| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сообщения Московского математического общества О слабой разрешимости моделей движения вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением высокого порядка В. Г. Звягин, В. П. Орлов Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10066e 
Реферативные базы данных:
     Рассматривается движение несжимаемой вязкоупругой жидкости с постоянной плотностью, заполняющей ограниченную область $\Omega\subset\mathbb{R}^N$, $N=2,3$, с локально-липшицевой границей $\partial\Omega$ на промежутке времени $[0,T]$ и с реологическим соотношением
$$
\begin{equation}
\biggl(1+\sum_{k=1}^{m}p_{k}D_t^{a_k}\biggr)\sigma= \nu\biggl(1+\nu^{-1}\sum_{k=1}^{n}q_{k}D_t^{b_k}\biggr) \mathcal{E}(v), \qquad \nu>0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
связывающим девиатор тензора напряжений $\sigma(t,x)$ и тензор скоростей деформации $\mathcal{E}(v)(t,x)$ поля скоростей $v(t,x)$. Здесь $m,n \in \mathbb{N}$, $\nu>0$, $a_k\in [k,k+1)$, $k=1,\dots,m$, $b_k\in [k,k+1)$, $k=1,\dots,n$, $D_t^{r}$ – дробная производная Римана–Лиувилля порядка $r$. При $m<n$ мы имеем жидкость Максвелла, при $m=n$ – жидкость Олдройда, при $m>n$ – жидкость Кельвина–Фойгта (см. [1]). Использование моделей высокого порядка обусловлено их более высокой точностью описания движения реальных сред. Для целочисленных моделей (1) ($a_k,b_j \in \mathbb{Z}$) жидкостей высоких порядков в [1]–[3] установлены разрешимость и свойства решений соответствующих начально-граничных задач в классах достаточно гладких функций. Нас будет интересовать дробная модель жидкости Олдройда ($m=n$, $a_m=b_m$, $a_m,b_m\in (m,m+1)$, $p_m,q_m>0$) высокого порядка. В этом случае из (1) следует, что, с точностью до начальных данных для $\sigma$ и $\mathcal{E}(v)$,
$$
\begin{equation}
\sigma(t,x)=\mu_0\mathcal{E}(v)(t,x)+\int_0^tG(t-s)\mathcal{E}(v)(s,x)\,ds,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\mu_0=p_{m}^{-1}q_m$, $G(s)=s^{\gamma_1-1}G_0(s)$, $\gamma_1=a_m-b_{m-1}<1$, $G_0(s)$ – гладкая функция. Наличие интегрального слагаемого в (2) означает долговременную память по пространственным переменным. Большой интерес, как более реалистичные с разных точек зрения, представляют модели, учитывающие состояние среды вдоль интегральных кривых поля скоростей $v$ (см., например, [4]). Такие модели порядка не выше 2 (целочисленные и дробные) изучались в [5]–[10]. Подстановка выражения для $\sigma(t,x)$ в уравнение движения в форме Коши $\partial v/\partial t+\sum_{i=1}^Nv_i\, \partial v/\partial x_i+ \nabla p-\operatorname{Div}\sigma=f$ с учетом памяти вдоль траекторий движения жидкости приводит к начально-граничной задаче
$$
\begin{equation}
\frac{\partial v}{\partial t}+ \sum_{i=1}^nv_i\, \frac{\partial v}{\partial x_i}- \mu_0\Delta v-\operatorname{Div}\int_{0}^tG(t-s) \mathcal{E}(v)(s,z(\tau;t,x))\,ds+\nabla p=f,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
z(\tau;t,x)=x+\int_t^\tau v(s,z(s;t,x))\,ds, \qquad 0\leqslant t,\tau\leqslant T, \quad x\in\overline{\Omega},
\end{equation}
\tag{4}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}v(t,x)=0, \qquad (t,x)\in Q_T=[0,T]\times \Omega,
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
v(0,x)=v^0(x),\quad x\in \Omega, \qquad v(t,x)=0, \quad (t,x)\in [0,T]\times \partial\Omega
\end{equation}
\tag{6}
$$
($\operatorname{Div}A:= (\operatorname{div}a_1,\dots,\operatorname{div}a_N)$ для $(N\times N)$-матрицы-функции $A$ со строками $a_i$). Ниже мы исследуем вопрос о слабой разрешимости задачи (3)–(6) в пространстве $W_1\equiv \{v\colon v\in L_2(0,T;V)\cap L_{\infty}(0,T;H)$, $v'\in L_1(0,T;V^{-1})\}$. Здесь $H$ и $V$ – замыкания множества соленоидальных функций $C^\infty_0(\Omega)^N$ по нормам $L_2(\Omega)^N$ и $W_2^1(\Omega)^N$ соответственно (см. [11]). В случае $v\in W_1$ нет гарантии существования классического решения задачи Коши (4) и ее разрешимость приходится устанавливать в классе регулярных лагранжевых потоков (РЛП), обобщающих понятие классического решения систем ОДУ. Напомним, что РЛП, порожденный функцией $v$, $\operatorname{div}v=0$, – это функция $z(\tau;t,x)$, $(\tau,t,x)\in [0,T]\times [0,T] \times\overline{\Omega}$, удовлетворяющая условиям: 1) при п. в. $x$ и любом $t\in[0,T]$ функция $\gamma(\tau)=z(\tau;t,x)$ абсолютно непрерывна и удовлетворяет уравнению (4) и условию $z(t;t,x)=x$; 2) для любых $t,\tau \in[0,T]$ имеем $m(z(\tau;t,B))=m(B)$; 3) при всех $t_1,t_2,t_3\in[0, T]$ и п. в. $x\in\overline{\Omega}$ имеем $z(t_3;t_1,x)=z(t_3;t_2,z(t_2;t_1,x))$. Здесь $B\subset\overline{\Omega}$ – произвольное измеримое по Лебегу множество, а $m$ – лебегова мера. Если $v\in L_1(0,T;W_{p}^1(\Omega)^N)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$, $\operatorname{div}v(t,x)=0$ и $v(t,x)\big|_{\partial\Omega}=0$, то существует единственный РЛП $z$, порожденный $v$. Факты о РЛП см., например, в [12], [13]. Определение. Слабым решением задачи (3)–(6) называется функция $v\in W_1$, удовлетворяющая тождеству 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZvyOrl22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|