| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях Ю. Л. Сачков Институт программных систем им. А. К. Айламазяна Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10063e 
Реферативные базы данных:
    1. ПредисловиеИсследование инвариантных управляемых систем на группах Ли и однородных пространствах является одной из центральных тем геометрической теории управления. С теоретической точки зрения это естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная глобальная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное видение). Хорошо известно, что получить точное решение глобальной нелинейной задачи управления (например, задачи управляемости или оптимального управления) представляется очень сложным, если задача не имеет большой группы симметрий. Для инвариантных задач на группах Ли (и их проекций на однородные пространства) точное решение часто можно найти на основе методов геометрической теории управления с использованием техники дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли. Полученное решение инвариантной задачи может дать хорошую аппроксимацию соответствующей нелинейной задачи. Например, инвариантная субриманова геометрия на группе Гейзенберга служит краеугольным камнем всей субримановой геометрии. Основные задачи, рассматривавшиеся для левоинвариантных систем на группах Ли, – задача управляемости и задача оптимального управления. По задаче управляемости имеется обширная литература; она описана, например, в обзоре [128]. В настоящем обзоре рассматриваются только задачи, интегрируемые в эллиптических функциях. Задачи, интегрируемые в элементарных функциях, рассмотрены в обзоре [143]. 2. Задачи, интегрируемые в эллиптических функциях и интегралах2.1. Эллиптические интегралы и функцииСтандартные источники по эллиптическим интегралам и функциям: [8], [98], [162]. Мы приведем ниже минимальные сведения о них, необходимые для изложения в последующих разделах. Эллиптические интегралы в форме Якоби. Эллиптические интегралы Лежандра первого рода:
$$
\begin{equation*}
F(\varphi,k)=\int_0^{\varphi}\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2 t}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
второго рода:
$$
\begin{equation*}
E(\varphi, k)=\int_0^{\varphi} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} \, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
третьего рода:
$$
\begin{equation*}
\Pi(m; \varphi, k)=\int_0^{\varphi} \frac{dt}{(1+m \sin^2 t)\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}\,;
\end{equation*}
\notag
$$
здесь и далее эллиптический модуль $k$ принадлежит интервалу $(0,1)$. Дополнительный модуль есть $k'=\sqrt{1-k^2}$. Полные эллиптические интегралы:
$$
\begin{equation*}
K(k)=F\biggl(\frac{\pi}{2}\,, k\biggr), \qquad E(k)=E\biggl(\frac{\pi}{2}\,, k\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Эллиптические функции Якоби:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{am}(u,k) \ \ \Longleftrightarrow \ \ u=F(\varphi, k), \\ \operatorname{sn}(u,k)=\sin \operatorname{am}(u,k), \qquad \operatorname{cn}(u,k)=\cos \operatorname{am}(u,k), \\ \operatorname{dn}(u,k)=\sqrt{1-k^2 \operatorname{sn}^2(u,k)}\,, \qquad \operatorname{E}(u,k)=E(\operatorname{am}u,k). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При записи эллиптических функций модуль $k$ часто опускается. Стандартные формулы. Производные и интегралы:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{am}' u=\operatorname{dn} u, \quad \operatorname{sn}'u=\operatorname{cn} u \operatorname{dn} u, \quad \operatorname{cn}' u=- \operatorname{sn} u \operatorname{dn} u, \quad \operatorname{dn}'u=- k^2 \operatorname{sn} u \operatorname{cn} u
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\int_0^u \operatorname{dn}^2 t \, dt=\operatorname{E}(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Вырождение:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{6} k &\to +0 &\quad &\Longrightarrow &\quad \operatorname{sn} u &\to \sin u, &\quad \operatorname{cn} u &\to \cos u,&\quad \operatorname{dn} u &\to 1, &\quad \operatorname{E}(u) &\to u; \\ k &\to 1-0 &\quad &\Longrightarrow &\quad \operatorname{sn} u &\to \operatorname{th} u, &\quad \operatorname{cn} u&\to \frac{1}{ \operatorname{ch} u}\,, &\quad \operatorname{dn} u &\to \frac{1}{ \operatorname{ch} u}\,, &\quad \operatorname{E}(u) &\to \operatorname{th} u. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
2.2. Математический маятникВо всех субримановых задачах разделов 2.3–2.10 вертикальная подсистема гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина загадочным образом сводится к уравнению маятника, поэтому все они интегрируются в эллиптических функциях и интегралах. 2.2.1. Уравнение маятника и его решениеРассмотрим математический маятник – материальную точку, закрепленную на невесомом нерастяжимом стержне длины $L$, который может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса. Пусть $\theta$ обозначает угол отклонения маятника от нижнего вертикального положения. Тогда движение маятника удовлетворяет уравнениям где $r=g/L > 0$ и $g$ есть ускорение силы тяжести. Полная энергия маятника (первый интеграл уравнений (2.1)) есть Характер движения маятника определяется значением энергии $E$:
Выше указан характер движений маятника (2.1) при $r=g/L >0$. Если же $r=0$ (что можно истолковать как отсутствие силы тяжести), то:
Случай $r < 0$ (сила тяжести направлена вверх) сводится к случаю $r > 0$ заменой переменных $(\theta, c, r) \mapsto (\theta+\pi, c, -r)$. 2.2.2. Выпрямляющие координатыПри $r > 0$ фазовый цилиндр маятника (2.1),
$$
\begin{equation*}
C=\{(\theta, c) \mid \theta\in S^1, \ c \in \mathbb{R}\}, \qquad S^1=\mathbb{R}/{2\pi}\mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
стратифицируется в зависимости от типа движения маятника: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=\{(\theta, c) \in C \mid E \in (-r, r)\}, \\ C_2&=\{(\theta, c) \in C \mid E >r\}, \\ C_3&=\{(\theta, c) \in C \mid E=r, \ c \ne 0\}, \\ C_4&=\{(\theta, c) \in C \mid c=0, \ \theta=0\}, \\ C_5&=\{(\theta, c) \in C \mid c=0, \ \theta=\pi\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В областях $C_1$, $C_2$, $C_3$ можно ввести координаты $(\varphi,k)$, выпрямляющие уравнение маятника. Если $(\theta,c) \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+r}{2r}} \in (0, 1), \qquad \sqrt r\,\varphi\operatorname{mod}{4K(k)} \in [0,4K(k)], \\ \sin \frac{\theta}{2}=k \operatorname{sn}(\sqrt r\,\varphi, k), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt r\,\varphi, k), \\ c=2 k \sqrt r\,\operatorname{cn}(\sqrt r\,\varphi, k). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(\theta, c) \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2r}{E+r}} \in (0, 1), \qquad \sqrt r\,\varphi\operatorname{mod}{2k K(k)} \in [0,2k K(k)], \\ \sin \frac{\theta}{2}=\pm\operatorname{sn} \biggl(\frac{\sqrt r\,\varphi}{k}\,, k\biggr), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\frac{\sqrt r\,\varphi}{k}\,, k\biggr), \\ c=\pm 2 \frac{\sqrt r}{k}\operatorname{dn} \biggl(\frac{\sqrt r \,\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $(\theta, c) \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=1, \quad \varphi \in \mathbb{R}, \\ \sin \frac{\theta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi), \qquad \cos \frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,, \\ c=\pm \frac{2 \sqrt r}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В координатах $(\varphi,k)$ уравнение маятника (2.1) выпрямляется: поэтому оно имеет решение
$$
\begin{equation*}
\varphi_t=\varphi+t, \quad k \equiv \operatorname{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти выпрямляющие координаты и их модификации используются для параметризации экстремальных траекторий в разделах 2.4–2.10. 2.2.3. Библиографические комментарииПункт 2.2.1 опирается на книгу [8], а п. 2.2.2 – на статью [123] (см. также [98], [142], [162]). 2.3. Плоская субриманова задача Мартине2.3.1. Постановка задачиПлоская субриманова структура Мартине задается метрикой $ds^2=dx^2+dy^2$ на распределении Мартине $\Delta=\{dz-(1/2)y^2\,dx= 0\}$ в пространстве $M=\mathbb{R}^3_{x, y, z}$. Ортонормированный репер может быть выбран в форме
$$
\begin{equation*}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{y^2}{2}\, \frac{\partial}{\partial z}\,, \qquad X_2=\frac{\partial}{\partial y}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $X_3=\partial/\partial z$, тогда алгебра Ли, порожденная полями $X_1$, $X_2$, имеет таблицу умножения
$$
\begin{equation*}
[X_1,X_2]=-yX_3, \quad [X_2,[X_1,X_2]]=-X_3,\quad [X_1,[X_1,X_2]]=0, \quad \operatorname{ad} X_3=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. это алгебра Энгеля (см. раздел 2.9). Плоская субриманова структура Мартине не левоинвариантна, но мы включаем ее в данный обзор из-за ее особой роли в субримановой геометрии:
Задача оптимального управления для плоской субримановой структуры Мартине имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot q=u_1X_1+u_2X_2, \quad q=(x, y, z) \in\mathbb{R}^3, \quad u=(u_1, u_2)\in\mathbb{R}^2, \\ q(0)=q_0, \quad q(t_1)=q_1, \\ J=\frac{1}{2}\int_0^{t_1}(u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2.3.2. Принцип максимума ПонтрягинаНормальные экстремали суть траектории гамильтонова поля с гамильтонианом
$$
\begin{equation*}
H=\frac{1}{2}(h_1^2+h_2^2)= \frac{1}{2}\biggl[\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)^2+p_y^2\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $(p_x,p_y,p_z)$ – канонические координаты ковектора $\lambda \in T^*M$, а $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i(q) \rangle$, $i=1,2,3$. Соответствующая гамильтонова система $\dot \lambda=\vec H(\lambda)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \dot x&=p_x+\frac{y^2}{2}p_z, &\qquad \dot p_x&=0, \\ \dot y&=p_y, &\qquad \dot p_y&=-\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)p_z y, \\ \dot z&=\biggl(p_x+\frac{y^2}{2}p_z\biggr)\frac{y^2}{2}\,,&\qquad \dot p_z&=0, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} &\dot x=h_1, &\qquad \dot h_1&=yh_2h_3, \\ &\dot y=h_2, &\qquad \dot h_2&=-yh_1h_3, \\ &\dot z=\frac{y^2}{2}h_1, &\qquad \dot h_3&=0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Будем рассматривать экстремали на поверхности уровня $\{H=1/2\}$, на которой введем координаты 2.3.3. СимметрииОтражения. Субриманова структура $(\Delta,ds^2)$ сохраняется группой отражений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Sym}=\{ \operatorname{Id}, \varepsilon^1, \varepsilon^2, \varepsilon^3 \} \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, \\ \begin{alignedat}{2} \varepsilon^1\colon (x, y, z)&\mapsto (x, -y, z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (\pi-\theta, c), \\ \varepsilon^2\colon (x, y, z)&\mapsto (- x, y, -z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (-\theta,-c), \\ \varepsilon^3\colon (x, y, z)&\mapsto (- x, -y, -z), &\qquad (\theta, c)&\mapsto (\theta-\pi,-c). \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дилатации. Гамильтонова система (2.2) сохраняется однопараметрической группой дилатаций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x,y,z) &\mapsto (\delta^{-1}x,\delta^{-1}y,\delta^{-3}z), \\ (h_1,h_2,h_3)&\mapsto (\delta^{-1}h_1,\delta^{-1}h_2,\delta h_3). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.3.4. Параметризация геодезическихДалее предполагается, что $q_0=0$. Предложение 2.2. Натурально параметризованные геодезические, выходящие из $q_0=0$, суть кривые Пусть $\operatorname{Exp}$ обозначает экспоненциальное отображение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}\colon C \times \mathbb{R}_+ \to M, \quad (\lambda, t)\mapsto q_t=\pi \circ e^{t\vec H}(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где 2.3.5. Сопряженное времяЕсли геодезическая проецируется на плоскость $(x, y)$ в прямую и строго нормальна, то она оптимальна, а потому свободна от сопряженных точек. В анормальном случае геодезическая оптимальна и состоит из сопряженных точек. Пусть $\lambda=(\theta, c) \in C$, и пусть геодезическая $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda, t)$ проецируется на плоскость $(x, y)$ не в прямую. Благодаря симметриям $\varepsilon^1$ и $\varepsilon^2$ можно считать, что $c > 0$ и $\theta \in (-\pi/2,\pi/2)$. Тогда первое сопряженное время есть
$$
\begin{equation*}
t_{\rm conj}^1(\lambda)=\min\{t > 0 \mid v^2 c_1(v)+vc_2(v)+c_3(v)=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_1(v)&=k'^2\,\frac{\operatorname{cn} v}{\operatorname{dn} v}\,, \\ c_2(v)&=k'^2 \operatorname{sn} v- 2k'^2 \operatorname{E}(v)\frac{\operatorname{cn} v}{\operatorname{dn} v}\,, \\ c_3(v)&=\operatorname{E}^2(v)\frac{\operatorname{cn}v}{\operatorname{dn}v}- \operatorname{E}(v)\operatorname{sn} v \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $v=t\, \sqrt c$. Теорема 2.1. Пусть $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C$, $t > 0$, есть геодезическая, которая проецируется на плоскость $(x,y)$ не в прямую. Тогда Приближенные вычисления показывают, что отношение $t_{\rm conj}^1\, \sqrt{|c|}/(3K)$ есть приближенно константа $0.97$. 2.3.6. Время разреза и множество разрезаТеорема 2.2. Геодезические, проецирующиеся на плоскость $(x,y)$ в прямую, суть кратчайшие. Геодезическая $q_t=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C$, $t > 0$, проецирующаяся на плоскость $(x,y)$ не в прямую, имеет время разреза $t_{\rm cut}(\lambda)=2K/\sqrt{|c|}$, соответствующее ее первому пересечению с плоскостью Мартине $\{y=0\}$. Множество разреза есть Это множество не пересекается с первой каустикой.2.3.7. Сфера и фронтРазные сферы с центром $q_0=0$ переводятся друг в друга дилатациями, поэтому достаточно рассмотреть единичную сферу Сфера $S$ изображена на рис. 1 в координатах $(x,y,v)$, $v=z-xy^2/6$.Теорема 2.3. Пересечение сферы $S$ с множеством разреза (см. рис. 2) есть кривая $k \mapsto \gamma(k)$, содержащаяся в плоскости Мартине $\{y=0\}$ и заданная параметрическими уравнениями где $k\! \in\! (0,1)$, и кривая, полученная из $\gamma$ симметрией $\varepsilon^2|_{\{y=0\}}\colon\! (x,z) \mapsto (-x,-z)$. Если $k \to +0$, то кривая $\gamma$ есть сужение на полуплоскость $\{z>0\}$ графика аналитической функции Если $k \to 1-0$, то кривая $\gamma$ есть график гладкой неаналитической функции где $F$ есть плоская функцияТеорема 2.4. Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине не субаналитично, поэтому сфера $S$ не субаналитична. Рассмотрим волновой фронт из точки $q_0$ за единичное время:
$$
\begin{equation*}
W=\{q \in M \mid q=\operatorname{Exp}(\lambda,1), \ \lambda \in C\},
\end{equation*}
\notag
$$
остальные фронты из точки $q_0$ переводятся в этот фронт дилатациями. Теорема 2.5. Пересечение волнового фронта $W$ с плоскостью Мартине $\{y=0\}$ и полупространством $\{z > 0\}$ есть объединение кривых $\gamma_n$, $n \in \mathbb{N}$, замыкание которых имеет две точки ветвления $x=\pm 1$, $z=0$. Кривая $\gamma_n$ задается параметрическими уравнениями Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине и полупространством $\{z > 0\}$ есть параметрически заданная кривая $k \mapsto (x(k), z(k))$, $k\in (0,1)$ (см. (2.3), (2.4)). Эта кривая продолжается по непрерывности в полуплоскость $\{z \geqslant 0\}$ условием $k \in [0,1]$. Полученная кривая полуаналитична при $k \ne 1$. Однако при $k=1$ эта кривая не полуаналитична, поэтому не субаналитична. Теорема 2.6. Пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине $\{y=0\}$ и полуплоскостью $\{z \geqslant 0\}$ вблизи точки $X=0$, где $X=(x+1)/2$, является графиком функции вида где $X \geqslant 0$ и $F$ есть аналитическое отображение из окрестности точки $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$. Поэтому пересечение сферы $S$ с плоскостью Мартине принадлежит $\exp$-$\log$-категории [65], [101]. 2.3.8. Библиографические комментарииЭтот раздел опирается на работу [3]. 2.4. Субриманова задача на группе $\operatorname{SE}(2)$ евклидовых движений плоскости2.4.1. Постановка задачиМеханическая постановка. Рассмотрим задачу об оптимальном движении для кинематической модели мобильного робота на плоскости. Состояние робота задается его положением на плоскости $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ и углом ориентации $\theta \in S^1=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ относительно положительного направления оси абсцисс. Робот может двигаться с произвольной линейной скоростью $u_1 \in \mathbb{R}$ и при этом поворачиваться с произвольной угловой скоростью $u_2\in\mathbb{R}$. Требуется перевести робот из начального состояния $g_0=(x_0,y_0,\theta_0)$ в конечное состояние $g_1=(x_1, y_1, \theta_1)$ вдоль кратчайшего пути в пространстве состояний. Длина пути в пространстве состояний $\mathbb{R}^2_{x, y}\times S^1_{\theta}$ измеряется интегралом $\displaystyle\int_0^{t_1}(\dot x^2+\dot y^2+\alpha^2\dot\theta^2)^{1/2}\,dt$, где $\alpha > 0$ – некоторое заданное число, определяющее компромисс между линейной и угловой скоростью. Задача оптимального управления и ее нормализация. Описанная задача для мобильного робота формализуется как задача оптимального управления:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot x=u_1 \cos\theta, \quad \dot y=u_1 \sin \theta, \quad \dot\theta=u_2, \\ g=(x, y, \theta) \in \mathbb{R}^2_{x,y}\times S^1_{\theta}, \quad u=(u_1, u_2)\in\mathbb{R}^2, \\ g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \\ l=\int_0^{t_1}\sqrt{u_1^2+\alpha^2u_2^2}\,\, dt \to \min. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Заменой масштаба в плоскости $(x,y)$:
$$
\begin{equation*}
(x,y,\theta) \mapsto \biggl(\frac{x}{\alpha}\,, \frac{y}{\alpha}\,,\theta\biggr),\quad (u_1, u_2)\mapsto \biggl(\frac{u_1}{\alpha}\,,u_2\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
можно свести эту задачу к случаю $\alpha=1$. Параллельными переносами и поворотами плоскости $(x,y)$ можно добиться равенства $g_0=(0,0,0)$. В итоге получаем задачу оптимального управления:
$$
\begin{equation}
\dot x=u_1 \cos \theta, \quad \dot y=u_1 \sin \theta, \quad \dot \theta=u_2,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
g=(x, y, \theta) \in \mathbb{R}^2_{x, y}\times S^1_{\theta}, \qquad u=(u_1, u_2)\in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
g(0)=g_0=(0, 0, 0), \quad g(t_1)= g_1=(x_1, y_1, \theta_1),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Это субриманова задача, заданная ортонормированным репером
$$
\begin{equation}
X_1=\cos\theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial \theta}\,.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Группа движений плоскости. Группа $G=\operatorname{SE}(2)$ собственных евклидовых движений плоскости есть полупрямое произведение группы параллельных переносов $\mathbb{R}^2$ и группы вращений $\operatorname{SO}(2)$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SE}(2)=\mathbb{R}^2 \ltimes \operatorname{SO}(2).
\end{equation*}
\notag
$$
Эта группа имеет линейное представление
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SE}(2)=\left\{\begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta & x \\ \sin \theta &\hphantom{-} \cos \theta & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \bigg|\ \theta \in S^1= \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \ x,y \in \mathbb{R}\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие движения $g=(x, y, \theta)$ на вектор $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ вычисляется с помощью матричного произведения:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & x \\ \sin \theta & \hphantom{-}\cos \theta & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \cos \theta-b \sin\theta+x \\ a\sin\theta+b\cos \theta+y \\ 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
g\colon (a,b) \mapsto (a\cos\theta-b\sin\theta+x, \ a\sin\theta+b \cos\theta+y).
\end{equation*}
\notag
$$
Алгебра Ли группы Ли $\operatorname{SE}(2)$ есть
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{se}(2)=\operatorname{span}(E_{21}-E_{12},E_{13},E_{23}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $E_{ij}$ есть $(3\times 3)$-матрица с единственным ненулевым элементом – единицей в строке $i$ и столбце $j$. Базисные левоинвариантные векторные поля на группе $\operatorname{SE}(2)$ суть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_1&=g E_{13}=\cos\theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \\ X_2&=g(E_{21}-E_{12})=\frac{\partial}{\partial \theta}\,, \\ X_3&=- g E_{23}=\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial x}- \cos \theta\,\frac{\partial}{\partial y} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с таблицей умножения
$$
\begin{equation}
[X_1,X_2]=X_3, \quad [X_2,X_3]=X_1, \quad [X_1,X_3]=0.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Ортонормированный репер (2.9) для субримановой задачи (2.5)–(2.8) состоит из левоинвариантных полей, поэтому эта задача – левоинвариантная субриманова задача на группе $G=\operatorname{SE}(2)$. Согласно классификации Аграчева–Барилари [1], это единственная, с точностью до локальных изометрий, вполне неголономная субриманова задача на $\operatorname{SE}(2)$; ей соответствуют инварианты $\chi=\kappa=1$. Существование оптимальных управлений в задаче (2.5)–(2.8) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова: система имеет полный ранг, так как
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,X_2,X_3), \qquad X_3=[X_1,X_2].
\end{equation*}
\notag
$$
2.4.2. Принцип максимума ПонтрягинаАнормальные траектории постоянны. Нормальные экстремали суть траектории гамильтоновой системы $\dot\lambda=\vec H(\lambda)$, $\lambda \in T^*G$, где $H=(h_1^2+h_2^2)/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i \rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \dot h_1&=- h_2 h_3, &\quad \dot h_2&=h_1 h_3, &\quad \dot h_3&=h_1 h_2, \\ \dot x&=h_1 \cos \theta, &\quad \dot y&=h_1 \sin \theta, &\quad \dot \theta&=h_2. \notag \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
На поверхности уровня $\{H=1/2\}$ в координатах $(\gamma, c)$, где
$$
\begin{equation*}
h_1=\sin \frac{\gamma}{2}\,, \quad h_2=-\cos \frac{\gamma}{2}\,, \quad c=2h_3,
\end{equation*}
\notag
$$
вертикальная подсистема (2.11) гамильтоновой системы принимает форму двулистного накрытия маятника:
$$
\begin{equation}
\dot\gamma=c, \quad \dot c=-\sin\gamma, \quad (\gamma,c) \in C=\mathfrak{g}^*\cap\biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\} \cong (2S^1_{\gamma})\times \mathbb{R}_c, \quad 2S^1=\mathbb{R}/4\pi\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Первый интеграл этого уравнения – энергия маятника Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеется функция Казимира $F=h_1^2+h_3^2$. Симплектическое слоение состоит из круговых цилиндров $\{h_1^2+h_3^2=\operatorname{const} > 0\}$ и точек $\{h_1=h_3=0, \ h_2=\operatorname{const}\}$. Энергия маятника есть линейная комбинация функции Казимира и гамильтониана: Стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты. Цилиндр $C$ разбивается на инвариантные множества маятника (2.12) критическими линиями уровня энергии $E$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}[t] \, C&=\bigsqcup_{i=1}^5 C_i, \\ C_1&=\{\lambda \in C \mid E \in (-1, 1) \}, \notag \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid E \in (1,+\infty) \}, \notag \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid E =1, \ c \ne 0 \}, \notag \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid E=- 1 \}= \{ (\gamma, c) \in C \mid \gamma=2 \pi n, \ c=0 \}, \notag \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid E=1, \ c=0 \}= \{ (\gamma, c) \in C \mid \gamma=\pi+2 \pi n, \ c=0 \}, \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $n \in \mathbb{Z}$. Для регулярного интегрирования уравнения маятника (2.12) на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ вводятся координаты $(\varphi, k)$, выпрямляющие это уравнение. Если $\lambda=(\gamma, c) \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+1}{2}}= \sqrt{\sin^2 \frac{\gamma}{2}+\frac{c^2}{4}} \in (0,1), \\ \sin \frac{\gamma}{2}=s_1 k \operatorname{sn}(\varphi,k), \qquad s_1=\operatorname{sign} \cos\frac{\gamma}{2}\,, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=s_1 \operatorname{dn}(\varphi,k), \\ \frac{c}{2}=k \operatorname{cn}(\varphi,k), \qquad \varphi \in [0, 4 K(k)]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda=(\gamma, c) \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2}{E+1}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^2(\gamma/2)+c^2/4}} \in (0,1), \\ \sin \frac{\gamma}{2}= s_2 \operatorname{sn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad s_2=\operatorname{sign} c, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=\operatorname{cn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \frac{c}{2}= \frac{s_2}{k}\operatorname{dn}\biggl(\frac{\varphi}{k}\,,k\biggr), \qquad \varphi \in [0,4 k K(k)]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=1, \\ \sin \frac{\gamma}{2}=s_1 s_2 \operatorname{th} \varphi, \qquad s_1=\operatorname{sign} \cos\frac{\gamma}{2}\,, \quad s_2=\operatorname{sign} c, \\ \cos \frac{\gamma}{2}=\frac{s_1}{ \operatorname{ch} \varphi}\,, \\ \frac{c}{2}=\frac{s_2}{ \operatorname{ch} \varphi}\,, \qquad \varphi \in (-\infty, +\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В координатах $(\varphi,k)$ поток маятника (2.12) выпрямляется:
$$
\begin{equation*}
\dot \varphi=1, \quad \dot k=0, \qquad \lambda=(\varphi,k) \in \bigcup_{i=1}^3 C_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Параметризация геодезических. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=\operatorname{cn} \varphi \operatorname{cn} \varphi_t+ \operatorname{sn} \varphi \operatorname{sn} \varphi_t, \\ \sin \theta_t&=s_1(\operatorname{sn} \varphi \operatorname{cn} \varphi_t- \operatorname{cn} \varphi \operatorname{sn} \varphi_t),\\ \theta_t&=s_1(\operatorname{am} \varphi- \operatorname{am} \varphi_t)\operatorname{mod}{2\pi}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=\frac{s_1}{k}[\operatorname{cn}\varphi(\operatorname{dn}\varphi- \operatorname{dn}\varphi_t)+\operatorname{sn} \varphi(t+\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_t))], \\ y_t&=\frac{1}{k}[\operatorname{sn}\varphi(\operatorname{dn}\varphi- \operatorname{dn}\varphi_t)-\operatorname{cn}\varphi(t+ \operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_t))]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=k^2 \operatorname{sn} \psi \operatorname{sn} \psi_t+ \operatorname{dn} \psi \operatorname{dn} \psi_t, \\ \sin \theta_t&=k(\operatorname{sn} \psi \operatorname{dn} \psi_t- \operatorname{dn} \psi \operatorname{sn} \psi_t), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=s_2 k\biggl[\operatorname{dn} \psi(\operatorname{cn} \psi- \operatorname{cn} \psi_t)+\operatorname{sn} \psi\,\biggl(\frac{t}{k}+ \operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_t)\biggr)\biggr], \\ y_t&=s_2\biggl[k^2\operatorname{sn} \psi (\operatorname{cn} \psi- \operatorname{cn} \psi_t)-\operatorname{dn} \psi\,\biggl(\frac{t}{k}+ \operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_t)\biggr)\biggr], \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi=\varphi/k$ и $\psi_t=\varphi_t/k=\psi+t/k$. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_3$, $k=1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \cos \theta_t&=\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi \operatorname{ch} \varphi_t}+ \operatorname{th} \varphi \operatorname{th} \varphi_t, \\ \sin \theta_t&= s_1\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t&=s_1 s_2\biggl[\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi} \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr)+ \operatorname{th} \varphi\, (t+ \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_t)\biggr], \\ y_t&=s_2\biggl[ \operatorname{th} \varphi\, \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr)-\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi} (t+ \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_t)\biggr]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_4$, то Если $\lambda \in C_5$, то
$$
\begin{equation*}
\theta_t=0, \qquad x_t=t\operatorname{sign}\sin\frac{\gamma}{2}\,, \qquad y_t=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекции геодезических на плоскость $(x,y)$ в случаях $C_1$, $C_2$ и $C_3$ изображены соответственно на рис. 3, 4 и 5. 2.4.3. Симметрии и страты МаксвеллаФазовый портрет маятника (2.12) сохраняется группой симметрий $\operatorname{Sym}$, порожденной отражениями цилиндра $C$ относительно осей координат $\gamma$, $c$, в начале координат $(\gamma,c)=(0,0)$ и поворотом на угол $2\pi$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (\gamma,c)&\to (\gamma,-c), \\ \varepsilon^2\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma,c), \\ \varepsilon^3\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma,-c), \\ \varepsilon^4\colon (\gamma,c)&\to (\gamma+2 \pi,c), \\ \varepsilon^5\colon (\gamma,c)&\to (\gamma+2 \pi,-c), \\ \varepsilon^6\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma+2 \pi,c), \\ \varepsilon^7\colon (\gamma,c)&\to (-\gamma+2 \pi,-c). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти симметрии естественно продолжаются на прообраз и образ экспоненциального отображения. Если $\nu=(\lambda,t)=(\gamma,c,t) \!\in\! N=C \times \mathbb{R}_+$, то $\varepsilon^i(\nu)=\nu^i=(\lambda^i,t)=(\gamma^i,c^i,t)\! \in\! N$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\gamma^1,c^1)&=(\gamma_t, -c_t), \\ (\gamma^2,c^2)&=(-\gamma_t, c_t), \\ (\gamma^3,c^3)&=(-\gamma, -c), \\ (\gamma^4,c^4)&=(\gamma+2 \pi, c), \\ (\gamma^5,c^5)&=(\gamma_t+2 \pi, -c_t), \\ (\gamma^6,c^6)&=(-\gamma_t+ 2 \pi, c_t), \\ (\gamma^7,c^7)&=(-\gamma, -c). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $g=(x,y,\theta) \in G$, то $g^i=\varepsilon^i(g)=(x^i,y^i,\theta^i) \in G$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x^1,y^1,\theta^1)&=(x \cos \theta+y \sin \theta, x \sin \theta- y \cos \theta, \theta), \\ (x^2,y^2,\theta^2)&=(-x \cos \theta- y \sin \theta, -x \sin \theta+y \cos \theta, \theta), \\ (x^3,y^3,\theta^3)&=(-x, -y, \theta), \\ (x^4,y^4,\theta^4)&=(-x, y, -\theta), \\ (x^5,y^5,\theta^5)&=(-x \cos \theta-y \sin \theta, x \sin \theta- y \cos \theta, -\theta), \\ (x^6,y^6,\theta^6)&=(x \cos \theta+y \sin \theta, -x \sin \theta+ y \cos \theta, -\theta), \\ (x^7,y^7,\theta^7)&=(x, -y, -\theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.3. Группа $\operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\}$ есть подгруппа группы симметрий экспоненциального отображения. Теорема 2.7. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом: Замечание 2.1. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла, соответствующее группе $\operatorname{Sym}$, не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время. Обозначим через $\vec H_v$ вертикальную компоненту гамильтонова векторного поля $\vec H$, соответствующую обыкновенному дифференциальному уравнению (2.11). Теорема 2.8. Функция $t_{\rm Max}^1\colon C \to (0,+\infty]$ имеет следующие свойства инвариантности: 2.4.4. Оценки сопряженного времениТеорема 2.9. (1) Если $\lambda \in C_1\cup C_3\cup C_4\cup C_5$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty$. (2) Если $\lambda \in C_2$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)\in [2kp_1^1,4kK]$. (3) Следовательно, $t_{\rm conj}^1(\lambda) \geqslant t_{\rm Max}^1(\lambda)$ для всех $\lambda \in C$. 2.4.5. Диффеоморфная структура экспоненциального отображенияРассмотрим подмножество в пространстве состояний, не содержащее неподвижных точек отражений $\varepsilon^i$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde G=\{g \in G \mid \varepsilon^i(g) \ne g, \ i=1,\dots,7\}= \{g \in G \mid R_1(g) R_2(g)\sin\theta\ne 0\}, \\ R_1=y\cos \frac{\theta}{2}-x \sin\frac{\theta}{2}\,, \qquad R_2=x \cos \frac{\theta}{2}+y\sin\frac{\theta}{2}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и его разбиение на компоненты связности где каждое множество $G_i$ характеризуется постоянными знаками функций $\sin\theta$, $R_1$, $R_2$, описанными в табл. 1. Таблица 1.Определение областей $G_i$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:
$$
\begin{equation*}
\widetilde N=\bigl\{(\lambda,t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2}\sin\gamma_{t/2} \ne 0\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и его связные компоненты, $\widetilde N=\bigsqcup\limits_{i=1}^8D_i$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_1&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(-\pi, 0)\bigr\}, \\ D_2&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(0, \pi)\bigr\}, \\ D_3&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(0, \pi)\bigr\}, \\ D_4&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(-\pi, 0)\bigr\}, \\ D_5&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(\pi, 2\pi)\bigr\}, \\ D_6&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} > 0, \ \gamma_{t/2}\in(2\pi, 3\pi)\bigr\}, \\ D_7&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(2\pi, 3\pi)\bigr\}, \\ D_8&=\bigl\{ (\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} < 0, \ \gamma_{t/2}\in(\pi, 2\pi)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.4.6. Время разрезаВремя разреза инвариантно относительно вертикальной компоненты гамильтонова поля $\vec H_v$, поэтому субриманова структура на группе $\operatorname{SE}(2)$ эквиоптимальна. 2.4.7. Множество разреза и его стратификация Теорема 2.12. Множество разреза есть двумерное стратифицированное многообразие со стратификацией Множество разреза $\operatorname{Cut} \subset \operatorname{SE}(2)$ изображено на рис. 6 (в выпрямляющих координатах $R_1=y \cos(\theta/2)-x \sin(\theta/2)$, $R_2=x \cos(\theta/2)+y \sin(\theta/2)$) и на рис. 7 (при вложении в полноторий – модель группы $\operatorname{SE}(2)$). 2.4.8. СферыСубримановы сферы $S_R$ гомеоморфны (но не диффеоморфны)
На рис. 8, 9 и 10 изображены субримановы сферы радиусов $\pi/2$, $\pi$ и $3\pi/2$ соответственно, вложенные в полноторий – модель группы $\operatorname{SE}(2)$. 2.4.9. Метрические прямыеМетрические прямые, проходящие через единичный элемент $g_0=\operatorname{Id}$, суть $g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $t \in \mathbb{R}$, где $\lambda \in C_3\cup C_5$. Геодезические $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_3$, проецируются на плоскость $(x,y)$ в трактрисы, а геодезические $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_5$, – в прямые $(x,y)=(\pm t,0)$. 2.4.10. Модель велосипедаСубриманову задачу на группе $\operatorname{SE}(2)$ можно рассматривать как задачу об оптимальном движении модели велосипеда. Пусть переднее и заднее колеса велосипеда касаются земли в точках $\mathbf{f}$ и $\mathbf{b}$ соответственно, а расстояние между этими точками (длина рамы велосипеда) постоянно и равно $\ell$. При движении велосипеда точки $\mathbf{f}$ и $\mathbf{b}$ пробегают две кривые – передний и задний пути. При этом отрезок $\mathbf{f}-\mathbf{b}$ в каждый момент времени касается заднего пути. Назовем движение велосипеда оптимальным, если оно минимизирует длину переднего пути. Тогда задача об оптимальном движении велосипеда есть в точности субриманова задача (2.5)–(2.8) на группе $\operatorname{SE}(2)$. Будем говорить, что две кривые на плоскости имеют одинаковую форму, если одну из них можно перевести в другую композицией движений и растяжений. Ширина плоской кривой есть нижняя грань расстояний между двумя параллельными прямыми, ограничивающими полосу, содержащую эту кривую. Теорема 2.13. Оптимальная траектория переднего колеса велосипеда, $\mathbf{b}(t)$, есть либо прямая, либо дуга неинфлексионной эластики ширины не более $2\ell$. Таким образом возникает любая форма неинфлексионной эластики. Теорема 2.14. Бесконечное движение велосипеда является оптимальным на каждом своем отрезке тогда и только тогда, когда оно имеет один из следующих двух типов: 2.4.11. Группа изометрий и однородные геодезическиеТеорема 2.15. Группа изометрий субримановой структуры на $\operatorname{SE}(2)$ есть где справа первый сомножитель $\operatorname{SE}(2)$ действует на себе левыми сдвигами, второй сомножитель $\mathbb{Z}_2$ действует на пару $(\mathbf{b},\mathbf{f})$ как отражение плоскости в какой-нибудь оси, а третий сомножитель $\mathbb{Z}_2$ действует как отражение $(\mathbf{b},\mathbf{f}) \mapsto (\mathbf{b},2\mathbf{b}-\mathbf{f})$. Геодезическая $\gamma$ на субримановом многообразии $M$ называется однородной, если она является однородным пространством некоторой однопараметрической подгруппы в группе изометрий $\operatorname{Isom}(M)$, т. е. существует однопараметрическая подгруппа $\{\varphi_s \mid s \in \mathbb{R}\} \subset \operatorname{Isom}(M)$ такая, что
Субриманово многообразие называется геодезически орбитальным, если все его геодезические однородны. Теорема 2.16. Однородные геодезические на $\operatorname{SE}(2)$ суть $g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t)$, $\lambda \in C_4\cup C_5$. Это однопараметрические подгруппы $e^{t X_2}$ и $e^{t X_1}$, они проецируются на плоскость $(x,y)$ соответственно в точку $(0,0)$ и прямую $y=0$. Поэтому $\operatorname{SE}(2)$ не является геодезически орбитальным пространством. 2.4.12. Библиографические комментарииПункты 2.4.1–2.4.3 опираются на [116], пп. 2.4.4–2.4.6, 2.4.8, 2.4.9 – на [134], п. 2.4.7 – на [135], пп. 2.4.10 и 2.4.11 – на [12], [140]. Субриманова задача на группе $\operatorname{SE}(2)$ рассматривалась также в работах [2], [12], [39], [111], [142]. 2.5. Субриманова задача на группе $\operatorname{SH}(2)$ движений псевдоевклидовой плоскости2.5.1. Группа $\operatorname{SH}(2)$ движений псевдоевклидовой плоскостиПсевдоевклидова плоскость. Псевдоевклидовой плоскостью называется двумерное вещественное линейное пространство, в котором задана знакопеременная билинейная форма
$$
\begin{equation*}
(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_1 y_1-x_2 y_2, \qquad \mathbf{x}=(x_1, x_2), \quad \mathbf{y}=(y_1, y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Расстояние $r$ между точками $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ и $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation*}
r^2=(\mathbf{x}-\mathbf{y},\mathbf{x}-\mathbf{y})= (x_1-y_1)^2-(x_2-y_2)^2,\qquad r=\begin{cases} |r| &\text{ при }\ r^2 \geqslant 0, \\ i |r| &\text{ при }\ r^2 < 0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество точек $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$, находящихся на нулевом расстоянии от начала координат $(x_1^2-x_2^2=0$), называется световым конусом. Дополнение псевдоевклидовой плоскости до светового конуса распадается на четыре связные компоненты – квадранты ($\operatorname{sign}(x_1-x_2)=\pm 1$, $\operatorname{sign}(x_1+x_2 )=\pm 1$). Группа Ли $\operatorname{SH}(2)$ и алгебра Ли $\mathfrak{sh}(2)$. Движением псевдоевклидовой плоскости называется ее линейное преобразование, сохраняющее ориентацию, квадранты и расстояние между точками этой плоскости. Группа движений псевдоевклидовой плоскости обозначается $\operatorname{SH}(2)$. Эта группа имеет линейное представление
$$
\begin{equation*}
\operatorname{SH}(2)=\left\{\begin{pmatrix} \operatorname{ch} z & \operatorname{sh} z & x \\ \operatorname{sh} z & \operatorname{ch} z & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \bigg|\ x, y, z \in \mathbb{R}\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие движения $g=(x,y,z)$ на точку $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ псевдоевклидовой плоскости вычисляется с помощью матричного произведения:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \operatorname{ch} z & \operatorname{sh} z & x \\ \operatorname{sh} z & \operatorname{ch} z & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1 \operatorname{ch} z+a_2 \operatorname{sh} z+x \\ a_1 \operatorname{sh} z+a_2 \operatorname{ch} z+y \\ 1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $g \colon (a_1,a_2) \mapsto (a_1 \operatorname{ch} z+a_2 \operatorname{sh} z+x, a_1 \operatorname{sh} z+a_2 \operatorname{ch} z+y)$. $G=\operatorname{SH}(2)$ есть группа Ли с алгеброй Ли
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{sh}(2)= \operatorname{span}(E_{21}+E_{12},E_{13},E_{23}).
\end{equation*}
\notag
$$
Базисные левоинвариантные векторные поля на группе $\operatorname{SH}(2)$ суть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_1&=L_{g*} E_{13}= \operatorname{ch} z\,\frac{\partial}{\partial x}+ \operatorname{sh} z\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \\ X_2&=L_{g*} (E_{21}+E_{12})=\frac{\partial}{\partial z}\,, \\ X_3&=L_{g*} E_{23}= \operatorname{sh} z\,\frac{\partial}{\partial x}+ \operatorname{ch} z\,\frac{\partial}{\partial y} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с таблицей умножения
$$
\begin{equation}
[X_1, X_2]=- X_3, \quad [X_2. X_3]=X_1, \quad [X_1, X_3]=0.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
2.5.2. Субриманова задача на $\operatorname{SH}(2)$Рассмотрим субриманову задачу на группе $\operatorname{SH}(2)$ с ортонормированным репером $(X_1, X_2)$:
$$
\begin{equation}
\dot g=u_1 X_1+u_2 X_2, \quad g \in G=\operatorname{SH}(2), \quad u=(u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Согласно классификации Аграчева–Барилари [1], это единственная, с точностью до локальных изометрий, неинтегрируемая субриманова задача ранга 2 на группе $\operatorname{SH}(2)$; ей соответствуют инварианты $\chi=-\kappa=1$. 2.5.3. ГеодезическиеСуществование оптимальных управлений в задаче (2.16)–(2.18) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. Принцип максимума Понтрягина. Анормальные траектории постоянны. Нормальные экстремали суть проекции траекторий гамильтоновой системы $\dot\lambda=\vec{H}(\lambda)$, $\lambda \in T^*G$, где $H=(h_1^2+h_2^2)/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i\rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система записывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot{x}=h_{1} \operatorname{ch} z, \\ \dot{y}=h_{1}\operatorname{sh} z, \\ \dot{z}=h_{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На поверхности уровня $\{H=1/2\}$ в координатах $(\gamma,c)$, где
$$
\begin{equation*}
h_1=\cos \frac{\gamma}{2}\,, \quad h_2=\sin \frac{\gamma}{2}\,, \quad c=-2 h_3,
\end{equation*}
\notag
$$
вертикальная подсистема (2.19)–(2.21) принимает форму двулистного накрытия маятника
$$
\begin{equation}
\dot\gamma=c, \quad \dot c=-\sin \gamma, \qquad (\gamma,c) \in \mathfrak{g}^* \cap \biggl\{H=\frac{1}{2}\biggr\} \simeq (2 S^1_{\gamma}) \times \mathbb{R}_c.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Первый интеграл этого уравнения – энергия маятника
$$
\begin{equation*}
E=\frac{c^2}{2}-\cos \gamma=2 h_3^2-h_1^2+h_2^2 \in [-1,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеется функция Казимира $F=h_1^2-h_3^2$. Симплектическое слоение состоит из
Стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты. Так как вертикальная подсистема гамильтоновой системы для задачи на $\operatorname{SH}(2)$ – маятник (2.22) – совпадает с таковой системой (2.12) для задачи на $\operatorname{SE}(2)$, то стратификация цилиндра $C$ и выпрямляющие координаты $(\varphi,k)$ для задачи на $\operatorname{SH}(2)$ совпадают с таковыми для задачи на $\operatorname{SE}(2)$ (см. п. 2.4.2). Параметризация геодезических. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_1$, то $\varphi_t=\varphi+t$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{s_{1}}{2}\biggl[\biggl(w+\dfrac{1}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_{0})]+ \biggl(\dfrac{k}{w(1-k^{2})}-kw\biggr)[\operatorname{sn}\varphi- \operatorname{sn}\varphi_{0}]\biggr] \\ \dfrac{1}{2}\biggl[\biggl(w-\dfrac{1}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{E}(\varphi)-\operatorname{E}(\varphi_{0})]- \biggl(\dfrac{k}{w(1-k^{2})}+kw\biggr)[\operatorname{sn}\varphi- \operatorname{sn}\varphi_{0}]\biggr] \\ s_{1}\ln[(\operatorname{dn}\varphi-k\operatorname{cn}\varphi)w] \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $w=1/(\operatorname{dn}\varphi_{0}-k\operatorname{cn}\varphi_{0})$. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_2$, то $\psi=\varphi/k$, $\psi_t=\varphi_t/k=\psi+t/k$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x&=\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{w(1-k^{2})}-w\biggr)[\operatorname{E}(\psi)- \operatorname{E}(\psi_{0})-k^{\prime2}(\psi-\psi_{0})] \\ &\qquad+\frac{1}{2}(kw+\frac{k}{w(1-k^{2})}) [\operatorname{sn}\psi-\operatorname{sn}\psi_{0}], \\ y&=-\frac{s_{2}}{2}\biggl(\frac{1}{w(1-k^{2})}+w\biggr) [\operatorname{E}(\psi)-\operatorname{E}(\psi_0)-k^{\prime2}(\psi-\psi_{0})] \\ &\qquad+\frac{s_{2}}{2}\biggl(kw-\frac{k}{w(1-k^{2})}\biggr) [\operatorname{sn}\psi-\operatorname{sn}\psi_{0}], \\ z&=s_{2}\ln[(\operatorname{dn}\psi-k\operatorname{cn}\psi)w], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w=1/(\operatorname{dn}\psi_{0}-k\operatorname{cn}\psi_{0})$. Если $\lambda=(\varphi,k) \in C_3$, $k=1$, то ${\varphi_t}=\varphi+t$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{s_{1}}{2}\biggl[\dfrac{1}{w}(\varphi-\varphi_{0})+ w( \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_{0})\biggr] \\ \dfrac{s_{2}}{2}\biggl[\dfrac{1}{w}(\varphi-\varphi_{0})- w( \operatorname{th} \varphi- \operatorname{th} \varphi_{0})\biggr] \\ -s_{1}s_{2}\ln(w\operatorname{sech}\varphi) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $w= \operatorname{ch} \varphi_{0}$. Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_4$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \operatorname{sign}\biggl(\cos\dfrac{\gamma}{2}\biggr)t \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda=(\gamma,c) \in C_5$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \operatorname{sign}\biggl(\sin\dfrac{\gamma}{2}\biggr)t \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекция геодезической на плоскость $(x,y)$ имеет кривизну $ \operatorname{tg} (\gamma/2)/\! \operatorname{ch} ^{3/2}(2z)$. Она имеет точки перегиба при $\sin(\gamma/2)=0$ (если $\lambda \in C_1 \cup C_2 \cup C_3$) и точки возврата при $\cos(\gamma/2)=0$ (если $\lambda \in C_2$). 2.5.4. Симметрии и страты МаксвеллаФазовый портрет маятника (2.22) имеет группу симметрий $\operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\}$, описанную в п. 2.4.3. Продолжение этой группы симметрий на прообраз экспоненциального отображения $N=C \times \mathbb{R}_+$ описано в том же пункте. Продолжение этой группы симметрий на образ экспоненциального отображения имеет вид
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^i \colon g=(x,y,z) \mapsto g^i=\varepsilon^i(g)=(x^i,y^i,z^i),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (x^{1},y^{1},z^{1})&=(x \operatorname{ch} z-y\operatorname{sh} z, x\operatorname{sh} z-y \operatorname{ch} z,z), \\ (x^{2},y^{2},z^{2})&=(x \operatorname{ch} z-y\operatorname{sh} z, -x\operatorname{sh} z+y \operatorname{ch} z,-z), \\ (x^{3},y^{3},z^{3})&=(x,-y,-z), \\ (x^{4},y^{4},z^{4})&=(-x,y,-z), \\ (x^{5},y^{5},z^{5})&=(-x \operatorname{ch} z+y\operatorname{sh} z, x\operatorname{sh} z-y \operatorname{ch} z,-z), \\ (x^{6},y^{6},z^{6})&=(-x \operatorname{ch} z+y\operatorname{sh} z, -x\operatorname{sh} z+y \operatorname{ch} z,z), \\ (x^{7},y^{7},z^{7})&=(-x,-y,z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Имеет место предложение, аналогичное предложению 2.3. Теорема 2.17. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом: Справедливо следующее утверждение. Следствие 2.1. Для любого $\lambda \in C$ первое время Максвелла $t_{\rm Max}^1$ равно периоду колебаний маятника (2.22). Имеет место теорема, аналогичная теореме 2.8. 2.5.5. Оценки сопряженного времениОбозначим через $p_1^1(k)\! \in\! (2K,3K)$ первый положительный корень уравнения $\operatorname{cn}p\operatorname{E}(p)- \operatorname{sn}p\operatorname{dn}p=0$. Теорема 2.18. Если $\lambda \in C_1$, то $4K(k) \leqslant t_{\rm conj}^1(\lambda) \leqslant 2 p_1^1(k)$. Более того, Теорема 2.19. Если $\lambda \in C_2$, то $4k K(k) \leqslant t_{\rm conj}^1(\lambda) \leqslant 2 k p_1^1(k)$. Более того, Теорема 2.20. Если $\lambda \in C_4$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=2\pi$. Если $\lambda \in C_3 \cup C_5$, то $t_{\rm conj}^1(\lambda)=+\infty$. Теорема 2.21. Нижние оценки для $t_{\rm conj}^1(\lambda)$ при $\lambda \in C_1 \cup C_2$, приведенные в теоремах 2.18 и 2.19, точны: 2.5.6. Время разрезаТеорема 2.23. (1) Функция $t_{\rm cut}\colon C\to (0,+\infty]$ зависит только от энергии $E$ маятника (2.22). (2) Функция $t_{\rm cut}$ инвариантна относительно вертикальной компоненты гамильтонова поля $\vec{H}_v$ и симметрий $\varepsilon^i \in \operatorname{Sym}$. (3) Функция $t_{\rm cut}$ является непрерывной на $C$ и гладкой на $C_1 \cup C_2$. (4) $\lim_{E \to-1}t_{\rm cut}=2 \pi$, $\lim_{E \to 1}t_{\rm cut}=+ \infty$, $\lim_{E \to+\infty} t_{\rm cut}=0$. 2.5.7. Диффеоморфная структура экспоненциального отображенияРассмотрим открытое всюду плотное подмножество в $G$, не содержащее первых точек Максвелла: и его разбиение на компоненты связности:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{G}=G_1 \sqcup G_2, \qquad G_1=\{g \in G \mid z > 0\}, \quad G_2=\{g \in G \mid z < 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:
$$
\begin{equation*}
\widetilde N=\biggl\{(\lambda,t) \in \bigcup_{i=1}^3 N_1 \cup N_5 \Bigm| t < t_{\rm cut}(\lambda), \ \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} \ne 0 \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и его разбиение на компоненты связности:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde N=D_1 \sqcup D_2, \\ D_1=\biggl\{(\lambda,t) \in \widetilde N \Bigm| \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} > 0 \biggr\}, \\ D_2=\biggl\{(\lambda,t) \in \widetilde N \Bigm| \sin\frac{\gamma_{t/2}}{2} < 0\biggr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
2.5.8. Множество разреза Теорема 2.25. Множество разреза $\operatorname{Cut}$ содержится в плоскости $\{z=0\}$. Имеет место разбиение на связные компоненты: Множество разреза изображено на рис. 11. На рис. 12 изображено множество разреза и первая каустика $\operatorname{Conj}^1$. 2.5.9. СферыСубримановы сферы $S_R$, $R > 0$, гомеоморфны двумерной евклидовой сфере (см. сферу $S_{\pi}$ на рис. 13 и сферу $S_{2 \pi}$ на рис. 14). Сферы имеют особенности при пересечении с множеством разреза (см. пересечение $\operatorname{Cut}$ и $S_{\pi} \cap \{z < 0\}$ на рис. 15 и пересечение $\operatorname{Cut}$ и $S_{2\pi} \cap \{z < 0\}$ на рис. 16). 2.5.10. Структура оптимального синтезаТеорема 2.26. (1) Для любой точки $g_1 \in \operatorname{Cut} \setminus \operatorname{Conj}^1=\operatorname{int}_{\{z=0\}} \operatorname{Cut}$ существуют ровно две кратчайшие, соединяющие точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этих кратчайших $g_1$ есть точка разреза и точка Максвелла, но не сопряженная точка. (2) Для любой точки $g_1 \in \operatorname{Cut} \mathop{\cap} \operatorname{Conj}^1= (\partial_{\{z=0\}} \operatorname{Cut}) \setminus \{\operatorname{Id}\}$ существует единственная кратчайшая, соединяющая точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этой кратчайшей $g_1$ есть точка разреза и сопряженная точка, но не точка Максвелла. (3) Для любой точки $g_1 \in G \setminus(\operatorname{Cut} \cup \operatorname{Id})$ существует единственная кратчайшая, соединяющая точки $\operatorname{Id}$ и $g_1$, причем для этой кратчайшей $g_1$ не является ни точка разреза, ни сопряженной точкой, ни точкой Максвелла. 2.5.11. Метрические прямыеМетрические прямые, проходящие через единичный элемент $\operatorname{Id}$, суть
$$
\begin{equation*}
g(t)=\operatorname{Exp}(\lambda,t), \qquad t \in \mathbb{R}, \quad \lambda \in C_3 \cup C_5.
\end{equation*}
\notag
$$
2.5.12. Библиографические комментарииПункт 2.5.1 опирается на монографию [159], пп. 2.5.2, 2.5.3 – на [58], пп. 2.5.4, 2.5.5 – на [59], пп. 2.5.6–2.5.11 – на [60]. 2.6. Задача Эйлера об эластиках2.6.1. История задачиВ 1691 г. Я. Бернулли рассмотрел задачу о форме однородного плоского упругого стержня, сжимаемого внешней силой. Он вывел уравнения для упругого стержня, закрепленного вертикально в горизонтальной стене и согнутого силой, направляющей его верхний конец горизонтально (прямоугольная эластика):
$$
\begin{equation*}
dy=\frac{x^2\,d x}{\sqrt{1-x^4}}\,, \quad ds=\frac{d x}{\sqrt{1-x^4}}\,, \qquad x \in [0,1),
\end{equation*}
\notag
$$
где $(x,y)$ есть упругий стержень, а $s$ – его параметр длины (стержень отклоняется по горизонтали на расстояние 1). Я. Бернулли проинтегрировал эти дифференциальные уравнения в рядах и получил двусторонние оценки их решения в конечной точке $x=1$ [44]. В 1742 г. Д. Бернулли в своем письме [43] к Эйлеру написал, что упругая энергия стержня пропорциональна величине $J=\displaystyle\int\dfrac{ds}{R^2}$, где $R$ – радиус кривизны стержня, и предложил отыскивать форму упругого стержня из вариационного принципа $J \to \min$. В это время Эйлер писал свой трактат по вариационному исчислению [70] (опубликованный в 1744 г.); он снабдил свою книгу приложением “De curvis elasticis”, в котором применил только что разработанные методы к задаче об упругих стержнях. Эйлер рассмотрел тонкую однородную упругую пластину, прямолинейную в естественном (не напряженном) состоянии. Он поставил следующую задачу для профиля пластины: “… среди всех кривых одной и той же длины, которые не только проходят через $A$ и $B$, но и касаются в этих точках прямых, заданных по положению, определить ту, для которой значение выражения $\displaystyle\int_A^B\dfrac{ds}{R^2}$ будет наименьшим”. Эйлер написал уравнение, известное сейчас как уравнение Эйлера–Лагранжа, для соответствующей вариационной задачи и свел его к уравнениям
$$
\begin{equation*}
dy=\frac{(\alpha+\beta x+\gamma x^2)\, dx} {\sqrt{a^4 -(\alpha+\beta x+\gamma x^2)^2}}\,,\qquad ds=\frac{a^2\,dx}{\sqrt{a^4-(\alpha+\beta x+\gamma x^2)^2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
параметры которых выражаются через упругие характеристики и длину стержня, а также величину нагрузки. Говоря современным языком, Эйлер исследовал качественное поведение эллиптических функций, параметризующих упругие кривые, с помощью качественного анализа определяющих их уравнений. После работы Эйлера кривые, представляющие форму однородного плоского стержня, стали называть эластиками Эйлера. Эйлер описал все типы эластик и указал значения параметров, для которых эти типы реализуются. Он разделил все эластики на девять классов (см. рис. 19–25 далее):
Первая явная параметризация эластик Эйлера была получена Л. Заалшютцем в 1880 г. [122]. В 1906 г. будущий нобелевский лауреат Макс Борн защитил диссертацию “Устойчивость упругих кривых на плоскости и в пространстве” [51]. Он рассмотрел задачу об эластиках методами вариационного исчисления и вывел из уравнения Эйлера–Лагранжа уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot x=\cos \theta, \quad \dot y=\sin \theta, \\ A \ddot \theta+R \sin (\theta-\gamma)=0,\quad A,R,\gamma=\operatorname{const}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. угол $\theta$ наклона эластик удовлетворяет уравнению математического маятника. Далее, Борн изучил устойчивость эластик с закрепленными концами и касательными на концах. Он доказал, что дуга эластики без точек перегиба устойчива (в этом случае угол $\theta$ монотонен и может быть выбран параметром на эластике; Борн показал, что вторая вариация функционала упругой энергии $J=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dot\theta^2\,dt$ положительна). В общем случае он записал якобиан, обращающийся в нуль в сопряженных точках. В силу сложности функций, входящих в якобиан, Борн ограничился численным исследованием сопряженных точек. Он первым численно построил чертежи эластик и проверил теоретические результаты с помощью экспериментов с упругими стержнями. Более того, им была исследована устойчивость эластик с различными другими граничными условиями и получены некоторые результаты для трехмерных упругих кривых. В 1993 г. эластики Эйлера были обнаружены В. Джурджевичем [86] в задаче о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания (см. раздел 2.8) и Р. Брокеттом и Л. Даи [56] в субримановой задаче на группе Картана (см. раздел 2.10). Эластики Эйлера также удивительным образом появляются в плоской субримановой задаче Мартине (см. раздел 2.3), субримановых задачах на группах $\operatorname{SE}(2)$ (см. раздел 2.4) и на группе Энгеля (см. раздел 2.9). Было бы интересно понять, почему эластики Эйлера появляются в стольких задачах оптимального управления. В дальнейшем задача Эйлера об эластиках исследовалась в работах [18], [111], [129]–[131], [133], [136], [137], на которые опирается изложение в этом разделе. 2.6.2. Постановка задачиМеханическая постановка. Пусть однородный упругий стержень на плоскости $\mathbb{R}^2$ имеет длину $l > 0$. Выберем любые точки $a_0, a_1 \in \mathbb{R}^2$ и произвольные единичные касательные векторы $v_i \in T_{a_i} \mathbb{R}^2$, $|v_i|=1$, $i=0,1$. Задача заключается в том, чтобы найти профиль стержня $\gamma\colon[0,l]\to\mathbb{R}^2$, $|\dot \gamma(s)| \equiv 1$, выходящего из точки $a_0$ и приходящего в точку $a_1$ с соответствующими касательными векторами $v_0$ и $v_1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \gamma(0)&=a_0, &\qquad \gamma(l)&=a_1, \\ \dot\gamma(0)&=v_0, &\qquad \dot\gamma(l)&=v_1, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
с минимальной упругой энергией где $k(s)$ – кривизна кривой $\gamma(s)$. Задача оптимального управления. Выберем на плоскости $\mathbb{R}^2$ декартовы координаты $(x,y)$. Будем обозначать параметр длины $s$ на кривой $\gamma$ через $t$, и пусть $t_1=l$. Искомая кривая имеет параметризацию $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, $t \in [0,t_1]$, а ее граничные точки имеют координаты $a_i=(x_i,y_i)$, $i=0,1$. Обозначим через $\theta(t)$ угол между касательным вектором $\dot\gamma(t)$ и положительным направлением оси $x$. Наконец, пусть касательные векторы в граничных точках кривой $\gamma$ имеют координаты $v_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$, $i=0,1$ (см. рис. 18). Тогда искомая кривая $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ есть проекция траектории следующей управляемой системы:
$$
\begin{equation}
g =(x,y,\theta) \in M=\mathbb{R}^2_{x,y} \times S^1_{\theta},\quad u \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
$$
\begin{equation}
g(0) =g_0=(x_0,y_0,\theta_0), \quad g(t_1)=g_1=(x_1,y_1,\theta_1), \quad t_1 \text{ фиксировано}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Для натурально параметризованной кривой $\gamma$ кривизна равна угловой скорости: $k=\dot \theta=u$, откуда получаем функционал качества Естественный класс допустимых управлений для задачи (2.24)–(2.29) есть $u(\,\cdot\,) \in L^2[0, t_1]$, поэтому допустимая траектория есть $g(\,\cdot\,) \in W^{1,2}([0,t_1], M)$. В векторных обозначениях задача принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot g=X_1(g)+u X_2(g),\quad g \in M=\mathbb{R}^2 \times S^1,\quad u \in \mathbb{R}, \\ \notag g(0)=g_0, \quad g(t_1)=g_1, \quad t_1 \text{ фиксировано}, \\ \notag J=\frac{1}{2} \int_0^{t_1} u^2\,dt \to \min, \quad u \in L^2[0,t_1], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
где векторные поля в правой части системы (2.30) суть
$$
\begin{equation*}
X_1=\cos \theta\,\frac{\partial}{\partial x}+ \sin \theta\,\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial \theta}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство состояний $M=\mathbb{R}^2 \times S^1$ имеет естественную структуру группы движений плоскости $G=\mathbb{R}^2 \ltimes \operatorname{SO}(2)$ (см. раздел 2.4). При этом векторные поля $X_1$, $X_2$ становятся левоинвариантными полями на группе Ли $G$. Таблица умножения в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{se}(2)$ приведена в (2.10). Таким образом, задача Эйлера об эластиках (2.24)–(2.29) есть левоинвариантная задача оптимального управления на группе $\operatorname{SE}(2)$. Поэтому можно считать, что $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0)$. 2.6.3. Множество достижимостиТеорема 2.27. Множество достижимости системы (2.30) из точки $\operatorname{Id}=(0,0,0)$ за время $t_1 > 0$ есть Топологически множество достижимости $\mathcal{A}(t_1)$ есть открытый полноторий (внутренность тора) с одной точкой на границе. Будем далее рассматривать задачу об эластиках при естественном условии управляемости: $g_1 \in \mathcal{A}(t_1)$. 2.6.4. Существование и ограниченность оптимальных управленийТеорема 2.28. Пусть $g_1 \in \mathcal{A}(t_1)$. Тогда существует оптимальное управление $u \in L^2[0, t_1]$. Более того, $u \in L^{\infty}[0, t_1]$. Поэтому оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина. 2.6.5. ЭкстремалиАнормальные траектории. Проходящая через точку $\operatorname{Id}$ натурально параметризованная анормальная траектория есть $(x,y,\theta)\!=\!(t,0,0)$, $t \in [0,t_1]$. Она проецируется на плоскость $(x,y)$ в отрезок – это упругий стержень в отсутствие внешних сил. Упругая энергия в этом случае достигает абсолютного минимума $J=0$, поэтому анормальная траектория оптимальна. Именно эта траектория приходит в единственную точку $(t_1,0,0)$ на границе множества достижимости $\mathcal{A}(t_1)$. Анормальная траектория одновременно нормальна. Нормальные экстремали. Нормальные экстремали удовлетворяют гамильтоновой системе
$$
\begin{equation*}
\dot \lambda=\vec{H}(\lambda),\qquad \lambda \in T^*G,
\end{equation*}
\notag
$$
где $H=h_1+h_2^2/2$, $h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i\rangle$, $i=1,2,3$. В координатах эта система имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot h_1=- h_2h_3, \quad \dot h_2=h_3, \quad \dot h_3=h_1h_2,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
Вертикальная подсистема (2.31) имеет интеграл – функцию Казимира $F=h_1^2+h_3^2$. Введем координаты
$$
\begin{equation*}
c=h_2, \quad h_1=- r \cos \gamma, \quad h_2=- r \sin \gamma,
\end{equation*}
\notag
$$
в которых вертикальная подсистема (2.31) принимает форму математического маятника
$$
\begin{equation}
\dot \gamma=c, \quad \dot c=-r \sin \gamma, \qquad c \in \mathbb{R}, \quad \gamma \in S^1, \quad r \equiv \operatorname{const} \geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
известного как кинетический аналог Кирхгофа для эластик. Полная энергия маятника есть Стратификация прообраза экспоненциального отображения и выпрямляющие координаты. Экспоненциальное отображение за время $t_1 > 0$ в задаче об эластиках есть
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}_{t_1}\colon N=\mathfrak{g}^*\to G, \qquad \lambda \mapsto \pi \circ e^{t_1 \vec{H}}(\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pi\colon T^*G \to G$ – каноническая проекция. Прообраз экспоненциального отображения $N=\mathfrak{g}^*$ разбивается на инвариантные многообразия гамильтонова поля $\vec{H}$ критическими множествами энергии $E=H$: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, N_1&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E \in (-r, r)\}, \\ N_2&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E \in (r,+\infty)\}, \\ N_3&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E=r, \ \gamma \ne \pi\}, \\ N_4&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E =-r \}, \\ N_5&=\{\lambda \in N \mid r \ne 0, \ E =r, \ \gamma=\pi\}, \\ N_6&=\{\lambda \in N \mid r=0, \ c \ne 0 \}, \\ N_7&=\{\lambda \in N \mid r=c=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
На множествах $N_1$, $N_2$, $N_3$ введем координаты $(\varphi,k,r)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=k \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \\ \dfrac{c}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \end{cases} \\ &\qquad k=\sqrt{\dfrac{E+r}{2r}} \in (0,1), \quad \sqrt{r}\,\varphi\ \operatorname{mod}{4K(k)} \in [0,4K(k)]; \\ \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=\pm \operatorname{sn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \end{cases} \\ &\qquad k=\sqrt{\frac{2 r}{E+r}} \in (0,1), \quad \sqrt{r}\, \varphi\ \operatorname{mod}{2K(k)k} \in [0,2K(k)k], \quad \pm=\operatorname{sign} c; \\ \lambda&=(\gamma,c,r) \in N_3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \\ \cos \dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \end{cases} \\ &\qquad k=1, \quad \varphi \in \mathbb{R}, \quad \pm=\operatorname{sign} c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Параметризация экстремалей. В области $N_1 \cap N_2 \cup N_3$ уравнение маятника выпрямляется: и поэтому имеет решения
$$
\begin{equation*}
\varphi_t=\varphi+t, \quad k,r \equiv \operatorname{const}.
\end{equation*}
\notag
$$
В исходных координатах $(\gamma,c)$ уравнение маятника (2.33) имеет решения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda \in N_1 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma_t}{2}=k_1 \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \dfrac{c_t}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t); \end{cases} \\ \lambda \in N_2 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin \dfrac{\gamma_t}{2}=\pm \operatorname{sn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\operatorname{cn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \\ \dfrac{c_t}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn} \biggl(\dfrac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\biggr), \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign}c; \\ \lambda \in N_3 &\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \sin\dfrac{\gamma_t}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \dfrac{\gamma_t}{2}=\dfrac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,, \\ \dfrac{c_t}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В вырожденных случаях $\bigcup\limits_{i=4}^7 N_i$ уравнение маятника (2.33) интегрируется в элементарных функциях:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \lambda \in N_4 &\quad\Longrightarrow\quad \gamma_t \equiv 0, &\qquad c_t &\equiv 0; \\ \lambda \in N_5 &\quad\Longrightarrow\quad \gamma_t \equiv \pi, &\qquad c_t &\equiv 0; \\ \lambda \in N_6 & \quad\Longrightarrow\quad \gamma_t=c t+\gamma, &\qquad c_t &\equiv c; \\ \lambda \in N_7 &\quad\Longrightarrow\quad c_t \equiv 0, &\qquad r &\equiv 0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Параметризация решений горизонтальной подсистемы (2.32) имеет следующий вид. Если $\lambda \in N_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &= k \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)-k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &= \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)+k^2\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \\ x_t &= \frac{2}{\sqrt r} \operatorname{dn}^2 (\sqrt r\,\varphi) \bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)\bigr) \\ &\qquad+\frac{4k^2}{\sqrt r}\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn} (\sqrt{r}\,\varphi_t)\bigr) \\ &\qquad+\frac{2k^2 }{\sqrt r} \operatorname{sn}^2(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl(\sqrt r\,t+\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)\bigr)-t, \\ y_t &= \frac{2k}{\sqrt r}(2 \operatorname{dn}^2(\sqrt{r}\,\varphi)-1) \bigl(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t)\bigr) \\ &\qquad-\frac{2k}{\sqrt r}\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi) \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi) \bigl[2\bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\varphi)\bigr)-\sqrt r\,t\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in N_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &=\pm\bigl(\operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi_t)-\operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &=\operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi_t)+\operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi_t), \\ x_t &= \frac{1}{\sqrt r}\bigl(1-2 \operatorname{sn}^2(\sqrt r\,\psi)\bigr) \biggl[\frac{2}{k}\bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi_t)- \operatorname{E}(\sqrt r\,\psi)\bigr)-\frac{2-k^2}{k^2}\sqrt r\,t\biggr] \\ &\qquad+ \frac{4}{k \sqrt r} \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi)\bigl(\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi)- \operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr), \\ y_t &= \pm \biggl(\frac{2}{k\sqrt r} \bigl(2\operatorname{cn}^2(\sqrt r\,\psi)-1\bigr) \bigl(\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi)-\operatorname{dn}(\sqrt r\,\psi_t)\bigr) \\ &\qquad- \frac{2}{\sqrt r} \operatorname{sn}(\sqrt r\,\psi) \operatorname{cn}(\sqrt r\,\psi)\biggl[\frac{2}{k} \bigl(\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi_t)-\operatorname{E}(\sqrt r\,\psi)\bigr)- \frac{2-k^2}{k^2}\sqrt r\,t\biggr]\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign} c$, $\psi_t=\varphi_t/k=(\varphi+t)/k$. Если $\lambda \in N_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \sin \frac{\theta_t}{2} &= \pm \biggl(\frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi_t)}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}- \frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} { \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr), \\ \cos \frac{\theta_t}{2} &= \frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi) \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}+ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi) \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi_t), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, x_t &=(1-2 \operatorname{th} ^2(\sqrt r\,\varphi)) t +\frac{4 \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} {\sqrt r\, \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} -\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr), \\ y_t &=\pm\biggl[\frac{2}{\sqrt r} \biggl(\frac{2}{ \operatorname{ch} ^2(\sqrt r\,\varphi)}-1\biggr) \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)} -\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi_t)}\biggr)\biggr. -2\,\frac{ \operatorname{th} (\sqrt r\,\varphi)} { \operatorname{ch} (\sqrt r\,\varphi)}\,t \biggr]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign} c$. Если $\lambda \in N_4 \cup N_5 \cup N_7$, то Если $\lambda \in N_6$, то
$$
\begin{equation*}
\theta_t=ct, \quad x_t=\frac{\sin (ct)}{c}\,, \quad y_t=\frac{1-\cos (ct)}{c}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Эластики Эйлера. Проекции экстремальных траекторий на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики. Эти кривые удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot x=\cos \theta, \quad \dot y=\sin \theta, \notag \\ \ddot \theta=-r \sin(\theta-\gamma), \qquad r,\gamma \equiv \operatorname{const}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
В зависимости от значения энергии маятника $E=\dot\theta^2/2-r \cos(\theta-\gamma) \in [-r,+\infty)$ и функции Казимира $r \geqslant 0$, эластики имеют разные качественные типы, открытые Эйлером. Если энергия $E$ принимает минимальное значение $-r < 0$, т. е. $\lambda \in N_4$, то эластика $(x_t,y_t)$ есть прямая. Соответствующее движение маятника (2.34) (кинетический аналог Кирхгофа) есть устойчивое положение равновесия. Если $E \in (-r,r)$, $r > 0$, т. е. $\lambda \in N_1$, то маятник (2.34) колеблется между экстремальными значениями угла и угловая скорость $\dot\theta$ меняет знак. Соответствующие эластики имеют точки перегиба при $\dot \theta=0$ и вершины при $|\dot\theta|=\max$, так как $\dot \theta$ есть кривизна эластики. Такие эластики называются инфлексионными (см. рис. 19–23). Разные случаи на этих рисунках определяются значениями модуля эллиптических функций $k=\sqrt{E+r}/(2r) \in (0,1)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, k \in \biggl(0,\frac{1}{\sqrt 2}\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 19}, \\ k=\frac{1}{\sqrt 2} &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 20}, \\ k \in \biggl(\frac{1}{\sqrt 2}\,,k_0\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 21}, \\ k=k_0 &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 22}, \\ k \in \biggl(k_0,1\biggr) &\quad\Longrightarrow\quad \text{рис. 23}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значение $k=1/\sqrt 2$ соответствует прямоугольной эластике, исследованной Я. Бернулли (см. п. 2.6.1); рис. 20. Значение $k \approx 0.909$ соответствует периодической эластике в форме восьмерки; см. рис. 22. Как отмечал Эйлер, при $k \to 0$ инфлексионные эластики похожи на синусоиды, что соответствует гармоническому осциллятору $\ddot \theta=- r (\theta-\gamma)$ как кинетическому аналогу Кирхгофа; см. рис. 19. Если $E=r > 0$ и $\theta-\gamma \ne \pi$, т. е. $\lambda \in N_3$, то маятник (2.34) стремится к неустойчивому положению равновесия ($\theta-\gamma=\pi$, $\dot \theta=0$) вдоль сепаратрисы седла, а соответствующая критическая эластика (“солитон Эйлера”) имеет одну петлю; см. рис. 24. Если $E=r > 0$ и $\theta-\gamma=\pi$, т. е. $\lambda \in N_5$, то маятник (2.34) находится в неустойчивом положении равновесия ($\theta-\gamma=\pi$, $\dot \theta=0$) и эластика есть прямая. Если $E > r > 0$, т. е. $\lambda \in N_2$, то кинетический аналог Кирхгофа есть маятник (2.34), вращающийся против часовой стрелки ($\dot \theta > 0$) или по часовой стрелке ($\dot \theta < 0$). Соответствующие эластики имеют ненулевую кривизну $\dot \theta$, не имеют точек перегиба и называются неинфлексионными; см. рис. 25. Если $r=0$ и $\dot \theta \ne 0$, т. е. $\lambda \in N_6$, то маятник (2.34) равномерно вращается в невесомости и соответствующая эластика есть окружность. Наконец, если $r=0$ и $\dot \theta=0$, т. е. $\lambda \in N_7$, то маятник (2.34) неподвижен в невесомости (положение равновесия неустойчиво) и эластика есть прямая. Изображения эластик на рис. 19–25 не всегда передают отношение $x/y$ для экономии места. Периодические движения маятника (2.33), (2.34) имеют период
$$
\begin{equation*}
T=\begin{cases} 4\,\dfrac{K(k)}{\sqrt r}\,, & \lambda \in N_1, \\ 2\,\dfrac{k K(k)}{\sqrt r}\,, & \lambda \in N_2, \\ \dfrac{2\pi}{|c|}\,, & \lambda \in N_6. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
2.6.6. Симметрии и страты МаксвеллаФазовый портрет маятника (2.33) сохраняется группой симметрий $\operatorname{Sym}$, порожденной отражением $\varepsilon^1$ относительно оси $\gamma$, отражением $\varepsilon^2$ относительно оси $c$ и отражением $\varepsilon^3$ в начале координат $(\gamma,c)=(0,0)$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\} \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти симметрии естественно продолжаются на прообраз $N=\mathfrak{g}^*$ и образ $G$ экспоненциального отображения $\operatorname{Exp}_t$. Если $\nu=(\gamma,c,r) \in N$, то где
$$
\begin{equation*}
(\gamma^1,c^1)=(\gamma_t,-c_t), \quad (\gamma^2,c^2)=(-\gamma_t, c_t), \quad (\gamma^3,c^3)=(-\gamma,-c).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $g=(x,y,\theta) \in G$, то где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x^1, y^1, \theta^1)&= (x \cos \theta+y \sin \theta,-x \sin \theta+y \cos \theta,-\theta), \\ (x^2, y^2, \theta^2)&= (x \cos \theta+y \sin \theta, x \sin \theta-y \cos \theta, \theta), \\ (x^3, y^3, \theta^3)&=(x,-y,-\theta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.4. Группа $\operatorname{Sym}= \{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\}$ состоит из симметрий экспоненциального отображения. Теорема 2.29. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех экстремальных траекторий $g_t=\operatorname{Exp}_t(\lambda)$, $\lambda \in N$, выражается следующим образом: Справедливы замечание, аналогичное замечанию 2.1, и теорема об инвариантных свойствах функции $t_{\rm Max}^1\colon N\to(0,+\infty]$, аналогичная теореме 2.8. 2.6.7. Оценки сопряженного времениДля эластик Эйлера вопрос локальной оптимальности очень важен с прикладной точки зрения, так как локальная оптимальность эластики означает ее устойчивость относительно малых возмущений профиля при закрепленных концах и касательных на концах. С теоретической точки зрения решение этого вопроса важно как шаг в направлении исследования глобальной оптимальности эластик. Теорема 2.30. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$. Тогда первое сопряженное время $t_{\rm conj}^1(\lambda)$ на траектории $\operatorname{Exp}_t(\lambda)$ принадлежит отрезку с концами $4 K(k)/\sqrt r$ и $2 p_1(k)/\sqrt r$, а именно: Следствие 2.2. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$. Тогда Следствие 2.3. Пусть $\lambda=(k,\varphi,r) \in N_1$, $t_1 > 0$, и пусть есть дуга соответствующей эластики. (1) Если дуга $\Gamma$ не содержит точек перегиба, то она локально оптимальна. (2) Если $k \in (0,k_0]$ и дуга $\Gamma$ содержит ровно одну точку перегиба, то она локально оптимальна. (3) Если дуга $\Gamma$ содержит не менее трех точек перегиба внутри себя, то она не является локально оптимальной. Рассмотрим дуги инфлексионных эластик (2.35), центрированные в вершине, т. е. пусть в точке $(x_{t_1/2},y_{t_1/2})$ достигается локальный экстремум кривизны эластики. Примеры таких дуг см. на рис. 26. Обозначим $t_1^1=(2/\sqrt r\,)p_1(k)$, где функция $p_1(k)$ определена в теореме 2.29. Рассмотрим дуги инфлексионных эластик (2.35), центрированные в точке перегиба, т. е. пусть в точке $(x_{t_1/2},y_{t_1/2})$ эластика имеет нулевую кривизну. Примеры таких дуг см. на рис. 27. Теорема 2.33. Пусть $\lambda \in N_2 \cup N_3 \cup N_6$. Тогда экстремальная траектория $g(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda)$ не содержит сопряженных точек при $t > 0$. Итак, если дуга эластики не содержит точек перегиба, то она устойчива; если она содержит не менее трех точек перегиба внутри себя, то она неустойчива. Если есть одна или две точки перегиба, то эластика может быть так устойчивой, так и неустойчивой. 2.6.8. Диффеоморфная структура экспоненциального отображенияПусть $t_1=1$, $\operatorname{Exp}=\operatorname{Exp}_1$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}=\mathcal{A}_1=\{(x,y,\theta) \in G \mid x^2+y^2 < 1 \text{ или } (x,y,\theta)=(1,0,0)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай общего $t_1 > 0$ сводится к частному случаю $t_1=0$ гомотетиями плоскости $(x,y)$:
$$
\begin{equation*}
(x,y,\theta,t,u,t_1,J) \mapsto (\tilde x,\tilde y,\tilde\theta,\tilde t, \tilde u,\tilde t_1,\tilde J)=(e^sx,e^sy,\theta,e^st,e^{-s}u,e^st_1,e^{-s}J).
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим подмножество в $\mathcal{A}$, не содержащее неподвижных точек отражений $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{G}=\{g \in \mathcal{A} \mid \varepsilon^i (g) \ne g, \ i=1, 2\}= \biggl\{g \in \mathcal{A} \Bigm| \sin\biggl(\frac{\theta}{2}\biggr)P(g) \ne 0 \biggr\}, \\ P(g)=x \sin \frac{\theta}{2}-y \cos \frac{\theta}{2}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и его разбиение на компоненты связности: где
$$
\begin{equation*}
G_{\pm}=\{ g \in G \mid \theta \in (0, 2\pi), \ x^2+y^2 < 1, \ \operatorname{sign} P(g)=\pm 1 \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных экстремальных траекторий:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{N}=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} \sin\gamma_{t_1/2} \ne 0\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и его связные компоненты: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_1&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} > 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} > 0\biggr\}, \\ D_2&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} < 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} > 0\biggr\}, \\ D_3&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} < 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} < 0\biggr\}, \\ D_4&=\biggl\{\lambda \in \bigcup_{i=1}^3 N_i \Bigm| t_1 < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t_1/2} > 0, \ \sin \gamma_{t_1/2} < 0\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 2.4. Отображение $\operatorname{Exp}\colon\widetilde{N}\to \widetilde{G}$ есть двулистное накрытие. 2.6.9. Оптимальные эластики для различных граничных условийГраничные условия общего положения. Если $g_1 \in G_+$, то существует единственная пара $(\lambda_1,\lambda_3) \in D_1 \times D_3$, для которой $\operatorname{Exp}(\lambda_1)=\operatorname{Exp}(\lambda_3)=g_1$. Оптимальная траектория находится среди траекторий $q^1(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_1)$ и $q^3(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_3)$, $t \in [0,1]$. Для отыскания оптимальной траектории необходимо взять ту из них, для которой функционал качества $J[q^i(\,\cdot\,)]=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 (c_t^i)^2\,dt$ принимает меньшее значение. Если $J[q^1(\,\cdot\,)]=J[q^3(\,\cdot\,)]$, то оптимальны обе траектории (этот случай изображен на рис. 28). Если $g_1 \in G_-$, то оптимальные траектории выбираются аналогично среди соответствующих ковекторам $\lambda_2 \in D_2$ и $\lambda_4 \in D_4$, для которых $\operatorname{Exp}(\lambda_2)=\operatorname{Exp}(\lambda_4)=g_1$. Случай $(x_1,y_1,\theta_1)=(1,0,0)$. Оптимальная эластика есть отрезок $(x,y)=(t,0)$, $t \in [0,1]$. Случай $x_1>0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. В этом случае $g_1 \in G_+$ и уравнение $\operatorname{Exp}(\lambda)=g_1$, $\lambda \in \widetilde{G}$, имеет два корня $\lambda_1 \in D_1$ и $\lambda_3 \in D_3$. Траектории $q^1(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_1)$ и $q^3(t)=\operatorname{Exp}_t(\lambda_3)$ имеют одинаковое значение функционала $J$ и поэтому оптимальны. Соответствующие оптимальные инфлексионные эластики симметричны относительно оси $x$ (см. рис. 29). Случай $x_1<0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. Этот случай аналогичен предыдущему случаю (см. рис. 30). Случай $x_1=0$, $y_1=0$, $\theta_1=\pi$. Единственная оптимальная эластика-“капля” определяется параметрами $\lambda=(\varphi,k,r) \in N_1$, $\varphi=\dfrac{\tau}{2p}-\dfrac{1}{2}$, $r=4 p^2$, $\operatorname{sn}\tau=0$, $1-2k^2\operatorname{sn}^2 p=0$, $2\operatorname{E}(p)-p=0$ (см. рис. 31). Случай $x_1=0$, $y_1=0$, $\theta_1=0$. Существуют две оптимальные эластики – окружности, симметричные относительно оси $x$. Случай $x_1>0$, $y_1=0$, $\theta_1=0 $. Имеются две или четыре оптимальные эластики; существует такое $x_* \in (0.4,0.5)$, что
Случай $x_1<0$, $y_1=0$, $\theta_1=0$. Существуют две оптимальные неинфлексионные эластики (см. рис. 33). 2.6.10. Библиографические комментарииПервое классическое исследование эластик дал Л. Эйлер в книге [70]. Пункт 2.6.1 по истории задачи об эластиках опирается на классические источники [105], [153], [154]. Имеется также замечательное описание [99] этой истории. Заметим, что задача об эластиках долгое время представляла лишь теоретический интерес и служила одним из примеров приложения теории эллиптических функций (см., например, [78], [105]). В связи с широким внедрением стали в практику проектирования и появлением гибких тонкостенных конструкций, стимулировавшим развитие теории устойчивости деформируемых систем, решение задачи об эластиках стало приобретать практическое значение. Возникли, в частности, важные для инженерных приложений вопросы: каково поведение сжатой стойки при нагрузках, превышающих эйлерово критическое значение, какова при этом форма стойки, единственна ли эта форма и устойчива ли она? Решению этих вопросов посвящены многочисленные исследования [49], [69], [75], [96], [119], [148], [149], [161], где рассматривались различные условия опирания и нагружения гибких нерастяжимых стержней. В последние десятилетия интерес к эластикам возрос в связи с применением теории гибких стержней к анализу микро- и наноструктур в биологии и нанотехнологиях [76], [84], [115], [151]. Подтверждено существование множественных форм равновесия при фиксированной нагрузке. Пункты 2.6.2–2.6.6 опираются на работу [130], п. 2.6.7 – на работы [131] и [133], пп. 2.6.8 и 2.6.9 – на работы [137] и [136]. Задачи об эластиках рассматривались также в работах [2], [9], [12], [79], [87]–[89], [106], [107], [117], [142]. 2.7. Левоинвариантная субриманова задача общего вида на группе $\operatorname{SO}(3)$2.7.1. Постановка задачиИз классификации контактных левоинвариантных субримановых структур на трехмерных группах Ли [1] следует, что для произвольной такой структуры на группе $G=\operatorname{SO}(3)$ можно выбрать ортонормированный репер $(X_1,X_2)$ с таблицей умножения
$$
\begin{equation}
[X_2,X_1]=X_3, \quad [X_1,X_3]=(\kappa+\chi)X_2, \quad [X_2,X_3]=(\chi-\kappa)X_1,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
где $\kappa$ и $\chi$, $\kappa \geqslant \chi \geqslant 0$, суть дифференциальные инварианты субримановой структуры. Равномерное растяжение полей $(X_1,X_2)$ пропорционально изменяет функцию расстояния и оба инварианта $\kappa$ и $\chi$. В работе [1] использована нормализация $\kappa^2+\chi^2=1$. В этом разделе удобнее считать, что $\kappa+\chi=1$, и использовать инвариант $a=\sqrt{2\chi} \in [0,1)$. Случай $a=0$ соответствует осесимметричной субримановой структуре, рассмотренной в работе [55]. Следующие векторные поля удовлетворяют таблице умножения (2.36):
$$
\begin{equation*}
X_1(g)=L_{g*} A_2, \quad X_2(g)=\sqrt{1-a^2}\,L_{g*} A_1, \quad X_3(g)=\sqrt{1-a^2}\,L_{g*} A_3,
\end{equation*}
\notag
$$
где базис $A_1$, $A_2$, $A_3$ алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
A_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
2.7.2. Параметризация геодезическихАнормальные экстремальные траектории постоянны. Для параметризации нормальных геодезических введем гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
h_i(\lambda)=\langle \lambda,X_i(g)\rangle,\quad i=1,2,3,\qquad H=\frac{1}{2}(h_1^2+h_2^2).
\end{equation*}
\notag
$$
Натурально параметризованные экстремали параметризуются точками цилиндра $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$. Введем на этом цилиндре координаты $(\psi,c)$: Нормальная гамильтонова система принципа максимума Понтрягина имеет вид
$$
\begin{equation}
\dot h_1=h_2 h_3, \quad \dot h_2=- h_1 h_3, \quad \dot h_3=a^2 h_1 h_2,
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Вертикальная подсистема (2.38) задает на цилиндре $C$ уравнение маятника
$$
\begin{equation}
\dot \psi=c, \quad \dot c=-\frac{a^2}{2} \sin(2\psi).
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Этот цилиндр имеет стратификацию на инвариантные множества системы (2.40), которые определяются значением полной энергии маятника $E=2c^2-a^2\cos(2\psi)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} C_1&=\{\lambda\in C\mid E\in(-a^2,a^2)\}&&\quad (\text{область внутри сепаратрис}), \\ C_2&=\{\lambda\in C\mid E\in(a^2, +\infty)\}&&\quad (\text{область вне сепаратрис}), \\ C_3&=\{\lambda\in C\mid E=a^2, c \ne 0\}&&\quad (\text{сепаратрисы}), \\ C_4&=\{\lambda\in C\mid E=-a^2\}&&\quad (\text{устойчивое положение равновесия}), \\ C_5&=\{\lambda\in C\mid E=a^2, c=0\}&&\quad (\text{неустойчивое положение равновесия}). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем на множествах $C_1$, $C_2$, $C_3$ координаты $(\theta,k)$, выпрямляющие уравнение маятника (2.40). В области $C_1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sin\psi=s_1k\operatorname{sn}(a\theta,k), \qquad \cos\psi=s_1\operatorname{dn}(a\theta,k), \qquad c=ak\operatorname{cn}(a\theta,k), \\ s_1=\operatorname{sign}\cos\psi,\qquad k=\sqrt{\frac{E+a^2}{2a^2}}\in(0,1),\qquad \theta\in\biggl[0,\frac{4K(k)}{a}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В области $C_2$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sin\psi=s_2\operatorname{sn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr),\qquad \cos\psi=\operatorname{cn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr), \qquad c=\frac{s_2a}{k}\operatorname{dn}\biggl(\frac{a\theta}{k}\,,k\biggr), \\ s_2=\operatorname{sign}c,\qquad k=\sqrt{\frac{2a^2}{E+a^2}}\in (0,1),\qquad \theta \in\biggl[0,\frac{4kK(k)}{a}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На множестве $C_3$
$$
\begin{equation*}
\sin\psi=s_1s_2 \operatorname{th} (a\theta),\quad \cos\psi=\frac{s_1}{ \operatorname{ch} (a\theta)}\,,\quad c=\frac{s_2a}{ \operatorname{ch} (a\theta)}\,, \quad \theta \in(-\infty,+\infty), \quad k=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда при $(\psi_0,c_0) \in C_1 \cup C_2 \cup C_3$ решение уравнения маятника есть $\theta(t)=t+\theta_0$, $k \equiv \operatorname{const}$. При $(\psi_0,c_0) \in C_4$ имеем $\psi \equiv \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $c=0$, а при $(\psi_0,c_0) \in C_5$ имеем $\psi \equiv-\pi/2+\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $c=0$. Для параметризации решений горизонтальной подсистемы (2.39) представим их с помощью углов Эйлера:
$$
\begin{equation*}
g_t=\exp(-\varphi_1(0) A_3) \exp(-\varphi_2(0) A_1) \exp(\varphi_3(t) A_3) \exp(\varphi_2(t) A_1) \exp(\varphi_1(t) A_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt M}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\sqrt{\frac{M-c^2}{M}}\,,
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_1 =\frac{h_1\sqrt{1-a^2}}{\sqrt{M-c^2}}\,, \qquad \sin \varphi_1 =\sqrt{\frac{h_2}{M-c}}\,,
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
где $M=h_2^2+(1-a^2) h_1^2+c^2$ есть первый интеграл подсистемы (2.38). Угол $\varphi_3$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\dot\varphi_3=\frac{\sqrt{M (1-a^2)}}{M-c^2}= \frac{\sqrt{M(1-a^2)}}{1-a^2 h_1^2}
\end{equation}
\tag{2.43}
$$
и является монотонной функцией времени, так как
$$
\begin{equation*}
0 < \sqrt{M(1-a^2)} \leqslant \dot \varphi_3 \leqslant \sqrt{\frac{M}{1-a^2}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Решения этого уравнения имеют следующий вид:
2.7.3. Периодические геодезическиеПредложение 2.5. Для любого $a \in (0,1)$ в соответствующей субримановой задаче на группе $\operatorname{SO}(3)$ существует бесконечное количество геодезических. В случае $\lambda \in C_1$ (или $\lambda \in C_2$) периодическая геодезическая может иметь только период $T=4K(k)/a$ (соответственно $T=4k K(k)/a$), и такие траектории существуют тогда и только тогда, когда для некоторых $n,m \in \mathbb{N}$ выполнено равенство $\varphi_3(m T)=2 \pi n$. Это равенство выполняется вдоль некоторой геодезической тогда и только тогда, когда в случае $C_1$ и в случае $C_2$. Различным несократимым дробям $n/m \in \mathbb{Q}_+$ соответствуют различные периодические геодезические.Предложение 2.6. Любая периодическая геодезическая для $\lambda \in C_1$ (или $\lambda \in C_2$) однозначно определяется несократимой дробью $n/m \in \mathbb{Q}_+$, удовлетворяющей условию (2.44) (соответственно (2.45)). При $\lambda \in C_3$ геодезические непериодичны. При $\lambda \in C_4 \cup C_5$ геодезические периодичны. Так как $\pi_1(\operatorname{SO}(3))=\mathbb{Z}_2$, то существует только два гомотопических класса замкнутых путей на $\operatorname{SO}(3)$. Следующее утверждение показывает, какие из периодических геодезических стягиваемы (нуль-гомотопны). Предложение 2.7. Рассмотрим периодическую геодезическую $g_t \in \operatorname{SO}(3)$, которая является проекцией экстремали $\lambda_t \in C_1$ (или $\lambda_t \in C_2$) и задана своей несократимой дробью $n/m \in \mathbb{Q}_+$, удовлетворяющей (2.44) (соответственно (2.45)). В этом случае геодезическая $g_t$ стягиваема тогда и только тогда, когда $n$ четно. Все геодезические, соответствующие $\lambda \in C_4 \cup C_5$, нестягиваемы. 2.7.4. Условия оптимальностиРассмотрим трехмерную единичную сферу в алгебре кватернионов:
$$
\begin{equation*}
S^3=\{q=q^0+i q^1+j q^2+k q^3 \in \mathbb{H} \mid (q^0)^2+(q^1)^2+(q^2)^2+(q^3)^2=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сфера $S^3$ односвязна и образует двулистное накрытие группы $\operatorname{SO}(3)$. Геодезическая $g_t \in \operatorname{SO}(3)$ имеет лифт $q_t \in S^3$, $q_0=1$, вида
$$
\begin{equation*}
q_t=\exp\biggl(-\frac{\varphi_1(0)}{2}k\biggr) \exp\biggl(-\frac{\varphi_2(0)}{2}i\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_3(t)}{2}k\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_2(t)}{2}i\biggr) \exp\biggl(\frac{\varphi_1(t)}{2}k\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где углы Эйлера $\varphi_i(t)$ совпадают с аналогичными углами в (2.41)–(2.43). Теорема 2.35. Пусть $g_t \in \operatorname{SO}(3)$, $t \in [0,t_1]$, есть геодезическая, а $q_t \in S^3$, $q_0=1$, есть ее лифт на $S^3$. Пусть $\theta_t$ есть соответствующая выпрямленная координата маятника (2.40) и $\tau=a(\theta_0+t/2)$. Тогда кривая $g_t$ неоптимальна, если для некоторого $t \in (0,t_1)$ выполняется одно из следующих условий: (1) $q_t^0=0$; (2) $q_t^1=0$ и $\operatorname{sn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_1 \cup C_2$, или $\tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_3$; (3) $q_t^2=0$ и $\operatorname{cn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_1$; (4) $q_t^3=0$ и $\operatorname{cn} \tau \ne 0$, если $\lambda_0 \in C_2$. 2.7.5. Библиографические комментарииРезультаты этого раздела получены в работе [46]. 2.8. Задача о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания2.8.1. История задачиВ 1983 г. Дж. Хаммерсли [83] рассмотрел следующую оксфордскую задачу о шаре. Шар единичного радиуса лежит на бесконечной горизонтальной плоскости. Состояние шара определяется его пространственной ориентацией и положением на плоскости. Требуется перевести шар из заданного начального состояния в заданное конечное состояние с помощью последовательности качений. Каждое качение выполняется вдоль некоторой прямой на плоскости: длина и направление качений выбираются нами, но качение должно выполняться без прокручиваний и проскальзываний, т. е. ось вращения должна быть горизонтальной и скорость шара в точке касания с плоскостью должна быть нулевой. Какое наименьшее число качений $N$ необходимо для достижения любого конечного состояния? С использованием кватернионов Хаммерсли показал, что $N \in \{3,4\}$. Далее, он поставил две континуальные версии задачи о шаре:
В заключительном разделе статьи [83] “Варианты для двадцать первого века” Хаммерсли сформулировал ряд вариаций и обобщений указанных задач о шаре, остающихся открытыми до сих пор. В 1986 г. А. Артурс и Дж. Уолш [29] исследовали задачу (a). С использованием кватернионов и принципа максимума Понтрягина они доказали, что точка контакта шара и плоскости $(x,y)$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot x=\sin \psi, \quad \dot y=-\cos \psi, \\ \ddot \psi=\lambda \cos(\psi+\varepsilon), \qquad \lambda,\varepsilon \equiv \operatorname{const}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Артурс и Уолш указали, что эти дифференциальные уравнения интегрируются в эллиптических интегралах первого и третьего рода, и оставили задачу оптимального управления для численного исследования. Независимо от этих работ, в 1993 г. Р. Брокетт и Л. Даи [56] поставили “задачу о пластинах и шаре” (the plate-ball problem). Они рассмотрели шар, катящийся без прокручивания и проскальзывания между двумя плоскими горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно диаметру шара. Брокетт и Даи записали управляемую систему для шара в форме (2.46)–(2.50) (см. ниже) и показали, что нильпотентная аппроксимация этой системы эквивалентна управляемой системе (2.117) на группе Картана (см. раздел 2.10). В том же 1993 г. В. Джурджевич [86] подробно исследовал задачу об оптимальном качении шара по плоскости без прокручиваний и проскальзываний, опираясь на постановку Брокетта и Даи [56] и независимо от работ [29], [83]. Джурджевич рассмотрел эту задачу как левоинвариантную задачу оптимального управления на группе Ли $G=\mathbb{R}^2\times\operatorname{SO}(3)$:
$$
\begin{equation}
\dot R=R\begin{pmatrix} 0 & 0 &-u_1\\ 0 & 0 & -u_2\\ u_1 & u_2 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
$$
\begin{equation}
g=(x,y,R) \in G, \quad u=(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
$$
\begin{equation}
g(0)=\operatorname{Id}=(0,0,E_{11}+E_{22}+E_{33}), \qquad g(t_1)=g_1 ,
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
$$
\begin{equation}
J=\frac{1}{2} \int_0^{t_1}(u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min.
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
Далее он применил к этой задаче принцип максимума Понтрягина в инвариантной формулировке для групп Ли (см. [6], [88]) и получил следующие результаты. Оптимальные анормальные управления постоянны и порождают качение шара по прямой; эти управления нестрого анормальны. Нормальные экстремали суть траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом где гамильтонианы $h_1$ и $h_2$ соответствуют векторным полям $\partial/\partial x$ и $\partial/\partial y$, а гамильтонианы $H_1$, $H_2$, $H_3$ соответствуют левоинвариантным полям на $\operatorname{SO}(3)$, задающим вращение трехмерного пространства с генераторами
$$
\begin{equation*}
A_1=E_{32}-E_{23}, \qquad A_2=E_{13}-E_{31}, \qquad A_3=E_{21}-E_{12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вертикальная подсистема этой гамильтоновой системы есть
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot h_1&=\dot h_2=0, \\ \dot H_1&=(h_1-H_2) H_3, \\ \dot H_2&=(h_2+H_1)H_3, \\ \dot H_3&=-h_1 H_1-h_2 H_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта подсистема имеет интегралы $h_1$, $h_2$, $H$ и $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2$, а потому интегрируема. Более того, эта подсистема сведена к уравнению маятника. Чтобы проинтегрировать уравнения для ориентации шара $R(t) \in\operatorname{SO}(3)$, вводятся углы Эйлера $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$; для этих углов получены дифференциальные уравнения, которые качественно исследованы и частично проинтегрированы. Показано, что траектория точки контакта шара и плоскости $(x(t),y(t))$ есть эйлерова эластика (см. раздел 2.6). Получена связь между типом пересечения цилиндра $\{H=\operatorname{const}\}$ и сферы $\{M=\operatorname{const}\}$, типом эластик и качественным поведением углов Эйлера $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$. Дальнейшее изложение в этом разделе опирается на [114], [132]. 2.8.2. Постановка задачиМеханическая постановка. Рассматривается механическая система, состоящая из двух горизонтальных плоскостей и сферы, касающейся этих плоскостей. Нижняя плоскость неподвижна, а сфера катится без прокручивания и проскальзывания благодаря горизонтальному движению верхней плоскости. Состояние такой системы описывается точкой контакта сферы с нижней плоскостью и ориентацией сферы в трехмерном пространстве. Требуется перекатить сферу из заданного начального состояния в заданное терминальное состояние так, чтобы кривая, пробегаемая точкой контакта на плоскости, имела минимальную длину. Управлением является скорость верхней плоскости или, что эквивалентно, скорость центра сферы. Рассматривается кинематика данной системы, поэтому наличие верхней плоскости можно игнорировать и изучать качение сферы по (нижней) плоскости без прокручивания и проскальзывания. Отсутствие проскальзывания означает, что мгновенная скорость точки контакта сферы и плоскости равна нулю, а отсутствие прокручивания означает, что вектор угловой скорости сферы горизонтален. Качение одной поверхности по другой без прокручивания и проскальзывания моделирует работу руки робота-манипулятора, и задачи о таком движении вызывают большой интерес в механике, робототехнике и теории управления (см., например, работы [6], [48], [97], [100], [108]). Математическая постановка. Пусть $e_1$, $e_2$, $e_3$ – неподвижный правый репер в пространстве $\mathbb{R}^3$ такой, что векторы $e_1$, $e_2$ лежат в плоскости $\mathbb{R}^2 \cong (\mathbb{R}^2,0) \subset \mathbb{R}^3$, по которой катится сфера $S^2$ единичного радиуса, а вектор $e_3$ направлен в полупространство, содержащее эту сферу. Репер $e_1$, $e_2$, $e_3$ закреплен в точке $O \in (\mathbb{R}^2,0)$. Пусть $f_1$, $f_2$, $f_3$ – подвижный правый репер, закрепленный в катящейся сфере $S^2$. Обозначим координаты точки в $\mathbb{R}^3$ в базисе $e_1$, $e_2$, $e_3$ через $(x,y,z)$, а координаты этой точки в базисе $f_1$, $f_2$, $f_3$, перенесенном в точку $O$, через $(X,Y,Z)$. Таким образом, Пусть матрица $R \in \operatorname{SO}(3)$ переводит координаты точки в неподвижном репере $e_1$, $e_2$, $e_3$ в ее координаты в подвижном репере $f_1$, $f_2$, $f_3$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}= R \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Состояние системы “сфера $S^2$ и плоскость $\mathbb{R}^2$” задается координатами $(x,y)$ точки контакта $S^2$ и $\mathbb{R}^2$, а также матрицей вращения $R$. В качестве управлений будем использовать вектор $(u_1,u_2)$ скорости центра сферы. Задача об оптимальном качении сферы по плоскости формализуется как следующая задача оптимального управления:
$$
\begin{equation}
Q=(x,y,R) \in G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3),
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
$$
\begin{equation}
Q(0)=Q_0=(0, 0, \operatorname{Id}), \qquad Q(t_1)=Q_1,
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
Здесь и далее мы используем базисные матрицы в алгебре Ли $\mathfrak{so}(3)$:
$$
\begin{equation}
A_1=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.58}
$$
Левоинвариантная субриманова задача. Задача (2.51)–(2.57) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Ли $G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3)$. Введем следующий левоинвариантный репер на этой группе Ли:
$$
\begin{equation*}
e_1=\frac{\partial}{\partial x}\,, \quad e_2=\frac{\partial}{\partial y}\,, \quad V_i(R)=R A_i, \quad i=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах левоинвариантных полей управляемая система (2.51)–(2.55) принимает вид
$$
\begin{equation}
\dot Q=u_1 X_1 (Q)+u_2 X_2(Q), \qquad Q \in G=\mathbb{R}^2 \times \operatorname{SO}(3), \quad (u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{2.59}
$$
Функционал (2.57) есть функционал субримановой длины для левоинвариантной субримановой структуры, заданной полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным базисом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}[t] \, l=\int_0^{t_1} \langle \dot Q,\dot Q\rangle^{1/2} \, dt \to \min, \\ \langle X_i,X_j\rangle=\delta_{ij}, \qquad i,j=1, 2. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.60}
$$
Существование оптимальных управлений. Напомним, что матричные коммутаторы $[A_i,A_j]=A_i A_j-A_j A_i$ вычисляются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
[A_1, A_2]=A_3, \qquad [A_2, A_3]=A_1, \qquad [A_3, A_1]=A_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Таблица умножения в алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathbb{R}^2 \oplus \mathfrak{so}(3)= \operatorname{span}(e_1, e_2, V_1, V_2, V_3)$ группы Ли $G$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ad}e_i=0, \qquad [V_1, V_2]=V_3, \qquad [V_2, V_3]=V_1, \qquad [V_3, V_1]=V_2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу равенств
$$
\begin{equation*}
[X_1, X_2]=V_3, \qquad [X_1, V_3]=- V_1, \qquad [X_2, V_3]=- V_2
\end{equation*}
\notag
$$
векторные поля $X_1$, $X_2$ в правой части системы (2.59) порождают алгебру Ли $\mathfrak{g}$. По теореме Рашевского–Чжоу система (2.59) вполне управляема. Из теоремы Филиппова следует существование оптимальных управлений в задаче (2.51)–(2.57) для любых $Q_0,Q_1 \in G$ в классе существенно ограниченных измеримых управлений. 2.8.3. ЭкстремалиВведем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} h_i(\lambda)&=\langle \lambda, e_i \rangle, &\quad i&=1,2, \\ H_i(\lambda)&=\langle \lambda, V_i \rangle, &\quad i&=1,2,3. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Анормальные траектории. Анормальные траектории постоянной скорости имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_t=u_1 t, \qquad y_t=u_2 t, \\ R_t=\exp(t(u_2 A_1-u_1 A_2)). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Они нестрого анормальны и оптимальны. В анормальном случае сфера равномерно катится по прямой. Нормальная гамильтонова система. В нормальном случае гамильтонова система с гамильтонианом записывается в координатах так: Как всегда в субримановых задачах, можно ограничиться геодезическими единичной скорости, т. е. экстремальными траекториями, вдоль которых $H \equiv 1/2$. При таком ограничении удобно перейти в сопряженном пространстве от координат $(h_1,h_2,H_1,H_2,H_3)$ к новым координатам $(r,\alpha,\theta,c)$:
$$
\begin{equation}
h_1-H_2=\cos(\theta+\alpha), \qquad h_2+H_1=\sin (\theta+\alpha),
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
После этого гамильтонова система для нормальных экстремалей (2.61)–(2.65) принимает следующую форму:
$$
\begin{equation}
\dot R =R \Omega, \qquad \Omega=\sin(\theta+\alpha) A_1-\cos(\theta+\alpha) A_2.
\end{equation}
\tag{2.73}
$$
Семейство нормальных экстремалей $\lambda_t$ параметризуется цилиндром $C$, состоящим из начальных точек $\lambda=\lambda_t\big|_{t=0}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C &= \biggl\{\lambda \in\mathfrak{g}^* \mid H(\lambda)=\frac{1}{2}\biggr\} \\ & \cong \{(h_1, h_2, H_1, H_2, H_3) \in \mathbb{R}^5 \mid (h_1-H_2)^2+(h_2+H_1)^2=1\} \\ & \cong \{(\theta, c, \alpha, r) \mid \theta \in S^1, \ c \in \mathbb{R}, \ \alpha \in S^1, \ r \geqslant 0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Экспоненциальное отображение определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Exp}(\lambda,t)=\pi \circ e^{t \vec H}(\lambda)=Q_t, \\ \operatorname{Exp}\colon N \to M, \qquad N=C \times \mathbb{R}_+=\{(\lambda,t) \mid \lambda \in C, \ t > 0\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае $r=0$ эластика $(x_t,y_t)$ есть прямая (при $H_3=c=0$) или окружность (при $H_3=c \ne 0$); будем называть такие эластики вырожденными. В случае $r \ne 0$ эластика $(x_t,y_t)$ принадлежит одному из четырех классов в зависимости от полной энергии $E=c^2/2-r\cos \theta$ маятника (2.68), (2.69) (см. раздел 2.6):
Симплектическое слоение. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ имеются функции Казимира $h_1$, $h_2$, $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2$. Симплектическое слоение состоит из
Нормальная гамильтонова система имеет интегралы $h_1$, $h_2$, $M$, $E=(M+h_1^2+h_2^2)/2-H$ и интегрируема в эллиптических функциях и интегралах. Различные типы геодезических, которые проецируются в эйлеровы эластики $(x_t,y_t)$, соответствуют разным типам пересечения поверхности уровня гамильтониана $\{H=\operatorname{const}\}$ с симплектическими листами. Выпрямляющие координаты. Цилиндр $C=\{\lambda \in \mathfrak{g}^* \mid H(\lambda)=1/2\}$ стратифицируется согласно разным типам движения маятника (2.68), (2.69): где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid E \in (-r, r), \ r > 0\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid E \in (r,+\infty), \ r > 0\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid E=r > 0, \ c \ne 0\}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid E=-r, \ r > 0\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid E=r > 0, \ c=0\}, \\ C_6&=\{\lambda \in C \mid r=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid r=0, \ c=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В области $\bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$ введем координаты $(\varphi,k,\alpha,r)$, выпрямляющие уравнения маятника (2.68), (2.69). Если $\lambda=(\theta,c,\alpha,r)\in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \quad \cos\frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi,k), \quad \frac{c}{2}=k \sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi, k),
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $k=\sqrt{(E+r)/(2r)} \in (0, 1)$ и $\sqrt{r}\,\varphi\,\operatorname{mod}{4K} \in [0,4K]$. Если $\lambda=(\theta,c,\alpha,r)\in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta}{2}= \pm\operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \quad \cos\frac{\theta}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr), \quad \frac{c}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\,,k\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \pm=\operatorname{sign}c$, при этом $k=\sqrt{2r/(E+r)} \in (0,1)$ и $\sqrt{r}\,\varphi\,\operatorname{mod}{2kK} \in [0,2kK]$. Если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi), \quad \cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)}\,, \quad \frac{c}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r} \varphi)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign} c$, при этом $k=1$, $\varphi \in (-\infty,+\infty)$. В новых координатах уравнения маятника (2.68), (2.69) принимают вид:
$$
\begin{equation*}
\dot \varphi=1, \quad \dot k=0, \quad \dot \alpha=0, \quad \dot r=0,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\varphi_t=\varphi+t$, а $k,\alpha,r=\operatorname{const}$. Интегрирование вертикальной подсистемы гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина. Если $\lambda \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta_t}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k), \quad \frac{c_t}{2}=k\sqrt{r}\,\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t,k).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta_t}{2}= \pm \operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr), \quad \frac{c_t}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{k}\operatorname{dn} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi_t}{k}\,,k\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign}c$. Если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\sin\frac{\theta_t}{2}= \pm \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t), \quad \cos\frac{\theta_t}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,, \quad \frac{c_t}{2}=\pm \frac{\sqrt{r}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t)}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign}c$. Для случаев $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7 C_i$ система (2.68)–(2.70) интегрируется непосредственно:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta_t \equiv 0,\quad c_t \equiv 0 \quad\text{при } \lambda \in C_4;\qquad \theta_t \equiv \pi,\quad c_t \equiv 0\quad\text{при } \lambda \in C_5; \\ \theta_t=c t+\theta,\quad c_t \equiv c \ne 0\quad\text{при } \lambda \in C_6;\qquad \theta_t \equiv \theta,\quad c_t \equiv 0\quad\text{при }\lambda \in C_7. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование уравнений для $x$, $y$. Для интегрирования уравнений (2.71), (2.72) с начальным условием $x_0=y_0=0$ воспользуемся симметрией задачи – поворотом
$$
\begin{equation*}
x=\bar x\cos \alpha-\bar y \sin \alpha, \quad y=\bar x \sin \alpha+\bar y \cos \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
В новых переменных получаем задачу Коши
$$
\begin{equation}
\dot{\bar x}_t=\cos \theta_t, \quad \dot{\bar y}_t=\sin \theta_t, \qquad \bar x_0= \bar y_0=0,
\end{equation}
\tag{2.74}
$$
решения которой параметризуются следующим образом. Если $\lambda \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2(\operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi_t)- \operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi))-\sqrt{r}\,t}{\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\frac{2k(\operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi)- \operatorname{cn}(\sqrt{r}\,\varphi_t))}{\sqrt{r}}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2(\operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi_t/k)- \operatorname{E}(\sqrt{r}\,\varphi/k)-(2-k^2)\sqrt{r}\,t/(2k))}{k\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\pm\frac{2(\operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi/k)- \operatorname{dn}(\sqrt{r}\,\varphi_t/k))}{k\sqrt{r}}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{x}_t&=\frac{2( \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi_t)- \operatorname{th} (\sqrt{r}\,\varphi))- \sqrt{r}\,t}{\sqrt{r}}\,, \\ \bar{y}_t&=\pm \frac{2(1/ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi)- 1/ \operatorname{ch} (\sqrt{r}\,\varphi_t))}{\sqrt{r}}\,, \qquad \pm=\operatorname{sign}c. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7 C_i$ уравнения (2.74) интегрируются непосредственно:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bar{x}_t=t,\quad \bar{y}_t=0\quad\text{при } \lambda \in C_4;\qquad \bar{x}_t=-t,\quad \bar{y}_t=0\quad\text{при } \lambda \in C_5; \\ \bar{x}_t=\frac{\sin(c t+\theta)-\sin \theta}{c}\,,\quad \bar{y}_t=\frac{\cos \theta-\cos(c t+\theta)}{c}\quad\text{при } \lambda \in C_6; \\ \bar{x}_t=t \cos \theta,\quad \bar{y}_t=t \sin \theta\quad\text{при } \lambda \in C_7. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрирование уравнений для $R$. Пусть $M=H_1^2+H_2^2+H_3^2 > 0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag R(t)&=\exp\bigl((\alpha-\varphi_3^0) A_3\bigr) \exp\bigl(-\varphi_2^0 A_2\bigr)\exp\bigl(\varphi_1(t) A_3\bigr) \\ &\qquad\times\exp\bigl(\varphi_2(t) A_2\bigr) \exp\bigl((\varphi_3(t)-\alpha)A_3\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.75}
$$
где углы $\varphi_i$ определяются из соотношений (2.76)–(2.82) при $r \ne 1$ и (2.79)–(2.83) при $r=1$ (см. ниже), а угол $\varphi_1$ удовлетворяет начальному условию $\varphi_1^0=0$. Входящие в разложение (2.75) экспоненты матриц, содержащие $\varphi_2$, $\varphi_3$, выражаются через $\cos \varphi_2$, $\sin \varphi_2$, $\cos \varphi_3$, $\sin \varphi_3$, которые с помощью соотношений (2.76), (2.77), (2.79), (2.80) выражены через переменные $c$, $\cos(\theta/2)$, $\sin(\theta/2)$, которые, в свою очередь, представлены выше как функции эллиптических координат или непосредственно. При $r=1$ имеем $\varphi_1(t)=\sqrt M\,t/2$. Интегрирование уравнения (2.78) при $r \ne 1$ вынесено в следующий пункт. В случае $M=0$ имеем $r=1$, $c=0$, $\theta=0$, следовательно, $u_1=\cos\alpha$, $u_2=\sin \alpha$. Поэтому $\Omega=u_2 A_1-u_1 A_2 \equiv \operatorname{const}$ и $R(t)=e^{t\Omega}$. Интегрирование уравнений для $\varphi_1$. Вдоль нормальных геодезических углы $\varphi_i$ удовлетворяют при $r \ne 1$ равенствам
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt{M}}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\pm \frac{\sqrt{M-c^2}}{\sqrt{M}}\,,
\end{equation}
\tag{2.76}
$$
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_3 =\mp\frac{\sin \theta}{\sqrt{M-c^2}}\,, \qquad \sin \varphi_3 =\pm\frac{r-\cos \theta}{\sqrt{M-c^2}}\,,
\end{equation}
\tag{2.77}
$$
$$
\begin{equation}
\dot\varphi_1=\frac{\sqrt{M}(1-r \cos \theta)}{M-c^2}\,,
\end{equation}
\tag{2.78}
$$
а при $r=1$ равенствам
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_2 =\frac{c}{\sqrt{M}}\,, \qquad \sin \varphi_2 =\pm \frac{2 \sin(\theta/2)}{\sqrt{M}}\,,
\end{equation}
\tag{2.79}
$$
$$
\begin{equation}
\cos \varphi_3 =\mp \cos\frac{\theta}{2}\,, \qquad \sin \varphi_3 =\pm \sin\frac{\theta}{2}\,,
\end{equation}
\tag{2.80}
$$
Введем в рассмотрение эллиптический интеграл III рода в следующей форме:
$$
\begin{equation}
\Pi(n, u, k)=\int_0^u \frac{dt}{(1-n \sin^2 t)\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}=\int_0^{F(u,k)} \frac{dv}{1-n \operatorname{sn}^2 v}\,.
\end{equation}
\tag{2.82}
$$
Пусть $r \ne 1$. Если $\lambda_1 \in C_1$, то
$$
\begin{equation}
\varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,(1+r)}{2\,\sqrt{r}\,(1-r)} \bigl[\Pi(l,\operatorname{am}(\sqrt{r}\,(\varphi+t)),k)- \Pi(l,\operatorname{am}(\sqrt{r}\,\varphi),k)\bigr],
\end{equation}
\tag{2.83}
$$
где $l=-4 k^2 r/(1-r)^2$. Если $\lambda_1 \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,k(1+r)}{2\,\sqrt{r}\,(1-r)}\, \biggl[\Pi\biggl(l,\operatorname{am} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,(\varphi+t)}{k}\biggr),k\biggr)- \Pi\biggl(l,\operatorname{am} \biggl(\frac{\sqrt{r}\,\varphi}{k}\biggr),k\biggr)\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где $l=-4r/(1-r)^2$. Если $\lambda_1 \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varphi_1(t)=\frac{\sqrt{M}}{2}\,t+\frac{\sqrt{M}\,k(1-r^2)}{8 r^{3/2}} \bigl[I(\sqrt{r}\,(\varphi+t),a)-I(\sqrt{r}\,\varphi,a)\bigr], \\ I(v,a)=\int_0^v\frac{dt}{a^2+ \operatorname{th} ^2t}= \frac{a t- \operatorname{arctg} a+ \operatorname{arctg} (e^t(a^2 \operatorname{ch} t+ \operatorname{sh} t)/a)}{a+a^3}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $ a=(1-r)/(2\,\sqrt{r}\,)$. Если $\lambda_1 \in C_6$, то $\varphi_1(t)=\sqrt{1+c^2}\, t$. Если $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$, то
$$
\begin{equation*}
\theta_t \equiv \operatorname{const}=\theta,\quad \Omega=\sin(\alpha+\theta)A_1-\cos(\alpha+\theta) A_2 \equiv \operatorname{const},\quad R(t)=e^{t\Omega}.
\end{equation*}
\notag
$$
Управляемая система в терминах кватернионов. Для описания ориентации катящейся сферы удобно, наряду с матрицей вращения $R$, использовать кватернионы. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathbb{H}=\{q=q_0+iq_1+j q_2+k q_3 \mid q_0,\dots,q_3 \in \mathbb{R}\}
\end{equation*}
\notag
$$
– алгебра кватернионов, $S^3=\{q \in \mathbb{H} \mid |q|^2=q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1\}$ – единичная сфера, – подпространство чисто мнимых кватернионов. Любой кватернион $q \in S^3$ задает вращение евклидова пространства $I$:
$$
\begin{equation*}
q \in S^3 \quad\Longrightarrow \quad R_q(a)=q a q^{-1}, \quad a \in I, \quad R_q \in \operatorname{SO}(3)\cong \operatorname{SO}(I).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответствие между кватернионом $q=q_0+i q_1+j q_2+k q_3 \in S^3$ и матрицей $R \in \operatorname{SO}(3)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
R=\begin{pmatrix} q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2 q_1 q_2-2 q_0 q_3& 2 q_0 q_2 + 2 q_1 q_3 \\ 2 q_1 q_2+2 q_0 q_3 &q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & -2 q_0q_1+2 q_2 q_3 \\ -2 q_0 q_2+2 q_1 q_3 & 2 q_0 q_1+2 q_2 q_3 & q_0^2-q_1^2 - q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.84}
$$
Управляемая система (2.47) в терминах кватернионов принимает форму
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot{q}_0=(q_2 u_1-q_1 u_2)/2, \\ \dot{q}_1=(q_3 u_1+q_0 u_2)/2, \\ \dot{q}_2=(-q_0 u_1+q_3 u_2)/2, \\ \dot{q}_3=(-q_1 u_1-q_2 u_2)/2, \end{cases}\qquad q=q_0+i q_1+j q_2+k q_3 \in S^3, \quad (u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2.
\end{equation}
\tag{2.85}
$$
Управляемая система на $\mathbb{R}^2\times\operatorname{SO}(3)$ (2.46), (2.47) с начальным условием $g(0)=\operatorname{Id}$ имеет лифт на $\mathbb{R}^2\times S^3$ вида (2.46), (2.85) с начальным условием $(x,y)(0)=(0,0)$, $q(0)=1$. 2.8.4. СимметрииСимметрии семейства экстремальных траекторий. Вращения эластик $(x_s,y_s)$ вокруг начала координат в плоскости $(x,y)$ порождают однопараметрическую группу симметрий траекторий гамильтоновой системы (2.68)–(2.73): где вращение $\Phi^{\beta}$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Phi^{\beta}\colon\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}\to \{\lambda_s^{\beta} \mid s \in [0,t]\},
\end{equation}
\tag{2.86}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_s=(\theta_s, c_s, \alpha, r, Q_s), \qquad Q_s=(x_s, y_s, R_s),
\end{equation}
\tag{2.87}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_s^{\beta}= (\theta_s^{\beta},c_s^{\beta},\alpha^{\beta},r,Q_s^{\beta}),\qquad Q_s^{\beta}=(x_s^{\beta},y_s^{\beta},R_s^{\beta}),
\end{equation}
\tag{2.88}
$$
$$
\begin{equation}
\theta_s^{\beta}=\theta_s, \qquad c_s^{\beta}=c_s, \qquad \alpha^{\beta}=\alpha+\beta,
\end{equation}
\tag{2.89}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x_s^{\beta} \\ y_s^{\beta}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \beta &-\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_s \\ y_s\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.90}
$$
$$
\begin{equation}
R_s^{\beta}=e^{\beta A_3} R_s e^{-\beta A_3}, \qquad \Omega_s^{\beta}=e^{\beta A_3} \Omega_s e^{-\beta A_3}.
\end{equation}
\tag{2.91}
$$
Предложение 2.8. Если $\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}$ есть некоторая траектория системы (2.68)–(2.73), то для любого $\beta \in S^1$ кривая $\{\lambda_s^{\beta} \mid s \in [0,t]\}$ есть также траектория этой системы. Отражения траекторий $(\theta_s,c_s)$ маятника (2.68), (2.69) относительно осей координат $\theta$, $c$ и в начале координат продолжаются до дискретных симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$, $\varepsilon^3$ семейства траекторий гамильтоновой системы (2.68)–(2.73):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}\to \{\lambda_s^{i} \mid s \in [0,t]\}, \qquad i=1,2,3, \\ \begin{alignedat}{2} \lambda_s&=(\theta_s, c_s, \alpha, r, Q_s), &\qquad Q_s&=(x_s, y_s, R_s), \\ \lambda_s^{i}&=(\theta_s^{i}, c_s^{i}, \alpha^{i}, r, Q_s^{i}), &\qquad Q_s^{i}&=(x_s^{i}, y_s^{i}, R_s^{i}). \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отражению траекторий $(\theta_s,c_s)$ маятника (2.68), (2.69) относительно оси координат $\theta$ соответствует дискретная симметрия $\varepsilon^1$ семейства экстремальных траекторий:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta_s^{1}=\theta_{t-s}, \qquad c_s^{1}=-c_{t-s}, \qquad \alpha^{1}=\alpha+\pi, \\ x_s^1=x_{t-s}-x_t, \qquad y_s^1=y_{t-s}-y_t, \\ R_s^{1}=(R_t)^{-1} R_{t-s}, \qquad \Omega_s^{1}=-\Omega_{t-s}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отражение траекторий маятника $(\theta_s,c_s)$ относительно оси координат $c$ порождает симметрию $\varepsilon^2$ экстремальных траекторий:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta_s^{2}=-\theta_{t-s}, \qquad c_s^{2}=c_{t-s}, \qquad \alpha^{2}=\pi-\alpha, \\ x_s^2=x_{t-s}-x_t, \qquad y_s^2=y_t-y_{t-s}, \\ R_s^{2}=I_2 (R_t)^{-1} R_{t-s} I_2, \qquad \Omega_s^{2}=- I_2 \Omega_{t-s} I_2, \\ I_2=I_2^{-1}=e^{\pi A_2}=\begin{pmatrix} - 1 & 0 & \hphantom{-}0 \\ \hphantom{-}0 & 1 & \hphantom{-}0 \\ \hphantom{-}0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отражение траекторий маятника $(\theta_s,c_s)$ в начале координат $(\theta,c)=(0,0)$ продолжается до симметрии $\varepsilon^3$ экстремальных траекторий:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta_s^{3}=-\theta_{s}, \qquad c_s^{3}=-c_{s}, \qquad \alpha^{3}=- \alpha, \\ x_s^3=x_{s}, \qquad y_s^3=- y_{s}, \\ R_s^{3}=I_2 R_{s} I_2, \qquad \Omega_s^{3}=I_2 \Omega_{s} I_2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.9. Если $\{\lambda_s \mid s \in [0,t]\}$ есть некоторая траектория системы (2.68)–(2.73), то кривые $\{\lambda_s^{i} \mid s \in [0,t]\}$, $i=1,2,3$, суть также траектории этой системы. Симметрии экспоненциального отображения. Действия вращений $\Phi^\beta$ и отражений $\varepsilon^i$ в прообразе и образе экспоненциального отображения определяются так, чтобы они коммутировали с действием экспоненциального отображения. Вращения $\Phi^\beta\colon\lambda\to\lambda^{\beta}$ (2.86)–(2.91) являются симметриями гамильтоновой системы, поэтому их действие в $T^*G$ естественно распадается в прямую сумму действий в $N=\mathfrak{g}^* \times \mathbb{R}_+$ (на $(\lambda,t)$, где $\lambda$ – начало экстремали) и в $G$ (на $Q_t$ – конец соответствующей экстремальной траектории):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi^\beta\colon N \to N, \qquad (\lambda,t) \mapsto (\lambda^{\beta},t), \\ \lambda=(\theta,c,\alpha,r), \qquad \lambda^{\beta}=(\theta,c,\alpha^{\beta},r),\qquad \alpha^{\beta}=\alpha+\beta, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi^\beta\colon G\to G, \qquad Q \mapsto Q^{\beta}, \\ Q=(x, y, R), \qquad Q^{\beta}=(x^{\beta}, y^{\beta}, R^{\beta}), \\ \begin{pmatrix} x^{\beta} \\ y^{\beta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \beta &-\sin \beta \\ \sin \beta & \hphantom{-}\cos \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix},\qquad R^{\beta}=e^{\beta A_3} R e^{-\beta A_3}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Действие отражений $\varepsilon^i$ в $N$ определяется ограничением их действия на вертикальные составляющие экстремальных траекторий в начальный момент времени $s=0$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon N\to N, \quad (\lambda, t) \mapsto (\lambda^{i}, t), \qquad i=1, 2, 3, \\ \lambda=(\theta, c, \alpha, r), \qquad \lambda^{i}=(\theta^i, c^i, \alpha^{i}, r), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda=\lambda_s\big|_{s=0}$, $\lambda^i=\lambda_s^i\big|_{s=0}$. Явные выражения для действия $\varepsilon^i$ в $N$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^1,c^1,\alpha^1,r,t)&= (\theta_t,-c_t,\alpha+\pi,r,t), \\ \varepsilon^2\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^2,c^2,\alpha^2,r,t)&= (-\theta_t, c_t, \pi-\alpha, r, t), \\ \varepsilon^3\colon(\theta,c,\alpha,r,t)\to(\theta^3,c^3,\alpha^3,r,t)&= (-\theta, -c, -\alpha, r, t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Действие отражений в $G$ определяется их действием на экстремальные траектории в конечный момент времени $s=t$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^i\colon G\to G, \quad Q \mapsto Q^{i}, \qquad i=1,2,3, \\ Q=(x,y,R), \qquad Q^i=(x^i,y^i,R^i), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q=Q_s\big|_{s=t}$, $Q^i=Q_s^i\big|_{s=t}$. Явные формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(x, y, R)\to(x^1, y^1, R^1)&=(-x, -y, (R)^{-1}), \\ \varepsilon^2\colon(x, y, R)\to(x^2, y^2, R^2)&=(-x, y, I_2 (R)^{-1}I_2), \\ \varepsilon^3\colon(x, y, R)\to(x^3, y^3, R^3)&=(x, -y, I_2 R I_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, определено действие вращений и отражений в прообразе и образе экспоненциального отображения:
$$
\begin{equation}
\Phi^\beta,\varepsilon^i \colon N \to N, \qquad (\lambda,t) \mapsto (\lambda^{\beta},t),(\lambda^i,t),
\end{equation}
\tag{2.92}
$$
$$
\begin{equation}
\Phi^\beta,\varepsilon^i \colon G \to G, \qquad Q \mapsto Q^{\beta},Q^i.
\end{equation}
\tag{2.93}
$$
Существенно, что образ $Q^i=\varepsilon^i(Q)$ зависит лишь от прообраза $Q$, но не от момента времени $t$. Предложение 2.10. Отображения $\Phi^\beta$, $\varepsilon^i$ являются симметриями экспоненциального отображения. Рассмотрим группу симметрий экспоненциального отображения, порожденную вращениями и отражениями:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}= \langle \Phi^\beta,\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3 \rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Таблица умножения в этой группе имеет следующий вид:
Отсюда получаем явное описание группы симметрий экспоненциального отображения:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}=\{\Phi^\beta,\Phi^\beta \circ \varepsilon^i \mid \beta \in S^1, \ i=1,2,3\} \cong \operatorname{SO}(2)\times (\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим множество Максвелла, соответствующее группе $\langle \varepsilon^i,\Phi^\beta\rangle$, $i=1,2,3$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \operatorname{MAX}^i=\bigl\{(\lambda,t)\in N\mid \exists\beta \in S^1&\colon (\tilde\lambda,t)=\varepsilon^i \circ \Phi^\beta(\lambda,t), \\ &\quad\operatorname{Exp}(\lambda, s) \not\equiv \operatorname{Exp}(\tilde\lambda, s), \ \operatorname{Exp}(\lambda,t)= \operatorname{Exp}(\tilde \lambda,t)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.8.5. Условия оптимальностиТеорема 2.36. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s, y_s, R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^1$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0,t_1]$, неоптимальна. Теорема 2.37. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s,y_s,R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^2$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0, t_1]$, неоптимальна. Теорема 2.38. Пусть $t > 0$ и $Q_s=(x_s, y_s, R_s)=\operatorname{Exp}(\lambda,s)$ есть такая экстремальная траектория, что Тогда $(\lambda,t) \in \operatorname{MAX}^3$, поэтому для любого $t_1 > t$ траектория $Q_s$, $s \in [0,t_1]$, неоптимальна. Замечание 2.2. Учитывая то, что для любого кватерниона $q=q_0+iq_1+jq_2+kq_3 \in S^3$ соответствующее движение $R_q\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ есть вращение вокруг вектора $(q_1,q_2,q_3) \in\mathbb{R}^3$, можно дать следующую наглядную интерпретацию условиям (1) теорем 2.36–2.38. 1. Условие (1) теоремы 2.36 означает, что вращение сферы $R_t$ есть поворот вокруг некоторой горизонтальной оси. 2. Условие (1) теоремы 2.37 означает, что вращение $R_t$ есть поворот вокруг некоторой оси, ортогональной вектору перемещения точки контакта сферы и плоскости $(x_t,y_t,0)$. 3. Условие (1) теоремы 2.38 означает, что вращение $R_t$ есть поворот вокруг горизонтальной оси, ортогональной вектору $(x_t,y_t,0)$, или что $R_t$ есть поворот на угол $\pi$ вокруг некоторой оси, лежащей в вертикальной плоскости, которая содержит вектор $(x_t,y_t,0)$. 2.8.6. Библиографические комментарииПункт 2.8.1 опирается на [29], [56], [83], [86], п. 2.8.2 – на [132], п. 2.8.3 – на [114], [132], п. 2.8.4 – на [132]. Задача о качении шара по плоскости без прокручивания и проскальзывания рассматривалась также в работах [2], [88]. 2.9. Субриманова задача на группе Энгеля2.9.1. Постановка задачиГеометрическая постановка. Пусть на евклидовой плоскости заданы точки $a_0,a_1 \in \mathbb{R}^2$, соединенные кривой $\gamma_0 \subset \mathbb{R}^2$. Пусть также заданы число $S \in \mathbb{R}$ и прямая $L \subset \mathbb{R}^2$. Требуется соединить точки $a_0$ и $a_1$ кратчайшей кривой $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ так, чтобы кривые $\gamma_0$ и $\gamma$ ограничивали на плоскости область алгебраической площади $S$ с центром масс, принадлежащим прямой $L$. Таким образом, это некоторое обобщение (усложнение) задачи Дидоны (см. [143], [157]). Задача оптимального управления. Поставленную геометрическую задачу можно переформулировать как задачу оптимального управления:
$$
\begin{equation}
\dot{g}=u_1 X_1(g)+u_2 X_2(g), \quad g=(x, y, z, v) \in \mathbb{R}^4,
\end{equation}
\tag{2.94}
$$
$$
\begin{equation}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}- \frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+ \frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}+ \frac{x^2+y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial v}\,.
\end{equation}
\tag{2.97}
$$
Эта задача – субриманова для субримановой структуры на $\mathbb{R}^4$, заданной векторными полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным репером. Алгебра Энгеля и группа Энгеля. Алгеброй Энгеля называется алгебра Ли $\mathfrak{g}$, в которой существует базис $(X_1,\dots,X_4)$, в котором ненулевые коммутаторы суть (см. рис. 34).Алгебра Энгеля есть нильпотентная алгебра Ли с градуировкой
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus\mathfrak{g}^{(2)} \oplus \mathfrak{g}^{(3)}, \\ \mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,X_2),\quad \mathfrak{g}^{(2)}=\mathbb{R}X_3,\quad \mathfrak{g}^{(3)}=\mathbb{R} X_4,\qquad [\mathfrak{g}^{(1)},\mathfrak{g}^{(i)}]=\mathfrak{g}^{(i+1)}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\mathfrak{g}^{(4)}=\{0\}$, поэтому она является алгеброй Карно. Соответствующая связная односвязная группа Ли $G$ называется группой Энгеля. Группа Энгеля имеет линейное представление:
$$
\begin{equation*}
\left\{\begin{pmatrix} 1 & b & c & d \\ 0 & 1 & a & a^2/2\\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,\Bigg|\, a,b,c,d \in \mathbb{R}\right\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На пространстве $\mathbb{R}^4_{x,y,z,v}$ можно ввести закон умножения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ v_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2+\dfrac{x_1 y_2-x_2 y_1}{2}\\ v_1+v_2+\dfrac{y_1y_2(y_1+y_2)}{2}+x_1z_2+\dfrac{x_1y_2(x_1+x_2)}{2} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
превращающий это пространство в группу Энгеля: $G \cong \mathbb{R}^4_{x,y,z,v}$, а поля (2.97) в левоинвариантные поля на этой группе. Таким образом, задача (2.94)–(2.96) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Энгеля. Поэтому можно считать, что начальная точка в (2.95) есть единица группы Энгеля: $g_0=\operatorname{Id}=(0,0,0,0)$. Все вполне неголономные левоинвариантные субримановы задачи ранга 2 на группе Энгеля переводятся друг в друга изоморфизмом этой группы [124]. Особенности задачи. Субриманова задача на группе Энгеля есть простейшая левоинвариантная субриманова задача со следующими свойствами:
Эта задача доставляет нильпотентную аппроксимацию любой субримановой задачи энгелева типа (т. е. с вектором роста $(2,3,4)$, см. [45], [143]), в частности, для мобильного робота с прицепом. 2.9.2. Симметрии распределения и субримановой структурыТеорема 2.39. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий распределения $\operatorname{span}(X_1,X_2)$ на группе Энгеля параметризуется гладкими функциями на этой группе, постоянными вдоль поля $X_2$. Теорема 2.40. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий нильпотентной субримановой структуры на группе Энгеля изоморфна алгебре Энгеля и состоит из правоинвариантных векторных полей на этой группе. 2.9.3. ГеодезическиеОптимальные траектории в задаче (2.94)–(2.96) существуют, это следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. Принцип максимума Понтрягина. Перейдем от задачи минимизации длины (2.96) к эквивалентной задаче минимизации энергии
$$
\begin{equation}
J=\frac{1}{2}\int_0^{t_1} (u_1^2+u_2^2)\,dt \to \min\!.
\end{equation}
\tag{2.98}
$$
Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda,X_i\rangle$, $i=1,\dots,4$. Тогда принцип максимума Понтрягина для задачи (2.94), (2.95), (2.98) принимает форму:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot h_1=-u_2 h_3,\quad \dot h_2=u_1 h_3,\quad \dot h_3=u_1 h_4,\quad \dot h_4=0, \\ \dot{g}=u_1 X_1+u_2 X_2, \\ u_1 h_1+u_2 h_2+\frac{\nu}{2}(u_1^2+u_2^2) \to \max_{(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2}, \\ \nu \leqslant 0,\quad (h_1,\dots,h_4,\nu) \ne 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Анормальные экстремали. Анормальные экстремали постоянной скорости могут быть параметризованы как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered}[b] \, h_1=h_2=h_3=0, \quad h_4 \equiv \operatorname{const} \ne 0, \notag \\ u_1\equiv 0, \quad u_2\equiv \pm 1, \notag \\ x=z \equiv 0, \quad y=\pm t, \quad v=\pm \frac{t^3}{6}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.99}
$$
Анормальные траектории (2.99) суть однопараметрические подгруппы $g(t)=e^{\pm tX_2}$. Они проецируются на плоскость $(x,y)$ в прямые, а потому являются субримановыми кратчайшими. Анормальное множество есть одномерное гладкое многообразие, диффеоморфное прямой:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Abn}=\biggl\{g \in G \Bigm| x=z=v-\frac{y^3}{6}=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нормальные экстремали. Нормальные экстремали являются траекториями нормальной гамильтоновой системы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot{\lambda}=\vec{H}(\lambda), \quad \lambda \in T^*G, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.100}
$$
с гамильтонианом $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Введем на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ координаты $(\theta,c,\alpha)$:
$$
\begin{equation*}
h_1=-\sin\theta, \quad h_2=\cos\theta, \quad h_3=c, \quad h_4=\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
тогда гамильтонова система (2.100) примет форму
$$
\begin{equation}
\dot{\theta}=c, \quad \dot c=-\alpha\sin\theta, \quad \dot{\alpha}=0,
\end{equation}
\tag{2.101}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{g}=-\sin \theta\cdot X_1+\cos\theta\cdot X_2.
\end{equation}
\tag{2.102}
$$
Вертикальная подсистема (2.101) есть уравнение маятника в поле силы тяжести с ускорением свободного падения $g=\alpha l$, где $l$ – длина маятника. Таким образом, при $\alpha> 0$ (или $\alpha < 0$) сила тяжести направлена вниз (соответственно вверх) относительно оси, от которой отсчитывается угол $\theta$, а при $\alpha=0$ маятник движется в невесомости. Проекции нормальных экстремалей на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6). Анормальные кратчайшие удовлетворяют нормальной гамильтоновой системе (2.101), (2.102) при $\theta=\pi+2\pi n$, $c=0$, поэтому они нестрого анормальны. Симплектическое слоение и функции Казимира На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ существуют две независимые функции Казимира:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h_4 \quad\text{и}\quad E=\frac{h_3^2}{2}-h_2 h_4, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $E$ есть полная энергия маятника (2.101). Симплектическое слоение на $\mathfrak{g}^*$ состоит из Симплектические листы двумерны и нульмерны, поэтому вертикальная подсистема (2.101) интегрируема по Лиувиллю. Фазовый портрет гамильтоновой системы (2.100) на цилиндре $C\cap \{h_4=\operatorname{const}\}$, где $C=\mathfrak{g}^* \cap \{H=1/2\}$, получается пересечением этого цилиндра с поверхностью уровня энергии $E$.Параметризация нормальных геодезических. Семейство нормальных экстремалей на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ параметризуется начальными точками, принадлежащими цилиндру $C$. Рассмотрим стратификацию цилиндра $C$ на подмногообразия, соответствующие разным типам траекторий маятника (2.101): где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E\in(-|\alpha|,|\alpha|)\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E\in(|\alpha|,+\infty)\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=|\alpha|, c \ne 0 \}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=-|\alpha|\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid \alpha \ne 0, \ E=|\alpha|, c=0\}, \\ C_{6}&=\{\lambda \in C \mid \alpha=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid \alpha=c=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, множества $C_i$, $i=1,\dots,5$, разбиваются на подмножества в зависимости от знака переменной $\alpha$:
$$
\begin{equation*}
C_i^+=C_i \cap \{\alpha>0\}, \quad C_i^-=C_i \cap \{\alpha<0\}, \quad i\in\{1,\dots,5\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, подмножества $C_6$, $C_2^{\pm}$, $C_3^{\pm}$ разбиваются на связные компоненты в зависимости от знака переменной $c$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} C_{6+}&=C_6 \cap \{c>0\}, &\quad C_{6-}&=C_6 \cap \{c<0\}, \\ C_{i+}^{\pm}&=C_i^{\pm} \cap \{c>0\}, &\quad C_{i-}^{\pm}&=C_i^{\pm}\cap \{c<0\}, \qquad i\in\{2,3\}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для нормализации нормальных геодезических введем на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ эллиптические координаты $(\varphi,k,\alpha)$, в которых уравнение маятника (2.101) выпрямляется. В области $C_1^+$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+\alpha}{2 \alpha}}= \sqrt{\frac{c^2}{4\alpha}+\sin^2 \frac{\theta}{2}}\in (0,1), \\ \sin\frac{\theta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \cos\frac{\theta}{2}=\operatorname{dn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \frac{c}{2}=k\sqrt{\alpha}\,\operatorname{cn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \varphi \in [0,4K]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В области $C_2^+$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2\alpha}{E+\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{c^2/(4\alpha)+ \sin^2(\theta/2)}}\in (0,1), \\ \sin\frac{\theta}{2}=\operatorname{sign} c\cdot \operatorname{sn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr),\qquad \cos\frac{\theta}{2}= \operatorname{cn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr), \\ \frac{c}{2}=\operatorname{sign}c \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{k} \operatorname{dn}\biggl(\frac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\biggr), \qquad \varphi \in [0,2kK], \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На множестве $C_3^+$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=1,\\ \sin\frac{\theta}{2}=\operatorname{sign}c\cdot \operatorname{th} (\sqrt{\alpha}\,\varphi),\qquad \cos\frac{\theta}{2}=\frac{1}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \\ \frac{c}{2}=\operatorname{sign} c \cdot \frac{\sqrt{\alpha}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \qquad \varphi \in (-\infty,+\infty). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На множествах $C_1^-$, $C_2^-$, $C_3^-$ определим новые координаты следующим образом:
$$
\begin{equation}
\varphi(\theta,c,\alpha)=\varphi(\theta-\pi,c,-\alpha),
\end{equation}
\tag{2.103}
$$
Вертикальная подсистема (2.101) принимает в новых координатах следующую форму:
$$
\begin{equation*}
\dot{\varphi}=1, \qquad \dot{k}=0, \qquad \dot{\alpha}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому ее решения имеют вид
$$
\begin{equation}
\varphi_t=\varphi+t, \qquad k=\operatorname{const}, \qquad \alpha=\operatorname{const}.
\end{equation}
\tag{2.105}
$$
Задача инвариантна относительно левых сдвигов на группе Энгеля, а также дилатаций
$$
\begin{equation}
\delta_s\colon (t,x,y,z,v) \mapsto (e^s t,e^s x,e^s y,e^{2s}z,e^{3s}v),
\end{equation}
\tag{2.106}
$$
$$
\begin{equation}
(\theta,c,\alpha) \mapsto (\theta,e^{-s}c,e^{-2s}\alpha), \quad (\varphi,k,\alpha) \mapsto (e^s\varphi,k,e^{-2s}\alpha)
\end{equation}
\tag{2.107}
$$
и отражений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (t,x,y,z,v) \mapsto (t,-x,-y,z,-v), \\ (\theta,c,\alpha) \mapsto (\theta-\pi,c,-\alpha), \quad (\varphi,k,\alpha) \mapsto (\varphi,k,-\alpha). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Дилатации на группе Энгеля задают поток векторного поля
$$
\begin{equation*}
Y=x\,\frac{\partial}{\partial x}+y\,\frac{\partial}{\partial y}+ 2z\,\frac{\partial}{\partial z}+3v\,\frac{\partial}{\partial v}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
При $\lambda=(\varphi,k,\alpha) \in \bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$, $\alpha=1$, геодезические параметризуются следующим образом. Если $\lambda \in C_1$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_t&=2 k (\operatorname{cn} \varphi_t-\operatorname{cn} \varphi), \notag \\ y_t&=2 \bigl(\operatorname{E}(\varphi_t)-\operatorname{E}(\varphi)\bigr)-t, \notag \\ z_t&=2k\biggl(\operatorname{sn}\varphi_t\operatorname{dn}\varphi_t- \operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi- \frac{y_t}{2}(\operatorname{cn}\varphi_t+\operatorname{cn}\varphi)\biggr), \notag \\ v_t&=\frac{y_t^3}{6}+2 k^2 \operatorname{cn}^2 \varphi\cdot y_t- 4k^2\operatorname{cn}\varphi\cdot(\operatorname{sn}\varphi_t \operatorname{dn}\varphi_t-\operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi) \notag \\ &\qquad+2k^2\biggl(\frac{2}{3}\operatorname{cn}\varphi_t\operatorname{dn} \varphi_t \operatorname{sn}\varphi_t- \frac{2}{3} \operatorname{cn} \varphi \operatorname{dn} \varphi \operatorname{sn} \varphi+\frac{1-k^2}{3 k^2}\,t \notag \\ &\qquad+\frac{2 k^2 -1}{3 k^2}\bigl(\operatorname{E}(\varphi_t)- \operatorname{E}(\varphi)\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.108}
$$
Если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, x_t&=\frac{2\operatorname{sign}c}{k}(\operatorname{dn}\psi_t- \operatorname{dn}\psi), \notag \\ y_t&=\frac{k^2-2}{k^2}\,t+\frac{2}{k}\bigl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)\bigr), \notag \\ z_t&=-\frac{x_t y_t}{2}-\frac{2\operatorname{sign}c\, \operatorname{dn}\psi}{k}\,y_t+2\operatorname{sign}c\, (\operatorname{cn}\psi_t\operatorname{sn}\psi_t- \operatorname{cn} \psi \operatorname{sn} \psi), \notag \\ v_t&=\frac{4}{k}\biggl(\frac{1}{3}\operatorname{cn}\psi_t \operatorname{dn} \psi_t \operatorname{sn} \psi_t -\frac{1}{3} \operatorname{cn} \psi \operatorname{dn} \psi \operatorname{sn} \psi-\frac{1-k^2}{3 k^3}\,t- \frac{k^2-2}{6 k^2}\bigl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)\bigr)\biggr) \notag \\ &\qquad+\frac{y_t^3}{6}+\frac{2y_t}{k^2}\operatorname{dn}^2\psi- \frac{4}{k}\operatorname{dn}\psi\bigl(\operatorname{cn}\psi_t \operatorname{sn}\psi_t-\operatorname{cn}\psi\operatorname{sn}\psi\bigr), \notag \end{aligned} \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,, \quad \psi_t=\psi+\frac{t}{k}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.109}
$$
Если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, x_t&=2 \operatorname{sign}c\biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \notag \\ y_t&=2( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi)-t , \notag \\ z_t&=-\frac{x_t y_t}{2}- \frac{2\operatorname{sign} c}{ \operatorname{ch} \varphi}\, y_t+ 2\operatorname{sign}c\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr), \notag \\ v_t&=\frac{2}{3}\biggl( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi+ 2\,\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} ^2\varphi_t}- 2\,\frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}\biggr)+ \frac{y_t^3}{6}+\frac{2y_t}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}- \frac{4}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggl(\frac{ \operatorname{th} \varphi_t}{ \operatorname{ch} \varphi_t}- \frac{ \operatorname{th} \varphi}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.110}
$$
Параметризация геодезических для произвольных $\lambda=(\varphi,k,\alpha) \in \bigcup\limits_{i=1}^3 C_i$ получается из случая $\alpha=1$ с помощью дилатаций и отражения: В оставшихся случаях $\lambda \in \bigcup\limits_{i=4}^7C_i$ геодезические параметризуются элементарными функциями. Если $\lambda \in C_4$, то
$$
\begin{equation*}
x_t=0, \qquad y_t=t \operatorname{sign}\alpha, \qquad z_t=0, \qquad v_t=\frac{t^3}{6} \operatorname{sign} \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_5$, то
$$
\begin{equation*}
x_t=0, \qquad y_t=- t \operatorname{sign} \alpha, \qquad z_t=0, \qquad v_t=-\frac{t^3}{6} \operatorname{sign} \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_6$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_t=\frac{\cos (c t+\theta)-\cos \theta}{c}\,,\qquad y_t=\frac{\sin(c t+\theta)-\sin \theta}{c}\,, \qquad z_t=\frac{ct-\sin(ct)}{2c^2}\,, \\ v_t=\frac{3\cos\theta-2ct\sin\theta- 4\cos(ct+\theta)+\cos(2ct+\theta)}{4c^3}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda \in C_7$, то
$$
\begin{equation*}
x_t=-t\sin\theta, \qquad y_t=t\cos\theta, \qquad z_t=0, \qquad v_t=\frac{t^3}{6}\cos\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Проекции геодезических на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6): инфлексионные при $\lambda \in C_1$, неинфлексионные при $\lambda \in C_2$, критические при $\lambda \in C_3$, прямые при $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$ и окружности при $\lambda \in C_6$. Семейство всех геодезических параметризуется экспоненциальным отображением
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp} \colon N=C \times \mathbb{R}_+ \to M,\quad \operatorname{Exp}(\lambda,t)=g_t=(x_t,y_t,z_t,v_t).
\end{equation*}
\notag
$$
2.9.4. Симметрии экспоненциального отображения и время МаксвеллаДилатации (2.106), (2.107) образуют однопараметрическую группу симметрий экспоненциального отображения. Имеется также дискретная группа симметрий, образованная отражениями:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Sym}=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\dots,\varepsilon^7\} \cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\vec H_v=c\,\dfrac{\partial}{\partial\theta}- \alpha\sin\theta\,\dfrac{\partial}{\partial c}\in\operatorname{Vec}(C)$ есть вертикальная часть нормального гамильтонова поля $\vec H$. Следующие отображения $\varepsilon^i\colon C \to C$ сохраняют поле направлений векторного поля $\vec H_v$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta,-c,\alpha), \\ \varepsilon^2\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta,c,\alpha), \\ \varepsilon^3\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta,-c,\alpha), \\ \varepsilon^4\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta+\pi,c,-\alpha), \\ \varepsilon^5\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (\theta+\pi,-c,-\alpha), \\ \varepsilon^6\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta+\pi,c,-\alpha), \\ \varepsilon^7\colon (\theta,c,\alpha) &\mapsto (-\theta+\pi,-c,-\alpha). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, $\varepsilon^i_*\vec H_v=\vec H_v$ при $i=3,4,7$ и $\varepsilon^i_*\vec H_v=-\vec H_v$ при $i=1,2,5,6$. Действие отражений $\varepsilon^i\colon C \to C$ продолжается до симметрий экспоненциального отображения следующим образом. Действие $\varepsilon^i\colon N \to N$, $N=C \times \mathbb{R}_{+}$, определяется как
$$
\begin{equation*}
{\varepsilon}^i(\lambda,t)=\begin{cases} \bigl({\varepsilon}^i(\lambda),t\bigr), & \text{если}\ {\varepsilon}^i_* \vec{H}_v=\vec{H}_v, \\ \bigl({\varepsilon}^i \circ e^{t \vec{H}_v}(\lambda),t\bigr), & \text{если } \ {\varepsilon}^i_* \vec{H}_v=-\vec{H}_v. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Действие $\varepsilon^i\colon G \to G$ определяется как
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^i(q)=\varepsilon^i(x,y,z,v)=g^i=(x^i,y^i,z^i,v^i),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (x^1, y^1, z^1, v^1)&=(x, y, -z, v-x z), \\ (x^2, y^2, z^2, v^2)&=(-x, y, z, v-x z), \\ (x^3, y^3, z^3, v^3)&=(-x, y, -z, v), \\ (x^4, y^4, z^4, v^4)&=(-x, -y, z, -v), \\ (x^5, y^5, z^5, v^5)&=(-x, -y, -z, -v+x z), \\ (x^6, y^6, z^6, v^6)&=(x, -y, z, -v+x z), \\ (x^7, y^7, z^7, v^7)&=(x, -y, -z, -v). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 2.11. Группа $\operatorname{Sym}$ есть подгруппа группы симметрий экспоненциального отображения. Теорема 2.41. Первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, для почти всех геодезических выражается следующим образом: Замечание 2.3. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время. Теорема 2.42. Функция $t_{\rm Max}^1\colon C \to (0,+\infty]$ имеет следующие свойства инвариантности: (1) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ зависит только от значений $E$ и $|\alpha|$; (2) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ есть первый интеграл поля $\vec H_v$; (3) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ инвариантна относительно отражений: если $(\lambda,t) \in C\times \mathbb{R}_+$, $(\lambda^i, t)=\varepsilon^i(\lambda, t)$, то (4) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ однородна относительно дилатаций: если $\lambda \in C$, $\lambda_s=\delta_s(\lambda) \in C$, то 2.9.5. Нижняя оценка сопряженного времени2.9.6. Диффеоморфная структура экспоненциального отображенияРассмотрим подмножество в пространстве состояний, не содержащее неподвижных точек симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde G=\{g \in G \mid \varepsilon^1(g) \ne g \ne \varepsilon^2(g)\}= \{g \in G \mid xz \ne 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и его связные компоненты:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_1&=\{g \in G \mid x < 0, z > 0\}, \\ G_2&=\{g \in G \mid x < 0, z < 0\}, \\ G_3&=\{g \in G \mid x > 0, z < 0\}, \\ G_4&=\{g \in G \mid x > 0, z > 0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также рассмотрим открытое плотное подмножество в пространстве всех потенциально оптимальных геодезических:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{N}=\{(\lambda, t) \in N \mid t < t_{\rm Max}^1(\lambda), \ c_{t/2} \sin \theta_{t/2} \ne 0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и его связные компоненты:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_1&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0,t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} > 0, \ c_{t/2} > 0\bigr\}, \\ D_2&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0,t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} > 0, \ c_{t/2} < 0\bigr\}, \\ D_3&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0, t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} < 0, \ c_{t/2} < 0\bigr\}, \\ D_4&=\bigl\{(\lambda, t) \in N \mid t \in \bigl(0, t_{\rm Max}^1(\lambda)\bigr), \ \sin\theta_{t/2} < 0, \ c_{t/2} > 0\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2.9.7. Время разреза2.9.8. Множество разреза и его стратификацияТеорема 2.46. Множество разреза $\operatorname{Cut}$ содержится в объединении координатных подпространств $\{x=0\}$ и $\{z=0\}$. Оно инвариантно относительно дилатаций и дискретных симметрий: Теорема 2.47. Множество разреза имеет стратификацию Трехмерные страты $\mathcal{I}_{x\pm}$, $\mathcal{I}_{z\pm}$ (или $\mathcal{N}_{x\pm}$) состоят из точек, для которых проекции кратчайших на плоскость $(x,y)$ суть инфлексионные, т. е. имеющие точки перегиба (соответственно неинфлексионные, т. е. не имеющие точек перегиба), эластики, см. раздел 2.6. Для одномерных стратов $\mathcal{E}_{\pm}$ соответствующие эластики замкнуты (имеют форму восьмерки, “figure-of-eight elastica”). На рис. 35, 36 изображены стратификации множества разреза и его пересечения с координатными подпространствами. На рис. 35 показана топология примыкания стратов множества разреза в факторе по дилатациям $Y$. На рис. 36 представлено пересечение $\operatorname{Cut} \mathrel{\cap} \{x=z=0\}$. На рис. 37 изображено множество $\operatorname{Cut}\cap \{z=0\}$ после факторизации по дилатациям $Y$; фактор $\{z=0\}/ e^{\mathbb{R} Y}$ представлен топологической сферой $\{g \in G \mid x^6+y^6+w^2=1\}$. Аналогично на рис. 38 изображен фактор $(\operatorname{Cut}\mathrel{\cap} \{x=0\})/ e^{\mathbb{R}Y}$ на топологической сфере $\{g \in G \mid y^6+|z|^3+w^2=1\}$. Очевидно, что в каждую точку $g_1 \in G \setminus \operatorname{Cut}$ приходит ровно одна субриманова кратчайшая. Ниже аналогичное свойство описано для точек $g_1 \in \operatorname{Cut}$. Теорема 2.48. (1) В каждую точку трехмерных стратов множества разреза приходят ровно две кратчайшие (эти страты состоят из точек Максвелла, не являющихся сопряженными). (2) В каждую точку двумерных стратов приходит единственная кратчайшая (эти страты состоят из сопряженных точек, не являющихся точками Максвелла). (3) В каждую точку одномерных стратов приходит однопараметрическое семейство кратчайших (эти страты состоят из точек Максвелла, являющихся одновременно сопряженными точками). Множество разреза незамкнуто, так как оно содержит точки, сколь угодно близкие к начальной точке $q_0$, но не саму эту точку (это общий факт субримановой геометрии). Замыкание множества разреза в субримановой задаче на группе Энгеля допускает следующее простое описание. Теорема 2.49. $\operatorname{cl}(\operatorname{Cut})=\operatorname{Cut} \mathrel{\sqcup} \mathcal{A}_+ \sqcup \mathcal{A}_- \sqcup \{g_0\}$. Примыкание анормальных траекторий $\mathcal{A}_{\pm}$ к стратам множества разреза изображено на рис. 35 слева. Теорема 2.50. Имеют место стратификации 2.9.9. СфераСубримановы сферы переходят друг в друга при левых сдвигах: и дилатациях:
$$
\begin{equation*}
\delta_s(S_R(\operatorname{Id}))=S_{R'}(\operatorname{Id}), \qquad R'=e^s R,
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому достаточно исследовать единичную сферу $S=S_1(\operatorname{Id})$. Единичная сфера инвариантна относительно отражений: Рассмотрим сечение единичной сферы двумерным инвариантным многообразием основных симметрий $\varepsilon^1$, $\varepsilon^2$:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{S}=\{g \in S \mid \varepsilon^1(g)= \varepsilon^2(g)=g\}=S \cap \{x=z=0\}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. рис. 39). Сечение $\widetilde{S}$ центрально-симметрично в силу отражения $\varepsilon^4$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon^4(\gamma_i)=\gamma_{i+2}, \qquad i=1, 2, \\ \varepsilon^4(A_+)=A_-, \qquad \varepsilon^4(C_+)=C_-. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Различные точки сечения $\widetilde{S}$ можно охарактеризовать следующим образом:
Теорема 2.51. Сечение $\widetilde{S}$ имеет следующую регулярность в различных своих точках: (1) кривые $\gamma_i$ аналитичны и регулярны; (2) $A_{\pm}$, $C_{\pm}$ – особые точки, в них $\widetilde{S}$ негладкая, но липшицева; (3) $\overline{\gamma}_2=\gamma_2 \cup \{C_+, A_+\}$ – гладкая класса $C^{\infty}$; (4) $\gamma_1 \cup \{C_+\}$ – гладкая класса $C^{\infty}$; (5) $\gamma_1 \cup \{A_-\}$ – гладкая класса $C^{1}$. Теорема 2.52. (1) Множество $\widetilde{S} \setminus \{A_+, A_-\}$ полуаналитично, а потому субаналитично. (2) В окрестности точки $A_-$ кривая $\gamma_1$ есть график неаналитической функции
$$
\begin{equation*}
w=\frac 16 Y^3-4 Y^3 \exp\biggl(-\frac{2}{Y}\biggr)(1+ o(1)), \qquad Y=\frac{y+1}{2} \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
(3) Множество $\widetilde{S}$ неполуаналитично, следовательно, несубаналитично. (4) Сфера $S$ несубаналитична. Замечание 2.4. Утверждение о несубаналитичности сферы Энгеля $S$ следует также из проекции сферы Энгеля на (несубаналитическую) сферу Мартине (см. раздел 2.3). Теорема 2.53. В окрестности точки $A_-$ кривая $\gamma_1$ есть график функции из $\exp$-$\log$-категории: где $F(\xi,\eta)$ есть аналитическая функция в окрестности точки $(\xi,\eta )=(0,0)$. Поэтому множество $\widetilde{S}$ принадлежит $\exp$-$\log$-категории. 2.9.10. Явные выражения для субриманова расстоянияДля некоторых точек группы Энгеля известно их субриманово расстояние до единичного элемента:
2.9.11. Метрические прямыеТеорема 2.55. Натурально параметризованными метрическими прямыми на группе Энгеля являются следующие геодезические (и только они): (1) однопараметрические подгруппы, касающиеся распределения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}[t] \, &e^{(u_1X_1+u_2X_2) t}=\operatorname{Exp}(\lambda, t), \qquad t \in \mathbb{R}, \\ &u_1=-\sin \theta, \quad u_2=\cos \theta, \quad \lambda=(\theta, c=0, \alpha) \in C_4\cup C_5, \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.115}
$$
(2) критические геодезические: Замечание 2.5. Геодезические (2.115) проецируются на плоскость $(x,y)$ в евклидовы прямые, из них анормальными являются только кривые 2.9.12. Библиографические комментарииПункты 2.9.1, 2.9.3, 2.9.4 опираются на [19], п. 2.9.2 – на [124], п. 2.9.5 – на [20], пп. 2.9.6, 2.9.11 – на [21], п. 2.9.8 – на [22], п. 2.9.9 – на [145]. Параметризация субримановых геодезических на группе Энгеля впервые получена в работе [158]. Субриманова задача на группе Энгеля рассматривалась также в [23], [142]. 2.10. Субриманова задача на группе Картана2.10.1. Постановка задачиГеометрическая постановка. Рассмотрим следующее обобщение (усложнение) задач на группе Гейзенберга [143], [157] и группе Энгеля (раздел 2.9) – обобщенную задачу Дидоны. Пусть на евклидовой плоскости заданы точки $a_0,a_1 \in \mathbb{R}^2$, соединенные кривой $\gamma_0 \subset \mathbb{R}^2$. Пусть также заданы число $S \in \mathbb{R}$ и точка $c\in \mathbb{R}^2$. Требуется соединить точки $a_0$ и $a_1$ кратчайшей кривой $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ так, чтобы кривые $\gamma_0$ и $\gamma$ ограничивали на плоскости область алгебраической площади $S$ с центром масс $c$. Задача оптимального управления. Эту геометрическую задачу можно переформулировать как задачу оптимального управления:
$$
\begin{equation}
\dot{g}=u_1 X_1(g)+u_2 X_2(g), \qquad g=(x, y, z, v, w) \in \mathbb{R}^5,
\end{equation}
\tag{2.117}
$$
$$
\begin{equation}
X_1=\frac{\partial}{\partial x}-\frac{y}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}- \frac{x^2 +y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial w}\,, \quad X_2=\frac{\partial}{\partial y}+\frac{x}{2}\,\frac{\partial}{\partial z}+ \frac{x^2 +y^2}{2}\,\frac{\partial}{\partial v}\,.
\end{equation}
\tag{2.120}
$$
Это субриманова задача для субримановой структуры на $\mathbb{R}^5$, заданной векторными полями $X_1$, $X_2$ как ортонормированным репером. Алгебра Картана и группа Картана. Алгеброй Картана называется пятимерная свободная нильпотентная алгебра Ли $\mathfrak{g}$ с двумя образующими, глубины 3. Существует базис $\mathfrak{g}=\operatorname{span}(X_1,\dots,X_5)$, в котором ненулевые скобки Ли суть
$$
\begin{equation*}
[X_1,X_2]=X_3, \quad [X_1,X_3]=X_4, \quad [X_2,X_3]=X_5
\end{equation*}
\notag
$$
(см. рис. 40). Алгебра Картана имеет градуировку
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{g}=\mathfrak{g}^{(1)} \oplus \mathfrak{g}^{(2)} \oplus \mathfrak{g}^{(3)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{g}^{(1)}=\operatorname{span}(X_1,X_2),\quad \mathfrak{g}^{(2)}=\mathbb{R} X_3,\quad \mathfrak{g}^{(3)}=\operatorname{span}(X_4,X_5),\qquad [\mathfrak{g}^{(1)}, \mathfrak{g}^{(i)}]=\mathfrak{g}^{(i+1)}, \\ \mathfrak{g}^{(4)}=\mathfrak{g}^{(5)}=\{0\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому она является алгеброй Карно. Соответствующая связная односвязная группа Ли $G$ называется группой Картана. На пространстве $\mathbb{R}^5_{x,y,z,v,w}$ можно ввести закон умножения
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ v_1 \\ w_1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ v_2 \\ w_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2+(x_1 y_2-y_1 x_2)/2 \\ v_1+v_2+(x_1^2+y_1^2+x_1 x_2+y_1 y_2)y_2/2+x_1 z_2 \\ w_1+w_2-(x_1^2+y_1^2+x_1x_2+y_1 y_2)x_2/2+y_1z_2 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
который превращает это пространство в группу Картана: $G \cong \mathbb{R}^5_{x,y,z,v,w}$, а поля (2.120) в левоинвариантные поля на этой группе. Таким образом, задача (2.117)–(2.119) есть левоинвариантная субриманова задача на группе Картана. Следовательно, можно считать, что $g_0=\operatorname{Id}=(0,\dots,0)$. Помимо модели (2.120) известны и другие модели субримановой задачи на группе Картана [10], [56], [124]. Левоинвариантная субриманова задача с вектором роста $(2,3,5)$ на группе Картана единственна с точностью до изоморфизма этой группы [124]. Особенности задачи. Субриманова задача на группе Картана есть простейшая левоинвариантная задача со следующими свойствами:
Эта задача – единственная свободная нильпотентная субриманова задача глубины 3 с интегрируемым по Лиувиллю нормальным гамильтоновым полем принципа максимума Понтрягина (неинтегрируемыми по Лиувиллю являются свободные нильпотентные задачи глубины 3, ранга более 2 [50], а также глубины более 3, ранга не менее 2 [104]). Распределение $\Delta=\operatorname{span}(X_1,X_2)$ имеет 14-мерную алгебру инфинитезимальных симметрий – особую алгебру $\mathfrak{g}_2$, этот факт восходит к знаменитой “пятимерной” работе Эли Картана [62] (см. также далее п. 2.10.2). Наконец, субриманова задача на группе Картана доставляет нильпотентную аппроксимацию любой задачи с вектором роста $(2,3,5)$, в частности:
2.10.2. Симметрии распределения и субримановой структурыТеорема 2.56. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий распределения $\Delta$ на группе Картана есть $14$-мерная алгебра $\mathfrak{g}_2$ – некомпактная вещественная форма комплексной особой алгебры Ли $\mathfrak{g}_2^{\mathbb{C}}$. Теорема 2.57. Алгебра Ли инфинитезимальных симметрий нильпотентной субримановой структуры на группе Картана есть $6$-мерная алгебра Ли, в которой можно выбрать базис $X_0,Y_1,\dots,Y_5$ с ненулевыми скобками Представление алгебры Ли симметрий распределения и субримановой структуры векторными полями в $\mathbb{R}^5$ приведено в работе [124]. 2.10.3. ГеодезическиеСуществование оптимальных управлений в задаче (2.117)–(2.119) следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова. Принцип максимума Понтрягина. Переходя от минимизации длины (2.119) к минимизации энергии $J=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{t_1} (u_1^2+u_2^2)\,dt$ и используя линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы $h_i(\lambda)=\langle\lambda, X_i\rangle$, $i=1,\dots,5$, получаем условия принципа максимума Понтрягина:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \dot h_1=-u_2 h_3,\quad \dot h_2=u_1 h_3,\quad \dot h_3=u_1 h_4+u_2 h_5,\quad \dot h_4=0,\quad \dot h_5=0, \\ \dot{g}=u_1 X_1+u_2 X_2, \\ u_1 h_1+u_2 h_2+\frac{\nu}{2}(u_1^2+u_2^2) \to \max_{(u_1,u_2) \in \mathbb{R}^2}, \\ \nu \leqslant 0,\qquad (h_1,\dots,h_5,\nu) \ne 0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Анормальные экстремали. Анормальные экстремали постоянной скорости могут быть параметризованы как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, h_1= h_2=h_3=0, \quad (h_4, h_5) \equiv \operatorname{const} \ne 0, \\ (u_1, u_2) \equiv \operatorname{const}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Анормальные траектории (2.121)–(2.125) суть однопараметрические подгруппы $g_t=e^{t(u_1X_1+u_2X_2)}$, касающиеся распределения $\Delta$. Они проецируются на плоскость $(x,y)$ в прямые, поэтому являются кратчайшими. Анормальное множество есть двумерное гладкое многообразие, диффеоморфное $\mathbb{R}^2$:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Abn}=\biggl\{g \in G \Bigm| z=v-\frac{1}{6}(x^2+y^2)x= w+\frac{1}{6}(x^2+y^2)y=0\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нормальные экстремали. Нормальные экстремали удовлетворяют гамильтоновой системе
$$
\begin{equation}
\dot{\lambda}=\vec{H}(\lambda), \quad \lambda \in T^*G,
\end{equation}
\tag{2.126}
$$
с гамильтонианом $H=(h_1^2+h_2^2)/2$. Введем на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ координаты $(\theta,c,\alpha,\beta) \in S^1\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\times S^1$:
$$
\begin{equation}
h_1=\cos \theta, \quad h_2=\sin \theta, \quad h_3=c, \quad h_4=\alpha \sin \beta, \quad h_5=-\alpha \cos \beta,
\end{equation}
\tag{2.127}
$$
тогда гамильтонова система (2.126) примет форму
$$
\begin{equation}
\dot{\theta}=c, \quad \dot c=-\alpha \sin(\theta-\beta), \quad \dot{\alpha}=\dot{\beta}=0,
\end{equation}
\tag{2.128}
$$
Вертикальная подсистема (2.128) есть уравнение маятника. Проекции нормальных геодезических на плоскость $(x,y)$ суть эйлеровы эластики (см. раздел 2.6). Анормальные кратчайшие (2.121)–(2.125) удовлетворяют нормальной гамильтоновой системе (2.128), (2.129) при $\theta=\beta$, $c=0$, поэтому они нестрого анормальны. Симплектическое слоение и функции Казимира. На коалгебре Ли $\mathfrak{g}^*$ существуют три независимые функции Казимира:
$$
\begin{equation*}
h_4, \quad h_5, \quad E=\frac{h_3^2}{2}+h_1 h_5-h_2 h_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Симплектическое слоение на $\mathfrak{g}^*$ состоит из
Параметризация нормальных геодезических. Семейство нормальных экстремалей на поверхности уровня $\{H=1/2\}$ параметризуется начальными точками, принадлежащими цилиндру Этот цилиндр стратифицируется в зависимости от разных типов траекторий маятника (2.128): где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C_1&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E \in (-\alpha,\alpha)\}, \\ C_2&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E \in (\alpha,+\infty)\}, \\ C_3&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=\alpha, \ \theta-\beta \ne \pi\}, \\ C_4&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=-\alpha\}, \\ C_5&=\{\lambda \in C \mid \alpha > 0, \ E=\alpha, \ \theta-\beta=\pi\}, \\ C_6&=\{\lambda \in C \mid \alpha=0, \ c \ne 0\}, \\ C_7&=\{\lambda \in C \mid \alpha=c=0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для параметризации нормальных геодезических введем на стратах $C_1$, $C_2$, $C_3$ эллиптические координаты $(\varphi,k,\alpha,\beta)$, в которых уравнение маятника (2.128) выпрямляется: если $\lambda \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{E+\alpha}{2\alpha}}= \sqrt{\sin^2\frac{\theta-\beta}{2}+\frac{c^2}{4\alpha}} \in (0,1), \qquad \varphi \in [0,4K], \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=k\operatorname{sn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=k\sqrt{\alpha}\,\operatorname{cn}(\sqrt{\alpha}\,\varphi); \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=\sqrt{\frac{2\alpha}{E+\alpha}}=\biggl(\sqrt{\sin^2\frac{\theta-\beta}{2}+ \frac{c^2}{4\alpha}}\biggr)^{-1}\in (0, 1),\qquad \varphi \in [0,2kK], \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=\pm \operatorname{sn} \dfrac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\,, \\ \dfrac{c}{2}=\pm \dfrac{\sqrt{\alpha}}{k} \operatorname{dn} \dfrac{\sqrt{\alpha}\,\varphi}{k}\,, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign} c, \\ \psi=\frac{\varphi}{k}\,; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, k=1, \qquad \varphi \in (-\infty,+\infty), \\ \begin{cases} \sin\dfrac{\theta-\beta}{2}=\pm \operatorname{th} (\sqrt{\alpha}\,\varphi), \\ \dfrac{c}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{\alpha}}{ \operatorname{ch} (\sqrt{\alpha}\,\varphi)}\,, \end{cases} \qquad \pm=\operatorname{sign} c. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\dot{\varphi}=1, \quad \dot{k}=\dot{\alpha}=\dot{\beta}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Задача инвариантна относительно левых сдвигов на группе Картана, дилатаций
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e^{sY}\!\colon (t,x,y,z,v,w)\mapsto (e^st,e^sx,e^sy,e^{2s}z,e^{3s}v,e^{3s}w), \\ (\theta,c,\alpha,\beta)\mapsto (\theta,e^{-s}c,e^{-2s}\alpha,\beta), \\ (\varphi,k,\alpha,\beta)\mapsto (e^s\varphi,k,e^{-2s}\alpha,\beta), \\ Y=x\,\frac{\partial}{\partial x}+y\,\frac{\partial}{\partial y}+ 2z\,\frac{\partial}{\partial z}+3v\,\frac{\partial}{\partial v}+ 3w\,\frac{\partial}{\partial w}\,, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и вращений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, e^{rX_0}\colon (x,y,z,v,w)&\mapsto (x\cos r-y\sin r,x\sin r+y\cos r,z, \notag \\ &\qquad v\cos r-w\sin r,v\sin r+w\cos r). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.130}
$$
С помощью вращений и дилатаций любой ковектор $\lambda=(\varphi,k,\alpha,\beta) \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ переводится в фундаментальное множество $\{\alpha=1, \ \beta=0\}$. При $\alpha=1$, $\beta=0$, $\lambda \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ геодезические $g_t=(x_t,y_t,z_t,v_t,w_t)$ параметризуются следующим образом. Если $\lambda \in C_1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_t&=2(\operatorname{E}(\varphi_t)-\operatorname{E}(\varphi))- (\varphi_t-\varphi), \\ y_t&=2k(\operatorname{cn} \varphi-\operatorname{cn} \varphi_t), \\ z_t&=2k(\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t- \operatorname{sn}\varphi\operatorname{dn}\varphi)- k(\operatorname{cn}\varphi+\operatorname{cn}\varphi_t)x_t, \\ v_t&=2k \operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t\cdot x_t- k \operatorname{cn} \varphi_t\cdot x_t^2-(1-2k^2+ 2k^2 \operatorname{cn} \varphi \operatorname{cn}\varphi_t) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\bigl[x_t^3+2(2k^2-1+6k^2\operatorname{cn}^2\varphi)x_t+ 2(\varphi_t-\varphi) \\ &\qquad+8k^2(\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{cn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t-\operatorname{sn} \varphi\operatorname{cn} \varphi \operatorname{dn} \varphi) \\ &\qquad-24 k^2 \operatorname{cn} \varphi (\operatorname{sn} \varphi_t \operatorname{dn} \varphi_t- \operatorname{sn} \varphi \operatorname{dn} \varphi)\bigr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_t=\varphi+t$. Если $\lambda \in C_2$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_t&=\frac{2}{k}\biggl(\operatorname{E}(\psi_t)- \operatorname{E}(\psi)-\frac{2-k^2}{2}(\psi_t-\psi)\biggr), \\ y_t&=\pm \frac{2}{k}(\operatorname{dn} \psi-\operatorname{dn} \psi_t), \\ z_t&=\pm \biggl(2(\operatorname{sn} \psi_t \operatorname{cn}\psi_t- \operatorname{sn} \psi \operatorname{cn} \psi)- \frac{1}{k}(\operatorname{dn}\psi+\operatorname{dn}\psi_t)x_t\biggr), \\ v_t&=\pm \biggl(2\operatorname{sn} \psi_t \operatorname{cn} \psi_t\cdot x_t- \frac{1}{k} \operatorname{dn} \psi_t\cdot x_t^2 \biggr)+ \frac{1}{k^2}(2-k^2-2\operatorname{dn} \psi \operatorname{dn} \psi_t) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\biggl(x_t^3+\frac{2}{k^2}(2-k^2+ 6 \operatorname{dn}^2 \psi) x_t+2 k(\psi_t-\psi) \\ &\qquad+\frac{8}{k}(\operatorname{sn}\psi_t\operatorname{cn} \psi_t \operatorname{dn}\psi_t-\operatorname{sn} \psi \operatorname{cn} \psi \operatorname{dn}\psi) \\ &\qquad-\frac{24}{k}\operatorname{dn}\psi\,(\operatorname{sn}\psi_t \operatorname{cn}\psi_t-\operatorname{sn}\psi\operatorname{cn}\psi)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign}c$ и $\psi_t=\psi+t/k$. Если $\lambda \in C_3$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_t&=2( \operatorname{th} \varphi_t- \operatorname{th} \varphi)-(\varphi_t-\varphi), \\ y_t&=\pm 2 \biggl(\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}-\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr), \\ z_t&=\pm \biggl( 2 \biggl( \frac{\operatorname{sh} \varphi_t} { \operatorname{ch} ^2 \varphi_t}-\frac{\operatorname{sh}\varphi}{ \operatorname{ch} ^2 \varphi} \biggr)- \biggl( \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi}+\frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t} \biggr) x_t \biggr), \\ v_t&=\pm \biggl(\frac{2}{\operatorname{sh} \varphi_t}\,x_t- \frac{1}{ \operatorname{ch} \varphi_t}\,x_t^2\biggr)+ \biggl(1-\frac{2}{ \operatorname{ch} \varphi \operatorname{ch} \varphi_t}\biggr) y_t, \\ w_t&=-\frac{1}{6}\biggl(x_t^3+ 6\,\frac{2+ \operatorname{ch} ^2\varphi}{ \operatorname{ch} ^2\varphi}\,x_t+6(\varphi_t-\varphi) \\ &\qquad-\frac{24}{ \operatorname{ch} \varphi}\biggl(\frac{\operatorname{sh} \varphi_t} { \operatorname{ch} ^2 \varphi_t}-\frac{\operatorname{sh} \varphi}{ \operatorname{ch} ^2 \varphi}\biggr)- 8( \operatorname{th} ^3 \varphi_t- \operatorname{th} ^3 \varphi) \biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\pm=\operatorname{sign} c$ и $\varphi_t=\varphi+t$. Параметризация геодезических при произвольных $\lambda=(\varphi,k,\alpha,\beta) \in\bigcup\limits_{i=1}^3C_i$ получается из случая $\alpha=1$, $\beta=0$ с помощью вращений и дилатаций:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_t(\varphi,k,\alpha,\beta)=e^{-rX_0}\circ e^{-sY}(g_{t'}(\varphi',k,\alpha'=1,\beta'=0)), \\ t'=t\sqrt{\alpha}\,, \quad \varphi'=\varphi\sqrt{\alpha}\,, \quad r=-\beta, \quad s=\frac{1}{2} \ln \alpha. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В оставшихся случаях $\lambda=(\theta,c,\alpha,\beta) \in \bigcup\limits_{i=4}^7C_i$ геодезические параметризуются элементарными функциями: если $\lambda=(\theta,c,\alpha,\beta) \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$ и $\beta=0$, то
$$
\begin{equation*}
(x_t,y_t,z_t,v_t,w_t)=\biggl(t,0,0,0,-\frac{t^3}{6}\biggr);
\end{equation*}
\notag
$$
в общем же случае $\lambda \in C_4 \cup C_5 \cup C_7$
$$
\begin{equation*}
g_t(\theta,c,\alpha,\beta)= e^{-r X_0}\bigl(g_t(\theta',c,\alpha,\beta'=0)\bigr), \quad \theta'=\theta-\beta, \quad r=-\beta;
\end{equation*}
\notag
$$
если $\lambda=(\theta=0,c,\alpha=0) \in C_6$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_t=\frac{\sin \tau}{c}\,, \qquad y_t=\frac{1-\cos \tau}{c}\,, \qquad z_t=\frac{\tau-\sin \tau}{2c^2}\,, \\ v_t=\frac{\cos(2\tau)-4 \cos \tau+3}{4c^3}\,, \qquad w_t=\frac{\sin(2\tau)-4 \sin \tau+2\tau}{4c^3}\,, \qquad \tau=ct; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в общем же случае $\lambda \in C_6$
$$
\begin{equation*}
g_t(\theta,c,\alpha=0,t)=e^{\theta X_0}(g_t(\theta' =0,c,\alpha=0,t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство всех геодезических параметризуется экспоненциальным отображением
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Exp}\colon(\lambda,t) \mapsto g_t=\pi \circ e^{t \vec H}(\lambda), \quad C \times \mathbb{R}_+ \to G.
\end{equation*}
\notag
$$
2.10.4. Симметрии и страты МаксвеллаНепрерывные симметрии. Дилатации и вращения образуют двухпараметрическую группу непрерывных симметрий экспоненциального отображения. Введем линейные на слоях $T^*G$ гамильтонианы
$$
\begin{equation*}
h_0(\lambda)=\langle \lambda,X_0(g) \rangle, \quad h_Y(\lambda)=\langle \lambda,Y(g) \rangle,\qquad \lambda \in T^*G,
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующие гамильтоновы векторные поля Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} [\vec h_0, \vec H]&=0, &\qquad \vec h_0 H&=0, \\ [\vec h_Y, \vec H]&=-2 \vec H, &\qquad \vec h_Y H&=-2 H. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $e=\displaystyle\sum_{i=1}^5 h_i\,\dfrac{\partial}{\partial h_i}$ – вертикальное эйлерово поле на $T^*G$. Так как гамильтониан $H$ квадратичен на слоях, гамильтоново поле $\vec H$ линейно на слоях, поэтому Следовательно, векторное поле $Z=\vec h_Y+e$ удовлетворяет равенствам Более того, Дискретные симметрии. Вертикальная подсистема (2.128) факторизуется по вращениям $X_0$ и дилатациям $Y$ в стандартное уравнение маятника
$$
\begin{equation*}
\dot \theta=c, \quad \dot c=-\sin \theta, \qquad (\theta,c) \in S^1 \times \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поле направлений этого уравнения имеет очевидные дискретные симметрии – отражения относительно координатных осей и в начале координат
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon(\theta, c) &\to (\theta,-c), \\ \varepsilon^2\colon(\theta, c) &\to (-\theta, c), \\ \varepsilon^3\colon (\theta, c) &\to (-\theta,-c). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти отражения порождают группу диэдра
$$
\begin{equation*}
D_2=\{\operatorname{Id},\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3\}= \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие отражений естественно продолжается на эйлеровы эластики $(x_t,y_t)$, так что по модулю вращений в плоскости $(x,y)$
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^i\colon C \times\mathbb{R}_+\to C \times \mathbb{R}_+,\qquad i=1, 2, 3,
\end{equation*}
\notag
$$
и в его образ: так что
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^i \circ \operatorname{Exp}(\lambda, t)= \operatorname{Exp} \circ \varepsilon^i(\lambda,t), \qquad (\lambda, t) \in C \times \mathbb{R}_+, \quad i=1, 2, 3.
\end{equation*}
\notag
$$
В явном виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^1, c^1, \alpha, \beta^1, t)=(\theta_t, -c_t, \alpha, \beta, t), \\ \varepsilon^2 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^2, c^2, \alpha, \beta^2, t)=(-\theta_t, c_t, \alpha, -\beta, t), \\ \varepsilon^3 \colon (\theta, c, \alpha, \beta, t) &\mapsto (\theta^3, c^3, \alpha, \beta^3, t)=(-\theta, -c, \alpha, -\beta, t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon^1\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, y, -z, v-xz, w-yz), \\ \varepsilon^2\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, -y, z, -v+xz, w-yz), \\ \varepsilon^3\colon (x, y, z, v, w) &\mapsto (x, -y, -z, -v, w). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Группа $\operatorname{Sym}$ симметрий экспоненциального отображения состоит из вращений, отражений и их композиций:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, e^{s \vec h_0},e^{s\vec h_0} \circ \varepsilon^i&\colon C \times \mathbb{R}_+\to C \times \mathbb{R}_+, \\ e^{s X_0},e^{sX_0} \circ \varepsilon^i&\colon G\to G. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2.58. Пусть $\lambda \in C$. Первое время Максвелла, соответствующее группе $\operatorname{Sym}$ симметрий экспоненциального отображения, для почти всех геодезических $\operatorname{Exp}(\lambda,t)$ выражается следующим образом: Замечание 2.6. Для тех геодезических, для которых первое время Максвелла, соответствующее группе симметрий $\operatorname{Sym}$, не равно $t_{\rm Max}^1$, оно больше этого значения, а $t_{\rm Max}^1$ есть первое сопряженное время. Теорема 2.59. Функция $t_{\rm Max}^1\colon C \to (0,+\infty]$ имеет следующие свойства инвариантности: (1) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ зависит только от значений $E$ и $|\alpha|$; (2) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ есть первый интеграл поля $\vec H_v$; (3) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ инвариантна относительно отражений: если $(\lambda,t) \in C \times \mathbb{R}_+$, $(\lambda^i, t)=\varepsilon^i(\lambda,t)$, то (4) $t_{\rm Max}^1(\lambda)$ однородна относительно дилатаций: если $\lambda \in C$, $\lambda_s=\delta_s(\lambda) \in C$, то 2.10.5. Нижняя оценка сопряженного времени2.10.6. Время разреза и кратчайшиеТеорема 2.62. Пусть $g_1=(x_1,y_1,z_1,v_1,w_1) \in G$. Если $z_1\ne 0$ и $x_1 v_1+y_1 w_1-{(x_1^2+y_1^2)z_1}/{2}\ne 0$, то существует единственная кратчайшая, соединяющая $g_0=\operatorname{Id}$ c $g_1$. 2.10.7. Метрические прямыеТеорема 2.63. Натурально параметризованными метрическими прямыми на группе Картана являются следующие геодезические (и только они): (1) однопараметрические подгруппы, касающиеся распределения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, e^{t(u_1 X_1+u_2 X_2) }=\operatorname{Exp}(\lambda,t), \\ u_1=\cos \theta, \quad u_2=\sin \theta, \quad \lambda=(\theta, c=0, \alpha, \beta)\in C_4\cup C_5\cup C_7, \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.131}
$$
(2) критические геодезические Замечание 2.7. Геодезические (2.131) проецируются на плоскость $(x,y)$ в евклидовы прямые, а геодезические (2.132) – в критические эйлеровы эластики (см. рис. 24), так называемые солитоны Эйлера. 2.10.8. Библиографические комментарииСубриманова задача на группе Картана впервые рассматривалась в работе Р. Брокетта и Л. Даи [56], где показана интегрируемость геодезических в эллиптических функциях. Пункты 2.10.1, 2.10.3 опираются на [123]; п. 2.10.2 – на [124]; п. 2.10.4 – на [125]–[127]; п. 2.10.5 – на [141]; пп. 2.10.6, 2.10.7 – на [14]. См. также недавнюю работу [144]. 3. Вместо заключения: некоторые неохваченные вопросыНекоторые вопросы, близкие к рассмотренным выше, остались неохваченными из-за большого объема обзора. Перечислим их здесь. 1. Работы по вакономной механике [28]. В частности, исследовалась задача о “санях Чаплыгина” в вариационной постановке и ее гидродинамический аналог – плоское движение твердого тела в жидкости по инерции, эта задача проинтегрирована в эллиптических функциях [95]. Если устремить к бесконечности одну из присоединенных масс, то в пределе получается субриманова задача [92]. Задача о качении шара по плоскости была проинтегрирована в эллиптических функциях в работе [90]. Субриманова задача на группе движений трехмерного пространства соответствует в механике задачам динамики твердого тела с неподвижной точкой, она рассматривалась в работе [93] вместе с геометрической картиной Пуансо. 2. Левоинвариантные субфинслеровы задачи: [16], [17], [24], [25], [30], [37], [38], [41], [42], [52], [57], [102], [138], [139]. 3. Левоинвариантные сублоренцевы задачи: [26], [61], [80], [82], [91], [147]. 4. Левоинвариантные субримановы задачи с неинтегрируемым геодезическим потоком: [50], [77], [103], [104], [146]. 5. Приложения левоинвариантных задач к нильпотентной аппроксимации и конструктивному решению двухточечной задачи управления: [4], [7], [31]–[33], [47], [63], [71], [81], [85], [94], [97], [109], [118], [150], [152], [155], [156], [160]. 6. Приложения левоинвариантных задач к обработке изображений и моделям зрения: [34]–[36], [53], [54], [64], [66]–[68], [72]–[74], [110], [112], [113], [120], [121]. 7. Приложения левоинвариантных задач к робототехнике: [11], [13], [15], [27]. Автор благодарит А. А. Аграчева, В. В. Козлова, А. В. Подобряева, А. П. Маштакова, А. А. Ардентова и И. Ю. Бесчастного за полезные советы по содержанию и изложению в данной работе. Также автор благодарен Е. Ф. Сачковой за помощь в наборе обзора и постоянную поддержку при работе над ним.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sac23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|