Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 5(467), страницы 191–192
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10071
(Mi rm10071)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Сообщения Московского математического общества

О существовании плотных подсистем со свойством лакунарности в ортогональных системах

И. В. Лимоноваab

a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Список литературы:
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-15-2022-265
Российский научный фонд 21-11-00131
Теоремы 1, 2 доказаны в МЦМУ МИАН при финансовой поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-15-2022-265). Работа по теореме 3 выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-11-00131) в МГУ им. М. В. Ломоносова.
Поступила в редакцию: 15.08.2022
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages 952–954
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10071e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
MSC: 42A55

Пусть $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^{N}$ – ортогональная система функций, заданных на вероятностном пространстве $(X,\mu)$. Обозначим $\langle N\rangle\equiv\{1,2,\dots, N\}$, для $\Lambda\subset \langle N\rangle$ определим оператор $S_{\Lambda}$, действующий по правилу $S_{\Lambda}(\{a_k\}_{k\in\Lambda})= \sum_{k\in\Lambda}a_k\varphi_k(x)$, и положим $\Phi_{\Lambda}=\{\varphi_k\}_{k\in\Lambda}$.

Пусть $\delta\in(0,1)$ и $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ – набор независимых случайных величин, заданных на вероятностном пространстве $(\Omega,\nu)$ и таких, что $\xi_i(\omega)=0$ или 1, $\mathsf{E}\xi_i=\delta$, $1\leqslant i\leqslant N$.

Для $\omega\in\Omega$ положим $\Lambda(\omega)\equiv\Lambda(\omega,N)\equiv \{i\in\langle N\rangle\colon\xi_i(\omega)=1\}$.

Ниже рассматривается шкала пространств Орлича $L_{\psi_{\alpha}}$, где $\alpha>0$ и

$$ \begin{equation} \psi_{\alpha}(t)= t^2\,\frac{\ln^{\alpha}(e+|t|)}{\ln^{\alpha}(e+1/|t|)}\,,\qquad \|f\|_{\psi_{\alpha}}=\inf\biggl\{\lambda>0\colon \int_{X}\psi_{\alpha} \biggl(\frac{f(x)}{\lambda}\biggr)\,d\mu\leqslant 1\biggr\}. \end{equation} \tag{1} $$

В фундаментальной работе Ж. Бургейна [1] была решена задача о существовании $p$-лакунарных ($p>2$) подсистем размера $N^{2/p}$ в произвольной равномерно ограниченной ортогональной системе $\{\varphi_k\}_{k=1}^N$. В [2; теорема 1] с помощью модификации метода из [1] был получен следующий результат.

Теорема A. Пусть $\alpha>0$ и $\rho>0$ фиксированы. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством

$$ \begin{equation} \|\varphi_k\|_{L_{\infty}}\leqslant 1, \quad k=1,2,\dots,N, \end{equation} \tag{2} $$
с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство
$$ \begin{equation*} \|S_{\Lambda}: l_{\infty}(\Lambda) \to L_{\psi_{\alpha}}(X)\|\leqslant K(\alpha,\rho)|\Lambda|^{1/2}\bigl((\log_2 (N+3))^{\alpha/2-\rho/4}+1\bigr). \end{equation*} \notag $$

Настоящая заметка является продолжением работы [2] (см. также [3]). Теорема 2 ниже является обобщением теоремы A на случай, когда $S_{\Lambda}$ действует из пространства $l_2(\Lambda)$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$, а на функции $\varphi_k$ накладывается более слабое условие $\|\varphi_k\|_{p}\leqslant 1$, $1 \leqslant k \leqslant N$, $p>4$. При этом, как указано в [2], для пространства Орлича, порождённого функцией (1), нельзя ожидать, что случайная подсистема мощности $N/(\log_2 N)^{\beta}$ ($\beta$ – сколь угодно большая постоянная) окажется $\psi_{\alpha}$-лакунарной (т. е. такой, что для любого $\overline{a}=\{a_k\}_{k=1}^N\in\mathbb{R}^N$ выполнено неравенство $\|\sum_{k=1}^N a_k\varphi_k\|_{\psi_{\alpha}}\leqslant C\|\overline{a}\|_2$), поэтому оценка в теореме 2 ниже даже при больших $\rho$ содержит растущий вместе с $N$ множитель.

Пусть $U_2(\Lambda)$ – векторы единичной евклидовой нормы с носителем в $\Lambda$ такие, что все ненулевые координаты равны по модулю:

$$ \begin{equation*} U_2(\Lambda)=\bigl\{{\overline{a}}=\{a_i\}_{i=1}^N\colon \operatorname{supp}(\overline{a})\subset \Lambda;\, |a_i|=|\operatorname{supp}(\overline{a})|^{-1/2} \text{ для } i\in\operatorname{supp}(\overline{a})\bigr\}, \end{equation*} \notag $$
где $\operatorname{supp}(\overline{a})= \{i\in\langle N\rangle\colon a_i\ne 0\}$. Обозначим через $W(\Lambda)$ нормированное пространство (дискретное пространство Лоренца), единичный шар в котором является выпуклой оболочкой векторов из $U_2(\Lambda)$. Положим $\beta=\max\{\alpha/2-\rho/4,1/4\}$.

Теорема 1. Пусть $\alpha>1/2$, $\rho>0$, $p>4$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством

$$ \begin{equation} \|\varphi_k\|_{L_{p}}\leqslant 1, \qquad k=1,2,\dots,N, \end{equation} \tag{3} $$
с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство
$$ \begin{equation*} \|S_{\Lambda}\colon W(\Lambda) \to L_{\psi_{\alpha}}(X)\|\leqslant K(\alpha,\rho, p)(\log_2(N+3))^{\beta}. \end{equation*} \notag $$

Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что утверждение теоремы A сохраняется при замене условия (2) на (3) (при $p>4$) и $K(\alpha,\rho)$ на $K(\alpha,\rho,p)$.

Из комментария к лемме 3 в работе [4] следует, что для $\overline{a}\in\mathbb{R}^N$ с $\operatorname{supp}(\overline{a})\subset\Lambda$ имеет место оценка $\|\overline{a}\|_{W(\Lambda)}^2\leqslant C\|\overline{a}\|_2^2 \ln(|\Lambda|+3)$. Таким образом, из теоремы 1 вытекает следующий результат.

Теорема 2. Пусть $\alpha>3/2$, $\rho>2$, $p>4$. Для произвольной ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3) с вероятностью большей $1-C(\rho)N^{-9}$ для случайного множества $\Lambda=\Lambda(\omega)$, порождённого набором $\{\xi_i(\omega)\}_{i=1}^N$ с $\mathsf{E}\xi_i=\delta=(\log_2 (N+3))^{-\rho}$, $1\leqslant i\leqslant N$, имеет место неравенство

$$ \begin{equation*} \|S_{\Lambda}\colon l_2(\Lambda) \to L_{\psi_{\alpha}}(X)\|\leqslant K'(\alpha,\rho, p)(\log_2(N+3))^{\beta+1/2}. \end{equation*} \notag $$

Рассмотрим оператор мажоранты частных сумм $S_{\Phi}^*$, который для $\{a_k\}_{k=1}^N\in\mathbb{R}^N$ задаётся соотношением $S_{\Phi}^*(\{a_k\}_{k=1}^N)(x)=\sup_{1\leqslant M\leqslant N} \bigl|\,\sum_{k=1}^M a_k\varphi_k(x)\bigr|$. Хорошо известно (см. [5]), что свойство лакунарности позволяет улучшать оценки для нормы оператора $S_{\Phi}^*$. В [6] Т. О. Балыкбаев показал, что при $\alpha>4$ для $\psi_{\alpha}$-лакунарной системы оператор мажоранты частных сумм ограничен как оператор из $l_2^N$ в $L_{\psi_{\alpha}}(X)$ (а значит, и в $L_2(X)$). В [2] доказано, что при $\rho>4$ в любой ортогональной системе $\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (2) найдётся подсистема $\Phi_{\Lambda}$ из $N/(\log_2(N+3))^{\rho}$ функций такая, что $\|S_{\Phi_{\Lambda}}^{*}\colon l_{\infty}(\Lambda) \to L_{2}(X)\|\leqslant C(\rho)\sqrt{|\Lambda|}$ . Оказывается, для подсистемы системы $\Phi$, найденной в теореме 2, норму оператора мажоранты частных сумм, действующего из $l_2(\Lambda)$ в $L_2(X)$, можно оценить лучше, чем гарантируется теоремой Меньшова–Радемахера.

Теорема 3. При $\rho>2$ для любой ортогональной системы $\Phi=\{\varphi_k\}_{k=1}^N$ со свойством (3) при $p>4$ найдётся $\Lambda\subset\langle N\rangle$, $|\Lambda|\geqslant N(\log_2(N+3))^{-\rho}$, такое, что

$$ \begin{equation*} \|S_{\Phi_{\Lambda}}^{*}\colon l_2(\Lambda) \to L_{2}(X)\|\leqslant \begin{cases} C(\rho,\varepsilon,p)(\log_2(N+3))^{3/2-\rho/4+\varepsilon},& 2<\rho\leqslant 3, \ \varepsilon>0, \\ C(\rho,p)(\log_2(N+3))^{3/4}, & \rho>3. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Список литературы

1. J. Bourgain, Acta Math., 162:3-4 (1989), 227–245  crossref  mathscinet  zmath
2. Б. С. Кашин, И. В. Лимонова, Труды МИАН, 311 (2020), 164–182  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath
3. Б. С. Кашин, И. В. Лимонова, УМН, 74:5(449) (2019), 187–188  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
4. Б. С. Кашин, Матем. сб., 94(136):4(8) (1974), 540–550  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
5. Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., доп., АФЦ, М., 1999, x+550 с.  crossref  mathscinet  mathscinet  zmath  zmath
6. Т. О. Балыкбаев, Об одном классе лакунарных ортонормированных систем, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1986

Образец цитирования: И. В. Лимонова, “О существовании плотных подсистем со свойством лакунарности в ортогональных системах”, УМН, 77:5(467) (2022), 191–192; Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 952–954
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lim22}
\by И.~В.~Лимонова
\paper О~существовании плотных подсистем со свойством лакунарности в~ортогональных системах
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 5(467)
\pages 191--192
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10071}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10071}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582592}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..952L}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 5
\pages 952--954
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10071e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992306600007}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165886821}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10071
  • https://doi.org/10.4213/rm10071
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i5/p191
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:309
    PDF русской версии:32
    PDF английской версии:90
    HTML русской версии:170
    HTML английской версии:75
    Список литературы:57
    Первая страница:18
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024