| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 9 научных статьях (всего в 10 статьях) Сообщения Московского математического общества Мартингальный метод исследования ветвящихся случайных блужданий Н. В. Смородинаa, Е. Б. Яроваяb a Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10068e 
Реферативные базы данных:
     Рассматривается ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) по $\mathbb{Z}^{d}$, $d\in \mathbb{N}$, с непрерывным временем. Случайное блуждание, лежащее в основе ВСБ, задается матрицей переходных интенсивностей $A=(a(x-y))_{x,y\in \mathbb{Z}^{d}}$, где четная функция $a(x)$ удовлетворяет условиям $\sum_{x\in\mathbb{Z}^{d}}a(x)=0$, $a(x)\geqslant 0$ при $x\ne 0$ и $a(0)<0$. Блуждание также предполагается неразложимым, т. е. для каждого $z\in\mathbb{Z}^{d}$ найдутся такие $z_{1},\dots,z_{k}\in\mathbb{Z}^{d}$, что $z=\sum_{i=1}^{k}z_{i}$ и $a(z_{i})\ne 0$ при $i=1,\dots,k$. Ветвление в точках $x \in \mathbb{Z}^{d}$ определяется инфинитезимальной производящей функцией $f(u,x)=\sum_{k=0}^\infty b_k(x) u^k$, определенной при $0\leqslant u \leqslant1$, где $b_k(x)\geqslant0$ при $k\ne 1$, $b_1(x)\leqslant 0$ и $\sum_{k\ne 1} b_k(x)={|b_1|<\infty}$. Предполагается, что $f^{(r)}(1,x)<\infty$ для каждого $x \in \mathbb{Z}^{d}$ при $r=1,2$. Величину $\beta(x)=f'(1,x)=\sum_{k}kb_{k}(x)$ называют интенсивностью ветвления в точке $x \in \mathbb{Z}^{d}$. Мы предполагаем, что $\beta(x) \to 0$ при $\|x\| \to\infty$, где $\|\,\cdot\,\|$ – норма в $L_{2}(\mathbb{Z}^{d})$, а функция $f^{(2)}(1,x)=\sum_{k}k(k-1)b_{k}(x)$ ограничена на $\mathbb{Z}^{d}$. Функции $a(x)$ и $f(u,x)$ определяют ветвящийся марковский процесс. А именно, частица, находящаяся в точке $x$, за малое время $h$ с вероятностью $p(h,x,y)=a(x-y)h+o(h)$ переходит в точку $y\ne x$, либо не совершает такого перехода и при этом с вероятностью $p_{*}(h,x,k)=b_{k} h+o(h)$ производит потомство из $k\ne 1$ частиц, остающихся в точке $x$ (считается, что и сама частица входит в это число, а при $k=0$ говорят, что частица гибнет), либо с вероятностью $1-\sum_{y\ne x}a(x-y)h-\sum_{k\ne 1}b_{k}(x)h+o(h)$ никаких изменений с частицей не происходит. Отдельные частицы эволюционируют независимо друг от друга. Далее основным объектом исследования является численность частиц $\mu_{t,x}(y)$ в момент времени $t$ в произвольной фиксированной точке $y\in \mathbb{Z}^{d}$ при условии, что в начальный момент времени у нас имелась одна частица, находящаяся в точке $x\in \mathbb{Z}^{d}$. Как показано, например, в [1], первый момент $m_{1}(t,x,y)=\mathsf{E}\mu_{t,x}(y)$ случайной величины $\mu_{t,x}(y)$ является решением $u(t,x)$ задачи Коши $\partial_{t}u=\mathcal{A}u+\mathcal{B}u$ с начальным условием $u(0,x)=\delta(y-x)$, где симметричный оператор сверточного типа $\mathcal{A}$, порожденный матрицей $A$, и диагональный оператор покоординатного умножения $\mathcal{B}$ действуют на функцию $\varphi\in L_{2}(\mathbb{Z}^d)$ следующим образом: $(\mathcal{A} \varphi)(x)=\sum_{y\in\mathbb{Z}^d}a(x-y)\varphi(y)$, $(\mathcal{B} \varphi)(x)=\beta(x)\varphi(x)$ для любого $x\in\mathbb{Z}^d$. В большинстве публикаций по данной тематике доказательства предельных теорем для численности частиц $\mu_{t,x}(y)$ объединяются общим методом исследования, основанным на анализе асимптотики моментов $\mu_{t,x}(y)$ (см., например, [2]). Мы же используем метод, основанный на мартингальной технике, которая впервые была использована Дубом для изучения ветвящихся процессов и получила дальнейшее развитие для ВСБ в работах Биггинса [3] и Иоффе [4]. Нами вводится совершенно иной мартингал, построение которого базируется на использовании методов спектральной теории самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Перейдем непосредственно к построению мартингала. Пусть $X_{x}(t)$ обозначает ВСБ, задаваемое, как и выше, функциями $a(x)$ и $f(u,x)$ и удовлетворяющее условию $X_{x}(0)=\delta_{x}$, т. е. в начальный момент у нас имеется ровно одна частица, находящаяся в точке $x$. Процесс $X_{x}(t)$ далее рассматривается как марковский процесс со значениями в пространстве $\mathcal{M}$ всех дискретных конечных целочисленных мер на $\mathbb{Z}^d$. Всякий элемент $M\in\mathcal{M}$ имеет вид $M=\sum_{j=1}^{k} \delta_{y_j}$, где $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $y_j \in \mathbb{Z}^d$. В этом представлении точки $y_j$ не обязательно различны, что соответствует тому, что в одном узле решетки $\mathbb{Z}^d$ может находиться несколько частиц одновременно, и отличаются находящиеся в одном узле частицы только своими номерами в списке частиц $\{y_1,y_2,\dots,y_k\}$. Другими словами, каждое $y_j$ соответствует отдельной частице, которую мы кодируем занятым ею узлом решетки $y_j$ и ее номером $j$ в списке. Так как далее будут рассматриваться только симметрические функции от $X_{x}(t)$, конкретный выбор нумерации частиц не играет роли. Для $M\in\mathcal{M}$ символом $\{M\}$ обозначим множество всех частиц. Это множество будем записывать как $\{M\}=\{y_1,y_2,\dots,y_k\}$, причем в этом представлении каждый узел решетки может встречаться несколько раз, что соответствует тому, что в этом узле находится несколько частиц. Итак, ВСБ $X_x(t)$ мы рассматриваем как $\mathcal{M}$-значный марковский случайный процесс. Через $(\mathcal{F}_t)$ обозначим соответствующую этому процессу фильтрацию. Теперь для каждых $t\geqslant 0$, $x\in\mathbb{Z}^d$ и $\varphi\in L_{2}(\mathbb{Z}^d)$ определим случайную величину $ I_{t,x}(\varphi)=\displaystyle\sum_{y \in \{X_{x}(t)\}}\varphi(y)= \displaystyle\int_{\mathbb{Z}^d}\varphi \,dX_{x}(t)$. Далее, можно показать, что оператор $\mathcal{A}+\mathcal{B}$ является ограниченным и самосопряженным в $L_{2}(\mathbb{Z}^d)$, а его положительный спектр может состоять только из собственных значений конечной кратности (возможно, сгущающихся к нулю). Предположим еще, что $\lambda_0=\sup_{\|h\|=1}\{(\mathcal{A}h,h)+ \sum_{x\in\mathbb{Z}^d}\beta(x)h^2(x)\}>0$. Из теоремы Крейна–Рутмана [5] вытекает, что число $\lambda_0$ является простым собственным значением оператора $\mathcal{A}$, которому соответствует строго положительная собственная функция $\varphi_0\in L_{2}(\mathbb{Z}^d)$. Теорема 1. Для любого $x\in\mathbb{Z}^d$ процесс $\eta(t,x)=e^{-\lambda_0 t}I_{t,x}(\varphi_0)$, где $\eta(0,x)=\varphi_0(x)$, является неотрицательным $(\mathcal{F}_t)$-мартингалом. В силу неотрицательности мартингала $\eta(t,x)$ из теоремы Дуба [6; гл. 3] следует, что п. н. существует предел $\eta(\infty,x)=\lim_{t\to\infty}\eta(t,x)$. Следующая теорема показывает, что этот предел существует также и в среднеквадратическом. Теорема 2. Справедливо соотношение $\lim_{t\to\infty}\sup_{x\in\mathbb{Z}^d}\mathsf{E}(\eta(t,x)- \eta(\infty,x))^2=0$. С использованием теорем 1 и 2 получаем следующую теорему. Теорема 3. Для $\mu_{t,x}(y)$ имеем $\lim_{t\to\infty}\sup_{x\in\mathbb{Z}^d}\mathsf{E} \big(e^{-\lambda_0t}\mu_{t,x}(y)-\varphi_0(y)\eta(x,\infty)\big)^2=0$. Теоремы 1–3 показывают, что мартингальный подход позволяет для получения предельной теоремы о численности частиц $\mu_{t,x}(y)$ ограничиться изучением двух ее первых моментов, а также обобщить результаты, полученные для ВСБ с конечным числом источников ветвления частиц [7], на модели c бесконечным числом источников положительной интенсивности. В отличие от метода моментов, c помощью которого в [7], [2] была доказана сходимость по распределению случайных величин $e^{-\lambda_0t}\mu_{t,x}(y)$, мартингальный подход позволил доказать более сильное утверждение о сходимости этих случайных величин к пределу в среднеквадратическом. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SmoYar22} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|