| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Экстремальные проблемы в геометрической теории функций Ф. Г. Авхадиевa, И. Р. Каюмовab, С. Р. Насыровa a Казанский (Приволжский) федеральный университет b Санкт-Петербургский государственный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10076e 
Реферативные базы данных:
     1. ВведениеДанный обзор посвящен проблематике применения конформных отображений в различных задачах комплексного анализа. Следует отметить, что тематика столь обширна, что не позволяет полностью представить полученные к настоящему времени результаты. В данном обзоре мы описываем достижения, которые связаны с результатами авторов и следуют в русле заявленной проблематики. Простыми и очень важными примерами конформных изоморфизмов областей на плоскости являются дробно-линейные автоморфизмы расширенной комплексной плоскости (сферы Римана). Успешное применение конформных изоморфизмов в математике и механике началось после доказательства теоремы Римана о конформном отображении, в соответствии с которой любую односвязную область на плоскости, имеющую более одной граничной точки, можно конформно отобразить на круг. Поэтому конформные автоморфизмы круга очень часто применяются при решении различных, в том числе и прикладных, задач математики и механики. Наш обзор состоит из нескольких частей. В разделе 2 описываются результаты, касающиеся интегральных средних конформных отображений, на основе которых решены многие трудные задачи, стоявшие с начала XX века. В качестве примера здесь стоит упомянуть результаты Н. Г. Макарова о метрических свойствах гармонической меры на жордановых кривых. Раздел 3 посвящен неравенствам типа Шварца–Пика и Бора. Эффективность неравенств Шварца–Пика продемонстрирована не одним поколением математиков. Классическое неравенство Бора поражает своей элегантностью и также может быть доказано с помощью неравенств Шварца–Пика. Здесь большинство экстремалей связано с конформными автоморфизмами круга. Однако, как было показано Э. Бомбьери и Ж. Бургейном, в некоторых ситуациях для сумм типа Бора экстремалями могут выступать функции, по свойствам близкие к ультраплоским многочленам Кахана. Разделы 4–6 посвящены аналитическим и геометрическим проблемам, связанным с интегральными неравенствами типа Харди и Реллиха в областях произвольного вида. В частности, описаны широко известные критерии В. Г. Мазьи и А. Анконы для положительности констант в базовых неравенствах типа Харди. Изложены недавние результаты Ф. Г. Авхадиева о том, что равномерная совершенность границы плоской области является критерием положительности констант для ряда неравенств типа Харди и Реллиха. Приведены также двусторонние оценки констант через евклидов максимальный модуль области. Разделы 8–10 касаются некоторых применений конформных и обобщенных конформных модулей в задачах геометрической теории функций. Так, изучается задача Вуоринена об асимптотике конформного модуля двусвязных областей, которые растягиваются вдоль оси абсцисс с коэффициентом, стремящимся к бесконечности. Также на основе классических теорем Альфорса и Варшавского устанавливается формула для асимптотики конформного модуля четырехсторонника при растяжении. Кроме того, получены формулы для вариации емкостей Робена в зависимости от изменения границы области и дается применение этих емкостей в аэрогидромеханике, в частности при решении обобщенной задачи М. А. Лаврентьева. Далее рассматриваются однопараметрические семейства рациональных и эллиптических функций и приводится описание таких семейств с помощью дифференциальных уравнений. Найдены системы дифференциальных уравнений для критических точек и полюсов функций (и модулей в случае эллиптических функций) в предположении, что их критические значения изменяются по заданному закону. Полученные результаты применяются для изучения конформных модулей областей, являющихся внешностью двух отрезков; установлены некоторые результаты, касающиеся монотонности конформного модуля при движении одного из отрезков вдоль прямой, содержащей его, с фиксированной длиной, при этом второй отрезок остается неподвижным. В последней части мы даем описание результатов по исследованию известной проблемы С. Смейла о критических значениях полиномов. Сама проблема носит чисто алгебраический характер, она может быть теоретически решена алгебраическими методами, и нетрудно показать, что ответом будет алгебраическое число. Однако в реальности даже случай $n=4$ является весьма нетривиальным (если не использовать компьютер), а в случае $n \geqslant 10$ бессильны даже компьютеры (если только не удастся случайно построить конкретный пример). Оказалось, что при решении проблем в этой области могут быть применены современные методы геометрической теории функций, в частности метод симметризации, активно развиваемый В. Н. Дубининым [57]. Следует признать, что наш обзор охватывает лишь ту часть исследований по геометрической теории функций, в развитии которой авторы принимали активное участие. В частности, в настоящий обзор не вошли интересные и важные результаты В. В. Горяйнова [75], [76], Д. В. Прохорова [131], [132] и В. В. Старкова [142], [143]. 2. Интегральные средние конформных отображенийОценки интегральных средних конформных отображений очень часто применяются для решения различных проблем в геометрической теории функций комплексного переменного. Здесь следует отметить теорему площадей, доказанную Т. Гронуоллом (см., например, [74], [102]), которая послужила отправной точкой исследований экстремальных проблем в классе однолистных функций. Отметим также, что в силу интегральной формулы Коши проблема оценки коэффициентов однолистных функций связана, по существу, с оценкой интегральных средних. Одной из главных проблем геометрической теории функций комплексного переменного в XX в., послужившей путеводной звездой для многих эффективных методов решения экстремальных задач, стала гипотеза Бибербаха о том, что $|a_n| \leqslant n$, где $a_n$ – коэффициенты Тейлора для функций из класса $S$. Напомним, что класс $S$ состоит из однолистных и голоморфных в круге $\mathbb{D}=\{z\colon|z|< 1\}$ функций $f$, удовлетворяющих соотношениям $f'(0)-1=f(0)=0$. Проблемы интегральных средних для модуля однолистной функции (или для модуля ее производной) до доказательства Л. де Бранжем в 1985 г. гипотезы Л. Бибербаха рассматривались как вспомогательный инструмент для оценки коэффициентов в классе $S$. Эта проблема изучалась рядом известных математиков, в частности Дж. Литтлвудом, Г. М. Голузиным, Н. А. Лебедевым, И. М. Милиным и др. В работах Н. Г. Макарова [104], Л. Карлесона и П. Джонса [39] раскрыты нетривиальные связи между интегральными средними и граничным поведением конформных отображений. Эти работы привлекли серьезное внимание математиков к задачам оценки интегральных средних в исследованиях по геометрической теории функций. Пусть $\Omega$ – ограниченная односвязная область на плоскости, $f$ – конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на $\Omega$. В силу теоремы площадей имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\int\!\!\!\int_{\mathbb{D}}|f'(re^{i t})|^2 r\,dr\,dt \leqslant \pi M^2, \qquad M=\sup_{|z|<1}|f(z)|,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда сразу вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{2\pi}|f'(re^{it})|^2\,dt=O\biggl(\frac{1}{1-r}\biggr), \qquad r \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда видно, что при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля производной однолистной функции уменьшается на единицу в случае $p \geqslant 2$:
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|^p\,dt= O\biggl(\frac{1}{(1-r)^{p-1}}\biggr), \qquad r \to 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому вполне естественно ожидать, что для любого фиксированного $p>1$ выполняется такое же соотношение. Очевидно, что в случае $p=1$ такое поведение не всегда возможно, так как существуют ограниченные односвязные области с неспрямляемыми границами. Таким образом, в случае $p=1$ существенную роль играет геометрия области. Как оказалось впоследствии, геометрия области играет существенную роль и для всех $p<2$. Для исследования поведения интегральных средних удачной идеей оказалось рассмотрение так называемого спектра интегральных средних:
$$
\begin{equation*}
\beta_f(p)=\limsup_{r \to 1} \frac{\ln\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|^p\,d\theta}{|\ln(1-r)|}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для “хороших” областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) $\beta_f(p)$ является кусочно линейной функцией от $p$. Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных средних. 1) Н. Г. Макаровым [104] доказано, что если множество $A\subset \partial\mathbb{D}$ измеримо по Борелю и конформное отображение непрерывно продолжимо на границу круга $\mathbb{D}$, то для любого $q>0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\dim f(A) \geqslant \frac{q \dim A}{\beta_f(-q)+q+1-\dim A}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\dim A$ – хаусдорфова размерность множества $A$. 2) Л. Карлесон и П. Джонс [39] показали, что
$$
\begin{equation*}
\sup_{f \in S_1}\beta_f(1)=\alpha:=\sup_{f \in S_1} \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln|na_n|}{\ln n}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_1$ – класс ограниченных и однолистных в круге $\mathbb{D}$ функций, $a_n$ – коэффициенты разложения Тейлора функции $f$. Заметим, что неравенство $\sup\beta_f(1) \geqslant \alpha$ доказывается весьма просто (доказательство основано на том, что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время как обратное неравенство является глубоко нетривиальным фактом. 3) Х. Поммеренке [129; с. 241] установил следующий факт. Если область $f(\mathbb{D})$ является областью класса Джона (т. е., по сути, не имеет внутренних нулевых углов), то где $p$ – единственное решение уравнения $\beta_f(p)=p-1$, $\operatorname{mdim}\partial f(\mathbb{D})$ – верхняя метрическая размерность Минковского множества $\partial f(\mathbb{D})$.Особо стоит выделить результаты Н. Г. Макарова [105] о применении методов теории вероятностей в геометрической теории функций. С их помощью было решено большое количество сложных и нетривиальных проблем комплексного анализа. Со всеми этими результатами можно также ознакомиться, прочитав замечательную монографию Дж. Б. Гарнетта и Д. Э. Маршалла [73]. Эти результаты проясняют причину сложного поведения $\beta_f(p)$. Классическая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение областей с жордановыми границами друг на друга может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако она не дает информации о том, каким образом искажаются линейные меры борелевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос. Более подробно о свойствах спектра интегральных средних можно узнать из обзора [79]. Одной из интригующих и до сих пор нерешенных проблем является гипотеза Бреннана, которая может быть сформулирована следующим образом [36]. Пусть $\Omega$ – односвязная область на плоскости, имеющая более двух граничных точек, и $\varphi$ – конформное отображение единичного круга $\mathbb{D}$ на $\Omega$. Дж. Бреннаном была высказана гипотеза о том, что $\varphi' \in L_p(\Omega)$, $4/3 < p < 4$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\int_\Omega |\varphi'|^p\,dx\,dy < \infty, \qquad \frac{4}{3} < p < 4.
\end{equation*}
\notag
$$
Проблематика интегральных средних не ограничивается лишь конформными отображениями. Задачи, схожие с гипотезой Бреннана, возникают и в случае рациональных функций, которые фактически являются конечнолистными отображениями. Рассмотрим такого сорта проблему, связанную с оценками интегралов от ограниченных рациональных функций, которая впервые была исследована Е. П. Долженко [53] для достаточно гладких областей. Пусть $G$ – произвольная область ограниченной площади $S$, $R$ – рациональная функция порядка $n$ и $p \geqslant 1$. Если $|R| \leqslant 1$ в $G$, то из неравенства Гёльдера следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{G}|R'(z)|^p\,dx\,dy \leqslant \biggl(\int_{G}|R'(z)|^2\,dx\,dy\biggr)^{p/2}S^{1-p/2} \leqslant (\pi n)^{p/2}S^{1-p/2},
\end{equation*}
\notag
$$
причем данная оценка является точной по порядку, если не накладывать дополнительных ограничений на область (например, не требовать спрямляемости границы). Оказалось, что в некоторых случаях такую оценку можно улучшить. Кривой типа K будем называть замкнутую жорданову кривую с непрерывной кривизной $k(s)$, удовлетворяющей условию Гёльдера (здесь $s$ – натуральный параметр). Пусть $G$ – конечносвязная область, граничные кривые которой удовлетворяют условию типа К. Предположим, что $1\leqslant p \leqslant 2$, а $R$ – рациональная функция степени не выше $n$ с полюсами, расположенными вне $\overline{G}$. Е. П. Долженко [53; теорема 2.2] доказал, что тогда найдется константа $C$, зависящая от области $G$ и от $p$, такая, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(z)|^p\, dx\,dy \leqslant C n^{p-1}\sup_{z \in G}|R(z)|, \qquad p \in (1,2],
\end{equation}
\tag{1}
$$
а при дополнительном предположении ограниченности области $G$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{G}|R'(z)|\,dx\,dy \leqslant C \ln (n+1) \sup_{z \in G} |R(z)|.
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем интегральные неравенства для производных рациональных функций исследовались в статьях В. В. Пеллера [127], С. Семмса [136], А. А. Пекарского [125], [126], В. И. Данченко [44] и многих других авторов. А. Д. Барановым и И. Р. Каюмовым [28] неравенство (1) получено при существенно более слабом ограничении на область, а именно при условии отсутствия внутренних нулевых углов. Также в работе [29] удалось усилить неравенство до точного (по порядку) неравенства
$$
\begin{equation}
\int_{G}|R'(z)|\,dx\,dy \leqslant C\sqrt{\ln (n+1)}\,\sup_{z \in \Omega}|R(z)|.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Порядковая точность неравенства (2) оказалась глубоко нетривиальным фактом, корни которого лежат в законе повторного логарифма для конформных отображений, доказанном Н. Г. Макаровым в 1985 г. Приведем этот результат. Предположим, что функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb{D}$. Н. Г. Макаров [103] доказал, что существует положительная постоянная $C$ такая, что
$$
\begin{equation}
\limsup_{r \to 1-}\frac{|f(r \zeta)|}{\sqrt{|\ln(1-r)| \ln\ln|\ln(1-r)|}} \leqslant C \|f\|_{\mathrm{B}}
\end{equation}
\tag{3}
$$
для почти всех $\zeta$ на окружности $|\zeta|=1$, где – стандартная полунорма Блоха. О современном состоянии исследований, связанных с законом повторного логарифма в классе Блоха, можно узнать из статьи [89]. Ф. Пжетицкий и Н. Г. Макаров высказывали предположение, что полунорму Блоха (4) в неравенстве (3) можно заменить на асимптотическую дисперсию, по аналогии с классическим законом повторного логарифма Колмогорова–Хинчина. Оказалось, что это неверно. Соответствующий контрпример был построен Р. Бануелосом и Ч. Н. Муром в работе [27]. Отметим, что асимптотическая дисперсия играет важную роль в современных исследованиях в геометрической теории функций (особенно в части пересечения таковой с теорией вероятностей). Современное состояние дел в этой области описано в работе Х. Хеденмальма [78]. В работе [28] пример Р. Бануелоса и Ч. Н. Мура был адаптирован к доказательству точности неравенства (2), причем для этого пришлось из пространства Блоха спуститься в подпространство ограниченных функций. В настоящий момент А. Д. Барановым и И. Р. Каюмовым получен результат, подтверждающий оценки (1) и (2), в котором удалось избавиться от требования отсутствия нулевых углов. Единственное и весьма разумное требование – спрямляемость границы области, которое, кстати, также может быть ослаблено, например, заменой его некоторым ограничением на фрактальную размерность границы области. Естественно, в этом случае неравенства (1) и (2) также ослабляются. Важно отметить, что во всех описанных результатах существенную роль играет конформное отображение односвязной области на круг. Отметим также, что многосвязный случай легко сводится к односвязному путем проведения конечного числа гладких разрезов. 3. Неравенства Шварца–Пика и неравенства типа БораПростым и одним из наиболее эффективных примеров применения метода конформных изоморфизмов являются неравенства Шварца–Пика. Базовое неравенство Шварца–Пика может быть сформулировано следующим образом. Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb{D}$ и $f(\mathbb{D}) \subset \mathbb{D}$. Тогда для любого $z_0 \in \mathbb{D}$ имеет место точное неравенство:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(z)-f(z_0)}{1-\overline{f(z_0)}f(z)}\biggr| \leqslant \biggl|\frac{z-z_0}{1-\overline{z}_0 z}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство этого неравенства легко получается применением конформных автоморфизмов круга в плоскости $z$ и в плоскости образа с использованием леммы Шварца. Поделив обе части неравенства на $|z-z_0|$ и осуществляя предельный переход при $z \to z_0$, выводим отсюда известное следствие неравенства Шварца–Пика:
$$
\begin{equation*}
|f'(z_0)| \leqslant \frac{1-|f(z_0)|^2}{1-|z_0|^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, полагая $z_0=0$, получаем неравенство Здесь $a_k$ – коэффициенты ряда Маклорена функции $f$. Простым и весьма полезным следствием неравенства (5) являются неравенства Они могут быть получены из (5) путем симметризации функции $f$:
$$
\begin{equation*}
f_n(z):=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(e^{i 2k\pi/n} z).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что огромную роль в экстремальных задачах для класса ограниченных голоморфных в круге $\mathbb{D}$ функций играют конформные автоморфизмы круга, которые имеют вид $(z-a)/(1-\overline{a}z)$, а также конечные произведения Бляшке По неравенствам Шварца–Пика получено большое количество результатов, подробнее о них можно узнать из монографии Ф. Г. Авхадиева и К.-Й. Виртса [25], а также из недавней монографии [72]. Для формулировки неравенства Шварца–Пика в полной общности нам необходимы некоторые определения. Пусть $\Omega$ – область на расширенной комплексной плоскости, имеющая не менее трех граничных точек. По теореме Римана–Пуанкаре существует локально конформное, сохраняющее ориентацию отображение $f\colon\mathbb{D}\to \Omega$, причем $\Omega=f(\mathbb{D})$ и в достаточно малой окрестности любой точки $z_0\in \Omega$ определен элемент обратной функции $F(z)=f^{-1}(z)$, который аналитически продолжи́м в области $\Omega$ по любому пути, лежащему в $\Omega$. При этом все значения, принимаемые всевозможными аналитическими продолжениями в $\Omega$ этого элемента, лежат в круге $\mathbb{D}$. Такое отображение $f\colon\mathbb{D}\to \Omega$ называется универсальным накрывающим отображением. Если $\Omega$ – односвязная область, то накрывающее отображение $f\colon\mathbb{D}\to \Omega$ совпадает с однолистным конформным отображением единичного круга на область $\Omega$. Если же $\Omega$ не является односвязной, то накрывающее отображение не будет инъекцией. Пусть $T$ – конформный автоморфизм круга $\mathbb{D}$. Суперпозициями вида $f\circ T$ исчерпываются все накрывающие отображения $\mathbb{D}$ на $\Omega$. Хорошо известно, что коэффициент метрики Пуанкаре с гауссовой кривизной $\kappa=-4$, определяющий гиперболическую геометрию в $\Omega$, задается следующим равенством (см. [4] и [74]):
$$
\begin{equation*}
\lambda_\Omega(z)=\frac{1}{|f'(\zeta)|(1-|\zeta|^2)}\,,\qquad \zeta \in \mathbb{D},\quad z=f(\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу конформной инвариантности метрики Пуанкаре в единичном круге, эта формула однозначно определяет коэффициент гиперболической метрики многосвязной области, несмотря на то что выбор накрывающего отображения является неоднозначным. Функция $1/\lambda_\Omega(z)$ носит название гиперболического радиуса и обозначается $R(z,\Omega)$. Таким образом, гиперболический радиус определяется формулой где $f\colon\mathbb{D}\to \Omega$ – локально однолистное накрывающее отображение единичного круга на область $\Omega \subset \overline{\mathbb C}$, имеющую не менее трех граничных точек.Гиперболический радиус обладает следующими базовыми свойствами: (a) функция $R(\,\cdot\,,\Omega)\colon \Omega \to (0,\infty]$ является вещественно аналитической в любой конечной точке области; (b) если $\infty \in \Omega$, то в достаточно малой окрестности бесконечно удаленной точки вещественно аналитическими являются функции
$$
\begin{equation*}
\frac{R(z,\Omega)}{|z|^2}\,, \quad \frac{|\nabla R(z,\Omega)|}{|z|}\,, \quad \Delta R(z,\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
причем существуют пределы
$$
\begin{equation*}
\lim_{z\to \infty}\frac{R(z,\Omega)}{|z|^2}>0, \quad \lim_{z\to \infty}\frac{|\nabla R(z,\Omega)|}{|z|}>0, \quad \lim_{z\to \infty}\Delta R(z,\Omega)=4;
\end{equation*}
\notag
$$
(c) как следствие формулы $|f'(\zeta)|(1-|\zeta|^2)=R(f(\zeta),\Omega)$, справедливы эквивалентные уравнения Лиувилля
$$
\begin{equation*}
\Delta \ln R=-\frac{4}{R^2}\,, \qquad R \Delta R=|\nabla R|^2-4,
\end{equation*}
\notag
$$
где $R=R(z,\Omega)$, $z=x+iy \in \Omega$. Напомним, что $R(z,\mathbb{D})=1-|z|^2$, $z\in \mathbb{D}$. Через $A(\Omega,\Pi)$ обозначим множество локально голоморфных или мероморфных аналитических функций $F\colon\Omega \to \Pi$ (вообще говоря, многозначных), определенных в области $\Omega \subset \overline{\mathbb{C}}$ и таких, что всевозможные значения $F(z)$ лежат в области $\Pi \subset \overline{\mathbb{C}}$. Неравенство Шварца–Пика в полной общности можно сформулировать следующим образом. Теорема 3.1. Пусть $\Omega\subset\overline{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\overline{\mathbb{C}}$ – произвольные области гиперболического типа. Если то в каждой точке $z\in \Omega$ справедливо неравенство Если $z\ne \infty$ и $F(z)\ne \infty$, то равенство имеет место тогда и только тогда, когда $F$ – локально конформное накрывающее отображение области $\Omega$ на область $\Pi$. Имеется ряд обобщений неравенства Шварца–Пика. Ниже приведены лишь три результата Ф. Г. Авхадиева и К.-Й. Виртса о распространении неравенства Шварца–Пика на высшие производные порядка $n\geqslant 2$. Следуя [25], для производных функций $F \in A(\Omega,\Pi)$ рассмотрим неравенство
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n!}|F^{(n)}(z)| \leqslant C_n(\Omega,\Pi)\, \frac{R(F(z),\Pi)}{R^n(z,\Omega)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_n(\Omega,\Pi)$ – наименьшая постоянная, возможная на этом месте, т. е. постоянная, определяемая равенством
$$
\begin{equation*}
C_n(\Omega,\Pi)=\sup_{z\in \Omega}\,\sup_{F \in A(\Omega,\Pi)}\, \frac{R^n(z,\Omega)|F^{(n)}(z)|}{n!R(F(z),\Pi)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что в силу неравенства Шварца–Пика $C_1(\Omega,\Pi)=1$ для любой пары областей $\Omega\subset\overline{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\overline{\mathbb{C}}$ гиперболического типа, а при $n\geqslant 2$ априори можно лишь утверждать, что $0< C_n(\Omega, \Pi) \leqslant\infty$. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.2 [25]. Пусть $\Omega\subset{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\mathbb{C}$ – выпуклые области, $\Omega\ne\mathbb{C}$, $\Pi\ne\mathbb{C}$. Тогда при любом $n\geqslant 2$ для любой точки $z\in \Omega$ и любой функции $F\in A(\Omega,\Pi)$ справедливо неравенство где константа $2^{n-1}$ является точной, а именно, $C_n(\Omega,\Pi)=2^{n-1}$ для любой пары выпуклых областей $\Omega\subset\mathbb{C}$ и $\Pi\subset{\mathbb{C}}$ таких, что $\Omega\ne\mathbb{C}$, $\Pi\ne\mathbb{C}$. В книге [25] можно найти ряд аналогов этой теоремы, связанных с различными геометрическими требованиями на области $\Omega$ и $\Pi$. В частности, если $\Omega\subset\mathbb{C}$ и $\Pi\subset\mathbb{C}$ являются односвязными областями гиперболического типа, то $C_n(\Omega,\Pi)\leqslant 4^{n-1}$. Найти $C_n(\Omega,\Pi)$ для произвольных областей $\Omega\subset\mathbb{C}$ и $\Pi\subset\mathbb{C}$ гиперболического типа удается лишь при $n=2$. А именно, Ф. Г. Авхадиевым и К.-Й. Виртсом [25; гл. 4] доказана следующая теорема. Теорема 3.3. Для произвольных областей $\Omega\subset\mathbb{C}$ и $\Pi\subset\mathbb{C}$ гиперболического типа имеет место равенство Условие $\sup_{z\in \Omega}|\nabla R(z,\Omega)|< \infty$ является одним из критериев равномерной совершенности границы области $\Omega\subset{\mathbb{C}}$ гиперболического типа (см., например, [18] или [25]). Поэтому теорема 3.3 влечет следующее утверждение. Следствие 3.3.1. Для областей $\Omega\subset{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset{\mathbb{C}}$ гиперболического типа тогда и только тогда, когда границы обеих областей $\Omega$ и $\Pi$ являются равномерно совершенными множествами. Отметим, что к областям $\Omega\subset{\mathbb{C}}$ с равномерно совершенными границами и к их геометрическим характеристикам через максимальные модули областей мы вернемся в разделе 6 этой статьи при описании интегральных неравенств типа Харди и Реллиха. Если одна из областей $\Omega\subset\overline{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\overline{\mathbb{C}}$ содержит бесконечно удаленную точку, то $C_2(\Omega,\Pi)=C_2(\Pi,\Omega)=\infty$ в силу теоремы 3.3, так как модуль градиента гиперболического радиуса является величиной порядка $O(|z|)$ вблизи точки $z= \infty$. В подобной ситуации имеет смысл рассматривать неравенства вида
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{n!}\,|F^{(n)}(z)| \leqslant M_n(z,\Omega,\Pi)\, \frac{R(F(z),\Pi)}{R^n(z,\Omega)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_n(z,\Omega,\Pi)$ – наименьшая постоянная, возможная на этом месте, т. е.
$$
\begin{equation*}
M_n(z,\Omega,\Pi)=\sup_{F \in A(\Omega,\Pi)}\, \frac{R^n(z,\Omega)|F^{(n)}(z)|}{n!\,R(F(z),\Pi)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что в силу неравенства Шварца–Пика $M_1(z,\Omega,\Pi)\equiv1$ для любой пары областей $\Omega\subset\overline{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\overline{\mathbb{C}}$ гиперболического типа. Оказалось, что при $n\geqslant 2$ характеристика $M_n(z,\Omega,\Pi)$ существенно зависит от переменной $z\in \Omega$ и свойств областей $\Omega$ и $\Pi$. Чтобы сформулировать следующую теорему, нам потребуются гиперболические расстояния $\rho_{\Omega}(z,\infty)$ и $\rho_{\Pi}(F(z),\infty)$. Напомним, что гиперболическое расстояние $\rho_\mathbb{D}(0,p)$ между точками $0$ и $p\in (0,1)$ в единичном круге $\mathbb{D}$ дается формулой
$$
\begin{equation*}
\rho_\mathbb{D}(0,p)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+p}{1-p} \quad\Longleftrightarrow\quad p= \operatorname{th} \rho_\mathbb{D}(0,p),
\end{equation*}
\notag
$$
где, как обычно, $ \operatorname{th} x= (e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})$. Теорема 3.4 [25]. Пусть $\Omega\subset\overline{\mathbb{C}}$ и $\Pi\subset\overline{\mathbb{C}}$ – односвязные области гиперболического типа. Предположим, что $\infty \in \Omega$ и $\infty \in \Pi$. Тогда при любом $n\geqslant 2$ для любой точки $z\in \Omega$ и любой функции $F\in A(\Omega,\Pi)$ справедливо неравенство Ряд сопутствующих результатов можно найти в статьях [23], [24]. Обозначим через $\mathcal B$ класс голоморфных в единичном круге $\mathbb{D}$ функций $f$ таких, что $|f(z)|<1$ для всех $z\in \mathbb{D}$. Разложим функцию $f$ в ряд Тейлора: $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kz^k$. Классический результат Бора гарантирует существование положительной константы $\rho$ такой, что
$$
\begin{equation}
M^f(r):=\sum_{k=0}^{\infty}|a_k|r^k \leqslant 1 \quad\text{для всех } r=|z|\leqslant \rho,
\end{equation}
\tag{8}
$$
причем число $\rho=1/3$ является оптимальным. Число $\rho=1/3$ называется радиусом Х. Бора [33]. Отметим, что Бором первоначально было доказано неравенство (8) для случая $\rho=1/6$. Позже Ф. Винер, М. Рисс и И. Шур независимо друг от друга доказали точное неравенство для $r=|z|\leqslant 1/3$. Следует отметить, что можно рассматривать радиус Бора $\rho(f)$ для произвольной фиксированной функции, а не для всего класса функций, удовлетворяющих неравенству $|f(z)|<1$ для всех $z\in \mathbb{D}$. (Кроме того, аналогично можно определять радиус Бора для других классов аналитических функций.) При этом для любой заданной функции радиус Бора всегда строго больше $1/3$. В классическом понимании, если рассматривать задачу нахождения радиуса Бора как экстремальную, экстремальной функции не существует. Однако число $1/3$ не может быть увеличено, так как существует последовательность $(f_n)$ конформных автоморфизмов круга, для которой $\rho(f_n)\to 1/3$, при этом последовательность $(f_n)$ сходится к унимодулярной константе локально равномерно. Важно отметить, что радиус Бора для всего класса совпадает с радиусом Бора для его подкласса конформных автоморфизмов круга. Описанный выше результат послужил отправной точкой интенсивных исследований экстремальных проблем, порожденных новыми неравенствами типа Бора в различных классах аналитических функций. Здесь будет уместно сослаться на замечательный обзор [1], статьи [124], [37], [51], а также на недавний обзор по рядам Дирихле [134]. Отметим, что неравенства (6) играют значительную роль в неравенствах типа Бора и часто лежат в основе доказательств неравенств в данном направлении. В 2000 г. П. Б. Дьяков и М. С. Рамануджан [52] исследовали феномен Бора в обобщенной постановке. Для $f\in {\mathcal B}$ и фиксированного $p>0$ рассмотрим степенные суммы Бора $M_p^f(r)$, которые определены следующим равенством: Отметим, что суммы $M_p^f(r)$ в случае $p=1$ переходят в классические суммы Бора $M^f(r)$. Наибольшая из возможных констант $\rho_p$ таких, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
M_p^f(r)\leqslant 1 \quad\text{для всех } r\leqslant \rho_p,
\end{equation*}
\notag
$$
называется обобщенным радиусом Бора для класса ${\mathcal B}$. Положим и
$$
\begin{equation*}
r_p:=\sup\biggl\{r\colon a^p+\frac{r(1-a^2)^p}{1-r a^p} \leqslant 1, \ 0 \leqslant a <1\biggr\}=\inf_{a \in [0,1)} \frac{1-a^p}{a^p(1-a^{p})+(1-a^2)^p}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно заметить, что $r_p$ – обобщенный радиус Бора для класса конформных автоморфизмов круга. Они играют определяющую роль в данной задаче. П. Б. Дьяков и М. С. Рамануджан [52] установили, что для фиксированного $p \in (1,2]$ и функции $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$ из $\mathcal B$ имеет место неравенство $M_p^f (r)\leqslant 1$ при $r \leqslant T_p$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m_p\leqslant T_p\leqslant r_p, \\ m_p:=\frac{p}{(2^{1/(2-p)}+p^{1/(2-p)})^{2-p}}\quad \text{для}\ 1<p<2 \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $m_2:=\lim_{p \to 2} m_p=1$. Кроме того, для каждого $p \in (0,2)$ справедливо соотношение Л. А. Айзенберг, И. Б. Гроссман и Ю. Ф. Коробейник [5] обосновали оценку
$$
\begin{equation*}
M_p(r) \leqslant \max_{a \in [0,1]} \biggl[a^p+\frac{r\,2^p(1-a)^p}{1-r}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Г. Кресин и В. Г. Мазья [96] доказали следующее точное неравенство:
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=m}^\infty|a_k|^p r^{k} \leqslant \frac{2^p r^m}{1-r} \biggl(\,\sup_{|\zeta|<1}\operatorname{Re}(f(\zeta)-f(0))\biggr)^p ,
\end{equation*}
\notag
$$
$p \in (0,\infty)$, $m \geqslant 1$. Этот и ряд других интересных результатов можно найти в монографии Г. Кресина и В. Г. Мазьи [97]. Поскольку оценки, полученные П. Б. Дьяковым и М. С. Рамануджаном, не являются точными, естественно встает вопрос об оптимальности $\rho_p$ при $p\in (1,2)$. Верен ли тот факт, что минимизация радиуса Бора во всем классе ограниченных аналитических функций эквивалентна такой же экстремальной задаче в классе конформных отображений круга, т. е. будет ли справедливым равенство $\rho_p=r_p$? Положительный ответ на этот вопрос был дан в работе И. Р. Каюмова и С. Поннусами [94]. Они доказали следующую теорему. Теорема 3.5. Если $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kz^k$ принадлежит классу $\mathcal B$ и $0<p \leqslant 2$, то Кроме того, Полученный результат является обобщением неравенства, установленного Э. Бомбьери [34] в случае $p=1$. Отметим, что $M_p(r)=1$ при $p \geqslant 2$ и $r < 1$. Кроме того, $M_p(r)>1$ для всех $p \in (0,1)$. Таким образом, наиболее интересен случай, когда $p \in [1,2)$. Возникает естественный вопрос: насколько полученная в теореме 3.5 оценка для $M_p(r)$ близка к точной при $r$, близких к единице? Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся оценкой Э. Бомбьери и Ж. Бургейна из работы [35]. Они показали, что для произвольного $\varepsilon >0$ найдется константа $C(\varepsilon)>0$ такая, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
M_1(\rho) \geqslant \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}- C(\varepsilon)\biggl(\ln \frac{1}{1-\rho}\biggr)^{3/2+\varepsilon},\qquad \rho \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Из неравенства Гёльдера следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_1^f(r^{1/(2-p)})&=\sum_{k=0}^\infty|a_k|r^{k/p}r^{2k(p-1)/(p(2-p))} \\ &\leqslant\biggl(\,\sum_{k=0}^\infty|a_k|^p r^k\biggr)^{1/p} \biggl(\,\sum_{k=0}^\infty r^{2k/(2-p)}\biggr)^{1-1/p} \\ &=\bigl(M_p^f(r)\bigr)^{1/p}\frac{1}{(1-r^{2/(2-p)})^{(p-1)/p}}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает тот факт, что
$$
\begin{equation*}
M_p^f(r) \geqslant \biggl(\frac{1}{\sqrt{1-r^{2/(2-p)}}}-C(\varepsilon) \biggl(\ln\frac{1}{1-r^{1/(2-p)}}\biggr)^{3/2+\varepsilon}\biggr)^p (1-r^{2/(2-p)})^{p-1}
\end{equation*}
\notag
$$
при $2^{p/2-1} < r < 1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
M_p^f(r) \geqslant \biggl(\frac{1}{1-r^{2/(2-p)}}\biggr)^{1-p/2}- C_1(\varepsilon)(1-r^{2/(2-p)})^{(p-1)/2} \biggl(\ln \frac{1}{1-r^{1/(2-p)}}\biggr)^{3/2+\varepsilon}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation*}
M_p(r)-\biggl(\frac{1}{1-r^{2/(2-p)}}\biggr)^{1-p/2} \to 0 \quad\text{при}\ r \to 1
\end{equation*}
\notag
$$
в случае $1<p<2$. Для $p=1$ неизвестно, имеет ли место аналогичное асимптотическое поведение. Задача, по-видимому, является трудной. Г. Риччи и Э. Бомбьери (см. [34]) показали, что если дополнительно зафиксировать $f(0)=a \geqslant 1/2$, то соответствующий радиус Бора будет равен $1/(2a+1)$. С использованием формулы (10) нетрудно показать, что если $p \in (1,2)$ и $f(0)=a$, то обобщенный радиус Бора ограниченных функций с фиксированным значением в нуле может быть вычислен по формуле
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{r_p(a)}=a^p+\frac{(1-a^2)^p}{1-a^p} \quad \text{при}\ a \geqslant a_p,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_p$ – единственный корень уравнения Отметим, что где $t$ – единственный лежащий в интервале $(0,1)$ корень уравнения В статье Р. М. Али, Р. У. Барнарда и А. Ю. Солынина [6] исследовалась следующая задача: найти радиус Бора в классе нечетных функций $f$, удовлетворяющих неравенству $|f(z)|\leqslant 1$ для всех $z\in \mathbb{D}$. В работе [6] показано, что $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^{2n+1} \leqslant 1$ для всех $|z|=r\leqslant r_*$, где $r_*$ является единственным решением уравнения в интервале $1/\sqrt{3}<r<1$. Значение $r_*$ приблизительно равно $0.7313$.И. Р. Каюмов и С. Поннусами [92] окончательно решили проблему, доказав следующую теорему. Теорема 3.6. Радиус Бора в классе нечетных ограниченных голоморфных функций в точности равен $r^*$, где Отметим тот факт, что $r^*\approx 0.789991$. Если $f$ и $g$ – аналитические в $\mathbb{D}$ функции, $\omega$ – функция Шварца (т. е. $\omega$ аналитична в $\mathbb{D}$, $\omega(0)=0$ и $|\omega(z)|<1$ для $|z|<1$) и все три функции удовлетворяют условию $f(z)=g(\omega(z))$ для $z\in \mathbb{D}$, то мы пишем $f(z)\prec g(z)$ и говорим, что функция $f$ подчинена функции $g$. Для любых двух аналитических функций $f$ и $g$ в $\mathbb{D}$ говорим, что функция $f$ квазиподчинена $g$ и пишем $f(z)\prec_{\mathrm{q}}g(z)$, если существует функция Шварца $\omega$ такая, что
$$
\begin{equation*}
|f(z)| \leqslant |g(\omega(z))|,\qquad z\in \mathbb{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Б. Бхоумик и Н. Дас [32] (случай “$\prec$”), а также С. А. Алхалифах, И. Р. Каюмов и С. Поннусами [7] (случай “$\prec_{\mathrm{q}}$”) получили следующий результат. Теорема 3.7. Пусть $f(z)$ и $g(z)$ – две аналитические в $\mathbb{D}$ функции, имеющие разложения в ряд Тейлора $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ и $g(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_kz^k$ для $z\in \mathbb{D}$. Если $f(z)\prec_{\mathrm{q}}g(z)$, то Исходя из данной теоремы весьма правдоподобной выглядит следующая гипотеза. Гипотеза 3.1. Пусть $f(z)$ и $g(z)$ – две аналитические в $\mathbb{D}$ функции, имеющие разложения в ряд Тейлора $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ и $g(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty b_kz^k$ для $z\in \mathbb{D}$. Если $f(z)\prec_{\mathrm{q}} g(z)$, то при $p \in [1,2]$ выполняется неравенство Эта гипотеза, будь она справедлива, являлась бы мостом, соединяющим неравенство Бора с классическими теоремами Дж. Литтлвуда и В. Рогозинского о подчиненных аналитических функциях. И снова здесь должны играть большую роль конформные автоморфизмы круга: данная гипотеза эквивалентна тому, что экстремалями в соответствующей экстремальной задаче являются эти автоморфизмы. В направлении исследования неравенств типа Бора для подчиненных функций ряд интересных результатов получен в работах [77], [130]. Пусть теперь $S_r(f)$ обозначает площадь образа круга $|z|<r$ при отображении $f$. В 2018 г. был получен следующий результат [93]. Пусть $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ аналитична в $\mathbb{D}$ и $|f(z)| \leqslant 1$ в $\mathbb{D}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty|a_k|r^k+\frac{16}{9}\,\frac{S_r}{\pi} \leqslant 1\quad\text{для}\ r \leqslant \frac{1}{3}
\end{equation}
\tag{11}
$$
и числа $1/3$ и $16/9$ не могут быть улучшены. Следующий результат показывает, что в левую часть неравенства (11) можно добавить еще одно положительное слагаемое [87]. Теорема 3.8. Пусть $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ аналитична в $\mathbb{D}$ и $|f(z)| \leqslant 1$ в $\mathbb{D}$. Тогда Этот результат является окончательным в том смысле, что существует конкретная экстремаль, максимизирующая соответствующий функционал. Как и следовало ожидать, экстремальной функцией снова оказался автоморфизм круга. Для голоморфной в $\mathbb{D}$ функции $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ оператор Чезаро определяется как
$$
\begin{equation*}
{\mathcal C}f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} a_k \biggr)z^n=\int_{0}^{1}\frac{f(tz)}{1-tz}\, dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $|f|\leqslant 1$, то можно заменить сумму Бора на величину
$$
\begin{equation*}
{\mathcal C}_f(r):=\sum_{n=0}^{\infty} \biggl(\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}|a_k|\biggr)r^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что для любого $|z|=r \in [0,1)$ и для каждой голоморфной функции $f$ такой, что $|f(z)|\leqslant 1$ в круге $\mathbb{D}$, выполняется следующее неравенство:
$$
\begin{equation*}
|{\mathcal C}f(z)| \leqslant \frac{1}{r} \ln \frac{1}{1-r}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Приводимая ниже теорема, доказанная И. Р. Каюмовым, Д. М. Хамматовой и С. Поннусами [91], является аналогом теоремы Бора для оператора Чезаро. Теорема 3.9. Пусть $f$ – голоморфная функция, $|f|\leqslant 1$ в $\mathbb{D}$ и $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$. Тогда для $r \leqslant R$, где $R=0.5335\ldots$ – положительный корень уравнения Число $R$ не может быть улучшено. Возникает естественный вопрос о поведении ${\mathcal C}_f(r)$ при $r\to 1$. Если $f$ – голоморфная функция, $|f|\leqslant 1$ в $\mathbb{D}$ и $f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, то для $r \in [0,1)$ выполняется следующее неравенство [91]:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal C}_f(r) \leqslant \frac{1}{r}\,\sqrt{\frac{1+r}{1-r}\ln(1+r)+\ln(1-r)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем теперь две нерешенные задачи, представляющие определенный интерес. Здесь функция $M_1(r)$ определена равенством (9) для $p=1$. Следующий результат связан с сохраняющими ориентацию гармоническими отображениями круга. Напомним, что семейство ${\mathcal H}$ комплекснозначных гармонических функций $f=h+\overline{g}$, определенных в единичном круге ${\mathbb D}$, и его инъективные подклассы к настоящему времени хорошо изучены. Здесь $h$ и $g$ – голоморфные в круге $\mathbb{D}$ функции с разложениями
$$
\begin{equation*}
h(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k\quad\text{и}\quad g(z)=\sum_{k=1}^{\infty}b_kz^k.
\end{equation*}
\notag
$$
Якобиан функции $f$ может быть легко вычислен: Гармоническое отображение $f$ называется сохраняющим ориентацию, если $J_f(z)> 0$ в $\mathbb{D}$. Отображение $\omega(z)=g'(z)/h'(z)$ называется комплексной дилатацией отображения $f=h+\overline{g}$. Из классической теоремы Леви следует, что гармоническое отображение $f$ локально однолистно в $\mathbb{D}$ и сохраняет там ориентацию тогда и только тогда, когда $|\omega (z)|<1$ для $z\in \mathbb{D}$. В статье [40] и монографии [63] даны подробные обзоры геометрических и аналитических свойств гармонических отображений на плоскости. Предположим, что
$$
\begin{equation*}
f(z)=h(z)+\overline{g(z)}=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k+\overline{\sum_{k=1}^\infty b_k z^k}
\end{equation*}
\notag
$$
– сохраняющее ориентацию гармоническое отображение круга $\mathbb{D}$, причем функция $h$ ограничена в $\mathbb{D}$. Приводимая ниже теорема доказана в работе [94]. Теорема 3.10. Если $p \in [0,2]$, то выполнено следующее неулучшаемое неравенство: для всех $r \leqslant (2^{1/(p-2)}+1)^{p/2-1}$. В случае $p>2$ имеем В частности, в случае $p=1$ отсюда непосредственно вытекают следующие неравенства [95]:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |a_0|+\sum_{k=1}^\infty (|a_k|+|b_k|) r^k &\leqslant \frac{\|h\|_{\infty}}{r}\,(5-2\sqrt{6}\,\sqrt{1-r^2}\,) &&\quad\text{при}\ \frac{1}{5} \leqslant r \leqslant \sqrt{\frac{2}{3}}\,, \\ |a_0|+\sum_{k=1}^\infty(|a_k|+|b_k|)r^k &\leqslant \|h\|_{\infty} &&\quad\text{при}\ r \leqslant \frac{1}{5}\,. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Ряд интересных неравенств в различных классах гармонических отображений круга можно найти в работах [84], [2].
4. О неравенствах типа Харди в областяхВ этом разделе речь снова пойдет об оценке интегральных средних в областях на плоскости, правда сейчас средние будут иметь несколько иной характер, но они также будут тесно связаны с геометрией плоских областей. Будем рассматривать произвольные области $\Omega \subset \mathbb{C}$, $\Omega \ne \mathbb{C}$. Функция расстояния до границы области,
$$
\begin{equation*}
\rho(z,\partial\Omega):=\inf_{w\in \mathbb{C}\setminus \Omega}|z-w|,\qquad z\in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
играет центральную роль в неравенствах типа Харди (заметим, что в предыдущем разделе были описаны результаты, при доказательстве которых также использовались аналитические и геометрические свойства этой функции). Отметим, что функция расстояния широко используется при исследовании различных задач комплексного анализа и математической физики. Эта функция обладает простым геометрическим смыслом и имеет ряд замечательных свойств. Одно из них заключается в том, что для любой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, функция расстояния удовлетворяет условию Липшица:
$$
\begin{equation*}
|\rho(z,\partial\Omega)-\rho(\zeta,\partial \Omega)| \leqslant |z-\zeta| \quad \forall\,z, \zeta \in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще одно очень важное и часто используемое свойство функции расстояния до границы связано с конформными изоморфизмами круга: если $f$ – однолистное конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на односвязную область $\Omega$, то имеют место следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4} \,|f'(z)|(1-|z|^2) \leqslant \rho(f(z),\partial\Omega) \leqslant |f'(z)|(1-|z|^2), \qquad z \in \mathbb{D}.
\end{equation*}
\notag
$$
Левое неравенство следует из теоремы Кёбе об одной четвертой, а правое – из леммы Шварца (см., например, [74; гл. 2, § 4; гл. 8, § 1]). Напомним, что $|f'(z)|(1-|z|^2)= R(w,\Omega)$ – конформный радиус области $\Omega$ в точке $w=f(z) \in \Omega$. Пусть дана функция $u\colon \Omega \to \mathbb{R}$. Будем использовать обозначение $u=u(z)$ и формулу
$$
\begin{equation*}
\nabla u(z)=\frac{\partial u(z)}{\partial x}+ i \,\frac{\partial u(z)}{\partial y}\,, \qquad z=x+iy\in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующее неравенство типа Харди:
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_\Omega\frac{|\nabla u(z)|^p}{\rho^{s-p}(z,\partial\Omega)}\,dx\,dy \geqslant c_p(s,\Omega)\int\!\!\!\int_\Omega\frac{|u(z)|^p} {\rho^s(z,\partial\Omega) }\,dx\,dy \quad \forall\,u\in C_0^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $p\in [1,\infty)$ и $s \in \mathbb{R}$ – фиксированные числа. Здесь $C_0^1(\Omega)$ – пространство непрерывно дифференцируемых функций с компактным носителем из $\Omega$. Будем предполагать, что константа $c_p(s,\Omega)\in [0,\infty)$ является неулучшаемой, т. е. максимальной из возможных констант на этом месте. Следует отметить, что такая оптимальная константа $c_p(s,\Omega)$ в неравенстве (13) является безразмерной величиной, инвариантной относительно линейных отображений области, т. е. $c_p(s,\Omega)=c_p(s,a\Omega+b)$, где $a \Omega+b=\{a z+b\colon z \in \Omega\}$, $a \ne 0$. Основная задача состоит в следующем: дать описание в разумных терминах (например, в терминах евклидовой геометрии) всех областей, для которых $c_p(s,\Omega)>0$. Эта задача оказалась весьма нетривиальной, и на данный момент она решена в следующих случаях (см. книги [26] и [18], статьи [10] и [19]): 1) если $s>2$, то $c_p(s, \Omega)>0$ для любой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne \mathbb{C}$; 2) если $s=2$, то неравенство $c_p(2,\Omega)>0$ имеет место тогда и только тогда, когда граница области $\Omega \subset \mathbb{C}$, $\Omega \ne \mathbb{C}$, является равномерно совершенным множеством. Напомним [31], что компактное подмножество $F \subset \overline{\mathbb{C}}$ называется равномерно совершенным, если $F$ содержит не менее двух точек и если существует равномерная верхняя граница модулей всех конформных колец, лежащих в $\overline{\mathbb{C}}\setminus F$ и разделяющих $F$. Если область односвязна, то ее граница считается равномерно совершенной. В некоторых ситуациях бывает недостаточно информации о том, что величина $c_p(s,\Omega)$ положительна. Желательно также иметь явные оценки этой величины через геометрические характеристики области. Здесь следует выделить красивый результат, полученный рядом математиков независимо друг от друга (см. [49], [10], [106], [83]). Оказывается, что для любой выпуклой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, справедливо равенство $c_2(2,\Omega)=1/4$. Естественно предположить, что константа Харди для произвольной области не может быть больше, чем константа Харди для выпуклой области, в частности для круга или полуплоскости. Одна из актуальных знаменитых задач (гипотеза Дэвиса [49], [50]) состоит в следующем: доказать, что для любой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, имеет место неравенство Неравенство (14) доказано Э. Б. Дэвисом для области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, имеющей хотя бы одну граничную точку $y_0\in \partial \Omega$, “регулярную” в определенном смысле. А именно, $y_0$ регулярна, если существует окрестность $U(y_0)$ такая, что пересечение $U(y_0)\cap \partial \Omega$ является гладкой дугой. Известны некоторые ослабления этого условия “регулярности” точки $y_0\in \partial \Omega$, но доказать неравенство (14) без каких-либо дополнительных ограничений пока не удается. Дело в том, что все известные приемы построения минимизирующей последовательности $u_k\in C_0^1(\Omega)$ ($k=1,2,\dots$) основаны на предписанном поведении функции расстояния $\rho(z,\partial\Omega)$ на некотором множестве $U(y_0)\cap \Omega$. Отметим также, что описанная проблема остается нерешенной даже для семейства всех односвязных областей $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, конформно эквивалентных единичному кругу. В настоящее время можно утверждать лишь, что для любой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, справедливо неравенство $c_2(2, \Omega)\leqslant 1$ (как следствие конформно-инвариантных интегральных неравенств из спектральной теории уравнения Бельтрами, одной замечательной формулы Элстродта–Паттерсона–Салливана и принципа гиперболической метрики – см. [18; с. 102]). С указанной выше задачей связана следующая актуальная проблема: геометрически описать множество областей $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, для которых справедливо равенство В настоящее время известен ряд примеров невыпуклых областей, для которых имеет место равенство (15). Укажем два из них.Пример Э. Б. Дэвиса [49], [50]: константа $c_2(2,\Omega_{\beta})$ равна $1/4$ для углового сектора
$$
\begin{equation*}
\Omega_{\beta}=\{z=r e^{i\theta} \in {\mathbb C}\colon 0< r < 1, 0<\theta<\beta\}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда и только тогда, когда $\beta \leqslant \beta_0\approx 4.856$. Критическое значение угла определено Дэвисом численно, но для него можно указать и точную формулу (см., например, [10]):
$$
\begin{equation*}
\beta_0=3\pi-4 \operatorname{arctg} \frac{\Gamma^4(1/4)}{8\pi^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Ф. Г. Авхадиевым получен следующий результат [13]: для концентрического кольца константа $c_2(2,A_{rR})$ равна $1/4$ тогда и только тогда, когда $R/r \leqslant c^*\approx 36.6$. Критическое значение $c^*\approx 36.6$ отношения радиусов определяется из некоторого трансцендентного уравнения, содержащего гипергеометрические функции Гаусса.Кроме того, в статье [10] описано богатое семейство $\Theta_{1/4}(2)$ невыпуклых областей $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, обладающих свойством (15). Это семейство содержит области произвольной связности и имеет прямое отношение к областям, удовлетворяющим условию внешней сферы. Отметим также, что в статье [19] описаны 15 трудных нерешенных проблем, относящихся к неравенствам типа Харди–Реллиха и Пуанкаре–Фридрихса. Опишем теперь критерии Мазьи, Анконы и Фернандеса положительности констант в базовых неравенствах типа Харди. Критерии Анконы и Фернандеса относятся к двумерным областям. Рассмотрим сначала критерий Мазьи, в котором речь идет об областях размерности $n\geqslant 2$. Пусть $p\in (1,\infty)$. В области $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$, $\Omega \ne {\mathbb{R}^n}$, для функций $u\colon\Omega \to \mathbb{R}$ рассмотрим следующее неравенство типа Харди:
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}{|\nabla u(x)|^p\,dx}\geqslant c_p(\Omega)\int_{\Omega} \frac{|u(x)|^p\,dx}{\rho^{p}(x,\partial\Omega)} \quad \forall\,u \in C_0^{1} (\Omega),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\rho(x,\partial\Omega)$ – расстояние от точки $x=(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \Omega$ до границы этой области, $d x=dx_1\,dx_2 \cdots dx_n$ – дифференциальный элемент меры, а постоянная $c_p(\Omega)\in [0, \infty)$ определена как наибольшая постоянная, возможная на этом месте. Применительно к неравенству (16) критерий Мазьи можно сформулировать следующим образом. Пусть $\operatorname{Cap}_p (\mathbb{K}, \Omega)$ – $p$-емкость компакта $\mathbb{K}$, лежащего в области $\Omega$, определенная равенством
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cap}_p(\mathbb{K},\Omega)=\inf\biggl\{\int_{\Omega} |\nabla u(x)|^p\,dx\colon u \in C_0^{\infty} (\Omega), \ u(x)\geqslant 1 \ \forall\,x \in \mathbb{K}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 4.1 ([107], 1985 г.). Пусть $p\in (1, \infty)$. Постоянная $c_p(\Omega)$ удовлетворяет неравенству $c_p(\Omega)>0$ тогда и только тогда, когда существует конечная постоянная $S_p=S_p(\Omega)$ такая, что для любого компакта $\mathbb{K}\subset \Omega$ имеет место неравенство В случае $p>n$ можно указать явные оценки константы в изопериметрическом неравенстве Мазьи для произвольной области с применением следующей теоремы Ф. Г. Авхадиева. Теорема 4.2 ([9], 2006 г.). Пусть $p\in [1,\infty)$, $n\geqslant 2$, $s\in [n,\infty)$, и пусть $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ – произвольная область, удовлетворяющая лишь условию $\Omega \ne {\mathbb{R}^n}$. Тогда справедливо следующее неравенство типа Харди: Существуют области $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $\Omega\ne\mathbb{R}^n$, для которых постоянная $(s-n)^p/p^p$ является максимальной из возможных в этом неравенстве. Из теорем 4.1 и 4.2 очевидным образом вытекает следующее утверждение. Следствие 4.2.1. Пусть $n\geqslant 2$, и пусть $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ – область, $\Omega \ne {\mathbb{R}^n}$. Если $p\in (n,\infty)$, то для любого компакта $\mathbb{K}\subset \Omega$ имеет место следующее изопериметрическое неравенство Мазьи: Ясно, что постоянная $S_p(\Omega)$ и следствие 4.2.1 могут быть уточнены для ряда областей, для которых известны точные значения константы $c_p(\Omega)$. Приведем один пример. Известно, что при любом $p\in (1,\infty)$ имеет место равенство $c_p(\Omega)={(p-1)^p}/{p^p}$ для любой выпуклой области $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$, $\Omega \ne {\mathbb{R}^n}$ (см. [26] и [19]). Поэтому справедливо следующее утверждение. Следствие 4.2.2. Пусть $n\geqslant 2$, и пусть $\Omega \subset {\mathbb{R}^n}$ – выпуклая область, $\Omega \ne {\mathbb{R}^n}$. Тогда при любом $p\in (1,\infty)$ для любого компакта $\mathbb{K}\subset \Omega$ справедлива оценка Отметим, что В. М. Миклюков и М. Вуоринен [111] (1999 г.) рассмотрели обобщенные неравенства типа Харди на римановых многообразиях размерности $n\geqslant 2$ и для этих обобщенных неравенств доказали аналог теоремы 4.1. Вместо $p$-емкости в [111] использовались геометрические величины, связанные с изопериметрическим профилем риманова многообразия. Далее будем пользоваться комплексными переменными $z,w \in \mathbb{C}$. В дополнение к критерию Мазьи рассмотрим критерии Анконы и Фернандеса положительности констант Харди. В критериях Анконы и Фернандеса речь идет только о двумерных областях и рассматривается случай $p=n=2$ неравенства (16), т. е. в области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ изучается неравенство
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega}|\nabla u(z)|^2\,dx\,dy\geqslant c_2(\Omega)\int\!\!\!\int_{\Omega} \frac{|u(z)|^2\,dx\,dy}{\rho^2(z,\partial\Omega)} \quad \forall\,u \in C_0^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\rho(z,\partial\Omega)$ – расстояние от точки $z=x+iy \in \Omega$ до границы этой области, а постоянная $c_2(\Omega)\in [0,\infty)$ определена как наибольшая постоянная, возможная на этом месте. Обозначим
$$
\begin{equation*}
B_z(r)=\{w\in \mathbb{C}\colon |w-z|<r\}, \quad \partial B_z(r)=\{w\in \mathbb{C}\colon |w-z|=r\}
\end{equation*}
\notag
$$
и приведем необходимое определение А. Анконы [8]. Определение 4.1. Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – область такая, что $\Omega \ne {\mathbb{C}}$. Для каждой точки $z \in (\partial \Omega)\setminus \{\infty\}$ и каждого радиуса $r>0$ в открытом множестве $\Omega\cap B_z(r)$ определим гармоническую меру множества $\Omega\cap \partial B_z(r)$. Будем говорить, что граница области $\Omega$ является равномерно $\Delta$-регулярной, если существует постоянная $\varepsilon_1(\Omega) \in (0,1)$ такая, что для всех $z \in (\partial\Omega)\setminus \{\infty\}$ и $r>0$ гармоническая мера $\omega_{zr}(w)$, $w\in \Omega\cap B_z(r)$, удовлетворяет неравенству для всех $w\in \Omega \cap \partial B_z(r/2)$.Напомним, что гармоническим мерам посвящена монография Дж. Б. Гарнетта и Д. Э. Маршалла [73]. Критерий Анконы формулируется следующим образом. Теорема 4.3 ([8], 1986 г.). Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – область такая, что $\Omega \ne {\mathbb{C}}$. Неравенство $c_2(\Omega)>0$ справедливо тогда и только тогда, когда граница области $\Omega$ является равномерно $\Delta$-регулярной. Существенную роль в доказательстве играет следующая лемма Анконы. Лемма 4.1 ([8], 1986 г.). Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – область, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$. Неравенство $c_2(\Omega)>0$ имеет место тогда и только тогда, когда в области $\Omega$ существуют положительная супергармоническая функция $v(z)$ и постоянная $\varepsilon=\varepsilon(\Omega)>0$ такие, что в области $\Omega$ выполняется неравенство в смысле обобщенных функций, т. е. для любой функции $\psi \in C_0^{\infty}(\Omega)$, неотрицательной в области $\Omega$, Наибольшее из возможных значений $\varepsilon=\varepsilon(\Omega)$ и есть $c_2(\Omega)$. В свою очередь, обоснование леммы существенно опирается на теорему Лакса–Мильграма о представлении в пространстве Гильберта неотрицательной, непрерывной и коэрцитивной билинейной формы. Пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область гиперболического типа, т. е. область, имеющая не менее трех граничных точек. Тогда в каждой точке этой области определены коэффициент $\lambda_\Omega(z)$ метрики Пуанкаре с гауссовой кривизной $k=-4$ и гиперболический (конформный) радиус $R(z,\Omega)=1/\lambda_\Omega(z)$. Хорошо известно, что гиперболический радиус удовлетворяет уравнению Лиувилля $R(z,\Omega)\Delta R(z,\Omega)=|\nabla R(z,\Omega)|^2-4$ и в любой точке $z\in \Omega$ справедливо неравенство получаемое как простое следствие принципа гиперболической метрики.А. Ф. Бирдон и Х. Поммеренке изучали характеристику
$$
\begin{equation*}
\alpha(\Omega):=\inf_{z\in \Omega} \frac{\rho(z,\partial\Omega)}{R(z,\Omega)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Ими доказана следующая теорема. Теорема 4.4 ([31], 1978 г.). Для области $\Omega\subset\mathbb{C}$ гиперболического типа величина $\alpha(\Omega)$ положительна тогда и только тогда, когда конформный модуль любой двусвязной области $G \subset \Omega$, разделяющей границу области $\Omega$, не превосходит некоторой константы $L=L(\Omega)$. Далее будем считать, что $M(\Omega)$ – наименьшая из указанных констант $L= L(\Omega)$. Величину $M(\Omega)$ будем называть конформным максимальным модулем. Для любой односвязной области $\Omega\subset\mathbb{C}$ гиперболического типа справедливо неравенство $\alpha(\Omega)>0$ и мы полагаем $M(\Omega)=0$ (см. также определение 5.1 ниже). Это соглашение избавляет от необходимости особо выделять случай односвязных областей в формулировках ряда утверждений. Приводимый ниже критерий Фернандеса был установлен с использованием теоремы А. Ф. Бирдона и Х. Поммеренке, а также вышеприведенной леммы А. Анконы. Теорема 4.5 ([69], 1989 г.). Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – область гиперболического типа. Постоянная $c_2(\Omega)$ положительна тогда и только тогда, когда $M(\Omega)< \infty$. В частности, А. Анкона [8] доказал, что для любой односвязной области $\Omega \subset{\mathbb{C}}$ гиперболического типа имеет место неравенство $c_2(\Omega)\geqslant 1/16$. В следующем разделе мы приведем определение евклидова максимального модуля $M_0(\Omega)$, который может быть найден или оценен проще, чем характеристика $M(\Omega)$. 5. Конформный и евклидов максимальные модулиНапомним, что для двусвязной области $\Omega_2\subset\overline{\mathbb{C}}$, конформно эквивалентной кольцу
$$
\begin{equation*}
A(\Omega_2)=\{z \in {\mathbb{C}} \colon a < |z| < b\}, \qquad 0\leqslant a<b \leqslant \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
конформный модуль определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mod}(\Omega_2)=\frac{1}{2\pi}\ln\frac{b}{a} \in (0,\infty]
\end{equation*}
\notag
$$
с естественным соглашением о том, что $\operatorname{Mod}(\Omega_2)=\infty$ в случае, когда $a=0$ или $b=\infty$. Дадим теперь общее определение конформного максимального модуля $M (\Omega)$ области $\Omega \subset \overline{\mathbb{C}}$. Определение 5.1. Пусть $\Omega \subset \overline {\mathbb{C}}$ является областью, граница которой содержит не менее двух точек. Конформный максимальный модуль $M(\Omega)$ определяется следующим образом. 1) Если $\Omega$ является односвязной областью, то полагаем $M(\Omega)=0$. 2) Если $\Omega$ – двусвязная область, то $M(\Omega)$ равен конформному модулю этой двусвязной области, т. е.
$$
\begin{equation*}
M(\Omega):=\operatorname{Mod}(\Omega)= \frac{1}{2\pi}\ln\frac{b}{a} \in (0,\infty],
\end{equation*}
\notag
$$
в предположении, что область $\Omega$ является конформно эквивалентной концентрическому кольцу $\{z \in {\mathbb{C}} : a < |z| < b\}$, $0\leqslant a <b \leqslant \infty$. 3) Если область $\Omega$ является многосвязной, то полагаем где точная верхняя граница берется по всем двусвязным областям $\Omega_2$ таким, что $\Omega_2 \subset \Omega$ и $\Omega_2$ разделяет границу области $\Omega$, т. е. множество $\overline{\Omega} \setminus \Omega_2$ не является связным.Для случая двусвязных областей максимальный конформный модуль $M(\Omega)$ может быть определен также с применением пункта 3), что не противоречит пункту 2), так как хорошо известно, что при расширении двусвязной области ее модуль не убывает. Поясним также пункт 1) этого определения. Предполагается, что граница области $\Omega \subset \overline {\mathbb{C}}$ содержит не менее двух точек и эта область является односвязной. Отсюда следует, что такая область является конформно эквивалентной кругу. Мы считаем, что в этом случае $M(\Omega)=0$ по определению. Это равенство ниоткуда не следует и принято нами для удобства, а именно для того, чтобы не выделять случай односвязных областей как особый случай в формулировках ряда утверждений (ср. с соглашением $0!=1$). Для определения евклидова максимального модуля $M_0 (\Omega)$ нам потребуется множество $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega)$ концентрических колец
$$
\begin{equation*}
A= A(z_0; a,\, b):=\{z \in {\mathbb{C}}\colon a < |z-z_0| < b\},
\end{equation*}
\notag
$$
обладающих следующими свойствами: (i) кольцо $A(z_0; a,\, b)$ лежит в области $\Omega$, причем $0< a < b < \infty$; (ii) центр кольца $z_0$ лежит на границе области, т. е. на $\partial\Omega$; (iii) кольцо $A(z_0; a,\, b)$ разделяет границу области $\Omega$, т. е. каждая из двух областей
$$
\begin{equation*}
\{z\in \mathbb{C}\colon |z-z_0|<a\}, \quad \{z\in \overline{\mathbb{C}}\colon |z-z_0|> b\}
\end{equation*}
\notag
$$
содержит хотя бы одну граничную точку области $\Omega$. Очевидно, что множество $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega)$ может быть и пустым. Определение 5.2. Предположим, что $\Omega \subset \overline {\mathbb{C}}$ является областью, граница которой содержит не менее двух точек. Пусть $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega)$ – введенное выше множество колец. Евклидов максимальный модуль $M_0(\Omega)$ определяется следующим образом. 1) Если $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega)=\varnothing$, то полагаем $M_0(\Omega)=0$. 2) Если $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega)$ не является пустым множеством, то полагаем Если $M_0(\Omega)<\infty$, то, следуя Х. Поммеренке [128], говорят, что граница области $\Omega$ является равномерно совершенным множеством. По определению конформный максимальный модуль $M(\Omega)$ равен нулю тогда и только тогда, когда $\Omega$ является односвязной областью, конформно эквивалентной единичному кругу. Определение $M_0(\Omega)$ не связано с конформными отображениями. Следующий пример из обзорной статьи [19] показывает, что евклидов максимальный модуль $M_0 (\Omega)$ может быть равным нулю и для многосвязных областей. Пример 5.1. Пусть $\mathbb{K}$ – классическое канторово множество, лежащее на отрезке $[0,1]$, и пусть $\Omega_0:=\{x+iy\in \mathbb{C}\colon|x|<\infty,|y|<1\}$. Рассмотрим многосвязную область полученную удалением из полосы $\Omega_0$ частокола из отрезков, “вбитых” в точки классического канторова множества. Тогда так как $\mathbb{A}\mathrm{nn}(\Omega(\mathbb{K}))= \varnothing$. Из определений следует, что $0\leqslant M_0(\Omega)\leqslant M(\Omega)$. Л. Карлесон и Т. У. Гамелин [38] (1993 г.) установили следующее замечательное свойство:
$$
\begin{equation*}
M_0(\Omega)<\infty\ \ \Longleftrightarrow\ \ M(\Omega)<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что эта эквивалентность уточнялась в ряде работ. В частности, в книге Ф. Г. Авхадиева и К.-Й. Виртса [25] (2009 г.) доказано, что
$$
\begin{equation*}
M_0(\Omega)\leqslant M(\Omega)\leqslant M_0(\Omega)+\frac{1}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
для любой области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, граница которой содержит не менее двух точек. В случае областей $\Omega \ni \infty$ справедлив следующий аналог этого неравенства (см. [11], 2015 г.):
$$
\begin{equation*}
M_0(\Omega)\leqslant M(\Omega)\leqslant 2 M_0(\Omega)+1
\end{equation*}
\notag
$$
для любой области $\Omega \subset \overline{\mathbb{C}}$, граница которой содержит не менее двух точек. Для областей $\Omega \subset \mathbb{C}$ (и только для них) справедливо следующее утверждение, восходящее к А. Ф. Бирдону и Х. Поммеренке [31]. Пусть $\Omega\subset {\mathbb{C}}$ – область гиперболического типа. Тогда справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\max_{z\in \Omega}\frac{R(z,\Omega)}{\rho(z,\partial\Omega)} \leqslant 2\pi M_0(\Omega)+\frac{\Gamma^4(1/4)}{2\pi^2}\,.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Это неравенство можно найти в книге [25]. Оно является уточненной формулировкой оценок из упомянутой выше статьи [31]. Приведем еще одно утверждение о связи коэффициента метрики Пуанкаре $\lambda_\Omega(z)$ и гиперболического радиуса $R(z,\Omega):= 1/\lambda_\Omega(z)$ с конформными отображениями единичного круга на область $\Omega$. Теорема 5.1 ([17], 2019 г.). Пусть $\Omega\subset \overline{\mathbb{C}}$ – область гиперболического типа, и пусть $f\colon\mathbb{D} \to \Omega$ – локально конформное накрывающее отображение круга $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\colon |z|<1\}$ на область $\Omega$ (в частности, если $\Omega$ – односвязная область, то $f\colon\mathbb{D} \to \Omega$ – однолистное конформное отображение круга $\mathbb{D}$ на область $\Omega$). Тогда справедливо тождество где $z=f(\zeta) \in \Omega$, $S_f(\zeta)$ – шварциан функции $f$ в точке $\zeta \in \mathbb{D}$. Как правило, вычисление точного значения $\operatorname{Mod}(\Omega)$ представляет собой трудную задачу. Приведем пример, построенный с использованием известных результатов О. Тейхмюллера и Л. Альфорса (см. [4]). Пример 5.2. Пусть $t\in (0,\infty)$ и $H_+=\{z\in \mathbb{C}\colon \operatorname{Re}z>0\}$. Рассмотрим двусвязную область $\Omega_t= H_+\setminus \bigl[\sqrt{t}\,,\sqrt{t+1}\,\bigr]$. Функция $f(z)=t-z^2$ однолистно и конформно отображает область $\Omega_t$ на “кольцо Тейхмюллера” $A_t:=\mathbb{C}\setminus([-1,0]\cup [t,\infty))$. Следовательно, $\operatorname{Mod}(\Omega_t)=\operatorname{Mod}(A_t)$, $\operatorname{Mod}(\Omega_1)=1/2$ и имеет место следующая формула Альфорса (см. [4]): Известно, что модуль $\operatorname{Mod}(\Omega_t)=\operatorname{Mod}(A_t)$ является монотонно возрастающей функцией от $t\in (0,\infty)$, причем Пусть $\varepsilon \in (0,\infty)$, $t \in (0,\infty)$, и пусть $\varepsilon\Omega_t= H_+\setminus \bigl[\varepsilon\sqrt{t}\,, \varepsilon\sqrt{t+1}\,\bigr]$ – образ области $\Omega_t$ при конформном отображении $w=\varepsilon z$. Тогда $\operatorname{Mod}(\Omega_t)>0$ и при этом6. Условие $M_0(\Omega)<\infty$ – критерий положительности ряда константВ этом разделе описаны результаты Ф. Г. Авхадиева, связанные с критерием положительности ряда констант в неравенствах типа Харди–Реллиха, и сопутствующие оценки. Первый результат связан с неравенством, параметрически обобщающим неравенство (18). Пусть $p\in [1,\infty)$. В области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, для функций $u\colon\Omega \to \mathbb{R}$ рассмотрим следующее неравенство типа Харди:
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega} \frac{|\nabla u(z)|^p\,dx\,dy}{\rho^{2-p}(z,\partial\Omega)} \geqslant c_p(2, \Omega)\int\!\!\!\int_{\Omega}\frac{|u(z)|^p\,dx\,dy} {\rho^2(z,\partial\Omega)} \quad \forall\,u \in C_0^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{22}
$$
где постоянная $c_p(2,\Omega)\in [0,\infty)$ определена как наибольшая постоянная, возможная на этом месте. Очевидно, что $c_2(2,\Omega)=c_2(\Omega)$, где $c_2(\Omega)$ – наибольшая возможная константа из неравенства (16). Поэтому критерий Фернандеса равносилен следующему утверждению: Постоянная $c_2(2,\Omega)$ положительна тогда и только тогда, когда граница области $\Omega$ является равномерно совершенным множеством. Ф. Г. Авхадиеву удалось найти новое доказательство этого утверждения и обобщение на случай любого $p\in [1,\infty)$. В частности, это доказательство не использует указанную выше лемму Анконы. Устанавливается следующая двусторонняя оценка:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{16(\pi M_0(\Omega)+\gamma_0)^{4}}\leqslant c_2(2,\Omega)=c_2(\Omega)\leqslant \frac{1}{4 M_0^2(\Omega)}\quad (\gamma_0=\frac{\Gamma^{4}(1/4)}{4\pi^2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Эти оценки показывают, что постоянная $c_2(2,\Omega)=c_2(\Omega)$ положительна тогда и только тогда, когда $M_0(\Omega)<\infty$. Для формулировки критерия нужны обе оценки, но нижняя оценка ценна еще тем, что миноранта “идет в неравенство”. А именно, справедливо следующее утверждение. Предложение 6.1. Пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Если евклидов максимальный модуль удовлетворяет неравенству $M_0(\Omega)<\infty$, то Для области $\Omega(\mathbb{K})$ из вышеприведенного примера 5.1, определенной в (19), евклидов максимальный модуль $M_0(\Omega(\mathbb{K}))$ равен нулю. Как следствие, в этой области справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\int\!\!\!\int_{\Omega(\mathbb{K})}|\nabla u(z)|^2\,dx\,dy\geqslant \frac{16\pi^8}{\Gamma^{16}(1/4)}\int\!\!\!\int_{\Omega(\mathbb{K})} \frac{|u(z)|^2\,dx\,dy}{\rho^2(z,\partial\Omega(\mathbb{K}))} \quad \forall\,u \in C_0^{1}(\Omega(\mathbb{K})).
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем основное утверждение о неравенстве (22). Теорема 6.1 ([9], 2006 г.). Предположим, что $p\in [1,\infty)$ и $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Тогда т. е. постоянная $c_p(2,\Omega)$ является положительным число в том и только том случае, когда граница области $\Omega\subset\mathbb{C}$ является равномерно совершенным множеством. Имеют место неравенства Рассмотрим теперь следующее неравенство типа Реллиха:
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_\Omega\frac{|\Delta u(z)|^2\,dx\,dy}{\rho^{s-4}(z,\partial\Omega)} \geqslant C^*_2(s,\Omega)\int\!\!\!\int_\Omega\frac{|u(z)|^2\,dx\,dy} {\rho^s(z,\partial\Omega)} \quad \forall\,u\in C_0^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $s \in \mathbb{R}$ – фиксированное число, постоянная $C^*_2(s,\Omega)\in [0,\infty)$ определена как наибольшая из возможных в неравенстве (23). Теорема 6.2 ([12], 2016 г.). Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – область такая, что $\Omega \ne {\mathbb{C}}$. Тогда и справедливы оценки Открытая проблема. Доказать или опровергнуть следующее утверждение: если $m\in \mathbb{Z}\setminus\{1,2\}$, то
$$
\begin{equation*}
M_0(\Omega)<\infty \ \ \Longleftrightarrow \ \ C^*_2(2m,\Omega)>0
\end{equation*}
\notag
$$
на множестве областей $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ таких, что $\Omega \ne {\mathbb{C}}$. В статье [16] доказана следующая импликация:
$$
\begin{equation*}
M_0(\Omega)<\infty \ \ \Longleftarrow\ \ C^*_2(2m,\Omega)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $m$ – фиксированное натуральное число, $m\geqslant 2$, и пусть $\Delta^{m/2}$ – полигармонический оператор, определяемый формулами
$$
\begin{equation*}
\Delta^{m/2}u:=\begin{cases} \Delta^j u,&\text{если } m=2j - \text{ четное число}, \\ \nabla(\Delta^j u),&\text{если } m=2j+1 - \text{ нечетное число}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $u$ – гладкая вещественнозначная функция, заданная в некоторой области. Рассмотрим неравенство типа Реллиха:
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega}|\Delta^{m/2} u(z)|^2\,dx\,dy\geqslant A_m(\Omega)\int\!\!\!\int_{\Omega}\frac{|u(z)|^2\,dx\,dy} {\rho^{2m}(z,\partial\Omega)}\quad \forall\,u\in C_0^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{24}
$$
где постоянная $A_m(\Omega) \in [0,\infty)$ выбрана наибольшей из возможных. Очевидно, что $A_2(\Omega)=C^*_2(4,\Omega)$, поэтому теорема 6.2 непосредственно связана со следующим утверждением. Теорема 6.3 ([14], 2018 г.). Пусть $m \in \mathbb{N}$, $m\geqslant 2$. Для области $\Omega \subset \mathbb{C}$, $\Omega \ne \mathbb{C}$, константа $A_m(\Omega)$ является положительным числом тогда и только тогда, когда $\partial\Omega$ – равномерно совершенное множество. Кроме того, имеет место оценка Оценки, приведенные в теоремах 6.1 и 6.3, позволяют получить следующее утверждение. Предложение 6.2. Пусть $m \in \mathbb{N}$, $m\geqslant 2$, и пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Если $M_0(\Omega)<\infty$, то где $\gamma_0={\Gamma^{4}(1/4)}/{(4\pi^2})$. Заманчивой является идея рассмотреть $L_p$-версии неравенств (23) и (24) для $p\in [1,\infty)$ и получить аналоги теорем 6.2 и 6.3 для новых констант при $p\ne 2$. Эту идею удается реализовать лишь частично, так как для изучения случая $p\ne 2$ методы доказательства предыдущих теорем оказываются непригодными. Тем не менее в недавней статье [20] (2022 г.) Ф. Г. Авхадиевым получены аналоги теоремы 6.2, связанные с $L_p$-версиями неравенства (23). А именно, в области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$, $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, рассмотрены следующие аналоги неравенства типа Реллиха (23) для функций $u\colon\Omega \to \mathbb{R}$:
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega} \frac{|\Delta u|^p\,dx\,dy}{\rho^{2-2p}(z,\partial\Omega)} \geqslant C^*_p(2,\Omega)\int\!\!\!\int_{\Omega}\frac{|u|^p\,dx\,dy} {\rho^2(z,\partial\Omega)} \quad \forall\,u \in C_0^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega}\frac{|\Delta u|^p\,dx\,dy}{\rho^{2-2p}(z,\partial\Omega)} \geqslant C^{**}_p(2,\Omega)\int\!\!\!\int_{\Omega}|u|^{p-2}|\nabla u|^2\,dx\,dy \quad \forall\,u \in C_0^\infty(\Omega),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $u=u(z)$, а величины $C^{*}_p(2,\Omega)$ и $C^{**}_p(2,\Omega)$ определены как постоянные, наибольшие из возможных. Доказана следующая теорема. Теорема 6.4 ([20], 2022 г.). Предположим, что $p\in [2,\infty)$ и $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Тогда Применяя неравенства (20), (25), (26), (27) и (28), получаем следующие два утверждения. Предложение 6.3. Пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Если $p\in [2,\infty)$ и евклидов максимальный модуль области $\Omega$ удовлетворяет условию $M_0(\Omega)< \infty$, то для любой функции $u \in C_0^\infty(\Omega)$. Предложение 6.4. Пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\Omega\ne\mathbb{C}$. Если $p\in [2,\infty)$ и евклидов максимальный модуль области $\Omega$ удовлетворяет условию $M_0(\Omega)< \infty$, то для любой функции $u \in C_0^\infty (\Omega)$. Далее мы наметим доказательство ряда улучшенных оценок констант в неравенствах типа Харди и Реллиха для односвязных и двусвязных областей. Для этого нам потребуются несколько утверждений из геометрической теории функций комплексного переменного. В области $\Omega \subset\overline{\mathbb{C}}$ гиперболического типа рассмотрим неравенство
$$
\begin{equation}
\int\!\!\!\int_{\Omega}|\nabla u (z)|^2 \,dx\,dy \geqslant h_2(\Omega) \int\!\!\!\int_\Omega\frac{|u(z)|^2\,dx\,dy}{R^2(z,\Omega)} \quad \forall\,u \in C_0^1(\Omega),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $z=x+iy$, а константа $h_2(\Omega)$ является точной, т. е. максимальной из возможных. Это неравенство является конформно инвариантным аналогом неравенства Фридрихса–Пуанкаре и изучается в гиперболической геометрии (см., например, статью Д. Салливана [144]). Из множества результатов, относящихся к неравенству (29), нам сейчас потребуется лишь следующий факт (см., например, статьи Х. Л. Фернандеса [69], Х. Л. Фернандеса и Х. М. Родригеса [70]): для любой односвязной или двусвязной области $\Omega \subset\overline{\mathbb{C}}$ гиперболического типа имеет место равенство $h_2(\Omega)=1$. Укажем обобщение этого факта. Для любого $p\in [1,\infty)$ в односвязных и двусвязных областях имеет место конформно инвариантное неравенство, обобщающее (29) и изложенное в следующей теореме. Теорема 6.5 (см. [11]). Если $p\in [1,\infty)$ и $\Omega$ – односвязная или двусвязная область гиперболического типа, то для любой вещественнозначной функции $u\in C_0^\infty(\Omega)$ имеет место неравенство причем константа $2^p/p^p$ является точной, т. е. максимальной из возможных, при любом $p\in [1,\infty)$ и любой односвязной или двусвязной области $\Omega \subset\overline{\mathbb{C}}$ гиперболического типа. Для константы $c_p(2,\Omega)$ из неравенства (22) справедливо следующее утверждение. Предложение 6.5. Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – односвязная область гиперболического типа. Тогда: (i) если $p\in [1,2]$, то $2^{p-4}/p^p\leqslant c_p(2,\Omega)\leqslant 2^{4-p}/p^p$; (ii) если $p\in [2,\infty)$, то ${1}/{(2p)^p}\leqslant c_p(2,\Omega)\leqslant {2^{p}}/{p^p}$. При обосновании указанных оценок используется теорема 6.5 и следующее утверждение: для односвязной области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ гиперболического типа имеют место неравенства $R(z,\Omega)/4\leqslant \rho(z,\partial\Omega) \leqslant R(z,\Omega)$, $z\in \Omega$, в силу теоремы Кёбе об одной четвертой и принципа гиперболической метрики. Рассмотрим подробно вывод оценок лишь в одном из случаев. Пусть $p\in [1,2]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{R^{2-p}(z,\Omega)}\leqslant \frac{1}{\rho^{2-p}(z,\partial\Omega)}\,, \quad \frac{1}{R^{2}(z, \Omega)}\geqslant \frac{1}{16 \rho^2(z,\partial\Omega)}\,, \qquad z\in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (30) влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\int\!\!\!\int_{\Omega} \frac{|\nabla u (z)|^p\,dx\,dy}{\rho^{2-p}(z,\partial\Omega)} \geqslant \frac{2^p}{16 p^p} \int\!\!\!\int_\Omega\frac{|u(z)|^p\, dx\,dy}{\rho^2(z,\partial\Omega)} \quad \forall\,u\in C_0^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку константа $c_p(2,\Omega)$ определена как наибольшая величина в подобном неравенстве (22), верна оценка: $c_p(2,\Omega)\geqslant 2^{p-4}/p^p$. Далее, для $p\in [1,2]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{4^{2-p}}{R^{2-p}(z,\Omega)}\geqslant \frac{1}{\rho^{2-p}(z,\partial\Omega)}\,, \quad \frac{1}{R^{2}(z,\Omega)}\leqslant \frac{1}{\rho^2(z,\partial\Omega)}\,, \qquad z\in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому (22) влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\int\!\!\!\int_{\Omega} \frac{|\nabla u (z)|^p\,dx\,dy}{R^{2-p}(z,\Omega)} \geqslant\frac{c_p(2,\Omega)}{4^{2-p}} \int\!\!\!\int_\Omega \frac{|u(z)|^p\,dx\,dy}{R^{2}(z,\Omega)} \quad \forall\,u\in C_0^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом максимальности $2^p/p^p$ в неравенстве (30) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\frac{c_p(2, \Omega)}{4^{2-p}}\leqslant \frac{2^p}{ p^p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $c_p(2,\Omega)\leqslant 2^{4-p}/p^p$. В случае двусвязных областей для константы $c_p(2,\Omega)$ из (22) справедливо следующее утверждение. Предложение 6.6. Пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – двусвязная область гиперболического типа, причем $M_0(\Omega)<\infty$. Тогда: (i) если $p\in [1,2]$, то
$$
\begin{equation*}
\frac{2^{p}}{p^p(4 M_0(\Omega)+2+2\sqrt{2}\,)^2}\leqslant c_p(2, \Omega)\leqslant \min\biggl\{\frac{2^{p}}{p^p}\,,\frac{1}{2^{-p}M_0(\Omega)^p}\biggr\};
\end{equation*}
\notag
$$
(ii) если $p\in [2,\infty)$, то Обоснование нижних оценок проводится по схеме доказательства предложения 6.5 с использованием теоремы 6.5 и следующего утверждения: для двусвязной области $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ гиперболического типа
$$
\begin{equation*}
\frac{R(z,\Omega)}{4M_0(\Omega)+2+2\sqrt{2}} \leqslant \rho(z,\partial\Omega)\leqslant R(z,\Omega), \qquad z\in \Omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Левая оценка доказана в статье [17]. Эта оценка асимптотически точна при $M(\Omega)\to \infty$ в следующем смысле: для любой последовательности двусвязных областей $\Omega_n \subset \mathbb{C}$ с конечными модулями $M(\Omega_n)$ такими, что $M(\Omega_n)\to \infty$ при $n\to \infty$, справедливо равенство (см. [17])
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}\,\frac{1}{4M_0(\Omega_n)}\, \sup_{z\in \Omega_n}\,\frac{R(z,\Omega_n)}{\rho(z,\partial\Omega_n)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем правые оценки для $c_p(2,\Omega)$. Пусть $p\in [2,\infty)$. Тогда из (22) в силу неравенства $\rho(z,\partial\Omega)\leqslant R(z,\Omega)$ вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\int\!\!\!\int_{\Omega}\frac{|\nabla u(z)|^p\,dx\,dy}{R^{2-p}(z,\Omega)} \geqslant {c_p(2,\Omega)} \int\!\!\!\int_\Omega\frac{|u(z)|^p\,dx\,dy}{R^{2}(z,\Omega)}\quad \forall\,u\in C_0^1(\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом максимальности ${2^p}/{p^p}$ в неравенстве (30) получаем, что Комбинируя эту оценку с правой оценкой для константы $c_p(2,\Omega)$ в теореме 6.1, приходим к требуемому утверждению. Отметим, что правая оценка при $p=2$ влечет неравенство $c_2(2,\Omega)\leqslant 1$. Правая оценка для $c_p(2,\Omega)$ в случае $p\in [1,2]$ является следствием трех фактов: оценки $c_2(2,\Omega)\leqslant 1$, неравенства $c_p(2,\Omega)\leqslant (2/p)^p c_2^{p/2}(2,\Omega)$ (см. [9]) и правой оценки для константы $c_p(2,\Omega)$ в теореме 6.1. Применяя нижние оценки для константы $c_2(2,\Omega)=c_2(\Omega)$, а также неравенства
$$
\begin{equation*}
\sqrt{C^*_2(2,\Omega)}\geqslant c_2(\Omega),\quad A_m(\Omega)\geqslant \bigl((m-1)!\bigr)^2 c_2(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем следующие два предложения. Предложение 6.7. Пусть $m \in \mathbb{N}$, $m\geqslant 2$, и пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – односвязная область гиперболического типа. Тогда для любой вещественнозначной функции $u\in C_0^\infty(\Omega)$ имеют место следующие неравенства: Предложение 6.8. Пусть $m \in \mathbb{N}$, $m\geqslant 2$, и пусть $\Omega \subset {\mathbb{C}}$ – двусвязная область гиперболического типа. Если евклидов максимальный модуль области $\Omega$ удовлетворяет условию $M_0(\Omega)<\infty$, то для любой вещественнозначной функции $u\in C_0^\infty(\Omega)$ имеют место следующие неравенства: Далее мы приведем несколько интегральных неравенств в слабо выпуклых областях. Нам потребуется скалярное произведение $\nabla u(z)\cdot \nabla \rho(z,\partial\Omega)$ и внутренний радиус $\rho(\Omega)$ области $\Omega\subset\mathbb{C}$, определяемый равенством
$$
\begin{equation*}
\rho(\Omega)=\sup_{z\in \Omega}\rho(z,\partial\Omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что для ограниченных областей и для ряда неограниченных областей $\Omega\subset\mathbb{C}$ точную верхнюю границу можно заменить на максимум, тогда внутренний радиус $\Omega$ совпадает с радиусом максимального круга, вложенного в область $\Omega$. Для формулировки следующего результата нужна константа $\Lambda_2$, введенная в статье [10]. Рассмотрим голоморфное в области $\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]$ решение гипергеометрического уравнения Гаусса
$$
\begin{equation*}
\zeta(1-\zeta)\eta''+(1+2\zeta)\eta'-\frac{1}{2}\eta=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее пользуемся решением $\eta(\zeta)$ этого уравнения лишь при вещественных значениях $\zeta=\operatorname{Re}\zeta=\xi \in (0,\infty)$. Пусть $v(\xi):=\eta(1+\xi)$. Через $\Lambda_2$ обозначим первый положительный корень трансцендентного уравнения типа Лэмба: В [10] доказано, что такой корень существует, причем $\Lambda_2\approx 2.49$. Выражения “условие внешней сферы” и “условие внешнего шара” можно найти с различными толкованиями. Будем пользоваться следующим определением. Определение 6.1. Пусть $\lambda$ – фиксированное положительное число. Будем говорить, что область $\Omega\subset\mathbb{C}$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, если $\Omega \ne {\mathbb{C}}$ и для любой граничной точки $\zeta\in (\partial\Omega) \setminus\{\infty\}$ существует такая точка $a_\zeta \in \mathbb{C}\setminus \overline{\Omega}$, что $|\zeta-a_\zeta|=\lambda$ и круг $D_\zeta =\{z\in \mathbb{C}\colon |z-a_\zeta| <\lambda\}$ лежит в области $\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}$. Если область $\Omega\subset\mathbb{C}$ в этом определении является ограниченной, то условие $\Omega \ne {\mathbb{C}}$ выполняется автоматически и $(\partial\Omega)\setminus\{\infty\}=\partial\Omega$. Очевидно, что если область $\Omega\subset\mathbb{C}$ является выпуклой и $\Omega \ne {\mathbb{C}}$, то такая область является $\lambda$-близкой к выпуклой для любого $\lambda\in (0,\infty)$. Геометрические требования на область $\Omega\subset\mathbb{C}$ в этом определении связаны с условиями слабой выпуклости по Ефимову–Стечкину и по Виалю (см. статьи [67], [88], [146], [147]). Отметим, что требования на область в определении 6.1 гарантируют, что множество внутренних точек $\overline{\Omega}$ совпадает с областью $\Omega$ и, кроме того, область $\Omega$ является одной из компонент множества внутренних точек некоторого множества $X\subset\mathbb{R}^n$, $r$-слабо выпуклого по Ефимову–Стечкину с радиусом $r=\rho(\Omega)/\Lambda_2$. Теорема 6.6 ([21], 2022 г.). Предположим, что $p\in [2,\infty)$, и пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – невыпуклая область такая, что $\rho(\Omega)<\infty$. Если область $\Omega\subset\mathbb{C}$ является $\lambda$-близкой к выпуклой, причем $\lambda\geqslant\rho(\Omega)/\Lambda_2$, то имеют место неравенства Приведем простой пример области, удовлетворяющей условиям теоремы 6.6. Пример 6.1 [21]. Пусть $\Omega_2 \subset \mathbb{C}$ – “крестообразная” область, ограниченная гиперболами и определенная формулой Очевидно, что единичный круг с центром в начале координат лежит в $\Omega_2$ и радиус любого другого круга, лежащего в этой области, меньше единицы. Поэтому радиус максимального открытого круга, содержащегося в области $\Omega_2$, равен $\rho(\Omega_2)=1$. Нетрудно видеть, что область $\Omega_2$ является $\lambda$-близкой к выпуклой с радиусом $\lambda=\min R(x)$, где $R(x)$ – радиус кривизны гиперболы $y=1/x$, $0<x<\infty$, в точке $(x,1/x)$. Так как то $\lambda=\lambda(\Omega_2)=\sqrt{2}$ . Ясно, что $\lambda \geqslant \rho(\Omega_2)/ \Lambda_2$, поскольку $\Lambda_2\approx 2.49$. Поэтому область $\Omega=\Omega_2$ удовлетворяет условиям теоремы и в этой области имеют место неравенства с точными константами, указанные в теореме 6.6. Ряд других неравенств типа Харди и Реллиха в невыпуклых областях, являющихся $\lambda$-близкими к выпуклым, доказаны Ф. Г. Авхадиевым в статье [15]. В частности, справедливо следующее утверждение (см. [15; случай $d=s=2$ теоремы 2.1]). Теорема 6.7. Пусть $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\lambda$-близкая к выпуклой с радиусом $\lambda=\lambda_0(\Omega)\in (0,\infty)$. Предположим, что $p \in [1,\infty)$ и внутренний радиус области удовлетворяет условию $\rho(\Omega)\in (0,\infty)$. Тогда для любой функции $u\in C_0^{\infty}(\Omega)$ имеет место неравенство где $\gamma=1+\rho(\Omega)/\lambda_0(\Omega)$. Отметим, что в статье [22] доказана полезная оценка
$$
\begin{equation*}
e^{2\pi M_0(\Omega)}\leqslant 1+\frac{\rho(\Omega)}{\lambda_0(\Omega)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega\subset\mathbb{C}$ – область, $\lambda$-близкая к выпуклой с $\lambda=\lambda_0(\Omega)\in (0,\infty)$. Попутно укажем, что в [22] читатель найдет ряд применений неравенств типа Харди к оценкам жесткости кручения по Сен-Венану и первого собственного значения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
7. Об одной задаче В. Ю. ПротасоваВ данном разделе приводится результат, в основе которого лежит классический результат Харди для последовательностей. Пусть $c_0,c_1,c_2,\ldots$ – последовательность комплексных чисел. Тогда классическое неравенство Харди для последовательностей может быть записано так:
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty\biggl|\frac{c_0+c_1+\cdots+c_n}{n+1}\biggr|^p \leqslant \biggl(\frac{p}{p-1}\biggr)^p\sum_{n=0}^\infty|c_n|^p, \qquad p>1.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $p=2$ это неравенство эквивалентно утверждению о том, что оператор Чезаро ${\mathcal C}f$, введенный в разделе 3, ограничен в пространстве Харди $H_2$, причем его норма равна 2. Пусть $p_n$ – алгебраический многочлен степени $n$ с нулями в точках $z_1,\dots,z_n$. Наипростейшей дробью называется логарифмическая производная многочлена $p_n$:
$$
\begin{equation*}
g_n(t)=\frac{f_n'(t)}{f_n(t)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{t-z_k}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти дроби обладают рядом замечательных свойств, а также имеют ряд физических интерпретаций, например, в электростатике. Подробные исторические сведения о наипростейших дробях изложены в обзорной статье В. И. Данченко, М. А. Комарова и П. В. Чунаева [45]. Будем предполагать, что $z_k=x_k+i y_k \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$, $1 \leqslant k \leqslant n$. В работе [133] В. Ю. Протасовым исследована сходимость наипростейших дробей. При помощи нетривиальных свойств преобразования Гильберта он показал, что если
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{|y_k|^{1/q}} < \infty, \qquad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,
\end{equation}
\tag{31}
$$
то функциональный ряд сходится в $L_p(\mathbb{R})$. Им поставлена задача: найти необходимые и достаточные условия сходимости ряда $g_\infty$, и показано, что в случае, когда все точки $z_k$ лежат в угле $\{|z| \leqslant C|y|\}$ с фиксированным $C$, необходимым условием сходимости ряда $g_\infty$ является неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{|y_k|^{1/q+\varepsilon}} < \infty.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Ясно, что достаточное условие (31) весьма близко к необходимому условию (32). Однако между данными условиями имеется некоторый зазор, который был устранен в работе [90] путем получения достаточного условия сходимости типа (31), которое оказалось необходимым условием в предположении, что все полюсы $z_n$ лежат в некотором угле $\{|z| \leqslant C|y|\}$ с фиксированным $C$. Полученное условие имеет вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{p-1}}{|y_k|^{p-1}} < \infty.
\end{equation}
\tag{33}
$$
С использованием упоминавшегося неравенства Харди для последовательностей в работе [90] доказана следующая теорема. Теорема 7.1. Пусть $p>1$. Если выполнено условие (33), то ряд сходится в $L_p(\mathbb{R})$. Обратно, если этот ряд сходится в $L_p(\mathbb{R})$, последовательность $|y_n|$ упорядочена по возрастанию и $|z_k| \leqslant C|y_k|$, то выполнено условие (33). Следует отметить, что условие сходимости (33) хотя и близко к (31), но не следует из него. Соответствующий пример нетрудно построить. 8. Модули четырехсторонников и двусвязных областейВажную роль в геометрической теории функций играют конформные модули. Начнем с модулей так называемых четырехсторонников. Четырехсторонником $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$ на плоскости называется жорданова область $Q$ на сфере Римана с четырьмя отмеченными точками $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $z_4$ на ее границе; будем считать, что возрастание индекса $j$ точки $z_j$ соответствует положительному обходу границы $\partial Q$. Точки $z_j$ называются вершинами четырехсторонника $\boldsymbol{Q}$. Конформный модуль четырехсторонника $\boldsymbol{Q}$ можно определить несколькими эквивалентными способами. Первый состоит в использовании конформных отображений. Из классической теоремы Римана следует, что существует конформное отображение $f$ области $Q$ на прямоугольник $[0,1]\times [0,h]$, $h>0$, такое, что точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $z_4$ переходят в $0$, $1$, $1+ih$ и $ih$. Нетрудно установить, что число $h$ определено однозначно; оно называется конформным модулем $\boldsymbol{Q}$. В этом случае будем писать Другой способ определения модуля состоит в использовании понятия экстремальной длины $\lambda(\Gamma)$ семейства кривых $\Gamma$ (см., например, [3]). Если $\Gamma$ – семейство кривых в области $Q$, соединяющих стороны $z_1z_2$ и $z_3z_4$ четырехсторонника $\boldsymbol{Q}$, то $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q})=\lambda(\Gamma)$. Если же мы рассмотрим семейство $\Gamma_1$ кривых, соединяющих стороны $z_2z_3$ и $z_1z_4$ в $Q$, то $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q})=1/\lambda(\Gamma_1)$. Наконец,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q})= \biggl(\inf_u\int\!\!\!\int_Q|\nabla u|^2\,dx\,dy\biggr)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем гладким функциям $u$ в $Q$, непрерывным в $\overline{Q}$, которые равны нулю на граничной дуге $z_1z_2$ и единице на дуге $z_3z_4$; хорошо известно, что этот инфимум на самом деле является минимумом и достигается на гармонической функции. Для четырехсторонника $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$ можно определить сопряженный с ним четырехсторонник $\boldsymbol{Q}^*=(Q;z_2,z_3,z_4,z_1)$. Очевидно, что $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}^*)= 1/\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q})$. Предположим, что $Q$ – ограниченная жорданова область в $\mathbb{C}$, $L=\partial Q$ и $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ – некоторые точки на $L$, удовлетворяющие описанным выше требованиям. Рассмотрим соответствующий четырехсторонник $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$. Величину $\operatorname{Mod}(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$ будем называть внутренним модулем. Если рассмотреть четырехсторонник $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{c}}:=(Q^{\mathrm{c}};z_4,z_3,z_2,z_1)$, где $Q^{\mathrm{c}}$ – это дополнение $Q$ до сферы Римана, то в этом случае $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{c}})$ естественно назвать внешним модулем. Конформные модули играют важную роль в геометрической теории функций и ее приложениях. Они инвариантны при конформных отображениях, а при квазиконформных – квазиинвариантны. Более точно, если $f$ есть $K$-квазиконформное отображение жордановой области $Q$ на жорданову область $D$, при котором четыре точки $z_1$, $z_2$, $z_3$ и $z_4$ на границе $Q$ переходят в четыре точки $\zeta_1$, $\zeta_2$, $\zeta_3$ и $\zeta_4$ на границе $D$, то для четырехсторонников $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$ и $\boldsymbol{D}=(D;\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4)$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
K^{-1}\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q})\leqslant \operatorname{Mod}(\boldsymbol{D})\leqslant K\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это свойство позволяет использовать модули при получении различных оценок для конформных и квазиконформных отображений. Тесно связаны с конформными модулями четырехсторонников конформные модули двусвязных областей. Если $G$ – двусвязная область с невырожденными границами, то ее можно отобразить конформно на концентрическое кольцо $1<|\zeta|<q$ (см., например, [74]). Число $q\in(1,\infty)$ не зависит от выбора конформного отображения, модуль двусвязной области $G$ по определению есть Так же как и в случае четырехсторонников, существуют другие характеризации модуля двусвязной области, которые можно взять за его определение. Например, можно показать, что $\operatorname{Mod}(G)=\lambda(\Gamma)$, где $\lambda(\Gamma)$ – экстремальная длина семейства кривых $\Gamma$, соединяющих в $G$ граничные компоненты. Кроме того, $\operatorname{Mod}(G)=1/\lambda(\Gamma')$, где $\lambda(\Gamma')$ – экстремальная длина семейства кривых $\Gamma'$, разделяющих в $G$ граничные компоненты. Наконец,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mod}(G)^{-1}= \biggl(\,\inf_v\int\!\!\!\int_G|\nabla v|^2\,dx\,dy\biggr)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем гладким функциям $v$ в $G$, равным нулю на одной граничной компоненте области $G$ и единице – на другой. Последнее равенство можно переписать по-другому: где $\operatorname{Cap}(G)$ – емкость конденсатора, поле которого равно $G$, а пластинами являются связные компоненты дополнения $G$. Заметим, что это определение через емкости годится для ограниченных областей на плоскости, а в случае бесконечных областей можно воспользоваться конформной инвариантностью и вместо $G$ рассматривать конформно эквивалентную ей ограниченную область. Конформные модули двусвязных областей квазиинвариантны при квазиконформных отображениях: если $f$ есть $K$-квазиконформное отображение области $Q$ на область $f(Q)$, то
$$
\begin{equation*}
K^{-1}\operatorname{Mod}(Q)\leqslant \operatorname{Mod}(f(Q))\leqslant K\operatorname{Mod}(Q).
\end{equation*}
\notag
$$
Свойства конформных модулей и двусвязных областей достаточно хорошо изложены в обзорной статье Р. Кюнау [98] (см. также монографию [123]). По поводу емкостей конденсаторов и их приложений в геометрической теории функций см., например, [56]. Остановимся на задаче, поставленной М. Вуориненом в 2004 г. на конференции в Волгограде. Пусть $G$ – ограниченная двусвязная область на плоскости. Рассмотрим квазиконформное отображение $f_H$ плоскости на себя, которое является растяжением вдоль оси абсцисс с коэффициентом $H>0$: Как ведет себя конформный модуль области $G_H=f_H(G)$ при $H\to \infty$? В частности, что происходит в случае, когда $G$ является концентрическим кольцом или разностью двух гомотетичных квадратов?Сначала рассмотрим аналогичную задачу в случае, когда растягивается четырехсторонник вида $(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$, где
$$
\begin{equation}
Q=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon f(x)\leqslant y\leqslant g(x),\, a\leqslant x \leqslant b\},
\end{equation}
\tag{34}
$$
а $f$ и $g$ – две непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции, удовлетворяющие неравенству $f(x) < g(x)$, $x\in [a,b]$; вершины четырехсторонника располагаются в точках
$$
\begin{equation}
z_1=a+ig(a), \quad z_2=a+if(a),\quad z_3=b+if(b), \quad z_4=b+ig(b).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Обозначим $\theta(x)=g(x)-f(x)$, $\varphi(x)=[g(x)+f(x)]/2$. Сначала напомним классические результаты Л. Альфорса (см. [3; гл. 4, п. 5]) и С. Варшавского (см., например, [68; гл. 2, п. 5], [110; гл. 7, п. 1]) об оценках конформных модулей четырехсторонников. Теорема 8.1 (Альфорс–Варшавский). Пусть функции $f$ и $g$ являются непрерывно дифференцируемыми. Тогда конформный модуль четырехсторонника $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$ удовлетворяет неравенствам Отметим, что в теореме 8.1 оценка снизу принадлежит Л. Альфорсу; она справедлива и в случае негладких функций $f$ и $g$. Оценка сверху – это результат С. Варшавского. Теперь рассмотрим четырехсторонник
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{Q}_H:=(f_H(Q);z_{1H},z_{2H},z_{3H},z_{4H}),
\end{equation*}
\notag
$$
где область $Q$ определена в (34), $z_{jH}=f_H(z_j)$, $1\leqslant j\leqslant 4$. Из теоремы 8.1 вытекает следующий результат. Теорема 8.2. Конформный модуль $\boldsymbol{Q}_H$ имеет следующее асимптотическое поведение: Более того, $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}_H)\geqslant cH$ и $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}_H)-cH=O(H^{-1})$, $H\to\infty$. Заметим, что в теореме 8.2 не требуется гладкости функций $f$ и $g$. Впервые эта теорема была фактически установлена в [46]; в [120] было приведено более короткое доказательство с использованием теоремы 8.1. Перейдем к решению задачи Вуоринена. Будем рассматривать двусвязные области $G$ следующего вида. Граница $G$ удовлетворяет условиям: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_1&=\{x+iy\colon y=f_1(x),\, a\leqslant x\leqslant b\}\cup\{x+iy\colon y=f_2(x), \, a\leqslant x\leqslant b\}, \\ \Gamma_2&=\{x+iy\colon y=g_1(x), \, c\leqslant x\leqslant d\}\cup\{x+iy\colon y=g_2(x), \, c\leqslant x\leqslant d\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
причем 1) $-\infty<a<c<d<b<\infty$; 2) $g_1(x)<f_1(x)$ и $f_2(x)<g_2(x)$, $c\leqslant x\leqslant d$; 3) $g_2(x)<g_1(x)$, $c<x<d$; 4) $f_2(x)<f_1(x)$, $a<x<b$; 5) $f_2(a)=f_1(a)$, $f_2(b)=f_1(b)$, $g_2(c)=g_1(c)$, $g_2(d)=g_1(d)$. Пусть $G_H$ получается из области $G$ растяжением $f_H$. Разделим область $G_H$ на три части вертикальными прямыми $x=cH$ и $x=dH$. Две из этих частей являются четырехсторонниками
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_{H1}&=\biggl\{(x,y)\colon g_1\biggl(\frac{x}{H}\biggr)<y<f_1\biggl(\frac{x}{H}\biggr),Hc<x<Hd\biggr\}, \\ G_{H2}&=\biggl\{(x,y)\colon f_2\biggl(\frac{x}{H}\biggr)<y<g_2\biggl(\frac{x}{H}\biggr),Hc<x<Hd\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оказывается, что при отображении области $G_H$ на концентрическое кольцо $1<|z|<q_H$ величина $q_H$ стремится к единице, когда $H\to\infty$. Более того, с помощью модификации теоремы Радо, дающей критерий равномерной сходимости конформных отображений, можно показать, что образы отрезков сжимаются в точки. С учетом свойства конформной инвариантности модуля отсюда следует, что асимптотика конформного модуля двусвязной области $G_H$ совпадает с асимптотикой суммы конформных модулей четырехсторонников $G_{H1}$ и $G_{H2}$. Асимптотика модулей областей $G_{H1}$ и $G_{H2}$ может быть найдена с помощью теоремы 8.2. Таким образом устанавливается следующая теорема, доказанная Д. Н. Даутовой и С. Р. Насыровым [47]. Отметим частные случаи теоремы 8.3, полученные в [46]. С помощью теоремы 8.3 можно получить асимптотику модуля кругового концентрического кольца при растяжении с коэффициентом $H\to\infty$. Отметим, что при растяжении кольца граничные окружности переходят в эллипсы, которые не будут софокусными, и поэтому не удается записать в явном виде конформное отображение растянутого кольца на концентрическое с использованием известных элементарных и специальных функций. Теорема 8.4. Если $D=\{z\in \mathbb{C}\colon r<|z|<R\}$, то где Получим оценку погрешности в случае, когда двусвязная область имеет вид $D=\{(x,y)\colon 1<|x|+|y|<k\}$, $k>1$, т. е. является разностью двух квадратов с вершинами на осях координат. Тогда
$$
\begin{equation}
D_H=\biggl\{(x,y)\colon 1<\biggl|\frac{x}{H}\biggr|+|y|<k\biggr\}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
В силу теоремы 8.3
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Mod}(D_H)\sim \frac{k-1}{4H}\,,\qquad H \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим точность полученной асимптотической формулы. Для модуля ромбовидной двусвязной области $D_H$, определенной равенством (36), справедлива оценка, установленная Д. Н. Даутовой:
$$
\begin{equation*}
\frac{k-1}{4H}-\frac{\ln 2}{2\pi}\,\frac{(k-1)^2}{H^2}+ O\biggl(\frac{1}{H^3}\biggr)\leqslant \operatorname{Mod}(D_H)\leqslant \frac{k-1}{4H}\,,\qquad H\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 8.3 допускает обобщения на более широкие классы областей. Ее утверждение справедливо, если, например, внешняя компонента границы неограничена (функция $g$ определена на всей оси и может принимать бесконечные значения), а также в случае, когда граничные компоненты не являются графиками однозначных функций и могут быть даже не кривыми, а континуумами достаточно произвольного вида. В [120], [122] изучена задача Вуоринена для случая двусвязных областей $\Omega$, содержащих внутри себя бесконечно удаленную точку. Предположим также, что граница области $\Omega$ состоит из графиков непрерывных функций: функции $g_1$, $f_1$ заданы на отрезке $[a,b]$, причем $f_1(x)\leqslant g_1(x)$, $x\in[a,b]$; функции $g_2$, $f_2$ заданы на отрезке $[c,d]\subset[a,b]$ и $g_2(x)\leqslant f_2(x)<f_1(x)$, $x\in[c,d]$. Кроме того, $f_1(a)=g_1(a)$, $f_1(b)=g_1(b)$ и $f_2(c)=g_2(c)$, $f_2(d)=g_2(d)$. Нгуен Ван Зангом и С. Р. Насыровым [120], [122] установлен следующий аналог теоремы 8.3. Теорема 8.5. Пусть $\Omega_H=f_H(\Omega)$. Тогда Более того, Для доказательства теоремы 8.5 область $\Omega_H$ делится на две части вертикальными отрезками, лежащими на прямых $x=cH$ и $x=dH$ и соединяющими различные граничные компоненты области $\Omega_H$. Ограниченная часть является четырехсторонником, модуль которой может быть исследован с помощью теоремы 8.1. Что касается неограниченной компоненты, то (внешний) модуль соответствующего четырехсторонника имеет порядок $\ln H$ при $H\to\infty$, и отсюда следует, что эта неограниченная компонента не влияет на поведение главного члена асимптотики конформного модуля. В связи с этим возникает интересная задача описания асимптотики внешнего модуля при его растяжении. Рассмотрим четырехсторонник $\boldsymbol{Q}t=(Q; z_1, z_2, z_3, z_4)$, где область $Q$ и ее вершины описаны в (34) и (35). Пусть четырехсторонник $\boldsymbol{Q}_H$ получается из $\boldsymbol{Q}$ растяжением с коэффициентом $H>0$, a $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{c}}_H$ – четырехсторонник, соответствующий его дополнению. Задача 8.1. Описать асимптотику конформного модуля $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{c}}_H$ при $H\to\infty$. Нетрудно установить, что $\operatorname{Mod}(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{c}}_H)=O(\ln H)$, $H\to\infty$. Рассмотрим частный случай, когда область $Q$ является прямоугольником $\Pi_{ab}:=[0,a]\times [0,b]$. В этом случае имеется изящная формула, связывающая внутренний и внешний конформные модули, принадлежащая П. Дюрену и Дж. Пфальцграфу [64]; в отличие от [64] мы фиксируем нумерацию вершин, сдвинутую на единицу, как в (35). Если внешний модуль прямоугольника равен $2\mathcal{K}(r)/\mathcal{K}'(r)$, то внутренний модуль, т. е. отношение сторон $a/b$ прямоугольника, равен $\psi(r)$, где
$$
\begin{equation*}
\psi(r):=\frac{2[\mathcal{E}(r)-(1-r)\mathcal{K}(r)]} {\mathcal{E}'(r)-r\mathcal{K}'(r)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathcal{K}(r)$ и $\mathcal{E}(r)$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода; кроме того, $\mathcal{K}'(r):=\mathcal{K}(r')$ и $\mathcal{E}'(r):=\mathcal{E}(r')$, а $r'=\sqrt{1-r^2}$ . Используя этот результат, М. Вуоринен и Х. Жанг [148] фактически установили оценку для внешнего модуля $\operatorname{ExtMod}(\Pi_{ab})$ прямоугольника $\Pi_{ab}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{2}{\pi}\biggl[1-\biggl(1+ \sqrt{\frac{4}{\pi}\,\frac{a}{b}}\,\biggr)^{-1}\biggr] \ln\biggl[2\biggl(1+\sqrt{\frac{4}{\pi}\,\frac{a}{b}}\,\biggr)\biggr] \\ &\qquad<\operatorname{ExtMod}(\Pi_{ab})< \frac{2}{\pi}\,\ln\biggl[2\biggl(1+\sqrt{\pi\frac{a}{b}}\,\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой оценки сразу следует, что при растяжении прямоугольника $\Pi_{ab}$ с коэффициентом $H$ его внешний модуль эквивалентен величине $\pi^{-1}\ln H$, которая не зависит от отношения $a/b$. Это позволяет высказать следующую гипотезу. Гипотеза 8.1. Для любого четырехсторонника $\boldsymbol{Q}=(Q;z_1,z_2,z_3,z_4)$, определенного формулами (34) и (35), внешний конформный модуль имеет асимптотику 9. Приведенные модули, емкости Робена и их применениеНаряду с конформными модулями четырехсторонников и двусвязных областей большой интерес представляют так называемые приведенные конформные модули. Пусть $D$ – некоторая односвязная область на расширенной комплексной плоскости с невырожденной границей, и пусть точка $z_0$ принадлежит $D$. Вырежем из области $D$ круг достаточно малого радиуса $\varepsilon>0$ с центром в точке $z_0$. Полученная двусвязная область $D_\varepsilon$ имеет конформный модуль $m(\varepsilon)$, который стремится к бесконечности при $\varepsilon\to0$. Можно показать, что существует конечный предел
$$
\begin{equation*}
r(D,z_0):=\lim_{\varepsilon\to 0}\biggl(m(\varepsilon)- \frac{1}{2\pi}\ln \frac{1}{\varepsilon}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
который называется приведенным (конформным) модулем области $D$ в точке $z_0$. Отметим, что приведенный модуль односвязной области $D$ в точке совпадает с конформным радиусом области $D$ в соответствующей точке. Можно рассматривать и неограниченные области $D$, содержащие внутри себя бесконечно удаленную точку. Тогда из таких областей удаляется внешность круга радиуса $R$, где $R$ – достаточно большое число, и приведенный модуль вводится равенством
$$
\begin{equation*}
r(D,\infty):=\lim_{R\to \infty}\biggl(m(R)-\frac{1}{2\pi}\ln R\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $m(R)$ – конформный модуль области $D_R=D\setminus \{|z|\geqslant R\}$. Подобную величину можно определить не только для односвязных областей, но и для областей произвольной связности; в этом случае в качестве $m(\varepsilon)$ можно взять не модуль двусвязной области, а экстремальную длину семейства кривых, соединяющих в $D_\varepsilon$ окружность $|z-z_0|=\varepsilon$ c границей области $D$. Также можно определить приведенный модуль с использованием емкости конденсатора, поле которого совпадает с $D_\varepsilon$, а пластины – это круг $|z-z_0|<\varepsilon$ и $D^{\mathrm{c}}=\overline{\mathbb{C}}\setminus D$. Существуют различные обобщения понятия приведенного конформного модуля. Например, В. Н. Дубинин ввел приведенные модули, когда из области удаляется окрестность не одной точки, а нескольких, при этом скорость стремления радиусов окрестностей к нулю может быть разной (см. [54], [56], [62], [59]). Более того, удаляемые окрестности могут даже не иметь круговой формы, а быть некоторыми областями, ограниченными гладкими кривыми и стягивающимися в точки [60]. Также представляют интерес граничные приведенные модули (см. [141]), когда из области удаляется окрестность граничной точки. Такие модули играют большую роль в получении оценок для однолистных и неоднолистных функций, в частности полиномов и рациональных функций. Отметим еще одно обобщение понятия приведенного конформного модуля, связанное с так называемыми емкостями Робена. Дадим определение этого понятия для случая бесконечно удаленной точки. Пусть $D$ – жорданова область в $\overline{\mathbb{C}}$, содержащая бесконечно удаленную точку. Пусть $A$ – некоторое невырожденное связное подмножество границы $\partial D$. Для достаточно больших $R$ граница $\partial D$ лежит в круге $K_R$ радиуса $R$ с центром в начале координат. Пусть $\Gamma_R$ – семейство кривых, лежащих в $D\cap K_R$ и соединяющих $A$ с окружностью $C_R=\{z\colon |z|=R\}$, и пусть $\lambda(\Gamma_R)$ – экстремальная длина семейства $\Gamma_R$. Существует предел
$$
\begin{equation*}
\mu(A;D):=\lim_{R\to\infty}\biggl(\lambda(\Gamma_R)- \frac{1}{2\pi}\ln R\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Величину $\mu(A;D)$ назовем приведенным модулем множества $A$ относительно области $D$, а константу – емкостью Робена множества $A$ относительно области $D$ (см., например, работы [64]–[66]). Ясно, что если $A=\partial D$, то $\sigma(A;D)$ совпадает с постоянной Робена, а также с постоянной Чебышёва и трансфинитным диаметром множества $D^{\mathrm{c}}$ (см., например, [74]). Емкости Робена можно определять и для областей более общего вида, не обязательно жордановых. При этом множество $A$ может быть и несвязным. Однако в дальнейшем мы будем считать, что выполняются предположения, сделанные выше. Представляет интерес гидромеханическая интерпретация емкостей Робена, данная в [112] для случая бесконечно тонких профилей, которые моделируются жордановой дугой $\gamma$, при этом точки разветвления и схода потока совпадают с концами этой дуги. Обозначим через $\gamma^+$ и $\gamma^-$ верхний и нижний берега разреза вдоль дуги $\gamma$. Рассмотрим конформное отображение $z=f(\zeta)$ внешности единичного круга $E=\{|z|<1\}$ на дополнение дуги $\gamma$ такое, что $f(\infty)=\infty$, $f(1)=z_\gamma^{(1)}$, $f(e^{i \varphi})=z_\gamma^{(2)}$, где $z_\gamma^{(1)}$ и $z_\gamma^{(2)}$ – концы дуги $\gamma$, причем участок $\{e^{i\theta},\theta\in [0,\varphi]\}$ соответствует $\gamma^+$, а его дополнение соответствует $\gamma^-$. С. Р. Насыровым доказана следующая теорема. Теорема 9.1. Емкости Робена $\sigma(\gamma^+)$ и $\sigma(\gamma^-)$ относительно области $ \mathbb{C}\setminus\gamma$ равны соответственно где $d$ – трансфинитный диаметр $\gamma$. При этом где $P$ – безразмерная подъемная сила дужки $\gamma$. В [113] было отмечено, что теорема 9.1 справедлива и для произвольных аэродинамических профилей, не обязательно бесконечно тонких. Вариации емкостей Робена. Опишем вариацию емкости Робена при гладкой вариации границы области. Пусть $D$ – жорданова область в $\overline{\mathbb{C}}$, содержащая бесконечно удаленную точку, и $\partial D$ содержит дугу $A$. Пусть $\eta$ – ее замкнутая поддуга и семейство областей $D_t$, $0<t\leqslant t_0$, получается из $D$ “вдавливанием” дуги $\eta$ внутрь области $D$, т. е. граница $\partial D_t$ получается из $\partial D$ заменой дуги $\eta$ на дугу $\eta_t$, лежащую в $D$ за исключением концов. Обозначим через $A_t$ часть границы области $D_t$, которая получается из $A$ заменой $\eta$ на $\eta_t$. Пусть $\Omega_t$ – конечная область, ограниченная дугами $\eta$ и $\eta_t$. Обозначим через $g$ конформное отображение $D$ на область $G(\infty,x_0)$, где $G(R,x_0)$ есть концентрическое кольцо $G(R)=\{z\in \mathbb{C}\colon 1<|z|<R\}$ с радиальным разрезом от точки $1$ до точки $x_0$, при котором $\infty$ переходит в $\infty$, дуга $A$ переходит в единичную окружность, а ее дополнение – в разрез $[0,x_0]$. Если дуги $\eta_t$ и $\eta$ являются гладкими, то будем говорить, что они удовлетворяют условию $\mathbf{(\widetilde{R})}$, если для любого $\varepsilon>0$ существует $t_\varepsilon$ такое, что для любого $t\leqslant t_\varepsilon$ между точками кривых $\eta_t$ и $\eta$ можно установить гомеоморфное соответствие $\psi_t$, при котором расстояние между соответственными точками меньше $\varepsilon$ и углы наклона касательной к оси абсцисс в этих точках отличаются на величину, меньшую $\varepsilon$. В работе [113] установлен следующий результат. Теорема 9.2. Для приведенных модулей и соответствующих емкостей Робена справедливы неравенства где $\Sigma_t$ – площадь области $\Omega_t$ в метрике $\rho(z)=|g'(z)/g(z)|$, т. е. Если предположить дополнительно, что $\eta$ содержится в некоторой открытой гладкой поддуге $A$ и семейство $\eta_t$, $0<t\leqslant t_0$, состоит из гладких дуг, удовлетворяющих условию $\mathbf{(\widetilde{R})}$, то С помощью теорем 9.1 и 9.2 в работе [113] решена одна задача, обобщающая известную задачу М. А. Лаврентьева о дужке максимальной подъемной силы [101]. Теорема 9.3. Среди всех гладких дужек длины $l$, кривизна которых удовлетворяет ограничению где $s$ – дуговая абсцисса, $\psi$ – непрерывная неотрицательная функция, удовлетворяющая неравенству $K_0 l\leqslant c_0$, в котором наибольшую подъемную силу имеет дужка с кривизной $K(s)\equiv \psi(s)$, $s\in[0,l]$. Заметим, что константа $c_0$ в теореме 9.3 фактически оценивает изменение угла наклона касательной к дуге при ее обходе. Отметим также, что сам М. А. Лаврентьев рассматривал только постоянные мажоранты $\psi$, при этом в [101] он получил свой результат с константой Таким образом, в теореме 9.3 эта константа увеличена более чем в $6.35$ раз, и результат теоремы верен для выпуклых дуг с изменением угла, не превосходящим $17^\circ$.10. Однопараметрические семейства и динамика критических значенийВ теории однолистных функций большое значение имеет параметрический метод Лёвнера, который состоит в изучении семейства однолистных конформных отображений $f(z,t)$, заданных в некоторой области $D$ комплексного переменного $z$ (единичном круге, полуплоскости или какой-нибудь другой области) и зависящих от вещественного параметра $t$. При фиксированном $t$ функция $f(z,t)$ отображает область $D$ на некоторую область $G(t)$ комплексного переменного, и области $G(t)$ монотонно зависят от параметра $t$. Семейство $f(z,t)$ является дифференцируемым по $t$ всюду на рассматриваемом числовом промежутке или почти всюду, при этом имеет место дифференциальное уравнение в частных производных
$$
\begin{equation}
\frac{\partial f(z,t)}{\partial t}= \frac{\partial f(z,t)}{\partial z}\,h(z,t),
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $h(z,t)$ – это некоторая голоморфная или мероморфная функция комплексного переменного $z$, ее свойства по переменной $t$ зависят от гладкости семейства $f(z,t)$. Отметим, что уравнение вида (37) часто называют уравнением Лёвнера–Куфарева, сам Лёвнер рассматривал уравнения такого вида с функцией $h(z,t)$ более специфического вида. Представляет также интерес изучение однопараметрических семейств неоднолистных отображений, например семейств полиномов или рациональных функций. Такие семейства можно рассматривать на всей расширенной комплексной плоскости. При этом критические точки, т. е. точки, где $\partial f(z,t)/\partial z\kern-1pt=\kern-1pt 0$, и их образы, т. е. критические значения, играют по сути дела роль граничных точек наряду с полюсами этих функций. Приведем некоторые конкретные результаты. Рациональные функции. Любая рациональная функция $R$ может быть записана в виде
$$
\begin{equation*}
w=R(z)=C\int_{a_1}^z\frac{\prod_{k=1}^M(\zeta-a_k)^{m_k-1}\,d\zeta} {\prod_{j=1}^N(\zeta-b_j)^{n_j+1}}+A_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_k$ – ее критические точки кратности $m_k$, $b_j$ – полюсы кратности $b_j$, $C\ne 0$ – некоторая комплексная константа, $A_1=R(a_1)$ – критическое значение функции $R$, соответствующее критической точке $a_1$. Обозначим $A_k=R(a_k)$, $1\leqslant k\leqslant M$. Теперь будем рассматривать однопараметрические семейства рациональных функций вида
$$
\begin{equation}
R(z)=R(z,t)=\int_{a_1}^z\frac{\prod_{k=1}^M(\zeta-a_k)^{m_k-1}\,d\zeta} {\prod_{j=1}^N(\zeta-b_j)^{n_j+1}}\,.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Задача состоит в нахождении уравнения вида (37), которому удовлетворяет семейство функций $R(z,t)$, если нам известно, по какому закону $A_j=A_j(t)$ изменяются их критические значения. Заметим, что геометрически это означает, что мы имеем однопараметрическое семейство римановых поверхностей над сферой Римана и хотим найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют униформизирующие функции. Это уравнение может быть использовано в задаче приближенного нахождения униформизирующей функции для заданной римановой поверхности – разветвленного накрытия сферы Римана. Обозначим $m:=\displaystyle\sum_{k=1}^M(m_k-1)$, $n:=\displaystyle\sum_{j=1}^N(n_j+1)$. Будем предполагать, что $l:=m-n\geqslant0$; это означает, что $R(\infty,t)=\infty$. Тогда на бесконечности имеет место лорановское разложение
$$
\begin{equation*}
R(z,t)=\frac{1}{l+1}z^{l+1}+\frac{\alpha_l}{l}z^l+\cdots,\quad\text{где}\quad \alpha_l=\sum_{k=1}^M(m_k-1)a_k-\sum_{j=1}^N{(n_j+1)b_j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, будем считать, что критические точки $a_k=a_k(t)$ и полюсы $b_k=b_k(t)$ удовлетворяют соотношению $\alpha_l(t)=0$, а в случае $l=0$ дополнительно будем предполагать, что при фиксированном $t$
$$
\begin{equation*}
R(z,t)=z+O\biggl(\frac{1}{z}\biggr), \qquad z\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что эти условия несущественно ограничивают общность при решении задачи, поскольку их выполнения можно добиться линейными преобразованиями в $z$-плоскости и плоскости образа. Пусть критические значения $A_l=A_l(t)$ гладко зависят от $t$ (в силу (38) имеем $A_1\equiv 0$). Производные этих функций по переменной $t$ будем обозначать $\dot{A}_l$ (далее для краткости все производные по переменной $t$ мы также будем обозначать точкой сверху). Теорема 10.1 [115], [117]. Семейство функций $R(z,t)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению где $P_{l,j}$ – многочлен Тейлора функции степени $j$, записанный в точке $a_l$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
G_{kl}(z)=\frac{H_k(z)}{z-a_l}\,, \qquad I_{kj}(z)=\frac{H_k(z)}{z-b_j}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 10.1 вытекает следующий результат. Теорема 10.2 [117]. Критические точки $a_l$, $1\leqslant l\leqslant M$, и полюсы $b_j$, $1\leqslant j\leqslant M$, функций $R(z,t)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Опишем, как теорема 10.2 может быть использована для приближенного нахождения рациональной функции, униформизирующей заданное разветвленное накрытие $\mathcal{R}_1$. Для решения этой задачи нам нужно знать какую-то риманову поверхность $\mathcal{R}_0$ с таким же типом ветвления, для которой униформизирующая функция известна, следовательно, известны положения критических точек и полюсов. Затем нужно найти гладкий путь $\mathcal{C}$ в пространстве разветвленных накрытий сферы с таким типом ветвления, соединяющий поверхности $\mathcal{R}_0$ и $\mathcal{R}_1$. Этот путь определяет движение критических значений $A_j$. Далее мы решаем задачу Коши для системы (39) с начальными данными, соответствующими поверхности $\mathcal{R}_0$. В конечный момент времени мы получаем нужные значения критических точек $a_l$ и полюсов $b_j$ для поверхности $\mathcal{R}_1$. Заметим, что, на наш взгляд, интересной задачей является нахождение “наиболее экономного” пути $\mathcal{C}$, соединяющего две поверхности (два разветвленных накрытия сферы одного и того же типа ветвления). Заметим, что по проекциям $A_1$, $A_2,\dots,A_M$ и заданному типу ветвления (в том числе над бесконечно удаленной точкой) разветвленное накрытие определяется, вообще говоря, не единственным образом. Это обнаружил впервые А. Гурвиц; он предложил задачу определения числа неэквивалентных накрытий с заданным типом ветвления и наметил пути ее изучения [85], [86] (см. также [149]). Далее существенный вклад в решение проблемы Гурвица внес А. Д. Медных [108], [109], который получил эффективные формулы для подсчета числа неэквивалентных накрытий. Описание некоторых путей исследования этой проблемы имеется также в [114]. В обзорной статье [99], а также в монографии [100] описаны геометрические подходы, основанные на применении теории векторных расслоений. Отметим также, что теоремы 10.1 и 10.2 могут быть использованы при исследовании проблем, связанных с полиномами и рациональными функциями, в частности проблемы С. Смейла, описанной в заключительном разделе статьи, и близких вопросов. Эллиптические функции. Можно рассмотреть аналогичную задачу об описании с помощью дифференциальных уравнений однопараметрических семейств эллиптических функций с периодами $\omega_1$ и $\omega_2$, униформизирующих заданное семейство комплексных торов, т. е. римановых поверхностей, разветвленно накрывающих сферу Римана. При этом периоды $\omega_1$ и $\omega_2$, вообще говоря, зависят от параметра $t$. Эта задача исследовалась С. Р. Насыровым в работах [116], [118], [119]. Будем рассматривать семейство функций вида
$$
\begin{equation}
f(z)=f(z,t)=c \int_{a_0}^z\frac{\prod_{j=0}^N\sigma^{m_j}(\xi-a_j)} {\prod_{l=0}^P\sigma^{n_l}(\xi-b_l)}\,d\xi+A_0,
\end{equation}
\tag{40}
$$
где $\sigma(z)=\sigma(z;\omega_1,\omega_2)$ – эллиптическая $\sigma$-функция Вейерштрасса с периодами $\omega_1$ и $\omega_2$; точки $a_0,a_1,\dots,a_N$ попарно различны и являются критическими точками $f$; числа $m_0+1,m_1+1,\dots,m_N+1$ – их кратности; попарно различные точки $b_0,\ldots,b_P$ – полюсы кратностей $n_0-1,n_1-1,\dots,n_P-1$; и $c$ – ненулевое комплексное число. При этом параметры $a_j$, $b_l$, $c$ и $A_0$ зависят, вообще говоря, от параметра $t$. Из свойств эллиптических функций вытекает, что Обозначим $A_k=f(a_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$.Линейным преобразованием плоскости переменной $z$ можно добиться выполнения условий
$$
\begin{equation*}
\omega_1=\omega_1(t)\equiv 1, \quad b_0=b_0(t)\equiv0.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, сдвигом плоскости образа можно добиться, чтобы выполнялось условие $A_0=A_0(t)\equiv 0$. Пусть теперь нам известны зависимости $A_j(t)$, которые являются гладкими функциями параметра $t$. Обозначим, как и в односвязном случае, через $\dot{A}_j$ их производные по параметру $t$. Определим функции
$$
\begin{equation*}
G(z):=\frac{\prod_{l=0}^P\sigma^{n_l}(z-b_l)} {\prod_{j=0}^N\sigma^{m_j}(z-a_j)}\,,\quad {G}_k(z):=(z-a_k)^{m_k}G(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $k$ функция ${G}_k$ имеет устранимую особенность в точке $a_k$, поэтому она продолжается в эту точку до аналитической функции. Через $\zeta(z)=\zeta(z;\omega_1,\omega_2)$ обозначим $\zeta$-функцию Вейерштрасса с периодами $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $\eta_k:=2\zeta(\omega_k/2)$, $k=1,2$, и Теорема 10.3 [119]. Однопараметрическое семейство функций $f(z,t)$, определенных равенством (40), удовлетворяет уравнению Введем функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Z(\xi,z)=\zeta(\xi)-\zeta(\xi-z)-\eta_1z, \\ L_k(\xi)=Z(\xi,a_k), \quad \tilde{L}_k(\xi)=Z(\xi,a_k)+\frac{1}{\xi-a_k}\,, \quad J_l(\xi)=Z(\xi,b_l). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 10.3 вытекает следующий результат. Теорема 10.4 [119]. Параметры в интегральном представлении (40) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений В (44) через $\mathfrak{P}$ обозначена $\mathfrak{P}$-функция Вейерштрасса; ${\partial\ln\sigma(a_j)}/{\partial\omega_2}$ – производная функции $\ln\sigma(z)=\ln\sigma(z;\omega_1,\omega_2)$ относительно переменной $\omega_2$; эта производная может быть найдена по формуле (см. [116; теорема 3]):
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \ln\sigma(z)}{\partial\omega_2}= -\frac{1}{2\pi i}\biggl[\frac{1}{2}\,\omega_1\bigl(\mathfrak{P}(z)- \zeta^2(z)\bigr)+\eta_1(z\,\zeta(z)-1)-\frac{g_2}{24}\,\omega_1z^2\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_2$ – один из инвариантов Вейерштрасса:
$$
\begin{equation}
{g_2}={60}\sum_{\omega\in\Omega\setminus\{0\}}\frac{1}{\omega^4}\,,
\end{equation}
\tag{45}
$$
суммирование ведется по всем ненулевым элементам решетки $\Omega$, порожденной $\omega_1$ и $\omega_2$. Среди соотношений (41)–(44) отметим второе из равенств (43), которое описывает изменение важной характеристики конформных торов, так называемого конформного модуля $m=\omega_2/\omega_1$, при изменении критических значений эллиптической функции вида (40); так как мы положили $\omega_1\equiv 1$, то $\omega_2=m$ и
$$
\begin{equation}
\dot{m}=\frac{2\pi i}{c}\sum_{k=1}^N\frac{{G}^{(m_k-1)}_k(a_k)}{(m_k-1)!}\,.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Семейство функций, отображающих кольцо на внешность двух прямолинейных разрезов. Отметим, что семейства эллиптических функций могут быть использованы не только в случае, когда они заданы на торах, но и для отображения двусвязных областей. Будем рассматривать конформные отображения $g$ кругового кольца $\{q<|\zeta|<1\}$ на внешность $G=G(A_1,A_2,A_3,A_4)$ двух непересекающихся отрезков $A_1A_2$ и $A_3A_4$, расположенных в $w$-плоскости. Используя вспомогательное отображение $z\mapsto \zeta=\exp\{2\pi i z\}$, будем рассматривать вместо $g$ отображение $f:=g(2\pi i z)$, определенное в полосе
$$
\begin{equation*}
S:=\{-m<\operatorname{Im} z<0\},\quad m=\frac{1}{2\pi}\,\ln (q^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Оно отображает прямоугольник $\Pi=\{0<\operatorname{Re} z<1, \,-m<\operatorname{Im} z<0\}$ с отождествленными вертикальными сторонами на область $G$ (см. рис. 1). Обозначим через $\beta$ угол между прямыми, на которых лежат отрезки. Отметим, что значение $m$ является конформным модулем двусвязной области $G$. Можно показать, что $f$ имеет вид
$$
\begin{equation}
f(z)= C\int_{0}^z e^{\gamma\xi}\,\frac{\prod_{k=1}^4\sigma(\xi-z_k)} {\sigma^2(\xi-z_0)\sigma^2(\xi-\overline{z}_0)}\,d\xi+C_1.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Здесь $\sigma(z)=\sigma(z;1,2im)$ – это $\sigma$-функция Вейерштрасса с периодами $\omega_1=1$, $\omega_2=2im$. Кроме того, $\gamma=\beta\eta_1/\pi$, где $\eta_1=2\zeta(\omega_1/2;1,2im)$, а $\zeta(z;1,2im)$ – это $\zeta$-функция Вейерштрасса с периодами $\omega_1=1$, $\omega_2=2im$. Точки $z_k=x_k+i y_k$ соответствуют концевым точкам $A_k$ отрезков и удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
z_1=x_1,\quad z_2=x_2,\quad z_3=x_3+i m,\quad z_4=x_4-i m
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми вещественными $x_k$ такими, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^4x_k=\frac{\beta}{\pi}\,,\quad m=\frac{1}{2\pi}\ln(q^{-1});
\end{equation*}
\notag
$$
точка $z_0=i y_0$ – это единственный полюс; $C\ne 0$ и $C_1$ – некоторые комплексные константы. Без ограничения общности можем считать, что $x_0=\operatorname{Re} z_0=0$. Теперь рассмотрим однопараметрическое семейство описанных выше отображений вида (47), удовлетворяющих следующим условиям: точки $A_k=A_k(t)$ являются гладкими функциями параметра $t$, при изменении параметра $t$ прямые, на которых лежат отрезки $A_1A_2$ и $A_3A_4$, не меняются. Имеет место теорема, установленная в [48]. Теорема 10.5. Однопараметрическое семейство функций $f(z,t)$ удовлетворяет уравнению в частных производных где На основании теоремы 10.5 можно найти систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения параметров $x_k$, $1\leqslant k\leqslant 4$, $c$ и $m$; ввиду громоздкости этой системы мы ее здесь не приводим, отсылая читателя к [48]. С помощью этой системы можно эффективно находить приближенные значения параметров в формуле (47), в частности конформный модуль заданной области $G(A_1,A_2,A_3,A_4)$. Заметим, что соотношение (48) по существу дает вариационную формулу для изменения конформного модуля двусвязной области $G=G(A_1,\kern-1pt A_2,\kern-1pt A_3,\kern-1pt A_4)$ при гладком изменении концов отрезков $A_j$ и его можно использовать при исследовании монотонности конформного модуля областей вида $G(A_1,\kern-1pt A_2,\kern-1pt A_3,\kern-1pt A_4)$. Рассмотрим следующую задачу. Пусть $A_3A_4$ – фиксированный отрезок, лежащий целиком в правой полуплоскости и пересекающий вещественную ось в точке $\widetilde{x}$, при этом один из концов его лежит на мнимой оси. Пусть $A_1A_2$ – отрезок вещественной оси $[a-l/2,a+l/2]$ фиксированной длины $l$. Как меняется конформный модуль области $G(A_1,A_2,A_3,A_4)$ при изменении параметра $a$? На основании вариационной формулы (48) с использованием техники поляризации [56; теорема 1.2] можно получить следующий результат. Теорема 10.6 [48]. Если $\widetilde{x}\leqslant l/2$, то при изменении параметра $a$ от $-\infty$ до $\widetilde{x}-l/2$ конформный модуль области $G(A_1,A_2,A_3,A_4)$ уменьшается от $+\infty$ до $0$. Если же $\widetilde{x}> l/2$, то конформный модуль убывает от $+\infty$ до некоторой положительной величины, когда параметр $a$ изменяется от $-\infty$ до $0$. 11. Критические значения полиномовВ 1981 г. С. Смейл [140] сформулировал следующую знаменитую гипотезу о критических значениях полиномов. Будем рассматривать многочлены $f$ степени $n \geqslant 2$ такие, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S(f)=\min\biggl\{\biggl|\frac{f(\zeta)}{\zeta}\biggr| \colon f'(\zeta)=0 \biggr\}, \\ K_n=\sup\{S(f) \colon \deg f=n, f(0)=0, f'(0)=1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Гипотеза Смейла состоит в том, что $K_n=1-1/n$. Используя методы геометрической теории функций и применяя неравенство Бибербаха для второго коэффициента в классе $S$, С. Смейл доказал, что для полиномов $f$ имеет место оценка $S(f)<4$. Нижняя оценка величины $K_n$ достигается для полиномов $f(z)=z+cz^n$ с произвольным фиксированным $c>0$, причем для них $S(f)=1-1/n$. Таким образом, имеют место оценки В направлении улучшения оценок сверху для $K_n$ было получено много результатов, тем не менее асимптотически константа $4$ пока не улучшена. Кроме того, были получены различные результаты, касающиеся некоторых подклассов полиномов. Ж.-К. Сикорав (см. [145]) доказал, что если $n \leqslant 4$, то $K_n=1-1/n$, при этом, за исключением случая $f(z)=z+c z^n$, для некоторой критической точки $\zeta$ полинома $f$ всегда выполнено строгое неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(\zeta)}{\zeta}\biggr| < 1-\frac{1}{n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Численные эксперименты, выполненные П. Мариновым и Б. Сендовым [137], показывают, что с большой вероятностью гипотеза Смейла справедлива при всех $n\leqslant 10$. А. Ф. Бирдон, Д. Минда и Т. В. Нг [30] показали, что $K_n\leqslant 4^{1-1/n}$; это неравенство было слегка улучшено в работах [41] и [71]. Наилучшие верхние оценки получены в работах [42], [43], однако и они не улучшают константу 4 при больших значениях $n$. Если все критические значения $f$ имеют одинаковые модули, или же все критические точки лежат на одной окружности, то теорема Т. Шейл-Смолла [138; с. 361–362] утверждает, что $S(f)< 1$. Применяя методы симметризации, что является весьма нестандартным подходом в этой области исследований, В. Н. Дубинин [55] решил экстремальную проблему Смейла в несколько иной постановке. Из его результата сразу вытекает, что $S(f)\leqslant 1-1/n$ в случае, когда критические значения или же критические точки имеют одинаковые модули. Д. Тишлер [145] доказал неравенство $S(f)< 1$ для случая, когда нули полинома $f$ лежат на одной окружности. В случае, когда полином $f$ имеет только вещественные нули, Д. Пале (см. [139; с. 159]) доказал, что $S(f)<1$. Для этого случая Д. Тишлер [145] получил чуть более точную оценку $S(f)\leqslant 1-1/n$. Заметим, что, в силу классической теоремы Ролля, если все нули многочлена $f$ являются вещественными, то его критические точки также будут вещественными. Поскольку обратное, вообще говоря, неверно, то случай вещественных критических точек является более общим, чем случай, когда нули полинома являются вещественными. В предположении, что все критические точки полинома $f$ вещественны, Т. Шейл-Смолл [138; с. 368] обосновал неравенство $S(f)< e-2$, а затем К. И. Рахман и Г. Шмайссер [135; с. 217] получили чуть более сильную оценку
$$
\begin{equation*}
S(f) \leqslant \frac{n-2}{n} \biggl[\biggl(\frac{n-1}{n-2}\biggr)^{n-1}-2\biggr] < e-2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $n\geqslant 3$. Окончательный результат для случая вещественных критических точек был доказан А. Хинкканеном и И. Р. Каюмовым [80]. Справедлива следующая теорема. Теорема 11.1. Пусть $f$ – многочлен степени $n \geqslant 3$, нормированный таким образом, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Предположим, что все его критические точки вещественны. Тогда найдется критическая точка $\zeta$ такая, что за исключением случая $f(z)=z-c z^3$, для которого при всех $c>0$ достигается равенство. Предположим теперь, что критические точки $f$, т. е. нули $f'$, содержатся в объединении $k$ лучей, исходящих из начала координат. В [80] высказана гипотеза, что для такой функции $f$ выполнено неравенство $S(f)\leqslant 1-1/(k+1)$, откуда следует, что $K_n=1-1/n$. В той же работе упомянутая гипотеза доказана для $k=1$ и $k=2$. Исходный вопрос Смейла изначально не предполагал вышеуказанной нормировки. Теперь предположим, что $f$ является произвольным полиномом степени $n \geqslant 2$. Выберем любую точку $t$ в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ такую, что $f'(t)\ne 0$. Затем рассмотрим
$$
\begin{equation*}
S(f,t)=\min\biggl\{\biggl|\frac{f(\zeta)-f(t)}{(\zeta-t)f'(t)}\biggr|\colon f'(\zeta)=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку можно заменить $f$ на $af+b$, а переменную $z$ на $cz+d$ для любых комплексных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ таких, что $ac\ne 0$, легко видеть, что $S(f,t)=S(g,0)$ для полинома $g$ степени $n$ такого, что $g(0)=0$ и $g'(0)=1$. Теперь мы можем положить $g(z)=(f(\beta z+t)-f(t))/(\beta f'(t))$ для любого $\beta\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Однако критические точки $g$ находятся не в тех же местах, что и критические точки $f$, поэтому если взять критические точки $f$ лежащими в объединении $k$ лучей, исходящих из точки $0$ в бесконечность, то критические точки $g$ будут лежать в объединении $k$ лучей, исходящих из некоторой точки $\alpha$, вообще говоря, не совпадающей с $0$. Заметим, что если $\alpha\ne 0$, то при соответствующем выборе $\beta$ мы можем считать, что $\alpha=1$. Будем рассматривать только случай, когда $k=1$ или $k=2$. Если $\alpha=0$, то после перехода к $g$ видим, что наша задача уже решена в [80]. Поэтому ограничимся случаем, когда $\alpha\ne 0$. Предположим, что $k=1$, так что есть только один луч, являющийся частью некоторой прямой, или что $k=2$ и два луча образуют прямую. Если эта прямая проходит через начало координат, то мы снова приходим к случаю, описанному в [80]. Поэтому будем считать, что указанная прямая не проходит через начало координат. Тогда мы можем заменить $\alpha$ той точкой на этой прямой, которая ближе всего к началу координат. Дальнейшим поворотом и растяжением можно добиться того, чтобы $\alpha$ стало равным единице и чтобы прямая была вертикальна. В работе [82] исследована задача об оценке $S(g,0)$ в случае, когда критические точки $g$ лежат в объединении одного или двух лучей, исходящих из некоторой точки, а также задача, когда критические точки лежат в определенном секторе. Теперь снова предположим, что полином $f$ нормирован так, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Если $n=5$ и критические точки $f$ – это $\pm 1$ и $\pm i$, то $S(f)=4/5$. Слегка сдвинув критическую точку при $z=1$, чтобы получить новый нормированный полином $f_1$, мы все же можем сделать $S(f)$ сколь угодно близким к $4/5$. Тогда прямая $L_1$, содержащая точки $-1$ и $i$, и прямая $L_2$, содержащая $-i$ и новую критическую точку, близкую к $1$, но не лежащую на прямой от $-i$ до $1$, будут пересекаться в точке $\alpha$. Таким образом, критические точки полинома $f_1$ лежат в объединении двух лучей, исходящих из точки $\alpha$ в бесконечность. Это показывает, что наилучшая константа при $k=2$ не меньше, чем $4/5$. В случае $k=2$ при наложении дополнительных ограничений на конфигурацию двух лучей можно получить лучшие оценки. Доказаны следующие теоремы [81]. Теорема 11.2. Пусть $f$ – полином степени $n \geqslant 2$ такой, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Предположим, что критические точки $f$ лежат в секторе $\{re^{i\theta}\colon r> 0, |\theta|\leqslant \pi/6\}$. Тогда $S(f)\leqslant 1/2$ и равенство имеет место в том и только том случае, когда $n=2$. Теорема 11.3. Пусть $f$ – полином степени $n \geqslant 2$ такой, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Предположим, что критические точки $f$ лежат на луче $\{1+re^{i\theta}\colon r\geqslant 0\}$, где $0\leqslant \theta\leqslant \pi/2$. Тогда $S(f)\leqslant 1/2$ и равенство имеет место в том и только том случае, когда $n=2$. Теорема 11.4. Пусть $f$ – полином степени $n \geqslant 2$ такой, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Предположим, что критические точки $f$ лежат в объединении лучей $\{1+re^{\pm i\theta}\colon r\geqslant 0\}$, где $0<\theta\leqslant \pi/2 $. Тогда $S(f) < 2/3$. Конечно, если в последней теореме $0\leqslant \theta \leqslant \pi/6$, то мы находимся в ситуации, уже охваченной теоремой 11.2; в этом случае одна из этих теорем дает верхнюю оценку $1/2$ вместо $2/3$. Опишем теперь результаты, касающиеся так называемой дуальной гипотезы Смейла. Дело в том, что есть некоторое аналитическое соотношение для критических значений полиномов (оно довольно сложное, явно его можно выписать лишь для полиномов небольших степеней, скажем, не превосходящих 4). Как уже было описано выше, это соотношение не позволяет всем значениям $|f(\zeta)/\zeta|$ (здесь $\zeta$ – критическая точка полинома $f$) быть сколь угодно большими. По этой же причине все значения $|f(\zeta)/\zeta|$ не могут быть слишком малы. Это было замечено Д. Тишлером для случая так называемых консервативных полиномов, т. е. полиномов, для которых в любой критической точке выполнено соотношение где $C$ – некоторая констана. Д. Тишлер [145] доказал, что тогда $C \geqslant 1/n$.В. Н.Дубинин и Т. Сугава [61] и независимо от них Т. Нг выдвинули следующую гипотезу. Гипотеза 11.1. Пусть $f$ – полином, $\deg f\geqslant2$, такой, что $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Тогда существует $\zeta$ – критическая точка $f$ такая, что Те же авторы получили оценку снизу: они доказали, что найдется критическая точка $\zeta$ такая, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(\zeta)}{\zeta}\biggr|\geqslant\frac{1}{n\,4^n}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое было слегка улучшено в работе [121]. На сегодняшний день лучшая оценка снизу в указанной гипотезе принадлежит В. Н. Дубинину [58]. Он доказал существование критической точки $\zeta$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(\zeta)}{\zeta}\biggr|\geqslant \frac{1}{n} \operatorname{tg} \frac{\pi}{4n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство существенно улучшает предыдущие результаты в этом направлении, но оно все еще весьма далеко от прогнозируемого, даже в смысле порядка. Опишем теперь точные результаты в этой области. Для малых значений $n$ гипотезу 11.1 можно легко проверить напрямую. Однако начиная с $n=4$ эта гипотеза становится труднее и требует проведения более сложных вычислений. Результат для $n=4$ следует из неравенства, полученного в работе [145]. А именно, было продемонстрировано, что существует критическая точка $\zeta$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f(\zeta)}{\zeta}-\frac{1}{2}\biggr| \leqslant \frac{1}{2}-\frac{1}{n}\,, \qquad 2 \leqslant n \leqslant 4.
\end{equation*}
\notag
$$
К сожалению, как показал Ж. Тайсон, этот результат неверен в случае $n \geqslant 5$. Оказалось, что при $n \leqslant 7$ данную задачу можно свести к экстремальной задаче классического типа, а именно, можно задать детерминированный алгоритм выбора критической точки, основанный на том, что выбирается критическая точка с минимальным модулем, и таким образом задача сводится к многопараметрической экстремальной задаче в круге. И. Р. Каюмовым, Д. М. Хамматовой и А. Хинкканеном [82] доказана следующая теорема. Теорема 11.5. Пусть $f$ – полином шестой степени, причем выполняются условия $f(0)=0$ и $f'(0)=1$. Тогда существует точка $\zeta$ такая, что $f'(\zeta)=0$ и $|f(\zeta)/\zeta| \geqslant 1/6$. Более того, существует критическая точка $\zeta$ такая, что $|f(\zeta)/\zeta | > 1/6$, если только $f$ не имеет вида где $a\in {\mathbb C}\setminus \{0\}$. Случай $n=5$ доказывается аналогично и проще, чем случай $n=6$. Случай $n=7$ обоснован лишь численно, аналитическое доказательство пока не опубликовано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvkKayNas23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|