Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 4(466), страницы 173–196
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10059 (Mi rm10059) 		 
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Исчисление Шуберта и теория пересечений многообразий флагов

Х. Дуанabc, С. Чжаоd

a Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University, Beijing, China
b Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China
c School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian, China
d Department of Mathematics, Capital Normal University, Beijing, China
PDF полного текста (1161 kB) PDF английской версии (1186 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10059
Аннотация: В 15-й проблеме Гильберта была поставлена задача строгого обоснования исчисления Шуберта; сложной частью такого обоснования является давняя проблема характеристик Шуберта. В ходе создания основ алгебраической геометрии Ван дер Варден и А. Вейль отнесли эту проблему к теории пересечений для многообразий флагов.
В статье рассматриваются предыстория, содержание и решение проблемы характеристик. Нашими основными результатами являются единая формула для характеристик и систематическое описание колец пересечений многообразий флагов. Эффективность формулы и алгоритма проиллюстированы на явных примерах.
Библиография: 71 название.
Ключевые слова: исчисление Шуберта, теория пересечений, многообразия флагов, матрица Картана группы Ли.
Финансовая поддержка Номер гранта
National Natural Science Foundation of China 11771427
11961131004
Исследование выполнено при поддержке Национального научного фонда Китая (проекты № 11771427, 11961131004).
Поступила в редакцию: 25.11.2021
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages 729–751
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10059e
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 514.765+512.734
MSC: 14M15, 57T15, 01A65

1. Введение

15-я проблема Гильберта [43] вдохновила большое количество исследований и имела далеко идущие последствия. Благодаря ей перечислительная геометрия XIX в. переросла в алгебраическую геометрию, основы которой заложили Ван дер Варден и А. Вейль, а исчисление Шуберта было глубоко интегрировано во многие разделы математики. Однако, несмотря на значительные достижения XX в. (см., например, [38], [49], [65]), долгое время оставался открытым вопрос о нахождении эффективных правил, позволяющих решать задачи в рамках исчисления Шуберта, например такие, как проблема характеристик Шуберта [68; § 8] и проблема Вейля [70; с. 331] построения теории пересечений для многообразий флагов $G/P$, где $G$ – компактная группа Ли и $P$ – параболическая подгруппа [4].

В серии работ [19], [20], [28], [29], [31] мы обращались как к проблеме характеристик, так и к проблеме Вейля, что привело к решению 15-й проблемы Гильберта [32; замечание 6.3]. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать обзор предыстории, содержания и решения проблемы характеристик Шуберта. В разделе 2 мы даём исторический очерк (начиная с работы Аполлония “Касания” и до теории гомологий Лефшеца), который отражает эволюцию основных идей от перечислительной геометрии к теории пересечений. В разделе 3 дан обзор пионерских работ Ван дер Вардена, Эресмана, А. Вейля, Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда по исчислению Шуберта, которые привели к существенному прояснению в проблеме характеристик Шуберта. Наши основные результаты содержатся в разделе 4, где мы приводим формулу, выражающую характеристики Шуберта многообразия флагов $G/P$ в виде многочлена от чисел Картана группы Ли $G$ (теорема 4.5), даём систематическое описание кольца пересечений многообразий флагов (теорема 4.8) и иллюстрируем эффективность наших алгоритмов примерами 4.6, 4.9 и 4.11. В частности, поскольку основными вводными данными нашего подхода являются матрицы Картана групп Ли, решения могут быть успешно реализованы компьютерными программами, так что теория пересечений многообразий флагов становится доступной широкому кругу читателей.

2. Введение в теорию пересечений

Во II в. до н. э. Аполлоний Пергский в работе “Касания” получил следующий результат.

Теорема Аполлония. Количество окружностей, касающихся трёх окружностей общего положения на плоскости, равно $8$.

Первоначальное доказательство Аполлония утеряно, но сохранилась запись Паппа этого доказательства, датированная IV в. В эпоху Возрождения различные доказательства были получены Франсуа Виетом, Адрианом ван Руменом, Жозефом Диасом Жергонном и Исааком Ньютоном [10; с. 159]. Наглядная иллюстрация теоремы приведена на обложке книги “3264 и прочее” [34].

Открытие Декартом евклидовых координат позволило геометрам (например, Маклорену, Эйлеру, Безу) использовать системы полиномиальных уравнений для описания геометрических фигур, удовлетворяющих системе условий инцидентности. Таким образом, многие перечислительные задачи допускают следующую алгебраическую формулировку.

Проблема 2.1. Найти число решений системы $n$ полиномиальных уравнений с комплексными коэффициентами от $n$ переменных:

$$ \begin{equation} \left\{ \begin{matrix} f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\\ \dots \\ f_n(x_1,\ldots,x_n)=0. \end{matrix}\right. \end{equation} \tag{2.1} $$

Проблема 2.1 является фундаментальной проблемой алгебры. В случае $n=1$ Гауссом в 1820 г. было доказано, что число нулей многочлена от одной переменной равно степени этого многочлена. Этот результат известен как основная теорема алгебры.

Пусть $g_i$ – однородный многочлен, соответствующий многочлену $f_i$ из системы (2.1). Тогда $N_i:=g_i^{-1}(0)$ – гиперповерхность в $n$-мерном комплексном проективном пространстве $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$. В общем случае множество нулей однородной системы уравнений в комплексном проективном пространстве называется проективным многообразием. Таким образом, изучение проблемы 2.1 естественным образом приводит к основной проблеме теории пересечений.

Проблема 2.2. Для данных $k$ подмногообразий $N_1,\dots,N_k$ общего положения в гладком проективном многообразии $M$, удовлетворяющих ограничению на размерности $\dim N_1+\cdots+\dim N_k=(k-1)\dim M$, найти число $|N_1\cap\cdots\cap N_k|$ общих точек пересечения (см. рис. 1).

В ходе изучения проблемы 2.2 Лефшецем была разработана теория гомологий клеточных комплексов [51] (1926 г.). В этой теории рассматриваются коциклы $\alpha_i\in H^{\dim M-\dim N_i}(M)$, двойственные по Пуанкаре к подмногообразиям $N_i\subset M$.

Проблема 2.3. Для данных $k$ проективных подмногообразий $N_1,\dots,N_k$ в гладком проективном многообразии $M$, удовлетворяющих ограничению на размерности $\dim N_1+\cdots+\dim N_k=(k-1)\dim M$, вычислить спаривание Кронекера

$$ \begin{equation*} \langle\alpha_1\cup\cdots\cup\alpha_k,[M]\rangle, \end{equation*} \notag $$
где $\cup$ обозначает умножение в кольце когомологий $H^*(M)$, а $[M]$ – фундаментальный гомологический класс ориентированного многообразия $M$.

Проблемы 2.1–2.3 дают три, казалось бы, разных подхода к задачам перечислительной геометрии. Учитывая, что в перечислительной геометрии важной является эффективная вычислимость, возникает естественный вопрос: какой из подходов является наиболее вычислимым? Развитие теории пересечений дало ответ на этот вопрос.

3. Проблема характеристик Шуберта

Герман Шуберт (1848–1911) получил докторскую степень в Университете Галле, Германия, в 1870 г. Его диссертация “Теория характеристик” [58] посвящена перечислительной геометрии. До этого он показал, что существует $16$ сфер, касающихся $4$ общих сфер в пространстве, что является прямым обобщением теоремы Аполлония.

В 1979 г. Шубертом была опубликована его знаменитая книга “Kalkül der abzählenden Geometrie” (“Исчисление перечислительной геометрии”), которая стала величайшим достижением теории пересечений конца XIX в. [34; с. 2]. Развивая работу Шаля о кониках [13], Шуберт получил удивительные приложения теории пересечений к перечислительной геометрии. В частности, им было доказано, что

Тем не менее изложение Шуберта широко использовало спорный “принцип сохранения чисел” [47], [69] и в целом было настолько схематичным, что не включало “ни определения кратности пересечения, ни способа вычисления её” [18]. В начале XX в. Гильберт включил построение строгих основ исчисления Шуберта в список своих знаменитых проблем; он также подчёркивал преимущество исчисления Шуберта в решении задачи нахождения итоговой степени системы полиномиальных уравнений без фактического использования процесса исключения неизвестных [43].

Чтобы получить представление об основах подхода Шуберта к нахождению этих знаменательных чисел пересечений, обратимся к приведенной в его книге [61; с. 95] таблице характеристик многообразия полных коник в пространстве – см. табл. 1. Cимволы $\mu$, $\nu$ и $\rho$ в таблице обозначают подмногообразия коник, проходящих через данную точку, пересекающих данную прямую и касающихся данной плоскости соответственно.

Таблица 1.Характеристики пространства полных коник в $\mathbb{C}\mathbb{P}^3$

$\mu^3\nu^5=1$$\mu^2\nu^6=8\hphantom{0}$$\mu \nu^7=34$$\nu ^8=92\hphantom{0}$
$\mu^3\nu^4\rho =2$$\mu^2\nu^5\rho =14$$\mu \nu^6\rho =52$$\nu^7\rho =116$
$\mu^3\nu^3\rho^2=4$$\mu^2\nu^4\rho^2=24$$\mu \nu ^5\rho^2=76$$\nu^6\rho^2=128$
$\mu^3\nu^2\rho^3=4$$\mu^2\nu^3\rho^3=24$$\mu \nu ^4\rho^3=72$$\nu^5\rho^3=104$
$\mu^3\nu \rho^4=2$$\mu^2\nu^2\rho^4=16$$\mu \nu ^3\rho^4=48$$\nu^4\rho^4=64\hphantom{0}$
$\mu^3\rho^5=1$$\mu^2\nu \rho^5=8\hphantom{0}$$\mu \nu^2\rho ^5=24 $$\nu^3\rho^5=32\hphantom{0}$
$\mu^2\rho^6=4\hphantom{0}$$\mu \nu \rho^6=12$$\nu^2\rho^6=16\hphantom{0}$
$\mu \rho^7=6\hphantom{0}$$\nu \rho^7=8\hphantom{00}$
$\rho^8=4\hphantom{00}$

Таблица состоит из равенств, соотносящих мономам вида $\mu^{m}\nu^n\rho^{8-m-n}$ целые числа, которые Шуберт называл характеристиками, а более ранние исследователи – символическими уравнениями Шуберта. Шуберт подчёркивал, что проблема характеристик является фундаментальной проблемой перечислительной геометрии [48], [58], [61], [60]. Однако сформулировать эту проблему в её естественной простоте и общности удалось лишь в 1950-е годы с появлением “основной теоремы исчисления Шуберта”. Напомним ключевые работы на эту тему.

Изучение характеристик началось с итальянской школы во главе с Сегре, Энриквесом и Севери. Одними из основных работ этой школы были “Принцип сохранения чисел” и “Основы перечислительной геометрии и теории характеристик”, написанные Севери [62], [63]. Относительно этих работ Ван дер Варден [69] заметил, что в них была “воздвигнута замечательная конструкция, но её логическое основание было шатко. Понятия не были чётко определены, а доказательства были недостаточны”.

В пионерской работе Ван дер Вардена “Топологические основы перечислительной геометрии” [68] была дана интерпретация характеристик Шуберта в терминах теории гомологий, разработанной Лефшецем [51] (см. проблему 2.3). Там же были сделаны следующие важные наблюдения, предопределившие ход более поздних исследований по 15-й проблеме Гильберта:

Следующие два важных шага были сделаны в 1934 г. Эресманом [33], который обнаружил, что

Далее через $W(P;G)$ будем обозначать множество левых смежных классов группы Вейля $W(G)$ по подгруппе Вейля $W(P)$. Пусть $l\colon W(P;G)\to \mathbb{Z}$ – соответствующая функция длины [4]. По мере развития структурной теории групп Ли (см., например, [7]) расплывчатый термин “символы Шуберта” из ранней литературы был постепенно заменен такими строго определёнными геометрическими объектами, как “клетки Шуберта” или “многообразия Шуберта”. Следующий результат, развивающий работу Эресмана [33] о грассманиане $G_{n,k}$, был анонсирован Шевалле [14] в случае многообразия полных флагов $G/T$ (где $T\subset G$ – максимальный тор) и обобщён на произвольные многообразия флагов $G/P$ Бернштейном–Гельфандом–Гельфандом [4; предложение 5.1].

Теорема 3.1. Каждое многообразие флагов $G/P$ имеет каноническое разложение на клетки Шуберта $S_w$, параметризованные элементами $w\in W(P;G)$:

$$ \begin{equation} G/P=\underset{w\in W(P;G)}{\bigcup }S_w, \qquad \dim S_w=2l(w), \end{equation} \tag{3.1} $$
причём замыкание $X_w$ каждой клетки $S_w$ является подмногообразием в $G/P$, называемым многообразием Шуберта в $G/P$, ассоциированным с элементом $w\in W(P;G)$.

Поскольку в разбиении (3.1) участвуют только чётномерные клетки, фундаментальные классы $\{[X_w],w\in W(P;G)\}$ образуют аддитивный базис в гомологиях $H_*(G/P)$. Коциклы $s_w\in H^*(G/P)$, двойственные по Кронекеру базисным циклам (т. е. удовлетворяющие соотношениям $\langle s_w,[X_{u}]\rangle =\delta_{w,u}$, $w,u\in W(P;G)$), называются классами Шуберта, соответствующими элементам $w\in W(P;G)$. Из теоремы 3.1 вытекает следующий результат, предсказанный Ван дер Варденом [68; § 8] и ставший известным как “основная теорема исчисления Шуберта”.

Теорема 3.2 [4; предложение 5.2]. Классы Шуберта $\{s_w, w\in W(P;G)\}$ образуют аддитивный базис в когомологиях $H^*(G/P)$.

Из основной теоремы непосредственно вытекает, что любое произведение $s_{u_1}\cdots s_{u_k}$ классов Шуберта однозначно выражается как линейная комбинация базисных элементов:

$$ \begin{equation} s_{u_1}\cdots s_{u_k} =\sum_{ w\in W(P;G),\, l(w)=l(u_1)+\cdots +l(u_k) } c_{u_1,\dots,u_k}^w\cdot s_w, \end{equation} \tag{3.2} $$
где $c_{u_1,\dots,u_k}^w\in\mathbb{Z}$. В этих терминах проблема характеристик Шуберта [33], [59], [60], [68] имеет следующее краткое выражение1.

Проблема 3.3. Для данного монома $s_{u_1}\cdots s_{u_k}$ от классов Шуберта определить числа-характеристики $c_{u_1,\dots,u_k}^w$ в линейном разложении (3.2).

В своём фундаментальном трактате “Основы алгебраической геометрии” [70] А. Вейль впервые дал полное определение кратностей пересечений и сформулировал задачу исчисления Шуберта в контексте современной теории пересечений2.

Проблема 3.4. Описать кольца пересечений многообразий флагов $G/P$.

Как было отмечено Вейлем, данная проблема является “современной формулировкой задач из области, ранее известной как перечислительная геометрия” [70; с. 331]. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.5. Для многообразий флагов проблема Вейля эквивалентна проблеме Шуберта.

Доказательство. Кольцо – это абелева группа $R$, снабжённая умножением $R\times R\to R$. Согласно основной теореме 3.2 когомологии $H^*(G/P)$ имеют канонический аддитивный базис, состоящий из классов Шуберта. Поэтому умножение в кольце $H^*(G/P)$ однозначно определяется произведениями элементов базиса, которые задаются характеристиками $c_{u_1,\dots,u_k}^w$.

Замечание 3.6. В случае $k=2$ характеристики $c_{u_1,\dots,u_k}^w$ имеют различные интерпретации. В топологии они известны как структурные константы Шуберта многообразия флагов $G/P$, а в теории представлений – как коэффициенты Литтлвуда–Ричардсона [52].

В некоторых случаях пространства параметров геометрических фигур, рассматриваемых Шубертом [61; гл. IV], не являются многообразиями флагов, но могут быть получены из них путем выполнения конечного числа раздутий (см. примеры в книгах Фултона [38; § 10.4], Айзенбада–Харриса [34; гл. 13], а также в [23], где построены пространства параметров полных коник и квадрик в $\mathbb{C}\mathbb{P}^3$). В результате соответствующие характеристики могут быть вычислены в терминах характеристик многообразий флагов с помощью строго описываемых процедур (см., например, [23; примеры 5.11, 5.12]).

4. Теория пересечений многообразий флагов

Чтобы заложить основу “исчисления”, достаточно определить объекты, подлежащие исчислению, и соответственно определить правила исчисления (см., например, [2; гл. 2], [53]). В случае исчисления Шуберта, как было указано в разделе 3, объекты, подлежащие исчислению, – это символы Шуберта или многообразия Шуберта. В этом разделе мы вводим единую формулу, вычисляющую характеристики и тем самым определяющую правило исчисления. Затем мы применяем эту формулу для завершения построения теории пересечений многообразий флагов.

4.1. Наблюдение и ожидание

Основные трудности, с которыми приходится сталкиваться при решении проблемы характеристик, довольно очевидны:

Таким образом, существует множество различных многообразий флагов $G/P$, геометрия и топология которых значительно различаются в зависимости от выбора $G$ и $P$. Кроме того, не говоря уже о количестве соответствующих характеристик. Например, для исключительных групп Ли $G$ с максимальным тором $T$ эйлеровы характеристики $\chi(G/T)$ многообразий флагов $G/T$ приведены в следующей таблице:

$G$$G_2$$F_4$$E_6$$E_7$$E_{8}$
$\chi (G/T)$$12$$1152$$2^7\cdot 3^4\cdot 5$$2^{10}\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$$2^{14}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7$

Подводя итог, можно сказать, что подход, основанный на переборе конкретных случаев, никогда не приведёт к полному решению проблемы.

С другой стороны, согласно замечательной работе Э. Картана о компактных группах Ли, каждой простой группе Ли $G$ соответствует матрица Картана $C$; для классификации всех многообразий флагов $G/P$ эти матрицы играют роль “космологических констант” (см. обсуждение в пп. 4.2–4.5). Например, для пяти исключительных групп Ли эти матрицы имеют вид

$$ \begin{equation*} G_2\colon\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & -1 \\ -3 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}, \quad F_4\colon\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ -1 & \hphantom{-} 2 & -2 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}, \quad E_6\colon\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & -1 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
$$ \begin{equation*} E_7\colon\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & -1 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}, \quad E_{8}\colon\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & -1 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 & \hphantom{-} 0 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 & -1 \\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & -1 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
В связи с этим возникает следующий вопрос: можно ли выразить характеристики, а также кольцо пересечений многообразия флагов $G/P$ только через матрицу Картана группы Ли $G$? В этом разделе мы дадим положительный ответ на этот вопрос.

4.2. Численное построение группы Вейля

Пусть $C=(c_{i,j})_{n\times n}$ – матрица Картана компактной простой группы Ли $G$, и пусть $\mathbb{R}^n$ – вещественное векторное пространство с базисом $\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$. Определим эндоморфизмы $\sigma_i\in \operatorname{End}(\mathbb{R}^n)$, $1\leqslant i\leqslant n,$ зависящие от матрицы $C$, по формуле

$$ \begin{equation*} \sigma_i(\omega_k) =\begin{cases} \omega_k & \text{при } i\neq k;\\ \omega_k-(c_{k,1}\omega_1+\dotsb+c_{k,n}\omega_n) & \text{при } i= k. \end{cases} \end{equation*} \notag $$
Из общих свойств матриц Картана вытекает равенство $\sigma_i^2=\operatorname{id}$, означающее, что $\sigma_i\in \operatorname{Aut}(\mathbb{R}^n)$. Далее, можно установить следующее.

Лемма 4.1. Подгруппа в группе $\operatorname{Aut}(\mathbb{R}^n)$, порождённая элементами $\sigma_i$, изоморфна группе Вейля $W(G)$.

Для каждого подмножества $K\subset\{1,\dots,n\}$ существует единственная с точностью до сопряжений в $G$ параболическая подгруппа $P=P_{K}$, группа Вейля $W(P)$ которой порождается элементами $\sigma_j\in W(G)$ с $j\notin K$. Используя функцию длины $l$ на $W(G)$, мы можем вложить множество $W(P;G)$ в группу $W(G)$ (см. [4]):

$$ \begin{equation*} W(P;G)=\{w\in W(G)\mid l(w_1)\geqslant l(w), \;w_1\in wW(P)\}. \end{equation*} \notag $$
Положим $W^{m}(P;G):=\{w\in W(P;G)\mid l(w)=m\}$. По лемме 4.1 каждый элемент $w\in W^{m}(P;G)$ допускает разложение вида
$$ \begin{equation*} w=\sigma_{{i}_1}\circ\cdots\circ\sigma_{i_m}, \quad\text{где } 1\leqslant i_1,\dots,i_m\leqslant n, \end{equation*} \notag $$
следовательно, можно обозначить $w=\sigma_I$, где $I=(i_1,\dots,i_m)$. Такое представление $w$ не обязано быть единственными, но неоднозначность можно устранить, используя следующее понятие. Введём на множестве
$$ \begin{equation*} D(w):=\{I=(i_1,\dots,i_m)\mid w=\sigma_I\} \end{equation*} \notag $$
лексикографический порядок $\preceq$ на мультииндексах $I$. Будем называть разложение $w=\sigma_I$ минимизированным, если $I\in D(w)$ является минимальным. Имеет место следующее утверждение (см., например, [9]).

Лемма 4.2. Каждый элемент $w\in W(P;G)$ имеет единственное минимизированное разложение.

Отсюда следует, что множество $W^{m}(P;G)$ также упорядочено лексикографическим порядком $\preceq$ на мультииндексах $I$ и поэтому может быть однозначно представлено как

$$ \begin{equation} W^{m}(P;G) =\{w_{m,i}\mid 1\leqslant i\leqslant\beta(m)\}, \qquad \beta(m):=|W^{m}(P;G)|, \end{equation} \tag{4.1} $$
где $w_{m,i}$ обозначает $i$-й элемент упорядоченного множества $W^m(P;G)$. В работе [25] скомпилирован пакет Decomposition в среде Mathematica, функции которого заключаются в следующем.

Алгоритм I: Разложение.

Вход: Матрица Картана $C=(a_{i,j})_{n\times n}$ группы $G$ и подмножество $K\subset\{1,\dots,n\}$, задающее параболическую подгруппу $P$.

Результат: Множество $W(P;G)$, представленное минимизированными разложениями его элементов, вместе с системой индексации (4.1), задаваемой порядком $\preceq$.

Пример 4.3. Пусть $G=\operatorname{SU}(n)$ – специальная унитарная группа, и пусть $k\in\{1,\dots,n-1\}$. Многообразие флагов $G/P_{\{k\}}$ является грассмановым многообразием $G_{n,k}$. Применяя алгоритм Разложение к случаю $G_{9,4}$, мы получаем таблицу минимизированных разложений элементов $w\in W(P_4;\operatorname{SU}(9))$ с $l(w)\leqslant 8$, упорядоченных в соответствии с (4.1), – см. табл. 2. Другие примеры результатов, полученных с помощью алгоритма Разложение, можно найти в [24; § 1.1–7.1].

Таблица 2.

$w_{i,j}$разложение$w_{i,j}$разложение$w_{i,j}$разложение
$w_{1,1}$$[{4}]$$w_{2,1}$$[{3, 4}]$$w_{2,2}$$[{5, 4}]$
$w_{3,1}$$[{2, 3, 4}]$$w_{3,2}$$[{3, 5, 4}]$$w_{3,3}$$[{6, 5, 4}]$
$w_{4,1}$$[{1, 2, 3, 4}]$$w_{4,2}$$[{2, 3, 5, 4}]$$w_{4,3}$$[{3, 6, 5, 4}]$
$w_{4,4}$$[{4, 3, 5, 4}]$$w_{4,5}$$[{7, 6, 5, 4}]$$w_{5,1}$$[{1, 2, 3, 5, 4}]$
$w_{5,2}$$[{2, 3, 6, 5, 4}]$$w_{5,3}$$[{2, 4, 3, 5, 4}]$$w_{5,4}$$[{3, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{5,5}$$[{4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{5,6}$$[{8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{6,1}$$[{1, 2, 3, 6, 5, 4}]$
$w_{6,2}$$[{1, 2, 4, 3, 5, 4}]$$w_{6,3}$$[{2, 3, 7, 6, 5, 4}]$$w_{6,4}$$[{2, 4, 3, 6, 5, 4}]$
$w_{6,5}$$[{3, 2, 4, 3, 5, 4}]$$w_{6,6}$$[{3, 8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{6,7}$$[{4, 3, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{6,8}$$[{5, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{7,1}$$[{1, 2, 3, 7, 6, 5, 4}]$$w_{7,2}$$[{1, 2, 4, 3, 6, 5, 4}]$
$w_{7,3}$$[{1, 3, 2, 4, 3, 5, 4}]$$w_{7,4}$$[{2, 3, 8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{7,5}$$[{2, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{7,6}$$[{2, 5, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{7,7}$$[{3, 2, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{7,8}$$[{4, 3, 8, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{7,9}$$[{5, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$$w_{8,1}$$[{1, 2, 3, 8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{8,2}$$[{1, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{8,3}$$[{1, 2, 5, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{8,4}$$[{1, 3, 2, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{8,5}$$[{2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4}]$
$w_{8,6}$$[{2, 4, 3, 8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{8,7}$$[{2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$$w_{8,8}$$[{3, 2, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$
$w_{8,9}$$[{3, 2, 5, 4, 3, 6, 5, 4}]$$w_{8,10}$$[{5, 4, 3, 8, 7, 6, 5, 4}]$$w_{8,11}$$[{6, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 4}]$

С геометрической точки зрения для любого $w\in W(P;G)$ многообразие Шуберта $X_w$ может быть построено явно в терминах его минимизированного разложения [4], [20].

4.3. Единая формула для характеристик Шуберта

Для данного элемента $w\in W(P_{K};G)$ с минимизированным разложением

$$ \begin{equation*} w=\sigma_{i_1}\circ \sigma_{i_2}\circ \cdots \circ \sigma_{i_{m}},\quad 1\leqslant i_1,i_2,\dots,i_{m}\leqslant n, \end{equation*} \notag $$
определим его структурную матрицу как строго верхнетреугольную матрицу $A_w=( a_{s,t})_{m\times m}$ с элементами
$$ \begin{equation*} a_{s,t} =\begin{cases} 0 & \text{при } s\geqslant t,\\ -c_{i_{s},i_{t}} & \text{при } s<t, \end{cases} \end{equation*} \notag $$
где $C=( c_{i,j})_{n\times n}$ – матрица Картана группы $G$.

В качестве примера рассмотрим матрицу Картана исключительной группы Ли $G_2$:

$$ \begin{equation*} C=\begin{pmatrix} \hphantom{-} 2 & -1 \\ -3 & \hphantom{-} 2 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
По лемме 4.1 группа Вейля $W(G_2)$ имеет две образующие, $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Рассмотрим следующие элементы длины $4$:
$$ \begin{equation*} u=\sigma_1\circ \sigma_2\circ \sigma_1\circ \sigma_2\quad\text{ и } \quad v=\sigma_2\circ \sigma_1\circ \sigma_2\circ \sigma_1. \end{equation*} \notag $$
Из матрицы Картана $C$ получаем
$$ \begin{equation*} A_{u}=\begin{pmatrix} 0 & \hphantom{-} 1 & -2 & \hphantom{-} 1 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 3 & -2 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \end{pmatrix} \quad\text{ и }\quad A_{v}=\begin{pmatrix} 0 & \hphantom{-} 3 & -2 & \hphantom{-} 3 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 & -2 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 3 \\ 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$

Пусть $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]$ – градуированное кольцо многочленов от переменных $x_1,\dots,x_m$ степени $1$, и пусть $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]^{(m)}$ – подгруппа, порождённая мономами степени $m$. Для данной строго верхнетреугольной целочисленной матрицы $A=(a_{i,j})$ размера $m\times m$ определим треугольный оператор $T_A$, ассоциированный с $A$, как линейное отображение

$$ \begin{equation*} T_{A}\colon\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]^{(m)}\to \mathbb{Z}, \end{equation*} \notag $$
задаваемое индуктивно следующим образом: где $A_1$ – строго верхнетреугольная матрица размера $(m-1)\times (m-1)$, полученная из $A$ удалением $m$-го столбца и $m$-й строки. Так как каждый многочлен $h\in\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]^{(m)}$ единственным образом представляется в виде
$$ \begin{equation*} h =\sum_{0\leqslant r\leqslant m}h_r\cdot x_m^r, \qquad h_r\in\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_{m-1}]^{(m-r)}, \end{equation*} \notag $$
условия 1), 2) и 3) определяют оператор $T_A$ однозначно. Мы получаем следующее утверждение.

Лемма 4.4. Для любого многочлена $h\in \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]^{(m)}$ значение $T_{A}(h)$ является многочленом степени $m$ от элементов матрицы $A$.

В [32; теорема 2.4] нами была получена следующая формула, обобщающая основные результаты работ [19], [20], [28] и выражающая характеристики Шуберта многообразия флагов $G/P$ в виде многочленов от чисел Картана группы $G$.

Теорема 4.5. Пусть элемент $w\in W(P;G)$ имеет минимизированное разложение $\sigma_{i_1}\circ\cdots\circ\sigma_{i_m}$ и структурную матрицу $A_w$. Тогда для каждого многочлена $s_{u_1}\cdots s_{u_k}$ полной степени $m$ от классов Шуберта имеет место формула

$$ \begin{equation} c_{u_1,\dots,u_k}^w =T_{A_w}\biggl(\,\prod_{i=1}^k \biggl(\sum_{\sigma_I=u_i,\,|I|=l(u_i),\,I\subseteq\{1,\dots,m\}} x_I \biggr)\biggr), \end{equation} \tag{4.2} $$
где для мультииндекса $I=\{j_1,\dots,j_t\}$ мы полагаем $|I|:=t$ и
$$ \begin{equation*} \sigma_I:=\sigma_{i_{j_1}}\circ\cdots\circ\sigma_{i_{j_t}}\in W(G), \qquad x_{I}:=x_{i_{j_1}}\!\cdots x_{i_{j_t}}\in\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]. \end{equation*} \notag $$

Поскольку матрица $A_w$ строится по матрице Картана группы $G$ в терминах минимизированного разложения $w$, а оператор $T_{A_w}$ легко вычисляется по правилам 1)–3) выше, формула (4.2) предоставляет эффективный алгоритм для вычисления чисел $c_{u_1,\dots,u_k}^w$. На основе этих идей нами был скомпилирован пакет Characteristics в среде Mathematica (см., например, [25]), функции которого описываются следующим образом.

Алгоритм II: Характеристики.

Вход: матрица Картана $C=(a_{i,j})_{n\times n}$ группы $G$ и подмножество $K\subset\{1,\dots,n\}$, задающее параболическую подгруппу $P$.

Результат: характеристики $c_{u_1,\dots,u_k}^w$ многообразия $G/P$.

Пример 4.6 (характеристики мономов Шуберта старшей степени). Пусть $G/P$ – многообразие флагов, $\dim_{\mathbb{C}}G/P=m$. Согласно основной теореме 3.2 существует единственный элемент $w_0\in W(P;G)$ такой, что $l(w_0)=m$ и класс Шуберта $s_{w_0}$ порождает когомологии старшей размерности $H^{2m}(G/P)=\mathbb{Z}$. Отсюда следует, что для любого монома $s_{u_1}\cdots s_{u_k}$ полной степени $m$ от классов Шуберта характеристическое число $c_{u_1,\dots,u_k}^w$ задаётся следующим равенством (см. проблему 2.3):

$$ \begin{equation*} \langle s_{u_1}\cdots s_{u_k},[G/P]\rangle =c_{u_1,\dots,u_k}^{w_0} \end{equation*} \notag $$
или, в сокращённом виде, $s_{u_1}\cdots s_{u_k}=c_{u_1,\dots,u_k}^{w_0}$. Кроме того, для элемента $w\in W(P;G)$ с минимизированным разложением $w=\sigma_I$ мы будем обозначать соответствующий класс Шуберта $s_w$ через $s_I$.

Описание когомологий грассманианов $G_{n,k}$ является классическим и архетипическим примером применения теории пересечений [59], [60], [34; с. 4]. Традиционно характеристики $c_{u_1,u_2}^w$ вычисляются при помощи комбинаторного правила Литтлвуда–Ричардсона [52], а не явной формулой. Напротив, наша формула (4.2) удобна для явных вычислений. В соответствии с соглашением выше положим

$$ \begin{equation*} c_{r} :=s_{\{k-r+1,k-r+2,\dots,k\}}\in H^{2r}(G_{n,k}), \qquad r=1,\dots,k. \end{equation*} \notag $$
Тогда $c_r$ также является $r$-м классом Чженя канонического $k$-мерного векторного расслоения над $G_{n,k}$ [55]. Применяя алгоритм Характеристики в случае грассманиана $G_{9,4}$, получаем таблицу характеристик мономов старшей степени $\dim_{\mathbb{C}}G_{9,4}=20$ от классов Чженя – см. табл. 3.

Таблица 3.Характеристики грассманиана $G_{9,4}$

$c_4^5 = 1$$c_3^4c_4^2 = 1$$c_2 c_3^2c_4^3 = 1$$c_2 c_3^6 = 9$
$c_2^2c_4^4 = 1$$c_2^2c_3^4c_4 = 6$$c_2^3c_3^2c_4^2 = 4$$c_2^4c_4^3 = 3$
$c_2^4c_3^4 = 45$$c_2^5c_3^2c_4 = 26$$c_2^6c_4^2 = 16$$c_2^7c_3^2 = 231$
$c_2^8c_4 = 126$$c_2^{10} = 1296$$c_1 c_3 c_4^4 = 1$$c_1 c_3^5c_4 = 4$
$c_1 c_2 c_3^3c_4^2 = 3$$c_1 c_2^2c_3 c_4^3 = 2$$c_1 c_2^2c_3^5 = 29$$c_1 c_2^3c_3^3c_4 = 17$
$c_1 c_2^4c_3 c_4^2 = 10$$c_1 c_2^5c_3^3 = 141$$c_1 c_2^6c_3 c_4 = 76$$c_1 c_2^8c_3 = 756$
$c_1^2c_3^2c_4^3 = 2$$c_1^2c_3^6 = 19$$c_1^2c_2 c_4^4 = 1$$c_1^2c_2 c_3^4c_4 = 12$
$c_1^2c_2^2c_3^2c_4^2 = 7$$c_1^2c_2^3c_4^3 = 4$$c_1^2c_2^3c_3^4 = 89$$c_1^2c_2^4c_3^2c_4 = 48$
$c_1^2c_2^5c_4^2 = 26$$c_1^2c_2^6c_3^2 = 451$$c_1^2c_2^7c_4 = 231$$c_1^2c_2^{9} = 2556$
$c_1^3c_3^3c_4^2 = 6$$c_1^3c_2 c_3 c_4^3 = 3$$c_1^3c_2 c_3^5 = 59$$c_1^3c_2^2c_3^3c_4 = 32$
$c_1^3c_2^3c_3 c_4^2 = 17$$c_1^3c_2^4c_3^3 = 276$$c_1^3c_2^5c_3 c_4 = 141$$c_1^3c_2^7c_3 = 1491$
$c_1^4c_4^4 = 1$$c_1^4c_3^4c_4 = 24$$c_1^4c_2 c_3^2c_4^2 = 12$$c_1^4c_2^2c_4^3 = 6$
$c_1^4c_2^2c_3^4 = 175$$c_1^4c_2^3c_3^2c_4 = 89$$c_1^4c_2^4c_4^2 = 45$$c_1^4c_2^5c_3^2 = 886$
$c_1^4c_2^6c_4 = 436$$c_1^4c_2^8 = 5112$$c_1^5c_3 c_4^3 = 4$$c_1^5c_3^5 = 119$
$c_1^5c_2 c_3^3c_4 = 59$$c_1^5c_2^2c_3 c_4^2 = 29$$c_1^5c_2^3c_3^3 = 539$$c_1^5c_2^4c_3 c_4 = 264$
$c_1^5c_2^6c_3 = 2962$$c_1^6c_3^2c_4^2 = 19$$c_1^6c_2 c_4^3 = 9$$c_1^6c_2 c_3^4 = 339$
$c_1^6c_2^2c_3^2c_4 = 164$$c_1^6c_2^3c_4^2 = 79$$c_1^6c_2^4c_3^2 = 1744$$c_1^6c_2^5c_4 = 832$
$c_1^6c_2^7 = 10302$$c_1^7c_3^3c_4 = 104$$c_1^7c_2 c_3 c_4^2 = 49$$c_1^7c_2^2c_3^3 = 1047$
$c_1^7c_2^3c_3 c_4 = 496$$c_1^7c_2^5c_3 = 5912$$c_1^8c_4^3 = 14$$c_1^8c_3^4 = 641$
$c_1^8c_2 c_3^2c_4 = 300$$c_1^8c_2^2c_4^2 = 140$$c_1^8c_2^3c_3^2 = 3437$$c_1^8c_2^4c_4 = 1600$
$c_1^8c_2^6 = 20887$$c_1^{9}c_3 c_4^2 = 84$$c_1^{9}c_2 c_3^3 = 2025$$c_1^{9}c_2^2c_3 c_4 = 936$
$c_1^{9}c_2^4c_3 = 11853$$c_1^{10}c_3^2c_4 = 552$$c_1^{10}c_2 c_4^2 = 252$$c_1^{10}c_2^2c_3^2 = 6792$
$c_1^{10}c_2^3c_4 = 3102$$c_1^{10}c_2^5 = 42597$$c_1^{11}c_3^3 = 3927$$c_1^{11}c_2 c_3 c_4 = 1782$
$c_1^{11}c_2^3c_3 = 23892$$c_1^{12}c_4^2 = 462$$c_1^{12}c_2 c_3^2 = 13497$$c_1^{12}c_2^2c_4 = 6072$
$c_1^{12}c_2^4 = 87417$$c_1^{13}c_3 c_4 = 3432$$c_1^{13}c_2^2c_3 = 48477$$c_1^{14}c_3^2 = 27027$
$c_1^{14}c_2 c_4 = 12012$$c_1^{14}c_2^3 = 180609$$c_1^{15}c_2 c_3 = 99099$$c_1^{16}c_4 = 24024$
$c_1^{16}c_2^2 = 375804$$c_1^{17}c_3 = 204204$$c_1^{18}c_2 = 787644$$c_1^{20} = 1662804$

Таблица 4.Характеристики многообразия флагов $E_6/S^{1}\cdot\operatorname{SU}(6)$

$y_3 y_6^3 = 3$ $y_3 y_4^3y_6 = 3$ $y_3^3y_6^2 = 21$ $y_3^3y_4^3 = 21$ $y_3^5y_6 = 156$
$y_3^7 = 1158$ $y_1 y_4^2y_6^2 = 2$ $y_1 y_4^5 = 2$ $y_1 y_3^2y_4^2y_6 = 14$ $y_1 y_3^4y_4^2 = 100$
$y_1^2y_3 y_4 y_6^2 = 9$ $y_1^2y_3 y_4^4 = 9$ $y_1^2y_3^3y_4 y_6 = 66$ $y_1^2y_3^5y_4 = 483$ $y_1^3y_6^3 = 6$
$y_1^3y_4^3y_6 = 6$ $y_1^3y_3^2y_6^2 = 42$ $y_1^3y_3^2y_4^3 = 42$ $y_1^3y_3^4y_6 = 312$ $y_1^3y_3^6 = 2328$
$y_1^4y_3 y_4^2y_6 = 28$ $y_1^4y_3^3y_4^2 = 201$ $y_1^5y_4 y_6^2 = 18$ $y_1^5y_4^4 = 18$ $y_1^5y_3^2y_4 y_6 = 132$
$y_1^5y_3^4y_4 = 972$ $y_1^6y_3 y_6^2 = 84$ $y_1^6y_3 y_4^3 = 84$ $y_1^6y_3^3y_6 = 624$ $y_1^6y_3^5 = 4677$
$y_1^7y_4^2y_6 = 56$ $y_1^7y_3^2y_4^2 = 404$ $y_1^8y_3 y_4 y_6 = 264$ $y_1^8y_3^3y_4 = 1956$ $y_1^{9}y_6^2 = 168$
$y_1^{9}y_4^3 = 168$ $y_1^{9}y_3^2y_6 = 1248$ $y_1^{9}y_3^4 = 9390$ $y_1^{10}y_3 y_4^2 = 813$ $y_1^{11}y_4 y_6 = 528$
$y_1^{11}y_3^2y_4 = 3936$ $y_1^{12}y_3 y_6 = 2496$ $y_1^{12}y_3^3 = 18837$ $y_1^{13}y_4^2 = 1638$ $y_1^{14}y_3 y_4 = 7917$
$y_1^{15}y_6 = 4992$ $y_1^{15}y_3^2 = 37752$ $y_1^{17}y_4 = 15912$ $y_1^{18}y_3 = 75582$ $y_1^{21} = 151164$

Алгоритм Характеристики одинаково хорошо работает и с другими типами многообразий флагов. Например, рассмотрим многообразие флагов $E_6/P_{\{2\}}$, где $P_{\{2\}}=S^{1}\cdot \operatorname{SU}(6)$. Пусть $y_1$, $y_3$, $y_4$, $y_6$ обозначают классы Шуберта $s_{I}$ с

$$ \begin{equation*} I=\{2\}, \{5,4,2\}, \{6,5,4,2\}, \{1,3,6,5,4,2\} \end{equation*} \notag $$
соответcтвенно, где простые корни занумерованы по Бурбаки [9]. Тогда согласно [29; теорема 3] кольцо когомологий $H^*(E_6/P_{\{2\}})$ порождено классами $y_1$, $y_3$, $y_4$, $y_6$. Применяя алгоритм Характеристики, получаем таблицу характеристик для всех мономов старшей степени $\dim_{\mathbb{C}}E_6/P_{\{2\}}=21$ от образующих Шуберта $y_i$ – см. табл. 4.

Материал, представленный в табл. 3 и 4, согласуется с вычислениями Шуберта в табл. 1. Пусть $M$ – многообразие полных коник в трёхмерном пространстве. Тогда $\dim_{\mathbb{C}}M=8$ и кольцо $H^*(M)$ порождается символами Шуберта $\mu,\rho,\nu\in H^2(M)$ [23]. Таким образом, равенства из табл. 1 выражают характеристики мономов $\mu^{m}\nu^n\rho^{8-m-n}$ (максимально возможной) степени $8$ от символов $\mu$, $\rho$ и $\nu$.

Замечание 4.7. Геометрически оператор $T_{A_w}$ в (4.2) производит интегрирование по клетке Шуберта $X_w$ (см. [4], [20]).

В работе [21] формула (4.2) была распространена на вычисления произведений базисных элементов $K$-теории Гротендика многообразий флагов, а в [26] – на вычисление операций Стинрода на классах Шуберта.

4.4. Кольца пересечений многообразий флагов

Как и в примере 4.6, рассмотрим $i$-й класс Чженя $c_i\in H^{2i}(G_{n,k})$. Борелем [6] показано, что

$$ \begin{equation} H^*(G_{n,k})=\mathbb{Z}[c_1,\dots,c_k] / \langle c_{n-k+1}^{-1},\dots,c_n^{-1}\rangle, \end{equation} \tag{4.3} $$
где $c_j^{-1}$ обозначает компоненту степени $j$ ряда, формально обратного к $1+c_1+\cdots+c_k$, а $\langle\dots\rangle$ обозначает идеал, порождённый многочленами, стоящими внутри угловых скобок. Сравнение формулы (4.3) с табл. 3 обнаруживает следующее: характеристические числа важны в перечислительной геометрии, однако не дают эффективного способа описания кольца $H^*(G_{n,k})$. Именно проблема Вейля является мотивацией для следующего обобщения формулы Бореля (4.3) на произвольные многообразия флагов.

Теорема 4.8. Для каждого многообразия флагов $G/P$ существуют классы Шуберта $y_1,\dots,y_n$ такие, что

$$ \begin{equation} H^*(G/P)=\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n] / \langle f_1,\dots,f_{m}\rangle, \end{equation} \tag{4.4} $$
где $f_i\in \mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]$, $1\leqslant i\leqslant m$, причём числа $n$ и $m$ минимальны.

Доказательство. Пусть $H^+(G/P)$ – подкольцо в $H^*(G/P)$, порождённое однородными элементами положительной степени, и пусть $D(H^*(G/P))$ – идеал разложимых элементов в кольце $H^+(G/P)$. Когомологии $H^*(G/P)$ не имеют кручения, и в них имеется базис из классов Шуберта. Следовательно, существуют классы Шуберта $y_1,\dots,y_n$, соответствующие базису факторгруппы $H^+(G/P)/D(H^*(G/P))$. Тогда включение $\{y_1,\dots,y_n\}\subset H^*(G/P)$ индуцирует эпиморфизм колец
$$ \begin{equation*} \pi\colon\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]\to H^*(G/P). \end{equation*} \notag $$
По теореме Гильберта о базисе существует конечный набор многочленов
$$ \begin{equation*} f_1,\dots,f_m\in\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n] \end{equation*} \notag $$
такой, что $\ker\pi=\langle f_1,\dots,f_m\rangle$. Естественно, можно считать, что число $m$ выбрано минимальным в смысле выполнения формулы (4.4).

Число $n$, как число элементов базиса факторгруппы $H^+(G/P)/D(H^*(G/P))$, является инвариантом многообразия $G/P$. Кроме того, если заменить образующие $y_1,\dots,y_n$ на $y_1',\dots,y_n'$, то каждая образующая $y_i$ представляется в виде многочлена $g_i$ от $y_1',\dots,y_n'$. Тогда инвариантность $m$ вытекает из представления

$$ \begin{equation*} H^*(G/P)=\mathbb{Z}[y_1',\dots,y_n'] / \langle f_1',\dots,f_{m}'\rangle, \end{equation*} \notag $$
где многочлен $f_j'$ получается из $f_j$ подстановкой $g_i$ вместо $y_i$, $1\leqslant j\leqslant m$. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.8 выделяет два важных шага в решении проблемы Вейля:

Оба шага могут быть сделаны при помощи пакета Характеристики (см., например, [32; § 4.4]). На этом основан пакет Chow-ring в среде Mathematica [29], [32], функции которого описаны ниже.

Алгоритм III: Кольцо Чжоу.

Вход: матрица Картана $C=(a_{i,j})_{n\times n}$ группы $G$ и подмножество $K\subset\{1,\dots,n\}$, задающее параболическую подгруппу $P$.

Результат: представление (4.4) кольца когомологий $H^*(G/P)$.

Пример 4.9. Если $G$ – простая группа Ли ранга $n$ и $K=\{1,\dots,n\}$, то параболическая подгруппа $P_{K}$ есть максимальный тор $T$ в $G$, а многообразие флагов $G/T$ называется многообразием полных флагов группы $G$. В качестве приложения пакета Кольцо Чжоу были получены представления колец когомологий $H^*(G/T)$ исключительных групп Ли минимальными наборами образующих и соотношений в классах Шуберта (см., например, [31]). Ниже мы приводим результаты для $G=F_4,E_6,E_7$:

(i) $H^*(F_4/T)=\mathbb{Z}[\omega_1,\dots,\omega_4,y_3,y_4] / \langle\rho_2,\rho_4,r_3,r_6,r_8,r_{12}\rangle$, где

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \rho_2 & =c_2-4\omega_1^2,\\ \rho_4 & =3y_4+2\omega_1y_3-c_4,\\ r_3 & =2y_3-\omega_1^3,\\ r_6 & =y_3^2+2c_6-3\omega_1^2y_4,\\ r_8 & =3y_4^2-\omega_1^2c_6,\\ r_{12} & =y_4^3-c_6^2; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

(ii) $H^*(E_6/T)=\mathbb{Z}[\omega_1,\dots,\omega_6,y_3,y_4] / \langle\rho_2,\rho_3,\rho_4,\rho_5,r_6,r_8,r_9,r_{12}\rangle$, где

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \rho_2 & =4\omega_2^2-c_2,\\ \rho_3 & =2y_3+2\omega_2^3-c_3,\\ \rho_4 & =3y_4+\omega_2^4-c_4,\\ \rho_5 & =2\omega_2^2y_3-\omega_2c_4+c_5,\\ r_6 & =y_3^2-\omega_2c_5+2c_6,\\ r_8 &=3y_4^2-2c_5y_3-\omega_2^2c_6+\omega_2^3c_5,\\ r_9 & =2y_3c_6-\omega_2^3c_6,\\ r_{12} & =y_4^3-c_6^2; \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

(iii) $H^*(E_7/T)=\mathbb{Z}[\omega_1,\dots,\omega_7,y_3,y_4,y_5,y_9]/\langle \rho_i,r_j\rangle$, где

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \rho_2 & =4\omega_2^2-c_2,\\ \rho_3 & =2y_3+2\omega_2^3-c_3,\\ \rho_4 & =3y_4+\omega_2^4-c_4,\\ \rho_5 & =2y_5-2\omega_2^2y_3+\omega_2c_4-c_5,\\ r_6 & =y_3^2-\omega_2c_5+2c_6,\\ r_8 & =3y_4^2+2y_3y_5-2y_3c_5+2\omega_2c_7-\omega_2^2c_6+\omega_2^3c_5,\\ r_9 & =2y_9+2y_4y_5-2y_3c_6-\omega_2^2c_7+\omega_2^3c_6,\\ r_{10} & =y_5^2-2y_3c_7+\omega_2^3c_7,\\ r_{12} & =y_4^3-4y_5c_7-c_6^2-2y_3y_9-2y_3y_4y_5 +2\omega_2y_5c_6+3\omega_2y_4c_7+c_5c_7,\\ r_{14} & =c_7^2-2y_5y_9+2y_3y_4c_7-\omega_2^3y_4c_7,\\ r_{18} & =y_9^2+2y_5c_6c_7-y_4c_7^2-2y_4y_5y_9+2y_3y_5^3-5\omega_2y_5^2c_7. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Здесь множество $\{\omega_i, 1\leqslant i\leqslant \operatorname{rank} G\}$ является базисом Шуберта для $H^2(G/T)$, а также множеством фундаментальных доминантных весов соответствующей группы $G$ (см., например, [22; лемма 2.4]); $c_{r}$ – некоторые многочлены от $\omega_1,\dots,\omega_n$, определённые в [32; (5.17)], геометрический смысл которых будет описан в примере 4.11, а $y_i$ – классы Шуберта $s_I$ для $G/T$ из следующей таблицы, где простые корни занумерованы по Бурбаки [9]:

$y_i$$y_3$$y_4$$y_5$$y_9$
$F_4/T$$s_{\{3,2,1\}}$$s_{\{4,3,2,1\}}$
$E_6/T$$s_{\{5,4,2\}}$$s_{\{6,5,4,2\}}$
$E_7/T$$s_{\{5,4,2\}}$$s_{\{6,5,4,2\}}$$s_{\{7,6,5,4,2\}}$$s_{\{1,5,4,3,7,6,5,4,2\}}$

Другие примеры вычислений с многообразиями частичных флагов $G/P$ на основе пакета Кольцо Чжоу можно найти в [29; теоремы 1–7].

4.5. Многочлены Шуберта

В классической перечислительной геометрии класс Чженя $c_i$ грассманиана $G_{n,k}$ возникает как двойственный по Пуанкаре к многообразию $k$-мерных плоскостей, пересекающих фиксированную $(n-k-i)$-мерную плоскость в $n$-мерном пространстве $\mathbb{C}^n$. Этот класс также известен как $i$-й специальный класс Шуберта грассманиана $G_{n,k}$. Идея многочленов Шуберта восходит к знаменитой формуле Джамбелли [40] (1903 г.), выражающей произвольный класс Шуберта $s_w$ грассманиана $G_{n,k}$ как некоторый определитель (т. е. многочлен) от специальных классов.

В более общей ситуации, пусть $G/P$ – многообразие флагов, для которого имеется решение проблемы Вейля в виде (4.4). Тогда каждый класс Шуберта $s_w$ может быть представлен в виде многочлена от образующих ${y_1,\dots,y_n}$. По аналогии с формулой Джамбелли, мы будем называть образующие $y_1,\dots,y_n$ специальными классами Шуберта многообразия $G/P$ и зададимся вопросом о выражении произвольного класса Шуберта $s_w$ для $G/P$ как многочлена $\mathcal{G}_w$ степени $\deg\mathcal{G}_w=2l(w)$ от специальных классов. В частности, рассмотрим представление Бореля кольца когомологий многообразия полных флагов $U(n)/T$ (см. [6]):

$$ \begin{equation*} H^*(U(n)/T) =\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]/\langle e_1,\dots,e_n\rangle, \end{equation*} \notag $$
где $e_1,\dots,e_n$ – элементарные симметрические многочлены от $x_1,\dots,x_n$. Ласку и Шютценберже [50] предложили решать эту задачу по следующей схеме: Строго говоря, образующие Бореля $x_1,\dots,x_{n-1}$ – это простые корни группы $\operatorname{\operatorname{SU}}(n)$, а не фундаментальные доминантные веса (т. е. специальные классы Шуберта группы $U(n)/T$). Однако это не является существенным недостатком, поскольку линейное преобразование между этими двумя наборами образующих кольца $H^*(U(n)/T)$ задаётся матрицей Картана группы $U(n)$ (см. [22; лемма 2.3]). С помощью обобщения конструкции Ласку–Шютценберже многочлены Шуберта многообразий полных флагов $G/T$ были определены Билли и Хайманом [5] для $G=\operatorname{Spin}(n)$, $\operatorname{Sp}(n)$ и независимо Фоминым и Кирилловым [36] для $G=\operatorname{Spin}(2n+1)$. Кроме того, еще в 1974 г. кольцо $H^*(G/T)$ для $G=\operatorname{Spin}(n)$ было описано Марлином [54] в контексте исчисления Шуберта.

Традиционный подход к многочленам Шуберта опирается на следующие вводные данные (см., например, [5]):

В то же время использование пакета Характеристики даёт альтернативный линейный алгоритм, позволяющий вычислить многочлены Шуберта, не прибегая к многочлену Шуберта старшей степени $\mathcal{G}_0$ и сложным операторам $\mathcal{D}_w$.

Алгоритм IV: Многочлены Шуберта.

Вход: множество $\{y_1,\dots,y_n\}$ специальных классов Шуберта для $G/P$ и целое число $m>0$.

Результат: многочлены Шуберта $\mathcal{G}_w$ для $w\in W^{m}(H;G)$.

Опишем алгоритм IV более подробно. Пусть $\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]^{(m)}$ – группа многочленов степени $m$ от специальных классов Шуберта $y_1,\dots,y_n$. Рассмотрим отображение

$$ \begin{equation*} \pi_{m}\colon \mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]^{(m)}\to H^{2m}(G/P), \end{equation*} \notag $$
индуцированное включением $y_1,\dots,y_n\in H^*(G/T)$. Пусть
$$ \begin{equation*} B(m):=\{y^{\alpha_1},\dots,y^{\alpha_{b(m)}}\} \end{equation*} \notag $$
– мономиальный базис группы $\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]^{(m)}$ и рассмотрим базис Шуберта $\{s_{m,1},\dots,s_{m,\beta(m)}\}$ группы $H^{2m}(G/P)$ (см. (4.1)). Так как каждый класс $y^{\alpha}\in B(m)$ выражается в виде монома от специальных классов Шуберта, с помощью алгоритма II его можно представить в виде линейной комбинации базисных элементов $\{s_{m,1},\dots,s_{m,\beta(m)}\}$. В результате получаем матрицу $M(\pi_m)$ размера $b(m)\times \beta(m)$ и линейную систему
$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} y^{\alpha_1} \\ \vdots \\ y^{\alpha_{{b(m)}}} \end{pmatrix} =M(\pi_m) \begin{pmatrix} s_{{m,1}} \\ \vdots \\ s_{{m,\beta (m)}} \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag $$
Более того, отображение $\pi_m$ сюръективно, и, следовательно, некоторый $(\beta(m)\times\beta(m))$-минор матрицы $M(\pi_m)$ равен $\pm 1$. Отсюда, применяя стандартную процедуру целочисленной диагонализации матрицы $M(\pi_m)$ по строкам и столбцам [57; с. 162–164], получаем две обратимые матрицы $P=P_{{b(m)\times b(m)}}$ и $Q=Q_{{\beta (m)\times \beta (m)}}$, удовлетворяющие соотношению
$$ \begin{equation} PM(\pi_m)Q= \begin{pmatrix} I_{{\beta (m)}} \\ C \end{pmatrix}_{{b(m)\times \beta (m)}}, \end{equation} \tag{4.5} $$
где $I_{\beta(m)}$ – единичная матрица ранга $\beta(m)$. Итак, алгоритм IV может быть реализован с помощью следующей процедуры.

Шаг 1. Вычисление матрицы $M(\pi_m)$ при помощи пакета Характеристики.

Шаг 2. Диагонализация матрицы $M(\pi_m)$ и получение матриц $P$ и $Q$ в (4.5).

Шаг 3. Применение формулы

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} \mathcal{G}_{m,1} \\ \vdots \\ \mathcal{G}_{m,\beta(m)} \end{pmatrix} :=Q\cdot[P] \begin{pmatrix} y^{\alpha_1} \\ \vdots \\ y^{\alpha_{b(m)}} \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag $$
где $[P]$ есть матрица размера $\beta(m)\times \beta(m)$, образованная первыми $\beta(m)$ строками матрицы $P$.

Ясно, что имеет место следующая теорема.

Теорема 4.10. Многочлен $\mathcal{G}_{m,k}(y_1,\dots,y_n)$ является многочленом Шуберта для класса Шуберта $s_{m,k}$, $1\leqslant k\leqslant \beta(m)$.

Пример 4.11. Алгоритм IV применим в ситуации, когда для многообразий флагов $G/P$ неизвестны многочлены Шуберта старшей степени.

Для исключительных групп Ли $G=E_n$ с $n=6,7,8$ параболическая подгруппа $P_{\{2\}}$ имеет каноническое $n$-мерное комплексное представление и задаёт каноническое комплексное $n$-мерное расслоение $\xi_n$ на многообразии флагов $E_n/P_{\{2\}}$ (см. [1]). Согласно результатам Бореля и Хирцебруха [8; § 10] классы Чженя $c_i(\xi_n)$ могут быть выражены в виде (довольно сложных) многочленов от положительных корней группы $E_n$. В то же время в терминах специальных классов Шуберта многообразия $E_n/P_{\{2\}}$, указанных в таблице

$y_i$$E_n/P_{\{2\}},\text{ }n=6,7,8$
$y_1$$s_{\{2\}}\text{, }n=6,7,8$
$y_3$$s_{\{5,4,2\}}\text{, }n=6,7,8$
$y_4$$s_{\{6,5,4,2\}}\text{, }n=6,7,8$
$y_5$$s_{\{{7,6,5,4,2}\}}\text{, }n=7,8$
$y_6$$s_{\{1,3,6,5,4,2\}}\text{, }n=6,7,8$
$y_7$$s_{\{1,3,7,6,5,4,2\}}$, $n=7,8$
$y_{8}$$s_{\{1,3,8,7,6,5,4,2\}}$, $n=8$

алгоритм IV даёт простые выражения классов Чженя $c_i(\xi_n)$ в виде многочленов от $y_i$, указанные в табл. 5. Кроме того, для многообразия флагов $E_6/P_{\{2\}}$ многочлены Шуберта степени $m=8,9$ приведены в табл. 6.

Таблица 5.

$E_6/P_{\{2\}}$$E_7/P_{\{2\}}$$E_{8}/P_{\{2\}}$
$c_1$$3y_1$$3y_1$$3y_1$
$c_2$$4y_1^2$$4y_1^2$$4y_1^2$
$c_3$$2y_3+2y_1^3$$2y_3+2y_1^3$$2y_3+2y_1^3$
$c_4$$3y_4+y_1^4$$3y_4+y_1^4$$3y_4+y_1^4$
$c_5$$3y_1y_4-2y_1^2y_3+y_1^5$$ 2y_5+3y_1y_4-2y_1^2y_3+y_1^5$$2y_5+3y_1y_4 -2y_1^2y_3+y_1^5$
$c_6$$y_6$$y_6+2y_1y_5$$5y_6+2y_3^2+6y_1 y_5-6y_1^2y_4 +4y_1^3y_3-2y_1^6$
$c_7$$0$$y_7$$y_7+4y_1y_6+2y_1y_3^2 +4y_1^2y_5-6y_1^3y_4+4y_1^4y_3-2y_1^7$
$c_{8}$$0$$0$$y_{8}$

Таблица 6.

$s_{8,1}=y_4^2-2y_4y_3y_1+y_4y_1^4$$s_{9,1}=-y_6y_3+2y_4^2y_1-2y_4y_3y_1^2+y_4y_1^5$
$s_{8,2}=$ $y_4^2$$s_{9,2}=y_6y_3-y_4^2y_1$
$s_{8,3}=2y_4^2-3y_4y_3y_1-y_4y_1^4+3y_3^2y_1^2-y_3y_1^5$$s_{9,3}=y_6y_3-y_4^2y_1+2y_4y_3y_1^2-y_4y_1^5$
$s_{8,4}=2y_4^2-5y_4y_3y_1+5y_3^2y_1^2-2y_3y_1^5$$s_{9,4}=-y_6y_3-y_4y_1^5+y_3^3$
$s_{8,5}=-5y_4^2+8y_4y_3y_1-y_4y_1^4-5y_3^2y_1^2+2y_3y_1^5$$s_{9,5}=-y_6y_3-3y_4^2y_1+3y_4y_3y_1^2-y_4y_1^5$

Замечание 4.12. Многочлены Шуберта могут предположительно быть использованы для вычисления характеристик. Однако в нашем подходе характеристики Шуберта – это промежуточный шаг при вычислении многочленов Шуберта (см., например, алгоритм IV).

В настоящее время теория многочленов Шуберта является мощным инструментом для изучения комбинаторных свойств коэффициентов Литтлвуда–Ричардсона [16], [11], [12] и играет важную роль в геометрической теории множеств вырождения отображений между векторными расслоениями [39], [66]. Многочлены Шуберта также активно изучаются в квантовых когомологиях [35] и в $K$-теории многообразий флагов. За последними достижениями в этой области современного исчисления Шуберта мы отсылаем читателя к статьям Кириллова–Нарусе [46] и Смирнова–Тутубалиной [64].

4.6. Приложения к топологии однородных пространств

Для компактной группы Ли $G$ с замкнутой подгруппой $H$ факторпространство $G/H$ называется однородным пространством группы $G$. В отличие от многообразий флагов когомологии однородного пространства могут быть нетривиальны в нечётных размерностях и содержать элементы кручения.

Классическая проблема топологии состоит в том, чтобы описать кольцо когомологий группы Ли $G$ или однородного пространства $G/H$ с помощью минимальной системы явных образующих и соотношений. Традиционные подходы А. Картана, А. Бореля, П. Баума и Х. Тоды используют различные техники спектральных последовательностей [3], [6], [44], [67], [71]. Эти вычисления наталкиваются на одни и те же трудности в случае группы Ли $G$, целочисленные когомологии которой содержат элементы кручения, в частности, когда $G$ – одна из исключительных групп Ли.

Исчисление Шуберта позволяет по-новому взглянуть на теорию когомологий однородных пространств. Например, использование формул (i)–(iii) из примера 4.9 для вычисления второго члена спектральной последовательности Серра расслоения $G\to G/T$,

$$ \begin{equation*} E_2^{**}(G)=H^*(G/T)\otimes H^*(T), \end{equation*} \notag $$
позволяет описать целочисленные когомологии $H^*(G)$, а также структуру алгебры Хопфа в когомологиях $H^*(G;\mathbb{Z}_{p})$ по модулю $p$ на основе вычисления классов Шуберта многообразия флагов $G/T$ (см. [27], [30]). Другие примеры применения исчисления Шуберта для вычислений с однородными пространствами см. в [29; § 5].

5. Заключительные замечания

Геометры многие годы стремились к тому, чтобы среди изучаемых геометрических категорий (таких как алгебраические многообразия, клеточные комплексы, векторные расслоения или классы кобордизмов гладких многообразий) найти вычислимые конструкции. Появление исчисления Шуберта, т. е. зарождение теории пересечений, отвечало этому запросу. Сегодня исчисление Шуберта глубоко проникло во многие области математики, включая теорию характеристических классов [55], теорию струн [45] и алгебраическую комбинаторику [37], и оказало огромное влияние на их развитие. Всё это убедительно подтвердило широчайший кругозор и силу предвидения Гильберта и в то же время обозначило необходимость исследовать эффективные правила выполнения вычислений.

Следуя этому плану, в настоящей статье мы вспомнили более ранние работы по исчислению Шуберта, представили решение проблемы характеристик и проиллюстрировали переход от матриц Картана групп Ли к теории пересечений многообразий флагов, в которой характеристики играют центральную роль. За исторической значимостью и строгим обоснованием исчислительных примеров Шуберта, упомянутых в разделе 3, мы отсылаем к обзорным статьям Клеймана [47], [49] или к соответствующим разделам книг Фултона [38] и Айзенбада–Харриса [34] по теории пересечений. Другие компьютерные пакеты, используемые для определённых вычислений в кольцах пересечений многообразий флагов, рассмотрены, например, в работах Николенко–Семёнова [56] (пакет ChowMaple06), Грейсона и др. [41], [42] (пакет Schubert2 в среде Macaulay2) и Деккера и др. [17] (библиотека Schubert в среде Singular).

Авторы благодарны рецензентам за советы по улучшению предыдущей версии этой статьи.

Список литературы
1. М. Ф. Атья, Ф. Хирцебрух, “Векторные расслоения и однородные пространства”, Математика, 6:2 (1962), 3–39  mathnet; пер. с англ.: M. Atiyah, F. Hirzebruch, “Vector bundles and homogeneous spaces”, Differential geometry, Proc. Sympos. Pure Math., III, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1961, 7–38  crossref  mathscinet  zmath
2. H. F. Baker, Principles of geometry, v. 6, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1933, ix+308 pp.  mathscinet  zmath
3. P. F. Baum, “On the cohomology of homogeneous spaces”, Topology, 7 (1968), 15–38  crossref  mathscinet  zmath
4. И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, “Клетки Шуберта и когомологии пространств $G/P$”, УМН, 28:3(171) (1973), 3–26  mathnet  mathscinet  zmath; англ. пер.: I. N. Bernstein, I. M. Gel'fand, S. I. Gel'fand, “Schubert cells and cohomology of the spaces $G/P$”, Russian Math. Surveys, 28:3 (1973), 1–26  crossref  adsnasa
5. S. Billey, M. Haiman, “Schubert polynomials for the classical groups”, J. Amer. Math. Soc., 8:2 (1995), 443–482  crossref  mathscinet  zmath
6. A. Borel, “Sur la cohomologie des espaces fibrés principaux et des espaces homogènes de groupes de Lie compacts”, Ann. of Math. (2), 57 (1953), 115–207  crossref  mathscinet  zmath
7. A. Borel, “Kählerian coset spaces of semisimple Lie groups”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40:12 (1954), 1147–1151  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
8. A. Borel, F. Hirzebruch, “Characteristic classes and homogeneous spaces. I”, Amer. J. Math., 80:2 (1958), 458–538  crossref  mathscinet  zmath
9. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.  mathscinet; гл. 4–6, 1972, 334 с.  mathscinet  zmath; гл. 7, 8, 1978, 342 с.  mathscinet; пер. с фр.: N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Groupes et algèbres de Lie, Fasc. XXVI. Ch. 1, Actualités Sci. Indust., 1285, Hermann, Paris, 1960, 144 pp.  mathscinet  zmath; Fasc. XXXVII. Ch. 2, 3, 1349, 1972, 320 pp.  mathscinet  zmath; Fasc. XXXIV. Ch. 4–6, 1337, 1968, 288 pp.  mathscinet  zmath; Fasc. XXXVIII. Ch. 7, 8, 1364, 1975, 271 pp.  mathscinet  zmath
10. C. B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1968, xv+717 pp.  mathscinet  zmath
11. A. S. Buch, “Mutations of puzzles and equivariant cohomology of two-step flag varieties”, Ann. of Math. (2), 182:1 (2015), 173–220  crossref  mathscinet  zmath
12. A. S. Buch, A. Kresch, K. Purbhoo, H. Tamvakis, “The puzzle conjecture for the cohomology of two-step flag manifolds”, J. Algebraic Combin., 44:4 (2016), 973–1007  crossref  mathscinet  zmath
13. M. Chasles, “Construction des coniques qui satisfont à cinq conditions”, C. R. Acad. Sci. Paris, 58 (1864), 297–308
14. C. Chevalley, “Sur les décompositions cellulaires des espaces $G/B$”, Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math, 56, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 1–23  mathscinet  zmath
15. J. L. Coolidge, A history of geometrical methods, Oxford Univ. Press, New York, 1940, xviii+451 pp.  mathscinet  zmath
16. I. Coskun, “A Littlewood–Richardson rule for two-step flag varieties”, Invent. Math., 176:2 (2009), 325–395  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
17. W. Decker, G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schönemann, SINGULAR – A computer algebra system for polynomial computations https://www.singular.uni-kl.de/
18. Y. Dold-Samplonius, “Interview with Bartel Leendert van der Waerden”, Notices Amer. Math. Soc., 44:3 (1997), 313–320  mathscinet  zmath
19. Haibao Duan, “The degree of a Schubert variety”, Adv. Math., 180:1 (2003), 112–133  crossref  mathscinet  zmath
20. Haibao Duan, “Multiplicative rule of Schubert classes”, Invent. Math., 159:2 (2005), 407–436  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
21. Haibao Duan, “Multiplicative rule in the Grothendieck cohomology of a flag variety”, J. Reine Angew. Math., 2006:600 (2006), 157–176  crossref  mathscinet  zmath
22. Haibao Duan, “On the Borel transgression in the fibration $G\to G/T$”, Homology Homotopy Appl., 20:1 (2018), 79–86  crossref  mathscinet  zmath
23. Haibao Duan, Banghe Li, Topology of blow-ups and enumerative geometry, 2016 (v1 – 2009), 30 pp., arXiv: 0906.4152
24. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, Appendix to “The Chow rings of generalized Grassmannians”, 2007 (v1 – 2005), 27 pp., arXiv: math.AG/0510085
25. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “Algorithm for multiplying Schubert classes”, Internat. J. Algebra Comput., 16:6 (2006), 1197–1210  crossref  mathscinet  zmath; (2005 (v1 – 2003)), 21 pp., arXiv: math/0309158
26. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “A unified formula for Steenrod operations in flag manifolds”, Compos. Math., 143:1 (2007), 257–270  crossref  mathscinet  zmath
27. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, Schubert calculus and cohomology of Lie groups. Part I. $1$-connected Lie groups, 2015 (v1 – 2007), 32 pp., arXiv: 0711.2541
28. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “Erratum: Multiplicative rule of Schubert classes”, Invent. Math., 177:3 (2009), 683–684  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa
29. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “The Chow rings of generalized Grassmannians”, Found. Math. Comput., 10:3 (2010), 245–274  crossref  mathscinet  zmath
30. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “Schubert calculus and the Hopf algebra structures of exceptional Lie groups”, Forum Math., 26:1 (2014), 113–139  crossref  mathscinet  zmath
31. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “Schubert presentation of the cohomology ring of flag manifolds $G/T$”, LMS J. Comput. Math., 18:1 (2015), 489–506  crossref  mathscinet  zmath
32. Haibao Duan, Xuezhi Zhao, “On Schubert's problem of characteristics”, Schubert calculus and its applications in combinatorics and representation theory, Springer Proc. Math. Stat., 332, Springer, Singapore, 2020, 43–71  crossref  mathscinet  zmath
33. C. Ehresmann, “Sur la topologie de certains espaces homogènes”, Ann. of Math. (2), 35:2 (1934), 396–443  crossref  mathscinet  zmath
34. D. Eisenbud, J. Harris, 3264 and all that. A second course in algebraic geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2016, xiv+616 pp.  crossref  mathscinet  zmath
35. S. Fomin, S. Gelfand, A. Postnikov, “Quantum Schubert polynomials”, J. Amer. Math. Soc., 10:3 (1997), 565–596  crossref  mathscinet  zmath
36. S. Fomin, A. N. Kirillov, “Combinatorial $B_n$-analogues of Schubert polynomials”, Trans. Amer. Math. Soc., 348:9 (1996), 3591–3620  crossref  mathscinet  zmath
37. W. Fulton, Young tableaux, With applications to representation theory and geometry, London Math. Soc. Stud. Texts, 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, x+260 pp.  crossref  mathscinet  zmath
38. W. Fulton, Intersection theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 2, 2nd ed., Springer, Berlin, 1998, xiv+470 pp.  crossref  mathscinet  zmath
39. W. Fulton, P. Pragacz, Schubert varieties and degeneracy loci, Lecture Notes in Math., 1689, Springer-Verlag, Berlin, 1998, xii+148 pp.  crossref  mathscinet  zmath
40. G. Z. Giambelli, “Risoluzione del probema degli spazi secanti”, Mem. Accad. Sci. Torino (2), 52 (1903), 171–211  zmath
41. D. R. Grayson, A. Seceleanu, M. E. Stillman, Computations in intersection rings of flag bundles, 2022 (v1 – 2012), 37 pp., arXiv: 1205.4190
42. D. Grayson, A. Stillman, Macaulay2: a software system for research in algebraic geometry http://math.uiuc.edu/Macaulay2
43. D. Hilbert, “Mathematical problems”, Bull. Amer. Math. Soc., 8:10 (1902), 437–479  crossref  mathscinet  zmath
44. D. Husemoller, J. C. Moore, J. Stasheff, “Differential homological algebra and homogeneous spaces”, J. Pure Appl. Algebra, 5:2 (1974), 113–185  crossref  mathscinet  zmath
45. S. Katz, Enumerative geometry and string theory, Stud. Math. Libr., 32, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, xiv+206 pp.  crossref  mathscinet  zmath
46. A. N. Kirillov, H. Naruse, “Construction of double Grothendieck polynomials of classical types using IdCoxeter algebras”, Tokyo J. Math., 39:3 (2017), 695–728  crossref  mathscinet  zmath
47. S. L. Kleiman, “Problem 15: rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus”, Mathematical developments arising from Hilbert problems (Northern Illinois Univ., De Kalb, IL, 1974), Proc. Sympos. Pure Math., 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1976, 445–482  crossref  mathscinet  zmath
48. S. L. Kleiman, “Book review: W. Fulton ‘Intersection theory’ // W. Fulton ‘Introduction to intersection theory in algebraic geometry’”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 12:1 (1985), 137–143  crossref  mathscinet
49. S. L. Kleiman, “Intersection theory and enumerative geometry: a decade in review”, With the collaboration of A. Thorup, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985, Part 2 (Brunswick, ME, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., 46, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 321–370  crossref  mathscinet  zmath
50. L. Lascoux, M. P. Schützenberger, “Polynômes de Schubert”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 294:13 (1982), 447–450  mathscinet  zmath
51. S. Lefschetz, “Intersections and transformations of complexes and manifolds”, Trans. Amer. Math. Soc., 28:1 (1926), 1–49  crossref  mathscinet  zmath
52. D. E. Littlewood, A. R. Richardson, “Group characters and algebra”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 233 (1934), 99–141  crossref  zmath  adsnasa
53. Ю. И. Манин, “К пятнадцатой проблеме Гильберта”, Проблемы Гильберта, Наука, М., 1969, 175–181  mathscinet
54. R. Marlin, “Anneaux de Chow des groupes algébriques $\operatorname{SU}(n)$, $\operatorname{Sp}(n)$, $\operatorname{SO}(n)$, $\operatorname{Spin}(n)$, $\mathrm G_{2}$, $\mathrm F_{4}$; torsion”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A, 279 (1974), 119–122  mathscinet  zmath
55. Дж. Милнор, Дж. Сташеф, Характеристические классы, Мир, М., 1979, 371 с.  mathscinet  zmath; пер. с англ.: J. W. Milnor, J. D. Stasheff, Characteristic classes, Ann. of Math. Stud., 76, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ; Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1974, vii+331 с.  crossref  mathscinet  zmath
56. S. I. Nikolenko, N. S. Semenov, Chow ring structure made simple, 2006, 17 pp., arXiv: math.AG/0606335
57. J. Scherk, Algebra. A computational introduction, Stud. Adv. Math., Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2000, x+319 pp.  mathscinet  zmath
58. H. Schubert, “Zur Theorie der Charakteristiken”, J. Reine Angew. Math., 1870:71 (1870), 366–386  crossref  mathscinet  zmath
59. H. Schubert, “Anzahl-Bestimmungen für lineare Räume. Beliebiger Dimension”, Acta Math., 8 (1886), 97–118  crossref  mathscinet  zmath
60. H. Schubert, “Lösung des Characteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension”, Mitt. Math. Ges. Hamburg, 1 (1886), 134–155  zmath
61. H. Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, Reprint of the 1879 original, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1979, 349 pp.  mathscinet  zmath
62. F. Severi, “Sul principio della conservazione del numero”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 33 (1912), 313–327  crossref  zmath
63. F. Severi, “Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche”, Atti Ist. Veneto Sci. Lett. Art., 75 (1916), 1121–1162  zmath
64. E. Smirnov, A. Tutubalina, Pipe dreams for Schubert polynomials of the classical groups, 2020, 36 pp., arXiv: 2009.14120
65. F. Sottile, Schubert calculus, Springer Encyclopedia of Mathematics, 2012 http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Schubert_calculus& oldid=23715
66. H. Tamvakis, “Giambelli and degeneracy locus formulas for classical $G/P$ spaces”, Mosc. Math. J., 16:1 (2016), 125–177  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
67. H. Toda, “On the cohomology ring of some homogeneous spaces”, J. Math. Kyoto Univ., 15 (1975), 185–199  crossref  mathscinet  zmath
68. B. L. van der Waerden, “Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie”, Math. Ann., 102:1 (1930), 337–362  crossref  mathscinet  zmath
69. B. L. van der Waerden, “The foundation of algebraic geometry from Severi to André Weil”, Arch. History Exact Sci., 7:3 (1971), 171–180  crossref  mathscinet  zmath
70. A. Weil, Foundations of algebraic geometry, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., XXIV, Rev. ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1962, xx+363 pp.  mathscinet  zmath
71. J. Wolf, “The cohomology of homogeneous spaces”, Amer. J. Math., 99:2 (1977), 312–340  crossref  mathscinet  zmath
Образец цитирования: Х. Дуан, С. Чжао, “Исчисление Шуберта и теория пересечений многообразий флагов”, УМН, 77:4(466) (2022), 173–196; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 729–751
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DuaZha22}
\by Х.~Дуан, С.~Чжао
\paper Исчисление Шуберта и~теория~пересечений многообразий флагов
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 4(466)
\pages 173--196
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10059}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10059}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461386}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1520.14105}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..729D}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 4
\pages 729--751
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10059e}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992300700003}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85137767781}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm10059
  • https://doi.org/10.4213/rm10059
  • https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i4/p173
    • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:462
    PDF русской версии:77
    PDF английской версии:120
    HTML русской версии:219
    HTML английской версии:154
    Список литературы:80
    Первая страница:20
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024