| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Формула следа для магнитного лапласиана на нулевом уровне энергии Ю. А. Кордюков Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10078e 
Реферативные базы данных:
     Посвящается И. А. Тайманову в связи с его 60-летием 1. ВведениеМагнитная система на компактном многообразии $M$ размерности $d$ задается римановой метрикой $g$ и замкнутой дифференциальной $2$-формой магнитного поля $F$ на $M$. Хорошо известно, что если $F$ удовлетворяет условию квантования то существует такое эрмитово линейное расслоение $(L,h^L)$ с эрмитовой связностью $\nabla^L\colon C^\infty(M,L)\to C^\infty(M,T^*M\otimes L)$, что форма кривизны $R^L$ связности $\nabla^L$ связана с формой $F$ по формуле Риманова метрика на $M$ и эрмитова структура на $L$ позволяют определить скалярные произведения на $C^\infty(M,L)$ и $C^\infty(M,T^*M\otimes L)$ и сопряженный оператор $(\nabla^L)^*\colon C^\infty(M,T^*M\otimes L)\to C^\infty(M,L)$.Лапласианом Бохнера, ассоциированным с расслоением $L$, или магнитным лапласианом называется дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве $C^\infty(M,L)$ по формуле Для любого $N\in \mathbb{N}$ рассмотрим $N$-ю тензорную степень $L^N=L^{\otimes N}$ линейного расслоения $L$. Обозначим через $\Delta^{L^N}$ соответствующий магнитный лапласиан в пространстве $C^\infty(M,L^N)$. Параметр $\hbar=1/N$ можно трактовать как квазиклассический параметр, а предельный переход $N\to \infty$ – соответственно как квазиклассический предел. Эта точка зрения хорошо известна и общепринята в геометрическом квантовании (см., например, [3]). Мы будем изучать оператор Бохнера–Шрёдингера $H_N$, действующий на $C^\infty(M,L^N)$ по формуле где $V\in C^\infty(M)$ – вещественнозначная функция. Дополнительно можно рассматривать произвольное эрмитово векторное расслоение $(E,h^E)$ с эрмитовой связностью $\nabla^E$, но для простоты изложения мы не будем останавливаться на этом случае в данной работе. Такой оператор был введен и изучался Ж.-П. Демайи в связи с голоморфными неравенствами Морса для когомологий Дольбо, ассоциированными с большими тензорными степенями голоморфного эрмитова расслоения над компактным комплексным многообразием [29] (см. также [4], [30], [59] и приведенные там ссылки). Данный оператор имеет также квантовомеханическую интерпретацию как магнитный оператор Шрёдингера. Он описывает движение заряженной квантовой частицы на многообразии $M$ во внешнем электромагнитном поле, задаваемом магнитной формой $NF$ и электрическим потенциалом $NV$.Если эрмитово линейное расслоение $(L,h^L)$ тривиально на открытом подмножестве $U$ многообразия $M$, т. е.
$$
\begin{equation*}
L\big|_U\cong U\times \mathbb{C} \quad \text{и}\quad |(x,z)|_{h^L}=|z|, \quad (x,z)\in U\times \mathbb{C},
\end{equation*}
\notag
$$
и эрмитова линейная связность $\nabla^L$ записывается в виде
$$
\begin{equation}
\nabla^L = d-i \mathbf{A}\colon C^\infty(U)\to C^\infty(U,T^*U)
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
с некоторой вещественной $1$-формой $\mathbf{A}$ (формой связности, или магнитным потенциалом), то В этом случае оператор $H_N$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
H_N =(d-iN\mathbf{A})^*(d-iN\mathbf{A})+NV, \qquad N\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Он связан с квазиклассическим магнитным оператором Шрёдингера
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^\hbar =(i\hbar d+\mathbf{A})^*(i\hbar d+\mathbf{A})+\hbar V
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation}
H_N=\hbar^{-2}\mathcal{H}^\hbar, \qquad \hbar=\frac{1}{N}, \quad N\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
В частности, предположим, что на $U$ можно выбрать локальные координаты $(x^1,\dots,x^d)$. Запишем форму связности в виде $\displaystyle\mathbf{A}=\sum_{j=1}^dA_j(x)\,dx^j$. Тогда $F$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
F=d\mathbf{A} =\sum_{j<k}F_{jk}\,dx^j\wedge dx^k, \qquad F_{jk}=\frac{\partial A_k}{\partial x^j}-\frac{\partial A_j}{\partial x^k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $\Delta^{L^N}$ записывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_N & =-\frac{1}{\sqrt{|g(x)|}} \sum_{1\leqslant j,\ell\leqslant d} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^j}-iNA_j(x)\biggr)\notag \\ &\qquad\qquad\qquad \times\biggl[\sqrt{|g(x)|}\, g^{j\ell}(x) \biggl(\frac{\partial}{\partial x^\ell}-iNA_\ell(x)\biggr)\biggr] +NV(x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
g(x)=(g_{j\ell}(x))_{1\leqslant j,\ell\leqslant d} \quad\text{и}\quad g(x)^{-1}=(g^{j\ell}(x))_{1\leqslant j,\ell\leqslant d}
\end{equation*}
\notag
$$
– матрица римановой метрики $g$ и обратная к ней матрица соответственно, а $|g(x)|=\det(g(x))$. Если форма $F$ точна на $M$, т. е. $F=d\mathbf{A}$ для некоторой $1$-формы $\mathbf{A}$, то мы будем говорить, что магнитная система точна. В этом случае мы всегда будем предполагать, что $(L,h^L)$ – тривиальное эрмитово линейное расслоение на $M$ и эрмитова связность $\nabla^L$ задается формулой (1.4). Оператор $H_N$ является самосопряженным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка на компактном многообразии. Поэтому он имеет дискретный спектр в $L^2(M,L^N)$, состоящий из счетного набора собственных значений конечной кратности. Соответствующая классическая динамика описывается магнитным геодезическим потоком на кокасательном расслоении $T^*M$ (см. п. 4.2). Исследования динамических и вариационных задач для магнитных геодезических потоков, начатые в работах С. П. Новикова и И. А. Тайманова [72]–[74], [83]–[86], активно продолжаются в последние годы. Нас интересуют взаимосвязи асимптотических свойств собственных значений и собственных функций магнитного лапласиана $\Delta^{L^N}$ (и, более общим образом, оператора Бохнера–Шрёдингера $H_N$) при $N\to\infty$ с динамикой магнитного геодезического потока. Эти вопросы обсуждались в недавних работах автора с И. А. Таймановым [54]–[56]. Одним из важнейших инструментов в таких исследованиях являются формулы следа. В работах [54], [56] исследовалась формула следа Гийемина–Урибе для магнитного лапласиана. В данной работе мы изучаем формулу следа, которая несколько отличается от формулы Гийемина–Урибе. Эта формула является естественным обобщением квазиклассической формулы следа Гуцвиллера и сводится к ней в случае точной магнитной системы. Более того, в отличие от работ [54], [56], в которых рассматривались формулы следа на регулярных уровнях энергии, в данной работе основное внимание уделяется нулевому уровню энергии, являющемуся критическим уровнем энергии. Работа организована следующим образом. Мы начинаем наше изложение в разделе 2 с краткого обзора квазиклассической формулы следа Гуцвиллера – сначала в общем виде, а затем в частном случае точных магнитных систем. В разделе 3 мы используем связь точных магнитных систем с квазиклассическим случаем, чтобы дать определение сглаженной спектральной плотности для оператора Бохнера–Шрёдингера, ассоциированного с общей магнитной системой. Затем мы выписываем формулу следа на нулевом уровне энергии, представляющую собой асимптотическое разложение для сглаженной спектральной плотности, и даем набросок ее доказательства, использующего методы локальной теории индекса. Мы также приводим несколько других результатов, касающихся асимптотического поведения нижних собственных значений оператора Бохнера–Шрёдингера. Раздел 4 посвящен подходам к доказательству формулы следа для оператора Бохнера–Шрёдингера, использующим методы микролокального анализа. В разделе 5 приведены конкретные примеры вычисления формулы следа на нулевом уровне энергии для двумерных поверхностей постоянной кривизны с постоянными магнитными полями, а также для постоянного магнитного поля на трехмерном торе. 2. Формула следа ГуцвиллераКвазиклассическая формула следа была предложена Гуцвиллером в работе [42] (см. также близкую работу Р. Балиана и К. Блоха [1]). Первые строгие математические доказательства этой формулы были даны в работах И. Колен де Вердье [23], [24], Ж. Шазарена [22] и Х. Дюйстермаата и В. Гийемина [33] для оператора Лапласа на компактном римановом многообразии без края в пределе высоких энергий (часто формула следа в этом случае называется формулой Дюйстермаата–Гийемина). Здесь также следует упомянуть исследования формулы Сельберга, начатые в работе [81]. Строгие доказательства формулы Гуцвиллера для общих квазиклассических операторов впервые были даны для регулярных уровней энергии в работах Р. Бруммелуйса и А. Урибе [14], Э. Майнренкена [66], [67], Т. Поля и А. Урибе [76] (см. также более поздние работы [27], [77], [19], [32], [82]) и для критических уровней энергии в работах Р. Бруммелуйса, Т. Поля и А. Урибе [13] и Д. Хуат-Дуя [48] (см. также [15]–[18]). С тех пор эта тематика активно развивается. Библиография по ней достаточно обширна, и мы не будем касаться ее в этой статье. Упомянем лишь книги [43], [31], [37] и вводные статьи [88], [26]. Формула Гуцвиллера представляет собой асимптотическую в квазиклассическом пределе формулу для так называемой сглаженной спектральной плотности, описывающей распределение собственных значений квантового гамильтониана в некоторой окрестности уровня энергии $E$, в терминах периодических траекторий классической гамильтоновой системы на соответствующем множестве уровня классического гамильтониана. Здесь важно знать, является ли уровень энергии $E$ регулярным или критическим значением классического гамильтониана. Поэтому мы будем рассматривать эти два случая отдельно. 2.1. Случай регулярного уровня энергииВ этом пункте мы приведем геометрическую версию формулы Гуцвиллера для дифференциальных операторов на многообразиях и регулярного уровня энергии, следуя работе [76]. Пусть $\mathcal{H}^\hbar$ – дифференциальный оператор на компактном многообразии $M$, зависящий от квазиклассического параметра $\hbar>0$, вида где $A_l$ – дифференциальный оператор порядка $l$ на $M$, $l=0,1,\dots,m$. Квазиклассический главный символ оператора $\mathcal{H}^\hbar$ есть гладкая функция на $T^*M$, задаваемая формулой
$$
\begin{equation}
H(x, \xi) =\sum_{l=0}^m\sigma_{A_l}(x,\xi), \qquad (x,\xi)\in T^*M,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\sigma_{A_l}$ – главный символ оператора $A_l$. Предположим, что существует такая постоянная $c>0$, что $H(x,\xi)\geqslant c > 0$ для любого $(x,\xi)\in T^*M$. Также предположим, что оператор $A_m$ эллиптичен в обычном смысле. Наконец, предположим, что оператор $\mathcal{H}^\hbar$ формально самосопряжен в гильбертовом пространстве $L^2(M)$, задаваемом некоторой гладкой положительной плотностью на $M$. Легко видеть, что $\hbar$-дифференциальный оператор $\mathcal{H}^\hbar$ в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ вида
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}^\hbar =\sum_{j=0}^k \hbar^j a_j(x,\hbar D_x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_j(x, D_x)$ – дифференциальный оператор порядка $D$:
$$
\begin{equation*}
a_j(x, D_x) =\sum_{|\alpha|\leqslant D}a_{j\alpha}(x)D_x^\alpha, \qquad j=0,1,\dots,k,
\end{equation*}
\notag
$$
можно записать в виде (2.1) с $m=k+D$ и
$$
\begin{equation*}
A_l=\sum_{j+|\alpha|=l}a_{j\alpha}(x)D^\alpha_x, \qquad l=0,1,\dots,m.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, стандартное определение главного символа $\hbar$-дифференциального оператора согласуется с формулой (2.2):
$$
\begin{equation*}
H(x, \xi) =\sum_{|\alpha|\leqslant D} a_{0\alpha}(x)\xi^\alpha=a_0(x,\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве примера оператора вида (2.1) можно рассматривать оператор Шрёдингера где $\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами, ассоциированный с римановой метрикой на $M$, и $V\in C^\infty(M)$ – строго положительный потенциал.При данных условиях оператор $\mathcal{H}^\hbar$ имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений $\{\lambda_j(\hbar),\,j=0,1,2,\dots \}$ конечной кратности. Для заданной функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ и уровня энергии $E$ определим сглаженную спектральную плотность $Y_{\hbar}(\varphi)$ по формуле
$$
\begin{equation}
Y_{\hbar}(\varphi) =\operatorname{tr} \varphi\biggl(\frac{\mathcal{H}^\hbar-E}{\hbar}\biggr) =\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{\lambda_j(\hbar)-E}{\hbar}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Обозначим через $\phi^t$ гамильтонов поток с гамильтонианом $H$ на фазовом пространстве $X=T^*M$ c канонической симплектической структурой. Формула следа Гуцвиллера при некоторых условиях на поток $\phi^t$ дает выражение для функции $Y_{\hbar}(\varphi)$ в виде асимптотического в квазиклассическом пределе ряда, члены которого выражаются в терминах геометрических характеристик ограничения потока $\phi^t$ на множество уровня $X_E:=H^{-1}(E)\subset T^*M$ главного символа $H$. Предположим, что $E$ является регулярным значением главного символа $H$, т. е. $dH(x,\xi)\neq 0$ для любого $(x,\xi)\in X_E$. Тогда $X_E$ является гладким подмногообразием многообразия $T^*M$ размерности $2d-1$. Будем говорить, что поток $\phi^t$ является чистым на $X_E$, если множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P} =\{(T,(x,\xi))\in\mathbb{R}\times X_E\colon \phi^T(x,\xi)=(x,\xi)\}
\end{equation*}
\notag
$$
является подмногообразием в $\mathbb{R}\times X_E$ и для любого $(T,(x,\xi))\in\mathcal{P}$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
T_{(T,(x,\xi))}\mathcal{P} =\{(\tau,v)\in T_{(T,(x,\xi))}(\mathbb{R}\times X_E)\colon d\phi_{(T,(x,\xi))}(\tau,v)=v\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\phi\colon \mathbb{R} \times X_E \to X_E,\quad (t,(x, \xi))\mapsto \phi^t(x, \xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Действие $S_\gamma$ замкнутой кривой $\gamma$ в $T^*M$ задается формулой где $\eta$ – каноническая $1$-форма на $T^*M$:Из условия чистоты потока вытекает, что действие локально постоянно на $\mathcal{P}$. Обозначим его значение на компоненте связности $\mathcal{P}_\nu$ множества $\mathcal{P}$ через $\alpha_\nu$. Более того, на каждой компоненте связности $\mathcal{P}_\nu$ определена каноническая гладкая плотность $d\mu_\nu$. Субглавный символ оператора $\mathcal{H}^\hbar$ есть гладкая функция на $T^*M$, определяемая формулой
$$
\begin{equation*}
H_{\mathrm{sub}}(x,\xi) =\sum_{l=0}^m \sigma_{A_l,\mathrm{sub}}(x,\xi),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_{A_l,\mathrm{sub}}$ обозначает субглавный символ оператора $A_l$. Определим функцию $\beta$ на $\mathcal{P}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\beta(T,(x, \xi))=\int_0^T H_{\mathrm{sub}}(\phi^t(x,\xi))\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $\widehat{\varphi}$ преобразование Фурье функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation*}
\hat{\varphi}(k)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(\lambda)\exp(- ik\lambda)\,d\lambda,\qquad k\in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Формула следа Гуцвиллера дается следующей теоремой. Теорема 1 [76; теорема 5.3]. Предположим, что $E$ – регулярное значение главного символа $H$ и поток $\phi$ является чистым на $X_E$. Тогда для любой функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой финитно, сглаженная спектральная плотность $Y_\hbar(\varphi)$ допускает асимптотическое разложение 1) сумма $\displaystyle\sum_\nu$ берется по всем компонентам связности $\mathcal{P}_\nu$ множества $\mathcal{P}$, содержащим по крайней мере одну точку $(T,(x, \xi))$ с $T$, принадлежащим носителю $\widehat{\varphi}$ (эта сумма конечна); 2) $d_\nu=(\dim\mathcal{P}_\nu)/2$; 3) $m_\nu\in\mathbb{Z}$ – общий индекс Маслова траекторий, принадлежащих $\mathcal{P}_\nu$; 4) старший коэффициент $\nu$-го слагаемого равен Для компоненты связности $\{0\}\times X_E$ имеют место равенства $d_\nu=2d-1$ и
$$
\begin{equation*}
c_{\nu,0}(\varphi)=(2\pi)^{-d}\widehat{\varphi}(0)\operatorname{Vol}(X_E),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Vol}(X_E)$ – лиувиллев объем подмногообразия $X_E$. Для компоненты связности вида $\gamma \times \{T\}$, где $\gamma\subset X_E$ – невырожденная периодическая траектория потока, имеют место равенства $d_\nu = 1$ и
$$
\begin{equation}
c_{\nu,0}(\varphi) =\frac{T_\gamma^\#}{2\pi |\det(I-P_\gamma)|^{1/2}} \,\widehat{\varphi}(T),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $P_\gamma$ и $T^\#_\gamma$ – линеаризованное отображение Пуанкаре и примитивный период траектории $\gamma$ соответственно. Доказательство теоремы 1 использует метод, описанный ниже в п. 4.1. Он основан на сведении рассматриваемой квазиклассической спектральной задачи к некоторой асимптотической спектральной задаче для общих собственных значений пары коммутирующих псевдодифференциальных операторов в пределе высоких энергий. Затем используются методы теории интегральных операторов Фурье и микролокального анализа, разработанные для доказательства формулы следа Дюйстермаата–Гийемина. Условие чистоты потока необходимо для того, чтобы применить теорему о композиции интегральных операторов Фурье, которая, в свою очередь, существенно опирается на вычисление асимптотик осциллирующих интегралов с невырожденными фазовыми функциями методом стационарной фазы. 2.2. Случай критического уровня энергииСлучай, когда $E$ является критическим уровнем энергии, впервые изучался в работе [13]. В этой работе авторы рассматривали оператор $\mathcal{H}^\hbar$, зависящий от квазиклассического параметра $\hbar>0$, задаваемый формулой (2.1), при условиях, приведенных в предыдущем пункте. Они предполагали, что множество критических точек главного символа $H$ оператора $\mathcal{H}^\hbar$ является гладким компактным многообразием и $H$ имеет невырожденный нормальный гессиан на $\Theta$, т. е. для всех ${(x,\xi)}\in \Theta$ билинейная форма $Q(H)_{(x,\xi)}$ на нормальном пространстве $N_{(x,\xi)}\Theta:=T_{(x,\xi)}(T^*M)/T_{(x,\xi)}\Theta $ к $\Theta$ в точке $(x,\xi)$, определяемая вторым дифференциалом $d^2_{(x,\xi)}H$ функции $H$ в точке $(x,\xi)$, невырождена. Более того, кратности собственных значений нормального гессиана $Q(H)_{(x,\xi)}$ локально постоянны на $\Theta$. Без потери общности мы можем предполагать, что $\Theta$ связно и содержится в $X_E$ при некотором $E$.Напомним, что $\phi^t\colon T^*M\to T^*M$ обозначает гамильтонов поток с гамильтонианом $H$. Легко видеть, что каждая точка $(x,\xi)\in \Theta$ является неподвижной точкой потока $\phi^t$. Дифференциалы отображений $\phi^t$ в точке ${(x,\xi)}\in \Theta$ определяют линеаризованный поток $d\phi_{t,(x,\xi)}\colon N_{(x,\xi)}\Theta \to N_{(x,\xi)}\Theta$. Число $T$ является периодом потока $d\phi_{t,(x,\xi)}$, если существует такой вектор $u\in T_{(x,\xi)}(T^*M)\setminus T_{(x,\xi)}\Theta$, что $d\phi_{t,(x,\xi)}u=u$. Обозначим $q=\operatorname{codim} \Theta$, и пусть $\nu$ – число отрицательных собственных значений гессиана $Q(H)$ на $\Theta$. Как будет показано ниже, случай оператора Бохнера–Шрёдингера соответствует случаю $q=d$ и $\nu=0$. Теорема 2 [13; теорема 1.1]. Пусть $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ – любая функция такая, что нуль является единственным периодом линеаризованного потока в носителе ее преобразования Фурье. 1) Если $\nu\geqslant 1$, $q-\nu\geqslant 1$ и оба эти числа нечетны, то имеет место асимптотическое разложение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Y_\hbar(\varphi) & =\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{\lambda_j(\hbar)-E}{\hbar}\biggr)\notag \\ & \sim \hbar^{-(d-1)}\biggl[\sum_{j=0}^\infty c_{j,0}\hbar^j+\sum_{j=q/2-1}^\infty c_{j,1}\hbar^j\log\frac{1}{\hbar}\biggr], \qquad \hbar\to 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
2) Если $\nu\geqslant 1$, $q-\nu\geqslant 1$ и одно из этих чисел четно или если форма $Q(H)$ положительно определена ($\nu=0$), то имеет место асимптотическое разложение В работе [13] были также получены формулы для старших коэффициентов разложений (2.6) и (2.7). Авторы, в частности, показали (см. [13; п. 3.4]), что если нормальный гессиан положительно определен, то $\Theta$ дает вклад в коэффициент $c_j$ разложения (2.7), начиная со степени $\hbar^{-d+q/2}$ (т. е. с $j=q-2$). Доказательство теоремы 2 использует методы доказательства теоремы 1 с той лишь разницей, что в данном случае условие чистоты потока не выполнено, что приводит к необходимости исследования асимптотик осциллирующих интегралов с вырожденными фазовыми функциями. Доказательство формулы Гуцвиллера для критического уровня энергии, справедливой для произвольной функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой финитно, и, в частности, вычисление вкладов ненулевых периодов линеаризованного потока, были даны в работе [48] для оператора Шрёдингера в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ $(d\geqslant 1)$ при условии, что $V\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ и Хорошо известно, что при таких условиях спектр оператора $\mathcal{H}^\hbar$ дискретный. В этом случае множество $\Theta$ критических точек главного символа $H(x,\xi)=|\xi|^2/2+V(x)$ имеет вид Как и выше, предположим, что $\Theta$ является гладким компактным многообразием, для любого $(x,0)\in \Theta$ нормальный гессиан $Q(H)_{(x,0)}$ на $N_{(x,0)}\Theta$ невырожден, кратности собственных значений нормального гессиана $Q(H)_{(x,0)}$ локально постоянны для $(x,0)\in \Theta$, $\Theta$ связно и содержится в некотором множестве $X_E$. Отметим, что в данном случае $\Theta$ является изотропным подмногообразием многообразия $\mathbb{R}^{2d}=T^*\mathbb{R}^d$, наделенного канонической симплектической формой.Предположим, что гамильтонов поток $\phi^t$ в пространстве $\mathbb{R}^{2d}$ с гамильтонианом $H$ является чистым на $X_E\setminus \Theta$. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
(\alpha_1(x)^2,\dots,\alpha_r(x)^2,-\alpha_{r+1}(x)^2, \dots,-\alpha_{r+\nu}(x)^2,0,\dots,0), \qquad \alpha_i(x)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
собственные значения второго дифференциала $d^2V(x)$ для $(x,0)\in\Theta$. Тогда $\dim\Theta=d-r-\nu$. Как и выше, положим $q:=\operatorname{codim}\Theta=d+r+\nu$. В [48; теорема 1.3] доказаны аналоги асимптотических разложений (2.6) и (2.7) для всех функций $\varphi$, преобразование Фурье которых финитно, и вычислены коэффициенты этих разложений. Рассмотрим более подробно случай $\nu=0$, наиболее важный для нас. В этом случае в [48; теорема 1.3] доказано, что асимптотическое разложение (2.7) остается справедливым. Более того, оно не содержит полуцелых степеней $\hbar$, т. е. имеет вид
$$
\begin{equation}
Y_\hbar(\varphi) =\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{\lambda_j(\hbar)-E}{\hbar}\biggr) \sim \hbar^{q/2-d}\sum_{j=0}^\infty c_{j}\hbar^{j}, \qquad \hbar\to 0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для произвольных $\ell\in \mathbb{Z}_+$, $m\in \mathbb{N}$ и $\alpha_j>0$, $j=1,\dots,m$, определим обобщенную функцию
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(t+i0)^\ell \prod_{j=1}^m\sin(\alpha_j(t+i0))}\in \mathcal{S}'(\mathbb{R})
\end{equation*}
\notag
$$
по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl\langle\frac{1}{(t+i0)^\ell\prod_{j=1}^m\sin(\alpha_j(t+i0))},\psi\biggr\rangle \\ &\qquad\qquad =\lim_{\varepsilon \to 0+}\int_{\mathbb{R}} \frac{\psi(t)}{(t+i\varepsilon)^\ell \prod_{j=1}^m\sin(\alpha_j(t+i\varepsilon))}\,dt, \qquad \psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Формула для старшего коэффициента $c_0$ асимптотического разложения (2.8) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_0 & =\frac{2^{d-q}e^{-3\pi (q/4)i}}{(2\pi)^{d-q/2}}\notag \\ &\qquad \times\int_{\Theta} \frac{1}{2\pi} \biggl\langle \frac{1}{(t+i0)^{d-q/2}\prod_{j=1}^{q-d} \sin((\alpha_j(x)/2)(t+i0))}, \widehat{\varphi}(t)\biggr\rangle\, dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Для любых $m\in \mathbb{N}$ и $c_j>0$, $j=1,\dots, m$, имеют место следующие формулы (см., например, [48; лемма 3.3]):
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2\pi} \biggl\langle \frac{1}{\prod_{j=1}^m\sin(c_j(t+i0))}, \widehat{\varphi}(t)\biggr\rangle =(-2i)^m \sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^m} \varphi\biggl(\,\sum_{j=1}^m(2k_j+1)c_j\biggr)
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
и при $\ell>0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{2\pi} \biggl\langle\frac{1}{(t+i0)^{\ell}\prod_{j=1}^m\sin(c_j(t+i0))}, \widehat{\varphi} \biggr\rangle\notag \\ &\qquad\qquad =\frac{2^m e^{3\pi((\ell+m)/2) i}}{\Gamma(\ell)} \sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}_+^m}\int_{\mathbb{R}} \biggl(\tau-\sum_{j=1}^m(2k_j+1)c_j\biggr)_+^{\ell-1}\varphi(\tau)\,d\tau, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $(\tau-\beta)_+^{\ell-1}$ – функция, равная $(\max(0,\tau-\beta))^{\ell-1}$. При $\ell\in \frac 12\mathbb{N}$, переходя к полярным координатам, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}^{2\ell}} \varphi\biggl(|\xi|^2+\sum_{j=1}^m(2k_j+1)c_j\biggr)\,d\xi =\frac{\pi^\ell}{\Gamma(\ell)} \int_{\mathbb{R}} \biggl(\tau-\sum_{j=1}^m(2k_j+1)c_j\biggr)_+^{\ell-1} \varphi(\tau)\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
что позволяет переписать формулу (2.11) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{2\pi} \biggl\langle\frac{1}{(t+i0)^{\ell}\prod_{j=1}^m\sin(c_j(t+i0))}, \widehat{\varphi} \biggr\rangle\notag \\ & \qquad\qquad\quad =\frac{2^m e^{3\pi((\ell+m)/2) i}}{\pi^\ell} \sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^m}\int_{\mathbb{R}^{2\ell}} \varphi\biggl(|\xi|^2+\sum_{j=1}^m(2k_j+1)c_j\biggr)\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
С учетом равенств (2.11) и (2.12) формула (2.9) переписывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_0 & =\frac{1}{(2\pi)^{d-q/2}}\,\frac{1}{\Gamma(d-q/2)}\notag \\ &\qquad \times\int_{\mathbb{R}} \biggl[\int_{\Theta} \sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}_+^{q-d}} (\tau-\beta_{\mathbf{k}}(x))_+^{d-q/2-1}\,dx\biggr] \varphi(\tau)\,d\tau\notag \\ & =\frac{1}{(2\pi)^{2d-q}} \sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}_+^{q-d}} \int_\Theta \int_{{\mathbb{R}^{2d-q}}} \varphi\biggl(\frac12|\xi|^2+\beta_\mathbf{k}(x)\biggr)\,dx\,d\xi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta_{\mathbf{k}}(x) =\sum_{j=1}^{q-d}\biggl(k_j+\frac12\biggr)\alpha_j(x), \qquad (x,0)\in\Theta, \quad \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^{q-d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнюю формулу, можно переписать (2.9) в виде классической формулы Вейля с подходящим образом выбранным операторнозначным символом. Задачи построения аналогов формулы Вейля для различных классов вырождающихся операторов при помощи общих теорем об асимптотике спектра псевдодифференциальных операторов с операторнозначными символами обсуждались в работе [57]. Для квазиклассических спектральных задач эти вопросы тесно связаны с адиабатическими пределами и приближением Борна–Оппенгеймера (см., например, работы [2], [87], [78] и приведенные в них ссылки). 2.3. Точные магнитные системыВ этом пункте мы вернемся к магнитным системам и оператору Бохнера–Шрёдингера (1.3) и рассмотрим случай точной магнитной системы. Тем самым, мы предполагаем, что форма $F$ точна, $F=d\mathbf{A}$ с некоторой вещественной $1$-формой $\mathbf{A}$, эрмитово линейное расслоение $(L,h^L)$ тривиально и эрмитова связность $\nabla^L$ записывается в виде $\nabla^L=d-i \mathbf{A}$. В этом случае оператор $H_N$ связан с квазиклассическим магнитным оператором Шрёдингера $\mathcal{H}^\hbar$ по формуле (1.5). Переписывая формулу (2.3) для сглаженной спектральной плотности оператора $\mathcal{H}^\hbar$ на уровне энергии $E_0\geqslant 0$ в терминах оператора $H_N$, получаем
$$
\begin{equation}
Y_N(\varphi) =\operatorname{tr} \varphi\biggl(\frac{\mathcal{H}^\hbar-E_0}{\hbar}\biggr) =\operatorname{tr} \varphi\biggl(\frac{1}{N}\Delta^{L^N}+V-E_0N\biggr).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Мы будем использовать эту формулу для определения сглаженной спектральной плотности оператора $H_N$, ассоциированного с произвольной магнитной системой. Нетрудно вычислить главный и субглавный символы оператора $\mathcal{H}^\hbar$ (см., например, [70; лемма A.1]):
$$
\begin{equation}
H(x,\xi) =|\xi-\mathbf{A}(x)|_{g^{-1}}^2, \quad H_{\mathrm{sub}}(x,\xi)=V(x), \qquad (x,\xi)\in T^*M.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
В локальных координатах получаем
$$
\begin{equation*}
H(x, \xi) = \sum_{k,\ell=1}^d g^{k\ell}(x)(\xi_k - A_k(x))(\xi_\ell - A_\ell(x)), \qquad (x,\xi)\in \mathbb{R}^{2d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial H}{\partial \xi_\ell}(x,\xi) =2\sum_{k,\ell=1}^d g^{k\ell}(x)(\xi_k - A_k(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
любое $E_0>0$ является регулярным значением главного символа $H$, и формула Гуцвиллера, приведенная в теореме 1, применима в данном случае и описывает полное асимптотическое разложение функции $Y_N(\varphi)$ при $N\to \infty$. Значение $E_0=0$ является критическим значением главного символа $H$. Мы обсудим формулы следов на этом уровне энергии позже в контексте общих магнитных систем. В оставшейся части этого пункта мы приведем некоторые факты, касающиеся геометрии соответствующего множества критических точек главного символа $H$. Легко видеть, что множество критических точек главного символа $H$ на нулевом множестве уровня $X_0=H^{-1}(0)$ (которое часто называется характеристическим множеством оператора $\mathcal{H}^\hbar$) совпадает со всем $X_0$. Множество $X_0$ является $d$-мерным подмногообразием $T^*M$: Оно отождествляется с $M$ при помощи отображения и обратным к нему является ограничение проекции $\pi\colon T^*M\to M$ на $X_0$.Можно показать (см., например, [69; лемма 2.1]), что ограничение канонической симплектической формы $\omega=\displaystyle\sum_{j=1}^d d\xi_j\wedge dx_j$ на $X_0$ есть Таким образом, в отличие от случая оператора Шрёдингера, рассмотренного в п. 2.2, подмногообразие $X_0$ не является изотропным. Его свойства определяются свойствами формы $F$. Если $F$ невырождена, то многообразие $(X_0,\omega_{X_0})$ является симплектическим. Если $F$ имеет постоянный ранг, то $(X_0, \omega_{X_0})$ является предсимплектическим многообразием.В работе [69; пп. 2.1 и 2.2] вычислен второй дифференциал $d^2H$ на $X_0$. В локальных координатах $(x_1,\dots,x_d)$ запишем и введем обозначения
$$
\begin{equation*}
(\nabla\mathbf{A}\cdot Q)_k =\sum_{\ell=1}^d\frac{\partial A_k}{\partial x_\ell}(x)\,Q_\ell, \qquad ((\nabla\mathbf{A})^\top \cdot Q)_k =\sum_{\ell=1}^d \frac{\partial A_\ell}{\partial x_k}(x)\,Q_\ell.
\end{equation*}
\notag
$$
Касательное пространство $T_{j(x)}X_0$ к $X_0$ в точке $j(x)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
T_{j(x)}X_0 =\{(Q, P)\in T_{j(x)}(T^*M)\cong \mathbb{R}^{2d}\colon P =\nabla\mathbf{A} \cdot Q\},
\end{equation*}
\notag
$$
Косоортогональное дополнение $T_{j(x)}X_0^\bot$ к $T_{j(x)}X_0$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
T_{j(x)}X_0^\bot =\{(Q, P)\in T_{j(x)}(T^*M) \cong \mathbb{R}^{2d}\colon P =(\nabla\mathbf{A})^\top \cdot Q \}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
T_{j(x)}X_0 \cap T_{j(x)}X_0^\bot= \operatorname{Ker}(\pi^*F).
\end{equation*}
\notag
$$
Второй дифференциал $d^2_{j(x)}H$ в точке $j(x)=(x, \mathbf{A}(x)) \in X_0$ есть квадратичная форма на $T_{j(x)}(T^*M)\cong \mathbb{R}^{2d}$, задаваемая формулой
$$
\begin{equation*}
d^2_{j(x)}H(Q,P) = 2\sum_{k,\ell=1}^d g^{k\ell}(x) (P_k-(\nabla\mathbf{A}\cdot Q)_k) (P_\ell-(\nabla\mathbf{A}\cdot Q)_\ell).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, форма $d^2_{j(x)}H$ определяет билинейную форму $Q(H)_{j(x)}$ на конормальном пространстве $T_{j(x)}(T^*M)/T_{j(x)}X_0$ (нормальный гессиан), которая положительно определена. Пусть $J_x\colon T_xM\to T_xM$ – такой кососимметрический оператор, что Предположим, что ранг формы $F_x$ равен $2n$, и через $\pm ia_k(x)$, $k=1,\dots,n$, где $a_k(x)>0$, обозначим ненулевые собственные значения оператора $J_x$.В [69; пп. 2.1 и 2.2] доказано, что существует такая линейно независимая система векторов $(\{f_k\}_{k=1}^n, \{f'_{k'}\}_{k'=1}^n, \{g_\ell\}_{\ell=1}^{d-2n})$ в $T_{j(x)}(T^*M)\setminus T_{j(x)}X_0$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega(f_k,f_{k'})=\omega(f'_k,f'_{k'})=0, \quad \omega(f_k,f'_{k'})=\delta_{k{k'}}, \qquad k,{k'}=1,\dots,n, \\ \omega(f_k,g_\ell)=\omega(f'_k,g_\ell)=0, \qquad k=1,\dots,n, \quad \ell=1,\dots,d-2n, \\ \omega(g_\ell,g_{\ell'})=0, \qquad \ell,{\ell'}=1,\dots,d-2n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, d^2_{j(x)}H(f_k,f_{k'}) & =d^2_{j(x)}H(f'_k,f'_{k'})=2a_k(x)\delta_{kk'}, \\ d^2_{j(x)}H(f_k,f'_{k'}) & =0, \end{aligned} \qquad k,k'=1,\dots,n, \\ d^2_{j(x)}H(f_k,g_\ell)=d^2_{j(x)}H(f'_k,g_\ell)= 0, \qquad k=1,\dots,n, \quad \ell=1,\dots,d-2n, \\ d^2_{j(x)}H(g_\ell,g_{\ell'})=0, \qquad \ell,\ell'=1,\dots,d-2n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает полное описание нормального гессиана в данном случае.
3. Формула следа для нулевого уровня энергииВ этом разделе мы обсудим формулы следа для оператора Бохнера–Шрёдингера (1.3), ассоциированного с произвольной магнитной системой, описанной в разделе 1. Мы будем использовать обозначения, введенные в разделе 1. 3.1. Сглаженная спектральная плотностьМы воспользуемся формулой (2.14), чтобы определить сглаженную спектральную плотность для оператора Бохнера–Шрёдингера $H_N$, ассоциированного с произвольной магнитной системой:
$$
\begin{equation}
Y_N(\varphi) =\operatorname{tr}\varphi\biggl(\frac{1}{N}\Delta^{L^N}+V-E_0N\biggr).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Если обозначить через $\nu_{N,j}$, $j=0,1,2,\dots$, собственные значения оператора $H_N$, взятые с учетом кратностей, то эта формула примет вид
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi) =\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{1}{N}\,\nu_{N,j}-E_0N\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Насколько нам известно, вопрос о доказательстве соответствующей формулы следа в случае $E_0>0$ до сих пор остается открытым (см. тем не менее замечание 1). В работе [39] Гийемин и Урибе рассматривали другую версию сглаженной спектральной плотности и доказали для нее формулу следа. Обзор основных понятий и результатов, связанных с формулой следа Гийемина–Урибе, и некоторые конкретные примеры ее вычисления даны в работе [54] (см. также [56]). В настоящей работе большее внимание будет уделено случаю нулевой энергии $E_0=0$ (некоторая информация для случая $E_0>0$ приведена в п. 4.3). 3.2. Формула следаДля уровня энергии $E_0=0$ сглаженная спектральная плотность $Y_N(\varphi)$ оператора $H_N$, задаваемая формулой (3.1), принимает вид
$$
\begin{equation}
Y_N(\varphi) =\operatorname{tr} \varphi\biggl(\frac{1}{N}\Delta^{L^N}+V\biggl) =\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{1}{N}\,\nu_{N,j}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В работе [52] автором была доказана соответствующая формула следа. Теорема 3. Существует такая последовательность обобщенных функций $f_r\in\mathcal{D}'(\mathbb{R})$, $r\geqslant 0$, что для любой $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ последовательность $Y_N(\varphi)$, задаваемая формулой (3.2), допускает асимптотическое разложение Явные формулы для коэффициентов $f_r$ этого разложения используют специальные дифференциальные операторы $\mathcal{H}^{(x_0)}$ (модельные операторы), ассоциированные с произвольной точкой $x_0\in M$. Они получаются из операторов $H_N$ замораживанием коэффициентов в точке $x_0$. Пусть $x_0\in M$. Определим связность в тривиальном эрмитовом линейном расслоении над $T_{x_0}M$ по формуле
$$
\begin{equation}
\nabla^{(x_0)}_v =\nabla_v+\frac12R^L_{x_0}(w,v), \qquad v\in T_w(T_{x_0}M)
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
(напомним, что $R^L$ обозначает кривизну связности $\nabla^L $). Кривизна этой связности постоянна и равна форме $R^L_{x_0}$, рассматриваемой как постоянная $2$-форма на $T_{x_0}M$. Обозначим через $\Delta^{(x_0)}$ соответствующий лапласиан Бохнера. Модельный оператор $\mathcal{H}^{(x_0)}$ есть дифференциальный оператор второго порядка в пространстве $C^\infty(T_{x_0}M)$, определяемый по формуле Для любой функции $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ оператор $\varphi(\mathcal{H}^{(x_0)})$ является интегральным оператором с гладким ядром $K_{\varphi(\mathcal{H}^{(x_0)})}\in C^\infty(T_{x_0}M\times T_{x_0}M)$ относительно евклидовой формы объема на $T_{x_0}M$, определяемой римановой метрикой $g_{x_0}$.Старший коэффициент $f_{0}$ в асимптотическом разложении (3.3) имеет вид где $dv_M$ обозначает риманову форму объема иЯдро Шварца $K_{\varphi(\mathcal{H}^{(x_0)})}$ легко вычисляется, что дает более явные формулы для $f_{0}(x_0)$. Напомним, что кососимметрический оператор $J\colon TM\to TM$ определяется формулой (2.17) и ненулевые собственные значения оператора $J_x$ обозначаются через $\pm ia_k(x)$, $k=1,\dots,n$ ($a_k(x)>0$, $2n=\operatorname{rank} F_x$). Положим
$$
\begin{equation}
\Lambda_{\mathbf{k}}(x_0) =\sum_{j=1}^n(2k_j+1) a_j(x_0)+V(x_0).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В случае, когда $F$ имеет максимальный ранг ($d=2n$), спектр оператора $\mathcal{H}^{(x_0)}$ представляет собой счетный набор собственных значений бесконечной кратности:
$$
\begin{equation*}
\sigma(\mathcal{H}^{(x_0)}) =\bigl\{\Lambda_{\mathbf{k}}({x_0})\colon \mathbf{k}=(k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{Z}_+^n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $d>2n$, то спектр оператора $\mathcal{H}^{(x_0)}$ есть полупрямая:
$$
\begin{equation*}
\sigma(\mathcal{H}^{(x_0)}) =[\Lambda_0(x_0), +\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
где Если $d=2n$, то
$$
\begin{equation}
f_{0}(x_0) =\frac{1}{(2\pi)^{n}} \biggl(\,\prod_{j=1}^n a_j(x_0)\biggr) \sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n}\varphi(\Lambda_{\mathbf{k}}(x_0)),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
а если $d>2n$, то
$$
\begin{equation}
f_{0}(x_0) =\frac{1}{(2\pi)^{n}} \biggl(\,\prod_{j=1}^n a_j(x_0)\biggr) \sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n} \int_{\mathbb{R}^{d-2n}} \varphi\bigl(|\xi|^2+\Lambda_{\mathbf{k}}(x_0)\bigr)\,d\xi.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Используя (2.10), (2.11) и (2.12), мы можем переписать эти формулы в терминах преобразования Фурье функции $\varphi$. В случае $d=2n$ мы получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{0}(x_0) & =\frac{1}{(-4i\pi)^{n}} \biggl(\,\prod_{j=1}^n a_j(x_0)\biggr)\notag \\ &\qquad \times \frac{1}{2\pi} \biggl\langle \frac{e^{itV(x_0)}}{\prod_{j=1}^n\sin(a_j(x_0)(t+i0))}, \widehat{\varphi}(t) \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
a в случае $d>2n$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_{0}(x_0) & =\frac{e^{-3\pi (d/4) i}}{4^n\pi^{2n-d/2}} \biggl(\,\prod_{j=1}^n a_j(x_0)\biggr)\notag \\ &\qquad \times \frac{1}{2\pi} \biggl\langle \frac{e^{itV(x_0)}}{(t+i0)^{d/2-n}\prod_{j=1}^n\sin(a_j(x_0)(t+i0))}, \widehat{\varphi}(t) \biggr\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Для произвольного $r$ коэффициент $f_r(x_0)$ при $d=2n$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
f_r(x_0) =\sum_{\mathbf{k} \in\mathbb{Z}^n_+} \sum_{\ell=1}^{m} P_{\mathbf{k},\ell}(x_0) \varphi^{(\ell-1)}(\Lambda_{\mathbf{k}}(x_0)),
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_{\mathbf{k},\ell}$ полиномиально ограничен по $\mathbf{k}$, а при $d>2n$
$$
\begin{equation*}
f_r(x_0) =\sum_{\mathbf{k} \in\mathbb{Z}^n_+} \sum_{\ell=1}^{m} \int_{\mathbb{R}^{d-2n}} P_{\mathbf{k},\ell,x_0}(\xi)\, \varphi^{(\ell-1)}\bigl(\Lambda_{\mathbf{k}}(x_0)+|\xi|^2\bigr)\,d\xi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_{\mathbf{k},\ell,x_0}(\xi)$ – многочлен степени $3r$, полиномиально ограниченный по $\mathbf{k}$. В случае максимального ранга $d=2n$ формула (3.11) имеет естественную геометрическую интерпретацию в терминах магнитного геодезического потока. Поскольку речь пойдет о некоторой окрестности точки $x_0$, без потери общности мы можем предполагать, что магнитная система является точной, т. е. эрмитово линейное расслоение $L$ тривиально и существует магнитный потенциал $\mathbf{A}$, и использовать факты, приведенные в п. 2.3. В частности, вместо магнитного геодезического потока можно рассматривать гамильтонов поток $\phi^t\colon T^*M\to T^*M$ с гамильтонианом $H$, задаваемым формулой (2.15) (см. ниже п. 4.2, в частности пример 1). Каждая точка $j(x_0)=(x_0,\mathbf{A}(x_0))\in X_0$ является критической точкой главного символа $H$ и потому неподвижной точкой потока $\phi^t$. Тем самым, определен линеаризованный поток $d\phi_{t,j(x_0)}$ на конормальном пространстве к $X_0$ в точке $j(x_0)$. В рассматриваемом случае $d=2n$ многообразия $X_0$ и $X_0^\bot$ являются симплектическими. Имеет место изоморфизм причем билинейная форма на $N_{j(x_0)}X_0$, индуцированная канонической симплектической формой $\omega$, совпадает с ограничением $\omega$ на $T_{j(x_0)}X_0^\bot$. Более того, поток $d\phi_{t,j(x_0)}$ является линейным гамильтоновым потоком относительно индуцированной симплектической структуры на $N_{j(x_0)}X_0$. Его гамильтонианом является нормальный гессиан $Q(H)_{j(x_0)}$ – квадратичная форма на $N_{j(x_0)}X_0$, определяемая вторым дифференциалом $d^2_{j(x_0)}H$. Как было указано в п. 2.3, квадратичная форма $Q(H)_{j(x_0)}$ положительно определена и существует такой базис $\{f_k, f'_k,\,k=1,\dots,n\}$ в $N_{j(x_0)}X_0$, что
$$
\begin{equation*}
\omega(f_k,f_\ell)=\omega(f'_k,f'_\ell)=0, \quad \omega(f_k,f'_\ell)=\delta_{k\ell}, \qquad k,\ell=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q(H)_{j(x_0)}(f_k, f_\ell) =Q(H)_{j(x_0)}(f'_k, f'_\ell) =2a_k(x_0)\delta_{k\ell}, \\ Q(H)_{j(x_0)}(f_k, f'_\ell) =0, \qquad k,\ell=1,\dots,n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в соответствующих координатах $(u_1,\dots,u_n,v_1,\dots,v_n)\in\mathbb{R}^{2n}$ на $N_{j(x_0)}X_0$ линеаризованный поток имеет вид
$$
\begin{equation*}
d\phi_{t,j(x_0)}(u,v)=(u(t),v(t))\in N_{j(x_0)}X_0 \cong\mathbb{R}^{2n},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_k(t) & = \cos(2a_k(x_0)t)u_k+\sin(2a_k(x_0)t)v_k,\\ v_k(t) & = -\sin(2a_k(x_0)t)u_k+\cos(2a_k(x_0)t)v_k,\\ \end{aligned} \qquad k=1,\dots,n, \quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Можно проверить, что выражение, стоящее в правой части формулы (3.11), записывается в виде (ср. с (2.5))
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\prod_{k=1}^n\sin(a_k(x_0)t)} =\frac{1}{|\det(I-d\phi_{t, j(x_0)})^{1/2}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, множество особенностей преобразования Фурье обобщенной функции $f_0(x_0)$ совпадает с множеством периодов потока $d\phi_{t,j(x_0)}$:
$$
\begin{equation*}
T=m_k\,\frac{\pi }{a_k(x_0)}, \qquad k=1,\dots, n, \quad m_k\in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя связь магнитного геодезического потока с потоком $\phi^t$, описанную ниже в п. 4.2 (см. пример 1), можно легко переформулировать приведенные выше факты в терминах магнитного геодезического потока. 3.3. Распределение нижних собственных значенийИсследование сглаженной спектральной плотности $Y_N(\varphi)$, задаваемой формулой (3.2), связано с исследованием асимптотического поведения собственных значений оператора $H_N$ на интервалах вида $(\alpha N,\beta N)$, где $\alpha,\beta\geqslant 0$. Асимптотическая формула для функции распределения собственных значений оператора $H_N/N$ была доказана Ж.-П. Демайи [29], [30] при помощи вариационных методов (типа вилки Дирихле–Неймана) без каких-либо ограничений на кривизну расслоения $L$. Функция распределения $\mathcal{N}_N(\lambda)$ собственных значений оператора $H_N/N$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_N(\lambda) =\#\biggl\{j\in\mathbb{Z}_+\colon \frac 1N\,\nu_{N,j}\leqslant\lambda\biggr\}, \qquad \lambda\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_{N,j}$, $j\in \mathbb{Z}_+$, – собственные значения оператора $H_N$, взятые с учетом кратности. Согласно [29; теорема 0.6] (см. также [30; следствие 3.3]), существует такое счетное множество $\mathcal{D}\subset \mathbb{R}$, что для любого $\lambda\in \mathbb{R}\setminus \mathcal{D}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \lim_{N\to +\infty}N^{-d/2}\mathcal{N}_N(\lambda) =\frac{2^{n-d}\pi^{-d/2}}{\Gamma(d/2-n+1)}\notag \\ &\qquad\qquad \times\sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}_+^n} \int_M (\lambda-\Lambda_{\mathbf{k}}({x}))_+^{d/2-n} \biggl(\,\prod_{j=1}^n a_j(x)\biggr)\,dv_M(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Легко видеть, что эта формула согласуется с формулами (3.9) и (3.10) (см. также (2.9) и (2.13)). В случае максимального ранга $d=2n$ формулу (3.14) можно переписать в терминах формы объема Лиувилля $\mu_F=F^n/n!$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\lim_{N\to +\infty}N^{-n}\mathcal{N}_N(\lambda) =\frac{1}{(2\pi)^n} \int_M \#\{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}_+^n\colon \Lambda_{\mathbf{k}}({x}) <\lambda \}\,\mu_F(x).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Доказательство этой формулы, основанное на использовании уравнения теплопроводности, было дано в [9]. Мы отсылаем читателя к работам [4], [9], [30], [59], [63] и приведенной там библиографии по поводу исследований теплового ядра, ассоциированного с оператором $H_N/N$, а также к работам [70], [21], в которых исследовалась асимптотическая формула Вейля в случае, когда кривизна $R^L$ невырождена. Имеется также обширная литература, посвященная исследованиям асимптотического поведения нижних собственных значений оператора $H_N$. См., например, книги и обзорные статьи [35], [44], [45], [78], а также недавние работы [64], [69]–[71] (и приведенную в них библиографию). В работах [50], [21] дано асимптотическое описание спектра оператора $H_N/N$ в терминах спектров модельных операторов (3.5) в случае, когда форма $F$ имеет максимальный ранг. Обозначим через $\Sigma$ объединение спектров модельных операторов:
$$
\begin{equation*}
\Sigma =\{\Lambda_\mathbf {k}(x_0)\colon \mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n, x_0\in M\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4 [21]. Для любого $K>0$ существует такое $c>0$, что для любого $N\in \mathbb{N}$ спектр оператора $H_N/N$ в интервале $[0,K]$ содержится в $cN^{-1/2}$-окрестности множества $\Sigma$. В работе [50] доказано аналогичное утверждение с более слабой оценкой $cN^{-1/4}$ вместо $cN^{-1/2}$ для более широкого класса римановых многообразий ограниченной геометрии. Множество $\Sigma$ является замкнутым подмножеством вещественной прямой $\mathbb{R}$, которое представимо в виде объединения замкнутых интервалов:
$$
\begin{equation*}
\Sigma =\bigcup_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n}[\alpha_{\mathbf{k}},\beta_{\mathbf{k}}],
\end{equation*}
\notag
$$
где для любого $\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n$ интервал $[\alpha_{\mathbf{k}},\beta_{\mathbf{k}}]$ является образом функции $\Lambda_{\mathbf{k}}$ на $M$:
$$
\begin{equation*}
[\alpha_{\mathbf{k}},\beta_{\mathbf{k}}] =\{\Lambda_{\mathbf{k}}({x_0})\colon x_0\in M\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае зоны $[\alpha_{\mathbf{k}},\beta_{\mathbf{k}}]$ могут перекрываться без каких-либо лакун, и тогда $\Sigma$ есть полуось $[\Lambda_0,+\infty)$, где $\Lambda_0=\inf_{x\in M}\Lambda_0(x)$. В некоторых случаях $\Sigma$ может иметь лакуны: $[\Lambda_0,+\infty)\setminus \Sigma\not=\varnothing$. Например, если $V(x)\equiv 0$ и функции $a_j$ можно выбрать постоянными:
$$
\begin{equation}
a_j(x)\equiv a_j, \qquad x\in M, \quad j=1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
то $\Sigma$ является счетным дискретным множеством. В частности, если $J$ является почти-комплексной структурой ($J^2=-I$; почти-кэлеров случай) и $V(x)\equiv 0$, то $a_j=1$, $j=1,\dots,n$, и Множество $\Sigma$ также может иметь лакуны, если функции $a_j$ не постоянны, но изменяются достаточно мало. В этих случаях из теоремы 4 также вытекает существование лакун в спектре оператора $H_N/N$. В частности, если $V(x)\equiv 0$ и справедливо условие (3.16), то спектр оператора $H_N/N$ содержится в объединении окрестностей точек $\Lambda_{\mathbf k}$ размера $\mathcal{O}(N^{-1/2})$. В почти-кэлеровом случае теорема 4 была доказана в [34]. Спектральные данные оператора $H_N$ можно использовать для построения квантований по Березину–Тёплицу симплектического многообразия $(M,F)$. Пространством такого квантования служит спектральное подпространство оператора $H_N/N$, отвечающее собственным значениям, находящимся около некоторой изолированной замкнутой компоненты множества $\Sigma$, а операторами квантования – операторы Тёплица, ассоциированные с этим подпространством. Такая идея впервые была предложена Гийемином и Урибе в работе [38]. Они рассматривали оператор Бохнера–Шрёдингера с потенциалом
$$
\begin{equation*}
V(x)=-\tau(x), \quad\text{где}\ \ \tau(x):=\operatorname{Tr}|J_x|,\ \ x\in M,
\end{equation*}
\notag
$$
называемый ренормализованным лапласианом Бохнера: Важным частным случаем (и мотивировкой для такого определения) является случай кэлерова многообразия $M$. Если взять в качестве $L$ голоморфное линейное расслоение на $M$, наделенное голоморфной связностью (связностью Черна), то ренормализованный лапласиан Бохнера совпадает с удвоенным лапласианом Кодаиры: $\Delta_N=2(\bar\partial^{L^N})^*\bar\partial^{L^N}$. Пространство квантования в данном случае состоит из голоморфных сечений расслоения $L^N$. Соответствующее квантование по Березину–Тёплицу называется кэлеровым квантованием. В общем случае в [38] доказано, что существуют такие постоянные $c>0$ и $b_0>0$, что для любого $N\in \mathbb{N}$ спектр ренормализованного лапласиана Бохнера $\Delta_N$ содержится в $(-c,c)\cup [2b_0N-c,\infty)$. Более простое доказательство и точное выражение для постоянной $b_0$ были даны в [58; следствие 1.2]. Заметим, что этот результат согласуется с теоремой 4, поскольку в данном случае $\Lambda_0(x)\equiv 0$ и $\Sigma$ имеет лакуну около нуля: $\Sigma\subset\{0\}\cup [2b_0,\infty)$. Пространство квантования порождается собственными функциями оператора $H_N$ с собственными значениями из интервала $(-c,c)$. Соответствующее квантование было построено в [7] в почти-кэлеровом случае и в работах [47], [49] для произвольной римановой метрики (см. также [6] по поводу кэлерова квантования и [7], [61], [59] по поводу квантования, ассоциированного с комплексным спинорным оператором Дирака). В работах [20], [51] построены квантования по Березину–Тёплицу для более общих спектральных подпространств, соответствующих произвольным изолированным замкнутым компонентам множества $\Sigma$. 3.4. Доказательство методами локальной теории индексаВ этом пункте мы опишем вкратце основные шаги доказательства теоремы 3, следуя работе [52]. Доказательство сочетает в себе методы функционального анализа (прежде всего функциональное исчисление на основе формулы Хельффера–Шёстранда [46] и оценки норм в подходящих пространствах Соболева) с методами локальной теории индекса, разработанными в [28], [53], [59], [60], [62] для исследования асимптотического поведения (обобщенных) ядер Бергмана и берущими свое начало в работе Ж.-М. Бисмута и Ж. Лебо [5]. Заметим, что, в отличие от упоминавшихся выше работ [28], [59], [60], мы не требуем, чтобы кривизна расслоения $L$ была невырождена. Подобная стратегия была применена в близкой ситуации Н. Савале в работах [79], [80]. Прежде всего, мы локализуем задачу в окрестности произвольной точки $x_0\in M$, используя конструкции из [60; пп. 1.1 и 1.2]. Обозначим через $B^{M}(x_0,r)$ и $B^{T_{x_0}M}(0,r)$ открытые шары в $M$ и $T_{x_0}M$ с центром в $x_0$ и радиусом $r$ соответственно. Пусть $r_M$ обозначает радиус инъективности риманова многообразия $(M,g)$. Мы будем отождествлять шары $B^{T_{x_0}M}(0,r_M)$ и $B^{M}(x_0,r_M)$ при помощи экспоненциального отображения Выберем тривиализацию расслоения $L$ над $B^M(x_0,r_M)$, отождествляя его слой $L_Z$ в точке $Z\in B^{T_{x_0}M}(0,r_M)\cong B^M(x_0,r_M)$ со слоем $L_{x_0}$ в точке $x_0$ при помощи параллельного переноса, задаваемого связностью $\nabla^L$, вдоль кривой Рассмотрим тривиальное эрмитово линейное расслоение $L_0$ на $T_{x_0}M$ со слоем $L_{x_0}$. Указанные выше отождествления индуцируют риманову метрику $g$ на $B^{T_{x_0}M}(0,r_M)$, а также связность $\nabla^L$ и эрмитову метрику $h^L$ на ограничении расслоения $L_0$ на $B^{T_{x_0}X}(0,r_M)$.Теперь мы зафиксируем некоторое $\varepsilon \in (0,r_M)$ и продолжим все введенные выше геометрические объекты с $B^{T_{x_0}M}(0,\varepsilon)$ на $T_{x_0}M$ следующим образом. Пусть $\rho\colon \mathbb{R}\to [0,1]$ – такая гладкая финитная четная функция с носителем, содержащимся в $(-r_M,r_M)$, что $\rho(v)=1$, если $|v|<\varepsilon$. Рассмотрим отображение $\varphi\colon T_{x_0}M\to T_{x_0}M$, определяемое формулой $\varphi (Z)=\rho(|Z|)Z$. Определим риманову метрику $g^{(x_0)}$ на $T_{x_0}M$ по формуле $g^{(x_0)}_Z=g_{\varphi(Z)}$, $Z\in T_{x_0}M$, и эрмитову связность $\nabla^{L_0}$ на $(L_0,h^{L_0})$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\nabla^{L_0}_u=\nabla^L_{d\varphi(Z)(u)}, \qquad Z\in T_{x_0}M, \quad u\in T_Z(T_{x_0}M),
\end{equation*}
\notag
$$
где мы используем канонический изоморфизм $T_{x_0}M\cong T_Z(T_{x_0}M)$. Наконец, положим $V^{(x_0)}=\varphi^*V$. Пусть $\Delta^{L_0^N}$ обозначает ассоциированный лапласиан Бохнера на $C^\infty(T_{x_0}M, L_0^N)$. Введем оператор $H^{(x_0)}_N$ на $C^\infty(T_{x_0}M,L_0^N)$ по формуле Легко видеть, что для любой функции $u \in C^\infty_c(T_{x_0}M)$ с носителем в $B^{T_{x_0}X}(0,\varepsilon)$Пусть
$$
\begin{equation*}
K_{\varphi(H^{(x_0)}_N/N)}\in {C}^{\infty}(T_{x_0}M\times T_{x_0}M)
\end{equation*}
\notag
$$
– ядро Шварца оператора $\varphi(H^{(x_0)}_N/N)$ по отношению к римановой форме объема $dv^{(x_0)}$ на $(T_{x_0}M, g^{(x_0)})$. Записывая ядро Шварца $K_{\varphi(H_N/N)}$ оператора $\varphi(H_N/N)$ в локальных координатах, мы получаем семейство гладких функций
$$
\begin{equation*}
K_{\varphi(H_N/N),x_0}\in C^\infty \bigl(B^{T_{x_0}M}(0,r_M)\times B^{T_{x_0}M}(0,r_M)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
параметризованное точкой $x_0\in M$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, K_{\varphi(H_N/N),x_0}(Z,Z') =K_{\varphi(H_N/N)} \bigl(\exp^M_{x_0}(Z),\exp^M_{x_0}(Z')\bigr), \\ Z,Z'\in B^{T_{x_0}M}(0,r_M).\notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Используя равенство (3.17) и свойство конечной скорости распространения, можно показать, что для любых $\varepsilon_1\in (0,\varepsilon)$ и $k\in \mathbb{N}$ существует такое $C>0$, что
$$
\begin{equation}
\bigl|K_{\varphi(H_N/N), x_0}(Z,Z')-K_{\varphi(H^{(x_0)}_N/N)}(Z,Z')\bigr| \leqslant CN^{-k}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
для любых $N\in\mathbb{N}$, $x_0\in M$ и $Z,Z'\in B^{T_{x_0}M}(0,\varepsilon_1)$. Аналогичная оценка справедлива также для ковариантных производных любого порядка по $x_0$. Этот факт позволяет свести наши рассмотрения к случаю $C^\infty$-ограниченного семейства $H^{(x_0)}_N/N$ дифференциальных операторов второго порядка, действующих на $C^\infty(T_{x_0}M, L_0^N)\cong C^\infty(T_{x_0}M)$ (параметризованного точкой $x_0\in M$). Теперь мы воспользуемся растяжением, введенным в [60; п. 1.2]. Обозначим $t=1/\sqrt{N}$ и для $s\in C^\infty(T_{x_0}M)$ положим Пусть $dv_{M,x_0}$ – риманова форма объема евклидова пространства $(T_{x_0}M,g_{x_0})$. Определим гладкую функцию $\kappa_{x_0}$ на $B^{T_{x_0}M}(0,r_M)\cong B^{M}(x_0,r_M)$ при помощи уравнения
$$
\begin{equation*}
dv_M(Z)=\kappa_{x_0}(Z)\,dv_{M,x_0}(Z), \qquad Z\in B^{T_{x_0}M}(0,r_M).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим преобразование оператора $H_N^{(x_0)}/N$ по формуле
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_t =S^{-1}_t\kappa_{x_0}^{1/2}\frac 1N H_N^{(x_0)}\kappa_{x_0}^{-1/2}S_t.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
По определению оператор $\mathcal{H}_t$ является самосопряженным оператором в пространстве $L^2(T_{x_0}M)$, и его спектр совпадает со спектром оператора $H_N^{(x_0)}/N$. Произвольный ортонормированный базис $\mathbf{e}=\{e_j,\, j=1,\dots,d\}$ в $T_{x_0}M$ определяет изоморфизм $T_{x_0}M\cong \mathbb{R}^d$ и позволяет перенести оператор $\mathcal{H}_t$ в $L^2(\mathbb{R}^d)$. Тем самым, мы получаем семейство самосопряженных дифференциальных операторов на $C^\infty(\mathbb{R}^d)$, гладко зависящее от $\mathbf{e}$, которое мы также будем обозначать $\mathcal{H}_t$, опуская индекс $\mathbf{e}$. Можно показать, что операторы $\mathcal{H}_t$ гладко зависят от $t$ вплоть до $t=0$ и их предел при $t\to 0$ совпадает с оператором $\mathcal{H}^{(x_0)}$, задаваемым формулой (3.5). Раскладывая коэффициенты оператора $\mathcal{H}_t$ в ряд Тейлора по $t$, для любого $m\in \mathbb{N}$ мы получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}_t =\mathcal{H}^{(0)}+\sum_{j=1}^m \mathcal{H}^{(j)}t^j+\mathcal{O}(t^{m+1}), \qquad \mathcal{H}^{(0)}=\mathcal{H}^{(x_0)},
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где существует такое $m'\in \mathbb{N}$, что для любых $k\in\mathbb{N}$ и $t\in [0,1]$ все производные коэффициентов оператора $\mathcal{O}(t^{m+1})$ до порядка $k$ ограничены величиной $Ct^{m+1}(1+|Z|)^{m'}$. Операторы $\mathcal{H}^{(j)}$, $j\geqslant 1$, имеют следующий вид (см. [60; теорема 1.4]):
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^{(j)} =\sum_{k,\ell=1}^d a_{k\ell,j}\, \frac{\partial^2}{\partial Z_k\,\partial Z_\ell} +\sum_{k=1}^d b_{k,j}\, \frac{\partial}{\partial Z_k}+c_j,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
где $a_{k\ell,j}$ – однородный многочлен от $Z$ степени $j$, $b_{kj}$ – многочлен от $Z$ степени $\leqslant j+1$ (той же четности, что и $j-1$) и $c_{j}$ – многочлен от $Z$ степени $\leqslant j+2$ (той же четности, что и $j$). В [60; теорема 1.4] также приведены явные формулы для операторов $\mathcal{H}^{(1)}$ и $\mathcal{H}^{(2)}$. Теперь мы применим формулу Хельффера–Шёстранда [46]:
$$
\begin{equation}
\varphi(\mathcal{H}_t) =-\frac{1}{\pi} \int_\mathbb{C} \frac{\partial \widetilde{\varphi}}{\partial\bar\lambda}(\lambda) \,(\lambda-\mathcal{H}_t)^{-1}\,d\mu\,d\nu,
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где $\widetilde{\varphi}\in C^\infty_c(\mathbb{C})$ – почти-аналитическое продолжение функции $\varphi$, удовлетворяющее условию
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \widetilde{\varphi}}{\partial\bar\lambda}(\lambda) =\mathcal{O}(|\nu|^\ell), \qquad \lambda=\mu+i\nu, \quad \nu\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\ell\in \mathbb{N}$. Используя подходящим образом эту формулу, оценки резольвент $(\lambda-\mathcal{H}_t)^{-1}$ в пространствах Соболева и теоремы вложения Соболева, можно доказать, что ядро Шварца $K_{\varphi(\mathcal{H}_t)}(Z,Z')$ оператора $\varphi(\mathcal{H}_t)$ является гладкой функцией переменных $Z,Z'\in \mathbb{R}^d$ и $t\geqslant 0$ (гладко зависящей от $\mathbf{e}$). Поэтому из формулы Тейлора следует асимптотическое разложение
$$
\begin{equation}
K_{\varphi(\mathcal{H}_t)}(Z,Z') \sim \sum_{r=0}^\infty F_r(Z,Z') t^r, \qquad t\to 0+,
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
с некоторыми функциями $F_r=F_{r,\mathbf{e}}\in C^\infty(\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d)$, равномерное по $\mathbf{e}$. Согласно (3.20) имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
K_{\varphi(H_N^{(x_0)}/N )}(Z,Z') =t^{-d}\kappa^{-1/2}(Z)K_{\varphi(\mathcal{H}_t)} \biggl(\frac Zt,\frac {Z'}t\biggr)\kappa^{-1/2}(Z'), \qquad Z,Z' \in \mathbb{R}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому из (3.24) и (3.19) вытекает существование асимптотического разложения ядра $K_{\varphi(H_N/N)}$ оператора $\varphi(H_N/N)$ на диагонали, равномерного по $x_0$:
$$
\begin{equation*}
K_{\varphi(H_N/N)} (x_0,x_0) \sim N^{d/2} \sum_{r=0}^\infty f_r(x_0)N^{-r/2}, \qquad N\to \infty, \quad x_0\in M,
\end{equation*}
\notag
$$
где для любого ортонормированного репера $\mathbf{e}$ в точке $x_0$. Отсюда немедленно вытекает асимптотическое разложение (3.3) с Более того, при $r=0$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
F_0 =-\frac{1}{\pi }\int_\mathbb{C} \frac{\partial \widetilde{\varphi}}{\partial \bar \lambda}(\lambda)\, (\lambda-\mathcal{H}^{(0)})^{-1}\,d\mu\,d\nu =\varphi(\mathcal{H}^{(0)}),
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает формулу (3.7). Заметим, что, используя технику весовых пространств Соболева, можно доказать асимптотические разложения для ядра $K_{\varphi(H_N/N),x_0}(Z,Z')$, определяемого формулой (3.18), в некоторой фиксированной окрестности диагонали, т. е. для любых $x_0\in M$ и $Z,Z'\in B^{T_{x_0}M}(0,\varepsilon)$ с некоторым $\varepsilon>0$. Такие разложения являются обобщениями асимптотических разложений для (обобщенных) ядер Бергмана, доказанных в работах [28; теорема 4.18$'$], [59; теорема 4.2.1] и [49; теорема 1]. Они часто называются полными внедиагональными разложениями, следуя книге Ма и Маринеску [59; гл. 4]. Мы отсылаем читателя к работе [52] за более подробной информацией. 4. Формулы следа и методы микролокального анализаВ этом разделе мы опишем другой подход к доказательству формулы следа для произвольной магнитной системы, использующий методы микролокального анализа. В его основе лежит идея, впервые предложенная И. Колен де Вердье [25] для исследования квазиклассических спектральных задач и применявшаяся в работах [76], [13] для доказательства формулы Гуцвиллера. Она состоит в том, чтобы свести квазиклассическую спектральную задачу к некоторой асимптотической задаче для совместных собственных значений пары коммутирующих псевдодифференциальных операторов и затем применить хорошо разработанные методы исследования спектральных асимптотик при высоких энергиях. Данный подход был впоследствии распространен на рассматриваемую нами задачу в работах [39], [8]. Мы будем использовать обозначения, введенные в разделе 1. 4.1. Редукция к случаю коммутирующих операторовОсновная идея состоит в том, чтобы интерпретировать квазиклассический параметр $N$ как собственное значение оператора $D_\theta=i^{-1}\,\partial/\partial\theta$ на единичной окружности $S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ с координатой $\theta$, рассматривая $\theta$ в качестве дополнительной независимой переменной. В локальных координатах это означает, что вместо оператора (1.6) предлагается рассматривать так называемый горизонтальный лапласиан $\Delta_{\mathrm{h}}$ на $M\times S^1$, задаваемый формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta_{\mathrm{h}} & =-\frac{1}{\sqrt{|g(x)|}} \sum_{1\leqslant j,\ell\leqslant d} \biggl(\frac{\partial}{\partial x^j} -A_j(x)\frac{\partial}{\partial \theta}\biggr) \\ &\qquad \times\biggl[\sqrt{|g(x)|}\,g^{j\ell}(x) \biggl(\frac{\partial}{\partial x^\ell} -A_\ell(x)\frac{\partial}{\partial \theta}\biggr)\biggr] +\frac{V(x)}{i}\,\frac{\partial}{\partial\theta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае рассмотрим главное $S^1$-расслоение $\Pi\colon S\to M$, ассоциированное с $L$: Обозначим через $e^{i\theta}\cdot p$ действие $\theta\in S^1$ на $p\in S$, задаваемое комплексным умножением в слоях расслоения $L$. Пусть $\partial/\partial\theta$ обозначает инфинитезимальный генератор $S^1$-действия на $S$.Связность $\nabla^L$ индуцирует связность на главном расслоении $\Pi\colon S\to M$, т. е. вещественнозначную $1$-форму связности $\alpha$ на $S$ и $S^1$-инвариантное распределение $H\subset TS$, трансверсальное к слоям расслоения $\Pi$ (горизонтальное распределение связности). Таким образом, для любого $p\in S$ касательное пространство $T_pS$ представимо в виде прямой суммы подпространств: где $V_p$ – касательное пространство к слою расслоения $\Pi$ (оно порождается вектором $\partial/\partial\theta$) и $H_p$ – горизонтальное пространство связности. Определим риманову метрику $g_S$ на $S$ следующим образом (метрика Калуцы–Клейна). На $V_p$ метрика $g_S$ совпадает со стандартной римановой метрикой $d\theta^2$ на $S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. Ограничение метрики $g_S$ на $H_p$ согласовано с римановой метрикой $g$ на $M$ при линейном изоморфизме
$$
\begin{equation}
d\Pi_p\colon H_p\subset T_pS\xrightarrow{\cong} T_xM, \qquad x=\Pi(p),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
определяемом дифференциалом отображения $\Pi$. Наконец, подпространства $V_p$ и $H_p$ ортогональны. Проекция $\Pi\colon (S,g_S) \to (M,g)$ является римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями. По распределению $H$ и римановой метрике $g_S$ естественно строится горизонтальный лапласиан $\Delta_{\mathrm{h}}$ – дифференциальный оператор второго порядка на $S$. Обозначим через $\Omega^1$ пространство гладких дифференциальных $1$-форм на $S$. Для любого $p\in S$ имеет место разложение пространства $T^*_pS$ в виде прямой суммы подпространств а также соответствующее разложение пространства гладких дифференциальных $1$-форм:
$$
\begin{equation*}
\Omega^1=\Omega^1_V \oplus \Omega^1_H, \qquad \Omega^1_V=C^\infty(S,V^*), \quad \Omega^1_H=C^\infty(S,H^*).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $d_{\mathrm{h}}\colon C^\infty(S)\to \Omega^1_H$ – композиция дифференциала де Рама $d\colon C^\infty(S)\to \Omega^1$ и проектора $\Omega^1$ на $\Omega^1_H$. Горизонтальный лапласиан $\Delta_{\mathrm{h}}$ определяется по формуле Оператор $\Delta_{\mathrm{h}}$ не является эллиптическим оператором. Его главный символ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\sigma(\Delta_{\mathrm{h}})(p,\nu)=|\nu_H|^2, \qquad p\in S, \quad \nu\in T^*_pS,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu_H\in H^*_p$ – компонента вектора $\nu\in T^*_pS$ в разложении (4.2). Подпространство $V^*_p$ одномерно и порождается формой связности $\alpha_p$. Поэтому характеристическое множество оператора $\Delta_{\mathrm{h}}$, т. е. множество нулей его главного символа $\sigma(\Delta_{\mathrm{h}})$, имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal Z =V^* =\{(p,r\alpha_p)\in T^*S\colon p\in S,\, r\in\mathbb{R}\}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Оно является $(d+2)$-мерным однородным подмногообразием $(2d+2)$-мерного многообразия $T^*S$. Собственные значения оператора $\Delta_{\mathrm{h}}$ описываются следующим образом. Для любого $N\in \mathbb{Z}$ рассмотрим пространство $E_N$ гладких функций на $S$ таких, что
$$
\begin{equation*}
f(e^{i\theta}\cdot p)=e^{iN\theta}f(p)\quad \text{для любых } p\in S \text{ и } \theta\in S^1.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место изоморфизм который каждому $s\in C^\infty(M,L^N)$ ставит в соответствие функцию $\hat s\in C^\infty(S)$, задаваемую формулой
$$
\begin{equation}
\hat s(p)=\bigl\langle s(\Pi(p)), p^{\otimes N}\bigr\rangle, \qquad p\in S\subset L^*.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
При изоморфизме (4.4) ограничение оператора $\Delta_{\mathrm{h}}$ на подпространство $E_N$ соответствует магнитному лапласиану $\Delta^{L^N}$. Поэтому спектр оператора $\Delta_{\mathrm{h}}$ есть объединение спектров операторов $\Delta^{L^N}$ по всем $N\in \mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{spec}(\Delta_{\mathrm{h}}) =\{\nu_{N,j}\colon j\in \mathbb{N},\, N\in \mathbb{Z}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, собственными значениями дифференциального оператора первого порядка $\displaystyle D_\theta=\frac{1}{i}\,\frac{\partial}{\partial \theta}$ являются целые числа и собственным подпространством, отвечающим собственному значению $N\in \mathbb{Z}$, является пространство $E_{N}$. Поскольку $S^1$-действие на $S$ изометрично, оператор $\Delta_{\mathrm{h}}$ коммутирует с $D_\theta$. Совместные собственные значения операторов $\Delta_{\mathrm{h}}$ и $D_\theta$ имеют вид $\{(\nu_{N,j},N), j\in \mathbb{N},\, N\in \mathbb{Z}\}$. Эти факты позволяют выразить сглаженную спектральную плотность оператора Бохнера–Шрёдингера $H_N$ в терминах совместных спектральных характеристик некоторых коммутирующих операторов, о чем будет сказано позже в пп. 4.3 и 4.4. 4.2. Метод гамильтоновой редукции и магнитный геодезический потокПриведенная выше конструкция подъема на расслоение $S$ позволяет также дать естественное определение классической динамической системы, ассоциированной с магнитным лапласианом, т. е. магнитного геодезического потока. А именно, магнитный геодезический поток $\Phi$ на $T^*M$ совпадает с гамильтоновой редукцией риманова геодезического потока $f$ на $T^*S$, задаваемого римановой метрикой $g_S$. Напомним вкратце эту хорошо известную конструкцию (см., например, [39], [75; п. 6.6] и приведенные в них ссылки). Мы будем использовать обозначения, введенные в предыдущем пункте. Напомним, что магнитным геодезическим потоком $\Phi^t\colon T^*M\to T^*M$, ассоциированным с магнитной системой $(g,F)$, называется гамильтонов поток, задаваемый гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}(x,\xi) =\frac12|\xi|^2_{g^{-1}} =\frac12 \sum_{j,k=1}^dg^ {jk}\xi_j\xi_k,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
по отношению к скрученной симплектической форме на $T^*M$: Здесь $\omega$ – каноническая симплектическая форма на $T^*M$ и $\pi_M\colon T^*M\to M$ – каноническая проекция. $S^1$-действие на $S$ определяет $S^1$-действие на $T^*S$. Это действие является гамильтоновым с соответствующим отображением момента $\mu\colon T^*S\to T^*_{0}S^1\cong \mathbb{R}$, задаваемым формулой
$$
\begin{equation*}
\mu(p,\nu) =\biggl\langle\nu, \frac{\partial}{\partial\theta}\biggr\rangle, \qquad (p,\nu)\in T^*S.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим подмногообразие
$$
\begin{equation*}
\mu^{-1}(1) =\biggl\{\nu \in T^*S\colon \biggl\langle \nu, \frac{\partial}{\partial\theta}\biggr\rangle=1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что оно $S^1$-инвариантно. Редуцированное симплектическое многообразие $B$ определяется как многообразие орбит индуцированного $S^1$-действия на $\mu^{-1}(1)$: $B=\mu^{-1}(1)/S^1$. Редуцированная симплектическая форма на $B$ естественно определяется ограничением канонической симплектической формы на $T^*S$ на подмногообразие $\mu^{-1}(1)$. Многообразие $B$ диффеоморфно (но не канонически) кокасательному расслоению $T^*M$. Диффеоморфизм $T^*M\cong B$ можно построить, выбрав связность $\alpha$ на расслоении $\Pi\colon S\to M$. А именно, для любого $p\in S$ определен линейный изоморфизм
$$
\begin{equation*}
d\Pi^*_p\colon T^*_xM \xrightarrow{\cong} \mathcal{H}^*_p, \quad \Pi(p)=x,
\end{equation*}
\notag
$$
двойственный к (4.1). Орбита $S^1$-действия на $\mu^{-1}(1)$, соответствующая точке $(x,\xi)\in T^*M$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\{\alpha_p+d\Pi^*_p (x,\xi)\in\mu^{-1}(1)\colon p\in S,\,\Pi(p)=x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\widetilde{\Pi}\colon \mu^{-1}(1)\to T^*M$, задаваемое формулой $\widetilde{\Pi}(p,\nu)=(x,\xi)$, где $x=\Pi(p)$ и $d\Pi^*_p (x,\xi)=\nu-\alpha_p$, определяет главное $S^1$-расслоение над $T^*M$. Можно проверить, что ограничение канонической $1$-формы $\eta_S$ на $T^*S$ на подмногообразие $\mu^{-1}(1)$ определяет форму связности на расслоении $\widetilde{\Pi}\colon \mu^{-1}(1)\to T^*M$. Более того, кривизна этой связности совпадает (с точностью до множителя $i$) со скрученной симплектической формой $\Omega_F$ на $M$, задаваемой по формуле (4.7). Отсюда легко вытекает, что редуцированная симплектическая структура на $T^*M$ задается формой $\Omega_F$. Если $\alpha'$ – другая форма связности на расслоении $\Pi\colon S\to M$, то диффеоморфизмы $B\cong T^*M$, задаваемые формами $\alpha$ и $\alpha'$, связаны следующим образом. Хорошо известно, что $\alpha'-\alpha=\Pi^*\sigma$ для некоторой $1$-формы $\sigma$ на $M$. Определим отображение $T\colon T^*M\to T^*M$ по формуле
$$
\begin{equation}
T(x,\xi)=(x, \xi -\sigma_x), \qquad (x,\xi)\in T^*M.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Легко проверить, что отображение $T$ согласовано с диффеоморфизмами $B\cong T^*M$, задаваемыми формами $\alpha$ и $\alpha'$, и где $F'=F+d\sigma$ – кривизна связности $\alpha'$. Пусть $g_S$ обозначает риманову метрику на $S$, построенную по римановой метрике $g$ на $M$ и связности $\alpha$ на главном расслоении $\Pi\colon S\to M$ в п. 4.1. Обозначим через $f^t$ геодезический поток римановой метрики $g_S$ на $T^*S$, т. е. гамильтонов поток с гамильтонианом $|\nu|^2/2$ на $T^*S$ c канонической симплектической структурой. Для любого $t\in \mathbb{R}$ диффеоморфизм $f^t\colon T^*S\to T^*S$ переводит подмногообразие $\mu^{-1}(1)$ в себя. Ограничение диффеоморфизма $f^t$ на $\mu^{-1}(1)$ коммутирует с $S^1$-действием на $Z$, определяя тем самым поток на $B=\mu^{-1}(1)/S^1$. Этот поток называется гамильтоновой редукцией риманова геодезического потока $f^t$. Он является гамильтоновым потоком на $B$, наделенном редуцированной симплектической структурой. Связность $\alpha$ определяет изометрию $d\Pi^*_p\colon T^*_xM\xrightarrow{\cong} \mathcal{H}^*_p$. Поэтому гамильтониан редуцированного потока равен $(|\xi|^2+1)/2$, и, тем самым, с точностью до замены времени, поток совпадает с магнитным геодезическим потоком $\Phi$ на $B\cong T^*M$. Здесь важно, что связность, используемая для построения диффеоморфизма $B\cong T^*M$, совпадает со связностью, определяющей метрику $g_S$ (см. также ниже пример 1). Пример 1. Рассмотрим случай точной магнитной системы, т. е. случай, когда эрмитово линейное расслоение $(L,h^L)$ тривиально и эрмитова связность $\nabla^L$ записывается в виде $\nabla^L=d-i \mathbf{A}$ с некоторой вещественной $1$-формой $\mathbf{A}$. Тогда расслоение $\Pi\colon S\to M$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
S=M\times S^1 =\{(x,v)\in M\times\mathbb{C}\colon |v|=1\}, \qquad \Pi(x,v)=x.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $N\in \mathbb{Z}$ пространство $E_N$ состоит из гладких функций на $S$ вида
$$
\begin{equation}
f(x,e^{i\theta}) =s(x)e^{iN\theta}, \qquad x\in M, \quad \theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $s\in C^\infty(M)\cong C^\infty(M,L^N)$ (ср. (4.5)). Форма связности $\alpha$ на $S$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\alpha(x,v)=d\theta+\mathbf{A}(x), \qquad (x,v)\in S.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствующее горизонтальное подпространство имеет вид
$$
\begin{equation*}
H_{(x,\theta)} =\biggl\{V-\langle \mathbf{A}(x),V\rangle\frac{\partial}{\partial\theta}\colon V\in T_{(x,\theta)}S\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подпространство $V^*_{(x,\theta)}$ порождается ковектором $\alpha(x,v)$. Поэтому горизонтальный дифференциал де Рама $d_{\mathrm{h}}\colon C^\infty(S)\to \Omega^1$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{h}} f(x,\theta) =df-\frac{\partial f}{\partial\theta}\,\alpha =d_Xf-\mathbf{A}(x)\frac{\partial f}{\partial\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, горизонтальный лапласиан $\Delta_{\mathrm{h}}$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\Delta_{\mathrm{h}} =\biggl(d_X-\mathbf{A}(x)\frac{\partial}{\partial\theta}\biggr)^* \biggl(d_X-\mathbf{A}(x)\frac{\partial}{\partial\theta}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что его ограничение на подпространство $E_N$ соответствует при изоморфизме (4.9) оператору $(d-iN\mathbf{A})^*(d-iN\mathbf{A})$. Напомним, что магнитный геодезический поток $\Phi$ совпадает с гамильтоновой редукцией геодезического потока $f$ на $T^*S$, задаваемого римановой метрикой $g_S$. Его конкретная реализация как потока на $T^*M$ зависит от выбора связности на $S$. Выше мы использовали для этого ту же самую связность $\alpha$, которая использовалась при определении метрики $g_S$. Но в принципе мы можем использовать другую связность, что приведет к более сложному гамильтониану, не обязательно к $(|\xi|^2+1)/2$. Например, в рассматриваемом примере точной магнитной системы мы можем взять тривиальную связность $\alpha'=d\theta$ для построения диффеоморфизма $T^*M\cong B$. Легко видеть, что в этом случае редуцированное симплектическое многообразие совпадает с многообразием $T^*M$, наделенным канонической симплектической структурой, а редуцированный гамильтонов поток совпадает с гамильтоновым потоком с гамильтонианом $(|\xi-\mathbf{A}(x)|^2_{g^{-1}}+1)/2$, т. е., с точностью до репараметризации, с гамильтоновым потоком $\phi^t\colon T^*M\to T^*M$ с гамильтонианом $H$, задаваемым формулой (2.15). Эти две реализации связаны диффеоморфизмом $T(x,\xi)=(x,\xi-\mathbf{A}(x))$ (ср. (4.8)). 4.3. Случай ненулевой энергииВ работе [39] Гийемин и Урибе рассматривали другую версию сглаженной спектральной плотности оператора $H_N=\Delta^{L^N}$. Для $E>1$ и $\varphi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ она задается формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal{Y}_{N}(\varphi) =\operatorname{tr} \varphi(\sqrt{\Delta^{L^N}+N^2}-EN).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Для точных магнитных систем эту формулу можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal{Y}_N(\varphi) =\operatorname{tr} \varphi\biggl(\frac{\sqrt{\mathcal{H}^\hbar+1}-E}{\hbar}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Сравнивая формулы (2.14) и (4.11), можно прийти к естественному заключению, что параметры $E$ в формуле (4.10) и $E_0$ в формуле (3.1) связаны соотношением $E=\sqrt{E_0+1}$. Опишем вкратце основные идеи работы [39], основанной на применении метода, описанного в п. 4.1. Мы будем использовать обозначения и конструкции, описанные в этом пункте. Обозначим через $\Delta_S$ оператор Лапласа–Бельтрами римановой метрики $g_S$. Справедливо равенство Оператор $\Delta_S$ коммутирует с операторами $D_\theta$ и $\Delta_{\mathrm{h}}$.Рассмотрим оператор $P=\Delta_S^{1/2}$, являющийся эллиптическим псевдодифференциальным оператором первого порядка на $S$. Легко видеть, что оператор $\sqrt{\Delta^{L^N}+N^2}$ соответствует при изоморфизме (4.4) ограничению оператора $P$ на подпространство $E_N$. Рассмотрим обобщенную функцию $Y\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, задаваемую формулой
$$
\begin{equation}
Y(s)=\sum_{N=1}^{\infty}\mathcal{Y}_N(\varphi)e^{iNs}, \qquad s\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Она является $2\pi$-периодической обобщенной функцией переменной $s$ и принадлежит обобщенному классу Харди, т. е. ее ряд Фурье содержит только положительные частоты. Обобщенную функцию $Y\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ можно интерпретировать как обобщенный след оператора $\varphi(P-ED_\theta)e^{is D_\theta}$. Для любой $f\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\langle Y, f\rangle =\operatorname{tr}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(P-ED_\theta)e^{is D_\theta}f(s)\,ds =2\pi\operatorname{tr}\varphi(P-ED_\theta)\check{f}(A),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\check{f}$ обозначает обратное преобразование Фурье функции $f$. Здесь оператор $P-ED_\theta$ не обязательно является эллиптическим оператором, поэтому оператор $\varphi(P-ED_\theta)$, вообще говоря, не будет ядерным. Но операторы $P-ED_\theta$ и $D_\theta$ являются коммутирующими, совместно эллиптическими операторами на $S$, что позволяет доказать, что оператор $\varphi(P-ED_\theta)\check{f}(D_\theta)$ является сглаживающим оператором и потому его след корректно определен. В работе [39] авторами был проведен анализ обобщенной функции $Y$ в духе доказательства формулы следа Дюйстермаата–Гийемина [33], что позволило им доказать существование асимптотического разложения при $N\to\infty$ последовательности $\mathcal{Y}_N$ с произвольными $E>1$ и $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ с финитным преобразованием Фурье при условии чистоты магнитного геодезического потока на соответствующем множестве уровня энергии (см. [39; следствие 7.2], а также [14; теорема 2.1]). Мы отсылаем читателя к работам [39], [54] за более подробной информацией. 4.4. Случай нулевой энергииВ работе [8] Д. Бортвик и А. Урибе исследовали структуру нижних собственных значений оператора $H_N$ при условии, что форма $F$ имеет максимальный ранг. Их основной целью было доказательство асимптотического разложения ассоциированных обобщенных ядер Бергмана, но тем не менее из результатов этой работы немедленно вытекает формула следа на нулевом уровне энергии для функции $Y_N(\varphi)$, задаваемой формулой (3.2). Опишем вкратце основные идеи этой работы. Мы будем использовать обозначения и конструкции, описанные в п. 4.1. Оператор $H_N$ соответствует при изоморфизме (4.4) ограничению оператора на подпространство $E_N$. Здесь $\Pi^*V\in C^\infty(S)$ обозначает подъем функции $V$ на $S$. (Заметим, что соответствующий оператор умножения коммутирует с $D_\theta$.) Поэтому оператор $H_N/N$ соответствует ограничению псевдодифференциального оператора первого порядка
$$
\begin{equation*}
(D_\theta)^{-1}P=(D_\theta)^{-1}\Delta_{\mathrm{h}}+\Pi^*V
\end{equation*}
\notag
$$
на подпространство $E_N$. Некоторая проблема состоит в том, что последний оператор, вообще говоря, не является псевдодифференциальным оператором. Он имеет особенности там, где оператор $D_\theta$ не является эллиптическим. Однако эти особенности находятся вне характеристического многообразия $\mathcal Z$ оператора $\Delta_{\mathrm{h}}$ (см. (4.3)), что позволяет заменить оператор $(D_\theta)^{-1}P$ на другой оператор $A$, который микролокально равен ему вне некоторой окрестности характеристического многообразия оператора $D_\theta$ и является стандартным псевдодифференциальным оператором с двойными симплектическими характеристиками. Напомним, что $\Delta_S$ обозначает оператор Лапласа–Бельтрами римановой метрики $g_S$. Оператор является эллиптическим оператором второго порядка с положительным главным символом, который коммутирует с оператором $P$. Поэтому определен такой оператор что $F^2-(S+D^2_\theta)$ является сглаживающим оператором конечного ранга. Оператор $F$ является стандартным эллиптическим псевдодифференциальным оператором первого порядка, который коммутирует с $P$ и $D_\theta$.Пусть $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ – неотрицательная срезающая функция, тождественно равная нулю в окрестности нуля. Оператор $D_\theta^2F^{-2}$ является классическим псевдодифференциальным оператором нулевого порядка. Используя хорошо известные результаты о функциональном исчислении для псевдодифференциальных операторов нулевого порядка, можно показать, что оператор корректно определен и является классическим псевдодифференциальным оператором порядка $-1$. Более того, главный символ оператора $Q$ равен $\sigma(D_\theta)^{-1}$ в некоторой конической окрестности подмногообразия $\mathcal Z$.Определим оператор $A$ по формуле
$$
\begin{equation*}
A := QP = f(D_\theta^2F^{-2}) \bigl(D_\theta^{-1}\Delta_{\mathrm{h}} +(\Pi^*V)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $A$ – классический псевдодифференциальный оператор первого порядка на $S$ с двойными характеристиками. Его главный символ равен $\sigma(\Delta_{\mathrm{h}})/\sigma(D_\theta)$ в некоторой конической окрестности многообразия $\mathcal Z$. Прежде чем сформулировать основной результат, напомним вкратце некоторые факты об интегральных операторах Фурье эрмитова типа, которые были введены Буте де Монвелем и Гийемином в работах [10], [36], [11]. Эти операторы отличаются от стандартных интегральных операторов Фурье тем, что они ассоциируются с изотропными, а не с лагранжевыми подмногообразиями кокасательного расслоения. Мотивировкой для такого обобщения интегральных операторов Фурье послужило микролокальное описание структуры проектора Сеге на границе псевдовыпуклой области, данное в работе [12]. Помимо интегральных операторов Фурье эрмитова типа, имеется несколько других тесно связанных подходов к построению исчислений операторов, ассоциированных с изотропными подмногообразиями, например интегральные операторы Фурье с комплексной фазой [68], метод комплексного ростка Маслова [65], интегральные операторы Фурье изотропного типа [40], [41]. Здесь следует также упомянуть исчисление операторов, ассоциированное с произвольной магнитной системой максимального ранга на компактном многообразии, которое было построено в работе [20]. Пусть $\mathcal{V}$ – гладкое многообразие и $C\subset T^*\mathcal{V}\setminus\{0\}$ – его подмногообразие. Предположим, что $C$ замкнуто, однородно (т. е. если $(x,\xi)\in C$, то $(x,\lambda\xi)\in C$ для любого $\lambda>0$) и изотропно (т. е. ограничение канонической симплектической формы на $C$ равно нулю). Невырожденной фазовой функцией называется функция $\psi\in C^\infty(\mathcal{V}\times B,\mathbb{R})$, где $B$ – открытое коническое подмножество множества $(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n)\setminus\{0\}$ с координатами $(\tau,\eta)$, удовлетворяющая следующим условиям: (a) $\psi(x,\tau,\eta)$ однородна по переменным $(\tau,\eta)$; (b) $d\psi$ нигде не обращается в нуль; (c) критическое множество функции $\psi$, задаваемое формулой
$$
\begin{equation*}
C_\psi =\{(x,\tau,\eta)\in\mathcal{V}\times B\colon (d_\tau\psi)(x,\tau,\eta)=(d_\eta\psi)(x,\tau,\eta)=0 \},
\end{equation*}
\notag
$$
пересекает трансверсально подпространство $\{\eta=0\}$; (d) отображение
$$
\begin{equation*}
\mathcal{V}\times B\ni(x,\tau,\eta) \mapsto \biggl(\frac{\partial\psi}{\partial\tau}, \frac{\partial\psi}{\partial\eta_1}, \dots,\frac{\partial\psi}{\partial\eta_n}\biggr) \in\mathbb{R}^{n+1}
\end{equation*}
\notag
$$
имеет ранг $n+1$ в каждой точке множества $C_\psi$. Определим отображение $F\colon C_\psi\to T^*\mathcal{V}$ по формуле
$$
\begin{equation*}
F\colon (x,\tau,\eta) \mapsto (x,(d_x\psi)(x,\tau,\eta)).
\end{equation*}
\notag
$$
Образ при отображении $F$ подпространства $\{\eta = 0\}\cap C_\psi$ является однородным изотропным подмногообразием $\Sigma$ многообразия $T^*\mathcal{V}$ размерности $n+1$. Мы будем говорить, что фазовая функция $\psi$ параметризует подмногообразие $\Sigma$. Это определение совпадает со стандартным определением в случае, когда подмногообразие лагранжево. Пространство $I^m(\mathcal{V}, \Sigma)$ эрмитовых распределений Фурье, ассоциированных с однородным изотропным подмногообразием $\Sigma\subset T^*M$, состоит из обобщенных функций на $\mathcal{V}$, которые локально представимы как осциллирующие интегралы вида
$$
\begin{equation*}
\int e^{i\psi(x,\tau,\eta)} a\biggl(x,\tau,\frac{\eta}{\sqrt{\tau}}\biggr)\,d\tau\,d\eta,
\end{equation*}
\notag
$$
где фаза $\psi$ параметризует подмногообразие $\Sigma$ и амплитуда $a(x,\kern-0.5pt\tau,\kern-0.5ptu)\!\in\! C^\infty(U \times B)$ удовлетворяет следующим условиям: (a) для любого $R>0$, любых мультииндексов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и любого компакта $K\Subset U$ существует такая постоянная $C>0$, что
$$
\begin{equation*}
\bigl|D^\alpha_xD^\beta_\tau D^\gamma_ua(x,\tau,u)\bigr| \leqslant C|\tau|^{m-|\gamma|}(1+|u|)^{-R}, \qquad x\in K, \quad (\tau,u)\in B;
\end{equation*}
\notag
$$
(b) $a(x, \tau, u)$ равно нулю в окрестности $\tau = 0$; (c) $a(x, \tau, u)$ допускает асимптотическое разложение вида
$$
\begin{equation*}
a(x, \tau, u) \sim \sum_{i=0}^\infty \tau^{m_i}a_i(x, \tau, u), \qquad \tau\to +\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $m_i\in \frac 12 \mathbb{Z}$, причем $m_0 = m -1/2$, $m_i$ строго убывает и $m_i \to-\infty$. Условия на фазовую функцию гарантируют то, что волновой фронт любого эрмитова распределения Фурье класса $I^m(\mathcal{V}, \Sigma)$ содержится в $\Sigma$. Главный символ эрмитова распределения Фурье из класса $I^m(\mathcal{V}, \Sigma)$ представляет собой симплектический спинор, который является полуплотностью вдоль $\Sigma$, тензорно умноженной на гладкий вектор в метаплектическом представлении, ассоциированном с симплектическим нормальным расслоением к $\Sigma$ [36], [11]. В нашем случае рассмотрим множество $\mathcal Z^\Delta \subset T ^*(S\times S)\cong T^*S\times T^*S$, задаваемое формулой (ср. (4.3))
$$
\begin{equation*}
\mathcal Z^\Delta =\{(p,r\alpha_p,p,-r\alpha_p)\subset T ^*(S\times S)\colon p\in S, r>0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $\mathcal Z^\Delta$ – однородное изотропное подмногообразие в $T ^*(S\times S)$. Теорема 5 [8]. Пусть $\varphi$ – такая функция из $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой финитно. Тогда оператор $\varphi(A)$ является интегральным оператором Фурье эрмитова типа с ядром Шварца, принадлежащим $I^{1/2}(S\times S, \mathcal Z^\Delta)$. Из этой теоремы немедленно вытекает существование асимптотического разложения (3.3) теоремы 3 для любой функции $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, преобразование Фурье которой финитно, в случае, когда форма $F$ имеет максимальный ранг (см. [8] по поводу более подробной информации). Замечание 1. Для произвольного $E_0>0$ оператор $H_N/N-E_0N$ соответствует ограничению псевдодифференциального оператора первого порядка 5. ПримерыВ этом разделе мы приводим конкретные примеры вычисления формулы следа на нулевом уровне энергии для двумерных поверхностей постоянной кривизны с постоянными магнитными полями. Эти примеры уже рассматривались в работах [54], [56] в случае ненулевой энергии. Поэтому мы будем кратки в их описании, отсылая читателя к [54], [56] за более подробной информацией. Мы также рассмотрим пример постоянного магнитного поля на трехмерном торе как простейший пример магнитной системы не максимального ранга. 5.1. Постоянное магнитное поле на двумерном тореРассмотрим двумерный тор $\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$, наделенный стандартной плоской римановой метрикой Магнитное поле $F$ задается формулойСоответствующее линейное расслоение $L$ на $\mathbb{T}^2$ состоит из классов эквивалентности троек $(x,y,u)\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{C}$, где
$$
\begin{equation*}
(x+1,y,u)\sim (x,y,e^{-2\pi iy}u), \quad (x,y+1,u)\sim (x,y,u)
\end{equation*}
\notag
$$
с проекцией $L\to \mathbb{T}^2$, задаваемой формулой $L\ni(x,y,u) \mapsto (x,y)\in \mathbb{T}^2$. Пространство его гладких сечений отождествляется с пространством таких функций $u\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, что
$$
\begin{equation}
u(x+1,y)=e^{2\pi iy}u(x,y), \quad u(x,y+1)=u(x,y), \qquad (x,y)\in \mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Эрмитова связность на $L$ определяется по формуле Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation*}
H_N =\Delta^{L^N} =-\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\biggl(\frac{\partial}{\partial y}-2\pi Ni x\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 6. Для любой функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ сглаженная спектральная плотность $Y_N(\varphi)$ оператора $H_N$, задаваемая формулой (3.2), имеет вид где (ср. (3.11)) Доказательство. Оператор $\Delta^{L^N}$ имеет собственные значения вида с кратностью Поэтому функция $Y_N(\varphi)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi) =\sum_{j=0}^{\infty}N\varphi(2\pi (2j+1)) =f_0(\varphi)N,
\end{equation*}
\notag
$$
где Остается воспользоваться формулой (2.10). Теорема доказана. 5.2. Постоянное магнитное поле на трехмерном тореРассмотрим трехмерный тор $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$, наделенный стандартной плоской римановой метрикой Предположим, что форма $F$ задается формулой Для соответствующего линейного расслоения $L$ на $\mathbb{T}^3$ пространство его гладких сечений отождествляется с пространством таких функций $u\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$, что для любого $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$
$$
\begin{equation*}
u(x+1,y,z)=e^{2\pi iy}u(x,y,z),\quad u(x,y+1,z)= u(x,y,z+1)=u(x,y,z).
\end{equation*}
\notag
$$
Эрмитова связность на $L$ определяется по формуле Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation*}
H_N =\Delta^{L^N} =-\frac{\partial^2}{\partial x^2} -\biggl(\frac{\partial}{\partial y}-2\pi Ni x\biggr)^2 -\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7. Для любой функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ сглаженная спектральная плотность $Y_N(\varphi)$ оператора $H_N$, задаваемая формулой (3.2), имеет вид Доказательство. Собственные значения оператора $H_N$ вычисляются при помощи разделения переменных:
$$
\begin{equation*}
\nu_{N,j, k} =2\pi N(2j+1)+(2\pi k)^2, \qquad j=0,1,2,\dots, \quad k\in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
и имеют кратность Поэтому функция $Y_N(\varphi)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi) =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k\in \mathbb{Z}} N\varphi\biggl(2\pi (2j+1)+\frac{1}{N}(2\pi k)^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем эту формулу в виде
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi) =\frac 12N\sum_{k\in \mathbb{Z}}f\biggl(\frac{k}{\sqrt{N}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} \varphi\bigl(2\pi (2j+1)+(2\pi x)^2\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
и применим формулу суммирования Пуассона. Мы получаем
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi)=\frac 12N^{3/2}\sum_{m\in \mathbb{Z}}\hat{f}(2\pi \sqrt{N} m).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\hat{f}(2\pi \sqrt{N} m)=\mathcal{O}(N^{-\infty})$ при $m\neq 0$, заключаем, что
$$
\begin{equation*}
Y_N(\varphi) =\frac 12N^{3/2}\hat{f}(0)+ \mathcal{O}(N^{-\infty}).
\end{equation*}
\notag
$$
Остается вычислить $\hat{f}(0)$, используя формулу (2.12)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat{f}(0) & =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\sum_{j=0}^{\infty}\int_{-\infty}^\infty \varphi\bigl(2\pi (2j+1)+(2\pi x)^2\bigr)\,dx \\ & =\frac{1}{2\pi}\sum_{j=0}^{\infty}\int_{0}^\infty \varphi\bigl(2\pi (2j+1)+\xi^2\bigr)\,d\xi \\ & =\frac{e^{-(1/4)\pi i}}{4\pi^{3/2}} \biggl\langle\frac{1}{(t+i0)^{1/2}\sin 2\pi(t+i0)}, \widehat{\varphi} \biggr\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство теоремы. 5.3. Двумерная сфераРассмотрим двумерную сферу
$$
\begin{equation*}
S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon x^2+y^2+z^2=R^2\},
\end{equation*}
\notag
$$
наделенную римановой метрикой $g$, индуцированной вложением в евклидово пространство $\mathbb{R}^3$. В сферических координатах
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x=R\sin\theta \cos\varphi,\quad y=R\sin\theta \sin\varphi,\quad z=R\cos\theta, \\ \theta\in (0,\pi),\quad \varphi\in (0,2\pi), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
метрика $g$ имеет вид Предположим, что форма $F$ задается формулой Соответствующее линейное расслоение $L$ есть линейное расслоение, ассоциированное с расслоением Хопфа $S^3\to S^2$ и характером $\chi\colon S^1\to S^1$, $\chi(u)=u$, $u\in S^1$. Теорема 8. Для любой функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ сглаженная спектральная плотность $Y_N(\varphi)$ оператора $H_N=\Delta^{L^N}$, задаваемая формулой (3.2), имеет асимптотическое разложение Доказательство. Спектр оператора $\Delta^{L^N}$ состоит из собственных значений
$$
\begin{equation*}
\nu_{N,j}=\frac{1}{R^2}\biggl[j(j+1)+\frac{N}{2}(2j+1)\biggr], \qquad j=0,1,2,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
с кратностью Поэтому функция $Y_N(\varphi)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
Y_N(\varphi) =\sum_{j=0}^\infty(N+2j+1)\, \varphi\biggl(\frac{1}{R^2} \biggl[\frac{1}{N}j(j+1)+\frac12(2j+1)\biggr]\biggr).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Разложение в ряд Тейлора дает нам асимптотическое разложение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \varphi\biggl(\frac{1}{R^2} \biggl[\frac{1}{N}j(j+1)+\frac12(2j+1)\biggr]\biggr) \\ &\qquad\qquad\qquad \sim\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\, \frac{1}{R^{2k}}\, \frac{1}{N^k}\, \varphi^{(k)}\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr)j^k(j+1)^k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подстановка его в формулу (5.7) доказывает существование асимптотического разложения (5.4). Его старший коэффициент задается формулой
$$
\begin{equation*}
f_0(\varphi) = \sum_{j=0}^\infty\varphi\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда при помощи (2.10) получаем (5.5). Для следующего коэффициента $f_1(\varphi)$ имеем
$$
\begin{equation*}
f_1(\varphi) =\frac{1}{R^{2}}\sum_{j=0}^\infty \varphi^{\prime}\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr)j(j+1)+\sum_{j=0}^\infty \varphi\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr)(2j+1),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем (5.6), используя формулу (2.10) и свойства преобразования Фурье. Теорема доказана. В качестве иллюстрации вычислим линеаризованный поток. Данная магнитная система является точной в сферических координатах, и главный символ, задаваемый формулой (2.15), имеет вид
$$
\begin{equation*}
H(\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi) =\frac{1}{R^2}\,p^2_\theta+\frac{1}{R^2\sin^2\theta}\biggl(p_\varphi+\frac 12\cos\theta\biggr)^2, \qquad (\theta,\varphi,p_\theta,p_\varphi)\in T^*S^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Характеристическое многообразие $X_0$ задается уравнениями (ср. (2.16)) Сферические координаты $(\theta,\varphi)$ определяют координаты на $X_0$ при помощи отображения
$$
\begin{equation*}
j(\theta,\varphi)=\Bigl(\theta,\varphi,0,-\frac 12\cos\theta\Bigr)\in X_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Гамильтонов поток $\phi^t$ с гамильтонианом $H$ задается системой уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{\theta}=\frac{2}{R^2}p_\theta, \quad \dot{\varphi}=\frac{2}{R^2\sin^2\theta} \biggl(p_\varphi+\frac 12\cos\theta\biggr), \\ \dot{p}_\theta=\frac{2\cos\theta}{R^2\sin^3\theta} \biggl(p_\varphi+\frac12\cos\theta\biggr)^2 +\frac{1}{R^2\sin\theta} \biggl(p_\varphi+\frac 12\cos\theta\biggr), \quad \dot{p}_\varphi=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Любая точка $j(\theta_0,\varphi_0)\in X_0$ является неподвижной точкой потока и тем самым задает постоянное решение гамильтоновой системы (5.8):
$$
\begin{equation*}
\theta(t)=\theta_0,\quad \varphi(t)=\varphi_0,\quad p_\theta(t)=0,\quad p_\varphi(t)=-\frac 12\cos\theta_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя систему уравнений в вариациях для системы (5.8) на этом решении, получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка, определяющую поток $d\phi_{t,j(\theta_0,\varphi_0)}$ на $T_{j(\theta_0,\varphi_0)}(T^*S^2)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot{\Theta}=\frac{2}{R^2}P_\theta, \qquad \dot{\Phi}=\frac{2}{R^2\sin^2\theta_0} \biggl(P_\varphi-\frac 12\sin\theta_0\:\Theta\biggr), \\ \dot{P}_\theta=\frac{1}{R^2\sin\theta_0} \biggl(P_\varphi-\frac 12\sin\theta_0\:\Theta\biggr), \qquad \dot{P}_\varphi=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Касательное пространство $T_{j(\theta_0,\varphi_0)}X_0$ задается уравнениями
$$
\begin{equation*}
P_\theta=0, \quad P_\varphi-\frac 12\sin\theta_0\:\Theta=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому в качестве линейных координат на $N_{j(\theta_0,\varphi_0)}X_0$ можно взять
$$
\begin{equation*}
\widehat{P}_\theta=P_\theta, \quad \widehat{P}_\varphi=P_\varphi-\frac 12\sin\theta_0\:\Theta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (5.9) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка, определяющую линеаризованный поток $d\phi_{t,j(\theta_0,\varphi_0)}$ на $N_{j(\theta_0,\varphi_0)}X_0$:
$$
\begin{equation*}
\dot{\!\widehat{P}}_\theta=\frac{1}{R^2\sin\theta_0}\widehat{P}_\varphi, \qquad \dot{\!\widehat{P}}_\varphi=-\frac{1}{R^2}\sin\theta_0\:\widehat{P}_\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, матрица линейного отображения $d\phi_{t,j(\theta_0,\varphi_0)}$ в координатах $(\widehat{P}_\theta,\widehat{P}_\varphi)$ имеет вид (ср. (3.13))
$$
\begin{equation*}
d\phi_{t,j(\theta_0,\varphi_0)} = \begin{pmatrix} \cos \dfrac{1}{R^2}\,t & \dfrac{1}{\sin\theta_0}\sin\dfrac{1}{R^2}\,t\\ -\sin\theta_0\sin\dfrac{1}{R^2}\,t & \cos\dfrac{1}{R^2}\,t \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
5.4. Гиперболическая плоскостьРассмотрим гиперболическую плоскость $\mathbb{H}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\colon y>0\}$, наделенную римановой метрикой Пусть $\Gamma\subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ – кокомпактная решетка, действующая свободно на $\mathbb{H}$, и $M=\Gamma\backslash\mathbb{H}$ – соответствующая риманова поверхность.Зададим форму $F$ на $M$ так, что ее подъем на $\mathbb{H}$ имеет вид Сечения эрмитова расслоения $L$ на $M$ отождествляются с функциями $\psi$ на $\mathbb{H}$, удовлетворяющими условию
$$
\begin{equation*}
\psi(\gamma z) =\psi(z)\exp(-2i\arg(cz+d)) =\biggl(\frac{cz+d}{|cz+d|}\biggr)^{-2}\psi(z)
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $z=x+iy\in \mathbb{H}$ и $\gamma=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\in \Gamma$. Зададим форму связности формулой Теорема 9. Для любой функции $\varphi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ сглаженная спектральная плотность $Y_N(\varphi)$ оператора $H_N=\Delta^{L^N}$, задаваемая формулой (3.2), имеет асимптотическое разложение Доказательство. Для любого $N\in\mathbb{N}$ спектр оператора $\Delta^{L^N}$ состоит из двух частей. Его спектр на интервале $[0,N^2/R^2]$ состоит из собственных значений
$$
\begin{equation*}
\nu^{(i)}_{N,j} =\frac{1}{R^2}((2j+1)N-j(j+1)), \qquad 0\leqslant j\leqslant N-1,
\end{equation*}
\notag
$$
с кратностями Пусть $\Delta_M$ – оператор Лапласа–Бельтрами на $(M,g)$. Обозначим через $\lambda_\ell$, $\ell=0,1,2,\dots$, его собственные значения, взятые с учетом кратности. Тогда собственные значения оператора $\Delta^{L^N}$ на полупрямой $(N^2/R^2,\infty)$ задаются формулой
Получаем следующее выражение для функции $Y_N(\varphi)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Y_N(\varphi) & =\sum_{j=0}^{N-1}(g-1)(2N-2j-1)\notag \\ &\qquad \times\varphi\biggl(\frac{1}{R^2}\biggl((2j+1)-\frac{1}{N}j(j+1)\biggr)\biggr) +\sum_{k=1}^{\infty}\varphi\biggl(\frac{1}{R^2}N+\frac 1N\lambda_k\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Понятно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}\varphi\biggl(\frac{1}{R^2}N+\frac 1N\lambda_k\biggr) =\mathcal{O}(N^{-\infty}), \qquad N\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя разложение в ряд Тейлора как выше, получаем существование асимптотического разложения (5.10) и формулы для старшего коэффициента в этом разложении:
$$
\begin{equation*}
f_0(\varphi) =(2g-2)\sum_{j=0}^{N-1}\varphi\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
и следующего за ним коэффициента:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_1(\varphi) &=-2(g-1)\frac{1}{R^{2}}\sum_{j=0}^{\infty} \varphi^{\prime}\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr)j(j+1)\\ &\qquad -(g-1)\sum_{j=0}^{\infty} \varphi\biggl(\frac{1}{2R^2}(2j+1)\biggr)(2j+1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда, как и выше, получаем (5.11) и (5.12), используя формулу (2.10) и свойства преобразования Фурье. Теорема доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kor22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|