| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
О сильной и слабой ассоциированности весовых пространств Соболева первого порядка В. Д. Степановab, Е. П. Ушаковаbc a Вычислительный центр ДВО Российской академии наук b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук c Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10075e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПусть $I:=(0,\infty)$ и $\mathfrak{M}(I)$ – множество всех измеримых по Лебегу функций на $I$. Пусть $X\subset\mathfrak{M}(I)$ – функциональное пространство с нормой $\|\,\cdot\,\|_X$. Наряду с понятием двойственного (сопряженного) пространства $X^\ast$ всех линейных ограниченных функционалов на $X$, хорошо известно понятие ассоциированного с $X$ пространства $X'$, а также задача о его описании. В ряде классических случаев эти пространства изометрически изоморфны. Пространство $X$ называется идеальным, если из того, что $|f|\leqslant|g|$ п. в. на $I$ и $g\in X$, вытекает, что $f\in X$ и $\|f\|\leqslant\|g\|$. Положим
$$
\begin{equation}
\mathfrak{D}_X:=\biggl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\int_I|fg|<\infty \text{ для всех } f\in X\biggr\}.
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
Для любого $g\in\mathfrak{D}_X$ определим функционалы
$$
\begin{equation*}
\mathbf{J}_{X}(g):= \sup_{0\ne f\in X}\frac{\int_I|fg|}{\|f\|_{X}}\quad\text{и}\quad {J}_{X}(g):=\sup_{0\ne f\in X}\frac{\bigl|\int_I fg\bigr|}{\|f\|_{X}}
\end{equation*}
\notag
$$
и ассоциированные пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X'_{\rm s}&:=\bigl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\|g\|_{X'_{\rm s}}:= \mathbf{J}_X(g)<\infty\bigr\}, \\ X'_{\rm w}&:=\bigl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\|g\|_{X'_{\rm w}}:= {J}_X(g)<\infty\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые будем называть сильным и слабым соответственно. Стандартной задачей для идеального пространства $(X,\|\cdot\|_X)$ является характеризация его сильного ассоциированного (или двойственного по Кётэ) пространства (см. [1; гл. 1, § 2]). Отметим, что $J_X(g)=\mathbf{J}_X(g)$ для идеального $X$ (см. [1; гл. 1, лемма 2.8]), в этом случае $X'_{\rm s}=X'_{\rm w}$. Для неидеального пространства $X$ функционалы $J_X(g)$ и $\mathbf{J}_X(g)$ могут быть различными (см. примеры в [2]). Естественной также является задача характеризации дважды ассоциированных пространств. Поскольку $X'_{\rm s}$ идеально, то $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}=[X'_{\rm s}]'_{\rm w}$, к этому добавляются $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}$ и $[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$. В разделе 1 мы даем полное описание пространств, сильно ассоциированных с (идеальными) весовымы пространствами типа Чезаро и Копсона. Для $1\leqslant p\leqslant\infty$ обозначим $L^p(I)\subset \mathfrak{M}(I)$ обычное пространство Лебега с нормой $\|f\|_{L^p(I)}=\|f\|_p:=\biggl(\displaystyle\int_I|f|^p\biggr)^{1/p}$ (и обычной модификацией нормы при $p=\infty$). Символ ${\mathscr V}_p(I)$ применяется для соответствующего множества весовых функций (весов):
$$
\begin{equation*}
{\mathscr V}_p(I):=\{v\in L^p_{\rm loc}(I)\colon v\geqslant 0, \|v\|_{L^1(I)}\ne 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $v_0,v_1\in {\mathscr V}_1(I)$. Обозначим $W^1_{1,{\rm loc}}(I)$ пространство всех таких функций $u\in L^1_{\rm loc}(I)$, что их обобщенные производные $Du$ принадлежат $L^1_{\rm loc}(I)$. Мы рассматриваем весовое пространство Соболева
$$
\begin{equation*}
W^1_p(I):=\{u\in W^1_{1,{\rm loc}}(I)\colon\|u\|_{W^1_p(I)}<\infty\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{W^1_p(I)}:=\|v_0 u\|_{L^p(I)}+\|v_1 Du\|_{L^p(I)},
\end{equation*}
\notag
$$
и подпространства $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\subset \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)\subseteq W^1_p(I)$, второе из которых есть замыкание в $W^1_p(I)$ первого, т. е. подпространства $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ абсолютно непрерывных функций, подчиняющихся ряду дополнительных требований:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)&:=\Bigl\{f\in \operatorname{AC}(I)\colon \limsup_{t\to 0+}|f(t)|=0, \ \operatorname{supp} f \text{ - компакт в }[0,\infty), \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\! \|f\|_{W^1_p(I)}<\infty\Bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В отдельных случаях множество $\mathfrak{D}_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)}$ задается с дополнительными условиями (см. раздел 2). Пусть $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I),W^1_p(I)\}$. Полная характеризация ассоциированных пространств $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$ на произвольном интервале, а не только на $I$, была получена в [2; §§ 5, 6]. В частности, для любого пространства Соболева $X\in\{ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I),W^1_p(I)\}$ показано, что
$$
\begin{equation*}
J_X(g)<\infty\ \ \Longleftrightarrow\ \ \mathbf{J}_X(g)<\infty
\end{equation*}
\notag
$$
[3; теоремы 2.5 и 2.6], а также указаны примеры пространств $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ и функций $g\in X$, для которых $J_X(g)<\infty$, $\mathbf{J}_X(g)=\infty$. Кроме того, обнаружилось, что для степенных весовых функций $v_0$ и $v_1$ пространства $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$ совпадают с сильными и слабыми пространствами типа Чезаро и Копсона соответственно, а для пространства $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ имеет место слабая рефлексивность $X=[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$. Полный анализ этой проблемы, включая характеризацию дважды ассоциированных $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}$, $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}$ и $[X'_{\rm w}]'_{\rm w}$ для пространств Соболева со степенными весами в роли $X$ и пространств типа Чезаро и Копсона, проведен в разделе 2. В разделе 3 работы содержится новый результат, состоящий в доказательстве слабой ассоциированной рефлексивности пространства Соболева $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ в случае $1<p<\infty$ и произвольных весов. Кроме этого мы показываем, что $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}=\{0\}$. Характеризация пространства $[X'_{\rm s}]'_{\rm s}=[X'_{\rm s}]'_{\rm w}$ пока остается открытой проблемой. Основной мотивацией к исследованию слабых ассоциированных пространств служит возможность применения принципа двойственности, позволяющего свести задачу об ограниченности индефинитного линейного оператора, скажем, из пространства Соболева в пространство Лебега, к более изученным случаям с двойственным оператором. В разделе 4 мы иллюстрируем этот метод на примере преобразования Гильберта. Более подробная вводная информация приведена в начале каждого раздела. На протяжении всей работы неопределенности вида $0\cdot\infty$ полагаются равными 0. Соотношение $A\lesssim B$ означает, что $A\leqslant cB$ с некоторой константой $c$, зависящей только от параметра $p$; запись $A\approx B$ равносильна $A\lesssim B \lesssim A$. Символы $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$ применяются для множества натуральных и целых чисел соответственно. Характеристическая функция (индикатор) множества $E$ обозначается $\chi_E$. Если $1<p<\infty$, то $p':={p}/(p-1)$. 1. Идеальные пространства Чезаро и КопсонаДалее будут использоваться следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\mathfrak{M}^+:=\{f\in \mathfrak{M}(I)\colon f\geqslant 0\},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$\mathfrak{M}^{\downarrow}\subset \mathfrak{M}^{+}$ – подмножество всех невозрастающих функций, $\mathfrak{M}^{\uparrow}\subset\mathfrak{M}^{+}$ – подмножество всех неубывающих функций. Пусть $0<p\leqslant\infty$, а $u\in \mathfrak{M}^+$ и $v\in \mathfrak{M}^+$ – заданные весовые функции. Мы рассматриваем весовые пространства $\operatorname{Ces}_{p,u,v}$ и $\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ вида
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ces}_{p,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,u,v}}:=\biggl(\int_0^\infty \biggl(\,\int_0^t|f|u\biggr)^pv(t)\,dt\biggr)^{1/p}<\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $0<p<\infty$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ces}_{\infty,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{\infty,u,v}}:= \operatorname*{ess\,sup}_{t\geqslant 0}v(t)\int_0^t|f|u < \infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cop}_{p,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,u,v}}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\,\int_t^\infty|f|u\biggr)^pv(t)\,dt\biggr)^{1/p}<\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $0<p<\infty$ и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cop}_{\infty,u,v}:=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{\infty,u,v}}:= \operatorname*{ess\,sup}_{t\geqslant 0}v(t) \int_t^\infty|f|u <\infty\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для $p=\infty$. Если $1\leqslant p<\infty$, то при $u\equiv 1$, $v(t)=t^{-p}$ пространство $\operatorname{Ces}_{p,u,v}$ называют пространством Чезаро, а при $u(s)=s^{-1}$, $v(t)\equiv 1$ пространство $\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ называют пространством Копсона (см., например, монографии [4], [5], а историю вопроса и пристатейную библиографию в [6]). Весовые пространства Чезаро и Копсона являются полными идеальными (квази)нормированными пространствами. Поэтому если $X\in\{\operatorname{Ces}_{p,u,v},\operatorname{Cop}_{p,u,v}\}$, то $X'_{\rm s}=X'_{\rm w}$ и задача описания ассоциированных с ними пространств сводится к двусторонней оценке функционала $\mathbf{J}_{X}(g)$. Для классических пространств Чезаро $\operatorname{Ces}_p:=\operatorname{Ces}_{p,1,t^{-p}}$ ($1< p<\infty$, $u\equiv 1$, $v(t)=t^{-p}$), а также их дискретных аналогов указанная выше задача была поставлена в 1968 г. и изучалась многими авторами начиная с 1974 г., с постепенным улучшением результатов и рассмотрением более общих постановок (см. [7]). Полнота $\operatorname{Ces}_p$ доказана в [8]. Для $\operatorname{Ces}_p$ норма в ассоциированном пространстве найдена (см., например, [4], [6; теорема 4.1]):
$$
\begin{equation}
\|g\|_{[\operatorname{Ces}_p]'}\approx \biggl(\,\int_I(\|g\chi_{[x,\infty)}\|_{L_\infty})^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Одновесовой случай $\operatorname{Ces}_{p,1,v}$, $1<p<\infty$, $u\equiv 1$, рассмотрен в [9] с довольно громоздким описанием. Для $\operatorname{Cop}_{p,1,v}$, $1<p<\infty$, задача решена в [10; следствие 3.8], а для $\operatorname{Cop}_{p,x^{-1},v}$, $0<p\leqslant\infty$, – в [11; теорема 2.1]. В данном разделе мы обзорно представим обобщение формулы (1.2), а также указанных результатов из [10] и [11] на случай произвольных весовых пространств Чезаро и Копсона. Основные результаты раздела взяты из [12]. Для $g\in\mathfrak{M}(I)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
g^\downarrow(t):=\operatorname*{ess\,sup}_{x\geqslant t}|g(x)|,\qquad g^\uparrow(t):=\operatorname*{ess\,sup}_{x\leqslant t}|g(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть – интегральный оператор с ядром $k(x,t)\geqslant0$. Пусть $(X,{\|\cdot\|}_X)$ – линейное пространство измеримых функций на $I$ с монотонной (квази)нормой, т. е. $\|f\|_X\leqslant \|g\|_X$, если $0\leqslant f\leqslant g$. Следующие два утверждения получены в [10; теорема 3.3, следствие 3.4]. (a) Пусть ядро $k(x,t)$ не возрастает по $t$ при каждом фиксированном $x$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu}{\|Kf\|_X}= \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu^\downarrow}{\|Kf\|_X}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
(b) Пусть ядро $k(x,t)$ не убывает по $t$ при каждом фиксированном $x$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu}{\|Kf\|_X}= \sup_{f\in\mathfrak{M}^+}\frac{\int_I fu^\uparrow}{\|Kf\|_X}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме этого нам потребуются результаты типа “принципа двойственности Сойера” [13], [14; § 2.1], [15; предложение 1], [16; теоремы 2.1, 2.3–2.5]. Для $v\in\mathfrak{M}^+$ обозначим Аналогично, если $\lambda$ – мера Бореля на $I$, то
$$
\begin{equation*}
\Lambda(t):=\int_{[0,t]} d\lambda,\qquad \Lambda_*(t):=\int_{[t,\infty)} d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $v\in\mathfrak{M}^+$ и $\lambda$ – мера Бореля на $I$. Тогда: (a$_1$) для $0<p\leqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{\bigl(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v\bigr)^{1/p}}= \sup_{t\in I}\frac{\Lambda(t)}{V^{1/p}(t)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(a$_2$) для $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}\approx \biggl(\,\int_{I}\biggl(\frac{\Lambda(t)}{V(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+\frac{\Lambda(\infty)}{V^{1/p}(\infty)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(b$_1$) для $0<p\leqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F_{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}= \sup_{t\in I}\frac{\Lambda_*(t)}{V_*^{1/p}(t)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(b$_2$) для $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow} \frac{\int_{I}F\,d\lambda}{(\int_{I}F{\vphantom{1}}^p v)^{1/p}}\approx \biggl(\,\int_{I}\biggl(\frac{\Lambda_*(t)}{V_*(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+\frac{\Lambda_*(0)}{V_*^{1/p}(0)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(a$_3$) для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\downarrow}\frac{\int_{I}F\,d\lambda}{\|Fv\|_\infty}= \int_{I}\frac{d\lambda(x)}{v^\uparrow(x)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(b$_3$) для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\sup_{F\in\mathfrak{M}^\uparrow}\frac{\int_{I}Fd\lambda}{\|Fv\|_\infty}= \int_{I}\frac{d\lambda(x)}{v^\downarrow(x)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Применением соотношений (a), (b), (a$_1$)–(a$_3$), (b$_1$)–(b$_3$) доказывается приводимая ниже теорема. Теорема 1.1. Пусть $u,v\in\mathfrak{M}^+$. Если $X=\operatorname{Ces}_{p,u,v}$, $g\in\mathfrak{D}_X$, то верно следующее: $\rm {(c_1)}$ для $0<p\leqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm s}}=\biggl\|\frac{g}{uV_*^{1/p}}\biggr\|_\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
$\rm {(c_2)}$ для $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm s}}\approx\biggl(\,\int_{I} \biggl(\frac{g_u^\downarrow(t)}{V_*(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+ \frac{g_u^\downarrow(0)}{V_*^{1/p}(0)},\quad\textit{где}\quad g_u^\downarrow:=\biggl(\frac{|g|}{u}\biggr)^\downarrow;
\end{equation*}
\notag
$$
$\rm {(c_3)}$ для $p=\infty$
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm s}}=\int_{I}\frac{dg_u^\downarrow}{v^\downarrow}.
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $X=\operatorname{Cop}_{p,u,v}$ справедливы следующие утверждения: $\rm {(d_1)}$ для $0<p\leqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm s}}=\biggl\|\frac{g}{uV^{1/p}}\biggr\|_\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
$\rm {(d_2)}$ для $1<p<\infty$
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm s}}\approx\biggl(\,\int_{I} \biggl(\frac{g_u^\uparrow(t)}{V(t)}\biggr)^{p'} v(t)\,dt\biggr)^{1/p'}+ \frac{g_u^\uparrow(\infty)}{V^{1/p}(\infty)},\quad\textit{где}\quad g_u^\uparrow:=\biggl(\frac{|g|}{u}\biggr)^\uparrow;
\end{equation*}
\notag
$$
$\rm {(d_3)}$ для $p=\infty$ Пример 1.1. Пусть $0<p<\infty$ и $\operatorname{Ces}_p:=\operatorname{Ces}_{p,1,t^{-p}}$, $\operatorname{Cop}_p:=\operatorname{Cop}_{p,s^{-1},1}$ – пространства Чезаро и Копсона соответственно, а также Если $X=\operatorname{Cop}_p$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \|g\|_{X'_{\rm s}}&=\operatorname*{ess\,sup}_{s\geqslant 0} s^{1-1/p}|g(s)|&&\quad\text{при }\ 0<p\leqslant 1, \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&\approx\biggl(\,\int_I \biggl(\frac{g_u^\uparrow(t)}{t}\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} &&\quad\text{при } 1<p<\infty \ (\text{здесь } g_u^\uparrow(t)= \operatorname*{ess\,sup}_{0\leqslant s\leqslant t}s|g(s)|), \\ \|g\|_{X'_{\rm s}}&=\|sg(s)\|_\infty &&\quad\text{при } p=\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично (1.3) доказывается, что
$$
\begin{equation*}
[[\operatorname{Cop}_p]{'_{\rm s}]'_{\rm s}}=\operatorname{Cop}_p,\qquad 1\leqslant p\leqslant\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $Y:=\operatorname{Cop}_{p,1,1}$, то имеет место аналог равенства (1.4):
$$
\begin{equation*}
[[L^\uparrow_{p'}]{']'_{\rm s}}=Y'_{\rm s},\qquad 1<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно [4], [6; теорема 3.2, (a)], что $\operatorname{Ces}_p=\operatorname{Cop}_p$, $1<p<\infty$, причем $\|f\|_{\operatorname{Ces}_p}\approx \|f\|_{\operatorname{Cop}_p}$. Отсюда и из приведенного примера следует интересная связь между нормами мажорант $g^\downarrow$ и $g^\uparrow$:
$$
\begin{equation*}
\|g^\downarrow\|_{p}\approx\biggl(\,\int_I \biggl(\frac{[sg(s)]^\uparrow(t)}{t}\biggr)^{p} \,dt\biggr)^{1/p},\qquad 1<p<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Пример 1.2. Пусть $1<p<\infty$, $u\in \mathfrak{M}^+$. Весовое пространство Гильберта $\mathcal{H}_{p,u}$ состоит из всех функций с конечной нормой 2. Неидеальные пространства типа Чезаро и Копсона со степенными весами. Связь с пространствами СоболеваПусть $p\in(1,\infty)$, $\beta>1/p$. Определим пространства типа Чезаро как пространства
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I):=\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)}<\infty\}
\end{equation*}
\notag
$$
функций с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)}:= \biggl(\,\int_0^\infty\biggl(\frac{1}{x^\beta} \int_0^x|f|\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим
$$
\begin{equation*}
L^1_{\rm loc}([0,\infty)):=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \int_0^b |f|<\infty \text{ для всех } b\in I\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наряду с $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ рассмотрим неидеальные пространства типа Чезаро
$$
\begin{equation*}
{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I):=\{f\in L^1_{\rm loc}([0,\infty))\colon \|f\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}<\infty\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl|\frac{1}{x^\beta}\int_0^xf\biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $L^p_{x^{1-\beta}}(I)\subset \operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)\subset{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$, где первое вложение следует из неравенства Харди [20; теорема 330], а весовое пространство Лебега $L^p_v(I)$ определяется нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^p_v(I)}:=\biggl(\,\int_I|v(x)f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для $\gamma< 1/p$ зададим функциональное пространство типа Копсона
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I):=\{g\in\mathfrak{M}(I)\colon \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}<\infty\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\frac{1}{x^\gamma}\int_x^\infty|g|\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
L^1_{{\rm loc}}((0,\infty]):=\biggl\{f\in\mathfrak{M}(I)\colon \int_t^\infty |f|<\infty \text{ для всех } t\in I\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и по аналогии с пространствами Чезаро определим неидеальное пространство типа Копсона вида
$$
\begin{equation*}
{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I):=\{g\in L^1_{{\rm loc}}((0,\infty])\colon \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}<\infty\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl|\frac{1}{x^\gamma}\int_x^\infty g\biggr|^p\,dx\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $L^p_{x^{1-\gamma}}(I)\subset \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)\subset{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, где первое вложение снова вытекает из неравенства Харди [20; теорема 330]. Частный случай пространств типа Копсона для $\gamma=0$ и $p=2$ изучался в [3; § 5]. Нашей основной целью в этом разделе работы является характеризация сильно и слабо ассоциированных пространств к функциональным пространствам типа Чезаро и Копсона. Первая задача для $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$, $\beta=1$, решена – см., например, [6; теорема 4.1], а также [9], [7]. В общем случае с помощью теоремы 1.1 находятся нормы сильно ассоциированных пространств к $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ и $\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|g\|_{[\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)]'_{\rm s}}&\approx \biggl(\,\int_I( x^{\beta-1}g^\downarrow(x))^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'}, \\ \|g\|_{[\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)]'_{\rm s}}&\approx \biggl(\,\int_I(x^{\gamma-1}g^\uparrow(x))^{p'}\,dx\biggr)^{1/p'} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и устанавливается их сильная рефлексивность. В п. 2.1 мы выявляем тесную связь между пространствами типа Чезаро и Копсона и весовыми классами Соболева первого порядка на полуоси. А именно, показано, что пространства типа Чезаро и Копсона являются ассоциированными к пространствам Соболева со степенными весами. Основной результат содержится в п. 2.2, где представлена характеризация $X'_{\rm s}$ и $X'_{\rm w}$, когда $X$ – одно из слабых пространств типа Чезаро и Копсона. Здесь мы показываем, что $X'_{\rm s}=\{0\}$, а $X'_{\rm w}$ совпадают с классами Соболева, для которых $X={\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и $X={\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$ ассоциированные, т. е. устанавливается слабая рефлексивность слабых пространств типа Чезаро и Копсона. Случай пространств Чезаро $\operatorname{Ces}_{p}(I)$ и ${\mathscr C}\!es_{p}(I)$ был недавно изучен Д. В. Прохоровым в работе [21] (см. также [22]). Основные результаты этого раздела взяты из [23]. Отметим, что ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и ${\mathscr C}\!op_{p,\beta}(I)$ являются неполными нормированными пространствами. Пример 2.1. Для $\varepsilon\in(0,1/p)$ положим Тогда $\|f_\varepsilon\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}<\infty$, но $\|f_\varepsilon\|_{\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)}=\infty$, т. е. $f_\varepsilon\in {\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)\setminus \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$. Вместе с тем имеют место следующие утверждения. Лемма 2.1. (a) $\operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$ плотно в ${\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$. (b) $\operatorname{Ces}_{p,\beta}(I)$ плотно в ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$. 2.1. Характеризация пространств типа Чезаро и Копсона как ассоциированных с пространствами Соболева Замечание 2.1. Для $0<\delta<1<\lambda<\infty$ Оказывается, что классы Соболева со специально подобранными весами $v_0$ и $v_1$ тесно связаны с функциональными пространствами Чезаро и Копсона. Начнем с пространств Чезаро, сначала “сильного” типа (теорема 2.1) и затем “слабого” типа (теорема 2.2). Теорема 2.1. Пусть $1<p<\infty$, $\beta=\alpha+1>1/p'$, и пусть $W_{p,\beta}^1(I)$ – пространство Соболева с весами где $\eta_p$ – некоторый коэффициент. Тогда Следствие 2.1. Для $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I), W^1_{p,\beta}(I)\}$ из теоремы 2.1 выше и следствия 6.1 работы [2] получаем, что и $\|g\|_{X_s'}=\mathbf{J}_{W_{p,\beta}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)}$ для $g\in \operatorname{Ces}_{p',\beta}(I)$. Замечание 2.2. Пусть Теорема 2.2. Пусть $1<p<\infty$, $\beta=\alpha+1>1/p'$ и веса $v_0$, $v_1$ определены в (2.1). Тогда Следствие 2.2. Для $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)$ мы получаем и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\beta}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!es_{p',\beta}(I)}$ для $g\in {\mathscr C}\!es_{p',\beta}(I)$. Аналогичные соотношения выполняются между пространствами Соболева и пространствами типа Копсона. Теорема 2.3. Пусть $1<p<\infty$, $\gamma=\sigma+1<1/p'$, и пусть $W_{p,\gamma}^1(I)$ – пространство Соболева с весами Тогда Следствие 2.3. Для $X\in\{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I), \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I), W^1_{p,\gamma}(I)\}$ из теоремы 2.3 выше и следствия 6.1 работы [2] следует, что и $\|g\|_{X'_{\rm s}}=\mathbf{J}_{W_{p,\gamma}^1(I)}(g)\approx \|g\|_{\operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I)}$ для $g\in \operatorname{Cop}_{p',\gamma}(I)$. Замечание 2.3. Пусть Теорема 2.4. Пусть $1<p<\infty$, $\gamma=\sigma+1<1/p'$ и веса $v_0$, $v_1$ определены в (2.4). Тогда Следствие 2.4. Пусть $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)$. Тогда и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|g\|_{{\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I)}$ для $g\in {\mathscr C}\!op_{p',\gamma}(I)$. 2.2. Характеризация пространств, ассоциированных с пространствами типа Чезаро и КопсонаЛемма 2.2. Пусть $[a,b]\subset I$ и $h\in L^1([a,b])$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ можно подобрать $f\in \operatorname{Cop}_{p,\gamma}(I)$ такую, что $|f|=|h|$ на $(a,b)$ и $\|f\|_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}< \varepsilon$. Следствие 2.5. Пусть $g\in\mathfrak{M}(I)$. Если $\operatorname{mes}(\{x\in I\colon g(x)\ne 0\})>0$, то В соответствии с (0.1) обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}:= \biggl\{g\in \mathfrak{M}(I)\colon\int_I |fg|<\infty\text{ для всех } f\in {{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.5. Пусть $g\in \mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}$. Тогда $J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)<\infty$ в том и только том случае, когда $g\in L^{p'}_{x^{\gamma-1}}(I)$, $g=\widetilde g$ п. в., где $\widetilde g\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $D\widetilde g\in L^{p'}_{x^{\gamma}}(I)$. Кроме того, $\operatorname{supp} \widetilde g$ компактен в $[0,\infty)$, т. е. $\widetilde g\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\gamma}(I)$, и $J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|\widetilde g\|_{W_{p',\gamma}^1(I)}$. Аналогичное утверждение имеет место для пространства типа Чезаро. Теорема 2.6. Пусть $g\in \mathfrak{D}_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}$. Тогда $J_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)<\infty$, если и только если $g\in L^{p'}_{x^{\beta-1}}(I)$, $g=\widetilde g$ п. в., где $\widetilde g\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $D\widetilde g\in L^{p'}_{x^{\beta}}(I)$. В то же время $\operatorname{supp}\widetilde g$ компактен в $[0,\infty)$, т. е. $\widetilde g\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_{p',\beta}(I)$, и $J_{{\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)}(g)\approx \|\widetilde g\|_{W_{p',\beta}^1(I)}$. Следствие 2.6. Из теорем 2.5 и 2.6 вытекают обратные к (2.5) и (2.3) утверждения o слабой рефлексивности ${\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, ${\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$ и соответствующих им пространств Соболева. Если $X={\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)$, то и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{{\mathscr C}\!op_{p,\gamma}(I)}(g)\approx \|g\|_{W_{p',\gamma}^1(I)}$. Аналогично, если $X={\mathscr C}\!es_{p,\beta}(I)$, то и $\|g\|_{X'_{\rm w}}=J_{\operatorname{Ces}{p,\gamma}}(g)\approx \|g\|_{W_{p',\beta}^1(I)}$.3. Пространства Соболева и ассоциированные с нимиПусть $1<p<\infty$ и $m\in\mathbb{N}$. Обозначим $W^{p,m}$, $W_0^{p,m}$ и $H^{p,m}$ классические пространства Соболева (см. [24; гл. 3]), где $W_0^{p,m}$ и $H^{p,m}$ – пополнения $C^\infty_0$ и $C^m$ соответственно по норме
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{m,p}:=\biggl(\,\sum_{0\leqslant |\alpha|\leqslant m} \|D^\alpha f\|_p^p\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $W^{p,m}=H^{p,m}$ [24; теорема 3.16]. Если $N=\displaystyle\sum_{0\leqslant |\alpha|\leqslant m}1$, то двойственное к $W^{p,m}$ является замкнутым подпространством векторнозначного пространства Лебега $L^{p'}_N$, где $p'={p}/(p-1)$. Этот факт влечет рефлексивность $W^{p,m}$ и $W^{p,m}_0$ на основе общего критерия рефлексивности банаховых пространств [24; теорема 1.17], а также в силу слабой компактности шара в $W^{p,m}$, которая следует из теоремы 2 в [25; § 4]. Общий вид произвольного ограниченного линейного функционала $L\in (W^{p,m})^\ast$ установлен в [24; теорема 3.8], там же дана неявная формула для нормы $\|L\|$. Альтернативно $W^{-m,p'}:=(W^{p,m}_0)^\ast$ можно построить как замыкание множества функционалов $V:=\{L_v; v\in L^{p'}\}\subset (W^{p,m}_0)^\ast$ вида
$$
\begin{equation*}
L_v(u):=\langle u,v\rangle:=\displaystyle\int u(x)v(x)\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
по норме
$$
\begin{equation}
\|v\|_{-m,p'}:=\sup_{0\ne u\in W^{p,m}_0} \frac{|\langle u,v\rangle|}{\|u\|_{m,p}}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Похожие результаты известны также для пространств Соболева–Орлича (см. [26] и ссылки на литературу там же). Вообще говоря, элементами $(W^{p,m})^\ast$ и $(W^{p,m}_0)^\ast$ являются распределения положительных порядков. Мы изучаем ситуацию, когда двойственность меняется на ассоциированность, и ограничиваемся исследованием двухвесовых пространств Соболева первого порядка на действительной оси: $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p}(I)$, $W^1_{p}(I)$. По схеме доказательства рефлексивности пространств $W^{p,m}$, $W_0^{p,m}$ доказывается рефлексивность $W^1_{p}(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_{p}(I)$ при условии локальной суммируемости весовых функций $v_0^p$, $v_0^{-p'}$, $v_1^p$, $v_1^{-p'}$. Основной мотивацией к исследованию ассоциированных пространств служит возможность применения принципа двойственности, позволяющего свести задачу об ограниченности линейного оператора (скажем, из пространства Соболева в пространство Лебега) к более изученным случаям с двойственным оператором (см., например, [27]–[34]). Пусть $1<p<\infty$. Будем предполагать, что существует $c\in I$ такая, что
$$
\begin{equation}
\|v_1^{-1}\|_{{L^{p'}(0,c)}}\|v_0\|_{{L^p}(0,c)}= \|v_1^{-1}\|_{L^{p'}(c,\infty)}\|v_0\|_{L^p(c,\infty)}=\infty.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Тогда $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)= W^1_p(I)$ по лемме 1.6 из [35], и в силу конструкции Ойнарова–Отелбаева (см. [35], [3], [2]) существует единственная пара строго возрастающих абсолютно непрерывных на $I$ функций $a(t)$ и $b(t)$ таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}[b] \, \notag \lim_{t\to 0}a(t)=\lim_{t\to 0}b(t)=0,\quad \lim_{t\to \infty}a(t)=\lim_{t\to \infty}b(t)=\infty,\quad a(t)<t<b(t)\quad (t>0), \\ \int_{a(t)}^t v_1^{-p'}=\int_t^{b(t)}v_1^{-p'},\quad t>0\qquad\textit{(условие равновесия)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_0^p\biggr)^{1/p}=1,\quad t>0.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, V_1(t):=\int_{\Delta(t)}v_1^{-p'},\qquad V_1^\pm(t):=\int_{\Delta^\pm(t)}v_1^{-p'}, \\ \Delta(t):=(a(t),b(t)),\quad \Delta^-(t):=(a(t),t),\quad \Delta^+(t):=(t,b(t)) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $a^{-1}(t)$ – обратная к $a(t)$ функция. Определим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t) \biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}, \\ \mathcal{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}, \\ \mathsf{G}(g)&:=\biggl(\,\int_0^\infty \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|g(x)|\,dx\biggr)^{p'} v_1^{-p'}(t)\,dt\biggr)^{1/p'} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и обозначим $W_p^1:=W_p^1(I)$, $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p:= \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$, $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1:= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1(I)$. Теорема 3.1 [36; теорема 3.1], [3; теорема 4.1], [3; теорема 4.5]. Пусть $1<p<\infty$ и $g\in L^1_{\rm loc}(I)$. Предположим, что $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда, во-первых, Также $J_{W_p^1}(g)<\infty$ в том и только том случае, когда Замечание 3.1. Пусть $v_0=v_1\equiv 1$. Тогда можно раскрыть правую часть (3.1) для $W^{1,p}(I)$, используя пример 7.2 в [2]. А именно, Лемма 3.1. Пусть $1<p<\infty$ и $X= \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$. Тогда функционал $\|g\|_{X'_{\rm w}}$ задает норму. Доказательство. Достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{X'_{\rm w}}=0\ \ \Longrightarrow\ \ g=0 \text{ п.в. на } (0,\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\|g\|_{X'_{\rm w}}=0$, то $\mathbb{G}(g)=\mathcal{G}(g)=0$. В частности, Следовательно, Лемма доказана. Пусть $1<r<\infty$ и $u\in {\mathscr V}_r(I)$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^r_u(I)&:=\bigl\{h\colon\|h\|_{r,u}:=\|uh\|_{L^r(I)}<\infty\bigr\}, \\ \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}&:=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon \|g\|_{\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}}:=\mathsf{G}(g)<\infty\bigr\}, \\ \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}&:=\bigl\{g\in L^1_{\rm loc}(I)\colon \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}:= \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g)<\infty\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.2. Из (3.5) вытекает неравенство типа Гёльдера (см. [1; теорема 2.4]) для пространств $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1$ и $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$: если $1<p<\infty$, то Нам потребуется альтернативная запись нормы в $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$ в терминах последовательности $\{\eta_k\}_{k\in\mathbb{Z}}$ вида
$$
\begin{equation*}
\eta_0=1, \qquad \eta_{k}=a^{-1}(\eta_{k-1})\quad (k\in\mathbb{N}), \qquad \eta_{k}=a(\eta_{k+1})\quad (-k\in\mathbb{N}).
\end{equation*}
\notag
$$
Эту запись мы укажем в следующей лемме; для этого обозначим
$$
\begin{equation*}
G^{(\delta)}(t):={[V_1(t)]^{\delta}}\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx,\qquad \delta=0,1,
\end{equation*}
\notag
$$
и отметим, что для $t\in[\eta_{k-1},\eta_k]$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}[t] \, G^{(\delta)}(t)=G_{1,k}^{(\delta)}(t)+G_{2,k}^{(\delta)}(t), \\ \begin{aligned} \, G_{1,k}^{(\delta)}(t)&:={V^{\delta}_1(t)}\int_t^{\eta_k} \frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx, \notag \\ G_{2,k}^{(\delta)}(t)&:={V^{\delta}_1(t)}\int_{\eta_k}^{a^{-1}(t)} \frac{g(x)}{V_1(x)}\biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta}\,dx. \notag \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Лемма 3.2. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда Доказательство. Верхняя оценка вытекает из (3.6) и соотношения
Чтобы доказать нижнюю оценку, предположим, что неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_I fg\biggr|\leqslant C\|f\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p}= C\{\|fv_0\|_p+\|f'v_1\|_p\}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнено с $C\approx\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$, и для $N\in\mathbb{N}$ определим следующие функции:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {F}_{1,N}^{(\delta)}(x)&:=\, \frac{\sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x)}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) [\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt, \\ {F}_{2,N}^{(\delta)}(x)&:=\, \frac{\sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x)}{V_1^-(x)} \int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{2,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f={F}^{(\delta)}_{1,N}+{F}^{(\delta)}_{2,N}$, то
$$
\begin{equation}
\int_I g(x)f(x)\,dx=\sum_{|k|\leqslant N}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Чтобы оценить норму
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{1,N}v_0\bigr\|_p^p&=\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x)\biggl|\frac{1}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr|^p\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
применим характеристики для весового неравенства Харди [37; с. 6], в силу которых
$$
\begin{equation*}
\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x)\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx\lesssim A_{1}^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где (см. (3.4))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{1}&:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_t^{\eta_k} v_0^{p}\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \leqslant 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя для случая $\delta=1$ соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag V_1(t)=2V_1^+(t)&\leqslant 2\int_{\eta_{k-1}}^{b(t)}v_1^{-p'}\leqslant 2\int_{\eta_{k-1}}^{b(x)}v_1^{-p'} \\ &\leqslant 2V_1(x)=4V_1^-(x),\qquad \eta_{k-1}\leqslant t\leqslant x, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
получаем для обоих $\delta=0,1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{1,N}v_0\bigr\|_p^p&\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_0^{p}(x) \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \notag \\ &\lesssim \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}=: [\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Аналогично, применяя соотношение
$$
\begin{equation}
V_1(t)=2V_1^+(t)\leqslant 2\int_{a(x)}^{b(\eta_k)}v_1^{-p'}\leqslant 2V_1(x)=4 V_1^-(x), \qquad \eta_k\leqslant x\leqslant\eta_{k+1},
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
оцениваем тем же самым способом норму функции ${F}^{(\delta)}_{2,N}$ и получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl\|{F}^{(\delta)}_{2,N}v_0\bigr\|_p^p&=\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_0^{p}(x) \biggl|\frac{1}{V_1^-(x)}\int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t) \bigl[\operatorname{sign}G^{(\delta)}_{2,k}(t)\bigr] \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr|^p\,dx \\ &\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}}v_0^{p}(x) \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\lesssim A_{2}^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где (см. (3.4))
$$
\begin{equation*}
A_{2}:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_{\eta_k}^{a^{-1}(t)} v_0^{p}\biggr)^{1/p}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\bigl\|{F}^{(\delta)}_{2,N}v_0\bigr\|_p^p\lesssim\sum_{|k|\leqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'}=: [\mathbf{G}^{(\delta)}_{2,N}(g)]^{p'}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Далее, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl[{F}_{1,N}^{(\delta)}(x)\bigr]'&=-\sum_{|k|\leqslant N} \chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x)\frac{[V_1^-(x)]'}{[V_1^-(x)]^2} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign}G^{(\delta)}_{1,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt+ \sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k-1},\eta_k]}(x) \\ &\qquad\times\begin{cases} v_1^{-p'}(x)[\operatorname{sign}G^{(0)}_{1,k}(x)]|G^{(0)}_{1,k}(x)|^{p'-1}& \\ \qquad-\displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)} \int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}[\operatorname{sign}G^{(0)}_{1,k}] |G^{(0)}_{1,k}|^{p'-1}, & \delta=0, \\ 2v_1^{-p'}(x)[\operatorname{sign} G^{(1)}_{1,k}(x)] |G^{(1)}_{1,k}(x)|^{p'-1}, & \delta=1, \end{cases} \\ \bigl[{F}_{2,N}^{(\delta)}(x)\bigr]'&=-\sum_{|k|\leqslant N} \chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x)\frac{[V_1^-(x)]'}{[V_1^-(x)]^2} \int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t)[\operatorname{sign} G^{(\delta)}_{2,k}(t)] \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt- \sum_{|k|\leqslant N}\chi_{[\eta_{k},\eta_{k+1}]}(x) \\ &\qquad\times\begin{cases} \displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)}\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}[\operatorname{sign} G^{(0)}_{2,k}]|G^{(0)}_{2,k}|^{p'-1}, & \delta=0, \\ \displaystyle\frac{v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)}{V_1^-(x)}& \\ \qquad\times[\operatorname{sign} G^{(1)}_{2,k}(a(x))]V_1^-(a(x)) |G^{(1)}_{2,k}(a(x))|^{p'-1}, & \delta=1, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\bigl\|[{F}_{1,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p \leqslant\begin{cases} I_1+\bigl[\mathbf{G}^{(0)}_{1,N}(g)\bigr]^{p'-1}+II_1, &\delta=0, \\ I_1+\bigl[\mathbf{G}^{(1)}_{1,N}(g)\bigr]^{p'-1}, &\delta=1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{|[V_1^-(x)]'|^p}{[V_1^-(x)]^{2p}} \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, II_1^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) [V_1^-(x)]^{-p}[v_1^{-p'}(a(x))a'(x)]^p \\ &\qquad\times\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}(t)|G^{(0)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание соотношение $v_1^{-p'}(a(x))a'(x)\leqslant 2v_1^{-p'}(x)$ (см. (3.24)) и используя (3.9) в случае $\delta=1$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1^p&\leqslant\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{|v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)|^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\leqslant \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{p}(x) \frac{[v_1^{-p'}(x)+v_1^{-p'}(a(x))a'(x)]^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\leqslant 3^{p}\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'} |G^{(\delta)}_{1,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
II_2^p\leqslant 2^p\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x) \bigl[V_1^-(x)\bigr]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'} \bigl|G^{(0)}_{1,k}\bigr|^{p'-1}\biggr)^p\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий ограниченности для оператора Харди [37; с. 6] имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}(t)|G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1} \,dt\biggr)^p\,dx\lesssim \mathbb{A}_1^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_1:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\,dx\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{A}_1^p&\leqslant\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^x v_1^{-p'}\biggr)^{-p}\,dx\biggr) \biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &=\frac{1}{p-1}\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k}\biggl[\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}-\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}\biggr]\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^tv_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &\leqslant\frac{1}{p-1}\,, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} \frac{v_1^{-p'}(x)} {[V_1^-(x)]^{p}}\biggl(\,\int_{\eta_{k-1}}^xv_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{1,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\qquad\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{1,k}^{(\delta)}|^{p'}=[\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\bigl\|[{F}_{1,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p \lesssim [\mathbf{G}^{(\delta)}_{1,N}(g)]^{p'-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, а также из (3.10) и (3.8), устремляя $N$ к бесконечности, извлекаем нужную оценку
$$
\begin{equation}
\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\gtrsim \sum_{k\in\mathbb{Z}}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Похожим образом, учитывая, что
$$
\begin{equation*}
V_1^-(x)=\frac{1}{2}V_1(x)\geqslant \frac{1}{2}V_1^+(a(x))= \frac{1}{4}V_1(a(x))
\end{equation*}
\notag
$$
для $\delta=1$, получаем
$$
\begin{equation*}
\bigl\|[{F}_{2,N}^{(\delta)}]'v_1\bigr\|_p\leqslant\begin{cases} I_2+II_2, &\delta=0, \\ I_2+[{G}^{(2)}_{1,N}(g)]^{p'-1}, &\delta=1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{p}(x) \frac{|[V_1^-(x)]'|^p}{[V_1^-(x)]^{2p}} \\ &\qquad\times \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(x)}^t v_1^{-p'}\biggr)^{1-\delta} [V_1(t)]^{\delta}|G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx, \\ II_2^p&:=\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} \frac{v_1^{p}(x)}{\bigl[V_1^-(x)\bigr]^{p}} [v_1^{-p'}(a(x))\,a'(x)]^p \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}|G^{(0)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, аналогично предыдущему случаю (см. также (3.11) для $\delta=1$),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2^p&\leqslant\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{p}(x) \frac{|v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)|^p}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'} |G^{(\delta)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx \\ &\lesssim \sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}|G^{(\delta)}_{2,k}|^{p'-1}\biggr)^p\,dx, \\ II_2^p&\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t)|G^{(0)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Снова из неравенства Харди [37; c. 6] следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}}\! v_1^{-p'}(x)[V_1^-(x)]^{-p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}} v_1^{-p'}(t) |G^{(0)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx\lesssim \mathbb{A}_2^p\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}\! v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{A}_2:=\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_{\eta_{k}}^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}(x) [V_1^-(x)]^{-p}\,dx\biggr)^{1/p} \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{A}_2^p&\leqslant\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl(\,\int_{\eta_{k}}^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_{t}^x v_1^{-p'}\biggr)^{-p}\,dx\biggr) \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &=\frac{1}{p-1}\sup_{\eta_{k-1}<t<\eta_k} \biggl[\biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}- \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} v_1^{-p'}\biggr)^{1-p}\biggr] \biggl(\,\int_t^{\eta_{k}} v_1^{-p'}\biggr)^{p-1} \\ &\leqslant\frac{1}{p-1}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k}}^{\eta_{k+1}} \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^{p}} \biggl(\,\int_{a(x)}^{\eta_{k}}v_1^{-p'}(t) |G^{(\delta)}_{2,k}(t)|^{p'-1}\,dt\biggr)^p\,dx \\ &\qquad\lesssim\sum_{|k|\leqslant N}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{2,k}^{(\delta)}|^{p'}= [\mathbf{G}^{(\delta)}_{2,N}(g)]^{p'}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что в комбинации с (3.12) и (3.8) влечет неравенство
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\gtrsim \sum_{k\in\mathbb{Z}}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)\bigl|G_{2,k}^{(0)}(t)\bigr|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)\bigl|G_{2,k}^{(1)}(t)\bigr|^{p'}\,dt\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
при $N\to\infty$. Таким образом (см. также (3.13)), требуемая оценка установлена. Лемма доказана. Лемма 3.2 является основанием для доказательства следующего утверждения. Лемма 3.3. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда пространство $\mathfrak{L}_{p',1/v_1}$ плотно в $\mathcal{L}_{p',1/v_1}$. Доказательство. Пусть $g\in \mathcal{L}_{p',1/v_1}$. Тогда в силу (3.7)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\lim_{n\to\infty}\sum_{|k|\geqslant n}\biggl\{\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(0)}(t)|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{1,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt+\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{2,k}^{(1)}(t)|^{p'}\,dt\biggr\}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Для некоторого $N\in\mathbb{N}$ положим $g_N:=\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g$. Тогда
$$
\begin{equation*}
G(|g_N|)^{p'}=\biggl\{\int_0^{\eta_{-N-1}}+\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}+ \int_{\xi_{N}}^{\infty}\biggr\}\,v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)}|g_N|\biggr)^{p'}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^{\eta_{-N-1}}v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)} |\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx=0 \\ &\qquad=\int_{\eta_{N}}^\infty v_1^{-p'}(x) \biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)}|\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для оставшегося интеграла имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}v_1^{-p'}(x)\biggl(\,\int_x^{a^{-1}(x)} |\chi_{[\eta_{-N},\eta_N]}g|\biggr)^{p'}\,dx\leqslant \int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N}}v_1^{-p'} \biggl(\,\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{N+1}}|g|\biggr)^{p'}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что $g_N\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$.
Обозначим $G_{i,k}^{(\delta)}(t)=:H_{i,k}^{(\delta)}g(t)$, $i=1,2$, и запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|g-g_N\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\, \sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t) \bigl|H_{i,k}^{(\delta)}g(t)-H_{i,k}^{(\delta)}g_N(t)\bigr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{k\in\mathbb{Z}} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}(t)\bigl|H_{i,k}^{(\delta)} (\chi_{(0,\eta_{-N})}g)(t) +H_{i,k}^{(\delta)}(\chi_{(\eta_{N},\infty)}g)(t)\bigr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{k\leqslant -N-1} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k}v_1^{-p'}|G_{i,k}^{(\delta)}|^{p'}+ \sum_{\delta=1,2}\int_{\eta_{-N-1}}^{\eta_{-N}}v_1^{-p'} |G_{1,N}^{(\delta)}|^{p'} \\ &\qquad\qquad+\sum_{\delta=1,2}\int_{\eta_{N-1}}^{\eta_{N}} v_1^{-p'}|G_{2,N}^{(\delta)}|^{p'}+\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\, \sum_{k\geqslant N+1}\int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}|G_{i,k}^{(\delta)}|^{p'} \\ &\qquad\leqslant\sum_{i=1,2}\,\sum_{\delta=1,2}\,\sum_{|k|\geqslant N} \int_{\eta_{k-1}}^{\eta_k} v_1^{-p'}(t)|G_{i,k}^{(\delta)}(t)|^{p'}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда утверждение леммы вытекает на основе (3.14). Теперь сделаем важное дополнение к последнему утверждению теоремы 3.1. Замечание 3.3. Пусть $X=W_p^1$. Тогда по теореме 3.1 Действительно, если $g_0\in X'_{\rm w}$, то в силу [3; теорема 2.5]
$$
\begin{equation*}
\|g_0\|_{X'_{\rm w}}=J_X(g_0)<\infty\ \ \Longleftrightarrow \ \ \infty>\mathbf{J}_X(g_0)=\|g_0\|_{\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}}=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. имеет место противоречие. Пусть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X'_{\rm ext}&:=\Bigl\{g\in\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}\colon \text{ существует } \{g_k\}\subset X'_{\rm w} \textrm{ такая, что } \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\lim_{k\to\infty}\|g-g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=0 \textrm{ и } \|g\|_{X'_{\rm ext}}:=\lim_{k\to\infty}\|g_k\|_{X'_{\rm w}}\Bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что определение $X'_{\rm ext}$ не зависит от выбора $\{g_k\}$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
X'_{\rm ext}\hookrightarrow\mathcal{L}_{p',1/{v_1}} \quad\text{и}\quad \|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\leqslant \|g\|_{X'_{\rm ext}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, пусть $g\in\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$. Тогда по лемме 3.3 найдется последовательность $\{g_k\}\subset \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}} \subset X'_{\rm w}$ такая, что $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=\lim_{k\to\infty} \|g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}=\|g\|_{X'_{\rm ext}}$. Следовательно, $g\in X'_{\rm ext}$ и справедливо вложение $\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}\subset X'_{\rm ext}$, причем $\|g\|_{X'_{\rm ext}}=\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$. Таким образом, с равенством норм. Следующее техническое утверждение понадобится нам для доказательства следствия 3.1, из которого вытекает, что $[X'_{\rm w}]'_{\rm s}=\{0\}$. Лемма 3.4. Пусть $1<p<\infty$, $[c,d]\subset (0,\infty)$ и $h\in L^1([c,d])$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдется $g\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$ такая, что $|g|=|h|V_1$ на $[c,d]$ и $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}< \varepsilon$. Доказательство. Сначала покажем, что для $g$ с $\operatorname{supp}g\subset[c,d]$
$$
\begin{equation}
\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}\lesssim [V_1(c)]^{p'+1}\biggl|\int_c^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}+ \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d\frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Начнем с функционала $\mathcal{G}(g)$, для которого в силу неравенства треугольника верна оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{G}(g\chi_{[c,d]})&\leqslant\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) V_1^{p'}(t)\,\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\qquad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как для любого $\alpha>0$
$$
\begin{equation}
\int_{a(t)}^t v_1^{-p'}[V_1^+]^{\alpha}\leqslant \int_{a(t)}^t v_1^{-p'}(x)\biggl[\int_{a(t)}^{b(x)} v_1^{-p'}\biggr]^{\alpha}\,dx\leqslant [V_1(t)]^{\alpha+1} ,
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad=\int_{a(c)}^c v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_c^d \frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt+\int_{c}^d v_1^{-p'}(t) V_1^{p'}(t)\biggl|\int_t^d\frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \notag \\ &\qquad\lesssim [V_1(c)]^{p'+1}\biggl|\int_c^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}+ \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d \frac{g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Подстановкой $y=a^{-1}(t)$, применяя (3.24) и неравенство $V_1^+(a(y))\leqslant V_1(y)$, получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^{a(d)}v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{a^{-1}(t)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(a(y))V_1^{p'}(a(y))a'(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad\lesssim \int_{c}^{d} v_1^{-p'}(y)V_1^{p'}(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(y)V_1^{p'}(y) \biggl|\int_{y}^d\frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает оценка (3.15) для компоненты $\mathcal{G}(g\chi_{[c,d]})$ нормы $\|g\chi_{[c,d]}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}$. Чтобы показать то же самое для $\mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})$, запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^dv_1^{-p'}(t)\biggl|\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx\biggr|^{p'}\,dt \\ &\qquad=\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)\biggl|\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y) \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(y)} \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr)\,dy\biggr|^{p'}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенств треугольника и Гёльдера
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})&=\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_t^{a^{-1}(y)} \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant \biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_t^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\quad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{a(d)}v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y) \biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|\,dy\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\leqslant\biggl(\,\int_{a(c)}^d v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl|\int_t^d\frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'} \\ &\quad+\biggl(\,\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'-1}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'}(y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}g}{V_1}\biggr|^{p'}\,dy\biggr)\,dt\biggr)^{1/p'}\!. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду того, что (см. (3.16) и (3.24))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'-1}(t) \biggl(\,\int_{a(t)}^tv_1^{-p'} (y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy\biggr)\,dt \\ &\qquad=\int_{a(a(c))}^{a(d)} v_1^{-p'} (y)\biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'} \biggl(\,\int_y^{a^{-1}(y)} v_1^{-p'}(t)\,V_1^{p'-1}(t)\,dt\biggr)\,dy \\ &\qquad\lesssim\int_{a(c)}^{a(d)} v_1^{-p'} (y)V_1^{p'}(a^{-1}(y)) \biggl|\int_{a^{-1}(y)}^d \frac{\chi_{[c,d]}(x)g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy \\ &\qquad\lesssim\int_{c}^{d} v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t)\biggl|\int_{t}^d \frac{g(x)}{V_1(x)}\,dx\biggr|^{p'}\,dy, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
оценка (3.15) для компоненты $\mathbb{G}(g\chi_{[c,d]})$ следует с учетом (3.17).
На следующем шаге зафиксируем $\varepsilon>0$ и положим
$$
\begin{equation*}
n>\varepsilon^{-1}\biggl(\,\int_c^d v_1^{-p'}V_1^{p'}\biggr)^{1/p'}\int_c^d|h|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\{\alpha_i\}_{i=0}^n$ – разбиение отрезка $[c,d]$ такое, что $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}|h|= n^{-1}\displaystyle\int_c^d|h|$. Выберем $\beta_i\in[\alpha_i,\alpha_{i+1}]$ таким образом, чтобы выполнялось равенство $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\beta_{i}}|h|= \displaystyle\int_{\beta_i}^{\alpha_{i+1}}|h|$, $i\in\{0,\dots,n-1\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde{g}:=V_1|h|\sum_{i=0}^{n-1}(\chi_{[\alpha_i,\beta_i]}- \chi_{(\beta_i,\alpha_{i+1)}}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\widetilde{g}\in \mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$, $|\widetilde{g}|=|h|V_1$ на $[c,d]$, $\displaystyle\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}\dfrac{\widetilde{g}}{V_1}=0$ для $i=0,\dots,n-1$ и (см. (3.15))
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\widetilde{g}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}^{p'}&\lesssim \int_{c}^{d}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_x^d \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_x^{\alpha_{i+1}} \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}(x)V_1^{p'}(x) \biggl|\int_{\alpha_{i}}^x \frac{\widetilde{g}}{V_1}\biggr|^{p'}\,dx \\ &\leqslant \sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\,\int_{\alpha_{i}}^{\alpha_{i+1}}|h|\biggr)^{p'} \int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}V_1^{p'} \\ &=n^{-p'}\biggl(\,\int_{c}^{d} |h|\biggr)^{p'}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\alpha_i}^{\alpha_{i+1}}v_1^{-p'}V_1^{p'} \\ &=n^{-p'}\biggl(\,\int_{c}^{d} |h|\biggr)^{p'}\int_{c}^{d}v_1^{-p'}V_1^{p'}< \varepsilon^{p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Следствие 3.1. Пусть $f\in\mathfrak{M}(I)$. Если $\operatorname{mes}\{x\in I\colon f(x)\ne 0\}>0$, то Доказательство. Пусть $f\not\equiv 0$. Тогда существует отрезок $[c,d]\subset I$ такой, что $c<d$ и $\operatorname{mes}\bigl((c,d)\cap \{x\in I\colon f(x)\ne 0\}\bigr)>0$. Зафиксируем произвольное $\varepsilon> 0$. По лемме 3.4 найдется $\widetilde{g}\in\mathfrak{L}_{p',1/{v_1}}$ с $\operatorname{supp}\widetilde{g}=[c,d]$ такая, что $\|\widetilde{g}\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}< \varepsilon$ и $|\widetilde{g}|=V_1$ на $(c,d)$. Тогда Следствие доказано. В заключительной части раздела мы получим основной результат. Начнем со вспомогательных утверждений. Лемма 3.5. Пусть $1<p<\infty$, $v_0,v_1\in {\mathscr V}_p(I)$, $1/v_1\in L^{p'}_{\rm loc}(I)$ и выполнено условие (3.2). Тогда и для любой $g\in L_{1/{v_0}}^{p'}(I)$. Доказательство. Так как
$$
\begin{equation}
V_1^+(t)\leqslant\int_{t}^{b(x)}v_1^{-p'}\leqslant V_1(x)=2V_1^-(x),\qquad t\leqslant x\leqslant a^{-1}(t),
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
то
$$
\begin{equation*}
\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\lesssim\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t) \biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|g(x)|\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (3.19) будет следовать из оценки
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} |g(x)|\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}\leqslant C\|g\|_{p',1/{v_0}}.
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Рассмотрим двойственное к (3.21) неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_0^\infty v_0^{p}(y) \biggl(\,\int_{a(y)}^y|f|\biggr)^{p}\,dy\biggr)^{1/p}\leqslant C\|f\|_{p,v_1},
\end{equation*}
\notag
$$
которое является следствием оценки
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_0^\infty v_0^{p}(y) \biggl(\,\int_{a(y)}^{b(y)}|f|\biggr)^{p}\,dy\biggr)^{1/p}\leqslant C_1\|f\|_{p,v_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно [3; теорема 3.1], что
$$
\begin{equation*}
C_1\approx\mathcal{A}:=\sup_t\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}v_0^{p}\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $V_0(t):=\displaystyle\int_{a(t)}^{b(t)}v_0^p$, $V_0^\pm(t):=\displaystyle\int_{\Delta^\pm(t)}v_0^p$. Из (3.20) получаем
$$
\begin{equation*}
V_1^+(t)\leqslant V_1(a^{-1}(t)),\qquad \int_t^{a^{-1}(t)}v_0^p\leqslant\int_t^{b(a^{-1}(t))}v_0^p=:V_0^+(a^{-1}(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, в силу (3.4)
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_a(t):=\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{t}^{a^{-1}(t)}v_0^{p}\biggr)^{1/p}\leqslant V_1(a^{-1}(t))^{1/p'}V_0(a^{-1}(t))^{1/p}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}_b(t):=\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^tv_0^{p}\biggr)^{1/p}\leqslant V_1(b^{-1}(t))^{1/p'}V_0(b^{-1}(t))^{1/p}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}\approx\sup_{t>0}[\mathcal{A}_a(t)+\mathcal{A}_b(t)]\lesssim 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и соотношение (3.19), а с ним и лемма доказаны. Следствие 3.2. Пусть $1<p<\infty$ и $f\in \mathfrak{D}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$ (см. (0.1)). Если выполнены условия леммы 3.5, то вложение (3.18) влечет соотношения $f\in L_{v_0}^p(I)$ и Лемма 3.6. Пусть $1<p<\infty$ и выполнены условия леммы 3.5. Если $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$, то $f=\widetilde{f}$ п. в., где $\widetilde{f}\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
g_\phi(x):=\frac{d\phi}{dx}\,,\qquad \phi\in C_0^\infty(I).
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $g_\phi\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$. Для этого продемонстрируем справедливость неравенств $\mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}$ и $\mathcal{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}$. Принимая во внимание равенство
$$
\begin{equation}
v_1^{-p'}(a(x))a'(x)+v_1^{-p'}(b(x))b'(x)= 2v_1^{-p'}(x),
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
которое следует из условия равновесия (3.3), запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g_\phi(x)}{V_1(x)} \biggl(\,\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}\biggr)\,dx=-\phi(t)+\int_t^{a^{-1}(t)}\phi(x) \biggl\{\frac{v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{V_1^-(x)} \notag \\ &\qquad\qquad+\frac{v_1^{-p'}(x)\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}}{[V_1^-(x)]^2}- \frac{v_1^{-p'}(a(x))a'(x)\int_{a(x)}^tv_1^{-p'}}{[V_1^-(x)]^2}\biggr\}\,dx \notag \\ &\qquad\leqslant |\phi(t)|+ 5\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}+ \biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $h=v_1^{-1}|\phi|$ и рассмотрим двойственное к
$$
\begin{equation}
\biggl(\,\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{1-p'}(x)h(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt\biggr)^{1/p'}\leqslant C\|h\|_{p'}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
неравенство вида
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_0^\infty \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^p} \biggl(\,\int_{a(x)}^x{v_1^{-1}(t)|\psi(t)|}\,dt\biggr)^{p}\,dx\biggr)^{1/p} \leqslant C\|\psi\|_{p},
\end{equation*}
\notag
$$
которое следует из оценки
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_0^\infty \frac{v_1^{-p'}(x)}{[V_1^-(x)]^p} \biggl(\,\int_{a(x)}^{b(x)}{v_1^{-1}(t)|\psi(t)|}\,dt\biggr)^p\,dx\biggr)^{1/p} \leqslant C_2\|\psi\|_{p}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу критериев ограниченности операторов Харди–Стеклова [38; теорема 1]
$$
\begin{equation*}
C_2\approx\mathscr{A}:=\sup_t\biggl(\,\int_{a(t)}^{b(t)}v^{-p'}_1\biggr)^{1/p'} \biggl(\,\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}\frac{v^{-p'}_1}{[V_1^-]^p}\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\displaystyle\int_{b^{-1}(t)}^{a^{-1}(t)}{v^{-p'}_1}{[V_1^-]^{-p}} \lesssim V_1^{1-p}(t)$ (см. [2; (5.18)]), то $\mathscr{A}\lesssim 1$, поэтому $\mathbb{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}<\infty$.
Аналогичным образом получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g_\phi(x)}{V_1(x)}\,dx \\ &\qquad=\frac{\phi(a^{-1}(t))}{V_1^-(a^{-1}(t))}-\frac{\phi(t)}{V_1^-(t)} +\int_t^{a^{-1}(t)}\phi(x)\, \frac{v_1^{-p'}(x)-v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx \\ &\qquad\leqslant \frac{|\phi(a^{-1}(t))|} {V_1^-(a^{-1}(t))} +\frac{|\phi(t)|}{V_1^-(t)} +\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $2v_1^{-p'}(a^{-1}(t))[a^{-1}(t)]'\geqslant v_1^{-p'}(t)$ (см. (3.24) с $x=a^{-1}(t)$) и $V_1(a^{-1}(t))\geqslant V_1^+(t)=V_1(t)/2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)V_1^{p'}(t) \biggl[\frac{|\phi(a^{-1}(t))|}{V_1^-(a^{-1}(t))}+ \frac{|\phi(t)|}{V_1^-(t)}\biggr]^{p'}\,dt \\ &\qquad\lesssim \int_0^\infty [a^{-1}(t)]'|\phi(a^{-1}(t)) v_1^{-1}(a^{-1}(t))|^{p'}\,dt+\int_0^\infty |\phi(t)v_1^{-1}(t)|^{p'}\,dt \simeq \|\phi\|_{p',v_1^{-1}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее (см. (3.26)),
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\,V_1^{p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+ v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{[V_1^-(x)]^2}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)}|\phi(x)|\, \frac{v_1^{-p'}(x)+ v_1^{-p'}(a(x))a'(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\leqslant 3\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{-p'}(x)|\phi(x)|}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt \\ &\qquad\simeq\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)\biggl(\,\int_t^{a^{-1}(t)} \frac{v_1^{1-p'}(x)h(x)}{V_1^-(x)}\,dx\biggr)^{p'}\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\mathcal{G}(g_\phi)\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}<\infty$ и
$$
\begin{equation}
\|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\lesssim \|\phi\|_{p',1/{v_1}}.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Из (3.27) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I f\phi'\bigr|}{\|\phi\|_{p',1/{v_1}}}&\lesssim \sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I fg_\phi\bigr|}{\|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}} \notag \\ &\leqslant\sup_{g\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}} \frac{\bigl|\int_I fg\bigr|}{\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}}= J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Теперь положим $\Lambda\phi:=\displaystyle\int_I f\phi'$, $\phi\in C^\infty_0(I)$. В силу (3.28) справедливо неравенство $|\Lambda\phi|\lesssim\|\phi\|_{p',1/{v_1}}$. По теореме Хана–Банаха можно продолжить $\Lambda$ до $\widetilde{\Lambda}\in (L^{p'}_{1/{v_1}}(I))^\ast$. По теореме Рисса о представлении существует $u\in L^p_{v_1}(I)$ такая, что $\widetilde{\Lambda}h=-\displaystyle\int_I uh$, $h\in L^{p'}_{1/{v_1}}(I)$. Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation}
-\int_I u\phi=\int_I f\phi',\qquad \phi\in C_0^\infty(I),
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
т. е. $u$ является обобщенной производной функции $f$. Поэтому, согласно [39; теорема 7.13], функция $f$ п. в. совпадает с некоторой $\widetilde f\in \operatorname{AC}_{\rm loc}(I)$ и $u=\widetilde{f}'$. Из (3.29) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)\geqslant\sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I fg_\phi\bigr|}{\|g_\phi\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}} \gtrsim\sup_{0\ne \phi\in C^\infty_0(I)} \frac{\bigl|\int_I \widetilde{f}'\phi\bigr|}{\|\phi\|_{p',1/{v_1}}}= \|\widetilde{f}'\|_{p,v_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Основной результат работы содержится в следующем утверждении. Теорема 3.2. Пусть $1<p<\infty$ и $f\in\mathfrak{D}_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}$. Тогда $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$ в том и только том случае, когда $f=\widetilde{f}$ п. в., $\widetilde{f}\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p$ и $\|f\|_{W^1_p}\approx J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)$. Как следствие, справедливы равенства Доказательство. Достаточность следует из замечания 3.2.
Необходимость. Неравенствами (3.22) и (3.23) установлено, что $\widetilde{f}\in W^1_p$. Покажем, что $\operatorname{supp}\widetilde{f}$ ограничен в $[0,\infty)$. Пусть $E:=\{x\in I\colon|\widetilde f(x)|>0\}$. Так как $|\widetilde f|$ непрерывна на $I$, то $E$ – открытое множество. Предположим, что $\operatorname{mes}((b,\infty)\cap E)>0$ для любого $b\in I$. Тогда найдется последовательность отрезков $\{[a_k,b_k]\}_1^\infty\subset I$ такая, что
$$
\begin{equation*}
b_k<a_{k+1}\quad\text{и}\quad m_k:=\min_{x\in [a_k,b_k]}|\widetilde f(x)|V_1(x)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\theta_k:=\dfrac{1}{k m_k(b_k-a_k)}$. По лемме 3.4 можно подобрать функции $g_k\in \mathcal{L}_{p',1/{v_1}}$ такие, что $\|g_k\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}<2^{-k}$ и $|g_k|=\theta_k V_1$ на $(a_k,b_k)$. Пусть $g:=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty g_k$. Тогда $\|g\|_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}\leqslant 1$ и
$$
\begin{equation*}
\int_I|\widetilde{f}g|\geqslant \sum_{k=1}^\infty \theta_k m_k(b_k-a_k)= \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а это противоречит тому, что $J_{\mathcal{L}_{p',1/{v_1}}}(f)<\infty$.
Аналогично можно показать, что $\limsup_{t\to 0+}|\widetilde{f}(t)|=0$. Отсюда следует, что $\operatorname{supp}\widetilde{f}\subset [0,\infty)$ компактен. Теорема доказана. Замечание 3.4. Результаты этого раздела справедливы для пространств Соболева $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ на произвольном интервале $I=(a,b)\subset \mathbb{R}$ при выполнении условия (3.2). 4. Критерий ограниченности преобразования Гильберта из весового пространства Соболева в весовое пространство ЛебегаВажной задачей гармонического анализа является характеризация весовых неравенств для норм с оператором Гильберта. Первой работой в этом направлении была статья К. И. Бабенко [40] об ограниченности сопряженной функции в пространстве Лебега со степенным весом. Далее эта задача рассматривалась с семидесятых годов прошлого столетия, и в статье Р. Ханта, Б. Мукенхоупта и Р. Уидена [41] было установлено, что преобразование Гильберта ограничено в весовых пространствах Лебега $L^p_w$, $1<p<\infty$, тогда и только тогда, когда вес $w$ принадлежит классу Мукенхоупта $A_p$. Дальнейшие попытки распространить этот результат на более общие случаи параметров суммирования и весов в $L^p_w$ столкнулись с серьезными трудностями (см. [42]–[44] для случая $p=2$ и различных весов). Некоторый прогресс, однако, был достигнут сужением на подклассы в $L^p_w$ (см., например, [45], [46]). В этой части работы изучается действие преобразования Гильберта
$$
\begin{equation*}
Hf(x)=\textrm{p.v.}\int_0^\infty\frac{f(t)}{x-t}\,dt, \qquad x>0,
\end{equation*}
\notag
$$
из весового пространства Соболева первого порядка в весовое пространство Лебега на полуоси. В частности, устанавливаются достаточные условия ограниченности $H\colon \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} _p^1(I)\to L^q_w(I)$ для $1<p,q<\infty$ и некоторых классов весов $v_0,v_1,w\in\mathfrak{M}^+(I)$. Основные результаты раздела взяты из [47]. Мы предполагаем, что весовые функции $v_0$ и $v_1$ таковы, что
$$
\begin{equation}
\|f\|_{{p},{v_0}}\lesssim\|f'\|_{{p},{v_1}}, \qquad f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В силу [37; замечание 1.4] требование (4.1) выполнено тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation*}
{\mathbf A}_0:=\sup_{(s,t)\subset I}\biggl(\,\int_s^t v_0^p\biggr)^{1/p} \biggl(\min\biggl\{\int_0^s v_1^{-p'},\int_t^\infty v_1^{-p'}\biggr\}\biggr)^{1/p'}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае т. е. норма в двухвесовом пространстве Соболева $W_{p}^1(I)$ эквивалентна норме $\|f'\|_{{p},{v_1}}$ “одновесового пространства Соболева”. В общем случае, очевидно, первое пространство строго меньше второго. Лемма 4.1. Пусть $1<p<\infty$ и весовые функции $v_0$ и $v_1$ таковы, что Отсюда, на основе (4.2), (4.4), (4.5) и в силу плотности $ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)$ в $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$, имеем
$$
\begin{equation*}
\|H\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)}=\sup_{0\ne f\in \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)} \frac{\|Hf\|_{q,{w}}}{\|f\|_{W_p^1(I)}}\approx \sup_{0\ne f\in \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} _p^1(I)}\frac{\|Lf'\|_{q,{w}}}{\|f'\|_{p,{v_1}}}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
\|H\|_{ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)}=\|H\|_{ \overset{{\scriptscriptstyle{\circ}{\circ}}}W{} ^1_p(I)\to L^q_{w}(I)} \lesssim\sum_{i=1}^3\|L_i\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $H$ продолжено на $ \overset{{{\scriptscriptstyle \circ}}}W{} ^1_p(I)$ по непрерывности. В трех приводимых ниже теоремах даны вспомогательные двусторонние оценки норм $\|L_i\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}$, $i=1,2,3$, представляющие и самостоятельный интерес. Неравенство $\|L_1g\|_{q,w}\lesssim\|g\|_{p,{v_1}}$ охарактеризовано в [48] при условии $v_1\in \mathfrak{M}^\uparrow$. Теорема 4.1 [48]. Пусть $1<p<\infty$, $0<q<\infty$, $1/r=(1/q-1/p)_+$, $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow$. Тогда неравенство выполнено в том и только том случае, когда (i) $A<\infty$ при $1<p\leqslant q<\infty$, где
$$
\begin{equation}
A:=\sup_{t\in I}\biggl(\,\int_t^\infty \frac{w^q(x)\,dx}{x^q}\biggr)^{1/q} \biggl(\,\int_0^t\frac{x^{p'}\,dx}{v_1^{p'}(x)}\biggr)^{1/p'},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
и $C=\|L_1\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx A$; (ii) $B<\infty$ при $0<q<p<\infty$ и $p>1$, где и $C=\|L_1\|_{L_{v_1}^p(I)\to L^q_{w}(I)}\approx B$.В следующей теореме приводятся оценки для $L_2$. Теорема 4.2. Пусть $1<p<\infty$, $1<q<\infty$, $1/r=(1/q-1/p)_+$, $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow$, а также существует константа $\gamma>0$ такая, что $x^{-\gamma}v_1(x)\in\mathfrak{M}^\downarrow$. Тогда неравенство Теперь оценим норму оператора $L_3$. Теорема 4.3. Неравенство Замечание 4.1. (a) Пусть $a(x)=3x$, $k(y,x)=\log(y/x)$. Тогда (b) Неравенства (4.9) и (4.11) охарактеризованы в [49; теорема 3.2] и [49; теорема 3.1] соответственно. Сформулируем оценки в случае, когда $p\leqslant q$. Случай $q<p$ также охарактеризован, но в дискретной форме, поэтому мы опускаем детали. Применяя теорему 3.2 из [49] для наилучшей константы $D$ в (4.9), находим
$$
\begin{equation*}
D\approx {\mathcal A}_0+{\mathcal A}_1,\qquad p\leqslant q,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal A}_0&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{3t/2<s<t} \biggl(\,\int_s^t(x-s)^q w^q(x)\,dx\biggr)^{1/q} \biggl(\,\int_{3t/2}^{2s} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}, \\ {\mathcal A}_1&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{3t/2<s<t} \biggl(\,\int_s^t w^q\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{3t/2}^{2s} (2s-y)^{p'}v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, применяя теорему 3.1 из [49] для наименьшей константы $D_1$ в (4.11), получаем
$$
\begin{equation*}
D_1\approx {\mathcal A}^*_0+{\mathcal A}^*_1,\qquad p\leqslant q,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {\mathcal A}^*_0&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{s<t<3s/2}\biggl(\,\int_s^t(t-x)^q w^q(x)\,dx\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{2t}^{3s} v_1^{-p'}\biggr)^{1/p'}, \\ {\mathcal A}^*_1&:=\sup_{t\in I}\,\sup_{s<t<3s/2} \biggl(\,\int_s^t w^q\biggr)^{1/q}\biggl(\,\int_{2t}^{3s}(y-2t)^{p'} v_1^{-p'}(y)\,dy\biggr)^{1/p'}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (4.6) и теорем 3.1, 4.2, 4.3 следует основной результат раздела. Теорема 4.4. Пусть $1<p$, $q<\infty$. Предположим, что ${\mathbf A}_1<\infty$ (см. (4.3)), $v_1\in\mathfrak{M}^\uparrow(I)$ и существует $\gamma>0$ такое, что $x^{-\gamma}v_1(x)\in\mathfrak{M}^\downarrow$. Тогда 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SteUsh23} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|