированную энтропию $\mathcal{H}(T)=[\log n]$. Отметим, что несмотря на то, что масштабированные энтропии потока орициклов и бернуллиевского автоморфизма существенно отличаются, они имеют одинаковый спектр – счетнократный лебеговский. Отметим также, что для преобразований с логарифмической масштабированной энтропией имеет смысл вычислять утончение нашего инварианта – экспоненциальную масштабированную энтропию (см. п. 3.7.1). 3.4.3. Адическое преобразование на графе упорядоченных парАдические преобразования (или автоморфизмы Вершика), в том числе адическое преобразование на графе упорядоченных пар, изучались в работах [53], [54], [75]–[77], [85], [51]. Приведенная ниже конструкция является ключевой в доказательстве теорем 3.14 и 3.19, она позволяет явно реализовать любую субаддитивную и возрастающую энтропийную масштабирующую последовательность. Рассмотрим бесконечный градуированный граф $\Gamma=(V,E)$. Множество вершин $V$ графа $\Gamma$ есть дизъюнктное объединение множеств $V_n=\{0,1\}^{2^n}$, $n \geqslant 0$. Множество ребер $E$ определяется одновременно с раскраской $\mathfrak c \colon E \to \{0,1\}$ следующим образом. Пусть $v_n \in V_n$ и $v_{n+1}\in V_{n+1}$. Ребро $e=(v_n,v_{n+1})$ принадлежит $E$, если слово $v_n$ является началом или концом слова $v_{n+1}$ и помечено символом $0$ или $1$ соответственно. Борелевская мера на пространстве $X$ всех бесконечных путей в графе $\Gamma$ называется центральной, если при фиксированном хвосте пути все его начала равновероятны. Определим адическое преобразование $T$ на пространстве путей $X$. Пусть $x=\{e_i\}_{i=1}^\infty$ – некоторый бесконечный путь. Найдем наименьшее такое $n$, что $\mathfrak c(e_n)=0$. Определим путь $T(x)=\{u_i\}$ следующим образом. При $i \geqslant n+1$ выполнено $u_i=e_i$; $\mathfrak c(u_n)=1$, и $\mathfrak c(u_i)=0$ для всех $i < n$. Относительно любой центральной меры $\mu$ преобразование $T$ является автоморфизмом пространства $(X,\mu)$. Зафиксируем некоторую последовательность $\sigma=\{\sigma_n\}$, состоящую из нулей и единиц. Построим соответствующую ей центральную меру $\mu^\sigma$ на пространстве $X$. Борелевская мера $\mu$ на пространстве $X$ однозначно определяется согласованной системой мер $\mu_n$ на цилиндрических множествах, соответствующих конечным путям длины $n$. В терминах $\mu_n$ центральность меры $\mu$ означает, что для любого $n$ мера $\mu_n$ зависит лишь от конца пути. Пусть $\nu_n$ есть проекция меры $\mu_n$ на $V_n$, соответствующая концу пути. Система мер $\nu_n$ однозначно определяет центральную меру $\mu$. Построим последовательность множеств $V_n^\sigma$, где $V_n^\sigma\! \in V_n$. Положим $V_0^\sigma\!= V_0$. При $n \geqslant 1$ определим
$$
\begin{equation*}
V_n^\sigma=\begin{cases} \{ab \colon a,b \in V_{n-1}^\sigma\}, & \text{если}\ \sigma_n=1; \\ \{aa \colon a \in V_{n-1}^\sigma\}, & \text{если}\ \sigma_n=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим символом $\nu_n^\sigma$ равномерную меру на множестве $V_n^\sigma \subset V_n$. Построенная по этой системе мера $\mu^\sigma$ определена корректно и является центральной. Теорема 3.28. Адическое преобразование на путях графа упорядоченных пар с мерой $\mu^\sigma$ имеет масштабированную энтропию 3.5. Масштабированная энтропия действия группыВ этом пункте мы приводим первые, предварительные факты и примеры, связанные с обобщением понятия масштабированной энтропии для действия общих дискретных групп. Классическая энтропийная теория в значительной степени переносится на действия аменабельных групп (см. работу [35]). Описанная выше теория масштабированной энтропии переносится со случая одного автоморфизма на действие группы лишь частично. Большая часть результатов, обсуждаемых в этом пункте, имеет дело с аменабельными группами. Однако мы приводим определение масштабированной энтропии действий произвольных счетных групп, инвариантное относительно выбора допустимой порождающей полуметрики. Масштабированная энтропия групповых действий изучалась в работах [85], [87], [51], [50]. Родственные инварианты метрических действий аменабельных групп изучались также в работах [24], [33]. 3.5.1. Определение масштабированной энтропии действия группыБудем считать, что некоторая счетная группа $G$ действует автоморфизмами на стандартном вероятностном пространстве $(X,\mu)$. Определение 3.29. Оснащением счетной группы $G$ будем называть последовательность $\sigma=\{G_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ конечных подмножеств группы, для которой $|G_n| \to \infty$. Символом $(G,\sigma)$ будем обозначать группу с выбранным оснащением. Для полуметрики $\rho$ на $(X,\mu)$ и подмножества $H \subset G$ символом $H^{\rm av} \rho$ обозначим усреднение полуметрики $\rho$ по сдвигам на элементы $g \in H$:
$$
\begin{equation*}
H^{\rm av} \rho (x,y)=\frac{1}{|H|}\sum_{g \in H} \rho(gx,gy).
\end{equation*}
\notag
$$
Для действия оснащенной группы $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ на стандартном вероятностном пространстве $(X,\mu)$ и полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ по аналогии с формулой (3.1) определим функцию $\Phi_\rho$ на $\mathbb{R}_+\times \mathbb{N}$:
$$
\begin{equation*}
\Phi_\rho(\varepsilon, n)=\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,G_n^{\rm av}\rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Для групповых действий случаи допустимой метрики и полуметрики различаются. Для усреднений допустимых метрик выполнен следующий аналог леммы 3.3, доказанный в работе [85]; соответствующее утверждение для полуметрик (теорема 3.35) будет приведено ниже. Лемма 3.30. Пусть $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Если $\rho_1$ – метрика, то для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что Иными словами, Следствие 3.31. Если $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ – метрики, то $\Phi_{\rho_1} \asymp \Phi_{\rho_2}$. Таким образом, как и ранее, можно определить масштабированную энтропию действия оснащенной группы $(G,\sigma)$ на $(X,\mu)$. Определение 3.32. Масштабированной энтропией действия оснащенной группы $(G,\sigma)$ на $(X,\mu)$ называется класс эквивалентности $[\Phi_{\rho}]$ для некоторой (а тогда и любой другой) метрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Этот класс обозначим символом $\mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)$. Подчеркнем, что асимптотический класс $\mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)$ является метрическим инвариантом действия группы с оснащением. Определение 3.33. Будем говорить, что оснащение $\sigma=\{G_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ является подходящим, если для любого $g \in \bigcup G_n$ и любого $\delta>0$ существует такое $k \in \mathbb{N}$, что для каждого $n$ найдутся такие $g_1,\dots,g_k \in G$, что Замечание 3.34. Подходящим является всякое оснащение Отметим, что не всякая группа имеет подходящее оснащение подмножествами, в совокупности порождающими всю группу. Например, свободная группа $F_A$ над бесконечным алфавитом $A$ не имеет такого оснащения. Будем говорить, что полуметрика $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$ является порождающей для действия оснащенной группы $(G,\sigma)$ (или $G$-порождающей), если ее сдвиги $g^{-1}\rho, \ g \in \bigcup G_n$, под действием элементов группы $G$ из объединения оснащения $\sigma$ разделяют точки некоторого подмножества полной меры. В случае аменабельной группы $G$, оснащенной последовательностью Фёльнера, мы будем называть полуметрику $\rho$ порождающей, если все ее сдвиги в совокупности разделяют точки некоторого подмножества полной меры. Следующая теорема была доказана в работе [85]. Теорема 3.35. Пусть оснащение $\sigma\!=\!\{G_n\}$ группы $G$ является подходящим. Пусть $\rho_1,\rho_2 \!\in\! \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Если $\rho_1$ – $G$-порождающая полуметрика, то В частности, 3.5.2. Свойства масштабированной энтропии действия группыЕстественный вопрос таков: зависит ли масштабированная энтропия действия группы от выбора оснащения или она является инвариантом действия группы? Простое замечание показывает, что малое изменение оснащения не меняет масштабированную энтропию. Замечание 3.36. Если оснащения $\sigma_1\!=\!\{G_n^{(1)}\}$ и $\sigma_2\!=\!\{G_n^{(2)}\}$ группы $G$ таковы, что то масштабированные энтропии действий группы $G$ с оснащениями $\sigma_1$ и $\sigma_2$ совпадают: Масштабированная энтропия допускает простую верхнюю оценку. Теорема 3.37. Пусть группа $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ действует автоморфизмами на пространстве $(X,\mu)$. Тогда для $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)$ при всяком $\varepsilon>0$ выполнено асимптотическое неравенство Для случая аменабельной группы $G$ с фёльнеровским оснащением $\sigma$ предыдущая теорема допускает уточнение. Теорема 3.38. Пусть аменабельная группа $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ последовательностью Фёльнера действует автоморфизмами на пространстве $(X,\mu)$. Тогда для $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)$ при любом $\varepsilon>0$ асимптотическое соотношение выполнено в том и только том случае, когда энтропия Колмогорова действия $G$ на $(X,\mu)$ равна нулю. Для конечно порожденной группы существование компактного свободного действия равносильно тому, что группа является остаточно конечной. Если группа при этом аменабельна, то компактность действия равносильна ограниченности масштабированной энтропии. Следующее обобщение теоремы 3.15 доказано в работе [81]. Теорема 3.39. Пусть аменабельная группа $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ последовательностью Фёльнера действует автоморфизмами на пространстве $(X,\mu)$. Тогда $\mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)=[1]$ в том и только том случае, когда действие группы $G$ на пространстве $(X,\mu)$ компактно. 3.5.3. Типичность масштабированной энтропии действия группыДля данной счетной группы $G$ множество всех ее сохраняющих меру действий $A(X,\mu,G)$ на пространстве Лебега $(X,\mu)$ образует польское топологическое пространство, что позволяет говорить о типичных свойствах действий группы $G$. Подробное изложение теории типичных групповых действий см. в работе [25]. Следующая теорема, доказанная в [50], обобщает аналогичный результат об отсутствии нетривиальных верхних оценок для типичной масштабированной энтропии автоморфизма на случай произвольной аменабельной группы. Теорема 3.40. Пусть $G$ – аменабельная группа и $\sigma=\{F_n\}$ – ее оснащение последовательностью Фёльнера. Пусть $\phi(n)=o(|F_n|)$ – последовательность положительных чисел. Тогда множество таких действий $\alpha \in A(X,\mu,G)$, что $\mathcal{H}(\alpha,\sigma) \not\prec \phi$, содержит плотное $G_\delta$-подмножество. Доказательство теоремы 3.40 проходит с некоторыми усложнениями аналогично доказательству теоремы 3.21 и использует результаты работы [42]. Близкие результаты для родственных инвариантов в контексте типичных расширений были получены в работе [33]. Отметим, что прямой аналог теоремы 3.19 о полном описании возможных значений масштабированной энтропии для групповых действий авторам не известен. Однако из теоремы 3.40 следует слабая версия этой теоремы: для любой последовательности $\phi(n)=o(|F_n|)$ существует эргодическое действие группы $G$ с масштабированной энтропией $\mathcal{H}$, которая растет не медленнее $\phi$ вдоль некоторой подпоследовательности. Для непериодической группы явные конструкции таких сохраняющих меру действий могут быть получены с помощью операции коиндуцирования действия подгруппы на действие объемлющей группы (см. работу [51]). Отметим, что авторам не известны явные конструкции таких действий для произвольной аменабельной группы. В отличие от нетривиальных верхних оценок для масштабированной энтропии типичной системы, отсутствие нижних оценок требует определенных условий на группу. В частности, достаточным условием является наличие у группы компактного свободного действия. Тем самым, справедлива следующая теорема, доказанная в работе [50]. Теорема 3.41. Пусть $G$ – остаточно конечная аменабельная группа и $\sigma=\{F_n\}$ – ее оснащение последовательностью Фёльнера. Пусть $\phi(n)$ – последовательность положительных чисел, возрастающая к бесконечности. Тогда множество таких действий $\alpha \in A(X,\mu,G)$, что $\mathcal{H}(\alpha,\sigma) \not\succ \phi$, содержит плотное $G_\delta$-подмножество. Мы покажем в п. 3.5.4, что для отсутствия нетривиальных нижних оценок на масштабированную энтропию типичного действия необходимо накладывать условия на группу $G$. 3.5.4. Зазор в росте масштабированной энтропииСледующая теорема, доказанная в работе [50], показывает, что существуют не остаточно конечные аменабельные группы, для которых заключение теоремы 3.41 не верно. Теорема 3.42. Пусть $G=\operatorname{SL}(2, \overline{\mathbb{F}}_p)$ – группа всех $(2\times2)$-матриц над алгебраическим замыканием конечного поля $\mathbb{F}_p$, $p > 2$. Пусть $\mathbb{F}_{p}=\mathbb{F}_{q_0} \subset \mathbb{F}_{q_1} \subset \cdots$ – последовательность конечных расширений, исчерпывающих в совокупности $\overline{\mathbb{F}}_p$, и $\sigma=\{\operatorname{SL}(2, \mathbb{F}_{q_n})\}$ – оснащение группы $G$ последовательностью возрастающих конечных подгрупп. Тогда для любого свободного действия $\alpha \in A(X,\mu,G)$ выполнено соотношение Доказательство теоремы 3.42 основано на теории роста в конечных группах $\operatorname{SL}(2,\mathbb{F}_{q_n})$, в частности на теореме Х. Хельфготта и ее обобщениях (см. работы [15], [37]), и теории представлений этих групп (см. работы [43], [17]). Определение 3.43. Будем говорить, что аменабельная группа $G$ c фёльнеровским оснащением $\sigma$ имеет зазор в росте масштабированной энтропии, если существует такая возрастающая к бесконечности последовательность, что для любого свободного действия $\alpha$ группы $G$ выполнено соотношение Предложение 3.44. Свойство зазора в росте масштабированной энтропии аменабельной группы не зависит от выбора последовательности Фёльнера. Тем самым, свойство зазора в росте масштабированной энтропии является групповым свойством аменабельной группы. Авторам не известно, имеется ли это свойство у группы $S_\infty$ всех конечных перестановок натурального ряда или у бесконечных конечно порожденных простых аменабельных групп (см., например, [18]). 3.6. Задача об универсальной системе нулевой энтропииУниверсальные системы в разных контекстах изучались многими авторами в большом числе работ – см., например, [8], [44], [75]–[77], [48], [50]. Мы будем следовать определению, предложенному в работах [8], [44]. Пусть $\mathcal{S}$ – некоторый класс сохраняющих меру действий аменабельной группы $G$. Топологическая система $(X,G)$ называется универсальной для класса $\mathcal{S}$, если для любой инвариантной меры $\mu$ на $X$ система $(X,\mu,G)$ принадлежит $\mathcal{S}$ и, обратно, любая система из класса $\mathcal{S}$ может быть реализована с помощью некоторой инвариантной меры $\mu$ на $X$. В работе Я. Серафина [44] обсуждается восходящий к Б. Вейссy вопрос о существовании универсальной динамической системы для класса $\mathcal{S}$, состоящего из всех действий нулевой метрической энтропии. В [44] дан отрицательный ответ для случая $G=\mathbb{Z}$. В той же работе автор указывает, что его подход, основанный на теории символического кодирования и теоретикомерной сложности, не дал желаемого результата для произвольной аменабельной группы. Теория масштабированной энтропии позволяет дать отрицательный ответ на вопрос Б. Вейсса для всех аменабельных групп. Следующий результат был получен в работах [51], [50]. Основную роль в доказательстве этого результата играет специальная серия действий группы, удовлетворяющих определенным условиям на рост масштабированной энтропии. Определение 3.46. Будем говорить, что группа $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ допускает действия почти полного роста, если для любой неотрицательной функции $\phi(n)=o (|G_n|)$ существует такая эргодическая система $(X,\mu,G)$, что для любой $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,G,\sigma)$ и любого достаточно малого $\varepsilon > 0$ выполнены соотношения Существование таких действий является достаточным условием отсутствия универсальной системы нулевой энтропии. Действия почти полного роста для непериодической аменабельной группы с любым фёльнеровским оснащением можно построить явно (см. работу [51]), используя автоморфизмы Вершика на графе упорядоченных пар (см. работы [75]–[77]) и операцию коиндуцирования с подгруппы $\mathbb{Z}$ на всю группу $G$. Для произвольной аменабельной группы явные конструкции таких действий авторам не известны. Однако теорема 3.40 гарантирует типичность действий почти полного роста и, следовательно, их существование в общем случае. Теорема 3.47. Аменабельная группа $G$ с оснащением $\sigma=\{G_n\}$ последовательностью Фёльнера допускает действия почти полного роста. 3.7. Экспоненциальная масштабированная энтропия и другие родственные инвариантыВ данном пункте мы обсудим несколько родственных масштабированной энтропии инвариантов. 3.7.1. Экспоненциальная масштабированная энтропияОказывается, что лемма 3.3, играющая ключевую роль в определении масштабированной энтропии, допускает следующее уточнение. Аналогичное асимптотическое соотношение выполнено не только для функции $\Phi_\rho(\varepsilon,n)=\mathbb{H}_\varepsilon(x,\mu,T_{\rm av}^n\rho)$, но и для $\exp(\Phi_\rho(\varepsilon,n))$, т. е. для размера минимальной $\varepsilon$-сети полуметрики $T_{\rm av}^n\rho$ на множестве меры $1-\varepsilon$, а не для ее логарифма (см. определение 2.11). Лемма 3.48. Пусть $\rho_1,\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Если $\rho_1$ – $T$-порождающая, то для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что Доказательство. Сначала мы покажем, что соотношение (3.2) выполнено для полуметрики $\rho_2=T_{\rm av}^k\rho_1$.
Лемма 3.49. Для любых натурального $k$ и положительного $\varepsilon$ существует такое натуральное $N$, что Доказательство. Действительно,
Последний член в правой части неравенства (3.4) ограничен в m-норме величиной $(k/n)\|\rho_1\|_{\rm m}$. Следовательно, в силу леммы 2.13, для достаточно большого $n$ Лемма доказана.Отметим, что доказательство леммы 3.49 без изменений переносится на случай аменабельной группы, оснащенной последовательностью Фёльнера. Лемма 3.49 гарантирует, что соотношение (3.2) выполнено для допустимой метрики
$$
\begin{equation*}
\rho_2=\rho=\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{2^i}\,T^{-i}\rho_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы повторяем с некоторыми уточнениями рассуждения работы [84]. Множество $\mathcal{M}$ всех полуметрик $\rho_2 \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$, удовлетворяющих соотношению (3.2), является замкнутым в m-норме в силу леммы 2.13. Покажем, что множество $\mathcal{\widetilde M}$ всех полуметрик $\omega$, удовлетворяющих для всех $x,y\in X$ неравенству плотно в $(\mathcal{A}dm(X,\mu), \|\,\cdot\,\|_{\rm m})$. Действительно, как показано в [84], любая допустимая суммируемая полуметрика аппроксимируется в m-норме полуметриками, мажорируемыми конечными суммами разрезных. Любая разрезная полуметрика может быть аппроксимирована полуметрикой $d[f](x,y)=|f(x)-f(y)|$ для некоторой функции $f \in L^1(X,\mu)$, липшицевой относительно метрики $\rho$. Ясно, что $d[f] \in \mathcal{\widetilde M}$, тем самым множество $\mathcal{\widetilde M}$ плотно в $(\mathcal{A}dm(X,\mu), \|\cdot\|_{\rm m})$. Однако $\mathcal{\widetilde M} \subset \mathcal{M}$, стало быть, $\mathcal{M}=\mathcal{A}dm(X,\mu)$. Лемма 3.48, как и раньше, гарантирует независимость класса $[\exp(\Phi_\rho)]$ от $T$-порождающей полуметрики $\rho$ и позволяет дать следующее определение. Определение 3.50. Экспоненциальной масштабированной энтропией системы $(X,\mu,T)$ назовем класс эквивалентности $[\exp(\Phi_\rho)]$ для некоторой (а тогда и любой другой) $T$-порождающей полуметрики $\rho \in \mathcal{A}dm(X,\mu)$. Обозначим этот класс эквивалентности символом $\mathcal{H}_{\exp}(X,\mu,T)$. Отметим также, что лемма 3.48 справедлива для сохраняющих меру действий аменабельных групп, оснащенных последовательностью Фёльнера. Для действия $(X,\mu,G)$ аменабельной группы $G$ с последовательностью Фёльнера $\lambda=\{F_n\}$ определим его экспоненциальную масштабированную энтропию $\mathcal{H}_{\exp}(X,\mu,G,\lambda)$ как класс функции $\exp(\Phi_\rho(\varepsilon,n))= \exp(\mathbb{H}_\varepsilon(x,\mu, G_{\rm av}^n\rho))$ для некоторой (а тогда и любой другой) порождающей полуметрики $\rho$. Экспоненциальная масштабированная энтропия $\mathcal{H}_{\exp}(X,\mu,T)$ является более тонким инвариантом динамической системы, чем обычная масштабированная энтропия, рассматриваемая ранее. Так, сдвиг Бернулли с энтропией Колмогорова $h > 0$ имеет экспоненциальную масштабированную энтропию
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}_{\exp} (X,\mu,T)=[e^{(1-\varepsilon) n h}].
\end{equation*}
\notag
$$
Обычная же масштабированная энтропия $\mathcal{H}(X,\mu,T)=[n]$ не позволяет вычислить энтропию Колмогорова. Аналогично, экспоненциальная масштабированная энтропия любого преобразования положительной энтропии $h$ есть класс $[e^{(1-\varepsilon) n h}]$. Для преобразований с бесконечной энтропией $\mathcal{H}_{\exp}=[e^{n/\varepsilon}]$. Приведенный пример также показывает, что даже для сдвига Бернулли класс $\mathcal{H}_{\exp}(X,\mu,T)$ не содержит функций, не зависящих от $\varepsilon$. С другой стороны, для преобразования с дискретным спектром класс $\mathcal{H}_{\exp}$ состоит из ограниченных функций и содержит $\Phi(\varepsilon,n)=1$. Естественно предположить, что это единственный возможный случай, когда класс $\mathcal{H}_{\exp}$ является стабильным. “Нестабильность” экспоненциальной масштабированной энтропии усложняет ее вычисление. Как показывает случай положительной энтропии Колмогорова, экспоненциальная масштабированная энтропия может быть эффективным уточнением масштабированной энтропии в стабильном случае. Однако в общем случае уточнение может быть несущественным или вовсе отсутствовать. Если для нестабильной системы $(X,\mu,T)$, для $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,T)$, для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что $\Phi(\varepsilon,n)=o(\Phi(\delta, n))$, то класс $\mathcal{H}_{\exp}$ полностью определяется классом $\mathcal{H}$, так как $[\exp(\Phi(\varepsilon,n))]$ не зависит от выбора представителя $\Phi$ в классе $\mathcal{H}$. Установление свойств масштабированной энтропии в экспоненциальном варианте является более трудной задачей в силу сложности ее вычисления. Естественным обобщением теоремы 3.18 о возрастании и субаддитивности была бы теорема о возрастании и субмультипликативности экспоненциальной масштабированной энтропии. Доказательство монотонности масштабированной энтропии без изменений переносится на экспоненциальный случай. Теорема 3.51. Для любой системы $(X,\mu,T)$ в классе $\mathcal{H}_{\exp}(X,\mu,T)$ экспоненциальной масштабированной энтропии всегда можно найти функцию $\Phi \colon \mathbb{R}_+\times \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$ со следующими свойствами: (a) $\Phi(\,\cdot\,, n)$ не возрастает при любом $n \in \mathbb{N}$; (b) $\Phi(\varepsilon, \,\cdot\,)$ не убывает при любом $\varepsilon>0$. Отметим, что не всякая возрастающая и мультипликативная по $n$ (и убывающая по $\varepsilon$) функция $\Phi$ (точнее, ее асимптотический класс) может быть получена как экспоненциальная масштабированная энтропия некоторого преобразования. Например, так не может быть получена функция Действительно, экспоненциальный рост $\mathcal{H}_{\exp}(T)$ влечет положительную энтропию Колмогорова $h$ автоморфизма $T$, и, следовательно, $\mathcal{H}_{\exp}(T) $ есть класс $[e^{(1-\varepsilon)nh}] \ne [\Phi]$. Таким образом, прямой аналог теоремы 3.19 для экспоненциального случая неверен, вопрос о полном описании возможных значений класса $\mathcal{H}_{\exp}$ остается открытым. Однако типичная экспоненциальная масштабированная энтропия обладает теми же свойствами, что и типичная обычная масштабированная энтропия: для любой субэкспоненциальной возрастающей к бесконечности последовательности $\phi(n)$ типичное преобразование имеет класс $\mathcal{H}_{\exp}$, не сравнимый с $\phi$.3.7.2. Связь с другими инвариантамиВ обзорной работе [21] обсуждаются несколько схожих с масштабированной энтропией метрических инвариантов, эффективных для автоморфизмов с нулевой энтропией Колмогорова; мы упомянем некоторые из них в контексте их связи с масштабированной энтропией. В основе энтропийной размерности (Ференци–Парк, см. [10]) и медленной энтропии (Каток–Тувено, см. [24]) лежит та же идея изучения асимптотики эпсилон-энтропии, что и в масштабированной энтропии, однако инвариант определяется путем сравнения растущей последовательности с заданной шкалой растущих последовательностей. Последовательностная энтропия (энтропия Кириллова–Кушниренко, см. [31]) основана на идее вычисления энтропий измельчений разбиения под действием некоторой последовательности сдвигов. Термин “масштабированная энтропия” (scaled entropy) также встречается в [88], где он используется для родственного, но отличающегося понятия (см. п. 5.3 обзора [21]). Энтропийная размерность. В работах С. Ференци, К. К. Парк и других авторов введено и изучается следующее понятие, названное энтропийной размерностью. Пусть $T \colon (X,\mu) \to (X,\mu)$ – сохраняющее меру преобразование. Для конечного измеримого разбиения $\alpha$ пространства $(X,\mu)$ и положительного $\varepsilon>0$ рассмотрим разрезную полуметрику $\rho_\alpha$, порожденную разбиением $\alpha$. Верхняя энтропийная размерность $\overline D(X,\mu,T)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \overline D(\alpha,\varepsilon)&=\sup\biggl\{s \in [0,1]\colon \varlimsup_{n \to \infty} \frac{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho_\alpha)}{n^s}>0\biggr\}, \\ \notag \overline D(\alpha)&=\lim_{\varepsilon \to 0}\overline D(\alpha,\varepsilon), \\ \overline D(X,\mu,T)&=\sup_\alpha \overline D(\alpha), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где супремум берется по конечным измеримым разбиениям $\alpha$. Аналогично определяется нижняя энтропийная размерность $\underline D(X,\mu,T)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \underline D(\alpha, \varepsilon)&=\sup\biggl\{s \in [0,1]\colon \varliminf_{n \to \infty} \frac{\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho_\alpha)}{n^s}>0\biggr\}, \\ \notag \underline D(\alpha)&= \lim_{\varepsilon \to 0}\underline D(\alpha,\varepsilon), \\ \underline D(X,\mu,T)&=\sup_\alpha\underline D(\alpha). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Если верхняя и нижняя энтропийные размерности совпадают, то это число называется энтропийной размерностью системы. Имеет место следующий аналог теоремы Колмогорова–Синая: супремумы в формулах (3.5) и (3.6) достигаются на порождающих разбиениях. Легко видеть, что верхняя и нижняя энтропийные размерности могут быть вычислены, если известна масштабированная энтропия – класс эквивалентности $[\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho)]$ для порождающей полуметрики $\rho$. Обратное, однако, неверно. Энтропийная размерность показывает, где на шкале степенных функций находится масштабированная энтропия. Подробнее о свойствах энтропийной размерности см. в п. 5.4 обзора [21] и цитируемых там работах. Медленная энтропия. В работе А. Катка и Ж.-П. Тувено [24] предложено следующее определение медленной энтропии. Пусть $\mathbf{a}=\{a_n(t)\}_{n \geqslant 0, t>0}$ – семейство стремящихся к бесконечности положительных возрастающих последовательностей, возрастающее по $t$ (шкала). Верхняя медленная энтропия системы $(X,\mu,T)$ относительно шкалы $\mathbf{a}$ определяется следующим образом. Для конечного измеримого разбиения $\alpha$ пространства $(X,\mu)$ и $\varepsilon>0$ рассмотрим соответствующую разрезную полуметрику $\rho_\alpha$ и множество
$$
\begin{equation*}
\overline B(\varepsilon, \alpha)=\biggl\{t>0 \colon \varlimsup_{n\to \infty} \frac{\exp(\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho_\alpha))}{a_n(t)} >0\biggr\}\cup \{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(T,\alpha)= \lim_{\varepsilon \to 0} \, \sup \overline B(\varepsilon,\alpha)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\overline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(X,\mu,T)= \sup_\alpha \overline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(T,\alpha),
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по конечным измеримым разбиениям $\alpha$. Величина $\overline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(X,\mu,T)$ называется верхней медленной энтропией системы $(X,\mu,T)$ относительно шкалы $\mathbf{a}$. Аналогично определяется нижняя медленная энтропия $\underline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(X,\mu,T)$ системы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \underline B(\varepsilon,\alpha)=\biggl\{t>0 \colon \varliminf_{n\to \infty} \frac{\exp(\mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho_\alpha))}{a_n(t)} >0\biggr\}\cup \{0\}, \\ \underline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(T,\alpha)= \lim_{\varepsilon \to 0} \, \sup \underline B(\varepsilon,\alpha), \\ \underline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(X,\mu,T)= \sup_\alpha\,\underline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}(T,\alpha). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Медленная энтропия напрямую связана с экспоненциальной масштабированной энтропией. Сравнивая класс $\mathcal{H}_{\exp}$ со шкалой $\mathbf{a}$, можно вычислить значения $\overline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}$ и $\underline{\operatorname{ent}}_{\mathbf{a}}$. Обратно, зная значения медленной энтропии для всех возможных шкал $\mathbf{a}$, можно различить системы с разными классами $\mathcal{H}_{\exp}$. Тем самым, медленная энтропия (точнее, совокупность медленных энтропий относительно всех возможных шкал $\mathbf{a}$) различает те же динамические системы, что и экспоненциальная масштабированная энтропия. При этом никакого счетного набора шкал $\mathbf{a}$ не достаточно, чтобы восстановить класс $\mathcal{H}_{\exp}$. Различным свойствам медленной энтропии и примерам ее вычисления посвящен раздел 4 обзорной работы [21]. Последовательностная энтропия. Понятие последовательностной энтропии было введено в работе А. Г. Кушниренко [31]. Пусть $A=\{a_k\}_{k=1}^\infty$ – некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел. Энтропия $h_A(T)$ автоморфизма $T$ на пространстве $(X,\mu)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_A(T,\alpha)=\varlimsup_{k \to \infty} \frac{1}{n}H\biggl(\,\bigvee_{j=1}^k T^{-a_{j}}\alpha\biggr), \\ h_A(T)=\sup_{\alpha}h_A(T,\alpha), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по конечным измеримым разбиениям $\alpha$. В работе [31] доказано, что автоморфизм $T$ имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда $h_A(T)=0$ для любой последовательности $A$. Сравнивая этот результат с теоремой 3.15, мы заключаем, что ограниченность масштабированной энтропии равносильна этому условию. Оказывается, в некоторой “окрестности” дискретного спектра можно дать двусторонние оценки, связывающие масштабированную энтропию с последовательностной. Теорема 3.52. Для любой возрастающей последовательности $A$ целых чисел существует такая неограниченная возрастающая последовательность $h=\{h_n\}_{n}$, что для любого автоморфизма $T$ пространства $(X,\mu)$ соотношение $\mathcal{H}(T,X,\mu) \prec h$ влечет $h_A(T)=0$. Обратно, для любой неограниченной возрастающей последовательности $h=\{h_n\}_{n}$ существует такая последовательность $A$, что если для автоморфизма $T$ пространства $(X,\mu)$ выполнено соотношение $h_A(T)=0$, то $\mathcal{H}(T,X,\mu) \prec h$. Подробнее про свойства последовательностной энтропии см. в разделе 3 обзорной работы [21]. Приложение A. Некоторые доказательстваA.1. Доказательства лемм 2.15 и 2.16 Доказательство леммы 2.15. Пусть $n=\exp\bigl(\mathbb{H}_\delta(X,\mu,\rho)\bigr)$, и пусть – соответствующее разбиение: $\mu(X_0)<\delta$, $\operatorname{diam}_\rho(X_j)<\delta$ при $j=1,\dots,n$. Выберем произвольную точку $x_0 \in X$ и точки $x_j \in X_j$, $j=1,\dots,n$. Зададим дискретную меру и транспортный план $\gamma$, перевозящий множества $X_j$ в $x_j$. Очевидно, что $\gamma$ – спаривание мер $\mu$ и $\nu$, при этом
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times X} \rho\, d\gamma=\sum_{j=0}^n \int_{X_j}\rho(x,x_j)\, d\mu(x) \leqslant \int_{X_0}\rho(x,x_0)\, d\mu(x)+\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Среднее значение правой части при случайном выборе $x_0 \in X$ по мере $\mu$ равно
$$
\begin{equation*}
\int_{X_0\times X}\rho\, d(\mu\times\mu)+\delta < \varepsilon
\end{equation*}
\notag
$$
в силу условия (2.1). Следовательно, при должном выборе $x_0$ можно получить неравенство Остается заметить, что $H(\nu) \leqslant \log(n+1)$. Лемма доказана. Прежде чем доказывать лемму 2.16, докажем следующую вспомогательную лемму. Лемма A.1. Пусть $P =(p_j)_{j=1}^N$ – конечный вероятностный вектор и – его энтропия. Пусть $\delta\in (0,1)$, $F=\exp\bigl((H(P)+1)/\delta\bigr)$. Тогда найдется такое подмножество $J \subset \{1,\dots,N\}$, что Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что числа $p_j$ упорядочены по убыванию: $p_1\geqslant p_2\geqslant \dots \geqslant p_N$. Пусть $m$ – наименьшее число, для которого Предположим, что утверждение леммы не верно, тогда $m>F$. Следовательно, $1/F> p_m \geqslant p_{m+1}$. Тогда Поэтому что противоречит определению $F$. Лемма доказана. Доказательство леммы 2.16. Пусть $\nu$ – такая дискретная мера, для которой $d_{\rm K}(\mu,\nu)<\varepsilon^2$. Пользуясь леммой A.1, для распределения меры $\nu$ и $\delta=\varepsilon$ найдем $m \leqslant \exp\bigl((H(\nu)+1)/\varepsilon\bigr)$ и множество $M=\{x_1,\dots,x_m\} \subset X$, для которого $\nu(M) \geqslant 1-\varepsilon$.
Пусть $\pi_1$ и $\pi_2$ – проекции $X\times X$ на первый и второй сомножитель. Пусть $\gamma $ – оптимальный транспортный план для мер $\mu$ и $\nu$, т. е. такая вероятностная мера на $X\times X$, что $\pi_1(\gamma)=\mu$, $\pi_2(\gamma)=\nu$ и
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times X}\rho \,d\gamma=d_{\rm K}(\mu,\nu) < \varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим множество $A=\{(x,y) \in X\times X \colon \rho(x,y)<\varepsilon\}$. По неравенству Чебышёва $\gamma(A)\geqslant 1-\varepsilon$. Заметим, что $\gamma(\pi_2^{-1}(M))=\nu(M) \geqslant 1-\varepsilon$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\gamma(A\cap \pi_2^{-1}(M)) \geqslant 1-2\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому
$$
\begin{equation*}
\mu(\{x \in X \colon \rho(x,M)<\varepsilon\}) \geqslant \gamma(\{A\cap \pi_2^{-1}(M)\}) \geqslant 1-2\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_{2\varepsilon}(X,\mu,\rho) \leqslant \log|M| \leqslant \frac{H(\nu)+1}{\varepsilon}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Минимизируя правую часть по дискретным мерам $\nu$, удовлетворяющим неравенству $d_{\rm K}(\mu,\nu)<\varepsilon^2$, мы приходим к неравенству (2.2). Лемма доказана. A.2. Доказательство теорем 2.38 и 2.40Теорема 2.38 является следствием приводимой ниже леммы. Лемма A.2. (i) Пусть $\rho_1,\rho_2$ – две измеримые полуметрики на $(X,\mu)$. Тогда для любого $\delta>0$ найдутся полуметрическое пространство $(Y,\rho)$ и изометрии $\phi_1\colon (X,\rho_1) \to (Y,\rho)$, $\phi_2\colon (X,\rho_2) \to (Y,\rho)$ такие, что (ii) Пусть $\mu_1$ и $\mu_2$ – две вероятностные меры на полуметрическом пространстве $(Y,\rho)$. Тогда найдутся вероятностное пространство $(X,\mu)$ и такие измеримые отображения $\psi_1,\psi_2\colon X \to Y$, что $\psi_1(\mu)=\mu_1$, $\psi_2(\mu)=\mu_2$ и Доказательство. (i) Пусть $d$ – такая полуметрика на $(X,\mu)$, что
$$
\begin{equation*}
|\rho_1(x,y)-\rho_2(x,y)| \leqslant d(x,y) \quad \text{п.в.}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\displaystyle\int_{X^2}d \, d\mu^2 \leqslant \|\rho_1- \rho_2\|_{\rm m}+\delta$. Найдем такую функцию $f$ на $(X,\mu)$, что и В качестве функции $f$, удовлетворяющей неравенству (A.1), можно выбрать $f=d(\,\cdot\,,x_0)$ для произвольной точки $x_0 \in X$. Выбирая $x_0$ таким образом, что интеграл функции $d(\,\cdot\,,x_0)$ минимален, мы получим неравенство (A.2).
Рассмотрим множество $Y=X \times \{1,2\}$ и зададим полуметрику $\rho$ на $Y$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho\bigl((x,i),(y,i)\bigr)&=\rho_i(x,y), \qquad i=1,2, \quad x,y \in X, \\ \rho\bigl((x,2),(y,1)\bigr)&= \operatorname{ess\,inf}_{z \in X}(\rho_2(x,z)+ f(z)+\rho_1(z,y)),\qquad x,y \in X. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определим изометрии $\phi_i\colon (X,\rho_i) \to (Y,\rho)$, $i=1,2$, формулой $\phi_i(x)=(x,i)$, $x \in X$. Расстояние Канторовича $d_{\rm K}$ между образами мер $\mu_i$ при отображениях $\phi_i$ не превосходит $\displaystyle\int_X f\,d\mu \leqslant \|\rho_1-\rho_2\|_{\rm m}+\delta$.
(ii) Пусть $\mu$ мера на $X=Y^2$ – каплинг мер $\mu_1$ и $\mu_2$, реализующий транспортный план Канторовича между этими мерами: Пусть $\psi_1$ и $\psi_2$ – проекции $X=Y^2$ на первый и второй сомножитель соответственно. Тогда полуметрики $\rho_i=\rho\circ \psi_i$, $i=1,2$, на $X$ задаются формулами Зададим полуметрику $d$ на $X$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
d\big((x_1,x_2),(y_1,y_2)\big)=\rho(x_1,x_2)+\rho(y_1,y_2),\qquad (x_1,x_2) \ne (y_1,y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $|\rho_1-\rho_2| \leqslant d$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\rho_1-\rho_2\|_{\rm m} \leqslant \int_{X^2} d\,d\mu^2= 2\int_{Y^2} \rho\,d\mu=2 d_{\rm K}(\mu_1,\mu_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Доказательство теоремы 2.40. В одну сторону утверждение теоремы доказывается достаточно легко. Предположим, что множество $M$ является предкомпактным. Зафиксируем $\varepsilon>0$ и найдем такое конечное подмножество $J\subset I$, что тройки $\{(X_j,\mu_j,\rho_j)\colon j \in J\}$ образуют конечную $(\varepsilon^2/32)$-сеть в метрике $\operatorname{Dist}_{\rm m}$. Для каждого $i \in I$ найдем такое $j \in J$, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Dist}_{\rm m}\bigl((X_i,\mu_i,\rho_i),(X_j,\mu_j,\rho_j)\bigr) < \frac{\varepsilon^2}{32}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, найдутся каплинг $(X,\mu)$ и проекции $\psi_{i,j}\colon (X,\mu) \to (X_{i,j},\mu_{i,j})$ такие, что
$$
\begin{equation}
\|\rho_i\circ \psi_i-\rho_j\circ \psi_j\|_\mathrm{m} < \frac{\varepsilon^2}{32}\,.
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_\varepsilon(X_i,\mu_i,\rho_i)= \mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,\rho_i\circ \psi_i)\leqslant \mathbb{H}_{\varepsilon/4}(X,\mu,\rho_j\circ \psi_j)= \mathbb{H}_{\varepsilon/4}(X_j,\mu_j,\rho_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sup_{i \in I}\mathbb{H}_\varepsilon(X_i,\mu_i,\rho_i) \leqslant \max_{j \in J}\mathbb{H}_{\varepsilon/4}(X_j,\mu_j,\rho_j)<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
условие (b) теоремы 2.40 доказано.
Докажем равномерную интегрируемость. Для $i \in I$ и соответствующего $j \in J$ пусть $d_i$ – такая полуметрика на $(X,\mu)$, что
$$
\begin{equation}
\rho_i\circ \psi_i \leqslant \rho_j\circ \psi_j+d_i, \qquad \int_{X^2} d_i \, d\mu^2 < \frac{\varepsilon^2}{32}\,.
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
Для любого $R>0$ пусть $L_{i,R}=\{\rho_i\circ \psi_i > 2R\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mu^2(L_{i,R}) &\leqslant \mu^2(\{\rho_j\circ \psi_j>R\})+\mu^2(\{d_i>R\}) \\ &\leqslant \frac{1}{R} \biggl(\int_{X^2}\rho_j\circ \psi_j \, d\mu^2+ \frac{\varepsilon^2}{32} \biggr)= \frac{1}{R}\biggl(\int_{X_j^2}\rho_j \, d\mu_j^2+ \frac{\varepsilon^2}{32}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
Q(\varepsilon)=\max_{j\in J} \int_{X_j^2}\rho_j \, d\mu_j^2+ \frac{\varepsilon^2}{32}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\rho_i>2R} \rho_i\, d\mu_i^2&= \int_{L_{i,R}}\rho_i\circ \psi_i \,d\mu^2 \leqslant \int_{L_{i,R}}\rho_j\circ \psi_j \,d\mu^2+\frac{\varepsilon^2}{32} \\ &\leqslant\sup\biggl\{\int_{L} \rho_j \, d\mu_j^2\colon L \subset X_j^2,\ \mu_j^2(L)\leqslant\frac{Q(\varepsilon)}{R}\biggr\}+ \frac{\varepsilon^2}{32}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Правая часть последнего неравенства стремится к $\varepsilon^2/32$, когда $R$ стремится к бесконечности (для каждого $j$, а потому равномерно на конечном множестве $J$). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{R \to \infty}\,\sup_{i \in I}\int_{\rho_i>2R}\rho_i\, d\mu_i^2 \leqslant\frac{\varepsilon^2}{32}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Левая часть полученного неравенства не зависит от $\varepsilon$, поэтому она равна нулю. Тем самым условие (a) равномерной интегрируемости доказано.
Доказательство в обратную сторону требует большего количества рассуждений. Предположим, что условия (a) и (b) выполнены. Для каждого $\varepsilon>0$ мы хотим найти конечную $\varepsilon$-сеть в множестве $M$ в метрике $\operatorname{Dist}_{\rm m}$. Воспользовавшись условием равномерной интегрируемости, мы можем выбрать $R>0$ так, что $\displaystyle\int_{\rho_i>R}\rho_i\,d\mu_i^2<\frac{\varepsilon}{2}$ при всех $i \in I$. Тогда Таким образом, достаточно найти $(\varepsilon/2)$-сеть в метрике $\operatorname{Dist}_{\rm m}$ в множестве троек $\{(X_i,\mu_i,\min(\rho_i,2R))\}_{i \in I}$. Тем самым, в дальнейшем, не умаляя общности, можно считать, что полуметрики $\rho_i$ равномерно ограничены. В силу однородности можно предполагать, что все $\rho_i$ не превосходят 1.Лемма A.3. Пусть $\varepsilon>0$ фиксировано, $\sup_{i\in I}\mathbb{H}_\varepsilon(X_i,\mu_i,\rho_i) <\infty$. Тогда на стандартном вероятностном пространстве $(X,\mu)$ можно найти конечное разбиение $\xi=(A_1,\dots, A_n)$ со следующим свойством: для каждого $i \in I$ найдутся гомоморфизм пространств с мерой $\psi_i \colon (X,\mu) \to (X_i,\mu_i)$ и множество $B_i \in X_i$, $\mu(B_i)<2\varepsilon,$ для которых множества $A_k\setminus B_i$, $k=1,\dots,n$, имеют диаметр меньше $\varepsilon$ в полуметрике $\rho_i\circ \psi_i$. Доказательство. Пусть $N$ таково, что $\mathbb{H}_\varepsilon(X_i,\mu_i,\rho_i) \leqslant \log N$ для всех $i \in I$. Для каждого $i \in I$ найдутся измеримое конечное разбиение $\xi^i=\{A_1^i,\dots,A_N^i\}$ пространства $(X_i,\mu_i)$ и множество $E^i \subset X_i$, $\mu_i(E^i)< \varepsilon$, для которых диаметр множеств $A_j^i \setminus E^i$ в полуметрике $\rho_i$ меньше $\varepsilon$. Пусть $P^i=(\mu_i(A_k^i))_{k=1}^N$ – вероятностный вектор, соответствующий разбиению $\xi^i$.
Пусть $P=(p_1,\dots,p_N)$ – фиксированный вероятностный вектор длины $N$. На стандартном вероятностном пространстве $(X,\mu)$ выберем разбиение $\xi_P=(A_1,\dots,A_N)$ на $N$ частей с мерами $\mu(A_k)=p_k$. Если вектор $P^i=(\mu(A_k^i))_{k=1}^N$ таков, что $\displaystyle\sum_{k=1}^N |p_k-\mu(A_k^i)|<\varepsilon$, то пространство $(X_i,\mu_i)$ можно реализовать на $X$ так, что разбиение $\xi^i$ будет мало отличаться от $\xi_P$. А именно, можно найти такой гомоморфизм пространств с мерой $\psi_i\colon (X,\mu) \to (X_i,\mu_i)$, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^N \mu(\psi^{-1}(A_k^i)\mathbin{\Delta} A_k)<\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда найдется такое множество $B_i \subset X$, $\mu(B_i) < 2\varepsilon$, что диаметр множеств $A_k\setminus B_i$ в полуметрике $\rho_i \circ \psi_i$ будет меньше $\varepsilon$.
Множество векторов $\{P^i\colon i \in I\}$ ограничено в пространстве конечной размерности, поэтому в нем можно найти конечную $\varepsilon$-сеть в метрике $L^1$: пусть это $\{P_1,\dots,P_m\}$. Для каждого элемента $P_j$ этой $\varepsilon$-сети построим соответствующее разбиение $\xi_{P_j}$ на $(X,\mu)$. В качестве искомого в лемме разбиения $\xi$ можно взять измельчение разбиений $\xi_{P_j}$. Лемма доказана. Дальнейшее доказательство теоремы следует доказательству соответствующей импликации теоремы 2.26. Используя лемму A.3, далее будем работать с полуметриками $\widetilde\rho_i=\rho_i\circ \psi_i$ на пространстве $(X,\mu)$ и разбиением $\xi=\{A_1,\dots, A_n\}$. Покажем, что в множестве $\{\widetilde\rho_i\colon i \in I\}$ можно найти конечную $7\varepsilon$-сеть в m-норме. Для этого покажем, что эти полуметрики аппроксимируются в m-норме ограниченным множеством в конечномерном пространстве полуметрик, постоянных на множествах $A_j\times A_k$, $j,k \in\{1,\dots,n\}$. Пусть $\widetilde\rho \in \{\widetilde\rho_i\colon i \in I\}$. Найдем множество $B\subset X$, $\mu(B)<2\varepsilon$, для которого каждое из множеств $A_j \setminus B$ будет иметь диаметр меньше $\varepsilon$ в полуметрике $\widetilde\rho$. Добавив в случае необходимости к множеству $B$ подмножество нулевой меры, мы можем считать, что каждое из множеств $A_j\setminus B$ либо пусто, либо имеет положительную меру. Выберем по одной точке $x_j$ в каждом из множеств $A_j$ так, чтобы функции $\widetilde\rho(\,\cdot\,,x_j)$ были измеримыми на $X$ и неравенство $\mu(A_j \setminus B)>0$ влекло за собой включение $x_j \in A_j \setminus B$. Определим полуметрику $\overline\rho$ на $X$ следующим образом: для $x\ne y$, $x \in A_k$, $y \in A_j$, положим $\overline\rho(x,y)=\widetilde\rho(x_k,x_j)$. Тогда очевидно, что если $x,y \notin B$, то
$$
\begin{equation*}
|\widetilde\rho(x,y)-\overline\rho(x,y)| < 2\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\overline\rho$ и $\widetilde\rho$ ограничены поточечно числом 1, для всех $x,y \in X$ мы имеем оценку
$$
\begin{equation*}
|\widetilde\rho(x,y)-\overline\rho(x,y)|\leqslant \bigl(2\varepsilon+ \chi_{B}(x)+\chi_B(y)-\chi_{B}(x)\chi_B(y)\bigr)\chi_{\{x\ne y\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части последнего неравенства стоит полуметрика, интеграл которой не превосходит $2\varepsilon+2\mu(B) < 6 \varepsilon$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde\rho(x,y)-\overline\rho(x,y)\|_{\rm m}<6\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы доказали, что каждая из полуметрик $\widetilde\rho_i$, $i \in I$, аппроксимируется соответствующей полуметрикой $\overline\rho_i$ с точностью до $6\varepsilon$ в m-норме, причем все полуметрики $\overline\rho_i$ лежат в конечномерном пространстве и равномерно ограничены, т. е. образуют предкомпакт. Стало быть, в множестве $\{\widetilde\rho_i\}_{i \in I}$ можно найти конечную $7\varepsilon$ сеть в m-норме. Теорема доказана. A.3. Доказательство предложения 3.8Неравенство в одну сторону доказывается достаточно просто:
$$
\begin{equation*}
\Omega_T\biggl(\rho,1-\frac{1}{n}\biggr) \geqslant \frac{1}{e} T_{\rm av}^n\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым,
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_\varepsilon\biggl(X,\mu,\Omega_T\biggl(\rho,1- \frac{1}{n}\biggr)\biggr) \geqslant \mathbb{H}_{e\varepsilon}(X,\mu,T_{\rm av}^n\rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\widetilde\Phi_\rho(\varepsilon,1-1/n) \succeq \Phi_\rho$. Для того чтобы получить оценку в обратную сторону, найдем для каждого $\varepsilon > 0$ такое $c=c(\varepsilon,\rho)$, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\|(1-z)\sum_{k > cn}z^k T^{-k}\rho\biggr\|_{\rm m} < \frac{\varepsilon^2}{32}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=1-1/n$. Тогда в силу леммы 2.13
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_\varepsilon \biggl(X,\mu,\Omega_T\biggl(\rho,1-\frac{1}{n}\biggr)\biggr) \leqslant\mathbb{H}_{\varepsilon/4} \biggl(X,\mu,(1-z)\sum_{k=0}^{cn} z^n T^{-k}\rho\biggr) \leqslant \mathbb{H}_{\varepsilon/(4c)}(X,\mu,T_{\rm av}^{cn}\rho),
\end{equation*}
\notag
$$
где $z=1-1/n$. Однако в силу субаддитивности масштабированной энтропии (см. п. 3.3.2) функция $\Psi(\varepsilon, n)=\Phi_\rho(\varepsilon/(4c),cn)$ эквивалентна функции $\Phi_\rho$. Таким образом, $\widetilde\Phi_\rho(\varepsilon,1-1/n) \preceq \Phi_\rho$ и, тем самым, функция $\widetilde\Phi_\rho(\varepsilon,1-1/n)$ принадлежит классу $\mathcal{H}(T)$. A.4. Доказательство предложения 3.23Пусть $E$ – такое множество положительной меры, что $\mathcal{H}(X,\mu_\alpha,T)$ для любого $\alpha \in E$ растет не медленнее, чем $h$. Предположим противное. Тогда существует подпоследовательность $n_j$, удовлетворяющая соотношению $\Phi(\varepsilon,n_j) \prec h_{n_j}$ для любой $\Phi \in \mathcal{H}(X,\mu,T)$ и любого $\varepsilon > 0$. Рассмотрим допустимую метрику $\rho$ на $X$ и некоторый номер $n_j$. Пусть $X_0,X_1,\ldots X_k$ – множества, реализующие $\varepsilon$-энтропию тройки $(X,\mu,T_{\rm av}^{n_j}\rho)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\varepsilon > \mu(X_0)=\int\mu_\alpha(X_0)\,d\nu(\alpha).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что существует такая константа $r >0$, зависящая только от $\nu(E)$, что на некотором множестве $E_j \subset E$ меры $r$ выполнено неравенство $\mu_\alpha(X_0) < \varepsilon/r$. Для $\alpha\in E_j$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}_{\varepsilon/r}(X,\mu_\alpha,T_{\rm av}^{n_j}\rho) \leqslant \mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^{n_j} \rho).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что мера таких $\alpha$, что включение $\alpha \in E_j$ выполнено бесконечное число раз, положительна. Выберем такое $\alpha$ и подпоследовательность индексов $j_m$, для которых $\alpha \in E_{j_m}$. Получим
$$
\begin{equation*}
h_{n_{j_m}} \preceq \mathbb{H}_{\varepsilon/r}(X,\mu_\alpha,T_{\rm av}^{n_{j_m}}\rho)\leqslant \mathbb{H}_\varepsilon(X,\mu,T_{\rm av}^{n_{j_m}}\rho) \prec h_{n_{j_m}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Противоречие.
Приложение B. Некоторые открытые проблемыПеречислим несколько проблем, связанных с так или иначе затронутыми в обзоре новыми понятиями, не претендуя на полный охват тематики. Некоторые проблемы упомянуты в основном тексте. 1. Теория mm-пространств, классификация метрических троек и задачи о матричных распределениях. Возможно, наиболее важный общий вопрос состоит в следующем: в какой степени матричное распределение, как мера на матрицах расстояний, позволяет описывать различные свойства mm-пространств (пространств с мерой и метрикой). Как мы видели, матричное распределение есть полный инвариант с точностью до сохраняющих меру изометрий, но требуется научиться практически использовать его как средство изучения пространств. В частности, вопрос о том, что можно сказать о случайных спектрах матричных распределений самых естественных mm-пространств, пока открыт, хотя он ставился давно (см. п. 1.1.4). Аналогичный вопрос можно задать для метрических троек: можно ли восстановить метрическую тройку, в частности метрику, по асимптотике случайных спектров последовательных миноров матричного распределения? Скорее всего, ответ отрицательный, но интересно, какие свойства тройки являются “спектральными”, т. е. зависят только от спектра. Здесь уместно вспомнить об огромной литературе по спектральной геометрии графов, метрических пространств и т. п. Но поставленная выше задача принципиально иная, так как мы рассматриваем случайные спектры, т. е. стохастические, а не индивидуальные характеристики наборов собственных значений миноров. Эта статистика в корне отличается от статистики случайных гауссовых матриц, т. е. от полукругового и подобных ему законов. Интересны и пока неизвестны предельные распределения спектров для самых естественных многообразий – сфер, многообразий Штифеля, а также некомпактных многообразий с вероятностной мерой, см. работу [74]. 2. Вычисление масштабированной энтропии. Значительная часть обзора посвящена относительно новому понятию масштабированной энтропии. Однако мы не умеем ее вычислять даже в самых естественных случаях. При этом важно иметь в виду, что неограниченный рост масштабированной энтропии означает наличие непрерывной части в спектре автоморфизма, что напрямую иногда очень трудно доказать. Именно этот вопрос для адических автоморфизмов был поставлен А. М. Вершиком, в частности, для автоморфизма Паскаля – одного из первых нетривиальных примеров адических преобразований, определенных в конце 1970-х годов А. М. Вершиком (см. [53], [54], [65]). Позже выяснилось, что это преобразование использовал для одной задачи о разбиениях С. Какутани (см. [19]). Попытка вычисления масштабированной энтропии для автоморфизма Паскаля была предпринята в [32]. Но неограниченность роста масштабированной энтропии пока не доказана, несмотря на усилия многих математиков. Тем самым, не доказано, что автоморфизм Паскаля имеет чисто непрерывный спектр. Уверенность в справедливости этого выражена в названии статьи [65]. С другой стороны, для преобразований Морса, Чакона, т. е. подстановок (которые являются стационарными адическими сдвигами на бесконечных графах, см. [73]), вычисления проделаны – см. подробности в п. 3.4.1. В качестве обобщения результата для преобразования Морса интересно найти масштабированную энтропию более общих косых произведений над преобразованием с дискретным спектром. Пока не вычислена масштабированная энтропия для многочисленных адических преобразований на путях графов (Юнга, Фибоначчи и др.). Кроме того, представляет интерес вычисление масштабированной энтропии гауссовских автоморфизмов с простым сингулярным или просто сингулярным спектром (см. [12] и [52]). Как ни странно, техника аппроксимаций (ранги) здесь пока, видимо, не помогает. 3. Описание нестабильного автоморфизма. Несомненный интерес представляет описание нестабильных автоморфизмов (см. п. 3.2.1). В частности, интересно дать пример символической модели какого-нибудь нестабильного автоморфизма. 4. Развитие теории масштабированной энтропии для счетных групп. Теория масштабированной энтропии для действия аменабельных групп, описанная в п. 3.5, требует дальнейшего развития. Для неаменабельных групп не известно практически ничего, кроме самого определения, не известно даже, является ли введенный инвариант нетривиальным. В частности, несомненный интерес представляет вопрос о связи приведенного в п. 3.5 определения масштабированной энтропии с другими определениями энтропии для таких групп. Важным и интересным нам представляется свойство зазора в росте масштабированной энтропии, описанное в п. 3.5.4. Интересно было бы понять, для каких аменабельных групп имеет место это явление. В частности, выполнено ли оно для бесконечной симметрической группы? 5. Небернуллиевские автоморфизмы с вполне положительной энтропией. Для небернуллиевских автоморфизмов с вполне положительной энтропией, которые были открыты Д. Орнштейном в 1970-х годах, до сих пор нет обозримых инвариантов. Они должны быть связаны с неэнтропийными асимптотическими инвариантами стационарных метрических компактов. Пока такие инварианты неизвестны. 6. Каталитические и относительные инварианты. Схема построения каталитических абсолютных или относительных инвариантов, описанная в п. 1.2.6 (см. также п. 3.1.3), пока реализована только в виде масштабированной энтропии. В этом случае инвариант абсолютный (т. е. от метрики не зависит). Других примеров пока нет. Объясняется это тем, что кроме эпсилон-энтропии у нас нет развитой теории инвариантов самих метрических компактов или mm-пространств. В частности, нет инвариантов метрических компактов, снабженных той или иной симметрией (например, инвариантных относительно автоморфизма). Нет оснований сомневаться в наличии таких инвариантов. На это указывают упомянутые небернуллиевские системы с положительной колмогоровской энтропией. Авторы выражают благодарность анонимному рецензенту за полезные замечания и комментарии.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VerVepZat23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|