| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества О существовании плотных подсистем со свойством лакунарности в ортогональных системах И. В. Лимоноваab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10071e 
Реферативные базы данных:
     Пусть $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{N}$ – ортогональная система функций, заданных на вероятностном пространстве $(X,\mu)$. Обозначим $\langle N\rangle\equiv\{1,2,\dots, N\}$, для $\Lambda\subset \langle N\rangle$ определим оператор $S_{\Lambda}$, действующий по правилу $S_{\Lambda}(\{a_k\}_{k\in\Lambda})= \sum_{k\in\Lambda}a_k\varphi_k(x)$, и положим $\Phi_{\Lambda}=\{\varphi_k\}_{k\in\Lambda}$. Пусть $\delta\in(0,1)$ и $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ – набор независимых случайных величин, заданных на вероятностном пространстве $(\Omega,\nu)$ и таких, что $\xi_i(\omega)=0$ или 1, $\mathsf{E}\xi_i=\delta$, $1\leqslant i\leqslant N$. Для $\omega\in\Omega$ положим $\Lambda(\omega)\equiv\Lambda(\omega,N)\equiv \{i\in\langle N\rangle\colon\xi_i(\omega)=1\}$. Ниже рассматривается шкала пространств Орлича $L_{\psi_{\alpha}}$, где $\alpha>0$ и
$$
\begin{equation}
\psi_{\alpha}(t)= t^2\,\frac{\ln^{\alpha}(e+|t|)}{\ln^{\alpha}(e+1/|t|)}\,,\qquad \|f\|_{\psi_{\alpha}}=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \int_{X}\psi_{\alpha} \biggl(\frac{f(x)}{\lambda}\biggr)\,d\mu\leqslant 1\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В фундаментальной работе Ж. Бургейна [1] была решена задача о существовании $p$-лакунарных ($p>2$) подсистем размера $N^{2/p}$ в произвольной равномерно ограниченной ортогональной системе $\{\varphi_k\}_{k=1}^N$. В [2; теорема 1] с помощью модификации метода из [1] был получен следующий результат. Теорема A. Пусть $\alpha>0$ и $\rho>0$ фиксированы. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство Настоящая заметка является продолжением работы [2] (см. также [3]). Теорема 2 ниже является обобщением теоремы A на случай, когда $S_{\Lambda}$ действует из пространства $l_2(\Lambda)$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$, а на функции $\varphi_k$ накладывается более слабое условие $\|\varphi_k\|_{p}\leqslant 1$, $1 \leqslant k \leqslant N$, $p>4$. При этом, как указано в [2], для пространства Орлича, порождённого функцией (1), нельзя ожидать, что случайная подсистема мощности $N/(\log_2 N)^{\beta}$ ($\beta$ – сколь угодно большая постоянная) окажется $\psi_{\alpha}$-лакунарной (т. е. такой, что для любого $\overline{a}=\{a_k\}_{k=1}^N\in\mathbb{R}^N$ выполнено неравенство $\|\sum_{k=1}^N a_k\varphi_k\|_{\psi_{\alpha}}\leqslant C\|\overline{a}\|_2$), поэтому оценка в теореме 2 ниже даже при больших $\rho$ содержит растущий вместе с $N$ множитель. Пусть $U_2(\Lambda)$ – векторы единичной евклидовой нормы с носителем в $\Lambda$ такие, что все ненулевые координаты равны по модулю:
$$
\begin{equation*}
U_2(\Lambda)=\bigl\{{\overline{a}}=\{a_i\}_{i=1}^N\colon \operatorname{supp}(\overline{a})\subset \Lambda;\, |a_i|=|\operatorname{supp}(\overline{a})|^{-1/2} \text{ для } i\in\operatorname{supp}(\overline{a})\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{supp}(\overline{a})= \{i\in\langle N\rangle\colon a_i\ne 0\}$. Обозначим через $W(\Lambda)$ нормированное пространство (дискретное пространство Лоренца), единичный шар в котором является выпуклой оболочкой векторов из $U_2(\Lambda)$. Положим $\beta=\max\{\alpha/2-\rho/4,1/4\}$.
Теорема 1. Пусть $\alpha>1/2$, $\rho>0$, $p>4$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что утверждение теоремы A сохраняется при замене условия (2) на (3) (при $p>4$) и $K(\alpha,\rho)$ на $K(\alpha,\rho,p)$. Из комментария к лемме 3 в работе [4] следует, что для $\overline{a}\in\mathbb{R}^N$ с $\operatorname{supp}(\overline{a})\subset\Lambda$ имеет место оценка $\|\overline{a}\|_{W(\Lambda)}^2\leqslant C\|\overline{a}\|_2^2 \ln(|\Lambda|+3)$. Таким образом, из теоремы 1 вытекает следующий результат. Теорема 2. Пусть $\alpha>3/2$, $\rho>2$, $p>4$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3) с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство Рассмотрим оператор мажоранты частных сумм $S_{\Phi}^*$, который для $\{a_k\}_{k=1}^N\in\mathbb{R}^N$ задаётся соотношением $S_{\Phi}^*(\{a_k\}_{k=1}^N)(x)=\sup_{1\leqslant M\leqslant N} \bigl|\,\sum_{k=1}^M a_k\varphi_k(x)\bigr|$. Хорошо известно (см. [5]), что свойство лакунарности позволяет улучшать оценки для нормы оператора $S_{\Phi}^*$. В [6] Т. О. Балыкбаев показал, что при $\alpha>4$ для $\psi_{\alpha}$-лакунарной системы оператор мажоранты частных сумм ограничен как оператор из $l_2^N$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$ (а значит, и в $L_2(X)$). В [2] доказано, что при $\rho>4$ в любой ортогональной системе $\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (2) найдётся подсистема $\Phi_{\Lambda}$ из $N/(\log_2(N+3))^{\rho}$ функций такая, что $\|S_{\Phi_{\Lambda}}^{*}\colon l_{\infty}(\Lambda) \to L_{2}(X)\|\leqslant C(\rho)\sqrt{|\Lambda|}$ . Оказывается, для подсистемы системы $\Phi$, найденной в теореме 2, норму оператора мажоранты частных сумм, действующего из $l_2(\Lambda)$ в $L_2(X)$, можно оценить лучше, чем гарантируется теоремой Меньшова–Радемахера. Теорема 3. При $\rho>2$ для любой ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3) при $p>4$ найдётся $\Lambda\subset\langle N\rangle$, $|\Lambda|\geqslant N(\log_2(N+3))^{-\rho}$, такое, что 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lim22} |
|
||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|