Б. О. Волков, А. Н. Печень, “Ловушки высших порядков в задачах квантового управления для некоторых сильно вырожденных систем”, УМН, 78:2(470) (2023), 191–192; Russian Math. Surveys, 78:2 (2023), 390

Управление квантовыми системами привлекает интерес в связи с фундаментальными задачами и приложениями в квантовых технологиях [1]. Управляемая динамика $N$-уровневой замкнутой квантовой системы описывается уравнением Шрёдингера $i\dot U_t^f=(H_0+f(t)V)U_t^f$ с начальным условием $U_{t=0}^f=\mathbb I$ для унитарного оператора эволюции $U_t^f$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal H}=\mathbb C^N$. Здесь $H_0$ и $V$ – свободный гамильтониан и гамильтониан взаимодействия (эрмитовы операторы в ${\mathcal H}$), $f\in\mathfrak{H}^0:=L_2([0,T];\mathbb R)$ – управление, $T>0$ – заданное целевое время. Рассмотрим задачу квантового управления с целевым функционалом типа Майера вида $J_O=\operatorname{Tr}(OU_T^f\rho_0 U_T^{f\unicode{8224}})\to\max$, где $\rho_0$ – начальная матрица плотности (эрмитов оператор в $\mathcal H$ такой, что $\rho_0\geqslant 0$, $\operatorname{Tr}\rho_0=1$) и $O$ – целевая наблюдаемая (эрмитов оператор в $\mathcal H$). Квантовая система с гамильтонианом $(H_0,V)$ называется полностью управляемой, если существует такое целевое время $T_{\min}$, что для всех $T\geqslant T_{\min}$ и $U\in U(N)$ существует управление $f\in \mathfrak{H}^0$ такое, что $U=U_T^fe^{i\alpha}$, где $\alpha\in \mathbb{R}$.

Для управляемой системы важный вопрос – установить, имеет ли целевой функционал ловушки [2]. Для целевого функционала $J_O$ ловушка $n$-го порядка, $n\geqslant2$, есть управление $f_0\in \mathfrak{H}^0$ такое, что (a) $f_0$ не является точкой глобального максимума $J_O$ и (b) формула Тейлора для целевого функционала в точке $f_0$ имеет вид

Рассмотрим $N$-уровневую квантовую систему с гамильтонианом $(H_0,V)$:

Доказательство. Для таких $\rho_0$ и $O$ из полной управляемости системы $(H_0,V)$ следует [6], что управление $f_0\equiv0$ не является точкой глобального экстремума $J_O$ при $T\geqslant T_{\min}$. Без потери общности можно положить $\lambda_N=0$ [6]. Пусть $V_t:=e^{itH_0}Ve^{-itH_0}$ и $A^n_{lk}\colon \mathfrak{H}^0 \to\mathbb{C}$ – форма порядка $n$, заданная как

$$ \begin{equation*} A^n_{lk}\langle f\rangle:=\displaystyle\int_0^Tdt_1\displaystyle\int_0^{t_1}dt_2\ldots \displaystyle\int_0^{t_{n-1}}dt_n\,f(t_1)\cdots f(t_n)\langle l|V_{t_1}\cdots V_{t_n}|k\rangle. \end{equation*} \notag $$

Положим $A^0_{lk}=\delta_{lk}$ ($\delta_{lk}$ – символ Кронекера). Прямыми вычислениями можно получить формулу для дифференциала Фреше порядка $n$ целевого функционала $J_O$ в $f_0$:

$$ \begin{equation} \frac 1{n!}J_O^{(n)}(f_0)(f,\dots,f)=\sum_{j=0}^n\,\sum_{l=1}^{N-1} (-1)^{n-j}i^{n} \lambda_l A^j_{lN}\langle f \rangle \overline{A^{n-j}_{lN}\langle f \rangle}. \end{equation} \tag{1} $$

При $n=1$ получаем, что $J'_O(f_0)=0$. Так как $\langle l|V|N\rangle=0$ для $l\ne N-1$, то

$$ \begin{equation*} \frac 1{2!}J''_O(f_0)(f,f)=\lambda_{N-1}|A^1_{(N-1)N}\langle f\rangle|^2= \lambda_{N-1}v^2_{N-1}\biggl(\,\int_0^Tf(t)\,dt\biggr)^2. \end{equation*} \notag $$

Определим $\mathfrak{H}^{1}=\biggl\{f \in \mathfrak{H}^0\colon \displaystyle\int_0^Tf(t)\,dt=0\biggr\}$. Тогда $J''_O(f_0)(f,f)<0$ при $f\in \mathfrak{H}^0 \setminus\mathfrak{H}^1$ и $J''_O(f_0)(f,f)=0$ при $f\in \mathfrak{H}^1$. Заметим, что для квантовой системы $(H_0,V)$ выполняется следующее. Если $1<l$ и $n\leqslant N-1$, то $\langle l|V_{s_n}\cdots V_{s_1}|N\rangle=\langle l|V^n|N\rangle$ и поэтому форма $A^n_{lN}\langle f\rangle=\dfrac{\langle l|V^n|N\rangle}{n!} \biggl(\,\displaystyle\int_0^Tf(t)\,dt\biggr)^{n}$ равна нулю на $\mathfrak{H}^{1}$. Кроме того, если $n<N-1$, то $\langle 1|V_{s_n}\cdots V_{s_1}|N\rangle=0$ и, следовательно, $A^n_{1N}=0$. Тогда из (1) вытекает, что $J_O^{(n)}(f_0)(f,\dots,f)=0$ для $3\leqslant n \leqslant 2N-3$ и $f\in \mathfrak{H}^1$. Кроме того, для $f\in\mathfrak{H}^1$

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{1}{(2N-2)!}J^{(2N-2)}_O(f_0)(f,\dots,f)= \lambda_1|A_{1N}^{N-1}\langle f \rangle|^2 \\ &\qquad\qquad\qquad=\lambda_1\biggl|\int_{[0,T]^{N-1}}K(t_1,\dots,t_{N-1}) f(t_1)\cdots f(t_{N-1})\,dt_1\cdots dt_{N-1}\biggr|^2\geqslant 0, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

где $K(t_1,t_2,\dots,t_{N-1})=((N-1)!)^{-1}v_{1}v_{2}\cdots v_{N-1}e^{i(a-b)\max(t_1,\dots,t_{N-1})}$. Таким образом, управление $f_0\equiv 0$ является ловушкой порядка $2N-3$. Теорема доказана.

Авторы благодарны С. А. Кузнецову за указание на доказательство управляемости в [9].

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{VolPec23}

\by Б.~О.~Волков, А.~Н.~Печень

\paper Ловушки высших порядков в~задачах квантового~управления для некоторых сильно вырожденных систем

\jour УМН

\yr 2023

\vol 78

\issue 2(470)

\pages 191--192

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10069}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10069}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4653853}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023RuMaS..78..390V}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2023

\vol 78

\issue 2

\pages 390--392

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10069e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001086942800004}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85175192315}

Список литературы