| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Циклические фробениусовы алгебры В. М. Бухштаберab, А. В. Михайловc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c University of Leeds, Leeds, UK
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10096e 
Реферативные базы данных:
    Пусть $\mathcal{A}$ – ассоциативная $\mathbb{C}$-алгебра с единицей 1 и $\mathcal{M}$ – некоторое $\mathbb{C}$-линейное пространство, $\dim\mathcal{M}\geqslant 1$. Определение 1. Циклической фробениусовой алгеброй ($\operatorname{CF}$-алгеброй) $\mathcal{A}$ называется алгебра $\mathcal{A}$ с $\mathbb{C}$-билинейной кососимметрической формой $\Phi(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,) \colon \mathcal{A}\otimes_\mathbb{C} \mathcal{A}\to \mathcal{M}$ такой, что $ \Phi(A,BC)+\Phi(B,CA)+\Phi(C,AB)=0$, $A,B,C \in\mathcal{A}$. Примеры: 1) $\mathcal{M}=\mathcal{A}$ и $\Phi(A,B)=AB-BA=[A,B]$; 2) $\mathcal{A}$ – коммутативная алгебра со скобкой Пуассона $\{\,\cdot\,{,}\,\cdot\,\}$, $\mathcal{M}=\mathcal{A}$ и $\Phi(A,B)=\{A,B\}$; 3) $\operatorname{CF}$-алгебры, у которых $\mathcal{M}$ – поле, получаются из конструкций алгебр в [1], [5]. Введем $\mathbb{C}$-линейное подпространство $\operatorname{Span}\subset\mathcal{A}$, натянутое на все коммутаторы $[A,B]\in \mathcal{A}$, и проекцию $\pi\colon \mathcal{A}\to \mathcal{A}/\operatorname{Span}$. Положим $A\approx B$, если $A-B\in\operatorname{Span}$. Лемма 1. Пусть $\varphi(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathcal{A}\otimes \mathcal{A}\to \mathcal{A}$ – $\mathbb{C}$-билинейная кососимметрическая форма и $\varphi(A,BC)\approx\varphi(A,B)C+B\varphi(A,C)$. Тогда $\mathcal{A}$ – $\operatorname{CF}$-алгебра с $\mathcal{M}=\mathcal{A}/\operatorname{Span}$ и $\Phi=\pi\varphi$. Положим $\mathcal{K}=\{B\in\mathcal{A}\colon\Phi(A,B)=0 \text{ для всех } A\in\mathcal{A}\}$. Из определения 1 следует, что $\mathcal{K}$ – подкольцо в $\mathcal{A}$, $1\in \mathcal{K}$ и $\Phi(A,bC)=\Phi(Ab,C)$ для всех $A,C \in\mathcal{A}$ и $b\in\mathcal{K}$. Пусть $\mathfrak{A}=\mathbb{C}\langle u_0,u_1,\ldots\rangle= \textstyle\bigoplus_{k=0}^\infty\mathfrak{A}_k$ – свободная ассоциативная градуированная алгебра с оператором дифференцирования $D$, $|u_k|=k+2$, $D(u_k)=u_{k+1}$, $k=0,1,\dots$ . Введем алгебру $\mathfrak{A}^D= \{A=\sum_{i\leqslant m}a_iD^i,\, a_m\ne 0,\, m\in \mathbb{Z},\, a_i\in \mathfrak{A}_{|a_m|+m-i}\}$, где $[D,u_k]=u_{k+1}$, $[D^{-1},u_k]=\sum_{i\geqslant 1}(-1)^i u_{k+i}D^{-i-1}$. Пусть $A_++A_-=A \in \mathfrak{A}^D$, где $A_+= \sum_{0\leqslant i\leqslant m} a_iD^{i}$ при $m\geqslant 0$ и $A_+=0$ при $m<0$. Имеем $\operatorname{res}[D,A]=D(\operatorname{res}A)$, где $\operatorname{res} A=a_{-1}$. Введем однородную $\mathbb{C}$-билинейную кососимметрическую форму $\sigma(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)\colon \mathfrak{A}^D\otimes\mathfrak{A}^D \to \mathfrak{A}$, $|\sigma(A,B)|=|A|+|B|$, полагая
$$
\begin{equation*}
\sigma(aD^n,bD^m)= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} n\\ n+m+1\end{pmatrix} \sum_{s=0}^{n+m}\!(-1)^s (a^{(s)}b^{(n+m-s)}\!+b^{(n+m-s)}a^{(s)}),
\end{equation*}
\notag
$$
если $n+m \geqslant 0$, $nm<0$, и $\sigma(aD^n,bD^m)=0$ в остальных случаях.
Лемма 2. Для любых $A,B \in \mathfrak{A}^D$ имеем $D(\sigma(A,B))=\operatorname{res}[A,B]-\Delta(A,B)$, где если $n+m \geqslant -1$, и $\Delta(aD^n,bD^m)=0$ в остальных случаях. Лемма 3. При канонической проекции $\pi\colon \mathfrak{A}\to \mathfrak{A}/\operatorname{Span}=\mathcal{M}=\bigoplus_{k=0}^\infty\mathcal{M}_k$ оператор $D$ задает мономорфизмы $\overline{D}\colon \mathcal{M}_k \to \mathcal{M}_{k+1}$, $k>0$. Теорема 1. Алгебра $\mathfrak{A}^D$ является $\operatorname{CF}$-алгеброй с формой $\Phi=\pi\sigma\colon \mathfrak{A}^D\otimes\mathfrak{A}^D\to \mathcal{M}$ такой, что $\mathcal{K}=\mathfrak{A}$ и $\Phi(D^n,D^{-n})=n$, $n\in \mathbb{Z}$. Следствие 1. На множестве образующих $\{D^n,\, n\in \mathbb{Z}\}$ свободного левого $\mathfrak{A}$-модуля $\mathfrak{A}^D$ форма $\Phi$ является невырожденной. Положим $L=D^2-u$ и $\mathcal{L}=D+ \sum_{i\geqslant1} I_{i}D^{-i}$, $I_{i}\in \mathfrak{A}_{i+1}$, где $\mathcal{L}^2=L$. Получаем последовательность рядов $\mathcal{L}^{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\sigma_{2k-1,2n-1}=\sigma(\mathcal{L}_+^{2k-1},\mathcal{L}^{2n-1})\in \mathfrak{A}_{2n+2k-2}, \quad \rho_{2n}=\sigma_{1,2n-1}=\operatorname{res}\mathcal{L}^{2n-1},\qquad n>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойств формы $\sigma(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ получаем $\sigma_{2k-1,2n-1}=\sigma_{2n-1,2k-1}$, $k,n\in\mathbb{N}$.
Введем дифференцирования $D_{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$, кольца $\mathfrak{A}$ такие, что
$$
\begin{equation*}
D_1=D,\quad [D,D_{2k-1}]=0,\quad D_{2k-1}(u)=-2D(\rho_{2k}),\quad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $u=u(t_1,t_3,\dots)$. Положим $\partial_{t_{2k-1}}(u)=D_{2k-1}(u)$. Теорема 2. Система уравнений $\partial_{t_{2k-1}}(u)=-2D(\rho_{2k}(u))$, $k\in \mathbb{N}$, где $\rho_2(u)=-u/2$, совпадает с иерархией КдФ на $\mathfrak{A}$: Следуя [3], для $N\in \mathbb{N}$ положим $F_{2N+2}(u)=\rho_{2N+2}+\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_{2(N-k+1)}\rho_{2k}$, где $\rho_0= 1$ и $\alpha_4,\dots,\alpha_{2N+2}$ – свободные параметры. Уравнение $F_{2N+2}(u)=0$ называется $N$-уравнением Новикова. Пусть $J(F)$ – двусторонний $D$-дифференциальный идеал в $\mathfrak{A}$, порожденный полиномом $F_{2N+2}(u)$. Так как $2^{2k+1}\rho_{2k+2}=u_{2k}+f(u_{2k-2},\dots,u)$ и $u_{k+1}=D^k(u)$, то на факторалгебре $\mathfrak{A}/J(F)=\mathbb{C}\langle u,\dots,u_{2N-1}\rangle$ иерархия КдФ (см. теорему 2) сводится к $N$-иерархии Новикова, где первая система представляет $N$-уравнение Новикова в виде $D(u_k)=u_{k+1}$ для $0\leqslant k< 2N-1$, $D(u_{2N-1})=-f(u_{2k-2},\dots,u)$. В [3] показано, что в терминах формы $\Phi$ (см. теорему 1) полиномы
$$
\begin{equation}
H_{2n+1,2N+1}=\sigma_{2n+1,2N+1}+ \sum_{k=1}^{N-1}\alpha_{2(N-k+1)}\sigma_{2n+1,2k-1},\qquad n=1,\dots,N,
\end{equation}
\tag{1}
$$
задают первые интегралы $\widehat{H}_{2n+1,2N+1}=\pi(H_{2n+1,2N+1})$ иерархии.
Теорема 3. В квантовом случае $N$-иерархия Новикова (см. [3]) записывается в виде совместных систем уравнений Гейзенберга. Полиномы (1) являются квантовыми коммутирующими гамильтонианами иерархии, самосопряженными в случае, если значения параметров $\alpha_4,\dots,\alpha_{2N+2}$ вещественные. Мы благодарим С. П. Новикова и В. Н. Рубцова за стимулирующие обсуждения результатов этой заметки.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucMik23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|