| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса А. И. Аптекаревa, В. А. Калягинb a Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10067e 
Реферативные базы данных:
    1. Струна СтилтьесаСистема разностных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \theta_{k+1}-\theta_k=m_{k+1}z\eta_k, & k\in \mathbb{Z}_+, \ \theta_0=0, \\ \eta_k-\eta_{k-1}=l_k\theta_k, & k\in \mathbb{N}, \ \hphantom{{}_{+}} \eta_0=1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{1}
$$
последовательно определяет по параметрам $\{m_k,l_k\}$ струны характеристики ее колебаний $\{\eta_k, \theta_k\}$, зависящие от спектрального параметра $z$. В то же время решения $\{\theta_k,\eta_k\}$ системы (1) вместе с ее решениями $\{\theta^{(1)}_k,\eta^{(1)}_k\}$, отвечающими начальным условиям $\theta^{(1)}_0=1$, $\eta^{(1)}_0=0$, формируют подходящие дроби для классической непрерывной дроби Стилтьеса [1], [2]:
$$
\begin{equation}
S_n(z)=\begin{cases} \theta^{(1)}_k/\theta_k, & n=2k-1, \\ \eta^{(1)}_k/\eta_k, & n=2k, \end{cases}\quad k\in \mathbb{N};\quad S(z)=\frac{1|}{|m_1 z\,+}\,\,\frac{1|}{|l_1\,+}\,\, \frac{1|}{|m_2z\,+}\,\,\frac{1|}{|l_2+\cdots}\,.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Уравнения струны Стилтьеса (1) – прообраз многих замечательных систем операторов, таких как струна Крейна [2], [3] и канонические системы де Бранжа [4], [5]. Непрерывная дробь, эквивалентная (2), и соответствующие рекуррентные соотношения имеют вид
$$
\begin{equation}
S(z)=\frac{1|}{|z\,+}\,\frac{a_1|}{|1\,+}\,\frac{a_2|}{|z\,+}\, \frac{a_3|}{|1{}+{}\cdots}\,,\quad A_{n+1}=\epsilon_nA_n+a_nA_{n-1},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\epsilon_n=z$, если $n=2k$, и $\epsilon_n=1$, если $n \ne 2k$, $k\in \mathbb{N}$; при этом $A_{-1}=0$, $A_0=1$ для знаменателей и $A^{(1)}_{-1}=1$, $A^{(1)}_0=1$ для числителей подходящих дробей. После сокращений подходящие дроби (2) совпадут с подходящими непрерывной дроби (3). Для $m_k,l_k>0$ ($a_k>0$) имеем равномерную на компактах в $\mathbb{C} \setminus [0,+\infty)$ сходимость дроби Стилтьеса к функции Стилтьеса $S(z)$, порожденной некоторой мерой $\sigma>0$:
$$
\begin{equation}
S_n(z) \to S(z)=\int_0^{+\infty}\frac{d\sigma(x)}{z+x}\,, \qquad \operatorname{supp} \sigma \in \mathbb{R}_+.
\end{equation}
\tag{4}
$$
2. Векторная дробь СтилтьесаПонятие векторной непрерывной дроби основано на процедуре Якоби–Перрона обращения вектора $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots,c_d) \in \mathbb{C}^d$: $\mathbf{c}^{-1}=\boldsymbol{1}/\mathbf{c}= (1/c_d,c_1/c_d,\dots,c_{d-1}/c_d)$. В настоящей работе мы рассматриваем векторное обобщение дроби Стилтьеса (2) и связанную с ним систему разностных уравнений, аналогичную (1). Теорема 1. Пусть для векторной непрерывной дроби $\mathbf{S}(z)$ имеем $m_k,l_{1,k},l_{2,k} \ne 0$: Отметим, что в [6] рассмотрено векторное обобщение эквивалентной дроби Стилтьеса (3) и для числителей $A^{(1)}_n$, $A^{(2)}_n$ со знаменателем $A_n$ у подходящих получено:
$$
\begin{equation}
A_{n+1}=\epsilon_nA_n+a_{n-1}A_{n-2}, \quad \epsilon_n=z \;\,\text{для } n=3k, \quad \epsilon_n=1 \;\,\text{для }n \ne 3k,\quad k\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{9}
$$
при этом $a_{3k-2}=(m_kl_{1,k}l_{2,k})^{-1}$, $a_{3k-1}=(m_{k+1}l_{1,k}l_{2,k})^{-1}$, $a_{3k}=(m_{k+1}l_{1,k+1}l_{2,k+1})^{-1}$.
3. Спектральная задачаПрямую спектральную задачу нахождения $(\sigma_1,\sigma_2)$ из (8) удобнее решать в терминах коэффициентов $\{a_n\}$ из (9). Известно [7], что преобразование $f_j(z)=z^{j+1}S_j(z^3)$, $j=1,2$, превращает систему функций Стилтьеса в систему функций Никишина $f=(f_1,f_2)$, порожденную мерами $d\mu_j(x)=d\sigma_j(x^3)$. Система Никишина – одна из базовых систем функций, для которых знаменатели аппроксимаций Эрмита–Паде $\{Q_n(z)\}$ являются многочленами совместной ортогональности относительно системы мер $(\mu_1,\mu_2)$ [8]. Приложения систем Никишина в спектральной теории операторов Шрёдингера на графах см. в [9], [10]. Имеем
$$
\begin{equation}
Q_{n+1}(x)=x Q_n(x)-a_{n-2}Q_{n-2}(x), \qquad Q_0(x)=1,\quad Q_1(x)=x,\quad Q_2(x)=x^2.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Таким образом, прямая спектральная задача для векторной струны Стилтьеса сводится к нахождению мер ортогональности $(\mu_1,\mu_2)$ по коэффициентам соотношения (10). Пусть $W(z)$ – алгебраическая функция: $W^3-zW^2+1=0$, ветви: $W_0(\infty)=\infty$, $\operatorname{Im} W_2=0$ на $[0,\alpha)$, $\alpha:=(27/4)^{1/3}$. Обозначим $\{Q_n^{(j)}\}_{j=1,2}$ два других решения уравнений (10) с начальными условиями $Q^{(1)}_0(x)=0$, $Q^{(1)}_1(x)=1$, $Q^{(1)}_2(x)=x$, $Q^{(2)}_0(x)=0$, $Q^{(2)}_1(x)=0$, $Q^{(2)}_2(x)=1$, и пусть
$$
\begin{equation*}
D_n(x):=\begin{vmatrix} Q_n(x) & Q_{n+1}(x)& W_2^2(x) \\ Q_{n-1}(x) & Q_n(x) & W_2(x) \\ Q_{n-2}(x) & Q_{n-1}(x) & 1 \end{vmatrix}, \quad D_n^{(j)}(x):=\begin{vmatrix} Q_n(x) & Q^{(j)}_n(x)& W_2^2(x) \\ Q_{n-1}(x) & Q^{(j)}_{n-1}(x) & W_2(x) \\ Q_{n-2}(x) & Q^{(j)}_{n-2}(x) & 1 \end{vmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Если $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n-1|<\infty$, то $d\mu_j(x)=\rho_j(x)\,dx$ и равномерно по $x$ 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AptKal22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|