| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Геометрия диофантовых экспонент О. Н. Германab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10089e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеРавна ли диагональ квадрата со стороной 1 отношению каких-нибудь двух целых чисел? Можно ли построить с помощью циркуля и линейки круг, равный по площади этому квадрату? Эти вопросы возникли ещё у древних греков – около двух с половиной тысяч лет назад. И если на первый они мгновенно дали ответ, то на второй вопрос человечеству удалось ответить лишь чуть более века назад. Ответ на первый вопрос обосновал существование иррациональных чисел. Однако явные примеры таких чисел, как правило, были алгебраическими, т. е. являлись корнями многочленов с рациональными коэффициентами. И до XIX в. было непонятно, существуют ли числа не алгебраические, т. е. трансцендентные. Ответить на этот вопрос удалось Лиувиллю1, который доказал, что алгебраические числа не могут быть “слишком хорошо” приближены рациональными, после чего с лёгкостью построил пример трансцендентного числа. Так родилась теория диофантовых приближений, при помощи которой удалось доказать трансцендентность числа $\pi$ и таким образом ответить на второй из упомянутых выше вопросов – доказать неразрешимость задачи построения циркулем и линейкой круга, равновеликого квадрату. Отсюда возникло понимание, что вещественные числа можно ранжировать по “степени их иррациональности” – иррациональное число считается тем более иррациональным, чем лучше его можно приблизить рациональными. Самой простой количественной характеристикой того, насколько хорошо иррациональное число $\theta$ приближается рациональными, является его диофантова экспонента – супремум таких вещественных $\gamma$, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{p}{q}\biggr|\leqslant\frac{1}{q^{1+\gamma}}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет бесконечно много решений в целых $p$, $q$. Задача приближения числа рациональными имеет очень естественную геометрическую интерпретацию, которая позволяет работать и с более общими задачами – когда нужно искать так называемые совместные приближения, т. е. когда несколько чисел нужно приблизить рациональными с одним и тем же знаменателем. В этом контексте тоже возникают диофантовы экспоненты как самый простой показатель отклонения от “рациональности”. Стоит отметить, что если в задаче о совместных приближениях взять степени заданного числа $\theta$, т. е. числа $1,\theta,\theta^2,\theta^3,\dots,\theta^n$, то получится один из важнейших инструментов исследования алгебраических чисел. К примеру, Эрмит в своём доказательстве трансцендентности числа $e$ по сути построил “хорошие” совместные приближения к степеням числа $e$. За последние несколько лет в теории диофантовых экспонент произошёл существенный скачок: отечественными и зарубежными математиками было доказано больше теорем, чем за все предыдущие годы. В данном обзоре мы постарались собрать как можно больше результатов о самых разных диофантовых экспонентах – а их типов на данный момент существует больше десятка. Мы не претендуем на полноту изложения и приводим только те доказательства, которые достаточно коротки и при этом необходимы для понимания методов работы с изучаемыми объектами. Подробные доказательства можно найти в оригинальных работах. Больше всего нас будут интересовать многомерные задачи, для которых именно благодаря наличию нескольких измерений возникает разнообразие естественных способов определять диофантовы экспоненты. Особое внимание мы уделяем так называемому принципу переноса, который связывает “двойственные” задачи. Отметим также, что мы почти не затрагиваем промежуточные диофантовы экспоненты, ибо полноценное изложение всех известных на данный момент фактов о них удвоило бы объём статьи. 2. Приближение вещественного числа рациональными2.1. Диофантова экспонента и мера иррациональностиВо введении мы фактически дали следующее Определение 1. Пусть $\theta$ – вещественное число. Его диофантовой экспонентой $\omega(\theta)$ называется супремум таких вещественных $\gamma$, что неравенство имеет бесконечно много решений в целых $p$, $q$. На самом деле в случае одного числа более принято говорить о мере иррациональности числа $\theta$. Определение 2. Пусть $\theta$ – вещественное число. Мерой иррациональности $\mu(\theta)$ числа $\theta$ называется супремум таких вещественных $\gamma$, что неравенство имеет бесконечно много решений в целых взаимно простых $p$, $q$. Определение 2 отличается от определения 1 лишь отсутствием единицы в показателе в неравенстве (2) и наличием условия взаимной простоты $p$ и $q$. Таким образом, для иррационального $\theta$ имеет место равенство Если же $\theta\in\mathbb{Q}$, то $\omega(\theta)=\infty$, $\mu(\theta)=1$ (см. предложение 1 ниже).Большинство результатов, описывающих степень отклонения конкретных чисел от рациональности, обычно формулируются именно для $\mu(\theta)$. Однако в многомерных задачах понятие диофантовой экспоненты естественно определять таким образом, что в частном одномерном случае получается в точности $\omega(\theta)$, а не $\mu(\theta)$. Поэтому все формулировки мы будем давать в первую очередь для $\omega(\theta)$. 2.2. Теорема ДирихлеКак правило, разговоры об элементах теории диофантовых приближений начинаются с упоминания соответствующей теоремы Дирихле. Не будем и мы отходить от этой традиции. Теорема Дирихле о приближении вещественных чисел рациональными является сколь элементарным, столь и фундаментальным утверждением, так или иначе содержащимся в качестве частного случая в большинстве существующих теорем о диофантовых приближениях. Теорема 1 (Г. Лежён Дирихле, 1842 г.). Пусть $\theta$ и $t$ – вещественные числа, $t>1$. Тогда существуют такие целые $p$ и $q$, что $0<q<t$ и На самом деле формулировка теоремы, доказанной в работе Дирихле [1] 1842 г., была не совсем такой, она выглядела скорее как формулировка следствия 1 ниже и была дана для линейной формы от произвольного количества переменных (см. также теоремы 8, 9). Но теорема 1 легко следует из оригинального рассуждения Дирихле, и так сложилось, что именно эта формулировка считается классической. Есть два наиболее известных доказательства этой теоремы – арифметическое, использующее принцип Дирихле, и геометрическое, использующее теорему Минковского о выпуклом теле. Более подробно о втором подходе мы поговорим в п. 2.4. Для иррациональных $\theta$ теорема 1 позволяет получить первую, в какой-то мере тривиальную, оценку для диофантовой экспоненты иррационального числа. Следствие 1. Пусть $\theta$ – иррациональное вещественное число. Тогда существует бесконечно много пар целых взаимно простых $p$, $q$ таких, что Предположение иррациональности здесь существенно, что показывает следующее предложение. Доказательство. Пусть $\theta=a/b$, $a,b\in\mathbb{Z}$, $b>0$.
Тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ и любого $\gamma\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{ka}{kb}\biggr|=0<\frac{1}{q^\gamma}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда с очевидностью следует, что $\omega(\theta)=\infty$.
Далее, для любого рационального $p/q$, отличного от $\theta$, справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{p}{q}\biggr|=\frac{|aq-bp|}{bq}\geqslant\frac{1/b}{q}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда видно, что при любом положительном $\gamma$ неравенство (1) имеет не более чем конечное число решений. Стало быть, $\mu(\theta)\leqslant1$. Убедиться, что $\mu(\theta)=1$, можно, заметив, что линейное диофантово уравнение при взаимно простых $a$ и $b$ имеет бесконечно много решений. Предложение доказано. 2.3. Диофантовы и лиувиллевы числаВ 1844 г., два года спустя после выхода работы Дирихле, Лиувилль [2] построил первые примеры трансцендентных чисел. Основная идея доказательства привела его к следующей формулировке, опубликованной в 1851 г. в работе [3]. Теорема 2 (Ж. Лиувилль, 1844–1851 гг.). Пусть $\theta$ – алгебраическое число степени $n$. Тогда существует константа $c$, зависящая только от $\theta$, такая, что для любых целого $p$ и натурального $q$ справедливо неравенство Из теоремы 2 мгновенно следует оценка для меры иррациональности (а также для диофантовой экспоненты) алгебраического числа, обобщающая оценку из предложения 1. Следствие 3. Если $\theta$ – вещественное алгебраическое число степени $n$, то $\mu(\theta)\leqslant n$. Соответственно, при $n\geqslant 2$ имеем $\omega(\theta)\leqslant n-1$. Отсюда видим, что если $\mu(\theta)=\infty$ (что для иррациональных $\theta$ равносильно тому, что $\omega(\theta)=\infty$), то число $\theta$ не может быть алгебраическим и, стало быть, является трансцендентным. Определение 3. Пусть $\theta$ – иррациональное число. Если $\omega(\theta)=\infty$, то $\theta$ называется лиувиллевым. Если же $\omega(\theta)<\infty$, то $\theta$ называется диофантовым. Таким образом, алгебраические числа являются диофантовыми. Но чему могут быть равны их диофантовы экспоненты? Следствия 2 и 3 дают нам аналог предложения 1 для квадратичных иррациональностей. Предложение 2. Если $\theta$ – квадратичная иррациональность, т. е. вещественное алгебраическое число степени $2$, то $\omega(\theta)=1$, $\mu(\theta)=2$. Для алгебраических чисел более высоких степеней теорема Лиувилля улучшалась последовательно Туэ [4], Зигелем [5], Дайсоном [6], Гельфондом [7], пока в 1955 г. Рот [8] не получил следующий результат, за который ему в 1958 г. была присуждена Филдсовская медаль. Теорема 3 (К. Рот, 1955 г.). Если $\theta$ – иррациональное алгебраическое число, то при любом положительном $\varepsilon$ неравенство имеет не более чем конечное число решений в целых $p$, $q$. Следствие 4. Если $\theta$ – иррациональное алгебраическое число, то $\omega(\theta)=1$, $\mu(\theta)=2$. Таким образом, на иррациональных алгебраических числах диофантова экспонента принимает наименьшее возможное значение, что говорит о том, что алгебраические числа плохо приближаются рациональными. Однако классическое понятие плохой приближаемости является более тонким, оно предполагает невозможность улучшить следствие 1 более, чем на постоянный множитель. Определение 4. Иррациональное число $\theta$ называется плохо приближаемым (рациональными числами), если существует такая константа $c>0$, что для всех рациональных $p/q$ справедливо неравенство Из теоремы Лиувилля следует, что алгебраические числа второй степени плохо приближаемы. Являются ли алгебраические числа более высоких степеней плохо приближаемыми – неизвестно. По сей день остаётся открытой даже гипотеза Ленга (1965 г.), утверждающая, что для любого иррационального алгебраического числа $\theta$ найдётся число $\delta>1$ такое, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{p}{q}\biggr|<\frac{1}{q^2(\log q)^\delta}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет не более чем конечное число решений в целых $p$, $q$. 2.4. Геометрическая интерпретация теоремы ДирихлеНа плоскости $\mathbb{R}^2$ рассмотрим прямую $\mathcal{L}(\theta)$, проходящую через начало координат и точку $(1,\theta)$. Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству представляет собой “гиперболический крест” $\mathcal{H}(\theta)$ с прямой $\mathcal{L}(\theta)$ и осью ординат в качестве асимптот. Множество же, описываемое системой
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} |x|\leqslant t, \\ |\theta x-y|\leqslant \dfrac{1}{t}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
является параллелограммом $\mathcal{P}(\theta,t)$ со сторонами, параллельными этим двум прямым (см. рис. 1). Как легко видеть, следствие 1 теоремы Дирихле утверждает наличие в $\mathcal{H}(\theta)$ бесконечного количества точек $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ с ненулевым $x$, а сама теорема Дирихле (теорема 1) утверждает наличие в параллелограмме $\mathcal{P}(\theta,t)$ ненулевой точки решётки $\mathbb{Z}^2$ при любом $t>1$. В данном виде теорема Дирихле становится частным случаем следующей классической теоремы Минковского о выпуклом теле, опубликованной им в книге [9] (см. также [10], [11]). Теорема 4 (Г. Минковский, 1896 г.). Пусть $\mathcal{M}$ – выпуклое центрально-симметричное замкнутое тело в $\mathbb{R}^d$ с центром в начале координат. Пусть объём $\mathcal{M}$ не меньше $2^d$. Тогда в $\mathcal{M}$ содержится ненулевая точка решётки $\mathbb{Z}^d$. Следствие 5. Пусть $L_1,\dots,L_d$ – набор однородных линейных форм в $\mathbb{R}^d$ с определителем $D\ne 0$, и пусть $\delta_1,\dots,\delta_n$ – положительные числа, произведение которых равно $|D|$. Тогда существует точка $\mathbf v\in\mathbb{Z}^d\setminus\{\mathbf 0\}$ такая, что Стоит отметить, что часто вместо самой теоремы Минковского применяют следствие 5 и называют его при этом теоремой Минковского для линейных форм. Ясно, что для теоремы Дирихле достаточно именно следствия 5. 2.5. Связь с цепными дробямиНапомним алгоритм разложения вещественного числа $\theta$ в цепную дробь. Обозначим через $[\,\cdot\,]$ целую часть числа и определим последовательности $(\alpha_k)$, $(a_k)$, $(p_k)$, $(q_k)$ равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_0=\theta,\quad \alpha_{k+1}=(\alpha_k-[\alpha_k])^{-1},\quad a_k=[\alpha_k], \\ \begin{aligned} \, p_{-2} & =0, \quad p_{-1}=1, \\ q_{-2} & =1, \quad q_{-1}=0, \end{aligned}\qquad \begin{aligned} \, p_k & =a_kp_{k-1}+p_{k-2}, \\ q_k & =a_kq_{k-1}+q_{k-2}, \end{aligned} \end{aligned}\qquad k=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Последовательности эти будут бесконечными, если $\theta$ иррационально. В случае же рационального $\theta$ они оборвутся, как только $\alpha_k$ станет целым числом. Тогда (см. [12], [11]) для каждого $k=0,1,2,\dots$ , при котором определено $\alpha_k$, справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\theta=[a_0;a_1,\dots,a_{k-1},\alpha_k]= a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{\stackrel{\ddots}{\phantom{|}}+ \cfrac{1}{a_{k-1}+\cfrac{1}{\alpha_k}}}}\,,\qquad \frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots,a_k].
\end{equation*}
\notag
$$
Числа $a_k$ называются неполными частными числа $\theta$, а $p_k/q_k$ – подходящими дробями этого числа. 2.5.1. Диофантова экспонента и рост неполных частныхПодходящие дроби числа $\theta$ удовлетворяют (см. [11]–[13]) неравенству
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{p}{q}\biggr|\leqslant\frac{1}{q^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, если рациональное $p/q$ удовлетворяет этому неравенству, то по теореме Фату (см. [13]–[15]) оно совпадает либо с какой-то подходящей дробью числа $\theta$, либо с какой-то промежуточной, соседствующей с подходящей. А по теореме Лежандра (см. [11]–[13]) любое рациональное $p/q$, удовлетворяющее неравенству
$$
\begin{equation*}
\biggl|\theta-\frac{p}{q}\biggr|\leqslant\frac{1}{2q^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
просто является подходящей дробью числа $\theta$. Таким образом, порядок приближения $\theta$ рациональными числами определяется тем, насколько быстро стремятся к нулю разности между $\theta$ и его подходящими дробями. Для этих разностей имеют место классические оценки (см. [11]–[13]). Предложение 3. Пусть $\theta=[a_0;a_1,a_2,\dots]$ – разложение числа $\theta$ в цепную дробь, $p_k/q_k=[a_0;a_1,\dots,a_k]$ – его подходящие дроби. Тогда Следствие 6. Иррациональное число плохо приближаемо тогда и только тогда, когда его неполные частные ограничены. Следствие 7. Для иррационального $\theta$ в обозначениях предложения 3 справедливы соотношения Итак, порядок приближения $\theta$ рациональными числами определяется порядком роста неполных частных числа $\theta$. 2.5.2. Геометрический алгоритмПодход, описанный в п. 2.4, позволяет цепную дробь интерпретировать как некий геометрический объект (см. также [16]–[20]). Определим последовательности чисел $(\beta_k)$, $(b_k)$ и последовательность точек $(\mathbf v_k)$ решётки $\mathbb{Z}^2$. Положим При известных $\mathbf v_{k-2}$ и $\mathbf v_{k-1}$ определим $\beta_k$, $b_k$ и $\mathbf v_k$ соотношениями
$$
\begin{equation*}
\mathbf v_{k-2}+\beta_k\mathbf v_{k-1}\in\mathcal{L}(\theta),\qquad b_k=[\beta_k],\qquad \mathbf v_k=\mathbf v_{k-2}+b_k\mathbf v_{k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, $\mathbf v_k$ – последняя точка решётки $\mathbb{Z}^2$ перед пересечением с прямой $\mathcal{L}(\theta)$ на пути от точки $\mathbf v_{k-2}$ в направлении, задаваемом вектором2 $\mathbf v_{k-1}$ (см. рис. 2). Точку $\mathbf v_k$ невозможно построить тогда и только тогда, когда $\mathbf v_{k-1}$ лежит на прямой $\mathcal{L}(\theta)$, и в этом случае последовательности обрываются. Если же целых точек на прямой $\mathcal{L}(\theta)$ нет, последовательности будут бесконечными. Теорема 5. Для всех $k$ справедливы следующие соотношения: Доказательство. Пункты (a) и (b) следуют из линейности определителя и соотношения $\mathbf v_k=\mathbf v_{k-2}+b_k\mathbf v_{k-1}$.
Чтобы доказать пункт (c), выразим $\beta_{k+1}$ через $\beta_k$. Векторы $\mathbf v_{k-2}+\beta_k\mathbf v_{k-1}$ и $\mathbf v_{k-1}+\beta_{k+1}\mathbf v_k$ коллинеарны, откуда, пользуясь пунктами (a) и (b), получаем
$$
\begin{equation*}
0=\det(\mathbf v_{k-2}+\beta_k\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k-1}+ \beta_{k+1}\mathbf v_k)=(-1)^k+(-1)^{k-1}\beta_k\beta_{k+1}+ (-1)^kb_k\beta_{k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $1-\beta_{k+1}(\beta_k-b_k)=0$, т. е. что совпадает с соответствующей формулой для $\alpha_k$ и $\alpha_{k+1}$ и даёт нам шаг индукции. Остаётся заметить, что
$$
\begin{equation*}
\beta_0=\theta=\alpha_0,\quad \mathbf v_{-2}=(1,0)=(q_{-2},p_{-2}),\quad \mathbf v_{-1}=(0,1)=(q_{-1},p_{-1}),
\end{equation*}
\notag
$$
и воспользоваться соотношениями (3). Теорема доказана. Пункты (a) и (b) теоремы 5 представляют собой геометрическую интерпретацию известных соотношений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_k & =(-1)^{k-1}, \\ p_kq_{k-2}-p_{k-2}q_k & =(-1)^ka_k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пункт (a) означает, что при каждом $k$ векторы $\mathbf v_{k-1}$, $\mathbf v_k$ образуют соответствующим образом ориентированный базис решётки $\mathbb{Z}^2$. Пункт (b) означает, что целочисленная длина отрезка с концами в точках $\mathbf v_{k-2}$ и $\mathbf v_k$ равна неполному частному $a_k$. Определение 5. Целочисленной длиной отрезка с концами в точках решётки $\mathbb{Z}^2$ называется количество минимальных (по включению) отрезков с концами в точках $\mathbb{Z}^2$, содержащихся в нём. Из правила построения точки $\mathbf v_k$ по двум предыдущим легко увидеть, что при любом $k\geqslant0$ точки $\mathbf v_{k-1}$ и $\mathbf v_k$ лежат по разные стороны от прямой $\mathcal{L}(\theta)$. При этом точки с чётными неотрицательными индексами лежат под прямой, а с нечётными – над ней. Это соответствует утверждению, что все подходящие дроби с чётными номерами меньше $\theta$, а с нечётными – больше. 2.5.3. Геометрические доказательстваМногие утверждения о цепных дробях можно доказывать геометрически. В качестве примера приведём рассуждение, доказывающее неравенства из пункта (b) предложения 3. Перепишем их в виде
$$
\begin{equation}
\frac{1}{a_{k+1}+2}<q_k|\theta q_k-p_k|\leqslant\frac{1}{a_{k+1}}
\end{equation}
\tag{5}
$$
и заметим, что $q_k|\theta q_k-p_k|$ – не что иное, как площадь параллелограмма $\mathcal{Q}_1$ с вершинами $\mathbf a$, $\mathbf v_k$, $\mathbf b$, $\mathbf 0$ (см. рис. 3). Рассмотрим параллелограмм $\mathcal{Q}_2$ с вершинами $\mathbf 0$, $\mathbf c$, $\mathbf d$, $\mathbf e$ (см. тот же рис. 3). Доказательство. Поскольку векторы $\mathbf v_k$, $\mathbf v_{k-1}$ образуют базис $\mathbb{Z}^2$, ширина $H$ полосы на рис. 3 равна $|\mathbf v_k|^{-1}$. Обозначим через $h$ расстояние от точки $\mathbf b$ до прямой, порождённой вектором $\mathbf v_k$. Тогда из подобия треугольников имеем откуда следует, что Лемма доказана. В свете леммы 1 неравенства (5) переписываются как т. е. как
$$
\begin{equation*}
|\det(\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k+1})|\leqslant |\det(\mathbf e,\mathbf c)|<|\det(\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k+1})|+2.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы обосновать эти неравенства, достаточно заметить, что отрезок $[\mathbf e,\mathbf c]$ содержит отрезок $[\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k+1}]$ и содержится в отрезке $[\mathbf v_{k-1}-\mathbf v_k,\mathbf v_{k+1}+\mathbf v_k]$. Так пункт (b) предложения 3 доказывается геометрически. Пункт (a) доказывается аналогично. 2.5.4. Полигоны КлейнаСледующая теорема связывает цепную дробь с конструкцией, восходящей к Клейну [21] и носящей название полигоны Клейна. Обозначим через $\mathcal{O}_+$ замыкание положительного квадранта – множество точек $\mathbb{R}^2$ с неотрицательными координатами. Теорема 6. Пусть $\theta>0$. Тогда точки $\mathbf v_k$ с чётными индексами суть вершины выпуклой оболочки ненулевых точек решётки $\mathbb{Z}^2$, лежащих в $\mathcal{O}_+$ не выше прямой $\mathcal{L}(\theta)$. Аналогично, точки $\mathbf v_k$ с нечётными индексами суть вершины выпуклой оболочки ненулевых точек решётки $\mathbb{Z}^2$, лежащих в $\mathcal{O}_+$ не ниже прямой $\mathcal{L}(\theta)$. Доказательство. Поскольку $\theta>0$, координаты всех точек $\mathbf v_k$ неотрицательны. Кроме того, мы знаем, что точки $\mathbf v_k$ с чётными $k$ лежат под прямой $\mathcal{L}(\theta)$, а с нечётными – над ней. Стало быть, достаточно доказать, что в пересечении полосы, изображённой на рис. 3, с углом между прямой $\mathcal{L}(\theta)$ и соответствующей осью координат нет ненулевых точек решётки $\mathbb{Z}^2$, кроме тех, которые лежат на отрезке $[\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k+1}]$.
При $k\geqslant0$ из представления
$$
\begin{equation*}
\mathbf v_{k-1}-\mathbf v_k=\mathbf v_{k-1}-(a_k\mathbf v_{k-1}+ \mathbf v_{k-2})=(1-a_k)\mathbf v_{k-1}-\mathbf v_{k-2}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что хотя бы одна из координат точки $\mathbf v_{k-1}-\mathbf v_k$ отрицательна. При $k=-1$ это тем более очевидно.
Следовательно, при любом $k$ точка $\mathbf v_{k-1}-\mathbf v_k$ в $\mathcal{O}_+$ не лежит. Что же касается точки $\mathbf v_{k+1}+\mathbf v_k$, то она по построению не лежит в замыкании угла, в котором лежит отрезок $[\mathbf v_{k-1},\mathbf v_{k+1}]$. Остаётся заметить, что во внутренности полосы, изображённой на рис. 3, точек решётки $\mathbb{Z}^2$ нет. Теорема доказана. Определение 6. Выпуклые оболочки, о которых идёт речь в теореме 6, называются полигонами Клейна (см. рис. 4). На границах полигонов Клейна, таким образом, “записывается” цепная дробь числа $\theta$: вершины имеют координаты, равные знаменателям и числителям подходящих дробей, а целочисленные длины рёбер равны неполным частным. Заметим, что можно ограничиться одной из полученных двух ломаных. Дело в том, что для угла, образованного отрезками $[\mathbf v_{k-2},\mathbf v_k]$ и $[\mathbf v_k,\mathbf v_{k+2}]$, можно определить (см. [20], [22], [23]) его “целочисленную величину” как модуль определителя минимальных целочисленных векторов, направленных вдоль этих отрезков. В нашем случае это будут векторы $\mathbf v_{k-1}$ и $\mathbf v_{k+1}$, определитель которых, как мы знаем (см. пункт (b) теоремы 5), равен по модулю неполному частному $a_{k+1}$. Таким образом, каждая из двух ломаных содержит всю информацию о цепной дроби числа $\theta$. 2.5.5. Наилучшие приближенияПодходящие дроби являются наилучшими приближениями числа $\theta$ (см. [24]) в следующем смысле. Определение 7. Рациональное число $p/q$ называется наилучшим приближением числа $\theta$, если $p$ – ближайшее к $q\theta$ целое число и для любых рациональных $p'/q'$ таких, что $q'<q$, выполняется неравенство Геометрически это означает, что в параллелограмме с центром в начале координат, вершиной в точке $(q,p)$ и со сторонами, параллельными прямой $\mathcal{L}(\theta)$ и оси ординат, нет ненулевых точек решётки $\mathbb{Z}^2$, за исключением вершин (оставшиеся две вершины, вообще говоря, тоже могут принадлежать $\mathbb{Z}^2$, это равносильно тому, что $\theta\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}$). Полигоны Клейна позволяют довольно просто показать, что для $\theta$, не являющихся полуцелыми, множество наилучших приближений в точности совпадает с последовательностью подходящих дробей числа $\theta$. Теорема 7. Пусть $\theta\in\mathbb{R}\setminus \bigl(\frac{1}{2}\mathbb{Z}\bigr)$. Тогда вершины $\mathbf v_k$, $k\geqslant0$, полигонов Клейна соответствуют наилучшим приближениям числа $\theta$. Доказательство. Пусть $\mathcal{Q}_{\mathbf v}$ – параллелограмм с центром в начале координат, вершиной в точке $\mathbf v$ и со сторонами, параллельными прямой $\mathcal{L}(\theta)$ и оси ординат. Пусть $\Delta_{\mathbf v}$ – половина параллелограмма $\mathcal{Q}_{\mathbf v}$, сдвинутого на вектор $\mathbf v$ (см. рис. 5). Тогда, в силу замкнутости $\mathbb{Z}^2$ относительно сложения, имеют место следующие эквивалентности:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{Q}_{\mathbf v}\cap\mathbb{Z}^2=\{\mathbf 0,\pm\mathbf v\} & \ \ \Longleftrightarrow\ \ (\mathcal{Q}_{\mathbf v}+\mathbf v)\cap \mathbb{Z}^2=\{\mathbf 0,\mathbf v,2\mathbf v\} \\ & \ \ \Longleftrightarrow\ \ \Delta_{\mathbf v}\cap \mathbb{Z}^2=\{\mathbf 0,\mathbf v\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из этих утверждений для $\theta$, не являющихся полуцелыми, равносильно тому, что $\mathbf v$ соответствует наилучшему приближению. Последнее – тому, что $\mathbf v$ является вершиной соответствующего полигона Клейна. Теорема доказана. 2.6. Тривиальность равномерного аналога диофантовой экспонентыБесконечность количества решений неравенства (1) равносильна тому, что существуют сколь угодно большие $t$ такие, что система
$$
\begin{equation}
\begin{cases} 0<q\leqslant t, \\ |\theta q-p|\leqslant t^{-\gamma} \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
разрешима в целых $p$, $q$. Следствие 1 теоремы Дирихле (для иррационального $\theta$) как раз это и утверждает при $\gamma=1$. И даёт, таким образом, оценку для $\omega(\theta)$. Но сама теорема Дирихле (теорема 1) утверждает для $\gamma=1$ разрешимость системы (6) при любом достаточно большом $t$. Поэтому естественно рассмотреть следующий равномерный аналог экспоненты $\omega(\theta)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat\omega(\theta)=\sup\{\gamma\in\mathbb{R}\mid &\text{ существует } T\in\mathbb{R}\text{ такое, что для любого } t\geqslant T \\ &\text{ система (6) разрешима в }(p,q)\in\mathbb{Z}^2\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы Дирихле следует неравенство Оказывается, в случае одного числа равномерная экспонента почти тривиальна: для рационального $\theta$ имеем (см. доказательство предложения 1), а для иррационального $\theta$ в силу предложения 4, которое мы сейчас докажем, знак неравенства в (7) можно заменить на знак равенства.Предложение 4. Если $\theta$ иррационально, то существуют сколь угодно большие $t$, для которых система не имеет решений в целых $p$, $q$. Доказательство. Рассмотрим произвольную вершину $\mathbf v$ одного из полигонов Клейна. По теореме 7 она соответствует какому-то наилучшему приближению $\theta$, т. е. параллелограмм $\mathcal{Q}_{\mathbf v}$ (см. рис. 5, 6) не содержит целых точек, отличных от $\mathbf 0$, $\pm\mathbf v$.
Будем растягивать $\mathcal{Q}_{\mathbf v}$ вдоль прямой $\mathcal{L}(\theta)$ до тех пор, пока не наткнёмся на целую точку $\mathbf w$, отличную от $\mathbf 0$, $\pm\mathbf v$. Такая точка обязана существовать по теореме Минковского о выпуклом теле (теорема 4). Получим параллелограмм $\mathcal{Q}'_{\mathbf v}$ с вершинами в точках $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$, $\mathbf d$ (см. рис. 6). Точки $\mathbf v$ и $\mathbf w$ на самом деле соответствуют двум последовательным подходящим дробям $\theta$, но для нашего рассуждения доказывать это не обязательно, нам достаточно того, что $\mathbf v$ и $\mathbf w$ не коллинеарны. Из неколлинеарности следует, что площадь треугольника с вершинами в точках $\mathbf 0$, $\mathbf v$, $\mathbf w$ равна $1/2$. Откуда видим, что площадь параллелограмма $\mathcal{Q}'_{\mathbf v}$ больше, чем $2$. Следовательно, при $t$, равном абсциссе точки $\mathbf w$, система (8) не имеет решений в целых $p$, $q$. Мы можем применить теперь процедуру растягивания к параллелограмму $\mathcal{Q}_{\mathbf w}$ и получить следующий “пустой” параллелограмм. Процесс этот можно продолжить до бесконечности, ибо на прямой $\mathcal{L}(\theta)$ по предположению об иррациональности $\theta$ целых точек нет. Таким образом, абсцисса точки $\mathbf w$ может принимать сколь угодно большие значения. Предложение доказано. Итак, рассматривать $\widehat\omega(\theta)$ для вещественного $\theta$ – довольно бессмысленное занятие ввиду вырожденности этой величины. Далеко не так обстоят дела в многомерном случае, к которому мы сейчас и переходим. 3. Совместные приближения и приближения нуля значениями линейной формы3.1. Ещё две теоремы ДирихлеВ предыдущем разделе основной вопрос заключался в том, насколько малой может быть величина при целых ненулевых $x$, $y$. На многомерный случай, т. е. на случай, когда вместо одного $\theta$ даны $n$ чисел $\theta_1,\dots,\theta_n$, эту задачу обобщают по-разному: с одной стороны, изучают вопрос, насколько малыми можно сделать величины а с другой – насколько малым можно сделать значение линейной формыПервый многомерный результат в теории диофантовых приближений принадлежит Дирихле и касается обоих указанных вопросов. В упоминавшейся уже работе [1] 1842 г. он доказал следующее утверждение. Теорема 8 (Г. Лежён Дирихле, 1842 г.). Пусть задан некоторый набор $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)\in\mathbb{R}^n$. Тогда для любого $t\geqslant1$ найдутся целые числа $x_1,\dots,x_n,y$, удовлетворяющие неравенствам Здесь уместно замечание, аналогичное сделанному после теоремы 1: оригинальная формулировка Дирихле несколько слабее теоремы 8, но предложенное им рассуждение доказывает и теорему 8. В той же работе Дирихле формулирует обобщение своего результата на случай нескольких линейных форм. Для форм $\theta_1x-y_1,\dots,\theta_nx-y_n$ такое обобщение принимает следующий вид. Теорема 9 (Г. Лежён Дирихле, 1842 г.). Пусть задан некоторый набор $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)\in\mathbb{R}^n$. Тогда для любого $t\geqslant1$ найдутся целые числа $x,y_1,\dots,y_n$, удовлетворяющие неравенствам Таким образом, теорема 8 даёт оценку для порядка приближения нуля значениями линейной формы
$$
\begin{equation*}
L_\Theta(x_1,\dots,x_n,y)=\theta_1x_1+\cdots+\theta_nx_n-y
\end{equation*}
\notag
$$
на целых $x_1,\dots,x_n,y$, а теорема 9 даёт оценку для порядка одновременного приближения чисел $\theta_1,\dots,\theta_n$ рациональными с общим знаменателем. Так получаются первые оценки для диофантовых экспонент набора $\Theta$ и линейной формы $L_\Theta$, определения которых мы дадим в следующем пункте. Стоит отметить, что, так же как и теорема 1, теоремы 8 и 9 непосредственно следуют из теоремы Минковского о выпуклом теле в форме следствия 5, применённой к системам (9) и (10). 3.2. Регулярные и равномерные экспонентыОпределение 8. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых существует сколь угодно большое $t$ такое, что система неравенств имеет решение в целых $x,y_1,\dots,y_n$, называется регулярной диофантовой экспонентой набора $\Theta$ и обозначается $\omega(\Theta)$. Определение 9. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых существует сколь угодно большое $t$ такое, что система неравенств имеет решение в целых $x_1,\dots,x_n,y$, называется регулярной диофантовой экспонентой линейной формы $L_\Theta$ и обозначается $\omega(L_\Theta)$. Заменяя слова “существует сколь угодно большое $t$” на “при любом достаточно большом $t$”, получаем равномерные аналоги регулярных экспонент. Определение 10. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых при любом достаточно большом $t$ система неравенств (11) имеет решение в целых $x,y_1,\dots,y_n$, называется равномерной диофантовой экспонентой набора $\Theta$ и обозначается $\widehat\omega(\Theta)$. Определение 11. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых при любом достаточно большом $t$ система неравенств (12) имеет решение в целых $x_1,\dots,x_n,y$, называется равномерной диофантовой экспонентой линейной формы $L_\Theta$ и обозначается $\widehat\omega(L_\Theta)$. Для этих четырёх экспонент, как и было сказано, теоремы 8 и 9 дают “тривиальные” оценки
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)\geqslant\widehat\omega(\Theta)\geqslant\frac{1}{n}\,,\qquad \omega(L_\Theta)\geqslant\widehat\omega(L_\Theta)\geqslant n.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Неравенства эти точные в том смысле, что существуют $\Theta$, для которых каждое из неравенств может быть заменено на равенство. Например, Перроном в работе [25] было доказано следующее утверждение. Теорема 10 (О. Перрон, 1921 г.). Пусть $\theta_1,\dots,\theta_n$ – элементы вещественного алгебраического поля степени $n+1$, линейно независимые вместе с единицей над $\mathbb{Q}$. Тогда существует константа $c>0$, зависящая только от $\theta_1,\dots,\theta_n$, такая, что неравенство имеет не более чем конечное число решений в целых $x,y_1,\dots,y_n$. Следствие 9. Если $\Theta$ – как в теореме 10, то $\omega(\Theta)=\widehat\omega(\Theta)=1/n$. В частности, для $\Theta=(\theta,\theta^2,\dots,\theta^n)$, где $\theta$ – вещественное алгебраическое число степени $n+1$, также справедливо равенство $\omega(\Theta)=1/n$. В доказательстве теоремы 10 Перрон использует рассуждение, из которого следует импликация
$$
\begin{equation}
\omega(L_\Theta)=n\ \ \Longrightarrow\ \ \omega(\Theta)=\frac{1}{n}\,.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Обратная импликация
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)=\frac{1}{n}\ \ \Longrightarrow\ \ \omega(L_\Theta)=n
\end{equation}
\tag{15}
$$
следует из доказательства основного результата работы Хинчина [26] (см. также собрание его избранных трудов [27]). Это даёт нам аналог следствия 9. Следствие 10. Если $\Theta$ – как в теореме 10, то $\omega(L_\Theta)=\widehat\omega(L_\Theta)=n$. В отличие от случая $n=1$, равномерные экспоненты $\widehat\omega(\Theta)$, $\widehat\omega(L_\Theta)$ при $n\geqslant2$ не являются тривиальными и могут принимать конечные значения, строго большие $1/n$ и $n$ соответственно. Существование линейных форм $L_\Theta$ с равномерной экспонентой $\widehat\omega(L_\Theta)=+\infty$, но при этом отличных от нуля во всех ненулевых целых точках, а также существование таких $\Theta$, что $\widehat\omega(\Theta)=1$, было доказано Хинчиным в 1926 г. в одной из его наиболее знаменитых работ [28]. Такие наборы и линейные формы принадлежат несколько более широкому классу сингулярных систем Хинчина (см. работы Хинчина [29], [30], а также замечательный обзор Н. Г. Мощевитина [31]). При этом конечные значения, большие единицы, $\widehat\omega(\Theta)$ принимать не может по причине того же эффекта, из-за которого в случае $n=1$ равномерная диофантова экспонента становится тривиальной. Действительно, пусть $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)\in\mathbb{R}^n\setminus\mathbb{Q}^n$ и пусть задано $\varepsilon>0$. Тогда для иррационального $\theta_i$ в силу предложения 4 существуют сколь угодно большие $t$, при которых система
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} 0<x<t, \\ |\theta_ix-y_i|<\dfrac{1}{2t} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
не разрешима в целых $x$, $y_i$. Стало быть, если такое $t$ достаточно велико, система
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} 0<x\leqslant t, \\ \displaystyle\max_{1\leqslant i\leqslant n}|\theta_ix-y_i|\leqslant t^{-1-\varepsilon} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
также не разрешима в целых $x$, $y_1,\dots,y_n$. Таким образом, для любого $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)\in\mathbb{R}^n\setminus\mathbb{Q}^n$ справедливо неравенство 3.3. Принцип переносаНа самом деле Перрон и Хинчин доказали нечто более сильное, чем (14) и (15). Их конструкции имеют “локальный” характер и потому доказывают и равносильность
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)=\frac{1}{n}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \omega(L_\Theta)=n,
\end{equation}
\tag{17}
$$
и тот факт, что набор $\Theta$ и линейная форма $L_\Theta$ одновременно являются плохо приближаемыми. Определение 12. Набор $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ называется плохо приближаемым, если существует константа $c>0$, зависящая лишь от $\Theta$, такая, что для любых целых $x$, $y_1,\dots,y_n$, где $x\ne 0$, справедливо неравенство Определение 13. Линейная форма $L_\Theta(x_1,\dots,x_n,y)$ называется плохо приближаемой, если существует константа $c>0$, зависящая лишь от $\Theta$, такая, что для любых целых $x_1,\dots,x_n$, $y$ таких, что $x_1,\dots,x_n$ не равны одновременно нулю, справедливо неравенство Судя по всему, конструкции Перрона и Хинчина являются первыми примерами использования “двойственности” задачи совместных приближений и задачи приближения нуля значениями линейной формы; о сути этой двойственности мы подробно поговорим в п. 3.4. 3.3.1. Неравенства для регулярных экспонентПервым действительно выдающимся результатом, связывающим задачу совместных приближений и задачу приближения нуля значениями линейной формы, является теорема Хинчина, доказанная им в уже упоминавшейся работе [28]. В этой же работе он назвал обнаруженный им феномен принципом переноса. Как показал Ярник в работах [32], [33], неравенства (18) точны в том смысле, что для любого $\gamma\in[n,+\infty]$ найдутся два набора $\Theta'$ и $\Theta''$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\omega(L_{\Theta'})=\omega(L_{\Theta''})=\gamma,\qquad \frac{1+\gamma}{1+\omega(\Theta')}=n,\qquad \frac{1+\gamma^{-1}}{1+\omega(\Theta'')^{-1}}=\frac{1}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
3.3.2. Неравенства для равномерных экспонентМетод, при помощи которого доказываются неравенства (18), позволяет доказать точно такие же неравенства для равномерных экспонент $\widehat\omega(\Theta)$ и $\widehat\omega(L_\Theta)$:
$$
\begin{equation}
\frac{1+\widehat\omega(L_\Theta)}{1+\widehat\omega(\Theta)}\geqslant n,\qquad \frac{1+\widehat\omega(L_\Theta)^{-1}}{1+\widehat\omega(\Theta)^{-1}} \geqslant \frac{1}{n}\,.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Однако для этих экспонент справедливы и более сильные неравенства. При $n=2$ Ярником в работе [34] был обнаружен удивительный факт: в этом случае равномерные экспоненты связаны равенством. Теорема 12 (В. Ярник, 1938 г.). Если $n=2$, а элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то Позже, в 1948 г., в работе [35] Хинчин опубликовал довольно простое доказательство теоремы 12. Для $n\geqslant3$ в той же работе [34] Ярник наряду с (19) доказал для случая, когда $\theta_1,\dots,\theta_n$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, следующие неравенства:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \widehat\omega(\Theta)&\geqslant\frac{1}{n-1} \biggl(1-\frac{1}{\widehat\omega(L_\Theta)-2n+4}\biggr)&&\quad\text{при}\quad \widehat\omega(L_\Theta)>n(2n-3), \\ \widehat\omega(\Theta)&\leqslant 1-\frac{1}{\widehat\omega(L_\Theta)-n+2} &&\quad \text{при}\quad \widehat\omega(\Theta)>\frac{n-1}{n}\,. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{21}
$$
В 2012 г. неравенства (19), (21) были улучшены автором в работах [36], [37]. Теорема 13 (О. Н. Герман, 2012 г.). Для любого набора $\Theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)\in\mathbb{R}^n\setminus\mathbb{Q}^n$ выполнены неравенства Как показали Марна [38] и (независимо от него) Шмидт и Суммерер [39], неравенства (22) точны. А именно, они доказали, что для любого $\gamma\in[n,+\infty]$ и любого
$$
\begin{equation}
\delta\in\biggl[\frac{1-\gamma^{-1}}{n-1}\,,1-\frac{n-1}{\gamma}\biggr]
\end{equation}
\tag{23}
$$
найдётся континуум наборов $\Theta$, элементы которых линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, таких, что $\widehat\omega(L_{\Theta})=\gamma$, $\widehat\omega(\Theta)=\delta$ (отметим, что при $\gamma\geqslant n$ отрезок (23) корректно определён и непуст). 3.3.3. “Смешанные” неравенстваНесмотря на то, что неравенства (18) для регулярных экспонент точны, их всё-таки можно усилить, если привлечь равномерные экспоненты. Это было впервые сделано Лораном и Бюжо в работах [40], [41]). Они доказали следующее. Теорема 14 (М. Лоран, Я. Бюжо, 2009 г.). Если элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то Лоран [42] доказал, что при $n=2$ эти неравенства точны. Однако при $n\geqslant3$, как показал Шляйшиц [43], неравенства (24) уже не точны. И это не удивительно в свете следующих неравенств, полученных в 2013 г. Шмидтом и Суммерером [44] (см. также работы [45], [46], в которых предложены более короткие доказательства их теоремы). Теорема 15 (В. М. Шмидт, Л. Суммерер, 2013 г.). Если элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то Как легко видеть, из неравенств (25) и (22) мгновенно следуют неравенства (24). Таким образом, поскольку неравенства Хинчина следуют из неравенств Лорана–Бюжо, все известные на данный момент неравенства переноса, связывающие экспоненты $\omega(\Theta)$, $\widehat\omega(\Theta)$ с экспонентами $\omega(L_\Theta)$, $\widehat\omega(L_\Theta)$, являются следствиями неравенств (22) и (25) (и, конечно же, “тривиальных” неравенств (13) и (16)). 3.3.4. Неравенства между регулярной и равномерной экспонентамиИмеется ещё одна серия неравенств, которые формально не вполне корректно относить к неравенствам переноса, ибо они связывают регулярную и равномерную экспоненты в рамках одной из двух обсуждаемых задач – задачи совместных приближений и задачи приближения нуля значениями линейной формы. Тем не менее представляется весьма естественным поставить их в один ряд с неравенствами переноса, ибо сами неравенства переноса также позволяют доказывать достаточно нетривиальные неравенства такого типа (см. теорему 20 ниже). В 1950-х годах Ярник обнаружил, что если $\widehat\omega(\Theta)$ велико, то $\omega(\Theta)$ не может быть слишком мало. В работах [47], [48] он опубликовал следующие оценки для $n=2$. Теорема 16 (В. Ярник, 1954 г.). Если $n=2$, а элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то Эти неравенства точны. Их точность доказана Лораном [42]. В работе [48] Ярник получил неравенства и в высших размерностях. Он показал, что второе неравенство (26) имеет место при произвольном $n\geqslant2$ и что при выполнении условия $\omega(\Theta)>(5n^2)^{n-1}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\omega(L_\Theta)}{\widehat\omega(L_\Theta)}\geqslant \widehat\omega(L_\Theta)^{1/(n-1)}-3.
\end{equation*}
\notag
$$
В 2012 г. Мощевитин [49] получил оптимальный результат при $n=3$ для задачи совместных приближений. Теорема 17 (Н. Г. Мощевитин, 2012 г.). Если $n=3$, а элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то где $G_{\mathrm{sim}}(\Theta)$ – наибольший корень многочлена Годом позже Шмидт и Суммерер [50] доказали аналог теоремы 17 для задачи о линейной форме. Теорема 18 (В. М. Шмидт, Л. Суммерер, 2013 г.). Если $n=3$, а элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$, то где $G_{\mathrm{lin}}(\Theta)$ – наибольший корень многочлена В 2018 г. Марна и Мощевитин обобщили (26), (27) и (29) на случай произвольного $n\geqslant2$. Опубликован их результат был в 2020 г. в работе [51]. Теорема 19 (А. Марна, Н. Г. Мощевитин, 2020 г.). Пусть $n\geqslant2$, и пусть элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$. Тогда где $G_{\mathrm{sim}}(\Theta)$ и $G_{\mathrm{lin}}(\Theta)$ – наибольшие вещественные корни многочленов соответственно. В той же работе [51] Марна и Мощевитин показали, что их неравенства (31) точны. Годом позже несколько иное доказательство теоремы 19 было предложено в диссертации Рива-Кука [52] (см. также работы [53], [54]). Отметим, что использование одних и тех же обозначений $G_{\mathrm{sim}}$ и $G_{\mathrm{lin}}$ в теоремах 17, 18 и 19 корректно, ибо при $n=3$ первый (соответственно второй) многочлен в (32) равен первому (соответственно второму) многочлену в (28), умноженному на $x-1$ (соответственно на $\widehat\omega(L_\Theta)^{-1}(x-1)$). Нетрудно убедиться при помощи соотношения (20), что при $n=2$ правые части неравенств (26) совпадают и равняются
$$
\begin{equation*}
\frac{1-\widehat\omega(L_\Theta)^{-1}}{1-\widehat\omega(\Theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Любопытно, что из неравенств Шмидта–Суммерера (25) следует, что именно этим выражением можно оценить снизу отношения $\omega(\Theta)/\widehat\omega(\Theta)$ и $\omega(L_\Theta)/\widehat\omega(L_\Theta)$ при любом $n\geqslant2$. Это видно из следующего результата, полученного в работе [46]. Теорема 20 (О. Н. Герман, Н. Г. Мощевитин, 2022 г.). Предположим, что $n\geqslant2$, а элементы $\Theta$ линейно независимы вместе с единицей над $\mathbb{Q}$. Пусть $G_{\mathrm{sim}}(\Theta)$ и $G_{\mathrm{lin}}(\Theta)$ определены так же, как в теореме 19. Тогда Ещё одно интересное следствие теоремы 20 заключается в том, что из неравенств Шмидта–Суммерера (25) следует хотя бы одно из неравенств Марна–Мощевитина (31) – то, которое соответствует меньшему из чисел $G_{\mathrm{sim}}(\Theta)$ и $G_{\mathrm{lin}}(\Theta)$. 3.4. Идеи и методы3.4.1. Метод МалераЧерез 10 лет после опубликования Хинчиным теоремы 11, описывающей принцип переноса, Малер [55] нашёл для неё совсем простое доказательство, которое особенно ярко проиллюстрировало “двойственность” задачи совместных приближений и задачи приближения нуля значениями линейной формы. Сам Малер называет свой метод арифметическим (см. [55]) и, хотя и пользуется теоремой Минковского о выпуклом теле, пользуется ею в форме следствия 5, которое позволяет не вникать в геометрию. Изложим его рассуждение из работы [55], в которой он доказывает правое неравенство из (18), т. е. неравенство
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)\geqslant\frac{\omega(L_\Theta)}{(n-1)\omega(L_\Theta)+n}\,.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Для этого “вложим” задачу совместных приближений и задачу приближения нуля значениями линейной формы в одно и то же $(n+1)$-мерное евклидово пространство. Пусть $u_1,\dots,u_{n+1}$ – декартовы координаты в пространстве $\mathbb{R}^{n+1}$. Отождествим рассматривавшиеся выше переменные $x$, $y_1,\dots,y_n$ соответственно с $u_1,\dots,u_{n+1}$, а переменные $x_1,\dots,x_n$, $y$ – соответственно с $u_2,\dots,u_{n+1}$, $-u_1$. По аналогии с п. 2.4 обозначим через $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\Theta)$ одномерное подпространство, порождённое вектором $(1,\theta_1,\dots,\theta_n)$, и через $\mathcal{L}^\perp$ ортогональное дополнение к $\mathcal{L}$. Тогда $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^\perp$ совпадут с решениями уравнений
$$
\begin{equation*}
\max_{1\leqslant i\leqslant n}|\theta_ix-y_i|=0\quad\text{и}\quad L_\Theta(x_1,\dots,x_n,y)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
В предположении существования достаточно большого $t$, положительного $\gamma$ и ненулевой точки $\mathbf v=(v_1,\dots,v_{n+1})$ решётки $\mathbb{Z}^{n+1}$, удовлетворяющих неравенствам
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle\max_{1\leqslant i\leqslant n}|v_{i+1}|\leqslant t, \\ |v_1+\theta_1v_2+\cdots+\theta_nv_{n+1}|\leqslant t^{-\gamma}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Малер применяет теорему Минковского, точнее, следствие 5, к параллелепипеду, состоящему из точек $\mathbf u=(u_1,\dots,u_{n+1})$, удовлетворяющих неравенствам
$$
\begin{equation}
\begin{cases} |v_1u_1+\cdots+v_{n+1}u_{n+1}|<1, \\ \displaystyle\max_{1\leqslant i\leqslant n} |\theta_iu_1-u_{i+1}|\leqslant|v_1+\theta_1v_2+\cdots+\theta_nv_{n+1}|^{1/n}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{36}
$$
Определитель набора линейных форм, участвующих в (36), равен
$$
\begin{equation*}
\det\begin{pmatrix} v_1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_n \\ v_2 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ v_3 & 0 & -1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n+1} & 0 & 0 & \dots & -1 \end{pmatrix}=(-1)^n(v_1+\theta_1v_2+\cdots+\theta_nv_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
что по абсолютной величине равно произведению правых частей (36), стало быть, в силу следствия 5 система неравенств (36) имеет ненулевое целочисленное решение $\mathbf w=(w_1,\dots,w_{n+1})$. Из первого неравенства (36) и целочисленности $\mathbf v$ следует, что поэтому
$$
\begin{equation*}
w_1(v_1+\theta_1v_2+\cdots+\theta_nv_{n+1})= \sum_{i=1}^nv_{i+1}(\theta_iw_1-w_{i+1})
\end{equation*}
\notag
$$
и, стало быть, ввиду второго неравенства (36)
$$
\begin{equation}
|w_1|\leqslant n\max_{1\leqslant i\leqslant n}|v_{i+1}|\, |v_1+\theta_1v_2+\cdots+\theta_nv_{n+1}|^{1/n-1}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Из (35), (36), (38) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{cases} |w_1|\leqslant nt^{1-\gamma(1/n-1)}= nt^{((n-1)\gamma+n)/n}=t^{((n-1)\gamma+n)/n+(\log n)/(\log t)}, \\ \displaystyle\max_{1\leqslant i\leqslant n}|\theta_iw_1-w_{i+1}| \leqslant t^{-\gamma/n}=\bigl(t^{((n-1)\gamma+n)/n+ (\log n)/(\log t)}\bigr)^{-\gamma/((n-1)\gamma+n)+o(1)}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Отсюда (34) и следует. Ключевым местом метода Малера является соотношение (37), которое говорит о том, что искомая точка оказывается в ортогональном дополнении к прямой, порождённой вектором $\mathbf v$, точнее, в пересечении этого ортогонального дополнения с цилиндром, описываемым вторым неравенством системы (36), осью симметрии которого служит прямая, порождённая вектором $(1,\theta_1,\dots,\theta_n)$. Обобщая свой метод, Малер в работе [56] доказал знаменитую теорему о билинейной форме. Теорема 21 (К. Малер, 1937 г.). Пусть заданы два набора однородных линейных форм от $\mathbf u\in\mathbb R^d$: Как мы увидим в разделе 4, из этой теоремы несложно получить неравенства переноса и в наиболее общей задаче однородных линейных диофантовых приближений – когда необходимо одновременно приблизить нуль значениями нескольких линейных форм в целых точках. Точнее, мы воспользуемся её переформулировкой в терминах псевдоприсоединённых параллелепипедов (теорема 22 ниже). Сформулированная таким образом, теорема Малера принимает весьма компактный и удобный для применения вид. 3.4.2. Псевдоприсоединённые параллелепипеды и двойственные решёткиВ 1955 г. в работах [57], [58] Малер развил теорию присоединённых тел (см. также книгу Грубера и Леккеркеркера [59]). Эта теория оказалась весьма плодотворна в контексте задач, связанных с принципом переноса. Мы воспользуемся для переформулировки теоремы 21 конструкцией из книги Шмидта [11], которая является некоторым упрощением того, что Малер называет $(d-1)$-м присоединённым телом параллелепипеда. Определение 14. Пусть $\eta_1,\dots,\eta_d$ – положительные вещественные числа. Рассмотрим параллелепипед Параллелепипед называется $(d-1)$-м псевдоприсоединённым параллелепипедом к параллелепипеду $\mathcal{P}$. Мы будем часто называть $\mathcal{P}^\ast$ просто псевдоприсоединённым к $\mathcal{P}$ параллелепипедом, опуская “$(d-1)$-м”. Напомним также определение двойственной решётки. Определение 15. Пусть $\Lambda$ – решётка в $\mathbb{R}^d$ полного ранга. Решёткой, двойственной к $\Lambda$, называется решётка где $\langle \,\cdot\,{,}\,\cdot\,\rangle$ обозначает скалярное произведение. Отметим, что в случае решёток отношение двойственности симметрично, т. е. Пусть $F$ и $G$ – матрицы из теоремы 21. Рассмотрим решётки $F\mathbb{Z}^d$ и $G\mathbb{Z}^d$. Ввиду определения 15 целочисленность коэффициентов формы (40) в точности означает, что каждая из этих решёток является подрешёткой решётки, двойственной другой. Положим $\Lambda=G\mathbb{Z}^d$. Тогда $F\mathbb{Z}^d\subseteq\Lambda^\ast$. Пусть заданы положительные $\lambda_1,\dots,\lambda_d$, и пусть $\lambda$ определяется равенством (43). Положим $\eta_i=\lambda/\lambda_i$, $i=1,\dots,d$, и рассмотрим параллелепипед $\mathcal{P}$, определяемый соотношением (44). Тогда
$$
\begin{equation}
\frac1{\eta_i}\prod_{j=1}^d\eta_j= \frac{\lambda_i\lambda^{d-1}}{\prod_{j=1}^d\lambda_j}=\lambda_i,\qquad i=1,\dots,d,
\end{equation}
\tag{45}
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}^\ast=\bigl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \bigm| |z_i|\leqslant\lambda_i,\ i=1,\dots,d \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, теорема 21 фактически утверждает существование в параллелепипеде $(d-1)\mathcal{P}$ ненулевой точки унимодулярной решётки $\Lambda$ при условии, что параллелепипед $\mathcal{P}^\ast$ содержит ненулевую точку какой-то подрешётки решётки $\Lambda^\ast$. Ясно, что в такой формулировке слова “какой-то подрешётки” можно опустить. Получаем следующую переформулировку теоремы 21. Теорема 22. Пусть в $\mathbb{R}^d$ заданы решётка $\Lambda$ полного ранга с определителем $1$ и параллелепипед $\mathcal{P}$ с центром в точке начала координат и гранями, параллельными плоскостям координат. Тогда Отметим, что, поскольку $(\Lambda^\ast)^\ast=\Lambda$, в формулировке теоремы 22 решётки $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$ можно менять местами. В таком виде теорема Малера допускает весьма наглядное чисто геометрическое доказательство. Его можно описать следующим образом. Предположим, что $\mathcal{P}^\ast$ содержит ненулевую точку $\mathbf v$ решётки $\Lambda^\ast$. Можно считать, что точка $\mathbf v$ примитивна. Рассмотрим $(\mathbb{R}\mathbf v)^\perp$ – ортогональное дополнение к одномерному подпространству, порождённому вектором $\mathbf v$, и сечение $\mathcal{S}=\mathcal{P}\cap(\mathbb{R}\mathbf v)^\perp$ (см. рис. 7). Множество $\Gamma=\Lambda\cap(\mathbb{R}\mathbf v)^\perp$ является решёткой ранга $d-1$ с определителем, равным $|\mathbf v|_2$, где $|\,\cdot\,|_2$ обозначает евклидову норму. Следовательно, если подобрать константу $c$ таким образом, чтобы $(d-1)$-мерный объём множества $c\mathcal{S}$ был не меньше $2^{d-1}|\mathbf v|_2$, то по теореме Минковского о выпуклом теле в $c\mathcal{S}$ найдётся ненулевая точка решётки $\Gamma$ и, стало быть, в $c\mathcal{P}$ найдётся ненулевая точка решётки $\Lambda$. Для нахождения подходящей константы $c$ удобно воспользоваться теоремой Ваалера [60] о центральных сечениях куба. Рассмотрим куб $\mathcal{B}=[-1,1]^d$. По теореме Ваалера объём любого центрального $(d-1)$-мерного сечения куба $\mathcal{B}$ не меньше, чем $2^{d-1}$. Рассмотрим диагональные операторы
$$
\begin{equation*}
A=\operatorname{diag}(\eta_1^{-1},\dots,\eta_d^{-1})\quad\text{и}\quad C=\operatorname{diag}(\lambda_1^{-1},\dots,\lambda_d^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда В силу (45) матрица $C$ совпадает с матрицей алгебраических дополнений матрицы $A$, т. е. $C=(\det A)(A^\ast)^{-1}$. Стало быть, поскольку $\mathcal{S}\perp\mathbf v$, справедливы соотношения
$$
\begin{equation*}
\frac{\operatorname{vol}\mathcal{S}}{|\mathbf v|_2}= (\det A)^{-1}\frac{\operatorname{vol}(A\mathcal{S})} {|(A^\ast)^{-1}\mathbf v|_2}= \frac{\operatorname{vol}(A\mathcal{S})}{|C\mathbf v|_2}\geqslant \frac{2^{d-1}}{\sqrt d}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, выбрав $c=\bigl(\sqrt d\,\bigr)^{1/(d-1)}$, получим $\operatorname{vol}(c\mathcal{S})\geqslant2^{d-1}|\mathbf v|_2$. Остаётся, как было сказано выше, применить к $c\mathcal{S}$ и решётке $\Gamma$ теорему Минковского о выпуклом теле. Приведённое рассуждение доказывает несколько более сильное утверждение, чем теорема 22, а именно импликацию
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}^\ast\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ c\mathcal{P}\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}
\end{equation}
\tag{46}
$$
с константой $c=\bigl(\sqrt d\,\bigr)^{1/(d-1)}$, меньшей, чем $d-1$, и, более того, стремящейся к 1 при $d\to\infty$. Стоит отметить, однако, что комбинация теоремы Малера о последовательных минимумах, доказанной им в работе [61], с теоремой Минковского о последовательных минимумах (обе теоремы можно найти в книге Шмидта [11]) даёт усиление теоремы 21 с константой $c^2$. Подробно это объяснено в работе [62]. Там же доказываются и некоторые дальнейшие усиления теоремы 21. 3.4.3. Два двупараметрических семейства параллелепипедовОбратимся ещё раз к теореме 11 Хинчина, на этот раз в свете теоремы 22. Рассмотрим решётку
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 & \dots &0 \\ -\theta_1 &1 &0 & \dots &0 \\ -\theta_2 &0 &1 & \dots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\theta_n &0 &0 & \dots &1 \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда двойственная решётка имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Lambda^\ast=\begin{pmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_n \\ 0 &1 &0 & \dots &0 \\ 0 &0 &1 & \dots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \dots &1 \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого набора положительных $t$, $\gamma$, $s$, $\delta$ определим параллелепипеды
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(t,\gamma) =\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_{n+1}) \in\mathbb{R}^{n+1} \biggm| \begin{aligned} \, &|z_1|\leqslant t, \\ &|z_i|\leqslant t^{-\gamma},\quad i=2,\dots,n+1 \end{aligned} \biggr\},
\end{equation}
\tag{47}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta) =\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} \biggm| \begin{aligned} \, &|z_1|\leqslant s^{-\delta}, \\ &|z_i|\leqslant s,\quad i=2,\dots,n+1 \end{aligned} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega(\Theta)&=\sup\Bigl\{\gamma\geqslant\frac{1}{n} \Bigm| \forall\,t_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,t>t_0\colon \mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}\Bigr\}, \\ \omega(L_\Theta)&=\sup\{\delta\geqslant n\mid \forall\,s_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,s>s_0\colon\mathcal{Q}(s,\delta)\cap \Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Каждый параллелепипед из семейства (48) является псевдоприсоединённым для некоторого параллелепипеда из семейства (47), и наоборот. Действительно, при
$$
\begin{equation}
t=s^{((n-1)\delta+n)/n},\qquad \gamma=\frac{\delta}{(n-1)\delta+n}
\end{equation}
\tag{50}
$$
справедливо равенство $\mathcal{Q}(s,\delta)=\mathcal{P}(t,\gamma)^\ast$. Обратно, при справедливо равенство $\mathcal{P}(t,\gamma)=\mathcal{Q}(s,\delta)^\ast$. Применим теорему Малера в обличье теоремы 22. При соответствии (50) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду (49) получаем импликацию
$$
\begin{equation*}
\omega(L_\Theta)\geqslant\delta\ \ \implies\ \ \omega(\Theta)\geqslant\gamma=\frac{\delta}{(n-1)\delta+n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)\geqslant\frac{\omega(L_\Theta)}{(n-1)\omega(L_\Theta)+n}\,.
\end{equation}
\tag{52}
$$
При соответствии (51) имеем
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, опять же ввиду (49), следует, что
$$
\begin{equation*}
\omega(\Theta)\geqslant\gamma\ \ \implies\ \ \omega(L_\Theta)\geqslant\delta=n\gamma+n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, Как легко убедиться, (52), (53) суть не что иное, как правое и левое неравенства (18) соответственно. Теорема Хинчина полностью доказана. 3.4.4. Равномерные экспоненты и аналог теоремы МалераДоказательство теоремы 22, описанное в п. 3.4.2, базируется на теореме Минковского о выпуклом теле, теореме Ваалера о центральных сечениях куба и том факте, что для любого примитивного вектора $\mathbf v$ унимодулярной решётки $\Lambda$ множество $\Lambda^\ast\cap(\mathbb{R}\mathbf v)^\perp$ является решёткой ранга $d-1$ с определителем, равным евклидовой норме $\mathbf v$. Последний факт можно переформулировать как равенство определителей решёток $\Lambda\cap(\mathbb{R}\mathbf v)$ и $\Lambda^\ast\cap(\mathbb{R}\mathbf v)^\perp$ рангов $1$ и $d-1$ соответственно. Справедливо более общее утверждение, весьма полезное для работы с равномерными экспонентами. Предложение 5. Пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$, $\det\Lambda=1$. Пусть $\mathcal{L}$ – $k$-мерное подпространство $\mathbb{R}^d$, и пусть решётка $\Gamma=\mathcal{L}\cap\Lambda$ имеет ранг $k$. Рассмотрим ортогональное дополнение $\mathcal{L}^\perp$ и обозначим $\Gamma^\perp=\mathcal{L}^\perp\cap\Lambda^\ast$. Тогда $\Gamma^\perp$ – решётка ранга $d-k$ и Это утверждение довольно известно, его доказательство можно найти, например, в [63] или [36]. Специфика равномерных экспонент требует работы с подрешётками ранга $2$, поэтому предложение 5 используется с $k=2$. Соответственно, при работе с двумерными и $(d-2)$-мерными подпространствами естественно вместо $(d-1)$-х псевдоприсоединённых параллелепипедов использовать $(d-2)$-е. Пусть $\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_d$ – стандартный базис $\mathbb{R}^d$. Поставим в соответствие каждому поливектору $\mathbf Z\in\bigwedge^2\mathbb{R}^d$ его представление
$$
\begin{equation*}
\mathbf Z=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant d}Z_{ij}\, \mathbf e_i\wedge\mathbf e_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 16. Пусть $\eta_1,\dots,\eta_d$ – положительные вещественные числа. Рассмотрим параллелепипед Параллелепипед называется $(d-2)$-м псевдоприсоединённым параллелепипедом к параллелепипеду $\mathcal{P}$. Если в $\mathbb{R}^d$ заданы решётка $\Lambda$ полного ранга и двойственная к ней решётка $\Lambda^\ast$, будем обозначать через $\Lambda^{\circledast}$ множество всех разложимых элементов решётки $\bigwedge^2\Lambda^\ast$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\Lambda^{\circledast}=\{\mathbf z_1\wedge\mathbf z_2\mid \mathbf z_1,\mathbf z_2\in\Lambda^\ast\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая теорема, доказанная в [64], является аналогом теоремы 22. Теорема 23. Пусть в $\mathbb{R}^d$ заданы решётка $\Lambda$ полного ранга с определителем $1$ и параллелепипед $\mathcal{P}$ с центром в точке начала координат и гранями, параллельными плоскостям координат. Тогда где Доказательство теоремы 23 весьма похоже на описанное в п. 3.4.2 доказательство теоремы 22. Оно также базируется на трёх фактах. Первый – всё та же теорема Минковского о выпуклом теле. Второй – теорема Ваалера о центральных сечениях куба, применяемая на этот раз к $(d-2)$-мерным сечениям. Третьим ингредиентом является предложение 5 с $k=2$. Теорема 23 является ключевым инструментом для доказательства теоремы 13 о равномерных экспонентах. Она применяется в рамках параметрической конструкции, которую удобно описывать в терминах “узлов” и “листьев”. 3.4.5. Семейства “узлов”, “антиузлов” и “листьев”Опишем конструкцию “узлов” и “листьев” в виде, адаптированном для доказательства правого неравенства из (22), т. е. неравенства
$$
\begin{equation}
\widehat\omega(\Theta)\geqslant \frac{1-\widehat\omega(L_\Theta)^{-1}}{n-1}\,.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Будем вновь использовать обозначения (47) и (48). Зафиксируем произвольные $h,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, удовлетворяющие неравенствам и положим Каждому $r$ из промежутка $h\leqslant r\leqslant H$ поставим в соответствие параллелепипед
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}_r=\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d) \in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|z_1|\leqslant (hH/r)^{-\alpha} \\ &|z_i|\leqslant r,\ i=2,\dots,n+1 \end{aligned} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Нетрудно заметить, что $\mathcal{Q}_r$ принадлежит семейству (48):
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_r=\mathcal{Q}\biggl(r,\alpha\log_r\frac{hH}{r}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующие три семейства параллелепипедов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathfrak S&=\mathfrak S(h,\alpha,\beta)= \{\mathcal{Q}_r\mid h\leqslant r\leqslant\sqrt{hH}\}, \\ \mathfrak A&=\mathfrak A(h,\alpha,\beta)= \{\mathcal{Q}_r\mid \sqrt{hH}\leqslant r\leqslant H\}, \\ \mathfrak L&=\mathfrak L(h,\alpha,\beta)= \{\mathcal{Q}(r,\alpha) \mid h\leqslant r\leqslant H\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем называть семейство $\mathfrak S$ “стеблем”, $\mathfrak A$ – “антистеблем”, $\mathfrak L$ – “листьями”. Элементы $\mathfrak S$ будем называть “узлами”, элементы $\mathfrak A$ – “антиузлами”, а элементы $\mathfrak L$ – “листьями”. Будем говорить, что “лист” $\mathcal{Q}(r,\alpha)$ растёт из “узла” или “антиузла” $\mathcal{Q}_{r'}$, если “Узел” $\mathcal{Q}_h$ будем называть корневым. “Узлы” и “листья” обладают следующими свойствами:
Эти свойства отражены на рис. 8, где $u$ и $v$ обозначают $\max(|z_2|,\dots,|z_{n+1}|)$ и $|z_1|$ соответственно. Описанная конструкция, как было сказано, адаптирована для доказательства неравенства (54) – правого неравенства из (22). Тем не менее рис. 8 можно без изменений использовать как для доказательства левого неравенства из (22), так и в более общих задачах – в задаче приближения нуля значениями нескольких линейных форм (раздел 4) и в аналогичной задаче с весами (раздел 6). 3.4.6. Схема доказательства неравенств переноса для равномерных экспонентПокажем, как при помощи описанной параметрической конструкции и теоремы 23 доказать правое неравенство из (22). По аналогии с (49) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat\omega(\Theta) & =\sup\biggl\{ \gamma\geqslant\frac{1}{n} \Bigm| \exists\,t_0\in\mathbb{R}\colon \forall\,t>t_0\ \ \mathcal{P}(t,\gamma)\cap \Lambda\ne \{\mathbf 0\}\biggr\}, \\ \widehat\omega(L_\Theta) & =\sup\bigl\{\delta\geqslant n\mid \exists\,s_0\in\mathbb{R}\colon \forall\,s>s_0\ \ \mathcal{Q}(s,\delta)\cap \Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Пусть заданы $s>1$ и $\delta\geqslant n$. Так же, как в (50), положим
$$
\begin{equation*}
t=s^{((n-1)\delta+n)/n},\qquad \gamma=\frac{\delta}{(n-1)\delta+n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим также
$$
\begin{equation*}
h=s,\qquad \beta=\delta,\qquad \alpha=\frac{(n-1)\delta+n}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\gamma$ и $\alpha$ при таком выборе параметров будут связаны соотношением Тогда $\mathcal{Q}(s,\delta)$ является корневым “узлом”. Если он содержит ненулевую точку решётки $\Lambda^\ast$, то ввиду теоремы 22 (точнее, ввиду её усиленного варианта (46)) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ c_1\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\},
\end{equation}
\tag{58}
$$
где $c_1=d^{1/(2(d-1))}$. Если же $\mathcal{Q}(s,\delta)$ не содержит ненулевых точек $\Lambda^\ast$, предположим, что каждый “лист” $\mathcal{Q}(r,\alpha)$ из $\mathfrak L$ содержит ненулевые точки решётки $\Lambda^\ast$, и рассмотрим “лист” $\mathcal{Q}(r_0,\alpha)$, существование которого гарантируется свойством (labv) из предыдущего пункта. Тогда в решётке $\Lambda^\ast$ найдутся неколлинеарные точки $\mathbf v_1$ и $\mathbf v_2$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\mathbf v_1\in\mathcal{Q}_{r_0}, \qquad \mathbf v_2\in\mathcal{Q}_{hH/r_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметры параллелепипедов $\mathcal{Q}_{r_0}$ и $\mathcal{Q}_{hH/r_0}$ известны, стало быть, можно оценить сверху координаты поливектора
$$
\begin{equation*}
\mathbf v_1\wedge\mathbf v_2= \sum_{1\leqslant i<j\leqslant n+1}V_{ij}\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Подробности вычислений можно найти в работе [64]. Оценки в итоге приводят к ключевому соотношению
$$
\begin{equation*}
\mathbf v_1\wedge\mathbf v_2\in2\mathcal{P}(t,\gamma)^{\circledast},
\end{equation*}
\notag
$$
что позволяет применить теорему 23. Получаем следующую цепочку:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathcal{Q}(r,\alpha)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\text{ для каждого } r\in[h,H] \\ &\qquad\implies\ \ 2\mathcal{P}(t,\gamma)^{\circledast}\cap \Lambda^{\circledast}\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ c_2\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
где $c_2=\bigl(2d(d-1)\bigr)^{1/(2(d-2))}$. Таким образом, если $\mathcal{Q}(s,\delta)$ содержит ненулевую точку решётки $\Lambda^\ast$, то благодаря (58) в $c_1\mathcal{P}(t,\gamma)$ найдётся ненулевая точка решётки $\Lambda$. Если же в $\mathcal{Q}(s,\delta)$ ненулевых точек решётки $\Lambda^\ast$ нет, но в каждом $\mathcal{Q}(r,\alpha)$ из $\mathfrak L$ они есть, то благодаря (59) ненулевая точка решётки $\Lambda$ найдётся в $c_2\mathcal{P}(t,\gamma)$. Учитывая (57), получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(L_\Theta)\geqslant\alpha\ \ \implies\ \ \widehat\omega(\Theta)\geqslant\gamma=\frac{1-\alpha^{-1}}{n-1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta)\geqslant\frac{1-\widehat\omega(L_\Theta)^{-1}}{n-1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так доказывается правое неравенство из (22). Чтобы доказать левое неравенство из (22), необходимо рассуждать в “обратную” сторону. Вместо $\mathcal{Q}_r$ нужно рассматривать параллелепипеды
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}_r=\biggl\{\,\mathbf z=(z_1,\dots,z_d) \in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|z_1|\leqslant r \\ &|z_i|\leqslant (hH/r)^{-\alpha},\ \ i=2,\dots,n+1 \end{aligned} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
в определении семейств $\mathfrak S$, $\mathfrak A$ и $\mathfrak L$ нужно $\mathcal{Q}$ заменить на $\mathcal{P}$, а на рис. 8 под $u$ и $v$ следует понимать $|z_1|$ и $\max(|z_2|,\dots,|z_{n+1}|)$ соответственно (в предыдущем пункте было наоборот). Заметим, что сам рис. 8 при этом сохраняется. Далее, при фиксированных $t>1$ и $\gamma\geqslant1/n$ нужно положить, как и в (51), а также
$$
\begin{equation*}
h=t,\qquad \beta=\gamma,\qquad \alpha=\frac{n\gamma}{n\gamma+n-1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе параметры $\delta$ и $\alpha$ будут связаны соотношением Дальнейшие рассуждения абсолютно аналогичны приведённым выше. Они приводят к импликации
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta)\geqslant\alpha\ \ \implies\ \ \widehat\omega(L_\Theta)\geqslant\delta=\frac{n-1}{1-\alpha}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(L_\Theta)\geqslant \frac{n-1}{1-\widehat\omega(\Theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так завершается доказательство левого неравенства из (22) и, стало быть, всей теоремы 13. 3.4.7. Лемма о пустом цилиндре и “смешанные” неравенстваНеравенства (22) дают оценки равномерных экспонент снизу. Для получения оценок сверху (например, как в теореме 15 Шмидта–Суммерера) достаточно эффективным оказывается следующее простое утверждение, доказанное в работе [46], которое уместно назвать “леммой о пустом цилиндре”. Как и прежде, будем обозначать через $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\Theta)$ одномерное подпространство, порождённое вектором $(1,\theta_1,\dots,\theta_n)$, и через $\mathcal{L}^\perp$ ортогональное дополнение к $\mathcal{L}$. Для $\mathbf u\in\mathbb{R}^{n+1}$ будем обозначать через $r(\mathbf u)$ евклидово расстояние от $\mathbf u$ до $\mathcal{L}$, а через $h(\mathbf u)$ – евклидово расстояние от $\mathbf u$ до $\mathcal{L}^\perp$. Лемма 2 (лемма о пустом цилиндре). Пусть $t$, $\alpha$, $\beta$ – произвольные положительные числа такие, что выполнено неравенство $t^{\beta-\alpha}\geqslant2$ (или, что то же самое, неравенство $t^{-\alpha}-t^{-\beta}\geqslant t^{-\beta}$). Пусть $\mathbf v\in\mathbb{Z}^{n+1}$ удовлетворяет соотношениям Рассмотрим полуоткрытый цилиндр Тогда $\mathcal{C}\cap\mathbb{Z}^{n+1}=\varnothing$. Геометрический смысл этого утверждения заключается в том, что цилиндр $\mathcal{C}$ находится в открытом “слое” между плоскостями, задаваемыми уравнениями $\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle=0$ и $\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle=1$, где $\langle\,\cdot\,,\cdot\,\rangle$, как и прежде, обозначает скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n+1}$. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изображённое на рис. 9 двумерное подпространство $\pi$, натянутое на $\mathcal{L}$ и $\mathbf v$. Пусть $\mathbf w\in\mathcal{C}$, и пусть $\mathbf w'$ – ортогональная проекция $\mathbf w$ на $\pi$. В плоскости $\pi$ функционалы $h(\,\cdot\,)$ и $r(\,\cdot\,)$ можно отождествить с модулями координат точек относительно координатных осей $\mathcal{L}$ и $\mathcal{L}^\perp\cap\pi$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf v,\mathbf w\rangle= \langle\mathbf v,\mathbf w'\rangle> \begin{pmatrix} t^{\alpha-1-\beta} & t^\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -t \\ t^{-\beta} \end{pmatrix}=0
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf v,\mathbf w\rangle= \langle\mathbf v,\mathbf w'\rangle< \begin{pmatrix} t^{\alpha-1-\beta} & t^\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ t^{-\alpha}-t^{-\beta} \end{pmatrix}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $0<\langle\mathbf v,\mathbf w\rangle<1$ и, стало быть, $\mathbf w$ не может быть целой точкой. Лемма доказана. Опишем схему доказательства теоремы 15 Шмидта–Суммерера при помощи леммы 2. Некоторые детали для простоты изложения мы опустим. Их можно найти в работе [46]. Рассмотрим произвольную ненулевую точку $\mathbf v\in\mathbb{Z}^{n+1}$ и определим $t=t(\mathbf v)$ как наименьшее положительное число такое, что цилиндр
$$
\begin{equation}
\mathcal{C}_{\mathbf v}=\biggl\{\mathbf u\in\mathbb{R}^{n+1}\Bigm| r(\mathbf u)\leqslant t,\ h(\mathbf u)\leqslant t\, \frac{r(\mathbf v)}{h(\mathbf v)}\biggr\}
\end{equation}
\tag{62}
$$
содержит ненулевую точку решётки $\mathbb{Z}^{n+1}$. Геометрический смысл условий, задающих цилиндр $\mathcal{C}_{\mathbf v}$, в том, что каждое из оснований этого цилиндра имеет ровно одну общую точку с плоскостью $\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle=0$. Определим также $\gamma=\gamma(\mathbf v)$, $\alpha=\alpha(\mathbf v)$ и $\beta=\beta(\mathbf v)$ соотношениями
$$
\begin{equation}
r(\mathbf v)=h(\mathbf v)^{-\gamma},\qquad h(\mathbf v)=t^\alpha,\qquad \alpha=\frac{1+\beta}{1+\gamma}\,.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Нетрудно убедиться, что при таком выборе параметров точка $\mathbf v$ удовлетворяет условию (60) и справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}_{\mathbf v}=\{\mathbf u\in\mathbb{R}^{n+1}\mid r(\mathbf u)\leqslant t,\ h(\mathbf u)\leqslant t^{-\beta}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при выполнении условия цилиндр $\mathcal{C}_{\mathbf v}$ можно дополнить непустыми цилиндрами $\mathcal{C}$ и $-\mathcal{C}$, определяемыми равенством (61), которые по лемме 2 не содержат целых точек (см. рис. 10). Таким образом, каждой точке $\mathbf v$, удовлетворяющей (64), мы поставили в соответствие цилиндр $\mathcal{C}_{\mathbf v}$, на границе которого есть целые точки, и цилиндр
$$
\begin{equation*}
\mathcal{C}'_{\mathbf v}=\mathcal{C}_{\mathbf v}\cup \mathcal{C}\cup(-\mathcal{C}),
\end{equation*}
\notag
$$
во внутренности которого ненулевых целых точек нет. При этом условие (64) гарантированно выполняется, если $h(\mathbf v_k)r(\mathbf v_k)^n$ достаточно мало. Причина этого в том, что решётка, являющаяся ортогональной проекцией решётки $\mathbb{Z}^{n+1}\cap(\mathbb{R}\mathbf v)^{\perp}$ на $\mathcal{L}^\perp$, имеет определитель, равный в точности $h(\mathbf v_k)$. Отсюда по теореме Минковского о выпуклом теле следует, что $t^n\leqslant2^nh(\mathbf v_k)/B$, где $B$ равно объёму $n$-мерного евклидова шара радиуса $1$. Стало быть, при $h(\mathbf v_k)r(\mathbf v_k)^n\leqslant4^{-n}B$ будут справедливы соотношения $t^n\leqslant2^{-n}r(\mathbf v_k)^{-n}=(2t^{\alpha-1-\beta})^{-n}$, т. е. $t^{\beta-\alpha}\geqslant2$, что равносильно (64). Геометрически это означает, что цилиндр $\mathcal{C}_{\mathbf v}$ “не дотягивает” до плоскости $\langle\mathbf v,\mathbf u\rangle=1$. Чтобы доказать левое неравенство (25), рассмотрим последовательность точек $\mathbf v_k$ такую, что
$$
\begin{equation*}
h(\mathbf v_k)\to\infty \quad\text{и}\quad \gamma_k=\gamma(\mathbf v_k)\to\omega(\Theta) \quad\text{при}\ k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда если $\omega(\Theta)>1/n$, то величина $h(\mathbf v_k)r(\mathbf v_k)^n$ будет мала при больших $k$, т. е. условие (64) будет выполняться. Положим $\alpha_k=\alpha(\mathbf v)$ и $\beta_k=\beta(\mathbf v)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\omega(L_\Theta)\geqslant\limsup_{k\to\infty}\beta_k, \qquad \widehat\omega(L_\Theta)\leqslant\liminf_{k\to\infty}\alpha_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (63), получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(L_\Theta)\leqslant \liminf_{k\to\infty}\frac{1+\beta_k}{1+\gamma_k}\leqslant \frac{1+\limsup_{k\to\infty}\beta_k}{1+\lim_{k\to\infty}\gamma_k}\leqslant \frac{1+\omega(L_\Theta)}{1+\omega(\Theta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Левое неравенство (25) доказано. Чтобы доказать правое неравенство (25), рассмотрим последовательность точек $\mathbf v_k$ такую, что
$$
\begin{equation*}
h(\mathbf v_k)\to0 \quad\text{и}\quad \gamma_k=\gamma(\mathbf v_k)\to\omega(L_\Theta)^{-1}\quad\text{при}\ k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда если $\omega(L_\Theta)>n$, то величина $h(\mathbf v_k)r(\mathbf v_k)^n$ будет мала при больших $k$, т. е. условие (64) опять будет выполняться. Положим $\alpha_k=\alpha(\mathbf v)$ и $\beta_k=\beta(\mathbf v)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\omega(\Theta)\geqslant\limsup_{k\to\infty}\beta_k^{-1}, \qquad \widehat\omega(\Theta)\leqslant\liminf_{k\to\infty}\alpha_k^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (63), получаем
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta)\leqslant \liminf_{k\to\infty}\frac{1+\gamma_k}{1+\beta_k}\leqslant \frac{1+\lim_{k\to\infty}\gamma_k}{1+\liminf_{k\to\infty}\beta_k}\leqslant \frac{1+\omega(L_\Theta)^{-1}}{1+\omega(\Theta)^{-1}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Правое неравенство (25) также доказано. 3.4.8. Параметрическая геометрия чиселРазвивая идеи, предложенные Шмидтом в работе [65], Шмидт и Суммерер опубликовали в 2009 г. концептуальную работу [66], в которой предложили новую точку зрения на рассматриваемые нами задачи. Они назвали свой подход “параметрической геометрией чисел”. В наиболее общей постановке параметрическую геометрию чисел можно описать следующим образом. Пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$ с определителем $1$. Рассмотрим куб $\mathcal{B}=[-1,1]^d$. Определим пространство параметров как
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}=\{ \tau=(\tau_1,\dots,\tau_d)\in\mathbb{R}^d\mid \tau_1+\cdots+\tau_d=0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $ \tau\in\mathcal{T}$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{ \tau}=\operatorname{diag}(e^{\tau_1},\dots, e^{\tau_d})\,\mathcal{B}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mu_k(\mathcal{B}_{ \tau},\Lambda)$, $k=1,\dots,d$, обозначает $k$-й последовательный минимум параллелепипеда $\mathcal{B}_{ \tau}$ относительно решётки $\Lambda$, т. е. наименьшее положительное $\mu$ такое, что параллелепипед $\mu\mathcal{B}_{ \tau}$ содержит не менее $k$ линейно независимых векторов решётки $\Lambda$. Наконец, для каждого $k=1,\dots,d$ определим функции
$$
\begin{equation*}
L_k( \tau)=L_k(\Lambda, \tau)= \log\bigl(\mu_k(\mathcal{B}_{ \tau},\Lambda)\bigr),\qquad S_k( \tau)=S_k(\Lambda, \tau)= \sum_{1\leqslant j\leqslant k}L_j(\Lambda, \tau).
\end{equation*}
\notag
$$
Многие задачи теории диофантовых приближений могут быть сформулированы как вопросы об асимптотическом поведении функций $L_k( \tau)$ и $S_k( \tau)$. Для каждой задачи необходимо выбрать подходящим образом решётку $\Lambda$ и подмножество пространства параметров $\mathcal{T}$, относительно которого нужно исследовать асимптотику этих функций. В случае задач, рассматриваемых в данном разделе, $ \tau$ нужно устремлять к бесконечности по некоторым одномерным подпространствам пространства $\mathcal{T}$. Пусть $\mathfrak{T}$ – путь в $\mathcal{T}$, задаваемый отображением $s\mapsto \tau(s)$, $s\in[0,\infty)$. Для наших целей можно считать, что это отображение линейно. Определение 17. Пусть заданы решётка $\Lambda$ и путь $\mathfrak{T}$. Пусть $k\in\{1,\dots,d\}$. Величины называются соответственно $k$-й нижней и $k$-й верхней экспонентами Шмидта–Суммерера первого типа. Определение 18. Пусть заданы решётка $\Lambda$ и путь $\mathfrak{T}$. Пусть $k\in\{1,\dots,d\}$. Величины называются соответственно $k$-й нижней и $k$-й верхней экспонентами Шмидта–Суммерера второго типа. Для задачи совместных приближений и задачи приближения нуля значениями линейной формы выбор решёток и путей можно осуществить следующим образом, полагая $d=n+1$. Как и в п. 3.4.3, рассмотрим решётки
$$
\begin{equation}
\Lambda=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 & \dots &0 \\ -\theta_1 &1 &0 & \dots &0 \\ -\theta_2 &0 &1 & \dots &0 \\ \phantom{-} \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\theta_n &0 &0 & \dots &1 \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{n+1},\qquad \Lambda^\ast=\begin{pmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_n \\ 0 &1 &0 & \dots &0 \\ 0 &0 &1 & \dots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 &0 &0 & \dots &1 \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{n+1}.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Зададим пути $\mathfrak{T}$ и $\mathfrak{T}^\ast$ отображениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s\mapsto \tau(s)=\bigl(\tau_1(s),\dots,\tau_{n+1}(s)\bigr), \\ \tau_1(s)=s,\quad \tau_2(s)=\cdots=\tau_{n+1}(s)=-\frac{s}{n}\,, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{66}
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s\mapsto \tau^\ast(s)= \bigl(\tau^\ast_1(s),\dots,\tau^\ast_{n+1}(s)\bigr), \\ \tau^\ast_1(s)=-ns,\quad \tau^\ast_2(s)=\cdots=\tau^\ast_{n+1}(s)=s, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Тогда $ \tau^\ast(s)=-n \tau(s)$, т. е. $\mathfrak{T}\cup\mathfrak{T}^\ast$ является одномерным подпространством пространства $\mathcal{T}$. Решётка $\Lambda^\ast$, как отмечалось в п. 3.4.3, является двойственной к решётке $\Lambda$. Регулярные и равномерные диофантовы экспоненты связаны с экспонентами Шмидта–Суммерера равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl(1+\omega(\Theta)\bigr)\bigl(1+\underline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\bigr)= \bigl(1+\widehat\omega(\Theta)\bigr) \bigl(1+\overline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\bigr)=\frac{n+1}{n}\,, \\ \bigl(1+\omega(L_\Theta)\bigr) \bigl(1+\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)\bigr)= \bigl(1+\widehat\omega(L_\Theta)\bigr) \bigl(1+\overline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)\bigr)=n+1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{67}
$$
которые выводятся непосредственно из определений (см. [66], [37]). Отметим, что аналогичные соотношения для экспонент Шмидта–Суммерера с индексами, большими $1$, имеют место в контексте задач приближения заданного подпространства рациональными подпространствами фиксированной размерности. В этих задачах возникают так называемые промежуточные экспоненты. Им посвящены работы [67], [40], [41], [37], в последней из которых и доказываются соотношения, связывающие экспоненты Шмидта–Суммерера с промежуточными экспонентами. Благодаря (67) каждое соотношение, доказанное для экспонент Шмидта–Суммерера, даёт соотношение для регулярных и равномерных диофантовых экспонент. Соотношения же для экспонент Шмидта–Суммерера получаются из анализа свойств функций $L_k( \tau)$ и $S_k( \tau)$. Сразу же можно заметить, что функции $L_k( \tau)$ и $S_k( \tau)$ непрерывны и кусочно линейны на всём $\mathcal{T}$, а их ограничения на пути $\mathfrak{T}$ и $\mathfrak{T}^\ast$ на участках линейности имеют два возможных значения углового коэффициента. Далее, ключевую роль в исследовании поведения функций $L_k( \tau)$ и $S_k( \tau)$ играют две классические теоремы о последовательных минимумах – Минковского [9] и Малера [61]. Сформулируем их для параллелепипедов $\mathcal{B}_{ \tau}$ и решёток $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$ (считая, что $d=n+1$). Теорема 25 (К. Малер, 1938 г.). Для каждого $k=1,\dots,d$ и каждого $ \tau\in\mathcal{T}$ выполнены неравенства Из этих теорем легко вывести (см. [68]) следующие локальные свойства, справедливые для любого $ \tau\in\mathcal{T}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &\textrm{(i)}&&\quad L_k(\Lambda, \tau)= -L_{d+1-k}(\Lambda^\ast,- \tau)+O(1),\quad k=1,\dots,d; \\ &\textrm{(ii)}&&\quad S_k(\Lambda, \tau)= S_{d-k}(\Lambda^\ast,- \tau)+O(1),\quad k=1,\dots,d-1; \\ &\textrm{(iii)}&&\quad S_1(\Lambda, \tau)\leqslant\cdots\leqslant \dfrac{S_k(\Lambda, \tau)}{k}\leqslant\cdots\leqslant \dfrac{S_{d-1}(\Lambda, \tau)}{d-1}\leqslant \dfrac{S_{d}(\Lambda, \tau)}{d}=O(1); \\ &\textrm{(iv)}&&\quad \dfrac{S_1(\Lambda, \tau)}{d-1}\geqslant\cdots\geqslant \dfrac{S_k(\Lambda, \tau)}{d-k}\geqslant\cdots\geqslant S_{d-1}(\Lambda, \tau). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Константы, подразумеваемые символами $O(\,\cdot\,)$, зависят только от $d$. Эти свойства, равно как и теоремы 24 и 25, верны для любой унимодулярной решётки. В частности, они останутся справедливыми, если $\Lambda$ заменить на $\Lambda^\ast$. Из свойств (ii) и (iii) мгновенно следует неравенство
$$
\begin{equation}
S_1(\Lambda, \tau)\leqslant \frac{S_1(\Lambda^\ast,- \tau)}{d-1}+O(1),
\end{equation}
\tag{70}
$$
откуда для экспонент Шмидта–Суммерера, соответствующих задаче совместных приближений и задаче приближения нуля значениями линейной формы, получаем (применяя (70) к $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$)
$$
\begin{equation}
\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)\leqslant \underline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\leqslant \frac{\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)}{n^2}\,.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Переписав (71) в терминах экспонент $\omega(\Theta)$, $\omega(L_\Theta)$ при помощи (67), получим в точности неравенства Хинчина (18). Как показано в работе [37], такой способ доказательства неравенств Хинчина позволяет уточнить их, представив каждое из них в виде цепочки неравенств между упоминавшимися выше промежуточными экспонентами. Первыми соответствующую цепочку неравенств получили Лоран и Бюжо в работах [40], [41]. Ограничения функций $L_1( \tau),\dots,L_d( \tau)$ на путь $\mathfrak{T}$ обладают рядом элементарных свойств: они непрерывны, кусочно линейны, на участках линейности имеют два возможных значения углового коэффициента, в любой точке соблюдается порядок $L_1( \tau)\leqslant\cdots\leqslant L_d( \tau)$, их сумма $S_d( \tau)=L_1( \tau)+\cdots+L_d( \tau)$ неположительна и ограничена. В остальном поведение функций $L_1,\dots,L_d$ достаточно хаотично. Тем не менее можно определить класс наборов из $d$ функций, имеющих довольно регулярное поведение, обладающих указанными выше свойствами функций $L_1,\dots,L_d$ и приближающих функции $L_1,\dots,L_d$ с точностью до ограниченных функций. Этот выдающийся результат принадлежит Руа [69]. Чтобы его сформулировать, необходимо понятие $d$-системы. Мы адаптируем соответствующее определение из [70] под путь $\mathfrak{T}$, определяемый соотношениями (66) (напомним, этот путь соответствует задаче совместных приближений). Как и прежде, считаем, что $d=n+1$. Определение 19. Пусть $I\subset[0,\infty)$ – интервал с непустой внутренностью. Непрерывное кусочно линейное отображение $\mathbf P=(P_1,\dots,P_d)\colon I\to\mathbb{R}^d$ называется $d$-системой на интервале $I$, если выполняются следующие условия: Для пути $\mathfrak{T}$ и решётки $\Lambda=\Lambda(\Theta)$, задаваемых равенствами (66) и (65), определим отображение $\mathbf L_\Theta\colon [0,\infty)\to\mathbb{R}^d$ соответствием
$$
\begin{equation*}
s\mapsto\bigl(L_1\bigl(\Lambda, \tau(s)\bigr),\dots, L_d\bigl(\Lambda, \tau(s)\bigr)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 26 (Д. Руа, 2015 г.). Для любого ненулевого набора $\Theta\in\mathbb{R}^n$ найдутся $s_0\geqslant0$ и $d$-система $\mathbf P$ на $[s_0,\infty)$ такие, что $\mathbf L_\Theta-\mathbf P$ ограничено на $[s_0,\infty)$. И наоборот, для любой $d$-системы $\mathbf P$ на $[s_0,\infty)$ с произвольным $s_0\geqslant0$ найдётся ненулевой набор $\Theta\in\mathbb{R}^n$ такой, что $\mathbf L_\Theta-\mathbf P$ ограничено на $[s_0,\infty)$. Теорема Руа оказалась чрезвычайно востребованной для доказательства существования наборов $\Theta$ с заданными диофантовыми свойствами. Именно при её помощи была доказана точность многих неравенств переноса, а также теорема 19. 4. Несколько линейных форм4.1. Общий вид основной задачи теории однородных линейных диофантовых приближенийПусть задана матрица
$$
\begin{equation*}
\Theta=\begin{pmatrix} \theta_{11} & \dots & \theta_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n1} & \dots & \theta_{nm} \end{pmatrix},\qquad \theta_{ij}\in\mathbb{R},\quad m+n\geqslant3.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим систему линейных уравнений с переменными $\mathbf x=(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m$, $\mathbf y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$. В самом общем виде главный вопрос теории однородных линейных диофантовых приближений заключается в том, насколько малой можно сделать величину $|\Theta\mathbf x-\mathbf y|$ при $\mathbf x\in\mathbb{Z}^m$, $\mathbf y\in\mathbb{Z}^n$ и ограничении $0<|\mathbf x|\leqslant t$. Здесь и далее через $|\,\cdot\,|$ мы обозначаем sup-норму. Как легко видеть, при $m=1$ мы получаем задачу о совместных приближениях, а при $n=1$ – задачу о приближении нуля значениями линейной формы. И точно так же, как и в этих задачах, естественно определить соответствующие диофантовы экспоненты. Следующее определение содержит в себе в качестве частных случаев определения 8–11. Определение 20. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых существует сколь угодно большое $t$ такое, что (соответственно для которых при любом достаточно большом $t$) система неравенств имеет решение $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$, отличное от нулевого, называется регулярной (соответственно равномерной) диофантовой экспонентой матрицы $\Theta$ и обозначается $\omega(\Theta)$ (соответственно $\widehat\omega(\Theta)$). 4.2. И снова теорема ДирихлеДля случая нескольких линейных форм справедлив аналог теорем 1, 8, 9, по сути также полученный Дирихле в работе [1], хотя, как и в случае этих теорем, его оригинальная формулировка выглядит несколько слабее. Напомним, что через $|\cdot|$ мы обозначаем sup-норму. Будем также обозначать через $\mathbb{R}^{n\times m}$ множество матриц размера $n\times m$ с вещественными коэффициентами. Теорема 27 (Г. Лежён Дирихле, 1842 г.). Пусть задана матрица $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$. Тогда для любого $t\geqslant1$ найдётся ненулевая пара $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$ такая, что И вновь отметим, что теорема 27 непосредственно следует из теоремы Минковского о выпуклом теле в форме следствия 5, применённой к системе (73). Эти неравенства, так же как и неравенства (13), точны. Более того, можно обобщить теорему 10 Перрона на матричный случай и доказать при помощи той же самой идеи, что была у Перрона (это сделано, к примеру, в книге Шмидта [11]), что существуют матрицы, состоящие из алгебраических чисел, являющиеся плохо приближаемыми. Определение 21. Матрица $\Theta$ называется плохо приближаемой, если существует константа $c>0$, зависящая лишь от $\Theta$, такая, что для любой пары $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$ с ненулевым $\mathbf x$ справедливо неравенство В той же книге Шмидта [11] можно найти доказательство того, что транспонированная матрица плохо приближаема тогда и только тогда, когда плохо приближаема исходная. В п. 4.4.2 мы покажем, что этот факт легко вывести из теоремы Малера. Этот факт является проявлением принципа переноса, о котором мы уже говорили в п. 3.3. 4.3. Теоремы переносаВ п. 3.3 мы описали открытый Хинчиным принцип переноса, связывающий задачу совместных приближений и задачу приближения нуля значениями линейной формы. Эту связь можно обобщить на случай произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$. Будем обозначать через $\Theta^\top$ транспонированную матрицу. 4.3.1. Неравенства для регулярных экспонентВ 1947 г. Дайсон [71] обобщил принцип переноса Хинчина (теорему 11) следующим образом. Теорема 28 (Ф. Дайсон, 1947 г.). Для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$ справедливо неравенство Отметим, что из (75) и (74) следует, что
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)=\frac{m}{n}\ \ \iff \ \ \omega(\Theta^\top)=\frac{n}{m}\,.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Годом позже Хинчин в работе [35] опубликовал более простое доказательство теоремы 28. Но на самом деле теорема 28 могла быть получена ещё в 1937 г. как следствие теоремы 21 Малера. Подробнее об этом мы поговорим в п. 4.4. Отметим, что любое утверждение, доказанное для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$ с произвольными $n$ и $m$, автоматически даёт аналогичное утверждение для матрицы $\Theta^\top$. Нужно лишь заменить набор $(n,m,\Theta)$ на набор $(m,n,\Theta^\top)$. Следовательно, для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$ справедливо также неравенство
$$
\begin{equation}
\omega(\Theta)\geqslant \frac{m\omega(\Theta^\top)+m-1}{(n-1)\omega(\Theta^\top)+n}\,.
\end{equation}
\tag{77}
$$
Как упоминалось в п. 3.3.1, в случае, когда $m=1$ или $n=1$, точность неравенства (75) доказана Ярником в работах [32], [33]. В случае $\min(n,m)>1$ точность (75) доказана лишь при условии
$$
\begin{equation*}
\omega(\Theta)\geqslant\max\biggl(\frac{m}{n}\,,\frac{n-1}{m-1}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(в частности, при $m\geqslant n$). Этот результат также принадлежит Ярнику [72]. В оставшихся случаях точность (75) остаётся недоказанной. 4.3.2. Неравенства для равномерных экспонентНеравенства переноса Ярника, а именно неравенства (19), (21), были в 1951 г. обобщены Апфельбеком [73] на случай произвольных $n$, $m$. Он доказал “равномерный” аналог неравенства (75)
$$
\begin{equation}
\widehat\omega(\Theta^\top)\geqslant \frac{n\widehat\omega(\Theta)+n-1}{(m-1)\widehat\omega(\Theta)+m}\,,
\end{equation}
\tag{78}
$$
а также, в предположении, что $m>1$ и $\widehat\omega(\Theta)>\dfrac{2(m+n-1)(m+n-3)+m}{n}$ , неравенство
$$
\begin{equation}
\widehat\omega(\Theta^\top)\geqslant\frac{1}{m} \biggl(n+\frac{n(n\widehat\omega(\Theta)-m)-2n(m+n-3)} {(m-1)(n\widehat\omega(\Theta)-m)+m-(m-2)(m+n-3)}\biggr).
\end{equation}
\tag{79}
$$
В 2012 г. неравенства (78), (79) были улучшены автором в работах [36], [37]. Следующая теорема обобщает теорему 13 на случай произвольных $n$, $m$. Теорема 29 (О. Н. Герман, 2012 г.). Для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $m+n\geqslant3$, справедливы неравенства Отметим, что, вообще говоря, $\widehat\omega(\Theta)$ и $\widehat\omega(\Theta^\top)$ могут принимать значение $+\infty$, и это придаёт смысл неравенствам (80) в том случае, когда какой-нибудь знаменатель оказывается равным нулю. При $\min(n,m)>1$ точность неравенства (80) не доказана. Для $m=1$ или $n=1$, напомним, точность доказана Марна [38] и (независимо от него) Шмидтом и Суммерером [39]. 4.3.3. “Смешанные” неравенстваВ тех же работах [36], [37] доказывается следующая теорема, обобщающая теорему 14 Лорана–Бюжо и уточняющая теорему 28 Дайсона. Теорема 30 (О. Н. Герман, 2012 г.). Пусть $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $m+n\geqslant3$, и пусть пространство целочисленных решений уравнения не одномерно. Тогда справедливы неравенства Как нетрудно заметить, (81) совпадает с (75). Это неравенство сильнее неравенств (82) и (83) тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta)<\min\biggl(\frac{(m-1)\omega(\Theta)+m}{m+n-1}\,, \frac{(m+n-1)\omega(\Theta)}{n-1+n\omega(\Theta)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
(Последнее условие выполняется, например, при $\widehat\omega(\Theta)<(m+n-1)/n$ и достаточно большом $\omega(\Theta)$.) Таким образом, при $\min(n,m)>1$ неравенства (82), (83) не являются однозначным усилением неравенства Дайсона. Точность этих неравенств также сомнительна, ибо уже при $m=1$, $n\geqslant3$ и при $n=1$, $m\geqslant3$ они не точны, как было отмечено в п. 3.3.3. Отметим, что на данный момент в случае $\min(n,m)>1$ не обнаружено аналога неравенств (25) Шмидта–Суммерера. Было бы любопытно получить такой аналог, чтобы он в комбинации с (80) дал (82) и (83) – так же, как (25) в комбинации с (22) даёт (24). 4.3.4. Неравенства между регулярной и равномерной экспонентамиВ работе [48] Ярник получил следующий результат. Теорема 31 (В. Ярник, 1954 г.). Пусть $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$, и пусть уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений. Тогда (i) при $m=2$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\omega(\Theta)}{\widehat\omega(\Theta)}\geqslant \widehat\omega(\Theta)-1;
\end{equation}
\tag{84}
$$
(ii) при $m\geqslant3$ и $\widehat\omega\geqslant(5m^2)^{m-1}$ справедливо неравенство Как нетрудно заметить, оценка (84) лучше тривиальной $\omega(\Theta)\geqslant\widehat\omega(\Theta)$ только при $\widehat\omega(\Theta)>2$. В 2013 г. Мощевитин [74] улучшил результат Ярника для $m=2$, $n\geqslant3$. Его неравенство сильнее (84) и тривиального неравенства при всяком $\widehat\omega(\Theta)>1$. Теорема 32 (Н. Г. Мощевитин, 2013 г.). Пусть $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times 2}$, $n\geqslant2$. Пусть среди строк матрицы $\Theta$ найдутся две строки, линейно независимые вместе с векторами $(1,0)$ и $(0,1)$ над $\mathbb{Q}$. Предположим, что $\widehat\omega(\Theta)\geqslant1$. Тогда При $m=2$, $n=2$ теорема 32 не является первым улучшением неравенства (84). В обзоре Мощевитина [31] приводится некоторое усиление неравенства (84), которое, правда, имеет место лишь при $1<\widehat\omega(\Theta)<(3+\sqrt5\,)/2$. Сформулированный там результат перекрывается теоремой 32. Как заметил Шмидт, в самой статье [74] теорема 32 сформулирована с двумя опечатками. Во-первых, доказательство Мощевитина работает при любом $n\geqslant2$, в то время как в формулировке теоремы наложено ограничение $n\geqslant3$. Во-вторых, опечатка присутствует в формуле, определяющей константу $G(\Theta)$. На данный момент для случая $\min(n,m)>1$ никаких более сильных оценок для отношения $\omega(\Theta)/\widehat\omega(\Theta)$, чем приведённые в теоремах Ярника и Мощевитина, не известно. 4.4. Вложение в $\mathbb{R}^{m+n}$Покажем, как при помощи конструкций, описанных в п. 3.4, можно доказывать теоремы переноса. Обобщая подход, описанный в п. 3.4.3, “вложим” задачи, соответствующие матрицам $\Theta$ и $\Theta^\top$, в единое $(m+n)$-мерное евклидово пространство. Положим и рассмотрим решётки
$$
\begin{equation}
\Lambda=\Lambda(\Theta)=\begin{pmatrix} \mathbf I_m & \\ -\Theta & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d,\qquad \Lambda^\ast=\Lambda^\ast(\Theta)= \begin{pmatrix} \mathbf I_m & \Theta^\top \\ & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d
\end{equation}
\tag{85}
$$
и два семейства параллелепипедов
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(t,\gamma) =\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in \mathbb{R}^d \biggm| \begin{alignedat}{2} &|z_j|\leqslant t,&\quad j&=1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant t^{-\gamma},&\quad i&=1,\dots,n \end{alignedat} \biggr\},
\end{equation}
\tag{86}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta) =\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in \mathbb{R}^d \biggm| \begin{alignedat}{2} &|z_j|\leqslant s^{-\delta},&\quad j&=1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant s,&\quad i&=1,\dots,n \end{alignedat} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{87}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega(\Theta) & =\sup\biggl\{ \gamma\geqslant\frac mn \biggm| \forall\,t_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,t>t_0\colon \ \ \mathcal{P}(t,\gamma) \cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\} \biggr\}, \\ \widehat\omega(\Theta) & =\sup\biggl\{ \gamma\geqslant\frac mn \biggm| \exists\,t_0\in\mathbb{R}:\ \forall\,t>t_0\ \ \mathcal{P}(t,\gamma)\cap \Lambda\ne \{\mathbf 0\} \biggr\}, \\ \omega(\Theta^\top) & =\sup\biggl\{ \delta\geqslant\frac{n}{m}\biggm| \forall\,s_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,s>s_0\colon\ \ \mathcal{Q}(s,\delta) \cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\} \biggr\}, \\ \widehat\omega(\Theta^\top) & =\sup\biggl\{ \delta\geqslant \frac{n}{m}\biggm| \exists\,s_0\in\mathbb{R}\colon \ \forall\,s>s_0\ \ \mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{88}
$$
4.4.1. Теорема ДайсонаПри
$$
\begin{equation}
t=s^{((n-1)\delta+n)/(d-1)},\qquad \gamma=\frac{m\delta+m-1}{(n-1)\delta+n}
\end{equation}
\tag{89}
$$
параллелепипед $\mathcal{Q}(s,\delta)$ является $(d-1)$-м псевдоприсоединённым параллелепипедом (см. определение 14 в п. 3.4.2) для $\mathcal{P}(t,\gamma)$, т. е. $\mathcal{Q}(s,\delta)=\mathcal{P}(t,\gamma)^\ast$. По теореме Малера (опять же, в обличье теоремы 22) имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{90}
$$
Следовательно, ввиду (88)
$$
\begin{equation*}
\omega(\Theta^\top)\geqslant\delta\ \ \implies\ \ \omega(\Theta)\geqslant\gamma=\frac{m\delta+m-1}{(n-1)\delta+n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Получаем
$$
\begin{equation*}
\omega(\Theta)\geqslant \frac{\omega(m\Theta^\top)+m-1}{(n-1)\omega(\Theta^\top)+n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так доказывается неравенство (77) и, стало быть, теорема 28 Дайсона. 4.4.2. Плохо приближаемые матрицыСоответствие (89) и импликация (90) позволяют мгновенно доказать тот факт, что матрица $\Theta$ плохо приближаема тогда и только тогда, когда плохо приближаема матрица $\Theta^\top$ (см. определение 21). Действительно, $\Theta$ плохо приближаема тогда и только тогда, когда существует такая константа $c>0$, что для любого $t>1$ параллелепипед $c\mathcal{P}(t,m/n)$ не содержит ненулевых точек решётки $\Lambda$. Аналогично, $\Theta^\top$ плохо приближаема тогда и только тогда, когда существует такая константа $c>0$, что для любого $s>1$ параллелепипед $c\mathcal{Q}(s,n/m)$ не содержит ненулевых точек решётки $\Lambda^\ast$. Остаётся воспользоваться импликацией (90). 4.4.3. Теорема о равномерных экспонентахДля доказательства теоремы 29 о равномерных экспонентах можно применить описанную в п. 3.4.5 конструкцию “узлов” и “листьев”. Но теперь вместо параллелепипедов $\mathcal{Q}_r$, определяемых равенством (55), нужно рассматривать параллелепипеды
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_r=\biggl\{\,\mathbf z=(z_1,\dots,z_d) \in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|z_j|\leqslant (hH/r)^{-\alpha},\quad\, j=1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant r,\qquad\qquad i=1,\dots,n \end{aligned} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, параллелепипеды $\mathcal{P}(t,\gamma)$ и $\mathcal{Q}(s,\delta)$ нужно определять не соотношениями (47), (48), а соотношениями (86), (87). Тогда можно использовать рис. 8 без изменений, условившись лишь, что теперь $u$ и $v$ обозначают $\max(|z_{m+1}|,\dots,|z_d|)$ и $\max(|z_1|,\dots,|z_m|)$ соответственно. При фиксированных $s>1$ и $\delta\geqslant n/m$ положим, как и в (89),
$$
\begin{equation*}
t=s^{((n-1)\delta+n)/(d-1)},\qquad \gamma=\frac{m\delta+m-1}{(n-1)\delta+n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим также
$$
\begin{equation*}
h=s,\qquad \beta=\delta,\qquad \alpha=\begin{cases} \dfrac{(d-1)\delta}{m\delta+m-1} & \text{при}\ \delta\leqslant\dfrac{m-1}{n-1}\,, \\ \dfrac{(n-1)\delta+n\vphantom{1^{\big|}}}{d-1} & \text{при}\ \delta\geqslant\dfrac{m-1}{n-1}\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе параметров параметры $\gamma$ и $\alpha$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\gamma=\begin{cases} \dfrac{m-1}{n-\alpha} & \text{при}\ \alpha\leqslant1, \\ \dfrac{m-\alpha^{-1}}{n-1} & \text{при}\ \alpha\geqslant1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{91}
$$
Рассуждая так же, как в п. 3.4.6, получим импликацию
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta^\top)\geqslant\alpha\ \ \implies\ \ \widehat\omega(\Theta)\geqslant\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
из которой ввиду (91) следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega(\Theta)\geqslant \begin{cases} \dfrac{m-1}{n-\widehat\omega(\Theta^\top)} & \text{при}\ \widehat\omega(\Theta^\top)\leqslant1, \\ \dfrac{m-\widehat\omega(\Theta^\top)^{-1}}{n-1} & \text{при}\ \widehat\omega(\Theta^\top)\geqslant1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя местами наборы $(n,m,\Theta)$ и $(m,n,\Theta^\top)$, приходим к (80). Так доказывается теорема 29. 4.4.4. Параметрическая геометрия чиселДадим интерпретацию задачи приближения нуля значениями нескольких линейных форм в духе параметрической геометрии чисел. В соответствии со сказанным в п. 3.4.8, выберем решётку и путь. Определим решётки $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$ соотношениями (85). Зададим пути $\mathfrak{T}$ и $\mathfrak{T}^\ast$ отображениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s\mapsto \tau(s)=(\tau_1(s),\dots,\tau_d(s)), \\ \tau_1(s)=\cdots=\tau_m(s)=s,\quad \tau_{m+1}(s)=\cdots=\tau_d(s)=-\frac{ms}{n}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s\mapsto \tau^\ast(s)=\bigl(\tau^\ast_1(s),\dots,\tau^\ast_d(s)\bigr), \\ \tau^\ast_1(s)=\cdots=\tau^\ast_m(s)=-\frac{ns}{m}\,,\quad \tau^\ast_{m+1}(s)=\cdots=\tau^\ast_d(s)=s, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Тогда регулярные и равномерные диофантовы экспоненты выражаются через экспоненты Шмидта–Суммерера при помощи равенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl(1+\omega(\Theta)\bigr) \bigl(1+\underline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\bigr)= \bigl(1+\widehat\omega(\Theta)\bigr) \bigl(1+\overline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\bigr)=\frac{d}{n}\,, \\ \bigl(1+\omega(\Theta^\top)\bigr) \bigl(1+\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)\bigr)= \bigl(1+\widehat\omega(\Theta^\top)\bigr) \bigl(1+\overline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)\bigr)=\frac{d}{m}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{92}
$$
которые выводятся, как и равенства (67), непосредственно из определений (см. [37]). Поскольку свойства (i) – (iv) функций $L_k( \tau)$ и $S_k( \tau)$, сформулированные в п. 3.4.8, справедливы для любой решётки, справедливы и соотношения
$$
\begin{equation*}
S_1(\Lambda, \tau)\leqslant \frac{S_{d-1}(\Lambda, \tau)}{d-1}= \frac{S_1(\Lambda^\ast,- \tau)}{d-1}+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Для экспонент Шмидта–Суммерера это даёт
$$
\begin{equation}
\underline{\Phi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\leqslant \frac{\underline{\Phi}_{d-1}(\Lambda,\mathfrak{T})}{d-1}= \frac{n}{m(d-1)}\,\underline{\Phi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast),
\end{equation}
\tag{93}
$$
ибо $ \tau^\ast(s)=-(n/m) \tau(s)$. Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\underline{\Phi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})= \underline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\quad\text{и}\quad \underline{\Phi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast)= \underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\underline{\varphi}_1(\Lambda,\mathfrak{T})\leqslant \dfrac{n}{m(d-1)}\,\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast).
\end{equation}
\tag{94}
$$
Переписав (94) в терминах экспонент $\omega(\Theta)$, $\omega(\Theta^\top)$ при помощи (92), мы придём в точности к неравенству Дайсона (75). Таким образом, параметрическая геометрия чисел даёт ещё один способ доказательства теоремы Дайсона. И точно так же, как в случае с неравенствами Хинчина, такой способ доказательства позволяет уточнить неравенство Дайсона, представив его в виде цепочки неравенств между промежуточными экспонентами. Точную формулировку этого результата и доказательство можно найти в работе [37].
5. Мультипликативные экспонентыПусть, как и в предыдущем разделе, задана матрица
$$
\begin{equation*}
\Theta=\begin{pmatrix} \theta_{11} & \dots & \theta_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n1} & \dots & \theta_{nm} \end{pmatrix},\qquad \theta_{ij}\in\mathbb{R},\quad m+n\geqslant3.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим всё ту же систему линейных уравнений с переменными $\mathbf x=(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m$, $\mathbf y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$. До сих пор мы занимались вопросом, насколько малой можно сделать величину $|\Theta\mathbf x-\mathbf y|$ при $\mathbf x\in\mathbb{Z}^m$, $\mathbf y\in\mathbb{Z}^n$ и ограничении $0<|\mathbf x|\leqslant t$, где $|\cdot|$ обозначает $\ell^\infty$-норму (sup-норму). Выбор $\ell^\infty$-нормы для измерения “величины” вектора имеет достаточно условный характер. Если взять $\ell^2$-норму, мы получим немного другую задачу, но на значения соответствующих диофантовых экспонент это никак не повлияет, ибо, как известно, в конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Существенно иная задача получается, если измерять “величину” вектора при помощи произведения координат. Если $\ell^1$-норму ассоциировать со средним арифметическим, то произведение модулей координат уместно ассоциировать со средним геометрическим. Такой подход также является совершенно классическим. В качестве примера можно привести знаменитую гипотезу Литтлвуда. Гипотеза Литтлвуда. Для любых $\theta_1,\theta_2\in\mathbb{R}$ и любого $\varepsilon>0$ неравенство имеет бесконечно много решений в $(x,y_1,y_2)\in\mathbb{Z}^3$ с ненулевым $x$. Соответственно, естественно в качестве мультипликативного аналога регулярной диофантовой экспоненты для пары чисел $(\theta_1,\theta_2)$ рассмотреть супремум вещественных $\gamma$ таких, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\prod_{i=1,2}|\theta_ix-y_i|^{1/2} \leqslant |x|^{-\gamma}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет бесконечно много решений в $(x,y_1,y_2)\in\mathbb{Z}^3$ с ненулевым $x$. Это пример для случая $n=2$, $m=1$. Чтобы дать определения мультипликативных экспонент в общем случае, для каждого вектора $\mathbf z=(z_1,\dots,z_k)\in\mathbb{R}^k$ положим
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mathbf z)=\prod_{1\leqslant i\leqslant k}|z_i|^{1/k}\quad\text{и}\quad \Pi'(\mathbf z)=\prod_{1\leqslant i\leqslant k}(\max(1,|z_i|))^{1/k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 22. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых существует сколь угодно большое $t$ такое, что (соответственно для которых при любом достаточно большом $t$) система неравенств имеет решение $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$ с ненулевым $\mathbf x$, называется регулярной (соответственно равномерной) мультипликативной диофантовой экспонентой матрицы $\Theta$ и обозначается $\omega_\times(\Theta)$ (соответственно $\widehat\omega_\times(\Theta)$). Обычные и мультипликативные экспоненты связаны неравенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega(\Theta)& \leqslant \omega_\times(\Theta)\leqslant \begin{cases} m\omega(\Theta), & \text{если}\ n=1, \\ +\infty, & \text{если}\ n\geqslant2, \end{cases} \\ \widehat\omega(\Theta) &\leqslant \widehat\omega_\times(\Theta)\leqslant \begin{cases} m\widehat\omega(\Theta), & \text{если}\ n=1, \\ +\infty, & \text{если}\ n\geqslant2, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{96}
$$
которые следуют из того факта, что для каждого $\mathbf z\in\mathbb{R}^k$ справедливо неравенство а для каждого $\mathbf z\in\mathbb{Z}^k$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation*}
|\mathbf z|^{1/k}\leqslant\Pi'(\mathbf z)\leqslant|\mathbf z|.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря следствию 11 из теоремы Дирихле имеют место “тривиальные” неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \omega_\times(\Theta)&\geqslant\omega(\Theta)\geqslant \frac{m}{n}\,,&\qquad \omega_\times(\Theta^\top)&\geqslant\omega(\Theta^\top)\geqslant \frac{n}{m}\,, \\ \widehat\omega_\times(\Theta)&\geqslant\widehat\omega(\Theta)\geqslant \frac{m}{n}\,,&\qquad \widehat\omega_\times(\Theta^\top)&\geqslant\widehat\omega(\Theta^\top) \geqslant \frac{n}{m}\,, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Theta^\top$, как и прежде, обозначает транспонированную матрицу. 5.1. Аналог теоремы ДайсонаВ 1979 г. Шмидт и Ванг в работе [75] показали, что, как и в случае обыкновенных диофантовых экспонент (см. (76)), справедливо утверждение
$$
\begin{equation}
\omega_\times(\Theta)=\frac{m}{n}\ \ \iff \ \ \omega_\times(\Theta^\top)=\frac{n}{m}\,.
\end{equation}
\tag{97}
$$
Это опять же проявление принципа переноса. Как отметил Бюжо в работе [76], рассуждения, при помощи которых Шмидт и Ванг доказали утверждение (97), при некоторых ограничениях на матрицу $\Theta$ можно использовать для доказательства аналога неравенства Дайсона (75). Соответствующий аналог, но без дополнительных ограничений на $\Theta$, был получен автором в работе [77]. Теорема 33 (О. Н. Герман, 2011 г.). Для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$ справедливо неравенство Метод, которым доказывается (98), даёт аналогичное неравенство для равномерных экспонент:
$$
\begin{equation}
\widehat\omega_\times(\Theta^\top)\geqslant \frac{n\widehat\omega_\times(\Theta)+n-1} {(m-1)\widehat\omega_\times(\Theta)+m}\,.
\end{equation}
\tag{99}
$$
Ничего более сильного про равномерные мультипликативные экспоненты на данный момент не известно. Метод, которым доказывается теорема 29 об обыкновенных равномерных экспонентах, не удаётся применить в данном контексте ввиду невыпуклости функций $\Pi(\,\cdot\,)$ и $\Pi'(\,\cdot\,)$. Аналогично, не обнаружено пока ни “смешанных” неравенств в духе теорем 14, 15, 30, ни неравенств, связывающих регулярную и равномерную экспоненты, – даже в случае $m+n=3$. 5.2. Применение теоремы Малера и понижение размерностиДля доказательства теоремы 33 недостаточно стандартного применения теоремы Малера – ни в виде теоремы 21, ни в виде теоремы 22. Причина заключается в отличии $\Pi'(\,\cdot\,)$ от $\Pi(\,\cdot\,)$. В упомянутой выше работе Шмидта и Ванга [75] это отличие обходится при помощи индукции по размерности. Такой же приём используется в работе [77]. Здесь же мы опишем несколько более явную конструкцию, также требующую понижения размерности. 5.2.1. Вложение в $\mathbb{R}^{m+n}$Чтобы работать с функционалами $\Pi(\,\cdot\,)$ и $\Pi'(\,\cdot\,)$, нужно рассматривать более обширные семейства параллелепипедов, чем (86) и (87). Как и в п. 4.4, положим и рассмотрим решётки
$$
\begin{equation}
\Lambda=\Lambda(\Theta)=\begin{pmatrix} \mathbf I_m & \\ -\Theta & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d,\qquad \Lambda^\ast=\Lambda^\ast(\Theta)=\begin{pmatrix} \mathbf I_m & \Theta^\top \\ & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d.
\end{equation}
\tag{100}
$$
Для каждого набора $( \lambda, \mu)=(\lambda_1,\dots,\lambda_m, \mu_1,\dots,\mu_n)\in\mathbb{R}_+^d$ определим параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$ как
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda, \mu)= \biggl\{\,\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|z_j|\leqslant\lambda_j,\quad\,\ j=1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant\mu_i,\ \ i=1,\dots,n \end{aligned} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{101}
$$
Определим также для всех положительных $t$, $\gamma$, $s$, $\delta$ семейства
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}(t,\gamma) =\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu) \bigm| \Pi( \lambda)=t,\ \Pi( \mu)=t^{-\gamma},\ \min_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j\geqslant1\Bigr\},
\end{equation}
\tag{102}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}(s,\delta) =\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu) \bigm| \Pi( \lambda)=s^{-\delta},\ \Pi( \mu)=s,\ \min_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\geqslant1\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{103}
$$
Любой параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation}
\Pi'( \lambda)\leqslant t, \qquad \Pi( \mu)\leqslant t^{-\gamma},
\end{equation}
\tag{104}
$$
содержится в некотором параллелепипеде из семейства (102). И наоборот, каждый параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$ из семейства (102) удовлетворяет (104). Аналогично, любой параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$, удовлетворяющий условиям
$$
\begin{equation}
\Pi( \lambda)\leqslant s^{-\delta}, \qquad \Pi'( \mu)\leqslant s,
\end{equation}
\tag{105}
$$
содержится в некотором параллелепипеде из семейства (103). И наоборот, каждый параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$ из семейства (103) удовлетворяет (105). Следовательно, для мультипликативных экспонент справедлив следующий аналог (49) и (88):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_\times(\Theta)&=\sup\biggl\{\gamma\geqslant\frac{m}{n} \biggm| \forall\,t_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,t>t_0\colon \exists\mathcal{P}\in\mathcal{F}(t,\gamma)\colon \mathcal{P}\cap \Lambda\ne \{\mathbf 0\} \biggr\}, \\ \omega_\times(\Theta^\top)&=\sup\biggl\{\delta\geqslant\frac{n}{m}\biggm| \forall\,s_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,s>s_0\colon \exists\mathcal{P}\in\mathcal{G}(s,\delta)\colon \mathcal{P}\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{106}
$$
5.2.2. Псевдоприсоединённые параллелепипедыБудем каждому набору
$$
\begin{equation*}
( \lambda, \mu)= (\lambda_1,\dots,\lambda_m,\mu_1,\dots,\mu_n)\in\mathbb{R}_+^d
\end{equation*}
\notag
$$
ставить в соответствие набор
$$
\begin{equation*}
( \lambda^\ast, \mu^\ast)= (\lambda_1^\ast,\dots,\lambda_m^\ast,\mu_1^\ast,\dots,\mu_n^\ast),
\end{equation*}
\notag
$$
определяемый следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \lambda_j^\ast &=\lambda_j^{-1}\Pi( \lambda)^m\Pi( \mu)^n,&\qquad j&=1,\dots,m, \\ \mu_i^\ast&=\mu_i^{-1}\Pi( \lambda)^m\Pi( \mu)^n,&\qquad i&=1,\dots,n. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{107}
$$
Тогда $\mathcal{P}( \lambda, \mu)^\ast= \mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)$, т. е. параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)$ является псевдоприсоединённым параллелепипедом для $\mathcal{P}( \lambda, \mu)$ (см. определение 14 в п. 3.4.2). Так же, как в п. 4.4.1, поставим в соответствие каждой паре $(s,\delta)$ пару $(t,\gamma)$ при помощи формул (89), т. е.
$$
\begin{equation}
t=s^{((n-1)\delta+n)/(d-1)},\qquad \gamma=\frac{m\delta+m-1}{(n-1)\delta+n}.
\end{equation}
\tag{108}
$$
Рассмотрим семейство
$$
\begin{equation*}
\mathcal{F}^\ast(t,\gamma)=\{\mathcal{P}^\ast \mid \mathcal{P}\in\mathcal{F}(t,\gamma)\}
\end{equation*}
\notag
$$
псевдоприсоединённых параллелепипедов. Если $\mathcal{P}( \lambda, \mu)\in\mathcal{F}(t,\gamma)$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Pi( \lambda^\ast)&=\Pi( \lambda)^{m-1}\Pi( \mu)^n= t^{(m-1)-n\gamma}=s^{-\delta}, \\ \Pi( \mu^\ast)&=\Pi( \lambda)^m\Pi( \mu)^{n-1}= t^{m-(n-1)\gamma}=s \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\max_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j^\ast\leqslant \Pi( \lambda)^m\Pi( \mu)^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим для краткости Тогда $\mathcal{F}^\ast(t,\gamma)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^\ast(t,\gamma)=\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu) \bigm| \Pi( \lambda)=s^{-\delta},\ \Pi( \mu)=s,\ \max_{1\leqslant j\leqslant m} \lambda_j\leqslant\pi( \lambda, \mu)\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{110}
$$
Как видим, включению $\mathcal{F}^\ast(t,\gamma)\subset\mathcal{G}(s,\delta)$ препятствует отсутствие в (110) условия $\min_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\geqslant1$. Поэтому мы рассмотрим более узкие семейства
$$
\begin{equation}
\mathcal{G}'(s,\delta) =\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu)\in \mathcal{F}^\ast(t,\gamma)\bigm| \min_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\geqslant1\Bigr\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu)\in\mathcal{G}(s,\delta) \bigm| \max_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j\leqslant \pi( \lambda, \mu)\Bigr\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\left\{\vphantom{\Biggm\}}\right. \mathcal{P}( \lambda, \mu) \biggm| \begin{aligned} \, &\Pi( \lambda)=s^{-\delta},\ \ \displaystyle\max_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j\leqslant \pi( \lambda, \mu)\vphantom{1^{\big|}} \\ &\Pi( \mu)=s,\quad\ \ \displaystyle \min_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\geqslant1 \end{aligned} \left.\vphantom{\Biggm|} \right\},
\end{equation}
\tag{111}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}'(t,\gamma) =\biggl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu)\in \mathcal{F}(t,\gamma) \bigm| \max_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\leqslant \pi( \lambda, \mu)\biggr\} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
=\left\{\vphantom{\Biggm\}}\right. \mathcal{P}( \lambda, \mu)\biggm| \begin{aligned} \, &\Pi( \lambda)=t,\quad\,\ \displaystyle\min_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j\geqslant1 \vphantom{1^{\big|}} \\ &\Pi( \mu)=t^{-\gamma},\ \ \displaystyle\max_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\leqslant \pi( \lambda, \mu) \end{aligned}\left.\vphantom{\Biggm|} \right\}.\ \
\end{equation}
\tag{112}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}'(s,\delta)=\{\mathcal{P}^\ast \mid \mathcal{P}\in\mathcal{F}'(t,\gamma)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, теорема Малера в виде теоремы 22 даёт импликацию
$$
\begin{equation}
\exists\mathcal{P}\in\mathcal{G}'(s,\delta)\colon\mathcal{P}\cap \Lambda^\ast\ne\{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ \exists\mathcal{P}\in \mathcal{F}'(t,\gamma)\colon(d-1)\mathcal{P}\cap\Lambda\ne\{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{113}
$$
Но для доказательства теоремы 33 требуется аналогичная импликация для семейств $\mathcal{G}(s,\delta)$ и $\mathcal{F}(t,\gamma)$. Отметим, впрочем, что, поскольку $\mathcal{F}'(t,\gamma)\subset\mathcal{F}(t,\gamma)$, достаточно показать, что в (113) можно $\mathcal{G}'(s,\delta)$ заменить на $\mathcal{G}(s,\delta)$. 5.2.3. Понижение размерностиПокажем, что, действительно, (113) можно усилить указанным способом, т. е. справедливо следующее утверждение. Теорема 34. Пусть решётки $\Lambda$, $\Lambda^\ast$ определены равенствами (100), положительные $t$, $\gamma$, $s$, $\delta$ связаны соотношениями (108) и семейства $\mathcal{F}(s,\delta)$, $\mathcal{G}(s,\delta)$, $\mathcal{F}'(t,\gamma)$, $\mathcal{G}'(s,\delta)$ определены равенствами (102), (103), (111), (112). Тогда Как нетрудно заметить, при $m=1$ семейства $\mathcal{G}(s,\delta)$ и $\mathcal{G}'(s,\delta)$ совпадают, ибо $s>1$. Будем считать, что $m\geqslant2$. Рассмотрим произвольные наборы
$$
\begin{equation*}
\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\in\mathbb{R}_+^m\quad\text{и}\quad \mu=(\mu_1,\dots,\mu_n)\in\mathbb{R}_+^n,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющие условиям и определим $ \lambda^\ast$, $ \mu^\ast$ соотношениями (107). Предположим, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\in \mathcal{G}(s,\delta)\setminus\mathcal{G}'(s,\delta).
\end{equation}
\tag{116}
$$
Изменив при необходимости нумерацию, будем считать, что Тогда в силу (107)
$$
\begin{equation*}
\lambda_1^\ast\geqslant\cdots\geqslant\lambda_m^\ast.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (116) следует, что $\lambda_1^\ast>\pi( \lambda, \mu)$. Стало быть, ввиду (107), имеем также $\lambda_1<1$. Пусть $k$ – наибольший индекс, при котором $\lambda_1\cdots\lambda_k<1$. Поскольку $t>1$, из равенства $\Pi( \lambda)=t$ следует, что $k<m$. Учитывая (107), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \lambda_1\cdots\lambda_k&<1,&\qquad \lambda_m &\geqslant\cdots\geqslant\lambda_{k+1}\geqslant1, \\ \lambda_1\cdots\lambda_k\lambda_{k+1}^{m-k}&\geqslant1,&\qquad \lambda^\ast_m &\leqslant\cdots\leqslant\lambda^\ast_{k+1}\leqslant \pi( \lambda, \mu). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{117}
$$
Наряду с набором $ \lambda$ рассмотрим набор $\widehat{ \lambda}=(\widehat\lambda_1,\dots,\widehat\lambda_m)$, определяемый равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \widehat\lambda_j&=1, &\qquad j&=1,\dots,k, \\ \widehat\lambda_j&=\lambda_j(\lambda_1\cdots\lambda_k)^{1/(m-k)},&\qquad j&=k+1,\dots,m. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{118}
$$
Тогда в силу (115), (116) и (117)
$$
\begin{equation*}
\Pi(\widehat{ \lambda})=t,\quad \Pi( \mu)=t^{-\gamma},\quad \min_{1\leqslant j\leqslant m}\widehat\lambda_j\geqslant1,\quad \max_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\leqslant \pi(\widehat{ \lambda}, \mu),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)\in\mathcal{F}'(t,\gamma).
\end{equation}
\tag{119}
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\} \ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{120}
$$
Рассмотрим укороченные наборы
$$
\begin{equation*}
\lambda_\downarrow=(\lambda_{k+1},\dots,\lambda_{m}), \qquad \lambda^\ast_\downarrow= (\lambda^\ast_{k+1},\dots,\lambda^\ast_{m}), \qquad \widehat{ \lambda}_\downarrow= (\widehat\lambda_{k+1},\dots,\widehat\lambda_m).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)^\ast= \biggl\{\,(z_{k+1},\dots,z_d)\in\mathbb{R}^{d-k} \biggm| \begin{alignedat}{2} &|z_j|\leqslant c\lambda_j^\ast,&\quad j&=k+1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant\mu_i^\ast,&\quad i&=1,\dots,n \end{alignedat} \biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c=(\lambda_1\cdots\lambda_k)^{-1/(m-k)}$. Поскольку $c>1$, справедливо включение
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda_\downarrow^\ast, \mu^\ast)\subset \mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)^\ast.
\end{equation}
\tag{121}
$$
Рассмотрим также матрицу
$$
\begin{equation*}
\Theta_\downarrow=\begin{pmatrix} \theta_{1,k+1} & \dots & \theta_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n,k+1} & \dots & \theta_{nm} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
получаемую из матрицы $\Theta$ удалением первых $k$ столбцов, и решётки
$$
\begin{equation*}
\Lambda_\downarrow=\begin{pmatrix} \mathbf I_{m-k}& \\ -\Theta_\downarrow & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{d-k},\qquad \Lambda^\ast_\downarrow=\begin{pmatrix} \mathbf I_{m-k} & \Theta^\top_\downarrow \\ & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^{d-k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что множество
$$
\begin{equation*}
\{(0,\dots,0,z_{k+1},\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \mid (z_{k+1},\dots,z_d)\in\Lambda_\downarrow \}
\end{equation*}
\notag
$$
является подрешёткой решётки $\Lambda$, а множество
$$
\begin{equation*}
\{(0,\dots,0,z_{k+1},\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \mid (z_{k+1},\dots,z_d)\in\Lambda^\ast_\downarrow\}
\end{equation*}
\notag
$$
является проекцией решётки $\Lambda^\ast$ на плоскость координат $z_{k+1},\dots,z_d$. Следовательно, справедливы импликации
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\} &\ \ \implies\ \ \mathcal{P} ( \lambda^\ast_\downarrow, \mu^\ast)\cap\Lambda^\ast_\downarrow \ne \{\mathbf 0\}, \\ \mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)\cap \Lambda_\downarrow\ne \{\mathbf 0\}&\ \ \implies\ \ \mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{122}
$$
Наконец, теорема Малера в виде теоремы 22 даёт импликацию
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)^\ast\cap \Lambda^\ast_\downarrow\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-k-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)\cap \Lambda_\downarrow\ne \{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{123}
$$
Собирая вместе (121), (122) и (123), получаем цепочку импликаций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\} \ \ \implies\ \ \mathcal{P}( \lambda^\ast_\downarrow, \mu^\ast)\cap \Lambda^\ast_\downarrow\ne \{\mathbf 0\} \\ &\qquad\implies\ \ \mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)^\ast \cap\Lambda^\ast_\downarrow\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-k-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}_\downarrow, \mu)\cap \Lambda_\downarrow\ne \{\mathbf 0\} \\ &\qquad\implies\ \ (d-k-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)\cap \Lambda\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, импликация (120) действительно имеет место. Учитывая (119), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\exists\mathcal{P}\in\mathcal{G}(s,\delta)\setminus\mathcal{G}'(s,\delta) \colon\mathcal{P}\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\} \\ &\qquad \implies \ \ \exists\mathcal{P}\in\mathcal{F}'(t,\gamma):(d-1)\mathcal{P} \cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{124}
$$
Остаётся заметить, что (124) вместе с (113) даёт в точности (114). Тем самым, ввиду (106), теорема 33 доказана. 5.2.4. Уточнение теоремы 34В п. 5.2.3 доказывается нечто более точное, чем утверждение теоремы 34. А именно, импликацию (120) можно естественным образом обобщить на случай произвольного параллелепипеда $\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\in\mathcal{G}(s,\delta)$. Во-первых, отметим, что для $\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\in\mathcal{G}'(s,\delta)$ мы можем положить $k$ равным нулю, ибо ввиду (107) для каждого $j$ справедливо неравенство $\lambda_j\geqslant1$. В этом случае аналогом (118) будет равенство $\widehat{ \lambda}= \lambda$. Во-вторых, определение $\widehat{ \lambda}$ естественно обобщается на случай произвольного порядка элементов набора $ \lambda$. Пусть $\lambda_{j_1}\leqslant\cdots\leqslant\lambda_{j_m}$. Тогда если $\lambda_{j_1}<1$, положим $k$ равным наибольшему индексу, при котором $\lambda_{j_1}\cdots\lambda_{j_k}<1$. Если же $\lambda_{j_1}\geqslant1$, положим $k=0$. Наконец, определим набор $\widehat{ \lambda}=(\widehat\lambda_1,\dots,\widehat\lambda_m)$ равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat\lambda_{j_i}&=1,&\qquad i&=1,\dots,k, \\ \widehat\lambda_{j_i}&= \lambda_{j_i}(\lambda_{j_1}\cdots\lambda_{j_k})^{1/(m-k)},&\qquad i&=k+1,\dots,m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{125}
$$
Рассуждая далее так же, как в п. 5.2.3, придём к следующему уточнению теоремы 34. Теорема 35. Пусть решётки $\Lambda$, $\Lambda^\ast$ определены равенствами (100). Пусть заданы произвольные наборы $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\in\mathbb{R}_+^m$ и $ \mu=(\mu_1,\dots,\mu_n)\in\mathbb{R}_+^n$. Пусть $ \lambda^\ast$, $ \mu^\ast$ определены соотношениями (107), а $\widehat{ \lambda}$ – соотношениями (125). Тогда При этом $\pi(\widehat{ \lambda}, \mu)=\pi( \lambda, \mu)$, $\min_{1\leqslant j\leqslant m}\widehat\lambda_j\geqslant1$ и Теорема 35 является “сердцевиной” мультипликативного принципа переноса, точно так же как теорема 22 является “сердцевиной” принципа переноса Хинчина. Обратим внимание на тот факт, что в предположении $\mathcal{P}( \lambda^\ast, \mu^\ast)\cap\Lambda^\ast\ne\{\mathbf 0\}$ теорема 22 гарантирует наличие ненулевых точек решётки $\Lambda$ в параллелепипеде $(d-1)\mathcal{P}( \lambda, \mu)$, который не содержится в параллелепипеде $(d-1)\mathcal{P}(\widehat{ \lambda}, \mu)$, если среди компонент набора $ \lambda$ имеются как строго меньшие единицы, так и строго бо́льшие. Оказывается, можно предъявить целое семейство попарно различных параллелепипедов, в каждом из которых будет содержаться ненулевая точка решётки $\Lambda$. Точную формулировку этого факта можно найти в посвящённой усилению теоремы Малера работе [62]. Отметим также, что константу $d-1$ в (126) можно заменить на меньшую константу, стремящуюся к $1$ при $d\to\infty$. Например, на константу $d^{1/(2d-2)}$ – точно такую же, как в соотношении (46), усиливающем утверждение теоремы 22. Подробности можно найти в работе [77]. 5.3. Мультипликативно плохо приближаемые матрицыВ мультипликативной постановке тоже можно говорить о плохо приближаемых матрицах. Определение 23. Матрица $\Theta$ называется мультипликативно плохо приближаемой, если существует константа $c>0$, зависящая лишь от $\Theta$, такая, что для любой пары $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$ с ненулевым $\mathbf x$ справедливо неравенство Если существование плохо приближаемых матриц доказывается совсем просто, то существование мультипликативно плохо приближаемых матриц – нерешённая проблема. Даже в самом простом случае – при $n=2$, $m=1$ – существование мультипликативно плохо приближаемых матриц равносильно отрицанию гипотезы Литтлвуда (см. её формулировку в начале раздела 5). В 1955 г. Касселс и Суиннертон-Дайер [78] доказали, что если $n=2$, $m=1$ и матрица $\Theta$ мультипликативно плохо приближаема, то мультипликативно плохо приближаема и матрица $\Theta^\top$. Теорема 35 позволяет доказать как обратное утверждение, так и его аналог для произвольной матрицы. Действительно, по аналогии с выводом (106), можно показать, что $\Theta$ мультипликативно плохо приближаема тогда и только тогда, когда существует такое $c>0$, что ни один параллелепипед из семейства
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu) \bigm| \pi( \lambda, \mu)=c,\ \min_{1\leqslant j\leqslant m}\lambda_j\geqslant1 \Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
не содержит ненулевых точек решётки $\Lambda$ (см. обозначения (100), (101) и (109)). Аналогично, $\Theta^\top$ мультипликативно плохо приближаема тогда и только тогда, когда существует такое $c>0$, что ни один параллелепипед из семейства
$$
\begin{equation*}
\Bigl\{\mathcal{P}( \lambda, \mu) \bigm| \pi( \lambda, \mu)=c,\ \min_{1\leqslant i\leqslant n}\mu_i\geqslant1 \Bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
не содержит ненулевых точек решётки $\Lambda^\ast$. Поскольку $\pi( \lambda^\ast, \mu^\ast)=\pi( \lambda, \mu)^{d-1}$, из теоремы 35 непосредственно следует, что если матрица $\Theta^\top$ не является мультипликативно плохо приближаемой, то таковой не является и $\Theta$. Следовательно, верна следующая теорема. Теорема 36. Матрица $\Theta$ мультипликативно плохо приближаема тогда и только тогда, когда мультипликативно плохо приближаема матрица $\Theta^\top$. 6. Диофантовы приближения с весамиКак и прежде, рассмотрим матрицу
$$
\begin{equation*}
\Theta=\begin{pmatrix} \theta_{11} & \dots & \theta_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n1} & \dots & \theta_{nm} \end{pmatrix},\qquad \theta_{ij}\in\mathbb{R},\quad m+n\geqslant3,
\end{equation*}
\notag
$$
и систему линейных уравнений с переменными $\mathbf x=(x_1,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m$, $\mathbf y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$. В предыдущих разделах мы наблюдали два подхода к оценке “величины” вектора $\Theta\mathbf x-\mathbf y$: при помощи sup-нормы и при помощи среднего геометрического модулей координат. Существует в некотором смысле промежуточный подход – так называемые диофантовы приближения с весами. Зафиксируем наборы весов
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sigma=(\sigma_1,\dots,\sigma_m)\in\mathbb{R}_{>0}^m,\qquad \rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)\in\mathbb{R}_{>0}^n, \\ \sigma_1\geqslant\cdots\geqslant\sigma_m,\qquad \rho_1\geqslant\cdots\geqslant\rho_n,\qquad \sum_{j=1}^m\sigma_j=\sum_{i=1}^n\rho_i=1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и определим взвешенные нормы $|\,\cdot\,|_{ \sigma}$ и $|\,\cdot\,|_{ \rho}$ как
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |\mathbf x|_{ \sigma}&=\max_{1\leqslant j\leqslant m} |x_j|^{1/\sigma_j}&\quad\text{при}\ \mathbf x&=(x_1,\dots,x_m), \\ |\mathbf y|_{ \rho}&=\max_{1\leqslant i\leqslant n} |y_i|^{1/\rho_i}&\quad\text{при}\ \mathbf y&=(y_1,\dots,y_n). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим систему неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{cases} |\mathbf x|_{ \sigma}\leqslant t, \\ |\Theta\mathbf x-\mathbf y|_{ \rho}\leqslant t^{-\gamma}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{127}
$$
Определение 24. Супремум вещественных чисел $\gamma$, для которых существует сколь угодно большое $t$ такое, что (соответственно для которых при любом достаточно большом $t$) система неравенств (127) имеет ненулевое решение $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$, называется регулярной (соответственно равномерной) взвешенной диофантовой экспонентой матрицы $\Theta$ и обозначается $\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)$ (соответственно $\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)$). Как нетрудно убедиться, в случае “тривиальных” весов, т. е. когда все $\sigma_j$ равны $1/m$, а все $\rho_i$ равны $1/n$, мы имеем дело с обыкновенными диофантовыми экспонентами, ибо тогда
$$
\begin{equation*}
\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)= \frac{n}{m}\,\omega(\Theta)\quad\text{и}\quad \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)= \frac{n}{m}\,\widehat\omega(\Theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема Минковского о выпуклом теле, применённая к системе (127), даёт аналогичные (74) “тривиальные” неравенства
$$
\begin{equation*}
\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые для любых наборов $ \sigma$, $ \rho$. 6.1. Bad-гипотеза ШмидтаПри $m=1$, $n=2$ можно пронаблюдать тесную связь между диофантовыми приближениями с весами и гипотезой Литтлвуда, относящейся к мультипликативным диофантовым приближениям (формулировка этой гипотезы приведена в начале раздела 5). Как было отмечено в п. 5.3, отрицание этой гипотезы равносильно существованию при $m=1$, $n=2$ мультипликативно плохо приближаемых матриц. Определение 25. Матрица $\Theta$ называется плохо приближаемой с весами $ \sigma$, $ \rho$, если существует константа $c>0$, зависящая лишь от $\Theta$, такая, что для любой пары $(\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb{Z}^m\oplus\mathbb{Z}^n$ с ненулевым $\mathbf x$ справедливо неравенство В работе [65] Шмидт заметил, что конструкцию Давенпорта из работы [79] можно легко модифицировать, чтобы доказать, что при $m=1$, $n=2$ существуют плохо приближаемые матрицы $\Theta$ с любыми весами $ \rho=(\rho_1,\rho_2)$, и высказал предположение, что для любых двух различных таких наборов весов $ \rho'$ и $ \rho''$ найдутся матрицы, являющиеся плохо приближаемыми одновременно и с весами $ \rho'$, и с весами $ \rho''$. Нетрудно убедиться, что из существования контрпримера к этой гипотезе, т. е. из существования двух наборов весов $ \rho'$ и $ \rho''$ таких, что любая матрица $\Theta\in\mathbb{R}^{2\times1}$ не является плохо приближаемой хотя бы с одним из них, следует утверждение гипотезы Литтлвуда. В 2011 г. Бодягин, Поллингтон и Велани опубликовали работу [80], в которой доказали сформулированную выше гипотезу Шмидта. Отметим, что они доказали не просто существование матриц $\Theta\in\mathbb{R}^{2\times1}$, плохо приближаемых и с весами $ \rho'$, и с весами $ \rho''$, но и то, что таких матриц весьма много. А именно, они показали, что при любых заданных $k$ наборах весов $ \rho^{(1)},\dots, \rho^{(k)}$ хаусдорфова размерность множества матриц, являющихся плохо приближаемыми одновременно с каждым из этих $k$ наборов, равна $2$. 6.2. Теоремы переносаПервое неравенство переноса для диофантовых приближений с весами, обобщающее неравенство Дайсона (75), было получено в работе [81]. В этой работе авторы показали, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)\geqslant \frac{(m+n-1)(\rho_n^{-1}+\sigma_m^{-1}\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta))+ \sigma_1^{-1}(\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)-1)} {(m+n-1)(\rho_n^{-1}+\sigma_m^{-1}\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta))- \rho_1^{-1}(\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)-1)}\,.
\end{equation}
\tag{128}
$$
Как позже выяснилось, неравенство (128) не оптимально. Оно было усилено в работе [64]. Теорема 37 (О. Н. Герман, 2020 г.). Для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$ и произвольных наборов $ \sigma$, $ \rho$ справедливо неравенство В той же работе [64] доказывается и теорема переноса для равномерных взвешенных экспонент, обобщающая теорему 29. Теорема 38 (О. Н. Герман, 2020 г.). Для произвольной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$, $m+n\geqslant3$, и произвольных наборов $ \sigma$, $ \rho$ справедливы неравенства Как и прежде, при обращении в нуль какого-либо знаменателя, считаем соответствующее выражение равным $+\infty$. 6.2.1. Вложение в $\mathbb{R}^{m+n}$Доказывать теоремы 37, 38 можно по той же схеме, которая была описана в п. 4.4. Положим, как и прежде, и рассмотрим всё те же решётки
$$
\begin{equation}
\Lambda=\Lambda(\Theta)=\begin{pmatrix} \mathbf I_m & \\ -\Theta & \mathbf I_n \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d,\qquad \Lambda^\ast=\Lambda^\ast(\Theta)= \begin{pmatrix} \mathbf I_m & \Theta^\top \\ & \mathbf I_n \end{pmatrix} \mathbb{Z}^d.
\end{equation}
\tag{131}
$$
Вместо параллелепипедов (86), (87) рассмотрим параллелепипеды
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}(t,\gamma) =\biggl\{\,\mathbf z= (z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|(z_1,\dots,z_m)|_{ \sigma}\leqslant t \\ &|(z_{m+1},\dots,z_d)|_{ \rho}\leqslant t^{-\gamma} \end{aligned} \biggr\},
\end{equation}
\tag{132}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta) =\biggl\{\,\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in \mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|(z_1,\dots,z_m)|_{ \sigma}\leqslant s^{-\delta} \\ &|(z_{m+1},\dots,z_d)|_{ \rho}\leqslant s \end{aligned} \biggr\}.
\end{equation}
\tag{133}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega_{ \sigma, \rho}(\Theta) & = \sup\bigl\{\gamma\geqslant1 \bigm| \forall\,t_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,t>t_0\colon \mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\} \bigr\}, \\ \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta) & = \sup\bigl\{\gamma\geqslant1 \bigm| \exists\,t_0\in\mathbb{R}\colon \forall\,t>t_0 \ \mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}\bigr\}, \\ \omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top) & = \sup\bigl\{\delta\geqslant1 \bigm| \forall\,s_0\in\mathbb{R}\,\ \exists\,s>s_0\colon \mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\bigr\}, \\ \widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top) & = \sup\bigl\{\delta\geqslant1 \bigm| \exists\,s_0\in\mathbb{R}\colon \forall\,s>s_0\ \mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
6.2.2. Вывод теоремы о регулярных экспонентахДля $s>1$ и $\delta\geqslant1$ положим
$$
\begin{equation}
t=s^{(\sigma_m^{-1}+(\rho_n^{-1}-1)\delta)/(\sigma_m^{-1}+ \rho_n^{-1}-1)},\qquad \gamma=\frac{(\sigma_m^{-1}-1)+\rho_n^{-1}\delta} {\sigma_m^{-1}+(\rho_n^{-1}-1)\delta}\,.
\end{equation}
\tag{134}
$$
При таком соответствии выполняются неравенства
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} s^{-\delta\sigma_j} & \leqslant t^{-\sigma_j+1-\gamma},&\qquad j&=1,\dots,m, \\ s^{\rho_i} & \leqslant t^{\gamma\rho_i+1-\gamma},&\qquad i&=1,\dots,n, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
из которых следует, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta)\subseteq \mathcal{P}(t,\gamma)^\ast,
\end{equation}
\tag{135}
$$
ибо в соответствии с определением 14 (см. п. 3.4.2) псевдоприсоединённый к $\mathcal{P}(t,\gamma)$ параллелепипед имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}(t,\gamma)^\ast=\biggl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in \mathbb{R}^d \biggm| \begin{alignedat}{2} &|z_j|\leqslant t^{-\sigma_j+1-\gamma}, &\quad j&=1,\dots,m \\ &|z_{m+i}|\leqslant t^{\gamma\rho_i+1-\gamma}, &\quad i&=1,\dots,n \end{alignedat} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя вновь теорему Малера в обличье теоремы 22, получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{Q}(s,\delta)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}(t,\gamma)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{136}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)\geqslant\delta \ \ \implies\ \ \omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant\gamma= \frac{(\sigma_m^{-1}-1)+\rho_n^{-1}\delta} {\sigma_m^{-1}+(\rho_n^{-1}-1)\delta}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant \frac{(\sigma_m^{-1}-1)+\rho_n^{-1}\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)} {\sigma_m^{-1}+(\rho_n^{-1}-1)\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя $( \sigma, \rho,\Theta)$ на $( \rho, \sigma,\Theta^\top)$, получаем (129). 6.2.3. Вывод теоремы о равномерных экспонентахПрименим описанную в п. 3.4.5 конструкцию “узлов” и “листьев”. Вместо параллелепипедов $\mathcal{Q}_r$, определяемых равенством (55), рассмотрим параллелепипеды
$$
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_r=\bigg\{\,\mathbf z=(z_1,\dots,z_d) \in\mathbb{R}^d \biggm| \begin{aligned} \, &|(z_1,\dots,z_m)|_{ \sigma}\leqslant (hH/r)^{-\alpha} \\ &|(z_{m+1},\dots,z_d)|_{ \rho}\leqslant r \end{aligned} \bigg\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, параллелепипеды $\mathcal{P}(t,\gamma)$ и $\mathcal{Q}(s,\delta)$ определим не соотношениями (47), (48), а соотношениями (132), (133). Воспользуемся рис. 8, условившись, что теперь $u$ и $v$ обозначают $|(z_{m+1},\dots,z_d)|_{ \rho}$ и $|(z_1,\dots,z_m)|_{ \sigma}$ соответственно. При фиксированных $s>1$ и $\delta\geqslant1$ определим $t$ и $\gamma$ равенствами (134) и положим
$$
\begin{equation*}
h=s,\qquad \beta=\delta,\qquad \alpha=\begin{cases} \dfrac{\sigma_m^{-1}+(\rho_n^{-1}-1)\delta}{\sigma_m^{-1}+\rho_n^{-1}-1} & \text{при}\ \ \delta\geqslant\dfrac{\rho_n(\sigma_m^{-1}-1)} {\sigma_m(\rho_n^{-1}-1)}\,, \\ \dfrac{(\sigma_m^{-1}+\rho_n^{-1}-1)\delta}{(\sigma_m^{-1}-1)+ \rho_n^{-1}\delta} & \text{при}\ \ \delta\leqslant\dfrac{\rho_n(\sigma_m^{-1}-1)} {\sigma_m(\rho_n^{-1}-1)}\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При таком выборе параметров параметры $\gamma$ и $\alpha$ связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\gamma=\begin{cases} \dfrac{1-\rho_n\alpha^{-1}}{1-\rho_n} & \text{при}\ \ \alpha\geqslant\dfrac{\rho_n}{\sigma_m}\,, \\ \dfrac{1-\sigma_m}{1-\sigma_m\alpha} & \text{при}\ \ \alpha\leqslant\dfrac{\rho_n}{\sigma_m}\,. \end{cases}
\end{equation}
\tag{137}
$$
Рассуждая так же, как в п. 3.4.6, получим импликацию
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)\geqslant\alpha\ \ \implies\ \ \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant\gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\geqslant \begin{cases} \dfrac{1-\rho_n\widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)^{-1}} {1-\rho_n} & \text{при}\ \ \widehat\omega_{ \rho, \sigma} (\Theta^\top)\geqslant\dfrac{\rho_n}{\sigma_m}\,, \\ \dfrac{1-\sigma_m\vphantom{1^{\textstyle|}}} {1-\sigma_m\widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)} & \text{при}\ \ \widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top) \leqslant\dfrac{\rho_n}{\sigma_m}\,. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя $( \sigma, \rho,\Theta)$ на $( \rho, \sigma,\Theta^\top)$, приходим к (130). 6.3. Результат МарнаПри $m=1$, $n=2$ (т. е. в случае, наиболее актуальном для гипотезы Литтлвуда) имеем $\sigma_1=1$, $\rho_n=\rho_2$ и $1-\rho_n=\rho_1$, что заметно упрощает вид неравенств (130). Замена $( \sigma, \rho,\Theta)$ на $( \rho, \sigma,\Theta^\top)$, как обычно, даёт ещё одно неравенство. Кроме того, в этом случае, так же как и в задаче классических совместных приближений (см. неравенство (16) в п. 3.2), для равномерной экспоненты выполняется неравенство $\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)\leqslant\rho_1^{-1}$ (при условии, что не все компоненты $\Theta$ рациональны). Таким образом, теорема 38 даёт следующее утверждение. Следствие 12. Пусть $m=1$, $n=2$, и пусть $\Theta\notin\mathbb{Q}^{2\times1}$. Тогда В работе [82] Марна доказал, что для каждого положительного $b<(3\rho_1)^{-1}$ и каждого $a$, удовлетворяющего неравенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_1a+\rho_2b&\geqslant1, \\ \rho_2a+\rho_1b&\leqslant1, \\ \rho_1a&\leqslant1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
существует несчётное количество матриц $\Theta\in\mathbb{R}^{2\times1}$, для которых $\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)=a$ и $\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta^\top)=b^{-1}$. Отсюда следует, что при $\widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta^\top)>3\rho_1$ и иррациональном $\theta_{11}$ неравенства (138), (139) точны. В частности, данный результат Марна говорит о том, что уже для $m+n=3$ при нетривиальных весах не существует аналога равенства Ярника (20). 6.4. Параметрическая геометрия чиселПодход, описанный в пп. 3.4.8, 4.4.4, позволяет работать и с диофантовыми приближениями с весами. Решётки $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$ мы определим соотношениями (131), т. е. так же, как в п. 4.4.4. Что же касается подпространства пространства параметров $\mathcal{T}$, соответствующего задаче диофантовых приближений с нетривиальными весами, то одним одномерным подпространством, в отличие от случая с тривиальными весами, не обойтись. Пусть заданы наборы весов $ \sigma=(\sigma_1,\dots,\sigma_m)$, $ \rho=(\rho_1,\dots,\rho_n)$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf e_1=\mathbf e_1( \sigma, \rho)&= (1-d\sigma_1,\dots,1-d\sigma_m,\underbrace{1,\dots,1}_{n}\,), \\ \mathbf e_2=\mathbf e_2( \sigma, \rho)&= (\underbrace{1,\dots,1}_{m},1-d\rho_n,\dots,1-d\rho_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если все $\sigma_j$ равны $1/m$, а все $\rho_i$ равны $1/n$, то векторы $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ пропорциональны. Если же веса нетривиальны, то $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ порождают двумерное подпространство пространства $\mathcal{T}$. Для каждых $\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_{ \sigma, \rho}(\gamma)&=\gamma\mathbf e_2-\mathbf e_1, \\ \mu^\ast_{ \sigma, \rho}(\delta)&=\delta\mathbf e_1-\mathbf e_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое $ \mu_{ \sigma, \rho}(\gamma)$ и каждое $ \mu^\ast_{ \sigma, \rho}(\delta)$ задают одномерные подпространства пространства $\mathcal{T}$. Соответственно, мы рассмотрим семейство путей $\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho}(\gamma)$, задаваемых отображениями $s\mapsto s \mu_{ \sigma, \rho}(\gamma)$, и семейство путей $\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho}(\delta)$, задаваемых отображениями $s\mapsto s \mu^\ast_{ \sigma, \rho}(\delta)$. Для этих путей определены нижние и верхние экспоненты Шмидта–Суммерера первого и второго типа (см. определение 17). В работе [68] показано, что взвешенные диофантовы экспоненты связаны с экспонентами Шмидта–Суммерера следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)&\geqslant\gamma \ \ \iff \ \ \underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda,\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho} (\gamma)\bigr)\leqslant1-\gamma, \\ \omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)&\leqslant\gamma \ \ \iff \ \ \underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda,\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho} (\gamma)\bigr)\geqslant1-\gamma, \\ \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)&\geqslant\gamma \ \ \iff \ \ \overline{\varphi}_1\bigl(\Lambda,\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho}(\gamma)\bigr) \leqslant1-\gamma, \\ \widehat\omega_{ \sigma, \rho}(\Theta)&\leqslant\gamma \ \ \iff \ \ \overline{\varphi}_1\bigl(\Lambda,\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho}(\gamma)\bigr) \geqslant1-\gamma \end{aligned}
\end{equation}
\tag{140}
$$
и, аналогично,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)&\geqslant\delta \ \ \iff \ \ \underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho} (\delta)\bigr)\leqslant1-\delta, \\ \omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)&\leqslant\delta \ \ \iff \ \ \underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho} (\delta)\bigr)\geqslant1-\delta, \\ \widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)&\geqslant\delta \ \ \iff \ \ \overline{\varphi}_1\bigl(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho} (\delta)\bigr)\leqslant1-\delta, \\ \widehat\omega_{ \rho, \sigma}(\Theta^\top)&\leqslant\delta \ \ \iff \ \ \overline{\varphi}_1\bigl(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho} (\delta)\bigr)\geqslant1-\delta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{141}
$$
Там же доказано, что если $\delta\geqslant1$, а $\gamma$ связано с $\delta$ правым соотношением (134), то
$$
\begin{equation}
\underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda^\ast,\mathfrak{T}^\ast_{ \sigma, \rho} (\delta)\bigr)\leqslant 1-\delta\ \ \implies\ \ \underline{\varphi}_1\bigl(\Lambda,\mathfrak{T}_{ \sigma, \rho} (\gamma)\bigr)\leqslant 1-\gamma.
\end{equation}
\tag{142}
$$
Ввиду (140) и (141) утверждение (142) есть не что иное, как переписанное в терминах экспонент Шмидта–Суммерера неравенство (129). Так же как и в случае неравенств Хинчина и Дайсона, данный подход позволяет представить неравенство (129) в виде цепочки неравенств между промежуточными экспонентами. Соответствующие определения и формулировки можно найти в работе [68].
7. Диофантовы экспоненты решётокВ предыдущих разделах мы занимались вопросом, насколько быстро может стремиться к нулю вектор $\Theta\mathbf x-\mathbf y$ для заданной матрицы $\Theta\in\mathbb{R}^{n\times m}$, если векторы $\mathbf x$ и $\mathbf y$ предполагаются целочисленными. Иными словами, мы изучали значения в целых точках набора из $n$ линейных форм, коэффициенты которых записаны в строках матрицы
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \Theta & -\mathbf I_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \theta_{11} & \dots & \theta_{1m} & -1 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \theta_{n1} & \dots & \theta_{nm} & 0 & \dots & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы рассматривали разные способы измерения “величины” векторов: при помощи sup-нормы, при помощи среднего геометрического модулей координат, а также при помощи взвешенных норм. Но всякий раз речь шла об $n$ линейных формах от $d=m+n$ переменных, т. е. количество линейных форм всегда было строго меньше размерности объемлющего пространства. Данный раздел посвящён задачам о наборах из $d$ линейных форм от $d$ переменных. Пусть $L_1,\dots,L_d$ – линейно независимые линейные формы от $d$ переменных. Рассмотрим решётку
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\{(L_1(\mathbf u),\dots,L_d(\mathbf u))\mid \mathbf u\in\mathbb{Z}^d\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Использовать какую-либо норму для измерения “величины” векторов решётки $\Lambda$ не очень осмысленно, ибо такая норма будет отделена от нуля на ненулевых точках этой решётки. Но вот среднее геометрическое модулей координат приводит к очень содержательным и порой весьма сложным задачам. Как и в разделе 5, для каждого вектора $\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d$ положим
$$
\begin{equation*}
\Pi(\mathbf z)=\prod_{1\leqslant i\leqslant d}|z_i|^{1/d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним также, что посредством $|\cdot|$ мы обозначаем sup-норму. Определение 26. Супремум вещественных $\gamma$ таких, что неравенство имеет бесконечно много решений в $\mathbf z\in\Lambda$, называется диофантовой экспонентой решётки $\Lambda$ и обозначается $\omega(\Lambda)$. 7.1. Спектр экспонент решётокИз теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что для любой решётки $\Lambda$ справедливо “тривиальное” неравенство Ясно, что $\omega(\Lambda)=0$ всякий раз, когда функция $\Pi(\mathbf x)$ отделена от нуля в ненулевых точках решётки $\Lambda$. К примеру, это так, если $\Lambda$ – решётка полного модуля вполне вещественного алгебраического расширения поля $\mathbb{Q}$, т. е. когда
$$
\begin{equation}
\Lambda=\begin{pmatrix} \sigma_1(\omega_1) & \sigma_1(\omega_2) & \dots & \sigma_1(\omega_d) \\ \sigma_2(\omega_1) & \sigma_2(\omega_2) & \dots & \sigma_2(\omega_d) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_d(\omega_1) & \sigma_d(\omega_2) & \dots & \sigma_d(\omega_d) \end{pmatrix}\mathbb{Z}^d,
\end{equation}
\tag{143}
$$
где $\omega_1,\dots,\omega_d$ – базис некоторого вполне вещественного расширения $E$ поля $\mathbb{Q}$ степени $d$, а $\sigma_1,\dots,\sigma_d$ – все вложения $E$ в $\mathbb{R}$. Такие решётки часто называют алгебраическими. Подробно об алгебраических решётках рассказывается, например, в книге Боревича и Шафаревича [83]. Известен и более широкий класс решёток, для которых $\omega(\Lambda)=0$. Существование таких решёток гарантируется знаменитой теоремой Шмидта о подпространствах, опубликованной Шмидтом в 1972 г. в работе [84]. Её формулировку и доказательство можно также найти в книге Бомбьери и Гублера [85]. В работах [86], [87] показано, что из теоремы о подпространствах следует, что если коэффициенты линейных форм $L_1,\dots,L_d$ являются алгебраическими числами и для любого $k$-набора $(i_1,\dots,i_k)$, $1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant d$, $1\leqslant k\leqslant d$, коэффициенты поливектора $L_{i_1}\wedge\cdots\wedge L_{i_k}$ линейно независимы над $\mathbb{Q}$, то $\omega(\Lambda)=0$. Как показано в работе [87], ослабление сформулированного выше условия линейной независимости позволяет построить для $d\geqslant3$ примеры решёток с экспонентами, принимающими значения вида
$$
\begin{equation}
\frac{ab}{cd}\,,\quad a,b,c\in\mathbb{N},\ \ a+b+c=d.
\end{equation}
\tag{144}
$$
Естественно предположить, что существуют решётки $\Lambda$ с любым неотрицательным значением $\omega(\Lambda)$. Для $d=2$ это легко доказывается при помощи цепных дробей (см. п. 2.5). Для $d\geqslant3$ этот вопрос пока открыт. В работе [88] доказано, что интервал содержится в спектре значений $\omega(\Lambda)$. Принадлежность же спектру каких-либо положительных чисел, не лежащих в интервале (145) и не имеющих вид (144), при $d\geqslant3$ на данный момент не доказана. 7.2. Решётки с положительным норменным минимумомАналогом свойства числа быть плохо приближаемым в случае решёток служит положительность норменного минимума. Определение 27. Пусть $\Lambda$ – решётка в $\mathbb{R}^d$ полного ранга. Её норменным минимумом называется величина Как было сказано в предыдущем пункте, если $\Lambda$ – алгебраическая решётка, то $N(\Lambda)>0$. Касселс и Суиннертон-Дайер в работе [78] показали, что гипотезу Литтлвуда (см. формулировку в начале раздела 5) можно вывести из следующего предположения, являющегося аналогом для разложимых форм степени $d$ гипотезы Оппенгейма о квадратичных формах. Последняя была доказана Маргулисом в середине 1980-х годов (см. [89]). Гипотеза Касселса–Суиннертона-Дайера. Пусть $d\geqslant3$, и пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$. Тогда условие $N(\Lambda)>0$ равносильно тому, что существует такой диагональный невырожденный оператор $D$, что решётка $D\Lambda$ является алгебраической, т. е. имеет вид (143). Основным инструментом доказательства того, что гипотеза Литтлвуда является следствием гипотезы Касселса–Суиннертона-Дайера, служит критерий компактности Малера (см. [10] и [78]). При $d=2$ утверждение гипотезы Касселса–Суиннертона-Дайера неверно. Действительно, в свете предложения 3 и геометрической интерпретации цепных дробей, описанной в п. 2.5, в двумерном случае решётка
$$
\begin{equation*}
\Lambda=\{(L_1(\mathbf u),L_2(\mathbf u))\mid\mathbf u\in\mathbb{Z}^2\}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет положительный норменный минимум тогда и только тогда, когда отношение коэффициентов формы $L_1$ и отношение коэффициентов формы $L_2$ суть плохо приближаемые числа, т. е. имеют ограниченные неполные частные. Соответственно, если эти два числа иррациональны, имеют ограниченные неполные частные, но последовательности этих неполных частных не периодичны, то $N(\Lambda)>0$, однако ни для какого диагонального оператора $D$ решётка $D\Lambda$ не является алгебраической. Благодаря теореме Дирихле об алгебраических единицах алгебраические решётки обладают богатыми группами симметрий, состоящими из диагональных операторов. Подробно об этом написано, например, в книгах [83], [19], а также в работе [90]. Это наблюдение обобщает на многомерный случай тот факт, что цепная дробь квадратичной иррациональности периодична. Таким образом, гипотеза Касселса–Суиннертона-Дайера утверждает, что при $d\geqslant3$ из неравенства $N(\Lambda)>0$, которое, напомним, является аналогом свойства числа быть плохо приближаемым, следует наличие у решётки $\Lambda$ богатой группы симметрий, состоящей из диагональных операторов. Это утверждение допускает переформулировку в терминах многомерных цепных дробей, а именно в терминах полиэдров Клейна. Определение 28. Пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$. Для каждого ортанта $\mathcal{O}$ рассмотрим выпуклую оболочку Каждая из полученных таким образом $2^d$ выпуклых оболочек называется полиэдром Клейна. В случае $d=2$ данное определение отличается от определения 6 полигона Клейна, данного в п. 2.5.4. Причина этого в том, что полигоны Клейна из определения 6 представляют собой геометрическую интерпретацию цепной дроби одного числа. Если же рассмотреть пару различных чисел, то соответствующая пара прямых разобьёт плоскость на четыре угла, а соответствующие две линейные формы дадут решётку полного ранга в $\mathbb{R}^2$. Эта конструкция в точности соответствует определению 28, но интерпретирует геометрически она уже цепные дроби двух чисел. Мы обсудим её подробнее в п. 7.3. Будем говорить, что решётка $\Lambda$ иррациональна, если никакие ненулевые точки решётки $\Lambda$ не имеют нулевых координат. Если решётка иррациональна, то каждый из $2^d$ полиэдров Клейна является обобщённым многогранником, т. е. множеством, пересечение которого с любым многогранником также является многогранником. Этот факт доказан в работе [91]. В частности, в этом случае каждая вершина принадлежит конечному числу граней. Если при этом и двойственная решётка $\Lambda^\ast$ иррациональна, то, как показано в работе [92], каждая грань каждого из $2^d$ полиэдров Клейна компактна. В частности, каждая грань имеет конечное число вершин. В двумерном случае, как показано в п. 2.5.4, роль неполных частных играют рёбра и вершины полигонов Клейна, оснащённые такими линейными целочисленными инвариантами, как целочисленная длина ребра и целочисленный угол при вершине. В многомерном случае естественно рассматривать $(d-1)$-мерные грани и рёберные звёзды при вершинах полиэдров Клейна, оснащённые какими-нибудь подходящими линейными целочисленными инвариантами. В работах [92]–[95] в качестве таких инвариантов рассматриваются определители граней и рёберных звёзд. Определение 29. Пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$. Пусть и $\Lambda$, и $\Lambda^\ast$ иррациональны. Пусть $\mathcal{K}$ – один из $2^d$ полиэдров Клейна решётки $\Lambda$. (i) Пусть $F$ – произвольная $(d-1)$-мерная грань $\mathcal{K}$, и пусть $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ – вершины $F$. Определителем грани $F$ называется величина
$$
\begin{equation*}
\det F=\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_d\leqslant k} |\!\det(\mathbf v_{i_1},\dots,\mathbf v_{i_d})|.
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) Пусть $\mathbf v$ – произвольная вершина $\mathcal{K}$, и пусть она инцидентна $k$ рёбрам. Пусть $\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_k$ – примитивные векторы решётки $\Lambda$, параллельные этим рёбрам. Определителем рёберной звезды $\operatorname{St}_{\mathbf v}$ вершины $\mathbf v$ называется величина Нетрудно заметить, что при $d=2$ и $\det\Lambda=1$ определители рёбер равны их целочисленным длинам, а определители рёберных звёзд при вершинах равны целочисленным углам между соответствующими рёбрами. В соответствии со следствием 6 (см. п. 2.5.1) свойство иррационального числа быть плохо приближаемым равносильно ограниченности его неполных частных. В работах [92]–[94] доказывается следующее многомерное обобщение этого утверждения. Теорема 39 (О. Н. Герман, 2006 г.). Пусть $\Lambda$ – иррациональная решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) $N(\Lambda)>0$; (ii) определители $(d-1)$-мерных граней всех $2^n$ полиэдров Клейна, соответствующих решётке $\Lambda$, ограничены (некоторой единой константой); (iii) определители $(d-1)$-мерных граней и рёберных звёзд вершин полиэдра Клейна, соответствующего решётке $\Lambda$ и положительному ортанту, ограничены (некоторой единой константой). Упомянутое выше следствие теоремы Дирихле об алгебраических единицах можно конкретизировать. Если $\Lambda$ – алгебраическая решётка в $\mathbb{R}^d$, то существует группа, изоморфная $\mathbb{Z}^{d-1}$, состоящая из диагональных операторов с положительными элементами на диагонали, каждый из которых сохраняет решётку. В этом случае комбинаторная структура границы каждого из $2^d$ полиэдров Клейна, оснащённая любыми интересующими нас линейными целочисленными инвариантами, $(d-1)$-периодична. Таким образом, теорема 39 позволяет переформулировать гипотезу Касселса–Суиннертона-Дайера следующим образом. Гипотеза Касселса–Суиннертона-Дайера (переформулировка). Предположим, что $d\geqslant3$, и пусть $\Lambda$ – иррациональная решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$. Пусть $\mathcal{K}$ – один из $2^n$ полиэдров Клейна, соответствующих решётке $\Lambda$. Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) определители $(d-1)$-мерных граней и рёберных звёзд вершин $\mathcal{K}$ ограничены (некоторой единой константой); (ii) комбинаторная структура границы $\mathcal{K}$, оснащённая определителями $(d-1)$-мерных граней и рёберных звёзд вершин, $(d-1)$-периодична. Таким образом, можно сказать, что гипотеза Касселса–Суиннертона-Дайера утверждает, что при $d\geqslant3$ ограниченность многомерных аналогов неполных частных влечёт периодичность соответствующей многомерной цепной дроби. 7.3. Связь с ростом многомерных аналогов неполных частныхЕсли утверждение пункта (ii) или пункта (iii) теоремы 39 не выполняется, то $N(\Lambda)>0$, т. е. $\Pi(\mathbf z)$ может принимать сколь угодно малые значения на ненулевых $\mathbf z\in\Lambda$. В двумерном случае можно вспомнить следствие 7 (см. п. 2.5.1), связывающее диофантову экспоненту числа с ростом его неполных частных. Соответствие, описанное в п. 2.5.2, позволяет сформулировать утверждение, эквивалентное следствию 7, в терминах диофантовых экспонент решёток ранга $2$. Распространим определение 6 полигонов Клейна на случай двух чисел $\theta_1$ и $\theta_2$ следующим образом: рассмотрим выпуклые оболочки ненулевых целых точек в четырёх углах, на которые разбивают плоскость прямые $y=\theta_1x$ и $y=\theta_2x$ (см. рис. 11). Для одного числа неполное частное $a_{k+1}$ равно целочисленному углу при вершине $\mathbf v_k$ соответствующего полигона Клейна, тогда как знаменатель $q_k$ отличается на ограниченный множитель от $|\mathbf v_k|$. Стало быть, для двух чисел соотношение (4) из следствия 7 даёт равенство
$$
\begin{equation}
\max\bigl(\omega(\theta_1),\omega(\theta_2)\bigr)= 1+\limsup_{\substack{\mathbf w\in \mathcal{W},\ |\mathbf w|>1 \\ |\mathbf w|\to\infty}}\frac{\log(\det\operatorname{St}_{\mathbf w})}{\log|\mathbf w|}\,,
\end{equation}
\tag{146}
$$
где через $\mathcal{W}$ обозначено множество вершин всех четырёх расширенных полигонов Клейна. Обратимся теперь к диофантовой экспоненте решётки $\Lambda=A\mathbb{Z}^2$, где
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} \theta_1 & -1 \\ \theta_2 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\mathcal{V}$ множество вершин всех четырёх полиэдров Клейна решётки $\Lambda$. Поскольку $\mathcal{V}=A\mathcal{W}$, для $\mathbf v=A(\mathbf w)$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
|\mathbf v|\asymp|\mathbf w|, \qquad \det\operatorname{St}_{\mathbf w}\asymp\det\operatorname{St}_{\mathbf v}.
\end{equation}
\tag{147}
$$
Если при этом $\mathbf w=(q,p)$, то при достаточно большом $|q|$
$$
\begin{equation}
\Pi(\mathbf v)\asymp|\mathbf v|^{-\gamma} \ \ \iff \ \ \min\bigl(|q\theta_1-p|,|q\theta_2-p|\bigr)\asymp q^{-1-2\gamma}.
\end{equation}
\tag{148}
$$
Далее, поскольку выполнение условия $\Pi(\mathbf v)\geqslant|\mathbf v|^{-\gamma}$ для всех вершин всех полиэдров Клейна решётки $\Lambda$ влечёт выполнение этого условия и для всех ненулевых точек решётки $\Lambda$, приходим к следующему равенству:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \omega(\Lambda)=\sup\{\gamma\in\mathbb{R}\mid & \text{ существует бесконечно много }\mathbf v \in\mathcal{V} \\ &\text{ таких, что }\Pi(\mathbf v)\leqslant|\mathbf v|^{-\gamma}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу соотношения (148)
$$
\begin{equation*}
\max\bigl(\omega(\theta_1),\omega(\theta_2)\bigr)=1+2\omega(\Lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (146) и (147), получаем
$$
\begin{equation}
\omega(\Lambda)= \frac{1}{2}\limsup_{\substack{\mathbf v\in \mathcal{V},\ |\mathbf v|>1 \\ |\mathbf v|\to\infty}}\frac{\log(\det\operatorname{St}_{\mathbf v})} {\log|\mathbf v|}\,.
\end{equation}
\tag{149}
$$
Итак, соотношение (149) является аналогом равенства (4) из следствия 7 для диофантовых экспонент решёток ранга $2$. Оно допускает многомерные обобщения, но на данный момент во всей полноте обобщение не получено. Известен лишь следующий результат, полученный в работе [95]. Теорема 40 (Э. Р. Бигушев, О. Н. Герман, 2022 г.). Пусть $\Lambda$ – иррациональная решётка полного ранга в $\mathbb{R}^3$. Пусть $\mathcal{V}$ обозначает множество вершин всех восьми полиэдров Клейна решётки $\Lambda$. Тогда В той же работе [95] показано, что основное утверждение, на котором базируется доказательство теоремы 40, не допускает обращения ввиду наличия контрпримера. Тем не менее, возможно, это утверждение носит слишком локальный характер и необходимо несколько “ослабить” локальность. Ещё один способ, которым можно пытаться превратить неравенство (150) в равенство, – это найти более подходящую количественную характеристику многомерных неполных частных, чем определитель. 7.4. Теорема переносаДля диофантовых экспонент решёток также существует теорема переноса. И её, так же как и в случае теорем переноса Хинчина, Дайсона и их обобщений для мультипликативных экспонент и диофантовых приближений с весами, проще всего выводить из теоремы Малера в обличье теоремы 22. Как и прежде, через $\Lambda^\ast$ обозначаем решётку, двойственную решётке $\Lambda$. При $d=2$ решётка $\Lambda^\ast$ совпадает с точностью до гомотетии с решёткой $\Lambda$, повёрнутой на $\pi/2$, так что в двумерном случае справедливо очевидное равенство $\omega(\Lambda)=\omega(\Lambda^\ast)$. Следующая теорема доказана в работе [87]. Теорема 41. Если одна из экспонент $\omega(\Lambda)$, $\omega(\Lambda^\ast)$ равна нулю, то равна нулю и другая. Если же они обе отличны от нуля, то Покажем, как теорему 41 вывести из теоремы 22. Для каждого набора $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in\mathbb{R}_+^d$ определим параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda)$ формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda)=\bigl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d\bigm| |z_i|\leqslant\lambda_i,\ i=1,\dots,d\bigr\}.
\end{equation}
\tag{152}
$$
Будем каждому такому набору $ \lambda$ ставить в соответствие набор
$$
\begin{equation}
\lambda^\ast=(\lambda_1^\ast,\dots,\lambda_d^\ast),\qquad \lambda_i^\ast=\lambda_i^{-1}\Pi( \lambda)^d, \quad i=1,\dots,d.
\end{equation}
\tag{153}
$$
Тогда $\mathcal{P}( \lambda)^\ast=\mathcal{P}( \lambda^\ast)$, т. е. параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda^\ast)$ является псевдоприсоединённым параллелепипедом для $\mathcal{P}( \lambda)$ (см. определение 14 в п. 3.4.2). По теореме 22
$$
\begin{equation}
\mathcal{P}( \lambda^\ast)\cap\Lambda^\ast\ne \{\mathbf 0\}\ \ \implies\ \ (d-1)\mathcal{P}( \lambda)\cap\Lambda\ne \{\mathbf 0\}.
\end{equation}
\tag{154}
$$
Далее, для каждого $\delta\geqslant0$ положим Если $\Pi( \lambda^\ast)=| \lambda^\ast|^{-\delta}$, то
$$
\begin{equation*}
\Pi( \lambda)=\Pi( \lambda^\ast)^{1/(d-1)}= | \lambda^\ast|^{-\delta/(d-1)}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
| \lambda|\leqslant\frac{\Pi( \lambda)^d} {\min_{1\leqslant i\leqslant d}|\lambda_i|^{d-1}}= \frac{| \lambda^\ast|^{d-1}}{\Pi( \lambda)^{d(d-2)}}= | \lambda^\ast|^{d-1+d(d-2)\delta/(d-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\Pi( \lambda^\ast)=| \lambda^\ast|^{-\delta}\ \ \implies\ \ \Pi( \lambda)\leqslant| \lambda|^{-\gamma}.
\end{equation}
\tag{155}
$$
Из (155) и (154) получаем
$$
\begin{equation*}
\omega(\Lambda^\ast)\geqslant\delta\ \ \implies\ \ \omega(\Lambda)\geqslant\gamma=\frac{\delta}{(d-1)^2+d(d-2)\delta}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\omega(\Lambda)\geqslant \frac{\omega(\Lambda^\ast)}{(d-1)^2+d(d-2)\omega(\Lambda^\ast)}
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же самое,
$$
\begin{equation*}
\frac{1+\omega(\Lambda)^{-1}}{1+\omega(\Lambda^\ast)^{-1}}\leqslant (d-1)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
А поскольку $\Lambda$ и $\Lambda^\ast$ можно менять местами, получаем оба неравенства (151). 7.5. Параметрическая геометрия чиселВ п. 3.4.8 мы описали подход, восходящий к Шмидту и Суммереру. Фундаментальную роль при таком подходе играет пространство параметров
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}=\bigl\{ \tau=(\tau_1,\dots,\tau_d)\in \mathbb{R}^d\bigm| \tau_1+\cdots+\tau_d=0 \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В пп. 3.4.8, 4.4.4 мы видели, что задаче приближения нуля значениями нескольких линейных форм соответствуют одномерные подпространства пространства $\mathcal{T}$, по которым $ \tau$ нужно устремлять к бесконечности. В задачах диофантовых приближений с нетривиальными весами, как мы видели в п. 6.4, возникает необходимость работать с двумерными подпространствами пространства $\mathcal{T}$. В контексте же задач, связанных с диофантовыми экспонентами решёток, нужно работать со всем пространством $\mathcal{T}$. Для каждого $ \tau\in\mathcal{T}$ положим Каждая норма в $\mathbb{R}^d$, в частности sup-норма $|\cdot|$, индуцирует норму в $\mathcal{T}$. Но функционал $|\cdot|_+$ не является нормой при $d\geqslant3$, ибо соответствующие “единичные шары” являются симплексами, которые, очевидно, не симметричны относительно начала координат. Однако функционал $|\cdot|_+$ играет очень важную роль, поскольку он является образом sup-нормы при логарифмическом отображении: если
$$
\begin{equation*}
\mathbf z=(z_1,\dots,z_d),\qquad z_i>0,\quad i=1,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
и то Ясно, что функционал $|\,\cdot\,|_+$ порождает монотонное исчерпывание пространства $\mathcal{T}$, т. е. $\mathcal{T}=\displaystyle\bigcup_{\lambda>0}\mathcal{S}(\lambda)$, где
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}(\lambda)=\{ \tau\in\mathcal{T}\mid f( \tau)\leqslant \lambda\}\quad\text{при }\lambda>0,
\end{equation*}
\notag
$$
причём каждое множество $\mathcal{S}(\lambda)$ компактно и $\mathcal{S}(\lambda')$ содержится в (относительной) внутренности $\mathcal{S}(\lambda'')$ при $\lambda'<\lambda''$. В частности, $| \tau|_+\to\infty$ тогда и только тогда, когда $| \tau|\to\infty$. Диофантовы экспоненты решёток требуют следующей модификации определения 17. Определение 30. Пусть заданы решётка $\Lambda$ и число $k\in\{1,\dots,d\}$. Величины Определение 31. Пусть заданы решётка $\Lambda$ и число $k\in\{1,\dots,d\}$. Величины Как показано в работе [68], диофантова экспонента решётки связана с $\underline{\varphi}_1(\Lambda)$ соотношением
$$
\begin{equation*}
\bigl(1+\omega(\Lambda)\bigr)\bigl(1+\underline{\varphi}_1(\Lambda)\bigr)=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это соотношение равносильно соотношению
$$
\begin{equation*}
1+\omega(\Lambda)^{-1}=-\underline{\varphi}_1(\Lambda)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому неравенства (151) можно переписать следующим способом:
$$
\begin{equation*}
(d-1)^{-2}\leqslant \frac{\underline{\varphi}_1(\Lambda^\ast)}{\underline{\varphi}_1(\Lambda)} \leqslant (d-1)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
И так же, как в случае неравенств Хинчина, Дайсона и неравенства переноса для диофантовых приближений с весами, при помощи данного подхода можно представить неравенство (151) в виде цепочки неравенств между промежуточными экспонентами. Соответствующие определения и формулировки можно найти в работе [68]. 7.6. Равномерная экспонента и константа МорделлаКак может заметить внимательный читатель, во всех предыдущих разделах речь шла о двух типах диофантовых экспонент: о регулярных и о равномерных. Но в случае диофантовых экспонент решёток, т. е. везде выше в этом разделе, мы по сути говорили всегда о регулярных экспонентах, ни разу не упомянув их равномерный аналог. На то есть свои причины, которым мы и посвятим данный пункт. Дело в том, что, так же как и в случае задачи приближения одного числа рациональными (см. п. 2.6), равномерная экспонента решётки “тривиальна”: она равна либо бесконечности, либо нулю. Равномерным аналогом экспоненты $\omega(\Lambda)$ естественно считать величину $\widehat\omega(\Lambda)$, равную супремуму вещественных чисел $\gamma$, для которых при любом достаточно большом $t$ и любом $ \lambda\in\mathbb R_+^d$, удовлетворяющем соотношениям параллелепипед $\mathcal P( \lambda)$, определяемый равенством (152), содержит ненулевую точку решетки $\Lambda$.7.6.1. Константа МорделлаВ 1937 г. в работе [96] Морделл поставил вопрос: верно ли, что существует константа $c$, зависящая только от размерности $d$, такая, что для любой решётки $\Lambda$ с определителем $1$ найдётся набор $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in\mathbb{R}_+^d$, удовлетворяющий двум условиям
$$
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{d}\lambda_i=c\quad\text{и}\quad \mathcal{P}( \lambda)\cap\Lambda=\{\mathbf 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{P}( \lambda)$ – параллелепипед, определяемый равенством (152)? В том же году Зигель в письме к Морделлу доказал, что ответ на данный вопрос положителен. Несколько иное доказательство было предложено Давенпортом в работе [97]. Давенпорт доказал следующее утверждение. Теорема 42 (Х. Давенпорт, 1937 г.). Пусть $\Lambda$ – решётка полного ранга в $\mathbb{R}^d$ с определителем $1$. Пусть задан произвольный набор $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in\mathbb{R}_+^d$ такой, что Пусть $\mu_k=\mu_k\bigl(\mathcal{P}( \lambda),\Lambda\bigr)$, $k=1,\dots,d$, обозначает $k$-й последовательный минимум параллелепипеда $\mathcal{P}( \lambda)$ относительно решётки $\Lambda$. Тогда существуют такая положительная константа $c$, зависящая только от $d$, и такая перестановка $k_1,\dots,k_d$ индексов $1,\dots,d$, что во внутренности параллелепипеда $\mathcal{P}( \lambda')$, где нет ненулевых точек решётки $\Lambda$. Ввиду второй теоремы Минковского (см. теорему 24 в п. 3.4.8), для набора $ \lambda'$ из теоремы 42 справедливо неравенство Таким образом, теорема 42, действительно, даёт положительный ответ на вопрос Морделла. Соответственно, если для каждой решётки $\Lambda$ в $\mathbb{R}^d$ с определителем $1$ определить константу Морделла как
$$
\begin{equation*}
\kappa(\Lambda)=\sup_{\substack{ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in \mathbb{R}_+^d \\ \mathcal{P}( \lambda)\cap\Lambda=\{\mathbf 0\}}}\, \prod_{i=1}^{d}\lambda_i,
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\kappa_d=\inf_{\Lambda\colon\det\Lambda=1}\kappa(\Lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
больше нуля при любом $d$. Самая лучшая на данный момент оценка принадлежит Шапире и Вайсу [98]. Их результат подтвердил предположение Рамхартера [99], что $\limsup_{d\to\infty}\kappa_d^{1/(d\log d)}>0$. 7.6.2. Тривиальность равномерной экспонентыТеорема 42 имеет локальную природу. Поэтому она позволяет находить “пустые” параллелепипеды фиксированного объёма сколь угодно “далеко”. Предположим для простоты, что первая координатная ось
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \bigm| z_i=0,\ i=2,\dots,d\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
не содержится ни в каком подпространстве $\mathcal{L}$ размерности $k<d$ таком, что $\mathcal{L}\cap\Lambda$ является решёткой ранга $k$. Тогда при любом $\varepsilon>0$ цилиндр
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\mathbf z=(z_1,\dots,z_d)\in\mathbb{R}^d \bigm| |z_i|<\varepsilon,\ i=2,\dots,d\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит $d$ линейно независимых точек решётки $\Lambda$. Следовательно, для каждого такого $\varepsilon$ найдутся $\lambda\in\mathbb{R}_+$ и, соответственно, набор $ \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_d)\in\mathbb{R}_+^d$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=\lambda, \qquad \lambda_i=\lambda^{-1/(d-1)}, \quad i=2,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
такие, что
$$
\begin{equation*}
\mu_d\bigl(\mathcal{P}( \lambda),\Lambda\bigr)\lambda^{-1/(d-1)} <\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме 42 параллелепипед $\mu_d\bigl(\mathcal{P}( \lambda),\Lambda\bigr)\mathcal{P}( \lambda)$ содержит параллелепипед $\mathcal{P}( \lambda')$ фиксированного объёма, в котором нет ненулевых точек решётки $\Lambda$. Отсюда немедленно следует, что $\widehat\omega(\Lambda)=0$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ger23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|