| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Классификация инволютивных коммутативных двузначных групп В. М. Бухштаберabc, А. П. Веселовd, А. А. Гайфуллинaebf a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" d Loughborough University, Loughborough, UK e Сколковский институт науки и технологий f Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10064e 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеМногозначная группа – обобщение обычной группы такое, что произведение любой пары элементов является мультимножеством, т. е. неупорядоченным набором элементов (возможно, с повторениями). Теория многозначных умножений, где мощность результата умножения двух элементов для данной многозначной группы может принимать различные значения, имеет богатую историю начиная с 19-го в. (см. [28]). В настоящей работе исследуются $n$-значные группы. Ключевым в определении $n$-значной группы является фиксация мощности $n$ мультимножества, являющегося произведением двух элементов. Понятие $n$-значной группы берет свое начало из конструкции В. М. Бухштабера и С. П. Новикова [11] в теории характеристических классов векторных расслоений. Основы алгебраической теории $n$-значных групп были заложены в работах В. М. Бухштабера. Эта теория и ее приложения развивались В. М. Бухштабером, его учениками (А. Н. Холодов, П. В. Ягодовский и другие) и соавторами (Э. Рис, А. П. Веселов, М. И. Монастырский, В. Драгович и другие), см. ссылки в обзорах [7] и [17]. В настоящей работе мы будем иметь дело только с двузначными группами. Мы будем обозначать через $\operatorname{Sym}^2(X)$ вторую симметрическую степень множества $X$, т. е. множество всех двухэлементных мультимножеств с элементами из $X$. Мы будем использовать квадратные скобки для перечисления элементов мультимножеств. Определение 1.1. Двузначной группой называется множество $X$ с двузначной операцией умножения $*\colon X\times X\to \operatorname{Sym}^2(X)$, единицей $e\in X$ и операцией взятия обратного $x\mapsto x^{-1}$, обладающими следующими свойствами. Замечание 1.2. В исходном определении двузначной группы (см. [7]) отсутствовало требование единственности обратного элемента. Это дополнительное условие было использовано в работах [15] и [17]. Для настоящей работы это условие оказалось важным. Важнейшим источником $n$-значных групп является конструкция косетных многозначных групп (см. [7; разд. 6]). Косетные $n$-значные группы строятся по паре, состоящей из однозначной группы $G$ и конечной подгруппы $H$ группы ее автоморфизмов. В то же время теория $n$-значных групп не исчерпывается косетными группами. Во-первых, разные пары $(G,H)$ могут приводить к изоморфным $n$-значным группам; во-вторых, имеется богатый класс $n$-значных групп, не являющихся косетными (см. [15], [7]). Далее нам потребуется конструкция косетных двузначных групп; приведем ее. Конструкция 1.3 (косетная двузначная группа). Пусть $G$ – обычная (однозначная) группа и $\iota\colon G\to G$ – ее инволютивный (т. е. такой, что $\iota^2=\operatorname{id}$) автоморфизм. Тогда фактормножество $X=G/\iota$ наделяется структурой двузначной группы так, что для всех $g,h\in G$, где $\pi\colon G\to X$ – естественная проекция. Единицей этой двузначной группы является образ единицы группы $G$, а обратный элемент определяется по формуле $\pi(g)^{-1}=\pi(g^{-1})$. В случае абелевых групп $G$ имеется важный пример инволюции – взятие обратного элемента (антиподальная инволюция): $\iota_{\mathbf{a}}(g)= g^{-1}$. Одной из особенностей теории $n$-значных групп является большая сложность классификационных и перечислительных задач. Это связано с тем, что число классов изоморфизмов $n$-значных групп на множестве из $k$ элементов крайне быстро растет с ростом $k$ и $n$. Этот же эффект имеет место, даже если рассматривать только коммутативные $n$-значные группы. Нам известны попытки решения задачи перечисления классов изоморфизма $n$-значных групп для данных $n$ и $k$ при помощи быстродействующей вычислительной техники, которые не привели к значимым результатам ввиду вычислительной сложности задачи. В связи с этим представляет интерес задача выделения таких классов $n$-значных групп, для которых классификационные задачи обозримы. Важным классом такого типа является класс инволютивных двузначных групп, введенный В. М. Бухштабером и А. П. Веселовым в [17] в связи с топографом Конвея. Определение 1.4. Элемент $x$ двузначной группы $X$ называется слабой инволюцией, если $x^{-1}=x$ или, что эквивалентно, если мультимножество $x*x$ содержит единицу $e$. Элемент $x\in X$ называется сильной инволюцией, если $x*x=[e,e]$. Двузначная группа $X$ называется инволютивной, если она состоит из слабых инволюций, т. е. $x^{-1}=x$ для всех $x\in X$. Замечание 1.5. Обратим внимание, что в работе [15] понятие инволютивной $n$-значной группы используется в другом смысле, а именно как инволютивность операции взятия обратного элемента $x\mapsto x^{-1}$. Ясно, что класс инволютивных групп в смысле работы [15] содержит класс инволютивных групп в смысле работы [17]. Основным результатом работы [15] является доказательство того, что групповые алгебры введенных в ней инволютивных $n$-значных групп совпадают с так называемыми комбинаторными алгебрами (см. [1]). В настоящей работе мы используем термин “инволютивная двузначная группа” в смысле работы [17]. Основная цель настоящей работы – классифицировать инволютивные коммутативные двузначные группы. Задача классификации таких двузначных групп была поставлена в работе [17]. В ней была выдвинута гипотеза, что всякая инволютивная коммутативная двузначная группа изоморфна косетной двузначной группе вида $A/\iota_{\mathbf{a}}$, где $A$ – абелева группа и $\iota_{\mathbf{a}}(g)=g^{-1}$ – антиподальная инволюция на этой группе. Мы покажем, что эта гипотеза неверна даже для конечных двузначных групп. Мы рассмотрим задачу классификации инволютивных коммутативных двузначных групп в следующих классах:
Полная классификация будет получена в случае конечно порожденных групп (теорема 1.10), а также в случае компактных топологических групп без малых подгрупп (теорема 15.8). Бо́льшая часть работы будет посвящена конечно порожденному случаю. После этого мы обсудим, как наш подход распространяется на другие классы двузначных групп и какие результаты и новые вопросы получаются на этом пути. Сформулируем теперь теорему классификации конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп. Мы покажем, что наряду с основной серией, состоящей из косетных двузначных групп вида $A/\iota_{\mathbf{a}}$, имеются еще две серии конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп; мы называем их унипотентной и специальной сериями. Интересно, что двузначные группы унипотентной серии тоже получаются при помощи косетной конструкции из абелевых групп, но по отношению к не антиподальной инволюции. Двузначные группы специальной серии не являются косетными (см. предложение 4.4). В частности, наш результат дает новые конструкции некосетных двузначных групп. Предъявим теперь конструкции упомянутых серий инволютивных коммутативных двузначных групп. Везде в статье $C_n$ будет обозначать циклическую группу порядка $n$; в частности, $C_{\infty}$ – бесконечная циклическая группа. Нам будет удобно для всех групп, в том числе абелевых, использовать мультипликативную запись. 1. Основная серия. Пусть $A$ – (однозначная) абелева группа. Рассмотрим антиподальную инволюцию $\iota_{\mathbf{a}}\colon A\to A$, определяемую по формуле $\iota_{\mathbf{a}}(a)=a^{-1}$. Тогда косетная двузначная группа является инволютивной коммутативной группой.Если $A$ – конечно порожденная абелева группа, то, как хорошо известно, она единственным с точностью до изоморфизма образом представляется в виде произведения $C_{d_1}\times C_{d_2}\times \cdots\times C_{d_k}$, где $2\leqslant d_i\leqslant \infty$ и $d_i$ делит $d_{i+1}$ для всех $i=1,\dots,k-1$ (см., например, [41]). Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
X_{d_1,\dots,d_k}^{\mathbf{a}}= X_{C_{d_1}\times\cdots\times C_{d_k}}^{\mathbf{a}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что если группа $A$ конечна, то количество элементов в двузначной группе $X^{\mathbf{a}}_A$ равно где $r$ – количество четных чисел среди чисел $d_1,\dots,d_k$. Замечание 1.6. Простейшим, но важным случаем инволютивных двузначных групп основной серии являются группы $X_{m\times 2}^{\mathbf{a}}=C_2^m/\iota_{\mathbf{a}}$ (где $m\times 2$ обозначает последовательность $2,\dots,2$ из $m$ двоек). Двузначная группа $X_{m\times 2}^{\mathbf{a}}$ является так называемым дублем группы $C_2^m$. Это означает, что $X_{m\times 2}^{\mathbf{a}}$ и $C_2^m$ совпадают как множества, а операция в $X_{m\times 2}^{\mathbf{a}}$ получается удвоением операции в $C_2^m$, т. е. $x*y=[xy,xy]$. Отметим, что дубль может быть определен для любой группы $G$. В результате всегда получается двузначная группа, являющаяся инволютивной в смысле работы [15]. Она является коммутативной и инволютивной в смысле работы [17], только если $G$ – векторное пространство над полем из двух элементов $\mathbb{F}_2$. Замечание 1.7. Двузначные группы $X_{\infty,\dots,\infty}^{\mathbf{a}}$ естественно рассматривать как свободные инволютивные коммутативные двузначные группы. Двузначные группы $X_{\infty}^{\mathbf{a}}=C_{\infty}/\iota_{\mathbf{a}}$ и $X_{\infty,\infty}^{\mathbf{a}}= (C_{\infty}\times C_{\infty})/\iota_{\mathbf{a}}$ подробно исследованы в [17], где они назывались двузначной группой Бухштабера–Новикова и двузначной группой Конвея соответственно и обозначались через $\mathbb{X}_1$ и $\mathbb{X}_2$ соответственно. 2. Унипотентная серия. Нам понадобится понятие булевой группы. Группа называется булевой, если каждый ее элемент, отличный от единицы, имеет порядок 2 (см. [21; гл. 1]). Нетрудно показать, что любая такая группа является абелевой. Таким образом, булева группа – это векторное пространство над полем из двух элементов $\mathbb{F}_2$ с операцией, записанной в мультипликативной форме. Для булевой группы $V$ мы будем обозначать через $\dim V$ ее размерность как векторного пространства. Пусть $V$ – булева группа. Рассмотрим унипотентную инволюцию определяемую по формуле Тогда косетная двузначная группа является инволютивной коммутативной двузначной группой.Замечание 1.8. При помощи автоморфизма группы $V\times V$, определенного по формуле $(a,b)\mapsto (ab,b)$, инволюция $\iota_{\mathbf{u}}$ переводится в перестановочную инволюцию но для наших целей удобнее рассматривать инволюцию в унипотентном виде (1). Эквивалентность этих двух инволюций объясняется известным изоморфизмом с группой перестановок трехэлементного множества, в которой все элементы порядка 2 сопряжены между собой. Непосредственно проверяется, что если $\dim V=n<\infty$, т. е. $V\cong C_2^n$, то двузначная группа состоит из $2^{2n-1}+2^{n-1}$ элементов.Если $n=1$, то $X_1^{\mathbf{u}}=X^{\mathbf{u}}_{C_2}$ – трехэлементная группа $\{e,v,x\}$ с таблицей умножения $v*v=[e,e]$, $v*x=[x,x]$, $x*x=[e,v]$. Легко видеть, что $X^{\mathbf{u}}_{C_2}\cong X^{\mathbf{a}}_{C_4}$. При $n=2$ имеется менее очевидный изоморфизм $10$-элементных двузначных групп $X^{\mathbf{u}}_2\cong X^{\mathbf{a}}_{4,4}$, т. е. $X^{\mathbf{u}}_{C_2\times C_2}\cong X^{\mathbf{a}}_{C_4\times C_4}$ (см. пример 1.11 и раздел 9). Таким образом, при $\dim V\leqslant 2$ двузначные группы $X^{\mathbf{u}}_V$ содержатся в основной серии примеров. Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, при $\dim V\geqslant 3$ двузначные группы $X^{\mathbf{u}}_V$ не изоморфны никаким двузначным группам основной серии. Замечание 1.9. Легко видеть, что косетная двузначная группа $G/\iota$ является инволютивной тогда и только тогда, когда для любого элемента $g\in G$ имеет место одно из двух равенств $g^{-1}=g$ или $g^{-1}=\iota(g)$. Первая возможность реализуется для двузначных групп унипотентной серии, вторая – для двузначных групп основной серии. 3. Специальная серия. Пусть $V$ – булева группа с единицей $e$. Добавим к множеству $V$ еще один элемент, который мы обозначим через $s$, и определим коммутативную двузначную операцию на множестве $Y_V=V\cup\{s\}$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} x*y&=[xy,xy],&\qquad x,y&\in V,\quad x\ne y, \\ x*x&=[e,s],&\qquad x&\in V,\quad x\ne e, \\ s*x&=[x,x],&\qquad x&\in V,\quad x\ne e, \\ e*x&=[x,x],&\qquad x&\in V\cup\{s\}, \\ s*s&=[e,e].&& \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что введенная операция корректно определена, ассоциативна и превращает $Y_V$ в инволютивную коммутативную двузначную группу. Если $\dim V=n<\infty$, т. е. $V\cong C_2^n$, то двузначная группа состоит из $2^n+1$ элемента.При $n=1$ двузначная группа $Y_1$ состоит из трех элементов $e$, $s$, $x$ и имеет таблицу умножения Таким образом, $Y_1\cong X^{\mathbf{a}}_{C_4} \cong X^{\mathbf{u}}_{C_2}$. Тем не менее, как мы увидим в дальнейшем, при $\dim V\geqslant 2$ двузначная группа $Y_V$ не является косетной и, в частности, не изоморфна ни одной из двузначных групп основной и унипотентной серии.Дадим еще одну интерпретацию двузначной группы $Y_V$. Множество $V\setminus\{e\}$ можно естественным образом рассмотреть как проективизацию $\mathbb{P}(V)$ векторного пространства $V$. Тогда $Y_V$ есть проективное пространство $\mathbb{P}(V)$ с двумя добавленными элементами $e$ и $s$. Правило умножения задается следующим образом:
4. Произведение с булевой группой. Если $X$ – инволютивная коммутативная двузначная группа и $W$ – булева группа, то прямое произведение $X\times W$ снова наделяется структурой инволютивной коммутативной двузначной группы, умножение в которой определяется по формуле Более точно, если $x_1*x_2=[z_1,z_2]$, то
$$
\begin{equation*}
(x_1,w_1)*(x_2,w_2)=\bigl[(z_1,w_1w_2),(z_2,w_1w_2)\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Если в качестве $X$ брать инволютивные коммутативные группы основной серии, то данная конструкция не приводит к новым примерам, так как для любой абелевой группы $A$ и любой булевой группы $W$ имеет место канонический изоморфизм
$$
\begin{equation}
X^{\mathbf{a}}_A\times W\cong X^{\mathbf{a}}_{A\times W}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Однако если в качестве $X$ брать двузначные группы унипотентной и специальной серий, то мы получаем новые примеры инволютивных двузначных групп. Теперь мы готовы сформулировать теорему классификации конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп. Теорема 1.10. Всякая конечно порожденная инволютивная коммутативная двузначная группа изоморфна одной из следующих двузначных групп: Для каждого $m\geqslant 0$ имеют место изоморфизмы где $m\times 2$ обозначает последовательность $2,\dots,2$ из $m$ двоек. Указанными изоморфизмами исчерпываются все изоморфизмы между перечисленными двузначными группами. Пример 1.11. Рассмотрим $10$-элементные двузначные группы $X^{\mathbf{a}}_{4,4}=C_4^2/\iota_{\mathbf{a}}$ и $X^{\mathbf{u}}_2=(C_2^2\times C_2^2)/\iota_{\mathbf{u}}$ и предъявим явно изоморфизм между ними. Обозначим через $a_1$ и $a_2$ порождающие сомножителей в группе $C_4^2$ и через $b_1$ и $b_2$ порождающие сомножителей в группе $C_2^2$. Зададим отображение $f\colon C_4^2\to C_2^2\times C_2^2$ по формуле Пример 1.12. Рассмотрим $5$-элементную группу $Y_2=Y_{C_2^2}$ – первую группу в специальной серии, не содержащуюся в основной серии. Пусть $x$, $y$ и $z$ – три неединичных элемента в $C_2^2$. Тогда таблица умножения в двузначной группе $Y_2$ имеет вид Эта двузначная группа связана с неабелевой $8$-элементной группой кватернионов $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\subset\mathbb{H}$, где $\mathbb{H}$ – тело кватернионов. На группе $Q_8$ имеется антиавтоморфизм сопряжения $\sigma$, $\sigma(gh)=\sigma(h)\sigma(g)$, оставляющий на месте элементы $1$ и $-1$ и переставляющий элементы остальных пар: $i\leftrightarrow -i$, $j\leftrightarrow -j$, $k\leftrightarrow -k$. Конструкция косетной двузначной группы по инволютивному автоморфизму, как правило, не переносится на случай антиавтоморфизма. Тем не менее антиавтоморфизм $\sigma$ группы $Q_8$ обладает следующим специальным свойством: для любых двух элементов $g,h\in Q_8$ четырехэлементное мультимножество $[gh,g\sigma(h),\sigma(g)h,\sigma(g)\sigma(h)]$ является удвоением некоторого двухэлементного мультимножества. Из этого свойства легко следует, что на $5$-элементном фактормножестве $Q_8/\sigma$ возникает корректно определенная структура двузначной группы. Ввиду того, что умножение кватернионных единиц коммутативно с точностью до знака, двузначная группа $Q_8/\sigma$ оказывается коммутативной. Легко видеть, что она изоморфна двузначной группе $Y_2$; при этом изоморфизме $1\mapsto e$, $-1\mapsto s$, $\pm i\mapsto x$, $\pm j\mapsto y$ и $\pm k\mapsto z$. Пример 1.13. Аналогично предыдущему примеру имеется связь между $9$-элементной двузначной группой $Y_3$ и $16$-элементным множеством Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы классифицируем однопорожденные инволютивные двузначные группы. В частности, мы показываем, что все такие двузначные группы коммутативны. Разделы 3–12 посвящены классификации инволютивных коммутативных двузначных групп в конечно порожденном случае. В разделах 13–15 получен ряд классификационных результатов в топологическом случае. В разделе 16 обсуждается случай алгебраических двузначных групп. В заключительном разделе 17 обсуждаются некоторые открытые вопросы. 2. Однопорожденные инволютивные двузначные группыЗадача классификации однопорожденных однозначных групп очень проста: ответом являются бесконечная и всевозможные конечные циклические группы. В случае $n$-значных групп задача классификации однопорожденных групп (даже коммутативных двузначных групп) оказалась трудной и в настоящее время далека от полного решения. Богатым источником однопорожденных коммутативных $n$-значных групп является многозначное умножение на множестве неприводимых представлений конечной группы (см. [7; разд. 10, 11]). Более точно, имеет место следующая теорема: если конечная группа $G$ имеет точное неприводимое представление $\rho$, то многозначная группа на множестве ее неприводимых представлений однопорождена. Доказательство основано на теореме Бернсайда (см. [19]), утверждающей, что в этом случае любое неприводимое представление группы $G$ содержится в разложении некоторой тензорной степени представления $\rho$. Отметим также, что задача об однопорожденных многозначных группах тесно связана с задачей интегрируемости многозначных динамических систем с дискретным временем (см. [39], [16]). Тем не менее в классе инволютивных двузначных групп, рассматриваемом в настоящей работе, задача классификации однопорожденных групп полностью решается даже без предположения коммутативности. Ответ оказывается столь же простым, как для однозначных групп (случай свободной однопорожденной двузначной группы рассмотрен в [17] в связи с топографом Конвея). Теорема 2.1. Любая однопорожденная инволютивная двузначная группа изоморфна косетной группе вида $X^{\mathbf{a}}_C=C/\iota_{\mathbf{a}}$, где $C$ – циклическая группа и $\iota_{\mathbf{a}}\colon C\to C$ – антиподальная инволюция. В частности, всякая такая двузначная группа является коммутативной. Доказательство этого предложения будет разбито на несколько лемм, которые и сами по себе будут нам полезны в дальнейшем. Лемма 2.2. Пусть $X$ – инволютивная двузначная группа и элементы $x,y,z\in X$ таковы, что $z$ принадлежит мультимножеству $x*y$. Тогда $x$ принадлежит мультимножеству $y*z$. Доказательство. Пусть $x*y=[z,z']$. Тогда в силу инволютивности двузначной группы $X$ мультимножество $(x*y)*z=[z*z,z'*z]$ содержит единицу $e$. С другой стороны, в силу ассоциативности это мультимножество можно записать как $x*(y*z)$. Из того, что оно содержит $e$, и инволютивности двузначной группы $X$ следует, что $y*z$ содержит $x$. Лемма доказана. Лемма 2.3. Пусть $X$ – инволютивная двузначная группа. Тогда для любого элемента $x\in X$ существует единственная последовательность $x^0,x^1,x^2,\ldots$ элементов двузначной группы $X$ такая, что $x^0=e$, $x^1=x$ и при всех $k\geqslant 1$. Доказательство. Покажем, что формула (5) вместе с начальными условиями $x^0=e$, $x^1=x$ определяет корректное и однозначное рекуррентное правило для построения последовательности $\{x^k\}_{k\geqslant 0}$. Предположим, что элементы $x^0,x^1,\dots,x^n$, где $n\geqslant 1$, уже определены так, что равенства (5) выполнены при $1\leqslant k\leqslant n-1$, и покажем, что $x^{n+1}$ можно единственным образом определить так, что равенства (5) будут выполнены и при $k=n$. Из равенств (5) при $1\leqslant k\leqslant n-1$, в частности, следует, что элемент $x$ коммутирует с каждым из элементов $x^0,x^1,\dots,x^{n-1}$. Покажем, что $x$ коммутирует и с $x^n$. Это очевидно при $n=1$, поэтому предположим, что $n\geqslant 2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x*x*x^{n-1}&=x*[x^{n-2},x^n]=[x*x^{n-2},x*x^n], \\ x^{n-1}*x*x&=[x^{n-2},x^n]*x=[x^{n-2}*x,x^n*x]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $x$ коммутирует с $x^{n-1}$, то выполнено равенство $x*x*x^{n-1}=x^{n-1}*x*x$. Кроме того, $x*x^{n-2}=x^{n-2}*x$. Следовательно, $x*x^n=x^n*x$. Теперь, применяя лемму 2.2 для тройки $(x^{n-1},x,x^n)$, мы получаем, что элемент $x^{n-1}$ лежит в мультимножестве $x*x^n=x^n*x$. Поэтому мы можем и должны взять в качестве $x^{n+1}$ второй элемент этого мультимножества. Лемма доказана. При $k<0$ по определению положим $x^k=x^{-k}$. Тогда равенство (5) будет выполнено при всех целых $k$. Элемент $x^k$ естественно называть $k$-й степенью элемента $x$. Лемма 2.4. Пусть $X$ – инволютивная двузначная группа, $x$ – ее произвольный элемент. Тогда для всех целых $k$ и $l$. Доказательство. В силу того, что $x^n=x^{-n}$, равенство (6) достаточно доказать при неотрицательных $k$ и $l$. Докажем его при $0\leqslant k\leqslant l$; случай $k\geqslant l$ полностью аналогичен. Так как $x^0=e$, равенство (6) верно при $k=0$. При $k=1$ это равенство превращается в формулу (5), которая использовалась для построения последовательности $\{x^k\}$; таким образом, оно тоже верно. Докажем равенство (6) при $2\leqslant k\leqslant l$ индукцией по $k$. По предположению индукции Умножая обе части этого равенства слева на $x$ и применяя формулу (5), получим С другой стороны, опять же пользуясь предположением индукции и формулой (5), получаем откуда следует, что $x^k*x^l=[x^{k+l},x^{k-l}]$. Из формулы (6), в частности, вытекает, что последовательность элементов $x^{kl}$, где $l=0,1,2,\dots$ , удовлетворяет рекуррентному соотношению и, значит, $(x^{k})^l=x^{kl}$. Лемма доказана.Лемма 2.6. Пусть $X$ – инволютивная двузначная группа и $x$ – ее произвольный элемент. Тогда подмножество $K\subseteq\mathbb{Z}$, состоящее из всех целых чисел $k$ таких, что $x^{k}=e$, является подгруппой. Если $k\in K$, то $x^{l+k}=x^{l}$ для всех $l\in\mathbb{Z}$. Обратно, если $x^l=x^m$, то либо $l-m\in K$, либо $l+m\in K$. Доказательство. Очевидно, что $0\in K$ и $-k\in K$ для всех $k\in K$. Так как $e*x^l=[x^l,x^l]$, то из формулы (6) сразу следует, что $x^{l+k}=x^{l}$ для всех $k\in K$ и $l\in \mathbb{Z}$. В частности, если $l$ тоже лежит в $K$, мы получаем, что $x^{k+l}=e$, откуда следует, что $k+l\in K$. Таким образом, $K\subseteq\mathbb{Z}$ – подгруппа. Предположим теперь, что $x^l=x^m$. В силу инволютивности мультимножество $x^l*x^m=[x^{l+m},x^{l-m}]$ содержит $e$. Значит, либо $x^{l+m}=e$, либо $x^{l-m}=e$, откуда следует, что либо $l+m\in K$, либо $l-m\in K$. Лемма доказана. Наименьшее положительное целое число $k$ такое, что $x^k=e$, мы будем называть порядком элемента $x$ и обозначать через $\operatorname{ord}x$. Если $x^k\ne e$ для всех положительных целых $k$, то мы будем говорить, что порядок элемента $x$ равен бесконечности. Очевидно, что $\operatorname{ord} x=1$ тогда и только тогда, когда $x=e$. В дальнейшем особый интерес будут представлять элементы порядков 2 и 3. Из определения и леммы 2.6 легко следует, что неединичный элемент $x$ имеет порядок 2 тогда и только тогда, когда $x*x=[e,e]$, и имеет порядок 3 тогда и только тогда, когда $x*x=[e,x]$. В частности, элементы порядка $1$ и $2$ – это в точности сильные инволюции (см. определение 1.4). Из леммы 2.6 вытекает такое следствие. Следствие 2.7. Если $x$ – элемент инволютивной двузначной группы, то $x^l=x^m$ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел $l-m$ и $l+m$ делится на $\operatorname{ord} x$. В частности, $x^l=e$ тогда и только тогда, когда $l$ делится на $\operatorname{ord} x$. Доказательство теоремы 2.1. Пусть $X$ – однопорожденная инволютивная двузначная группа с порождающей $x$. Согласно лемме 2.4 для любых $k,l\geqslant 0$ имеет место равенство (6). Подмножество множества $X$, состоящее из всех степеней $x^k$, замкнуто относительно умножения и содержит $x$. Так как двузначная группа $X$ порождена элементом $x$, мы получаем, что степени $x^k$, $k\in\mathbb{Z}$, исчерпывают все элементы $X$.
Согласно лемме 2.6 подмножество $K\subseteq\mathbb{Z}$, состоящее из всех целых чисел $k$ таких, что $x^k=e$, является подгруппой и $x^{l\pm k}=x^{l}$ для всех $k\in K$ и $l\in\mathbb{Z}$. Поэтому соответствие $k\mapsto x^k$ дает корректно определенное сюръективное отображение $\varphi\colon(\mathbb{Z}/K)/\iota_{\mathbf{a}} \to X$. Из формулы (6) следует, что отображение $\varphi$ является гомоморфизмом двузначных групп, а из последнего утверждения леммы 2.6 следует, что отображение $\varphi$ инъективно. Таким образом, $\varphi$ – изоморфизм двузначных групп. Теорема доказана. 3. Подгруппа элементов порядка 2Пусть $X$ – инволютивная коммутативная двузначная группа. Введем частично определенную однозначную операцию умножения $\cdot$ на $X$ такую, что
Лемма 3.1. Если хотя бы один из двух элементов $x$ и $y$ имеет порядок $2$, то мультимножество $x*y$ состоит из двух одинаковых элементов и, таким образом, выражение $x\cdot y$ определено. Доказательство. Пусть $\operatorname{ord} x=2$ и $z\in x*y$. По лемме 2.2 имеем $y\in x*z$, т. е. $x*z=[y,y']$ для некоторого $y'$. Тогда откуда следует, что $x*y=[z,z]$. Лемма доказана. Предложение 3.2. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная двузначная группа и $V\subseteq X$ – ее подмножество, состоящее из единицы $e$ и всех элементов порядка $2$. Тогда справедливы следующие утверждения: Доказательство. Утверждения (a) и (b) сразу следуют из леммы 3.1, а также ассоциативности, коммутативности и инволютивности двузначной группы $X$. Докажем утверждение (c). Если $x^2=v$, то $\operatorname{ord} x=4$, значит, $x^3=x$, а следовательно, $v*x=x^2*x=[x^3,x]=[x,x]$, откуда вытекает равенство $v\cdot x=x$. Обратно, предположим, что $v\cdot x=x$, т. е. $v*x=[x,x]$. Тогда из леммы 2.2 следует, что мультимножество $x*x$ содержит элемент $v$. Однако из инволютивности группы $X$ следует, что это мультимножество также содержит элемент $e$. Так как $v\ne e$, мы получаем, что $x*x=[e,v]$, т. е. $x^2=v$. Предложение доказано. Двузначная группа $X$ разбивается на орбиты относительно действия $\cdot$ группы $V$ на нем. Эти орбиты мы будем называть $V$-орбитами; $V$-орбиту, содержащую элемент $x$, мы будем обозначать через $Vx$. Замечание 3.3. В дальнейшем мы, как правило, будем писать $xy$ вместо $x\cdot y$, что не должно приводить к недоразумениям. 4. Специальные и неспециальные двузначные группыОпределение 4.1. Пару $(x,y)$, состоящую из элементов инволютивной коммутативной двузначной группы, назовем специальной, если $\operatorname{ord}x>2$, $\operatorname{ord} y>2$, но при этом мультимножество $x*y$ состоит из двух одинаковых элементов. Инволютивную коммутативную двузначную группу назовем специальной, если она содержит хотя бы одну специальную пару элементов, и неспециальной в противном случае. Замечание 4.2. В работе [17] неспециальные двузначные группы назывались сильно двузначными. Таким образом, если двузначная группа неспециальна, то значение $x\cdot y$ определено в том и только том случае, когда один из элементов $x$ и $y$ имеет порядок $\leqslant 2$. Предложение 4.3. Все двузначные группы вида $X_A^{\mathbf{a}}$ и $X_V^{\mathbf{u}}\times W$ неспециальны. Двузначные группы $Y_V\times W$ специальны при $\dim V\geqslant 2$. Доказательство. Докажем неспециальность $X_A^{\mathbf{a}}$. Пусть $\pi\colon A\to X_A^{\mathbf{a}}$ – отображение факторизации по антиподальной инволюции. Рассмотрим элементы $x,y\in X_A^{\mathbf{a}}$. Если $a,b\in A$ – такие элементы, что $x=\pi(a)$ и $y=\pi(b)$, то $x*y=[\pi(ab),\pi(ab^{-1})]$. Предположим, что порядки элементов $x$ и $y$ больше $2$. Тогда порядки элементов $a$ и $b$ тоже больше $2$. Значит, элементы $ab$ и $ab^{-1}$ не равны и не обратны друг другу. Следовательно, мультимножество $x*y$ состоит из двух разных элементов. Таким образом, двузначная группа $X_A^{\mathbf{a}}$ неспециальна. Докажем неспециальность двузначной группы
$$
\begin{equation*}
X_V^{\mathbf{u}}=(V\times V)/\iota_{\mathbf{u}},\quad \text{где} \quad \iota_{\mathbf{u}}(a,b)=(a,ab).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\pi\colon V\times V\to X_V^{\mathbf{u}}$ – отображение факторизации по инволюции $\iota_{\mathbf{u}}$. Непосредственно проверяется, что порядок элемента $\pi(a,b)$ двузначной группы $X_V^{\mathbf{u}}$ равен $4$, если $a\ne e$, и равен $2$, если $a=e$ и $b\ne e$. Таким образом, любая пара элементов порядков больше $2$ имеет вид $x=\pi(a_1,b_1)$, $y=\pi(a_2,b_2)$, где $a_1\ne e$ и $a_2\ne e$. Тогда Так как элемент $a_1b_1b_2$ не равен ни $b_1b_2$, ни $a_1a_2b_1b_2$, то элементы мультимножества $x*y$ различны. Таким образом, двузначная группа $X_V^{\mathbf{u}}$ неспециальна. Легко видеть, что отсюда следует неспециальность всех двузначных групп $X_V^{\mathbf{u}}\times W$. Теперь рассмотрим двузначную группу $Y_V$, где $\dim V\geqslant 2$. Пусть $x,y\in V$ – два различных неединичных элемента. Тогда порядки элементов $x$ и $y$ в двузначной группе $Y_V$ равны $4$, так как $x*x=y*y=[e,s]$ и $s$ – элемент порядка $2$. При этом $x*y=[xy,xy]$, значит, $(x,y)$ – специальная пара. Таким образом, двузначная группа $Y_V$ специальна и, следовательно, все двузначные группы $Y_V\times W$ специальны. Предложение доказано. Предложение 4.4. Пусть $X$ – специальная инволютивная коммутативная двузначная группа. Тогда $X$ не является косетной, т. е. не изоморфна никакой двузначной группе вида $G/\iota$, где $G$ – однозначная группа и $\iota$ – автоморфизм группы $G$ такой, что $\iota^2=\operatorname{id}$. Доказательство. Предположим противное: пусть $X\cong G/\iota$. Обозначим через $\pi\colon G\to X$ отображение факторизации по автоморфизму $\iota$. Пусть $(x,y)$ – специальная пара в $X$, и пусть $g,h\in G$ – такие элементы, что $\pi(g)=x$ и $\pi(h)= y$. Имеем $x*x=[\pi(g^2),\pi(g\iota(g))]$. Так как $\operatorname{ord} x>2$, то мультимножество $x*x$ должно состоять из двух разных элементов, откуда следует, что $g^2\ne g\iota(g)$ и, значит, $\iota(g)\ne g$. Аналогично, $\iota(h)\ne h$. Мультимножество $x*y=[\pi(gh),\pi(g\iota(h))]$ состоит из двух одинаковых элементов. Значит, либо $g\iota(h)=gh$, либо $g\iota(h)=\iota(gh)=\iota(g)\iota(h)$, и поэтому либо $\iota(h)=h$, либо $\iota(g)=g$. По доказанному ни то, ни другое невозможно. Это противоречие завершает доказательство предложения. Замечание 4.5. Отметим, что, вообще говоря, коммутативные двузначные группы могут получаться при помощи косетной конструкции из некоммутативных однозначных групп. Например, как показано в [7] (см. также [17]), двузначная группа Бухштабера–Новикова $X^{\mathbf{a}}_{C_{\infty}}=C_{\infty}/\iota_{\mathbf{a}}$ изоморфна косетной группе $(C_2*C_2)/\sigma$, где $*$ обозначает свободное произведение и $\sigma$ – автоморфизм, меняющий местами порождающие сомножителей $C_2$. Подчеркнем, что предложение 4.4 утверждает, что специальная инволютивная коммутативная двузначная группа не может быть косетной двузначной группой никакой (даже некоммутативной) группы $G$ по ее автоморфизму. Тем не менее напомним, что специальная двузначная группа $Y_2$ (соответственно $Y_3$) может быть получена при помощи аналога косетной конструкции для антиавтоморфизма некоммутативной группы $Q_8$ (соответственно некоммутативной и неассоциативной лупы Муфанг $O_{16}$), см. примеры 1.12 и 1.13. 5. Факторгруппы двузначных группОбщий вопрос о существовании факторгрупп двузначных групп требует отдельного исследования. Мы дадим положительный ответ на этот вопрос в интересующем нас случае инволютивных коммутативных двузначных групп. 5.1. Существование факторгруппПодмножество $Y$ инволютивной коммутативной двузначной группы $X$ мы будем называть подгруппой, если $e\in Y$ и для любых двух элементов $y_1,y_2\in Y$ оба элемента мультимножества $y_1*y_2$ лежат в $Y$. Подгруппе $Y$ мы поставим в соответствие отношение эквивалентности $\sim$ на двузначной группе $X$, определенное по правилу: $x\sim x'$ тогда и только тогда, когда найдется элемент $y\in Y$ такой, что $x'\in x*y$. Лемма 5.1. (a) Введенное отношение $\sim$ действительно является отношением эквивалентности. (b) $x\sim e$ тогда и только тогда, когда $x\in Y$. (c) Если $x_1*x_2=[z_1,z_2]$, $x_1'*x_2'=[z_1',z_2']$, $x_1\sim x_1'$ и $x_2\sim x_2'$, то т. е. либо $z_1\sim z_1'$ и $z_2\sim z_2'$, либо $z_1\sim z_2'$ и $z_2\sim z_1'$. Доказательство. Отношение $\sim$ рефлексивно, так как $x\in x*e$ для всех $x$. Симметричность отношения $\sim$ сразу следует из леммы 2.2. Докажем его транзитивность. Пусть $x_1\sim x_2$ и $x_2\sim x_3$. Тогда существуют элементы $y_1,y_2\in Y$ такие, что $x_2\in x_1*y_1$ и $x_3\in x_2*y_2$, откуда сразу следует, что $x_3\in x_1*y_1*y_2$. С другой стороны, $y_1*y_2=[y_3,y_4]$ для некоторых элементов $y_3,y_4\in Y$, поэтому Следовательно, элемент $x_3$ принадлежит одному из мультимножеств $x_1*y_3$ и $x_1*y_4$. Таким образом, $x_1\sim x_3$, что завершает доказательство того, что $\sim$ является отношением эквивалентности. Если $x\in Y$, то из того, что $e\in x*x$, следует, что $x\sim e$. Обратно, если $x\sim e$, то найдется элемент $y\in Y$ такой, что $e\in x*y$, откуда ввиду инволютивности следует, что $x=y\in Y$. В силу коммутативности двузначной группы $X$ и того, что $\sim$ – отношение эквивалентности, утверждение (c) достаточно доказать в случае $x_2=x_2'$. Из того, что $x_1\sim x_1'$, следует, что найдется элемент $y\in Y$ такой, что $x_1'\in x_1*y$; тогда $x_1*y=[x_1',p]$ для некоторого $p$. Имеем
$$
\begin{equation*}
[z_1*y, z_2*y]=(x_1*x_2)*y=(x_1*y)*x_2=[x_1'*x_2,p*x_2]=[z_1',z_2',p*x_2].
\end{equation*}
\notag
$$
Поменяв местами, если нужно, элементы $z_1$ и $z_2$, мы можем считать, что $z_1'$ принадлежит мультимножеству $z_1*y$; тогда $z_1\sim z_1'$. Если при этом элемент $z_2'$ лежит в мультимножестве $z_2*y$, то $z_2\sim z_2'$ и, таким образом, доказываемое утверждение верно. Нам осталось рассмотреть случай, когда $z_1*y=[z_1',z_2']$. Тогда $z_1'\sim z_1\sim z_2'$. Из леммы 2.2 следует, что $x_1'*y=[x_1,q]$ для некоторого $q$. Тогда откуда следует, что $z_2$ принадлежит одному из мультимножеств $z_1'*y$ и $z_2'*y$. Значит, все четыре элемента $z_1$, $z_2$, $z_1'$ и $z_2'$ попарно эквивалентны друг другу и, таким образом, доказываемое утверждение верно. Из леммы 5.1 следует, что корректно определено множество $X/Y=X/{\sim}$ и двузначное умножение в группе $X$ индуцирует корректно определенное двузначное умножение на множестве $X/Y$. Лемма 5.2. Введенное умножение превращает множество $X/Y$ в инволютивную коммутативную двузначную группу. Доказательство. Коммутативность и ассоциативность двузначного умножения в $X/Y$ сразу следуют из коммутативности и ассоциативности умножения в $X$. Также очевидно, что класс эквивалентности единицы, который согласно утверждению (b) леммы 5.1 совпадает с подгруппой $Y$, является (сильной) единицей введенного двузначного умножения; мы будем обозначать эту единицу тоже через $e$. Докажем инволютивность (и одновременно существование и единственность обратного). Из того, что $e\in x*x$ для всех $x\in X$, сразу следует, что $e\in z*z$ для всех $z\in X/Y$. Поэтому необходимо лишь доказать, что если $z_1$ и $z_2$ – два различных элемента из $X/Y$, то $e\notin z_1*z_2$. Для этого нужно показать, что если $x_1$ и $x_2$ – представители двух разных классов эквивалентности $z_1$ и $z_2$, то мультимножество $x_1*x_2$ не содержит элементов из $Y$. Предположим, что это не так, т. е. элемент $y\in Y$ лежит в мультимножестве $x_1*x_2$. Тогда, по лемме 2.2, $x_2\in x_1*y$, значит, $x_1\sim x_2$, т. е. $z_1=z_2$, что неверно. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Определенную таким образом инволютивную коммутативную двузначную группу $X/Y$ назовем факторгруппой двузначной группы $X$ по ее подгруппе $Y$. Из утверждения (b) леммы 5.1 следует, что ядро естественной проекции $\pi\colon X\to X/Y$ действительно совпадает с подгруппой $Y$. (Ядром гомоморфизма двузначных групп, как и в случае обычных групп, называется прообраз единицы.) Замечание 5.3. Пусть $V\subseteq X$ – подмножество, состоящее из всех элементов порядка $\leqslant 2$. По предложению 3.2 множество $V$ является булевой группой и действует на двузначной группе $X$. Поэтому если $W\subseteq V$ – подгруппа, то обозначению $X/W$ можно придать два смысла: (i) факторгруппа двузначной группы $X$ по ее подгруппе $W$; (ii) пространство орбит действия группы $W$ на $X$, где $W$ рассматривается как однозначная группа относительно операции $\cdot$ , введенной в разделе 3. Легко видеть, однако, что эти два множества совпадают. 5.2. Теорема об образе гомоморфизмаФундаментальная теорема об образе гомоморфизма переносится на случай инволютивных коммутативных двузначных групп. Предложение 5.4. Пусть $f\colon X\to Z$ – гомоморфизм инволютивных коммутативных двузначных групп. Тогда его ядро $\ker f$ и образ $\operatorname{im} f$ являются подгруппами двузначных групп $X$ и $Z$ соответственно и $f$ индуцирует изоморфизм $X/\ker f\cong\operatorname{im} f$. Доказательство. Очевидно, что $\operatorname{im} f$ – подгруппа. Если $y_1,y_2\in\ker f$ и $y_1*y_2=[z_1,z_2]$, то откуда следует, что $f(z_1)=f(z_2)=e$. Значит, $\ker f$ – тоже подгруппа. Пусть $\sim$ – соответствующее этой подгруппе отношение эквивалентности на $X$, определенное выше. Для завершения доказательства предложения нам достаточно доказать, что прообразы элементов $z\in \operatorname{im}f$ суть в точности классы эквивалентности по отношению $\sim$. Докажем это. Если $x_1\sim x_2$, то найдется $y\in\ker f$ такой, что $x_2\in x_1*y$. Тогда откуда следует, что $f(x_2)=f(x_1)$. Обратно, пусть $x_1$ и $x_2$ – два элемента двузначной группы $X$ такие, что $f(x_1)=f(x_2)$. Пусть $x_1*x_2=[p,q]$. Тогда мультимножество $[f(p),f(q)]=f(x_1)*f(x_2)=f(x_1)*f(x_1)$ в силу инволютивности должно содержать единицу. Значит, хотя бы один из элементов $p$ и $q$ лежит в $\ker f$. Без ограничения общности можем считать, что $p\in\ker f$. Из леммы 2.2 следует, что элемент $x_2$ лежит в мультимножестве $x_1*p$, значит, $x_1\sim x_2$. Предложение доказано. Предложение 5.4 позволяет определять точные последовательности инволютивных коммутативных двузначных групп и работать с ними точно так же, как в случае обычных абелевых групп. 5.3. $C_2$-расширения двузначных группОпределение 5.5. (Инволютивным коммутативным) $C_2$-расширением инволютивной коммутативной двузначной группы $X$ мы назовем точную последовательность инволютивных коммутативных двузначных групп где $2C_2$ – двухэлементная двузначная группа, получающаяся удвоением операции в группе $C_2$. Можно было бы изучать и расширения, в которых получающаяся группа $\widehat{X}$ не будет инволютивной или коммутативной, но они не будут нас интересовать. В дальнейшем под $C_2$-расширением всегда понимается инволютивное коммутативное $C_2$-расширение. Образ двузначной группы $2C_2$ в $\widehat{X}$ есть двухэлементная подгруппа, один из элементов которой – единица $e$; второй ее элемент, имеющий порядок $2$, мы будем обозначать через $u$. Легко видеть, что $X$ получается из $\widehat{X}$ факторизацией по действию группы $C_2=\{e,u\}$, задаваемому операцией, описанной в разделе 3. Мы будем обозначать единицы обеих групп $X$ и $\widehat{X}$ через $e$; это не приводит к путанице. Лемма 5.6. (a) Если $x\in X$ – элемент, порядок которого не равен $2$, то его прообраз $\pi^{-1}(x)$ состоит из двух элементов, порядок каждого из которых равен либо $\operatorname{ord} x$, либо $2\operatorname{ord} x$. (b) Если $x\in X$ – элемент порядка $2$, то его прообраз $\pi^{-1}(x)$ состоит либо из двух элементов порядка $2$, либо из одного элемента порядка $4$. Доказательство. Прежде всего заметим, что $\pi^{-1}(e)=\{e,u\}$, поэтому утверждение леммы верно для $x=e$. Если $\hat{x}$ – элемент в $\pi^{-1}(x)$, то $\pi^{-1}(x)=\{\hat{x},u\hat{x}\}$, поэтому нам надо лишь выяснить, какими могут быть порядки элементов $\hat{x}$ и $u\hat{x}$ и когда эти элементы могут совпадать друг с другом, а когда – нет. Очевидно, что $\pi(\hat{x}^k)=x^k$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. Поэтому если $\hat{x}^k=e$, то $x^k=e$. Следовательно, $\operatorname{ord}\hat{x}$ делится на $\operatorname{ord} x$. Теперь возьмем $k=\operatorname{ord} x$. Тогда $x^k=e$, значит, элемент $\hat{x}^k$ принадлежит множеству $\pi^{-1}(e)=\{e,u\}$, т. е. либо $\hat{x}^k=e$, либо $\hat{x}^k=u$. В первом случае $\operatorname{ord} \hat{x}=k$. Во втором случае $\operatorname{ord} \hat{x}>k$, но при этом $\hat{x}^{2k}=u^2=e$, откуда следует, что $\operatorname{ord}\hat{x}=2k$. Согласно предложению 3.2, (c), равенство $u\hat{x}=\hat{x}$ имеет место тогда и только тогда, когда $\hat{x}^2=u$. Если это так, то $x^2=e$, значит, $\operatorname{ord} x=2$, и при этом $\operatorname{ord}\hat{x}=4$. В этом случае прообраз $\pi^{-1}(x)$ состоит из одного элемента $\hat{x}$. Во всех остальных случаях $u\hat{x}\ne\hat{x}$, т. е. прообраз $\pi^{-1}(x)$ состоит из двух разных элементов $\hat{x}$ и $u\hat{x}$. Осталось заметить, что если $\operatorname{ord}\hat{x}=\operatorname{ord} x= 2$, то $\operatorname{ord}(u\hat{x})=2$ согласно предложению 3.2; таким образом, $\pi^{-1}(x)$ состоит из двух элементов порядка $2$. Лемма доказана. Напомним, что согласно предложению 3.2, (a), подмножество $V\subseteq X$, состоящее из единицы $e$ и всех элементов порядка $2$, является булевой группой. Обозначим через $R\subset V$ подмножество, состоящее из всех элементов $x$ порядка $2$ таких, что прообраз $\pi^{-1}(x)$ состоит из одного элемента порядка $4$. Мы будем называть $R$ множеством ветвления расширения (9). Отметим, что единица $e$ никогда не принадлежит множеству $R$. Более того, верно следующее утверждение. Доказательство. Пусть $x,y\in V\setminus R$ и $\hat{x}$ и $\hat{y}$ – какие-нибудь элементы из прообразов $\pi^{-1}(x)$ и $\pi^{-1}(y)$ соответственно. Тогда $\operatorname{ord}\hat{x}=\operatorname{ord}\hat{y}=2$. По предложению 3.2, (a), получаем, что $\operatorname{ord}(\hat{x}\hat{y})=2$. Так как $\hat{x}\hat{y}\in \pi^{-1}(xy)$, отсюда следует, что $x y\in V\setminus R$. Таким образом, $V\setminus R$ – подгруппа. Лемма доказана.
6. Разложения в прямые произведенияНапомним, что в разделе 1 мы определили операцию прямого произведения инволютивной коммутативной двузначной группы $X$ и булевой группы $W$; операция умножения в получающейся инволютивной коммутативной группе $X\times W$ задается по формуле
$$
\begin{equation*}
(x_1,w_1)*(x_2,w_2)=\bigl[(z_1,w_1w_2),(z_2,w_1w_2)\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_1*x_2=[z_1,z_2]$. Определение 6.1. Будем говорить, что инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ содержит однозначный прямой сомножитель, если $X$ изоморфна двузначной группе вида $X'\times W$, где $X'$ – инволютивная коммутативная двузначная группа и $W$ – нетривиальная булева группа. В противном случае будем говорить, что $X$ не содержит однозначного прямого сомножителя. Мы хотим свести задачу классификации конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп к такой же задаче для двузначных групп, не содержащих однозначных прямых сомножителей. Для этого нам будут нужны следующие два предложения, первое из которых дает удобный критерий того, что двузначная группа не содержит однозначного прямого сомножителя, а второе утверждает, что максимальный однозначный прямой сомножитель в двузначной группе выделяется единственным с точностью до изоморфизма способом. Предложение 6.2. Конечно порожденная инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ не содержит однозначного прямого сомножителя тогда и только тогда, когда каждый элемент $v\in X$, имеющий порядок $2$, является квадратом некоторого элемента из $X$. Предложение 6.3. Всякая конечно порожденная инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ может быть разложена в прямое произведение конечно порожденной инволютивной коммутативной двузначной группы, не содержащей однозначных прямых сомножителей, и конечной булевой группы. Если $X=X_i\times W_i$, где $i=1,2$, – два таких разложения, то $X_1\cong X_2$ и $W_1\cong W_2$. Прежде чем доказывать предложения 6.2 и 6.3, установим два полезных свойства инволютивных коммутативных двузначных групп. Лемма 6.4. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная двузначная группа, $x,y\in X$ и $x*y=[z_1,z_2]$. Тогда если $x^2\ne y^2$ и $z_1\ne z_2$, то $z_1*z_2=[x^2,y^2]$. Доказательство. По лемме 2.2 элемент $y$ принадлежит каждому из мультимножеств $x*z_1$ и $x*z_2$. Следовательно, единица $e$ принадлежит мультимножеству Однако $e\notin z_1*z_2$, так как $z_1\ne z_2$. Значит, $e\in x^2*(z_1*z_2)$, откуда следует, что $x^2\in z_1*z_2$. Аналогично доказывается, что $y^2\in z_1*z_2$. Так как $x^2\ne y^2$, отсюда следует утверждение леммы. Лемма 6.5. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная двузначная группа, $Q\subseteq X$ – подмножество, состоящее из всех квадратов элементов из $X$. Тогда $Q$ – подгруппа. Доказательство. Пусть $x, y\in X$. Докажем, что мультимножество $x^2*y^2$ состоит из квадратов. Пусть $x*y=[z_1,z_2]$. Тогда Если $x^2\ne y^2$ и $z_1\ne z_2$, то $z_1*z_2=[x^2,y^2]$, значит, $x^2*y^2=[z_1^2,z_2^2]$ и доказываемое утверждение верно. Осталось разобрать случаи, когда $x^2=y^2$ или $z_1=z_2$. Если $x^2=y^2$, то $x^2*y^2=[e,(x^2)^2]$ и доказываемое утверждение верно. Если $z_1=z_2$, то $x*x*y*y=[e,e,e,e,z_1^2,z_1^2,z_1^2,z_1^2]$, значит, мультимножество $x^2*y^2$ состоит из квадратов и доказываемое утверждение опять же верно. Лемма доказана. Доказательство предложения 6.2. Часть “только тогда” утверждения предложения очевидна: действительно, если $X=X'\times W$, где $W$ – нетривиальная булева группа, то для любого элемента $w\in W\setminus\{e\}$ пара $(e,w)\in X$ есть элемент порядка $2$, не являющийся квадратом. Обратно, предположим, что в двузначной группе $X$ найдется элемент $w$ порядка $2$, не являющийся квадратом. Положим $W=\{e,w\}$ и докажем, что однозначная группа $W\cong C_2$ выделяется в качестве прямого сомножителя в $X$. Для этого достаточно построить гомоморфизм двузначных групп $f\colon X\to W$ такой, что $f(w)=w$. Действительно, если такой гомоморфизм будет построен, то он вместе с естественной проекцией $\pi \colon X\to X/W$ будет индуцировать изоморфизм $X\cong(X/W)\times W$. Если рассматривать $W$ как двузначную группу, то умножение задается по формулам Поэтому отображение $f\colon X\to W$ является гомоморфизмом двузначных групп тогда и только тогда, когда для любых элементов $x,y,z\in X$ таких, что $z\in x*y$, имеет место равенство Эти равенства для всех троек $\{x,y,z\}$ таких, что $z\in x*y$, составляют систему однородных линейных уравнений над полем $\mathbb{F}_2$ (в мультипликативной записи) относительно переменных $f(x)$, где $x\in X$. Нам нужно доказать, что эта система уравнений имеет решение, удовлетворяющее дополнительному условию $f(w)=w$. Для этого достаточно показать, что из уравнений (10) не следует равенство $f(w)=e$. Предположим противное. Тогда уравнение $f(w)=e$ является линейной комбинацией над $\mathbb{F}_2$ уравнений вида (10). Так как мы используем мультипликативную запись, это означает, что уравнение $f(w)=e$ является произведением уравнений для некоторых троек $\{x_i,y_i,z_i\}$ таких, что $z_i\in x_i*y_i$, с учетом того, что $f(t)^2=e$ для всех $t$. Следовательно, $3m$-элементное мультимножество $[x_1,y_1,z_1,\dots, x_m,y_m,z_m]$ имеет вид для некоторых $t_1,\dots,t_n\in X$, где, конечно же, $n=(3m-1)/2$.Для каждого $i$ из того, что $z_i\in x_i*y_i$, следует, что мультимножество $x_i*y_i*z_i$ содержит единицу $e$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e\in(x_1*y_1*z_1)*\cdots*(x_m*y_m*z_m)&= w*(t_1*t_1)*(t_2*t_2)*\cdots*(t_n*t_n) \\ &=w*[e,t_1^2]*[e,t_2^2]*\cdots*[e,t_n^2]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу инволютивности двузначной группы $X$ отсюда следует, что Значит, $w$ лежит в подгруппе двузначной группы $X$, порожденной квадратами $t_i^2$. Таким образом, по лемме 6.5 элемент $w$ сам является квадратом, что невозможно. Полученное противоречие показывает, что система линейных уравнений (10) имеет решение, удовлетворяющее $f(w)=w$. Это решение является гомоморфизмом двузначных групп, который индуцирует изоморфизм $X\cong (X/W)\times W$. Предложение доказано. Доказательство предложения 6.3. Если двузначная группа $X$ содержит какой-нибудь однозначный прямой сомножитель, то выделим его: $X=X'\times W'$, где $\dim W'>0$. Если $X'$ опять содержит какой-нибудь однозначный прямой сомножитель, то снова выделим его: $X'=X''\times \widetilde{W}$, где $\dim \widetilde{W}>0$, и, значит, $X=X''\times W''$, где $W''=W'\times \widetilde{W}$, $\dim W''\geqslant 2$. Продолжая действовать таким же образом, пока это возможно, мы после $k$-го шага будем иметь разложение $X=X^{(k)}\times W^{(k)}$, где $\dim W^{(k)}\geqslant k$. Нам нужно доказать, что этот процесс в некоторый момент остановится, т. е. после некоторого шага двузначная группа $X^{(k)}$ не будет содержать однозначного прямого сомножителя. Для этого заметим, что каждая группа $W^{(k)}$ с удвоенной операцией является факторгруппой двузначной группы $X$. Поэтому если двузначная группа $X$ порождается $N$ элементами, то группа $W^{(k)}$ тоже порождается $N$ элементами и, значит, $k\leqslant N$. Таким образом, рассматриваемый процесс остановится не позже чем на $N$-м шаге и мы получим искомое разложение.
Пусть теперь $X=X_1\times W_1=X_2\times W_2$ – два разложения такие, что $X_1$ и $X_2$ не содержат однозначных прямых сомножителей. Предположим сначала, что $W_1=W_2$. Тогда каждая из проекций $X\to X_1$ и $X\to X_2$ является факторизацией по действию одной и той же группы $W_1=W_2$, откуда сразу следует, что $X_1$ и $X_2$ изоморфны. Теперь предположим, что $W_1\ne W_2$. Пусть $Q\subseteq X$ – подмножество, состоящее из всех квадратов элементов из $X$. Тогда $Q\subseteq X_1$ и $Q\subseteq X_2$. По лемме 6.5 подмножество $Q$ является подгруппой. Пусть $V\subseteq X$ – подмножество, состоящее из всех элементов порядков $\leqslant 2$. Тогда $V$ – булева группа и $W_1$, $W_2$ – ее подгруппы. Из того, что $Q$ – подгруппа двузначной группы $X$, следует, что $U=Q\cap V$ – подгруппа булевой группы $V$. Так как $Q\subseteq X_1$ и $Q\subseteq X_2$, то $U\cap W_1=U\cap W_2=\{e\}$. Предположим, что прямое произведение $U\times W_1$ не совпадает со всей группой $V$. Тогда элемент $v\in V\setminus(U\times W_1)$ переходит при проекции $X=X_1\times W_1\to X_1$ в элемент порядка $2$, который не является квадратом никакого элемента из $X_1$. По предложению 6.2 это противоречит тому, что $X_1$ не содержит однозначных прямых сомножителей. Следовательно, $V=U\times W_1$. Аналогично, $V=U\times W_2$. Таким образом, $W_1$ и $W_2$ – два подпространства векторного пространства $V$ над $\mathbb{F}_2$, дополнительные к подпространству $U$. Следовательно, имеется гомоморфизм $f\colon W_1\to U$ такой, что формула $w\mapsto wf(w)$ задает изоморфизм $W_1\cong W_2$. Тогда отображение $F\colon X_1\times W_1\to X_1\times W_1$, определяемое по формуле $F(x,w)=(x,wf(w))$, является автоморфизмом двузначной группы $X$, оставляющим $X_1$ на месте и переводящим $W_1$ в $W_2$. Таким образом, имеется разложение в прямое произведение $X=X_1\times W_2$, откуда по доказанному следует, что $X_1\cong X_2$. Предложение доказано. 7. Свойства неспециальных двузначных группНапомним, что инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ называется неспециальной, если произведение $x*y$ состоит из двух различных элементов для любых элементов $x,y\in X$, порядки которых больше $2$. В этом разделе мы докажем несколько полезных свойств таких двузначных групп. Во всех утверждениях этого раздела $X$ – неспециальная инволютивная коммутативная двузначная группа и $V\subseteq X$ – подмножество, состоящее из единицы $e$ и всех элементов порядка $2$. Напомним, что согласно предложению 3.2 множество $V$ является булевой группой, которая действует на $X$. Во всех утверждениях этого раздела строчные латинские буквы $x,y,z,\ldots$ обозначают элементы двузначной группы $X$, если не оговорено противное. Лемма 7.1. Равенство $x^2=y^2$ имеет место тогда и только тогда, когда элементы $x$ и $y$ лежат в одной $V$-орбите. Доказательство. Если $x$ и $y$ в одной $V$-орбите, т. е. $y=vx$ для некоторого $v\in V$, то равенство $x^2=y^2$ сразу следует из формулы (8). Докажем обратную импликацию. Если $x^2=y^2=e$, то $x,y$ лежат в $V$ и, значит, в одной $V$-орбите. Предположим, что $x^2=y^2\ne e$. Тогда порядки элементов $x$ и $y$ больше $2$. Так как пара $(x,y)$ неспециальная, отсюда следует, что $x*y=[z_1,z_2]$, где $z_1\ne z_2$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x*x*y*y&=(x*x)*(y*y)=[e,x^2]*[e,x^2]=[e,e,e,x^2,x^2,x^2,x^2,x^4], \\ x*x*y*y&=(x*y)*(x*y)=[z_1,z_2]*[z_1,z_2]=[e,e,z_1^2,z_2^2,z_1*z_2,z_1*z_2]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из того, что $z_1\ne z_2$, следует, что $e\notin z_1*z_2$. Значит, либо $z_1^2=e$, либо $z_2^2=e$. Без ограничения общности мы можем считать, что $z_1^2=e$, т. е. $z_1\in V$. Так как $z_1\in x*y$, то по лемме 2.2 имеем $y\in z_1*x$, следовательно, $y=z_1x$. Лемма доказана. Доказательство. Предположим сначала, что элементы $x$ и $y$ принадлежат разным $V$-орбитам, причем ни один из них не лежит в $V$. Тогда по лемме 7.1 мы имеем $x^2\ne y^2$. Кроме того, из неспециальности рассматриваемой двузначной группы $X$ следует, что $z_1\ne z_2$. Поэтому требуемое равенство следует из леммы 6.4. Осталось рассмотреть случай, когда либо элементы $x$ и $y$ лежат в одной $V$-орбите, либо хотя бы один из них лежит в $V$. Если $x$ и $y$ в одной $V$-орбите, т. е. $y=vx$ для некоторого $v\in V$, то Если $x\in V$, то $z_1=z_2=xy$ и $z_1*z_2=[e,y^2]=[x^2,y^2]$; случай $y\in V$ аналогичен. Лемма доказана.Применив лемму 7.2 дважды, мы получим следующее утверждение. Лемма 7.5. Пусть $x*y=[z_1,z_2]$. (a) Если порядки обоих элементов $x$ и $y$ делят $4$, то порядки элементов $z_1$ и $z_2$ тоже делят $4$. Таким образом, множество всех элементов неспециальной инволютивной коммутативной двузначной группы $X$, порядки которых делят $4$, является подгруппой. (b) Элементы $z_1$ и $z_2$ лежат в одной $V$-орбите тогда и только тогда, когда порядок хотя бы одного из элементов $x$ и $y$ делит $4$. Если $\operatorname{ord} x\mid 4$, то $z_2=x^2z_1$. (c) Если все три элемента $x$, $z_1$ и $z_2$ лежат в одной $V$-орбите, то порядок элемента $y$ делит $4$. Доказательство. По следствию 7.4 имеем $x^2*y^2=[z_1^2,z_2^2]$. Пусть теперь порядки обоих элементов $x$ и $y$ делят $4$. Тогда $x^2$ и $y^2$ принадлежат множеству $V$. Поэтому элемент $z_1^2=z_2^2=x^2y^2$ тоже принадлежит $V$, и, значит, $z_1^4=z_2^4=e$, что доказывает утверждение (a). Далее, используя то, что рассматриваемая двузначная группа $X$ не специальна, и лемму 7.1, получаем следующую цепочку равносильностей, доказывающую первую часть утверждения (b):
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ord} x\mid4)\vee(\operatorname{ord} y\mid4)\ \ \Longleftrightarrow\ \ (x^2\in V)\vee(y^2\in V)\ \ \Longleftrightarrow\ \ z_1^2=z_2^2\ \ \Longleftrightarrow\ \ Vz_1=Vz_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Вторая часть утверждения (b) сразу вытекает из следствия 7.3. Пусть теперь все три элемента $x$, $z_1$ и $z_2$ лежат в одной $V$-орбите, т. е. $z_1=v_1x$ и $z_2=v_2x$, где $v_1, v_2\in V$. В этом случае Следовательно, либо $y^2=v_1v_2$ – и тогда $\operatorname{ord}y\mid 4$, либо $x^2=v_1v_2$ и $y^2=v_1v_2x^2=e$ – и тогда $\operatorname{ord}y\mid 2$. Лемма доказана.Лемма 7.6. Если $x*y=z*t$, то либо найдется $v\in V$ такой, что $z=vx$ и $t=vy$, либо найдется $v\in V$ такой, что $z=vy$ и $t=vx$. Доказательство. Из леммы 7.2 сразу следует, что если $x*y=z*t$, то $[x^2,y^2]=[z^2,t^2]$. Предположим, что $x^2=z^2$ и $y^2=t^2$; второй случай полностью аналогичен. Тогда по лемме 7.1 найдутся элементы $v_1,v_2\in V$ такие, что $z=v_1x$ и $t=v_2y$. Если $v_1=v_2$, то утверждение леммы верно. Предположим, что $v_1\ne v_2$. Положим $w=v_1v_2$. Тогда $w\ne e$. Равенство $x*y=z*t$ перепишется так: $w(x*y)=x*y$. Пусть $x*y=[s_1,s_2]$. Возможны два случая. 1) $ws_1=s_1$ и $ws_2=s_2$. Тогда из утверждения (c) предложения 3.2 следует, что $s_1^2=s_2^2=w$, и, значит, по лемме 7.1 имеем $s_2=us_1$ для некоторого $u\in V$. Теперь по лемме 7.2 получаем, что Без ограничения общности считаем, что $x^2=u$ и $y^2=uw$. Тогда $ux=x$ и $uv_1v_2y=y$, а значит, $z=v_1x=uv_1x$ и $t=v_2y=uv_1y$. Таким образом, утверждение леммы справедливо для $v=uv_1$.2) $ws_1=s_2$ и $ws_2=s_1$. Тогда по лемме 7.2 получаем, что Без ограничения общности считаем, что $x^2=w=v_1v_2$. Тогда $v_1v_2x=x$, а значит, $z=v_1x=v_2x$. Таким образом, утверждение леммы справедливо для $v=v_2$.Лемма доказана. Лемма 7.7. Предположим, что элементы $x_1$, $x_2$ и $x_3$ лежат в попарно различных $V$-орбитах, причем ни один из них не лежит в $V$. Тогда мультимножество $x_1*x_2*x_3$ состоит из четырех различных элементов. Кроме того, если $x_1*x_2=[p_3,q_3]$, $x_2*x_3=[p_1,q_1]$ и $x_3*x_1=[p_2,q_2]$, то суть все три различных разбиения четырехэлементного множества $x_1*x_2*x_3$ на два двухэлементных подмножества. Другими словами $x_1*p_1$, $x_1*q_1$, $x_2*p_2$, $x_2*q_2$, $x_3*p_3$ и $x_3*q_3$ суть в точности все шесть различных двухэлементных подмножеств четырехэлементного множества $x_1*x_2*x_3$. Доказательство. Докажем сначала, что шесть мультимножеств $x_1*p_1$, $x_1*q_1$, $x_2*p_2$, $x_2*q_2$, $x_3*p_3$ и $x_3*q_3$ попарно различны. Предположим противное. Есть два принципиально различных случая: $x_1*p_1=x_1*q_1$ или $x_1*p_1=x_2*p_2$. Каждый из остальных случаев полностью аналогичен одному из этих двух. Рассмотрим эти случаи по очереди. 1) Пусть $x_1*p_1=x_1*q_1$. Тогда по лемме 7.6 найдется элемент $v\in V$ такой, что либо $p_1=q_1=vx_1$, либо $vx_1=x_1$ и $vp_1=q_1$. Однако равенство $p_1=q_1$ невозможно, так как двузначная группа $X$ не специальна и $x_2,x_3\notin V$. Поэтому $vx_1=x_1$ и $vp_1=q_1$, причем $v\ne e$. Из утверждения (c) предложения 3.2 следует, что $\operatorname{ord} x_1=4$ и $v=x_1^2$, а тогда из утверждения (b) леммы 7.5 следует, что один из элементов $x_2$ и $x_3$ (без ограничения общности считаем, что это элемент $x_2$) имеет порядок, делящий $4$, и $x_2^2p_1=q_1$. Следовательно, $x_1^2x_2^2p_1=p_1$ и $x_1^2x_2^2q_1=q_1$. Однако, поскольку $x_1$ и $x_2$ лежат в разных $V$-орбитах, мы по лемме 7.1 видим, что $x_1^2\ne x_2^2$, т. е. $x_1^2x_2^2\ne e$. Теперь опять же из утверждения (c) предложения 3.2 следует, что $\operatorname{ord} p_1=\operatorname{ord} q_1=4$ и $p_1^2=q_1^2=x_1^2x_2^2$. Тогда из следствия 7.4 вытекает, что $x_2^2*x_3^2=[x_1^2x_2^2,x_1^2x_2^2]$, поэтому $x_2^2x_3^2=x_1^2x_2^2$ и, значит, $x_3^2=x_1^2$. Получаем противоречие с тем, что $x_1$ и $x_3$ лежат в разных $V$-орбитах. 2) Пусть $x_1*p_1=x_2*p_2$. Так как $x_1$ и $x_2$ лежат в разных $V$-орбитах, то по лемме 7.6 найдется элемент $v\in V$ такой, что $p_2=vx_1$ и $p_1=vx_2$. Тогда по лемме 2.2 имеем $x_3\in x_1*p_2=[v,vx_1^2]$, откуда следует, что $x_3=vx_1^2$, так как $x_3\notin V$. Аналогично, $x_3=vx_2^2$. Значит, $x_1^2=x_2^2$. Получаем противоречие с тем, что $x_1$ и $x_2$ лежат в разных $V$-орбитах. Итак, шесть мультимножеств $x_1*p_1$, $x_1*q_1$, $x_2*p_2$, $x_2*q_2$, $x_3*p_3$ и $x_3*q_3$ попарно различны. Каждое из этих шести мультимножеств состоит из двух (возможно, одинаковых) элементов и содержится в четырехэлементном мультимножестве $x_1*x_2*x_3$. Однако если бы четырехэлементное мультимножество $x_1*x_2*x_3$ имело кратные элементы, то количество различных двухэлементных мультимножеств, содержащихся в нем, было бы строго меньше $6$. Поэтому мультимножество $x_1*x_2*x_3$ состоит из четырех различных элементов, что завершает доказательство леммы. Лемма 7.8. Предположим, что элементы $x_1$, $x_2$ и $x_3$ лежат в попарно различных $V$-орбитах, причем ни один из них не лежит в $V$. Если мультимножество $y_1*y_2$ содержится в мультимножестве $x_1*x_2*x_3$, то существуют перестановка $\lambda$, $\mu$ чисел 1, 2, перестановка $i$, $j$, $k$ чисел 1, 2, 3 и элемент $v\in V$ такие, что $y_{\lambda}=vx_i$ и $y_{\mu}\in v(x_j*x_k)$. Доказательство. Пусть $x_i*x_j=[p_k,q_k]$ для каждой перестановки $i$, $j$, $k$ чисел 1, 2, 3. По лемме 7.7 мы знаем, что $x_1*p_1$, $x_1*q_1$, $x_2*p_2$, $x_2*q_2$, $x_3*p_3$ и $x_3*q_3$ – это в точности все шесть двухэлементных подмножеств четырехэлементного множества $x_1*x_2*x_3$, поэтому одно из них совпадает с мультимножеством $y_1*y_2$. Без ограничения общности мы можем считать, что $y_1*y_2=x_1*p_1$. Тогда по лемме 7.6 найдется элемент $v$ такой, что $y_{\lambda}=vx_1$ и $y_{\mu}=vp_1\in v(x_2*x_3)$ для некоторой перестановки $\lambda$, $\mu$ чисел 1, 2. Лемма доказана.
8. Двузначные группы с элементом порядка, не равного 1, 2 или 4В этом разделе мы докажем следующий результат. Теорема 8.1. Пусть $X$ – неспециальная инволютивная коммутативная двузначная группа, содержащая хотя бы один элемент, порядок которого не равен ни 1, ни 2, ни 4. Тогда $X$ изоморфна косетной двузначной группе вида $X_A^{\mathbf{a}}=A/\iota_{\mathbf{a}}$, где $A$ – абелева группа и $\iota_{\mathbf{a}}$ – антиподальная инволюция на $A$. Замечание 8.2. В теореме 8.1 не требуется, чтобы двузначная группа $X$ была конечно порожденной. При этом легко проверить, что двузначная группа $A/\iota_{\mathbf{a}}$ конечно порождена тогда и только тогда, когда абелева группа $A$ конечно порождена. Доказательство теоремы 8.1 будет дано при помощи явной конструкции абелевой группы $A$. Эта конструкция будет существенным образом зависеть от выбора элемента $t\in X$ такого, что $\operatorname{ord}t\notin\{1,2,4\}$. Однако, как будет показано в разделе 12 (предложение 12.2), для конечно порожденной двузначной группы $X$ получающаяся в результате абелева группа $A$ с точностью до изоморфизма не зависит от выбора элемента $t$. По-видимому, то же верно и без предположения о конечной порожденности, но нам неизвестно доказательство этого факта. Следующее предложение описывает явную конструкцию абелевой группы $A$. Его доказательство, разбитое на ряд лемм, займет всю оставшуюся часть этого раздела. Предложение 8.3. Пусть $X$ – неспециальная инволютивная коммутативная двузначная группа, $V\subseteq X$ – подмножество, состоящее из всех элементов порядков $\leqslant 2$, и $t\in X$ – элемент такой, что $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$. Рассмотрим множество Тогда справедливы следующие утверждения. (а) Если $(x,p)\in A$ и $(y,q)\in A$, причем $t*x=[p,p']$ и $t*y=[q,q']$, то найдется единственная пара $(z,r)\in A$ такая, что
(b) Определим операцию умножения $\bullet\colon A\times A\to A$ по формуле где $(z,r)\in A$ – единственная пара, обладающая свойствами (i), (ii) и (iii). Тогда $(A,\bullet)$ – коммутативная (однозначная) группа с единицей $(e,t)$ и обратным элементом, определяемым по формуле $(x,p)^{-1}=(x,p')$, где $t*x=[p,p']$.(c) Проекция на первый сомножитель $A\to X$, $(x,p)\mapsto x$, индуцирует изоморфизм двузначных групп $A/\iota_{\mathbf{a}}\cong X$, где $\iota_{\mathbf{a}}$ – антиподальная инволюция, $\iota_{\mathbf{a}}(a)=a^{-1}$. Следующая лемма является непосредственным следствием предложения 3.2. Лемма 8.4. Группа $V$ действует на множестве $A$ по формуле $v(x,p)=(vx,vp)$, где $v\in V$, $(x,p)\in A$. Если утверждение (a) предложения 8.3 верно для элементов $\alpha=(x,p)$ и $\beta=(y,q)$ множества $A$, то для любых элементов $u,v\in V$ утверждение (a) предложения 8.3 верно для элементов $u\alpha=(ux,up)$ и $v\beta=(vy,vq)$ и имеет место равенство Лемма 8.5. Утверждение (a) предложения 8.3 выполнено в частных случаях, когда $(y,q)$ – одна из пар $(e,t)$, $(t,e)$, $(t,t^2)$, $(t^2,t)$, $(x,p)$, $(x,p')$, $(p,x)$, $(p',x)$ и $(s,p)$, где $t*p=[x,s]$. При этом имеют место формулы где $t*p'=[x,s']$, $x*p=[t,f]$ и $x*p'=[t,f']$. Доказательство. То, что пары $(z,r)$, стоящие в правых частях формул (13)–(21), принадлежат множеству $A$ и обладают свойствами (i), (ii) и (iii), проверяется непосредственно при помощи леммы 2.2 и следствия 7.3. Осталось доказать единственность такой пары $(z,r)$ в каждом из случаев. Прежде всего заметим, что пара $(z,r)$ заведомо единственна, если хотя бы один из элементов $x$, $p$, $p'$, $y$, $q$ и $q'$ лежит в $V$. Действительно,
1. В случае $(y,q)=(t^2,t)$ имеем $r\in x*q=[p,p']$, значит, $r=p$ или $r=p'$. Но, кроме того, $r\in p*y= p*t^2$. Предположим сначала, что $p\notin p*t^2$. Тогда единственное возможное значение – это $r=p'$. При этом элемент $z$ должен принадлежать мультимножествам $t*r=[x,s']$ и $x*y=x*t^2$. Эти два условия однозначно определяют $z$, если $x\notin x*t^2$. Если же $x\in x*t^2$, то $t^2\in x*x$, а значит, $t^2=x^2$, откуда по лемме 7.1 получаем, что $x=ut$ для некоторого $u\in V$. Тогда $[p,p']=x*t=[u,ut^2]$, что невозможно, так как по предположению ни один из элементов $p$ и $p'$ не лежит в $V$. Предположим теперь, что $p\in p*t^2$, т. е. $t^2\in p*p$. Тогда $t^2=p^2$, значит, по лемме 7.1 имеем $p=ut$ для некоторого $u\in V$. С другой стороны, $y=t^2$, поэтому $t*y=[t,t^3]$, и, значит, $q'=t^3$. Элемент $z$ обязан принадлежать мультимножествам $x*y=[u,ut^4]$ и $p*q'=[ut^2,ut^4]$. Так как $t^2\ne e$, отсюда следует, что $z=ut^4$. Теперь элемент $r$ должен принадлежать мультимножествам $t*z=[ut^3,ut^5]$ и $x*q=p*y=[ut,ut^3]$. Если $t^5\ne t$, то этим двум условиям удовлетворяет единственный элемент $z=ut^3$. Если же $t^5=t$, то либо $t^4=e$, либо $t^6=e$. Первое из этих равенств невозможно, так как $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$, второе – так как в этом случае элемент $q'=t^3$ принадлежал бы множеству $V$, что противоречит сделанному предположению. Прежде чем перебирать остальные случаи, сделаем одно общее замечание. Мы уже доказали, что утверждение (a) верно, когда $(y,q)$ – одна из пар $(e,t)$, $(t,e)$, $(t,t^2)$ и $(t^2,t)$, т. е. когда один из элементов $y$ и $q$ равен $t$. Согласно лемме 8.4 отсюда следует, что утверждение (a) верно, если один из элементов $y$ и $q$ лежит в орбите $Vt$. Аналогично, утверждение (a) верно, если один из элементов $x$ и $p$ лежит в орбите $Vt$. Поэтому в дальнейшем, доказывая утверждение (a), мы можем предполагать, что ни один из элементов $x$, $p$, $y$ и $q$ не лежит в $Vt$. Согласно лемме 7.1 это предположение равносильно предположению, что ни один из элементов $x^2$, $p^2$, $y^2$ и $q^2$ не равен $t^2$. Теперь продолжим перебор случаев при этом дополнительном предположении. 2. В случае $(y,q)=(x,p)$ имеем $z\in x*x=[e,x^2]$ и $z\in p*p'$. Если $z=e$, то $p=p'$, что невозможно в силу неспециальности двузначной группы $X$, так как $x\notin V$ и $t\notin V$. Значит, единственное возможное значение есть $z=x^2$. Далее имеем $r\in x*p=[t,f]$ и $r\in x^2*t$. Если $t\in x^2*t$, то $x^2\in t*t=[e,t^2]$, что невозможно, так как по предположению $x\notin V$ и $x^2\ne t^2$. Значит, $t\notin x^2*t$, и, следовательно, единственное возможное значение – это $r=f$. 3. В случае $(y,q)=(x,p')$ элемент $z$ должен принадлежать каждому из мультимножеств $x*x=[e,x^2]$, $p*q'=p*p=[e,p^2]$ и $p'*q=p'*p'=[e,{p'}^2]$. Если элементы $x^2$, $p^2$ и ${p'}^2$ не все одинаковы, то отсюда следует, что $z=e$ и, значит, $r=t$. Если же $x^2=p^2={p'}^2$, то по лемме 7.1 мы получаем, что $p=ux$ и $p'=u'x$, где $u,u'\in V$. Тогда по лемме 7.2 имеет место равенство $[x^2,t^2]=p*p'=[uu',uu'x^2]$. Поэтому либо $t^2=uu'$, либо $x^2=uu'$ и $t^2=uu'x^2=e$. Ни то, ни другое невозможно, так как $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$. Значит, случай $x^2=p^2={p'}^2$ невозможен. 4. В случае $(y,q)=(p,x)$ имеем $r\in x*x=[e,x^2]$ и $r\in p*p=[e,p^2]$. Если $x^2\ne p^2$, то отсюда следует, что $r=e$ и, значит, $z=t$. Пусть $x^2=p^2$. Тогда по лемме 7.1 мы получаем, что $p=ux$ для некоторого $u\in V$. Значит, $t\in x*p=[u,ux^2]$. Так как $t\notin V$, отсюда следует, что $t=ux^2$. Тогда $t*x=[ux,ux^3]$, значит, $p'=ux^3$. Следовательно, элемент $z$ принадлежит мультимножествам $x*y=[u,ux^2]$ и $p'*q=[ux^2,ux^4]$. При этом $x^4=t^2\ne e$, поэтому единственное возможное значение – это $z=ux^2=t$. Значит, $r\in z*t=[e,x^4]$. Однако выше уже было замечено, что $r\in [e,x^2]$. Кроме того, по предположению $x^4=t^2\ne x^2$. Значит, единственное возможное значение – это $r=e$. 5. В случае $(y,q)=(p',x)$ имеем $r\in x*q=[e,x^2]$ и $r\in p*y=p*p'$. Однако так как $x\notin V$ и $t\notin V$, то из неспециальности двузначной группы $X$ следует, что $p\ne p'$. Поэтому $e\notin p*p'$. Значит, единственное возможное значение – это $r=x^2$. Далее имеем $z\in x*y=[t,f']$ и $z\in t*r=t*x^2$. Если бы имело место включение $t\in t*x^2$, то мы получили бы, что $x^2\in t*t=[e,t^2]$, что невозможно, так как $x\notin V$ и $x^2\ne t^2$. Значит, $t\notin t*x^2$, и, следовательно, единственное возможное значение – это $z=f'$. 6. В случае $(y,q)=(s,p)$ имеем $z\in p'*q=p'*p=[t^2,x^2]$ (по лемме 7.2) и $z\in x*s$. Предположим, что $x^2\notin x*s$. Тогда единственное возможное значение – это $z=t^2$. Значит, $r=t$ или $r=t^3$. Однако элемент $r$ должен лежать в мультимножестве $x*q=x*p=[t,f]$. Если бы имело место равенство $t^3=f$, то согласно лемме 7.2 мы имели бы $[x^2,p^2]=t*f=[t^2,t^4]$, что невозможно, так как по предположению $x^2\ne t^2$ и $p^2\ne t^2$. Значит, $t^3\ne f$, и, следовательно, единственное возможное значение – это $r=t$. Теперь предположим, что $x^2\in x*s$. Тогда $s\in x^2*x=[x,x^3]$. Однако $x\ne s$, так как $t,p\notin V$ и двузначная группа $X$ не специальна. Поэтому $s=x^3$. По лемме 7.2 имеем $[t^2,p^2]=x*s=[x^2,x^4]$. Так как $x^2\ne t^2$, отсюда следует, что $t^2=x^4$ и $p^2=x^2$. Значит, $p=ux$ и $t=vx^2$ для некоторых $u,v\in V$. Тогда $[p,p']=t*x=[vx,vx^3]$. Если бы имело место равенство $p'=vx$, то по лемме 7.2 мы бы получили, что $[t^2,x^2]=p*p'=[uv,uvx^2]$, откуда следовало бы, что либо $t^2=uv$, либо $x^2=uv$ и $t^2=uvx^2=e$, что невозможно, так как $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$. Значит, $p=vx$ и $p'=vx^3$. Далее, $[q,q']=t*s=[vx,vx^5]$, значит, $q'=vx^5$. Элемент $z$ должен принадлежать мультимножествам $x*y=[x^2,x^4]$ и $p*q'=[x^4,x^6]$. Если бы имело место равенство $x^2=x^6$, то из него следовало бы, что $x^8=e$, откуда $t^4=(vx^2)^4=e$, что неверно. Поэтому $x^2\ne x^6$ и, значит, единственное возможное значение – это $z=x^4$. Далее, элемент $r$ должен принадлежать мультимножествам $x*q=[v,vx^2]$ и $p*y=[vx^2,vx^4]$. Равенство $x^4=e$ невозможно, так как из него следовало бы, что $t^2=(vx^2)^2=e$. Поэтому единственное возможное значение – это $r=vx^2$. Лемма 8.5 доказана. Доказательство утверждения (a) предложения 8.3. Из лемм 8.4 и 8.5 следует, что утверждение (a) для пар $(x,p)$ и $(y,q)$ верно, если выполнено хотя бы одно из следующих условий: Нам остается рассмотреть случай “общего положения”, когда ни одно из этих двух условий не выполнено. Тогда по лемме 7.7 мультимножество $t*x*y$ состоит из четырех разных элементов и $(x*q)\cup (x*q')$ и $(p*y)\cup (p'*y)$ суть два разных разбиения этого четырехэлементного множества на два двухэлементных подмножества. Поэтому множества $x*q$ и $p*y$ имеют единственный общий элемент, который мы обозначим через $r$. Кроме того, $t*x*y=(t*z)\cup (t*z')$, где $x*y=[z,z']$, значит, $r$ принадлежит ровно одному из двух двухэлементных множеств $t*z$ и $t*z'$. Переименовав, если нужно, элементы $z$ и $z'$, мы можем считать, что $r\in t*z$ и $r\notin t*z'$. Тогда $(z,r)$ – единственная пара, лежащая в $A$, которая может обладать свойствами (i), (ii) и (iii). Осталось показать, что она действительно ими обладает. Свойство (ii) и включение $z\in x*y$ выполнены по построению. Докажем свойство (iii). По лемме 7.7
$$
\begin{equation*}
t*x*y=(x*q)\cup (x*q')=(p*y)\cup (p'*y)=(t*z)\cup (t*z')
\end{equation*}
\notag
$$
суть все три различных разбиения четырехэлементного множества $t*x*y$ на два двухэлементных подмножества. Поэтому из того, что элемент $r$ принадлежит подмножествам $x*q$, $p*y$ и $t*z$, следует, что элемент $r'$ подмножества $t*z$, отличный от $r$, принадлежит подмножествам $x*q'$ и $p'*y$; это и есть свойство (iii). Теперь докажем, что $z\in p*q'$. Элемент $z$ принадлежит мультимножеству Следовательно, если $z\notin p*q'$, то элемент $z$ обязан лежать в мультимножестве $p*q$. Предположим, что это действительно так. По лемме 7.7 для тройки $(t,x,y)$ мультимножество $t*x*y$ состоит из четырех разных элементов и $x*q$, $p*y$ и $t*z$ суть три его попарно различных двухэлементных подмножества, пересекающихся по общему элементу $r$. Значит, объединение этих трех подмножеств (без учета кратностей элементов) совпадает со всем множеством $t*x*y$. С другой стороны, так как $x\in t*p$, $y\in t*q$ и $z\in p*q$, то каждое из мультимножеств $x*q$, $p*y$ и $t*z$ содержится в четырехэлементном мультимножестве $t*p*q$. Следовательно, $t*p*q=t*x*y$. Поэтому $32$-элементное мультимножество $(t*p*q)*(t*x*y)$ должно содержать единицу $e$ с кратностью хотя бы $4$. С другой стороны, имеем $x*p=[t,f]$ и $y*q=[t,g]$ для некоторых $f,g\in X$; тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (t*p*q)*(t*x*y)&=(t*t)*(x*p)*(y*q)=(t*t)*[t,f]*[t,g] \\ &=[t*t*t*t,t*t*t*f,t*t*t*g,t*t*f*g]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом мультимножество содержит единицу $e$ только с кратностью $3$, так как $\operatorname{ord} t\ne \{1,2,4\}$. Следовательно, элемент $e$ должен принадлежать хотя бы одному из трех мультимножеств $t*t*t*f$, $t*t*t*g$ и $t*t*f*g$. Если $e\in t*t*t*f$, то $f\in t*t*t=[t,t,t,t^3]$, и, значит, либо $f=t$, либо $f=t^3$. По лемме 7.2
$$
\begin{equation*}
[x^2,p^2]=t*f=\begin{cases} [e,t^2],&\text{если}\ f=t, \\ [t^2,t^4],&\text{если}\ f=t^3. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $x^2=t^2$ или $p^2=t^2$, откуда по лемме 7.1 следует, что $Vx=Vt$ или $Vp=Vt$, что противоречит сделанному предположению о том, что условие 1) не выполнено. Аналогично мы придем к противоречию, предположив, что $e\in t*t*t*g$. Если же $e\in t*t*f*g$, то по лемме 7.2 имеем Значит, выполнено одно из равенств $x^2=y^2$, $x^2=q^2$, $p^2=y^2$ и $p^2=q^2$, откуда по лемме 7.1 следует, что выполнено условие 2), что опять же приводит нас к противоречию. Таким образом, $z\notin p*q$, значит, $z\in p*q'$ и, аналогично, $z\in p'*q$. Следовательно, пара $(z,r)$ действительно обладает свойствами (i), (ii) и (iii). Утверждение (a) предложения 8.3 доказано. По построению операция $\bullet$ коммутативна. Из формулы (13) следует, что элемент $\varepsilon=(e,t)$ является единицей для умножения $\bullet$, т. е. $\varepsilon\bullet\alpha=\alpha$ для всех $\alpha\in A$. Далее, из формулы (18) следует, что $(x,p)\bullet (x,p')=\varepsilon$, если $t*x=[p,p']$. Если $\alpha=(x,p)\in A$, то мы будем обозначать элемент $(x,p')$ через $\alpha^{-1}$. Тогда $(\alpha^{-1})^{-1}=\alpha$ и $\varepsilon^{-1}=\varepsilon$. Заметим, однако, что мы пока еще не доказали единственность обратного, т. е. что из равенства $\alpha\bullet\beta= \varepsilon$ следует, что $\beta=\alpha^{-1}$. Для того, чтобы доказать, что $(A,\bullet)$ – абелева группа, нам нужно доказать единственность обратного и ассоциативность умножения. Доказательство будет разбито на несколько лемм. Следующая лемма сразу следует из того, что свойства (i), (ii) и (iii) не изменяются при одновременной замене $p\leftrightarrow p'$, $q\leftrightarrow q'$ и $r\leftrightarrow r'$. Доказательство. Пусть $\alpha=(x,p)$, $\beta=(y,q)$ и $\alpha\bullet\beta=(z,r)$; пусть также $t*x=[p,p']$, $t*y=[q,q']$ и $t*z=[r,r']$. Тогда для троек $(x,p,p')$, $(y,q,q')$ и $(z,r,r')$ выполнены свойства (i), (ii) и (iii). Нам нужно доказать, что $(x,p')\bullet(z,r)=(y,q)$. Это означает, что нам нужно доказать, что свойства (i), (ii) и (iii) будут по-прежнему выполнены, если в них вместо троек $(x,p,p')$, $(y,q,q')$ и $(z,r,r')$ подставить тройки $(x,p',p)$, $(z,r,r')$ и $(y,q,q')$ соответственно. Выпишем требуемые свойства:
Следствие 8.8. Для любого элемента $\alpha\in A$ операция умножения на $\alpha$ определяет биекцию множества $A$ на себя. В частности, если $\alpha\bullet\beta=\varepsilon$, то $\beta=\alpha^{-1}$, т. е. обратный элемент единственен. Введем обозначения $\tau=(t,e)$ и $\tau^k=(t^k,t^{k-1})$ для всех $k\in\mathbb{Z}$. Обозначим через $\mathcal{T}\subseteq A$ подмножество, состоящее из всех элементов $\tau^k$, $k\in\mathbb{Z}$. Непосредственно проверив свойства (i), (ii) и (iii), мы легко получаем следующее утверждение. Лемма 8.9. Имеют место равенства $\tau^k\bullet\tau^m=\tau^{k+m}$ для всех $k,m\in\mathbb{Z}$. Таким образом, множество $\mathcal{T}$ с операцией $\bullet$ есть циклическая группа, порожденная элементом $\tau$. Доказательство. Пусть $\alpha=(x,p)$, $\beta=(y,q)$ и $\alpha\bullet\beta=(z,r)$, причем $t*x=[p,p']$, $t*y=[q,q']$ и $t*z=[r,r']$. Тогда для троек $(x,p,p')$, $(y,q,q')$ и $(z,r,r')$ выполнены свойства (i), (ii) и (iii). Согласно формуле (14) мы имеем $\tau\bullet\alpha=(p',x)$ и $\tau\bullet(\alpha\bullet\beta)=(r',z)$. Таким образом, нам нужно доказать, что Пусть $(p',x)\bullet (y,q)=(\zeta,\rho)$. Докажем сначала, что $\rho=z$. Действительно, согласно конструкции умножения $\bullet$ элемент $\rho$ должен принадлежать мультимножествам $p'*q$ и $x*y$. Однако элемент $z$ тоже принадлежит этим двум мультимножествам. Предположим, что $\rho\ne z$. Тогда $p'*q=x*y=[z,\rho]$. Согласно лемме 7.6 отсюда следует, что найдется элемент $u\in V$ такой, что либо $p'=ux$ и $q=uy$, либо $p'=uy$ и $q=ux$. Рассмотрим эти случаи отдельно. 1. Пусть $p'=ux$ и $q=uy$. Тогда элемент $t$ принадлежит каждому из мультимножеств $x*p'=[u,ux^2]$ и $y*q=[u,uy^2]$. Так как $t\notin V$, мы получаем, что $t=ux^2=uy^2$, а значит, $x^2=y^2$. По лемме 7.1 отсюда следует, что $y=vx$ для некоторого элемента $v\in V$. Имеем $t*x=[ux,ux^3]$, и, значит, $p=ux^3$. Таким образом, $\alpha=(x,ux^3)$, $\beta=(vx,uvx)$. Теперь из формулы (18) следует, что $\alpha\bullet\beta=(v,vt)$, т. е. $z=v$ и $r=r'=vt$. Равенство (22), которое нам нужно доказать, принимает вид $(ux,x)\bullet (vx,uvx)=(vt,v)$ и сразу следует из формулы (19). 2. Пусть $p'=uy$ и $q=ux$. Из формул (20) и (17) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha\bullet\beta&=(x,p)\bullet (up',ux)=(uf',ux^2), \\ (\tau\bullet\alpha)\bullet\beta&=(p',x)\bullet (up',x)=(u{p'}^2,uf'), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $x*p'=[t,f']$. Согласно лемме 7.2 мы имеем $t*f'=[x^2,{p'}^2]$, поэтому равенство (22) принимает вид и следует из формулы (14). Итак, мы доказали, что во всех случаях $\rho=z$. Нам нужно доказать, что $\zeta= r'$. Предположим противное. Согласно конструкции умножения $\bullet$ элемент $\zeta$ должен принадлежать мультимножествам $p'*y$ и $x*q'$. Однако элемент $r'$ также принадлежит этим двум множествам. Следовательно, $p'*y=x*q'=[r,r']$. Согласно лемме 7.6 отсюда следует, что найдется элемент $u\in V$ такой, что либо $p'=ux$ и $q'=uy$, либо $p'=uy$ и $q'=ux$. Рассмотрим эти случаи отдельно. 1. Пусть $p'=ux$ и $q'=uy$. Так же, как в случае 1 выше, мы получаем, что $t=ux^2=uy^2$ и $y=vx$ для некоторого элемента $v\in V$. Имеем $t*x=[ux,ux^3]$, а значит, $p=ux^3$. Аналогично, $q=uy^3=uvx^3$. Таким образом, $\alpha=(x,ux^3)$, $\beta=(vx,uvx^3)$. Теперь из формулы (17) следует, что $\alpha\bullet\beta=(vx^2,vf)$, где $x*p=[t,f]$. Однако $x*p=[ux^2,ux^4]$, и, значит, $f=ux^4$. Таким образом, $z=vx^2=uvt$ и $r=uvx^4$. Имеем $t*z=[uv,uvx^4]$, и, значит, $r'=uv$. Равенство (22) принимает вид $(ux,x)\bullet (vx,uvx^3)=(uv,uvt)$ и сразу следует из формулы (18). 2. Пусть $p'=uy$ и $q'=ux$. Из формулы (19) следует, что
$$
\begin{equation*}
\alpha^{-1}\bullet\beta^{-1}=(x,p')\bullet (up',ux)=(ut,u)=u\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, по леммам 8.6 и 8.9
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha\bullet\beta&=u\tau^{-1}, \\ \tau\bullet(\alpha\bullet\beta)&=u\varepsilon, \\ (\tau\bullet(\alpha\bullet\beta))\bullet\beta^{-1}&= u\beta^{-1}=(p',x)=\tau\bullet\alpha, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду следствия 8.8 вытекает требуемое равенство (22). Таким образом, $\zeta=r'$ во всех случаях, что завершает доказательство леммы. Следствие 8.11. Операция $\bullet$, ограниченная на $\mathcal{T}\times A\subseteq A\times A$, определяет действие циклической группы $\mathcal{T}$ на множестве $A$ такое, что для любых элементов $\alpha,\beta\in A$ и любого целого числа $k$ выполнено равенство $\tau^k\bullet(\alpha\bullet\beta)=(\tau^k\bullet\alpha)\bullet\beta$. Напомним, что формула $v(x,p)=(vx,vp)$, $v\in V$, $(x,p)\in A$, определяет действие коммутативной группы $V$ на множестве $A$. Согласно формуле (12) это действие обладает свойством $v(\alpha\bullet\beta)=(v\alpha)\bullet\beta$ для всех $v\in V$, $\alpha,\beta\in A$. Легко видеть, что построенные действия групп $V$ и $\mathcal{T}$ на множестве $A$ коммутируют. Таким образом, мы получаем действие прямого произведения $G=V\times \mathcal{T}$ на множестве $A$, обладающее свойством для всех $g\in G$, $\alpha,\beta\in A$. Легко видеть, что из этого свойства и единственности обратного по отношению к операции $\bullet$ вытекают следующие две леммы.Лемма 8.12. Операция $\bullet$ индуцирует корректную коммутативную операцию на множестве $G$-орбит $A/G$, по отношению к которой орбита $G\varepsilon$ является единицей, а элемент, обратный к каждой орбите $G\alpha$, единственен и совпадает с орбитой $G\alpha^{-1}$. Лемма 8.13. Пусть элементы $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$ множества $A$ таковы, что для каждого $i$ элементы $\alpha_i$ и $\beta_i$ лежат в одной $G$-орбите. Тогда если $(\alpha_1\bullet\alpha_2)\bullet\alpha_3= \alpha_1\bullet(\alpha_2\bullet\alpha_3)$, то Из последней леммы и леммы 8.7 легко вытекает следующее утверждение. Следствие 8.14. Если элементы $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ множества $A$ таковы, что $\alpha_i$ лежит в $G$-орбите $G\varepsilon$ для некоторого $i$ или $\alpha_i$ и $\alpha_j^{-1}$ лежат в одной $G$-орбите для некоторых $i\ne j$, то Лемма 8.15. Пусть элементы $\alpha=(x,p)$ и $\beta=(y,q)$ множества $A$ таковы, что $\beta$ не лежит в одной $G$-орбите ни с элементом $\alpha$, ни с элементом $\alpha^{-1}$, и пусть $t*x=[p,p']$ и $t*y=[q,q']$. Тогда ни один из элементов $x$, $p$ и $p'$ не лежит в одной $V$-орбите ни с одним из элементов $y$, $q$ и $q'$. Доказательство. Из равенств (14) и (15) следует, что элементы $(x,p)$, $(p',x)$ и $(p,s)$ (где $t*p=[x,s]$) лежат в одной $G$-орбите. Аналогично, элементы $(y,q)$, $(q',y)$ и $(q,z)$ (где $t*p=[x,z]$) тоже лежат в одной $G$-орбите. Поэтому если один из элементов $x$, $p$ и $p'$ лежит в одной $V$-орбите с одним из элементов $y$, $q$ и $q'$, то в $G$-орбитах элементов $\alpha$ и $\beta$ найдутся элементы $\widetilde{\alpha}=(\widetilde{x},\widetilde{p}\,)$ и $\widetilde{\beta}=(\widetilde{y},\widetilde{q}\,)$ соответственно такие, что $\widetilde{y}=v\widetilde{x}$ для некоторого $v\in V$. Тогда либо $\widetilde{q}=v\widetilde{p}$, либо $\widetilde{q}=v\widetilde{p}\,'$, где $t*\widetilde{x}=[\widetilde{p},\widetilde{p}\,']$. Значит, элемент $\widetilde{\beta}$ лежит в одной $G$-орбите с одним из элементов $\widetilde{\alpha}$ и $\widetilde{\alpha}^{-1}$, откуда по лемме 8.12 следует, что элемент $\beta$ лежит в одной $G$-орбите с одним из элементов $\alpha$ и $\alpha^{-1}$. Лемма доказана. Следующая лемма получается непосредственно из конструкции операции $\bullet$. Лемма 8.16. Пусть $\alpha_i=(x_i,p_i)$, $i=1,2,3$, – элементы множества $A$ и $t*x_i=[p_i,p_i']$. Пусть $(z,r)=(\alpha_1\bullet \alpha_2) \bullet\alpha_3$ и $t*z=[r,r']$. Тогда справедливы следующие утверждения: Лемма 8.17. Пусть элементы $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ множества $A$ лежат в попарно различных $G$-орбитах. Тогда Доказательство. Если какой-нибудь из элементов $\alpha_i$ лежит в $G$-орбите $G\varepsilon$ или элементы $\alpha_i$ и $\alpha_j^{-1}$ лежат в одной $G$-орбите для некоторых $i\ne j$, то требуемое равенство выполнено согласно следствию 8.14. Поэтому мы можем предполагать, что ни один из элементов $\alpha_i$ не лежит в одной $G$-орбите ни с элементом $\varepsilon$, ни с каким-либо из элементов $\alpha_j^{\pm 1}$, где $j\ne i$. Тогда из леммы 8.15 следует, что, во-первых, ни один из элементов $x_i$, $p_i$ и $p_i'$, где $i=1,2,3$, не лежит ни в $V$, ни в $Vt$, а во-вторых, при $i\ne j$ ни один из элементов $x_i$, $p_i$ и $p_i'$ не лежит в одной $V$-орбите ни с одним из элементов $x_j$, $p_j$ и $p_j'$. Предположим, что утверждение леммы неверно: произведения элементов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ в каких-нибудь двух из указанных трех порядков дают разные результаты: $(z_1,r_1)\ne (z_2,r_2)$. Пусть $t*z_i=[r_i,r_i']$, $i=1,2$. Отметим, что свойства (a)–(c) из леммы 8.16 инвариантны относительно перестановок элементов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$, поэтому эти свойства выполнены для каждой из двух троек $(z_1,r_1,r_1')$ и $(z_2,r_2,r_2')$. Пусть $(y_i,q_i)=\alpha_j\bullet\alpha_k$ для каждой перестановки $i$, $j$, $k$ чисел $1,2,3$. Тогда $y_i\in x_j*x_k$ и $q_i\in t*y_i$. Пусть $x_j*x_k=[y_i,y_i']$ и $t*y_i=[q_i,q_i']$. Предположим сначала, что $z_1\ne z_2$. Согласно свойству (a) из леммы 8.16 каждый из элементов $z_1$ и $z_2$ принадлежит мультимножеству $x_1*x_2*x_3$. Однако, так как элементы $x_1$, $x_2$ и $x_3$ лежат в попарно различных $V$-орбитах, из леммы 7.7 следует, что мультимножество $x_1*x_2*x_3$ состоит из четырех различных элементов и $x_1*y_1$, $x_1*y'_1$, $x_2*y_2$, $x_2*y'_2$, $x_3*y_3$ и $x_3*y'_3$ суть в точности все шесть его двухэлементных подмножеств. Следовательно, одно из этих шести подмножеств совпадает с множеством $[z_1,z_2]$. Перенумеровав элементы $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, мы можем считать, что $[z_1,z_2]=x_1*h$, где $h$ – один из элементов $y_1$ и $y_1'$. Теперь рассмотрим мультимножества $x_i*p_j*p_k'$, где $i$, $j$, $k$ – перестановки чисел 1, 2, 3. Согласно свойству (a) из леммы 8.16 каждое из этих мультимножеств содержит мультимножество $[z_1,z_2]=x_1*h$. Следовательно, по лемме 7.8 для каждой тройки $(x_i,p_j,p_k')$ найдется элемент $v\in V$ такой, что один из элементов тройки равен одному из двух элементов $vx_1$ и $vh$, а произведение двух других элементов тройки содержит оставшийся из двух элементов $vx_1$ и $vh$. При этом, по доказанному, элементы $x_2$, $p_2$, $p_2'$, $x_3$, $p_3$, $p_3'$ не могут лежать в орбите $Vx_1$. Кроме того, оба элемента $p_1$ и $p_1'$ не могут одновременно лежать в орбите $Vx_1$, так как по лемме 7.5, (c), из этого следовало бы, что $\operatorname{ord} t$ делит 4. Рассмотрим три случая. 1. Оба элемента $p_1$ и $p_1'$ лежат в орбите $Vh$. Так как $p_1$ и $p_1'$ не могут одновременно лежать в орбите $Vx_1$, то $Vx_1\ne Vh$. Так как $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$, то по лемме 7.5, (b), имеем $\operatorname{ord} x_1\in\{1,2,4\}$. Ни один из элементов $x_2$, $p_2$, $p_2'$, $x_3$, $p_3$, $p_3'$ не лежит ни в $Vx_1$, ни в $Vp_1=Vh$. Таким образом, из леммы 7.8 для троек $(x_i,p_j',p_k)$, $i=2,3$, следует, что каждое из мультимножеств $x_2*p_3$, $x_2*p_3'$, $x_3*p_2$ и $x_3*p_2'$ пересекается с орбитой $Vx_1$. Отсюда по лемме 2.2 следует, что мультимножество $x_1*x_2$ пересекается с каждой из орбит $Vp_3$ и $Vp_3'$, а мультимножество $x_1*x_3$ – с каждой из орбит $Vp_2$ и $Vp_2'$. Однако, так как порядок элемента $x_1$ делит $4$, из леммы 7.5, (b), следует, что каждое из мультимножеств $x_1*x_2$ и $x_1*x_3$ состоит из двух элементов, лежащих в одной и той же $V$-орбите. Следовательно, $p_2'=w_2p_2$ и $p_3'=w_3p_3$ для некоторых элементов $w_2,w_3\in V$. Так как $t*x_i=[p_i,p_i']$, теперь из леммы 7.5, (b), следует, что порядки элементов $x_2$ и $x_3$ тоже делят 4. Заметим, что элемент $t$ принадлежит подгруппе двузначной группы $X$, порожденной множеством $V$ и элементами $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Действительно, $t\in x_3*p_3$, а элемент $p_3$ лежит в одной $V$-орбите с элементами мультимножества $x_1*x_2$. Значит, по лемме 7.5, (a), мы получаем, что порядок элемента $t$ делит 4, что неверно. Противоречие. 2. Один из элементов $p_1$ и $p_1'$ лежит в орбите $Vx_1$, а второй – в орбите $Vh$. Так как $p_1$ и $p_1'$ не могут одновременно лежать в орбите $Vx_1$, то $Vx_1\ne Vh$. Рассмотрим случай $p_1\in Vx_1$ и $p_1'\in Vh$; второй случай полностью аналогичен. Из того, что $p_1=ux_1$ для некоторого $u\in V$, следует, что $t\in x_1*p_1=[u,ux_1^2]$, откуда получаем равенство $t=ux_1^2$, поскольку $t\notin V$. Кроме того, так как $t\notin V$, то $x_1^2\notin V$, значит, порядок элемента $x_1$ не делит $4$. Тогда согласно утверждению (c) предложения 3.2 все элементы $vx_1$, где $v$ пробегает группу $V$, попарно различны. В частности, $vx_1\ne x_1$, если $v\ne e$, и $vx_1\ne ux_1$, если $v\ne u$. При этом ни один из элементов $x_2$, $p_2$, $p_2'$, $x_3$, $p_3$, $p_3'$ не лежит ни в $Vx_1$, ни в $Vp_1=Vh$. Поэтому из леммы 7.8 для троек $(x_1,p_2,p_3')$, $(x_1,p_3,p_2')$, $(x_2,p_1,p_3')$ и $(x_3,p_1,p_2')$ следует, что элемент $h$ лежит в каждом из мультимножеств $p_2*p_3'$ и $p_3*p_2'$, а элемент $uh$ – в каждом из мультимножеств $x_2*p_3'$ и $x_3*p_2'$. Используя лемму 2.2, отсюда мы получаем, что мультимножество $h*p_2'$ содержит элементы $ux_3$ и $p_3$, а мультимножество $h*p_3'$ – элементы $ux_2$ и $p_2$. Если бы имело место равенство $p_2=ux_2$, то мы бы получили, что $t\in x_2*p_2=[u,ux_2^2]$, откуда $t=ux_2^2$, так как $t\notin V$. Но тогда из равенства $x_2^2=ut=x_1^2$ и леммы 7.1 следовало бы, что элементы $x_1$ и $x_2$ лежат в одной $V$-орбите, что неверно. Значит, $ux_2\ne p_2$, и, следовательно, $h*p_3'=[ux_2,p_2]$. Аналогично, $ux_3\ne p_3$ и $h*p_2'=[ux_3,p_3]$. Тогда по лемме 7.2 мы получаем, что элемент $h^2$ принадлежит мультимножествам $ux_2*p_2$ и $ux_3*p_3$. Однако тем же двум мультимножествам принадлежит и элемент $ut$. При этом из леммы 7.6 следует, что $ux_2*p_2\ne ux_3*p_3$, так как ни один из элементов $x_2$ и $p_2$ не лежит в одной $V$-орбите ни с одним из элементов $x_3$ и $p_3$. Следовательно, $h^2=ut=x_1^2$, что ввиду леммы 7.1 противоречит тому, что $Vh\ne Vx_1$. 3. Хотя бы один из элементов $p_1$ и $p_1'$ не лежит ни в $Vx_1$, ни в $Vh$. Мы будем считать, что $p_1'\notin Vx_1\cup Vh$; второй случай аналогичен. В тройках $(x_2,p_3,p_1')$ и $(x_3,p_2,p_1')$ ни один из элементов не лежит в орбите $Vx_1$; кроме того, элемент $p_1'$ не лежит в орбите $Vh$. По лемме 7.8 для этих троек хотя бы один из элементов $x_2$ и $p_3$ лежит в $Vh$ и хотя бы один из элементов $x_3$ и $p_2$ лежит в $Vh$. Однако ни один из элементов $x_2$ и $p_2$ не лежит в одной $V$-орбите ни с одним из элементов $x_3$ и $p_3$. Следовательно, либо $x_2,p_2\in Vh$ и $x_3,p_3\notin Vh$, либо $x_2,p_2\notin Vh$ и $x_3,p_3\in Vh$. Эти случаи аналогичны друг другу, поэтому мы рассмотрим первый из них. Пусть $x_2=uh$ и $p_2=vh$, где $u,v\in V$. Из равенства $p_2=uvx_2$ следует, что $t\in x_2*p_2=[uv,uvx_2^2]$, откуда получаем $t=uvx_2^2$, так как $t\notin V$. Теперь вспомним, что $h$ есть либо $y_1$, либо $y_1'$ и, значит, $h\in x_2*x_3$. Следовательно, $x_3\in x_2*h=[u,ux_2^2]=[u,vt]$, что противоречит тому, что элемент $x_3$ не лежит ни в $V$, ни в $Vt$. Полученное противоречие доказывает, что $z_1=z_2$. Обозначим этот элемент просто через $z$. Рассмотрим тройку элементов $\beta_1=\tau\bullet\alpha_1$, $\beta_2=\alpha_2$, $\beta_3=\alpha_3$. Из леммы 8.10 следует, что
$$
\begin{equation*}
\beta_i\bullet(\beta_j\bullet\beta_k)= \tau\bullet(\alpha_i\bullet(\alpha_j\bullet\alpha_k))
\end{equation*}
\notag
$$
для всех перестановок $i$, $j$, $k$ чисел 1, 2, 3. Поэтому из того, что произведения элементов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ в каких-либо двух разных порядках равны $(z,r_1)$ и $(z,r_2)$, и формулы (14) следует, что произведения элементов $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$ в тех же двух порядках равны $\tau\bullet (z,r_1)=(r_1',z)$ и $\tau\bullet (z,r_2)=(r_2',z)$ соответственно, где $t*z=[r_1,r_1']=[r_2,r_2']$. Элементы $\beta_1$, $\beta_2$ и $\beta_3$ тоже лежат в попарно разных $G$-орбитах. Повторяя для них рассуждения, проделанные выше для элементов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$, чтобы доказать, что $z_1=z_2$, мы получим, что $r_1'=r_2'$, а значит, $r_1=r_2$. Лемма доказана. Доказательство. Рассмотрим три элемента $\alpha$, $\beta=\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha)$ и $\gamma=(\alpha\bullet\alpha)^{-1}$. Предположим сначала, что $\alpha$ и $\beta$ лежат в разных $G$-орбитах и $\beta$ и $\gamma$ лежат в разных $G$-орбитах. Тогда
$$
\begin{equation}
(\alpha\bullet\beta)\bullet\gamma=\alpha\bullet(\beta\bullet\gamma).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Действительно, если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ принадлежат трем попарно различным $G$-орбитам, то равенство (24) следует из леммы 8.17, а если $\alpha$ и $\gamma$ лежат в одной $G$-орбите, то по лемме 8.13 равенство (24) эквивалентно верному равенству $(\alpha\bullet\beta)\bullet\alpha= \alpha\bullet(\beta\bullet\alpha)$. Пользуясь равенством (24) и леммой 8.7, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bigl((\alpha\bullet\alpha)\bullet(\alpha\bullet\alpha)\bigr)\bullet (\alpha\bullet\alpha)^{-1}&=\alpha\bullet\alpha, \\ \bigl(\alpha\bullet(\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha))\bigr)\bullet (\alpha\bullet\alpha)^{-1}&=(\alpha\bullet\beta)\bullet\gamma= \alpha\bullet(\beta\bullet\gamma) \\ &=\alpha\bullet\bigl((\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha))\bullet (\alpha\bullet\alpha)^{-1}\bigr)=\alpha\bullet\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя следствие 8.8, приходим к утверждению леммы. Осталось рассмотреть случай, когда какой-нибудь из элементов $\alpha$ и $\gamma$ лежит в одной $G$-орбите с элементом $\beta$. Предположим, что элементы $\alpha$ и $\beta=\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha)$ лежат в одной $G$-орбите. Тогда по лемме 8.12 элемент $\alpha\bullet\alpha$ лежит в одной $G$-орбите с элементом $\varepsilon$, и, значит, элементы $\alpha$ и $\alpha^{-1}$ лежат в одной $G$-орбите. В этом случае доказываемое равенство вытекает из следствия 8.14, примененного к тройке $\alpha$, $\alpha$, $\alpha\bullet\alpha$. Предположим теперь, что элементы $\beta=\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha)$ и $\gamma=(\alpha\bullet\alpha)^{-1}$ лежат в одной $G$-орбите. Тогда $\beta=v\tau^k\bullet \gamma$ для некоторых $v\in V$, $k\in \mathbb{Z}$. Следовательно, по лемме 8.6
$$
\begin{equation*}
\alpha\bullet\alpha =\gamma^{-1}=v\tau^k\bullet\beta^{-1}= v\tau^k\bullet \bigl(\alpha^{-1}\bullet(\alpha\bullet\alpha)^{-1}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя леммы 8.6, 8.7 и следствие 8.11, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\alpha\bullet\alpha)\bullet(\alpha\bullet\alpha)&= (\alpha\bullet\alpha)\bullet\bigl(v\tau^k\bullet(\alpha^{-1}\bullet (\alpha\bullet\alpha)^{-1})\bigr) \\ &=v\tau^k\bullet\bigl((\alpha\bullet\alpha)\bullet (\alpha^{-1}\bullet(\alpha\bullet\alpha)^{-1})\bigr)= v\tau^k\bullet\alpha^{-1}, \\ \alpha\bullet(\alpha\bullet(\alpha\bullet\alpha))&= \alpha\bullet(v\tau^k\bullet(\alpha\bullet\alpha)^{-1})= v\tau^k\bullet(\alpha\bullet(\alpha^{-1}\bullet \alpha^{-1}))=v\tau^k\bullet\alpha^{-1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает доказательство леммы. Доказательство. Предположим сначала, что ни один из элементов $\alpha$ и $\beta^{-1}$ не лежит в одной $G$-орбите с элементом $\alpha\bullet\beta$. Пользуясь леммами 8.17, 8.13 и 8.7, получим
$$
\begin{equation*}
(\alpha\bullet(\alpha\bullet\beta))\bullet \beta^{-1}= \alpha\bullet((\alpha\bullet\beta)\bullet \beta^{-1})=\alpha\bullet\alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Умножив обе части этого равенства на $\beta$ и еще раз воспользовавшись леммой 8.7, получим требуемое равенство $\alpha\bullet(\alpha\bullet\beta)=(\alpha\bullet\alpha)\bullet\beta$. Осталось рассмотреть случай, когда какой-нибудь из элементов $\alpha$ и $\beta^{-1}$ лежит в одной $G$-орбите с элементом $\alpha\bullet\beta$. Предположим, что элементы $\alpha$ и $\alpha\bullet\beta$ лежат в одной $G$-орбите. Тогда из формулы (23) и леммы 8.7 следует, что элементы $\varepsilon=\alpha^{-1}\bullet\alpha$ и $\beta=\alpha^{-1}\bullet(\alpha\bullet\beta)$ тоже лежат в одной $G$-орбите. В этом случае доказываемое утверждение сразу вытекает из следствия 8.14. Предположим теперь, что элементы $\alpha\bullet\beta$ и $\beta^{-1}$ лежат в одной $G$-орбите. Тогда из лемм 8.12 и 8.7 следует, что элемент $\alpha$ лежит в одной $G$-орбите с элементом $\beta^{-1}\bullet\beta^{-1}$. Следовательно, из леммы 8.13 следует, что доказываемое свойство ассоциативности для тройки $(\alpha,\alpha,\beta)$ эквивалентно свойству ассоциативности для тройки $(\beta^{-1}\bullet\beta^{-1},\beta^{-1}\bullet\beta^{-1},\beta)$. Однако, пользуясь леммами 8.18 и 8.7, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl((\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bullet(\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bigr) \bullet\beta=\bigl(((\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bullet\beta^{-1})\bullet \beta^{-1}\bigr)\bullet\beta \\ &\qquad=(\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bullet\beta^{-1}= (\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bullet \bigl((\beta^{-1}\bullet\beta^{-1})\bullet\beta\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. Теперь мы наконец-то можем полностью доказать ассоциативность умножения $\bullet$. Лемма 8.20. Равенство $(\alpha_1\bullet\alpha_2)\bullet\alpha_3= \alpha_1\bullet(\alpha_2\bullet\alpha_3)$ имеет место для любых элементов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ множества $A$. Доказательство. Требуемое равенство следует из леммы 8.17, если элементы $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ лежат в попарно различных $G$-орбитах, и из лемм 8.19 и 8.13, если какие-либо два из этих трех элементов лежат в одной $G$-орбите. Утверждение (b) предложения 8.3 вытекает из следствия 8.8 и леммы 8.20; утверждение (c) сразу следует из утверждений (a) и (b). 9. Неспециальные двузначные группы из элементов порядков 1, 2 и 4Теорема 9.1. Пусть $X$ – конечно порожденная неспециальная инволютивная коммутативная двузначная группа, не содержащая однозначного прямого слагаемого и полностью состоящая из элементов порядков 1, 2 и 4. Тогда $X$ изоморфна одной из групп в следующих двух сериях: Каждая из двузначных групп $X_{n\times 4}^{\mathbf{a}}$ и $X_n^{\mathbf{u}}$ состоит из $2^{2n-1}+2^{n-1}$ элементов. При $n\leqslant 2$ эти две двузначные группы изоморфны друг другу; при $n\geqslant 3$ – нет. Пусть $X$ – двузначная группа, удовлетворяющая условиям теоремы 9.1, и $V\subseteq X$ – подгруппа, состоящая из всех элементов порядков 1 и 2. Для каждого элемента $x\in X\setminus V$ его порядок равен 4, поэтому порядок его квадрата $x^2$ равен 2, т. е. $x^2\in V\setminus\{e\}$. Для каждого элемента $v\in V$ обозначим через $X_v\subseteq X$ подмножество, состоящее из всех элементов $x$ таких, что $x^2=v$. Тогда $X_e=V$ и $X_v$ состоит из элементов порядка 4 при $v\ne e$. Согласно предложению 6.2 из того, что $X$ не содержит однозначного прямого слагаемого, следует, что все подмножества $X_v$ непусты. Кроме того, из леммы 7.1, следствия 7.4 и леммы 7.5, (b), сразу вытекает следующее утверждение. Лемма 9.2. Каждое из множеств $X_v$ является $V$-орбитой. При $v\ne e$ стабилизатор элементов этой орбиты есть двухэлементная группа $\{e,v\}$. Если $x\in X_u$, $y\in X_{v}$ и $x*y=[z_1,z_2]$, то Доказательство. Предположим, что группа $X$ порождена элементами $x_1,\dots,x_N$, и пусть $x_i\in X_{v_i}$ при $i=1,\dots,N$. Тогда всякое мультимножество вида $x_{i_1}*\cdots*x_{i_k}$ состоит из элементов, лежащих в орбитах $X_v$, где $v=v_{i_1}^{\pm1}\cdots v_{i_k}^{\pm 1}$. Значит, объединение орбит $X_v$, где $v$ пробегает подгруппу, порожденную элементами $v_1,\dots,v_N$, есть вся двузначная группа $X$. Следовательно, элементы $v_1,\dots,v_N$ порождают всю группу $V$, и поэтому $\dim V \leqslant N$. Следствие доказано. Следствие 9.4. Если $\dim V=n<\infty$, то двузначная группа $X$ состоит ровно из $2^{2n-1}+2^{n-1}$ элементов. Выберем в каждом из подмножеств $X_v$, $v\in V$, какого-нибудь представителя $x_v$, причем в качестве $x_e$ возьмем единицу $e$. Из леммы 9.2 следует, что
$$
\begin{equation}
x_u*x_v=\bigl[\varphi(u,v)x_{uv},u\varphi(u,v)x_{uv}\bigr]= \varphi(u,v)[x_{uv},ux_{uv}]
\end{equation}
\tag{25}
$$
для некоторого элемента $\varphi(u,v)\in V$. При этом
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v) \equiv \varphi(v,u) \pmod{\!\langle u,v\rangle},
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi(e,u) \equiv\varphi(u,e)\equiv e\pmod{\!\langle u\rangle},
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\langle v_1,\dots,v_k\rangle$ обозначает подгруппу, порожденную элементами $v_1,\dots,v_k$. Отметим, что условие (25) определяет элемент $\varphi(u,v)$ не однозначно, а лишь с точностью до умножения на элемент из подгруппы $\langle u,v\rangle$, порожденной $u$ и $v$. Действительно, умножение на каждый из элементов $u$ и $v$ переставляет элементы мультимножества $x_u*x_v$ местами. Легко видеть, что по построенному отображению $\varphi\colon V\times V\to V$ умножение в двузначной группе $X$ полностью восстанавливается. Выпишем теперь условие того, что данное отображение $\varphi$, удовлетворяющее условиям (26)–(28), действительно задает ассоциативное умножение на $X$. Для произвольных $u,v,w\in V$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x_u*x_v)*x_w&=\varphi(u,v)[x_{uv},ux_{uv}]*x_w \\ &=\varphi(u,v)\varphi(uv,w)[x_{uvw},ux_{uvw},vx_{uvw},wx_{uvw}], \\ x_u*(x_v*x_w)&=x_u*\varphi(v,w)[x_{vw},vx_{vw}] \\ &=\varphi(v,w)\varphi(u,vw)[x_{uvw},ux_{uvw},vx_{uvw},wx_{uvw}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как элемент $x_{uvw}$ стабилизируется элементами $e$ и $uvw$ и не стабилизируется никакими другими элементами группы $V$, условие совпадения этих двух мультимножеств записывается в виде включения
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v)\varphi(uv,w)\varphi(u,vw)\varphi(v,w)\in\langle u,v,w\rangle.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Если вместо набора представителей $\{x_v\}$ множеств $X_v$ мы выберем другой набор представителей $\{x_v'\}$, где опять же $x_e'=e$, то $x_v'=\chi(v)x_v$ для некоторых $\chi(v)\in V$ таких, что $\chi(e)=e$. Тогда отображение $\varphi$ заменится на отображение, задаваемое по формуле Ввиду того, что, как уже было отмечено выше, значение $\varphi(u,v)$ определено с точностью до умножения на элемент из группы $\langle u,v\rangle$, правильнее говорить, что $\varphi$ заменится на некоторое отображение $\varphi'$ такое, что
$$
\begin{equation}
\varphi'(u,v)\equiv\varphi(u,v)\chi(u)\chi(v)\chi(uv) \pmod{\!\langle u,v\rangle}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Мы будем называть отображения $\varphi\colon V\times V\to V$, удовлетворяющие условиям (28) и (29), квазикоциклами на булевой группе $V$. Квазикоцикл $\varphi$ будет называться симметрическим, если он удовлетворяет условию (26), и инволютивным, если он удовлетворяет условию (27). Два квазикоцикла $\varphi$ и $\varphi'$ назовем когомологичными, если найдется отображение $\chi\colon V\to V$ такое, что $\chi(e)=e$ и для всех $u,v\in V$ имеет место сравнение (30). В частности, квазикоцикл называется когомологически тривиальным, если он когомологичен квазикоциклу, тождественно равному единице. Так как для квазикоцикла $\varphi$ в формуле (25) значения $\varphi(u,v)$ определены только с точностью до умножения на элементы из $\langle u,v\rangle$, нам будет удобно говорить, что два квазикоцикла $\varphi$ и $\varphi'$ на $V$ эквивалентны, если для всех $u,v\in V$ имеет место сравнение $\varphi(u,v)\equiv \varphi'(u,v)\pmod{\!\langle u,v\rangle}$. Из вышесказанного сразу вытекает следующее предложение. Предложение 9.5. Конечно порожденная неспециальная инволютивная коммутативная двузначная группа $X$, не содержащая однозначного прямого сомножителя и состоящая из элементов порядков $1$, $2$ и $4$, полностью задается булевой группой $V$ и инволютивным симметрическим квазикоциклом $\varphi\colon V\times V\to V$. Двузначные группы, отвечающие парам $(V,\varphi)$ и $(V',\varphi')$, изоморфны тогда и только тогда, когда имеется изоморфизм групп $V$ и $V'$, переводящий квазикоцикл $\varphi$ в квазикоцикл, когомологичный квазикоциклу $\varphi'$. Описанная выше терминология имеет следующее происхождение. Пусть $G$ – группа и $A$ – абелева группа в аддитивной записи. Напомним определение групп когомологий $H^*(G;A)$ (см. [2; гл. III, § 1]). Для каждого $k\geqslant 0$ рассмотрим группу $\mathcal{C}^k(G;A)$, состоящую из отображений
$$
\begin{equation*}
\varphi\colon \underbrace{G\times\cdots\times G}_{k}\to A
\end{equation*}
\notag
$$
таких, что $\varphi(g_1,\dots,g_k)=0$, если хотя бы один из элементов $g_i$ равен $e$. Дифференциал $\delta\colon \mathcal{C}^k(G;A)\to \mathcal{C}^{k+1}(G;A)$ определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\delta\varphi)(g_1,g_2,\dots,g_{k+1})&=\varphi(g_2,\dots,g_{k+1})+ \sum_{i=1}^k(-1)^i\varphi(g_1,\dots,g_ig_{i+1},\dots,g_{k+1}) \\ &\qquad+(-1)^{k+1}\varphi(g_1,\dots,g_k). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отображения $\varphi$, лежащие в ядре этого отображения, называются $k$-коциклами на группе $G$ со значениями в $A$. Группа когомологий $H^k(G;A)$ по определению есть факторгруппа группы $k$-коциклов на $G$ со значениями в $A$ по подгруппе $\delta\mathcal{C}^{k-1}(G;A)$. Если группа $A$ булева и мы будем использовать для нее мультипликативную запись, то уравнение $2$-коцикла запишется в виде для всех $u,v,w\in G$. При этом два коцикла $\varphi$ и $\varphi'$ когомологичны тогда и только тогда, когда найдется отображение $\chi \colon G\to A$ такое, что $\chi(e)=e$ и для всех $u,v\in G$. Таким образом, данные выше определения квазикоцикла и когомологичности квазикоциклов являются ослаблениями этих условий.Предложение 9.5 сводит интересующую нас задачу классификации конечно порожденных неспециальных инволютивных коммутативных двузначных групп, не содержащих однозначных прямых сомножителей и состоящих из элементов порядков $1$, $2$ и $4$, к задаче классификации инволютивных симметрических квазикоциклов на булевых группах с точностью до когомологичности. Операция умножения задает на множестве $\mathcal{H}(V)$ когомологических классов инволютивных симметрических квазикоциклов на $V$ структуру абелевой группы. Наша задача состоит в вычислении этой группы. Прежде чем решать эту задачу, отметим, что для настоящих коциклов, удовлетворяющих уравнению (31) в точности, аналогичная задача тривиальна. Лемма 9.6. Пусть $V$ и $W$ – булевы группы и $\varphi\colon V\times V\to W$ – инволютивный симметрический коцикл, т. е. отображение, удовлетворяющее уравнению коцикла (31), а также уравнениям Тогда $\varphi$ когомологически тривиален, т. е. $\varphi=\delta\chi$ для некоторого $\chi\colon V\to W$ такого, что $\chi(e)=e$. Доказательство. Очевидно, что лемму достаточно доказать в случае, когда $W=\mathbb{F}_2$. (В этом случае мы, конечно, будем использовать для $\mathbb{F}_2$ аддитивную запись.) Пусть $\dim V=n$ и $b_1,\dots,b_n$ – базис булевой группы $V$ как векторного пространства над $\mathbb{F}_2$. Тогда
$$
\begin{equation*}
H^*(V;\mathbb{F}_2)=H^*\bigl((\mathbb{RP}^{\infty})^n;\mathbb{F}_2\bigr)= \mathbb{F}_2[t_1,\dots,t_n],
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_1,\dots,t_n$ – базис пространства $H^1(V;\mathbb{F}_2)=\operatorname{Hom}(V,\mathbb{F}_2)$, двойственный базису $b_1,\dots,b_n$. Поэтому класс когомологий коцикла $\varphi$ имеет вид $\displaystyle\sum\lambda_{i}t_i^2+\displaystyle\sum_{i< j}\mu_{ij}t_it_j$ для некоторых $\lambda_i,\mu_{ij}\in\mathbb{F}_2$. При этом из определения умножения в когомологиях сразу следует, что $\lambda_i=\varphi(b_i,b_i)$ и $\mu_{ij}=\varphi(b_i,b_j)+\varphi(b_j,b_i)$. Таким образом, из уравнений (32) и (33) вытекает, что класс когомологий коцикла $\varphi$ нулевой. Лемма доказана. Приведем теперь нетривиальный пример инволютивного симметрического квазикоцикла. Пусть $\mathcal{B}=\{b_i\}_{i\in\Lambda}$ – базис булевой группы $V$ (как векторного пространства над $\mathbb{F}_2$). Тогда каждый элемент группы $V$ записывается единственным образом в виде $b_I=\displaystyle\prod_{i\in I}b_i$, где $I\subseteq \Lambda$ – конечное подмножество; в частности, $b_{\varnothing}=e$. Положим Условия (26)–(29) проверяются непосредственно, так что $\varphi_{\mathcal{B}}$ – действительно инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$. Наш основной результат о группе $\mathcal{H}(V)$ таков.Предложение 9.7. (a) Если $\dim V\leqslant 2$, то всякий инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$ тривиален и, таким образом, группа $\mathcal{H}(V)$ тривиальна. (b) Если $3\leqslant\dim V<\infty$, то квазикоцикл $\varphi_{\mathcal{B}}$, определяемый по формуле (34), когомологически нетривиален. В этом случае всякий инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$ когомологичен или тривиальному квазикоциклу, или квазикоциклу $\varphi_{\mathcal{B}}$. (В частности, квазикоциклы $\varphi_{\mathcal{B}}$, соответствующие разным базисам $\mathcal{B}$, когомологичны друг другу.) Таким образом, $\mathcal{H}(V)$ – циклическая группа порядка $2$. Мы отложим доказательство этого предложения до следующего раздела, а сейчас покажем, как из него следует теорема 9.1. Для этого вычислим квазикоциклы $\varphi$, отвечающие двузначным группам $X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}$ и $X^{\mathbf{u}}_n$. 1. Рассмотрим двузначную группу $X=X^{\mathbf{u}}_{n}= (C_2^{n}\times C_2^{n})/\iota_{\mathbf{u}}$, где $\iota_{\mathbf{u}}(a,b)=(a,ab)$. Группа элементов порядка $2$ в двузначной группе $X$ – это в точности подгруппа $V=\{e\}\times C_2^n\subset C_2^n\times C_2^n$, состоящая из неподвижных элементов инволюции $\iota_{\mathbf{u}}$. Отождествляя $v$ с $(e,v)$, мы отождествим $C_2^n$ с $V$. Для всякого элемента $v\in V=C_2^n$ подмножество $X_v\subset X$ состоит из образов при проекции $\pi\colon C_2^n\times C_2^n\to X$ всех элементов вида $(v,w)$, где $w\in C_2^n$. Выберем в этом подмножестве представителя $x_v=\pi(v,e)=\pi(v,v)$. Тогда следовательно, двузначной группе $X^{\mathbf{u}}_n$ отвечает тривиальный квазикоцикл на группе $C_2^n$.2. Рассмотрим двузначную группу $X=X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}= C_4^n/\iota_{\mathbf{a}}$, где $\iota_{\mathbf{a}}(a)=a^{-1}$. Пусть $\{a_i\}_{i\in\Lambda}$ – система стандартных порождающих слагаемых $C_4$ прямого произведения $C_4^n$. Группа элементов порядка $2$ в $X$ – это в точности подгруппа $V= C_2^n\subset C_4^n$, состоящая из неподвижных элементов инволюции $\iota_{\mathbf{a}}$. Базис $\mathcal{B}=\{b_i\}_{i\in\Lambda}$ булевой группы $V$ состоит из элементов $b_i=a_i^2$. Произвольный элемент группы $V$ имеет вид $b_I=\displaystyle\prod_{i\in I}b_i$, где $I\subseteq \Lambda$ – конечное подмножество. В качестве представителя $x_{b_I}$ подмножества $X_{b_I}\subset X$ возьмем образ элемента $a_I=\displaystyle\prod_{i\in I}a_i$ при проекции $\pi\colon C_4^n\to X$. Имеем $a_Ia_J=b_{I\cap J}a_{I\bigtriangleup J}$, $a_I^{-1}a_J=b_{I\setminus J}a_{I\bigtriangleup J}$, где $I\bigtriangleup J$ – симметрическая разность множеств $I$ и $J$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
x_{b_I}*x_{b_J}=[b_{I\cap J}x_{b_{I\bigtriangleup J}},b_{I\setminus J} x_{b_{I\bigtriangleup J}}]=b_{I\cap J}[x_{b_{I\bigtriangleup J}}, b_Ix_{b_{I\bigtriangleup J}}].
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, двузначной группе $X_{n\times 4}^{\mathbf{a}}$ отвечает квазикоцикл $\varphi_{\mathcal{B}}$ на группе $C_2^n$. Теорема 9.1 сразу следует из приведенного вычисления и предложений 9.5 и 9.7. Напомним также, что явный изоморфизм между двузначными группами $X^{\mathbf{a}}_{4,4}$ и $X^{\mathbf{u}}_2$ был описан в примере 1.11. 10. Квазикоциклы на булевых группахВ этом разделе мы докажем предложение 9.7. При $\dim V\leqslant 2$ из того, что $\langle u,v\rangle =V$ для всякой пары различных неединичных элементов $u,v\in V$, сразу следует, что всякий инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$ эквивалентен и, значит, когомологичен тривиальному. Таким образом, утверждение (a) предложения 9.7 доказано. Доказательство утверждения (b) разобьем на несколько лемм. Лемма 10.1. Пусть $V$ – булева группа из восьми элементов, т. е. трехмерное векторное пространство над $\mathbb{F}_2$. Тогда $\mathcal{H}(V)$ – циклическая группа порядка 2. Если $\mathcal{B}$ – базис булевой группы $V$, то когомологический класс квазикоцикла $\varphi_{\mathcal{B}}$ является порождающим группы $\mathcal{H}(V)$. Доказательство. Пусть $\varphi$ – инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$. Если $u$ и $v$ – разные неединичные элементы $V$, то имеется всего два класса смежности группы $V$ по подгруппе $\langle u,v\rangle$. Положим $\lambda(u,v)=0$, если $\varphi(u,v)\in \langle u,v\rangle$, и $\lambda(u,v)=1$, если $\varphi(u,v)\notin \langle u,v\rangle$. Тогда $\lambda(u,v)=\lambda(v,u)$. Условие коцикла (29) для тройки $(u,v,uv)$ запишется в виде $\lambda(u,v)=\lambda(v,uv)$, откуда следует, что значение $\lambda(u,v)$ зависит лишь от двумерного подпространства $\langle u,v\rangle\subset V$, а не от конкретного выбора его базиса $u$, $v$. При этом двумерные подпространства векторного пространства $V$ находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с ненулевыми элементами двойственного векторного пространства $V^*=\operatorname{Hom}(V,\mathbb{F}_2)$. Поэтому мы получаем корректно определенное отображение $\lambda\colon V^*\setminus\{e\}\to \mathbb{F}_2$. Легко видеть, что эквивалентные квазикоциклы $\varphi$ приводят к одинаковым отображениям $\lambda$ и квазикоцикл $\varphi$ восстанавливается по отображению $\lambda$ однозначно с точностью до эквивалентности. Докажем теперь, что всякому отображению $\lambda\colon V^*\setminus\{e\}\to \mathbb{F}_2$ соответствует класс эквивалентности квазикоциклов. Для этого вначале вычислим отображение $\lambda_{\mathcal{B}}$, отвечающее квазикоциклу $\varphi_{\mathcal{B}}$, где $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ – некоторый базис булевой группы $V$. Непосредственное вычисление показывает, что $\lambda_{\mathcal{B}}(\xi_{\mathcal{B}})=1$, где $\xi_{\mathcal{B}}\in V^*$ – такой элемент, что $\xi_{\mathcal{B}}(b_1)= \xi_{\mathcal{B}}(b_2)=\xi_{\mathcal{B}}(b_3)=1$, и $\lambda_{\mathcal{B}}(\xi)=0$ для всех $\xi\ne\xi_{\mathcal{B}}$. Квазикоциклы на $V$ образуют группу относительно поточечного умножения, и произведению квазикоциклов отвечает поточечное сложение соответствующих отображений $\lambda$. Таким образом, легко видеть, что, перемножая квазикоциклы $\varphi_{\mathcal{B}}$ для разных $\mathcal{B}$, мы можем получить в качестве $\lambda$ любое отображение $\lambda\colon V^*\setminus\{e\}\to \mathbb{F}_2$. Так как множество $V^*\setminus\{e\}$ состоит из семи элементов, имеется ровно $128$ классов эквивалентности квазикоциклов на $V$. Выясним теперь, как в терминах отображений $\lambda$ переписывается условие когомологичности двух коциклов. Для отображения $\lambda\colon V^*\setminus\{e\}\to \mathbb{F}_2$ положим
$$
\begin{equation*}
\sigma(\lambda)=\sum_{\xi\in V^*\setminus\{e\}}\lambda(\xi).
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем, что квазикоциклы, отвечающие отображениям $\lambda$ и $\lambda'$, когомологичны тогда и только тогда, когда $\sigma(\lambda)=\sigma(\lambda')$. Для двух элементов $a,b\in V\setminus\{e\}$ рассмотрим отображение $\chi_{a,b}\colon V\to V$ такое, что $\chi_{a,b}(a)=b$ и $\chi_{a,b}(u)=e$ при $u\ne a$. Рассмотрим два квазикоцикла, когомологичных при помощи отображения $\chi_{a,b}$: и сравним соответствующие им отображения $\lambda,\lambda'\colon V^*\setminus\{e\}\to \mathbb{F}_2$. Непосредственное вычисление показывает, что Таким образом, если $a=b$, то квазикоциклы $\varphi$ и $\varphi'$ эквивалентны и $\lambda=\lambda'$, а если $a\ne b$, то $\lambda'(\xi)\ne \lambda(\xi)$ ровно для двух элементов $\xi\in V^*\setminus\{e\}$. Поэтому, во-первых, $\sigma(\lambda')=\sigma(\lambda)$, а во-вторых, подбирая пару $(a,b)$, мы можем изменить отображение $\lambda$ на любых двух наперед заданных элементах множества $V^*\setminus\{e\}$. Так как любое отображение $\chi\colon V\to V$ можно представить в виде поточечного произведения отображений вида $\chi_{a,b}$ для разных пар $(a,b)$, мы получаем, что классы эквивалентности квазикоциклов, соответствующих отображениям $\lambda,\lambda'\colon V^*\setminus\{e\}\to\mathbb{F}_2$, лежат в одном когомологическом классе тогда и только тогда, когда $\sigma(\lambda)=\sigma(\lambda')$. Следовательно, $\mathcal{H}(V)$ – циклическая группа порядка $2$. Так как $\sigma(\lambda_{\mathcal{B}})=1$ для любого базиса $\mathcal{B}$ группы $V$, то все квазикоциклы $\varphi_{\mathcal{B}}$ гомологичны и их класс гомологий является порождающей группы $\mathcal{H}(V)$. Лемма доказана.Пусть $V$ – булева группа и $\varphi\colon V\times V\to V$ – квазикоцикл. Если $U\subset V$ – подгруппа и $\Pi\colon V\to U$ – проектор, то отображение
$$
\begin{equation*}
U\times U\subset V\times V\xrightarrow{\varphi}V\xrightarrow{\Pi} U
\end{equation*}
\notag
$$
мы будем называть сужением квазикоцикла $\varphi$ на подгруппу $U$ вдоль проектора $\Pi$. Легко видеть, что это отображение является квазикоциклом на $U$. При этом если исходный квазикоцикл был инволютивным и симметрическим, то таким же будет и получившийся квазикоцикл на $U$. Операция взятия сужения вдоль проектора $\Pi$ индуцирует гомоморфизм $\Pi_*\colon\mathcal{H}(V)\to\mathcal{H}(U)$. Лемма 10.2. Пусть $V$ – конечная булева группа такая, что $\dim V> 3$, и $\Pi\colon V\to U$ – проектор на некоторую подгруппу $U\subset V$ такую, что $\dim U=3$. Тогда гомоморфизм $\Pi_*\colon \mathcal{H}(V)\to\mathcal{H}(U)$ сюръективен. Доказательство. Пусть $\mathcal{B}$ – базис булевой группы $V$, часть которого составляет базис $\mathcal{A}$ подгруппы $U$. Тогда сужение квазикоцикла $\varphi_{\mathcal{B}}$ вдоль $\Pi$ совпадает с квазикоциклом $\varphi_{\mathcal{A}}$. Отсюда сразу следует сюръективность гомоморфизма $\Pi_*$, так как согласно лемме 10.1 группа $\mathcal{H}(U)$ порождается когомологическим классом квазикоцикла $\varphi_{\mathcal{A}}$. Лемма доказана. Лемма 10.3. Пусть $V$ – конечная булева группа и $\Pi\colon V\to U$ – проектор на некоторую подгруппу $U\subset V$, причем $\dim U\geqslant 3$. Тогда гомоморфизм $\Pi_*\colon \mathcal{H}(V)\to\mathcal{H}(U)$ инъективен. Доказательство. Заметим, что лемму достаточно доказать в случае, когда подгруппа $U$ имеет коразмерность $1$ в $V$ (если рассматривать $V$ как векторное пространство над $\mathbb{F}_2$); тогда общий случай будет автоматически следовать по индукции. Обозначим через $c$ порождающую одномерного ядра проектора $\Pi$. Тогда $V=U\times\langle c\rangle$. Пусть $\varphi$ – инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$ и $\psi$ – его сужение на $U$ вдоль $\Pi$. Нам нужно доказать, что если $\psi$ когомологически тривиален, то $\varphi$ тоже когомологически тривиален. Из когомологической тривиальности квазикоцикла $\psi$ следует, что существует отображение $\xi\colon U\to U$ такое, что $\xi(e)=e$ и $\varphi(u_1,u_2)\xi(u_1)\xi(u_2)\xi(u_1u_2)\in \langle u_1,u_2,c\rangle$ для произвольных $u_1,u_2\in U$. Положим $\chi(u)=\xi(u)$ и $\chi(uc)=\xi(u)\varphi(u,c)$ для всех $u\in U$ и рассмотрим инволютивный симметрический квазикоцикл $\varphi'$ на $V$, задаваемый по формуле $\varphi'(v,w)=\varphi(v,w)\chi(v)\chi(w)\chi(vw)$. Тогда квазикоцикл $\varphi'$ когомологичен $\varphi$ и
$$
\begin{equation}
\varphi'(u_1,u_2)\equiv c^{\lambda(u_1,u_2)}\pmod{\!\langle u_1,u_2\rangle},\qquad u_1,u_2\in U,
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $\lambda\colon U\times U\to\mathbb{F}_2$ – некоторое отображение, удовлетворяющее $\lambda(u_1,u_2)=\lambda(u_2,u_1)$ и $\lambda(u,u)=\lambda(u,e)=0$. При этом $\varphi'(u,c)\in\langle u,c\rangle$ для всех $u\in U$. Из условия (29) для троек $(c,c,u)$, где $u\in U$, следует, что $\varphi'(uc,c)\in\langle u,c\rangle$. Теперь из условия (29) для троек $(c,u_1,u_2)$, где $u_1,u_2\in U$, следует, что $\varphi'(u_1c,u_2)\in\langle u_1,u_2,c\rangle$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\varphi'(u_1c,u_2)\equiv c^{\mu(u_1,u_2)}\pmod{\!\langle u_1c,u_2\rangle},
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $\mu\colon U\times U\to\mathbb{F}_2$ – отображение, удовлетворяющее $\mu(e,u)=\mu(u,e)=0$. Наконец, из условия (29) для троек $(u_1,c,u_2c)$, где $u_1,u_2\in U$, следует, что $\varphi'(u_1c,u_2c)\in\langle u_1,u_2,c\rangle$. Поэтому
$$
\begin{equation}
\varphi'(u_1c,u_2c)\equiv c^{\nu(u_1,u_2)}\pmod{\!\langle u_1c,u_2c\rangle},
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $\nu\colon U\times U\to\mathbb{F}_2$ – некоторое отображение, удовлетворяющее $\nu(u_1,u_2)=\nu(u_2,u_1)$ и $\nu(u,u)=\nu(u,e)=0$. Теперь условие (29) для троек $(u_1,u_2,u_3)$, $(u_1c,u_2,u_3)$ и $(u_1c,u_2c,u_3)$, где $u_1,u_2, u_3\in U$, запишется в виде системы уравнений
$$
\begin{equation}
\lambda(u_2,u_3)+\lambda(u_1u_2,u_3)+\lambda(u_1,u_2u_3)+\lambda(u_1,u_2) =0,
\end{equation}
\tag{38}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda(u_2,u_3)+\mu(u_1u_2,u_3)+\mu(u_1,u_2u_3)+\mu(u_1,u_2) =0 \quad\text{при } u_1\notin\langle u_2,u_3\rangle,
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
\mu(u_2,u_3)+\lambda(u_1u_2,u_3)+\nu(u_1,u_2u_3)+\nu(u_1,u_2) =0 \quad\text{при } u_1\notin\langle u_3\rangle,\ u_2\notin\langle u_3\rangle.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Ограничения $u_1\notin\langle u_2,u_3\rangle$ в (39) и $u_1\notin\langle u_3\rangle$, $u_2\notin\langle u_3\rangle$ в (40) существенны. Они связаны с тем, что в точности при этих ограничениях элемент $c$ не принадлежит подгруппе, порожденной рассматриваемой тройкой элементов, и поэтому мы можем записать условие, что степень вхождения элемента $c$ в левую часть соответствующего сравнения (29) равна нулю. Уравнение (35) есть в точности обычное условие коцикла для $\lambda$. Из леммы 9.6 следует, что найдется отображение $\eta\colon U\to\mathbb{F}_2$ такое, что $\eta(e)=0$ и Если элементы $u,u'\in U$ различны и ни один из них не равен $e$, то уравнение (40) для тройки $(u_1,u_2,u_3)=(u,u,u')$ дает Отметим, что если один из элементов $u$ и $u'$ равен $e$, то равенство (42) тоже имеет место, ввиду того что $\mu(u,e)=\mu(e,u)=e$ и $\nu(u,u)=\nu(u,e)=\nu(e,u)=e$. Тем не менее условие $u\ne u'$ является существенным.Теперь предположим, что элементы $u_1,u_2,u_3\in U$ таковы, что $u_1\notin\langle u_2,u_3\rangle$. Тогда каждая из пар $(u_1u_2,u_3)$, $(u_1,u_2u_3)$ и $(u_1,u_2)$ состоит из различных элементов. Поэтому, подставив (41) и (42) в (39), мы получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\nu(u_1u_2,u_1u_2u_3)+\nu(u_1,u_1u_2u_3)+\nu(u_1,u_1u_2)= \eta(u_2)+\eta(u_3)+\eta(u_2u_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Сделав в этом уравнении замену $a_1=u_1$, $a_2=u_1u_2$, $a_3=u_1u_2u_3$ и введя новую функцию мы получим, что при условии, что $a_1$ не равен ни одному из элементов $e$, $a_1a_2$, $a_2a_3$ и $a_3a_1$. Последнее условие означает в точности, что ни один из элементов $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_1a_2a_3$ не равен $e$. Отметим, что из симметричности функции $\nu$ сразу следует симметричность функции $\rho$. Кроме того, $\rho(u,u)=\nu(u,u)+\eta(e)=0$ для всех $u\in U$. До сих пор мы нигде не использовали ключевое условие $\dim U\geqslant 3$, без которого лемма неверна. Докажем, что при этом условии равенство (44) имеет место для всех троек $(a_1,a_2,a_3)$ элементов множества $U\setminus\{e\}$ без предположения, что $a_1a_2a_3\ne e$. Действительно, пусть $a_1$, $a_2$ и $a_3$ – такие элементы в $U\setminus\{e\}$, что $a_1a_2a_3=e$. Тогда $\dim\langle a_1,a_2,a_3\rangle=2$. Поэтому из условия $\dim U\geqslant 3$ следует, что найдется элемент $b\in U$, не лежащий в подгруппе $\langle a_1,a_2,a_3\rangle$. Тогда по доказанному уравнение (44) будет иметь место для каждой из троек $(a_1,a_2,b)$, $(a_2,a_3,b)$ и $(a_3,a_1,b)$. Сложив эти уравнения, получим уравнение (44) для исходной тройки $(a_1,a_2,a_3)$. Из того, что уравнение (44) имеет место для всех троек $(a_1,a_2,a_3)$ элементов множества $U\setminus\{e\}$, сразу следует, что найдется функция $\zeta\colon U\setminus\{e\}\to\mathbb{F}_2$ такая, что Действительно, выбрав произвольный элемент $u_0\in U\setminus\{e\}$, мы можем положить $\zeta(u)=\rho(u_0,u)$ для всех $u\in U\setminus\{e\}$. Тогда равенство (45) будет следовать из уравнения (44). Из (42), (43) и (45) получаем
$$
\begin{equation}
\mu(u,u') =\zeta(u)+\eta(u')+\zeta(uu'), \qquad u \ne u',
\end{equation}
\tag{46}
$$
$$
\begin{equation}
\nu(u,u') =\zeta(u)+\zeta(u')+\eta(uu'), \qquad u,u' \ne e.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Продолжим функцию $\zeta$ на все $U$, положив $\zeta(e)=0$. Отметим, однако, что формулы (45) и (47) не обязательно будут верны, если один из элементов $u$ и $u'$ равен $e$, а формула (46) – если $u=u'$. Рассмотрим отображение $\theta\colon V\to V$ и инволютивный симметрический квазикоцикл $\varphi''\colon V\times V\to V$, определяемые по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \theta(u)&=c^{\eta(u)},&\qquad u&\in U, \\ \theta(uc)&=c^{\zeta(u)},&\qquad u&\in U, \\ \varphi''(v,w)&=\varphi'(v,w)\theta(v)\theta(w)\theta(vw),&\qquad v,w&\in V. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (35)–(37), (41), (46) и (47) следует, что для всех $v,w\in V$, т. е. квазикоцикл $\varphi''$ эквивалентен тривиальному. Отметим, что в исключительных случаях $(v,w)=(uc,u)$ и $(v,w)=(uc,c)$, когда формулы (46) и (47) могут быть неверны, включение (48) все равно имеет место, так как в этих случаях $c\in \langle v,w\rangle$. Так как $\varphi''$ по построению когомологичен $\varphi$, мы получаем утверждение леммы. Утверждение (b) предложения 9.7 следует из лемм 10.1–10.3. 11. Специальные двузначные группыВ этом разделе мы докажем следующую теорему. Теорема 11.1. Всякая специальная инволютивная коммутативная двузначная группа, не содержащая однозначных прямых сомножителей, изоморфна двузначной группе $Y_V$, где $V$ – булева группа такая, что $\dim V\geqslant 2$. Лемма 11.2. Если $(x,y)$ – специальная пара в инволютивной коммутативной двузначной группе $X$ и $x*y=[z,z]$, то $x^2=y^2=z^2$ и пять элементов $e$, $x$, $y$, $z$ и $s=x^2$ попарно различны и образуют подгруппу двузначной группы $X$ с таблицей умножения т. е. подгруппу, изоморфную двузначной группе $Y_2$. В частности, $x$, $y$ и $z$ – элементы порядка $4$. Доказательство. Пусть $x*y=[z,z]$. Согласно лемме 2.2 имеем $y*z=[x,x']$ для некоторого $x'$. Тогда Однако мы знаем, что $x^2\ne e$, так как $\operatorname{ord} x>2$. Значит, $x^2=z^2$. Кроме того, мы видим, что единица $e$ содержится в мультимножестве $x*x'$, откуда следует, что $x'=x$. Таким образом, $y*z=[x,x]$. Аналогично доказывается, что $y^2=x^2$ и $x*z=[y,y]$. Положим $s=x^2=y^2=z^2$, так что $x*x=y*y=z*z=[e,s]$. Имеем поэтому $x*s=[x,x]$. Значит, $x^3=x$. Так как $\operatorname{ord} x>2$, отсюда следует, что $\operatorname{ord} x=4$. Следовательно, $\operatorname{ord} s=2$, т. е. $s*s=[e,e]$. Аналогично равенству $x*s=[x,x]$ доказывается, что $y*s=[y,y]$ и $z*s=[z,z]$. Таким образом, пять элементов $e$, $s$, $x$, $y$, $z$ образуют подгруппу двузначной группы $X$, изоморфную $Y_2$. Лемма доказана.Из леммы 11.2 следует, что если $(x,y)$ – специальная пара и $x*y=[z,z]$, то $(x,z)$ и $(y,z)$ – тоже специальные пары и $x*z=[y,y]$ и $y*z=[x,x]$. Такие тройки элементов $(x,y,z)$ мы будем называть специальными тройками. Элементы специальной тройки всегда имеют порядок $4$, и для них выполнено $x^2=y^2=z^2$. Предложение 11.3. Пусть $X$ – специальная инволютивная коммутативная двузначная группа. Тогда (a) все элементы двузначной группы $X$ имеют порядки 1, 2 или 4; (b) все элементы порядка $4$ двузначной группы $X$ имеют один и тот же квадрат, т. е. существует элемент $s\in X$ такой, что $x^2=s$ для всех элементов $x\in X$ порядка 4. Доказательство этого предложения будет разбито на несколько лемм. Лемма 11.4. Предположим, что в инволютивной коммутативной двузначной группе $X$ порядок элемента $x$ равен $4$, а порядок элемента $q$ не равен ни $1$, ни $2$, ни $4$. Положим $s=x^2$. Тогда найдется последовательность $\{x_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ элементов двузначной группы $X$ такая, что $x_0=x$ и имеют место равенства Более того, такая последовательность единственна с точностью до обращения знака индекса $n$, т. е. с точностью до одновременной перестановки $x_n\leftrightarrow x_{-n}$ для всех $n$. При этом $x_1\ne x_{-1}$ и порядок каждого из элементов $x_1$ и $x_{-1}$ не равен ни $1$, ни $2$, ни $4$. Доказательство. Положим $x_0=x$. Так как $\operatorname{ord} q\ne 4$, из леммы 11.2 следует, что пара $(q,x)$ неспециальная. Так как порядки элементов $q$ и $x$ больше $2$, отсюда следует, что $q*x=[x_1,x_{-1}]$ для некоторых элементов $x_1,x_{-1}\in X$ таких, что $x_1\ne x_{-1}$. Элемент $s=x^2$ имеет порядок $2$, и выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
[x*x_1,x*x_{-1}]=x*(x*q)=(x*x)*q=[e,s]*q=[q,q,sq,sq].
\end{equation*}
\notag
$$
При этом Следовательно, Из того, что $q\in x*x_1$, следует, что элемент $q^2$ принадлежит мультимножеству
$$
\begin{equation*}
(x*x_1)*(x*x_1)=(x*x)*(x_1*x_1)=[e,s]*[e,x_1^2]= [e,e,s,s,x_1^2,x_1^2,s x_1^2,s x_1^2].
\end{equation*}
\notag
$$
Если бы порядок элемента $x_1$ был равен $1$, $2$ или $4$, то порядок элемента $x_1^2$ был бы равен $1$ или $2$ и мультимножество $(x*x_1)*(x*x_1)$ состояло бы из элементов порядков 1 и 2. Этого быть не может, так как порядок элемента $q^2$ не равен ни $1$, ни $2$. Значит, $\operatorname{ord} x_1\notin\{1,2,4\}$. Аналогично, $\operatorname{ord} x_{-1}\notin\{1,2,4\}$. Теперь из предложения 3.2, (c), следует, что $s x_1\ne x_1$ и $s x_{-1}\ne x_{-1}$. Однако при этом
$$
\begin{equation*}
[s x_1,s x_{-1}]=s [x_1,x_{-1}]=s(x*q)=(sx)*q=x*q=[x_1,x_{-1}].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $s x_1=x_{-1}$ и $s x_{-1}=x_1$. Равенства (49) при $k=1$ имеют вид Эти равенства позволяют однозначно рекуррентно определить элементы последовательности $\{x_n\}$, начиная с уже определенных элементов $x_0$, $x_1$ и $x_{-1}$. Действительно, элементы $x_n$ с положительными номерами определяются последовательно по возрастанию $n$. По построению при $n\geqslant 1$ элемент $x_{n}$ лежит в мультимножестве $q*x_{n-1}$, поэтому по лемме 2.2 мультимножество $q*x_n$ действительно содержит элемент $x_{n-1}$, и мы можем и должны взять второй элемент этого мультимножества в качестве $x_{n+1}$. Аналогично, элементы $x_n$ с отрицательными номерами однозначно определяются последовательно по убыванию $n$.Докажем, что $q^k*x_n=[x_{n+k},x_{n-k}]$, индукцией по $k$. При $k=0$ и $k=1$ доказываемое утверждение верно по построению. При $k\geqslant 2$, предполагая, что утверждение верно для $k-2$ и $k-1$, докажем его для $k$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q*q^{k-1}*x_n&=q*(q^{k-1}*x_n)=q*[x_{n+k-1},x_{n-k+1}] \\ &=[x_{n+k},x_{n+k-2},x_{n-k+2},x_{n-k}], \\ q*q^{k-1}*x_n&=(q*q^{k-1})*x_n=[q^{k-2},q^k]*x_n= [x_{n+k-2},x_{n-k+2},q^k*x_n], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $q^k*x_n=[x_{n+k},x_{n-k}]$. Равенство (50) достаточно доказать при $n\geqslant 0$, и оно тоже доказывается индукцией по $n$. Действительно, база индукции при $n=0$ и $n=1$ верна. Индукционный переход получается при помощи действия элемента $s$ на равенстве (53): если $sx_{n-1}=x_{-n+1}$ и $s x_n=x_{-n}$, то
$$
\begin{equation*}
[x_{-n+1},x_{-n-1}]=q*x_{-n}=q*(s x_n)=s(q*x_n)= s [x_{n+1},x_{n-1}]=[s x_{n+1},x_{-n+1}],
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $s x_{n+1}=x_{-n-1}$. Докажем теперь равенства (51) и (52). Так как $q*x=[x_1,s x_1]$, то $x_1$ лежит в мультимножествах $q*x$ и $(s q)*x$. По лемме 2.2 отсюда следует, что элементы $q$ и $sq$ лежат в мультимножестве $x*x_1$. Однако $\operatorname{ord} q>4$, поэтому согласно предложению 3.2, (c), $q\ne sq$. Следовательно, $x*x_1=[q,sq]$. Наконец, имеем откуда по лемме 2.2 следует, что элемент $s q^2$ лежит в мультимножестве $x_1*x_1$. Так как $\operatorname{ord} q>4$, то $\operatorname{ord} q^2>2$ и, значит, $s q^2\ne e$. Следовательно, $x_1*x_1=[e,s q^2]$. Лемма доказана.Лемма 11.5. Пусть $(x,y,z)$ – специальная тройка в $X$, $s=x^2=y^2=z^2$ и $q\in X$ – элемент, порядок которого не равен ни $1$, ни $2$, ни $4$. Пусть $\{x_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, $\{y_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ и $\{z_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ – последовательности, удовлетворяющие условиям леммы 11.4 для пар $(x,q)$, $(y,q)$ и $(z,q)$ соответственно. Тогда для всех $n\in\mathbb{Z}$ имеют место равенства Кроме того, сделав, если нужно, перестановку $z_{n}\leftrightarrow z_{-n}$ одновременно для всех $n\in\mathbb{Z}$, мы можем добиться того, что дополнительно будут выполнены равенства Доказательство. Имеем откуда следует, что $x_n*y=[z_n,s z_n]$. Формулы для $y_n*z$, $z_n*x$, $x*y_n$, $y*z_n$ и $z*x_n$ доказываются аналогично. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x*y)*(q*q)&=[z,z]*[e,q^2]=[z,z,z,z,z_2,z_2,sz_2,sz_2], \\ (q*x)*(q*y)&=[x_1,s x_1]*[y_1,s y_1]= [x_1*y_1,x_1*y_1,s (x_1*y_1),s (x_1*y_1)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $s z=z$, отсюда следует, что либо $x_1*y_1=[z,z_2]$, либо $x_1*y_1=[z,s z_2]=[z,z_{-2}]$. Во втором случае нужно сделать перестановку $z_n\leftrightarrow z_{-n}$ одновременно для всех $n$. Таким образом мы добьемся выполнения равенства $x_1*y_1=[z,z_2]$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q*x_1*y_1&=(q*x_1)*y_1=[x,x_2]*y_1=[z_1,s z_1,x_2*y_1], \\ q*x_1*y_1&=q*(x_1*y_1)=q*[z,z_2]=[z_1,s z_1,z_1,z_3], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $x_2*y_1=[z_1,z_3]$. Аналогично, $x_1*y_2=[z_1,z_3]$. Повторяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, мы получим, что либо $y_1*z_1=[x,x_2]$, либо $y_{1}*z_1=[x,x_{-2}]$. Однако теперь мы уже не можем делать перестановку $x_{n}\leftrightarrow x_{-n}$, так как она испортила бы уже доказанное равенство $x_1*y_1=[z,z_2]$. Поэтому нам нужно доказать, что имеет место именно равенство $y_1*z_1=[x,x_2]$, другим способом. Отметим, что в случае $x_2=x_{-2}$ это равенство уже доказано. Поэтому нам нужно рассмотреть только случай $x_2\ne x_{-2}$. В этом случае $x_2\ne x$. Действительно, если бы выполнялось равенство $x=x_2$, то имело бы место равенство $x_{-2}=s x_2=s x=x=x_2$. Теперь заметим, что из уже доказанных равенств $x*y_1=[z_1,s z_1]$ и $x_2*y_1=[z_1,z_3]$ и леммы 2.2 следует, что элементы $x$ и $x_2$ лежат в мультимножестве $y_1*z_1$. Так как $x_2\ne x$, отсюда следует требуемое равенство $y_1*z_1=[x,x_2]$. Совершенно аналогично, $z_1*x_1=[y,y_2]$. Формулы для $y_2*z_1$, $y_1*z_2$, $z_2*x_1$, $z_1*x_2$ доказываются теперь аналогично формулам для $x_2*y_1$ и $x_1*y_2$. Лемма доказана. Лемма 11.6. Пусть $(x,y)$ – специальная пара в инволютивной коммутативной группе $X$. Тогда в $X$ не существует элемента $q$ такого, что $q^2=x$. Доказательство. Предположим, что такой элемент $q$ существует. Пусть $x*y=[z,z]$ и $s=x^2=y^2=z^2$, и пусть $\{x_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, $\{y_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ и $\{z_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ – последовательности, удовлетворяющие условиям леммы 11.5. Имеем значит, либо $x_2=e$, либо $x_2=s$. Следовательно, либо $x_2*y_1=[y_1,y_1]$, либо $x_2*y_1=[s y_1,s y_1]$. Однако по лемме 11.5 имеем $x_2*y_1=[z_1,z_3]$, значит, либо $y_1=z_1$, либо $s y_1=z_1$, т. е. $y_1=z_{-1}$. В каждом из этих случаев мы получаем, что мультимножество $q*y_1$ содержит элементы $y$ и $z$. Так как $y\ne z$, имеем $q*y_1=[y,z]$. Наконец,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [y_1,y_1,x*y_1]&=[e,x]*y_1=(q*q)*y_1=q*(q*y_1)=q*[y,z] \\ &=[y_1,y_{-1},z_1,z_{-1}]=[y_1,y_{-1},y_1,y_{-1}], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $x*y_1=[y_{-1},y_{-1}]$. Однако по формуле из леммы 11.5 имеем $x*y_1=[y_{1},y_{-1}]$. Получаем противоречие, так как $y_1\ne y_{-1}$, что завершает доказательство леммы. Лемма 11.7. Никакая специальная инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ не содержит элементов порядка $3$. Доказательство. Предположим противное: пусть $q\in X$ – элемент порядка $3$, тогда $q^2=q$, т. е. $q*q=[e,q]$. Пусть $(x,y,z)$ – какая-нибудь специальная тройка в $X$, $s=x^2=y^2=z^2$ и $\{x_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, $\{y_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ и $\{z_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ – последовательности, удовлетворяющие условиям леммы 11.5. Имеем Значит, либо $x_2=x_1$, либо $x_2=x_{-1}=s x_1$. Если бы было верно равенство $x_2=x_1$, то мы получили бы, что $q*x_1=[x_1,x]$ и, значит, Это неверно, так как $x_{1}\ne x_{-1}$. Следовательно, $x_2=s x_1$. Аналогично, $y_2=s y_1$ и $z_2=s z_1$. Теперь, пользуясь равенствами $x_1*x_1=[e,s q]$, $x_1*z=[y_1,s y_1]$, $x_1*y_1=[z,z_2]$ и $x_1*z_1=[y,y_2]$, мы получаем что дает противоречие, так как $y_1\ne y_{-1}$. Это завершает доказательство леммы. Доказательство предложения 11.3, (a). Предположим, что двузначная группа $X$ содержит элемент $q$, порядок которого не равен ни 1, ни 2, ни 4. Согласно лемме 11.7 порядок $q$ не равен $3$; таким образом, $\operatorname{ord} q>4$. Пусть $(x,y,z)$ – какая-нибудь специальная тройка в $X$, $s=x^2=y^2=z^2$ и $\{x_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, $\{y_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ и $\{z_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ – последовательности, удовлетворяющие условиям леммы 11.5. Используя свойства этих последовательностей, получим откуда следует, что элемент $s z_2$ совпадает с одним из трех элементов $z$, $z_2$ и $z_4$. Если бы имело место равенство $s z_2=z_2$, то мы бы получили, что $q^2*z=[z_2,z_2]$. Так как $\operatorname{ord} q^2>2$ и $\operatorname{ord} z=4$, отсюда следовало бы, что $(q^2,z)$ – специальная пара, что невозможно по лемме 11.6. Следовательно, $s z_2\ne z_2$. Если бы имело место равенство $s z_2=z$, то мы бы опять получили, что что, как мы уже доказали, невозможно. Значит, $s z_2\ne z$.Таким образом, $s z_2=z_4$. Тогда
$$
\begin{equation*}
[z_3,z_5]=q*z_4=q*(s z_2)=s (q*z_2)=s [z_1,z_3]=[s z_1,s z_3].
\end{equation*}
\notag
$$
Если $z_3=s z_3$, то $q^3*z=[z_3,z_3]$. Значит, либо $\operatorname{ord} q^3\leqslant 2$, либо $(q^3,z)$ – специальная пара и тогда по лемме 11.2 порядок элемента $q^3$ равен $4$. Таким образом, в любом случае порядок элемента $q^3$ делит $4$ и, значит, порядок элемента $q$ делит $12$. С другой стороны, порядок элемента $q$ больше $4$, значит, $\operatorname{ord} q=6$ или $\operatorname{ord} q=12$. Тогда либо элемент $q^2$, либо элемент $q^4$ имеет порядок $3$, что невозможно по лемме 11.7. Следовательно, $z_3\ne s z_3$, и, значит, $z_3=s z_1$. Тогда поэтому $z=z_2$. Но тогда опять же $s z_2=z_2$, что, как мы уже доказали, невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство части (a) предложения. Лемма 11.8. Пусть $x$ и $p$ – два элемента порядка $4$ в инволютивной коммутативной двузначной группе $X$ такие, что $x^2\ne p^2$. Тогда найдется элемент $a\in X$ порядка $4$ такой, что $a^2=x^2 p^2$ и Доказательство. Так как $x^2\ne p^2$, из леммы 11.2 следует, что пара $(x,p)$ не специальная. Значит, $x*p=[a,b]$ для некоторых $a\ne b$. Из леммы 2.2 теперь следует, что $p\in x*a$. При этом, с одной стороны, а с другой стороны, $x^2 p\ne p$ (по предложению 3.2, (c), так как $p^2\ne x^2$). Следовательно, $x*a=[p,x^2 p]$. Аналогично, $p*a=[x,p^2 x]$. Теперь имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x*x)*(a*a)&=[e,x^2]*[e,a^2]=[e,e,x^2,x^2,a^2,a^2,x^2 a^2,x^2 a^2], \\ (x*a)*(x*a)&=[p,x^2 p]*[p,x^2 p]=[e,e,x^2,x^2,p^2,p^2,x^2p^2,x^2 p^2], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому либо $a^2=p^2$, либо $a^2=x^2p^2$. Аналогично из рассмотрения произведения $p*p*a*a$ следует, что либо $a^2=x^2$, либо $a^2=x^2 p^2$. Так как $x^2\ne p^2$, отсюда следует, что $a^2=x^2 p^2$. Так как $x^2$ и $p^2$ – различные элементы порядка $2$, мы получаем, что $\operatorname{ord} a^2=2$, значит, $\operatorname{ord} a=4$. Кроме того, мы видим, что $a^2\ne x^2$, так как $p^2\ne e$. Значит, по предложению 3.2, (c), имеем $x^2 a\ne a$. Однако следовательно, $b=x^2 a$. Лемма доказана. Доказательство предложения 11.3, (b). Пусть $(x,y,z)$ – какая-нибудь специальная тройка в $X$ и $s=x^2=y^2=z^2$. Предположим, что найдется элемент $p\in X$ порядка $4$ такой, что $p^2=t\ne s$. Применяя лемму 11.8 к парам $(x,p)$, $(y,p)$ и $(z,p)$, получим, что в группе $X$ имеются элементы $a$, $b$ и $c$ порядка $4$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &&a^2=b^2&=c^2=st,&& \\ x*p&=[a,s a],&\qquad x*a&=[p,s p],&\qquad p*a&=[x,t x], \\ y*p&=[b,s b],&\qquad y*b&=[p,s p],&\qquad p*b&=[y,t y], \\ z*p&=[c,s c],&\qquad z*c&=[p,s p],&\qquad p*c&=[z,t z]. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x*y*p&=(x*y)*p=[z,z]*p=[c,c,s c,s c], \\ x*y*p&=x*(y*p)=x*[b,s b]=[x*b,s(x*b)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом по лемме 11.2 пара $(x,b)$ не специальная, так как $x^2\ne b^2$. Значит, мультимножество $x*b$ состоит из двух разных элементов. Следовательно, $x*b=[c,s c]$. Теперь из леммы 2.2 следует, что элемент $x$ принадлежит мультимножеству $b*c$. Значит, элемент $t x=st x=b^2 x$ тоже принадлежит мультимножеству При этом $t x\ne x$ по предложению 3.2, (c), так как $x^2\ne t$. Таким образом, $b*c=[x,t x]$. Наконец, мы получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [c,c,c,c]&=[e,c^2]*c=[e,b^2]*c=(b*b)*c=b*(b*c) \\ &=b*[x,t x]=[c,s c,t c,st c]=[c,s c,s c,c], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому $s c=c$, что невозможно согласно предложению 3.2, (c), так как $c^2\ne s$. Таким образом, $p^2=s$ для всех элементов $p\in X$ порядка $4$. Предложение 11.3 доказано полностью. Доказательство теоремы 11.1. Согласно предложению 11.3 все элементы двузначной группы $X$ имеют порядки $1$, $2$ или $4$ и при этом в $X$ имеется элемент $s$ порядка $2$ такой, что $s=x^2$ для всех элементов $x\in X$ порядка $4$. Так как $X$ не содержит однозначных прямых сомножителей, то из предложения 6.2 вытекает, что $s$ – единственный элемент порядка $2$ в $X$. Таким образом, $x^2=s$ для всех элементов $x\in X$, кроме $e$ и $s$. Элементы $e$ и $s$ образуют двухэлементную подгруппу двузначной группы $X$. Рассмотрим двузначную факторгруппу $V=X/\{e,s\}$. Имеем $sx=x$ для всех элементов $x$, кроме $e$ и $s$, поэтому $V$ есть множество $X$, в котором два элемента $e$ и $s$ отождествлены в один элемент $e$ и никаких других отождествлений не произведено. Равенство $x^2=s$ превращается в двузначной группе $V$ в равенство $x^2=e$. Таким образом, все неединичные элементы двузначной группы $V$ имеют порядок $2$. Согласно предложению 3.2, (a), мы получаем, что $V$ есть булева группа с удвоенной операцией умножения. Тогда $X\cong Y_V$. Теорема доказана.
12. Завершение классификации в конечно порожденном случаеВ этом разделе мы собираем вместе результаты разделов 2–11 и доказываем теорему 1.10. Из предложения 6.3 и теорем 8.1, 9.1 и 11.1 следует, что всякая конечно порожденная инволютивная коммутативная двузначная группа $X$ изоморфна одной из двузначных групп $X^{\mathbf{a}}_A\times C_2^m$, где $A$ – конечно порожденная абелева группа, $X^{\mathbf{u}}_n\times C_2^m$ и $Y_n\times C_2^m$. Учитывая изоморфизм $X_A^{\mathbf{a}}\times C_2^m\cong X_{A\times C_2^m}$, получаем, что $X$ изоморфна одной из двузначных групп, перечисленных в теореме 1.10. Теперь нам необходимо показать, что все эти двузначные группы попарно не изоморфны со следующими исключениями:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X^{\mathbf{a}}_{m\times 2,4}\cong X^{\mathbf{u}}_1\times C_2^m\cong Y_1\times C_2^m, \\ X^{\mathbf{a}}_{m\times 2,4,4}\cong X^{\mathbf{u}}_2\times C_2^m. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Первый из этих исключительных изоморфизмов очевиден; второй следует из изоморфизма $X^{\mathbf{a}}_{4,4}\cong X^{\mathbf{u}}_2$ (см. пример 1.11 и теорему 9.1). Двузначные группы делятся на два типа: специальные и неспециальные – и двузначные группы разных типов не могут быть изоморфны друг другу. Согласно предложению 4.3 специальными являются двузначные группы $Y_n\times C_2^m$ при $n\geqslant 2$, а все остальные двузначные группы, перечисленные в теореме 1.10, неспециальные. Специальная двузначная группа $Y_n\times C_2^m$ состоит из $2^m(2^n+1)$ элементов, поэтому эти группы для разных пар $(n,m)$ попарно не изоморфны. Двузначная группа $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m$ состоит из $2^m(2^{2n-1}+2^{n-1})$ элементов, поэтому для разных пар $(n,m)$ эти группы тоже попарно не изоморфны. Чтобы завершить доказательство теоремы 1.10, нам остается доказать следующие два предложения. Предложение 12.1. Если $n\geqslant 3$ и $m\geqslant 0$, то двузначная группа $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m$ не изоморфна ни одной из двузначных групп $X^{\mathbf{a}}_{A}$ основной серии. Предложение 12.2. Пусть $A$ и $B$ – конечно порожденные абелевы группы такие, что двузначные группы $X_A^{\mathbf{a}}$ и $X_B^{\mathbf{a}}$ изоморфны. Тогда группы $A$ и $B$ тоже изоморфны. Начнем со следующей простой леммы, которая будет использоваться в доказательстве обоих предложений. Лемма 12.3. Пусть $A$ – абелева группа и $\pi\colon A\to X_A^{\mathbf{a}}$ – гомоморфизм факторизации по антиподальной инволюции $\iota_{\mathbf{a}}$. Тогда $\operatorname{ord}\pi(a)=\operatorname{ord} a$ для всех $a\in A$. Доказательство. По определению косетной двузначной группы имеем для всех $k$. Из этого равенства по индукции легко следует, что $\pi(a)^k=\pi(a^k)$ для всех $a\in A$ и $k>0$. Так как $\operatorname{ord} \pi(a)$ есть по определению наименьшее $k$ такое, что $\pi(a)^k=e$, и прообраз единицы двузначной группы $X_A^{\mathbf{a}}$ при отображении $\pi$ состоит только из единицы группы $A$, то $\operatorname{ord}\pi(a)=\operatorname{ord}a$. Лемма доказана. Доказательство предложения 12.1. Двузначная группа $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m$ состоит из элементов порядков $1$, $2$ и $4$. Поэтому изоморфизм $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m\cong X^{\mathbf{a}}_A$ может иметь место, только если все элементы двузначной группы $X^{\mathbf{a}}_A$ имеют порядки $1$, $2$ и $4$. Согласно лемме 12.3 это эквивалентно тому, что все элементы абелевой группы $A$ имеют порядки $1$, $2$ и $4$, т. е. $A\cong C_4^p\times C_2^q$ для некоторых $p,q\geqslant 0$. Тогда двузначная группа $X^{\mathbf{a}}_A$ состоит из $2^q(2^{2p-1}+2^{p-1})$ элементов, откуда следует, что $p=n$ и $q=m$. Таким образом, единственная из двузначных групп основной серии, которая могла бы быть изоморфна двузначной группе $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m$, – это двузначная группа $X^{\mathbf{a}}_{C_4^n\times C_2^m}\cong X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}\times C_2^m$. Легко видеть, что в двузначных группах $X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}$ и $X^{\mathbf{u}}_n$ все элементы порядка $2$ являются квадратами. Поэтому по предложению 6.2 эти две двузначные группы не содержат однозначных прямых слагаемых. Таким образом, в силу предложения 6.3 из изоморфизма $X_n^{\mathbf{u}}\times C_2^m\cong X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}\times C_2^m$ следовал бы изоморфизм $X_n^{\mathbf{u}}\cong X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}$. Осталось заметить, что по теореме 9.1 двузначные группы $X_n^{\mathbf{u}}$ и $X^{\mathbf{a}}_{n\times 4}$ не изоморфны при $n\geqslant 3$. Предложение доказано. Обозначим через $N_k(A)$ (соответственно $N_k(X)$) количество элементов порядка $k$ в абелевой группе $A$ (соответственно в инволютивной коммутативной двузначной группе $X$). Следующее хорошо известное свойство конечных абелевых групп легко выводится из теоремы их классификации. Лемма 12.4. Если конечные абелевы группы $A$ и $B$ таковы, что $N_k(A)=N_k(B)$ для всех $k$, то $A$ и $B$ изоморфны. Следствие 12.3. Если конечно порожденные абелевы группы $A$ и $B$ таковы, что $N_k(A)=N_k(B)$ для всех $k$ и ранги свободных частей абелевых групп $A$ и $B$ равны друг другу, то $A$ и $B$ изоморфны. Доказательство. При проекции $\pi\colon A\to X^{\mathbf{a}}_A$ каждая пара $\{a,a^{-1}\}$ взаимно обратных элементов группы $A$ склеивается в один элемент двузначной группы $X^{\mathbf{a}}_A$. При этом $a=a^{-1}$, если $\operatorname{ord} a=2$, и $a\ne a^{-1}$, если $\operatorname{ord}a >2$. Поэтому доказываемое утверждение сразу следует из леммы 12.3. Лемма 12.7. Пусть $A$ – конечно порожденная абелева группа. Тогда ранг свободной части группы $A$ равен наибольшей мощности системы элементов $x_1,\dots,x_r\in X_A^{\mathbf{a}}$ таких, что ни одно из мультимножеств $x_1^{n_1}*\cdots*x_r^{n_r}$, где $n_1,\dots,n_r\in\mathbb{Z}$ и хотя бы одно из чисел $n_i$ ненулевое, не содержит единицу $e$. Доказательство. Пусть $a_1,\dots,a_r$ – элементы группы $A$ и $x_i=\pi(a_i)$, $i=1,\dots,r$; тогда мультимножество $x_1^{n_1}*\cdots*x_r^{n_r}$ состоит из $2^r$ элементов $\pi(a_1^{\pm n_1}\cdots a_r^{\pm n_r})$, отвечающих всевозможным выборам знаков $\pm$. Поэтому условие, что ни один из этих элементов не равен $e$, если хотя бы одно из чисел $n_i$ ненулевое, эквивалентно условию отсутствия нетривиального соотношения $a_1^{m_1}\cdots a_r^{m_r}=e$. Лемма доказана. Доказательство предложения 12.2. Согласно леммам 12.6 и 12.7 числа $N_k(A)$ и ранг свободной части конечно порожденной абелевой группы $A$ однозначно восстанавливаются по структуре двузначной группы $X_A^{\mathbf{a}}$. Поэтому предложение 12.2 вытекает из следствия 12.3. Тем самым теорема 1.10 доказана. 13. Не конечно порожденные двузначные группыОбсудим теперь, в какой мере наша теорема классификации распространяется на случай не конечно порожденных инволютивных коммутативных двузначных групп. Имеются две естественные постановки задачи: мы можем рассматривать двузначные группы без топологии или топологические двузначные группы. Первая задача будет рассмотрена в этом разделе, вторая – в разделах 14 и 15. Естественно, ни в том, ни в другом случае мы не можем ожидать полной теоремы классификации, такой как теорема 1.10 в конечно порожденном случае. Действительно, в не конечно порожденном случае теорема классификации отсутствует даже для однозначных коммутативных групп. Поэтому наилучший результат, на который мы можем рассчитывать, – это решение задачи классификации инволютивных коммутативных двузначных групп “по модулю” классификации однозначных коммутативных групп. Основным результатом настоящего раздела будет следующая теорема. Теорема 13.1. Всякая инволютивная коммутативная двузначная группа изоморфна одной из следующих двузначных групп: Двузначные группы из разных серий никогда не изоморфны друг другу. Две двузначные группы, обе из серии 2) или обе из серии 3), изоморфны друг другу в том и только том случае, когда соответствующие им булевы группы $V$ изоморфны и одновременно соответствующие им булевы группы $W$ изоморфны. Чтобы придать теореме 13.1 законченную форму, хотелось бы выяснить ответ на следующий вопрос. Вопрос 13.2. Бывает ли так, что абелевы группы $A$ и $B$ не изоморфны, а двузначные группы $X_A^{\mathbf{a}}$ и $X_B^{\mathbf{a}}$ изоморфны? Ответ на этот вопрос для произвольных абелевых групп нам неизвестен. Напомним, что в случае конечно порожденных абелевых групп отрицательный ответ был получен в предложении 12.2. Оно было доказано на основе подсчета количеств элементов разных порядков; это доказательство, конечно же, никак не обобщается на не конечно порожденный случай. Доказательство теоремы 13.1 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.10. Пусть $X$ – произвольная инволютивная коммутативная двузначная группа. Так же, как в доказательстве теоремы 1.10, рассмотрим три случая:
В первом случае по теореме 8.1 двузначная группа $X$ изоморфна косетной двузначной группе вида $X_A^{\mathbf{a}}$, где $A$ – абелева группа. Напомним, что в доказательстве теоремы 8.1 мы нигде не использовали конечную порожденность (см. замечание 8.2). Во втором и третьем случае прежде всего заметим, что предложения 6.2 и 6.3 легко переносятся на не конечно порожденный случай. Единственное отличие состоит в том, что в доказательстве предложения 6.3 обычную индукцию по размерности необходимо стандартным образом заменить трансфинитной индукцией. Таким образом, от произвольной инволютивной коммутативной двузначной группы единственным с точностью до изоморфизма способом отщепляется максимальный однозначный сомножитель, являющийся булевой группой. Это позволяет свести теорему классификации к случаю двузначных групп $X$, не содержащих однозначных прямых слагаемых, т. е. (по предложению 6.2) таких двузначных групп $X$, в которых всякий элемент порядка $2$ является квадратом элемента порядка $4$. Если такая двузначная группа $X$ специальна, то $X$ изоморфна группе вида $Y_V$ согласно теореме 11.1, в доказательстве которой конечная порожденность тоже нигде не использовалась. Нам осталось рассмотреть случай, когда $X$ – неспециальная двузначная группа, полностью состоящая из элементов порядков 1, 2 и 4, в которой каждый элемент порядка $2$ является квадратом элемента порядка $4$, и доказать, что в этом случае $X$ изоморфна либо группе вида $X_{C_4^{\omega}}^{\mathbf{a}}$, где $\omega$ – некоторый (возможно, бесконечный) кардинал, либо группе вида $X_V^{\mathbf{u}}$, где $V\cong C_2^{\omega}$ – булева группа (возможно, бесконечная). Здесь $A^\omega$ обозначает прямую сумму (а не прямое произведение) $\omega$ экземпляров абелевой группы $A$. Этот случай наиболее содержательный, и он требует некоторых дополнительных соображений, помимо содержащихся в разделах 9 и 10. Более точно, на случай не обязательно конечно порожденной двузначной группы $X$ (и, значит, не обязательно конечной булевой группы $V$ ее элементов порядка $2$) дословно переносятся все рассуждения разделов 9 и 10, кроме доказательства леммы 10.3. Таким образом, нам достаточно доказать следующее утверждение. Лемма 13.3. Пусть $V$ – бесконечная булева группа и $\Pi\colon V\to U$ – проектор на некоторую конечную подгруппу $U\subset V$, причем $\dim U\geqslant 3$. Тогда гомоморфизм $\Pi_*\colon \mathcal{H}(V)\to\mathcal{H}(U)$ инъективен. Нам понадобятся следующие две технические леммы. Лемма 13.4. Пусть $\varphi$ – инволютивный симметрический квазикоцикл на булевой группе $W$, для которого условия выполнены в точности. Рассмотрим отображение $\delta\varphi\colon W\times W\times W\to W$, заданное по формуле Квазикоцикл $\varphi$ когомологически тривиален тогда и только тогда, когда существует отображение $\lambda\colon W\times W\to\mathbb{F}_2$ такое, что $\lambda(u,u)=\lambda(e,u)=\lambda(u,e)=0$ для всех $u\in W$ и для всех $u,v,w\in W$. Доказательство. Легко видеть, что всякий квазикоцикл, когомологичный квазикоциклу $\varphi$ и удовлетворяющий условиям (54), (55) в точности, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\varphi'(u,v)= \varphi(u,v)\chi(u)\chi(v)\chi(uv)u^{\lambda(u,v)}v^{\lambda(v,u)}
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторых отображений $\chi\colon W\to W$ и $\lambda\colon W\times W\to\mathbb{F}_2$ таких, что $\chi(e)=e$ и $\lambda(u,u)=\lambda(e,u)=\lambda(u,e)=0$ для всех $u\in W$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\delta\varphi')(u,v,w)&=(\delta\varphi)(u,v,w) u^{\lambda(uv,w)+\lambda(u,vw)+\lambda(u,v)} \\ &\qquad\times v^{\lambda(v,w)+\lambda(uv,w)+\lambda(vw,u)+\lambda(v,u)} w^{\lambda(w,v)+\lambda(w,uv)+\lambda(wv,u)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если квазикоцикл $\varphi$ когомологически тривиален, то в качестве $\varphi'$ можно взять тривиальный квазикоцикл, и мы получим равенство (57). Обратно, если найдется отображение $\lambda$, удовлетворяющее (57), то квазикоцикл $\varphi$ эквивалентен настоящему инволютивному симметрическому коциклу
$$
\begin{equation*}
\varphi'(u,v)=\varphi(u,v)u^{\lambda(u,v)}v^{\lambda(v,u)},
\end{equation*}
\notag
$$
для которого условие $(\delta\varphi')(u,v,w)=1$ и условия (54), (55) выполнены в точности. По лемме 9.6 коцикл $\varphi'$ когомологически тривиален, значит, и квазикоцикл $\varphi$ тоже когомологически тривиален. Лемма доказана. Лемма 13.5. Инволютивный симметрический квазикоцикл на бесконечной булевой группе $V$ когомологически тривиален, если его сужения на все конечные подгруппы вдоль всевозможных проекторов когомологически тривиальны. Доказательство. Пусть $\varphi$ – инволютивный симметрический квазикоцикл на $V$, ограничения которого вдоль всевозможных проекторов на конечные подгруппы когомологически тривиальны. Заменив квазикоцикл $\varphi$ на эквивалентный, мы можем считать, что условия (54), (55) выполнены в точности. Рассмотрим отображение $\delta\varphi\colon V\times V\times V\to V$, заданное по формуле (56). Обозначим через $\mathcal{F}$ множество конечных подгрупп группы $V$. Согласно лемме 13.4 для каждого $U\in\mathcal{F}$ найдется отображение $\lambda\colon U\times U\to\mathbb{F}_2$ такое, что $\lambda(u,u)=\lambda(u,e)=\lambda(e,u)=0$ для всех $u\in U$ и равенство (57) выполнено для всех $u,v,w\in U$. Обозначим через $\Lambda_U$ множество всех отображений $\lambda$, обладающих этими свойствами. Тогда $\Lambda_U$ – непустое конечное множество. Очевидно, что если $U'\subset U$, то $\lambda\big|_{U'}\in\Lambda_{U'}$ для всякого $\lambda\in\Lambda_U$. (Для простоты здесь и далее в подобных ситуациях мы пишем $\lambda\big|_{U'}$ вместо $\lambda\big|_{U'\times U'}$.) Докажем, что можно выбрать представителей $\lambda_U\in\Lambda_U$, $U\in\mathcal{F}$, так, что для любых двух подгрупп $U_1,U_2\in\mathcal{F}$ ограничения отображений $\lambda_{U_1}$ и $\lambda_{U_2}$ на $U_1\cap U_2$ совпадают. Такой выбор производится следующим образом. По теореме Цермело на множестве $\mathcal{F}$ имеется вполне упорядочение $\prec$. При этом мы можем считать, что наименьшей по отношению к этому упорядочению является тривиальная подгруппа $\{e\}$. Выберем представителей $\lambda_U$ в порядке, заданном упорядочением $\prec$, при помощи трансфинитной рекурсии. Каждый представитель $\lambda_U$ будет выбираться так, чтобы выполнялось следующее свойство: Рекурсия начинается с тривиального отображения $\lambda_{\{e\}}$ на тривиальной подгруппе $\{e\}$. Докажем, что представитель $\lambda_U$ действительно может быть выбран в соответствии с условием $(*)$, если предыдущие представители $\lambda_{U'}$, $U'\prec U$, были выбраны так, что для каждого из них условие $(*)$ выполнялось. Предположим противное: ни для одного из отображений в множестве $\Lambda_U$ при выборе его в качестве $\lambda_U$ не будет выполнено условие $(*)$. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_N$ – все элементы конечного множества $\Lambda_U$. Тогда для каждого из отображений $\lambda_j$ найдутся набор подгрупп $U_1^{(j)},\dots,U_{k_j}^{(j)}\in\mathcal{F}$ со свойством $U_1^{(j)}\prec\cdots\prec U_{k_j}^{(j)}=U$ и подгруппа $W_j\in \mathcal{F}$, содержащая $U_1^{(j)},\dots,U_{k_j}^{(j)}$, такие, что набор отображений $\lambda_{U_1^{(j)}},\dots,\lambda_{U_{k_j-1}^{(j)}},\lambda_j$ не может быть продолжен до отображения, принадлежащего множеству $\Lambda_{W_j}$. Объединим наборы подгрупп $U_1^{(j)},\dots,U_{k_j}^{(j)}$, $j=1,\dots,N$, удалив повторяющиеся, и упорядочим получившийся конечный набор подгрупп при помощи $\prec$. В результате получим конечную последовательность подгрупп $U_1\prec \cdots\prec U_k=U$. Пусть $W$ – конечная подгруппа группы $V$, порожденная всеми подгруппами $W_1,\dots,W_N$. Тогда ни для какого $j$ набор отображений $\lambda_{U_1},\dots,\lambda_{U_{k-1}},\lambda_j$ не может быть продолжен до отображения, принадлежащего множеству $\Lambda_{W}$. Однако из условия $(*)$ для подгруппы $U_{k-1}\prec U$ следует, что найдется отображение $\mu\in\Lambda_W$ такое, что $\mu\big|_{U_i}=\lambda_{U_i}$, $i=1,\dots,k-1$. Так как $\mu\big|_U$ – одно из отображений $\lambda_1,\dots,\lambda_N$, мы получаем противоречие, которое завершает доказательство возможности построения отображений $\lambda_U$. Из условия $(*)$, в частности, следует, что для любых подгрупп $U_1, U_2\in \mathcal{F}$ ограничения отображений $\lambda_{U_1}$ и $\lambda_{U_2}$ на пересечение $U_1\cap U_2$ совпадают. Поэтому все вместе отображения $\lambda_U$ объединяются в отображение $\lambda\colon V\times V \to\mathbb{F}_2$ такое, что $\lambda(u,u)=\lambda(u,e)=\lambda(e,u)=0$ для всех $u\in V$ и равенство (57) выполнено для всех $u,v,w\in V$. Следовательно, по лемме 13.4 квазикоцикл $\varphi$ когомологически тривиален. Лемма доказана. Лемма 13.3 следует из лемм 10.2, 10.3 и 13.5. Итак, мы доказали, что всякая инволютивная коммутативная двузначная группа принадлежит одной из трех серий, перечисленных в теореме 13.1. Двузначные группы третьей серии специальны и, значит, не изоморфны двузначным группам первых двух серий. Двузначные группы первой и второй серий (в случае наличия только элементов порядков $1$, $2$ и $4$) различаются некогомологичностью соответствующих квазикоциклов. Для завершения доказательства теоремы 13.1 нам нужно показать, что пара булевых групп $(V,W)$ однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается по двузначной группе $X$ второй или третьей серии. Это действительно так: булева группа $W$ есть максимальный однозначный множитель в разложении $X\cong X'\times W$, которое в силу аналога предложения 6.3 единственно с точностью до изоморфизма, а $V$ – булева группа элементов порядка $2$ в двузначной группе $X'$ для второй серии и булева группа элементов порядка $4$ в $X'$ для третьей серии. 14. Топологические двузначные группыЕсли $Y$ – топологическое пространство, то мы будем снабжать симметрический квадрат $\operatorname{Sym}^2(Y)$ фактортопологией топологии прямого произведения на $Y\times Y$. Определение 14.1. Топологическая двузначная группа – это множество $X$ со структурами топологического пространства и двузначной группы такими, что операция двузначного умножения $X\times X\to \operatorname{Sym}^2(X)$ и операция взятия обратного $X\to X$ непрерывны. Мы будем рассматривать только хаусдорфовы топологические двузначные группы; нехаусдорфов случай, по-видимому, гораздо сложнее. Легко видеть, что если $A$ – однозначная коммутативная хаусдорфова топологическая группа и $\iota$ – инволютивный непрерывный автоморфизм группы $A$, то косетная двузначная группа $A/\iota$ имеет естественную структуру хаусдорфовой топологической двузначной группы. Таким образом, корректно определены топологические двузначные группы $X_A^{\mathbf{a}}$ для произвольной хаусдорфовой топологической абелевой группы $A$ и $X_V^{\mathbf{u}}$ для хаусдорфовой топологической булевой группы $V$. (Здесь и далее мы называем топологической булевой группой топологическую группу, все неединичные элементы которой имеют порядок 2.) Опять же имеем три принципиально различных случая:
Рассмотрим их по отдельности. В случаях 1) и 3) мы получили аналоги классификационных теорем 8.1 и 11.1. Случай 2) более сложный. В этом случае задача классификации остается открытой. Мы построим нетривиальный пример, показывающий, что прямой аналог классификационной теоремы 9.1 неверен. 14.1. Топологические двузначные группы $X$, содержащие элемент $t$ такой, что $\operatorname{ord} t\notin\{1,2,4\}$В этом случае имеет место прямой аналог теоремы 8.1, однако его доказательство требует дополнительных соображений. Теорема 14.2. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная хаусдорфова топологическая двузначная группа, содержащая хотя бы один элемент, порядок которого не равен ни $1$, ни $2$, ни $4$. Тогда $X$ изоморфна косетной топологической двузначной группе вида $X_A^{\mathbf{a}}=A/\iota_{\mathbf{a}}$, где $A$ – коммутативная хаусдорфова топологическая группа и $\iota_{\mathbf{a}}$ – антиподальная инволюция на $A$. Как и в разделе 8, зададим искомую топологическую группу как множество с операциями умножения и взятия обратного, определенными в предложении 8.3. Наделим множество $A$ топологией, индуцированной топологией произведения на $X\times X$. Корректность возникающей структуры коммутативной группы была доказана в разделе 8, поэтому нам нужно лишь доказать, что введенные операции умножения и взятия обратного в группе $A$ непрерывны. (То, что изоморфизм $A/\iota_{\mathbf{a}}\to X$, задаваемый проекцией на первый множитель, является непрерывным в обе стороны, очевидно.) Чтобы доказать непрерывность операций, нам понадобится понятие разветвленного накрытия по Смиту–Дольду (см. [36], [20]).Определение 14.3. Пусть $\pi\colon \widetilde{Y}\to Y$ – сюръективное непрерывное отображение топологических пространств с конечными прообразами точек. Отображение $\pi$ называется $d$-листным разветвленным накрытием по Смиту–Дольду, если задано непрерывное отображение $\tau\colon Y\to \operatorname{Sym}^d(\widetilde{Y})$ такое, что Замечание 14.4. В приведенном выше определении мы следуем работе [14]. Равносильное исходное определение Л. Смита таково. Сюръективное непрерывное отображение $\pi$ называется разветвленным накрытием, если задано отображение $\mu\colon \widetilde{Y}\to \mathbb{Z}_{>0}$, называемое отображением кратностей, и выполняются два условия: Неформально говоря, $d$-листное разветвленное накрытие – это непрерывное отображение, имеющее непрерывное $d$-значное обратное. Пусть $\pi\colon A\to X$ – проекция на первый сомножитель. Так как умножение в двузначной группе $X$ непрерывно, то отображение $x\mapsto (x,t*x)$ является непрерывным двузначным обратным к отображению $\pi$. Поэтому проекция $\pi$ является двулистным разветвленным накрытием по Смиту–Дольду. Как замечено в статье А. Дольда [20; разд. 1], в хаусдорфовом случае частично определенная операция удаления одного из элементов мультимножества,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}^d(Y)\times Y \dashrightarrow \operatorname{Sym}^{d-1}(Y),\qquad (\sigma,y)\mapsto \sigma-y,
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывна на своей области определения. Отсюда немедленно следует непрерывность операции взятия обратного в группе $A$, которая была определена формулой $(x,p)^{-1}=(x,p')$, где $[p,p']=x*t$. Замечание 14.5. Обратим внимание на специфику двулистных разветвленных накрытий по Смиту–Дольду: на тотальном пространстве такого накрытия всегда есть непрерывная инволюция, меняющая местами слои. В нашем случае эта инволюция является антиподальной инволюцией на группе $A$. В случае $d$-листного разветвленного накрытия по Смиту–Дольду $\widetilde{Y}\to Y$ при $d>2$ ситуация более сложная: на самом пространстве $\widetilde{Y}$, вообще говоря, нет никакого действия группы порядка $d$. Тем не менее в работе [14], с использованием результатов А. Дольда [20], дана конструкция ассоциированного $d!$-листного разветвленного накрытия $E$ над $Y$ с действием группы перестановок $S_d$ такого, что $\widetilde{Y}=E\times_{S_d}\{1,\dots,d\}$. Для доказательства непрерывности операции произведения нам понадобится следующая техническая лемма. Лемма 14.6. Пусть $\pi\colon\widetilde{Y}\to Y$ – разветвленное накрытие по Смиту–Дольду хаусдорфовых топологических пространств и $s\colon Y\to \widetilde{Y}$ – его теоретико-множественное сечение, т. е. такое отображение, что $\pi\circ s=\operatorname{id}_Y$. Предположим, что график $\Gamma_s\subset Y\times \widetilde{Y}$ сечения $s$ замкнут. Тогда $s$ непрерывно. Доказательство. Отождествив $\Gamma_s$ с его прообразом при вложении $\pi\times \operatorname{id}\colon \widetilde{Y}\to Y\times\widetilde{Y}$, можно считать, что $\Gamma_s\subset \widetilde{Y}$. Замкнутость $\Gamma_s$ в $\widetilde{Y}$ следует из его замкнутости в $Y\times \widetilde{Y}$. Докажем непрерывность сечения $s$ в произвольной точке $y\in Y$. Рассмотрим произвольную окрестность $U$ точки $s(y)$. Пусть $y_1=s(y),y_2,\dots,y_k$ – все различные прообразы точки $y$ при отображении $\pi$ без учета кратностей. Точки $y_2,\dots,y_k$ не принадлежат графику $\Gamma_s$. Поэтому из замкнутости графика следует, что они имеют открытые окрестности $U_2,\dots,U_k$ соответственно, не пересекающиеся с $\Gamma_s$. Теперь из непрерывности многозначного отображения, обратного к проекции $\pi$, следует, что найдется открытая окрестность $V$ точки $y$ в $Y$ такая, что множество $\pi^{-1}(V)$ содержится в объединении окрестностей $U\cup U_2\cup\cdots\cup U_k$. Следовательно, множество $s(V)$ содержится в пересечении этого объединения окрестностей с графиком $\Gamma_s$ и, значит, в исходной окрестности $U$. Отсюда следует непрерывность отображения $s$ в точке $y$. Лемма доказана. Выведем из леммы 14.6 непрерывность операции умножения $\bullet$, построенной в предложении 8.3. Рассмотрим замкнутое подмножество $B\subset A\times A\times A$, состоящее из всех троек $\bigl((x,p),(y,q), (z,r)\bigr)$ таких, что $z\in x*y$, и проекцию $\sigma\colon B\to A\times A$ на произведение первых двух сомножителей. Легко видеть, что $\sigma$ является четырехлистным разветвленным накрытием по Смиту–Дольду. Действительно, непрерывное четырехзначное обратное отображение ставит в соответствие каждой паре $((x,p),(y,q))$ четыре (с кратностями) тройки $((x,p),(y,q),(z,r))$ такие, что $z\in x*y$ и $r\in t*z$. Согласно конструкции из предложения 8.3 в качестве произведения $(x,p)\bullet (y,q)$ нам нужно взять ту из четырех точек $(z,r)$ таких, что $((x,p),(y,q),(z,r))\in\sigma^{-1}((x,p),(y,q))$, которая дополнительно удовлетворяет условиям $z\in x*y$, $z\in p*q'$, $z\in p'*q$, $r\in x*q$, $r\in p*y$, $r'\in x*q'$ и $r'\in p'*y$, где $t*x=[p,p']$, $t*y=[q,q']$ и $t*z=[r,r']$, причем эти условия всегда определяют искомую точку $(z,r)$ однозначно. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
s\colon\bigl((x,p),(y,q)\bigr)\mapsto \bigl((x,p),(y,q),(x,p)\bullet (y,q)\bigr)
\end{equation*}
\notag
$$
есть теоретико-множественное сечение разветвленного накрытия $\sigma$. Как уже было отмечено ранее, из хаусдорфовости следует, что точки $p'$, $q'$ и $r'$ непрерывно зависят от пар $(x,p)$, $(y,q)$ и $(z,r)$ соответственно. Поэтому каждое из перечисленных условий высекает замкнутое подмножество в $A\times A\times A$. График сечения $s$ является пересечением всех этих замкнутых подмножеств и замкнутого множества $B$. Значит, он замкнут и, следовательно, по лемме 14.6 сечение $s$ непрерывно, что завершает доказательство теоремы 14.2. 14.2. Специальные топологические двузначные группыПусть $V$ – булева группа с дискретной топологией такая, что $\dim V\geqslant 2$, и пусть $U$ – произвольная хаусдорфова топологическая булева группа и $s\in U$ – произвольный элемент, отличный от $e$. Рассмотрим факторпространство $W=U/\langle s\rangle$ с фактортопологией (которая всегда хаусдорфова). Пусть $\pi\colon U\to W$ – проекция. Теперь рассмотрим топологическое пространство
$$
\begin{equation}
Y_{V,U,s}=(\{e\}\times U)\sqcup \bigl((V\setminus\{e\})\times W\bigr),
\end{equation}
\tag{59}
$$
где $\sqcup$ обозначает несвязное объединение, и зададим на нем коммутативное двузначное умножение по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} (e,u_1)*(e,u_2)&=\bigl[(e,u_1u_2),(e,u_1u_2)\bigr],&&\quad\text{если } u_1,u_2\in U, \\ (e,u)*(v,w)&=\bigl[(v,\pi(u)w),(v,\pi(u)w)\bigr],&&\quad\text{если } u\in U,\ v\in V\setminus\{e\},\\ &&&\qquad\quad \ w\in W, \\ (v,w_1)*(v,w_2)&=\bigl(e,\pi^{-1}(w_1w_2)\bigr),&&\quad\text{если } v\in V\setminus\{e\},\\ &&&\qquad\quad \ w_1,w_2\in W, \\ (v_1,w_1)*(v_2,w_2)&= \bigl[(v_1v_2,w_1w_2),(v_1v_2,w_1w_2)\bigr],&&\quad\text{если } v_1,v_2\in V\setminus\{e\},\\ &&&\qquad\quad \ v_1\ne v_2, \ w_1,w_2\in W. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что $Y_{V,U,s}$ – специальная хаусдорфова топологическая двузначная группа. При этом, если забыть про топологию, эта двузначная группа становится изоморфной двузначной группе $Y_V\times W$. Теорема 14.7. Всякая специальная инволютивная коммутативная хаусдорфова топологическая двузначная группа $X$ изоморфна одной из топологических двузначных групп вида $Y_{V,U,s}$. Две топологические двузначные группы $Y_{V_i,U_i,s_i}$, $i=1,2$, изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда $V_1\cong V_2$ как абстрактные группы и найдется изоморфизм топологических групп $U_1\cong U_2$, переводящий $s_1$ в $s_2$. Доказательство. Из теоремы 13.1 сразу следует, что если забыть о топологии, то $X$ изоморфна некоторой двузначной группе вида $Y_{V,U,s}$. Поэтому первое утверждение теоремы 14.7 вытекает из следующего предложения. Предложение 14.8. Всякая хаусдорфова топология на множестве $Y_{V,U,s}$, относительно которой введенная операция двузначного умножения непрерывна, имеет вид несвязного объединения некоторой топологии на $\{e\}\times U=U$, относительно которой $U$ – хаусдорфова топологическая группа, и топологии произведения на $(V\setminus\{e\})\times W$, где множество $V\setminus\{e\}$ снабжено дискретной топологией, а множество $W$ – фактортопологией выбранной топологии на $U$. Доказательство. Рассмотрим произвольную хаусдорфову топологию $\mathcal{T}$ на двузначной группе $Y=Y_{V,U,s}$, относительно которой операция двузначного умножения непрерывна. Будем отождествлять подмножество $\{e\}\times U$ с $U$ и обозначать элемент $(e,u)$ двузначной группы $Y$ просто через $u$. Заметим, что $s\in x*x$ тогда и только тогда, когда элемент $x$ лежит в подмножестве $(V\setminus\{e\})\times W$ двузначной группы $Y$. Так как операция умножения в $Y$ непрерывна, то условие $s\in x*x$ выделяет замкнутое подмножество в $Y$. Значит, подмножество $\{e\}\times U$ открыто в $Y$. Обозначим через $\mathcal{T}_U$ ограничение топологии $\mathcal{T}$ на $U$; тогда $(U,\mathcal{T}_U)$ – топологическая группа. Обозначим через $\mathcal{T}_W$ фактортопологию топологии $\mathcal{T}_U$ при проекции $\pi\colon U\to W$. Нам осталось доказать, что каждое из множеств $\{v\}\times W$ тоже открыто в $Y$ и топология $\mathcal{T}\big|_{\{v\}\times W}$ совпадает с фактортопологией $\mathcal{T}_W$ при стандартном отождествлении $\{v\}\times W$ с $W$. Положим $y=(v,e)$; тогда формула $x\mapsto x*y$ определяет непрерывное отображение $\mu_y\colon Y\to\operatorname{Sym}^2(Y)$. Во-первых, заметим, что множество $\{v\}\times W$ совпадает с прообразом открытого множества $\operatorname{Sym}^2(U)$ при отображении $\mu_y$, значит, $\{v\}\times W$ открыто. Во-вторых, если ограничить отображение $\mu_y$ на множество $\{e\}\times U$, то две его ветви совпадают и оно определяет непрерывное отображение $\nu_y\colon \{e\}\times U\to\{v\}\times W$, совпадающее с отображением $(e,u)\mapsto (v,\pi(u))$. В-третьих, отображение $\mu_y\big|_{\{v\}\times W}$ является непрерывным двузначным обратным к отображению $\nu_y$. Поэтому $\nu_y$ – двулистное разветвленное накрытие по Смиту–Дольду, откуда сразу следует, что топология на множестве $\{v\}\times W$ совпадает с фактортопологией $\mathcal{T}_W$. Предложение доказано. Второе утверждение теоремы 14.7 следует из того, что топологическая булева группа $U$, ее элемент $s$ и дискретная булева группа $V$ однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливаются по топологической двузначной группе $Y=Y_{V,U,s}$. Действительно, $U\subset Y$ – подгруппа, состоящая из единицы и всех элементов порядка $2$, с топологией подмножества, $s$ – элемент, являющийся квадратом всех элементов порядка $4$ и $V\cong Y/U$. Теорема доказана. 14.3. Неспециальные топологические двузначные группы, состоящие из элементов порядков 1, 2 и 4Здесь мы приведем пример, показывающий, что в этом случае возникают принципиально новые эффекты и прямой аналог теоремы 9.1 неверен. Прежде всего отметим, что для топологических двузначных групп нет аналогов результатов о разложении на прямые сомножители, таких как предложения 6.2 и 6.3. Это связано с тем, что даже для обычных коммутативных хаусдорфовых топологических групп нет корректно определенной операции взятия факторгруппы, которая оставляла бы нас в категории хаусдорфовых топологических групп (например, в том случае, когда подгруппа плотна в группе). Поэтому в топологическом случае определение унипотентной серии $X_V^{\mathbf{u}}\times W$ естественно обобщить следующим образом. Нам будет нужна следующая категория $\mathcal{P}$, которую мы назовем категорией пар хаусдорфовых топологических булевых групп. Объектом этой категории является пара $(V,U)$, где
Пусть $(V,U)$ – пара из категории $\mathcal{P}$. Рассмотрим непрерывную унипотентную инволюцию $\iota_{\mathbf{u}}\colon U\times V\to U\times V$, определяемую по формуле Тогда косетная двузначная группа является инволютивной коммутативной хаусдорфовой топологической двузначной группой.В частном случае, когда подгруппа $U$ выделяется в виде топологического прямого сомножителя, $V=U\times W$, и топология $\mathcal{T}_V$ является топологией произведения, эта конструкция дает топологические двузначные группы $X^{\mathbf{u}}_{V,U}\cong X^{\mathbf{u}}_{U}\times W$. Обозначим через $\mathcal{C}$ категорию неспециальных инволютивных коммутативных хаусдорфовых топологических двузначных групп, состоящих из элементов порядков 1, 2 и 4, и их непрерывных гомоморфизмов. Естественным аналогом теоремы 9.1 было бы утверждение о том, что всякая топологическая двузначная группа из категории $\mathcal{C}$ изоморфна либо двузначной группе вида $X^{\mathbf{a}}_A$, где $A$ – хаусдорфова топологическая группа, состоящая из элементов порядков 1, 2 и 4, либо двузначной группе вида $X^{\mathbf{u}}_{V,U}$, где $(V,U)$ – пара хаусдорфовых топологических булевых групп. Однако ниже мы приведем пример, показывающий, что это утверждение неверно. Прежде чем строить этот пример, обсудим, насколько гомологический подход к классификации из разделов 9 и 10 адаптируется к рассматриваемому топологическому случаю и какие проблемы возникают на этом пути. Пусть $X$ – топологическая двузначная группа из категории $\mathcal{C}$. Обозначим через $V$ булеву группу, состоящую из всех элементов порядка 1 и 2 в $X$, с хаусдорфовой топологией $\mathcal{T}_V$, индуцированной включением $V\subset X$. Обозначим через $U\subset V$ подгруппу, состоящую из всех элементов $x^2$, где $x\in X$. Аналогично лемме 9.2, для каждого элемента $u\in U$ множество $X_u$, состоящее из всех $x$ таких, что $x^2=u$, является $V$-орбитой. При этом стабилизатор элементов этой орбиты есть подгруппа $\{e,u\}\subset V$, и если $x\in X_u$, $y\in X_{w}$ и $x*y=[z_1,z_2]$, то $z_1,z_2\in X_{uw}$ и $z_2=uz_1=wz_1$. Таким образом, имеется каноническая биекция $X/V\leftrightarrow U$, и (однозначное) умножение в $U$ индуцировано двузначным умножением в $X$. Наделим булеву группу $U$ фактортопологией $\mathcal{T}_U$. Априори не очевидно, что эта топология хаусдорфова. Заметим, однако, что из непрерывности операции возведения в квадрат в $X$ следует непрерывность вложения $X/V=U\subset V$, где $U$ наделено фактортопологией $\mathcal{T}_U$, а $V$ – топологией подмножества $\mathcal{T}_V$. Поэтому топология $\mathcal{T}_U$ хаусдорфова и пара $(V,U)$ является объектом категории $\mathcal{P}$. Таким образом, построенное соответствие задает функтор из категории $\mathcal{C}$ в категорию $\mathcal{P}$, который мы будем обозначать через $\Phi$.Непосредственно проверяется, что $\Phi(X_{V,U}^{\mathbf{u}})=(V,U)$ для любой пары $(V,U)$ из категории $\mathcal{P}$. Отсюда, в частности, следует, что топологические двузначные группы $X^{\mathbf{u}}_{V_1,U_1}$ и $X^{\mathbf{u}}_{V_2,U_2}$ изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны пары топологических булевых групп $(V_1,U_1)$ и $(V_2,U_2)$. Функтор $\Phi$ позволяет разбить задачу классификации топологических двузначных групп $X$ из категории $\mathcal{C}$ на отдельные задачи классификации всевозможных $X$ с каждой заданной (с точностью до изоморфизма) парой $\Phi(X)=(V,U)$. Если мы выберем в каждой $V$-орбите $X_u$, где $u\in U$, представителя $x_u$ (причем $x_e=e$), то умножение в двузначной группе $X$ будет однозначно задаваться правилом перемножения представителей $x_u$, которое будет иметь вид
$$
\begin{equation}
x_u*x_v=\varphi(u,v)[x_{uv},ux_{uv}],\qquad u,v\in U,
\end{equation}
\tag{61}
$$
для некоторого инволютивного симметрического квазикоцикла $\varphi\colon U\times U\to V$, т. е. такого отображения, что
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v)\equiv \varphi(v,u) \pmod{\!\langle u,v\rangle},
\end{equation}
\tag{62}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi(u,u)\equiv\varphi(e,u)\equiv\varphi(u,e)\equiv e\pmod{\!\langle u\rangle},
\end{equation}
\tag{63}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v)\varphi(uv,w)\varphi(u,vw)\varphi(v,w)\in\langle u,v,w\rangle
\end{equation}
\tag{64}
$$
для всех $u,v,w\in U$. Пока единственное отличие от того, что происходило в разделе 9, состоит в том, что группа $U$ не обязательно совпадает с $V$. Однако теперь нам необходимо следить за тем, чтобы умножение, задаваемое формулой (61), было непрерывным. Естественно, для того чтобы следить за свойством непрерывности умножения, нам хотелось бы, чтобы отображение $U\to X$ выбора представителей $V$-орбит $u\mapsto x_u$ было непрерывным (по отношению к топологии $\mathcal{T}_U$ на $U$). Назовем топологическую группу $X$ из категории $\mathcal{C}$ ручной, если для нее найдется непрерывное отображение выбора представителей $V$-орбит $u\mapsto x_u$, и дикой, если такого непрерывного отображения нет. В этом месте возникает первая принципиальная проблема. Авторам неизвестен ответ на этот вопрос. С одной стороны, не видно никаких разумных аргументов в пользу отрицательного ответа, особенно если учесть, что топологическое пространство $U$ бывает неодносвязным. С другой стороны, построить пример дикой двузначной группы нам не удалось. Далее мы сосредоточимся на изучении ручных двузначных групп из категории $\mathcal{C}$ и покажем, что даже среди них найдется топологическая группа, не принадлежащая ни основной, ни унипотентной сериям. Прежде всего докажем, что как топологическое пространство двузначная группа $X$ гомеоморфна унипотентной двузначной группе $X^{\mathbf{u}}_{V,U}=(U\times V)/\iota_{\mathbf{u}}$. Предложение 14.10. Пусть $X$ – ручная топологическая двузначная группа из категории $\mathcal{C}$ и $\Phi(X)=(V,U)$. Тогда как топологическое пространство двузначная группа $X$ гомеоморфна унипотентной двузначной группе $X^{\mathbf{u}}_{V,U}=(U\times V)/\iota_{\mathbf{u}}$. Более точно, если $u\mapsto x_u$ – непрерывное отображение выбора представителей в $V$-орбитах двузначной группы $X$, то отображение $g\colon U\times V\to X$, определенное по формуле $g(u,v)=vx_u$, индуцирует гомеоморфизм $\bar g\colon (U\times V)/\iota_{\mathbf{u}}\approx X$. Доказательство. Из того, что стабилизатор каждого элемента орбиты $Vx_{u}$ при действии группы $V$ равен $\{e,u\}$, следует, что $\bar g$ – биекция. Непрерывность отображения $g$ (и, значит, отображения $\bar g$) вытекает из непрерывности отображения $u\mapsto x_u$ и непрерывности умножения в двузначной группе $X$. Обозначим через $\pi$ (непрерывную) проекцию $X\to X/V=U$. Отображение $g$ допускает двузначное непрерывное обратное отображение $X\to \operatorname{Sym}^2(U\times V)$, определяемое по формуле $x\mapsto [\pi(x),x*x_{\pi(x)}]$. (Таким образом, $g$ – двулистное разветвленное накрытие по Смиту–Дольду.) Отсюда сразу следует непрерывность отображения $\bar g^{-1}$. Предложение доказано. Таким образом, произвольная ручная двузначная группа $X$ с $\Phi(X)=(V,U)$ может рассматриваться как двузначная группа унипотентной серии $X_{V,U}^{\mathbf{u}}$ с умножением, продеформированным при помощи инволютивного симметрического квазикоцикла $\varphi$ согласно формуле (61). (Напомним, что, как было показано в разделе 9, самой двузначной группе $X_{V,U}^{\mathbf{u}}$ отвечает тривиальный квазикоцикл.) Мы будем использовать для двузначной группы с умножением (61) обозначение $X_{V,U,\varphi}$. Легко проверить, что для того, чтобы умножение в двузначной группе $X_{V,U,\varphi}$ было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы квазикоцикл $\varphi$ был квазинепрерывным в следующем смысле. Напомним, что по сути каждое из значений $\varphi(u,v)$ определено не однозначно, а с точностью до умножения на элемент из $\langle u,v\rangle$. Будем говорить, что квазикоцикл $\varphi\colon U\times U\to V$ квазинепрерывен, если четырехзначное отображение $U\times U\to \operatorname{Sym}^4(V)$, определенное по формуле
$$
\begin{equation*}
(u,v)\mapsto \bigl[\varphi(u,v),u\varphi(u,v),v\varphi(u,v), uv\varphi(u,v)\bigr],
\end{equation*}
\notag
$$
непрерывно. Если вместо набора представителей $V$-орбит $x_u$ мы выберем другой набор представителей $x_u'$, где опять же $x_e'=e$, то $x_u'=\chi(u)x_u$ для некоторого отображения $\chi\colon U\to V$ такого, что $\chi(e)=e$. Тогда квазикоцикл $\varphi$ заменится на квазикоцикл $\varphi'$ такой, что
$$
\begin{equation}
\varphi'(u,v)\equiv\varphi(u,v)\chi(u)\chi(v)\chi(uv) \pmod{\!\langle u,v\rangle}.
\end{equation}
\tag{65}
$$
При этом новый набор представителей $x_u'$ будет непрерывно зависеть от $u$ в том и только том случае, когда отображение $\chi$ квазинепрерывно в том смысле, что непрерывно двузначное отображение $U\to \operatorname{Sym}^2(V)$, задаваемое формулой Таким образом, два квазинепрерывных инволютивных симметрических квазикоцикла $\varphi$ и $\varphi'$ естественно называть когомологичными, если они связаны соотношением (65) для некоторого квазинепрерывного отображения $\chi\colon U\to V$ такого, что $\chi(e)=e$. Тогда имеет место следующий аналог предложения 9.5. Предложение 14.11. Топологические двузначные группы $X_{V,U,\varphi}$ и $X_{V',U',\varphi'}$ изоморфны тогда и только тогда, когда имеется изоморфизм пар топологических булевых групп $(V,U)$ и $(V',U')$, переводящий квазинепрерывный квазикоцикл $\varphi$ в квазинепрерывный квазикоцикл, когомологичный $\varphi'$. В частности, $X_{V,U,\varphi}$ изоморфна $X_{V,U}^{\mathbf{u}}$ тогда и только тогда, когда квазинепрерывный квазикоцикл $\varphi$ когомологически тривиален. Обозначим через $\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(U,V)$ булеву группу классов когомологичности квазинепрерывных инволютивных симметрических квазикоциклов $U\times U\to V$. Таким образом, классификация ручных топологических двузначных групп $X$ таких, что $\Phi(X)=(V,U)$, сводится к следующей проблеме. Естественно, имеется гомоморфизм забывания топологии
$$
\begin{equation*}
f\colon\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(U,V)\to\mathcal{H}(U,V),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{H}(U,V)$ – булева группа всех (без требования квазинепрерывности) инволютивных симметрических квазикоциклов с точностью до гомологии, определяемой произвольным (опять же без требования квазинепрерывности) отображением $\chi$. Используя лемму 9.6, несложно проверить, что всегда имеет место изоморфизм $\mathcal{H}(U,V)\cong \mathcal{H}(U)$ и, значит, группа $\mathcal{H}(U,V)$ тривиальна при $\dim U\leqslant 2$ и $\mathcal{H}(U,V)\cong C_2$ при $\dim U\geqslant 3$. По-видимому, в общей ситуации гомоморфизм $f$ не является ни инъективным, ни сюръективным. Сейчас мы приведем пример элемента в ядре гомоморфизма $f$, что даст нам конструкцию ручной топологической двузначной группы из категории $\mathcal{C}$, которая не принадлежит ни антиподальному семейству $X_A^{\mathbf{a}}$, ни унипотентному семейству $X_{V,U}^{\mathbf{u}}$. В нашем примере $U=V$, поэтому в дальнейшем мы будем писать $\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(V)$ вместо $\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(V,V)$ и $X_{V,\varphi}$ вместо $X_{V,V,\varphi}$. Для построения упомянутого примера нам потребуется понятие свободной топологической булевой группы. Пусть $Y$ – вполне регулярное топологическое пространство. А. А. Марков [29] ввел понятия свободной топологической группы и свободной абелевой топологической группы с базисом $Y$. Нам понадобится аналогичное понятие свободной булевой группы $B(Y)$ с базисом $Y$ (см. [35]). Алгебраически $B(Y)$ – просто булева группа $C_2^Y$, т. е. векторное пространство над полем $\mathbb{F}_2$, базисом которого выступает множество $Y$. В качестве топологии на $B(Y)$ берется топология, согласованная с групповой структурой и удовлетворяющая следующим двум условиям:
Элементы группы $B(Y)$ можно интерпретировать как конечные подмножества пространства $Y$ (в обычном смысле, т. е. без кратностей). При этом операцией в группе является симметрическая разность подмножеств, а единицей – пустое множество. Для удобства будем обозначать симметрическую разность подмножеств $u$ и $v$ через $uv$. Нас будет интересовать случай, когда $Y$ – компактное метрическое пространство с метрикой $d$. Тогда топологию свободной топологической булевой группы на $B(Y)$ можно описать следующим образом (см. [23], [35]). Для каждого подмножества $v\in B(Y)$ определим его норму $\|v\|$ со значениями в $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\cup\{+\infty\}$ следующим образом:
Построенная функция является нормой в следующем смысле:
Введенная норма является аналогом полунорм из работ А. А. Маркова [29] и М. И. Граева [23] для топологических булевых групп; см. конкретные формулы в [35; разд. 2]. Таким образом, функция задает на $B(Y)$ корректно определенную $\infty$-метрику, т. е. метрику со значениями в $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\cup\{+\infty\}$. Мы могли бы рассмотреть соответствующую метрическую топологию на $B(Y)$, но это будет не та топология, которая нам нужна. Нужная нам топология более тонкая, она получается следующим образом. Для каждого $k\geqslant 0$ обозначим через $B_k(Y)$ подмножество группы $B(Y)$, состоящее из всех подмножеств $v\subset Y$ из не более чем $k$ элементов. Наделим каждое множество $B_k(Y)$ метрической топологией, индуцированной метрикой $\rho$. Искомая топология свободной топологической булевой группы на $B(Y)$ есть топология прямого предела этих метрических топологий. Это означает, что множество $U$ открыто в $B(Y)$ тогда и только тогда, когда пересечение $U\cap B_k(Y)$ открыто в $(B_k(Y),\rho)$ для каждого $k$.Неформально $B(Y)$ можно рассматривать как конфигурационное пространство конечных наборов точек на $Y$ с правилом, что при столкновении пары точек они обе исчезают. В частности, легко видеть, что если $Y$ линейно связно, то $B(Y)$ состоит из двух компонент линейной связности: $B_{\rm even}(Y)$ и $B_{\rm odd}(Y)$, состоящих из всех подмножеств четной и нечетной мощности соответственно. Пример 14.13. Пусть $K\subset \mathbb{R}^d$ – компактное выпуклое тело (т. е. выпуклое множество с непустой внутренностью) в конечномерном евклидовом пространстве размерности $d\geqslant 1$. Рассмотрим свободную топологическую булеву группу $B(K)$. Определим квазикоцикл $\varphi\colon B(K)\times B(K)\to B(K)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v)=\prod_{p\in u}\,\prod_{q\in v}\biggl\{\frac{p+q}2\biggr\},
\end{equation}
\tag{66}
$$
где $\{\,\cdot\,\}$ обозначает одноточечное подмножество. Непосредственно проверяется, что отображение $\varphi$ удовлетворяет условиям (62)–(64), т. е. действительно является инволютивным симметрическим квазикоциклом. Кроме того, очевидно, что отображение $\varphi$ непрерывно и, тем более, квазинепрерывно. Предложение 14.14. Пусть $\varphi\colon B(K)\times B(K)\to B(K)$ – квазикоцикл, задаваемый формулой (66). Тогда Доказательство. Докажем сначала утверждение (a). Определим (разрывное) отображение $\chi_0\colon B(K)\to B(K)$ по формуле
$$
\begin{equation}
\chi_0(v)=\prod_{\{p,q\}\subset v,\ p\ne q}\biggl\{\frac{p+q}{2}\biggr\},
\end{equation}
\tag{67}
$$
где произведение берется по всем неупорядоченным подмножествам $\{p,q\}$ множества $v$. Легко видеть, что для всех $u,v\in B(K)$, откуда сразу следует утверждение (a). Отметим, что отображение $\chi_0$, определенное по формуле (67), не является квазинепрерывным, поэтому из равенства (68) не следует тривиальность класса квазикоцикла $\varphi$ в группе $\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(B(K))$. Утверждение (b) будем доказывать от противного: предположим, что $\varphi$ гомологически тривиален как квазинепрерывный квазикоцикл. Тогда найдется квазинепрерывное отображение $\chi\colon B(K)\to B(K)$ такое, что $\chi(e)=e$ и
$$
\begin{equation*}
\varphi(u,v)\equiv \chi(u)\chi(v)\chi(uv)\pmod{\!\langle u,v\rangle}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $u,v\in B(K)$. Ограничив $\chi$ на одноэлементные подмножества множества $K$, мы получим отображение $K\to B(K)$, $q\mapsto\chi(\{q\})$. Это отображение квазинепрерывно в том смысле, что непрерывно двузначное отображение Теперь заметим, что из двух элементов $\chi(\{q\})$ и $\{q\}\chi(\{q\})$ всегда один лежит в компоненте связности $B_{\rm even}(K)$, а другой – в $B_{\rm odd}(K)$. Поэтому, если из этих двух элементов мы всегда будем выбирать тот, который лежит в $B_{\rm even}(K)$, мы получим непрерывную однозначную ветвь двузначного отображения (69). Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
\psi(\{q\})=\begin{cases} \chi(\{q\}),&\text{если}\ \chi(\{q\})\in B_{\rm even}(K), \\ \{q\}\chi(\{q\}),&\text{если}\ \chi(\{q\})\in B_{\rm odd}(K). \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда отображение $q\mapsto\psi(\{q\})$ непрерывно. Продолжим отображение $\psi$ до непрерывного гомоморфизма $\psi\colon B(K)\to B_{\rm even}(K)$, положив Заменим отображение $\chi$ на новое отображение $\widetilde\chi\colon B(K)\to B(K)$ такое, что для всех $v\in B(K)$. Так как $\psi$ – гомоморфизм, то по-прежнему имеем $\widetilde\chi(e)= e$ и
$$
\begin{equation}
\varphi(u,v)\equiv \widetilde\chi(u)\widetilde\chi(v) \widetilde\chi(uv)\pmod{\!\langle u,v\rangle}
\end{equation}
\tag{70}
$$
для всех $u,v\in B(K)$. При этом из непрерывности гомоморфизма $\psi$ следует, что отображение $\widetilde\chi$ по-прежнему квазинепрерывно. По построению для любой точки $q\in K$ мы имеем либо $\widetilde\chi(\{q\})=e$, либо $\widetilde\chi(\{q\})=\{q\}$. Пусть $p$ и $q$ – две разные точки множества $K$. Из сравнения (70) для пары $(u,v)=(\{p\},\{q\})$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{p+q}2\biggr\}\subseteq \widetilde\chi(\{p,q\})\subseteq \biggl\{\frac{p+q}{2}\,,p,q\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, заметим, что множество $\{p,q\}$ принадлежит той же компоненте связности $B_{\rm even}(K)$ пространства $B(K)$, что и пустое множество $e$. Квазинепрерывность отображения $\widetilde\chi$ означает, что неупорядоченная пара мультимножеств $\bigl[\widetilde\chi(w),w\widetilde\chi(w)\bigr]$ зависит непрерывно от $w$. Если $w=e$, то оба множества в этой паре пусты и, значит, лежат в $B_{\rm even}(K)$. Следовательно, оба множества $\widetilde\chi(\{p,q\})$ и $\{p,q\}\widetilde\chi(\{p,q\})$ тоже лежат в $B_{\rm even}(K)$. Значит, $\widetilde\chi(\{p,q\})$ – одно из двух множеств $\{(p+q)/2,p\}$ и $\{(p+q)/2,q\}$. Пусть теперь $p$, $q$ и $r$ – три точки в множестве $K$ такие, что шесть точек $p$, $q$, $r$, $(p+q)/2$, $(q+r)/2$, $(r+p)/2$ попарно различны. Тогда из сравнения (70) для пары $(u,v)=(\{p,q\},\{r\})$ следует, что множеству $\widetilde\chi(\{p,q,r\})$ принадлежит ровно одна из двух точек $p$ и $q$. Однако, аналогично, этому множеству принадлежит ровно одна из двух точек $p$ и $r$ и ровно одна из двух точек $q$ и $r$. Вместе эти три утверждения приводят нас к противоречию, что завершает доказательство предложения. Следствие 14.15. Ручная топологическая двузначная группа $X_{B(K),\varphi}$ не изоморфна (как топологическая группа) никакой двузначной группе $X_A^{\mathbf{a}}$ основной серии и никакой двузначной группе $X_{V,U}^{\mathbf{u}}$ унипотентной серии. Доказательство. Из утверждения (a) предложения 14.14 следует, что как абстрактная двузначная группа, т. е. после забывания топологии, двузначная группа $X_{B(K),\varphi}$ изоморфна двузначной группе $X^{\mathbf{u}}_{B(K)}$ унипотентной серии. Отсюда сразу следует (по теореме 13.1), что $X_{B(K),\varphi}$ не изоморфна никакой группе $X_A^{\mathbf{a}}$ основной серии даже без учета топологии. Имеем $\Phi(X_{B(K),\varphi})=(B(K),B(K))$. Поэтому топологическая двузначная группа $X_{B(K),\varphi}$ заведомо не может быть изоморфна никакой топологической двузначной группе унипотентной серии, кроме двузначной группы $X_{B(K),B(K)}^{\mathbf{u}}=X_{B(K)}^{\mathbf{u}}$. Отсутствие изоморфизма между топологическими группами $X_{B(K)}^{\mathbf{u}}$ и $X_{B(K),\varphi}$ следует из нетривиальности класса квазикоцикла $\varphi$ в группе $\mathcal{H}_{\mathrm{qc}}(B(K))$ и предложения 14.11. Замечание 14.16. Конструкцию квазикоцикла $\varphi$ можно довольно сильно варьировать так, что предложение 14.14 и следствие 14.15 будут оставаться верными (и их доказательства будут дословно такими же). А именно, годится любой квазикоцикл вида где $F\colon K\times K\to B_{\rm odd}(K)$ – произвольное симметрическое непрерывное отображение такое, что $F(q,q)=\{q\}$ для всех $q\in K$. При этом необходима лишь линейная связность множества $K$, а выпуклость не важна – она была нужна только для корректной определенности конкретного использованного нами отображения $F(p,q)=\{(p+q)/2\}$. 15. Локально компактные двузначные группыВажнейшим классом топологических групп является класс локально компактных (хаусдорфовых) топологических групп. Для этого класса групп имеется богатая структурная теория, развитие которой в первую очередь связано с решением пятой проблемы Гильберта. Формулировка этой проблемы в ее наиболее общепринятой интерпретации такова: верно ли, что всякая топологическая группа, являющаяся топологическим многообразием, изоморфна группе Ли? В связи с вопросами, рассматриваемыми в настоящей работе, нас в первую очередь интересуют коммутативные локально компактные группы. Основы их структурной теории были заложены в работах Л. С. Понтрягина [33], [34]; в частности, им было дано положительное решение пятой проблемы Гильберта для коммутативных групп. Положительное решение пятой проблемы Гильберта в общем случае получили Э. Глисон [22] и Д. Монтгомери и Л. Зиппин [30]. В дальнейшем были получены еще более сильные структурные теоремы для локально компактных групп. Для нас наиболее важна следующая теорема о локально компактных группах без малых подгрупп. По определению топологическая группа не имеет малых подгрупп, если в ней найдется окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп. Теорема 15.1 (теорема Глисона–Ямабе). Пусть $G$ – локально компактная хаусдорфова топологическая группа без малых подгрупп. Тогда $G$ изоморфна группе Ли. Замечание 15.2. Утверждение этой теоремы доказано Э. Глисоном [22] при дополнительном предположении конечномерности группы и Х. Ямабе [45] в общем случае (см. также монографию [37; следствие 1.5.8]). Хорошо известно, что всякая коммутативная группа Ли представляется в виде прямого произведения компактного тора $(S^1)^m$, векторной группы $\mathbb{R}^n$ и дискретной абелевой группы. Таким образом, в коммутативном случае теорема Глисона–Ямабе принимает следующий вид. Следствие 15.3. Пусть $G$ – коммутативная локально компактная хаусдорфова топологическая группа без малых подгрупп. Тогда $G\cong (S^1)^m\times\mathbb{R}^n\times A$, где $m\geqslant 0$, $n\geqslant 0$ и $A$ – дискретная абелева группа. Естественный вопрос состоит в том, каким образом этот результат переносится на случай инволютивных коммутативных двузначных групп. Как и в случае обычных групп, будем говорить, что топологическая двузначная группа не имеет малых подгрупп, если в ней найдется окрестность единицы, не содержащая нетривиальных двузначных подгрупп. Теорема 15.4. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная локально компактная хаусдорфова топологическая двузначная группа без малых подгрупп. Тогда имеет место одна из двух возможностей: Замечание 15.5. Дискретные двузначные группы, конечно же, всегда локально компактны и не содержат малых подгрупп. Классификация дискретных инволютивных коммутативных двузначных групп дается теоремой 13.1. Для доказательства теоремы 15.4 нам понадобятся две простые леммы. Лемма 15.6. Пусть $X$ – хаусдорфова топологическая двузначная группа с единицей $e$. Предположим, что одноэлементное множество $\{e\}$ открыто. Тогда $X$ дискретна. Доказательство. Рассмотрим в $\operatorname{Sym}^2(X)$ подмножество $W$, состоящее из всех мультимножеств вида $[e,x]$, где $x\in X$. Из того, что множество $\{e\}$ открыто в $X$, сразу следует, что множество $W$ открыто в $\operatorname{Sym}^2(X)$. Для любого элемента $y\in X$ умножение на $y$ задает непрерывное отображение $\mu_y\colon X\to\operatorname{Sym}^2(X)$. Так как $e\in x*y$ тогда и только тогда, когда $x=y$, то $\mu_y^{-1}(W)=\{y\}$. Таким образом, все одноэлементные множества $\{y\}$ открыты, значит, топология на $X$ дискретна. Лемма доказана. Лемма 15.7. Пусть $X$ удовлетворяет условиям теоремы 15.4. Тогда в $X$ найдется окрестность единицы, не содержащая элементов порядков $2$ и $4$. Доказательство. Пусть $U$ – открытая окрестность единицы двузначной группы $X$, не содержащая нетривиальных двузначных подгрупп. Пусть $U'$ – множество, состоящее из всех элементов $x\in X$ таких, что $x^2\in U$. Так как отображение $x\mapsto x^2$ непрерывно, $U'$ – тоже открытая окрестность единицы. Заметим, что множество $U$ не содержит элементов порядка $2$. Действительно, если бы в $U$ нашелся элемент порядка $2$, т. е. такой элемент $x\ne e$, что $x*x=[e,e]$, то множество $\{e,x\}$ было бы нетривиальной двузначной подгруппой, содержащейся в $U$. Квадрат всякого элемента порядка $4$ является элементом порядка $2$. При этом квадраты элементов из $U'$ лежат в $U$. Следовательно, множество $U'$ не содержит элементов порядка $4$. Таким образом, в качестве искомой окрестности можно взять множество $U\cap U'$. Лемма доказана. Доказательство теоремы 15.4. Пусть $V$ – открытая окрестность единицы без элементов порядка $2$ и $4$, даваемая леммой 15.7. Предположим, что двузначная группа $X$ не дискретна. Тогда по лемме 15.6 одноэлементное множество $\{e\}$ не открыто. Значит, окрестность $V$ содержит хотя бы один элемент $t$, отличный от $e$. Тогда $\operatorname{ord} t\notin \{1,2,4\}$. Согласно теореме 14.2 имеется изоморфизм $X\cong G/\iota_{\mathbf{a}}$, где $G$ – коммутативная хаусдорфова топологическая группа и $\iota_{\mathbf{a}}$ – антиподальная инволюция. Пользуясь тем, что проекция $G\to X$ является двулистным разветвленным накрытием по Смиту–Дольду, из локальной компактности двузначной группы $X$ легко вывести локальную компактность группы $G$. Теперь по теореме Глисона–Ямабе имеется изоморфизм $G\cong (S^1)^m\times\mathbb{R}^n\times A$, причем $m+n>0$, так как $X$ не дискретна. Теорема доказана. Для компактных двузначных групп без малых подгрупп теорема 15.4 приводит к полной классификации, аналогичной теореме 1.10. Теорема 15.8. Пусть $X$ – инволютивная коммутативная компактная хаусдорфова топологическая двузначная группа без малых подгрупп. Тогда $X$ изоморфна одной из следующих двузначных групп: Доказательство. Теорема почти сразу следует из теорем 15.4 и 1.10. Нам нужно лишь проверить, что топологические двузначные группы $X^{\mathbf{a}}_{d_1,\dots,d_k}(m)$, соответствующие разным наборам $(m;d_1,\dots,d_k)$, попарно не изоморфны и при $m\geqslant 1$ не изоморфны двузначным группам унипотентной и специальной серий. Для этого заметим, что, во-первых, связная компонента единицы в двузначной группе $X=X^{\mathbf{a}}_{d_1,\dots,d_k}(m)$ есть группа $X_0=X^{\mathbf{a}}_{\varnothing}(m)=(S^1)^m/\iota_{\mathbf{a}}$, а факторгруппа $X/X_0$ изоморфна двузначной группе $X^{\mathbf{a}}_{d_1,\dots,d_k}$. При этом топологические двузначные группы $X^{\mathbf{a}}_{\varnothing}(m)$ попарно не изоморфны, так как имеют разные размерности, а двузначные группы $X^{\mathbf{a}}_{d_1,\dots,d_k}$ попарно не изоморфны по теореме 1.10. Это завершает доказательство теоремы.
16. Алгебраические двузначные группыОбсудим теперь алгебраическую версию коммутативных инволютивных групп, следуя [6], [7], [17]. Будем для простоты работать над полем комплексных чисел $\mathbb C$. В простейшей постановке алгебраический двузначный закон умножения задается в локальных координатах уравнением $F(x,y,z)=0$, где $F(x,y,z)$ – многочлен, симметричный по переменным $x$, $y$, $z$ и имеющий степень 2 по каждой из них. Двузначный закон умножения должен удовлетворять условию ассоциативности в смысле теории соответствий: системы уравнений $F(x,y,u)=0$, $F(u,z,w)=0$ и $F(y,z,v)=0$, $F(x,v,w)=0$ после исключения $u$ и $v$ задают то же множество $(x,y,z,w) \in \mathbb C^4$. Мы предполагаем также выполнение равенства – это означает, что 0 является (сильной) единицей группы. Заметим, что в силу симметрии мы имеем равенство $F(x,y,0)=(x-y)^2$, означающее, что соответствующая группа автоматически является инволютивной. И обратно, закон сложения инволютивной двузначной группы должен быть симметричен по всем трем переменным (см. лемму 2.2).Такие группы были классифицированы в [6], [17], где было показано, что соответствующий многочлен обязан иметь вид
$$
\begin{equation}
F(x,y,z)=(x+y+z-a_2 xyz)^2-4(1+a_3 xyz)(xy+xz+yz+a_1 xyz),
\end{equation}
\tag{71}
$$
где $a_1$, $a_2$, $a_3$ – произвольные параметры. В общем случае уравнение $F=0$ для такого многочлена задает косетную группу $\mathcal E/\iota_{\mathbf{a}}$, где $\mathcal E$ – эллиптическая кривая (рассматриваемая как абелева группа), а $\iota_{\mathbf{a}}\colon \mathcal E \to \mathcal E$ – антиподальная инволюция. Более точно, рассмотрим эллиптическую кривую в стандартной форме Вейерштрасса $v^2=4u^3-g_2u-g_3$ и точку $\alpha$ на ней и зададим соответствующие параметры как
$$
\begin{equation}
a_1=3\wp(\alpha),\quad a_2=3\wp(\alpha)^2-\frac{g_2}{4}\,,\quad a_3=\frac{1}{4}(4\wp(\alpha)^3-g_2\wp(\alpha)-g_3),
\end{equation}
\tag{72}
$$
где $\wp$ – классическая эллиптическая функция Вейерштрасса, удовлетворяющая уравнению Теорема 16.1 [6], [17]. Уравнение $F(x,y,z)=0$, где $F(x,y,z)$ – симметрический многочлен такой, что $F(0,y,z)=(z-y)^2$, задает структуру алгебраической двузначной группы тогда и только тогда, когда $F$ имеет вид (71). Закон умножения $F(x,y,z)=0$ с многочленом $F$ вида (71) и параметрами (72) приводится к виду $X\pm Y\pm Z=0$ заменой переменных
$$
\begin{equation}
x=(\wp(X)+\wp(\alpha))^{-1},\quad y=(\wp(Y)+\wp(\alpha))^{-1},\quad z=(\wp(Z)+\wp(\alpha))^{-1}.
\end{equation}
\tag{73}
$$
Соответствующая двузначная группа изоморфна инволютивной косетной группе $\mathcal E/\iota_{\mathbf{a}}=\mathbb{CP}^1$, где $\mathcal E$ – эллиптическая кривая, задаваемая уравнением а $\iota_{\mathbf{a}}$ – ее инволюция $v\mapsto -v$. В случае когда корни многочлена в правой части совпадают, эллиптическая кривая вырождается в рациональную, а соответствующие двузначные инволютивные группы изоморфны косетным группам $\mathbb C^*/\iota_{\mathbf{a}}$ и $\mathbb C/\iota_{\mathbf{a}}$, где $\iota_{\mathbf{a}}(z)=z^{-1}$ и $\iota_{\mathbf{a}}(z)=-z$ соответственно. Интересно, что общее семейство (71) включает в себя все случаи формальных двузначных групп, впервые возникших в топологии в работах В. М. Бухштабера и С. П. Новикова [11], [3]–[5]: случай $a_1=0$ отвечает эллиптическим когомологиям, случай $a_2=a_3=0$ – $K$-теории, а самый вырожденный случай $a_1=a_2=a_3=0$ – обычным когомологиям (подробности см. в [17]). Заметим, что, как следует из параметризации (73), с алгебро-геометрической точки зрения общее уравнение (71) задает (аффинную часть) специальной поверхности Куммера $\mathcal E\times\mathcal E/{\pm I}$. Общие поверхности Куммера, отвечающие многообразиям Якоби кривых рода 2, обсуждаются в работе В. М. Бухштабера и В. Драговича [8] в связи с интегрируемыми биллиардами. Соответствующие двузначные группы на поверхностях Куммера, вложенных в $\mathbb{CP}^3$, явно описываются в терминах законов сложения для $\wp$-функций Клейна [9]. Естественно предположить, что общие алгебраические двузначные коммутативные инволютивные группы получаются косетной конструкцией из абелевых многообразий и их вырождений, но детали постановки нуждаются в уточнении. Для доказательства могут быть полезны результаты А. Пиллая [32], использующие теорему Хрушовского из теории моделей. Общая теория одномерных двузначных формальных групп была фактически завершена В. М. Бухштабером в работе [4]. В частности, там было введено понятие канонических инвариантных операторов $d_n$ и было показано, что для двузначных формальных законов сложения, задаваемых соотношением канонический оператор $d_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
d_1=\frac{1}{2}\varphi_1(x)\frac{d}{dx}+ \frac{1}{8}\varphi_2(x) \frac{d^2}{dx^2}\,,
\end{equation}
\tag{75}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_1(x)=\frac{\partial\Theta_1(x,y)}{\partial y}\bigg|_{y=0}, \qquad \varphi_2(x)=\frac{\partial\sigma(x,y)}{\partial y}\bigg|_{y=0}, \\ \sigma(x,y)=\Theta_1^2(x,y)-4\Theta_2(x,y). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Там же было показано, что алгебра инвариантных операторов на группе свободно порождается каноническим оператором $d_1$, и была найдена общая формула для экспоненты таких групп. Нетрудно проверить, что для алгебраических двузначных групп, отвечающих многочленам вида (71), канонический оператор (75) в параметризации (73) является просто оператором второй производной $d^2/dX^2$ по эллиптической координате $X$ (или частным случаем оператора Ламе $\mathcal L=d^2/dX^2-m(m+1)\wp(X)$ при $m=0$), порождающим алгебру дифференциальных операторов, инвариантных относительно сдвигов на эллиптической кривой (74) и инволюции $\iota_{\mathbf{a}}$. Соответствующая экспонента явно выписана в эллиптических функциях в работе [6]. 17. Заключительные замечанияСтруктурная теория $n$-значных групп находится в самом начале своего развития, и большинство вопросов являются открытыми. В нашей работе завершена классификация двузначных коммутативныx инволютивныx групп в предположении конечной порожденности и в некоторых важных топологических классах. В общем случае наиболее перспективным представляется развитие теории $n$-значных групп Ли. В частности, в случае $n$-значной группы $G/H$, $H \subset \operatorname{Aut}G$, получаемой косетной конструкцией из группы Ли $G$, естественно изучать алгебру дифференциальных операторов на $G$, инвариантных относительно (скажем, левых) сдвигов на $G$ и действия группы автоморфизмов $H$. Соответствующая алгебра может рассматриваться как аналог универсальной обертывающей алгебры для $n$-значной группы Ли, исследование которой в общем случае представляется важной и интересной задачей. Пример эллиптической двузначной группы показывает наличие структуры двузначной группы Ли на двумерной сфере, не допускающей обычной групповой структуры. Вопрос о топологических препятствиях к $n$-значной групповой структуре представляет большой интерес. Как показал Х. Хопф [26], если на топологическом пространстве существует (однозначное) умножение с единицей, то в кольце когомологий этого пространства определена структура алгебры Хопфа. Несуществование такой структуры является препятствием к введению умножения на топологическом пространстве. В работах В. М. Бухштабера и Э. Риса [12], [13] (см. также [14]) было показано, что существование на пространстве $n$-значного умножения приводит к аналогичной структуре, названной ими $n$-алгеброй Хопфа. В случае четырехмерных многообразий соответствующие препятствия были исследованы Т. Е. Пановым [31]. Им был получен явный список гомотопических типов односвязных четырехмерных многообразий, когомологии которых допускают структуру $2$-алгебры Хопфа. В результате только многообразия из этого списка могут допускать двузначное умножение. Отметим, что односвязное особое многообразие Куммера $\mathcal{E}\times\mathcal{E}/\pm I\approx T^4/\iota_{\mathbf{a}}$ является двузначной группой, которая реализует случай второго числа Бетти $6$, указанный Т. Е. Пановым. Ряд результатов о многозначных умножениях на сферах был получен Д. В. Гугниным [25]. В теории формальных двузначных групп значительные продвижения были получены в 1970-х годах в работах В. М. Бухштабера [3]–[5], мотивированных приложениями в теории кобордизмов [11]. Эти работы, в частности, обнаружили глубокую связь с теорией операторов обобщенного сдвига Дельсарта–Левитана [27]. Методы этих работ, а также связи с теорией квантовых групп и алгебр Хопфа [12], [13] могут быть полезны в более общем контексте наших проблем. В ходе развития теории $n$-значных групп большое внимание уделяется их конструкциям, происходящим из разных разделов математики. Одной из таких конструкций является сопоставление некоммутативной группе $n$-значной группы на множестве ее неприводимых представлений (см. [7]). Это естественно рассматривать как интерпретацию в чисто групповых терминах двойственности Танаки–Крейна (см. [1]) – аналога двойственности Понтрягина для некоммутативных групп. Теории двойственности для $n$-значных групп посвящены работы [10], [43], [44]. Отметим еще одну конструкцию. Групповая алгебра косетной $n$-значной группы является подалгеброй групповой алгебры исходной группы, порожденной элементами, заданными суммами точек орбит действия группы автоморфизмов. Более общий пример группового происхождения – так называемые кольца Шура (см. [42]). В связи с проблемой колец Шура в работе [15] теоретико-числовыми методами построены примеры некосетных $n$-значных групп. Наконец, имеются важные связи с теорией интегрируемых систем [16], [39], [40], где также многие вопросы остаются открытыми (см., например, обсуждение и ссылки в обзоре [17]). В частности, в работах А. П. Веселова [38], [40] был предложен подход к интегрируемости многозначных отображений в терминах роста числа образов их итераций. Связь этого подхода с теорией многозначных групп обсуждается в работе [16]. Интересно отметить, что оригинальное доказательство замечательной теоремы Громова о том, что конечно порожденные группы полиномиального роста являются почти нильпотентными, использует результаты Э. Глисона, Д. Монтгомери и Л. Зиппина (см. [24]). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BucVesGai22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|