| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества О задаче Дэвиса–Монро П. А. Яськов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10088e 
Реферативные базы данных:
    В работе решена задача Дэвиса и Монро [2] о значениях $\varepsilon>0$, при которых $\mu_\varepsilon$, распределение броуновского движения с нелинейным сносом $B_\varepsilon=B+\varepsilon F$ как случайного элемента в $C[0,1]$, эквивалентно (сингулярно) винеровской мере $\mu$ на $C[0,1]$, где $B=(B(t))_{t\in[0,1]}$ – стандартное броуновское движение, $F(t)=\sqrt{(t-\tau)^+}$ при $t\in[0,1]$, а $\tau$ – момент возникновения сноса, равномерно распределенный на $[0,1]$ и не зависящий от $B$. Данная задача тесно связана с теорией гауссовского мультипликативного хаоса. Отметим, что в силу теоремы Камерона–Мартина (см. [4; теорема 1.38]) такой вид степенного сноса является критическим: если $F(t)\equiv t^\alpha$ и $\alpha>0$, то для всех $\varepsilon>0$ указанные меры $\mu_\varepsilon$ будут эквивалентны $\mu$ ($\mu_\varepsilon\sim \mu$) при $\alpha>1/2$ и сингулярны $\mu$ ($\mu_\varepsilon\perp \mu$) при $\alpha\leqslant 1/2$. В пограничном случае $\alpha=1/2$ ситуация становится более деликатной, если снос возникает в случайный момент времени $\tau$. Как установлено в [2], если $F(t)=\sqrt{(t-\tau)^+}$ и $\tau$ удовлетворяет свойствам выше, то $\mu_\varepsilon\ll\mu$, т. е. мера $\mu_\varepsilon$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, при $\varepsilon<2$ и $\mu_\varepsilon\perp\mu$ при $\varepsilon>\sqrt{8}$ . Наш основной результат – теорема 1 ниже – покрывает неиследованный случай $\varepsilon\in [2,\sqrt{8}\,]$. Теорема 1. $\mu_\varepsilon\sim\mu$ при $0<\varepsilon<\sqrt{8}$ и $\mu_\varepsilon\perp\mu$ при $\varepsilon\geqslant\sqrt{8}$ . Доказательство теоремы 1 в случае $\varepsilon\geqslant\sqrt{8}$ основано на следующем наблюдении: $\varlimsup M_n(Z)\leqslant 0$ п. н. при $Z=B$ и $\varlimsup M_n(Z)>0$ п. н. при $Z=B_\varepsilon$ и $\varepsilon\geqslant\sqrt{8}$ , где верхний предел берется при $n\to\infty$,
$$
\begin{equation*}
M_n(Z)=\max_{k=0,\dots,4^n-2^n-1}\biggl\{\frac1{\sqrt{\ln(4^n-k)}} \int_{(k+1)4^{-n}}^1\frac{dZ(t)}{\sqrt{t-k\,4^{-n}}}- \sqrt{2\ln(4^n-k)}\,\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а интегралы понимаются в смысле Римана–Стилтьеса.
Доказательство теоремы 1 при $\varepsilon<\sqrt{8}$ основано на рассмотрении вспомогательного процесса $B_{\varepsilon,\delta}=B+\varepsilon F_\delta$ со значениями в измеримом пространстве $(C[0,1],\mathcal C)$ и его распределения $\mu_{\varepsilon,\delta}$, где $\delta>0$, $F_\delta(t)=\sqrt{(t-\tau)^++\delta}-\sqrt{\delta}$ при $t\in[0,1]$, а $\mathcal C$ – борелевская $\sigma$-алгебра в пространстве $C[0,1]$ с равномерной метрикой. Очевидно, что $B_{\varepsilon,\delta}\to B_{\varepsilon}$ п. н. в равномерной метрике при $\delta\to0$. Дальнейшее доказательство свойства $\mu_\varepsilon\ll \mu$ сводится к проверке того, что $\mu_{\varepsilon,\delta}\ll\mu$ для всех $\delta>0$ и
$$
\begin{equation}
\frac{d\mu_{\varepsilon,\delta}}{d\mu} \text{ сходится в }L_1(C[0,1],\mathcal C,\mu)\text{ при }\delta\to0.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Пусть далее $(\Omega,\mathcal F,\mathsf P)=(C[0,1],\mathcal C,\mu)$ – вероятностное пространство с броуновским движением $B$, заданным формулой $B(\omega)\equiv \omega$, $\omega\in\Omega$. По формуле Камерона–Мартина–Гирсанова имеем $\mu_{\varepsilon,\delta}\ll\mu$ и $d\mu_{\varepsilon,\delta}/d\mu=I(\varepsilon X_\delta/2)$, где $X_\delta(t):=\displaystyle\int_t^1 \frac{dB(s)}{\sqrt{s-t+\delta}}$ , $t\in [0,1]$, а $I(X):=\displaystyle\int_0^1\mathcal E(X(t))\,dt$ для гауссовского процесса $X=(X(t))_{t\in[0,1]}$ на $(\Omega,\mathcal F,\mathsf P)$ со значениями в $C[0,1]$, $\mathcal E(\xi)=e^{\xi-\mathsf E\xi^2/2}$ для гауссовской величины $\xi$ (здесь $\mathsf E$ – математическое ожидание по мере $\mathsf P$).
Интересующая нас модель отвечает случаю $\delta=0$. Формально устремляя $\delta$ к нулю, под знаком интеграла $I(\varepsilon X_0/2)$ получаем “гауссовский” процесс $X_0(t):=\displaystyle\int_t^1 \frac{dB(s)}{\sqrt{s-t}}$ , ковариационная функция которого неотрицательна и имеет вид $K(s,t)=-\ln|s-t|+g(s,t)$ для некоторой функции $g$, непрерывной на квадрате $[0,1]^2$ за исключением точки $(1,1)$. В обычном понимании такого процесса не существует, поскольку $K(t,t)=\infty$ при $t\in[0,1)$. При этом, однако, $X_0$ можно задать как гауссовское семейство величин вида $\displaystyle\int_0^1X_0(t)\,\rho(dt)$, индексированных неотрицательными мерами $\rho$ на $(0,1)$ со стандартной борелевской $\sigma$-алгеброй, для которых $\displaystyle\iint_{(0,1)^2}K(s,t)\,\rho(ds)\,\rho(dt)<\infty$. В теории гауссовского мультипликативного хаоса хорошо известно (см., например, [1]), что если $g$ в представлении $K$ непрерывна на $[0,1]^2$, то интеграл вида $I(\varepsilon X_0/2)$ при $\varepsilon<\sqrt{8}$ можно определить как предел в $L_1$ величин $I(\varepsilon X_{\delta,G}/2)$ при $\delta\to0$ для $X_{\delta,G}(t)=\displaystyle\int_0^1 X_0(s)\,d\biggl(1- G\biggl(\dfrac{t-s}{\delta}\biggr)\biggr)$, где $G\colon\mathbb R\to[0,1]$ – функция вероятностного распределения с носителем в $(0,1)$, для которой $\displaystyle\sup_{0\leqslant t\leqslant 1/2}\displaystyle\int_0^1 \ln\dfrac1{|t-s|}\,dG(s)<\infty$. Указанный предел не будет зависеть от конкретного выбора $G$. Наш случай формально не покрывается известными результатами. Тем не менее его можно рассмотреть, модифицируя метод из [1] (в форме доказательства теоремы 4.1.1 в [3]). Таким образом, можно установить (1), откуда следует, что $\mu_{\varepsilon}\ll\mu$ и $d\mu_\varepsilon/d\mu=I(\varepsilon X_0/2)$ есть предел в $L_1$ величин $I(\varepsilon X_{\delta}/2)$ при $\varepsilon<\sqrt{8}$. Доказательство свойства $\mu\ll \mu_{\varepsilon}$ сводится к установлению того, что $\mu(I=0)=0$, где $I=I(\varepsilon X_0/2)$. Последнее вытекает из оценки
$$
\begin{equation}
I\geqslant \frac{I_1(\gamma)}2\inf_{t\in [0,1/2-\gamma]} \mathcal E\biggl(\frac{\varepsilon Z_0(t)}{2}\biggr)+ \frac{I_2}{2} \quad\text{для всех } \gamma\in\biggl(0,\frac{1}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $I_1(\gamma)=2\displaystyle\int_{0}^{1/2-\gamma} \mathcal E\biggl(\dfrac{\varepsilon Y_0(t)}{2}\biggr)\,dt$, $\gamma\in\biggl(0,\dfrac{1}{2}\biggr)$, и $I_2=2\displaystyle\int_{1/2}^1 \mathcal E\biggl(\frac{\varepsilon X_0(t)}{2}\biggr)\,dt$ независимы (интегралы $I_1(\gamma)$ и $I_2$ определяются предельным переходом в $L_1$ по аналогии с $I$) и
$$
\begin{equation*}
Y_0(t):=\int_t^{1/2}\frac{dB(s)}{\sqrt{s-t}}\,,\quad Z_0(t):=\int_{1/2}^1\frac{dB(s)}{\sqrt{s-t}}= \frac{B(1)}{\sqrt{1-t}}-\frac{B(1/2)}{\sqrt{1/2-t}}+ \frac{1}{2}\int_{1/2}^1\frac{B(s)\,ds}{(s-t)^{3/2}}
\end{equation*}
\notag
$$
при $t\in[0,1/2)$. При этом, как следует из подходящей замены переменных под интегралом и свойств броуновского движения, $I_1(0)$ и $I_2$ распределены так же, как $I$. Кроме того, в силу непрерывности траекторий п. н. и гауссовости процесса $Z_0$ инфимум в (2) положителен для всех $\gamma\in(0,1/2)$ п. н. Все это, в частности, позволяет установить, что
$$
\begin{equation*}
\mu(I=0)\leqslant \mu\bigl(I_1(\gamma)=0 \,\, \forall\,\gamma\in(0,1/2); I_2=0\bigr)=\mu\bigl(I_1(0)=0;I_2=0\bigr)=[\mu(I=0)]^2,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mu(I=0)=0$ или $1$. Поскольку $\mathsf E I=\lim_{\delta\to 0}\mathsf E I(\varepsilon X_\delta/2)=1$, то $\mu(I=0)=0$, а значит, $\mu\ll \mu_{\varepsilon}$.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Yas22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|