| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества Неравенство Долженко для А. Д. Барановa, И. Р. Каюмовba a Санкт-Петербургский государственный университет b Казанский федеральный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10086e 
Реферативные базы данных:
    Оценки норм рациональных функций и их производных в различных функциональных пространствах – одна из классических задач теории функций. Естественным обобщением рациональных функций является понятие $n$-листной функции. Напомним, что функцию $f$ называют $n$-листной в области $G$, если уравнение $f(z)=w$ имеет в области не более $n$ решений для любого $w\in\mathbb{C}$. Цель настоящей заметки состоит в доказательстве следующей теоремы. Теорема 1. Пусть $p \in (1,2]$, $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$, имеющей длину $L=\ell(\gamma)$. Тогда найдется такая константа $C_p>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ выполнено неравенство где символом $dA$ обозначена мера Лебега на плоскости. При этом $C_p \leqslant K/(p-1)$, где $K$ – некоторая абсолютная константа. В частности, неравенство (1) справедливо для всякой рациональной функции $R$ степени не выше $n$ с полюсами вне $\overline{G}$. Один из первых результатов в этом направлении был получен Е. П. Долженко [1], показавшим, что при определенных условиях регулярности границ (существование кривизны, удовлетворяющей условию Гёльдера) для любой рациональной функции порядка $n$ имеет место неравенство вида (1) с числом $C_p(G) n^{p-1}\|R\|^p_{H^\infty(G)}$ в правой части. В дальнейшем интегральные неравенства для производных рациональных функций (преимущественно в круге) изучались в работах В. В. Пеллера [2], С. Семмса [3], А. А. Пекарского [4], Т. С. Мардвилко и А. А. Пекарского [5], В. И. Данченко [6], [7], Е. М. Дынькина [8], [9] и многих других. В недавней работе авторов [10] результат Е. П. Долженко был распространен на гёльдеровы области, а также на конечносвязные области класса Джона. В доказательстве теоремы мы воспользуемся следующей (хорошо известной) геометрической леммой. Лемма. Пусть $G$ – односвязная область со спрямляемой границей $\gamma$ длины $L$. Для $\varepsilon>0$ положим $H_\varepsilon=\{w\in G\colon \operatorname{dist}(w,\gamma)<\varepsilon\}$. Тогда где $S(H_\varepsilon)$ – площадь множества $H_\varepsilon$, а $C>0$ – некоторая абсолютная константа. Доказательство теоремы 1. Пусть $d_G(w)=\operatorname{dist}(w,\gamma)$. Положим $\varepsilon=L/n$ и рассмотрим множества $G_{\varepsilon}=\{w\in G\colon d_G(w) \geqslant \varepsilon\}$ и $H_{\varepsilon}=\{w\in G\colon d_G(w)<\varepsilon\}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{H_{\varepsilon}}|R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \biggl(\int_{H_{\varepsilon}}|R'(w)|^2\,dA(w)\biggr)^{p/2} (S(H_{\varepsilon}))^{1-p/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $R$ является $n$-листной, имеем $\displaystyle\int_G |R'(w)|^2\,dA(w) \leqslant n\|R\|^2_{H^\infty(G)}$. Применяя неравенство (2), получаем, что $\displaystyle\int_{H_{\varepsilon}} |R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant C L^{2-p} n^{p-1}\|R\|^p_{H^\infty(G)}$, где $C>0$ – некоторая константа, не зависящая от $p$, $n$, $G$ и $R$.
Теперь оценим интеграл по $G_{\varepsilon}$. Используя неравенство $|R'(w)| \leqslant d_G^{-1} (w)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{G_\varepsilon}|R'(w)|^p\,dA(w) \leqslant \int_{G_\varepsilon} d_G^{-p}(w)\,dA(w).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\varphi$ – конформное отображение круга $\{|z|<1\}$ на $G$. Тогда $\varphi'$ принадлежит пространству Харди $H^1$ в круге и $\|\varphi'\|_{H^1}=L$. Хорошо известно, что $2|\varphi'(z)|(1-|z|) \geqslant d_G(\varphi(z))\geqslant |\varphi'(z)|(1-|z|^2)/4$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_{G_{\varepsilon}}d_G^{-p}(w)\,dA(w) \leqslant 4^p \int\!\!\!\int_{2(1-r)|\varphi'(re^{it})| \geqslant\varepsilon} \frac{|\varphi'(re^{it})|^{2-p}}{(1-r)^p}\,r\,dr\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки последнего интеграла нам будет удобно воспользоваться максимальной функцией Харди–Литтлвуда $\varphi'_*(t):=\sup\{|\varphi'(re^{it})|\colon r \in [0,1)\}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int\!\!\!\int_{2(1-r)|\varphi'(re^{it})| \geqslant \varepsilon} \frac{|\varphi'(re^{it})|^{2-p}}{(1-r)^p}\,r\,dr\,dt \leqslant \int_{0}^{2\pi} dt \int_{0}^{1-\varepsilon/(2\varphi'_*(t))} \frac{(\varphi'_*(t) )^{2-p}}{(1-r)^p}\,dr \\ &\quad\!\!\leqslant \frac{2^{p-1}}{p-1}\int_0^{2\pi} (\varphi'_*(t))^{2-p}\varepsilon^{1-p}(\varphi'_*(t))^{p-1}\,dt \leqslant \frac{2^{p-1} L^{1-p}n^{p-1}}{p-1}\int_0^{2\pi}\varphi'_*(t)\,dt \leqslant C\,\frac{L^{2-p} n^{p-1}}{p-1} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
согласно классическому неравенству Харди–Литтлвуда. Теорема доказана. Условие спрямляемости существенно. В общем случае оценка вида (1) с зависимостью $n^{p-1}$ от порядка листности не имеет места. Однако теорему 1 можно распространить и на области с фрактальными границами, а также получить оценки в терминах (верхней) размерности Минковского границы $\operatorname{Mdim}(\gamma)\kern-1pt= \limsup_{\varepsilon\to 0}(\log N(\varepsilon)/\log(1/\varepsilon))$ (здесь $N(\varepsilon)$ – наименьшее количество кругов радиуса $\varepsilon$, покрывающих $\gamma$). Теорема 2. Пусть $p \in (1,2]$, $G$ – ограниченная односвязная область, $\gamma=\partial G$ и $\alpha=\operatorname{Mdim}(\gamma) \in [1,2]$. Тогда для любого $\delta>0$ найдется такая константа $C=C(G,p,\delta)>0$, что для всякой $n$-листной ограниченной в $G$ функции $R$ выполнено неравенство В качестве приложения теоремы 2 нами с использованием установленной в [11] оценки размерности квазиокружностей получен аналогичный результат для областей с квазиконформными границами. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BarKay22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|