| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Индекс минимальных поверхностей в трехмерной сфере Е. А. Морозовab, А. В. Пенскойca a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" b Независимый Московский университет c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10094e 
Реферативные базы данных:
    ВведениеПусть $\Sigma$ – ориентируемая поверхность без края, $\varphi\colon\Sigma\looparrowright\mathbb{S}^3\subset\mathbb{R}^4$ – ее минимальное погружение в $\mathbb{S}^3$ радиуса 1. Определим отображение $\widetilde\varphi\colon\Sigma\to\mathbb{R}^4\mathrel{\wedge}\mathbb{R}^4\cong \mathbb{R}^6$ как $\widetilde\varphi(x)=\varphi(x)\wedge\nu(x)$, где $\nu$ обозначает поле единичных нормалей к $\varphi(\Sigma)$. Известно, что $\widetilde\varphi(\Sigma)\subset\mathbb{S}^5$ и $\widetilde\varphi\colon\Sigma\looparrowright\mathbb{S}^5$ тоже является минимальным погружением [2; § 11]. Определение. Образ $\widetilde\varphi$ называют биполярной поверхностью к поверхности $\varphi(\Sigma)$. Обозначим через $g$ и $\widetilde g$ метрики на $\Sigma$, индуцированные погружениями $\varphi$ и $\widetilde\varphi$ соответственно. Далее будем писать $\Sigma$, подразумевая метрику $g$, и $\widetilde\Sigma$, подразумевая $\widetilde g$. Вторая вариация функционала площади для $\Sigma$ определяет оператор устойчивости Якоби на нормальных векторных полях. Так как нормальное расслоение тривиально, то получаем действующий на функциях оператор $J={\Delta-4+2K}$, где $\Delta$, $K$ обозначают оператор Лапласа–Бельтрами и гауссову кривизну на $\Sigma$ соответственно [6]. Определение. Индексом $\operatorname{ind}\Sigma$ минимальной поверхности $\Sigma$ называется количество отрицательных собственных чисел оператора Якоби $J$ с учетом кратности, а дефектом $\operatorname{null}\Sigma$ минимальной поверхности $\Sigma$ называется размерность ядра оператора $J$. 1. Связь индекса и дефекта поверхности $\Sigma$ со спектром $\widetilde\Sigma$Пусть $\widetilde\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами на $\widetilde\Sigma$. Известно, что $\widetilde g=(2-K)g$ и $\widetilde\Delta=(2-K)^{-1}\Delta$ [2; § 11]. Обозначим через $N_{\widetilde\Sigma}(\lambda)$ количество собственных чисел оператора $\widetilde\Delta$, меньших $\lambda$. Теорема 1. Для любого минимального погружения $\varphi\colon\Sigma\looparrowright\mathbb{S}^3$ дефект $\operatorname{null}\Sigma$ равен кратности собственного числа 2 оператора $\widetilde\Delta$, а индекс $\operatorname{ind}\Sigma$ равен $N_{\widetilde\Sigma}(2)$. Доказательство. Пусть $\rho=2-K$, тогда $\widetilde\Delta=\rho^{-1}\Delta$ и $J=\Delta-2\rho$. Собственные функции $J$ с собственным числом 0 совпадают с собственными функциями $\widetilde\Delta$ с собственным числом 2, откуда следует утверждение теоремы 1 про дефект.
Обозначим $k$-е собственные числа операторов $\widetilde\Delta$ и $J$ через $\lambda_k$ и $\mu_k$ соответственно. Пусть $R_{\widetilde\Delta}[f]=\displaystyle\int_\Sigma |\nabla f|^2\,dv_g\!\!\Bigm/\!\!\! \displaystyle\int_\Sigma \rho f^2\,dv_g$ и $R_J[f]=\displaystyle\int_\Sigma(|\nabla f|^2-2\rho f^2)\,dv_g\!\!\Bigm/\!\!\! \displaystyle\int_\Sigma f^2\,dv_g$ – отношения Рэлея операторов $\widetilde\Delta$ и $J$ ($f\in H^1(\Sigma,dv_g)$, а $dv_g$ – форма объема в метрике $g$). Предположим, что $\lambda_k<2$ для некоторого $k$. Пусть $\Phi\subset H^1(\Sigma,dv_g)$ – подпространство, порожденное собственными функциями $\widetilde\Delta$ с собственными числами $0=\lambda_0<\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_k$. Тогда для любой функции $f\in\Phi\setminus\{0\}$ имеем $R_{\widetilde\Delta}[f]\leqslant\lambda_k<2$, и, значит, $R_J[f]<0$. Следовательно, $\mu_k\leqslant\sup_{f\in\Phi}R_J[f]<0$, где второе неравенство является строгим, поскольку точная верхняя грань достигается на некоторой функции из $\Phi$. Таким образом, мы доказали, что если $\lambda_k<2$, то $\mu_k<0$. Аналогичным образом, если $\mu_k<0$, то $\lambda_k<2$. Поэтому $\operatorname{ind}\Sigma=N_{\widetilde\Sigma}(2)$, и утверждение теоремы 1 доказано. Следствие. Для торов Оцуки $O_{p/q}\subset\mathbb{S}^3$ (впервые определены в [3]; мы придерживаемся обозначений, введенных в [5] и использованных в [1]) имеют место равенства $\operatorname{ind} O_{p/q}=2q+4p-2$, $\operatorname{null} O_{p/q}=5$. Доказательство. Из [1] следует, что для $\Sigma=O_{p/q}$ верно $N_{\widetilde\Sigma}(2)=2q+4p-2$ и что кратность собственного числа 2 на $\widetilde\Sigma$ равна 5, поэтому результат следует из теоремы.
2. Индекс $\tau$-поверхностей ЛоусонаК сожалению, теорема 1 не приводит к “автоматическому” нахождению индекса и дефекта любой минимальной поверхности в $\mathbb{S}^3$. Помимо того, что вычисление $N_{\widetilde\Sigma}(2)$ – трудная задача, в важных примерах или поверхность $\Sigma$ неориентируема, или при отображении $\widetilde\varphi$ поверхность $\widetilde\Sigma$ многолистно накрывает свой образ. В частности, такие сложности возникают при изучении важных $\tau$-поверхностей Лоусона, и последние требуют отдельного рассмотрения с помощью метода разделения переменных из [4], [5]. Определение. Образ дважды периодического погружения $\Psi_{m,k}\colon\mathbb{R}^2\looparrowright\mathbb{S}^3\subset \mathbb{R}^4$, заданного формулой $\Psi_{m,k}(x,y)=(\cos mx \cos y,\sin mx \cos y, \cos kx \sin y,\sin kx \sin y)$, называется поверхностью Лоусона $\tau_{m,k}$ (см. [2]). Известно [2], что для каждой неупорядоченной пары $(m,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, $\operatorname{\textrm{НОД}}(m,k)=1$, поверхность $\tau_{m,k}$ – отличная от других поверхностей семейства компактная минимальная поверхность в $\mathbb{S}^3$. Если $m,k$ нечетные, то $\tau_{m,k}$ – это тор, а если одно из чисел $m$ или $k$ четное, то $\tau_{m,k}$ – бутылка Клейна. Приведем результат для бутылки Клейна $\tau_{2,1}$, другие $\tau_{m,k}$ изучены в готовящейся к публикации более подробной работе второго автора. Теорема 2. Для лоусоновой бутылки Клейна $\tau_{2,1}$ имеем $\operatorname{null}\tau_{2,1}=5$, $\operatorname{ind}\tau_{2,1}=7$. Доказательство. Отображение $\Psi_{m,k}$ имеет периоды $T_1=(2\pi,0)$ $T_2=(0,2\pi)$. В случае лоусоновых бутылок Клейна $\tau_{m,k}$ тор $\mathbb{R}^2/\{aT_1+bT_2\colon a,b\in\mathbb{Z}\}$ с метрикой, индуцированной погружением $\Psi_{m,k}$, является двулистным накрытием над $\tau_{m,k}$, так как $\Psi_{m,k}$ инвариантно еще и относительно преобразования $(x,y)\mapsto(x+\pi,-y)$, поэтому в качестве координат на $\tau_{m,k}$ берем $(x,y)\in[0,\pi)\times[-\pi,\pi)$. Спектральная задача для оператора Якоби принимает вид $-\dfrac{1}{p(y)^2}\,\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}- \dfrac{1}{p(y)}\,\dfrac{\partial}{\partial y} \biggl(p(y)\dfrac{\partial f}{\partial y}\biggr)-2f- \dfrac{2m^2k^2}{p(y)^4}f=\lambda f$, где $p(y)=\sqrt{k^2+(m^2-k^2)\cos^2y}$ , с граничными условиями $f(x+\pi,-y)=-f(x,y)$, $f(x,y+2\pi)=f(x,y)$. Так как этот оператор Якоби коммутирует с $\partial/\partial x$, спектральную задачу можно свести к одномерным задачам, используя подход из [4], [5]. Поэтому получаем семейство одномерных спектральных задач $-\dfrac{1}{p(y)}\,\dfrac{d}{dy}\biggl(p(y)\dfrac{d\varphi(y)}{dy}\biggr)+ \biggl(\dfrac{l^2}{p(y)^2}-2- \dfrac{2m^2k^2}{p(y)^4}-\lambda\biggr)\varphi(y)=0$, $\varphi(y+2\pi)\equiv\varphi(y)$, со спектром $\lambda_i(l)$ и решениями $\varphi_i(l,y)$. Теорема следует из их анализа методами из [4]. Авторы благодарны М. Карпухину за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MorPen23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|