| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Число компонент уравнений Пелля–Абеля с примитивным решением заданной степени А. Б. Богатырёвa, К. Жандронb a Институт вычислительной математики РАН b Instituto de matemáticas, UNAM, México
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10082e 
Реферативные базы данных:
    Н. Х. Абель в 1826 г. [1] рассмотрел диофантово уравнение Пелля в кольце многочленов. С тех пор уравнение носит имена обоих ученых, Пелля и Абеля. Здесь $P(x)$ и $Q(x)$ – неизвестные многочлены от одной переменной и $D(x):=\prod_{e\in{\mathsf E}}(x-e)$ – заданный унимодальный комплексный многочлен степени $\deg D=|{\mathsf E}|:=2g+2$ без кратных корней. Общее уравнение (1) имеет только тривиальные решения $(P,Q)=(\pm1,0)$. Для существования прочих решений на многочлен $D(x)$ нужно наложить дополнительные условия. Один вид этих условий был изобретен Абелем [1], другим мы будем пользоваться ниже. Для данного $D(x)$ есть решение с наименьшим $n:=\deg P$, называемое примитивным. Оно порождает все другие решения $P$ композицией с классическими многочленами Чебышёва и сменой знака.Основной результат данной заметки – в нахождении числа компонент связности комплексных уравнений (1) с многочленом $D$ фиксированной степени $2g+2$, допускающих примитивное решение $P$ заданной степени $n$. Теорема 1. Пусть $m:=\min(g,n-g-1)$ и $[\,\cdot\,]$ обозначает целую часть числа. Уравнение (1) не имеет примитивных решений степени $n<g$, если $g>0$, и $n>1$, если $g=0$. В остальных случаях искомое число компонент равно $[m/2]+1$ при нечетном $n+g$ и $[(m+1)/2]$ при четном $n+g$. Начнем с трансцендентного критерия разрешимости уравнения Пелля–Абеля (ПА) [2] в терминах ассоциированной гиперэллиптической кривой $C$ рода $g$ – двухточечной компактификации аффинной кривой Рассмотрим единственный дифференциал $\eta=(x^g+\cdots)w^{-1}\,dx$ на $C$ с двумя полюсами на бесконечности, вычетами $\pm1$ и чисто мнимыми периодами. Уравнение (1) допускает нетривиальное решение с $\deg P=n$ тогда и только тогда, когда все периоды $\eta$ на $C$ лежат в одной решетке $2\pi i\mathbb{Z}/n$. Если уравнение ПА имеет решение степени $n$, то этот дифференциал имеет представление $\eta=n^{-1}d\log(P(x)+wQ(x))$, откуда и следует критерий.Графическое исчисление, позволяющее эффективно контролировать периоды выделенного дифференциала в процессе деформации кривой (2), было предложено в [3], [2] для изучения так называемых (вещественных) экстремальных многочленов, где эта задача тоже возникает. Квадратичный дифференциал $\eta^2$ опускается с кривой $C$ на плоскость переменной $x$. С каждой кривой (2) мы свяжем конечный плоский граф $\Gamma(C)$, получаемый в три этапа: (i) проведем все критические вертикальные траектории $\eta^2<0$ (см. [4]), проходящие через точки ветвления $e\in{\mathsf E}$; (ii) соединим все нули дифференциала $\eta^2$, отличные от точек ветвления $e$, с уже проведенными вертикальными листами слоения, либо же с другими такими нулями, горизонтальными траекториями $\eta^2>0$ (из условий нормировки выделенного дифференциала следует, что это построение корректно: мы получаем конечное число регулярных аналитических дуг); (iii) снабдим каждое ребро меткой – его длиной в метрике $|\eta|$, порожденной выделенным дифференциалом. Один из таких графов $\Gamma(C)$, возникающих при $g=2$, показан на рис. 1, (b), с точностью до изотопии плоскости. Здесь черные вершины обозначают точки ветвления $e\in{\mathsf E}$ кривой, белые вершины обозначают нули дифференциала $\eta^{2}$, простые линии – это горизонтальные листы слоения, а двойные линии – вертикальные. Для заданного рода $g$ есть только конечное число допустимых топологических типов графов $\Gamma$, их можно перечислить аксиоматически. Графы $\Gamma(C)$ полностью определяются своими свойствами, так что всякий топологический планарный граф с весами, удовлетворяющий определенным пяти условиям [3], [2], происходит из единственной (с точностью до несущественной нормировки) кривой (2). Два из этих пяти условий такие: $\Gamma$ является деревом и общий вес вертикальных ребер равен $\pi$. Все периоды выделенного дифференциала на кривой можно восстановить из графа: это целочисленные линейные комбинации весов его вертикальных ребер. В частности, можно определить изопериодические деформации, меняющие конформную структуру кривой (2) с локальным сохранением всех периодов дифференциала $\eta$. Используя изопериодические деформации графов, любую кривую $C$ можно привести к другой с графом стандартного вида. Число стандартных форм и дает верхнюю оценку числа компонент в пространстве уравнений ПА. Для завершения доказательства теоремы 1 нужна нижняя оценка числа компонент. Рассмотрим графы $\Gamma$, вложимые в прямую. Они соответствуют вещественным многозонным многочленам Чебышёва $P(x)$. Уже в этом классе есть много кривых, которые нельзя изопериодически преобразовать друг в друга. Чтобы доказать это, мы используем действие группы кос $\operatorname{Br}_{2g+2}$ на бинарные слова $(b_1,b_2,\dots)\in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2g+1}$, определяемое на элементарных косах $\beta_s$ группы [5]: $\beta_s \cdot (b_1,\dots,b_{s-1},b_s,b_{s+1},\dots)^\top:= (b_1,\dots,b_{s-1}+b_s,b_s,b_{s+1}-b_s,\dots)$, $s=1,\dots,2g+1$. Это представление есть редукция по модулю 2 определенной специализации представления Бурау группы кос [5]. Если две кривые можно соединить изопериодической деформацией, то ассоциированные с ними периоды определяют две бинарные строки из одной орбиты группы кос. Оказывается, что в $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2g+1}$ есть достаточно орбит группы кос, чтобы нижняя оценка числа компонент была точной. Теорема 1 имеет геометрическое следствие. Пространство модулей примитивных $k$-дифференциалов с единственным нулем порядка $2k$ на кривых рода $2$ пусто при $k=2$, связно при $k=1,3$ или чётном $k\geqslant4$ и имеет две компоненты при $k=5,7,9$. Авторы благодарны Ж.-П. Серру, ставшему инициатором их совместной работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogGen23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|