Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 5(467), страницы 189–190 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10073 (Mi rm10073)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10073

Финансовая поддержка	Номер гранта
Национальный научный фонд имени Шота Руставели	FR-21-4713
Работа поддержана Национальным научным фондом им. Шота Руставели (грант FR-21-4713).

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages 949–951
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10073e

Реферативные базы данных:

В работе строится коммутативная комплексно ориентированная теория когомологий, кольцо коэффициентов которой совпадает с кольцом коэффициентов формальной группы Бухштабера с обращённой двойкой. Как показано в [11], после обращения двойки забывающее отображение из специальных унитарных кобордизмов $\mathbf{MSU}_*[1/2]=\mathbb{Z}[1/2][x_2,x_3,\ldots]$ в комплексные кобордизмы $\mathbf{MU}_*[1/2]$ становится инъективным. Введём следующие расширенные идеалы в кольце $\mathbf{MU}_*[1/2]$: идеал $J_{{\rm SU}}^e$, порождённый произвольными полиномиальными образующими $x_n$ кольца $\mathbf{MSU}_*[1/2]$, $n\geqslant 5$, рассматриваемыми как элементы из $\mathbf{MU}_*[1/2]$; идеал $J_{T}^e$, порождённый ${\rm SU}$-флопами [12] размерностей $\geqslant 10$, также рассматриваемыми как элементы из $\mathbf{MU}_*[1/2]$; и расширение $J_B^e$, где $J_B$ – идеал в кольце $\mathbf{MU}_*$, порождённый элементами $\{A_{ij},i,j\geqslant 3\}$, определёнными в [3], [2] как коэффициенты формального степенного ряда $\sum A_{ij}x^iy^j=F(x,y)(x\omega(y)-y\omega(x))$, где $F(x,y)=\sum\alpha_{ij}x^iy^j$ – универсальная формальная группа, а $\omega(x)= (\partial F(x,y)/\partial y)|_{y=0}$ – инвариантный дифференциал формальной группы $F$.

Одной из мотивировок для данного утверждения является ограниченный комплексный эллиптический род Кричевера–Хона, который изучался в [7] и [12]. Другую конструкцию, связанную с кольцом скаляров $\mathbb{Z}_{(2)}[a,b]$, $|a|=2$, $|b|=6$, см. в [5].

Идеал $J_B$ не является простым, так как факторизация по нему, $f_B\colon\mathbf{MU}_*\to\mathbf{MU}_*/J_B=\Lambda_B$, не приводит к области целостности. Однако факторкольцо содержит лишь элементы $2$-кручения размерностей $2^k-2$, $k\geqslant 3$ [6]. Используя результаты [6] о структуре кольца $\Lambda_B$, рассмотрим факторкольцо $\Lambda_B/J=\Lambda_{\mathcal{B}}$, где идеал $J$ порождён элементами порядка 2. Идеал $J$ прост (поскольку в кольце $\Lambda_{\mathcal{B}}$ нет делителей нуля), и, следовательно, то же верно для его прообраза $J_{\mathcal{B}}=f_B^{-1}(J)$ в $\mathbf{MU}_*$. Идеал $J_{\mathcal{B}}$ при этом является ядром композиции $\mathbf{MU}_*\to \Lambda_B\to\Lambda_{\mathcal{B}}$.

Докажем утверждение 2. (Все остальные доказательства можно найти в [4].) С помощью алгоритма Евклида для любого набора натуральных чисел $m_1,\dots,m_k$ можно найти такие целые числа $\lambda_1,\dots,\lambda_k$, что $\sum_{i=1}^{k}\lambda_im_i=\text{н.о.д.}(m_1,\dots,m_k)$. Обозначим $d(m)=\text{н.о.д.}\bigl\{\binom{m+1}{1},\dots,\binom{m+1}{m-1}\bigr\}$, $m\geqslant 1$. Согласно [8], $d(m)=p$, если $m+ 1= p^s$ для некоторого простого $p$, и $d(m)=1$ в противном случае. Элементы $e_{m}=\sum_{i=1}^m \lambda_i\alpha_{im}$ являются мультипликативными образующими в $\mathbf{MU}_*$ (см. [6]). Для чисел $D(m)=\text{н.о.д.}\bigl\{\binom{m+1}{i}-\binom{m+1}{i-1}\bigr\}$, $2<i<m-1$, $m\geqslant 5$, имеем: $D(m)/d(m)$ равно 2, если $m=2^k-2$, и равно $d(m-1)$ в противном случае (см. [6; теорема 9.9] или [9]). Для $m\geqslant 4$ рассмотрим такие целые числа $\lambda_2,\dots,\lambda_{m-2}$, что $d_2(m):=\sum_{i=2}^{m-2}\lambda_i\binom{m+1}{i}=\text{н.о.д.} \bigl\{ \binom{m+1}{2},\dots,\binom{m+1}{m-2}\bigr\}$. Тогда, согласно [6; лемма 9.7], при $m\geqslant 3$ выполнено $d_2(m)=d(m)d(m-1)$. Для элементов $A_{ij}$, $i,j\geqslant 3$, $i+j-2=m$, и целых чисел $\lambda_2,\dots,\lambda_{m-2}$, соответствующих $D(m)$, рассмотрим линейные комбинации $T_{m}=\lambda_2 A_{3,m-1}+ \lambda_3 A_{4,m-2}+\dots+\lambda_{m-2}A_{m-1,3}$. Согласно [6; следствие 2.10], элементы $f_B(e_i)$ образуют минимальное множество мультипликативных образующих кольца $\Lambda_B$. Обозначим $A_l=\mathbb{Z}[e_1,e_2,\dots,e_l]$ и $A^{l+1}=\mathbb{Z}[e_{l+1},e_{l+2},\dots]$, т. е. $\mathbf{MU}_*=A_l\otimes A^{l+1}$. Пусть $J_{\mathcal{B}}(l)$ – идеал кольца $\mathbf{MU}_*=\mathbb{Z}[e_1,e_2,\dots]$, порождённый только теми элементами из $J_{\mathcal{B}}$, которые имеют размерность $\geqslant-2l$. Прообраз идеала $J_{\mathcal{B}}(l)$ при очевидном вложении будет идеалом в $A_l$, и, обозначив его тем же символом, получим $\mathbf{MU}_*/J_{\mathcal{B}}(l)=A_l/J_{\mathcal{B}}(l)\otimes A^{l+1}$. Из доказательства предложения 6.5 работы [6] следует, что кольцо $A_l/J_{\mathcal{B}}(l)$ не имеет делителей нуля, и, значит, $\mathbf{MU}_*/J_{\mathcal{B}}(l)$ также целостно и идеал $J_{\mathcal{B}}(l)$ прост. Для доказательства надо лишь модифицировать порождающие мономы кольца $\Lambda_{\mathcal{B}}\otimes \mathbb{F}_p$, подправив дополнительные множители для $A_l/J(l)$, $p^r\leqslant l<p^{r+1}$, а именно заменив множители $\beta_{p^{r+1}}^{k_1}\beta_{p^{r+2}}^{k_2}\cdots \beta_{p^{r+s}}^{k_s}\cdots$ , $k_1,k_2,\ldots \leqslant p-1$, на $\beta_{p^r}^{pk_1+p^2k_2+\cdots+p^sk_s+\cdots}$. Размерность $\Lambda^{-2m}\otimes \mathbb{F}_p$ при этом не изменится, так как в нашем кольце нет соотношений (6.2) из [6]. Тогда, согласно [6; теорема 6.1 и предложение 6.5], мы имеем $J_{\mathcal{B}}=J_B+(e_{2^k-2})$, $k\geqslant 3$. Рассмотрим $\Sigma=(\mathcal{T}_i)=(T_n, e_m)$, $n\ne m=2^k-2$, $n\geqslant 5$, $k\geqslant 3$. Тогда $\Sigma(l)=J_{\mathcal{B}}(l)$ для всех натуральных чисел $l\geqslant 5$. Ясно, что $\Sigma(l)\subset J_{\mathcal{B}}(l)$. Докажем, что $ J_{\mathcal{B}}(l)\subset \Sigma(l)$, индукцией по $l$. Это очевидно для $l=5$, так как $T_5=A_{34}$. Для доказательства $J_{\mathcal{B}}(l)=(J_{\mathcal{B}}(l-1),\mathcal{T}_l)$ заметим, что $s_{i+j-2}(A_{ij})=\binom{i+j-1}{j-1}-\binom{i+j-1}{j}$. Действительно, по модулю разложимых элементов $A_{ij}=\alpha_{i-1j}-\alpha_{ij-1}$ и $s_{i+j-1}(\alpha_{ij})=-\binom{i+j}{i}$. Применяя теперь алгоритм Евклида к числам $m_i=s_l(A_{i,l+2-i})$, зафиксируем некоторые целые $\lambda_i$ и рассмотрим элементы $T_l$. Из равенств выше следует, что $s_l(T_l)=D(l)$ – наибольший общий делитель чисел $s_l( A_{ij})$ для $A_{ij}\in J_B$, $i+j-2=l$. Поэтому $A_{ij}=(s_n(A_{ij})/D(l))T_l+P(e_1,\dots,e_{l-1})$ для некоторого многочлена $P$. Следовательно, $P\in \ker f_{\mathcal{B}}$, т. е. $P\in J_{\mathcal{B}}(l-1)=\Sigma(l-1)$. Отсюда также следует, что последовательность $\Sigma=(\mathcal{T}_5,\ldots)$ регулярна. Конструкция [1] кобордизмов с особенностями даёт теорию когомологий $\mathbf{MU}^*_{\Sigma}(-)$, которая допускает ассоциативное умножение согласно [10; теоремы 4.3, 4.5]. Кроме того, все препятствия к коммутативности лежат в $\Lambda_\mathcal{B}\otimes \mathbb{F}_2$.

Список литературы
1.	N. A. Baas, Math. Scand., 33 (1973), 279–302
2.	М. Бакурадзе, УМН, 68:3(411) (2013), 189–190
3.	М. Бакурадзе, Алгебраическая топология, выпуклые многогранники и смежные вопросы, Труды МИАН, 286, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 7–21
4.	M. Bakuradze, Polynomial generators of $\operatorname{MSU}^*[1/2]$ related to classifying maps of certain formal group laws, 2022 (v1 – 2021), 13 pp., arXiv: 2107.01395
5.	В. М. Бухштабер, Е. Ю. Нетай, УМН, 69:4(418) (2014), 181–182
6.	В. М. Бухштабер, А. В. Устинов, Матем. сб., 206:11 (2015), 19–60
7.	G. Höhn, Komplexe elliptische Geschlechter und $S^1$-äquivariante Kobordismustheorie, 2004, 84 pp., arXiv: math/0405232
8.	E. E. Kummer, J. Reine Angew. Math., 1852:44 (1852), 93–146
9.	Zhi Lü, T. Panov, Algebr. Geom. Topol., 16:5 (2016), 2865–2893
10.	О. К. Миронов, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:4 (1978), 789–806
11.	С. П. Новиков, Матем. сб., 57(99):4 (1962), 407–442
12.	B. Totaro, Ann. of Math. (2), 151:2 (2000), 757–791

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Bak22}
\by М.~Бакурадзе
\paper Когомологическая реализация формальной группы Бухштабера
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 5(467)
\pages 189--190
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10073}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10073}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582591}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..949B}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 5
\pages 949--951
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10073e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992306600006}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85163884806}