| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 12 научных статьях (всего в 12 статьях) Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований В. И. Богачевab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10074e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеЦель этого обзора – рассказать о возникших в последнее десятилетие новых направлениях исследований задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В дополнение к известным монографиям [118] и [128], в которых подробное изложение охватывает основные достижения XX в., теперь имеется целый ряд более недавних подробных монографических освещений этой проблематики – см. [5], [7], [66], [69], [120], [129], [131], а также обзор [33], посвященный столетию Л. В. Канторовича, где подробно изложены основные достижения после выхода его основополагающей краткой заметки [84]. Тем не менее интенсивное развитие этой тематики опережает ее книжное изложение. За последнее десятилетие появилось несколько интересных новых модификаций классической задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер. В многообразии новых постановок задач, идей и методов, связанных с проблематикой Канторовича, можно выделить нелинейные задачи типа Канторовича, в которых минимизируются интегралы от функций, зависящих также от мер, по которым производится интегрирование, версии классической задачи с ограничениями на плотности транспортных планов (что не укладывается в другую интересную разновидность задачи Канторовича – оптимальные планы с дополнительными ограничениями), а также задачи Канторовича с параметрами. Цель этой статьи – дать систематическое освещение задач Канторовича с новыми постановками. Многие из приводимых ниже результатов имеют довольно сложные и длинные доказательства, поэтому такие результаты приводятся далее со ссылками на оригинальные работы. Однако в некоторых важных случаях включены и доказательства, особенно это касается утверждений, которые в оригинальных работах появились в каких-то специальных ситуациях, например для метрических пространств, но сохраняют силу для общих вполне регулярных пространств. Сведения о жизни и творчестве Л. В. Канторовича можно найти в изданных к его столетию материалах (см. [85], [124]–[126], а также [9]). Чтобы сформулировать новые варианты задачи Канторовича, напомним ее классическую версию (в современном виде, поскольку сам Канторович рассматривал ее в более специальном случае). Пусть даны вероятностные пространства $(X,\mathcal{B}_X,\mu)$ и $(Y,\mathcal{B}_Y,\nu)$ и неотрицательная $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$-измеримая функция $h$ (называемая функцией стоимости) на произведении $X\times Y$. В основополагающей работе самого Канторовича $X$ и $Y$ были метрическими компактами с борелевскими мерами, а функция стоимости (ее значение на паре точек $x$, $y$ интерпретировалось как работа по перемещению единицы массы из $x$ в $y$) была непрерывна; в важнейших примерах, в том числе в работах [87] и [88] с Г. Ш. Рубинштейном, а также в монографии [86; гл. VIII, § 4] она равна расстоянию. Впрочем, уже в [84] было отмечено, что “некоторые из приведенных определений и результатов могут быть высказаны и для пространств более общего вида”. Обозначим через $\Pi(\mu,\nu)$ множество всех вероятностных мер на пространстве $(X\times Y,\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y)$, имеющих проекции $\mu$ и $\nu$ на сомножители, т. е. мер $\sigma$, для которых
$$
\begin{equation*}
\sigma(A\times Y)=\mu(A), \quad A\in \mathcal{B}_X, \qquad \sigma(X\times B)=\nu(B), \quad B\in \mathcal{B}_Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Меры из множества $\Pi(\mu,\nu)$ называются транспортными планами или планами Канторовича. Заданные меры $\mu$ и $\nu$ называются маргинальными распределениями. Обозначив проекции заданной на $(X\times Y, \mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y)$ меры $\sigma$ на сомножители через $\sigma_X$ и $\sigma_Y$, предыдущее равенство можно записать в виде Задача Канторовича состоит в минимизации интеграла по мерам $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$. При широких условиях такая задача Канторовича имеет решение, т. е. существует мера из $\Pi(\mu,\nu)$, на которой достигается минимум. Такая мера (она не всегда единственна) называется оптимальной мерой или оптимальным планом Канторовича. Например, решение существует, если функция стоимости на произведении вполне регулярных пространств с радоновскими мерами полунепрерывна снизу и ограничена (см. [33]). Вместо ограниченности достаточно существования меры в $\Pi(\mu,\nu)$, по которой функция стоимости интегрируема. Конечно, можно считать, что если интегралы от функции стоимости по всем планам бесконечны, то минимум тоже есть и равен бесконечности. В общем случае есть инфимум $K_h(\mu,\nu)$ указанных интегралов (возможно, бесконечный):
$$
\begin{equation*}
K_h(\mu,\nu)=\inf_{\sigma\in\Pi(\mu,\nu)}\int_{X\times Y} h(x,y)\, \sigma(dx\, dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично ставится мультимаргинальная задача Канторовича, в которой имеется $n$ маргиналов (или даже бесконечное число), а функция стоимости задана на произведении соответствующих пространств. Задача Канторовича тесно связана с поставленной еще в XVIII в. задачей Монжа для той же тройки $(\mu,\nu,h)$, что и в задаче Канторовича, и состоящей в минимизации интеграла по всем измеримым отображениям $T\colon X\to Y$, переводящим меру $\mu$ в $\nu$, т. е. удовлетворяющим равенству $\nu=\mu\circ T^{-1}$, где мера $\mu\circ T^{-1}$ задается равенством и называется образом $\mu$ при отображении $T$. Как и в задаче Канторовича, в общем случае есть лишь инфимум где $\inf$ берется по отображениям $T$ с указанным свойством. Если достигается минимум на некотором отображении $T$, то оно называется оптимальным отображением Монжа. В отличие от задачи Канторовича, минимум в задаче Монжа достигается гораздо реже даже для хороших функций стоимости на отрезке. Достаточные условия существования минимума здесь имеют довольно специальный характер, причем ограничения приходится накладывать как на маргиналы, так и на функцию стоимости. Например, если $X=Y=\mathbb{R}^n$ и $h(x,y)=|x-y|$, то достаточно абсолютной непрерывности обоих маргиналов. Поэтому задача Канторовича оказывается значительно более гибкой. Конечно, это неудивительно, ибо в ней идет речь о минимизации линейного функционала на выпуклом компакте мер, в то время как задача Монжа существенно нелинейна. Более того, как мы увидим ниже, даже нелинейная версия задачи Канторовича по своим свойствам оказывается ближе к линейному варианту, чем к задаче Монжа. Хотя условия существования минимумов в двух задачах значительно отличаются, для непрерывной функции стоимости $h$ сами инфимумы в них совпадают при весьма широких условиях, охватывающих основные для приложений случаи: равенство было установлено в [117] (см. также [8]) для безатомических мер $\mu$ и $\nu$ на полных сепарабельных метрических пространствах, перенесено в [102] на суслинские пространства, а для радоновских мер на вполне регулярных пространствах доказано в [32] при дополнительном условии сепарабельности мер $\mu$ и $\nu$ (т. е. сепарабельности их $L^1$), причем от условия сепарабельности отказаться нельзя, как показано в [31]. В самом общем случае верно неравенство Это очевидно из того, что для всякого отображения $T$ меры $\mu$ в меру $\nu$ мера $\sigma$ на графике $T$ в пространстве $X\times Y$, полученная как образ меры $\mu$ при отображении $x\mapsto (x,T(x))$, входит в $\Pi(\mu,\nu)$, а интеграл от функции $h$ по ней есть интеграл от $h(x,T(x))$ по мере $\mu$. Однако могут существовать транспортные планы, не порождаемые никакими отображениями меры $\mu$ в меру $\nu$. Например, если $X=Y=[0,1]$, то всякая мера на $[0,1]^2$, имеющая плотность относительно меры Лебега, обращается в нуль на всяком графике борелевского отображения (что очевидно из теоремы Фубини). Общих транспортных планов не только больше, чем планов, порожденных отображениями, но их совокупность еще и компактна. В этом состоит одно из важнейших различий двух задач, но еще более важной особенностью задачи Канторовича является линейность минимизируемого в ней функционала, что делает эту более общую задачу более простой. Возможно, данное обстоятельство долгое время было причиной того, что не исследовалась вполне естественная с прикладной точки зрения задача минимизации интеграла от функции стоимости, которая зависит еще и от транспортного плана, т. е. минимизации нелинейного функционала
$$
\begin{equation}
J_h(\sigma)=\int_{X\times Y} h(x,y, \sigma)\, \sigma(dx\, dy),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где функция стоимости $h$ задана на $X\times Y\times\mathcal{P}(X\times Y)$, где $\mathcal{P}(X\times Y)$ – пространство вероятностных мер на $X\times Y$. В классической задаче $h(x,y)$ символизирует стоимость перевозки единицы массы из $x$ в $y$ и не зависит от способа перевозки $\sigma$. Понятно, что на практике вполне естественно ожидать, что зависимость может иметь место. Это существенно усложняет поиск оптимальной транспортировки, но удивительным образом не усложняет доказательство существования минимума при стандартных предположениях относительно $h$. В первых работах [80], [4], [15], [2], [16] по описанной нелинейной задаче функция $h$ имела более специальный вид где $\sigma^x$ – условные меры на $Y$, представляющие план $\sigma$ в виде т. е.
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times Y} f(x,y)\, \sigma(dx\, dy)= \int_X \int_Y f(x,y)\, \sigma^x(dy)\, \mu(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
для ограниченных измеримых функций $f$ на $X\times Y$. Тогда функционал приобретает вид Формально это частный случай (1.1), но на самом деле функционал становится более сингулярным из-за возможной разрывности условных мер по $x$. Нелинейная задача также рассматривается на множестве планов $\Pi(\mu,\nu)$ с фиксированными проекциями, но она привела к еще одной интересной постановке задачи Канторовича, оказавшейся новой и в линейном случае. Эта постановка возникла в случае, когда функция стоимости задана не на $X\times Y$, а на $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $\mathcal{P}(Y)$ – пространство вероятностных мер на $Y$. Конечно, в качестве второго пространства в обычной задаче может фигурировать какое угодно пространство, в том числе и $\mathcal{P}(Y)$, но новшество задачи в том, что теперь задана не проекция плана на второй сомножитель, а барицентр проекции плана на второй сомножитель. Сам план – мера на $X\times \mathcal{P}(Y)$, проекция – мера на $\mathcal{P}(Y)$, т. е. мера на пространстве мер, а ее барицентр – мера на $Y$. В замечании 3.5 описана еще более общая постановка транспортной задачи, охватывающая как случай заданных проекций, так и случай фиксированного барицентра. В ней ограничение на план состоит в том, что заданы образы плана при некоторых отображениях $\Psi_1\colon X\times Y\to E_1$, $\Psi_2\colon X\times Y\to E_2$. Классическая задача соответствует проекциям на сомножители. Таким образом, пока были упомянуты модификации, вызванные усложнением вида функции стоимости и заменой условий на проекции иными условиями на планы. Однако сравнительно недавно в работах Р. Маккэна с соавторами [90]–[93] была предложена весьма интересная и естественная с точки зрения приложений задача, в которой в классической линейной ситуации наложено дополнительное ограничение на транспортные планы, состоящее в том, что допустимы лишь планы, абсолютно непрерывные относительно фиксированной меры $\lambda$ на $X\times Y$ (в первых работах это была мера Лебега на $\mathbb{R}^n$ или на римановом многообразии), причем соответствующие плотности Радона–Никодима не превосходят заданную функцию $\Phi$ на $X\times Y$. В этой модификации наиболее подходящей топологией на пространстве мер оказалась слабая топология из пространства $L^1(\lambda)$. Изучение этой задачи было продолжено в работах [64], [30], [37], [44], некоторый обзор по ней дан в [29], поэтому здесь мы кратко подытожим полученное с учетом недавних результатов из [37], где задача с ограничениями на плотности была скомбинирована с упомянутыми выше модификациями. Таким образом, мы рассмотрим нелинейные транспортные задачи трех типов: с фиксированными маргиналами, с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром второго маргинала и с ограничениями на плотности транспортных планов. При этом возникают подтипы, когда нелинейная функция стоимости зависит от планов через их условные меры. Во всех этих видах задач Канторовича полезно рассмотреть параметрические задачи, в которых функция стоимости и маргиналы (или иные объекты) зависят от параметра. Параметрическим задачам посвящен отдельный небольшой раздел, но более подробное изложение можно найти в работах [34]–[36], [29]. Наконец, будут кратко затронуты вопросы, относящиеся к топологии пространств мер, поскольку они имеют прямое отношение ко всем типам обсуждаемых задач. По этим вопросам будут приведены результаты из недавних работ [36] и [3], в том числе оценки расстояний по Хаусдорфу между множествами транспортных планов. В разделе 2 вводятся основные определения и обозначения, а также обсуждаются общие нелинейные задачи Канторовича оптимальной транспортировки, в разделе 3 рассмотрена линейная задача Канторовича классического вида, в которой второй сомножитель является пространством вероятностных мер на некотором пространстве $Y$, а вместо второго фиксированного маргинала, т. е. вместо меры на пространстве мер $\mathcal{P}(Y)$, задан барицентр проекции плана на второй сомножитель, т. е. мера на $Y$. Предмет раздела 4 – задачи с условными мерами. В разделе 5 дан краткий обзор по задачам с ограничениями на плотности (этот сюжет уже был освещен в статье [29], также приуроченной к настоящему юбилею). В разделе 6 речь идет о новых задачах со многими маргиналами при дополнительных проекциях. Параметрическим задачам посвящен раздел 7 (во избежание дублирования обзора [29] этой темы мы также коснемся весьма кратко), а раздел 8 содержит некоторую информацию о связанных с задачами Канторовича метриках и топологиях на пространствах мер. 2. Нелинейные задачи КанторовичаОсновные версии различных задач оптимальной транспортировки привлекают к рассмотрению меры на топологических пространствах (хотя, как мы увидим ниже, есть версии и в терминах общих пространств с мерами). Поэтому напомним здесь основные понятия и введем используемые ниже обозначения. Подробное изложение этих вопросов можно найти в книгах [25] и [26]. Пусть $X$ – топологическое пространство (ниже речь идет о вполне регулярных или метрических пространствах). Через $\mathcal{B}(X)$ обозначается его борелевская $\sigma$-алгебра, т. е. наименьшая $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества. Неотрицательная борелевская мера $\mu$ на $X$ (т. е. мера на $\mathcal{B}(X)$) называется радоновской, если для всякого борелевского множества $B$ в $X$ и всякого $\varepsilon>0$ найдется такой компакт $K_\varepsilon\subset B$, что $\mu(B\setminus K_\varepsilon)<\varepsilon$. Знакопеременная борелевская мера $\mu$ называется радоновской, если радонова ее полная вариация $|\mu|$, которая определяется как $|\mu|=\mu^{+}+\mu^{-}$, где $\mu^{+}$ и $\mu^{-}$ – положительная и отрицательная части меры $\mu$ из разложения Жордана–Хана $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$. Норма полной вариации задается формулой Семейство $M$ борелевских мер на $X$ называется равномерно плотным, если для всякого $\varepsilon>0$ найдется такой компакт $K_\varepsilon\subset X$, что
$$
\begin{equation*}
|\mu|(X\setminus K_\varepsilon)<\varepsilon\quad \forall\, \mu \in M.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство всех радоновских знакопеременных мер на пространстве $X$ обозначим через $\mathcal{M}(X)$, подмножество неотрицательных мер – через $\mathcal{M}^+(X)$, а подмножество вероятностных мер – через $\mathcal{P}(X)$. Если $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, то все борелевские меры на нем радоновы. Это же верно для суслинских пространств, т. е. образов полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях. Образом борелевской меры $\mu$ при борелевском отображении $f$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ (т. е. отображении с борелевскими прообразами борелевских множеств) называется борелевская мера $\mu\circ f^{-1}$ на $Y$, заданная равенством
$$
\begin{equation*}
(\mu\circ f^{-1})(B)=\mu(f^{-1}(B)), \qquad B\in \mathcal{B}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
На пространстве мер $\mathcal{M}(X)$ вводится слабая топология посредством полунорм вида где $f$ – ограниченная непрерывная функция на $X$. Слабая сходимость мер есть сходимость интегралов по ним от таких функций. В рассматриваемом круге вопросов важную роль играет теорема Прохорова, согласно которой ограниченное по вариации равномерно плотное множество мер в $\mathcal{M}(X)$ содержится в слабо компактном множестве, причем в случае полного сепарабельного метрического пространства $X$ верно и обратное (см. [25], [26]). Типичным примером слабо компактного множества служит множество планов $\Pi(\mu,\nu)$ с радоновскими маргиналами $\mu$ и $\nu$. Равномерная плотность очевидна здесь из оценки
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma((X\times Y)\setminus (K\times S))&\leqslant\sigma((X\times Y) \setminus (K\times Y))+\sigma((X\times Y)\setminus (X\times S)) \\ &=\sigma((X\setminus K)\times Y)+\sigma(X\times (Y\setminus S)) \\ &=\mu(X\setminus K)+\nu(Y\setminus S) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$. Правая часть оценивается через $\varepsilon$, если компакты $K\subset X$ и $S\subset Y$ взяты так, что $\mu(X\setminus K)+\nu(Y\setminus S)\leqslant \varepsilon$. Если $(X,d)$ – метрическое пространство, то обозначим через $\operatorname{Lip}_1(d)$ множество $1$-липшицевых функций, т. е. таких функций $f$ на $X$, что
$$
\begin{equation*}
|f(x)-f(y)|\leqslant d(x,y) \quad \forall\, x,y\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Норма Канторовича–Рубинштейна на пространстве $\mathcal{M}(X)$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{\rm KR}=\sup\biggl\{\int_X f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d), \ |f|\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта норма порождает метрику Канторовича–Рубинштейна На множестве неотрицательных мер метрика Канторовича–Рубинштейна порождает слабую топологию. Однако на всем пространстве мер топология, порождаемая нормой Канторовича–Рубинштейна, в нетривиальных случаях отлична от слабой топологии, более того, эти две топологии оказываются несравнимыми. В самом деле, пусть в $X$ есть бесконечная фундаментальная последовательность $\{x_n\}$. Тогда норма Канторовича–Рубинштейна не может быть непрерывной в слабой топологии, поскольку в таком случае она оценивалась бы суммой нескольких полунорм вида $p_f$, т. е. суммой модулей нескольких линейных функционалов на пространстве $\mathcal{M}(X)$. В нашей ситуации это пространство бесконечномерно, поэтому пересечение ядер конечного набора линейных функционалов нетривиально, а на нем сумма рассматриваемых полунорм равна нулю. Таким образом, неверно, что слабая топология мажорирует топологию нормы Канторовича–Рубинштейна. С другой стороны, последняя не мажорирует слабую топологию. Это видно из того, что последовательность мер $d(x_n,x_k)^{-1/2}(\delta_{x_n}-\delta_{x_k})$, где $\delta_x$ – мера Дирака в точке $x$, сходится к нулю по норме Канторовича–Рубинштейна в силу легко проверяемого равенства при $d(a,b)\leqslant 1$. Однако эта последовательность мер не может сходиться слабо, поскольку не является ограниченной по вариации, а слабо сходящаяся последовательность мер должна быть ограниченной по вариации, что вытекает из теоремы Банаха–Штейнгауза и того факта, что норма $\|\mu\|$ совпадает с супремумом интегралов по мере $\mu$ от непрерывных функций, по модулю не превосходящих $1$. На подпространстве $\mathcal{M}^1(X)$ таких мер $\mu$, что для некоторого (а тогда и для всякого) $x_0\in X$ функция $d(x,x_0)$ интегрируема относительно полной вариации меры $\mu$, определена норма Канторовича
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{\rm K}=\sup\biggl\{\int_X f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d),\, f(x_0)=0\biggr\}+|\mu(X)|,
\end{equation*}
\notag
$$
порождающая метрику Канторовича Если $X$ ограничено, то эти нормы эквивалентны, а если диаметр $X$ не больше единицы, то на множестве вероятностных мер метрики Канторовича–Рубинштейна и Канторовича совпадают. Аналоги норм и метрик Канторовича–Рубинштейна и Канторовича на пространствах мер на общих вполне регулярных пространствах обсуждаются в разделе 8. При заданном $p\geqslant 1$ на множестве $\mathcal{P}^p(X)\subset \mathcal{P}(X)$, состоящем из мер, относительно которых интегрируема функция $x\mapsto d(x,x_0)^p$, вводится $p$-метрика Канторовича $W_p$ по формуле
$$
\begin{equation*}
W_p^p(\mu,\nu)=\inf_{\sigma\in \Pi(\mu,\nu)} \int_{X^2} d(x,y)^p \, \sigma(dx\, dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Важное наблюдение Канторовича состоит в том, что расстояние Канторовича между вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ совпадает с инфимумом в транспортной задаче с маргиналами $\mu$ и $\nu$ и функцией стоимости, равной метрике, т. е. с минимумом интегралов от метрики по мерам из множества $\Pi(\mu,\nu)$. Позже это равенство, называемое формулой двойственности Канторовича, было перенесено на весьма общую ситуацию полунепрерывной снизу функции стоимости $h$ на произведении вполне регулярных пространств $X$ и $Y$. Здесь величина $K_h(\mu,\nu)$ для мер $\mu\in \mathcal{P}(X)$ и $\nu\in \mathcal{P}(Y)$ совпадает с супремумом суммы взятым по ограниченным непрерывным функциям $f\colon X\to \mathbb{R}$ и $g\colon Y\to \mathbb{R}$, удовлетворяющим условию
$$
\begin{equation*}
f(x)+g(y)\leqslant h(x,y) \quad \forall\, x\in X, \ y\in Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Конечно, вместо суммы $f$ и $g$ можно брать разность, что лучше показывает связь со случаем метрики $h=d$, когда $X=Y$ и $f=g$, а оценка на функции превращается в условие $1$-липшицевости $f$: $f(x)-f(y) \leqslant d(x,y)$. Некоторые аналоги формулы двойственности появляются и в обсуждаемых нами модификациях задачи Канторовича. Существование минимума в нелинейной задаче Канторовича с фиксированными маргиналами или с одним фиксированным маргиналом и фиксированным барицентром доказывается совершенно аналогично случаю линейной задачи на основании следующего просто проверяемого факта. Однако исключением является задача с условными мерами, которая не охватывается этим подходом и рассматривается отдельно. Предложение 2.1. Пусть $X$ – вполне регулярное пространство, $\Pi$ – равномерно плотное компактное подмножество пространства $\mathcal{P}(X)$ со слабой топологией, функция $h\colon X\times \Pi\to [0,+\infty)$ полунепрерывна снизу на множествах вида $K\times \Pi$, где $K$ – компакт в $X$. Тогда полунепрерывна снизу функция Если функция $h$ ограничена и непрерывна на всем произведении $X\times\mathcal{P}(X)$, то функция $J_h$ непрерывна на пространстве $\mathcal{P}(X)$, а если функция $h$ полунепрерывна снизу на $X\times\mathcal{P}(X)$, то функция $J_h$ также полунепрерывна снизу. Доказательство. Значения $J_{\min (h, n)}(\sigma)$ при $n\to\infty$ возрастают к $J_h(\sigma)$. Поэтому утверждение сводится к случаю ограниченной функции $h$. Можно считать, что $h\leqslant 1$.
Предположим сначала, что функция $h$ полунепрерывна снизу на всем произведении $X\times \Pi$. Пусть направленность мер $\sigma_\alpha$ слабо сходится в $\Pi$ к мере $\sigma$. Тогда дираковские меры $\delta_{\sigma_\alpha}$ на $\Pi$ слабо сходятся к дираковской мере $\delta_{\sigma}$. Поэтому произведения $\sigma_\alpha\otimes \delta_{\sigma_\alpha}$ на $\Pi\times \mathcal{P}(\Pi)$ слабо сходятся к произведению $\sigma\otimes \delta_{\sigma}$ (см. [26; теорема 4.3.18]). Следовательно, в силу полунепрерывности $h$ снизу имеем (см. [25; следствие 8.2.5] или [26; следствие 4.3.5])
$$
\begin{equation*}
\liminf_\alpha \int_{\Pi}\int_{X} h(x,p)\, \sigma_\alpha(dx)\, \delta_{\sigma_\alpha}(dp) \geqslant \int_{\Pi}\int_{X} h(x,p)\, \sigma(dx)\, \delta_{\sigma}(dp),
\end{equation*}
\notag
$$
иначе говоря,
$$
\begin{equation*}
\liminf_\alpha \int_{X} h(x,\sigma_\alpha)\, \sigma_\alpha(dx) \geqslant \int_{X} h(x,\sigma)\, \sigma(dx),
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно полунепрерывности снизу функции $J_h$.
Теперь обратимся к общему случаю, по-прежнему считая, что $h\leqslant 1$. Зафиксируем $\varepsilon>0$. По условию найдется такой компакт $K\subset X$, что $\sigma(K)>1-\varepsilon$ для всех $\sigma\in \Pi$. Как известно (см. [65; 1.7.15(c)]), на $K\times \Pi$ можно найти семейство непрерывных функций $h_\alpha\geqslant 0$, для которого
$$
\begin{equation*}
h(x,\sigma)=\sup_\alpha h_\alpha(x,\sigma) \quad \forall\, x\in K, \ \sigma\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая функция $h_\alpha$ продолжается до непрерывной функции $g_\alpha\colon X\times \Pi\to [0,1]$. Функция $g(x,\sigma)=\sup_\alpha g_\alpha(x,\sigma)$ полунепрерывна снизу на всем произведении $X\times\Pi$ и совпадает с $h$ на $K\times \Pi$, причем соответствующая функция $J_g$ по доказанному выше тоже полунепрерывна снизу. Остается заметить, что
$$
\begin{equation*}
|J_{g}(\sigma)-J_h(\sigma)|\leqslant 2\varepsilon \quad \forall\, \sigma\in \Pi,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $g=h$ на $K\times \Pi$, а интегралы по всякой мере $\sigma\in \Pi$ от функций $h(x,\sigma)$ и $g(x,\sigma)$ по дополнению $K$ не больше $\varepsilon$. Итак, функция $J_h$ равномерно приближается полунепрерывными снизу функциями и потому сама обладает таким свойством.
Последнее утверждение предложения ясно из приведенных выше рассуждений. Предложение доказано. Дополнительное условие равномерной плотности слабо компактного множества $\Pi$ автоматически выполнено для полных сепарабельных метризуемых пространств, однако не обязано выполняться для суслинских пространств (скажем, оно может быть нарушено даже для множества рациональных чисел, см. результат Прайса в [26; теорема 4.8.6]). Поэтому интересно выяснить, можно ли его снять в этом предложении. При этом можно рассматривать ограниченные непрерывные функции стоимости $h$, так как полунепрерывная снизу ограниченная функция $h$ является пределом возрастающей направленности ограниченных непрерывных функций $h_\alpha$ и поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_X h_\alpha (x,\sigma)\, \sigma(dx)\uparrow \int_X h (x,\sigma)\, \sigma(dx)
\end{equation*}
\notag
$$
для всякой меры $\sigma\in\Pi$ (см. [25; лемма 7.2.6]). Для неограниченной функции $h$ нужен еще один шаг со срезками $\min(h,n)$. Дополнительное условие равномерной плотности не требуется, если функция $h$ непрерывна, причем непрерывность по второму аргументу в каждой точке $\sigma_0$ равномерна по первому аргументу, т. е. для всякого $\varepsilon>0$ найдется такая окрестность $U$ точки $\sigma_0$, что
$$
\begin{equation*}
|h(x,\sigma) -h(x,\sigma_0)|<\varepsilon\quad \forall\, \sigma\in U, \ x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
При таком условии для всякой направленности мер $\sigma_\alpha\in\Pi$, слабо сходящейся к мере $\sigma_0$, найдется такой индекс $\alpha_1$, что
$$
\begin{equation*}
\int_X |h(x,\sigma_\alpha)-h(x,\sigma_0)|\, \sigma_\alpha (dx)\leqslant \varepsilon \quad \forall\, \alpha\geqslant \alpha_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Такая же оценка имеет место и для меры $\sigma_0$. Поскольку интегралы от функции $h(x,\sigma_0)$ по мерам $\sigma_\alpha$ стремятся к интегралу по мере $\sigma_0$, то получаем непрерывность функции $J_h$ в точке $\sigma_0$. Теорема 2.2. Пусть функция стоимости $h$ полунепрерывна снизу на множествах вида $K\times\Pi(\mu,\nu)$, где $K$ – компакт в $X\times Y$. Тогда существует оптимальный план. Доказательство. Так как множество планов $\Pi(\mu,\nu)$ равномерно плотно и слабо компактно, то в силу предложения 2.1 функция $J_h$ полунепрерывна снизу на $\Pi(\mu,\nu)$. Теперь существование оптимального плана следует из того факта, что полунепрерывная снизу на компакте функция достигает на этом компакте своего минимального значения. Теорема доказана.
3. Задачи с фиксированными барицентрамиИмеется общее понятие барицентра или среднего радоновской меры $\mu$ на локально выпуклом пространстве $X$, относительно которой интегрируем всякий непрерывный линейный функционал на $X$: это такой вектор $b\in X$, что Барицентр существует, если пространство $X$ полно (или хотя бы квазиполно) и все непрерывные полунормы интегрируемы относительно меры $\mu$, т. е. она имеет сильный первый момент (см. [41; следствие 5.6.8]). Однако в задачах оптимальной транспортировки возникает более специальная ситуация, когда рассматривается радоновская вероятностная мера $Q$ на пространстве $\mathcal{P}(E)$ радоновских вероятностных мер на вполне регулярном топологическом пространстве $E$, где пространство мер наделено слабой топологией. Здесь барицентр меры $Q$ есть борелевская мера $\beta_Q$ на $E$, задаваемая равенством где векторный интеграл понимается в смысле равенства для всех борелевских множеств $A\subset E$. Известно, что функция $p\mapsto p(A)$ оказывается борелевской на $\mathcal{P}(E)$, а полученная мера $\tau$-аддитивна (см. [25; предложение 8.9.8 и следствие 8.9.9]). Однако нас интересуют радоновские барицентры, поэтому возникает вопрос об условиях радоновости меры $\beta_Q$ на $E$.Предложение 3.1. Мера $\beta_Q$ радонова в точности тогда, когда мера $Q$ сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств в $\mathcal{P}(E)$. В частности, это верно, если $E$ – суслинское вполне регулярное пространство. Доказательство. Предположим, что имеются возрастающие равномерно плотные компакты $S_n$ в $\mathcal{P}(E)$, для которых $Q(E\setminus S_n)\to 0$. Пусть $\varepsilon>0$. Возьмем такое $n$, что В силу равномерной плотности существует компакт $K\subset E$, для которого
$$
\begin{equation*}
p(K)\geqslant 1-\varepsilon \quad \forall\, p\in S_n.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\beta_Q(K)=\int_{\mathcal{P}(E)} p(K)\, Q(dp)\geqslant \int_{S_n} p(K)\, Q(dp)\geqslant (1-\varepsilon)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что мера $\beta_Q$ плотна. В силу $\tau$-аддитивности она радонова (см. [25; предложение 7.2.2]).
Обратно, предположим, что мера $\beta_Q$ радонова. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ найдется такое компактное множество $K_\varepsilon\subset E$, что $\beta_Q(K_\varepsilon)\geqslant 1-\varepsilon^2$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathcal{P}(E)} p(K_\varepsilon)\, Q(dp)\geqslant 1-\varepsilon^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество мер
$$
\begin{equation}
S_\varepsilon:=\{p\in \mathcal{P}(E)\colon p(K_\varepsilon)\geqslant 1-\varepsilon\}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
замкнуто в слабой топологии в $\mathcal{P}(E)$. Действительно, если направленность мер $p_\alpha$ из $S_\varepsilon$ слабо сходится к мере $p\in \mathcal{P}(E)$, то по критерию слабой сходимости А. Д. Александрова (см. [25; теорема 8.2.3]) выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
p(K_\varepsilon)\geqslant \limsup_\alpha p_\alpha(K_\varepsilon) \geqslant 1-\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этого множества получаем оценку поскольку по неравенству Чебышёва имеем
$$
\begin{equation*}
Q(p\colon 1-p(K_\varepsilon)\geqslant \varepsilon)\leqslant \varepsilon ^{-1}\int_{\mathcal{P}(E)} [1-p(K_\varepsilon)]\, Q(dp) \leqslant \varepsilon ^{-1}\varepsilon^2=\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для фиксированного $\delta\in (0,1)$ можно взять множества $S_{\delta\,2^{-n}}$, пересечение которых также замкнуто в $\mathcal{P}(E)$. Для него верно неравенство так как $Q(\mathcal{P}(E)\setminus S_{\delta\,2^{-n}})\leqslant\delta\,2^{-n}$ при всех $n$. По построению и неравенству (3.1) множество $\Pi_\delta$ равномерно плотно. По теореме Прохорова (см. [25; теорема 8.6.7]) оно слабо компактно. Таким образом, мера $Q$ сосредоточена на объединении равномерно плотных слабо компактных множеств $\Pi_{1/n}$. Предложение доказано. Если пространство $E$ суслинское, то пространство мер $\mathcal{P}(E)$ со слабой топологией тоже суслинское, поэтому каждая борелевская мера на $\mathcal{P}(E)$ автоматически радонова и сосредоточена на счетном объединении компактов, причем эти компакты метризуемы (даже если само $E$ неметризуемо). Однако для довольно простых пространств (например, для множества рациональных чисел) компакты в $\mathcal{P}(E)$ могут не быть равномерно плотными. Тем не менее всякая мера из $\mathcal{P}(\mathcal{P}(E))$ сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных компактных множеств (см. [25; теорема 8.10.6]). Это верно и в более общем случае такого вполне регулярного пространства $E$, что все $\tau$-аддитивные меры на $E$ радоновы. Было бы интересно найти пример меры Радона на пространстве радоновских вероятностных мер, равной нулю на всех равномерно плотных компактных множествах. Поскольку множества $\Pi_\delta$ в доказательстве выше строились через множества $K_\varepsilon$, выбираемые согласно значениям на них барицентра, то совершенно аналогичное рассуждение доказывает следующее утверждение. Предложение 3.2. Пусть множество мер $M\subset \mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$ обладает равномерно плотными барицентрами в $\mathcal{P}(Y)$. Тогда это множество равномерно плотно в $\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$ и сосредоточено на счетном объединении равномерно плотных слабо компактных множеств из $\mathcal{P}(Y)$. Следствие 3.3. Пусть множество мер $M\subset\mathcal{P}(X\times \mathcal{P}(Y))$ обладает равномерно плотными проекциями на $X$ и равномерно плотными барицентрами проекций на $\mathcal{P}(Y)$. Тогда это множество равномерно плотно и сосредоточено на счетном объединении множеств вида $K\times S$, где $K$ компактно в $X$, а множество $S$ слабо компактно в $\mathcal{P}(Y)$ и равномерно плотно. В частности, это верно, если эти меры имеют одинаковые проекции на $X$ и одинаковые барицентры проекций на $\mathcal{P}(Y)$. Доказательство. Положим $Z=X\times \mathcal{P}(Y)$. Заметим, что для всякой меры $P$ из $\mathcal{P}(Z)$ с проекциями $P_1$ и $P_2$ на сомножители и всяких борелевских множеств $A\subset X$ и $B\subset \mathcal{P}(Y)$ справедливо неравенство Поэтому достаточно рассмотреть проекции на $\mathcal{P}(Y)$ и применить предыдущее предложение. Следствие доказано. Отметим, что если $P$ – радоновская мера на произведении $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства, $\mu$ – ее проекция на $X$, причем существуют условные меры $P^x$ на $\mathcal{P}(Y)$ относительно $\mu$, то барицентр проекции меры $P$ на $\mathcal{P}(Y)$, обозначаемой через $P_{\mathcal{P}}$, задается формулой
$$
\begin{equation*}
\beta_{P_{\mathcal{P}}}(B)= \int_X\int_{\mathcal{P}(Y)}p(B)\,P^x(dp)\,\mu(dx).
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, для всякого борелевского множества $B\subset Y$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_X \int_{\mathcal{P}(Y)} p(B)\, P^x(dp) \, \mu(dx)&= \int_{X\times \mathcal{P}(Y)} p(B)\, P(dx\, dp) \\ &=\int_{\mathcal{P}(Y)} p(B)\, P_{\mathcal{P}}(dp)= \beta_{P_{\mathcal{P}}}(B). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к постановке нелинейной транспортной задачи Канторовича с фиксированным барицентром. В качестве пространства здесь берется произведение $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – вполне регулярные пространства. На этом произведении задана полунепрерывная снизу функция стоимости Кроме того, задан маргинал $\mu\in \mathcal{P}(X)$, но вместо второго маргинала задан барицентр $\beta\in \mathcal{P}(Y)$ проекций допустимых планов на $\mathcal{P}(Y)$; эти проекции – элементы $\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$, так что барицентр понимается в описанном выше смысле. Таким образом, на множестве планов
$$
\begin{equation*}
\Pi^\beta(\mu):=\{\pi \in \mathcal{P}(X\times \mathcal{P}(Y))\colon \pi_X=\mu, \ \beta_{\pi_{\mathcal{P}}}=\beta\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi_X$ – проекция меры $\pi$ на $X$, рассматривается задача
$$
\begin{equation}
\int_{X\times \mathcal{P}(Y)} h(x,p)\, \pi(dx\, dp)\to \min, \qquad \pi\in \Pi^\beta(\mu).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Отличие от обычной нелинейной задачи Канторовича состоит в том, что не задан второй маргинал. Вместо него задан барицентр проекции на второй сомножитель. Напомним, что в общей ситуации для функции $h$ на произведении $X\times Z$ множество $\Gamma\subset X\times Z$ называется $h$-циклически монотонным, если для всех $n$ верно неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n h(x_i,z_i)\leqslant \sum_{i=1}^n h(x_{i+1},z_i)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех пар $(x_1,z_1),\dots,(x_n,z_n)\in \Gamma$, где $x_{n+1}:=x_1$. Известно (см. [20]), что в классической задаче, где $X$ и $Z$ – суслинские пространства, $\mu\in \mathcal{P}(X)$, $\nu\in \mathcal{P}(Z)$ и борелевская функция стоимости $h$ такова, что существует оптимальная мера $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$, эта мера сосредоточена на некотором борелевском $h$-циклически монотонном множестве. С помощью этого рассуждения применительно к $Z=\mathcal{P}(Y)$ доказывается такой результат. Предложение 3.4. Пусть $h$ – ограниченная полунепрерывная снизу функция на $X\times \mathcal{P}(Y)$. Для всяких мер $\mu\in \mathcal{P}(X)$ и $\beta\in \mathcal{P}(Y)$ задача Канторовича (3.2) с заданным барицентром имеет решение. Всякая оптимальная мера $P$ для этой задачи является оптимальной и для классической линейной задачи с той же самой функцией стоимости и маргиналами $\mu$ и $P_{\mathcal{P}}$, где $P_{\mathcal{P}}$ – проекция $P$ на $\mathcal{P}(Y)$. Наконец, если $X$ и $Y$ – суслинские пространства, то мера $P$ сосредоточена на $h$-циклически монотонном множестве. Доказательство см. в [37], оно совпадает со стандартным доказательством для линейной задачи. К задаче Канторовича для тройки $(\mu,P_\mathcal{P}, h)$ можно применить теорему двойственности, которая дает равенство минимума в задаче (3.2) величине
$$
\begin{equation*}
\sup \biggl(\int_X f\, d\mu+\int_{\mathcal{P}(Y)} g\, dP_\mathcal{P}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где супремум берется по ограниченным непрерывным функциям $f$ на $X$ и $g$ на $\mathcal{P}(Y)$, удовлетворяющим неравенству
$$
\begin{equation*}
f(x)+g(p)\leqslant h(x,p), \qquad x\in X, \quad p\in \mathcal{P}(Y).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3.5. Задача с фиксированным маргиналом является частным случаем следующей более общей задачи с фиксированными образами планов. Предположим, что заданы измеримые отображения Отметим еще, что в задаче с фиксированным барицентром важную роль играет специфика пространства мер, которое берется в качестве второго сомножителя. Если в качестве второго сомножителя взять абстрактное локально выпуклое пространство $E$, то для функции стоимости $h$ на $X\times E$, фиксированной меры $\mu$ на $X$ и фиксированного вектора $\beta\in E$ можно ввести множество радоновских вероятностных мер на $X\times E$ с проекцией $\mu$ на $X$ и барицентром проекции на $E$, равным $\beta$. По этому множеству можно минимизировать интеграл от функции $h$. В рассмотренном нами специальном случае $E=\mathcal{P}(Y)$ такое множество компактно. Однако в общем случае компактности нет из-за возможной некомпактности множества радоновских вероятностных мер на $E$, имеющих барицентр $\beta$. Например, если $\beta=0$, то в указанное множество попадают все меры $(\delta_{a}+\delta_{-a})/2$, где $a\in E$. Задача Монжа также обладает модификацией с фиксированным барицентром. Об этом будет сказано в следующем разделе в связи с нелинейными задачами с условными мерами. 4. Задачи с условными мерамиВ работах [80], [4], [15], [2], [16] было доказано существование минимумов в задаче с условными мерами при дополнительном предположении выпуклости функции стоимости относительно аргумента-меры. Следующее обобщение этих результатов на вполне регулярные пространства получено в [38]. В нем вместо борелевских используются бэровские $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}a(X)$ и $\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))$, порождаемые всеми непрерывными функциями на соответствующих пространствах. Для общего вполне регулярного пространства бэровская $\sigma$-алгебра меньше борелевской, но для суслинских вполне регулярных пространств они совпадают. В частности, если $Y$ – суслинское вполне регулярное пространство, то $\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))=\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y))$. Теорема 4.1. Пусть функция стоимости $H\colon X\times \mathcal{P}(Y)\to [0,+\infty)$ измерима относительно $\mathcal{B}a(X)\otimes\mathcal{B}a(\mathcal{P}(Y))$, полунепрерывна снизу на всех множествах вида ${K\times S}$, где $K$ – компакт в $X$ и $S\subset \mathcal{P}(Y)$ равномерно плотно, и выпукла по второму аргументу. Тогда достигается, т. е. существует оптимальный план. Доказательство сводится к проверке полунепрерывности снизу минимизируемого интегрального функционала. Поскольку сумма полунепрерывных снизу функций также полунепрерывна снизу, можно объединить утверждения теорем 2.2 и 4.1. Следствие 4.2. Рассмотрим функцию стоимости вида где функция $H_1\colon X\times Y\times \mathcal{P}(X\times Y)\to [0,+\infty)$ удовлетворяет условиям теоремы 2.2, а функция $H_2\colon X\times \mathcal{P}(Y)\to [0,+\infty)$ удовлетворяет условиям теоремы 4.1. Тогда в нелинейной задаче Канторовича с функцией $H$ достигается минимум, т. е. существует оптимальный план. Отметим, что согласно [2; теорема 3.9] для непрерывной ограниченной функции стоимости $H(x,p)$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$, где $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, инфимум в нелинейной задаче с условными мерами и безатомическим маргиналом $\mu\in \mathcal{P}(X)$ равен минимуму в такой же задаче с функцией стоимости $H^{**}(x,p)$, определяемой как наибольшая функция, мажорируемая $H(x, p)$, среди функций, которые по второму аргументу выпуклы и полунепрерывны снизу. Не изучен случай функции стоимости вида $H(x,y,\sigma^x)$, задающей функционал Известны примеры (см. [4; примеры 3.2 и 3.3]) отсутствия минимума в задаче с условными мерами. В работе [37] построены примеры такого рода с некоторыми дополнительными свойствами, в частности, оба маргинальных распределения совпадают с мерой Лебега на отрезке, а функция стоимости липшицева. Опишем здесь эти примеры, отсылая к [37] за обоснованиями, которые не очень коротки. Пример 4.3. Пусть $X=Y=[0,1]$ и $\mu=\nu=\lambda$ – мера Лебега на $[0,1]$. Имеется ограниченная липшицева функция $h$ на $X \times \mathcal P(Y)$ (где $\mathcal P(Y)$ наделяется метрикой Канторовича), для которой нелинейная задача с условными мерами Следующий пример из [37] интересен тем, что функция стоимости распадается в произведение функций одного аргумента. Пример 4.4. Как и выше, пусть $X=Y=[0, 1]$ и $\mu=\nu=\lambda$ – мера Лебега на отрезке $[0,1]$. Существует такая ограниченная непрерывная функция $g \colon \mathcal P(Y) \to \mathbb R$, где $\mathcal P(Y)$ наделено слабой топологией, что нет минимума в нелинейной задаче Канторовича Обсудим теперь интересную модификацию задачи Монжа с фиксированным барицентром. Такая модификация возникает в том случае, когда в качестве второго пространства берется пространство радоновских вероятностных мер $\mathcal{P}(Y)$ на суслинском пространстве $Y$, а функция стоимости $h$ задана на $X\times \mathcal{P}(Y)$, причем $X$ – также суслинское пространство. Пусть еще задана радоновская вероятностная мера $\beta$ на $Y$. Задача Монжа на $X\times \mathcal{P}(Y)$ с фиксированным барицентром $\beta$ для тройки $(\mu,\beta, h)$ ставится так:
$$
\begin{equation}
\int_X h(x, T(x)) \, \mu(dx) \to \inf, \qquad T \colon X \to \mathcal P(Y),\quad \int_{\mathcal{P}(Y)} p\,\mu \circ T^{-1}(dp)=\beta.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Таким образом, минимизируется тот же интеграл, что и в классической задаче Монжа, но теперь минимизация производится по таким измеримым отображениям $T$ из $X$ в $\mathcal{P}(Y)$, что барицентр меры-образа $\mu\circ T^{-1}$ равен $\beta$, а сам образ не фиксирован. Последнее равенство можно записать как Задача Монжа с фиксированным барицентром интересным образом связана с нелинейной задачей Канторовича с условными мерами. Как мы видели в предыдущем разделе, упомянутая задача Канторовича может не иметь решений. Тем не менее оказывается, что если нелинейная задача Канторовича
$$
\begin{equation}
\int_X h(x,\sigma^x) \, \mu(dx) \to \inf, \qquad \sigma \in \Pi(\mu, \beta), \quad \sigma(dx \,dy)=\sigma^x(dy)\,\mu(dx),
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
с условными мерами и фиксированными маргиналами $\mu$ и $\beta$ имеет решение, то существует и решение задачи Монжа для тройки $(\mu,\beta,h)$ с заданным барицентром $\beta$. Чтобы получить решение этой задачи из решения $\sigma$ задачи Канторовича, сделаем следующее наблюдение. Если сначала $\sigma$ – произвольный план из $\Pi(\mu,\beta)$ с условными мерами $\sigma^x$ на $Y$, то положим Барицентр меры-образа $\mu\circ T^{-1}$ на $\mathcal P(Y)$ равен $\beta$, поскольку для всякого множества $B\in\mathcal{B}(Y)$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathcal P(Y)} p(B)\, \mu\circ T^{-1}(dp)= \int_X \sigma^x(B)\, \mu(dx)=\sigma(X\times B)=\beta(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\int_X h(x,T(x))\, \mu(dx)=\int_{X} h(x,\sigma^x)\, \mu(dx)= \int_{X\times Y} h(x,\sigma^x)\, \sigma(dx\, dy)\geqslant K_h(\mu,\beta),
\end{equation*}
\notag
$$
причем для оптимального плана (если он существует) имеет место равенство. Из этого равенства следует, что нет измеримого преобразования $F\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ меры $\mu$ в меру из $\mathcal{P}(\mathcal{P}(Y))$ с барицентром $\beta$ и меньшим интегралом от $h(x,F(x))$ относительно $\mu$, чем для отображения, порожденного оптимальным планом. В самом деле, для преобразования $F$ можно взять меру
$$
\begin{equation*}
\eta(dx\, dy):=\eta^x(dy)\,\mu(dx), \qquad \eta^x=F(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для всякого множества $B\in\mathcal{B}(Y)$ получим
$$
\begin{equation*}
\int_X \eta^x(B)\, \mu(dx)=\int_X F(x)(B)\, \mu (dx)= \int_{\mathcal{P}(Y)} p(B) \, \mu\circ F^{-1}(dp)=\beta(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что проекция меры $\eta$ на $Y$ равна $\beta$: число $\eta(X\times B)$ равно левой части предыдущего равенства. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_X h(x, F(x))\, \mu(dx)=\int_{X} h(x, \eta^x)\, \mu(dx)= J_h(\eta)\geqslant J_h(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, всякое преобразование $F$ меры $\mu$ в меру с барицентром $\beta$ порождает план $\eta$ из $\Pi(\mu,\beta)$, для которого интеграл от функции $h(x,\eta^x)$ по мере $\mu$ равен интегралу от $h(x,F(x))$. Значит, если есть минимизирующее отображение $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ в нашей модифицированной задаче Монжа, то мера
$$
\begin{equation*}
\eta(dx\, dy)=\eta^x(dy)\, \mu(dx), \qquad \eta^x=T(x),
\end{equation*}
\notag
$$
входит в $\Pi(\mu,\beta)$ и является минимизирующей в задаче Канторовича. В итоге приходим к следующему утверждению. Теорема 4.5. Предположим, что $X$ и $Y$ – суслинские пространства, и пусть заданы две меры $\mu\in \mathcal{P}(X)$, $\beta\in \mathcal{P}(Y)$ и борелевская функция Тогда для всякого плана $\sigma\in \Pi(\mu,\beta)$ найдется борелевское отображение для которого мера $\mu\circ T^{-1}$ имеет барицентр $\beta$ и Обратно, для всякого борелевского отображения $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ с $\beta_{\mu\circ T^{-1}}=\beta$ существует план $\sigma\in\Pi(\mu,\beta)$, удовлетворяющий равенству выше. Таким образом, инфимум Канторовича $K_h(\mu,\beta)$ равен инфимуму в задаче Монжа с фиксированным барицентром для тройки $(\mu,\beta,h)$, а существование решения в одной из этих двух задач равносильно разрешимости другой. Из приведенных выше рассуждений видно, что это утверждение остается в силе и в более общем случае, когда всякая мера $\sigma$ из $\Pi(\mu,\beta)$ обладает условными мерами на $Y$, борелевски зависящими от $x$. Предположим теперь, что мы рассматриваем обычную задачу Монжа с мерами $\mu$ и $\nu$ на вполне регулярных суслинских пространствах $X$ и $Y$ и с борелевской функцией стоимости $h$ на $X\times Y$. Пространство $Y$ канонически вложено в пространство вероятностных мер $\mathcal{P}(Y)$ посредством отображения $y\mapsto \delta_y$, где $\delta_y$ – мера Дирака в точке $y$. При этом вложении образ $Y$ замкнут в $\mathcal{P}(Y)$, см. [25; лемма 8.9.2]. Продолжим функцию $h$ борелевски с $X\times Y$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$, причем если исходная функция была непрерывна или полунепрерывна снизу, то и продолжение возьмем с тем же свойством. Это возможно, поскольку вполне регулярные суслинские пространства совершенно нормальны (см. [25; теорема 6.7.7]), а пространство мер $\mathcal{P}(Y)$ тоже суслинское. Для продолжения непрерывной функции $h$ применима теорема Урысона, а в случае полунепрерывной функции $h$ надо воспользоваться тем фактом, что для нее найдутся такие непрерывные функции $h_\alpha$ на $X\times Y$, что $h(x,y)=\sup_\alpha h_\alpha(x,y)$ для всех $x\in X$, $y\in Y$, что позволяет найти непрерывные продолжения $H_\alpha$ этих функций на $X\times \mathcal{P}(Y)$ и получить полунепрерывную снизу функцию $H=\sup_\alpha H_\alpha$ на пространстве $X\times \mathcal{P}(Y)$. Эта функция совпадает с исходной на $X\times Y$. Если задача Монжа (4.1) на $X\times \mathcal{P}(Y)$ с фиксированным барицентром $\nu$ обладает минимизирующим отображением $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$, то можно назвать его ослабленным решением исходной задачи Монжа, а новую задачу – ослаблением исходной. Даже если исходная задача имела решение, то минимум в ней не обязан быть минимумом ослабленной задачи. Так будет, если $h(x,y)=1$, но $\nu$ не является мерой Дирака, а продолжение $H$ функции $h$ таково, что $H(x,\nu)=0$. Тогда в ослабленной задаче минимум нулевой, оптимальное отображение тождественно равно $\nu$. Поэтому нужны какие-то ограничения на продолжение, чтобы сделать ослабленную задачу содержательной. Инфимум в ней не больше инфимума в исходной задаче, ибо если отображение $S\colon X\to Y$ переводит $\mu$ в $\nu$, то для отображения $T\colon x\mapsto \delta_{S(x)}$ барицентр меры $\mu\circ T^{-1}$ равен $\nu$, так как для всякого борелевского множества $B\subset Y$ в силу соотношения $\nu=\mu\circ S^{-1}$ верно равенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathcal{P}(Y)} p(B)\, \mu\circ T^{-1}(dp)= \int_X \delta_{S(x)}(B)\, \mu(dx)=\int_Y \delta_y(B)\, \nu(dy)=\nu(B).
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $H(x,\delta_{S(x)})=h(x,S(x))$, поэтому интеграл от $H(x,T(x))$ по мере $\mu$ совпадает с интегралом от $h(x,S(x))$. Как мы знаем из предыдущих обсуждений, задача Монжа (4.1) не обязана иметь решение даже для непрерывной функции стоимости (соответствующая задача Канторовича с условными мерами может не иметь минимума). Поэтому интересны дополнительные условия, при которых найдется ослабленное решение. Таким условием является выпуклость функции $H$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$, полученной при указанном выше продолжении исходной функции стоимости с $X\times Y$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$. Имеется даже линейное по второму аргументу продолжение, заданное явной формулой Для этого продолжения минимум в ослабленной задаче Монжа равен минимуму в классической задаче Канторовича с функцией $h$ и маргиналами $\mu$, $\nu$. Если $\sigma$ – оптимальный план Канторовича и $\sigma(dx\, dy)=\sigma^x(dy)\, \mu(dx)$, то отображение $T(x)=\sigma^x$ оптимально в ослабленной задаче Монжа, ибо барицентр меры $\mu\circ T^{-1}$ равен $\nu$, что проверяется непосредственно, а интеграл от $H(x,T(x))=H(x,\sigma^x)$ по мере $\mu$ равен
$$
\begin{equation*}
\int_X \int_Y h(x,y)\, \sigma^x(dy)\, \mu(dx)= \int_{X\times Y} h(x,y)\, \sigma(dx\, dy).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, если $T\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ – оптимальное отображение в ослабленной задаче Монжа, то мера $\sigma(dx\, dy)=\sigma^x(dy)\,\mu(dx)$, $\sigma^x=T(x)$, оптимальна в задаче Канторовича для функции $h$ и маргиналов $\mu$, $\nu$. Действительно, ее проекция на $Y$ равна $\nu$, а интеграл по ней от $h$ равен, как и выше, интегралу от $H(x,T(x))$ по мере $\mu$. На $X\times \mathcal{P}(Y)$ могут быть и другие непрерывные функции $H$, выпуклые по второму аргументу, для которых
$$
\begin{equation*}
H(x,\delta_y)=h(x,y)\quad \forall\, x\in X, \ y\in Y.
\end{equation*}
\notag
$$
Для них возникает вопрос о связи минимума в ослабленной задаче Монжа с инфимумом в исходной. Нелинейные задачи изучаются также в недавней работе [17]. 5. Оптимальная транспортировка с ограничениями на плотностиЕще одна упомянутая выше новая модификация задачи Канторовича, введенная в работах [90]–[93], связана с ограничениями на плотности транспортных планов. Сначала сформулируем ее для случая двух маргиналов. Пусть, как и в классической задаче Канторовича, заданы вероятностные пространства $(X, \mathcal{B}_X,\mu)$ и $(Y,\mathcal{B}_Y,\nu)$, а также $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$-измеримая функции стоимости $h\geqslant 0$. Кроме того, пусть заданы вероятностная мера $\lambda$ на $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$ пространства $X\times Y$ и интегрируемая относительно $\lambda$ функция $\Phi$. Например, в качестве $\lambda$ можно взять произведение $\mu\otimes\nu$. Рассмотрим класс $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$ всех вероятностных мер $\sigma$ на $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$, входящих в $\Pi(\mu,\nu)$, абсолютно непрерывных относительно $\lambda$ и имеющих плотность Радона–Никодима, удовлетворяющую оценке Будем считать, что множество $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$ непусто. Необходимым условием для этого является абсолютная непрерывность мер $\mu$ и $\nu$ относительно проекций меры $\lambda$ на $X$ и $Y$ соответственно. Например, если $\lambda=\mu\otimes\nu$, то в качестве $\beta$ можно взять константу $C\geqslant 1$, но не $C<1$. При этом в случае $C=1$ множество $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$ состоит из единственной меры $\lambda$.Рассмотрим задачу
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times Y} h\, d\sigma\to \min, \qquad \sigma\in \Pi_\Phi(\mu,\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
Условие существования минимума в этой задаче оказывается заметно более простым и широким, чем в классических задачах Канторовича и Монжа. Теорема 5.1. Если существует мера $\sigma\in \Pi_\Phi(\mu,\nu)$ с конечным интегралом от функции $h$, то в описанной задаче достигается минимум. Доказательство. По нашему условию при некотором $N>0$ непусто множество $\Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu)$ таких мер из $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$, что интеграл по ним от функции $h$ не превосходит $N$. Это множество мер можно отождествить с множеством их плотностей относительно меры $\lambda$. Такие плотности $p$ удовлетворяют оценке $p\leqslant \Phi$, причем интеграл от $hp$ по мере $\lambda$ не превосходит $N$. Поэтому рассматриваемое множество плотностей слабо компактно в $L^1(\lambda)$, см. [25; теорема 4.7.18]. Функционал полунепрерывен снизу на $\Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu)$ со слабой топологией, так как в случае ограниченной функции $h$ он непрерывен, а в общем случае равен поточечному пределу возрастающей на $\Pi_{\Phi,N}(\mu,\nu)$ последовательности функционалов, заданных ограниченными функциями $\min(h,n)$. Следовательно, этот функционал достигает минимума на компакте. Теорема доказана. Теперь можно ввести нелинейную версию задачи с ограничением на плотности планов. Здесь от функции стоимости потребуются дополнительные свойства топологического характера. Пусть $\mathcal{P}_\lambda$ – множество всех вероятностных плотностей в $L^1(\lambda)$. На нем есть две естественные топологии: топология нормы и слабая топология из банахова пространства $L^1(\lambda)$. Обозначим через $\mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda)$ борелевскую $\sigma$-алгебру относительно нормы. Если $L^1(\lambda)$ сепарабельно (что выполнено для борелевских мер на суслинских пространствах), то $\mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda)$ совпадает с борелевской $\sigma$-алгеброй относительно слабой топологии. Для задач с ограничениями на плотности полезно сразу отметить, что если множество $M\subset \mathcal{P}(X)$ состоит из мер, абсолютно непрерывных относительно некоторой вероятностной меры $\lambda_0$, то на $M$ (после отождествления мер с их плотностями относительно $\lambda_0$) возникает конкурирующая со слабой топологией пространства мер слабая топология пространства $L^1(\lambda_0)$, которая обычно строго сильнее, поскольку порождается двойственностью с пространством всех ограниченных борелевских функций на $X$ вместо пространства всех ограниченных непрерывных функций. Однако борелевские структуры, индуцируемые на $M$ этими двумя различными топологиями, а также еще более сильной топологией нормы, совпадают в том случае, когда $X$ – суслинское пространство. Это следует из того факта, что последовательность непрерывных функций на суслинском пространстве, разделяющая точки, порождает его борелевскую $\sigma$-алгебру (см. [25; теорема 6.8.9]), а множество вероятностных плотностей в $L^1(\lambda_0)$ является суслинским подмножеством в топологии нормы, ибо оно замкнуто, а $L^1(\lambda_0)$ сепарабельно. Отметим также, что если множество плотностей мер из $M$ равномерно интегрируемо (это равносильно тому, что его замыкание в слабой топологии в $L^1(\lambda_0)$ слабо компактно, а также равносильно его равномерной счетной аддитивности, см. [25; гл. 4]), то на $M$ слабая топология пространства мер совпадает со слабой топологией из $L^1(\lambda_0)$. В самом деле, всякий функционал вида где $f$ – ограниченная борелевская функция на $X$, оказывается непрерывным на $M$ со слабой топологией пространства мер, так как для каждого $\varepsilon>0$ можно найти такое $\delta>0$, что $\mu(B)<\varepsilon$ при всех $\mu\in M$, если $\lambda_0(B)<\delta$, а затем по теореме Лузина можно взять такую непрерывную функцию $g$ на $X$, что
$$
\begin{equation*}
\sup_x |g(x)|\leqslant \sup_x |f(x)|, \quad \lambda_0(x\colon f(x)\ne g(x))<\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для всех $\mu\in M$ получим
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_X (f-g)\, d\mu\biggr|\leqslant 2\varepsilon \sup_x |f(x)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем результат из недавней работы [37]. Предположим, что задана функция
$$
\begin{equation*}
h\colon X\times Y\times \mathcal{P}_\lambda\to [0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
которая измерима относительно $\mathcal{B}_X\otimes \mathcal{B}_Y\otimes \mathcal{B}(\mathcal{P}_\lambda)$, причем для $\lambda$-почти всех $(x,y)\in X\times Y$ функция полунепрерывна снизу на $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$ по норме в $L^1(\lambda)$. На множестве $\Pi_\Phi(\mu_1,\mu_2)$, вложенном в $L^1(\lambda)$ посредством отождествления мер с их плотностями относительно $\lambda$, определен функционал
$$
\begin{equation*}
J_h(p)=\int_{X\times Y} h(x,y,p) p(x, y)\, \lambda(dx\, dy)
\end{equation*}
\notag
$$
со значениями в $[0,+\infty]$. Теорема 5.2. Если при указанных предположениях функционал $J_h$ является выпуклым, то он достигает минимума на множестве $\Pi_\Phi(\mu_1,\mu_2)$. Использованное в этой теореме условие полунепрерывности снизу функции $h$ по $p$ относительно нормы значительно слабее, чем такое же условие в слабой топологии. Однако если выпуклой по $p$ является сама функция $h$ (а не интеграл), то эти условия равносильны. Тем не менее выпуклость $h$ по последнему аргументу не влечет выпуклость $J_h$, поэтому условие предыдущей теоремы вряд ли можно считать конструктивным. Если же функция стоимости имеет вид с некоторой неотрицательной функцией $h$ на $X\times \mathcal{P}(Y)$ и условными мерами $p^x$ для $p$ относительно меры $\mu$, то выпуклость $h$ по последнему аргументу очевидным образом влечет выпуклость $J_h$.Далее мы будем иметь дело с суслинскими вполне регулярными пространствами $X$ и $Y$. Тогда, как и выше, всякая мера $p$ на $X\times Y$ с проекцией $\mu$ на $X$ обладает условными мерами $p^x$ на $Y$ относительно $\mu$, т. е. Если $\lambda=\mu\otimes\nu$ и меры $p\in \Pi_\Phi(\mu,\nu)$ отождествлены с их плотностями $p(x,y)$ относительно меры $\lambda$, то Иначе говоря, условная плотность при фиксированном $x$ есть просто $y\mapsto p(x,y)$.Поскольку мы имеем дело с условными мерами на $\mathcal{B}(Y)$, разумно наделить пространство $\mathcal{M}(Y)$ всех ограниченных мер на $\mathcal{B}(Y)$ $\sigma$-алгеброй $\mathcal{E}(\mathcal{M}(Y))$, порожденной всеми функциями $\nu\mapsto \nu(B)$, $B\in \mathcal{B}(Y)$. Отметим, что так как $Y$ – вполне регулярное суслинское пространство, то эта $\sigma$-алгебра является счетно порожденной. В самом деле, имеется счетное семейство борелевских множеств, разделяющее точки пространства $Y$ и порождающее борелевскую $\sigma$-алгебру (см. [25; теоремы 6.7.7 и 6.8.9]). Поэтому есть и счетная алгебра множеств $\mathcal{A}$ с таким свойством. Рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathcal{E}_0$, порожденную счетным набором функций $\nu\mapsto \nu(A)$, $A\in \mathcal{A}$. Обозначим через $\mathcal{B}_0$ класс всех борелевских множеств $B\subset Y$, для которых функция $\nu\mapsto \nu(B)$ измерима относительно $\mathcal{E}_0$. Этот класс содержит алгебру $\mathcal{A}$ и является монотонным, т. е. содержит объединения возрастающих последовательностей и пересечения убывающих последовательностей своих элементов. По классической теореме о монотонных классах он содержит $\sigma$-алгебру, порожденную алгеброй $\mathcal{A}$ (см. [25; теорема 1.9.3]), и тем самым совпадает со всей борелевской $\sigma$-алгеброй. В следующей теореме предполагается, что функция $h$ измерима относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}(X)\otimes \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y))$. Тогда функция оказывается борелевской, если отображение $x\mapsto p^x$ из $X$ в $\mathcal{P}(Y)$ является $(\mathcal{B}(X),\mathcal{E}(\mathcal{M}(Y)))$-измеримым, так как отображение $x\mapsto (x,p^x)$ измеримо относительно пары $\sigma$-алгебр $\mathcal{B}(X)$ и $\mathcal{B}(X)\otimes \mathcal{E}(\mathcal{M}(Y))$.Задачи транспортировки такого типа можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\int_X h(x,p^x)\, \mu(dx)\to \min, \qquad p\in \Pi_\Phi(\mu,\nu), \quad p(dx\, dy)=p^x(dy)\,\mu(dx).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Следующая теорема из [37] аналогична предыдущей, но она не является ее следствием, так как функция стоимости зависит от условных мер, а не от всего плана. Теорема 5.3. Если для $\mu$-почти всех $x$ функция $p\mapsto h(x,p)$ полунепрерывна снизу относительно нормы полной вариации на $\mathcal{M}(Y)$, причем функция выпукла, то она достигает минимума на $\Pi_\Phi(\mu,\nu)$. В частности, это верно, если функция $h$ выпукла по последнему аргументу. В работе [37] рассмотрен следующий пример нелинейной задачи Канторовича с условными мерами и ограничением на плотности планов, где нет решения. Пример 5.4. Как и в примерах выше, пусть $X=Y=[0,1]$ и $\mu=\nu=\lambda$ – мера Лебега на $[0,1]$. Существует ограниченная непрерывная функция стоимости $h \colon X \times L^1[0,1] \to \mathbb R$ (пространство $L^1[0,1]$ наделено слабой топологией), для которой нелинейная задача с ограничением на плотности планов 6. Мультимаргинальные и мультистохастические задачиТранспортные задачи со многими маргиналами отличаются от классических тем, что транспортные планы заданы на произведении более чем двух пространств (возможно, и бесконечного их числа), на которых зафиксированы проекции. Мультимаргинальные задачи изучались многими авторами – см. недавние работы [19], [22], [51], [62], [67], [71], [74], [77], [81], [110], [113]–[115], где есть дополнительные ссылки. Все те новые задачи, которые упоминались выше, также могут быть поставлены в такой ситуации. Однако в последние годы стали популярны так называемые мультистохастические транспортные задачи, в которых планы задаются на произведениях многих сомножителей, но появляются дополнительные ограничения, состоящие в том, что проекции задаются не только на отдельных сомножителях, но и на конечных произведениях части сомножителей. Например, для мер на трехмерном пространстве задаются не только проекции на координатные оси, но и проекции на двумерные координатные подпространства. Конечно, в этом случае множество допустимых планов может оказаться пустым, так что возникает вопрос об условиях непустоты этого множества. Пусть заданы $n$ вполне регулярных пространств $X_1,\dots,X_n$ и натуральное число $k<n$. Пусть $p$ и $q$ – целые неотрицательные числа, $q \leqslant p$. Обозначим через $\mathcal{I}_{pq}$ семейство подмножеств множества $\{1,2,\dots,p\}$ размера $q$. Через $\mathcal{I}_p=\bigcup\limits_{q=0}^p\mathcal{I}_{pq}$ обозначим семейство всех подмножеств набора $\{1,2,\dots,p\}$. Для всех $\alpha\in \mathcal{I}_n$ положим $X_\alpha=\displaystyle\prod_{i\in\alpha}X_i$. Пусть $X=\displaystyle\prod_{i=1}^n X_i$. Для всякого $\alpha \in \mathcal{I}_n$ через $\mathrm{Pr}_\alpha$ обозначим проектор на множество $X_\alpha$. Пусть для каждого $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$ на множестве $X_\alpha$ определена радоновская вероятностная мера $\mu_\alpha$. Обозначим через $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ множество радоновских вероятностных мер (возможно, пустое) со свойством $\mu\circ\mathrm{Pr}_\alpha^{-1}=\mu_\alpha$ для всех $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$. Меры из $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ называют объединяющими. Прямая $(n,k)$-задача Монжа–Канторовича ставится следующим образом. Определение 6.1. Пусть дана борелевская функция стоимости $h \colon X \to \mathbb{R}$. Тогда $(n,k)$-задача Монжа–Канторовича состоит в нахождении величины Эта $(n,k)$-задача Монжа–Канторовича (она же мультистохастическая транспортная задача) изучалась в работах [75] и [76]. Интерес к ней мотивирован следующим специальным случаем, оказавшимся довольно характерным для этой задачи. Напомним, что побитовым сложением двух чисел $x,y \in [0,1]$ называется следующая операция: если
$$
\begin{equation*}
x =\overline{0.\, x_1 x_2 \ldots}\,, \quad y =\overline{0.\, y_1 y_2 \ldots}
\end{equation*}
\notag
$$
есть их двоичная запись, то число $z=x \oplus y$ записывается в виде
$$
\begin{equation*}
z =\overline{0.\, z_1 z_2 \ldots}\,,\quad \text{где } z_i=x_i +y_i\in \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество является самоподобным фракталом размерности 2, известным как тетраэдр Серпинского. Теорема 6.2. Предположим, что $n=3$, $k=2$, $X_i=[0,1]$, $i=1,2,3$, и пусть $\mu_{xy}=\lambda_{xy}$, $\mu_{xz}=\lambda_{xz}$, $\mu_{yz}=\lambda_{yz}$ – двумерные меры Лебега на $[0,1]^2$ и $h(x,y,z)=xyz$. Пространство $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ состоит из вероятностных мер на $[0,1]^3$, проекции которых на координатные гиперплоскости являются мерами Лебега на $[0,1]^2$. Тогда существует единственное решение $(3,2)$-задачи Оно сосредоточено на тетраэдре Серпинского $S$. Идея доказательства того, что мера на $S$ действительно является решением, вытекает из следующего наблюдения. Пусть $T_1(x,y,z)=(1-x,y,z)$. Аналогично определяем $T_2$, $T_3$. Для всякой меры $\pi \in \Pi(\lambda_{xy},\lambda_{xz},\lambda_{yz})$ имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(\pi\circ T^{-1}_1)&=\int_{\mathbb{R}^3} xyz\, \pi\circ T^{-1}_1(dx\, dy\, dz)=\int_{\mathbb{R}^3} (1-x)yz\, \pi(dx\, dy\, dz) \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}{yz}\, d\lambda_{yz}- \int_{\mathbb{R}^3} xyz\, \pi(dx\, dy\, dz)=\frac{1}{4}-K(\pi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, отображения $T_1 \circ T_2$, $T_1 \circ T_3$ и $T_2 \circ T_3$ сохраняют значение функционала $K(\pi)$. Так как эти отображения сохраняют множество $\Pi(\lambda_{xy},\lambda_{xz},\lambda_{yz})$, то найдется решение $\pi$, инвариантное относительно отображений $T_1\circ T_2$, $T_1 \circ T_3$, $T_1 \circ T_3$. Разобьем $[0,1]^3$ на два множества $S_1$ и $S_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_1=\biggl[0,\frac{1}{2}\biggr]^3 \cup \biggl[\frac{1}{2}\,,1\biggr]^2 \times \biggl[0,\frac{1}{2}\biggr]\cup \biggl[0,\frac{1}{2}\biggr] \times \biggl[\frac{1}{2}\,,1\biggr]^2\cup \biggl[\frac{1}{2}\,,1\biggr] \times \biggl[0,\frac{1}{2}\biggr] \times \biggl[\frac{1}{2}\,,1\biggr], \\ S_2=[0,1]^3 \setminus S_1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $S_1$ и $S_2$ инвариантны относительно операторов $T_1 \circ T_2$, $T_1 \circ T_3$, $T_2 \circ T_3$ и выполнены равенства $S_2= T_{1}(S_1)= T_{2}(S_1)=T_{3}(S_1)$. Далее рассмотрим меры $\widehat{\pi}=\pi\big|_{S_2}$ и $\widetilde{\pi}=\widehat{\pi} \circ T^{-1}_1$. Из симметричности $\pi$ вытекает, что эти меры имеют одинаковые проекции на координатные плоскости $O_{xy}$, $O_{xz}$ и $O_{yz}$. Теперь несложно доказать, что
$$
\begin{equation*}
\int_{S_2} xyz\, \widehat{\pi}(dx\, dy\, dz) \geqslant \int_{S_1} xyz\, \widetilde{\pi}(dx\, dy\, dz).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда вытекает, что носитель $\pi$ содержится в $S_1$ (иначе функционал $K$ достигал бы меньшего значения на мере $\pi-\widehat{\pi}+\widetilde{\pi}$). Применяя это рассуждение к каждому из четырех кубиков, составляющих $S_1$, получаем, что существует решение с носителем в множестве $S(k)$ (где $S(1)=S_1$), являющемся объединением $4^k$ кубов объема $1/8^k$. Переходя к пределу $k \to \infty$, получаем, что существует решение с носителем $S=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} S(k)$. Множество $S$ и есть тетраэдр Серпинского. Модифицируя рассуждение выше, можно доказать единственность решения. В работе [75] доказана следующая теорема двойственности (см. более общий результат в [76]). Теорема 6.3. Пусть $X_1,\dots,X_n$ – компактные метрические пространства, $h \geqslant 0$ – непрерывная функция стоимости на $X$. Предположим, что множество $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ непусто. Тогда где супремум берется по всем функциям $f_\alpha \in L^1(\mu_\alpha)$, $f(x)=\displaystyle\sum_{\alpha \in \mathcal{I}_{nk}}f_\alpha(x_\alpha)$. Решение задачи, двойственной к задаче из теоремы 6.2, описано в следующей теореме. Открыт вопрос о единственности этого решения. Теорема 6.4. Пусть $\mu_{xy}=\lambda_{xy}$, $\mu_{xz}=\lambda_{xz}$, $\mu_{yz}=\lambda_{yz}$ – двумерные меры Лебега на $[0,1]^2$ и $h(x,y,z)=xyz$. Тогда тройка функций $f(x,y)$, $f(x,z)$, $f(y,z)$, где является решением двойственной задачи. Решение двойственной задачи, данное в теореме 6.4, связано с решением $\pi$ прямой задачи следующим образом: мера $\pi$ сосредоточена на графике отображения $(x,y) \mapsto f_{xy}(x,y)$, т. е. $\pi$-почти всюду причем $f$ обладает почти всюду неотрицательной смешанной производной $f_{xy}$, но производные $f_{xx}$, $f_{yy}$ не существуют (в классическом смысле).Отметим, что в случае мультистохастической задачи вопрос непустоты множества $\Pi(\{\mu_{\alpha}\})$ нетривиален. Ясно, что для этого система мер $\mu_{\alpha}$ должна обладать очевидным свойством согласованности: для всех $\alpha,\beta \in \mathcal{I}_{nk}$ должно выполняться равенство $\mu_\alpha\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}= \mu_\beta\circ \mathrm{Pr}_{\alpha \cap \beta}^{-1}$. Этого свойства недостаточно для непустоты $\Pi(\{\mu_{\alpha}\})$, но достаточно для существования заряда (знакопеременной меры) $P$ со свойством $P\circ \mathrm{Pr}_{\alpha}^{-1}=\mu_{\alpha}$. Существуют “двойственные” достаточные условия непустоты этого множества, которые трудно проверить явно. Одно из конструктивных достаточных условий дано в следующей теореме. Теорема 6.5. Пусть $\nu_i \in \mathcal{P}(X_i)$, $1 \leqslant i \leqslant n$. Для всех $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$ положим $\nu_\alpha=\displaystyle\prod_{i \in \alpha}\nu_i$. Пусть $\mu_\alpha$ – согласованный набор вероятностных мер на пространствах $X_\alpha$. Предположим, что мера $\mu_\alpha$ абсолютно непрерывна относительно $\nu_\alpha$ для всех $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$. Пусть $p_\alpha$ – плотность $\mu_\alpha$ относительно $\nu_\alpha$. Предположим, что существуют такие положительные константы $m$ и $M\geqslant m$, что $m \leqslant p_\alpha \leqslant M$ $\nu_\alpha$-п. в. для всех $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$. Тогда найдется такая константа $\lambda_{nk} > 1$, что если $M/m \leqslant \lambda_{nk}$, то множество $\Pi(\{\mu_\alpha\})$ непусто. Пример 6.6. Пусть $\nu_x$, $\nu_y$, $\nu_z$ – некоторые вероятностные меры на одномерных осях $O_x$, $O_y$, $O_z$ и Для $c>2$ множество $\Pi(\mu_{xy},\mu_{yz},\mu_{xz})$ может быть пустым. Определение 6.7. Согласованный набор вероятностных мер $\mu_\alpha$, $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$, называется разложимым, если существуют набор вероятностных мер $\nu_i$ на пространствах $X_i$ и объединяющая мера $\mu \in \Pi(\{\mu_\alpha\})$, заданная ограниченной и отделенной от нуля плотностью относительно меры $\nu_1 \otimes \nu_2 \otimes \cdots \otimes \nu_n$. Приведем простые достаточные условия существования двойственного решения. Теорема 6.8. Пусть $X_i$ – компактные метрические пространства, $h\geqslant 0$ – непрерывная функция стоимости на $X$. Пусть $\{\mu_\alpha\}$ – разложимый набор вероятностных мер на пространствах $X_\alpha$, $\alpha \in \mathcal{I}_{nk}$. Тогда где максимум берется по всем наборам функций $f_\alpha \in L^1(\mu_\alpha)$ со значениями в множестве $[-\infty,+\infty)$, для которых $\displaystyle\sum_{\alpha \in \mathcal{I}_{nk}}f_\alpha(x_\alpha) \leqslant h(x)$ при всех $x \in X$. Отметим, что при отсутствии условия разложимости двойственная задача может не иметь решения даже в дискретном случае. Наконец, для ограниченной функции стоимости в некоторых ситуациях оказывается возможным доказать ограниченность решения. Теорема 6.9. Пусть $X=Y=Z=\mathbb{N}$ и $\mu_x$, $\mu_y$, $\mu_z$ – вероятностные меры на $X$, $Y$, $Z$. Рассмотрим $(3,2)$-задачу с и функцией стоимости $h$ со значениями в $[0,1]$. Пусть функция является решением двойственной задачи. Тогда $F\geqslant-12$. 7. Оптимальная транспортировка с параметрамиПредставляет интерес рассмотрение транспортных задач с параметром, от которого могут зависеть маргиналы и функция стоимости, а также иные данные задачи. Такие задачи изучались в работах [63], [129], [134], [96], [34]–[36]. Первые возникающие здесь вопросы – измеримость и непрерывность решений и минимумов по параметру. Измеримость имеет место при весьма широких условиях. Для упрощения технических деталей мы остановимся на случае, когда $X$ и $Y$ – вполне регулярные суслинские пространства, например полные сепарабельные метрические пространства. В задачах без ограничений на плотности планов пространства мер наделяются слабыми топологиями и порожденными ими борелевскими $\sigma$-алгебрами $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X))$, $\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y))$, $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y))$. При наличии ограничения на плотности естественно использовать топологии, связанные с пространством $L^1$, о чем уже говорилось выше. Пусть $(T,\mathcal{T})$ – измеримое пространство, отображение $t\mapsto \mu_t$, $T\to \mathcal{P}(X)$, является $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X)))$-измеримым, отображение $t\mapsto \nu_t$, $T\to \mathcal{P}(Y)$, является $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(Y)))$-измеримым. В нашей ситуации такая измеримость сводится к $\mathcal{T}$-измеримости числовых функций для всех борелевских множеств $A\subset X$, $B\subset Y$.В наиболее важных примерах $(T,\mathcal{T})$ – метрическое пространство с борелевской $\sigma$-алгеброй, поэтому речь идет о борелевской измеримости указанных отображений. Функция стоимости $h\geqslant 0$ на $T\times X\times Y$ предполагается измеримой относительно $\mathcal{B}(T)\otimes\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)$. Сначала рассмотрим случай, когда $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, но $(T,\mathcal{T})$ – общее измеримое пространство. Теорема 7.1. Пусть $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, при всех $t\in T$ функции стоимости $h_t\colon (x,y)\mapsto h(t,x,y)$ непрерывны, а значения $K(t):=K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ конечны. Тогда функция $K$ является $\mathcal{T}$-измеримой. Кроме того, существуют такие оптимальные меры $\sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для $h_t$, что отображение $t\mapsto \sigma_t$ измеримо относительно $\mathcal{T}$ и $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y))$. Отметим, что в [34; теорема 4.1], где доказан этот результат, в формулировке имеется опечатка: вместо $\mathcal{T}$-измеримоcти говорится о $(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y)))$-измеримости, которая относится к последнему утверждению теоремы. Заметим также, что ввиду непрерывности по $(x,y)$ в этой теореме измеримость по совокупности переменных следует из измеримости по $t$ при фиксированных $x$, $y$. В следующей теореме ослаблено предположение о непрерывности функции стоимости, но $T$ должно быть суслинским пространством. Теорема 7.2. Пусть $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, $T$ – суслинское пространство, $t\mapsto \mu_t$ и $t\mapsto \nu_t$ – борелевские отображения со значениями в пространствах $\mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(Y)$ соответственно, функция $h\geqslant 0$ является $\mathcal{B}(T)\otimes\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)$-измеримой, причем функции $h_t$ полунепрерывны снизу, а соответствующие величины $K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ конечны. Тогда функция $t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ борелевски измерима и существуют такие оптимальные меры $\sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для $h_t$, что отображение $t\mapsto \sigma_t$ измеримо относительно $\mathcal{B}(T)$ и $\mathcal{B}(\mathcal{P}(X\times Y))$. Теорема 7.3. Предположим, что $X$ и $Y$ – вполне регулярные суслинские пространств, $T$ – суслинское пространство и $h\colon T\times X\times Y \to [0,+\infty)$ – такая борелевская функция, что функция $h_t$ непрерывна при каждом $t$. Пусть $t\mapsto\mu_t$ и $t\mapsto\nu_t$ – такие борелевские отображения со значениями в $\mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(Y)$ соответственно, что $K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)<\infty$ при всех $t$. Тогда функция $t\mapsto K(t)$ борелевская и существуют оптимальные меры $\sigma_t\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для $h_t$ такие, что отображение $t\mapsto \sigma_t$ борелевски измеримо. Более того, существует такая последовательность борелевских отображений $\Phi_n\colon T\to \mathcal{P}(X\times Y)$, что для каждого $t\in T$ последовательность $\{\Phi_n(t)\}$ плотна в выпуклом компактном множестве $M_t$ всех $h_t$-оптимальных мер в множестве $\Pi(\mu_t,\nu_t)$. Хотя эти теоремы охватывают необходимые для приложений пространства, было бы интересно выяснить, верна ли теорема 7.1 для суслинских пространств $X$ и $Y$ и полунепрерывных снизу функций стоимости (такой результат давал бы все три теоремы как частные случаи). В [34] в случае суслинских пространств и полунепрерывных снизу функций стоимости получены результаты о более слабой измеримости относительно $\sigma$-алгебры, порожденной суслинскими множествами. В работе [35] доказаны следующие теоремы о зависимости решений нелинейной задачи от параметра. Напомним, что лузинские пространства – образы полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных взаимно однозначных отображениях (это подкласс суслинских пространств). Теорема 7.4. Пусть $X$ и $Y$ – лузинские вполне регулярные пространства (например, полные сепарабельные метрические пространства). Предположим, что заданы борелевские отображения Более того, существует последовательность борелевских отображений $\xi_n$ из $T$ в $\mathcal{P}(X\times Y)$, для которых при каждом $t$ последовательность мер $\xi_n(t)$ всюду плотна в множестве оптимальных планов для тройки $(\mu_t,\nu_t,h_t)$. Теорема 7.5. Предположим, что в предыдущей теореме функция стоимости $h$ имеет вид где функция $H$ задана на $T\times X\times \mathcal{P}(Y)$, функции полунепрерывны снизу, причем функции $p\mapsto H(t,x,p)$ выпуклы при всех $t$, $x$. Тогда остается в силе заключение предыдущей теоремы. Наконец, параметрическая версия транспортной задачи с ограничением на плотности планов рассмотрена в [30], где получен следующий результат. Пусть даны последовательность измеримых пространств $(X_n,\mathcal{B}_n)$ и вероятностная мера $\lambda$ на произведении $X=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty X_n$, наделенном произведением $\mathcal{B}$ данных $\sigma$-алгебр $\mathcal{B}_n$. Обозначим через $\lambda_n$ проекцию $\lambda$ на $X_n$. Будем предполагать, что мера $\lambda$ сепарабельна, т. е. сепарабельно $L^1(\lambda)$. Тогда сепарабельны и меры $\lambda_n$. Для каждого $n$ зафиксируем последовательность ограниченных $\mathcal{B}_n$-измеримых функций $\varphi_{n,j}$, всюду плотную в $L^1(\lambda_n)$. Кроме того, зафиксируем счетный набор множеств $A_j\in\mathcal{B}$ с тем свойством, что всякое множество из $\mathcal{B}$ совпадает с каким-то из $A_j$ с точностью до множества $\lambda$-меры нуль. Такой набор существует в силу сепарабельности меры $\lambda$. Предположим, что $(T,\mathcal{T})$ – измеримое пространство, причем для каждого $t\in T$ даны вероятностная мера $\mu_{n,t}$ на $\mathcal{B}_n$, абсолютно непрерывная относительно $\lambda_n$, неотрицательная $\mathcal{B}$-измеримая функция $h_t$ на $X$ и неотрицательная $\lambda$-интегрируемая функция $\Phi_t$ на $X$, для которых $\mathcal{B}\otimes \mathcal{T}$-измеримы функции а отображения $t\mapsto \mu_{n,t}$ измеримы в следующем смысле: функции $\mathcal{T}$-измеримы для всех $n$ и $j$. Если $X_n$ и $T$ – сепарабельные метрические пространства и $\mathcal{T}=\mathcal{B}(T)$, то достаточно предполагать, что меры $\mu_{n,t}$ зависят от $t$ борелевски, т. е. функции $t\mapsto \mu_{n,t}(B)$ являются борелевскими для борелевских множеств $B$.Плотность Радона–Никодима меры $\mu_{n,t}$ относительно меры $\lambda_{n}$ обозначим через $\varrho_{n,t}$, т. е. При фиксированном $t\in T$ обозначим через $\mathcal{L}_t$ множество таких вероятностных плотностей $\psi\in L^1(\lambda)$, что $\psi\leqslant \Phi_t$ почти всюду относительно $\lambda$, причем проекция меры $\psi\cdot \lambda$ на $X_n$ равна $\mu_{n,t}$ при всех $n$. Последнее условие на проекции можно записать как где $\mathsf{E}(\psi\mid\mathcal{B}_n)$ – условное математическое ожидание функции $\psi$ относительно меры $\lambda$ и $\sigma$-алгебры $\mathcal{B}_n$, т. е. $\mathcal{B}_n$-измеримая функция, интегрируемая относительно $\lambda$, для которой
$$
\begin{equation*}
\int_{E\times Y_n} \psi\, d\lambda= \int_{E\times Y_n} \mathsf{E}(\psi\mid\mathcal{B}_n)\, d\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $E\in \mathcal{B}_n$, где $Y_n=\displaystyle\prod_{i\ne n} X_i$. При наших условиях это равносильно равенствам
$$
\begin{equation}
\int_X \varphi_{n,j} \psi\, d\lambda= \int_X \varphi_{n,j} \varrho_{n,t}\, d\lambda \quad \forall\, j,n\in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Оценка $\psi\leqslant \Phi_t$ в $L^1(\lambda)$ равносильна счетному набору скалярных неравенств
$$
\begin{equation}
\int_{A_j} \psi\, d\lambda \leqslant \int_{A_j} \Phi_t\, d\lambda \quad \forall\, j \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Таким образом, речь идет о существовании вероятностных плотностей $f_t$, удовлетворяющих счетному набору линейных ограничений (7.1) и (7.2) и минимизирующих при каждом $t$ интегралы с функциями $h_t$ по мере $\lambda$, причем требуется также совместная измеримость $f_t(x)$ на $X\times T$. Каждое множество $\mathcal{L}_t$ компактно в слабой топологии, ибо оно очевидным образом слабо замкнуто и содержится в множестве неотрицательных функций, не превосходящих $\Phi_t$, а последнее слабо компактно в силу равномерной интегрируемости (см. [25; § 4.7(iv)]). Если плотности $\varrho_{n,t}$ ограничены числом $C$, то достаточным условием непустоты $\mathcal{L}_t$ является оценка $\Phi_t\geqslant C$. Если сомножителей всего два и $\lambda=\lambda_1\otimes\lambda_2$, то достаточно иметь $\varrho_{1,t}(x_1)\varrho_{2,t}(x_2)\leqslant \beta_t(x_1,x_2)$. Если $\mathcal{L}_t$ непусто и есть функция $v_t\in \mathcal{L}_t$, для которой $h_tv_t\in L^1(\lambda)$, то функционал имеет конечный минимум $M(h_t,\Phi_t)$ на множестве
$$
\begin{equation*}
\mathcal{K}_t=\{v\in \mathcal{L}_t\colon vh_t\in L^1(\lambda)\},
\end{equation*}
\notag
$$
которое выпукло и компактно в слабой топологии. Поэтому появляется непустое выпуклое слабо компактное множество оптимальных мер
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}_t=\biggl\{v\in \mathcal{K}_t\colon M(h_t,\Phi_t)= \int_X vh_t\, d\lambda\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\sigma$-алгебры $\mathcal{T}$ обозначим через $\mathcal{S}(\mathcal{T})$ класс множеств, полученных из $\mathcal{T}$ операцией Суслина (см. [25]), а через $\sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T}))$ порожденную этим классом $\sigma$-алгебру. Пусть $\widehat{\mathcal{T}}$ есть порожденный $\mathcal{T}$ класс универсально измеримых множеств, т. е. пересечение пополнений $\mathcal{T}$ по всем вероятностным мерам на $\mathcal{T}$. Как известно (см. [25; теорема 1.10.5]), $\sigma(\mathcal{S}(\mathcal{T}))\subset \widehat{\mathcal{T}}$. Теорема 7.6. Пусть $T$ – непустое суслинское пространство с его борелевской $\sigma$-алгеброй $\mathcal{T}=\mathcal{B}(T)$. Предположим, что $\mathcal{K}_t$ непусто при всех $t$. Тогда найдутся такие функции $f_t\in \mathcal{K}_t$, что меры $f_t\cdot\lambda$ оптимальны для функций $h_t$, т. е. $f_t\in \mathcal{M}_t$, причем функция $(x,t)\mapsto f_t(x)$ измерима относительно $\mathcal{B}\otimes\mathcal{T}$. Более того, найдется последовательность функций $f_{n,t}$ с теми же свойствами, при каждом $t$ плотная в $\mathcal{M}_t$. Кроме того, $\mathcal{T}$-измерима функция В случае общего измеримого пространства $(T,\mathcal{T})$ функции $f_t\in \mathcal{M}_t$ можно выбрать так, что функция $(x,t)\mapsto f_t(x)$ будет $\mathcal{B}\otimes\sigma(\mathcal{S}(\widehat{\mathcal{T}}))$-измеримой, а функция $t\mapsto M(h_t,\beta_t)$ будет $\widehat{\mathcal{T}}$-измеримой. Результаты, относящиеся к непрерывности по параметру в задачах оптимальной транспортировки, имеются в работах [23], [72], [121], [79], [36]. В последней работе получены наиболее общие результаты. Однако для упрощения формулировок мы приведем их в меньшей общности. Пусть $X$ и $Y$ – полные сепарабельные метрические пространства, $T$ – метрическое пространство, для каждого $t\in T$ заданы меры $\mu_t\in \mathcal{P}(X)$, $\nu_t\in \mathcal{P}(Y)$, причем отображения $t\mapsto\mu_t$ и $t\mapsto\nu_t$ непрерывны в слабой топологии. Кроме того, пусть $h\colon T\times X\times Y\to [0,+\infty)$ – непрерывная функция. Положим Теорема 7.7. Если функция $h$ ограничена, то функция $t\mapsto K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$ непрерывна на пространстве $T$. Следствие 7.8. Если в ситуации предыдущей теоремы для каждого $t$ имеется единственный оптимальный план $\sigma_t$, то он непрерывен по $t$. Однако при отсутствии единственности может оказаться, что невозможно выбрать оптимальные планы, непрерывно зависящие от параметра $t$. Простые примеры такого рода построены в [36]. В частности, можно взять меры $\mu_t$ и $\nu_t$ равными мере Лебега на $[0,1]$ (т. е. они не зависят от $t$) и функцию стоимости
$$
\begin{equation*}
h_t(x,y)=\begin{cases} \min(|x-y|,|x+y-1|+t), & t \geqslant 0, \\ \min(|x-y|-t,|x+y-1|),& t < 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, можно сказать, что ситуация с непрерывностью оптимальной стоимости аналогична случаю измеримости, а с непрерывным выбором оптимального плана возникает отличие. Некоторую компенсацию дает использование приближенных оптимальных планов. Для $\varepsilon>0$ меру $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ будем считать $\varepsilon$-оптимальной для функции стоимости $h$, если
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times Y} h\, d\sigma \leqslant K_h(\mu,\nu)+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 7.9. При каждом фиксированном $\varepsilon>0$ существуют $\varepsilon$-оптимальные меры $\sigma_t^\varepsilon\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для функций стоимости $h_t$, непрерывные по $t$ в слабой топологии. Для оптимальных отображений Монжа также можно ставить вопрос об измеримой или непрерывной зависимости от параметра. Например, следующий результат из [36] дает непрерывность отображения Монжа по параметру в метрике сходимости по вероятности. Предложение 7.10. Пусть $X\!$ – метрическое пространство, $\mu_n,\nu_n\!\in\mathcal{P}(X)$ при $n\in \mathbb{Z}_+$, $\mu_n\to\mu_0$ по вариации. Предположим, что даны такие борелевские отображения $T_n\colon X\to X$, что меры $\sigma_n$, равные образам мер $\mu_n$ при отображениях $x\mapsto (x,T_n(x))$, слабо сходятся к $\sigma_0$. Тогда отображения $T_n$ сходятся к $T_0$ по мере $\mu_0$. Следствие 7.11. Пусть $X=Y$ – полное сепарабельное метрическое пространство, меры $\mu_n\in \mathcal{P}(X)$ сходятся к мере $\mu_0$ по вариации, меры $\nu_n\in \mathcal{P}(X)$ слабо сходятся к мере $\nu_0$, непрерывные функции стоимости $h_n\geqslant 0$ на $X^2$ равномерно ограничены и на компактах равномерно сходятся к функции $h_0$, причем при всех $n\geqslant 0$ оптимальные планы Канторовича для троек $(\mu_n,\nu_n,h_n)$ единственны и порождаются единственными оптимальными отображениями Монжа $T_n$. Тогда отображения $T_n$ сходятся к $T_0$ по мере $\mu_0$. Ранее в работах [8], [61], [105] близкие результаты были получены для некоторых специальных случаев, связанных с исследованием условий существования и единственности отображений Монжа. 8. Метрики и топологии типа КанторовичаНапомним (см. [65]), что топология всякого вполне регулярного топологического пространства $X$ порождается семейством псевдометрик $\Pi$ (псевдометрика отличается от метрики тем, что может обращаться в нуль на паре различных элементов). Для псевдометрики $d$ на пространстве $X$ обозначим через $\operatorname{Lip}_1(d)$ множество $1$-липшицевых функций относительно $d$, т. е. таких функций $f$ на $X$, что
$$
\begin{equation*}
|f(x)-f(y)|\leqslant d(x,y) \quad \forall\, x,y\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственным аналогом нормы Канторовича–Рубинштейна служит полунорма Канторовича–Рубинштейна на пространстве радоновских мер $\mathcal{M}(X)$ на $X$, заданная формулой
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{{\rm KR},d}=\sup \biggl\{ \int f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d), \ |f|\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На подпространстве $\mathcal{M}_d^1(X)$ таких мер $\mu$, что для некоторого (а тогда и для всякого) $x_0\in X$ функция $d(x,x_0)$ интегрируема относительно полной вариации меры $\mu$, введем полунорму Канторовича
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{{\rm K},d}=\sup\biggl\{ \int f\, d\mu\colon f\in \operatorname{Lip}_1(d),\, f(x_0)=0\biggr\}+|\mu(X)|,
\end{equation*}
\notag
$$
совершенно аналогичную норме Канторовича в случае метрического пространства. Порождаемые этими наборами полунорм топологии будем называть топологиями Канторовича–Рубинштейна и Канторовича и обозначать через $\tau_{\rm KR}$ и $\tau_{\rm K}$ соответственно. Теорема 8.1. Предположим, что топология в $X$ порождена семейством псевдометрик $\Pi$. Тогда слабая топология на множестве неотрицательных мер $\mathcal{M}^+(X)$ порождается семейством полунорм $\|\,\cdot\,\|_{{\rm KR}, p}$, $p\in \Pi$. Кроме того, слабая топология порождается этими полунормами на всяком ограниченном по вариации равномерно плотном множестве в $\mathcal{M}(X)$. Теорема 8.2. Предположим, что вполне регулярное пространство $X$ сепарабельно или обладает счетным набором непрерывных функций, разделяющих точки. Тогда слабая топология совпадает с топологией $\tau_{\rm KR}$ на слабо компактных множествах в $\mathcal{M}(X)$. Отметим простое достаточное условие сходимости в топологии $\tau_{\rm K}$. Для семейства псевдометрик $\Pi$, порождающего топологию пространства $X$, обозначим через $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$ класс мер $\mu\in \mathcal{M}(X)$, для которых функции $x\mapsto p(x,x_0)$ при $p\in\Pi$ интегрируемы относительно $|\mu|$ для фиксированного $x_0\in X$ (выбор $x_0$ не влияет на определение этого класса). Теорема 8.3. Предположим, что направленность $\{\mu_\alpha\}\subset \mathcal{M}^{\Pi}(X)$ сходится в топологии $\tau_{\rm KR}$ к мере $\mu\in\mathcal{M}^{\Pi}(X)$ (для неотрицательных мер или мер из ограниченного равномерно плотного семейства это равносильно слабой сходимости). Если всякая псевдометрика $p$ из $\Pi$ удовлетворяет условию равномерной интегрируемости то $\{\mu_\alpha\}$ сходится в топологии $\tau_{\rm K}$. В случае вероятностных мер это условие является также и необходимым. Наконец, в случае счетной последовательности мер вместо сходимости в топологии $\tau_{\rm KR}$ достаточно иметь слабую сходимость. В примере 8.6 ниже мы увидим, что для направленностей знакопеременных мер недостаточно вместо сходимости в топологии $\tau_{\rm KR}$ иметь слабую сходимость. Аналогичный результат верен для топологии $\tau_{{\rm K},q}$ при $q\geqslant 1$, которая вводится на подклассе $\mathcal{M}^{\Pi,q}(X)$ в $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$, состоящем из мер $\mu$, для которых относительно $|\mu|$ интегрируемы все функции $x\mapsto p(x,x_0)^q$ при $p\in\Pi$. Эта топология порождается полунормами
$$
\begin{equation*}
K_{p,q}(\mu)=\|(1+p(\,\cdot\,,x_0)^q)\mu\|_{{\rm KR},p},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p\in \Pi$ и $x_0$ – фиксированная точка. Теорема 8.4. Пусть направленность мер $\mu_\alpha\in \mathcal{M}^{\Pi,q}(X)$, где $q\geqslant 1$, сходится к мере $\mu\in \mathcal{M}(X)$ в топологии $\tau_{\rm KR}$ (для неотрицательных мер или мер из ограниченного равномерно плотного семейства это равносильно слабой сходимости). Если для каждой псевдометрики $p$ из $\Pi$ верно равенство то $\mu\in \mathcal{M}^{\Pi,q}(X)$ и $\{\mu_\alpha\}$ сходится к $\mu$ в топологии $\tau_{{\rm K},q}$. Если меры $\mu_\alpha\in \mathcal{M}^1$ на локально выпуклом пространстве $X$ имеют барицентры $b_\alpha$ и сходятся в топологии $\tau_{\rm K}$ к мере $\mu\in \mathcal{M}^1$ с барицентром $b$, то имеет место сходимость барицентров $b_\alpha\to b$. В самом деле, для всякой непрерывной полунормы $p$ на $X$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
p(b_\alpha -b)\leqslant \|\mu_\alpha-\mu\|_{{\rm K},p},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку для всякого непрерывного линейного функционала $l$ на $X$ с $l\leqslant p$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
l(b_\alpha -b)=\int_X l\, d(\mu_\alpha-\mu)\leqslant \|\mu_\alpha-\mu\|_{{\rm K},p},
\end{equation*}
\notag
$$
ибо $l\in \operatorname{Lip}_{1}(p)$. По теореме Хана–Банаха супремум $l(b_\alpha-b)$ по функционалам с оценкой $l\leqslant p$ есть $p(b_\alpha-b)$. Применительно к сходимости барицентров получаем такое утверждение. Следствие 8.5. Если последовательность радоновских мер $\mu_n$ на локально выпуклом пространстве $X$ сходится слабо к радоновской мере $\mu_n$, причем меры $\mu_n$ имеют барицентры $b_{n}$, мера $\mu$ имеет барицентр $b$, а каждая непрерывная полунорма равномерно интегрируема относительно последовательности $\mu_n$ в указанном в теореме 8.3 смысле, то $b_{n}\to b$. В случае вероятностных мер то же самое верно и для направленностей. Следующий пример показывает, что последнее утверждение следствия может быть неверным для направленностей знакопеременных мер, что в силу сказанного выше дает контрпример и для последнего утверждения теоремы 8.3 в случае направленностей. Пример 8.6. В банаховом пространстве $X=l^1$ существует ограниченная по вариации направленность знакопеременных дискретных мер на единичном шаре, слабо сходящихся к нулевой мере и имеющих барицентры единичной длины. Для построения зафиксируем конечный набор ограниченных непрерывных функций $f_1,\dots,f_n$ на $X$. Возьмем следующие векторы в $\mathbb{R}^n$: где $\{e_j\}$ – стандартный базис в $l^1$. Векторы $v_j$ линейно зависимы, поэтому найдутся числа $c_1,\dots,c_{n+1}$, не равные нулю одновременно, для которых иначе говоря, Можно считать, что $\displaystyle\sum_j |c_j|=1$. Для всякой базисной окрестности нуля в слабой топологии вида возьмем дискретную меру По построению имеем $\mu_{U}\in U$, причем эта мера сосредоточена на единичной сфере. Множество базисных окрестностей является направленным по обратному включению, когда окрестность $V$ считается большей, чем окрестность $U$, если $V\subset U$. По определению построенная направленность мер $\mu_U$ слабо сходится к нулю. Среднее меры $\mu_U$ равно $\displaystyle\sum_j c_j e_j$, поэтому $\|m_{\mu_U}\|=\displaystyle\sum_{j=1}^{n+1}|c_j|=1$.Имеются простые достаточные условия компактности множеств из $\mathcal{M}(X)$ в топологии $\tau_{\rm KR}$ и множеств из $\mathcal{M}^{\Pi}(X)$ в топологии $\tau_{\rm K}$. Теорема 8.7. Пусть множество $S\subset \mathcal{M}(X)$ ограничено по вариации и равномерно плотно. Тогда $S$ имеет компактное замыкание в топологии $\tau_{\rm KR}$. Если $S\subset \mathcal{M}^{\Pi}(X)$ и всякая псевдометрика $p$ из $\Pi$ удовлетворяет условию равномерной интегрируемости при некотором $x_0\in X$, то $S$ содержится в компакте в топологии $\tau_{\rm K}$.Следующий результат из [3] показывает, что равномерно плотное множество радоновских мер на банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой остается равномерно плотным относительно некоторой более сильной нормы, которая также равномерно интегрируема (так что при условии ограниченности по вариации это семейство содержится в компакте по норме Канторовича). Более того, это семейство равномерно плотно на некотором компактно вложенном сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве с равномерно интегрируемой нормой. Теорема 8.8. Пусть $X$ – пространство Фреше и $\mathcal{M}$ – равномерно плотное семейство радоновских мер на $X$, причем все полунормы $p_n$ из некоторой порождающей топологию в $X$ последовательности равномерно интегрируемы по мерам из $\mathcal{M}$, т. е. Тогда существует линейное подпространство $E\subset X$ со следующими свойствами: (i) пространство $E$ с некоторой нормой $\|{\,\cdot\,}\|_E$ является сепарабельным рефлексивным банаховым с замкнутым единичным шаром, компактным в исходном пространстве $X$; (ii) семейство $\mathcal{M}$ сосредоточено на $E$ и является равномерно плотным на $E$ с нормой $\|{\,\cdot\,}\|_E$, причем эта норма равномерно интегрируема по мерам из семейства $\mathcal{M}$. Метрики типа Канторовича и Канторовича–Рубинштейна позволяют ввести удобные расстояния Хаусдорфа на множествах мер. Напомним, что расстояние Хаусдорфа между ограниченными замкнутыми подмножествами $A$ и $B$ метрического пространства $(M,d)$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
H(A,B)=\max\Bigl(\,\sup_{x\in A}d(x,B),\sup_{y\in B}d(y,A)\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Для наших целей это расстояние интересно при рассмотрении пространства вероятностных мер на метрическом пространстве $(X,d)$ и множества транспортных планов в пространстве $\mathcal{P}(X\times Y)$ с метрикой Канторовича–Рубинштейна $d_{\rm KR}$, порожденной естественной метрикой $d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)$ на $X\times Y$, где $d_X$ – метрика на $X$ и $d_Y$ – метрика на $Y$. Расстояния Хаусдорфа на пространствах мер, порожденные метриками Канторовича–Рубинштейна, будем обозначать через $H_{\rm KR}$. Аналогично через $H_{\rm K}$ будем обозначать расстояния Хаусдорфа на пространствах мер с конечным первым моментом, порожденные метриками Канторовича. С топологической точки зрения принципиальной разницы между двумя такими расстояниями нет, поскольку всякую метрику можно заменить ограниченной метрикой, порождающей ту же топологию. Топология на пространстве мер при этом тоже не изменится. В случае множества $\mathcal{P}^p(X\times Y)$ с метрикой $W_p$ расстояние Хаусдорфа $H_{\rm K}^p$ задается на пространстве замкнутых подмножеств пространства $\mathcal{P}^p(X\times Y)$. Для общих вполне регулярных пространств $X$ и $Y$ возникают аналогичные конструкции. Топологии этих пространств могут быть заданы семействами псевдометрик $\Psi_X$ и $\Psi_Y$. Топология произведения $X\times Y$ порождается псевдометриками
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, ((x_1,y_1),(x_2,y_2))\mapsto d_1\oplus d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))= d_1(x_1,x_2)+d_2(y_1,y_2), \\ d_1\in \Psi_X,\quad d_2\in \Psi_Y. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На пространствах вероятностных мер на $X$, $Y$, $X\times Y$ описанным выше образом возникают псевдометрики Канторовича–Рубинштейна $d_{{\rm KR},d_1}$ , $d_{{\rm KR},d_2}\kern-1pt$, $d_{{\rm KR},d_1\oplus d_2}$ , Канторовича $d_{{\rm K},d_1}$ и т. д. Например, для вполне регулярного пространства $X$ с заданным набором псевдометрик $\Psi_X$, порождающим топологию, на множестве $\mathcal{P}^\Psi(X)$ вероятностных радоновских мер на $X$, относительно которых интегрируемы функции $x\mapsto d(x,x_0)$ при всех $d\in \Psi_X$, заданы псевдометрики Канторовича $d_{{\rm K},d}$. На пространстве замкнутых подмножеств пространства мер $\mathcal{P}(X\times Y)$ получаем псевдометрики Хаусдорфа вида $H_{{\rm K},d_1\oplus d_2}$, порождаемые псевдометриками $d_1$ на $X$ и $d_2$ на $Y$. Теорема 8.9. Пусть $\mu_1,\mu_2\in \mathcal{P}(X)$, $\nu_1,\nu_2\in \mathcal{P}(Y)$, $\alpha$ и $\beta$ – непрерывные псевдометрики на $X$ и $Y$ соответственно. Тогда для всякой меры $\sigma_1\in \Pi(\mu_1,\nu_1)$ найдется такая мера $\sigma_2\in \Pi(\mu_2,\nu_2)$, что Оценки, связывающие расстояние Канторовича с соболевскими нормами, изучаются в [39], [42], [43], [40]. В работе [27] рассмотрены свойства секвенциальной непрерывности для пространства мер $\mathcal{M}(X)$ со слабой топологией. Это пространство неметризуемо, если $X$ бесконечно, но в случае, когда $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, всякий линейный функционал $l$ на $\mathcal{M}(X)$, который секвенциально непрерывен в слабой топологии (т. е. $l(m_n)\to 0$, если последовательность $m_n$ слабо сходится к нулю), оказывается непрерывным в обычном топологическом смысле. Более общий результат содержится в [27; теорема 1]. При этом для нелинейных функций из секвенциальной непрерывности не следует обычная. Для задач оптимальной транспортировки бывают полезны результаты о приближении мер на бесконечномерных банаховых или локально выпуклых пространствах их конечномерными образами, т. е. образами при непрерывных линейных отображениях с конечномерными образами. Такие приближения очевидным образом возможны в пространствах с базисами Шаудера, но в общем случае вопрос открыт (см. обсуждение в [28]). В работе [53] изучается сглаживание метрик Канторовича (которые продолжают ошибочно именоваться “Wasserstein distances”, как и во многих других зарубежных работах). Различные задачи, связанные с транспортными расстояниями, топологическими свойствами пространств мер, а также близкие вопросы теории метрических пространств с мерами обсуждаются в работах [6], [10]–[13], [18], [24], [52], [78], [83], [89], [101], [104], [116], [122], [123]. 9. Другие направления исследованийУпомянем еще несколько направлений исследований последних лет в области оптимальной транспортировки. Интенсивно развивается мартингальная оптимальная транспортировка – см. [17], [21], [47], [58], [73], [82], [95], [103], [112], [130]. В простейшем случае задача ставится для $n$ борелевских вероятностных мер на прямой и ограниченной борелевской функции стоимости $h$ на $\mathbb{R}^n$. Она состоит в минимизации интеграла по борелевским вероятностным мерам $\mu$ на $\mathbb{R}^n$ со следующими ограничениями: проекция $\mu$ на $k$-й сомножитель есть $\mu_k$, причем координатные функции $x_1,\dots,x_n$ образуют мартингал относительно меры $\mu$ и $\sigma$-алгебр $\sigma_1,\dots,\sigma_n$, где $\sigma_k$ порождается координатными функциями $x_1,\dots,x_k$. Аналогично ставится задача для бесконечного числа координат. В работах [17], [47], [130] можно найти интересные недавние результаты о непрерывности решений мартингальной транспортной задачи. Близкие к мартингальным задачам оптимальной транспортировки вопросы изучаются в работах [1], [14], [97].Эта модификация задачи Канторовича укладывается в рассмотренные в работах [132] и [133] общие задачи типа Канторовича с дополнительными линейными ограничениями, в том числе связанными с различными симметриями решений, но обладает рядом важных специфических особенностей. Приведем точную формулировку задачи с линейными ограничениями. Пусть даны вполне регулярные пространства $X_i$ с радоновскими вероятностными мерами $\mu_i$, $i=1,\dots,n$. Через $\Pi(\mu_1,\dots,\mu_n)$ обозначим множество мер из $\mathcal{P}(X_1 \times \cdots \times X_n)$ с проекциями $\mu_i$ на сомножители. Функциональные пространства состоящие из непрерывных интегрируемых функций, наделяются стандартными нормами из $L^1(\mu_i)$ (точнее, полунормами, если меры $\mu_i$ не имеют полных носителей), а пространство
$$
\begin{equation*}
C_L=\biggl\{h \in C(X)\colon |h(x)| \leqslant \sum_{i=1}^n f_i(x_i),\text{ где } f_i \in L^1(\mu_i)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
наделяется полунормой
$$
\begin{equation*}
\|h\|_L=\sup_{\pi \in \Pi(\mu_1,\dots,\mu_n)}\int_X |h|\, d\pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Пусть заданы некоторое линейное подпространство $W \subset C_L$ и функция стоимости $h \in C_L$. Рассматриваемая модификация задачи Канторовича состоит в нахождении величины
$$
\begin{equation*}
\inf_{\pi \in \Pi_W} \int_{X} h\, d\pi,\qquad \Pi_W=\biggl\{\pi \in \Pi(\mu_1,\dots,\mu_n)\colon \int_X w \, d\pi=0 \ \forall\, w\in W\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [132] показано, что в этой задаче достигается минимум, если множество $\Pi_W$ непусто. Кроме того, справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\inf_{\pi\in \Pi_W} \int_X h\, d\pi=\sup_{f\leqslant h} \sum_{k=1}^n \int_{X_k}{f_k(x_k)\, \mu_k(dx_k)},\qquad f=\sum_{i=1}^n f_i, \quad f_i\in C_b(X_i),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_b(X_i)$ – пространство ограниченных непрерывных функций на $X_i$. Упомянем также задачу Шрёдингера, которая была поставлена им в связи с некоторыми вопросами статистической физики. Оказалось, что некоторый специальный случай задачи Монжа–Канторовича может быть получен как предел последовательности задач Шрёдингера при подходящей нормализации. Этому направлению посвящены работы [55], [56], [70], [99], [98]. В задаче Шрёдингера рассматривается мера $R$ на некотором пространстве непрерывных траекторий на отрезке $[0,1]$ (скажем, на $C([0,1],\mathbb{R}^n)$), являющаяся распределением броуновского движения, для которого распределение точки старта задано мерой Лебега ($R$ может быть неограниченной мерой). Ставится задача минимизации энтропии на множестве мер $P$, абсолютно непрерывных относительно $R$, для которых заданы распределения $\mu_0=P_0$, $\mu_1=P_1$ на $X$ в начальной и конечной точке отрезка. Соответствующая задача Канторовича имеет вид
$$
\begin{equation*}
\int C(\omega)\, P(d\omega) \to \min, \qquad P_0=\mu_0,\quad P_1=\mu_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $C(\omega)=\|\dot{\omega}_t \|_{L^2}^2/2$ для абсолютно непрерывных траекторий и $C(\omega)=+\infty$ в противном случае. Близким вопросам посвящена недавняя монография [108]. Транспортные задачи, связанные с гауссовскими мерами и их нелинейными преобразованиями, изучаются в [48]–[50]. Оптимальная транспортировка векторных (в том числе матричных) мер рассмотрена в [45], [54], [57], [60], [106]. Другой вид векторной оптимальной транспортировки изучается в книге [131], где для неотрицательных мер $\mu_1,\dots,\mu_d$ на пространстве $X$, неотрицательных мер $\nu_1,\dots,\nu_d$ на пространстве $Y$ и функции стоимости $h$ на $X\times Y$ ставится задача минимизации интеграла по неотрицательным мерам $\sigma$ на $X\times Y$, удовлетворяющим условиям
$$
\begin{equation*}
\int_{X\times B}\frac{d\mu_j}{d\mu}(x)\, \sigma(dx\, dy)=\nu_j(B), \qquad j=1,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
для всех измеримых множеств $B\subset Y$, где $\mu=\dfrac{1}{d}\displaystyle\sum_{j=1}^d \mu_j$. Отметим, что можно было бы изучить также следующий векторный аналог задачи Монжа: для заданных безатомических борелевских вероятностных мер $\mu_1,\dots,\mu_d$ на суслинском пространстве $X$, борелевской вероятностной меры $\nu$ на суслинском пространстве $Y$ и достаточно хороших функций стоимости $h_1,\dots, h_d$ на $X\times Y$ минимизировать величину по борелевским отображениям $T\colon X\to Y$, одновременно переводящим все меры $\mu_i$ в меру $\nu$. Существование таких отображений обеспечивается теоремой Ляпунова (см. [25; следствие 9.12.37]). Указанную сумму можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\int_X h(x,T(x))\, \mu(dx), \qquad h(x,y)=\sum_{i=1}^d\frac{d\mu_i}{d\mu}(x)\,h_i(x,y).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако отличие от обычной задачи Монжа состоит в том, что не только мера $\mu$ переводится в $\nu$, но и каждая из мер $\mu_i$. В работе [131] имеются результаты, относящиеся к “полудискретному случаю”, когда мера $\nu$ дискретна. Интересно изучить общий случай. Про метрические барицентры, порожденные метриками типа Канторовича, см. работу [68]. Применение задачи Канторовича к проблеме Плато минимальной поверхности с заданной границей обсуждается в [46]. Связи оптимальной транспортировки с проблемой малых знаменателей рассмотрены в [94]. Регуляризация транспортных задач изучается в [61], [105]. Динамические аспекты оптимальной транспортировки рассмотрены в работах [59], [107]. В изложенных выше результатах речь шла о непрерывных или полунепрерывных снизу функциях стоимости, однако во многих задачах, в том числе связанных с двойственностью, рассматриваются разрывные функции стоимости – см., например, [20], [100]. В работе [127] изучено интересное понятие виртуально непрерывной функции в духе некоторого усиления свойства Лузина. В ряде задач такое свойство может заменять обычную непрерывность функций стоимости. О характеризациях оптимальных планов, проблемах единственности и двойственности см. [109], [111], [119]. Благодарю за полезные обсуждения К. А. Афонина, А. В. Колесникова, Е. Д. Косова, С. Н. Попову и А. В. Резбаева.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog22} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|