| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности В. В. Горяйновa, О. С. Кудрявцеваbc, А. П. Солодовb a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Волгоградский государственный технический университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10072e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеПроблема дробного итерирования голоморфного отображения имеет богатую историю. Она изучалась в различных постановках многими авторами. Пусть $f$ – голоморфная функция, область значений которой попадает в область ее определения. Тогда определены ее итерации: $f^0(z)=z$, $f^{1}(z)=f(z)$ и $f^{n}(z)=f\circ f^{n-1}(z)$ при $n=2,3,\ldots$ . Естественно возникает вопрос о существовании семейства функций $f^t(z)$, $t\geqslant 0$, удовлетворяющего условиям: $f^1(z)=f(z)$, $f^0(z)=z$ и $f^{t+s}(z)=f^t\circ f^s(z)$ для всех $s,t \geqslant 0$. При целых неотрицательных значениях $t$ мы получаем обычные итерации функции $f=f^1$. Поэтому элементы семейства $\{f^t\}_{t\geqslant 0}$ называют также дробными итерациями функции $f$. Первые исследования проблемы дробных итераций касались локального случая, когда сама функция $f$ и ее итерации определялись степенными рядами лишь в окрестности неподвижной точки $a$, $f(a)=a$. Еще в 1880-х годах Кёнигс показал, что если $|f'(a)|$ не равняется ни $0$, ни $1$, то $f$ можно вложить в семейство дробных итераций. Также была установлена тесная связь между проблемой дробных итераций и решениями функциональных уравнений Шрёдера и Абеля. В середине прошлого века проблема дробных итераций активно изучалась для целых и мероморфных функций. Здесь результаты оказались диаметрально противоположными локальному случаю. Так, в работах Бейкера, а также Карлина и Макгрегора было показано, что вложимость в этом случае при достаточно общих предположениях возможна только тогда, когда $f$ является дробно-линейной функцией. Связь проблемы дробного итерирования с задачей вложения процесса Гальтона–Ватсона в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем, а также некоторые задачи теории композиционных операторов и теории конформного отображения стимулировали изучение случая, когда сама функция и ее итерации отображают единичный круг $\mathbb D=\{z\in \mathbb C\colon |z|<1\}$ (или верхнюю полуплоскость) в себя. Этот случай качественно отличается от предыдущих двух. Он труднее в исследовании и гораздо богаче по результатам. Как и в динамических системах, при изучении итераций важную роль играют неподвижные точки отображения. Однако у голоморфного отображения единичного круга в себя может не оказаться внутри круга неподвижных точек. С другой стороны, для каждого такого отображения выделяется так называемая точка Данжуа–Вольфа, к которой сходится последовательность натуральных итераций. Если эта точка находится внутри круга, то она является неподвижной. В случае попадания этой точки на границу единичного круга она также является неподвижной в смысле углового предела. Кроме точки Данжуа–Вольфа у голоморфного отображения единичного круга в себя могут быть и другие неподвижные точки, но они должны располагаться на единичной окружности $\mathbb T=\{z\in \mathbb C\colon |z|=1\}$. Таким образом, изучение итераций голоморфного отображения единичного круга в себя сопряжено с исследованием его поведения в окрестности граничных неподвижных точек. При этом новое звучание приобретают некоторые классические результаты, связанные с областями однолистности голоморфных функций. Известная проблема Блоха и родственные ей проблемы связаны с кругами однолистности и покрытия голоморфных функций, имеющих неподвижную точку с фиксированной производной в ней. Пусть $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Тогда $f$ однолистна в некотором круге с центром в начале координат. Однако не существует круга с фиксированным радиусом и центром в начале координат, в котором была бы однолистной любая такая функция. Ситуация меняется, если на функции наложить дополнительно условие ограниченности. Допустим теперь, что $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$, оставляет неподвижным начало координат, $f'(0)=1$ и $|f(z)|\leqslant M$, $M>1$, при $z\in \mathbb D$. Тогда, как показал Ландау, $f$ однолистна в круге $|z|<M-\sqrt{M^2-1}$ . Этот результат можно переформулировать для голоморфных отображений единичного круга в себя. Обозначим через $\mathscr B$ класс всех функций $f$, которые голоморфны в единичном круге $\mathbb D$ и отображают его в себя. Если $f\in \mathscr B$ и $f(0)=0$, то в силу леммы Шварца $|f'(0)|\leqslant 1$, а равенство $|f'(0)|=1$ возможно лишь в случае $f(z)=\varkappa z$, $|\varkappa|=1$. Пусть теперь $f\in \mathscr B$, $f(0)=0$ и $|f'(0)|\geqslant\beta$, $0<\beta <1$. Тогда для функции $g(z)=f(z)/f'(0)$ выполнены все предположения Ландау с $M=1/\beta$ и она является однолистной в круге $|z| < \beta/(1+\sqrt{1-\beta^2}\,)$. В этом же круге однолистна и сама функция $f$. Недавно было обнаружено, что наличие у функции $f$ из $\mathscr B$ двух неподвижных точек при определенных условиях приводит к гарантированной (уже некруговой) области однолистности и покрытия. Этим результатам посвящен раздел 6, а в разделе 4 приводится обзор классических результатов, связанных с кругами однолистности и покрытия. Структура подмножеств класса $\mathscr B$ с фиксированными неподвижными точками описана в разделе 5. Приведенные там интегральные представления играют важную роль в исследованиях свойств голоморфных отображений $f$ из $\mathscr B$ с заданными неподвижными точками. Поскольку все неподвижные точки, за исключением, быть может, точки Данжуа–Вольфа, являются граничными, то естественно, что условия существования областей однолистности формулируются в терминах угловой производной. Важные неравенства, связанные с угловой производной, приведены в разделе 2. В разделе 3 дан краткий обзор известных условий однолистности голоморфных функций. Возвращаясь к проблеме дробных итераций, заметим, что класс $\mathscr B$ представляет собой топологическую полугруппу относительно операции композиции и топологии локально равномерной сходимости. При этом вопрос существования дробных итераций можно рассматривать как возможность вложения натуральных итераций функции $f$ в однопараметрическую полугруппу. В разделе 7 приведены результаты, которые определяют вид инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы в зависимости от множества неподвижных точек отображений. Раздел 8 посвящен проблеме вложения итераций в однопараметрическую полугруппу. Наряду с критерием вложимости в терминах решений функциональных уравнений Шрёдера и Абеля, приводится критерий, основанный на асимптотическом поведении натуральных итераций функции $f$ из $\mathscr B$. Снова важную роль здесь играют неподвижные точки отображения. Получены также интегральные представления функций Кёнигса, которые позволяют воспроизвести однопараметрическую полугруппу с заданными неподвижными точками отображений. Особое внимание уделено случаю вероятностных производящих функций. В частности, приводится решение задачи вложения процесса Гальтона–Ватсона в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем и даны простые необходимые условия вложимости, формулируемые в терминах области значений начальных вероятностей. Проблема коэффициентов является одной из ключевых тем исследований, достаточно упомянуть гипотезу Бибербаха, которая во многом определила развитие геометрической теории функций. В последнем разделе 9 изучается влияние угловых производных в граничных неподвижных точках функции $f$ из $\mathscr B$ на область изменения ее тейлоровских коэффициентов. При этом выделяются два случая: когда коэффициенты рассматриваются независимо друг от друга и наоборот. 2. Неподвижные точки и оценки производныхКак уже было отмечено во введении, на геометрические и аналитические свойства функции $f\in \mathscr B$ определяющее влияние оказывают ее неподвижные точки. Классическими результатами, лежащими в основе практически всех исследований, связанных со свойствами функций из класса $\mathscr B$, являются фундаментальные неравенства для внутренней и граничной неподвижных точек. Хорошо известно, что любая функция из класса $\mathscr B[0]=\{f\in \mathscr B\colon f(0)=0\}$ отображает в себя не только круг $\mathbb D$, но и вообще любой круг с центром в точке $z=0$. Тем самым, эта точка является притягивающей, исключая случай поворота круга $\mathbb D$. Теорема 1 (лемма Шварца). Пусть $f\in \mathscr B[0]$. Тогда Если в (2.2) достигается равенство или хотя бы при одном $z\in\mathbb{D}$, $z\ne 0$, в (2.1) достигается равенство, то $f(z)=\varkappa z$, $|\varkappa|=1$. При этом равенство в (2.1) достигается при всех $z\in \mathbb D$. Неравенство (2.2) можно интерпретировать как решение следующей экстремальной задачи: на классе $\mathscr B[0]$ найти точную верхнюю грань модуля производной в нуле. Согласно теореме 1 имеем причем экстремальными функциями являются повороты единичного круга $\mathbb D$.Пик заметил, что произвольное отображение круга $\mathbb D$ в себя может быть получено как композиция дробно-линейных автоморфизмов и некоторой функции из класса $\mathscr B[0]$. Это наблюдение привело Пика к инвариантной форме леммы Шварца, имеющей место для всего класса $\mathscr B$. Теорема 2 (лемма Шварца–Пика). Пусть $f\in \mathscr B$. Тогда для любого $z\in \mathbb D$ Как видно из оценки (2.3), образ неевклидова круга с центром в точке $z_0$ содержится в неевклидовом круге с центром $f(z_0)$ того же радиуса. Неравенство (2.4) можно интерпретировать как решение такой экстремальной задачи: на классе функций из $\mathscr B$, отображающих фиксированную точку $z_0\in \mathbb D$ в заданную точку $w_0$, найти точную верхнюю грань модуля производной в точке $z_0$. Согласно теореме 2 имеем где супремум берется по всем функциям $f\in\mathscr B$, удовлетворяющим условию $f(z_0)=w_0$. Экстремальными функциями при этом являются дробно-линейные отображения единичного круга $\mathbb D$ на себя, переводящие точку $z_0$ в точку $w_0$.Дьёдонне в работе [1] показал, что на классе $\mathscr B[0]$ модуль значения производной не превосходит единицы не только в точке $z=0$ (см. (2.2)), но и в целом круге $\{z\in \mathbb D\colon |z|\leqslant\sqrt{2}-1\}$. Этот результат опирается на следующую оценку производной на классе $\mathscr B[0]$. Теорема 3 (Дьёдонне [1]). Пусть $f\in \mathscr B[0]$. Тогда для любого $z\in \mathbb D$, $z\ne 0$, выполнено неравенство Для доказательства теоремы 3 достаточно применить оценку (2.4) к функции $f(z)/z$. В силу теоремы 3 на классе функций из $\mathscr B[0]$, отображающих фиксированную точку $z_0\in \mathbb D$ в заданную точку $w_0$, множество значений $f'(z_0)$ принадлежит кругу
$$
\begin{equation*}
\biggl|f'(z_0)-\frac{w_0}{z_0}\biggr|\leqslant \frac{|z_0|^2-|w_0|^2}{|z_0|(1-|z_0|^2)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $f'(z_0)$ попадает на границу этого круга в том и только том случае, когда $f$ является произведением Бляшке второго порядка, удовлетворяющим условиям $f(0)=0$, $f(z_0)=w_0$. Покажем, как из теоремы 3 для функции $f$ из класса $\mathscr B[0]$ вытекает оценка $|f'(z)|\leqslant 1$ при $|z|\leqslant \sqrt{2}-1$. Зафиксируем $z\in\mathbb D$ и обозначим $t=|f(z)|$. В силу теоремы 3 имеем
$$
\begin{equation*}
|f'(z)|\leqslant \frac{t}{|z|}+\frac{|z|^2-t^2}{|z|(1-|z|^2)}= \frac{(1-t)(|z|^2+t)}{|z|(1-|z|^2)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме Шварца $t\leqslant |z|$, причем если $|z|\leqslant \sqrt{2}-1$, то квадратичная функция $(1-t)(|z|^2+t)$ возрастает и достигает наибольшего значения при $t=|z|$. Таким образом, $|f'(z)|\leqslant 1$. Следствием леммы Шварца–Пика является тот факт, что функция $f\in \mathscr B$, $f(z)\not\equiv z$, может иметь внутри круга ${\mathbb D}$ не более одной неподвижной точки. Будем говорить, что граничная точка $a$ является неподвижной для функции $f$, если $\angle\lim_{z\to a}f(z)=a$. Известно (см., например, [2]), что в граничной неподвижной точке существует (конечный или бесконечный) угловой предел Более того, если этот предел конечен, то он является положительным числом и $f'(z)$ имеет тот же угловой предел при $z\to a$. В этом случае предел (2.6) называется угловой производной функции $f$ в точке $z=a$ и обозначается $f'(a)$.Классическая оценка снизу для угловой производной в граничной неподвижной точке доказана Жюлиа и независимо Каратеодори. Пусть $\mathscr B\{1\}$ – класс функций с неподвижной точкой $z=1$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B\{1\}=\Bigl\{f\in \mathscr B\colon \angle \lim_{z\to 1} f(z)=f(1)=1\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через
$$
\begin{equation*}
L_q(z)=\frac{1-\overline{q}}{1-q}\,\frac{z-q}{1-\overline{q}z}\,, \qquad q\in \mathbb D,
\end{equation*}
\notag
$$
дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг $\mathbb {D}$ на себя и удовлетворяющее условиям $L_q(q)=0$, $L_q(1)=1$. Под орициклом в точке $1$ с параметром $k>0$ будем понимать круг
$$
\begin{equation*}
\mathbb H_k=\biggl\{z\in\mathbb D\colon\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}< k\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
радиуса $k/(k+1)$ с центром в точке $z_0=1/(k+1)$, касающийся единичной окружности $\mathbb T$ в точке $z=1$. Теорема 4 (Жюлиа–Каратеодори). Пусть $f$ принадлежит $\mathscr B\{1\}$. Тогда для любого $z\in \mathbb D$ Неравенство (2.7) фактически означает, что при каждом $k>0$ образ орицикла $\mathbb H_k$ содержится в орицикле $\mathbb H_{f'(1)k}$. Теорему Жюлиа–Каратеодори можно трактовать как решение экстремальной задачи: на классе функций из $\mathscr B$, отображающих фиксированную точку $z_0\in \mathbb D$ в заданную точку $w_0$ и сохраняющих точку $z=1$, найти точную нижнюю грань значений угловой производной $f'(1)$. Согласно теореме 4 имеем
$$
\begin{equation}
\inf f'(1)=\frac{|1-w_0|^2}{1-|w_0|^2}\, \frac{1-|z_0|^2}{|1-z_0|^2}\,,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где инфимум берется по всем функциям $f\in\mathscr B\{1\}$, удовлетворяющим условию $f(z_0)=w_0$. Экстремальной функцией является дробно-линейное отображение единичного круга на себя, удовлетворяющее условиям $f(z_0)=w_0$, $f(1)=1$. В частности, на важном классе $\mathscr B[0,1]=\mathscr B[0]\cap\mathscr B\{1\}$ голоморфных отображений круга $\mathbb D$ в себя с внутренней и граничной неподвижными точками соотношение (2.8) принимает вид причем равенство в (2.9) достигается только если $f(z)\equiv z$. Оценка (2.9) означает, что на классе $\mathscr B[0,1]$ граничная неподвижная точка $z=1$ является отталкивающей.Теорема Жюлиа–Каратеодори, как и лемма Шварца, имеет большое количество следствий. Остановимся подробнее на некоторых из них. Ункельбах уточнил оценку (2.9) в случае, если известен модуль производной во внутренней неподвижной точке $z=0$. Теорема 5 (Ункельбах [3]). Пусть $f\in \mathscr B[0,1]$. Тогда При этом равенство в (2.10) достигается в том и только том случае, когда Неравенство (2.10) связано со следующей экстремальной задачей: на классе функций из $\mathscr B[0,1]$ с фиксированным значением $|f'(0)|$ найти точную нижнюю грань угловой производной $f'(1)$. По теореме 5 имеем где инфимум берется по всем функциям $f\in\mathscr B[0,1]$, удовлетворяющим условию $|f'(0)|=M$, $M\in [0,1)$. Экстремальными являются функции вида $f(z)=z(z+M)/(1+M z)$.Оссерман [4] распространил теорему 5 на случай, когда начало координат не является неподвижной точкой. Теорема 6 (Оссерман [4]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Тогда Оценка (2.11) в общем случае недостижима и является точной, только если $f(0) > 0$. Ниже мы приведем неулучшаемое усиление неравенства (2.11), полученное в [5]. Наши рассуждения будут опираться на следующий результат, дающий описание множества значений $f'(0)$ на классе $\mathscr B[0,1]$ в зависимости от угловой производной $f'(1)$. Теорема 7 (Горяйнов [6]). Пусть $f\in \mathscr B[0,1]$, $f(z)\not\equiv z$. Тогда Доказательство. Так как $f$ удовлетворяет условиям леммы Шварца, то функция $g(z)=f(z)/z$ отображает единичный круг $\mathbb D$ в себя, причем $g(1)=1$, поскольку $f(1)=1$. Таким образом, $g\in\mathscr B\{1\}$. Применяя к функции $g$ теорему Жюлиа–Каратеодори, для всех $z\in \mathbb D$ получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|1-g(z)|^2}{1-|g(z)|^2}\, \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\leqslant g'(1),
\end{equation*}
\notag
$$
что равносильно неравенству
$$
\begin{equation}
\frac{|1-f(z)/z|^2}{1-|f(z)/z|^2}\, \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\leqslant f'(1)-1.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Полагая в (2.13) $z=0$, приходим к оценке эквивалентной неравенству (2.12).
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть для некоторой функции $f\in \mathscr B[0,1]$, $f(z)\not\equiv z$, в (2.12) достигается равенство или, что то же самое, Перепишем (2.14) в терминах функции $g(z)=f(z)/z$ из класса $\mathscr B\{1\}$: и воспользуемся теоремой Жюлиа–Каратеодори, согласно которой последнее равенство возможно лишь для дробно-линейных отображений $g(z)=L_q(z)$, $q\in\mathbb D$. Таким образом, $f(z)=zL_q(z)$, $q\in\mathbb D$.Обратно, пусть $f (z)=zL_q(z)$ для некоторого $q\in\mathbb D$. Очевидно, что $f\in \mathscr B[0,1]$, и поскольку
$$
\begin{equation*}
f'(0)=-q\,\frac{1-\overline{q}}{1-q}\,, \qquad f'(1)=\frac{2-q-\overline{q}}{(1-q)(1-\overline{q})}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
то легко видеть, что функция $f$ обращает неравенство (2.12) в равенство. Теорема доказана. Для получения усиления неравенства Оссермана (2.11) нам потребуется следующий результат, являющийся прямым следствием теоремы 7. Теорема 8 (граничная лемма Дьёдонне–Пика). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Тогда для любого $z\in \mathbb D$ Неравенство (2.15) разными методами получали Янагихара [7], Мерсер [8], однако без обсуждения его точности. Приведем наиболее простое, на наш взгляд, доказательство неравенства (2.15), опирающееся на теорему 7. Доказательство теоремы 8. Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Для фиксированной точки $z_0\in \mathbb D$ рассмотрим композицию Можно проверить, что функция $h$ принадлежит классу $\mathscr B[0,1]$, причем ее производные в неподвижных точках имеют вид
$$
\begin{equation}
h'(0) =\frac{1-z_0}{1-\overline{z}_0}\,\frac{1-\overline{f(z_0)}}{1-f(z_0)}\, \frac{1-|z_0|^2}{1-|f(z_0)|^2}\, f'(z_0),
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
$$
\begin{equation}
h'(1) =\frac{|1-z_0|^2}{1-|z_0|^2}\,\frac{1-|f(z_0)|^2}{|1-f(z_0)|^2}\,f'(1).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Подставляя (2.17) и (2.18) в неравенство (2.12), которому удовлетворяет функция $h$ в силу теоремы 7, а также принимая во внимание произвольность выбора точки $z_0$, получаем (2.15). Первая часть теоремы доказана.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть для $f\in \mathscr B\{1\}$ в (2.15) достигается равенство в некоторой точке $z_0\in\mathbb D$. В терминах функции $h \in \mathscr B[0,1]$, определяемой формулой (2.16), принимая во внимание (2.17) и (2.18), это равенство можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
\biggl|h'(0)-\frac{1}{h'(1)}\biggr|= 1-\frac{1}{h'(1)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда по теореме 7 найдется точка $s\in\mathbb D$ такая, что $h(w)=w$ либо $h(w)=w L_s (w)$. Отсюда следует, что функция $f(z)=L^{-1}_{f(z_0)}\circ h\circ L_{z_0}(z)$ является дробно-линейной либо произведением Бляшке второго порядка.
Обратно, пусть $f(z)=L_q(z)L_p(z)$ для некоторых $q,p\in\mathbb D$. Очевидно, что $f\in\mathscr B\{1\}$. Подставляя производные
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f'(z)&=-\frac{(1-\overline{q})(1-\overline{p})}{(1-q)(1-p)} \frac{q(1-|p|^2)+p(1-|q|^2)-2(1-|q|^2|p|^2)z+ (\overline{q}(1-|p|^2)+\overline{p}(1-|q|^2))z^2} {(1-\overline{q}z)^2(1-\overline{p}z)^2}\,, \\
f'(1)&=-\frac{(q+\overline{q})(1-|p|^2)+ (p+\overline{p})(1-|q|^2)-2(1-|q|^2|p|^2)}{|1-q|^2|1-p|^2} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в неравенство (2.15), получаем равенство для всех $z\in\mathbb D$. Точно так же проверяется равенство в (2.15) в случае $f(z)=L_q(z)$. Теорема доказана. Результат теоремы 8 можно интерпретировать как решение экстремальной задачи о поиске точного множества значений $f'(z_0)$ на классе функций из $\mathscr B\{1\}$, отображающих точку $z_0\in \mathbb D$ в точку $w_0$ и имеющих фиксированное значение угловой производной $f'(1)=\alpha$. В силу теоремы 8 множество значений $f'(z_0)$ принадлежит кругу
$$
\begin{equation*}
\biggl|f'(z_0)-\frac{1}{\alpha}\,\frac{(1-w_0)^2}{(1-z_0)^2}\biggr|\leqslant \frac{1-|w_0|^2}{1-|z_0|^2}-\frac{1}{\alpha}\,\frac{|1-w_0|^2}{|1-z_0|^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $f'(z_0)$ попадает на границу этого круга в том и только том случае, когда либо где $q\in\mathbb D$ таково, что $f(z_0)=w_0$, $f'(1)=\alpha$, либо где $q,p\in\mathbb D$ такие, что $f(z_0)=w_0$, $f'(1)=\alpha$. Теорема 8 допускает переформулировку, которую можно рассматривать как уточнение теоремы Жюлиа–Каратеодори в случае, когда для $f\in \mathscr B\{1\}$ в дополнение к значению $f(z)$, $z\in\mathbb D$, известно значение производной $f'(z)$. Теорема 8′. Пусть $f$ принадлежит $\mathscr B\{1\}$ и отлична от дробно-линейного отображения единичного круга $\mathbb D$ на себя. Тогда для любого $z\in \mathbb D$ Результат теоремы 8′ можно трактовать как решение экстремальной задачи: на классе функций из $\mathscr B\{1\}$, отображающих точку $z_0\in \mathbb D$ в точку $w_0$ и имеющих фиксированное значение производной $f'(z_0)$, найти точную нижнюю грань значений угловой производной $f'(1)$. Поскольку $|f'(z_0)|<(1-|w_0|^2)/(1-|z_0|^2)$, то для заданных $z_0, w_0\in \mathbb D$ и $c$ такого, что $|c|<(1-|w_0|^2)/(1-|z_0|^2)$, решение этой задачи имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \inf f'(1)&=\frac{|1-w_0|^2}{1-|w_0|^2}\,\frac{1-|z_0|^2}{|1-z_0|^2} \\ &\qquad\times\biggl(1+\biggl|1-c\,\frac{1-|z_0|^2}{1-|w_0|^2}\, \frac{1-z_0}{1-\overline{z}_0}\,\frac{1-\overline{w}_0}{1-w_0}\biggr|^2 \biggl[1-|c|^2\biggl(\frac{1-|z_0|^2}{1-|w_0|^2}\biggr)^2\biggr]^{-1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где инфимум берется по всем функциям $f\in\mathscr B\{1\}$, удовлетворяющим условиям $f(z_0)=w_0$, $f'(z_0)=c$. Экстремальной функцией является произведение Бляшке $f(z)=L_q(z)L_p(z)$, где $q,p\in\mathbb D$ такие, что $f(z_0)=w_0$, $f'(z_0)=c$. Доказательство. В силу неравенства треугольника справедлива оценка снизу
$$
\begin{equation*}
\biggl|f'(z)-\frac{1}{f'(1)}\, \frac{(1-f(z))^2}{(1-z)^2}\biggr|\geqslant \frac{1}{f'(1)}\,\frac{|1-f(z)|^2}{|1-z|^2}-|f'(z)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Дополняя ее оценкой сверху из теоремы 8, получаем неравенство (2.20). Хотя неравенство (2.20) менее точное, чем (2.19), оно имеет более компактный вид. Следующее утверждение есть неулучшаемое усиление неравенства Оссермана (2.11). Следствие 2.2. Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Тогда При этом равенство достигается в том и только том случае, когда где $q/(1-|q|^2)+p/(1-|p|^2)\leqslant 0$. Доказательство. Неравенство (2.21) следует из (2.20) при $z=0$.
Докажем второе утверждение. Пусть для некоторой функции $f\in \mathscr B\{1\}$ в (2.21) достигается равенство. Тогда, в силу теоремы 8′, $f(z)=L_q(z)L_p(z)$, $q,p\in\mathbb D$, при этом
$$
\begin{equation}
f(0) =\frac{1-\overline{q}}{1-q}\,\frac{1-\overline{p}}{1-p}\,q p,
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
$$
\begin{equation}
f'(1) =\frac{1-|q|^2}{|1-q|^2}+\frac{1-|p|^2}{|1-p|^2}\,.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Таким образом, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f'(1)-\frac{2\,|1-f(0)|^2}{1+|f'(0)|-|f(0)|^2} \\ &\qquad=2\biggl(\frac{\operatorname{Re} q}{1-|q|^2}+ \frac{\operatorname{Re} p}{1-|p|^2}+ \biggl|\frac{q}{1-|q|^2}+\frac{p}{1-|p|^2}\biggr|\biggr) |1-q p|^2 \\ &\qquad\qquad\quad\times|1-q|^{-2}|1-p|^{-2} \biggl(\frac{1-|q|^2|p|^2}{(1-|q|^2)(1-|p|^2)}+ \biggl|\frac{q}{1-|q|^2}+\frac{p}{1-|p|^2}\biggr|\biggr)^{-2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
правая часть которого обращается в нуль в том и только том случае, когда $q/(1-|q|^2)+p/(1-|p|^2)\leqslant 0$.
Обратно, пусть $f(z)=L_q(z)L_p(z)$ для некоторых $q,p\in\mathbb D$, удовлетворяющих условию $q/(1-|q|^2)+p/(1-|p|^2)\leqslant0$. Тогда $f\in\mathscr B\{1\}$ и справедливы формулы (2.22)–(2.24). Подставляя (2.22)–(2.24) в неравенство (2.21) и учитывая соотношение, связывающее $q$ и $p$, получаем равенство. 3. Условия однолистности и геометрические свойства голоморфных отображенийГоломорфная функция $f$ называется однолистной в области $D$, если $f(z_1)\ne f(z_2)$ для любых $z_1,z_2\in D$, $z_1\ne z_2$. Иными словами, уравнение $f(z)=w$ имеет не больше одного корня в $D$ для любого $w\in \mathbb C$. Однолистная функция осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение области $D$ на некоторую область $w$-плоскости. Условия однолистности голоморфной функции имеют как чисто теоретическое значение, так и прикладной интерес. В частности, в методе комплексного потенциала однолистность связана с физической реализуемостью модели. В связи с этим нахождение достаточных условий однолистности функции в заданной области является одной из центральных задач геометрической теории функций. Другой классической постановкой задачи об однолистности является нахождение областей, в которых данная функция однолистна. В настоящей работе мы сконцентрируем внимание именно на этой постановке задачи. Однако для полноты изложения приведем некоторые основные результаты относительно условий однолистности в области (более подробно см. обзоры [9], [10]). Начнем с простого, но играющего важную роль в наших исследованиях условия однолистности в произвольной выпуклой области, т. е. в области, которая содержит прямолинейный отрезок, соединяющий любые две ее точки. Теорема 9 (Носиро [11], Варшавский [12]). Голоморфная в выпуклой области $D$ функция $f$ однолистна в $D$, если $\operatorname{Re} f'(z)>0$ для любого $z\in D$. Доказательство. Пусть $z_1,z_2\in D$, $z_1\ne z_2$. В силу выпуклости области $D$ функция $f$ определена на отрезке $[z_1,z_2]$. Поскольку $\operatorname{Re}f'(z)>0$, то Таким образом, $f(z_1)\ne f(z_2)$ и, значит, $f$ однолистна в $D$. Теорема доказана. Чаще всего исследуется вопрос об однолистности функции в круге, без ограничения общности – в единичном круге $\mathbb D$. При этом ряд достаточных условий однолистности в $\mathbb D$ является следствием критериев отображения круга $\mathbb{D}$ на области со специальными геометрическими свойствами, которые записываются как условия неотрицательности вещественной части некоторых функционалов. Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$ называется выпуклой в $\mathbb D$, если она однолистна в $\mathbb D$ и отображает $\mathbb D$ на выпуклую область. Первые упоминания о выпуклых функциях относятся к работе Стьюди [13], в которой дано аналитическое описание таких функций. Теорема 10 (Стьюди [13]). Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$, удовлетворяющая условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$, является выпуклой в $\mathbb D$ тогда и только тогда, когда для любого $z\in \mathbb D$. Условие выпуклости основано на тождестве
$$
\begin{equation*}
\frac{d(\pi/2+\theta+\arg f'(re^{i\theta}))}{d\theta}= \operatorname{Re}\biggl(1+z\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)> 0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $z=r e^{i\theta}$, $0<r<1$, и геометрически означает, что касательная к кривой $L_r=\{w\colon w=f(r e^{i\theta}),\, 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi\}$ монотонно вращается против часовой стрелки при изменении $\theta$ от $0$ до $2\pi$. Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$ называется звездообразной в $\mathbb D$, если она однолистна в $\mathbb D$ и отображает $\mathbb D$ на звездообразную относительно начала координат область, т. е. область, которая содержит отрезок, соединяющий любую ее точку с началом координат. Аналитическое описание звездообразных функций дал Александер [14]. Теорема 11 (Александер [14]). Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$, удовлетворяющая условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$, является звездообразной в $\mathbb D$ тогда и только тогда, когда для любого $z\in \mathbb D$. Условие звездообразности основано на тождестве
$$
\begin{equation*}
\frac{d \arg f(re^{i\theta})}{d\theta}= \operatorname{Re}\biggl(z\frac{f'(z)}{f(z)}\biggr)> 0
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $z=r e^{i\theta}$, $0<r<1$, и геометрически означает, что отрезок $[0,f(re^{i\theta})]$ монотонно вращается против часовой стрелки при изменении $\theta$ от $0$ до $2\pi$. Задача поиска условий звездообразности в виде оценки на модуль второй производной $|f''(z)|\leqslant \lambda$, $\lambda>0$, впервые сформулирована Мокану [15]. Он показал, что если $\lambda=2/3$, то указанное неравенство влечет звездообразность. Позже Поннусами и Сингх [16] улучшили константу до $\lambda=2/\sqrt{5}$ . Точная константа $\lambda=1$ найдена Обрадовичем. Теорема 12 (Обрадович [17]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Если $|f''(z)|\leqslant1$ для любого $z\in\mathbb D$, то $f$ звездообразна в $\mathbb D$. Для демонстрации точности условия звездообразности Обрадович привел пример функции $f(z)=z+(1+\varepsilon)z^2/2$, $\varepsilon>0$, для которой $|f''(z)|=1+\varepsilon>1$, но которая даже не является однолистной в круге $\mathbb D$, поскольку производная $f'(z)=1+(1+\varepsilon)z$ обращается в нуль в точке $z=-1/(1+\varepsilon)$. Замечание 3.1. Достаточное условие звездообразности $|f''(z)|\leqslant 1$ одновременно является достаточным условием однолистности и локальной однолистности. Причем и в этом случае константа $\lambda=1$ неулучшаема. Обрадович также нашел точную константу, достаточную для выпуклости функции. Теорема 13 (Обрадович [17]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Если $|f''(z)|\leqslant1/2$ для любого $z\in\mathbb D$, то $f$ выпукла в $\mathbb D$. Чтобы показать точность условия выпуклости, Обрадович рассмотрел функцию $f(z)=z+(1+\varepsilon)z^2/4$, $\varepsilon\in (0,1)$. Для этой функции имеет место оценка $|f''(z)|=(1+\varepsilon)/2>1/2$, но поскольку $1+zf''(z)/f'(z)$ отрицательно при вещественных $z\to -1$, то $f$ не является выпуклой в $\mathbb D$. Шпачек [18] расширил понятие звездообразной функции. Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$ называется спиралеобразной в $\mathbb D$, если она однолистна в $\mathbb D$ и отображает $\mathbb D$ на спиралеобразную порядка $\alpha$, $\alpha\in(-\pi/2,\pi/2)$, область, т. е. область, которая содержит часть логарифмической спирали с уравнением $\operatorname{Im} \{e^{i\alpha}\ln f(z)\}=\operatorname{const}$, соединяющей любую точку $f(z)$, $z\in \mathbb D$, с началом координат. Теорема 14 (Шпачек [18]). Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$, удовлетворяющая условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$, является спиралеобразной в $\mathbb D$ тогда и только тогда, когда при некотором $\alpha\in(-\pi/2,\pi/2)$ для любого $z\in \mathbb D$. Условие спиралеобразности означает, что $\operatorname{Im}\{e^{i \alpha}\ln f(re^{i\theta})\}$ является возрастающей функцией от $\theta$ при фиксированных $r$, $0<r<1$, $\alpha\in(-\pi/2,\pi/2)$. Голоморфная в круге $\mathbb D$ функция $f$ называется почти выпуклой в $\mathbb D$, если образ $f(\mathbb D)$ является линейно достижимым извне, т. е. внешность области $f(\mathbb D)$ может быть покрыта семейством непересекающихся прямолинейных лучей, имеющих с границей $\partial f(\mathbb D)$ либо одну общую точку, либо общий связный отрезок луча, либо весь луч. Теорема 15 (Каплан [19]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и локально однолистна в $\mathbb D$. Тогда $f$ является почти выпуклой в $\mathbb D$ в том и только том случае, если для $z=r e^{i\theta}$ для любого $r\in(0,1)$ и любых чисел $\theta_1$ и $\theta_2$, $\theta_1<\theta_2$. Если однолистность функции в круге $\mathbb D$ уже предполагается, то некоторый круг с центром в нуле отображается ею на звездообразную и даже на выпуклую область. Точный радиус выпуклости нашел Неванлинна [20], а звездообразности – Грунский [21]. Теорема 16 (Неванлинна [20]). Если функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$, то образ круга $|z|<2-\sqrt{3}$ является выпуклой областью. Теорема 17 (Грунский [21]). Если функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$, то образ круга $|z|< \operatorname{th} (\pi/4)$ является звездообразной областью. Асимптотически точная оценка радиуса звездообразности при дополнительном условии ограниченности функции найдена в следующей теореме (точный радиус звездообразности см. в работе [22]). Теорема 18 (Горяйнов [23]). Пусть функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда образ круга является звездообразной областью. Замечание 3.2. При $M\to 1$ радиус звездообразности стремится к единице, а при $M\to \infty$ – к $ \operatorname{th} (\pi/4)$. Как правило, условия однолистности в области включают в себя требование локальной однолистности, которое является необходимым для однолистности в области. Поиск условий однолистности голоморфной локально однолистной функции тесно связан с понятием производной Шварца
$$
\begin{equation*}
\{f,z\}=\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)'- \frac{1}{2}\biggl(\frac{f''(z)}{f'(z)}\biggr)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
роль которой в геометрической теории функций хорошо известна (см., например, [24], [25]). Отметим работу [26], в которой получены оценки суммы производных Шварца в граничных неподвижных точках. Необходимое условие однолистности в терминах производной Шварца впервые получил Краус. Однако его результат был “забыт” и заново установлен Нехари. Теорема 19 (Краус [27], Нехари [28]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и $f'(z)\ne 0$ для любого $z\in\mathbb D$. Если $f$ однолистна в $\mathbb D$, то для любого $z\in \mathbb D$ имеет место неравенство Неравенство (3.1) можно интерпретировать как решение экстремальной задачи о поиске величины $\max\bigl(\sup_{z\in \mathbb D}\,|\{f,z\}|(1-|z|^2)^2\bigr)$, где максимум берется по всем однолистным в $\mathbb D$ функциям. Решением этой задачи является константа $6$, оно доставляется, например, функцией Кёбе $k(z)={z}(1-z)^{-2}$ с производной Шварца $\{k,z\}=-{6}{(1-z^2)^{-2}}$, $z\in(-1,1)$. Замена константы $6$ на константу $2$ приводит к достаточному условию однолистности, полученному Нехари. Теорема 20 (Нехари [28]). Пусть функция $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$ и $f'(z)\ne 0$ для любого $z\in\mathbb D$. Если для любого $z\in\mathbb D$ имеет место неравенство то $f$ однолистна в $\mathbb D$. Неравенство (3.2) можно рассматривать как решение экстремальной задачи о поиске величины $\inf\bigl(\sup_{z\in \mathbb D}|\{f,z\}|(1-|z|^2)^2\bigr)$, где инфимум берется по всем локально однолистным в $\mathbb D$ функциям за исключением однолистных функций. Решением этой задачи является константа $2$, что вытекает из примера Хилле [29] не однолистной в $\mathbb D$ функции
$$
\begin{equation*}
f(z)=\biggl(\frac{1-z}{1+z}\biggr)^{i\varepsilon},\qquad \varepsilon>0,
\end{equation*}
\notag
$$
с производной Шварца $\{f,z\}=2(1+\varepsilon^2)(1-z^2)^{-2}$. Приведем еще одно простое по форме достаточное условие однолистности. Теорема 21 (Нехари [28]). Пусть функция $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$ и $f'(z)\ne 0$ для любого $z\in\mathbb D$. Если $|\{f,z\}|\leqslant \pi^2/2$ для любого $z\in\mathbb D$, то $f$ однолистна в $\mathbb D$. В основе результатов Нехари лежит связь между однолистностью функции и неколеблемостью решения дифференциального уравнения второго порядка (более подробно см. [9]). Опираясь на эту связь, Нехари установил общий критерий однолистности. Теорема 22 (Нехари [30]). Мероморфная в $\mathbb D$ функция $f$ однолистна в $\mathbb D$, если $|\{f,z\}|\leqslant 2p(|z|)$ для любого $z\in\mathbb D$, причем мажоранта $p(x)$ является непрерывной неотрицательной функцией, удовлетворяющей условиям: Замечание 3.3. Нехари показал, что условие $|\{f,z\}|\leqslant 2p(|z|)$ неулучшаемо, если $p$ голоморфна в $\mathbb D$ и $|p(z)|\leqslant p(|z|)$. В общем критерии однолистности содержатся в виде частных случаев упомянутые выше результаты Нехари: теоремы 20, 21 (соответствуют мажорантам $p(x)=(1-x^2)^{-2}$, $p(x)=\pi^2/4$), а также, например, следующий результат Покорного. Теорема 23 (Покорный [31]). Пусть функция $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$ и $f'(z)\ne 0$ для любого $z\in\mathbb D$. Если $|\{f,z\}|\leqslant 4(1-|z|^2)^{-1}$ для любого $z\in\mathbb D$, то $f$ однолистна в $\mathbb D$. Приведем теперь признаки однолистности в виде ограничений на предшварциан $f''/f'$, получаемые с помощью теории уравнений Лёвнера–Куфарева (см., например, [32], [33]). Теорема 24 (Дюрен, Шапиро, Шилдс [34]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и $f'(z)\ne 0$ для любого $z\in\mathbb D$. Если $f$ однолистна в $\mathbb D$, то для любого $z\in\mathbb D$. Функция Кёбе демонстрирует точность константы $6$. Упомянем еще два результата, в которых условия на значения голоморфной функции и ее производных обеспечивают гомеоморфное продолжение в $\overline{\mathbb{D}}$, т. е. однолистность в замкнутом круге. При этом устанавливаются определенные свойства образа единичной окружности. Теорема 25 (Беккер [35]). Пусть функция $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$, $f(0)= 0$, $f'(0)=1$ и при некотором $\varrho\in(0,1]$ для всех $z\in\mathbb{D}$ выполняется неравенство Тогда $f$ однолистна в $\mathbb{D}$, а если $\varrho< 1$, то $f(\mathbb{D})$ – жорданова область с квазиконформной границей. Замечание 3.4. При $\varrho=1$ теорема 25 дает неулучшаемое достаточное условие однолистности в $\mathbb D$, что было показано в работе Беккера и Поммеренке [36]. Теорема 26 (Бусовская, Горяйнов [37]). Пусть функция $f$ голоморфна в единичном круге $\mathbb D$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f(z)/z\ne 0$ и $zf'(z)/f(z)\in G$ при всех $z\in\mathbb{D}$, где $G$ – выпуклая область, удовлетворяющая условиям: Тогда $f$ однолистна в $\mathbb{D}$, гомеоморфно продолжается на $\overline{\mathbb{D}}$ и отображает $\mathbb{D}$ на область, ограниченную спрямляемой жордановой кривой. 4. Неподвижные точки и круги однолистности и покрытияУсловие отличия от нуля производной функции $f$ во внутренней точке области влечет не только однолистность в окрестности. В этом случае некоторая окрестность образа этой внутренней точки полностью покрывается значениями функции $f$. Более того, если окрестность достаточно мала, это покрытие будет однолистным и, как следствие, в этой малой окрестности будет существовать голоморфная функция, обратная к функции $f$. Основной вопрос состоит в том, сколь обширные окрестности могут быть выбраны в зависимости от конкретной функции или класса функций. Кёбе принадлежит известная теорема о существовании круга абсолютного радиуса, покрываемого значениями однолистной в единичном круге $\mathbb D$ функции $f$, нормированной условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Его гипотеза о том, что значение абсолютного радиуса равно $1/4$, была подтверждена Бибербахом в связи с задачей о коэффициентах однолистных функций. Теорема 27 (Kёбе [38], Бибербах [39]). Если функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$, то в образе $f(\mathbb D)$ содержится круг $|w|<1/4$. Блох обобщил теорему 27, показав, что если функция только голоморфна, то существует круг абсолютного радиуса, однолистно покрываемый множеством значений функции. Теорема 28 (Блох [40]). Существует $\beta>0$, обладающее следующим свойством. Если функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и $f(0)=0$, $f'(0)=1$, то найдется круг $\Delta\subset\mathbb D$ такой, что $f$ однолистна в $\Delta$ и в образе $f(\Delta)$ содержится круг радиуса $\beta$. Поиск точной верхней грани $B$ таких $\beta$, называемой константой Блоха, составляет одну из важнейших и до сих пор нерешенных проблем геометрической теории функций. Сильнейшая по сути оценка снизу $B\geqslant \sqrt{3}/4$ была получена Альфорсом [41]. Хейнс [42] показал, что оценка Альфорса не является точной, т. е. $B>\sqrt{3}/4$. Бонк [43] с помощью доказанной им теоремы искажения на классе Блоха установил, что $B>\sqrt{3}/4+10^{-14}$. Впоследствии Чен и Готье [44], несколько улучшив технические детали доказательства Бонка, уточнили его наблюдение: $B>\sqrt{3}/4+2\cdot 10^{-4}$. Верхняя оценка константы Блоха получена Альфорсом и Грунским [45]:
$$
\begin{equation*}
B\leqslant \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{3}}}\, \frac{\Gamma(1/3)\Gamma(11/12)}{\Gamma(1/4)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Существует гипотеза, что в последнем неравенстве можно поставить знак равенства. В то же время на классе голоморфных в $\mathbb D$ функций $f$, нормированных условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$, нет единого круга однолистности с центром в начале координат (это следует из результата Ландау, приведенного ниже). Однако ситуация меняется, если рассмотреть сужение данного класса, добавив условие ограниченности функций фиксированной постоянной. Теорема 29 (Ландау [46]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и удовлетворяет условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда $f$ однолистна в круге $|z|<M-\sqrt{M^2-1}$ . При этом для любого $R>M-\sqrt{M^2-1}$ найдется голоморфная в $\mathbb D$ функция $f$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$, ограниченная числом $M$ в круге $\mathbb D$, не являющаяся однолистной в круге $|z|<R$. В работах Дьёдонне и Какридис-Теодоракопулоса были установлены замечательные факты: ограниченные постоянной $M$ голоморфные функции не только осуществляют конформное отображение круга $|z|<M-\sqrt{M^2-1}$ , но отображают его на звездообразные области (см. [1], [47; теорема VI.10]), более того – на выпуклые области (см. [48]). Теорема 30 (Дьёдонне [1]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и удовлетворяет условиям $f(0)= 0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда $f$ является звездообразной в круге $|z|<M-\sqrt{M^2-1}$ функцией. Теорема 31 (Какридис-Теодоракопулос [48]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда $f$ является выпуклой в круге $|z|<M-\sqrt{M^2-1}$ функцией. Отталкиваясь от теоремы 29, Ландау нашел и точный круг, однолистно покрываемый всеми голоморфными в круге $\mathbb D$ функциями $f$, нормированными условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Теорема 32 (Ландау [46]). Пусть функция $f$ голоморфна в круге $\mathbb D$ и удовлетворяет условиям $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая круг $|w|<M(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2$ на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. При этом для любого $R>M(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2$ найдется голоморфная в $\mathbb D$ функция $f$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$, ограниченная числом $M$ в круге $\mathbb D$, не имеющая обратной в круге $|w|<R$. Теорема 32 легла в основу одной из первых оценок снизу константы Блоха. Ниже мы приведем несколько переработанные доказательства обеих теорем Ландау. Идеи этих доказательств будут использованы в дальнейшем для получения точных областей однолистности и однолистного покрытия на классе функций с внутренней и граничной неподвижными точками. Если ограниченная функция является еще и однолистной, то теорема о покрытии Кёбе (теорема 27) допускает следующее усиление. Теорема 33 (Пик [49]). Пусть функция $f$ голоморфна и однолистна в круге $\mathbb D$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и $|f(z)|<M$ для любого $z\in\mathbb D$ и некоторого $M>1$. Тогда в образе $f(\mathbb D)$ содержится круг $|w|<M(2M-1-2\sqrt{M(M-1)}\,)$. Замечание 4.1. При $M\to 1$ радиус покрываемого круга стремится к единице, а при $M\to \infty$ – к $1/4$. Перейдем теперь к доказательству теорем Ландау. Сначала переформулируем теорему Ландау об области однолистности (теорему 29) в терминах отображений единичного круга в себя. Для произвольного $M>1$ выделим в $\mathscr B[0]$ подкласс $\mathscr B_M[0]$, состоящий из функций, у которых модуль производной в точке $z=0$ отделен от нуля числом $1/M$:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{M}[0]=\biggl\{f\in \mathscr B[0]\colon |f'(0)|\geqslant \frac{1}{M}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 29′. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$. Тогда $f$ однолистна в круге Какова бы ни была область $\mathscr{V}$, $\mathscr L\subset\mathscr{V}\subset\mathbb D$, $\mathscr{V}\ne \mathscr L$, найдется функция $f\in \mathscr B_M[0]$, не однолистная в области $\mathscr{V}$. Доказательство теоремы 29′ опирается на неравенство Ландау, оценивающее общее значение функции в двух различных точках. Лемма 4.1 (Ландау [46]). Пусть $f\in \mathscr B[0]$ и точки $a, b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$. Тогда Доказательство. По функции $f\in \mathscr B[0]$ составим дробно-линейное преобразование Очевидно, что $g\in \mathscr B$, причем $g(a)=g(b)=0$. Тогда в силу леммы Шварца–Пика функция $g$ представима в виде
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\,\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\,h(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h\in \mathscr B$, либо $h$ – тождественная константа, по модулю не превосходящая единицы. Полагая в этом представлении $z=0$, получаем $-c=a b \,h(0)$, откуда следует неравенство (4.1). Лемма доказана. Неравенство (4.1) точное, равенство достигается на произведениях Бляшке. Заметим, что обобщение неравенства (4.1) на случай $n$ различных точек получено в [50]. Лемма 4.2 (Лёвнер [51]). Пусть $f\in \mathscr B[0]$, $f(z)\not\equiv \varkappa z$, $|\varkappa|=1$. Тогда для любого $r$, $0<r\leqslant 1$, образ круга $|z|\leqslant r$ при отображении $w(z)=f(z)/z$ лежит в неевклидовом круге Доказательство. Поскольку $f\in \mathscr B[0]$, то в силу леммы Шварца $w(z)=f(z)/z\in \mathscr B$, причем $w(0)=f'(0)$. Тогда по лемме Шварца–Пика для любого $z\in \mathbb D$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{w(z)-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}w(z)}\biggr|\leqslant |z|.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что если $|z|\leqslant r$, $0<r\leqslant 1$, то $w(z)$ лежит в неевклидовом круге (4.2). Лемма доказана. Доказательство теоремы 29′. Исключим случай $f(z)\equiv \varkappa z$, $|\varkappa|=1$, ввиду его очевидности. Предположим, что функция $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$, неоднолистна в круге $\mathscr L$, т. е. найдутся точки $z_1, z_2\in \mathscr L$, $z_1\ne z_2$, такие, что $f(z_1)=f(z_2)$. Тогда по лемме 4.1 имеет место неравенство $|f(z_1)|\leqslant |z_1|\, |z_2|<(M-\sqrt{M^2-1})\,|z_1|$, которое равносильно следующему: С другой стороны, согласно лемме 4.2 функция $w(z)=f(z)/z$ отображает круг $\mathscr L$ в неевклидов круг
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{w-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}w}\biggr|\leqslant M-\sqrt{M^2-1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. в евклидов круг $|w-c|\leqslant R$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c=\frac{1-(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2}{1-(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2\,|f'(0)|^2}\,f'(0), \\ R=(M-\sqrt{M^2-1}\,)\,\frac{1-|f'(0)|^2}{1-(M-\sqrt{M^2-1}\,)^2\,|f'(0)|^2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $w$ из этого круга справедлива оценка снизу
$$
\begin{equation}
|w|\geqslant |c|-R= \frac{|f'(0)|-(M-\sqrt{M^2-1}\,)}{1-(M-\sqrt{M^2-1}\,)|f'(0)|}\,.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из (4.3), (4.4) получаем что эквивалентно неравенству $|f'(0)|<1/M$, которое противоречит принадлежности функции $f$ классу $\mathscr B_M[0]$.
Для доказательства второй части теоремы достаточно для каждой точки границы круга $\mathscr L$ предъявить функцию из класса $\mathscr B_M[0]$, производная которой обращается в нуль в этой точке. Для каждого $\varkappa$, $|\varkappa|=1$, рассмотрим функцию Легко проверить, что $f_\varkappa$ принадлежит при каждом $\varkappa$, $|\varkappa|=1$, классу $\mathscr B_M[0]$ и имеет в точке $z_{\varkappa}=\varkappa(M-\sqrt{M^2-1}\,)$ нулевую производную. Теорема доказана.Сформулируем и докажем теорему Ландау об области однолистного покрытия (теорему 32) для класса $\mathscr B_M[0]$. Теорема 32′. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая круг на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr V$, $\mathscr W\subset \mathscr V \subset \mathbb D$, $\mathscr V\ne \mathscr W$, найдется функция $f\in \mathscr B_M[0]$, не имеющая обратной в области $\mathscr V$. Доказательство. Пусть $f\in \mathscr B_M[0]$, $M>1$. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что уравнение $f(z)=w$ при каждом $w\in \mathscr W$ имеет в некоторой области круга $\mathbb D$ единственное решение. Покажем, что в качестве такой области можно взять круг $\mathscr L=\{z\in \mathbb D\colon |z|<M-\sqrt{M^2-1}\,\}$. Если точка $z$ пробегает окружность $|z|=M-\sqrt{M^2-1}$ , то по лемме 4.2 значения функции $g(z)=f(z)/z$ лежат в неевклидовом круге
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{g(z)-f'(0)}{1-\overline{f'(0)}g(z)}\biggr|\leqslant M-\sqrt{M^2-1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Точно так же, как при доказательстве теоремы 29′, выводим оценку снизу А с учетом того, что $|f'(0)|\geqslant 1/M$, получаем $|g(z)|\geqslant M-\sqrt{M^2-1}$ . Наконец, вспоминая, что $g(z)=f(z)/z$ и $|z|=M-\sqrt{M^2-1}$ , заключаем справедливость неравенства $|f(z)|\geqslant (M-\sqrt{M^2-1}\,)^2$ для всех $z$ на окружности $|z|=M-\sqrt{M^2-1}$ .
Таким образом, когда точка $z$ совершает один оборот по окружности $|z|=M-\sqrt{M^2-1}$ , аргумент $f(z)-w$ получает приращение $2\pi$, какова бы ни была точка $w$ круга $\mathscr W$. Следовательно, в круге $\mathscr L$ уравнение $f(z)=w$ имеет ровно одно решение. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Для каждого $\varkappa$, $|\varkappa|=1$, рассмотрим функцию Функция $f_\varkappa$ принадлежит классу $\mathscr B_M[0]$ и имеет в точке $z_{\varkappa}=\varkappa\bigl(M-\sqrt{M^2-1}\,\bigr)$ нулевую производную. Следовательно, в точке функция, обратная к $f_\varkappa$, имеет точку ветвления. Таким образом, каждая точка на границе круга $\mathscr W$ является препятствием на пути расширения области обратимости. Теорема доказана.5. Неподвижные точки и интегральные представленияВ этом разделе получены интегральные представления классов функций с двумя неподвижными точками. Эти результаты выступают в качестве инструментов получения оценок как для областей однолистности, так и для тейлоровских коэффициентов. Обозначим через $\mathscr C$ класс голоморфных в $\mathbb D$ функций $h$, удовлетворяющих условию $\operatorname{Re}h(z)>0$ при $z\in \mathbb D$. В силу теоремы Рисса–Герглотца (см., например, [32]) функция $h$ принадлежит классу $\mathscr C$ в том и только том случае, если
$$
\begin{equation}
h(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\nu(\varkappa)+iv,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $v=\operatorname{Im}h(0)$, $\nu$ – положительная борелевская мера на $\mathbb T$ с общей массой $\nu(\mathbb T)=\operatorname{Re}h(0)$. С учетом того, что между классами $\mathscr B$ и $\mathscr C$ существует взаимно однозначное соответствие $f\leftrightarrow h$, определяемое равенствами
$$
\begin{equation*}
h(z)=\frac{1+f(z)}{1-f(z)}\,,\qquad f(z)=\frac{h(z)-1}{h(z)+1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
в работе [6] выделены в представлении (5.1) функции, соответствующие подклассам $\mathscr B$ с двумя неподвижными точками. Как и раньше, через $\mathscr B[0,1]$ будем обозначать класс функций $f$ из $\mathscr B$, которые оставляют неподвижным начало координат и граничную точку $z=1$. Лемма 5.1 (Горяйнов [6]). Функция $f$ принадлежит классу $\mathscr B[0,1]$ и имеет угловую производную $f'(1)=\alpha$, $\alpha>1$, в том и только том случае, если функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ допускает представление в виде где $\mu$ – вероятностная мера на единичной окружности $\mathbb T$, удовлетворяющая условию $\mu(\{1\})=0$. Доказательство. Пусть $f\in\mathscr B[0,1]$ и $f'(1)=\alpha>1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{1+f(z)}{1-f(z)}= \int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\nu(\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu$ – вероятностная мера на $\mathbb T$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\alpha}=\lim_{ x\to 1}\frac{(1-x)(1+f(x))}{(1+x)(1-f(x))}= \lim_{x\to 1}\int_{\mathbb T} \frac{(1-x)(1+\varkappa x)}{(1+x)(1-\varkappa x)}\,d\nu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку при всех $x\in(0,1)$ и $\varkappa \in \mathbb T$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{(1-x)(1+\varkappa x)}{(1+x)(1-\varkappa x)}\biggr|\leqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
то по теореме Лебега о мажорируемой сходимости можно совершить предельный переход под знаком интеграла. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+\varkappa x)}{(1+x)(1-\varkappa x)}=\begin{cases} 0 & \text{при}\ \varkappa\ne 1, \\ 1 & \text{при}\ \varkappa= 1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\alpha}=\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+f(x))}{(1+x)(1-f(x))}=\nu(\{1\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ имеет представление
$$
\begin{equation*}
h(z)=\frac{1}{\alpha}\,\frac{1+z}{1-z}+\int_{\mathbb T \setminus\{1\}} \frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\nu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя замену меры $\nu$ на меру $\mu$ с помощью равенств
$$
\begin{equation*}
d\mu(\varkappa)=\frac{\alpha}{\alpha-1}\,d\nu(\varkappa) \quad\text{при}\, \varkappa\in\mathbb T \setminus\{1\}\quad\text{и}\quad \mu(\{1\})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к представлению (5.2).
Обратно, если $\mu$ – вероятностная мера на $\mathbb T$ с $\mu(\{1\})=0$ и $\alpha>1$, то формула (5.2) задает голоморфную в $\mathbb D$ функцию c положительной вещественной частью, удовлетворяющую условию $h(0)=1$. Кроме того, $\lim_{x\to 1}h(x)=\infty$. Это означает, что функция $f(z)=(h(z)-1)/(h(z)+1)$ принадлежит классу $\mathscr B[0,1]$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{f'(1)}&=\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+f(x))}{(1+x)(1-f(x))}= \lim_{x\to 1}\frac{1-x}{1+x}\,h(x) \\ &=\frac{1}{\alpha}+\frac{\alpha-1}{\alpha}\lim_{x\to 1}\int_{\mathbb T} \frac{(1-x)(1+\varkappa x)}{(1+x)(1-\varkappa x)}\,d\mu(\varkappa)= \frac{1}{\alpha}+\frac{\alpha-1}{\alpha}\mu(\{1\})=\frac{1}{\alpha}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $f(1)=1$, $f'(1)=\alpha$. Лемма доказана. Обозначим через $\mathscr B\{-1,1\}$ подмножество функций $f$ из $\mathscr B$, которые оставляют неподвижными граничные точки $z=\pm 1$ и имеют конечные угловые производные $f'(1)$ и $f'(-1)$. Лемма 5.2 (Горяйнов [6]). Функция $f$ принадлежит классу $\mathscr B\{-1,1\}$ тогда и только тогда, когда функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ допускает представление в виде где $\rho>0$, $\lambda\in(0,1)$, $\mu$ – вероятностная мера на единичной окружности $\mathbb T$ со свойством $\mu(\{-1,1\})=0$. При этом $f'(-1)=\rho$, $f'(1)f'(-1)=1/\lambda$. Доказательство. Пусть $f\in\mathscr B\{-1,1\}$ и выполнены условия $f'(-1)=\rho$, $f'(1)f'(-1)=1/\lambda$. Тогда функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ является голоморфной в $\mathbb D$ и имеет положительную вещественную часть. Поэтому найдется положительная борелевская мера $\nu$ на $\mathbb T$ такая, что
$$
\begin{equation*}
h(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\nu(\varkappa)+iv,
\end{equation*}
\notag
$$
где $v=\operatorname{Im} h(0)$ и $\nu(\mathbb T)=\operatorname{Re} h(0)$. Как и при доказательстве леммы 5.1, имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda \rho=\frac{1}{f'(1)}=\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+f(x))}{(1+x)(1-f(x))}= \lim_{x\to 1}\frac{1-x}{1+x}h(x)=\nu(\{1\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho= f'(-1)&=\lim_{x\to -1}\frac{(1-x)(1+f(x))}{(1+x)(1-f(x))}= \lim_{x\to -1}\frac{1-x}{1+x}h(x)=\lim_{x\to -1}\operatorname{Re} \biggl(\frac{1-x}{1+x}h(x)\biggr) \\ &=\lim_{x\to -1}\int_{\mathbb T}\operatorname{Re} \biggl(\frac{(1-x)(1+\varkappa x)}{(1+x)(1-\varkappa x)}\biggr)\, d\nu(\varkappa)=\lim_{x\to -1}\int_{\mathbb T} \frac{(1-x)^2}{|1-\varkappa x|^2}\,d\nu(\varkappa). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\,\frac{(1-x)^2}{|1-\varkappa x|^2}= \frac{2(1-x^2)}{|1-\varkappa x|^4}(\operatorname{Re}\varkappa-1)\leqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\varkappa\in\mathbb T$ и $x\in(-1,1)$, по теореме о монотонной сходимости получаем
$$
\begin{equation}
\lim_{x\to -1}\int_{\mathbb T} \frac{(1-x)^2}{|1-\varkappa x|^2}\,d\nu(\varkappa)= \int_{\mathbb T}\frac{4\,d\nu(\varkappa)}{|1+\varkappa|^2}=\rho.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Отсюда, в частности, следует, что $\nu(\{-1\})=0$. Но тогда $h$ представима в виде
$$
\begin{equation*}
h(z)=\lambda\rho\,\frac{1+z}{1-z}+\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}} \frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\nu(\varkappa)+iv.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку угловая производная $f'(-1)$ вещественна, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\operatorname{Im}f'(-1)=\lim_{x\to -1}\operatorname{Im} \biggl(\frac{1-x}{1+x}h(x)\biggr) \\ &=\lim_{x\to -1}\frac{1-x}{1+x} \biggl(\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}}\operatorname{Im} \frac{1+\varkappa x}{1-\varkappa x}\,d\nu(\varkappa)+v\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
v=-\lim_{x\to -1}\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}}\operatorname{Im} \frac{1+\varkappa x}{1-\varkappa x}\,d\nu(\varkappa)= i \lim_{x\to -1}\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}} \frac{x(\varkappa-\overline{\varkappa})}{|1-\varkappa x|^2}\,d\nu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $x\in(-1,-1/2)$ и $\varkappa \in \mathbb T\setminus\{-1,1\}$, то
$$
\begin{equation*}
|1-\varkappa x|^2=(1+x)^2-2x(1+\operatorname{Re} \varkappa)> 1+\operatorname{Re}\varkappa=\frac{|1+\varkappa|^2}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит к неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{|x(\varkappa -\overline{\varkappa})|}{|1-\varkappa x|^2}\leqslant \frac{4}{|1+\varkappa|^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому применима теорема Лебега о мажорируемой сходимости и, значит,
$$
\begin{equation*}
iv=\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}} \frac{\varkappa-\overline{\varkappa}}{|1+\varkappa|^2}\,d\nu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, представление функции $h$ преобразуется к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h(z)&=\lambda\rho\,\frac{1+z}{1-z}+\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}} \biggl(\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}+ \frac{\varkappa-\overline{\varkappa}}{|1+\varkappa|^2}\biggr)\,d\nu(\varkappa) \notag \\ &=\lambda\rho\,\frac{1+z}{1-z}+2(1+z)\int_{\mathbb T\setminus \{-1,1\}} \frac{1+\varkappa}{(1-\varkappa z)|1+\varkappa|^2}\,d\nu(\varkappa). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Вспоминая, что $\nu(\{-1\})=0$, $\nu(\{1\})=\rho\lambda$, из (5.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\rho=\int_{\mathbb T}\frac{4\,d\nu(\varkappa)}{|1+\varkappa|^2}= \rho\lambda+\int_{\mathbb T\setminus\{-1,1\}} \frac{4\,d\nu(\varkappa)}{|1+\varkappa|^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb T\setminus\{-1,1\}} \frac{4\,d\nu(\varkappa)}{|1+\varkappa|^2}=\rho(1-\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мера $\mu$, определяемая на $\mathbb T\setminus \{-1,1\}$ с помощью равенства
$$
\begin{equation*}
d\mu(\varkappa)=\frac{4\,d\nu(\varkappa)}{\rho(1-\lambda)|1+\varkappa|^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
является вероятностной. Полагая $\mu(\{-1,1\})=0$, получаем вероятностную меру на $\mathbb T$, в ее терминах представление (5.5) имеет вид (5.3).
Обратно, пусть функция $h$ имеет представление (5.3). Так как для любых $z\in\mathbb D$ и $\varkappa \in \mathbb T$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\frac{(1+z)(1+\varkappa)}{1-\varkappa z}= \frac{(1-|z|^2)(1+\operatorname{Re}\varkappa)}{|1-\varkappa z|^2}\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то $\operatorname{Re} h(z)>0$ при $z\in\mathbb D$. Это означает, что функция $f(z)=(h(z)-1)/(h(z)+1)$ принадлежит классу $\mathscr B$. Замечая, что $\lim_{x\to 1}h(x)=\infty$, $\lim_{x\to -1}h(x)=0$, приходим к выводу о неподвижности точек $z=\pm 1$ для функции $f$. Из (5.3) следует, что поэтому Таким образом, $f\in \mathscr B\{-1,1\}$, $f'(-1)=\rho$, $f'(1)=1/(\lambda\rho)$. Лемма доказана. Из леммы 5.2 можно вывести интегральное представление для подкласса $\mathscr D\{-1,1\}$, состоящего из функций, сохраняющих вещественный диаметр:
$$
\begin{equation*}
\mathscr D\{-1,1\}=\bigl\{f\in \mathscr B\{-1,1\}\colon f\bigl((-1,1)\bigr)=(-1,1)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5.3 (Кудрявцева [52]). Функция $f$ принадлежит классу $\mathscr D\{-1,1\}$ в том и только том случае, если функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ допускает представление в виде где $\rho>0$, $\lambda\in(0,1)$, $\mu$ – вероятностная мера на единичной окружности $\mathbb T$ со свойством $\mu(\{-1,1\})=0$. При этом $f'(-1)=\rho$, $f'(1)f'(-1)=1/\lambda$. 6. Граничные неподвижные точки и связанные с ними области однолистностиОтличие от нуля производной во внутренней неподвижной точке является необходимым и достаточным условием локальной однолистности. В случае граничной неподвижной точки, как видно из предыдущих разделов, угловая производная не обращается в нуль. Поэтому естественно ожидать однолистность в некоторой ее окрестности, хотя само понятие окрестности граничной точки требует уточнения. Валирон [53] заметил, что подобное явление действительно имеет место в том случае, когда угловая производная в граничной неподвижной точке конечна. Теорема 34 (Валирон [53]). Пусть $f\in\mathscr B\{1\}$ и $f'(1)<\infty$. Тогда для любого $\varphi\in(0,\pi/2)$ найдется достаточно малое $r>0$ такое, что $f$ однолистна в секторе Таким образом, Валирон показал, что в плане локальной однолистности угловая производная не намного слабее обычной. В то время как голоморфная функция с отличной от нуля производной однолистна в некотором круге, функция, имеющая конечную угловую производную, однолистна в некотором секторе раствора сколь угодно близкого к $\pi$. Разумеется, радиус сектора зависит не только от величины угла, но и от самой функции. Бейкер и Поммеренке [54], [55] детально изучили характер и размеры областей однолистности функции $f\in\mathscr B\{1\}$ в зависимости от поведения итераций этой функции. В частности, оказалось, что при определенных условиях однолистность можно гарантировать не только в секторе, но даже в некоторой области, граница которой касается единичной окружности в точке $z=1$. Аналогия с внутренней точкой наблюдается также в задачах описания областей однолистности для индивидуальных функций. Беккер и Поммеренке [56] для функции $f\in \mathscr B\{1\}$, имеющей конечную угловую производную в граничной неподвижной точке, указали область, в которой эта функция однолистна. Теорема 35 (Беккер, Поммеренке [56]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$ и $f'(1)<\infty$. Тогда $f$ однолистна в области Доказательство теоремы 35 основано на неравенстве Беккера–Поммеренке (6.3), в некотором смысле аналогичном неравенству Ландау (4.1). Доказательство этого неравенства проведем, опираясь на идеи Ландау. Лемма 6.1 (Беккер, Поммеренке [56]). Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$ и точки $a, b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$. Тогда Доказательство. Пусть $f\in \mathscr B\{1\}$. Тогда функция
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{1-\overline{c}}{1-c}\,\frac{f(z)-c}{1-\overline{c}f(z)}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $\mathscr B\{1\}$, причем $g(a)=g(b)=0$. Согласно лемме Шварца–Пика функция $g$ допускает следующее представление:
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{1-\overline{a}}{1-a}\,\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\, \frac{1-\overline{b}}{1-b}\,\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\,h(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h\in \mathscr B\{1\}$ либо $h(z)\equiv 1$. Если $h(z)\equiv 1$, имеем равенство в (6.3). Если $h\in \mathscr B\{1\}$, то функция имеет в точке $z=1$ положительную угловую производную. С другой стороны, Лемма доказана. Обобщение неравенства (6.3) на случай $n$ различных точек получено в [50]. Доказательство теоремы 35. Заметим, что область $\mathscr P$ (см. (6.2)) не пустая, так как в силу теоремы Жюлиа–Каратеодори левая часть неравенства в (6.2) всегда больше 1 и заведомо меньше 2 в угле Штольца достаточно малого радиуса, раствора сколь угодно близкого к $\pi$. Если $f$ не однолистна в области $\mathscr P$, то найдутся точки $a,b\in \mathscr P$, $a\ne b$, со свойством $f(a)=f(b)=c$. Из того, что неравенство в (6.2) выполняется как для точки $a$, так и для точки $b$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}<2\,\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}\,,\quad f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}<2\,\frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}<\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}+ \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое противоречит неравенству (6.3). Теорема доказана. Замечание 6.1. В силу теоремы Жюлиа–Каратеодори левая часть неравенства в (6.2) всегда превосходит единицу. Более того, внутри любого угла эта величина стремится к единице, и, следовательно, внутри части достаточно малой окрестности, лежащей внутри этого угла, она меньше 2. Тем самым, теорема 35 количественно характеризует утверждение Валирона о локальной однолистности в окрестности граничной неподвижной точки (см. теорему 34). Ситуация с выделением областей однолистности на классе функций с условием на производную в граничной неподвижной точке кардинально отличается от случая внутренней точки. Как показано в [57], даже для достаточно малого угла раствора сектора (6.1) выбрать единое значение радиуса сектора однолистности только лишь на основании информации о значении угловой производной в граничной точке, вообще говоря, нельзя. Для произвольного $\alpha>1$ выделим в классе $\mathscr B\{1\}$ подкласс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$, состоящий из функций, имеющих ограничение на значение угловой производной в неподвижной точке:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{\alpha}\{1\}= \{f\in \mathscr B\{1\}\colon f'(1)\leqslant \alpha\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 36 (Кудрявцева, Солодов [57]). Ни при каком $\alpha>1$ на классе $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ нет непустых областей однолистности. Иначе говоря, класс $\mathscr B_{\alpha}\{1\}$ слишком обширен, и для существования непустых областей однолистности необходимо рассматривать более узкие классы. Наиболее естественное сужение класса $\mathscr B_\alpha\{1\}$, $\alpha>1$, – его подкласс, состоящий из функций, имеющих наряду с отталкивающей неподвижной точкой $z=1$ притягивающую неподвижную точку, существование которой установили Данжуа и Вольф (подробнее об этом см. раздел 7). С одной стороны, подобное сужение довольно естественно и, более того, класс $\mathscr B_\alpha\{1\}$ распадается на классы функций с двумя неподвижными точками. С другой стороны, классы функций с несколькими неподвижными точками, а с двумя в особенности, плодотворны для разнообразных экстремальных задач и играют важную роль в приложениях. Разберем сначала случай, когда дополнительная неподвижная точка является внутренней. Не ограничивая общности, можем считать, что это начало координат. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_\alpha[0,1]=\mathscr B_\alpha\{1\}\cap \mathscr B[0],\qquad \alpha>1.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha\in(1,2)$ теорема 7 влечет вложение класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ в класс $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$. Из этого вложения и теоремы 29′ выводим следующий результат. Теорема 37 (Горяйнов [6]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in (1,2)$. Тогда $f$ однолистна в круге Таким образом, при каждом $\alpha\in(1,2)$ на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ есть непустая область однолистности. Более того, среди кругов с центром в нуле, в которых однолистны все функции класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, круг $\mathscr{O}(\alpha)$ имеет максимальный радиус. В то же время класс $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ существенно \’уже, чем $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$. Это обстоятельство открывает перспективу расширения области однолистности $\mathscr{O}(\alpha)$. Первое продвижение в этом вопросе сделано в [6], где обнаружена возможность расширения областей однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$. Теорема 38 (Горяйнов [6]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$. Тогда $f$ однолистна в области Доказательство. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$. В силу леммы 5.1 функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ представима в виде (5.2). Полагая $\zeta=L(z)=(1+z)/(1-z)$, определим функцию $g(\zeta)=h\circ L^{-1}(\zeta)$, которая голоморфна в правой полуплоскости $\mathbb H=\{\zeta\in \mathbb C\colon\operatorname{Re}\zeta>0\}$ и имеет вид
Оценивая снизу вещественную часть производной функции $g$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} g'(\zeta)\geqslant\frac{1}{\alpha}+ \biggl(1-\frac{1}{\alpha}\biggr)\min_{\varkappa\in\mathbb T} \operatorname{Re}\frac{4\varkappa}{((1-\varkappa)\zeta+1+\varkappa)^2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
убеждаемся, что условие $\operatorname{Re}g'(\zeta)>0$ выполняется при $\zeta\in L(\mathscr A(\alpha))$. Поскольку область $L(\mathscr A(\alpha))$ выпукла, то по теореме Носиро–Варшавского (см. теорему 9) функция $g$ однолистна в $L(\mathscr A(\alpha))$. Но это означает однолистность функции $f=L^{-1}\circ g\circ L$ в области $\mathscr A(\alpha)$. Теорема доказана. Области $\mathscr A(\alpha)$ при всех $\alpha\in(1,2)$ содержат внутреннюю неподвижную точку и примыкают к граничной, тем самым соединяя “коридором” однолистности эти две неподвижные точки. С этой точки зрения значение $\alpha=2$ является критическим: функция $f(z)=z^2$ принадлежит классу $\mathscr B_{2}[0,1]$, но не является однолистной ни в какой окрестности нуля. В [57] получено усиление теоремы 38, области однолистности при $\alpha\in(1,2)$ расширены, обнаружено существование областей однолистности при $\alpha\in[2,4)$, т. е. при значениях $\alpha$, бо́льших критического. Теорема 39 (Кудрявцева, Солодов [57]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha \in (1,4)$. Тогда $f$ однолистна в области Доказательство теоремы 39 основано на том же методе, что и доказательство теоремы 38. В [58] получен окончательный результат при каждом $\alpha\in(1,4]$: найдена точная область однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$. Вопрос о существовании и размере области однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ при $\alpha>4$ остается открытым. Теорема 40 (Солодов [58]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in (1,4]$. Тогда $f$ однолистна в области Какова бы ни была область $\mathscr{U}$, $\mathscr D(\alpha)\subset\mathscr{U}\subset\mathbb D$, $\mathscr U\ne \mathscr D(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, не однолистная в области $\mathscr{U}$. На рис. 1 можно увидеть структуру и взаимное расположение областей однолистности из теорем 37–40. Доказательство теоремы 40 опирается на следующее неравенство, являющееся уточнением леммы 6.1 на классе $\mathscr B[0,1]$. Лемма 6.2 (Cолодов [58]). Пусть $f\in \mathscr B[0,1]$ и точки $a,b\in \mathbb D$, $a\ne b$, таковы, что $f(a)=f(b)=c$. Тогда где $\lambda(z)=-z\,{(1-\overline{z})}/{(1-z)}$. Замечание 6.3. Поскольку $|\lambda (z)|=|z|$ для любого $z\in\mathbb D$, то в силу леммы 4.1 верна оценка $|\lambda(c)/(\lambda(a)\lambda(b))|\leqslant 1$. Это влечет неотрицательность последнего слагаемого в правой части неравенства (6.7). Доказательство леммы 6.2. Пусть $f\in \mathscr B[0,1]$. Тогда функция
$$
\begin{equation*}
g(z)=\frac{1-\overline{c}}{1-c}\,\frac{f(z)-c}{1-\overline{c}f(z)}
\end{equation*}
\notag
$$
принадлежит классу $\mathscr B\{1\}$, причем $g(a)=g(b)=0$. Более того, $g(0)=\lambda(c)$ и угловая производная в точке $z=1$ имеет вид В силу леммы Шварца–Пика функция $g$ допускает представление
$$
\begin{equation}
g(z)=\frac{1-\overline{a}}{1-a}\,\frac{z-a}{1-\overline{a}z}\, \frac{1-\overline{b}}{1-b}\,\frac{z-b}{1-\overline{b}z}\, h(z),
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
где $h\in \mathscr B\{1\}$ либо $h(z)\equiv 1$. Если $h(z)\equiv 1$, имеем равенство в (6.7). Пусть $h\in \mathscr B\{1\}$. Из (6.9) видно, что $g(0)=\lambda(a)\lambda(b)h(0)$. Следовательно, Из (6.8) и (6.9) находим значение угловой производной функции $h$ в точке $z=1$:
$$
\begin{equation}
h'(1)=f'(1)\,\frac{1-|c|^2}{|1-c|^2}-\frac{1-|a|^2}{|1-a|^2}- \frac{1-|b|^2}{|1-b|^2}\,.
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Поскольку $h\in\mathscr B\{1\}$, то cогласно теореме Жюлиа–Каратеодори имеет место неравенство Учитывая (6.10)–(6.12), получаем оценку (6.7). Лемма доказана. Обобщение неравенства (6.7) на случай $n$ различных точек получено в [50]. Доказательство теоремы 40. Зафиксируем $\alpha\in (1,4]$. Предположим, что некоторая функция $f$ из класса $\mathscr B_{\alpha}[0, 1]$ не однолистна в области $\mathscr D(\alpha)$, т. е. найдутся две различные точки $a,b\in \mathscr D(\alpha)$ со свойством $f(a)=f(b)=c$, $c\in \mathbb D$. Тогда по лемме 6.2 справедливо неравенство (6.7). Однако, учитывая свойства инволюции $\lambda$ и преодолевая ряд технических трудностей, можно показать, что на самом деле имеет место неравенство, противоположное неравенству (6.7). Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы.
Для доказательства второй части теоремы достаточно для каждой точки границы области $\mathscr D(\alpha)$ предъявить функцию из класса $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, производная которой обращается в нуль в этой точке. Для каждого $\theta\in(-\pi,\pi)$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_{\theta}(z)=z\frac{1-(\alpha-1)e^{i\theta}+\alpha e^{i\theta}z} {\alpha-(\alpha-1-e^{i\theta})z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что $f_{\theta}$ принадлежит при каждом $\theta\in(-\pi,\pi)$ классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ и имеет нулевую производную в точке
$$
\begin{equation}
z_{\alpha}(\theta)= \frac{\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\theta/2}}{\sqrt{\alpha-1}+e^{i \theta/2}}\,.
\end{equation}
\tag{6.13}
$$
Нетрудно убедиться, что формула (6.13) задает кривую, ограничивающую область $\mathscr D(\alpha)$. Теорема доказана. Структура области однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ (см. (6.6)) играет ключевую роль в поиске области однолистного покрытия на этом классе. Конечно, из вложения $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$, в класс $\mathscr B_{\alpha/(2-\alpha)}[0]$ следует обратимость всех функций класса $\mathscr{B}_\alpha[0,1]$ в некотором круге. На самом деле вместо круга можно взять существенно более обширную область, содержащую внутреннюю неподвижную точку и примыкающую к граничной неподвижной точке. Имеет место следующий окончательный результат. Теорема 41 (Кудрявцева, Солодов [59]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha\in(1,2)$. Тогда существует функция, обратная к $f$ и конформно отображающая область на некоторую область $\mathscr X\subset \mathbb D$. Какова бы ни была область $\mathscr V$, $\mathscr W(\alpha)\subset \mathscr V \subset \mathbb D$, $\mathscr V\ne \mathscr W(\alpha)$, найдется функция $f\in \mathscr B_{\alpha}[0, 1]$, не имеющая обратной в области $\mathscr V$. Наконец, при $\alpha\geqslant 2$ на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ нет непустых областей однолистного покрытия. Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточно проверить, что уравнение $f(z)=w$ при каждом $w\in\mathscr W(\alpha)$ имеет в некоторой области круга $\mathbb D$ единственное решение. Покажем, что в качестве такой области можно взять область $\mathscr D(\alpha)$ (см. (6.6)). Если точка $z$ пробегает кусочно гладкую кривую
$$
\begin{equation*}
z=\frac{\sqrt{\alpha-1}-e^{-i\varphi/2}}{\sqrt{\alpha-1}+e^{i\varphi/2}}\,, \qquad \varphi\in[-\pi,\pi],
\end{equation*}
\notag
$$
являющуюся границей области $\mathscr D(\alpha)$, то значения функции $f(z)$ не могут оказаться внутри области $\mathscr W(\alpha)$. Действительно, в силу леммы Шварца функция $g(z)=f(z)/z$ принадлежит классу $\mathscr B$. Более того, $g\in \mathscr B_{\alpha-1}\{1\}$. Вследствие теоремы Жюлиа–Каратеодори значение функции $g$ в точке $z$ удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation*}
\frac{|1-g(z)|^2}{1-|g(z)|^2}\leqslant(\alpha-1)\,\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, значение $f(z)$ должно оказаться внутри круга с границей
$$
\begin{equation}
\frac{|z-\zeta|^2}{|z|^2-|\zeta|^2}=(\alpha-1)\,\frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}\,.
\end{equation}
\tag{6.14}
$$
Показывая, что граница области $\mathscr W(\alpha)$ имеет с окружностью (6.14) ровно одну общую точку, убеждаемся в том, что значение $f(z)$ не может попасть внутрь области $\mathscr W(\alpha)$. Таким образом, когда точка $z$ совершает один оборот по границе области $\mathscr D(\alpha)$, аргумент $f(z)-w$ получает приращение $2\pi$, какова бы ни была точка $w$ области $\mathscr W(\alpha)$. Следовательно, в области $\mathscr D(\alpha)$ уравнение $f(z)=w$ имеет ровно одно решение.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Для каждого $\theta\in (-\pi,\pi)$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_{\theta}(z)=z\frac{1-(\alpha-1)e^{i\theta}+\alpha e^{i\theta}z} {\alpha-(\alpha-1-e^{i\theta})z}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $f_\theta$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$ и имеет нулевую производную в точке Следовательно, в точке функция, обратная к $f_\theta$, имеет точку ветвления. Таким образом, каждая точка на границе области $\mathscr W(\alpha)$ является препятствием на пути расширения области однолистного покрытия. Теорема доказана. В оставшейся части раздела рассмотрим ситуацию, когда дополнительная неподвижная точка расположена на границе. Опять же, не ограничивая общности, можно считать неподвижной точку $z=-1$. Возникает следующая задача: найти область однолистности на классе
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_{\alpha}[-1,1]=\mathscr B_{\alpha}\{1\}\cap \mathscr B[-1]
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\alpha>1$ (через $\mathscr B[-1]$ обозначен класс функций $f\in\mathscr B$, для которых точка $z=-1$ является точкой Данжуа–Вольфа). В полном объеме эта задача в настоящий момент не решена. В то же время при некоторых значениях $\alpha$ существование областей однолистности на классе $\mathscr B_{\alpha}[-1,1]$ вытекает из результатов работы [60], где был рассмотрен симметричный класс
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_\alpha\{-1,1\}=\Bigl\{f\in \mathscr B\colon\angle\lim_{z\to\pm1} f(z)=f(\pm 1)=\pm 1,\, f'(1)f'(-1)\leqslant \alpha\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Изучение такого класса довольно естественно, так как в силу леммы Жюлиа–Каратеодори функционал $f'(1)f'(-1)$ ограничен снизу единицей. С другой стороны, вложение $\mathscr B_\alpha[-1,1]\subset\mathscr B_\alpha\{-1,1\}$ позволяет вывести существование области однолистности на классе $\mathscr B_\alpha[-1,1]$ из существования таковой на более широком классе $\mathscr B_\alpha\{-1,1\}$. В работе [60] получен следующий результат. Теорема 42 (Горяйнов [60]). Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}\{-1,1\}$, $\alpha\in(1,9)$. Тогда $f$ однолистна в области где $y^*(\alpha)$ – единственный в интервале $0<y<\pi/2$ корень уравнения Замечание 6.4. Область (6.15) может быть записана в эквивалентном виде Доказательство теоремы 42. Пусть $f\in \mathscr B_{\alpha}\{-1,1\}$, $\alpha\in (1,9)$. Согласно лемме 5.2 функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ допускает представление в виде (5.3). Тогда функция $g(\zeta)=h\circ L(\zeta)$, где $L(\zeta)=(\zeta-1)/(\zeta+1)$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
g(\zeta)=\rho\biggl(\frac{\zeta}{\alpha}+\biggl(1-\frac{1}{\alpha}\biggr) \zeta\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa}{(1-\varkappa)\zeta +1+\varkappa}\, d\mu(\varkappa)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая снизу вещественную часть производной функции $g$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}g'(\zeta)\geqslant \rho\biggl(\frac{1}{\alpha}+ \biggl(1-\frac{1}{\alpha}\biggr)\min_{\varkappa\in \mathbb T}\operatorname{Re} \frac{(1+\varkappa)^2}{((1-\varkappa)\zeta +1+\varkappa))^2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
убеждаемся, что условие $\operatorname{Re} g'(\zeta)>0$ выполняется в каждой точке $\zeta$ из выпуклой области
$$
\begin{equation*}
\mathscr C(\alpha)=\{(x,y)\in \mathbb R^2 \colon |y|<\sqrt{m(\alpha)}\,x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
По теореме Носиро–Варшавского (теорема 9) функция $g$ однолистна в $\mathscr C(\alpha)$. Но тогда функция $f=L\circ g\circ L^{-1}$ однолистна в области $L(\mathscr C(\alpha))$, которая совпадает с областью $\mathscr J(\alpha)$. Теорема доказана. Области $\mathscr J(\alpha)$ при каждом $\alpha\in(1,9)$ содержат вещественный диаметр и ограничены двумя дугами окружностей, проходящих через точки $z=\pm1$. Нетрудно заметить, что условие $\alpha<9$ является точным. Действительно, функция $f(z)=z^3$ принадлежит классу $\mathscr B_9\{-1,1\}$, но не является однолистной ни в какой окрестности вещественного диаметра. Области однолистности $\mathscr J(\alpha)$ не являются неулучшаемыми. В работе [52] для каждого $\alpha\in(1,9)$, получена оценка сверху: построена область, за границу которой распространение области однолистности на всем классе $\mathscr B_{\alpha}\{-1,1\}$ невозможно. Однако дополняющая теорему 42 оценка сверху не дает ответа на поставленный выше вопрос о точности областей $\mathscr J(\alpha)$. С другой стороны, полученная оценка сверху оказывается весьма эффективной для наиболее интересного с точки зрения приложений подкласса $\mathscr D_\alpha\{-1,1\}$, состоящего из функций, сохраняющих вещественный диаметр:
$$
\begin{equation*}
\mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}=\{f\in \mathscr B_{\alpha}\{-1,1\}\colon f((-1,1))=(-1,1)\}, \qquad \alpha>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 43 (Кудрявцева, Солодов [52]). Пусть $f\in \mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$, $\alpha\in(1,9)$. Тогда $f$ однолистна в области где Теорема 44 (Кудрявцева, Солодов [52]). Пусть $\alpha>1$. Для каждой точки $z_0$ границы области найдется функция $f_{z_0}\in \mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$, производная которой в точке $z_0$ обращается в нуль. Доказательство теоремы 43. Пусть $f\in \mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$, $\alpha\in(1,9)$. Согласно лемме 5.3 функция $h(z)=(1+f(z))/(1-f(z))$ представима в виде (5.6). Тогда функция $g(\zeta)=h\circ L(\zeta)$, где $L(\zeta)=(\zeta-1)/(\zeta+1)$, имеет вид
$$
\begin{equation*}
g(\zeta)=\rho\biggl(\frac\zeta\alpha+\biggl(1-\frac{1}\alpha\biggr)\zeta \int_{\mathbb T}\frac{1+\operatorname{Re}\varkappa}{1+\zeta^2+ \operatorname{Re}\varkappa\,(1-\zeta^2)}\,d\mu(\varkappa)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Оценивая снизу вещественную часть производной функции $g$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re} g'(\zeta) \geqslant \rho\biggl(\frac{1}\alpha+ \biggl(1-\frac{1}\alpha\biggr)\min_{\varkappa\in \mathbb T}\operatorname{Re} \frac{(1+\operatorname{Re}\varkappa) \bigl(1-\zeta^2+\operatorname{Re}\varkappa\,(1+\zeta^2)\bigr)} {\bigl(1+\zeta^2+\operatorname{Re}\varkappa\,(1-\zeta^2)\bigr)^2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
находим область, в точках которой выполняется условие $\operatorname{Re}g'(\zeta)>0$. Из теоремы Носиро–Варшавского (теорема 9) следует однолистность функции $g$ в этой области. Таким образом, функция $f=L\circ g\circ L^{-1}$ однолистна в образе этой области при отображении $L$, который совпадает с областью $\underline{\mathscr U}(\alpha)$. Теорема доказана. Доказательство теоремы 44. При каждом $s\in(-1,1)$ рассмотрим функцию где
Функция $f_s$ представима в виде композиции $f_s(z)=T_s^{-1}\circ f_0\circ T_s(z)$, где
$$
\begin{equation*}
T_s(z)=\frac{z-s}{1-s z}\,,\qquad f_0(z)=z\biggl(z^2-\frac{\sqrt{\alpha}-3}{\sqrt{\alpha}+1}\biggr) \biggl(1-\frac{\sqrt{\alpha}-3}{\sqrt{\alpha}+1}\,z^2\biggr)^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $s \in (-1,1)$, то $T_s$ является дробно-линейным преобразованием единичного круга $\mathbb D$ на себя. А так как $\alpha\in(1,9)$, то функция $f_0$ отображает $\mathbb D$ в себя. Таким образом, композиция $f_s$ принадлежит классу $\mathscr B$.
Легко проверить, что при каждом $s\in(-1,1)$ функция $f_s$ сохраняет вещественный диаметр, и поскольку $f'_{s}(\pm 1)=\sqrt{\alpha}$ , то $f_s\in \mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$. С другой стороны, непосредственные вычисления показывают, что $f_s$ имеет нулевую производную в точках
$$
\begin{equation*}
z_{1,2}(s)=\frac{-2\sqrt[4]{\alpha}+p_1(\alpha)\pm ip_2(\alpha)s} {(-2\sqrt[4]{\alpha}+p_1(\alpha))s\pm ip_2(\alpha)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
p_1(\alpha)=\sqrt{(\sqrt{\alpha}-1)(3+\sqrt{\alpha}\,)}\,,\qquad p_2(\alpha)=\sqrt{(\sqrt{\alpha}+1)(3-\sqrt{\alpha}\,)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Кривые $z_1(s)$ и $z_2(s)$, $s\in (-1,1)$, представляют собой дуги окружностей – границу области $\overline{\mathscr U}(\alpha)$ (см. (6.16)). Теорема доказана. Поскольку граничные точки области $\overline{\mathscr U} (\alpha)$ являются нулями производных функций из класса $\mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$, каждая точка границы области $\overline{\mathscr U} (\alpha)$ является препятствием на пути распространения однолистности. Тем самым, теорема 44 дает верхнюю оценку области однолистности для класса $\mathscr D_{\alpha}\{-1, 1\}$ и тем более для класса $\mathscr B_{\alpha}\{-1,1\}$. Проанализируем разницу между верхней и нижней оценками в окрестности граничных значений параметра $\alpha$ (см. рис. 2). Поскольку границами областей ${\mathscr J}(\alpha)$, $\underline{\mathscr U} (\alpha)$ и $\overline{\mathscr U}(\alpha)$ являются дуги окружностей, достаточно сравнить тангенсы углов, образованных этими дугами с вещественной осью в точках $z=\pm 1$. Пусть $\varphi_1(\alpha)$, $\varphi_2(\alpha)$ – углы, соответствующие областям $\mathscr{J}(\alpha)$ и $\mathscr{\overline U}(\alpha)$. Тогда справедливы следующие порядковые соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \operatorname{tg} \varphi_1(\alpha)&\sim\frac{1}{\sqrt{\alpha-1}}\,,&\qquad \operatorname{tg} \varphi_2(\alpha)&\sim\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\alpha-1}} &\qquad \text{при}\quad \alpha &\to 1+0; \\ \operatorname{tg} \varphi_1(\alpha)&\sim\frac{9-\alpha}{16\sqrt{3}}\,,&\qquad \operatorname{tg} \varphi_2(\alpha)&\sim\frac{\sqrt{9-\alpha}}{3\sqrt{2}} &\qquad \text{при}\quad \alpha &\to 9-0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\alpha$, близких к 1, верхняя и нижняя оценки имеют один порядок, однако при $\alpha$, близких к $9$, зазор между верхней и нижней оценкой большой. Что касается оценки снизу на классе $\mathscr D_{\alpha}\{-1,1\}$, она не просто дает б\’ольшую область (что ожидаемо), но и асимптотически близка к верхней оценке как при $\alpha\to 1+0$, так и при $\alpha\to 9-0$. Обозначая через $\varphi_3(\alpha)$ угол, который образует граница области $\mathscr{\underline U}(\alpha)$ с вещественной осью в точках $z=\pm 1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \operatorname{tg} \varphi_2(\alpha) &\sim \operatorname{tg} \varphi_3(\alpha)\sim \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\alpha-1}}&\qquad \text{при}\quad \alpha &\to 1+0; \\ \operatorname{tg} \varphi_2(\alpha) &\sim \operatorname{tg} \varphi_3(\alpha)\sim \frac{\sqrt{9-\alpha}}{3\sqrt{2}} &\qquad \text{при}\quad \alpha &\to 9-0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
7. Однопараметрические полугруппы и инфинитезимальные образующиеЕсли область определения и область значений функции $f$ согласованы, то определены ее натуральные итерации: $f^0(z)\equiv z$, $f^{1}(z)=f(z)$ и $f^{n}(z)=f\circ f^{n-1}(z)$ при $n=2,3,\ldots$ . Одним из основных вопросов при этом является существование дробных итераций, т. е. такого семейства функций $\{f^t\}_{t\geqslant 0}$, что $f^0(z)\equiv z$, $f^{1}(z)=f(z)$ и $f^{s+t}(z)=f^s\circ f^{t}(z)$ при $s,t\geqslant 0$. В этой проблематике выделяется три принципиально различных случая. Первые исследования касаются локального случая, когда сама функция $f$ и ее итерации определяются степенными рядами в окрестности (для каждой итерации – своя окрестность) общей неподвижной точки $z_0$, $f(z_0)=z_0$. Шрёдер [61] связал задачу дробного итерирования с решением функционального уравнения, а Кёнигс [62] ввел конструкцию, являющуюся решением этого уравнения, и показал, что для существования дробных итераций функции $f$ требуются лишь незначительные на нее ограничения, а именно $|f'(z_0)|\ne 0$ и $|f'(z_0)|\ne 1$. Позже задача дробного итерирования изучалась для мероморфных функций, когда областью определения является вся комплексная плоскость, исключая множество изолированных особых точек – полюсов. Полученные здесь результаты оказались диаметрально противоположными локальному случаю. Так, в работах Бейкера [63], Карлина и Макгрегора [64] показано, что существование дробных итераций возможно только для дробно-линейных функций. Третий случай связан с исследованием голоморфных в некоторой области функций, принимающих значения из этой же области. Это направление наиболее разнообразно с точки зрения как результатов, так и приложений. При этом существенное продвижение в исследованиях было получено, когда семейство дробных итераций стали рассматривать как однопараметрическую полугруппу. Переходя к строгому изложению, введем необходимые обозначения и определения. Совокупность $\mathscr B$ голоморфных отображений единичного круга $\mathbb D$ в себя образует топологическую полугруппу относительно операции композиции и топологии локально равномерной в ${\mathbb D}$ сходимости, роль единицы в которой играет тождественное отображение $f(z)\equiv z$. Будем рассматривать $\mathbb R_+=\{ t\in {\mathbb R}\colon t\geqslant 0 \}$ как аддитивную полугруппу с обычной топологией вещественных чисел. Под однопараметрической полугруппой в $\mathscr B$ понимается непрерывный гомоморфизм $t\mapsto f^t$, действующий из полугруппы $\mathbb R_+$ в полугруппу $\mathscr B$. Это означает, что семейство $\{f^t\}_{t\geqslant 0}$ функций из $\mathscr B$ удовлетворяет следующим условиям:
Поскольку элементы $f^t$ однопараметрической полугруппы при целых неотрицательных значениях $t$ являются натуральными итерациями функции $f=f^1$, то при $t\geqslant 0$ они называются дробными итерациями функции $f$. Говорят, что функция $f \in \mathscr B$ вложима в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B$, если существует такая однопараметрическая полугруппа $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$, что $f^1=f$. Таким образом, задача дробного итерирования эквивалентна задаче вложения функции $f$ в однопараметрическую полугруппу $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$. Если рассматривать однопараметрическую полугруппу как динамическую систему, естественно возникает понятие инфинитезимальной образующей. Отметим, что всякая однопараметрическая полугруппа $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ дифференцируема по $t$ [65], более того, она бесконечно дифференцируема [66]. Производная
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}f^t(z)\bigg|_{t=0}= \lim_{t\to + 0}\frac{f^t(z)-z}{t}=v(z)
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой аналитическую в круге ${\mathbb D}$ функцию и характеризует однопараметрическую полугруппу $t\mapsto f^t$ посредством дифференциального уравнения с начальным условием $f^t(z)\big|_{t=0}=z$. Функцию $v$ называют инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$. Исследование вида инфинитезимальной образующей тесно связано с анализом неподвижных точек. При этом среди множества неподвижных точек, общего для всех функций $f^t$, $t\geqslant 0$, особо выделяется так называемая точка Данжуа–Вольфа $q$, обладающая свойством притяжения. Теорема 45 (Данжуа, Вольф [67]–[69]). Пусть $f \in \mathscr B$ отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга ${\mathbb D}$ на себя. Тогда существует единственная точка $q$, $q\in \overline{\mathbb D}$, такая, что последовательность натуральных итераций $f^{n}=f\circ f^{n-1}$, $n=2,3,\ldots$ , функции $f=f^1$ сходится к $q$ локально равномерно в ${\mathbb D}$. Кроме того, если $q\in \mathbb T$, то существуют угловые пределы и $f(q)=q$, $0<f'(q)\leqslant 1$. Вид инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ в случае, когда точка Данжуа–Вольфа лежит внутри круга $\mathbb D$, получен Лёвнером [51], а в случае, когда она является граничной, – Берксоном и Портой [65]. Приведем общий вид инфинитезимальных образующих однопараметрических полугрупп $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$, формулируемый в терминах точки Данжуа–Вольфа. Обозначим через $\mathscr B[q]$, $q\in \overline{\mathbb D}$, совокупность функций $f$ из $\mathscr B$, для которых $q$ является точкой Данжуа–Вольфа. Будем считать также, что тождественное преобразование $f(z)\equiv z$ принадлежит всем $\mathscr B[q]$. Тогда $\mathscr B[q]$ будет подполугруппой с единицей полугруппы $\mathscr B$. Поскольку $\mathscr B[q]$ и $\mathscr B[\widetilde{q}]$ при $q\ne \widetilde{q}$ не имеют общих элементов, кроме единичного, то всякая однопараметрическая полугруппа $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ является однопараметрической полугруппой в $\mathscr B[q]$ при некотором $q\in \overline{\mathbb D}$. Следующий результат, называемый формулой Берксона–Порты, определяет вид инфинитезимальных образующих однопараметрических полугрупп в $\mathscr B[q]$. Теорема 46 (формула Берксона–Порты). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $v$ являлась инфинитезимальной образующей некоторой однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B[q]$, $q\in \overline{\mathbb D}$, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью. Доказательство. Пусть $t\mapsto f^t$ – однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[0]$ с точкой Данжуа–Вольфа $q=0$ и инфинитезимальной образующей $v$. Покажем, что $v$ представима в виде (7.1). В силу леммы Шварца $|f^t(z)|\leqslant |z|$ при всех $t\geqslant 0$ и $z\in\mathbb D$. Следовательно, при соответствующем выборе ветви аргумента выполняется неравенство которое можно записать в виде Отсюда следует, что $\operatorname{Re}(-v(z)/z)\geqslant 0$. Таким образом, $v(z)=-z p(z)$, где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью. Случай, когда функция $p$ тождественно равна мнимой константе, соответствует однопараметрической полугруппе вращений единичного круга $\mathbb D$.
Обратно, покажем, что для $v(z)=-zp(z)$, где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью, найдется однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[0]$. Для этого определим функцию
$$
\begin{equation*}
F(z)=z\exp\biggl\{\int_0^z \frac{p(0)-p(\zeta)}{\zeta p(\zeta)}\,d\zeta\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку то по теореме 14 функция $F$ является спиралеобразной, т. е. она однолистна в $\mathbb D$ и отображает $\mathbb D$ на область, которая вместе с каждой своей точкой $F(z)$, $z\in \mathbb D$, содержит спираль $w(t)=F(z)e^{-p(0)t}$, $t\geqslant 0$. Следовательно, можно определить однопараметрическую полугруппу $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ с помощью равенств где $t\geqslant 0$. Поскольку $F(0)=0$, то точка $z=0$ является неподвижной для всех функций $f^t$, $t>0$. Кроме того, инфинитезимальная образующая $v$ однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
v(z)=\frac{\partial}{\partial t}f^t(z)\bigg|_{t=0}= -\frac{p(0)F(z)}{F'(z)}=-z p(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Распространим полученный результат на случай, когда точка Данжуа–Вольфа $q$ произвольно располагается внутри круга $\mathbb D$. Рассмотрим дробно-линейное преобразование $L(z)={(z-q)}/{(1-\overline{q}z)}$, отображающее круг ${\mathbb D}$ на себя и удовлетворяющее условию $L(q)=0$. Если $t\mapsto f^t$ – однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[0]$ с инфинитезимальной образующей $v$, то $t\mapsto \widetilde{f}^t$, где $\widetilde{f}^t(z)=L^{-1}\circ f^t \circ L(z)$ для каждого $t\geqslant 0$, является однопараметрической полугруппой в $\mathscr B[q]$, $q\in \mathbb D$, с инфинитезимальной образующей
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}(z)=\frac{v(L(z))}{L'(z)}=(q-z)(1-\overline{q}z)p(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью.
Перейдем к рассмотрению случая граничной точки Данжуа–Вольфа. Пусть $t\mapsto f^t$ – однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[1]$ с инфинитезимальной образующей $v$. В силу теоремы Жюлиа–Каратеодори орицикл в точке $1$ с параметром $k>0$,
$$
\begin{equation*}
\mathbb H_k=\biggl\{z\in\mathbb D\colon \frac{|1-z|^2}{1-|z|^2}< k\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
преобразуется посредством $f^t$ в себя. Таким образом, вектор $f^t(z)-z$ направлен внутрь орицикла $\mathbb H_k$, на границе которого расположена точка $z$. Используя геометрическое соотношение между центральным и вписанным углами, опирающимися на одну и ту же дугу, заключаем, что внутренняя нормаль в точке $z$ к границе орицикла $\mathbb H_k$ имеет то же направление, что и вектор $(1-z)^2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl|\arg \frac{f^t(z)-z}{(1-z)^2}\biggr|\leqslant \frac{\pi}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\frac{f^t(z)-z}{(1-z)^2}\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $t\geqslant 0$ и $z\in\mathbb D$. Отсюда следует, что $\operatorname{Re}\bigl(v(z)/(1-z)^2\bigr)\geqslant 0$. Таким образом, $v(z)=(1-z)^2 p(z)$, где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью. Случай, когда функция $p$ тождественно равна мнимой константе, соответствует однопараметрической полугруппе дробно-линейных преобразований круга $\mathbb D$ на себя.
Обратно, пусть $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция, удовлетворяющая условию $\operatorname{Re} p(z)>0$ при $z\in \mathbb D$. Определим функцию Поскольку где $G(z)=1/(1-z)$, то $F$ является почти выпуклой функцией. Для выяснения геометрии образа $F(\mathbb D)$ единичного круга изучим свойства образов орициклов $\mathbb H_k$, $k>0$, при отображении их посредством $F$.Пусть $z=z(s)$, $-\infty<s<\infty$, – параметризация границы орицикла $\mathbb H_k$, соответствующая положительной ориентации. Тогда из сделанного ранее замечания о нормали к границе орицикла следует, что $z'(s)/(1-z(s))^2$ расположено на отрицательной части мнимой оси. Но тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{ds}\,\operatorname{Im}F(z(s))= \operatorname{Im}\bigl(F'(z(s))z'(s)\bigr)= \operatorname{Im}\frac{z'(s)}{(1-z(s))^2\,p(z(s))}<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что образ $F(\mathbb H_k)$ орицикла $\mathbb H_k$ представляет собой область, которая вместе с каждой точкой $F(z)$ содержит и весь луч $w(t)=F(z)+t$, $t\geqslant 0$. Это свойство распространяется и на весь образ $F(\mathbb D)$ единичного круга $\mathbb D$. Следовательно, при каждом $t\geqslant 0$ корректно определены функции Легко видеть, что $t\mapsto f^t$ – однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[1]$ и ее инфинитезимальная образующая имеет вид
$$
\begin{equation*}
v(z)=\frac{\partial}{\partial t}f^t(z)\bigg|_{t=0}= \frac{1}{F'(z)}=(1-z)^2p(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Для распространения полученного результата на случай, когда точка Данжуа–Вольфа $q$ произвольно располагается на границе круга $\mathbb D$, достаточно заметить, что если $t\mapsto f^t$ – однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[1]$ с инфинитезимальной образующей $v$, то $t\mapsto \widetilde{f}^t$, где $\widetilde{f}^t(z)=q f^t(\overline{q}z)$ для каждого $t\geqslant 0$, является однопараметрической полугруппой в $\mathscr B[q]$, $q\in \mathbb T$, с инфинитезимальной образующей $\widetilde{v}(z)=qv(\overline{q}z)=(q-z)(1-\overline{q}z)p(z)$, где $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью. Теорема 46 доказана. В дальнейшем получило развитие направление, связанное с вопросом о том, как трансформируется формула Берксона–Порты в случае, когда функция $f\in \mathscr B$, кроме точки Данжуа–Вольфа $q$, $|q|\leqslant 1$, имеет дополнительные неподвижные точки (как уже отмечалось, эти точки должны быть расположены на единичной окружности $\mathbb T$). Этот вопрос исследовался многими авторами в различных постановках (см., например, [70]–[73]). В работе [74] получен аналог формулы Берксона–Порты для инфинитезимальной образующей однопараметрической полугруппы с двумя неподвижными точками. Прежде чем сформулировать этот результат, введем обозначения и приведем вспомогательные утверждения. Обозначим через $\mathscr B[q;a]$ подполугруппу полугруппы $\mathscr B[q]$, функции $f$ которой оставляют неподвижной точку $a \in \mathbb T$, $a\ne q$, и имеют в ней конечные угловые производные. Введем в рассмотрение класс $\mathscr{Q}$ функций $h$, голоморфных в круге $\mathbb D$ и допускающих интегральное представление в виде
$$
\begin{equation}
h(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa)
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
с некоторой вероятностной мерой $\mu$ на $\mathbb T$. Следующие результаты дают два эквивалентных определения класса $\mathscr{Q}$ и описывают некоторые свойства функций этого класса. Лемма 7.1 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $h$ принадлежала классу $\mathscr{Q}$, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде где $\varphi$ – голоморфная в $\mathbb D$ функция, удовлетворяющая условию $|\varphi(z)|\leqslant 1$ при $z\in \mathbb D$. Доказательство. Пусть $h \in \mathscr{Q}$ и имеет место представление (7.2) с вероятностной мерой $\mu$ на $\mathbb T$. Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}= \frac{1}{2}\biggl(\biggl(\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}+1\biggr)- \frac{1}{z}\biggl(\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}-1\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к равенству
$$
\begin{equation}
h(z)=\frac{1}{2}\biggl(\bigl(p(z)+1\bigr)- \frac{1}{z}\bigl(p(z)-1\bigr)\biggr),
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
p(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa).
\end{equation}
\tag{7.5}
$$
Поскольку $p$ голоморфна в $\mathbb D$, имеет положительную вещественную часть и $p(0)=1$, то функция удовлетворяет условиям леммы Шварца, т. е. $|\psi(z)|\leqslant 1$ при $z \in \mathbb D$ и $\psi(0)=0$. Но тогда $\varphi(z)=\psi(z)/z$ также является голоморфной в $\mathbb D$ функцией и удовлетворяет условию $|\varphi(z)|\leqslant 1$ при $z\in \mathbb D$. Выражая теперь функцию $p$ через $\varphi$ и подставляя полученное выражение в (7.4), приходим к равенству (7.3).
Обратно, пусть $h$ имеет представление (7.3) с некоторой голоморфной в $\mathbb D$ функцией $\varphi$, удовлетворяющей условию $|\varphi(z)|\leqslant 1$ при $z\in \mathbb D$. Полагая получаем голоморфную в $\mathbb D$ функцию с положительной вещественной частью, удовлетворяющую условию $p(0)=1$. По теореме Рисса–Герглотца найдется такая вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb T$, которая с функцией $p$ связана равенством (7.5). Но тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h(z)&=\frac{1-\varphi(z)}{1-z\varphi(z)}= \frac{1}{2}\biggl(\biggl(\frac{1+z\varphi(z)}{1-z\varphi(z)}+1\biggr)- \frac{1}{z}\biggl(\frac{1+z\varphi(z)}{1-z\varphi(z)}-1\biggr)\biggr) \\ &=\frac{1}{2}\biggl((p(z)+1)- \frac{1}{z}(p(z)-1)\biggr)=\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и лемма доказана. Замечание 7.1. Из представления (7.3) следует, что функция $h$ класса $\mathscr{Q}$ либо тождественно обращается в нуль, либо $h(z)\ne 0$ при $z\in \mathbb D$. Лемма 7.2 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Пусть $h$ – голоморфная в $\mathbb D$ функция и $h(z)\not\equiv 0$. Тогда $h$ принадлежит классу $\mathscr{Q}$ в том и только том случае, если имеет место представление где $g$ – голоморфная в $\mathbb D$ функция с неотрицательной вещественной частью. Доказательство. Пусть $h \in \mathscr{Q}$ и $h(z)\not\equiv 0$. В силу леммы 7.1 функция $h$ допускает представление (7.3) с некоторой голоморфной в $\mathbb D$ функцией $\varphi$, удовлетворяющей условиям $|\varphi(z)|\leqslant 1$ при $z\in \mathbb D$ и $\varphi(z) \not\equiv 1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{h(z)}&=\frac{1-z\varphi(z)}{1-\varphi(z)}= \frac{1}{1-\varphi(z)}-z\frac{\varphi(z)}{1-\varphi(z)} \\ &=\frac{1}{2}\biggl(\biggl(\frac{1+\varphi(z)}{1-\varphi(z)}+1\biggr)- z\biggl(\frac{1+\varphi(z)}{1-\varphi(z)}-1\biggr)\biggr)= \frac{1}{2}(1-z)\biggl(\frac{1+z}{1-z}+g(z)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g(z)=(1+\varphi(z))/(1-\varphi(z))$.
Обратно, пусть имеет место представление (7.6), тогда функция $\varphi(z)=(g(z)-1)/(g(z)+1)$ будет голоморфной в $\mathbb D$ и $|\varphi(z)|\leqslant 1$ при $z\in \mathbb D$. При этом $g(z)=(1+\varphi(z))/(1-\varphi(z))$ и
$$
\begin{equation*}
h(z)=2\biggl[(1-z){\biggl(\frac{1+z}{1-z}+ \frac{1+\varphi(z)}{1-\varphi(z)}\biggr)}\biggr]^{-1}= \frac{1-\varphi(z)}{1-z\varphi(z)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $h$ принадлежит классу $\mathscr{Q}$ в силу леммы 7.1. Лемма доказана. Следствие 7.1. Для любой функции $h\in \mathscr{Q}$ выполняется неравенство при всех $z \in \mathbb D$. Лемма 7.3 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Пусть $z_0$ – фиксированная точка единичного круга $\mathbb D$. Тогда множество представляет собой замкнутый круг При этом граничную точку $\zeta \in \partial K_{z_0}$ вносит единственная функция класса $\mathscr{Q}$, определяемая равенствами Доказательство. Из формулы (7.2), определяющей класс $\mathscr{Q}$, следует, что множество $K_{z_0}$ представляет собой замкнутую выпуклую оболочку кривой $\Gamma_{z_0}$, которая является образом единичной окружности $\mathbb{T}$ при дробно-линейном преобразовании
Из кругового свойства дробно-линейных отображений следует, что $\Gamma_{z_0}$ – окружность. Ее центр $w_0$ в силу принципа симметрии является образом точки $\overline{z}_0$, которая симметрична относительно единичной окружности $\mathbb{T}$ полюсу $1/z_0$ дробно-линейного преобразования $L$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
w_0=L(\overline{z}_0)=\frac{1-\overline{z}_0}{1-|z_0|^2}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая также, что $\Gamma_{z_0}$ проходит через начало координат, делаем вывод, что радиус этой окружности равен $|w_0|$.
Граничную точку $\zeta$ круга $K_{z_0}$ вносит функция $h$, которой в представлении (7.2) соответствует атомарная мера $\mu$, сосредоточенная в точке $\varkappa \in \mathbb{T}$, определяемой из равенства $\zeta=L(\varkappa)$. Лемма доказана. Следствие 7.2. Для любой функции $h\in\mathscr{Q}$ выполняется неравенство при всех $z \in \mathbb D$. Теорема 47 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $v$ являлась инфинитезимальной образующей некоторой однопараметрической полугруппы в $\mathscr B[q;a]$, $q\in \overline{\mathbb D}$, $a\in \mathbb{T}$, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде где $\alpha > 0$ и $h\in \mathscr{Q}$. Доказательство. Пусть $t\mapsto f^t$ – нетривиальная ($f^t(z)\not\equiv z$ при $t>0$) однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[q;a]$ с инфинитезимальной образующей $v$. Докажем, что $v$ можно представить в виде (7.8) с некоторой функцией $h$ из класса $\mathscr{Q}$.
Предположим вначале, что $q=0$ и $a=1$. Для любой функции $f \in \mathscr B[0;1]$ выполняется неравенство $f'(1)\geqslant 1$, и равенство достигается лишь в случае, когда $f(z)\equiv z$. Поэтому из условия $f^{t+s}(z)=f^t\circ f^s(z)$ и свойств угловой производной следует, что функция $\beta(t)=(f^t)'(1)$ является возрастающей и удовлетворяет условиям $\beta(t+s)=\beta(t)\beta(s)$, $\beta(0)=1$. Следовательно, $\beta(t)=e^{\lambda t}$, где $\lambda=\ln(f^1)'(1)>0$. Рассмотрим семейство дробно-линейных преобразований
$$
\begin{equation*}
U_t(z)=\frac{z+u(t)}{1+u(t)z}\,, \qquad u(t)=\frac{e^{\lambda t}-1}{e^{\lambda t}+1}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
$t>0$, которые отображают единичный круг ${\mathbb D}$ на себя и оставляют неподвижными точки $z=\pm 1$. Полагая $g_t(z)=f^t\circ U_t(z)$, получаем семейство $\{g_t\}_{t\geqslant 0}$ отображений круга ${\mathbb D}$ в себя, которое дифференцируемо по $t$, причем $g_0(z)\equiv z$. Кроме того, при каждом $t>0$ функция $g_t$ оставляет неподвижной точку $z=1$ и в этой точке имеет угловую производную $(g_t)'(1)=1$. В силу теоремы Жюлиа–Каратеодори образ $g_t(z)$ точки $z\in \mathbb D$ попадает внутрь орицикла, на границе которого лежит $z$, т. е. внутрь круга с центром в точке имеющего радиус Отмеченное обстоятельство означает, что угол между векторами $\xi-z$ и $g_t(z)-z$ не должен превышать $\pi/2$. Замечая также, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \arg\biggl\{\frac{1-|z|^2}{2(1-\operatorname{Re}z)}-z\biggr\}&= \arg\{1-|z|^2-2z(1-\operatorname{Re}z)\} \\ &=\arg\bigl\{1-z\overline{z}-z\bigl((1-z)+ (1-\overline{z})\bigr)\bigr\}=\arg\{(1-z)^2\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к условию при $z \in \mathbb D$. Отсюда видно, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}g_t(z)\bigg|_{t=0}= \lim_{t\to 0}\frac{g_t(z)-z}{t}=(1-z)^2p(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ – голоморфная в $\mathbb D$ функция с неотрицательной вещественной частью.
С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}g_t(z)\bigg|_{t=0}= \frac{\partial}{\partial t}f^t\bigl(U_t(z)\bigr)\bigg|_{t=0}+ (f^t)'\bigl(U_t(z)\bigr)\frac{\partial}{\partial t}U_t(z)\bigg|_{t=0}= v(z)+\frac{\lambda}{2}(1-z^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v$ – инфинитезимальная образующая однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$.
Таким образом, приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
v(z)=(1-z)\biggl((1-z)p(z)-\frac{\lambda}{2}\,(1+z)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
По предположению $q=0$, т. е. точка $z=0$ является неподвижной для функций $f^t$, $t>0$, следовательно, $v(0)=0$. Но тогда $p(0)=\lambda/2$ и функция $p_1(z)=(2/{\lambda})p(z)$ имеет в единичном круге $\mathbb D$ положительную вещественную часть и нормирована условием $p_1(0)=1$. По теореме Рисса–Герглотца найдется такая вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb T$, что
$$
\begin{equation*}
p_1(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Это позволяет представить инфинитезимальную образующую $v$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v(z)&=\frac{\lambda}{2}\,(1-z)\biggl((1-z)\int_{\mathbb T} \frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\:d\mu(\varkappa)-(1+z)\biggr) \\ &=-\lambda z (1-z) \int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное представление инфинитезимальной образующей $v$ совпадает с приведенным в формулировке теоремы в случае, когда $q=0$ и $a=1$.
Предположим теперь, что $t\mapsto f^t$ – это однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[q;a]$, $q\in \mathbb D$, $a\in \mathbb{T}$. Введем в рассмотрение дробно-линейное преобразование
$$
\begin{equation*}
L(z)=\frac{1-\overline{q}a}{a-q}\,\frac{z-q}{1-\overline{q}z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое отображает единичный круг $\mathbb D$ на себя, причем $L(q)=0$, $L(a)=1$. Для каждого $t\geqslant 0$ определим $\widetilde{f}^t(\zeta)=L\circ f^t \circ L^{-1}(\zeta)$. Очевидно, что $t\mapsto \widetilde{f}^t$ является однопараметрической полугруппой в $\mathscr B[0;1]$. Поэтому по доказанному ее инфинитезимальная образующая
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}(\zeta)= \frac{\partial}{\partial t}\widetilde{f}^t(\zeta)\bigg|_{t=0}
\end{equation*}
\notag
$$
допускает представление в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}(\zeta)=-\alpha\zeta (1-\zeta) \int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa \zeta}\,d\mu(\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha>0$, а $\mu$ – вероятностная мера на $\mathbb{T}$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}\bigl(L(z)\bigr)= \frac{\partial}{\partial t}L\bigl(f^t(z)\bigr)\bigg|_{t=0}=L'(z)v(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $v$ – инфинитезимальная образующая однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
v(z)=-\alpha\frac{L(z)\bigl(1-L(z)\bigr)}{L'(z)}\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa L(z)}\,d\mu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{L(z)\bigl(1-L(z)\bigr)}{L'(z)}= \frac{(z-q)(1-\overline{a}z)}{1-\overline{a}q}\,, \\ \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa L(z)}= \frac{1-\overline{q}z}{1-\overline{a}q}\,\frac{1-\eta}{1-\eta\overline{a}z}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\eta=\frac{(1-a\overline{q})\varkappa+\overline{q}(a-q)} {(1-\overline{a}q)+q(\overline{a}-\overline{q})\varkappa}
\end{equation*}
\notag
$$
пробегает единичную окружность $\mathbb T$ вместе с $\varkappa$, приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
v(z)=\frac{\alpha}{|1-\overline{a}q|^2}(q-z)(1-\overline{q}z)(1-\overline{a}z) \int_{\mathbb T}\frac{1-\eta}{1-\eta \overline{a}z}\,d\nu(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором $\nu$ – вероятностная мера на $\mathbb{T}$. Таким образом, в случае внутренней точки Данжуа–Вольфа однопараметрическая полугруппа $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B[q;a]$ имеет инфинитезимальную образующую $v$, вид которой определяется формулами (7.8), (7.2).
Приступая к рассмотрению случая граничной точки Данжуа–Вольфа, предположим вначале, что $t\mapsto f^t$ – нетривиальная однопараметрическая полугруппа в $\mathscr B[-1;1]$, т. е. функции $f^t$, $t>0$, имеют точку Данжуа–Вольфа $q=-1$ и оставляют неподвижной точку $a=1$, в которой конечны угловые производные $(f^t)'(1)$. В силу формулы Берксона–Порты (7.1) инфинитезимальная образующая $v$ этой однопараметрической полугруппы допускает представление в виде где $p_1$ – голоморфная в $\mathbb{D}$ функция с положительной вещественной частью. Однако эта формула не учитывает того, что функции $f^t$ имеют кроме $q=-1$ также неподвижную точку $a=1$.Снова, как и в случае $q=0$, $a=1$, выполняется равенство $(f^t)'(1)=e^{\lambda t}$, $t\geqslant 0$, с некоторым $\lambda >0$. Поэтому, определяя семейство функций $g_t(z)=f^t\circ U_t(z)$, $t\geqslant 0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}g_t(z)\bigg|_{t=0}=(1-z)^2p_2(z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $p_2$ также является голоморфной в $\mathbb{D}$ функцией с положительной вещественной частью. Вычисление этой производной другим способом приводит к равенству которое с учетом вида инфинитезимальной образующей $v$ можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(1-z)^2p_2(z)=\frac{\lambda}{2}(1-z^2)-(1+z)^2p_1(z).
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая в последнем равенстве $z=0$, получаем, что $p_1(0)+p_2(0)={\lambda}/{2}$. Это означает, что к функции $p(z)=({2}/{\lambda})\bigl(p_1(z)+p_2(z)\bigr)$ применима теорема Рисса–Герглотца, согласно которой
$$
\begin{equation*}
p(z)=\int_{\mathbb T}\frac{1+\varkappa z}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu$ – вероятностная мера на $\mathbb{T}$. Далее, используя полученные выше равенства, выполним следующие преобразования:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, v(z)&=(1-z)\biggl((1-z)p_2(z)-\frac{\lambda}{2}(1+z)\biggr) \\ &=(1-z)\biggl((1-z)\bigl(p_2(z)+p_1(z)\bigr)-\frac{\lambda}{2}(1+z)\biggr)- (1-z)^2p_1(z) \\ &=\frac{\lambda}{2}\,(1-z)\bigl((1-z)p(z)-(1+z)\bigr)+ \biggl(\frac{1-z}{1+z}\biggr)^2v(z). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\biggl(1-\biggl(\frac{1-z}{1+z}\biggr)^2\biggr)v(z)= -\lambda z(1-z)\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
и после очевидных преобразований приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
v(z)=-\frac{\lambda}{4}(1+z)^2(1-z)\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa z}\,d\mu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, в случае $q=-1$ и $a=1$ снова получаем вид инфинитезимальной образующей, описанный формулами (7.8), (7.2).
Остается рассмотреть тот случай, когда однопараметрическая полугруппа $t\mapsto f^t$ имеет точку Данжуа–Вольфа $q$ и неподвижную точку $a$, произвольно расположенные на единичной окружности $\mathbb{T}$. Используя дробно-линейное преобразование
$$
\begin{equation*}
L(z)=\frac{q-(2-a\overline{q})z}{(q-2a)+a\overline{q}z}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
которое отображает единичный круг $\mathbb{D}$ на себя и удовлетворяет условиям $L(q)=-1$, $L(a)=1$, определим семейство функций $\widetilde{f}^t(\zeta)=L\circ f^t \circ L^{-1}(\zeta)$, где $t\geqslant 0$. Легко видеть, что $t\mapsto \widetilde{f}^t$ является однопараметрической полугруппой в $\mathscr B[-1; 1]$. По доказанному инфинитезимальная образующая однопараметрической полугруппы $t\mapsto \widetilde{f}^t$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widetilde{v}(\zeta)= \frac{\partial}{\partial t}\widetilde{f}^t(\zeta)\bigg|_{t=0}= -\alpha(1+\zeta)^2(1-\zeta)\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa \zeta}\,d\mu(\varkappa),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha>0$, а $\mu$ – вероятностная мера на $\mathbb{T}$. Но тогда инфинитезимальная образующая $v$ однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ будет определяться равенством
$$
\begin{equation*}
v(z)=-\alpha\frac{\bigl(1+L(z)\bigr)^2\bigl(1-L(z)\bigr)}{L'(z)} \int_{\mathbb T}\frac{1-\varkappa}{1-\varkappa L(z)}\,d\mu(\varkappa).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\bigl(1+L(z)\bigr)^2\bigl(1-L(z)\bigr)}{L'(z)}= \frac{4\alpha(q-z)(1-\overline{q}z)(1-\overline{a}z)} {(q-2a)+a\overline{q}z}\,, \\ \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa L(z)}= -\frac{(q-2a)+a\overline{q}z}{a|q-a|^2}\, \frac{1-\eta}{1-\eta\overline{a}z}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\eta=\frac{a\overline{q}+(2-a\overline{q})\varkappa} {\overline{a}q\varkappa+(2-\overline{a}q)}
\end{equation*}
\notag
$$
пробегает единичную окружность $\mathbb{T}$ вместе с $\varkappa$, приходим к равенству
$$
\begin{equation*}
v(z)=\frac{4\alpha}{|q-a|^2}(q-z)(1-\overline{q}z)(1-\overline{a}z) \int_{\mathbb T}\frac{1-\eta}{1-\eta \overline{a}z}\,d\nu(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu$ – вероятностная мера на $\mathbb{T}$.
В результате мы установили, что при любых $q\in \overline{\mathbb{D}}$ и $a\in \mathbb{T}$ вид инфинитезимальной образующей $v$ однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B[q; a]$ определяется формулами (7.8), (7.2). Докажем теперь достаточность. Предположим, что функция $v$ имеет вид, определяемый формулами (7.8), (7.2), т. е.
$$
\begin{equation*}
v(z)=\alpha(q-z)(1-\overline{q}z)(1-\overline{a}z)h(\overline{a}z),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha>0$, $q\in \overline{\mathbb{D}}$, $ a\in \mathbb{T}$ и $h$ – функция класса $\mathscr Q$. В силу следствия 7.1 выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}\bigl((1-\overline{a}z)h(\overline{a}z)\bigr)\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
при $z \in \mathbb D$. Это означает, что $v$ можно рассматривать как инфинитезимальную образующую некоторой однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B[q]$. Остается показать, что функции $f^t$, $ t>0$, оставляют неподвижной точку $a$ и имеют в ней конечные угловые производные.
Покажем вначале, что сама инфинитезимальная образующая $v$ имеет конечную угловую производную $v'(a)$ в точке $a$. Для $M>1$ пусть
$$
\begin{equation*}
\Delta_M(a)=\biggl\{z\in \mathbb D\colon \frac{|a^2-z^2|}{1-|z|^2}<M\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
– круговая луночка с вершинами в точках $a$ и $-a$. С точки зрения гиперболической геометрии в круге $\mathbb D$, которая обычно определяется элементом длины граница $\partial\Delta_M(a)$ этой луночки представляет собой множество точек, равноудаленных от диаметра круга $\mathbb D$ с концевыми точками $a$ и $-a$. Через
$$
\begin{equation*}
\Delta^+_M(a)=\bigl\{z\in \Delta_M(a)\colon \operatorname{Re}(\overline{a}z)>0\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
будем обозначать половину луночки $\Delta_M(a)$, которая примыкает к точке $a$. Используя неравенство (7.7) для функций класса $\mathscr{Q}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{1-\varkappa}{1-\varkappa \overline{a}z}\biggr|\leqslant \frac{2|1-\overline{a}z|}{1-|z|^2}=\frac{2}{|1+\overline{a}z|}\, \frac{|a^2-z^2|}{1-|z|^2}\leqslant 2M
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $\varkappa \in \mathbb T$ и $z\in \Delta^+_M(a)$. Поэтому в интеграле, определяющем функцию $h$, можно осуществить предельный переход при $z \to a$, $z\in \Delta^+_M(a)$, в результате чего получим
$$
\begin{equation*}
\lim_{z \to a}h(\overline{a}z)=\lim_{z \to a}\int_{\mathbb T} \frac{1-\varkappa}{1-\varkappa \overline{a}z}\,d\mu(\varkappa)= \mu(\mathbb T\setminus\{1\}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при $z \to a$, $z\in \Delta^+_M(a)$, имеют место предельные соотношения
$$
\begin{equation*}
\lim_{z \to a}v(z)=0,\qquad \lim_{z \to a}\frac{v(z)}{z-a}= \alpha|1-\overline{q}a|^2\mu(\mathbb T\setminus\{1\})=v'(a).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, угловая производная $v'(a)$ существует и конечна. Кроме того, $v'(a)>0$, если только мера $\mu$ не сосредоточена в одной точке $\varkappa=1$. Последний случай соответствует тому, что $v(z)\equiv 0$ и $f^t(z)\equiv z$ при всех $t\geqslant 0$. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что $v'(a)>0$.
Пусть $R_a=\{z=ra\colon 1/2<r<1\}$ – половина радиуса с концевой точкой $a$. Зафиксируем $M>1$ и выберем $\delta>0$ так, чтобы оно было меньше гиперболического расстояния от $R_a$ до границы $\partial\Delta^+_M(a)$ области $\Delta^+_M(a)$. Для каждого $z \in R_a$ определим
$$
\begin{equation*}
\tau_z=\inf\{t>0\colon f^t(z)\in \partial\Delta^+_M(a)\}
\end{equation*}
\notag
$$
– момент первого выхода точки $f^t(z)$ на границу области $\Delta^+_M(a)$. Через $\gamma_z$ обозначим кривую с параметризацией $\zeta(t)=f^t(z)$, $0\leqslant t<\tau_z$. Используя неравенство (7.7), для $z\in \Delta^+_M(a)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{|v(z)|}{1-|z|^2}\leqslant \frac{4\alpha\,|a-z|\,|h(\overline{a}z)|}{1-|z|^2}\leqslant \frac{8\alpha\,|a-z|\,|1-\overline{a}z|}{(1-|z|^2)^2}\leqslant \frac{ 8\alpha\,|a^2-z^2|^2}{(1-|z|^2)^2}\leqslant 8\alpha M^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Но тогда гиперболическая длина $l_{\rm H}(\gamma_z)$ кривой $\gamma_z$ будет удовлетворять неравенству
$$
\begin{equation*}
l_{\rm H}(\gamma_z)=2\int_{\gamma_z}\frac{|d\zeta|}{1-|\zeta|^2}= 2\int_{0}^{\tau_z}\frac{\bigl|v\bigl(f^t(z)\bigr)\bigr|} {1-|f^t(z)|^2}\:dt \leqslant 16 \alpha M^2\tau_z.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу условий выбора $\delta$ для всех $z \in R_a$ получаем
$$
\begin{equation*}
\delta \leqslant l_{\rm H}(\gamma_z)\leqslant 16 \alpha M^2\tau_z,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует неравенство Таким образом, если $t \in [0,\tau^*]$ и $z \in R_a$, то гиперболическое расстояние от $z$ до $f^t(z)$ не превышает $16 \alpha M^2\tau^*=\delta$. Следовательно, при всех $t \in [0,\tau^*]$ образ $f^t(R_a)$ радиального отрезка $R_a$ содержится в $\Delta^+_M(a)$ и $f^t(z)\to a$ при $z \to a$ вдоль $R_a$.
Далее, поскольку
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t}\ln \frac{f^t(z)-a}{z-a}= \frac{v(f^t(z))}{f^t(z)-a}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где под логарифмом понимается ветвь, обращающаяся в нуль при $t=0$, то
$$
\begin{equation*}
\ln\frac{f^t(z)-a}{z-a}=\int_0^t\frac{v(f^s(z))}{f^s(z)-a}\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Как было показано выше, инфинитезимальная образующая $v$ имеет в точке $a$ конечный угловой предел $v'(a)>0$. Поэтому, осуществляя в последнем равенстве предельный переход при $z \to a$ вдоль отрезка $R_a$, получаем Это означает, что функции $f^t$, $0<t\leqslant \tau^*$, имеют в точке $a$ угловую производную и В силу полугруппового свойства $f^{t+s}(z)=f^t\circ f^s(z)$ существование угловой производной в точке $a$ и полученное для нее равенство распространяется на все функции $f^t$, $t>0$, однопараметрической полугруппы. Теорема 47 доказана. Следующий результат является дальнейшей детализацией формулы Берксона–Порты. Теорема 48 (Горяйнов [75]). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $v$ являлась инфинитезимальной образующей некоторой однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ с точкой Данжуа–Вольфа $q$, $q\in \overline{\mathbb D}$, и неподвижными точками $a_1,\dots,a_n$, в которых функции $f^t$, $t>0$, имеют конечные угловые производные, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде где $\lambda_k> 0$, $k=1,\dots,n$, и $p$ – голоморфная в ${\mathbb D}$ функция с неотрицательной вещественной частью. 8. Условия вложения итераций в однопараметрическую полугруппуКак отмечалось выше, задача вложения итераций функции в однопараметрическую полугруппу тесно связана с решением уравнений Абеля и Шрёдера. В терминах решений этих уравнений в работе [76] были получены условия вложимости для полугруппы $\mathscr B$. При этом существенным оказывается положение точки Данжуа–Вольфа. Приведем эти результаты. Теорема 49 (Элин, Горяйнов, Рейх, Шойхет [76]). Пусть функция $f\in\mathscr B[0]$ отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга $\mathbb{D}$ на себя и $f'(0)=\gamma \ne 0$. Тогда $f$ вкладывается в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B[0]$ в том и только том случае, если существует решение $F$ функционального уравнения которое представляет собой голоморфную в $\mathbb{D}$ функцию, удовлетворяющую условию где $p$ – голоморфная в $\mathbb{D}$ функция с положительной вещественной частью и $e^{-p(0)}=\gamma$. Теорема 50 (Элин, Горяйнов, Рейх, Шойхет [76]). Пусть функция $f\in\mathscr B[1]$ отлична от дробно-линейного преобразования единичного круга $\mathbb{D}$ на себя. Тогда $f$ вкладывается в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B[1]$ в том и только том случае, если существует решение $F$ функционального уравнения которое представляет собой голоморфную в $\mathbb{D}$ функцию, удовлетворяющую условию при $z\in\mathbb{D}$. Заметим, что (8.1) называется уравнением Шрёдера, а (8.2) – уравнением Абеля. Этим функциональным уравнениям посвящена обширная литература. В случае, когда точка Данжуа–Вольфа $q$ является внутренней для функции $f$ из $\mathscr B$ и $f'(q)=\gamma \ne 0$, существует предел который представляет собой голоморфную в $\mathbb{D}$ функцию, удовлетворяющую условиям $K(q)=0$ и $K'(q)=1$. Эта функция является решением функционального уравнения Шрёдера и ее называют функцией Кёнигса. Следующий результат дает полное описание функций Кёнигса, которые соответствуют функциям $f$, вложимым в однопараметрические полугруппы в $\mathscr B[q]$, $q\in\mathbb{D}$.Теорема 51 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $K$ являлась функцией Кёнигса для некоторой вложимой в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B[q]$ функции $f$ с $q\in \mathbb D$, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде с некоторым $\sigma=e^{i\theta}$, $-\pi/2<\theta<\pi/2$, и вероятностной мерой $\mu$ на единичной окружности $\mathbb T$. При этом под степенной функцией и логарифмом понимаются непрерывные ветви, которые при $z=q$ принимают значения $1$ и $0$ соответственно. Заметим также, что функция $K$, определяемая по формуле (8.3), является однолистной и отображает $\mathbb{D}$ на $\theta$-спиральную область. При этом семейство функций $t\geqslant 0$, определяет однопараметрическую полугруппу $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B$ с точкой Данжуа–Вольфа $q$. Таким образом, формула (8.3) определяет функции Кёнигса однопараметрических полугрупп в $\mathscr B$ с точкой Данжуа–Вольфа $q$ из $\mathbb{D}$.В случае граничной точки Данжуа–Вольфа для вложимых функций $f$ из класса $\mathscr B[q]$ также можно определить функцию Кёнигса $F$, которая является решением уравнения Абеля, однолистна в $\mathbb{D}$ и определяет однопараметрическую полугруппу по формуле Следующая теорема дает полное описание этих функций. Теорема 52 (Горяйнов, Кудрявцева [74]). Для того чтобы голоморфная в $\mathbb D$ функция $F$ являлась функцией Кёнигса однопараметрической полугруппы $t\mapsto f^t$ в $\mathscr B[q]$ с $q\in \mathbb{T}$, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление в виде Полное описание функций Кёнигса в случае, когда наряду с точкой Данжуа–Вольфа имеются другие неподвижные точки, можно найти в [75]. Интерес к задаче вложения итераций голоморфного отображения единичного круга в себя в однопараметрическую полугруппу длительное время стимулировался проблемой вложения процесса Гальтона–Ватсона в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем. Процесс Гальтона–Ватсона является простейшей моделью ветвящегося процесса с дискретным временем. Он описывает развитие популяции однотипных частиц, которые размножаются и погибают независимо друг от друга по некоторым случайным законам. Пусть $p_k$ – вероятность того, что частица в следующем поколении превращается в $k$ частиц, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}p_k=1$. Функция $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}p_k z^k$ называется производящей функцией процесса. Она вполне определяет процесс Гальтона–Ватсона. Если в начальный момент времени процесс начинался с одной частицы, то $f$ можно рассматривать как производящую функцию объема первого поколения частиц. Предположения, заложенные в определении процесса Гальтона–Ватсона, приводят к тому, что производящая функция объема $n$-го поколения представляет собой $n$-ю итерацию функции $f$. Таким образом, динамика процесса Гальтона–Ватсона описывается натуральными итерациями вероятностной производящей функции. Обозначим через $\mathscr B^+$ совокупность всех вероятностных производящих функций. Заметим, что $\mathscr B^+$ является подполугруппой полугруппы $\mathscr B$ и с каждой функцией $f$ из $\mathscr B^+$ однозначно связывается процесс Гальтона–Ватсона. Условие вложимости $f$ в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B^+$ эквивалентно вложимости соответствующего процесса Гальтона–Ватсона в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем. Через $\widetilde{\mathscr B^+}$ обозначим подмножество тех вероятностных производящих функций, которые допускают вложение в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B^+$. Первые результаты, связанные с описанием класса $\widetilde{\mathscr B^+}$, по-видимому, были получены Харрисом [77]. В своей монографии [78] (гл. V, п. 5) он отдельно изучает эту проблему в контексте дробных итераций вероятностных производящих функций. Им, в частности, был рассмотрен случай $f(0)=0$, т. е. $p_0=0$. Было показано, что если при этом $f$ – целая функция, то она не будет вложимой. Кроме того, были получены условия вложимости при условии $f(0)=0$ в виде неравенств на некоторые рекуррентные соотношения тейлоровских коэффициентов функций $[f(z)]^n$, $n=1,2,\dots$ . Дальнейшее продвижение в решении проблемы вложения получили Карлин и Макгрегор. В работе [79] было установлено, что если вероятностная производящая функция $f$ мероморфна в $\mathbb{C}$, то она не будет вложимой, за исключением случая дробно-линейной функции. Кроме того, в [79] были получены необходимые условия вложимости в терминах некоторых соотношений на производные вероятностной производящей функции до третьего порядка. Полностью задача вложения процессов Гальтона–Ватсона в однородные марковские ветвящиеся процессы решена в работах [80], [81]. Пусть теперь $f$ – вероятностная производящая функция, т. е. $f \in \mathscr B^+$. Тогда $f$ переводит отрезок $[0,1]$ в себя и ее точка Данжуа–Вольфа $q=\lim_{n \to \infty}\!f^n(0)$ принадлежит этому отрезку. Кроме того, $q$ является вероятностью вырождения соответствующего процесса Гальтона–Ватсона. Отметим также, что $z=1$ является неподвижной точкой для всякой вероятностной производящей функции $f$, а угловая производная $f'(1)$ совпадает с математическим ожиданием числа потомков от одной частицы в следующем поколении соответствующего процесса Гальтона–Ватсона. Следующие три теоремы дают полное описание класса $\widetilde{\mathscr B^+}$ вложимых вероятностных производящих функций в различных терминах. Теорема 53 (Горяйнов [81]). Пусть $f \in \mathscr B^+$ и $f(z) \not\equiv 1$. Тогда $f \in \widetilde{\mathscr B^+}$ в том и только том случае, если существует решение $v$ уравнения которое представляет собой голоморфную в $\mathbb{D}$ функцию, удовлетворяющую условиям $v'(0)=-1$ и $v^{(n)}(0) \geqslant 0$ при $n=2,3,\dots$ . Теорема 54 (Горяйнов [80]). Пусть $f \in \mathscr B^+$, $q$ – ее точка Данжуа–Вольфа и $f'(1) \ne 1$. Тогда $f \in \widetilde{\mathscr B^+}$ в том и только том случае, если $f'(z) \ne 0$ при $z \in \mathbb{D}$ и существует локально равномерный в $\mathbb{D}$ предел удовлетворяющий условиям $u^{(k)}(0) \geqslant 0$ при $k=2,3,\dots$ . Теорема 55 (Горяйнов [80]). Пусть $f \in \mathscr B^+$ и $f'(1)=1$. Тогда $f \in \widetilde{\mathscr B^+}$ в том и только том случае, если $f'(z) \ne 0$ при $z \in \mathbb{D}$ и существует локально равномерный в $\mathbb{D}$ предел удовлетворяющий условиям $u(f(0))=f'(0)$ и $u^{(k)}(0) \geqslant 0$ при $k=2,3,\dots$ . Приведем также необходимое условие вложимости, которое формулируется в терминах начальных вероятностей. Теорема 56 (Горяйнов [81]). Пусть функция $f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}p_kz^k \not\equiv z$ принадлежит полугруппе $\mathscr B^+$ и имеет точку Данжуа–Вольфа $q$, $0 < q \leqslant 1$. Тогда справедливы следующие утверждения: (a) если точка $(p_0, p_1)$ не принадлежит множеству
$$
\begin{equation*}
\biggl\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \colon \frac{1}{q}(q-x)(1-x) \leqslant y < \frac{1}{q}(q-x),\ 0 \leqslant x < q\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
то $f \notin \widetilde{\mathscr B^+}$; (b) если $p_1=(q-p_0)(1-p_0)/q$ и $f \in \widetilde{\mathscr B^+}$, то $f$ является дробно-линейной функцией. В работе [82] получены интегральные представления для функций Кёнигса, отвечающих вложимым вероятностным производящим функциям. 9. Угловая производная и тейлоровские коэффициентыВ теории однолистных функций доминирующей темой исследований в течение нескольких десятилетий являлась проблема коэффициентов, которая для голоморфной однолистной в единичном круге $\mathbb D$ функции $f(z)=z+c_2z^2+\cdots$ заключается в определении для каждого $n\geqslant 2$ области значений системы коэффициентов $\{c_2,\dots,c_n\}$. Частным случаем этой проблемы является задача нахождения точных оценок коэффициентов. Бибербах [39] высказал предположение, что $|c_n|\leqslant n$. Попытки доказать или опровергнуть гипотезу Бибербаха привели к развитию параметрического метода (см., например, [32]), ставшего мощным инструментом современной теории функций. Так, применяя параметрический метод, Л\”евнер [51] подтвердил гипотезу Бибербаха для третьего коэффициента, а Гарабедян и Шиффер [83] доказали ее справедливость для четвертого коэффициента. Полное решение гипотезы Бибербаха было получено де Бранжем [84], [85] и также опиралось на параметрический метод Лёвнера. Имеется широкий круг работ, посвященных задаче описания множества значений коэффициентов или функционалов, зависящих от коэффициентов, на классе голоморфных однолистных в единичном круге функций и на различных его подклассах. Оценки коэффициентов однолистных функций можно рассматривать как необходимые условия однолистности. В связи с этим естественно возникает задача получения необходимых условий существования дробных итераций функции в терминах оценок ее коэффициентов (поскольку однолистность является необходимым условием вложимости функции в однопараметрическую полугруппу). Обозначим через $\mathscr B_r[0]$ совокупность функций $f$ из $\mathscr B[0]$, имеющих вещественные коэффициенты разложения в ряд Тейлора:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B_r[0]=\{f\in \mathscr B[0]\colon f^{(n)}(0) \in {\mathbb R},\ n=1,2,\dots\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приводимая далее теорема дает необходимые условия вложимости функции $f \in \mathscr B_r[0]$ в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B_r[0]$ в терминах оценок ее начальных тейлоровских коэффициентов. Теорема 57 (Кудрявцева [86]). Пусть функция $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B_r[0]$ и вложима в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B_r[0]$. Тогда Результатам теоремы 57 можно придать наглядный геометрический вид. Для этого выделим в пространстве $\mathbb R^2$ множество $\mathscr C(c_1)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mathscr C(c_1)=\{(c_2,c_3)\in \mathbb R^2 \colon f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots,\ f\in \mathscr E(\mathscr B_r[0])\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr E(\mathscr B_r[0])$ – совокупность функций $f\in \mathscr B_r[0]$, допускающих вложение в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B_r[0]$. Тогда теорема 57 дает аналитическое описание границ множества $\mathscr C(c_1)$ и может быть сформулирована в следующем эквивалентном виде. Теорема 57′. Пусть $c_1\in (0,1)$ фиксировано. Тогда $\mathscr C(c_1)$ представляет собой замкнутое множество в $\mathbb R^2$, ограниченное кривыми где $-2c_1(1-c_1)\leqslant c_2 \leqslant 2c_1(1-c_1)$. Вопрос о содержательности полученных в теореме 57 оценок начальных коэффициентов функции $f\in \mathscr E(\mathscr B_r[0])$ можно решить сравнением с соответствующими точными оценками в классе ограниченных однолистных функций с вещественными коэффициентами (см. [87]). Оказывается, что множество $\mathscr C(c_1)$ содержится в соответствующем множестве, построенном по точным оценкам в классе ограниченных однолистных функций с вещественными коэффициентами. Описание экстремальных функций в задаче об оценке третьего коэффициента в классе функций $f\in \mathscr B_r[0]$, допускающих вложение в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B_r[0]$, дано в следующей теореме. Теорема 58 (Кудрявцева [86]). Пусть функция $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B_r[0]$, отлична от тождественного преобразования и вложима в однопараметрическую полугруппу в $\mathscr B_r[0]$. Справедливы следующие утверждения: (a) равенство имеет место тогда и только тогда, когда $ f(z)=F^{-1}\bigl(c_1\,F(z)\bigr)$, где $F$ – функция Кёнигса, определяемая по формуле
$$
\begin{equation*}
F(z)=\frac{z}{(1+z)^{1-\lambda}(1-z)^{1+\lambda}}\,,\qquad \lambda=\frac{c_2}{2c_1(1-c_1)}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
(b) равенство имеет место тогда и только тогда, когда $f(z)=F^{-1}(c_1\,F(z))$, где $F$ – функция Кёнигса, определяемая по формулеИнтересно проследить влияние угловых производных в граничных неподвижных точках на области изменения коэффициентов на всем классе $\mathscr B$ (без предположения однолистности). Если рассматривать коэффициенты независимо друг от друга, то, вообще говоря, ничего лучше оценки $|c_n|\leqslant 1$ быть не может. Если же стоит задача выяснить границы изменения коэффициента $c_n$, в то время как значения первых $n-1$ коэффициентов зафиксированы, то из результата Шура [88] следует, что на классе $\mathscr B[0]$ областью изменения коэффициента $c_n$ является круг, центр и радиус которого зависят от предыдущих коэффициентов $c_1,\dots,c_{n-1}$. Приведем неравенства Шура для начальных коэффициентов. Теорема 59 (Шур [88]). Пусть функция $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B[0]$. Тогда Оценки в теореме 59 являются точными, равенства в них достигаются на произведениях Бляшке. В [6] получены оценки областей взаимного изменения коэффициентов на классе $\mathscr B[0,1]$. Приведем оценки для первых двух коэффициентов. Теорема 60 (Горяйнов [6]). Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда Неравенства (9.1), (9.2) точные, равенства в них достигаются на произведениях Бляшке. В [89] разработан метод, позволяющий получать точные неравенства для тейлоровских коэффициентов функций с произвольным набором различных граничных неподвижных точек. Обозначим через $\mathscr B[0,a_1,\dots,a_n]$ совокупность тех функций из $\mathscr B[0]$, которые сохраняют различные граничные точки $z=a_j$, $|a_j|=1$, $j=1,\dots,n$, и имеют в них конечные угловые производные:
$$
\begin{equation*}
\mathscr B[0,a_1,\dots, a_n]=\Bigl\{f\in \mathscr B[0]\colon \angle\lim_{z\to a_j}f(z)=a_j,\ \angle\lim_{z\to a_j}f'(z)= f'(a_j)<\infty\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая теорема дает описание множества значений первых двух коэффициентов функций из класса $\mathscr B[0,a_1,\dots,a_n]$. Теорема 61 (Кудрявцева [89]). Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B[0,a_1,\dots,a_n]$ и $f'(a_j)=\alpha_j$, $1\leqslant j\leqslant n$. Тогда Неравенства (9.3), (9.4) точные, равенства в них достигаются на произведениях Бляшке. Неравенство (9.3) впервые было получено Коуэном и Поммеренке [90]. Однако используемый ими метод не позволяет получать оценки для старших коэффициентов. В основе нахождения точных неравенств для всех тейлоровских коэффициентов функций из класса $\mathscr B[0,a_1,\dots,a_n]$ лежит следующий результат, имеющий самостоятельный интерес. Лемма 9.1 (Кудрявцева). Пусть $f\in \mathscr B[0,a_1,\dots,a_k]$, $f(z)\not\equiv z$ и $f'(a_j)=\alpha_j$, $1\leqslant j\leqslant k$. Тогда функция принадлежит классу $\mathscr B[0,a_1,\dots,a_{k-1}]$ и Доказательство. Пусть функция $g$ определена формулой (9.5). Рассмотрим композицию $h\circ g(z)$, где $h(z)=(a_k+z)/(a_k-z)$ – дробно-линейное отображение круга $\mathbb D$ на правую полуплоскость $\mathbb H=\{\zeta\in\mathbb C\colon \operatorname{Re}\zeta >0\}$. Оценим ее вещественную часть:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{Re} (h\circ g(z))&=\operatorname{Re}\frac{a_k+g(z)}{a_k-g(z)}= \frac{1}{\alpha_k-1}\operatorname{Re}\biggl(\alpha_k\frac{a_k+f(z)}{a_k-f(z)}- \frac{a_k+z}{a_k-z}\biggr) \\ &=\frac{1}{\alpha_k-1}\biggl(\alpha_k\frac{1-|f(z)|^2}{|a_k-f(z)|^2}- \frac{1-|z|^2}{|a_k-z|^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Воспользовавшись теоремой Жюлиа–Каратеодори для оценки угловой производной $\alpha_k$ и неравенством $\alpha_k>1$, верным в силу наличия у функции $f$, отличной от тождественного отображения, внутренней неподвижной точки, получаем, что $\operatorname{Re}(h\circ g(z))>0$ для всех $z\in\mathbb D$. Таким образом, функция $g$ принадлежит классу $\mathscr B$. Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция $g$ оставляет неподвижными точки $z=0$, $z=a_j$, $1\leqslant j\leqslant k-1$. Кроме того, справедливы формулы (9.6) для угловых производных функции $g$ в ее граничных неподвижных точках. Лемма доказана. В заключение рассмотрим задачу описания областей коэффициентов (независимо друг от друга) на классе $\mathscr B[0,1]$. Теорема 62 (Кудрявцева, Солодов). Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда Неравенства (9.7), (9.8) точные, равенства в них достигаются на произведениях Бляшке. Например, равенство в (9.8) достигается на функции
$$
\begin{equation*}
f(z)=z\frac{(\alpha+1)z^2-(\alpha+1)z+2}{2z^2-(\alpha+1)z+\alpha+1}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что неравенство (9.7) эквивалентно неравенству (9.1). Скажем также, что численные эксперименты показывают справедливость неравенства Это позволяет сформулировать предположение о том, что на классе $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$, областью изменения коэффициента $c_n$ является орицикл в точке $1$ с параметром $\alpha+n-2$. Гипотеза 1. Пусть $f(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots$ принадлежит классу $\mathscr B_{\alpha}[0,1]$, $\alpha>1$. Тогда Как уже отмечалось в разделе 6, значение $\alpha=2$ является критическим: только при $\alpha<2$ есть области однолистности, содержащие обе неподвижные точки. При $\alpha=2$ наше предположение приобретает лаконичный вид созвучный гипотезе Бибербаха.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GorKudSol22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|