И. Ю. Лимонченко, Т. Е. Панов, “Минимально неголодовы кольца граней и произведения Масси”, УМН, 77:4(466) (2022), 203–204; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 762

Финансовая поддержка	Номер гранта
Программа фундаментальных исследований НИУ ВШЭ
Конкурс «Молодая математика России»
Исследование выполнено в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ. Первый автор является победителем конкурса “Молодая математика России” и хотел бы поблагодарить его спонсоров и жюри.

Поступила в редакцию: 05.04.2022

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages 762–765
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10065e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 13F55, 55S30

В статье получен критерий голодовости кольца граней $\Bbbk[K]$ симплициального комплекса $K$ над полем $\Bbbk$. Подобный критерий был предложен в [4], но одно из утверждений в нем опиралось на основной результат работы [1], контрпример к которому найден в [5]. Наше доказательство устраняет этот пробел. Мы также строим пример минимально неголодова комплекса $K$ такого, что в когомологиях его момент-угол-комплекса $\mathcal Z_K$ умножение тривиально, но имеется нетривиальное тройное произведение Масси.

Пусть $K$ – симплициальный комплекс на множестве вершин $[m]=\{1,2,\dots,m\}$. Кольцо граней $\Bbbk[K]:=\Bbbk[v_1,\dots,v_m]/(v_{i_1}\cdots v_{i_r}\mid\{i_1,\dots,i_r\} \notin K)$ называется голодовым (над полем $\Bbbk$), если произведение и все операции Масси в комплексе Кошуля $(\Lambda[u_1,\dots,u_m]\otimes\Bbbk[K],d)$ тривиальны. В силу [3] кольцо $\Bbbk[K]$ голодово тогда и только тогда, когда неравенство Серра, связывающее ряды Гильберта для $\operatorname{Ext}_{\Bbbk[K]}(\Bbbk,\Bbbk)$ и $\operatorname{Tor}_{\Bbbk[v_1,\dots,v_m]}(\Bbbk,\Bbbk[K])$, обращается в равенство. Если $\Bbbk[K]$ не голодово, но кольца $\Bbbk[K_{[m]\setminus\{i\}}]$ голодовы для каждого $i\in [m]$, то $\Bbbk[K]$ называется минимально неголодовым (над $\Bbbk$).

Для пары $(X,A)$ ее полиэдральное произведение $(X,A)^K$ есть $\bigcup_{\sigma\in K}(X,A)^{\sigma}$, где $(X,A)^{\sigma}:=\prod_{i\in [m]}X_i$, а $X_i=X$, если $i\in\sigma$, и $X_i=A$ в противном случае. Тогда $\mathcal Z_K:=(\mathbb D^2,\mathbb S^1)^K$ и $\mathit{DJ}(K):=(\mathbb{C}\mathbb P^\infty,\ast)^K$. Комплекс Кошуля $(\Lambda[u_1,\dots,u_m]\otimes\Bbbk[K],d)$ квазиизоморфен клеточному коцепному комплексу $\mathcal Z_K$ с подходящей диагональной аппроксимацией [2; лемма 4.5.3]; в частности, $H^*(\mathcal Z_K;\Bbbk)\cong \operatorname{Tor}_{\Bbbk[v_1,\dots,v_m]}(\Bbbk,\Bbbk[K])$.

Теорема 1. Пусть $\Bbbk$ – поле. Следующие утверждения эквивалентны:

(a) кольцо $\Bbbk[K]$ голодово над $\Bbbk$;

(b) произведение и все высшие произведения Масси в $H^{+}(\mathcal Z_K;\Bbbk)$ тривиальны;

(d) $\operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t)= 1/(1-\operatorname{Hilb}(\Sigma^{-1}\widetilde{H}^{*} (\mathcal Z_K;\Bbbk);t))$.

Эквивалентность (a) $\Leftrightarrow$ (b) следует из [2; теорема 4.5.4].

(a) $\Leftrightarrow$ (d). По теореме Голода [3] кольцо $\Bbbk[K]$ голодово тогда и только тогда, когда $\operatorname{Hilb}\bigl(\operatorname{Ext}_{\Bbbk[K]}(\Bbbk,\Bbbk);t\bigr)= (1+t)^m/(1-\sum_{i,j>0}\beta^{-i,2j}(\Bbbk[K])t^{-i+2j-1})$, где $\beta^{-i,2j}(\Bbbk[K])=\dim\operatorname{Tor}^{-i,2j}_{\Bbbk[v_1,\dots,v_m]} (\Bbbk,\Bbbk[K])$. Имеем изоморфизм алгебр: $H_{*}(\Omega\mathit{DJ}(K);\Bbbk) \cong\operatorname{Ext}_{\Bbbk[K]}(\Bbbk,\Bbbk)$ (см. [2; предложение 8.4.10]). В силу разложения $\Omega\mathit{DJ}(K)\simeq\Omega\mathcal Z_K\times \mathbb{T}^m$ [2; (8.15)] имеем: $\operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathit{DJ}(K);\Bbbk);t)= \operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t)\cdot (1+t)^m$. Но $\operatorname{Hilb}(\Sigma^{-1}\widetilde{H}^{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk);t)= \sum_{i,j>0}\beta^{-i,2j}(\Bbbk[K])t^{-i+2j-1}$ по [2; теорема 4.5.4], откуда получаем соотношение (d).

(c) $\Rightarrow$ (d). Положим $Q=H_{>0}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)/(H_{>0}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)\cdot H_{>0}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk))$. По предположению мы имеем $H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)=T\langle Q\rangle$, где $T\langle Q\rangle$ – свободная ассоциативная алгебра на градуированном $\Bbbk$-модуле $Q$. Спектральная последовательность Милнора–Мура с членом $E_{2}^{b}= \operatorname{Tor}_{H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)}(\Bbbk,\Bbbk)$ сходится к $\Sigma^{-1}H_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)$. По предположению, $E_{2}^{b}\cong\operatorname{Tor}_{H_{*}(T\langle Q\rangle)}(\Bbbk,\Bbbk) \cong\Bbbk\oplus Q$, поэтому $\operatorname{Hilb}(\Sigma^{-1}\widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk);t)= {\operatorname{Hilb}(E_{\infty}^{b};t)-1}\leqslant \operatorname{Hilb}(E_{2}^{b};t)-1=\operatorname{Hilb}(Q;t)$. В частности, $\operatorname{Hilb}(T\langle\Sigma^{-1} \widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)\rangle;t)\leqslant \operatorname{Hilb}(T\langle Q\rangle;t)= \operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t)$. Применим далее спектральную последовательность Адамса с членом $E_{2}^{c}=\operatorname{Cotor}_{H_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)}(\Bbbk;\Bbbk)$, которая сходится к $H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)$: $\operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t)= \operatorname{Hilb}(E_{\infty}^{c};t)\leqslant \operatorname{Hilb}(E_{2}^{c};t)\leqslant \operatorname{Hilb}(T\langle\Sigma^{-1} \widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)\rangle;t)$, где последнее неравенство следует из кобар-конструкции (оно обращается в равенство, когда все дифференциалы в кобар-конструкции на $H_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)$ тривиальны). Из этих двух неравенств мы получаем $\operatorname{Hilb}\bigl(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t\bigr)= \operatorname{Hilb}\bigl(T\langle\Sigma^{-1} \widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)\rangle;t\bigr)=1/(1- \operatorname{Hilb}(\Sigma^{-1}\widetilde{H}^{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk);t))$.

(d) $\Rightarrow$ (c). Так как (d) равносильно $\operatorname{Hilb}(H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk);t)= \operatorname{Hilb} (T\langle\Sigma^{-1}\widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)\rangle;t)$, дифференциалы в кобар-конструкции Адамса на $H_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)$ нулевые, и, следовательно, $H_{*}(\Omega\mathcal Z_K;\Bbbk)$ – свободная ассоциативная алгебра (на $\Sigma^{-1}\widetilde{H}_{*}(\mathcal Z_K;\Bbbk)$).

В случае флагового $K$ в [2] было показано, что $\Bbbk[K]$ голодово тогда и только тогда, когда $\operatorname{cup}(\mathcal Z_K)=1$, а если $\Bbbk[K]$ минимально неголодово, то $\operatorname{cup}(\mathcal Z_K)=2$. В общем случае для минимально неголодова $\Bbbk[K]$ мы имеем оценку сверху $\operatorname{cup}(\mathcal Z_K)\leqslant 2$, получающуюся из описания произведения в $H^*(\mathcal Z_K;\Bbbk)$ (см. [2; теорема 4.5.4]). На основе конструкции из [5] мы построим пример минимально неголодова комплекса $\mathcal K$ такого, что $\operatorname{cup}(\mathcal Z_\mathcal K)=1$ и $H^*(\mathcal Z_\mathcal K)$ содержит нетривиальное произведение Масси.

Теорема 2. Пусть $\mathcal K$ – симплициальный комплекс, задаваемый минимальными не-гранями $(1,2,3)$, $(4,5,6)$, $(7,8,9)$, $(1,4,7)$, $(1,2,4,5)$, $(5,6,7,8)$, $(2,3,7,8)$, $(2,3,5,6,7)$, $(1,2,4,6,8,9)$, $(1,3,4,5,8,9)$, $(1,3,5,6,7,9)$, $(2,3,4,5,7,9)$, $(2,3,4,5,8,9)$, $(2,3,4,6,7,9)$, $(2,3,5,6,8,9)$. Тогда $\mathcal K$ есть четырехмерный минимально неголодов комплекс такой, что $\operatorname{cup}(\mathcal Z_{\mathcal K})=1$ и существует нетривиальное, мультипликативно неразложимое тройное произведение Масси пятимерных классов $\langle[v_1v_2u_3],[v_5v_6u_4],[v_7v_8u_9]\rangle= \{[v_1v_2v_5v_7v_8u_3u_4u_6u_9]\}$ в $H^{14}(\mathcal Z_\mathcal K)$.

Из [2; теорема 4.5.4] легко видеть, что $\operatorname{cup}(\mathcal Z_\mathcal K)=1$. Полные подкомплексы $\mathcal K_{[m]\setminus\{i\}}$ голодовы для каждого $i\in [m]$ в силу [5; теорема 6.3, (5)]. Указанное тройное произведение Масси однозначно определено в силу [6; лемма 3.3] (так как $\widetilde{H}^*(\mathcal K_{\{1,2,3,4,5,6\}})= \widetilde{H}^*(\mathcal K_{\{4,5,6,7,8,9\}})=0$), нетривиально (так как $[v_1v_2v_5v_7v_8u_3u_4u_6u_9]$ соответствует ненулевому классу в $H^4(\mathcal K)$), неразложимо (так как $\widetilde{H}^*(\mathcal K_{[m]\setminus\{1,2,3\}})\cong \widetilde{H}^*(\mathcal K_{[m]\setminus\{4,5,6\}})\cong \widetilde{H}^*(\mathcal K_{[m]\setminus\{7,8,9\}})=0$, а $\widetilde{H}^p(\mathcal K_{[m]\setminus\{1,4,7\}})\cong\Bbbk$ при $p=4$ и равно нулю в остальных случаях, в то время как $\widetilde{H}^q(\mathcal K_{\{1,4,7\}})\cong\Bbbk$ при $q=1$ и равно нулю в остальных случаях).

Из [5; теорема 6.3, (5), (7)] вытекает, что если $K$ – минимально неголодов комплекс, $\operatorname{cup}(\mathcal Z_K)=1$ и существует нетривиальное произведение Масси в $H^{*}(\mathcal Z_K)$, то $\dim(K)\geqslant\dim(\mathcal K)=4$ и $f_0(K)\geqslant f_0(\mathcal K)=9$.

Мы благодарны чл.-корр. РАН, профессору В. М. Бухштаберу за плодотворные обсуждения и интерес к этой работе.

Образец цитирования: И. Ю. Лимонченко, Т. Е. Панов, “Минимально неголодовы кольца граней и произведения Масси”, УМН, 77:4(466) (2022), 203–204; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 762–765

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{LimPan22}

\by И.~Ю.~Лимонченко, Т.~Е.~Панов

\paper Минимально неголодовы кольца граней и произведения Масси

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 4(466)

\pages 203--204

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10065}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10065}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461390}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..762L}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 4

\pages 762--765

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10065e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992300700007}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165391171}

Список литературы