| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Спектральное неравенство для уравнения Шрёдингера с многоточечным потенциалом П. Г. Гриневичabc, Р. Г. Новиковde a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова d CMAP, CNRS, École Polytechnique, Institut Polytechnique de Paris, Palaiseau, France e Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10080e 
Реферативные базы данных:
    Посвящается Искандеру Асановичу Тайманову по случаю его 60-летия 1. ВведениеХорошо известно, насколько важную роль в квантовой механике играют точно решаемые модели. Для уравнений типа Шрёдингера имеется много важных потенциалов, для которых в размерности $d=1$ это уравнение является точно решаемым при всех энергиях, а в размерности $d=2$ – при одной фиксированной энергии. При построении и исследовании таких потенциалов эффективно работают методы теории солитонов, включая преобразования типа Дарбу–Мутара. Литература, посвященная исследованию этих направлений, очень велика. Не претендуя на полноту, отметим, например, [1]–[8] и приведенные там ссылки. С другой стороны, в размерностях $d=2$ и выше набор точно решаемых при всех энергиях случаев без высокой симметрии потенциала весьма ограничен. Один из таких случаев – уравнение Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой точечных потенциалов типа Бете–Пайерлса. Впервые такой одноточечный потенциал в размерности $d=3$ был введен в работе [9] для описания взаимодействия нейтронов с протонами. В дальнейшем точечные и многоточечные рассеиватели изучались многими авторами, включая Томаса [10], Ферми [11], Зельдовича [12], Березина и Фаддеева [13]; см. также книгу [14]. Активное изучение таких потенциалов продолжается и в настоящее время (см., например, книгу [3] и статьи [15]–[25], а также приведенные там ссылки). В данной работе мы рассматриваем стационарное уравнение Шрёдингера (в безразмерных переменных)
$$
\begin{equation}
-\Delta\psi+V(x)\psi=E\psi, \quad V(x)=v_0(x)+v(x), \quad x\in\mathbb{R}^d, \quad d=1,2,3,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $v_0(x)$ – вещественная достаточно регулярная функция на $\mathbb{R}^d$, достаточно быстро убывающая на бесконечности, а $v(x)$ – сумма $n$ точечных рассеивателей, которую формально можно записать в виде Хорошо известно, что точечные рассеиватели определены лишь в размерностях $d=1,2,3$ (см., например, [3]). Если $d=1$, то точечный рассеиватель – это просто стандартная $\delta$-функция Дирака с произвольным коэффициентом. Если $d=2$ или $d=3$, то $\varepsilon\delta(x)$ обозначает “ренормализованную” $\delta$-функцию, зависящую от одного вещественного параметра $\varepsilon=\varepsilon(\alpha)$. Более точно, комплекснозначная функция $\psi$ является решением уравнения (1), если выполнены следующие условия: 1) вне точек $y_j$ функция $\psi$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера (1) с потенциалом $v_0(x)$; 2) в окрестности точек $y_j$ имеют место следующие предельные соотношения:
Замечание 1. При определении точечного рассеивателя можно стартовать с потенциальной ямы произвольной формы и проводить масштабирование, при этом для ямы общего положения предел не зависит от выбора ее начальной формы. Однако, подбирая форму ямы специальным образом, можно построить другой точечный потенциал, который может рассматриваться как “ренормализованная” $\delta'$-функция (для $d=3$ см. [26]). Замечание 2. Одной из мотивировок введения точечных потенциалов для $d=3$ в работе [9] было то, что в те годы еще не было сколько-нибудь полной теории сильных взаимодействий, однако простое соображение, состоящее в том, что если размер объекта много меньше длины волны, то его можно считать точкой, оказалось эффективным. Использование точечных потенциалов в [11] позволило, в частности, объяснить, почему медленные нейтроны взаимодействуют с ядрами сильнее, чем быстрые [27]. Причина в том, что в волновых задачах если длина рассеиваемой волны (например, длина волны де Бройля рассеиваемой частицы в квантовой механике или длина звуковой волны в акустических задачах) много больше геометрического размера рассеивателя, то эффективное сечение рассеяния может оказаться существенно б\’ольшим геометрического сечения рассеивателя и сравнимым по порядку с квадратом длины волны. Если же размер рассеивателя много больше, чем длина волны, то сечение рассеяния определяется именно размером рассеивателя. В этой статье мы продолжаем развивать спектральную теорию уравнения (1). Более точно, для этого уравнения мы рассматриваем однородное граничное условие, включая случаи Дирихле, Неймана, Робина и случай частичной прозрачности. В частности, для таких спектральных задач мы показываем, что если энергия $E$ является собственным значением кратности $m>n$ в случае уравнения (1) с $V(x)\equiv v_0(x)$, то эта же энергия является собственным значением кратности не менее $m-n$ в случае $V(x)=v_0(x)+v(x)$, где $v(x)$ – это $n$-точечный потенциал, определенный выше. Наша работа является продолжением статьи [22]. В частности, если $v_0(x)\equiv 0$, то все энергии являются энергиями частичной прозрачности бесконечной кратности при $d=2,3$. Поэтому данное свойство остается в силе и для всех $n$-точечных потенциалов, что и было обнаружено в [22]. 2. Задачи Дирихле, Неймана и РобинаРассмотрим уравнение (1) в ограниченной области $D$ c регулярной границей $\partial D$ и граничным условием Робина
$$
\begin{equation}
a(x)\psi(x)+b(x)\frac{\partial\psi(x)}{\partial\nu}\bigg|_{\partial D}=0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\partial/\partial\nu$ обозначает производную вдоль внешней нормали $\nu$ к границе области. Условие (8) включает в себя граничные условия Дирихле и Неймана как частные случаи. Мы также предполагаем, что $\operatorname{supp}v(x)$ лежит строго внутри $D$. Теорема 1. Пусть $E$ является собственным значением кратности $m>n$ для задачи (1), (8) с $V(x)\equiv v_0(x)$. Тогда $E$ является также собственным значением кратности не менее $m-n$ для задачи (1), (8) с $V(x)=v_0(x)+v(x)$, где $v(x)$ – потенциал из (2). Замечание 3. Насколько нам известно, теорема 1 является новой уже при $v_0\equiv 0$. Замечание 4. Теорема 1 хорошо иллюстрируется примером, когда $D$ является шаром в $\mathbb{R}^3$, $v_0\equiv 0$ и условие Робина сводится, например, к условию Дирихле или Неймана. Причина состоит в том, что в этой задаче имеются собственные значения сколь угодно высокой кратности. Теорема 1 является следствием приводимой ниже леммы. Лемма 1. Пусть $\psi(x)$ удовлетворяет уравнению (1) с $V(x)\equiv v_0(x)$ и, кроме того, $\psi(y_j)=0$, $j=1,\dots,n$, где точки $y_j$ те же, что и в (2). Тогда $\psi(x)$ удовлетворяет также уравнению (1) с $V(x)=v_0(x)+v(x)$. Лемма 1 следует из определения решения уравнения (1) с потенциалом $V(x) =v_0(x)+v(x)$, использующего формулы (3)–(7). Доказательство теоремы 1. Пусть $\psi_l(x)$, $l=1,\dots,m$, – линейно независимые собственные функции спектральной задачи (1), (8) с $V(x)\equiv v_0(x)$. Рассмотрим систему $n$ линейных уравнений на $m$ переменных $z_l$: Пространство решений этой системы как минимум $(m-n)$-мерно. При этом для любого набора $z_l$, удовлетворяющего (9), функция удовлетворяет уравнению (1) c $V(x)\equiv v_0(x)$, граничному условию (8) и обращается в нуль в точках $y_j$. Поэтому согласно лемме 1 функция $\Psi(x)$ удовлетворяет уравнению (1) с $V(x)\equiv v_0(x)+v(x)$ и граничному условию (8). Кроме того, в силу линейной независимости решений $\psi_l(x)$ функция $\Psi(x)$ не равна тождественно нулю, если хотя бы один из коэффициентов $z_l$ отличен от нуля. Поэтому пространство функций $\Psi(x)$, построенных согласно (9), (10), имеет размерность не ниже $m-n$, что и завершает доказательство теоремы.
3. Частичная прозрачностьВ настоящее время значительный интерес вызывает задача о спектрах частичной прозрачности (transmission eigenvalues в англоязычной литературе), см., например, [28]–[33], [22]. Насколько нам известно, устоявшийся перевод данного термина на русский язык отсутствует. Энергия $E$ называется энергией частичной прозрачности (interior transmission eigenvalue) для уравнения (1) в области $D$, если существует ненулевая пара функций $\phi(x)$, $\psi(x)$ такая, что и
$$
\begin{equation}
\psi(x)\equiv \phi(x), \quad \frac{\partial}{\partial\nu}\psi(x)\equiv \frac{\partial}{\partial\nu}\phi(x) \quad\text{для всех} \ x\in\partial D.
\end{equation}
\tag{13}
$$
При этом размерность пространства таких пар называется кратностью энергии частичной прозрачности. Отметим, что в случае $V(x)\equiv 0$ эта кратность бесконечна для $d>1$. Как и в разделе 2, мы предполагаем, что $\operatorname{supp}v(x)$ лежит строго внутри $D$. Теорема 2. Пусть $E$ является энергией частичной прозрачности кратности $m>n$ для уравнения (1) с $V(x)\equiv v_0(x)$ в области $D$ в смысле (11)–(13). Тогда $E$ является также энергией частичной прозрачности кратности не менее $m-n$ для задачи (1) в смысле (11)–(13) с $V(x)=v_0(x)+v(x)$, где $v(x)$ – потенциал из (2). Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. Имеется много публикаций, содержащих результаты типа “если потенциал $V(x)$ является достаточно регулярной функцией в $D$, то энергии частичной прозрачности дискретны и имеют конечную кратность” (см., например, [31]–[33]). С другой стороны, из теоремы 2 c $v_0(x)\equiv 0$ следует результат нашей недавней работы [22] о том, что для потенциала $V(x)$, сводящегося к многоточечному рассеивателю $v(x)$ вида (2), в размерностях $d=2,3$ все энергии $E\in\mathbb{C}$ являются энергиями частичной прозрачности бесконечной кратности. Наконец, для задачи рассеяния для уравнения (1) в $\mathbb{R}^d$ энергия $E$ называется энергией частичной прозрачности (transmission eigenvalue), если число 1 является собственным значением оператора рассеяния $\widehat S_E$ для уравнения (1). Это свойство можно переформулировать также следующим образом: найдется функция $u(\theta)\in L^2({\mathbb S}^{d-1})$, где ${\mathbb S}^{d-1}$ – единичная сфера в $\mathbb{R}^d$, такая, что существует решение $\Psi(x)$ уравнения (1), имеющее асимптотику
$$
\begin{equation}
\Psi(x)=\int_{{\mathbb S}^{d-1}} e^{i|k|\theta x} u(\theta)\,d\theta+ o\biggl(\frac{1}{|x|^{(d-1)/2}}\biggr) \quad \text{при} \ |x|\to\infty.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Размерность линейного пространства таких функций $u(\theta)$ называется кратностью энергии частичной прозрачности. Отметим, что для $V(x)\equiv 0$ все вещественные положительные энергии являются энергиями частичной прозрачности бесконечной кратности при $d>1$. Как и в случае частичной прозрачности в ограниченной области $D$, имеется много публикаций, содержащих результаты типа “если потенциал $V(x)$ является достаточно регулярной функцией с компактным носителем на $\mathbb{R}^d$, то энергии частичной прозрачности дискретны и имеют конечную кратность” (см., например, [31]–[33]). С другой стороны, в работе [5] нами были построены вещественные сферически симметричные потенциалы $v_0(x)$ из класса Шварца на $\mathbb{R}^2$, для которых оператор рассеяния $\widehat S_E$ при фиксированной энергии $E=E_0>0$ является тождественным. Как следствие, для этих потенциалов энергия $E_0$ является энергией частичной прозрачности бесконечной кратности. Кроме того, имеет место следующий аналог теоремы 2. Теорема 3. Пусть $E$ является энергией частичной прозрачности кратности $m>n$ для уравнения (1) с $V(x)\equiv v_0(x)$ в $\mathbb{R}^d$. Тогда $E$ является также энергией частичной прозрачности кратности не менее $m-n$ для уравнения (1) в $\mathbb{R}^d$ с $V(x)=v_0(x)+v(x)$, где $v(x)$ – потенциал из (2). Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теорем 1, 2. Как следствие, при добавлении к вышеупомянутым потенциалам $v_0(x)$ из работы [5] любого конечного числа точечных рассеивателей энергия $E_0$ остается энергией частичной прозрачности бесконечной кратности. В заключение отметим, что в теоремах 1–3 существенным является линейность и однородность граничных условий, а не их конкретная форма. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriNov22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|