Успехи математических наук, 2023, том 78, выпуск 2(470), страницы 189–190 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10084 (Mi rm10084)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10084

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages 387–389
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10084e

Реферативные базы данных:

1. При изучении эволюции “систем бинарного реагирования” с тремя сторонами, являющихся играми с нулевой суммой, С. Улам высказал гипотезу об эргодичности в среднем квадратичных стохастических операторов, действующих на конечномерном симплексе (см. [1]). Однако М. Захаревич показал, что гипотеза Улама, вообще говоря, неверна (см. [2]). Позднее сложная динамика систем бинарного реагирования, известная в литературе под названием “историческое поведение” (см. [3], [4]), была подробно изучена в работах [5], [6]. Такое поведение, однако, противоречит распространенному мнению (см. [7], [8]), что все “разумные” репликаторные уравнения должны удовлетворять “фольклорной теореме” эволюционной теории игр. В этой работе мы предлагаем два различных класса репликаторных уравнений, один из которых демонстрирует “устойчивое”, а другой – “среднеисторическое” поведение. В последнем случае временны́е средние орбиты будут медленно осциллировать в процессе эволюции, не сходясь к какому-либо пределу, откуда следует несуществование предела повторных временных средних высших порядков.

На $\mathbb{R}^m$ введем $l_1$-норму $\|\mathbf{x}\|_1:=\sum_{k=1}^{m}|x_k|$, где $\mathbf{x}:=(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb{R}^m$. Пусть $\mathbb{R}_{+}^m:=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{m}\colon \mathbf{x}\geqslant 0\}$ и $\mathbb{B}_{+}^m:=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{m}\colon \|\mathbf{x}\|_1\leqslant 1\}$, а $\mathbb{S}^{m-1}:=\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}_{+}^{m}\colon \|\mathbf{x}\|_1=1\}$ есть симплекс. Положим $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle:=\sum_{k=1}^{m}x_ky_k$ для $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{m}$. Два вектора $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}_{+}^{m}$ называются подобно упорядоченными (обозначение: $\mathbf{x}\approx\mathbf{y}$), если $x_i\gtreqqless x_j$ тогда и только тогда, когда $y_i\gtreqqless y_j$ для всех $1\leqslant i,j\leqslant m$. Очевидно, что для вектора $\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{m}$ множество $\mathbf{SOC}[\mathbf{x}]=\{\mathbf{y}\in\mathbb{R}_{+}^{m}\colon \mathbf{x}\approx\mathbf{y}\}$ всех векторов $\mathbf{y}\in\mathbb{R}_{+}^{m}$ таких, что $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ подобно упорядочены, является выпуклым конусом. Непрерывное отображение $\mathbf{F}\colon\mathbb{R}^m_{+}\to\mathbb{R}^m_{+}$ называется сохраняющим подобный порядок, если $\mathbf{F}(\mathbf{x})\in\mathbf{SOC}[\mathbf{x}]$, т. е. $\mathbf{F}(\mathbf{x})\approx\mathbf{x}$, для всех $\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{m}$. Хорошо известно (см. [9]), что для любой непрерывно дифференцируемой, строго возрастающей и строго выпуклой по Шуру функции $\varphi\colon\mathbb{R}_{+}^m\to\mathbb{R}_{+}$ градиентное векторное поле $\nabla\varphi\colon\mathbb{R}_{+}^m\to\mathbb{R}_{+}^m$ сохраняет подобный порядок. В этой работе мы всегда считаем, что отображение $\mathbf{F}\colon\mathbb{B}^m_{+}\to\mathbb{R}^m_{+}$, $\mathbf{F}(\mathbf{x}):=(f_1(\mathbf{x}),\dots,f_m(\mathbf{x}))$, сохраняющее подобный порядок, непрерывно дифференцируемо и $0<\mathbf{F}(\mathbf{x})\leqslant \mathbf{1}$ для всех $\mathbf{x}\in\mathbb{B}_{+}^{m}$ (здесь $\mathbf{1}=(1,\dots,1)$).

2. Рассмотрим уравнение репликатора $\mathcal{R}_{S}\colon\mathbb{S}^{m-1}\to\mathbb{S}^{m-1}$, ассоциированное с сохраняющим подобный порядок отображением $\mathbf{F}\colon\mathbb{B}^m_{+}\to\mathbb{R}^m_{+}$, $\mathbf{F}(\mathbf{x}):=(f_1(\mathbf{x}),\dots,f_m(\mathbf{x})\kern-0.5pt)$:

Приведем пример репликаторного уравнения для игры с нулевой суммой, которое демонстрирует среднеисторическое поведение. Рассмотрим любое из следующих уравнений репликатора $\mathcal{R}_{H}\colon\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}$, ассоциированных с сохраняющим подобный порядок отображением $\mathbf{F}\colon\mathbb{B}^3_{+}\to\mathbb{R}^3_{+}$, $\mathbf{F}(\mathbf{x}):=(f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),f_3(\mathbf{x}))$:

Будем говорить, что репликаторное уравнение (2) обладает среднеисторическим поведением, если множество начальных точек $\mathbf{x}\in\mathbb{S}^{2}$, порождающее орбиты с расходящимися временными средними $n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\mathcal{R}_{H}^{(k)}(\mathbf{x})$, имеет положительную меру Лебега (см. [10]). Определим повторные временные средние $\{\mathcal{A}^{(s)}_{n}(\mathbf{x})\}_{n=1}^\infty$ порядка $s\in\mathbb{N}$ формулами $\mathcal{A}^{(s)}_{n}(\mathbf{x}):=n^{-1}\sum_{k=1}^{n} \mathcal{A}^{(s-1)}_{k}(\mathbf{x})$, если $s\geqslant 2$, и $\mathcal{A}^{(1)}_{n}(\mathbf{x}):=n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1} \mathcal{R}_{H}^{(k)}(\mathbf{x})$.

Список литературы
1.	С. Улам, Нерешенные математические задачи, Наука, М., 1964, 168 с.  ; пер. с англ.: S. M. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 8, Interscience Publishers, New York–London, 1960, xiii+150 с.
2.	М. И. Захаревич, УМН, 33:6(204) (1978), 207–208      ; англ. пер.: M. I. Zakharevich, Russian Math. Surveys, 33:6 (1978), 265–266
3.	D. Ruelle, Global analysis of dynamical systems, Inst. of Physics Publ., Bristol, 2001, 63–66
4.	F. Takens, Nonlinearity, 21:3 (2008), T33–T36
5.	Н. Н. Ганиходжаев, Д. В. Занин, УМН, 59:3(357) (2004), 161–162        ; англ. пер.: N. N. Ganikhodzhaev, D. V. Zanin, Russian Math. Surveys, 59:3 (2004), 571–572
6.	K. Barański, M. Misiurewicz, Topology Proc., 36 (2010), 145–172
7.	R. Cressman, Evolutionary dynamics and extensive form games, MIT Press Ser. Econ. Learn. Soc. Evol., 5, MIT Press, Cambridge, MA, 2003, xiv+316 pp.
8.	K. Sigmund (ed.), Evolutionary game dynamics (New Orleans, LA, 2011), Proc. Sympos. Appl. Math., 69, AMS Short Course Lecture Notes, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, viii+175 pp.
9.	А. Маршалл, И. Олкин, Неравенства: теория мажоризации и ее приложения, Мир, М., 1983, 575 с.    ; англ. изд.: A. W. Marshall, I. Olkin, B. C. Arnold, Inequalities: theory of majorization and its applications, Springer Ser. Statist., 2nd ed., Springer, New York, 2011, xxviii+909 с.
10.	M. Saburov, J. Difference Equ. Appl., 27:7 (2021), 1006–1023

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sab23}
\by М.~Х.~Сабуров
\paper Устойчивое и историческое поведение в~уравнениях~репликатора с~нелинейными отображениями
\jour УМН
\yr 2023
\vol 78
\issue 2(470)
\pages 189--190
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10084}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10084}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4653852}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..387S}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2023
\vol 78
\issue 2
\pages 387--389
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10084e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001086942800003}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85175164398}


Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx: