| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Сообщения Московского математического общества Асимптотические свойства полиномов Эрмита–Паде и точки Каца С. П. Суетин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10083e 
Реферативные базы данных:
     1.В ряде актуальных физических задач, исследуемых в рамках теории возмущений Рэлея–Шрёдингера, при проведении вычислений, основанных на ряде теории возмущений (РТВ), используются полиномы Эрмита–Паде 1-го типа; см. [1], [7], [2]. При этом в соответствии с результатами А. Каца [4] предполагается, что многозначная аналитическая функция, отвечающая РТВ, принимает вещественные значения на вещественной прямой и имеет только квадратичные комплексно-сопряженные точки ветвления. Исходный РТВ является рядом по малому параметру $\varepsilon$, а значение определяемой им функции нужно найти при $\varepsilon=1$. Если какие-то точки ветвления этой функции лежат в единичном круге, то искомое значение функции нельзя вычислить с помощью частичных сумм исходного ряда. Такие точки ветвления называются точками Каца, а при их наличии для вычисления значения функции в точке $\varepsilon=1$ вместо частичных сумм используются аппроксимации Паде, квадратичные аппроксимации Шафера и другие аппроксимации, основанные на полиномах Эрмита–Паде (см. [10], [5]). Тем самым задача численного нахождения точек Каца является вполне актуальной. Отметим следующий факт. Пусть $S$ – компакт Шталя (относительно точки $\varepsilon=0$), соответствующий РТВ. Назовем точками Шталя те точки ветвления определяемой РТВ функции, которые лежат на $S$. Точки Шталя, попавшие в единичный круг, – это и есть точки Каца. 2.В дальнейшем нам удобнее иметь дело с рядами Лорана в точке $z=\infty$. В соответствии с результатами Каца мы будем рассматривать класс многозначных аналитических функций $f$, все точки ветвления которых – второго порядка. Кроме того, будем предполагать, что у каждой $f$ существует росток $f_\infty$, голоморфный в точке $z=\infty$, $f_\infty\in\mathscr H(\infty)$, такой, что соответствующий компакт Шталя не имеет точек Чеботарёва. В таком случае будем писать $(f,f_\infty)\in\mathscr F$. Для $(f,f_\infty)\in\mathscr F$ и произвольного $n\in\mathbb N$ через $Q_{n,j}$, $j=0,1,2$, обозначим полиномы Эрмита–Паде 1-го типа для набора $[1,f,f^2]$ и мультииндекса $(n,n,n)$:
$$
\begin{equation}
(Q_{n,0}+Q_{n,1}f+Q_{n,2}f^2)(z)=O(z^{-2n-2}),\qquad z\to\infty.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Полином $D_n:=Q^2_{n,1}-4Q_{n,0}Q_{n,2}$ – это дискриминант соответствующего (1) квадратного уравнения, возникающий в связи с аппроксимациями Шафера. В “общем положении” $\deg{Q_{n,j}}=n$, $\deg{D_n}=2n$. Анализ поведения нулей полиномов $D_n$ при различных значениях $n$ лежит в основе численного нахождения точек Каца; см. [1], [2]. В [6] сформулировано утверждение, из которого вытекает, что для функций, мероморфных на трехлистной римановой поверхности, предельные распределения нулей полиномов $Q_{n,j}$ и $D_n$ совпадают. Вместе с тем численные эксперименты, проведенные с использованием программного обеспечения [3], показывают, что полиномы $D_n$ обладают следующим свойством: конечное число нулей этих полиномов притягивается при $n\to\infty$ к точкам Шталя. В общем случае соответствующее утверждение следует рассматривать как гипотезу, для доказательства которой необходимо найти надлежащие формулы сильной асимптотики для полиномов $Q_{n,j}$. Гипотеза. Пусть $(f,f_\infty)\in\mathscr F$, $S=S(f_\infty)$ – соответствующий компакт Шталя, $\Sigma_S(f_\infty)=\{a_1,\dots,a_m\}\subset S$ – множество точек Шталя, $D_n$, $n=0,1,\dots$, – дискриминант для набора $[1,f,f^2]$. Тогда существуют $m$ нулей дискриминанта $\zeta_{n,j}$, $j=1,\dots,m$, такие, что $\zeta_{n,j}\to a_j$, $n\to\infty$. 3.В настоящее время эту гипотезу удается доказать только для частного класса $\mathscr Z(\Delta)$ функций $f$, $(f,f_\infty)\in\mathscr F$, порожденных обратной функцией Жуковского:
$$
\begin{equation*}
f(z)=\biggl[\biggl(A-\frac{1}{\varphi(z)}\biggr) \biggl(B-\frac{1}{\varphi(z)}\biggr)\biggr]^{-1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $1<A<B$, $\varphi(z)=z+(z^2-1)^{1/2}\sim 2z$, $z\to\infty$. Функция $f$ имеет четыре точки ветвления: $\pm1$, $a$, $b$, где $a=(A+1/A)/2$, $b=(B+1/B)/2$. При указанном условии на $\varphi$ отрезок $\Delta=[-1,1]$ – компакт Шталя для $f_\infty$, а $\pm1$ – точки Шталя. Пара функций $(f,f^2)$ образует систему Никишина (см. [9]). Теорема 1. Пусть $f\in\mathscr Z(\Delta)$ и $D_n$ – дискриминант, соответствующий полиномам Эрмита–Паде для набора $[1,f,f^2]$. Тогда найдутся нули дискриминанта $\zeta_{n,1}$ и $\zeta_{n,2}$ такие, что $\zeta_{n,1}\to-1$, $\zeta_{n,2}\to1$ при $n\to\infty$. Доказательство основано на асимптотических представлениях полиномов Эрмита–Паде, полученных в [8].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sue22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|