Аннотация:
В работе дан обзор исследований последнего десятилетия и приведены новые результаты по различным новым модификациям классической задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. Подробно обсуждаются нелинейные задачи Канторовича, задачи с ограничениями на плотности транспортных планов, задачи оптимальной транспортировки с параметрами. Кроме того, рассмотрены связанные с этими новыми постановками вопросы геометрии и топологии пространств мер.
Библиография: 134 названия.
Ключевые слова:
задача Канторовича, нелинейная задача Канторовича, задача Монжа, метрика Канторовича, оптимальная транспортировка, условная мера.
Цель этого обзора – рассказать о возникших в последнее десятилетие новых направлениях исследований задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В дополнение к известным монографиям [118] и [128], в которых подробное изложение охватывает основные достижения XX в., теперь имеется целый ряд более недавних подробных монографических освещений этой проблематики – см. [5], [7], [66], [69], [120], [129], [131], а также обзор [33], посвященный столетию Л. В. Канторовича, где подробно изложены основные достижения после выхода его основополагающей краткой заметки [84]. Тем не менее интенсивное развитие этой тематики опережает ее книжное изложение. За последнее десятилетие появилось несколько интересных новых модификаций классической задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В многообразии новых постановок задач, идей и методов, связанных с проблематикой Канторовича, можно выделить нелинейные задачи типа Канторовича, в которых минимизируются интегралы от функций, зависящих также от мер, по которым производится интегрирование, версии классической задачи с ограничениями на плотности транспортных планов (что не укладывается в другую интересную разновидность задачи Канторовича – оптимальные планы с дополнительными ограничениями), а также задачи Канторовича с параметрами. Цель этой статьи – дать систематическое освещение задач Канторовича с новыми постановками. Многие из приводимых ниже результатов имеют довольно сложные и длинные доказательства, поэтому такие результаты приводятся далее со ссылками на оригинальные работы. Однако в некоторых важных случаях включены и доказательства, особенно это касается утверждений, которые в оригинальных работах появились в каких-то специальных ситуациях, например для метрических пространств, но сохраняют силу для общих вполне регулярных пространств. Сведения о жизни и творчестве Л. В. Канторовича можно найти в изданных к его столетию материалах (см. [85], [124]–[126], а также [9]).
Чтобы сформулировать новые варианты задачи Канторовича, напомним ее классическую версию (в современном виде, поскольку сам Канторович рассматривал ее в более специальном случае). Пусть даны вероятностные пространства (X,BX,μ) и (Y,BY,ν) и неотрицательная BX⊗BY-измеримая функция h (называемая функцией стоимости) на произведении X×Y. В основополагающей работе самого Канторовича X и Y были метрическими компактами с борелевскими мерами, а функция стоимости (ее значение на паре точек x, y интерпретировалось как работа по перемещению единицы массы из x в y) была непрерывна; в важнейших примерах, в том числе в работах [87] и [88] с Г. Ш. Рубинштейном, а также в монографии [86; гл. VIII, § 4] она равна расстоянию. Впрочем, уже в [84] было отмечено, что “некоторые из приведенных определений и результатов могут быть высказаны и для пространств более общего вида”. Обозначим через Π(μ,ν) множество всех вероятностных мер на пространстве (X×Y,BX⊗BY), имеющих проекции μ и ν на сомножители, т. е. мер σ, для которых
σ(A×Y)=μ(A),A∈BX,σ(X×B)=ν(B),B∈BY.
Меры из множества Π(μ,ν) называются транспортными планами или планами Канторовича. Заданные меры μ и ν называются маргинальными распределениями. Обозначив проекции заданной на (X×Y,BX⊗BY) меры σ на сомножители через σX и σY, предыдущее равенство можно записать в виде
σX=μ,σY=ν.
Задача Канторовича состоит в минимизации интеграла
∫X×Yh(x,y)σ(dxdy)
по мерам σ∈Π(μ,ν). При широких условиях такая задача Канторовича имеет решение, т. е. существует мера из Π(μ,ν), на которой достигается минимум. Такая мера (она не всегда единственна) называется оптимальной мерой или оптимальным планом Канторовича. Например, решение существует, если функция стоимости на произведении вполне регулярных пространств с радоновскими мерами полунепрерывна снизу и ограничена (см. [33]). Вместо ограниченности достаточно существования меры в Π(μ,ν), по которой функция стоимости интегрируема. Конечно, можно считать, что если интегралы от функции стоимости по всем планам бесконечны, то минимум тоже есть и равен бесконечности. В общем случае есть инфимум Kh(μ,ν) указанных интегралов (возможно, бесконечный):
Kh(μ,ν)=infσ∈Π(μ,ν)∫X×Yh(x,y)σ(dxdy).
Аналогично ставится мультимаргинальная задача Канторовича, в которой имеется n маргиналов (или даже бесконечное число), а функция стоимости задана на произведении соответствующих пространств.
Задача Канторовича тесно связана с поставленной еще в XVIII в. задачей Монжа для той же тройки (μ,ν,h), что и в задаче Канторовича, и состоящей в минимизации интеграла
∫Xh(x,T(x))μ(dx)
по всем измеримым отображениям T:X→Y, переводящим меру μ в ν, т. е. удовлетворяющим равенству ν=μ∘T−1, где мера μ∘T−1 задается равенством
(μ∘T−1)(B)=μ(T−1(B))
и называется образом μ при отображении T. Как и в задаче Канторовича, в общем случае есть лишь инфимум
Mh(μ,ν)=infT∫Xh(x,T(x))μ(dx),
где inf берется по отображениям T с указанным свойством. Если достигается минимум на некотором отображении T, то оно называется оптимальным отображением Монжа. В отличие от задачи Канторовича, минимум в задаче Монжа достигается гораздо реже даже для хороших функций стоимости на отрезке. Достаточные условия существования минимума здесь имеют довольно специальный характер, причем ограничения приходится накладывать как на маргиналы, так и на функцию стоимости. Например, если X=Y=Rn и h(x,y)=|x−y|, то достаточно абсолютной непрерывности обоих маргиналов. Поэтому задача Канторовича оказывается значительно более гибкой. Конечно, это неудивительно, ибо в ней идет речь о минимизации линейного функционала на выпуклом компакте мер, в то время как задача Монжа существенно нелинейна. Более того, как мы увидим ниже, даже нелинейная версия задачи Канторовича по своим свойствам оказывается ближе к линейному варианту, чем к задаче Монжа. Хотя условия существования минимумов в двух задачах значительно отличаются, для непрерывной функции стоимости h сами инфимумы в них совпадают при весьма широких условиях, охватывающих основные для приложений случаи: равенство
Kh(μ,ν)=Mh(μ,ν)
было установлено в [117] (см. также [8]) для безатомических мер μ и ν на полных сепарабельных метрических пространствах, перенесено в [102] на суслинские пространства, а для радоновских мер на вполне регулярных пространствах доказано в [32] при дополнительном условии сепарабельности мер μ и ν (т. е. сепарабельности их L1), причем от условия сепарабельности отказаться нельзя, как показано в [31]. В самом общем случае верно неравенство
Kh(μ,ν)⩽
Это очевидно из того, что для всякого отображения T меры \mu в меру \nu мера \sigma на графике T в пространстве X\times Y, полученная как образ меры \mu при отображении x\mapsto (x,T(x)), входит в \Pi(\mu,\nu), а интеграл от функции h по ней есть интеграл от h(x,T(x)) по мере \mu. Однако могут существовать транспортные планы, не порождаемые никакими отображениями меры \mu в меру \nu. Например, если X=Y=[0,1], то всякая мера на [0,1]^2, имеющая плотность относительно меры Лебега, обращается в нуль на всяком графике борелевского отображения (что очевидно из теоремы Фубини). Общих транспортных планов не только больше, чем планов, порожденных отображениями, но их совокупность еще и компактна. В этом состоит одно из важнейших различий двух задач, но еще более важной особенностью задачи Канторовича является линейность минимизируемого в ней функционала, что делает эту более общую задачу более простой. Возможно, данное обстоятельство долгое время было причиной того, что не исследовалась вполне естественная с прикладной точки зрения задача минимизации интеграла от функции стоимости, которая зависит еще и от транспортного плана, т. е. минимизации нелинейного функционала
где функция стоимости h задана на X\times Y\times\mathcal{P}(X\times Y), где \mathcal{P}(X\times Y) – пространство вероятностных мер на X\times Y. В классической задаче h(x,y) символизирует стоимость перевозки единицы массы из x в y и не зависит от способа перевозки \sigma. Понятно, что на практике вполне естественно ожидать, что зависимость может иметь место. Это существенно усложняет поиск оптимальной транспортировки, но удивительным образом не усложняет доказательство существования минимума при стандартных предположениях относительно h. В первых работах [80], [4], [15], [2], [16] по описанной нелинейной задаче функция h имела более специальный вид
Формально это частный случай (1.1), но на самом деле функционал становится более сингулярным из-за возможной разрывности условных мер по x.
Нелинейная задача также рассматривается на множестве планов \Pi(\mu,\nu) с фиксированными проекциями, но она привела к еще одной интересной постановке задачи Канторовича, оказавшейся новой и в линейном случае. Эта постановка возникла в случае, когда функция стоимости задана не на X\times Y, а на X\times \mathcal{P}(Y), где \mathcal{P}(Y) – пространство вероятностных мер на Y. Конечно, в качестве второго пространства в обычной задаче может фигурировать какое угодно пространство, в том числе и \mathcal{P}(Y), но новшество задачи в том, что теперь задана не проекция плана на второй сомножитель, а барицентр проекции плана на второй сомножитель. Сам план – мера на X\times \mathcal{P}(Y), проекция – мера на \mathcal{P}(Y), т. е. мера на пространстве мер, а ее барицентр – мера на Y. В замечании 3.5 описана еще более общая постановка транспортной задачи, охватывающая как случай заданных проекций, так и случай фиксированного барицентра. В ней ограничение на план состоит в том, что заданы образы плана при некоторых отображениях \Psi_1\colon X\times Y\to E_1, \Psi_2\colon X\times Y\to E_2. Классическая задача соответствует проекциям на сомножители.
Таким образом, пока были упомянуты модификации, вызванные усложнением вида функции стоимости и заменой условий на проекции иными условиями на планы. Однако сравнительно недавно в работах Р. Маккэна с соавторами [90]–[93] была предложена весьма интересная и естественная с точки зрения приложений задача, в которой в классической линейной ситуации наложено дополнительное ограничение на транспортные планы, состоящее в том, что допустимы лишь планы, абсолютно непрерывные относительно фиксированной меры \lambda на X\times Y (в первых работах это была мера Лебега на \mathbb{R}^n или на римановом многообразии), причем соответствующие плотности Радона–Никодима не превосходят заданную функцию \Phi на X\times Y. В этой модификации наиболее подходящей топологией на пространстве мер оказалась слабая топология из пространства L^1(\lambda). Изучение этой задачи было продолжено в работах [64], [30], [37], [44], некоторый обзор по ней дан в [29], поэтому здесь мы кратко подытожим полученное с учетом недавних результатов из [37], где задача с ограничениями на плотности была скомбинирована с упомянутыми выше модификациями. Таким образом, мы рассмотрим нелинейные транспортные задачи трех типов: с фиксированными маргиналами, с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром второго маргинала и с ограничениями на плотности транспортных планов. При этом возникают подтипы, когда нелинейная функция стоимости зависит от планов через их условные меры. Во всех этих видах задач Канторовича полезно рассмотреть параметрические задачи, в которых функция стоимости и маргиналы (или иные объекты) зависят от параметра. Параметрическим задачам посвящен отдельный небольшой раздел, но более подробное изложение можно найти в работах [34]–[36], [29]. Наконец, будут кратко затронуты вопросы, относящиеся к топологии пространств мер, поскольку они имеют прямое отношение ко всем типам обсуждаемых задач. По этим вопросам будут приведены результаты из недавних работ [36] и [3], в том числе оценки расстояний по Хаусдорфу между множествами транспортных планов.
В разделе 2 вводятся основные определения и обозначения, а также обсуждаются общие нелинейные задачи Канторовича оптимальной транспортировки, в разделе 3 рассмотрена линейная задача Канторовича классического вида, в которой второй сомножитель является пространством вероятностных мер на некотором пространстве Y, а вместо второго фиксированного маргинала, т. е. вместо меры на пространстве мер \mathcal{P}(Y), задан барицентр проекции плана на второй сомножитель, т. е. мера на Y. Предмет раздела 4 – задачи с условными мерами. В разделе 5 дан краткий обзор по задачам с ограничениями на плотности (этот сюжет уже был освещен в статье [29], также приуроченной к настоящему юбилею). В разделе 6 речь идет о новых задачах со многими маргиналами при дополнительных проекциях. Параметрическим задачам посвящен раздел 7 (во избежание дублирования обзора [29] этой темы мы также коснемся весьма кратко), а раздел 8 содержит некоторую информацию о связанных с задачами Канторовича метриках и топологиях на пространствах мер.
2. Нелинейные задачи Канторовича
Основные версии различных задач оптимальной транспортировки привлекают к рассмотрению меры на топологических пространствах (хотя, как мы увидим ниже, есть версии и в терминах общих пространств с мерами). Поэтому напомним здесь основные понятия и введем используемые ниже обозначения. Подробное изложение этих вопросов можно найти в книгах [25] и [26].
Пусть X – топологическое пространство (ниже речь идет о вполне регулярных или метрических пространствах). Через \mathcal{B}(X) обозначается его борелевская \sigma-алгебра, т. е. наименьшая \sigma-алгебра, содержащая все открытые множества. Неотрицательная борелевская мера \mu на X (т. е. мера на \mathcal{B}(X)) называется радоновской, если для всякого борелевского множества B в X и всякого \varepsilon>0 найдется такой компакт K_\varepsilon\subset B, что \mu(B\setminus K_\varepsilon)<\varepsilon. Знакопеременная борелевская мера \mu называется радоновской, если радонова ее полная вариация |\mu|, которая определяется как |\mu|=\mu^{+}+\mu^{-}, где \mu^{+} и \mu^{-} – положительная и отрицательная части меры \mu из разложения Жордана–Хана \mu=\mu^{+}-\mu^{-}. Норма полной вариации задается формулой
Семейство M борелевских мер на X называется равномерно плотным, если для всякого \varepsilon>0 найдется такой компакт K_\varepsilon\subset X, что
\begin{equation*}
|\mu|(X\setminus K_\varepsilon)<\varepsilon\quad \forall\, \mu \in M.
\end{equation*}
\notag
Пространство всех радоновских знакопеременных мер на пространстве X обозначим через \mathcal{M}(X), подмножество неотрицательных мер – через \mathcal{M}^+(X), а подмножество вероятностных мер – через \mathcal{P}(X).
Если X – полное сепарабельное метрическое пространство, то все борелевские меры на нем радоновы. Это же верно для суслинских пространств, т. е. образов полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях.
Образом борелевской меры \mu при борелевском отображении f из топологического пространства X в топологическое пространство Y (т. е. отображении с борелевскими прообразами борелевских множеств) называется борелевская мера \mu\circ f^{-1} на Y, заданная равенством
где f – ограниченная непрерывная функция на X. Слабая сходимость мер есть сходимость интегралов по ним от таких функций.
В рассматриваемом круге вопросов важную роль играет теорема Прохорова, согласно которой ограниченное по вариации равномерно плотное множество мер в \mathcal{M}(X) содержится в слабо компактном множестве, причем в случае полного сепарабельного метрического пространства X верно и обратное (см. [25], [26]). Типичным примером слабо компактного множества служит множество планов \Pi(\mu,\nu) с радоновскими маргиналами \mu и \nu. Равномерная плотность очевидна здесь из оценки
для всех \sigma\in \Pi(\mu,\nu). Правая часть оценивается через \varepsilon, если компакты K\subset X и S\subset Y взяты так, что \mu(X\setminus K)+\nu(Y\setminus S)\leqslant \varepsilon.
Если (X,d) – метрическое пространство, то обозначим через \operatorname{Lip}_1(d) множество 1-липшицевых функций, т. е. таких функций f на X, что
На множестве неотрицательных мер метрика Канторовича–Рубинштейна порождает слабую топологию. Однако на всем пространстве мер топология, порождаемая нормой Канторовича–Рубинштейна, в нетривиальных случаях отлична от слабой топологии, более того, эти две топологии оказываются несравнимыми. В самом деле, пусть в X есть бесконечная фундаментальная последовательность \{x_n\}. Тогда норма Канторовича–Рубинштейна не может быть непрерывной в слабой топологии, поскольку в таком случае она оценивалась бы суммой нескольких полунорм вида p_f, т. е. суммой модулей нескольких линейных функционалов на пространстве \mathcal{M}(X). В нашей ситуации это пространство бесконечномерно, поэтому пересечение ядер конечного набора линейных функционалов нетривиально, а на нем сумма рассматриваемых полунорм равна нулю. Таким образом, неверно, что слабая топология мажорирует топологию нормы Канторовича–Рубинштейна. С другой стороны, последняя не мажорирует слабую топологию. Это видно из того, что последовательность мер d(x_n,x_k)^{-1/2}(\delta_{x_n}-\delta_{x_k}), где \delta_x – мера Дирака в точке x, сходится к нулю по норме Канторовича–Рубинштейна в силу легко проверяемого равенства
при d(a,b)\leqslant 1. Однако эта последовательность мер не может сходиться слабо, поскольку не является ограниченной по вариации, а слабо сходящаяся последовательность мер должна быть ограниченной по вариации, что вытекает из теоремы Банаха–Штейнгауза и того факта, что норма \|\mu\| совпадает с супремумом интегралов по мере \mu от непрерывных функций, по модулю не превосходящих 1.
На подпространстве \mathcal{M}^1(X) таких мер \mu, что для некоторого (а тогда и для всякого) x_0\in X функция d(x,x_0) интегрируема относительно полной вариации меры \mu, определена норма Канторовича
Если X ограничено, то эти нормы эквивалентны, а если диаметр X не больше единицы, то на множестве вероятностных мер метрики Канторовича–Рубинштейна и Канторовича совпадают. Аналоги норм и метрик Канторовича–Рубинштейна и Канторовича на пространствах мер на общих вполне регулярных пространствах обсуждаются в разделе 8.
При заданном p\geqslant 1 на множестве \mathcal{P}^p(X)\subset \mathcal{P}(X), состоящем из мер, относительно которых интегрируема функция x\mapsto d(x,x_0)^p, вводится p-метрика Канторовича W_p по формуле
Важное наблюдение Канторовича состоит в том, что расстояние Канторовича между вероятностными мерами \mu и \nu совпадает с инфимумом в транспортной задаче с маргиналами \mu и \nu и функцией стоимости, равной метрике, т. е. с минимумом интегралов от метрики по мерам из множества \Pi(\mu,\nu). Позже это равенство, называемое формулой двойственности Канторовича, было перенесено на весьма общую ситуацию полунепрерывной снизу функции стоимости h на произведении вполне регулярных пространств X и Y. Здесь величина K_h(\mu,\nu) для мер \mu\in \mathcal{P}(X) и \nu\in \mathcal{P}(Y) совпадает с супремумом суммы
Конечно, вместо суммы f и g можно брать разность, что лучше показывает связь со случаем метрики h=d, когда X=Y и f=g, а оценка на функции превращается в условие 1-липшицевости f: f(x)-f(y) \leqslant d(x,y). Некоторые аналоги формулы двойственности появляются и в обсуждаемых нами модификациях задачи Канторовича.
Существование минимума в нелинейной задаче Канторовича с фиксированными маргиналами или с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром доказывается совершенно аналогично случаю линейной задачи на основании следующего просто проверяемого факта. Однако исключением является задача с условными мерами, которая не охватывается этим подходом и рассматривается отдельно.
Предложение 2.1. Пусть X – вполне регулярное пространство, \Pi – равномерно плотное компактное подмножество пространства \mathcal{P}(X) со слабой топологией, функция h\colon X\times \Pi\to [0,+\infty) полунепрерывна снизу на множествах вида K\times \Pi, где K – компакт в X. Тогда полунепрерывна снизу функция
Если функция h ограничена и непрерывна на всем произведении X\times\mathcal{P}(X), то функция J_h непрерывна на пространстве \mathcal{P}(X), а если функция h полунепрерывна снизу на X\times\mathcal{P}(X), то функция J_h также полунепрерывна снизу.
Доказательство. Значения J_{\min (h, n)}(\sigma) при n\to\infty возрастают к J_h(\sigma). Поэтому утверждение сводится к случаю ограниченной функции h. Можно считать, что h\leqslant 1.
Предположим сначала, что функция h полунепрерывна снизу на всем произведении X\times \Pi. Пусть направленность мер \sigma_\alpha слабо сходится в \Pi к мере \sigma. Тогда дираковские меры \delta_{\sigma_\alpha} на \Pi слабо сходятся к дираковской мере \delta_{\sigma}. Поэтому произведения \sigma_\alpha\otimes \delta_{\sigma_\alpha} на \Pi\times \mathcal{P}(\Pi) слабо сходятся к произведению \sigma\otimes \delta_{\sigma} (см. [26; теорема 4.3.18]). Следовательно, в силу полунепрерывности h снизу имеем (см. [25; следствие 8.2.5] или [26; следствие 4.3.5])
что равносильно полунепрерывности снизу функции J_h.
Теперь обратимся к общему случаю, по-прежнему считая, что h\leqslant 1. Зафиксируем \varepsilon>0. По условию найдется такой компакт K\subset X, что \sigma(K)>1-\varepsilon для всех \sigma\in \Pi. Как известно (см. [65; 1.7.15(c)]), на K\times \Pi можно найти семейство непрерывных функций h_\alpha\geqslant 0, для которого
Каждая функция h_\alpha продолжается до непрерывной функции g_\alpha\colon X\times \Pi\to [0,1]. Функция g(x,\sigma)=\sup_\alpha g_\alpha(x,\sigma) полунепрерывна снизу на всем произведении X\times\Pi и совпадает с h на K\times \Pi, причем соответствующая функция J_g по доказанному выше тоже полунепрерывна снизу. Остается заметить, что
так как g=h на K\times \Pi, а интегралы по всякой мере \sigma\in \Pi от функций h(x,\sigma) и g(x,\sigma) по дополнению K не больше \varepsilon. Итак, функция J_h равномерно приближается полунепрерывными снизу функциями и потому сама обладает таким свойством.
Последнее утверждение предложения ясно из приведенных выше рассуждений. Предложение доказано.
Дополнительное условие равномерной плотности слабо компактного множества \Pi автоматически выполнено для полных сепарабельных метризуемых пространств, однако не обязано выполняться для суслинских пространств (скажем, оно может быть нарушено даже для множества рациональных чисел, см. результат Прайса в [26; теорема 4.8.6]). Поэтому интересно выяснить, можно ли его снять в этом предложении. При этом можно рассматривать ограниченные непрерывные функции стоимости h, так как полунепрерывная снизу ограниченная функция h является пределом возрастающей направленности ограниченных непрерывных функций h_\alpha и поэтому
для всякой меры \sigma\in\Pi (см. [25; лемма 7.2.6]). Для неограниченной функции h нужен еще один шаг со срезками \min(h,n). Дополнительное условие равномерной плотности не требуется, если функция h непрерывна, причем непрерывность по второму аргументу в каждой точке \sigma_0 равномерна по первому аргументу, т. е. для всякого \varepsilon>0 найдется такая окрестность U точки \sigma_0, что
Такая же оценка имеет место и для меры \sigma_0. Поскольку интегралы от функции h(x,\sigma_0) по мерам \sigma_\alpha стремятся к интегралу по мере \sigma_0, то получаем непрерывность функции J_h в точке \sigma_0.
Теорема 2.2. Пусть функция стоимости h полунепрерывна снизу на множествах вида K\times\Pi(\mu,\nu), где K – компакт в X\times Y. Тогда существует оптимальный план.
Доказательство. Так как множество планов \Pi(\mu,\nu) равномерно плотно и слабо компактно, то в силу предложения 2.1 функция J_h полунепрерывна снизу на \Pi(\mu,\nu). Теперь существование оптимального плана следует из того факта, что полунепрерывная снизу на компакте функция достигает на этом компакте своего минимального значения. Теорема доказана.
3. Задачи с фиксированными барицентрами
Имеется общее понятие барицентра или среднего радоновской меры \mu на локально выпуклом пространстве X, относительно которой интегрируем всякий непрерывный линейный функционал на X: это такой вектор b\in X, что
Барицентр существует, если пространство X полно (или хотя бы квазиполно) и все непрерывные полунормы интегрируемы относительно меры \mu, т. е. она имеет сильный первый момент (см. [41; следствие 5.6.8]). Однако в задачах оптимальной транспортировки возникает более специальная ситуация, когда рассматривается радоновская вероятностная мера Q на пространстве \mathcal{P}(E) радоновских вероятностных мер на вполне регулярном топологическом пространстве E, где пространство мер наделено слабой топологией. Здесь барицентр меры Q есть борелевская мера \beta_Q на E, задаваемая равенством
для всех борелевских множеств A\subset E. Известно, что функция p\mapsto p(A) оказывается борелевской на \mathcal{P}(E), а полученная мера \tau-аддитивна (см. [25; предложение 8.9.8 и следствие 8.9.9]). Однако нас интересуют радоновские барицентры, поэтому возникает вопрос об условиях радоновости меры \beta_Q на E.
Предложение 3.1. Мера \beta_Q радонова в точности тогда, когда мера Q сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств в \mathcal{P}(E). В частности, это верно, если E – суслинское вполне регулярное пространство.
Доказательство. Предположим, что имеются возрастающие равномерно плотные компакты S_n в \mathcal{P}(E), для которых Q(E\setminus S_n)\to 0. Пусть \varepsilon>0. Возьмем такое n, что
откуда следует, что мера \beta_Q плотна. В силу \tau-аддитивности она радонова (см. [25; предложение 7.2.2]).
Обратно, предположим, что мера \beta_Q радонова. Тогда для всякого \varepsilon>0 найдется такое компактное множество K_\varepsilon\subset E, что \beta_Q(K_\varepsilon)\geqslant 1-\varepsilon^2, т. е.
замкнуто в слабой топологии в \mathcal{P}(E). Действительно, если направленность мер p_\alpha из S_\varepsilon слабо сходится к мере p\in \mathcal{P}(E), то по критерию слабой сходимости А. Д. Александрова (см. [25; теорема 8.2.3]) выполнено неравенство
так как Q(\mathcal{P}(E)\setminus S_{\delta\,2^{-n}})\leqslant\delta\,2^{-n} при всех n. По построению и неравенству (3.1) множество \Pi_\delta равномерно плотно. По теореме Прохорова (см. [25; теорема 8.6.7]) оно слабо компактно. Таким образом, мера Q сосредоточена на объединении равномерно плотных слабо компактных множеств \Pi_{1/n}. Предложение доказано.
Если пространство E суслинское, то пространство мер \mathcal{P}(E) со слабой топологией тоже суслинское, поэтому каждая борелевская мера на \mathcal{P}(E) автоматически радонова и сосредоточена на счетном объединении компактов, причем эти компакты метризуемы (даже если само E неметризуемо). Однако для довольно простых пространств (например, для множества рациональных чисел) компакты в \mathcal{P}(E) могут не быть равномерно плотными. Тем не менее всякая мера из \mathcal{P}(\mathcal{P}(E)) сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств (см. [25; теорема 8.10.6]). Это верно и в более общем случае такого вполне регулярного пространства E, что все \tau-аддитивные меры на E радоновы. Было бы интересно найти пример меры Радона на пространстве радоновских вероятностных мер, равной нулю на всех равномерно плотных компактных множествах.
Поскольку множества \Pi_\delta в доказательстве выше строились через множества K_\varepsilon, выбираемые согласно значениям на них барицентра, то совершенно аналогичное рассуждение доказывает следующее утверждение.
Предложение 3.2. Пусть множество мер M\subset \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)) обладает равномерно плотными барицентрами в \mathcal{P}(Y). Тогда это множество равномерно плотно в \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)) и сосредоточено на счетном объединении равномерно плотных слабо компактных множеств из \mathcal{P}(Y).
Следствие 3.3. Пусть множество мер M\subset\mathcal{P}(X\times \mathcal{P}(Y)) обладает равномерно плотными проекциями на X и равномерно плотными барицентрами проекций на \mathcal{P}(Y). Тогда это множество равномерно плотно и сосредоточено на счетном объединении множеств вида K\times S, где K компактно в X, а множество S слабо компактно в \mathcal{P}(Y) и равномерно плотно.
В частности, это верно, если эти меры имеют одинаковые проекции на X и одинаковые барицентры проекций на \mathcal{P}(Y).
Доказательство. Положим Z=X\times \mathcal{P}(Y). Заметим, что для всякой меры P из \mathcal{P}(Z) с проекциями P_1 и P_2 на сомножители и всяких борелевских множеств A\subset X и B\subset \mathcal{P}(Y) справедливо неравенство
Поэтому достаточно рассмотреть проекции на \mathcal{P}(Y) и применить предыдущее предложение. Следствие доказано.
Отметим, что если P – радоновская мера на произведении X\times \mathcal{P}(Y), где X и Y – вполне регулярные пространства, \mu – ее проекция на X, причем существуют условные меры P^x на \mathcal{P}(Y) относительно \mu, то барицентр проекции меры P на \mathcal{P}(Y), обозначаемой через P_{\mathcal{P}}, задается формулой
Перейдем к постановке нелинейной транспортной задачи Канторовича с фиксированным барицентром. В качестве пространства здесь берется произведение X\times \mathcal{P}(Y), где X и Y – вполне регулярные пространства. На этом произведении задана полунепрерывная снизу функция стоимости
Кроме того, задан маргинал \mu\in \mathcal{P}(X), но вместо второго маргинала задан барицентр \beta\in \mathcal{P}(Y) проекций допустимых планов на \mathcal{P}(Y); эти проекции – элементы \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)), так что барицентр понимается в описанном выше смысле. Таким образом, на множестве планов
Отличие от обычной нелинейной задачи Канторовича состоит в том, что не задан второй маргинал. Вместо него задан барицентр проекции на второй сомножитель.
Напомним, что в общей ситуации для функции h на произведении X\times Z множество \Gamma\subset X\times Z называется h-циклически монотонным, если для всех n верно неравенство
для всех пар (x_1,z_1),\dots,(x_n,z_n)\in \Gamma, где x_{n+1}:=x_1.
Известно (см. [20]), что в классической задаче, где X и Z – суслинские пространства, \mu\in \mathcal{P}(X), \nu\in \mathcal{P}(Z) и борелевская функция стоимости h такова, что существует оптимальная мера \sigma\in \Pi(\mu,\nu), эта мера сосредоточена на некотором борелевском h-циклически монотонном множестве. С помощью этого рассуждения применительно к Z=\mathcal{P}(Y) доказывается такой результат.
Предложение 3.4. Пусть h – ограниченная полунепрерывная снизу функция на X\times \mathcal{P}(Y). Для всяких мер \mu\in \mathcal{P}(X) и \beta\in \mathcal{P}(Y) задача Канторовича (3.2) с заданным барицентром имеет решение.
Всякая оптимальная мера P для этой задачи является оптимальной и для классической линейной задачи с той же самой функцией стоимости и маргиналами \mu и P_{\mathcal{P}}, где P_{\mathcal{P}} – проекция P на \mathcal{P}(Y).
Наконец, если X и Y – суслинские пространства, то мера P сосредоточена на h-циклически монотонном множестве.
Доказательство см. в [37], оно совпадает со стандартным доказательством для линейной задачи.
К задаче Канторовича для тройки (\mu,P_\mathcal{P}, h) можно применить теорему двойственности, которая дает равенство минимума в задаче (3.2) величине
Замечание 3.5. Задача с фиксированным маргиналом является частным случаем следующей более общей задачи с фиксированными образами планов. Предположим, что заданы измеримые отображения
в измеримые пространства (E_1,\mathcal{E}_1) и (E_2,\mathcal{E}_2). Кроме того, пусть заданы вероятностные меры \eta_1 и \eta_2 на \mathcal{E}_1 и \mathcal{E}_2 соответственно. Например, пусть речь идет о вполне регулярных пространствах X, Y, E_1, E_2 и борелевских отображениях. Рассмотрим множество
Тогда можно ставить задачу минимизации функционала J_h, т. е. интеграла от h, по множеству \Pi_{\eta_1,\eta_2}. При этом h может быть функцией на X\times Y\times \mathcal{P}(X\times Y) или функцией на X\times Y\times \mathcal{P}(Y), когда рассматривается задача с условными мерами. Если отображения \Psi_1 и \Psi_2 непрерывны и прообразы точек при отображении (\Psi_1,\Psi_2) компактны, а функция стоимости h полунепрерывна снизу, то множество \Pi_{\eta_1,\eta_2} оказывается компактным в слабой топологии, поэтому стандартное рассуждение дает существование минимума полунепрерывного снизу функционала J_h на \Pi_{\eta_1,\eta_2}. Обычная задача соответствует проекциям мер на X и Y. Задача с фиксированным барицентром получается, если в качестве \Psi_1 взять проекцию мер на X, т. е. \Psi_1(\sigma)=\sigma_X, вместо Y взять \mathcal{P}(Y), а в качестве \Psi_2 взять отображение
где \sigma_{\mathcal{P}(Y)} – проекция меры \sigma на \mathcal{P}(Y). Вместо того чтобы фиксировать первый маргинал, можно ставить транспортную задачу для функции стоимости на \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y) с заданными барицентрами проекций на оба сомножителя. Конечно, такие постановки имеют смысл и в случае многих маргиналов. Возникает здесь и задача с дополнительным ограничением на плотности планов из \Pi_{\eta_1,\eta_2}. В последнем случае вместо слабой топологии пространства мер естественно рассматривать слабую топологию на L^1 по соответствующей мере \lambda. Конечно, условие полунепрерывности снизу тоже должно относиться к этой топологии. Однако теперь требуются какие-то иные условия на отображения \Psi_i, если мы хотим, чтобы множество \Pi_{\eta_1,\eta_2} было компактным. Разумеется, задача транспортировки с заданными образами планов имеет смысл и в случае большего числа отображений \Psi_i, для которых соответствующий класс планов непуст.
Отметим еще, что в задаче с фиксированным барицентром важную роль играет специфика пространства мер, которое берется в качестве второго сомножителя. Если в качестве второго сомножителя взять абстрактное локально выпуклое пространство E, то для функции стоимости h на X\times E, фиксированной меры \mu на X и фиксированного вектора \beta\in E можно ввести множество радоновских вероятностных мер на X\times E с проекцией \mu на X и барицентром проекции на E, равным \beta. По этому множеству можно минимизировать интеграл от функции h. В рассмотренном нами специальном случае E=\mathcal{P}(Y) такое множество компактно. Однако в общем случае компактности нет из-за возможной некомпактности множества радоновских вероятностных мер на E, имеющих барицентр \beta. Например, если \beta=0, то в указанное множество попадают все меры (\delta_{a}+\delta_{-a})/2, где a\in E.
Задача Монжа также обладает модификацией с фиксированным барицентром. Об этом будет сказано в следующем разделе в связи с нелинейными задачами с условными мерами.
4. Задачи с условными мерами
В работах [80], [4], [15], [2], [16] было доказано существование минимумов в задаче с условными мерами при дополнительном предположении выпуклости функции стоимости относительно аргумента-меры. Следующее обобщение этих результатов на вполне регулярные пространства получено в [38]. В нем вместо борелевских используются бэровские \sigma-алгебры \mathcal{B}a(X) и \mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y)), порождаемые всеми непрерывными функциями на соответствующих пространствах. Для общего вполне регулярного пространства бэровская \sigma-алгебра меньше борелевской, но для суслинских вполне регулярных пространств они совпадают. В частности, если Y – суслинское вполне регулярное пространство, то \mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))=\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y)).
Теорема 4.1. Пусть функция стоимости H\colon X\times \mathcal{P}(Y)\to [0,+\infty) измерима относительно \mathcal{B}a(X)\otimes\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y)), полунепрерывна снизу на всех множествах вида {K\times S}, где K – компакт в X и S\subset \mathcal{P}(Y) равномерно плотно, и выпукла по второму аргументу. Тогда
Доказательство сводится к проверке полунепрерывности снизу минимизируемого интегрального функционала. Поскольку сумма полунепрерывных снизу функций также полунепрерывна снизу, можно объединить утверждения теорем 2.2 и 4.1.
где функция H_1\colon X\times Y\times \mathcal{P}(X\times Y)\to [0,+\infty) удовлетворяет условиям теоремы 2.2, а функция H_2\colon X\times \mathcal{P}(Y)\to [0,+\infty) удовлетворяет условиям теоремы 4.1. Тогда в нелинейной задаче Канторовича с функцией H достигается минимум, т. е. существует оптимальный план.
Отметим, что согласно [2; теорема 3.9] для непрерывной ограниченной функции стоимости H(x,p) на X\times \mathcal{P}(Y), где X и Y – полные сепарабельные метрические пространства, инфимум в нелинейной задаче с условными мерами и безатомическим маргиналом \mu\in \mathcal{P}(X) равен минимуму в такой же задаче с функцией стоимости H^{**}(x,p), определяемой как наибольшая функция, мажорируемая H(x, p), среди функций, которые по второму аргументу выпуклы и полунепрерывны снизу.
Не изучен случай функции стоимости вида H(x,y,\sigma^x), задающей функционал
Известны примеры (см. [4; примеры 3.2 и 3.3]) отсутствия минимума в задаче с условными мерами. В работе [37] построены примеры такого рода с некоторыми дополнительными свойствами, в частности, оба маргинальных распределения совпадают с мерой Лебега на отрезке, а функция стоимости липшицева. Опишем здесь эти примеры, отсылая к [37] за обоснованиями, которые не очень коротки.
Пример 4.3. Пусть X=Y=[0,1] и \mu=\nu=\lambda – мера Лебега на [0,1]. Имеется ограниченная липшицева функция h на X \times \mathcal P(Y) (где \mathcal P(Y) наделяется метрикой Канторовича), для которой нелинейная задача с условными мерами
Эта функция 1-липшицева по каждому переменному отдельно, поэтому липшицева на произведении. Множество \Pi(\mu,\nu) здесь состоит из всех вероятностных мер на квадрате с проекциями, равными мере Лебега. Оно включает множество мер, заданных бивероятностными плотностями относительно меры Лебега на [0,1]^2 (т. е. плотностями, являющимися вероятностными по каждому переменному при фиксированном другом).
Следующий пример из [37] интересен тем, что функция стоимости распадается в произведение функций одного аргумента.
Пример 4.4. Как и выше, пусть X=Y=[0, 1] и \mu=\nu=\lambda – мера Лебега на отрезке [0,1]. Существует такая ограниченная непрерывная функция g \colon \mathcal P(Y) \to \mathbb R, где \mathcal P(Y) наделено слабой топологией, что нет минимума в нелинейной задаче Канторовича
Обсудим теперь интересную модификацию задачи Монжа с фиксированным барицентром. Такая модификация возникает в том случае, когда в качестве второго пространства берется пространство радоновских вероятностных мер \mathcal{P}(Y) на суслинском пространстве Y, а функция стоимости h задана на X\times \mathcal{P}(Y), причем X – также суслинское пространство. Пусть еще задана радоновская вероятностная мера \beta на Y. Задача Монжа на X\times \mathcal{P}(Y) с фиксированным барицентром \beta для тройки (\mu,\beta, h) ставится так:
Таким образом, минимизируется тот же интеграл, что и в классической задаче Монжа, но теперь минимизация производится по таким измеримым отображениям T из X в \mathcal{P}(Y), что барицентр меры-образа \mu\circ T^{-1} равен \beta, а сам образ не фиксирован. Последнее равенство можно записать как
Задача Монжа с фиксированным барицентром интересным образом связана с нелинейной задачей Канторовича с условными мерами. Как мы видели в предыдущем разделе, упомянутая задача Канторовича может не иметь решений. Тем не менее оказывается, что если нелинейная задача Канторовича
с условными мерами и фиксированными маргиналами \mu и \beta имеет решение, то существует и решение задачи Монжа для тройки (\mu,\beta,h) с заданным барицентром \beta. Чтобы получить решение этой задачи из решения \sigma задачи Канторовича, сделаем следующее наблюдение. Если сначала \sigma – произвольный план из \Pi(\mu,\beta) с условными мерами \sigma^x на Y, то положим
\begin{equation*}
T \colon X \to \mathcal P(Y), \quad T(x)=\sigma^x.
\end{equation*}
\notag
Барицентр меры-образа \mu\circ T^{-1} на \mathcal P(Y) равен \beta, поскольку для всякого множества B\in\mathcal{B}(Y) мы имеем
причем для оптимального плана (если он существует) имеет место равенство. Из этого равенства следует, что нет измеримого преобразования F\colon X\to \mathcal{P}(Y) меры \mu в меру из \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y)) с барицентром \beta и меньшим интегралом от h(x,F(x)) относительно \mu, чем для отображения, порожденного оптимальным планом. В самом деле, для преобразования F можно взять меру
Таким образом, всякое преобразование F меры \mu в меру с барицентром \beta порождает план \eta из \Pi(\mu,\beta), для которого интеграл от функции h(x,\eta^x) по мере \mu равен интегралу от h(x,F(x)).
Значит, если есть минимизирующее отображение T\colon X\to \mathcal{P}(Y) в нашей модифицированной задаче Монжа, то мера
входит в \Pi(\mu,\beta) и является минимизирующей в задаче Канторовича.
В итоге приходим к следующему утверждению.
Теорема 4.5. Предположим, что X и Y – суслинские пространства, и пусть заданы две меры \mu\in \mathcal{P}(X), \beta\in \mathcal{P}(Y) и борелевская функция
Обратно, для всякого борелевского отображения T\colon X\to \mathcal{P}(Y) с \beta_{\mu\circ T^{-1}}=\beta существует план \sigma\in\Pi(\mu,\beta), удовлетворяющий равенству выше.
Таким образом, инфимум Канторовича K_h(\mu,\beta) равен инфимуму в задаче Монжа с фиксированным барицентром для тройки (\mu,\beta,h), а существование решения в одной из этих двух задач равносильно разрешимости другой.
Из приведенных выше рассуждений видно, что это утверждение остается в силе и в более общем случае, когда всякая мера \sigma из \Pi(\mu,\beta) обладает условными мерами на Y, борелевски зависящими от x.
Предположим теперь, что мы рассматриваем обычную задачу Монжа с мерами \mu и \nu на вполне регулярных суслинских пространствах X и Y и с борелевской функцией стоимости h на X\times Y. Пространство Y канонически вложено в пространство вероятностных мер \mathcal{P}(Y) посредством отображения y\mapsto \delta_y, где \delta_y – мера Дирака в точке y. При этом вложении образ Y замкнут в \mathcal{P}(Y), см. [25; лемма 8.9.2]. Продолжим функцию h борелевски с X\times Y на X\times \mathcal{P}(Y), причем если исходная функция была непрерывна или полунепрерывна снизу, то и продолжение возьмем с тем же свойством. Это возможно, поскольку вполне регулярные суслинские пространства совершенно нормальны (см. [25; теорема 6.7.7]), а пространство мер \mathcal{P}(Y) тоже суслинское. Для продолжения непрерывной функции h применима теорема Урысона, а в случае полунепрерывной функции h надо воспользоваться тем фактом, что для нее найдутся такие непрерывные функции h_\alpha на X\times Y, что h(x,y)=\sup_\alpha h_\alpha(x,y) для всех x\in X, y\in Y, что позволяет найти непрерывные продолжения H_\alpha этих функций на X\times \mathcal{P}(Y) и получить полунепрерывную снизу функцию H=\sup_\alpha H_\alpha на пространстве X\times \mathcal{P}(Y). Эта функция совпадает с исходной на X\times Y. Если задача Монжа (4.1) на X\times \mathcal{P}(Y) с фиксированным барицентром \nu обладает минимизирующим отображением T\colon X\to \mathcal{P}(Y), то можно назвать его ослабленным решением исходной задачи Монжа, а новую задачу – ослаблением исходной. Даже если исходная задача имела решение, то минимум в ней не обязан быть минимумом ослабленной задачи. Так будет, если h(x,y)=1, но \nu не является мерой Дирака, а продолжение H функции h таково, что H(x,\nu)=0. Тогда в ослабленной задаче минимум нулевой, оптимальное отображение тождественно равно \nu. Поэтому нужны какие-то ограничения на продолжение, чтобы сделать ослабленную задачу содержательной. Инфимум в ней не больше инфимума в исходной задаче, ибо если отображение S\colon X\to Y переводит \mu в \nu, то для отображения T\colon x\mapsto \delta_{S(x)} барицентр меры \mu\circ T^{-1} равен \nu, так как для всякого борелевского множества B\subset Y в силу соотношения \nu=\mu\circ S^{-1} верно равенство
Кроме того, H(x,\delta_{S(x)})=h(x,S(x)), поэтому интеграл от H(x,T(x)) по мере \mu совпадает с интегралом от h(x,S(x)). Как мы знаем из предыдущих обсуждений, задача Монжа (4.1) не обязана иметь решение даже для непрерывной функции стоимости (соответствующая задача Канторовича с условными мерами может не иметь минимума). Поэтому интересны дополнительные условия, при которых найдется ослабленное решение. Таким условием является выпуклость функции H на X\times \mathcal{P}(Y), полученной при указанном выше продолжении исходной функции стоимости с X\times Y на X\times \mathcal{P}(Y). Имеется даже линейное по второму аргументу продолжение, заданное явной формулой
Для этого продолжения минимум в ослабленной задаче Монжа равен минимуму в классической задаче Канторовича с функцией h и маргиналами \mu, \nu. Если \sigma – оптимальный план Канторовича и \sigma(dx\, dy)=\sigma^x(dy)\, \mu(dx), то отображение T(x)=\sigma^x оптимально в ослабленной задаче Монжа, ибо барицентр меры \mu\circ T^{-1} равен \nu, что проверяется непосредственно, а интеграл от H(x,T(x))=H(x,\sigma^x) по мере \mu равен
С другой стороны, если T\colon X\to \mathcal{P}(Y) – оптимальное отображение в ослабленной задаче Монжа, то мера \sigma(dx\, dy)=\sigma^x(dy)\,\mu(dx), \sigma^x=T(x), оптимальна в задаче Канторовича для функции h и маргиналов \mu, \nu. Действительно, ее проекция на Y равна \nu, а интеграл по ней от h равен, как и выше, интегралу от H(x,T(x)) по мере \mu. На X\times \mathcal{P}(Y) могут быть и другие непрерывные функции H, выпуклые по второму аргументу, для которых
\begin{equation*}
H(x,\delta_y)=h(x,y)\quad \forall\, x\in X, \ y\in Y.
\end{equation*}
\notag
Для них возникает вопрос о связи минимума в ослабленной задаче Монжа с инфимумом в исходной.
Нелинейные задачи изучаются также в недавней работе [17].
5. Оптимальная транспортировка с ограничениями на плотности
Еще одна упомянутая выше новая модификация задачи Канторовича, введенная в работах [90]–[93], связана с ограничениями на плотности транспортных планов. Сначала сформулируем ее для случая двух маргиналов. Пусть, как и в классической задаче Канторовича, заданы вероятностные пространства (X, \mathcal{B}_X,\mu) и (Y,\mathcal{B}_Y,\nu), а также \mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y-измеримая функции стоимости h\geqslant 0. Кроме того, пусть заданы вероятностная мера \lambda на \sigma-алгебре \mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y пространства X\times Y и интегрируемая относительно \lambda функция \Phi. Например, в качестве \lambda можно взять произведение \mu\otimes\nu.
Рассмотрим класс \Pi_\Phi(\mu,\nu) всех вероятностных мер \sigma на \mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y, входящих в \Pi(\mu,\nu), абсолютно непрерывных относительно \lambda и имеющих плотность Радона–Никодима, удовлетворяющую оценке
Будем считать, что множество \Pi_\Phi(\mu,\nu) непусто. Необходимым условием для этого является абсолютная непрерывность мер \mu и \nu относительно проекций меры \lambda на X и Y соответственно. Например, если \lambda=\mu\otimes\nu, то в качестве \beta можно взять константу C\geqslant 1, но не C<1. При этом в случае C=1 множество \Pi_\Phi(\mu,\nu) состоит из единственной меры \lambda.
Условие существования минимума в этой задаче оказывается заметно более простым и широким, чем в классических задачах Канторовича и Монжа.
Теорема 5.1. Если существует мера \sigma\in \Pi_\Phi(\mu,\nu) с конечным интегралом от функции h, то в описанной задаче достигается минимум.
Доказательство. По нашему условию при некотором N>0 непусто множество \Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu) таких мер из \Pi_\Phi(\mu,\nu), что интеграл по ним от функции h не превосходит N. Это множество мер можно отождествить с множеством их плотностей относительно меры \lambda. Такие плотности p удовлетворяют оценке p\leqslant \Phi, причем интеграл от hp по мере \lambda не превосходит N. Поэтому рассматриваемое множество плотностей слабо компактно в L^1(\lambda), см. [25; теорема 4.7.18]. Функционал
полунепрерывен снизу на \Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu) со слабой топологией, так как в случае ограниченной функции h он непрерывен, а в общем случае равен поточечному пределу возрастающей на \Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu) последовательности функционалов, заданных ограниченными функциями \min(h,n). Следовательно, этот функционал достигает минимума на компакте. Теорема доказана.
Теперь можно ввести нелинейную версию задачи с ограничением на плотности планов. Здесь от функции стоимости потребуются дополнительные свойства топологического характера.
Пусть \mathcal{P}_\lambda – множество всех вероятностных плотностей в L^1(\lambda). На нем есть две естественные топологии: топология нормы и слабая топология из банахова пространства L^1(\lambda). Обозначим через \mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda) борелевскую \sigma-алгебру относительно нормы. Если L^1(\lambda) сепарабельно (что выполнено для борелевских мер на суслинских пространствах), то \mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda) совпадает с борелевской \sigma-алгеброй относительно слабой топологии.
Для задач с ограничениями на плотности полезно сразу отметить, что если множество M\subset \mathcal{P}(X) состоит из мер, абсолютно непрерывных относительно некоторой вероятностной меры \lambda_0, то на M (после отождествления мер с их плотностями относительно \lambda_0) возникает конкурирующая со слабой топологией пространства мер слабая топология пространства L^1(\lambda_0), которая обычно строго сильнее, поскольку порождается двойственностью с пространством всех ограниченных борелевских функций на X вместо пространства всех ограниченных непрерывных функций. Однако борелевские структуры, индуцируемые на M этими двумя различными топологиями, а также еще более сильной топологией нормы, совпадают в том случае, когда X – суслинское пространство. Это следует из того факта, что последовательность непрерывных функций на суслинском пространстве, разделяющая точки, порождает его борелевскую \sigma-алгебру (см. [25; теорема 6.8.9]), а множество вероятностных плотностей в L^1(\lambda_0) является суслинским подмножеством в топологии нормы, ибо оно замкнуто, а L^1(\lambda_0) сепарабельно. Отметим также, что если множество плотностей мер из M равномерно интегрируемо (это равносильно тому, что его замыкание в слабой топологии в L^1(\lambda_0) слабо компактно, а также равносильно его равномерной счетной аддитивности, см. [25; гл. 4]), то на M слабая топология пространства мер совпадает со слабой топологией из L^1(\lambda_0). В самом деле, всякий функционал вида
где f – ограниченная борелевская функция на X, оказывается непрерывным на M со слабой топологией пространства мер, так как для каждого \varepsilon>0 можно найти такое \delta>0, что \mu(B)<\varepsilon при всех \mu\in M, если \lambda_0(B)<\delta, а затем по теореме Лузина можно взять такую непрерывную функцию g на X, что
которая измерима относительно \mathcal{B}_X\otimes \mathcal{B}_Y\otimes \mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda), причем для \lambda-почти всех (x,y)\in X\times Y функция
полунепрерывна снизу на \Pi_\Phi(\mu,\nu) по норме в L^1(\lambda).
На множестве \Pi_\Phi(\mu_1,\mu_2), вложенном в L^1(\lambda) посредством отождествления мер с их плотностями относительно \lambda, определен функционал
Теорема 5.2. Если при указанных предположениях функционал J_h является выпуклым, то он достигает минимума на множестве \Pi_\Phi(\mu_1,\mu_2).
Использованное в этой теореме условие полунепрерывности снизу функции h по p относительно нормы значительно слабее, чем такое же условие в слабой топологии. Однако если выпуклой по p является сама функция h (а не интеграл), то эти условия равносильны. Тем не менее выпуклость h по последнему аргументу не влечет выпуклость J_h, поэтому условие предыдущей теоремы вряд ли можно считать конструктивным. Если же функция стоимости имеет вид
с некоторой неотрицательной функцией h на X\times \mathcal{P}(Y) и условными мерами p^x для p относительно меры \mu, то выпуклость h по последнему аргументу очевидным образом влечет выпуклость J_h.
Далее мы будем иметь дело с суслинскими вполне регулярными пространствами X и Y. Тогда, как и выше, всякая мера p на X\times Y с проекцией \mu на X обладает условными мерами p^x на Y относительно \mu, т. е.
Иначе говоря, условная плотность при фиксированном x есть просто y\mapsto p(x,y).
Поскольку мы имеем дело с условными мерами на \mathcal{B}(Y), разумно наделить пространство \mathcal{M}(Y) всех ограниченных мер на \mathcal{B}(Y)\sigma-алгеброй \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y)), порожденной всеми функциями \nu\mapsto \nu(B), B\in \mathcal{B}(Y). Отметим, что так как Y – вполне регулярное суслинское пространство, то эта \sigma-алгебра является счетно порожденной. В самом деле, имеется счетное семейство борелевских множеств, разделяющее точки пространства Y и порождающее борелевскую \sigma-алгебру (см. [25; теоремы 6.7.7 и 6.8.9]). Поэтому есть и счетная алгебра множеств \mathcal{A} с таким свойством. Рассмотрим \sigma-алгебру \mathcal{E}_0, порожденную счетным набором функций \nu\mapsto \nu(A), A\in \mathcal{A}. Обозначим через \mathcal{B}_0 класс всех борелевских множеств B\subset Y, для которых функция \nu\mapsto \nu(B) измерима относительно \mathcal{E}_0. Этот класс содержит алгебру \mathcal{A} и является монотонным, т. е. содержит объединения возрастающих последовательностей и пересечения убывающих последовательностей своих элементов. По классической теореме о монотонных классах он содержит \sigma-алгебру, порожденную алгеброй \mathcal{A} (см. [25; теорема 1.9.3]), и тем самым совпадает со всей борелевской \sigma-алгеброй.
В следующей теореме предполагается, что функция h измерима относительно \sigma-алгебры \mathcal{B}(X)\otimes \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y)). Тогда функция
оказывается борелевской, если отображение x\mapsto p^x из X в \mathcal{P}(Y) является (\mathcal{B}(X),\mathcal{E}(\mathcal{M}(Y)))-измеримым, так как отображение x\mapsto (x,p^x) измеримо относительно пары \sigma-алгебр \mathcal{B}(X) и \mathcal{B}(X)\otimes \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y)).
Задачи транспортировки такого типа можно записать в виде
Следующая теорема из [37] аналогична предыдущей, но она не является ее следствием, так как функция стоимости зависит от условных мер, а не от всего плана.
Теорема 5.3. Если для \mu-почти всех x функция p\mapsto h(x,p) полунепрерывна снизу относительно нормы полной вариации на \mathcal{M}(Y), причем функция
выпукла, то она достигает минимума на \Pi_\Phi(\mu,\nu). В частности, это верно, если функция h выпукла по последнему аргументу.
В работе [37] рассмотрен следующий пример нелинейной задачи Канторовича с условными мерами и ограничением на плотности планов, где нет решения.
Пример 5.4. Как и в примерах выше, пусть X=Y=[0,1] и \mu=\nu=\lambda – мера Лебега на [0,1]. Существует ограниченная непрерывная функция стоимости h \colon X \times L^1[0,1] \to \mathbb R (пространство L^1[0,1] наделено слабой топологией), для которой нелинейная задача с ограничением на плотности планов
6. Мультимаргинальные и мультистохастические задачи
Транспортные задачи со многими маргиналами отличаются от классических тем, что транспортные планы заданы на произведении более чем двух пространств (возможно, и бесконечного их числа), на которых зафиксированы проекции. Мультимаргинальные задачи изучались многими авторами – см. недавние работы [19], [22], [51], [62], [67], [71], [74], [77], [81], [110], [113]–[115], где есть дополнительные ссылки. Все те новые задачи, которые упоминались выше, также могут быть поставлены в такой ситуации. Однако в последние годы стали популярны так называемые мультистохастические транспортные задачи, в которых планы задаются на произведениях многих сомножителей, но появляются дополнительные ограничения, состоящие в том, что проекции задаются не только на отдельных сомножителях, но и на конечных произведениях части сомножителей. Например, для мер на трехмерном пространстве задаются не только проекции на координатные оси, но и проекции на двумерные координатные подпространства. Конечно, в этом случае множество допустимых планов может оказаться пустым, так что возникает вопрос об условиях непустоты этого множества.
Пусть заданы n вполне регулярных пространств X_1,\dots,X_n и натуральное число k<n. Пусть p и q – целые неотрицательные числа, q \leqslant p. Обозначим через \mathcal{I}_{pq} семейство подмножеств множества \{1,2,\dots,p\} размера q. Через \mathcal{I}_p=\bigcup\limits_{q=0}^p\mathcal{I}_{pq} обозначим семейство всех подмножеств набора \{1,2,\dots,p\}.
Для всех \alpha\in \mathcal{I}_n положим X_\alpha=\displaystyle\prod_{i\in\alpha}X_i. Пусть X=\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i. Для всякого \alpha \in \mathcal{I}_n через \mathrm{Pr}_\alpha обозначим проектор на множество X_\alpha. Пусть для каждого \alpha \in \mathcal{I}_{nk} на множестве X_\alpha определена радоновская вероятностная мера \mu_\alpha. Обозначим через \Pi(\{\mu_\alpha\}) множество радоновских вероятностных мер (возможно, пустое) со свойством \mu\circ\mathrm{Pr}_\alpha^{-1}=\mu_\alpha для всех \alpha \in \mathcal{I}_{nk}. Меры из \Pi(\{\mu_\alpha\}) называют объединяющими. Прямая (n,k)-задача Монжа–Канторовича ставится следующим образом.
Определение 6.1. Пусть дана борелевская функция стоимости h \colon X \to \mathbb{R}. Тогда (n,k)-задача Монжа–Канторовича состоит в нахождении величины
Эта (n,k)-задача Монжа–Канторовича (она же мультистохастическая транспортная задача) изучалась в работах [75] и [76]. Интерес к ней мотивирован следующим специальным случаем, оказавшимся довольно характерным для этой задачи. Напомним, что побитовым сложением двух чисел x,y \in [0,1] называется следующая операция: если
\begin{equation*}
x =\overline{0.\, x_1 x_2 \ldots}\,, \quad y =\overline{0.\, y_1 y_2 \ldots}
\end{equation*}
\notag
есть их двоичная запись, то число z=x \oplus y записывается в виде
\begin{equation*}
S=\{(x,y,z)\colon x\oplus y \oplus z=0\}
\end{equation*}
\notag
является самоподобным фракталом размерности 2, известным как тетраэдр Серпинского.
Теорема 6.2. Предположим, что n=3, k=2, X_i=[0,1], i=1,2,3, и пусть \mu_{xy}=\lambda_{xy}, \mu_{xz}=\lambda_{xz}, \mu_{yz}=\lambda_{yz} – двумерные меры Лебега на [0,1]^2 и h(x,y,z)=xyz. Пространство \Pi(\{\mu_\alpha\}) состоит из вероятностных мер на [0,1]^3, проекции которых на координатные гиперплоскости являются мерами Лебега на [0,1]^2. Тогда существует единственное решение (3,2)-задачи
Идея доказательства того, что мера на S действительно является решением, вытекает из следующего наблюдения. Пусть T_1(x,y,z)=(1-x,y,z). Аналогично определяем T_2, T_3. Для всякой меры \pi \in \Pi(\lambda_{xy},\lambda_{xz},\lambda_{yz}) имеют место равенства
Следовательно, отображения T_1 \circ T_2, T_1 \circ T_3 и T_2 \circ T_3 сохраняют значение функционала K(\pi). Так как эти отображения сохраняют множество \Pi(\lambda_{xy},\lambda_{xz},\lambda_{yz}), то найдется решение \pi, инвариантное относительно отображений T_1\circ T_2, T_1 \circ T_3, T_1 \circ T_3. Разобьем [0,1]^3 на два множества S_1 и S_2:
Заметим, что S_1 и S_2 инвариантны относительно операторов T_1 \circ T_2, T_1 \circ T_3, T_2 \circ T_3 и выполнены равенства S_2= T_{1}(S_1)= T_{2}(S_1)=T_{3}(S_1). Далее рассмотрим меры \widehat{\pi}=\pi\big|_{S_2} и \widetilde{\pi}=\widehat{\pi} \circ T^{-1}_1. Из симметричности \pi вытекает, что эти меры имеют одинаковые проекции на координатные плоскости O_{xy}, O_{xz} и O_{yz}. Теперь несложно доказать, что
Отсюда вытекает, что носитель \pi содержится в S_1 (иначе функционал K достигал бы меньшего значения на мере \pi-\widehat{\pi}+\widetilde{\pi}). Применяя это рассуждение к каждому из четырех кубиков, составляющих S_1, получаем, что существует решение с носителем в множестве S(k) (где S(1)=S_1), являющемся объединением 4^k кубов объема 1/8^k. Переходя к пределу k \to \infty, получаем, что существует решение с носителем S=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} S(k). Множество S и есть тетраэдр Серпинского. Модифицируя рассуждение выше, можно доказать единственность решения.
В работе [75] доказана следующая теорема двойственности (см. более общий результат в [76]).
Теорема 6.3. Пусть X_1,\dots,X_n – компактные метрические пространства, h \geqslant 0 – непрерывная функция стоимости на X. Предположим, что множество \Pi(\{\mu_\alpha\}) непусто. Тогда
где супремум берется по всем функциям f_\alpha \in L^1(\mu_\alpha), f(x)=\displaystyle\sum_{\alpha \in \mathcal{I}_{nk}}f_\alpha(x_\alpha).
Решение задачи, двойственной к задаче из теоремы 6.2, описано в следующей теореме. Открыт вопрос о единственности этого решения.
Теорема 6.4. Пусть \mu_{xy}=\lambda_{xy}, \mu_{xz}=\lambda_{xz}, \mu_{yz}=\lambda_{yz} – двумерные меры Лебега на [0,1]^2 и h(x,y,z)=xyz. Тогда тройка функций f(x,y), f(x,z), f(y,z), где
\begin{equation*}
f(x, y)=\int_0^x \int_0^y t \oplus s\, dt\,ds- \frac{1}{4} \int_0^x \int_0^x t \oplus s\, dt\,ds- \frac{1}{4} \int_0^y \int_0^y t \oplus s\, dt\,ds,
\end{equation*}
\notag
является решением двойственной задачи.
Решение двойственной задачи, данное в теореме 6.4, связано с решением \pi прямой задачи следующим образом: мера \pi сосредоточена на графике отображения (x,y) \mapsto f_{xy}(x,y), т. е. \pi-почти всюду
причем f обладает почти всюду неотрицательной смешанной производной f_{xy}, но производные f_{xx}, f_{yy} не существуют (в классическом смысле).
Отметим, что в случае мультистохастической задачи вопрос непустоты множества \Pi(\{\mu_{\alpha}\}) нетривиален. Ясно, что для этого система мер \mu_{\alpha} должна обладать очевидным свойством согласованности: для всех \alpha,\beta \in \mathcal{I}_{nk} должно выполняться равенство \mu_\alpha\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}= \mu_\beta\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}. Этого свойства недостаточно для непустоты \Pi(\{\mu_{\alpha}\}), но достаточно для существования заряда (знакопеременной меры) P со свойством P\circ \mathrm{Pr}_{\alpha}^{-1}=\mu_{\alpha}. Существуют “двойственные” достаточные условия непустоты этого множества, которые трудно проверить явно. Одно из конструктивных достаточных условий дано в следующей теореме.
Теорема 6.5. Пусть \nu_i \in \mathcal{P}(X_i), 1 \leqslant i \leqslant n. Для всех \alpha \in \mathcal{I}_{nk} положим \nu_\alpha=\displaystyle\prod_{i \in \alpha}\nu_i. Пусть \mu_\alpha – согласованный набор вероятностных мер на пространствах X_\alpha. Предположим, что мера \mu_\alpha абсолютно непрерывна относительно \nu_\alpha для всех \alpha \in \mathcal{I}_{nk}. Пусть p_\alpha – плотность \mu_\alpha относительно \nu_\alpha. Предположим, что существуют такие положительные константы m и M\geqslant m, что m \leqslant p_\alpha \leqslant M\nu_\alpha-п. в. для всех \alpha \in \mathcal{I}_{nk}. Тогда найдется такая константа \lambda_{nk} > 1, что если M/m \leqslant \lambda_{nk}, то множество \Pi(\{\mu_\alpha\}) непусто.
Пример 6.6. Пусть \nu_x, \nu_y, \nu_z – некоторые вероятностные меры на одномерных осях O_x, O_y, O_z и
Для c>2 множество \Pi(\mu_{xy},\mu_{yz},\mu_{xz}) может быть пустым.
Определение 6.7. Согласованный набор вероятностных мер \mu_\alpha, \alpha \in \mathcal{I}_{nk}, называется разложимым, если существуют набор вероятностных мер \nu_i на пространствах X_i и объединяющая мера \mu \in \Pi(\{\mu_\alpha\}), заданная ограниченной и отделенной от нуля плотностью относительно меры \nu_1 \otimes \nu_2 \otimes \cdots \otimes \nu_n.
Приведем простые достаточные условия существования двойственного решения.
Теорема 6.8. Пусть X_i – компактные метрические пространства, h\geqslant 0 – непрерывная функция стоимости на X. Пусть \{\mu_\alpha\} – разложимый набор вероятностных мер на пространствах X_\alpha, \alpha \in \mathcal{I}_{nk}. Тогда
где максимум берется по всем наборам функций f_\alpha \in L^1(\mu_\alpha) со значениями в множестве [-\infty,+\infty), для которых \displaystyle\sum_{\alpha \in \mathcal{I}_{nk}}f_\alpha(x_\alpha) \leqslant h(x) при всех x \in X.
Отметим, что при отсутствии условия разложимости двойственная задача может не иметь решения даже в дискретном случае.
Наконец, для ограниченной функции стоимости в некоторых ситуациях оказывается возможным доказать ограниченность решения.
Теорема 6.9. Пусть X=Y=Z=\mathbb{N} и \mu_x, \mu_y, \mu_z – вероятностные меры на X, Y, Z. Рассмотрим (3,2)-задачу с
является решением двойственной задачи. Тогда F\geqslant-12.
7. Оптимальная транспортировка с параметрами
Представляет интерес рассмотрение транспортных задач с параметром, от которого могут зависеть маргиналы и функция стоимости, а также иные данные задачи. Такие задачи изучались в работах [63], [129], [134], [96], [34]–[36]. Первые возникающие здесь вопросы – измеримость и непрерывность решений и минимумов по параметру. Измеримость имеет место при весьма широких условиях. Для упрощения технических деталей мы остановимся на случае, когда X и Y – вполне регулярные суслинские пространства, например полные сепарабельные метрические пространства.
В задачах без ограничений на плотности планов пространства мер наделяются слабыми топологиями и порожденными ими борелевскими \sigma-алгебрами \mathcal{B}(\mathcal{P}(X)), \mathcal{B}(\mathcal{P}(Y)), \mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)). При наличии ограничения на плотности естественно использовать топологии, связанные с пространством L^1, о чем уже говорилось выше.
Пусть (T,\mathcal{T}) – измеримое пространство, отображение t\mapsto \mu_t, T\to \mathcal{P}(X), является (\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X)))-измеримым, отображение t\mapsto \nu_t, T\to \mathcal{P}(Y), является (\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y)))-измеримым. В нашей ситуации такая измеримость сводится к \mathcal{T}-измеримости числовых функций
для всех борелевских множеств A\subset X, B\subset Y.
В наиболее важных примерах (T,\mathcal{T}) – метрическое пространство с борелевской \sigma-алгеброй, поэтому речь идет о борелевской измеримости указанных отображений.
Функция стоимости h\geqslant 0 на T\times X\times Y предполагается измеримой относительно \mathcal{B}(T)\otimes\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y).
Сначала рассмотрим случай, когда X и Y – полные сепарабельные метрические пространства, но (T,\mathcal{T}) – общее измеримое пространство.
Теорема 7.1. Пусть X и Y – полные сепарабельные метрические пространства, при всех t\in T функции стоимости h_t\colon (x,y)\mapsto h(t,x,y) непрерывны, а значения K(t):=K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) конечны. Тогда функция K является \mathcal{T}-измеримой.
Кроме того, существуют такие оптимальные меры \sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t) для h_t, что отображение t\mapsto \sigma_t измеримо относительно \mathcal{T} и \mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)).
Отметим, что в [34; теорема 4.1], где доказан этот результат, в формулировке имеется опечатка: вместо \mathcal{T}-измеримоcти говорится о (\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)))-измеримости, которая относится к последнему утверждению теоремы. Заметим также, что ввиду непрерывности по (x,y) в этой теореме измеримость по совокупности переменных следует из измеримости по t при фиксированных x, y.
В следующей теореме ослаблено предположение о непрерывности функции стоимости, но T должно быть суслинским пространством.
Теорема 7.2. Пусть X и Y – полные сепарабельные метрические пространства, T – суслинское пространство, t\mapsto \mu_t и t\mapsto \nu_t – борелевские отображения со значениями в пространствах \mathcal{P}(X) и \mathcal{P}(Y) соответственно, функция h\geqslant 0 является \mathcal{B}(T)\otimes\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)-измеримой, причем функции h_t полунепрерывны снизу, а соответствующие величины K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) конечны. Тогда функция t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) борелевски измерима и существуют такие оптимальные меры \sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t) для h_t, что отображение t\mapsto \sigma_t измеримо относительно \mathcal{B}(T) и \mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)).
Теорема 7.3. Предположим, что X и Y – вполне регулярные суслинские пространств, T – суслинское пространство и h\colon T\times X\times Y \to [0,+\infty) – такая борелевская функция, что функция h_t непрерывна при каждом t. Пусть t\mapsto\mu_t и t\mapsto\nu_t – такие борелевские отображения со значениями в \mathcal{P}(X) и \mathcal{P}(Y) соответственно, что K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)<\infty при всех t. Тогда функция t\mapsto K(t) борелевская и существуют оптимальные меры \sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t) для h_t такие, что отображение t\mapsto \sigma_t борелевски измеримо.
Более того, существует такая последовательность борелевских отображений \Phi_n\colon T\to \mathcal{P}(X\times Y), что для каждого t\in T последовательность \{\Phi_n(t)\} плотна в выпуклом компактном множестве M_t всех h_t-оптимальных мер в множестве \Pi(\mu_t,\nu_t).
Хотя эти теоремы охватывают необходимые для приложений пространства, было бы интересно выяснить, верна ли теорема 7.1 для суслинских пространств X и Y и полунепрерывных снизу функций стоимости (такой результат давал бы все три теоремы как частные случаи). В [34] в случае суслинских пространств и полунепрерывных снизу функций стоимости получены результаты о более слабой измеримости относительно \sigma-алгебры, порожденной суслинскими множествами.
В работе [35] доказаны следующие теоремы о зависимости решений нелинейной задачи от параметра. Напомним, что лузинские пространства – образы полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных взаимно однозначных отображениях (это подкласс суслинских пространств).
Теорема 7.4. Пусть X и Y – лузинские вполне регулярные пространства (например, полные сепарабельные метрические пространства). Предположим, что заданы борелевские отображения
полунепрерывна снизу на множествах вида K\times \Pi(\mu_t,\nu_t), где K\subset X\times Y компактно, причем величины K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) конечны при всех t\in T. Тогда функция t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) является борелевской, причем существует такое борелевское отображение t\mapsto \sigma_t из T в \mathcal{P}(X\times Y), что мера \sigma_t оптимальна для тройки (\mu_t,\nu_t,h_t) при каждом t.
Более того, существует последовательность борелевских отображений \xi_n из T в \mathcal{P}(X\times Y), для которых при каждом t последовательность мер \xi_n(t) всюду плотна в множестве оптимальных планов для тройки (\mu_t,\nu_t,h_t).
Теорема 7.5. Предположим, что в предыдущей теореме функция стоимости h имеет вид
полунепрерывны снизу, причем функции p\mapsto H(t,x,p) выпуклы при всех t, x. Тогда остается в силе заключение предыдущей теоремы.
Наконец, параметрическая версия транспортной задачи с ограничением на плотности планов рассмотрена в [30], где получен следующий результат.
Пусть даны последовательность измеримых пространств (X_n,\mathcal{B}_n) и вероятностная мера \lambda на произведении X=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty X_n, наделенном произведением \mathcal{B} данных \sigma-алгебр \mathcal{B}_n. Обозначим через \lambda_n проекцию \lambda на X_n. Будем предполагать, что мера \lambda сепарабельна, т. е. сепарабельно L^1(\lambda). Тогда сепарабельны и меры \lambda_n. Для каждого n зафиксируем последовательность ограниченных \mathcal{B}_n-измеримых функций \varphi_{n,j}, всюду плотную в L^1(\lambda_n). Кроме того, зафиксируем счетный набор множеств A_j\in\mathcal{B} с тем свойством, что всякое множество из \mathcal{B} совпадает с каким-то из A_j с точностью до множества \lambda-меры нуль. Такой набор существует в силу сепарабельности меры \lambda.
Предположим, что (T,\mathcal{T}) – измеримое пространство, причем для каждого t\in T даны вероятностная мера \mu_{n,t} на \mathcal{B}_n, абсолютно непрерывная относительно \lambda_n, неотрицательная \mathcal{B}-измеримая функция h_t на X и неотрицательная \lambda-интегрируемая функция \Phi_t на X, для которых \mathcal{B}\otimes \mathcal{T}-измеримы функции
\mathcal{T}-измеримы для всех n и j. Если X_n и T – сепарабельные метрические пространства и \mathcal{T}=\mathcal{B}(T), то достаточно предполагать, что меры \mu_{n,t} зависят от t борелевски, т. е. функции t\mapsto \mu_{n,t}(B) являются борелевскими для борелевских множеств B.
Плотность Радона–Никодима меры \mu_{n,t} относительно меры \lambda_{n} обозначим через \varrho_{n,t}, т. е.
При фиксированном t\in T обозначим через \mathcal{L}_t множество таких вероятностных плотностей \psi\in L^1(\lambda), что \psi\leqslant \Phi_t почти всюду относительно \lambda, причем проекция меры \psi\cdot \lambda на X_n равна \mu_{n,t} при всех n. Последнее условие на проекции можно записать как
где \mathsf{E}(\psi\mid\mathcal{B}_n) – условное математическое ожидание функции \psi относительно меры \lambda и \sigma-алгебры \mathcal{B}_n, т. е. \mathcal{B}_n-измеримая функция, интегрируемая относительно \lambda, для которой
Таким образом, речь идет о существовании вероятностных плотностей f_t, удовлетворяющих счетному набору линейных ограничений (7.1) и (7.2) и минимизирующих при каждом t интегралы с функциями h_t по мере \lambda, причем требуется также совместная измеримость f_t(x) на X\times T.
Каждое множество \mathcal{L}_t компактно в слабой топологии, ибо оно очевидным образом слабо замкнуто и содержится в множестве неотрицательных функций, не превосходящих \Phi_t, а последнее слабо компактно в силу равномерной интегрируемости (см. [25; § 4.7(iv)]).
Если плотности \varrho_{n,t} ограничены числом C, то достаточным условием непустоты \mathcal{L}_t является оценка \Phi_t\geqslant C. Если сомножителей всего два и \lambda=\lambda_1\otimes\lambda_2, то достаточно иметь \varrho_{1,t}(x_1)\varrho_{2,t}(x_2)\leqslant \beta_t(x_1,x_2). Если \mathcal{L}_t непусто и есть функция v_t\in \mathcal{L}_t, для которой h_tv_t\in L^1(\lambda), то функционал
Для \sigma-алгебры \mathcal{T} обозначим через \mathcal{S}(\mathcal{T}) класс множеств, полученных из \mathcal{T} операцией Суслина (см. [25]), а через \sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T})) порожденную этим классом \sigma-алгебру. Пусть \widehat{\mathcal{T}} есть порожденный \mathcal{T} класс универсально измеримых множеств, т. е. пересечение пополнений \mathcal{T} по всем вероятностным мерам на \mathcal{T}. Как известно (см. [25; теорема 1.10.5]), \sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T}))\subset \widehat{\mathcal{T}}.
Теорема 7.6. Пусть T – непустое суслинское пространство с его борелевской \sigma-алгеброй \mathcal{T}=\mathcal{B}(T). Предположим, что \mathcal{K}_t непусто при всех t. Тогда найдутся такие функции f_t\in \mathcal{K}_t, что меры f_t\cdot\lambda оптимальны для функций h_t, т. е. f_t\in \mathcal{M}_t, причем функция (x,t)\mapsto f_t(x) измерима относительно \mathcal{B}\otimes\mathcal{T}. Более того, найдется последовательность функций f_{n,t} с теми же свойствами, при каждом t плотная в \mathcal{M}_t. Кроме того, \mathcal{T}-измерима функция
В случае общего измеримого пространства (T,\mathcal{T}) функции f_t\in \mathcal{M}_t можно выбрать так, что функция (x,t)\mapsto f_t(x) будет \mathcal{B}\otimes\sigma(\mathcal{S}(\widehat{\mathcal{T}}))-измеримой, а функция t\mapsto M(h_t,\beta_t) будет \widehat{\mathcal{T}}-измеримой.
Результаты, относящиеся к непрерывности по параметру в задачах оптимальной транспортировки, имеются в работах [23], [72], [121], [79], [36]. В последней работе получены наиболее общие результаты. Однако для упрощения формулировок мы приведем их в меньшей общности.
Пусть X и Y – полные сепарабельные метрические пространства, T – метрическое пространство, для каждого t\in T заданы меры \mu_t\in \mathcal{P}(X), \nu_t\in \mathcal{P}(Y), причем отображения t\mapsto\mu_t и t\mapsto\nu_t непрерывны в слабой топологии. Кроме того, пусть h\colon T\times X\times Y\to [0,+\infty) – непрерывная функция. Положим
Теорема 7.7. Если функция h ограничена, то функция t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t) непрерывна на пространстве T.
Следствие 7.8. Если в ситуации предыдущей теоремы для каждого t имеется единственный оптимальный план \sigma_t, то он непрерывен по t.
Однако при отсутствии единственности может оказаться, что невозможно выбрать оптимальные планы, непрерывно зависящие от параметра t. Простые примеры такого рода построены в [36]. В частности, можно взять меры \mu_t и \nu_t равными мере Лебега на [0,1] (т. е. они не зависят от t) и функцию стоимости
\begin{equation*}
h_t(x,y)=\begin{cases} \min(|x-y|,|x+y-1|+t), & t \geqslant 0, \\ \min(|x-y|-t,|x+y-1|),& t < 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, можно сказать, что ситуация с непрерывностью оптимальной стоимости аналогична случаю измеримости, а с непрерывным выбором оптимального плана возникает отличие. Некоторую компенсацию дает использование приближенных оптимальных планов. Для \varepsilon>0 меру \sigma\in \Pi(\mu,\nu) будем считать \varepsilon-оптимальной для функции стоимости h, если
Теорема 7.9. При каждом фиксированном \varepsilon>0 существуют \varepsilon-оптимальные меры \sigma_t^\varepsilon\in \Pi(\mu_t,\nu_t) для функций стоимости h_t, непрерывные по t в слабой топологии.
Для оптимальных отображений Монжа также можно ставить вопрос об измеримой или непрерывной зависимости от параметра. Например, следующий результат из [36] дает непрерывность отображения Монжа по параметру в метрике сходимости по вероятности.
Предложение 7.10. Пусть X\! – метрическое пространство, \mu_n,\nu_n\!\in\mathcal{P}(X) при n\in \mathbb{Z}_+, \mu_n\to\mu_0 по вариации. Предположим, что даны такие борелевские отображения T_n\colon X\to X, что меры \sigma_n, равные образам мер \mu_n при отображениях x\mapsto (x,T_n(x)), слабо сходятся к \sigma_0. Тогда отображения T_n сходятся к T_0 по мере \mu_0.
Следствие 7.11. Пусть X=Y – полное сепарабельное метрическое пространство, меры \mu_n\in \mathcal{P}(X) сходятся к мере \mu_0 по вариации, меры \nu_n\in \mathcal{P}(X) слабо сходятся к мере \nu_0, непрерывные функции стоимости h_n\geqslant 0 на X^2 равномерно ограничены и на компактах равномерно сходятся к функции h_0, причем при всех n\geqslant 0 оптимальные планы Канторовича для троек (\mu_n,\nu_n,h_n) единственны и порождаются единственными оптимальными отображениями Монжа T_n. Тогда отображения T_n сходятся к T_0 по мере \mu_0.
Ранее в работах [8], [61], [105] близкие результаты были получены для некоторых специальных случаев, связанных с исследованием условий существования и единственности отображений Монжа.
8. Метрики и топологии типа Канторовича
Напомним (см. [65]), что топология всякого вполне регулярного топологического пространства X порождается семейством псевдометрик \Pi (псевдометрика отличается от метрики тем, что может обращаться в нуль на паре различных элементов). Для псевдометрики d на пространстве X обозначим через \operatorname{Lip}_1(d) множество 1-липшицевых функций относительно d, т. е. таких функций f на X, что
Непосредственным аналогом нормы Канторовича–Рубинштейна служит полунорма Канторовича–Рубинштейна на пространстве радоновских мер \mathcal{M}(X) на X, заданная формулой
На подпространстве \mathcal{M}_d^1(X) таких мер \mu, что для некоторого (а тогда и для всякого) x_0\in X функция d(x,x_0) интегрируема относительно полной вариации меры \mu, введем полунорму Канторовича
совершенно аналогичную норме Канторовича в случае метрического пространства. Порождаемые этими наборами полунорм топологии будем называть топологиями Канторовича–Рубинштейна и Канторовича и обозначать через \tau_{\rm KR} и \tau_{\rm K} соответственно.
Теорема 8.1. Предположим, что топология в X порождена семейством псевдометрик \Pi. Тогда слабая топология на множестве неотрицательных мер \mathcal{M}^+(X) порождается семейством полунорм \|\,\cdot\,\|_{{\rm KR}, p}, p\in \Pi.
Кроме того, слабая топология порождается этими полунормами на всяком ограниченном по вариации равномерно плотном множестве в \mathcal{M}(X).
Теорема 8.2. Предположим, что вполне регулярное пространство X сепарабельно или обладает счетным набором непрерывных функций, разделяющих точки. Тогда слабая топология совпадает с топологией \tau_{\rm KR} на слабо компактных множествах в \mathcal{M}(X).
Отметим простое достаточное условие сходимости в топологии \tau_{\rm K}. Для семейства псевдометрик \Pi, порождающего топологию пространства X, обозначим через \mathcal{M}^{\Pi}(X) класс мер \mu\in \mathcal{M}(X), для которых функции x\mapsto p(x,x_0) при p\in\Pi интегрируемы относительно |\mu| для фиксированного x_0\in X (выбор x_0 не влияет на определение этого класса).
Теорема 8.3. Предположим, что направленность \{\mu_\alpha\}\subset \mathcal{M}^{\Pi}(X) сходится в топологии \tau_{\rm KR} к мере \mu\in\mathcal{M}^{\Pi}(X) (для неотрицательных мер или мер из ограниченного равномерно плотного семейства это равносильно слабой сходимости). Если всякая псевдометрика p из \Pi удовлетворяет условию равномерной интегрируемости
то \{\mu_\alpha\} сходится в топологии \tau_{\rm K}. В случае вероятностных мер это условие является также и необходимым.
Наконец, в случае счетной последовательности мер вместо сходимости в топологии \tau_{\rm KR} достаточно иметь слабую сходимость.
В примере 8.6 ниже мы увидим, что для направленностей знакопеременных мер недостаточно вместо сходимости в топологии \tau_{\rm KR} иметь слабую сходимость.
Аналогичный результат верен для топологии \tau_{{\rm K},q} при q\geqslant 1, которая вводится на подклассе \mathcal{M}^{\Pi,q}(X) в \mathcal{M}^{\Pi}(X), состоящем из мер \mu, для которых относительно |\mu| интегрируемы все функции x\mapsto p(x,x_0)^q при p\in\Pi. Эта топология порождается полунормами
Теорема 8.4. Пусть направленность мер \mu_\alpha\in \mathcal{M}^{\Pi,q}(X), где q\geqslant 1, сходится к мере \mu\in \mathcal{M}(X) в топологии \tau_{\rm KR} (для неотрицательных мер или мер из ограниченного равномерно плотного семейства это равносильно слабой сходимости). Если для каждой псевдометрики p из \Pi верно равенство
то \mu\in \mathcal{M}^{\Pi,q}(X) и \{\mu_\alpha\} сходится к \mu в топологии \tau_{{\rm K},q}.
Если меры \mu_\alpha\in \mathcal{M}^1 на локально выпуклом пространстве X имеют барицентры b_\alpha и сходятся в топологии \tau_{\rm K} к мере \mu\in \mathcal{M}^1 с барицентром b, то имеет место сходимость барицентров b_\alpha\to b. В самом деле, для всякой непрерывной полунормы p на X имеет место оценка
ибо l\in \operatorname{Lip}_{1}(p). По теореме Хана–Банаха супремум l(b_\alpha-b) по функционалам с оценкой l\leqslant p есть p(b_\alpha-b).
Применительно к сходимости барицентров получаем такое утверждение.
Следствие 8.5. Если последовательность радоновских мер \mu_n на локально выпуклом пространстве X сходится слабо к радоновской мере \mu_n, причем меры \mu_n имеют барицентры b_{n}, мера \mu имеет барицентр b, а каждая непрерывная полунорма равномерно интегрируема относительно последовательности \mu_n в указанном в теореме 8.3 смысле, то b_{n}\to b.
В случае вероятностных мер то же самое верно и для направленностей.
Следующий пример показывает, что последнее утверждение следствия может быть неверным для направленностей знакопеременных мер, что в силу сказанного выше дает контрпример и для последнего утверждения теоремы 8.3 в случае направленностей.
Пример 8.6. В банаховом пространстве X=l^1 существует ограниченная по вариации направленность знакопеременных дискретных мер на единичном шаре, слабо сходящихся к нулевой мере и имеющих барицентры единичной длины.
Для построения зафиксируем конечный набор ограниченных непрерывных функций f_1,\dots,f_n на X. Возьмем следующие векторы в \mathbb{R}^n:
где \{e_j\} – стандартный базис в l^1. Векторы v_j линейно зависимы, поэтому найдутся числа c_1,\dots,c_{n+1}, не равные нулю одновременно, для которых
По построению имеем \mu_{U}\in U, причем эта мера сосредоточена на единичной сфере. Множество базисных окрестностей является направленным по обратному включению, когда окрестность V считается большей, чем окрестность U, если V\subset U. По определению построенная направленность мер \mu_U слабо сходится к нулю. Среднее меры \mu_U равно \displaystyle\sum_j c_j e_j, поэтому \|m_{\mu_U}\|=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}|c_j|=1.
Имеются простые достаточные условия компактности множеств из \mathcal{M}(X) в топологии \tau_{\rm KR} и множеств из \mathcal{M}^{\Pi}(X) в топологии \tau_{\rm K}.
Теорема 8.7. Пусть множество S\subset \mathcal{M}(X) ограничено по вариации и равномерно плотно. Тогда S имеет компактное замыкание в топологии \tau_{\rm KR}.
Если S\subset \mathcal{M}^{\Pi}(X) и всякая псевдометрика p из \Pi удовлетворяет условию равномерной интегрируемости
при некотором x_0\in X, то S содержится в компакте в топологии \tau_{\rm K}.
Следующий результат из [3] показывает, что равномерно плотное множество радоновских мер на банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой остается равномерно плотным относительно некоторой более сильной нормы, которая также равномерно интегрируема (так что при условии ограниченности по вариации это семейство содержится в компакте по норме Канторовича). Более того, это семейство равномерно плотно на некотором компактно вложенном сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой.
Теорема 8.8. Пусть X – пространство Фреше и \mathcal{M} – равномерно плотное семейство радоновских мер на X, причем все полунормы p_n из некоторой порождающей топологию в X последовательности равномерно интегрируемы по мерам из \mathcal{M}, т. е.
Тогда существует линейное подпространство E\subset X со следующими свойствами:
(i) пространство E с некоторой нормой \|{\,\cdot\,}\|_E является сепарабельным рефлексивным банаховым с замкнутым единичным шаром, компактным в исходном пространстве X;
(ii) семейство \mathcal{M} сосредоточено на E и является равномерно плотным на E с нормой \|{\,\cdot\,}\|_E, причем эта норма равномерно интегрируема по мерам из семейства \mathcal{M}.
Метрики типа Канторовича и Канторовича–Рубинштейна позволяют ввести удобные расстояния Хаусдорфа на множествах мер.
Напомним, что расстояние Хаусдорфа между ограниченными замкнутыми подмножествами A и B метрического пространства (M,d) определяется формулой
Для наших целей это расстояние интересно при рассмотрении пространства вероятностных мер на метрическом пространстве (X,d) и множества транспортных планов в пространстве \mathcal{P}(X\times Y) с метрикой Канторовича–Рубинштейна d_{\rm KR}, порожденной естественной метрикой d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2) на X\times Y, где d_X – метрика на X и d_Y – метрика на Y. Расстояния Хаусдорфа на пространствах мер, порожденные метриками Канторовича–Рубинштейна, будем обозначать через H_{\rm KR}. Аналогично через H_{\rm K} будем обозначать расстояния Хаусдорфа на пространствах мер с конечным первым моментом, порожденные метриками Канторовича. С топологической точки зрения принципиальной разницы между двумя такими расстояниями нет, поскольку всякую метрику можно заменить ограниченной метрикой, порождающей ту же топологию. Топология на пространстве мер при этом тоже не изменится.
В случае множества \mathcal{P}^p(X\times Y) с метрикой W_p расстояние Хаусдорфа H_{\rm K}^p задается на пространстве замкнутых подмножеств пространства \mathcal{P}^p(X\times Y).
Для общих вполне регулярных пространств X и Y возникают аналогичные конструкции. Топологии этих пространств могут быть заданы семействами псевдометрик \Psi_X и \Psi_Y. Топология произведения X\times Y порождается псевдометриками
На пространствах вероятностных мер на X, Y, X\times Y описанным выше образом возникают псевдометрики Канторовича–Рубинштейна d_{{\rm KR},d_1} , d_{{\rm KR},d_2}\kern-1pt, d_{{\rm KR},d_1\oplus d_2} , Канторовича d_{{\rm K},d_1} и т. д. Например, для вполне регулярного пространства X с заданным набором псевдометрик \Psi_X, порождающим топологию, на множестве \mathcal{P}^\Psi(X) вероятностных радоновских мер на X, относительно которых интегрируемы функции x\mapsto d(x,x_0) при всех d\in \Psi_X, заданы псевдометрики Канторовича d_{{\rm K},d}. На пространстве замкнутых подмножеств пространства мер \mathcal{P}(X\times Y) получаем псевдометрики Хаусдорфа вида H_{{\rm K},d_1\oplus d_2}, порождаемые псевдометриками d_1 на X и d_2 на Y.
Теорема 8.9. Пусть \mu_1,\mu_2\in \mathcal{P}(X), \nu_1,\nu_2\in \mathcal{P}(Y), \alpha и \beta – непрерывные псевдометрики на X и Y соответственно. Тогда для всякой меры \sigma_1\in \Pi(\mu_1,\nu_1) найдется такая мера \sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_2), что
Аналогичное утверждение справедливо и для n маргиналов: если \mu_i,\nu_i\!\in\kern-1pt\mathcal{P}(X_i), i=1,\dots,n, \alpha_i – непрерывные псевдометрики на пространствах X_i, то для всякой меры \sigma \in \Pi(\mu_1,\dots,\mu_n) существует такая мера \pi \in \Pi(\nu_1,\dots,\nu_n), что
Оценки, связывающие расстояние Канторовича с соболевскими нормами, изучаются в [39], [42], [43], [40].
В работе [27] рассмотрены свойства секвенциальной непрерывности для пространства мер \mathcal{M}(X) со слабой топологией. Это пространство неметризуемо, если X бесконечно, но в случае, когда X – полное сепарабельное метрическое пространство, всякий линейный функционал l на \mathcal{M}(X), который секвенциально непрерывен в слабой топологии (т. е. l(m_n)\to 0, если последовательность m_n слабо сходится к нулю), оказывается непрерывным в обычном топологическом смысле. Более общий результат содержится в [27; теорема 1]. При этом для нелинейных функций из секвенциальной непрерывности не следует обычная.
Для задач оптимальной транспортировки бывают полезны результаты о приближении мер на бесконечномерных банаховых или локально выпуклых пространствах их конечномерными образами, т. е. образами при непрерывных линейных отображениях с конечномерными образами. Такие приближения очевидным образом возможны в пространствах с базисами Шаудера, но в общем случае вопрос открыт (см. обсуждение в [28]).
В работе [53] изучается сглаживание метрик Канторовича (которые продолжают ошибочно именоваться “Wasserstein distances”, как и во многих других зарубежных работах).
Различные задачи, связанные с транспортными расстояниями, топологическими свойствами пространств мер, а также близкие вопросы теории метрических пространств с мерами обсуждаются в работах [6], [10]–[13], [18], [24], [52], [78], [83], [89], [101], [104], [116], [122], [123].
9. Другие направления исследований
Упомянем еще несколько направлений исследований последних лет в области оптимальной транспортировки.
Интенсивно развивается мартингальная оптимальная транспортировка – см. [17], [21], [47], [58], [73], [82], [95], [103], [112], [130]. В простейшем случае задача ставится для n борелевских вероятностных мер на прямой и ограниченной борелевской функции стоимости h на \mathbb{R}^n. Она состоит в минимизации интеграла
по борелевским вероятностным мерам \mu на \mathbb{R}^n со следующими ограничениями: проекция \mu на k-й сомножитель есть \mu_k, причем координатные функции x_1,\dots,x_n образуют мартингал относительно меры \mu и \sigma-алгебр \sigma_1,\dots,\sigma_n, где \sigma_k порождается координатными функциями x_1,\dots,x_k. Аналогично ставится задача для бесконечного числа координат. В работах [17], [47], [130] можно найти интересные недавние результаты о непрерывности решений мартингальной транспортной задачи. Близкие к мартингальным задачам оптимальной транспортировки вопросы изучаются в работах [1], [14], [97].
Эта модификация задачи Канторовича укладывается в рассмотренные в работах [132] и [133] общие задачи типа Канторовича с дополнительными линейными ограничениями, в том числе связанными с различными симметриями решений, но обладает рядом важных специфических особенностей. Приведем точную формулировку задачи с линейными ограничениями. Пусть даны вполне регулярные пространства X_i с радоновскими вероятностными мерами \mu_i, i=1,\dots,n. Через \Pi(\mu_1,\dots,\mu_n) обозначим множество мер из \mathcal{P}(X_1 \times \cdots \times X_n) с проекциями \mu_i на сомножители. Функциональные пространства
состоящие из непрерывных интегрируемых функций, наделяются стандартными нормами из L^1(\mu_i) (точнее, полунормами, если меры \mu_i не имеют полных носителей), а пространство
Пусть заданы некоторое линейное подпространство W \subset C_L и функция стоимости h \in C_L. Рассматриваемая модификация задачи Канторовича состоит в нахождении величины
где C_b(X_i) – пространство ограниченных непрерывных функций на X_i.
Упомянем также задачу Шрёдингера, которая была поставлена им в связи с некоторыми вопросами статистической физики. Оказалось, что некоторый специальный случай задачи Монжа–Канторовича может быть получен как предел последовательности задач Шрёдингера при подходящей нормализации. Этому направлению посвящены работы [55], [56], [70], [99], [98]. В задаче Шрёдингера рассматривается мера R на некотором пространстве непрерывных траекторий на отрезке [0,1] (скажем, на C([0,1],\mathbb{R}^n)), являющаяся распределением броуновского движения, для которого распределение точки старта задано мерой Лебега (R может быть неограниченной мерой). Ставится задача минимизации энтропии
на множестве мер P, абсолютно непрерывных относительно R, для которых заданы распределения \mu_0=P_0, \mu_1=P_1 на X в начальной и конечной точке отрезка. Соответствующая задача Канторовича имеет вид
где C(\omega)=\|\dot{\omega}_t \|_{L^2}^2/2 для абсолютно непрерывных траекторий и C(\omega)=+\infty в противном случае. Близким вопросам посвящена недавняя монография [108].
Транспортные задачи, связанные с гауссовскими мерами и их нелинейными преобразованиями, изучаются в [48]–[50].
Оптимальная транспортировка векторных (в том числе матричных) мер рассмотрена в [45], [54], [57], [60], [106]. Другой вид векторной оптимальной транспортировки изучается в книге [131], где для неотрицательных мер \mu_1,\dots,\mu_d на пространстве X, неотрицательных мер \nu_1,\dots,\nu_d на пространстве Y и функции стоимости h на X\times Y ставится задача минимизации интеграла
для всех измеримых множеств B\subset Y, где \mu=\dfrac{1}{d}\displaystyle\sum_{j=1}^d \mu_j. Отметим, что можно было бы изучить также следующий векторный аналог задачи Монжа: для заданных безатомических борелевских вероятностных мер \mu_1,\dots,\mu_d на суслинском пространстве X, борелевской вероятностной меры \nu на суслинском пространстве Y и достаточно хороших функций стоимости h_1,\dots, h_d на X\times Y минимизировать величину
по борелевским отображениям T\colon X\to Y, одновременно переводящим все меры \mu_i в меру \nu. Существование таких отображений обеспечивается теоремой Ляпунова (см. [25; следствие 9.12.37]). Указанную сумму можно переписать в виде
Однако отличие от обычной задачи Монжа состоит в том, что не только мера \mu переводится в \nu, но и каждая из мер \mu_i. В работе [131] имеются результаты, относящиеся к “полудискретному случаю”, когда мера \nu дискретна. Интересно изучить общий случай.
Про метрические барицентры, порожденные метриками типа Канторовича, см. работу [68].
Применение задачи Канторовича к проблеме Плато минимальной поверхности с заданной границей обсуждается в [46].
Связи оптимальной транспортировки с проблемой малых знаменателей рассмотрены в [94].
Регуляризация транспортных задач изучается в [61], [105].
Динамические аспекты оптимальной транспортировки рассмотрены в работах [59], [107].
В изложенных выше результатах речь шла о непрерывных или полунепрерывных снизу функциях стоимости, однако во многих задачах, в том числе связанных с двойственностью, рассматриваются разрывные функции стоимости – см., например, [20], [100]. В работе [127] изучено интересное понятие виртуально непрерывной функции в духе некоторого усиления свойства Лузина. В ряде задач такое свойство может заменять обычную непрерывность функций стоимости.
О характеризациях оптимальных планов, проблемах единственности и двойственности см. [109], [111], [119].
Благодарю за полезные обсуждения К. А. Афонина, А. В. Колесникова, Е. Д. Косова, С. Н. Попову и А. В. Резбаева.
Список литературы
1.
B. Acciaio, J. Backhoff-Veraguas, A. Zalashko, “Causal optimal transport and its links to enlargement of filtrations and continuous-time stochastic optimization”, Stochastic Process. Appl., 130:5 (2020), 2918–2953
2.
B. Acciaio, M. Beiglböck, G. Pammer, “Weak transport for non-convex costs and model-independence in a fixed-income market”, Math. Finance, 31:4 (2021), 1423–1453
3.
K. A. Afonin, V. I. Bogachev, “Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters”, Commun. Pure Appl. Anal. (to appear); 2022, 16 pp., arXiv: 2208.02346
4.
J.-J. Alibert, G. Bouchitté, T. Champion, “A new class of costs for optimal transport planning”, European J. Appl. Math., 30:6 (2019), 1229–1263
5.
L. Ambrosio, E. Brué, D. Semola, Lectures on optimal transport, Unitext, 130, Springer, Cham, 2021, ix+250 pp.
6.
L. Ambrosio, M. Erbar, G. Savaré, “Optimal transport, Cheeger energies and contractivity of dynamic transport distances in extended spaces”, Nonlinear Anal., 137 (2016), 77–134
7.
L. Ambrosio, N. Gigli, “A user's guide to optimal transport”, Modelling and optimisation of flows on networks, Lecture Notes in Math., 2062, Fond. CIME/CIME Found. Subser., Springer, Heidelberg, 2013, 1–155
8.
L. Ambrosio, A. Pratelli, “Existence and stability results in the L^1 theory of optimal transportation”, Optimal transportation and applications (Martina Franca, 2001), Lecture Notes in Math., 1813, Springer, Berlin, 2003, 123–160
9.
А. Л. Андрианов, “Развитие линейного программирования в работах Л. В. Канторовича 1930–1950-х гг.”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 25–40
10.
S. Athreya, W. Löhr, A. Winter, “The gap between Gromov-vague and Gromov–Hausdorff-vague topology”, Stochastic Process. Appl., 126:9 (2016), 2527–2553
11.
J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “Adapted Wasserstein distances and stability in mathematical finance”, Finance Stoch., 24:3 (2020), 601–632
12.
J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglböck, M. Eder, “All adapted topologies are equal”, Probab. Theory Related Fields, 178:3-4 (2020), 1125–1172
13.
J. Backhoff[-Veraguas], D. Bartl, M. Beiglböck, J. Wiesel, “Estimating processes in adapted Wasserstein distance”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 529–550
14.
J. Backhoff[-Veraguas], M. Beiglböck, Yiqing Lin, A. Zalashko, “Causal transport in discrete time and applications”, SIAM J. Optim., 27:4 (2017), 2528–2562
15.
J. Backhoff-Veraguas, M. Beiglböck, G. Pammer, “Existence, duality, and cyclical monotonicity for weak transport costs”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:6 (2019), 203, 28 pp.
16.
J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Applications of weak transport theory”, Bernoulli, 28:1 (2022), 370–394
17.
J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, “Stability of martingale optimal transport and weak optimal transport”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 721–752
18.
M. Barbie, A. Gupta, “The topology of information on the space of probability measures over Polish spaces”, J. Math. Econom., 52 (2014), 98–111
19.
D. Bartl, P. Cheridito, M. Kupper, L. Tangpi, “Duality for increasing convex functionals with countably many marginal constraints”, Banach J. Math. Anal., 11:1 (2017), 72–89
20.
M. Beiglböck, M. Goldstern, G. Maresch, W. Schachermayer, “Optimal and better transport plans”, J. Funct. Anal., 256:6 (2009), 1907–1927
21.
M. Beiglböck, N. Juillet, “On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints”, Ann. Probab., 44:1 (2016), 42–106
22.
J.-D. Benamou, G. Carlier, L. Nenna, “Generalized incompressible flows, multi-marginal transport and Sinkhorn algorithm”, Numer. Math., 142:1 (2019), 33–54
23.
J. Bergin, “On the continuity of correspondences on sets of measures with restricted marginals”, Econom. Theory, 13:2 (1999), 471–481
24.
S. Bobkov, M. Ledoux, One-dimensional empirical measures, order statistics, and Kantorovich transport distances, Mem. Amer. Math. Soc., 261, № 1259, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, v+126 pp.
25.
В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 544 с., 576 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, Measure theory, т. I, II, Springer-Verlag, Berlin, 2007, xviii+500 pp., xiv+575 с.
26.
V. I. Bogachev, Weak convergence of measures, Math. Surveys Monogr., 234, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2018, xii+286 pp.
27.
В. И. Богачев, “О секвенциальных свойствах пространств мер”, Матем. заметки, 110:3 (2021), 459–464; англ. пер.: V. I. Bogachev, “On sequential properties of spaces of measures”, Math. Notes, 110:3 (2021), 449–453
28.
В. И. Богачев, “О приближении мер их конечномерными образами”, Функц. анализ и его прил., 55:3 (2021), 75–81; англ. пер.: V. I. Bogachev, “On approximation of measures by their finite-dimensional images”, Funct. Anal. Appl., 55:3 (2021), 236–241
29.
В. И. Богачев, “Задачи Канторовича с параметром и ограничениями на плотности”, Сиб. матем. журн., 63:1 (2022), 42–57; англ. пер.: V. I. Bogachev, “Kantorovich problems with a parameter and density constraints”, Siberian Math. J., 63:1 (2022), 34–47
30.
В. И. Богачев, А. Н. Доледенок, И. И. Малофеев, “Задача Канторовича с параметром и ограничениями на плотность”, Матем. заметки, 110:6 (2021), 922–926; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Doledenok, I. I. Malofeev, “The Kantorovich problem with a parameter and density constraints”, Math. Notes, 110:6 (2021), 952–955
31.
В. И. Богачев, А. Н. Калинин, “Непрерывная функция стоимости, для которой минимумы в задачах Монжа и Канторовича не равны”, Докл. РАН, 463:4 (2015), 383–386; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, “A continuous cost function for which the minima in the Monge and Kantorovich problems are not equal”, Dokl. Math., 92:1 (2015), 452–455
32.
В. И. Богачев, А. Н. Калинин, С. Н. Попова, “О равенстве значений в задачах Монжа и Канторовича”, Вероятность и статистика. 25, Посвящается памяти Владимира Николаевича Судакова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 457, ПОМИ, СПб., 2017, 53–73; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. N. Kalinin, S. N. Popova, “On the equality of values in the Monge and Kantorovich problems”, J. Math. Sci. (N. Y.), 238:4 (2019), 377–389
33.
В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”, УМН, 67:5(407) (2012), 3–110; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Kolesnikov, “The Monge–Kantorovich problem: achievements, connections, and perspectives”, Russian Math. Surveys, 67:5 (2012), 785–890
34.
V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Kantorovich problems and conditional measures depending on a parameter”, J. Math. Anal. Appl., 486:1 (2020), 123883, 30 pp.
35.
V. I. Bogachev, I. I. Malofeev, “Nonlinear Kantorovich problems with a parameter”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем., 41 (2022), 96–106
36.
V. Bogachev, S. Popova, Optimal transportation of measures with a parameter, 2021, 14 pp., arXiv: 2111.13014
37.
V. I. Bogachev, S. N. Popova, A. V. Rezbaev, “On nonlinear Kantorovich problems with density constraints”, Moscow Math. J. (to appear)
38.
В. И. Богачев, А. В. Резбаев, “Существование решений нелинейной задачи Канторовича оптимальной транспортировки”, Матем. заметки, 112:3 (2022), 360–370; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Rezbayev, “Existence of solutions to the nonlinear Kantorovich transportation problem”, Math. Notes, 112:3 (2022), 369–377
39.
В. И. Богачев, А. В. Шапошников, “Оценки снизу расстояния Канторовича”, Докл. РАН, 460:6 (2015), 631–633; англ. пер.: V. I. Bogachev, A. V. Shaposhnikov, “Lower bounds for the Kantorovich distance”, Dokl. Math., 91:1 (2015), 91–93
40.
V. I. Bogachev, A. V. Shaposhnikov, Feng-Yu Wang, “Sobolev–Kantorovich inequalities under \operatorname{CD}(0,\infty) condition”, Commun. Contemp. Math., 24:5 (2022), 2150027, 27 pp.
41.
В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, Топологические векторные пространства и их приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2012, 584 с.; англ. пер.: V. I. Bogachev, O. G. Smolyanov, Topological vector spaces and their applications, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2017, x+456 с.
42.
В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “Оценки норм Канторовича на многообразиях”, Докл. РАН, 463:6 (2015), 633–638; англ. пер.: V. I. Bogachev, F.-Y. Wang, A. V. Shaposhnikov, “Estimates of the Kantorovich norm on manifolds”, Dokl. Math., 92:1 (2015), 494–499
43.
В. И. Богачев, Ф.-Ю. Ванг, А. В. Шапошников, “О неравенствах, связывающих нормы Соболева и Канторовича”, Докл. РАН, 468:2 (2016), 131–133; англ. пер.: V. I. Bogachev, F.-Y. Wang, A. V. Shaposhnikov, “On inequalities relating the Sobolev and Kantorovich norms”, Dokl. Math., 93:3 (2016), 256–258
44.
W. Boyer, B. Brown, A. Loving, S. Tammen, “Optimal transportation with constant constraint”, Involve, 12:1 (2019), 1–12
45.
Y. Brenier, D. Vorotnikov, “On optimal transport of matrix-valued measures”, SIAM J. Math. Anal., 52:3 (2020), 2849–2873
46.
H. Brezis, P. Mironescu, “The Plateau problem from the perspective of optimal transport”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 357:7 (2019), 597–612
47.
M. Brückerhoff, N. Juillet, “Instability of martingale optimal transport in dimension d\ge 2”, Electron. Commun. Probab., 27 (2022), 24, 10 pp.
48.
D. B. Bukin, “On the Monge and Kantorovich problems for distributions of diffusion processes”, Math. Notes, 96:5 (2014), 864–870
49.
Д. Б. Букин, “О задаче Канторовича для нелинейных образов меры Винера”, Матем. заметки, 100:5 (2016), 682–688; англ. пер.: D. B. Bukin, “On the Kantorovich problem for nonlinear images of the Wiener measure”, Math. Notes, 100:5 (2016), 660–665
50.
D. B. Bukin, E. P. Krugova, “Transportation costs for optimal and triangular transformations of Gaussian measures”, Theory Stoch. Process., 23:2 (2018), 21–32
51.
G. Buttazzo, T. Champion, L. De Pascale, “Continuity and estimates for multimarginal optimal transportation problems with singular costs”, Appl. Math. Optim., 78:1 (2018), 185–200
52.
C. Castaing, P. Raynaud de Fitte, M. Valadier, Young measures on topological spaces. With applications in control theory and probability theory, Math. Appl., 571, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, xii+320 pp.
53.
Hong-Bin Chen, J. Niles-Weed, “Asymptotics of smoothed Wasserstein distances”, Potential Anal., 56:4 (2022), 571–595
54.
Yongxin Chen, W. Gangbo, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “On the matrix Monge–Kantorovich problem”, European J. Appl. Math., 31:4 (2020), 574–600
55.
Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “On the relation between optimal transport and Schrödinger bridges: a stochastic control viewpoint”, J. Optim. Theory Appl., 169:2 (2016), 671–691
56.
Yongxin Chen, T. T. Georgiou, M. Pavon, “Stochastic control liaisons: Richard Sinkhorn meets Gaspard Monge on a Schrödinger bridge”, SIAM Rev., 63:2 (2021), 249–313
57.
Yongxin Chen, T. T. Georgiou, A. Tannenbaum, “Vector-valued optimal mass transport”, SIAM J. Appl. Math., 78:3 (2018), 1682–1696
58.
P. Cheridito, M. Kiiski, D. J. Prömel, H. M. Soner, “Martingale optimal transport duality”, Math. Ann., 379:3-4 (2021), 1685–1712
59.
L. Chizat, G. Peyré, B. Schmitzer, F.-X. Vialard, “Unbalanced optimal transport: dynamic and Kantorovich formulations”, J. Funct. Anal., 274:11 (2018), 3090–3123
60.
K. J. Ciosmak, “Optimal transport of vector measures”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:6 (2021), 230, 22 pp.
61.
C. Clason, D. A. Lorenz, H. Mahler, B. Wirth, “Entropic regularization of continuous optimal transport problems”, J. Math. Anal. Appl., 494:1 (2021), 124432, 22 pp.
62.
M. Colombo, S. Di Marino, “Equality between Monge and Kantorovich multimarginal problems with Coulomb cost”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 194:2 (2015), 307–320
63.
J. Dedecker, C. Prieur, P. Raynaud De Fitte, “Parametrized Kantorovich–Rubinštein theorem and application to the coupling of random variables”, Dependence in probability and statistics, Lect. Notes Stat., 187, Springer, New York, 2006, 105–121
64.
А. Н. Доледенок, “О задаче Канторовича с ограничением на плотность”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 45–55; англ. пер.: A. N. Doledenok, “On a Kantorovich problem with a density constraint”, Math. Notes, 104:1 (2018), 39–47
65.
Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 752 с. ; пер. с англ.: R. Engelking, General topology, Transl. from the Polish, Sigma Ser. Pure Math., 6, 2nd ed., Heldermann Verlag, Berlin, 1989, viii+529 с.
66.
A. Figalli, F. Glaudo, An invitation to optimal transport, Wasserstein distances, and gradient flows, EMS Textbk. Math., EMS Press, Berlin, 2021, vi+136 pp.
67.
G. Friesecke, “A simple counterexample to the Monge ansatz in multimarginal optimal transport, convex geometry of the set of Kantorovich plans, and the Frenkel–Kontorova model”, SIAM J. Math. Anal., 51:6 (2019), 4332–4355
68.
G. Friesecke, D. Matthes, B. Schmitzer, “Barycenters for the Hellinger–Kantorovich distance over \mathbb{R}^d”, SIAM J. Math. Anal., 53:1 (2021), 62–110
69.
A. Galichon, Optimal transport methods in economics, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2016, xii+170 pp.
70.
I. Gentil, C. Léonard, L. Ripani, “Dynamical aspects of the generalized Schrödinger problem via Otto calculus – a heuristic point of view”, Rev. Mat. Iberoam., 36:4 (2020), 1071–1112
71.
A. Gerolin, A. Kausamo, T. Rajala, “Nonexistence of optimal transport maps for the multimarginal repulsive harmonic cost”, SIAM J. Math. Anal., 51:3 (2019), 2359–2371
72.
M. Ghossoub, D. Saunders, “On the continuity of the feasible set mapping in optimal transport”, Econ. Theory Bull., 9:1 (2021), 113–117
73.
N. Ghoussoub, Young-Heon Kim, Tongseok Lim, “Structure of optimal martingale transport plans in general dimensions”, Ann. Probab., 47:1 (2019), 109–164
74.
N. Ghoussoub, B. Maurey, “Remarks on multi-marginal symmetric Monge–Kantorovich problems”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1465–1480
75.
N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “On multistochastic Monge–Kantorovich problem, bitwise operations, and fractals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 58:5 (2019), 173, 33 pp.
76.
N. A. Gladkov, A. V. Kolesnikov, A. P. Zimin, “The multistochastic Monge–Kantorovich problem”, J. Math. Anal. Appl., 506:2 (2022), 125666, 82 pp.
77.
N. A. Gladkov, A. P. Zimin, “An explicit solution for a multimarginal mass transportation problem”, SIAM J. Math. Anal., 52:4 (2020), 3666–3696
78.
J. Goubault-Larrecq, “Kantorovich–Rubinstein quasi-metrics I: Spaces of measures and of continuous valuations”, Topology Appl., 295 (2021), 107673, 37 pp.
79.
F. de Gournay, J. Kahn, L. Lebrat, “Differentiation and regularity of semi-discrete optimal transport with respect to the parameters of the discrete measure”, Numer. Math., 141:2 (2019), 429–453
80.
N. Gozlan, C. Roberto, P.-M. Samson, P. Tetali, “Kantorovich duality for general transport costs and applications”, J. Funct. Anal., 273:11 (2017), 3327–3405
81.
C. Griessler, “C-cyclical monotonicity as a sufficient criterion for optimality in the multimarginal Monge–Kantorovich problem”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:11 (2018), 4735–4740
82.
M. Huesmann, D. Trevisan, “A Benamou–Brenier formulation of martingale optimal transport”, Bernoulli, 25:4A (2019), 2729–2757
83.
M. Iacobelli, “A new perspective on Wasserstein distances for kinetic problems”, Arch. Ration. Mech. Anal., 244:1 (2022), 27–50
84.
Л. В. Канторович, “О перемещении масс”, Докл. АН СССР, 37:7-8 (1942), 227–229; англ. пер.: L. Kantorovitch, “On the translocation of masses”, C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.), 37 (1942), 199–201
85.
Л. В. Канторович, Математико-экономические работы, Избранные труды, Наука, Новосибирск, 2011, 760 с.
86.
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, 2-е изд., Наука, М., 1977, 742 с. ; англ. пер.: L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Functional analysis, Pergamon Press, Oxford–Elmsford, N. Y., 1982, xiv+589 с.
87.
Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах”, Докл. АН СССР, 115:6 (1957), 1058–1061
88.
Л. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн, “Об одном пространстве вполне аддитивных функций множества”, Вестн. ЛГУ, 13:7 (1958), 52–59
89.
S. Kondratyev, L. Monsaingeon, D. Vorotnikov, “A new optimal transport distance on the space of finite Radon measures”, Adv. Differential Equations, 21:11-12 (2016), 1117–1164
90.
J. Korman, R. J. McCann, “Insights into capacity-constrained optimal transport”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 110:25 (2013), 10064–10067
91.
J. Korman, R. J. McCann, “Optimal transportation with capacity constraints”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:3 (2015), 1501–1521
92.
J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “Dual potentials for capacity constrained optimal transport”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 54:1 (2015), 573–584
93.
J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “An elementary approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport”, J. Convex Anal., 22:3 (2015), 797–808
94.
В. В. Козлов, “Задача Монжа ‘о выемках и насыпях’ на торе и проблема малых знаменателей”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1370–1374; англ. пер.: V. V. Kozlov, “The Monge problem of ‘piles and holes’ on the torus and the problem of small denominators”, Siberian Math. J., 59:6 (2018), 1090–1093
95.
D. Kramkov, Yan Xu, “An optimal transport problem with backward martingale constraints motivated by insider trading”, Ann. Appl. Probab., 32:1 (2022), 294–326
96.
S. Kuksin, V. Nersesyan, A. Shirikyan, “Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise”, Geom. Funct. Anal., 30:1 (2020), 126–187
97.
R. Lassalle, “Causal transport plans and their Monge–Kantorovich problems”, Stoch. Anal. Appl., 36:3 (2018), 452–484
98.
C. Léonard, “From the Schrödinger problem to the Monge–Kantorovich problem”, J. Funct. Anal., 262:4 (2012), 1879–1920
99.
C. Léonard, “A survey of the Schrödinger problem and some of its connections with optimal transport”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34:4 (2014), 1533–1574
100.
В. Л. Левин, А. А. Милютин, “Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач”, УМН, 34:3(207) (1979), 3–68; англ. пер.: V. L. Levin, A. A. Milyutin, “The problem of mass transfer with a discontinuous cost function and a mass statement of the duality problem for convex extremal problems”, Russian Math. Surveys, 34:3 (1979), 1–78
101.
M. Liero, A. Mielke, G. Savaré, “Optimal entropy-transport problems and a new Hellinger–Kantorovich distance between positive measures”, Invent. Math., 211:3 (2018), 969–1117
102.
А. А. Липчюс, “Замечание о равенстве в задачах Монжа и Канторовича”, Теория вероятн. и ее примен., 50:4 (2005), 779–782; англ. пер.: A. A. Lipchius, “A note on the equality in the Monge and Kantorovich problems”, Theory Probab. Appl., 50:4 (2006), 689–693
103.
Chong Liu, A. Neufeld, “Compactness criterion for semimartingale laws and semimartingale optimal transport”, Trans. Amer. Math. Soc., 372:1 (2019), 187–231
104.
W. Löhr, “Equivalence of Gromov–Prohorov- and Gromov's {\underline\square}_\lambda-metric on the space of metric measure spaces”, Electron. Commun. Probab., 18 (2013), 17, 10 pp.
105.
D. A. Lorenz, P. Manns, C. Meyer, “Quadratically regularized optimal transport”, Appl. Math. Optim., 83:3 (2021), 1919–1949
106.
A. Marchese, A. Massaccesi, S. Stuvard, R. Tione, “A multi-material transport problem with arbitrary marginals”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 60:3 (2021), 88, 49 pp.
107.
R. J. McCann, L. Rifford, “The intrinsic dynamics of optimal transport”, J. Éc. Polytech. Math., 3 (2016), 67–98
108.
T. Mikami, Stochastic optimal transportation. Stochastic control with fixed marginals, SpringerBriefs Math., Springer, Singapore, 2021, xi+121 pp.
109.
A. Moameni, “A characterization for solutions of the Monge–Kantorovich mass transport problem”, Math. Ann., 365:3-4 (2016), 1279–1304
110.
A. Moameni, B. Pass, “Solutions to multi-marginal optimal transport problems concentrated on several graphs”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 23:2 (2017), 551–567
111.
A. Moameni, L. Rifford, “Uniquely minimizing costs for the Kantorovitch problem”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 29:3 (2020), 507–563
112.
A. Neufeld, J. Sester, “On the stability of the martingale optimal transport problem: a set-valued map approach”, Statist. Probab. Lett., 176 (2021), 109131, 7 pp.
113.
B. Pass, “Multi-marginal optimal transport: theory and applications”, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 49:6 (2015), 1771–1790
114.
B. W. Pass, A. Vargas-Jiménez, “Multi-marginal optimal transportation problem for cyclic costs”, SIAM J. Math. Anal., 53:4 (2021), 4386–4400
115.
M. Petrache, “Cyclically monotone non-optimal N-marginal transport plans and Smirnov-type decompositions for N-flows”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 26 (2020), 120, 11 pp.
116.
G. Ch. Pflug, A. Pichler, Multistage stochastic optimization, Springer Ser. Oper. Res. Financ. Eng., Springer, Cham, 2014, xiv+301 pp.
117.
A. Pratelli, “On the equality between Monge's infimum and Kantorovich's minimum in optimal mass transportation”, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 43:1 (2007), 1–13
118.
S. T. Rachev, L. Rüschendorf, Mass transportation problems, v. I, Probab. Appl. (N. Y.), Theory, Springer-Verlag, New York, 1998, xxvi+508 pp. ; v. II, Applications, xxvi+430 pp.
119.
P. Rigo, “A note on duality theorems in mass transportation”, J. Theoret. Probab., 33:4 (2020), 2337–2350
120.
F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians. Calculus of variations, PDEs, and modeling, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 87, Birkhäuser/Springer, Cham, 2015, xxvii+353 pp.
121.
A. Savchenko, M. Zarichnyi, “Correspondences of probability measures with restricted marginals”, Proc. Intern. Geom. Center, 7:4 (2014), 34–39
122.
B. Schmitzer, B. Wirth, “A framework for Wasserstein-1-type metrics”, J. Convex Anal., 26:2 (2019), 353–396
123.
T. Shioya, Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 25, EMS Publishing House, Zürich, 2016, xi+182 pp.
124.
В. М. Тихомиров, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, Истор.-матем. исслед., сер. 2, 15(50), Изд-во “Янус-К”, М., 2014, 16–24
125.
A. M. Vershik, “Long history of the Monge–Kantorovich transportation problem”, Math. Intelligencer, 35:4 (2013), 1–9
126.
А. М. Вершик, С. С. Кутателадзе, С. П. Новиков, “Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения)”, УМН, 67:3(405) (2012), 185–191; англ. пер.: A. M. Vershik, S. S. Kutateladze, S. P. Novikov, “Leonid Vital'evich Kantorovich (on the 100th anniversary of his birth)”, Russian Math. Surveys, 67:3 (2012), 589–597
127.
А. М. Вершик, П. Б. Затицкий, Ф. В. Петров, “Виртуальная непрерывность измеримых функций многих переменных и ее приложения”, УМН, 69:6(420) (2014), 81–114; англ. пер.: A. M. Vershik, P. B. Zatitskii, F. V. Petrov, “Virtual continuity of measurable functions and its applications”, Russian Math. Surveys, 69:6 (2014), 1031–1063
128.
C. Villani, Topics in optimal transportation, Grad. Stud. Math., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xvi+370 pp.
129.
C. Villani, Optimal transport. Old and new, Grundlehren Math. Wiss., 338, Springer-Verlag, Berlin, 2009, xxii+973 pp.
130.
J. Wiesel, Continuity of the martingale optimal transport problem on the real line, 2022 (v1 – 2019), 46 pp., arXiv: 1905.04574
131.
G. Wolansky, Optimal transport. A semi-discrete approach, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 37, De Gruyter, Berlin, 2021, xii+208 pp.
132.
Д. А. Заев, “О задаче Монжа–Канторовича с дополнительными линейными ограничениями”, Матем. заметки, 98:5 (2015), 664–683; англ. пер.: D. A. Zaev, “On the Monge–Kantorovich problem with additional linear constraints”, Math. Notes, 98:5 (2015), 725–741
133.
Д. А. Заев, “Об эргодических разложениях, связанных с задачей Канторовича”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 437, ПОМИ, СПб., 2015, 100–130; англ. пер.: D. A. Zaev, “On ergodic decompositions related to the Kantorovich problem”, J. Math. Sci. (N. Y.), 216:1 (2016), 65–83
134.
Xicheng Zhang, “Stochastic Monge–Kantorovich problem and its duality”, Stochastics, 85:1 (2013), 71–84
Образец цитирования:
В. И. Богачев, “Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований”, УМН, 77:5(467) (2022), 3–52; Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 769–817