И. Н. Галай, А. В. Тетенов, “О билипшицевых изоморфизмах самоподобных жордановых дуг”, УМН, 77:4(466) (2022), 199–200; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 756

Система $\mathcal S=\{S_i,i\in J\}$, где $J=\{1,\dots,m\}$, сжимающих подобий пространства $\mathbb R^n$ называется самоподобным циппером [1] с вершинами $\{z_0,\dots,z_m\}$ и сигнатурой ${\boldsymbol\varepsilon} \in \{0,1\}^m$, если $S_i(z_0)=z_{i-1+\varepsilon_i}$ и $S_i(z_m)=z_{i-{\varepsilon_i}}$ для любого $i\in J$. Непустой компакт $K\subset \mathbb R^n$ называется аттрактором циппера $\mathcal S$, если $K=S_1(K)\cup\cdots\cup S_m(K)$. Аттрактор $K$ существует и однозначно задается системой $\mathcal S$ [2]. Если $0=t_0 < t_1 <\cdots< t_m=1$ – набор точек на отрезке $I=[0,1] \subset \mathbb R$, то самоподобный циппер ${\mathcal T}=\{T_1,\dots,T_m\}$ с вершинами $\{t_0,\dots,t_m\}$ и сигнатурой ${\boldsymbol\varepsilon} \in \{0,1\}^m$ называется линейным. Аттрактором линейного циппера является отрезок $I$. Для любого циппера ${\mathcal S}=\{S_1,\dots,S_m\}$ с вершинами $\{z_0,\dots,z_m\}$ и любого линейного циппера с той же сигнатурой $\boldsymbol \varepsilon$ существует единственное непрерывное отображение $g\colon I \to K$, при котором $g(t_i)=z_i$ и $S_i\circ g=g\circ T_i$ для каждого $i\in J$. При этом отображение $g$ непрерывно по Гёльдеру и $g(I)=K$. Такие отображения $g$ называются структурными параметризациями аттрактора циппера ${\mathcal S}$. Циппер ${\mathcal S}$ называется жордановым, если одна (а потому и всякая) структурная параметризация его аттрактора $K$ осуществляет гомеоморфизм отрезка $I=[0,1]$ на $K$ (в этом случае $K$ является жордановой дугой $\gamma$) [1]. При этом гомеоморфизм, обратный к структурной параметризации, может не удовлетворять условию Гёльдера ни при каком значении показателя Гёльдера [4].

Отметим важное свойство поддуг аттрактора $\gamma$ жорданова циппера $\mathcal S$. Пусть $J^*=\{{\boldsymbol j}=(j_1,\dots,j_n), j_k\in J, n\in \mathbb N\}$ – множество всех мультииндексов над $J$. Пусть $S_{\boldsymbol j}=S_{j_1}\circ\cdots\circ S_{j_n}$ и $\gamma_{\boldsymbol j}=S_{\boldsymbol j}(\gamma)$. Системы поддуг $\{\gamma_{\boldsymbol j},{\boldsymbol j}\in J^n,n\in \mathbb N\}$ образуют измельчающуюся последовательность разбиений $\gamma$, в которой $\gamma_{\boldsymbol i}\supseteq \gamma_{\boldsymbol j}$ тогда и только тогда, когда ${\boldsymbol i}\sqsubseteq{\boldsymbol j}$. Если же ${\boldsymbol i}\not\sqsubseteq{\boldsymbol j}$ и ${\boldsymbol i}\not\sqsupseteq{\boldsymbol j}$, то $\gamma_{\boldsymbol i}\cap \gamma_{\boldsymbol j}$ либо пусто, либо является общим концом $\gamma_{\boldsymbol i}$ и $\gamma_{\boldsymbol j}$.

Дуга $\gamma\subset \mathbb R^n$ называется дугой с ограниченным искривлением [3; с. 100], если существует такое $M>0$, что для любых $x,y\in \gamma$ диаметр $|\gamma_{xy}|$ поддуги $\gamma_{xy}\subset\gamma$ с концами $x$, $y$ не превосходит $M\|x-y\|$.

Пусть $\mathcal S=\{S_i,i\in J\}$ и $\mathcal S'=\{S'_i,i\in J\}$ – самоподобные жордановы ципперы, а $\gamma$ и $\gamma'$ – их аттракторы. Гомеоморфизм $f\colon\gamma\to \gamma'$ называют согласованным с системами $\mathcal S$ и $\mathcal S'$, если $f\circ S_i=S'_i\circ f$ для любого $i\in J$. В этом случае говорят, что $f$ задает изоморфизм ципперов $\mathcal S$ и $\mathcal S'$. Отметим, что $f(\gamma_{\boldsymbol j})=\gamma'_{\boldsymbol j}$ для любого ${\boldsymbol j}\in J^*$.

Из единственности и обратимости структурной параметризации жорданова циппера вытекает

Говорят, что ципперы $\mathcal S$ и $\mathcal S'$ бигёльдерово (билипшицево) изоморфны, если соответствующим свойством обладает гомеоморфизм $f$. Мы докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть $\mathcal S=\{S_i,i\in J\}$ и $\mathcal S'=\{S'_i,i\in J\}$ – самоподобные жордановы ципперы, а их аттракторы $\gamma$ и $\gamma'$ – дуги с ограниченным искривлением. Пусть $p_i$ и $q_i$ – коэффициенты подобия отображений $S_i$ и $S_i'$ соответственно. Тогда $\mathcal S$ и $\mathcal S'$ бигёльдерово изоморфны в том и только том случае, когда их сигнатуры равны. При этом показатели Гёльдера гомеоморфизмов $f$ и $f^{-1}$ не меньше $\alpha=\min\{\ln{p_i}/\ln{q_i},\ln{q_i}/\ln{p_i},i\in J\}$.

Доказательство. Пусть $p_{\min}=\min{\{p_1,\dots,p_m\}}$. Пусть $f\colon\gamma\to\gamma'$ – гомеоморфизм, согласованный с $\mathcal S$ и $\mathcal S'$. Пусть $x,y\in\gamma$, а $x'=f(x)$, $y'=f(y)$. Тогда существует такое $M>0$, что для дуг $\gamma_{xy}\subset\gamma$ и $f(\gamma_{xy})=\gamma'_{x'y'}$ выполняются неравенства

$$ \begin{equation} |\gamma_{xy}| \leqslant M\|x-y\|\quad\text{и}\quad |\gamma'_{x'y'}| \leqslant M\|x'-y'\|. \end{equation} \tag{1} $$

В силу свойств семейств $\{\gamma_{\boldsymbol j},{\boldsymbol j}\in J^*\}$ и $\{\gamma'_{\boldsymbol j},{\boldsymbol j}\in J^*\}$ для поддуг $\gamma_{xy}$, $\gamma'_{xy}$ есть лишь следующие две возможности.

(a) Существуют такие $\boldsymbol i=(i_1,\dots,i_k)\in J^*$ и $i_{k+1}\in I$, что $\gamma_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}\subset \gamma_{xy}\subset \gamma_{\boldsymbol i}$ и $\gamma'_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}\subset \gamma'_{x'y'}\subset \gamma'_{\boldsymbol i}$. Поэтому $p_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}|\gamma|\leqslant |\gamma_{xy}|\leqslant p_{\boldsymbol i}|\gamma|$ и $q_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}|\gamma'|\leqslant|\gamma'_{x'y'}| \leqslant q_{\boldsymbol j}|\gamma'|$. Из условий (1) вытекает, что $p_{{\boldsymbol i}}\leqslant |\gamma_{xy}|/(|\gamma|p_{\min})\leqslant M\|x-y\|/(|\gamma|p_{\min})$. Учитывая, что $q_{\boldsymbol k}\leqslant p_{\boldsymbol k}^\alpha$ для любого мультииндекса $\boldsymbol k$, получаем

$$ \begin{equation*} \|x'-y'\|\leqslant|\gamma'_{x'y'}|\leqslant p_{\boldsymbol i}^\alpha |\gamma'|\leqslant M^\alpha|\gamma'|(p_{\min}|\gamma|)^{-\alpha}\|x-y\|^\alpha. \end{equation*} \notag $$

(b) Существуют мультииндексы $\boldsymbol i=(i_1,\dots,i_k)$, $\boldsymbol j=(j_1,\dots,j_l)$ и индексы $i_{k+1}$, $j_{l+1}$ такие, что $\gamma_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}\cup \gamma_{{\boldsymbol j}j_{l+1}}\subset\gamma_{xy}\subset \gamma_{\boldsymbol i}\cup \gamma_{\boldsymbol j}$, а $\gamma_{{\boldsymbol i}i_{k+1}}\cap \gamma_{{\boldsymbol j}j_{l+1}}=\gamma_{\boldsymbol i}\cup \gamma_{\boldsymbol j}$ – одноточечное множество; аналогичные соотношения выполняются для $\gamma'_{x'y'}$.

Из неравенств $\max\{p_{{\boldsymbol i}i_{k+1}},p_{{\boldsymbol j}j_{l+1}}\} |\gamma|\leqslant|\gamma_{xy}|\leqslant(p_{\boldsymbol i}+ p_{\boldsymbol j})|\gamma|$ и $|\gamma'_{x'y'}|\leqslant (q_{\boldsymbol i}+q_{\boldsymbol j})|\gamma'|$ выводим, что $\|x'-y'\|\leqslant|\gamma'_{x'y'}|\leqslant 2[\max\{p_{{\boldsymbol i}},p_{\boldsymbol j}\}]^\alpha|\gamma'|$. Так как верна оценка $\max\{p_{\boldsymbol i},p_{\boldsymbol j}\} \leqslant M\|x-y\|/(|\gamma|p_{\min})$, мы получаем

$$ \begin{equation*} \|x'-y'\|\leqslant 2M^\alpha|\gamma'| (p_{\min}|\gamma|)^{-\alpha}\|x-y\|^\alpha. \end{equation*} \notag $$

Если $i\in J$ таково, что $\alpha=\ln q_i/\ln p_i$, то для пар точек $x=S_i^k(z_0)$, $y=S_i^k(z_m)$ выполняется равенство $\|x'-y'\|=M_0\|x-y\|^\alpha$, где $M_0=\|z'_m-z'_0\|/\|z_m-z_0\|^\alpha$. Такие же рассуждения справедливы и для отображения $f^{-1}\!\colon\gamma'\to\gamma$. Таким образом, отображения $f$ и $f^{-1}$ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $\alpha$ и это значение $\alpha$ является минимальным. Теорема доказана.

Рассматривая случай $\alpha=1$, получаем условие билипшицевой эквивалентности самоподобных ципперов.

Теорема 2. Пусть $\mathcal{S}=\{S_1,\dots,S_m\}$, $\mathcal{S'}=\{S'_1,\dots,S'_m\}$ – самоподобные жордановы ципперы в $\mathbb{R}^n$ с аттракторами $\gamma$, $\gamma'$, сигнатурами $\boldsymbol\varepsilon$, $\boldsymbol\varepsilon'$ и коэффициентами подобия $\operatorname{Lip}S_i$, $\operatorname{Lip} S_i'$, $i\in J$, соответственно.

1. Если $\boldsymbol \varepsilon=\boldsymbol \varepsilon'$ и $\operatorname{Lip}S_i=\operatorname{Lip}S_i'$ для любого $i\in J$, а $\gamma$, $\gamma'$ – дуги с ограниченным искривлением, то $\mathcal{S}$ и $\mathcal{S'}$ билипшицево изоморфны.

2. Если $\mathcal{S}$ и $\mathcal{S'}$ билипшицево изоморфны, а $\gamma$ – дуга с ограниченным искривлением, то $\boldsymbol\varepsilon=\boldsymbol \varepsilon'$ и $\operatorname{Lip} S_i=\operatorname{Lip} S_i'$ для любого $i\in J$, а $\gamma'$ имеет ограниченное искривление.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GalTet22}

\by И.~Н.~Галай, А.~В.~Тетенов

\paper О~билипшицевых изоморфизмах самоподобных жордановых дуг

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 4(466)

\pages 199--200

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10062}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10062}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461388}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1521.28009}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..756G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 4

\pages 756--758

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10062e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992300700005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165908137}

Список литературы