| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Отображение в виртуальные косы и представления кос В. О. Мантуровa, И. М. Никоновb a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10087e 
Реферативные базы данных:
    Цель работы – построить новые представления группы (крашеных) кос, используя методы теории четностей и инвариантов в картинках [3], [4]. Рассмотрим косу $\beta$ с $n$ нитями $\beta_k\colon[0,1]\to \mathbb R^2=\mathbb C$, $k=1,\dots,n$. Зафиксируем индекс $k\in \{1,\dots,n\}$. Набор нитей $p_k(\beta)_l\colon [0,1]\to \mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{0\}$, $l\ne k$, заданных формулами $p_k(\beta)_l(t)=\beta_l(t)-\beta_k(t)$, задает косу $p_k(\beta)$ из $n-1$ нитей в утолщенном цилиндре $\mathbb C^*\times[0,1]$. Отображение $z\mapsto z/|z|$ из $\mathbb C^*$ в $S^1=\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}$ индуцирует проекцию утолщенного цилиндра $\mathbb C^*\times[0,1]$ в цилиндр $S^1\times [0,1]$, переводящую косу $p_k(\beta)$ в диаграмму косы в цилиндре. Эту диаграмму будем также обозначать $p_k(\beta)$. Аналогично, паре индексов $k,l\in \{1,\dots,n\}$ соответствует коса $q_{k,l}(\beta)$ в утолщенном цилиндре $\mathbb C^*\times[0,1]$ с $n-2$ нитями
$$
\begin{equation*}
q_{k,l}(\beta)_i(t)= \frac{\beta_i(t)-\beta_k(t)}{\beta_l(t)-\beta_k(t)}\,,\qquad i\ne k,l,\quad t\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\beta'$ – диаграмма косы в цилиндре $S^1\times[0,1]$. Выберем произвольное натуральное число $d$. Накрывающее отображение $(z,t)\mapsto (z^d,t)$ цилиндра переводит диаграмму $\beta'$ в диаграмму с тем же числом нитей. Пересечения нитей, не являющиеся образами перекрестков $\beta'$, пометим как виртуальные перекрестки (рис. 1). Полученную виртуальную диаграмму косы обозначим через $f_d(\beta')$. Наконец, при заданной виртуальной диаграмме косы $\beta''$ на цилиндре $S^1\times[0,1]$ рассмотрим проекцию цилиндра в плоскость, ограничение которой на нити диаграммы регулярно и которая сохраняет ориентацию поверхности в (классических и виртуальных) перекрестках диаграммы. В полученной при проекции диаграмме образы классических перекрестков пометим как классические, образы виртуальных – как плоские (обозначаются жирными точками), а возникающие дополнительные пересечения нитей – как виртуальные перекрестки (рис. 1). Полученную плоско-виртуальную диаграмму кос обозначим через $\psi(\beta'')$. Назовем плоско-виртуальной косой класс эквивалентности плоско-виртуальных диаграмм кос по модулю изотопий диаграмм и следующих движений: классические, плоские и виртуальные вторые движения Рейдемейстера; чистые классические, плоские и виртуальные третьи движения Рейдемейстера; смешанные третьи движения Рейдемейстера, в которых два перекрестка являются плоскими или два перекрестка являются виртуальными; дальняя коммутативность. Плоско-виртуальные косы на $n$ нитях образуют группу $\operatorname{FVB}_n$ относительно стандартной операции приставления диаграмм. Группа порождается артиновыми образующими $\sigma_{i}$, $\pi_{i}$, $\tau_{i}$, $i=1,\dots,n-1$, которые соответствуют классическим, плоским и виртуальным перекресткам и определяются аналогично образующим обычных кос. Определим обобщенное представление Бурау ${\widetilde \rho}$ плоско-виртуальных кос $\operatorname{FVB}_n$ в группе обратимых $(n\times n)$-матриц, отображая образующие $\sigma_{i}$, $\pi_{i}$, $\tau_{i}$ в блочно-диагональные матрицы с нетривиальным $(2\times 2)$-блоком, соответствующим строкам и столбцам с номерами $i$ и $i+1$ и равным (ср. [1])
$$
\begin{equation*}
\widetilde\rho(\sigma)=\begin{pmatrix} 1-t & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \widetilde\rho(\pi)=\begin{pmatrix} 0 & s \\ s^{-1} & 0 \end{pmatrix},\quad \widetilde\rho(\tau)=\begin{pmatrix} 0 & r \\ r^{-1} & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема. Для $k,l\in\{1,\dots,n\}$, $d\in\mathbb N$ композиции Для доказательства теоремы достаточно проверить совместимость отображений с движениями Рейдемейстера. В качестве примера рассмотрим элемент $\beta=[\psi_1{_1}\sigma_4\psi_1,\psi_2{_1}\sigma_4\sigma_3 \sigma_2\sigma_1^2\sigma_2\sigma_3\sigma_4\psi_2]\in B_5$, где $\psi_1=\sigma_3^{-1}\sigma_2\sigma_1^2\sigma_2 \sigma_4^3\sigma_3\sigma_2$ и $\psi_2=\sigma_4^{-1}\sigma_3\sigma_2 \sigma_1^{-2}\sigma_2\sigma_1^2\sigma_2^2\sigma_1\sigma_4^5$, который лежит в ядре представления Бурау [2]. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde \rho\circ\psi\circ f_2\circ p_1(\beta)|_{t=-1, s=1, r=1}= \begin{pmatrix} 481 & -880 & 800 & -400 \\ 480 & -879 & 800 & -400 \\ 480 & -880 & 801 & -400\\ 480 & -880 & 800 & -399 \end{pmatrix} \ne 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, семейство представлений $\widetilde \rho\circ\psi\circ f_d\circ p_k$ является более сильным инвариантом кос, чем представление Бурау (заметим, что обычное представление Бурау можно получить, если к косе добавить дополнительную, $(n+1)$-ю незацепленную нить и рассмотреть образ представления $\widetilde\rho\circ\psi\circ f_1\circ p_{n+1}$).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ManNik23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|