| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Сообщения Московского математического общества Логарифмическое неравенство Соболева и квантовые гауссовcкие максимизаторы А. С. Холево Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10061e 
Реферативные базы данных:
    Давней проблемой в квантовой шенноновской теории является вычисление классической пропускной способности бозонных гауссовских каналов различного типа [6]. Гипотеза гауссовских максимизаторов (ГГМ) утверждает, что пропускная способность таких каналов достигается при гауссовских кодированиях. Прорыв был сделан в работах [1], [2], где ГГМ была доказана для важного класса многомодовых калибровочно ко- или контрвариантных гауссовских каналов [4]. В [8], [5] решение было распространено на более широкий класс каналов, удовлетворяющих определенному “пороговому условию”. В то же время ГГМ остается открытой для каналов, лежащих за пределами порогового условия [7]. В этой заметке мы опишем новый подход к таким задачам, основанный на принципах выпуклого анализа, и проиллюстрируем его на характерном примере приближенного измерения положения с ограничением энергии. Примечательно, что для этой конкретной модели метод сводит решение задачи оптимизации к обобщению знаменитого логарифмического неравенства Соболева. Пусть $\mathfrak{S}$ – выпуклое множество всех операторов плотности в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ квантовой системы, $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ – стандартные измеримые пространства. Рассмотрим измерительный канал $M\colon\rho \to p_{\rho}(y)= \operatorname{Tr}\rho m(y)$, $\rho \in \mathfrak{S}$, где $m(y)$ – равномерно ограниченная положительно-операторнозначная функция такая, что $\displaystyle\int m(y)\,\mu(dy)=I$ ($I$ – единичный оператор в $\mathcal{H}$, $\mu$ – мера). Кодирование $\mathcal{E}=\{\pi(dx),\rho(x)\}$ задается вероятностной мерой $\pi(dx)$ с измеримым семейством состояний $\rho(x)$, $x\in \mathcal{X}$. Пусть $H$ – гамильтониан в $\mathcal{H}$ и $E$ – положительное число. Тогда классическая пропускная способность с ограничением энергии измерительного канала $M$ равна
$$
\begin{equation}
C(M,H,E)=\sup_{\mathcal{E}\colon\operatorname{Tr}\! \bar{\rho}_{\mathcal{E}}H\leqslant E}I(\mathcal{E},M),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $I(\mathcal{E},M)$ – взаимная информация $\mathcal{E}$ и $M$, а $\bar{\rho}_{\mathcal{E}}=\displaystyle\int\rho(x)\,\pi(dx)$ – среднее состояние. Вводя корректно определенную выходную дифференциальную энтропию $h_{M}(\rho)= -\displaystyle\int p_{\rho}(y)\ln p_{\rho}(y)\,\mu(dy)$, имеем
$$
\begin{equation}
I(\mathcal{E},M)=h_{M}(\bar{\rho}_{\mathcal{E}})- \int h_{M}(\rho(x))\,\pi(dx).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
C(\mathcal{M},H,E)=\sup_{\rho\colon\operatorname{Tr}\!\rho H\leqslant E} [h_{\mathcal{M}}(\rho)-e_{\mathcal{M}}(\rho)],
\end{equation}
\tag{3}
$$
где введен аналог выпуклого замыкания выходной дифференциальной энтропии для квантового канала [10]:
$$
\begin{equation}
e_{M}(\rho)=\inf_{\mathcal{E}:\bar{\rho}_{\mathcal{E}}=\rho} \int h_{M}(\rho(x))\,\pi(dx).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Задача минимизации (4) формально аналогична квантовой байесовской проблеме, изученной в [3]. Вводя $K(\rho)=-\displaystyle\int m(y)\ln p_{\rho}(y)\,\mu(dy)$, условие оптимальности кодирования $\mathcal{E}=\{\pi_{0}(dx),\rho_{0}(x)\}$ можно записать в виде: существует самосопряженный оператор $\Lambda_{0}$ такой, что (i) $\Lambda_{0}\leqslant K(\rho)$ для $\rho \in \mathfrak{S}$; (ii) $[K(\rho_{0}(x))-\Lambda_{0}]\rho_{0}(x)=0\pmod{\pi_{0}}$. Интегрируя (ii), получаем уравнение для определения $\Lambda_{0}$:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathfrak{S}}K(\rho_{0}(x))\rho_{0}(x)\,\pi_{0}(dx)= \Lambda_{0}\bar{\rho}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Переходя к бозонным гауссовским системам, обозначим $\rho_{\alpha}$ центрированное гауссовское состояние канонических коммутационных соотношений с ковариационной матрицей $\alpha$ [6], $\mathfrak{S}(\alpha)$ множество всех состояний $\rho$ с фиксированной матрицей $\alpha$ вторых моментов и $C(M;\alpha)\equiv \sup_{\mathcal{E}:\bar{\rho}_{\mathcal{E}}\in \mathfrak{S}(\alpha)}I(\mathcal{E},M)$. Следующая теорема доказана в [7]: Пусть $M$ – произвольный гауссовский измерительный канал. Оптимизирующий оператор плотности $\rho$ в (3) является (центрированным) гауссовским оператором плотности $\rho_{\alpha}$:
$$
\begin{equation}
C(M;\alpha)=h_{M}(\rho_{\alpha})-e_{M}(\rho_{\alpha}),
\end{equation}
\tag{6}
$$
и, следовательно, для квадратичного бозонного гамильтониана $H=R\epsilon R^{t}$
$$
\begin{equation}
C(M,H,E)=\max_{\alpha:\operatorname{Tr}\!\alpha\epsilon \leqslant E} C(M;\alpha)=\max_{\alpha:\operatorname{Tr}\!\alpha \epsilon \leqslant E} [h_{M}(\rho_{\alpha})-e_{M}(\rho_{\alpha})].
\end{equation}
\tag{7}
$$
Приближенному измерению положения $q$ для бозонной моды $R=(q,p)$ отвечает $m(y)=g_{\beta}(q-y)$, где $g_{\beta}(y)$ – плотность вероятности нормального распределения $\mathcal{N}(0,\beta)$. Пусть $H=(q^{2}+p^{2})/2$ и $\alpha=\operatorname{diag}[\alpha_{q},\alpha_{p}]$. Теорема. Максимум в (1) дается гауссовским кодированием $\{\pi_{0}(dx),\rho_{0}(x)\}$, где $\rho_{0}(x)=|x\rangle_{\delta}\langle x|$ – сжатые состояния ($|x\rangle_{\delta}=\mathrm{e}^{-ipx}|0\rangle_{\delta}$) такие, что $\delta=(4\alpha_{p})^{-1}$, Распределение $\pi_{0}(dx)$ – центрированное гауссовское с дисперсией $\gamma =\alpha_{q}-(4\alpha_{p})^{-1}$. Набросок доказательства. Вычисление оператора (5) приводит к выражению Это самосопряженный оператор, удовлетворяющий условию (ii).
Проверка условия (i) требует обобщения логарифмического неравенства Соболева (см., например, [9]). Пусть $f(x)=|\psi(x)|^{2}$ – гладкая плотность вероятности на $\mathbb{R}$. Тогда неравенство, которое следует доказать:
$$
\begin{equation}
\int[g_{\beta}\ast f(y)]\ln[g_{\beta}\ast f(y)]\,dy+ \ln\sqrt{2\pi \mathrm{e}(\beta+\delta)}+\frac{\delta}{2(\beta+\delta)} \leqslant \frac{2\delta^{2}}{\beta+\delta}\int|\psi'(x)|^{2}\,dx
\end{equation}
\tag{9}
$$
при $\beta,\delta \geqslant 0$. Для $\beta=0$ оно эквивалентно версии неравенства в [9]. Чтобы доказать неравенство (9), умножим разность между левой и правой частями на $\beta+\delta$ и возьмем производную по $\beta$. Ее неположительность оказывается эквивалентной неравенству в [9] с правильно подобранными параметрами. Таким образом, (9) справедливо для всех $\beta,\delta \geqslant 0$, откуда следует условие (i). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Hol22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|