| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе С. Д. Глызинa, А. Ю. Колесов a Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10058 
Реферативные базы данных:
    ВведениеИстория развития гиперболической теории и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Что же касается бесконечномерных гиперболических динамических систем, то их изучение предпринималось неоднократно в целом ряде работ (см., например, [13]–[17]). К упомянутым работам примыкает и настоящая статья, являющаяся продолжением серии публикаций [18]–[22] и посвященная основам гиперболической теории на бесконечномерном торе. Мотивировкой для создания такой теории служит возможность последующего ее применения к динамическим системам с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается бесконечномерного тора, то он представляет собой наиболее естественный модельный пример бесконечномерного многообразия. Статья состоит из трех разделов. В первом из них даются определения абстрактной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ и бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Показывается, в частности, что данный тор представляет собой аналитическое банахово многообразие, являющееся замкнутым и некомпактным. Помимо этого, вводятся такие базовые понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм, а также описывается рассматриваемый в дальнейшем специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Доказывается теорема о структуре входящих в данный класс отображений. Во втором разделе излагается критерий гиперболичности для класса диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В первую очередь формулируется определение понятия гиперболичности и устанавливается ряд вспомогательных утверждений о гиперболических диффеоморфизмах (отделенность от нуля угла между устойчивым и неустойчивым подпространствами, равномерная ограниченность соответствующих проекторов и т. д.). Затем описывается сам критерий гиперболичности и с его помощью доказывается результат о $C^1$-грубости свойства гиперболичности для диффеоморфизмов класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Разбирается также некоторый нетривиальный пример гиперболического диффеоморфизма из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Третий раздел, являющийся в техническом плане наиболее громоздким, содержит доказательства двух базовых результатов гиперболической теории: теоремы Адамара–Перрона о существовании устойчивых и неустойчивых локальных многообразий и теоремы о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений. Как оказывается, оба эти результата справедливы для любого гиперболического диффеоморфизма из введенного нами класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. 1. Основные конструкции1.1. Определение бесконечномерного тораПоскольку мы излагаем элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}$, то сначала, следуя работам [18]–[22], дадим определение самого тора $\mathbb{T}^{\infty}$. С этой целью зафиксируем некоторое бесконечномерное вещественное банахово пространство $E$ с нормой $\|\,\cdot\,\|$ и в первую очередь сформулируем определение бесконечномерной целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Определение 1.1. Бесконечномерной целочисленной решеткой (или просто целочисленной решеткой) назовем непустое подмножество $\mathbb{Z}^{\infty}\subset E$, удовлетворяющее следующим аксиомам. 1) Имеет место свойство линейности: для любых $l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$, $k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ справедливо включение $k_1l_1+k_2l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}$. 2) Выполняется условие дискретности
$$
\begin{equation}
\mu_0\overset{\rm def}{=}\inf_{l_1, l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\ l_1\ne l_2} \|l_1-l_2\|>0.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
3) Замыкание линейной оболочки векторов из $\mathbb{Z}^{\infty}$ совпадает с исходным пространством $E$ (это условие естественно назвать максимальностью). При построении конкретных примеров целочисленных решеток оказывается полезным понятие ядра. А именно, ядром $\Omega$ решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ будем называть непустое подмножество из $\mathbb{Z}^{\infty}$ такое, что любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ представляет собой конечную линейную комбинацию элементов из $\Omega$ с целочисленными коэффициентами. Ясно, что всегда имеется так называемое максимальное ядро $\Omega=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, ядро $\Omega$ назовем минимальным, если оно состоит из линейно независимых векторов. Характерная особенность минимального ядра $\Omega$ заключается в том, что для любого подмножества $\Omega_0\subset\Omega$, также являющегося ядром, выполняется равенство $\Omega_0=\Omega$. В общем случае вопрос о существовании минимального ядра остается открытым, однако в некоторых конкретных ситуациях его можно выписать явно. Примером целочисленной решетки в пространстве $\ell_{p}$, $p\geqslant 1$, состоящем из векторов
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)},\dots, \varphi_{(k)},\dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\overset{\rm def}{=} \biggl(\,\sum_{k=1}^{\infty}|\varphi_{(k)}|^{p}\biggr)^{1/p}<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является множество
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}=\bigl\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)},l_{(2)},\dots, l_{(k)},\dots) \in\ell_{p}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\ k\geqslant 1\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
В силу сходимости ряда $\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1}|l_{(k)}|^p$ (см. (1.2)) любой вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ имеет лишь конечное число ненулевых координат. Что же касается ядра $\Omega$, то в данном случае в качестве такового можно взять множество $\{e_k, k\in\mathbb{N}\}$ (через $e_k$ обозначен вектор, у которого $k$-я компонента равна единице, а все остальные нулевые). Заметим, далее, что поскольку эти векторы линейно независимы, то указанное ядро минимально. В случае пространства $\ell_{\infty}$, элементами которого являются векторы
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)},\dots, \varphi_{(k)},\dots),\qquad \varphi_{(k)}\in \mathbb{R},\quad k\geqslant 1, \\ \|\varphi\|\overset{\rm def}{=} \sup_{k\geqslant 1}|\varphi_{(k)}|<\infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
аналогичная (1.3) целочисленная решетка имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{l=\operatorname{colon}(l_{(1)},l_{(2)},\dots, l_{(k)},\dots)\in \ell_{\infty}\colon l_{(k)}\in\mathbb{Z},\ k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Ядром же здесь будет множество $\Omega=\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ так называемых бинарных векторов $l\in\ell_{\infty}$, у которых координаты $l_{(k)}$, $k\geqslant 1$, независимо друг от друга принимают значения $0$ или $1$. Действительно, возьмем произвольный вектор $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и заметим, что поскольку последовательность $l_{(k)}$ из (1.5) ограничена, то найдется такой конечный набор попарно различных целых чисел $m_1,m_2,\dots,m_s$, что
$$
\begin{equation*}
l_{(k)}\in\{m_1,m_2,\dots,m_s\}\quad \forall\,k\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
А это значит, что справедливо равенство $l=m_1e_{m_1}+m_2e_{m_2}+\cdots+m_se_{m_s}$, где бинарные векторы $e_{m_j}$, $1\leqslant j\leqslant s$, определяются по правилу
$$
\begin{equation*}
e_{m_j}=\operatorname{colon}(e_{m_j}^1,e_{m_j}^2,\dots, e_{m_j}^k,\dots),\qquad e_{m_j}^k=\begin{cases} 0&\text{при}\ l_{(k)}\ne m_j, \\ 1&\text{при}\ l_{(k)}=m_j. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим еще, что множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})$ заведомо не является минимальным ядром, так как ядром оказывается, например, и множество $\operatorname{Bin}(\ell_{\infty})\setminus\{l_0\}$, где $l_0=\operatorname{colon}(1,1,\dots,1,\dots)$. Вопрос же о существовании минимального ядра здесь, как и в общем случае, открыт. Аналог целочисленной решетки (1.5) можно определить и в лебеговом пространстве $L_{\infty}(0,1)$, состоящем из классов измеримых функций $x(t)$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|x\|= \operatorname*{ess\,sup} _{0\leqslant t\leqslant 1}|x(t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
А именно, здесь целочисленной решеткой является множество вида
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{x(t)\in L_{\infty}(0,1)\colon x(t)\in \mathbb{Z} \text{ при почти всех } t\in [0,1]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Еще один естественный пример целочисленной решетки строится по следующему правилу. Пусть $E$ – бесконечномерное вещественное гильбертово пространство, а $\{e_{\alpha}\in E\colon \alpha\in\Sigma\}$ – некоторая его полная ортонормированная система (индексное множество $\Sigma$ заведомо состоит из бесконечного числа элементов). Тогда, как нетрудно проверить, эта система служит минимальным ядром соответствующей целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$. Элементами данной решетки являются всевозможные конечные линейные комбинации векторов $e_{\alpha}$ с целочисленными коэффициентами. Перейдем теперь к определению тора $\mathbb{T}^{\infty}$. В связи с этим всюду ниже считаем, что в пространстве $E$ фиксирована некоторая целочисленная решетка $\mathbb{Z}^{\infty}$. Тогда с ее помощью на $E$ вводится отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что два вектора $x, y\in E$ эквивалентны, если существует такой элемент $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что $x-y=2\pi l$. Определение 1.2. Бесконечномерным тором $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем множество всех классов эквивалентности, порожденных описанным выше отношением. Иными словами, справедливы равенства $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}=\operatorname{pr}(E)$, где отображение $\operatorname{pr}\colon E\to\mathbb{T}^{\infty}$ – так называемая естественная проекция. Эта проекция действует по правилу где $\varphi$ – произвольный элемент из $E$, а $\{\varphi\}$ – класс эквивалентности из $\mathbb{T}^{\infty}$, содержащий $\varphi$. Впрочем, для краткости в дальнейшем одной и той же буквой $\varphi$ будем обозначать как вектор из $E$, так и соответствующий ему класс $\{\varphi\}\in\mathbb{T}^{\infty}$ (из контекста всегда будет ясно, о каком именно объекте идет речь).Метрику на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}\qquad \rho(\varphi_1,\varphi_2)= \inf_{l\in\mathbb{Z}^{\infty}}\|\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)- \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi l\|,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где, напомним, $\|\,\cdot\,\|$ – норма в $E$, а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1),\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)\in E$ – произвольные прообразы точек $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$. Так как упомянутые прообразы определяются с точностью до аддитивных добавок вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то метрика (1.7) не зависит от их конкретного выбора. Отметим также, что в силу свойства дискретности (1.1) и формулы (1.7) отображение (1.6) является локальной изометрией, т. е.
$$
\begin{equation}
\rho(\operatorname{pr}(\varphi_1),\operatorname{pr}(\varphi_2))= \|\varphi_1-\varphi_2\|\qquad \forall\,\varphi_1,\varphi_2\in E\colon\ \|\varphi_1-\varphi_2\|\leqslant\varepsilon_0,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $\varepsilon_0=\operatorname{const}\in(0,\pi\mu_0)$. Поэтому метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$ оказывается полным. В последующем нам понадобится понятие фундаментального множества тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Таковым будем называть множество $\mathscr{U}\subset E$, для которого $\operatorname{pr}(\mathscr{U})=\mathbb{T}^{\infty}$ и отображение $\operatorname{pr}\colon\mathscr{U}\to\mathbb{T}^{\infty}$ взаимно однозначно. Подчеркнем, что существование данного множества гарантирует аксиома выбора, примененная к семейству непустых попарно непересекающихся множеств $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ (под $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ здесь понимается полный прообраз элемента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$). В случае (1.2), (1.3) фундаментальной является область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)}, \dots,\varphi_{(k)},\dots)\in\ell_{p}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\ k\geqslant 1\},
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
а в случае (1.4), (1.5) – область
$$
\begin{equation}
\mathscr{U}=\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_{(1)},\varphi_{(2)}, \dots,\varphi_{(k)},\dots)\in\ell_{\infty}\colon -\pi\leqslant\varphi_{(k)}<\pi,\ k\geqslant 1\}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Нетрудно увидеть, что множество (1.10) ограничено, а множество (1.9) этим свойством не обладает. Необходимо отметить, что, как правило, под понятием “бесконечномерный тор” подразумевается прямое произведение счетного числа окружностей с тихоновской топологией (см., например, [16], [23]–[25]). В этом случае после введения соответствующей метрики $\mathbb{T}^{\infty}$ становится компактным метрическим пространством. Но этот вариант нас не устраивает по той причине, что такой тор не является многообразием. А поскольку гиперболическая теория, как правило, строится на гладких многообразиях, то определение бесконечномерного тора нуждается в доработке. В нашем случае тор $\mathbb{T}^{\infty}$ обладает требуемыми свойствами. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$ представляет собой аналитическое банахово многообразие. Это многообразие всегда замкнуто и некомпактно. В случае же существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ оно является ограниченным (т. е. ограничено соответствующее метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$). Доказательство. Для задания на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ дифференцируемой структуры зафиксируем некоторое его фундаментальное множество $\mathscr{U}$ и для каждого $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$ обозначим через $u_0\in \mathscr{U}$ соответствующий прообраз $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$ (который, напомним, определяется однозначно). Далее, введем в рассмотрение отображение
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_0}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi),\qquad \varphi\in O(\varphi_0,r_0)\overset{\rm def}{=} \{\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\colon \rho(\varphi_0,\ \varphi)<r_0\},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi)$, $\operatorname{pr}^{-1}_{u_0}(\varphi_0)=u_0$, – непрерывная ветвь соответствующего многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, $r_0=\operatorname{const}\in (0,\varepsilon_0/6)$, а $\varepsilon_0$ – постоянная из (1.8). Подчеркнем, что в силу выбора $r_0$ и свойства локальной изометрии (1.8) гомеоморфизм (1.11) корректно определен и переводит шар $O(\varphi_0,r_0)\subset \mathbb{T}^{\infty}$ на аналогичный шар $O(u_0,r_0)=\{u\in E\colon \|u-u_0\|<r_0\}$ из пространства $E$. Локальные гомеоморфизмы (1.11) позволяют естественным образом ввести на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ атлас
$$
\begin{equation}
\{(O(\varphi_0,r_0),h_{\varphi_0}),\ \varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Покажем теперь, что любые две локальные карты из атласа (1.12) аналитически согласованы. Действительно, если для некоторых $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеем
$$
\begin{equation}
O(\varphi_1, r_0)\cap O(\varphi_2,r_0)\ne\varnothing,
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
то для соответствующих гомеоморфизмов $h_{\varphi_j}(\varphi)=\operatorname{pr}^{-1}_{u_j}(\varphi)$, где $u_j=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_j)$, $u_j\in\mathscr{U}$, $j=1,2$, справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in O(\varphi_2,r_0)\quad h_{\varphi_2}(\varphi)=h_{\varphi_1}(\varphi)+2\pi l_0,\quad l_0=\operatorname{const}\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Связано это с тем, что в силу малости $r_0$ отображение $h_{\varphi_1}(\varphi)$ доопределяется по непрерывности на шар $O(\varphi_1,3r_0)\supset O(\varphi_1,r_0)\cup O(\varphi_2,r_0)$. А поскольку $h_{\varphi_j}(\varphi)$, $j=1,2$, – различные непрерывные ветви одного и того же отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, то в силу дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ они отличаются друг от друга на аддитивную постоянную добавку $2\pi l_0$, $l_0\in \mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, рассмотрим соответствующее случаю (1.13) отображение перехода
$$
\begin{equation}
h_{\varphi_2}\circ h^{-1}_{\varphi_1}\colon h_{\varphi_1}(O(\varphi_1,r_0) \cap O(\varphi_2,r_0))\to h_{\varphi_2}(O(\varphi_1,r_0)\cap O(\varphi_2,r_0))
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
и заметим, что
$$
\begin{equation}
\forall\,u\in h_{\varphi_1}(O(\varphi_1,r_0)\cap O(\varphi_2,r_0))\quad h^{-1}_{\varphi_1}(u)=\operatorname{pr}(u).
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Объединяя затем соотношения (1.14), (1.16), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
h_{\varphi_2}(h^{-1}_{\varphi_1}(u))=h_{\varphi_2}(\operatorname{pr}(u))= h_{\varphi_1}(\operatorname{pr}(u))+2\pi l_0=u+2\pi l_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, отображение (1.15) записывается в виде $u\mapsto u+2\pi l_0$, а значит, является аналитическим по локальной переменной $u$. Итак, мы установили, что тор $\mathbb{T}^{\infty}$ действительно представляет собой аналитическое банахово многообразие. Далее, факт замкнутости этого многообразия (т. е. отсутствие у него края) вытекает из гомеоморфности любого шара $O(\varphi_0,r_0)\subset\mathbb{T}^{\infty}$ некоторому шару $O(u_0,r_0)\subset E$. Отсюда же и из очевидной некомпактности шаров пространства $E$ следует свойство некомпактности многообразия $\mathbb{T}^{\infty}$. И наконец, в случае существования у тора $\mathbb{T}^{\infty}$ ограниченного фундаментального множества $\mathscr{U}$ ограниченным будет и метрическое пространство $(\mathbb{T}^{\infty},\rho)$. Этот факт вытекает непосредственно из формулы (1.7), в которой прообразы $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$, $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)$ мы всегда можем выбрать принадлежащими ограниченному множеству $\mathscr{U}$. Теорема 1.1 доказана. Заканчивая обсуждение бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$, добавим, что наличие на нем дифференцируемой структуры (1.12) позволяет естественным образом перенести на данное многообразие такие понятия, как касательное пространство, дифференциал, диффеоморфизм и т. д. Например, касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в любой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ определяется следующим образом. Рассмотрим всевозможные непрерывные кривые $\varkappa(t)\in\mathbb{T}^{\infty}$, $t\in (-a,a)$, $a>0$, такие, что $\varkappa(0)=\varphi$. Будем считать, что для некоторой локальной карты $(O(\varphi_0,r_0),h_{\varphi_0})\colon \varphi\in O(\varphi_0,r_0)$ (а значит, для любой такой карты) функция $h_{\varphi_0}(\varkappa(t))$ дифференцируема в точке $t=0$. Далее, две кривые $\varkappa_1(t)$ и $\varkappa_2(t)$ с перечисленными свойствами назовем эквивалентными, если
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_1(t))\bigg|_{t=0}= \frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa_2(t))\bigg|_{t=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Что же касается пространства $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$, то оно есть совокупность получившихся классов эквивалентности $\{\varkappa\}$ (см. [4; § П 3]). Характерная особенность нашего случая заключается в том, что между классами $\{\varkappa\}$ и векторами пространства $E$ существует естественный изоморфизм $\Gamma_{\varphi}\colon T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}\to E$, осуществляющийся по правилам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma_{\varphi}\colon \{\varkappa\}&\mapsto e_{\{\varkappa\}} \overset{\rm def}{=}\frac{d}{dt}h_{\varphi_0}(\varkappa(t))\big|_{t=0}, \\ \Gamma^{-1}_{\varphi}\colon e\in E&\mapsto \{\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти правила корректны в том смысле, что вектор $e_{\{\varkappa\}}\in E$ не зависит ни от выбора конкретной кривой $\varkappa(t)$ из соответствующего класса $\{\varkappa\}$ (в силу эквивалентности указанных кривых), ни от локального гомеоморфизма $h_{\varphi_0}$ (так как переход от одного из них к другому осуществляется по формуле (1.14)). Тем самым каждый класс $\{\varkappa\}\in T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ отождествляется со своим каноническим представителем $\varkappa(t)=\operatorname{pr}[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)+t e]$, $e\in E$, а значит, с вектором $e$. Итак, допуская некоторую вольность речи, можно утверждать, что касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}$ тора $\mathbb{T}^{\infty}$ в каждой точке $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадает с $E$. А поскольку в пространстве $E$ задана норма $\|\,\cdot\,\|$, то $\mathbb{T}^{\infty}$ является одновременно и финслеровым многообразием (см. [4; § П 4]) с финслеровой метрикой (1.7). Напомним, что, в отличие от риманова многообразия, в случае финслерова многообразия $M$ при всех $x\in M$ в касательном пространстве $T_xM$ задано не скалярное произведение, а норма и эта норма в определенном смысле непрерывно зависит от точки $x$. 1.2. Описание класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$Сформулируем сначала ряд вспомогательных определений. Начнем с так называемых локальных поднятий, которые могут быть введены для любого непрерывного отображения $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. Фиксируем произвольно точку $\varphi_0\in\mathbb{ T}^{\infty}$, положим затем $\varphi_1=G(\varphi_0)$ и рассмотрим произвольные прообразы $v_0=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)$, $v_1=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)$ этих точек. Под локальным поднятием отображения $G$ будем понимать отображение вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)= \operatorname{pr}^{-1}_{v_1}[G(\operatorname{pr}(v))],\qquad \overline{G}_{v_0}(v_0)=v_1.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
Здесь, как и в (1.11), через $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi)$ обозначена непрерывная ветвь многозначного отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, выделяющаяся равенством $\operatorname{pr}^{-1}_{v_1}(\varphi_1)=v_1$ и определенная на шаре $O(\varphi_1, r_0)\subset\mathbb{ T}^{\infty}$ (постоянная $r_0>0$ та же самая, что и в (1.11)). Что же касается переменной $v$ из (1.17), то она пробегает шар где $\delta_0\in(0,r_0)$ удовлетворяет требованию
$$
\begin{equation}
\rho(G(\operatorname{pr}(v)),\varphi_1)<r_0\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности отображения $G(\operatorname{pr}(v))$ и равенства $G(\operatorname{pr}(v_0))=\varphi_1$ такая постоянная $\delta_0$ заведомо найдется. Далее, непрерывно дифференцируемым назовем непрерывное отображение $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, у которого каждое локальное поднятие (1.17) дифференцируемо по Фреше и соответствующая производная Фреше $D(\overline{G}_{v_0}(v))$ непрерывно зависит от $v\in O(v_0,\delta_0)$ в равномерной операторной топологии (т. е. по норме банахова пространства $L(E;E)$ линейных ограниченных операторов). В случае непрерывно дифференцируемого отображения $G$ наличие локальных представлений (1.17) позволяет ввести для него понятие дифференциала $DG(\varphi)$, $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. По определению таковым является линейный ограниченный оператор из $E$ в $E$, задаваемый равенством
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}=D(\overline{G}_{v_0}(v))\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Следует отметить, что формула (1.19) корректна в том смысле, что, выбирая различные локальные представления, мы не можем получить для одной и той же точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ различные значения $DG(\varphi)$. Действительно, поскольку любые две непрерывные ветви отображения $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$ на пересечении своих областей определения (точнее говоря, на любой связной компоненте этого пересечения) отличаются на постоянную аддитивную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то же самое верно и для любых двух локальных поднятий $\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)$, $\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v)$. Поэтому на их общей области определения автоматически имеем $D(\overline{G}_{\widetilde{v}_0}(v)) =D(\overline{G}_{\widetilde{\widetilde{v}}_0}(v))$. Предположим теперь, что отображение $G$ является гомеоморфизмом тора $\mathbb{T}^{\infty}$ и непрерывно дифференцируемы как $G$, так и $G^{-1}$. Такого рода отображения будем называть диффеоморфизмами (также будем говорить, что $G$ обладает свойством диффеоморфности). Выписывая для $G^{-1}$ формулы, аналогичные (1.17), (1.19), нетрудно показать, что при любом $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ оператор $DG(\varphi)$ обратим и
$$
\begin{equation}
D(G^{-1}(\varphi))=[DG(\theta)]^{-1}\big|_{\theta=G^{-1}(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Перечисленные вспомогательные понятия позволяют ввести в рассмотрение интересующий нас класс $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 1.3. Класс $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ состоит из произвольных диффеоморфизмов $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$, удовлетворяющих условиям ограниченности и равномерной непрерывности: Напомним, что под индуцированной нормой произвольного линейного оператора $A\colon E\to E$ понимается величина $\|A\|_{E\to E}=\sup_{x\in E, \|x\|=1}\|Ax\|$ (если она конечна). Подобного рода нормы встречаются и в дальнейшем. А именно, ниже через $\|\,\cdot\,\|_{V_1\to V_2}$, где $V_j$, $j=1,2$, – замкнутые подпространства из $E$, будем обозначать соответствующие индуцированные операторные нормы, считая нормы в $V_j$, $j=1,2$, заимствованными из $E$ (если не оговорено противное) или заданными каким-либо специальным образом. Интересно отметить, что в силу равенства (1.20) диффеоморфизмы $G$ и $G^{-1}$ принадлежат классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ или нет одновременно, т. е. наблюдается определенная симметрия. В дальнейшем, однако, нам потребуется более детальная информация о структуре входящих в множество $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ отображений. Для получения соответствующего результата введем в рассмотрение некоторые дополнительные объекты. Через $L(\mathbb{Z}^{\infty})$ обозначим класс линейных ограниченных операторов $\Lambda$ из $E$ в $E$ таких, что любой оператор $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$ является обратимым и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, через $B^1_{\rm per}(E)$ будем обозначать совокупность вектор-функций $g(\varphi)\in E$, $\varphi\in E$, со следующими свойствами. Предполагаем, что, во-первых, все функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\rm per}(E)$ и их производные Фреше $g'(\varphi)$ непрерывны по $\varphi\in E$; во-вторых, выполняются требования $2\pi$-периодичности, ограниченности и равномерной непрерывности:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(\varphi+2\pi l)\equiv g(\varphi)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\ \sup_{\substack{\varphi_1,\varphi_2\in E: \\ \|\varphi_1-\varphi_2\|<\varepsilon}} \|g'(\varphi_1)-g'(\varphi_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Любой паре $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E)$ поставим в соответствие два отображения $\overline{G}\colon E\to E$ и $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$ по правилам
$$
\begin{equation}
\overline{G}\colon\varphi \mapsto \overline{G}(\varphi) \overset{\rm def}{=}\Lambda\varphi+g(\varphi),
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
$$
\begin{equation}
G\colon\varphi \mapsto \overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) = \Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) .
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
Здесь элемент $\overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) $ из $\mathbb{T}^{\infty}$ задается формулой
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\quad \overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) =\Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) = \operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi))],
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
в которой $\operatorname{pr}$ – проекция (1.6), а $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$ – произвольный прообраз точки $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Поскольку разность любых двух таких прообразов есть величина вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}=\mathbb{Z}^{\infty}$, а функция $g(\varphi)$ периодична с периодом $2\pi$ (см. (1.22)), то формула (1.25) не зависит от конкретного выбора $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$. В дальнейшем $\overline{G}$ будем называть глобальным поднятием отображения $G$, а само $G$ – спуском отображения $\overline{G}$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. В силу соотношений (1.19), (1.23)–(1.25) оба эти отображения непрерывно дифференцируемы, а их дифференциалы связаны равенствами
$$
\begin{equation}
DG(\operatorname{pr}(\varphi))=D\overline{G}(\varphi)= \Lambda+g'(\varphi)\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Справедливо следующее утверждение о структуре диффеоморфизмов из интересующего нас класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Теорема 1.2. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ допускает представление (1.24), (1.25) при некоторых $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E)$, а отвечающее ему глобальное поднятие (1.23) является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и обладает свойством Доказательство. Обоснование первого из утверждений теоремы проводится по следующей схеме. Сначала мы установим, что любое локальное поднятие (1.17) диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ может быть продолжено до глобального поднятия $\overline{G}(v)$, определенного на всем пространстве $E$. После этого убедимся в том, что, во-первых, $\overline{G}(v)$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$ и допускает представление вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}(v)=\Lambda v+g(v),\qquad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\quad g\in B^1_{\rm per}(E);
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
во-вторых, для операторов $\Lambda$, $g$ из (1.28) справедлива оценка (1.27). Зафиксируем произвольно $v_0\in E$ и рассмотрим соответствующее локальное поднятие (1.17), определенное на шаре $O(v_0,\delta_0)$. Покажем сначала, что при условиях (1.21) радиус $\delta_0>0$ этого шара может быть выбран не зависящим от $v_0$. Действительно, для любого $v\in O(v_0,\delta_0)$ в силу (1.19), (1.21) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho(G(\operatorname{pr}(v)),\varphi_1)&\leqslant \|\overline{G}_{v_0}(v)-v_1\|=\|\overline{G}_{v_0}(v)- \overline{G}_{v_0}(v_0)\| \\ &\leqslant\sup_{v\in O(v_0,\delta_0)}\|D(\overline{G}_{v_0}(v))\|_{E\to E} \cdot\|v-v_0\|\leqslant N\delta_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
А отсюда, в свою очередь, заключаем, что условие (1.18) для отыскания $\delta_0$ заведомо выполняется при
$$
\begin{equation}
\delta_0=\operatorname{const}\in \biggl(0,\min\biggl(r_0,\frac{r_0}{N}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{1.30}
$$
Принимая во внимание данный способ выбора $\delta_0$, зафиксируем произвольно вектор $\overline{v}_0\in O(v_0,\delta_0)$, положим $\overline{v}_1=\overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$ и рассмотрим аналогичные (1.17) вектор-функции
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)=\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1} [G(\operatorname{pr}(v))],\qquad v\in O(\overline{v}_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.31}
$$
Здесь $\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}^{-1}_{\overline{v}_1}(\overline{\varphi}_1)=\overline{v}_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{\varphi}_1=G(\operatorname{pr}(\overline{v}_0)) \in\mathbb{T}^{\infty}$. Как уже отмечалось выше, два различных локальных поднятия на пересечении областей определения отличаются друг от друга на постоянную добавку вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. В нашем же случае имеем $\overline{G}_{\overline{v}_0}(\overline{v}_0)=\overline{v}_1= \overline{G}_{v_0}(\overline{v}_0)$, а значит,
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)=\overline{G}_{v_0}(v)\quad \forall\,v\in O(v_0,\delta_0)\cap O(\overline{v}_0,\delta_0).
\end{equation}
\tag{1.32}
$$
Таким образом, мы можем доопределить отображение (1.17) на множестве
$$
\begin{equation}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0,\delta_0)}O(\overline{v}_0,\delta_0)= O(v_0,2\delta_0)
\end{equation}
\tag{1.33}
$$
по формуле
$$
\begin{equation}
\overline{G}_{v_0}(v)=\{\overline{G}_{\overline{v}_0}(v)\text{ при } v\in O(\overline{v}_0,\delta_0)\}.
\end{equation}
\tag{1.34}
$$
Добавим еще, что в силу (1.32) это определение заведомо корректно. На следующем шаге рассмотрим отображения (1.31) уже при $\overline{v}_0\in O(v_0,2\delta_0)$ и доопределим исходное отображение (1.17) на аналогичном (1.33) множестве
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\overline{v}_0\in O(v_0,2\delta_0)}O(\overline{v}_0,\delta_0)= O(v_0,3\delta_0)
\end{equation*}
\notag
$$
по правилу (1.34). Ясно, что в силу универсальности $\delta_0$ (см. (1.30)) этот процесс продолжается до бесконечности и приводит в итоге к глобальному поднятию $\overline{G}(v)$, $v\in E$. Как и каждое локальное поднятие, вектор-функция $\overline{G}(v)$ непрерывно дифференцируема по Фреше, причем в силу (1.19) имеем аналогичное (1.26) равенство
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(v)=DG(\varphi)\big|_{\varphi=\operatorname{pr}(v)}\quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{1.35}
$$
А отсюда и из (1.21) получаем свойства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{G}(v))^{-1}\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\, \sup_{\substack{v_1,v_2\in E: \\ \|v_1-v_2\|<\varepsilon}} \|D\overline{G}(v_1)-D\overline{G}(v_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.36}
$$
Что же касается диффеоморфизма $G$, то из локальных представлений вида (1.17) для него вытекает глобальное представление
$$
\begin{equation}
G(\varphi)= \operatorname{pr}[\overline{G}(v)]\big|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.37}
$$
Из формулы (1.37) с необходимостью имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}(v+2\pi l)]= \operatorname{pr}[\overline{G}(v)]\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, найдется такое $\overline{l}\in\mathbb{Z}^{\infty}$, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(v+2\pi l)=\overline{G}(v)+2\pi\overline{l}.
\end{equation*}
\notag
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности $\overline{G}(v)$ и свойства дискретности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элемент $\overline{l}$ не зависит от $v\in E$. Тем самым на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$ корректно определен оператор
$$
\begin{equation}
\Lambda l\overset{\rm def}{=}\frac{1}{2\pi}\,(\overline{G}(v+2\pi l)- \overline{G}(v))\in\mathbb{Z}^{\infty}\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.38}
$$
Остановимся на некоторых свойствах оператора (1.38). Из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Lambda(l_1+l_2)&=\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}(v+2\pi (l_1+l_2))- \overline{G}(v)\bigr) \\ &=\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}((v+2\pi l_2)+2\pi l_1)- \overline{G}(v+2\pi l_2)\bigr)+ \frac{1}{2\pi}(\overline{G}(v+2\pi l_2)-\overline{G}(v)) \\ &=\Lambda l_1+\Lambda l_2 \quad \forall\,l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty}, \\ \Lambda(-l)&=\frac{1}{2\pi}\,(\overline{G}(v-2\pi l)-\overline{G}(v)) \\ &=-\frac{1}{2\pi}\bigl(\overline{G}((v-2\pi l)+2\pi l)- \overline{G}(v-2\pi l)\bigr)=-\Lambda l\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает, что
$$
\begin{equation}
\Lambda(k_1l_1+k_2l_2)=k_1\Lambda l_1+k_2\Lambda l_2\quad \forall\,l_1,l_2\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,k_1,k_2\in\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{1.39}
$$
Кроме того, в силу (1.36) имеем
$$
\begin{equation}
\|\Lambda l\|\leqslant N\|l\|\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},
\end{equation}
\tag{1.40}
$$
где $N$ – постоянная (1.29). Установленные свойства (1.39), (1.40) позволяют продолжить оператор (1.38) с решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ на все пространство $E$ с сохранением свойств линейности и ограниченности. А именно, сначала для любой конечной линейной комбинации
$$
\begin{equation}
v=\alpha_1 l_1+\alpha_2 l_2+\cdots+\alpha_k l_k,\qquad l_j\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \alpha_j\in\mathbb{R},\quad j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{1.41}
$$
положим
$$
\begin{equation}
\Lambda v\overset{\rm def}{=}\sum_{j=1}^k\alpha_j\Lambda l_j.
\end{equation}
\tag{1.42}
$$
Убедимся, далее, в том, что в случае (1.41), (1.42) сохраняется оценка вида (1.40), т. е. Предположим сначала, что все коэффициенты в (1.41) рациональны. Без ограничения общности можно считать, что $\alpha_j=m_j/m$, $m_j\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{N}$. Тогда из (1.40), (1.42) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\|\Lambda\biggl(\,\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}\,l_j\biggr)\biggr\|&= \frac{1}{m}\biggl\|\Lambda\biggl(\,\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr)\biggr\| \nonumber \\ &\leqslant\frac{N}{m}\biggl\|\,\sum_{j=1}^km_jl_j\biggr\|=N \biggl\|\,\sum_{j=1}^k\frac{m_j}{m}\,l_j\biggr\|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.44}
$$
Далее, зафиксируем произвольно элемент (1.41) и выберем такие последовательности рациональных чисел $\alpha_j^{(n)}$, $j=1,\dots,k$, что $\alpha_j^{(n)}\to\alpha_j$ при $n\to+\infty$. В этом случае в силу (1.42), (1.44) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl\|\,\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)}\Lambda l_j\biggr\|\leqslant N\biggl\|\,\sum_{j=1}^k\alpha_j^{(n)}l_j\biggr\|.
\end{equation}
\tag{1.45}
$$
Переходя затем в (1.45) к пределу при $n\to+\infty$, получаем требуемую оценку (1.43). Остается добавить, что в силу плотности в $E$ линейных комбинаций вида (1.41) (см. свойство максимальности целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$) оператор $\Lambda$ однозначно продолжается на все пространство $E$ с сохранением неравенства (1.43). Итак, нами построен линейный ограниченный оператор $\Lambda\colon E\to E$, обладающий свойством $\Lambda\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Кроме того, в силу равенства (1.38) вектор-функция $g(v)=\overline{G}(v)-\Lambda v$ оказывается $2\pi$-периодической по $v$, непрерывно дифференцируемой по Фреше и такой, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|g'(v)\|_{E\to E}\leqslant \sup_{v\in E}\|D\overline{G}(v)\|_{E\to E}+ \|\Lambda\|_{E\to E}=N+\|\Lambda\|_{E\to E}\leqslant 2N, \\ \|g'(v_1)-g'(v_2)\|_{E\to E}=\|D\overline{G}(v_1)- D\overline{G}(v_2)\|_{E\to E}\to 0\quad\text{при } \|v_1-v_2\|\to 0, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N$ – постоянная (1.29). Следовательно, справедливо нужное включение $g(v)\in B^1_{\rm per}(E)$. Выполняется также и требуемое в теореме 1.2 свойство ограниченности (1.27) (оно вытекает из формулы (1.35) и второго неравенства из (1.36)). Таким образом, для завершения доказательства первого утверждения теоремы осталось убедиться в обратимости оператора $\Lambda$, показать справедливость включения $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$ и установить факт диффеоморфности отображения $\overline{G}(v)$. Отметим, что все приведенные выше рассуждения остаются в силе и для обратного отображения $G^{-1}$, поскольку оно также принадлежит классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. В частности, на шаре $O(v_1,\delta_0)\subset E$ корректно определено соответствующее ему локальное поднятие
$$
\begin{equation}
\overline{H}_{v_1}(v)= \operatorname{pr}^{-1}_{v_0}[G^{-1}(\operatorname{pr}(v))],\qquad \overline{H}_{v_1}(v_1)=v_0.
\end{equation}
\tag{1.46}
$$
Здесь векторы $v_0$, $v_1$ те же самые, что и в (1.17), а $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi)$ – непрерывная ветвь $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)$, для которой $\operatorname{pr}^{-1}_{v_0}(\varphi_0)=v_0$. Что же касается постоянной $\delta_0$, то ее можно выбрать универсальным образом из условия (1.30), где теперь вместо (1.29) мы имеем
$$
\begin{equation*}
N=\sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}} \|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, осуществляя продолжение локального поднятия (1.46) на все пространство $E$ по описанному выше правилу, получаем непрерывно дифференцируемую по Фреше вектор-функцию $\overline{H}(v)$, обладающую аналогичными (1.36) свойствами ограниченности и равномерной непрерывности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{v\in E}\|D\overline{H}(v)\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|(DG(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}<\infty, \\ \sup_{v\in E}\|(D\overline{H}(v))^{-1}\|_{E\to E}= \sup_{\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}}\|DG(\varphi)\|_{E\to E}<\infty, \\ \lim_{\varepsilon\to 0}\,\sup_{\substack{ v_1,v_2\in E: \\ \|v_1-v_2\|<\varepsilon}}\|D\overline{H}(v_1)- D\overline{H}(v_2)\|_{E\to E}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.47}
$$
Кроме того, по построению имеет место аналогичное (1.37) представление
$$
\begin{equation}
G^{-1}(\varphi)= \operatorname{pr}[\overline{H}(v)]\big|_{v=\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)} \quad \forall\,\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.48}
$$
Последующие рассуждения повторяют изложенный выше фрагмент доказательства, связанный с оператором (1.38). А именно, опираясь на свойства (1.47) и формулу (1.48), убеждаемся в том, что где $h(v)\in B^1_{\rm per}(E)$, а линейный ограниченный оператор $C\colon E\to E$ таков, что $C\mathbb{Z}^{\infty}\subset\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, из представлений (1.37), (1.48) и очевидных соотношений $G(G^{-1}(\varphi))=\varphi$, $G^{-1}(G(\varphi))=\varphi$ для соответствующих поднятий $\overline{G}(v)$, $\overline{H}(v)$ получаем равенства
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v+2\pi l_1,\quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v+2\pi l_2\quad \forall\,v\in E.
\end{equation}
\tag{1.50}
$$
Добавим еще, что в силу непрерывности функций $\overline{G}(\overline{H}(v))-v$, $\overline{H}(\overline{G}(v))-v$ и дискретности решетки $\mathbb{Z}^{\infty}$ элементы $l_1,l_2\in \mathbb{Z}^{\infty}$ из (1.50) не зависят от выбора $v\in E$. Более того, покажем, что на самом деле $l_1=l_2=0$. Действительно, обратимся сначала к первому равенству из (1.50) и подставим в него $v=v_1$. Тогда из очевидных свойств $\overline{H}(v_1)=v_0$, $\overline{G}(v_0)=v_1$ имеем $\overline{G}(\overline{H}(v_1))=v_1$ и, следовательно, $l_1=0$. Аналогичным образом, полагая $v=v_0$ во втором равенстве из (1.50), приходим к выводу, что $l_2=0$. Итак, мы убедились в справедливости формул
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{H}(v))=v,\quad \overline{H}(\overline{G}(v))=v\quad \forall\,v\in E,
\end{equation}
\tag{1.51}
$$
из которых, кстати, следует, что отображение $\overline{G}(v)$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Заменяя, далее, в (1.51) аргумент $v$ на $v+2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, и привлекая равенство (1.49) вместе с аналогичным представлением $\overline{G}(v)=\Lambda v+g(v)$, после несложных преобразований заключаем, что
$$
\begin{equation}
\Lambda Cl=l,\quad C\Lambda l=l\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{1.52}
$$
А поскольку, как было показано выше, любой линейный ограниченный оператор, заданный на решетке $\mathbb{Z}^{\infty}$, однозначно продолжается на $E$ (с сохранением свойств линейности и ограниченности), то из (1.52) автоматически имеем $\Lambda C=I$, $C\Lambda=I$, где, как обычно, $I$ – единичный оператор в пространстве $E$. Тем самым, интересующий нас оператор $\Lambda$ обратим и $\Lambda^{-1}\mathbb{Z}^{\infty}=C\mathbb{Z}^{\infty}\subset \mathbb{Z}^{\infty}$. Первая часть теоремы 1.2 доказана. Для доказательства содержащегося в теореме 1.2 обратного утверждения достаточно убедиться в том, что если при некоторых $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g\in B^1_{\rm per}(E)$ отображение $\overline{G}$ (см. (1.23)) является диффеоморфизмом, то таковым будет и его спуск $G$ на тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Итак, пусть $\overline{G}$ – диффеоморфизм. Тогда в силу равенств (1.26) и предполагаемой обратимости дифференциала $D\overline{G}(\varphi)$ отображение $G$ оказывается локальным диффеоморфизмом. Кроме того, из очевидных соотношений $\operatorname{pr}^{-1}(\mathbb{T}^{\infty})=E$, $\overline{G}(E)=E$, $\operatorname{pr}(E)=\mathbb{T}^{\infty}$ и формулы (1.37) заключаем, что $G(\mathbb{T}^{\infty})=\mathbb{T}^{\infty}$. Тем самым, для проверки факта диффеоморфности $G$ остается доказать инъективность этого отображения. В предположении противного существуют такие точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$, $\varphi_1\ne\varphi_2$, что $G(\varphi_1)=G(\varphi_2)$. Тогда из (1.37) имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))]= \operatorname{pr}[\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))]
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2))+2\pi l
\end{equation}
\tag{1.53}
$$
при некотором $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Далее, при анализе равенства (1.53) воспользуемся очевидным свойством
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda l+\overline{G}(\varphi)\quad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая данное обстоятельство и факт взаимной однозначности отображения $\overline{G}$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1))= \overline{G}(\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l),\qquad \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_1)= \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_2)+2\pi\Lambda^{-1}l.
\end{equation*}
\notag
$$
А так как, напомним, $\Lambda^{-1}l\in\mathbb{Z}^{\infty}$, то вопреки предполагаемому выше точки $\varphi_1,\varphi_2\in\mathbb{T}^{\infty}$ совпадают. Полученное противоречие доказывает требуемую инъективность $G$ и в силу сказанного выше завершает обоснование теоремы 1.2. 1.3. О некоторых достаточных условиях диффеоморфностиПри построении конкретных примеров диффеоморфизмов из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ возникает следующая проблема. Рассмотрим произвольное отображение $G$ из $\mathbb{T}^{\infty}$ в $\mathbb{T}^{\infty}$ вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto \Lambda\varphi+g(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,\qquad \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\quad g(\varphi)\in B^1_{\rm per}(E),
\end{equation}
\tag{1.54}
$$
предполагая, что линейный оператор $\Lambda+g'(\varphi)\colon E\to E$ при любом $\varphi\in E$ обратим. Вопрос заключается в том, как проверить, что данное отображение является диффеоморфизмом. Иными словами: можно ли получить какие-либо достаточные условия, гарантирующие справедливость свойства диффеоморфности? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении. Теорема 1.3. Предположим, что фигурирующая в формуле (1.54) вектор-функция $g(\varphi)$ обладает свойством ограниченности и вполне непрерывно в пространстве $E$ отображение Тогда оператор (1.54) – диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Доказательство. Как показано в процессе доказательства теоремы 1.2, если диффеоморфизмом из $E$ в $E$ является поднятие $\overline{G}$ (см. (1.23)) оператора $G$, то таковым оказывается и само отображение (1.54). Тем самым, в проверке нуждается факт диффеоморфности $\overline{G}$.
Покажем сначала сюръективность отображения $\overline{G}$. В связи с этим зафиксируем произвольно элемент $z\in E$ и рассмотрим уравнение $\overline{G}(\varphi)=z$ относительно $\varphi\in E$. Выполняя, далее, в нем замену $\varphi=\Lambda^{-1}z+h$, для нахождения $h\in E$ приходим к уравнению Опираясь на предполагаемое свойство ограниченности (1.55) и на факт полной непрерывности оператора (1.56), приходим к выводу, что по переменной $h$ правая часть уравнения (1.57) порождает в $E$ вполне непрерывный оператор, преобразующий в себя шар с центром в нуле и радиусом
$$
\begin{equation*}
r=\|\Lambda^{-1}\|_{E\to E}\cdot\sup_{\varphi\in E}\|g(\varphi)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в силу принципа Шаудера упомянутое уравнение допускает хотя бы одно решение $h\in E$, а значит, справедливо соотношение $\overline{G}(E)=E$. Добавим еще, что оператор $\overline{G}$ не только сюръективен, но и является локальным диффеоморфизмом (это вытекает из предполагаемой обратимости при всех $\varphi\in E$ дифференциала $D\overline{G}(\varphi)$). Согласно результатам С. Банаха и С. Мазура (см. [26], [27]) если в дополнение к указанным свойствам отображение $\overline{G}$ собственное (т. е. прообраз $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ любого компактного множества $Y$ компактен), то оно будет и глобальным диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Следовательно, в проверке нуждается факт компактности $\overline{G}^{\,-1}(Y)$ при любом компактном множестве $Y\subset E$. Фиксируем произвольно компакт $Y\subset E$ и бесконечную последовательность точек $x_n\in\overline{G}^{\,-1}(Y)$, $n\geqslant 1$. Без ограничения общности можно считать, что соответствующая последовательность $y_n=\Lambda x_n+g(x_n)\in Y$ сходится при $n\to +\infty$ к некоторому элементу $y_*\in Y$. Принимая во внимание этот факт, из соотношения и свойства (1.55) заключаем, что последовательность $x_n$ ограничена. А поскольку оператор (1.56) компактен, то из $g(x_n)$ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Не теряя общности, будем предполагать, что имеет место сходимость $g(x_n)\to z_*\in E$, $n\to+\infty$. Тогда, опираясь на формулу (1.58) и свойство непрерывности $g(\varphi)$, последовательно выводим:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, x_n\to x_*=\Lambda^{-1}y_*-\Lambda^{-1}z_*,\quad g(x_n)\to g(x_*)=z_*,\qquad n\to+\infty, \\ \Lambda x_*+g(x_*)=y_*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым установлено включение $x_*\in \overline{G}^{\,-1}(Y)$, доказывающее компактность множества $\overline{G}^{\,-1}(Y)$. Итак, мы показали, что отображение $\overline{G}$ является диффеоморфизмом из $E$ в $E$. Как уже было сказано выше, в этом случае исходный оператор (1.54) представляет собой диффеоморфизм тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Теорема 1.3 доказана. 2. Критерий гиперболичности2.1. Простейшие свойства гиперболических диффеоморфизмовПрежде всего, определим понятие гиперболичности применительно к любому диффеоморфизму $G\colon\mathbb{T}^{\infty}\to\mathbb{T}^{\infty}$. Для этого кроме дифференциала $DG(\varphi)$ нам потребуются линейные операторы $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задаваемые равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D(G^n(\varphi))&=DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2}) \circ\cdots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi))&=[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\cdots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение 2.1. Будем говорить, что диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$ гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{\infty}=E$ допускает представление в виде прямой суммы ненулевых замкнутых линейных подпространств $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$ и выполняются следующие требования: (a) для каждого $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\rm u}=E_{G(\varphi)}^{\rm u}$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\rm s}=E_{G(\varphi)}^{\rm s}$ (это свойство называется $DG$-инвариантностью); (b) существуют такие постоянные $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$, $c_1,c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(G^{-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \qquad \forall\,\varphi \in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi \in E_\varphi^{\rm u}, \quad \forall\,n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(G^n(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \qquad \forall\,\varphi \in \mathbb{T}^{\infty}, \quad \forall\,\xi \in E_\varphi^{\rm s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N};
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
(c) проекторы
$$
\begin{equation*}
P_{\varphi}\xi=\xi_1,\quad Q_{\varphi}\xi=\xi_2\quad \forall\,\xi=\xi_1+\xi_2\in E,\quad \xi_1\in E_\varphi^{\rm u},\quad \xi_2\in E_\varphi^{\rm s},
\end{equation*}
\notag
$$
связанные с разложением (2.2), равномерно непрерывны по $\varphi\in \mathbb{T}^{\infty}$ в равномерной операторной топологии, т. е. Сформулированное определение представляет собой естественное обобщение определения Д. В. Аносова (см. [3; § 1]) на бесконечномерный тор $\mathbb{T}^{\infty}$. Следует, впрочем, напомнить, что при замене тора $\mathbb{T}^{\infty}$ на конечномерный тор $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, равномерная непрерывность проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ автоматически вытекает из $DG$-инвариантности подпространств $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$ и условий (2.3), (2.4) (см., например, [3], [6]). В бесконечномерном же случае вопрос о справедливости данного факта остается открытым. В связи с этим указанную непрерывность, являющуюся одним из базовых свойств гиперболической структуры, в нашем определении 2.1 приходится постулировать. Всюду ниже рассматриваются только диффеоморфизмы $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Причины, по которым мы остановили свой выбор именно на классе $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, состоят в том, что для гиперболических диффеоморфизмов $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ сохраняются некоторые элементарные результаты из гиперболической теории: отделенность от нуля угла между подпространствами $E_\varphi^{\rm u}$, $E_\varphi^{\rm s}$, равномерная ограниченность проекторов $P_\varphi$, $Q_\varphi$ и т. д. В случае же отказа от требований (1.21) такого рода результаты установить не удается. Обсудим сначала вопрос об условиях гиперболичности простейших представителей класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, а именно линейных диффеоморфизмов
$$
\begin{equation}
\varphi\mapsto \Lambda\varphi \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$. Нетрудно увидеть, что эти условия формулируются в терминах спектра $\sigma(\Lambda)$ оператора $\Lambda$ и заключаются в следующем:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma(\Lambda)=\sigma_1\cup\sigma_2,\qquad \sigma_j\ne\varnothing,\quad j=1,2,\qquad \sigma_1\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon |\lambda|>1\}, \\ \sigma_2\subset\{\lambda\in\mathbb{C}\colon|\lambda|<1,\ \lambda\ne 0\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Действительно, из приведенных условий вытекает справедливость разложения где сумма прямая, а замкнутые линейные подпространства $E_1$, $E_2$ таковы, что $\Lambda E_j=E_j$, $j=1,2$, и спектры сужений $\Lambda_j=\Lambda\big|_{E_j}$, $j=1,2$, совпадают со спектральными множествами $\sigma_j$, $j=1,2$, из (2.6). Ясно также, что разложение (2.7) удовлетворяет всем требованиям из определения 2.1, а значит, отображение (2.5) при условиях (2.6) является гиперболическим. Такие отображения будем называть линейными гиперболическими автоморфизмами тора.Приступим теперь к описанию некоторых простейших свойств гиперболических диффеоморфизмов $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для этого нам потребуется определение гиперболичности для диффеоморфизма $\overline{G}$ (см. (1.23)), являющегося глобальным поднятием произвольного отображения $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Определение 2.2. Гиперболичность диффеоморфизма $\overline{G}$ означает выполнение следующих условий. 1) При каждом $\varphi\in E$ пространство $E$ допускает представление в виде прямой суммы
$$
\begin{equation}
E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}\oplus \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
ненулевых замкнутых линейных подпространств $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, которые удовлетворяют условиям инвариантности
$$
\begin{equation}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,s}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi)}^{\rm \,s}\quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где, напомним, $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$. 2) Существуют такие постоянные $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$, $c_1,c_2>0$, что
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,u}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Здесь операторы $D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))$, $D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))$ задаются аналогичными (2.1) равенствами, в которых дифференциал $DG(\varphi)$ заменен на $D\overline{G}(\varphi)$, а итерации отображения $G$ заменены аналогичными итерациями $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. 3) Проекторы $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$, $\overline{P}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{Q}_{\varphi}E=\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, связанные с разложением (2.8), равномерно непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Опираясь на сформулированные определения 2.1, 2.2 и теорему 1.2, удается установить следующий результат. Лемма 2.1. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и его глобальное поднятие $\overline{G}$ гиперболичны или нет одновременно. Доказательство. Предположим сначала, что гиперболичным является отображение $\overline{G}$, и установим наличие требуемого свойства у исходного отображения $G$. Заметим, что в случае гиперболичности $\overline{G}$ помимо трех фигурирующих в определении 2.2 стандартных свойств имеет место периодичность вида
$$
\begin{equation}
\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}\equiv \overline{E}_\varphi^{\rm \,u},\quad \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}\equiv \overline{E}_\varphi^{\rm \,s},\quad \overline{P}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{P}_\varphi,\quad \overline{Q}_{\varphi+2\pi l}\equiv\overline{Q}_\varphi
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
для любого $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$. Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к представлениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi),\quad \overline{G}^{\,-1}(\varphi)=\Lambda^{-1}\varphi+h(\varphi), \\ \Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty}),\qquad g,h\in B^1_{\rm per}(E), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
справедливость которых гарантирует теорема 1.2. Далее, опираясь на формулы (2.13) и метод математической индукции, последовательно заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l)\equiv 2\pi\Lambda^ml+ \overline{G}^{\,m}(\varphi),\quad D(\overline{G}^{\,m}(\varphi+2\pi l))\equiv D(\overline{G}^{\,m}(\varphi)) \\ \forall\,l\in \mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,m\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
А отсюда, в свою очередь, следует, что разложение $E=\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}\oplus \overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ при любом фиксированном $l\in \mathbb{Z}^{\infty}$ также образует гиперболическую структуру. Действительно, в силу (2.9), (2.14) для подпространств $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ имеют место требуемые свойства инвариантности
$$
\begin{equation*}
D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\rm \,u},\quad D\overline{G}(\varphi)\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}= \overline{E}_{\overline{G}(\varphi+2\pi l)}^{\rm \,s}\quad \forall\,\varphi\in E
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки (2.10), (2.11) (с заменой условий $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,s}$ на $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$ и $\xi\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$ соответственно и с теми же константами $c_j$, $\mu_j$, $j=1,2$). А так как гиперболическая структура для отображения $\overline{G}$ единственна, то интересующие нас тождества (2.12) выполняются автоматически. Поскольку аналогичные рассуждения встречаются и в дальнейшем, то остановимся на обосновании тождеств (2.12) чуть более подробно. Предполагая противное, рассмотрим, например, случай, когда $\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}\ne\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$ при некоторых $\varphi\in E$, $l\in\mathbb{Z}^{\infty}$ и существует вектор $\xi_0\ne 0$ такой, что $\xi_0\in\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,u}$, $\xi_0\not\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$. В этой ситуации очевидным образом
$$
\begin{equation*}
\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\|\leqslant c_1\mu_1^n\|\xi_0\|
\end{equation*}
\notag
$$
и в то же время, полагая $\xi_0=\xi_0^1+\xi_0^2$, $\xi_0^1\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\xi_0^2\in\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$, и опираясь на аналогичные (2.10), (2.11) неравенства для подпространств $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$, $\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,s}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0\|&= \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))(\xi_0^1+\xi_0^2)\| \geqslant\|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^2\|- \|D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))\xi_0^1\| \\ &\geqslant\frac{1}{c_2}\biggl(\frac{1}{\mu_2}\biggr)^n\|\xi_0^2\|- c_1\mu_1^n\|\xi_0^1\|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается добавить, что поскольку $\xi_0^2\ne 0$ (так как $\xi_0\notin\overline{E}_{\varphi+2\pi l}^{\rm \,u}$), то при $n\to+\infty$ получившиеся оценки противоречивы. Другие возможные случаи рассматриваются аналогично. Возвращаясь к отображению $G$, для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$ положим
$$
\begin{equation}
E_\varphi^{\rm \,u}= \overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad E_\varphi^{\rm \,s}= \overline{E}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}^{\rm \,s},\quad P_{\varphi}=\overline{P}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)},\quad Q_{\varphi}=\overline{Q}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Подчеркнем, что в силу периодичности (2.12) формулы (2.15) не зависят от конкретного выбора прообраза $\operatorname{pr}^{-1}(\varphi)\in E$. Более того, они и задают искомую гиперболическую структуру для $G$. Действительно, $DG$-инвариантность подпространств $E_\varphi^{\rm \,u},E_\varphi^{\rm \,s}$ и справедливость свойств (2.2)–(2.4) вытекают из формулы (1.26) и условий (2.8)–(2.11). Остается лишь добавить, что проекторы $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ из (2.15) обладают нужной равномерной непрерывностью по $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Таким образом, диффеоморфизм $G$ удовлетворяет определению 2.1. Обратная часть леммы устанавливается достаточно просто. В самом деле, если гиперболическим является диффеоморфизм $G$, то имеют место соотношения (2.2)–(2.4). Поэтому мы вправе положить
$$
\begin{equation}
\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\rm \,u},\quad \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}=E_{\operatorname{pr}(\varphi)}^{\rm \,s},\quad \overline{P}_\varphi=P_{\operatorname{pr}(\varphi)},\quad \overline{Q}_\varphi=Q_{\operatorname{pr}(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in E.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Опираясь в очередной раз на равенства (1.26), нетрудно убедиться в том, что формулы (2.16) задают гиперболическую структуру для диффеоморфизма $\overline{G}$. Лемма 2.1 доказана. Для формулировки очередного утверждения фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и натуральное $n_0$. Справедлива следующая лемма. Доказательство. Гиперболичность $G^{n_0}$ в случае гиперболичности исходного отображения $G$ очевидна: гиперболическая структура для $G^{n_0}$ по-прежнему имеет вид (2.2), а аналогичные (2.3), (2.4) оценки выполняются с постоянными $c_1$, $\mu_1^{n_0}$ и $c_2$, $\mu_2^{n_0}$ соответственно. Предположим теперь, что гиперболично отображение $G^{n_0}$. Далее, пусть $\overline{G}$ – глобальное поднятие диффеоморфизма $G$. Тогда, очевидно, диффеоморфизм $f=\overline{G}^{n_0}$ является глобальным поднятием для $G^{n_0}$. А отсюда и из леммы 2.1 вытекает, что проблема обоснования леммы 2.2 сводится к проверке гиперболичности $\overline{G}$ при условии гиперболичности $f$. Итак, пусть для отображения $f$ существует разложение (2.8), удовлетворяющее всем сформулированным в определении 2.2 требованиям. Это означает, в частности, что справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi= \overline{E}^{\rm\,u}_{f(\varphi)},\quad Df(\varphi)\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi= \overline{E}^{\rm\,s}_{f(\varphi)}\quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
и
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,u}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(f^{\,n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi \in E, \quad \forall\,\xi \in \overline{E}_\varphi^{\rm \,s}, \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где $c_1,c_2>0$, $\mu_1,\mu_2\in (0,1)$. Далее, непосредственная проверка показывает, что наряду с (2.8) справедливо разложение $E=\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}\oplus\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}$, где подпространства
$$
\begin{equation}
\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}=D\overline{G}(\theta) \overline{E}_\theta^{\rm \,u}\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)},\quad \widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}=D\overline{G}(\theta) \overline{E}_\theta^{\rm \,s}\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-1}(\varphi)},
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
как и исходные подпространства $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$, являются $Df$-инвариантными. Действительно, принимая во внимание явную формулу для дифференциала $Df(\varphi)=D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi))$ (получающуюся из (2.1) при замене $G$ на $\overline{G}$ и $n$ на $n_0$), перепишем условия $Df$-инвариантности (2.17) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\cdots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\rm \, u}&= \overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,u}, \\ D\overline{G}(\varphi_{n_0-1})\circ D\overline{G}(\varphi_{n_0-2})\circ\cdots \circ D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E}_{\varphi_0}^{\rm\, s}&= \overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,s}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in \mathbb{Z}$. Применяя затем к получившимся соотношениям оператор $D\overline{G}(\varphi_{n_0})$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\rm \,u})&= D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,u}, \\ D(\overline{G}^{\,n_0}(\varphi_1))(D\overline{G}(\varphi_{0})\overline{E} _{\varphi_0}^{\rm \,s})&= D\overline{G}(\varphi_{n_0})\overline{E}_{\varphi_{n_0}}^{\rm \,s}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается добавить, что из получившихся формул требуемая $Df$-инвариантность подпространств (2.20) вытекает автоматически. Заметим еще, что, как показывает несложная проверка, для введенных выше подпространств (2.20) имеют место формулы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D(f^{-n}(\varphi))\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}&= D\overline{G}(\varphi_{-nn_0-1})\circ D(f^{-n}(\varphi_{-1}))\overline{E}_{\varphi_{-1}}^{\rm \,u}, \\ D(f^{n}(\varphi))\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}&= D\overline{G}(\varphi_{nn_0-1})\circ D(f^{n}(\varphi_{-1}))\overline{E}_{\varphi_{-1}}^{\rm \,s}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где, как и в (2.21), $\varphi_j=\overline{G}^{\,j}(\varphi)$, $j\in \mathbb{Z}$. А отсюда и из факта ограниченности дифференциала $D\overline{G}$ (см. (1.36)) вытекает справедливость для подпространств (2.20) оценок вида (2.18), (2.19). Подведем некоторый итог. Из проделанных построений следует, что подпространства (2.20) задают еще одну (наряду с (2.8)) гиперболическую структуру для отображения $f$. Но, как мы уже знаем (см. аналогичное место в обосновании тождеств (2.12)), гиперболическая структура у $f$ заведомо единственна. Тем самым, автоматически выполнены равенства $\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,u}=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\widetilde{E}_\varphi^{\rm \,s}=\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$. Остается добавить, что указанные равенства вместе с формулами (2.20) приводят к соотношениям (2.9). Иными словами, мы установили, что кроме свойств (2.17) подпространства $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$ обладают также свойством $D\overline{G}$-инвариантности. Выполняются для указанных подпространств и оценки вида (2.10), (2.11). Точнее говоря, они выводятся из неравенств (2.18), (2.19) и из представлений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))= D(f^{\,k}(\theta))\big|_{\theta=\overline{G}^{\,r}(\varphi)}\circ D(\overline{G}^{\,r}(\varphi)),\quad \\ D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi))= D(f^{\,-k}(\theta))\big|_{\theta=\overline{G}^{\,-r}(\varphi)}\circ D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi)), \\ n=kn_0+r,\quad r\in\{0,1,\dots,n_0-1\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с учетом вытекающих из (1.36) свойств ограниченности
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,r}(\varphi))\|_{E\to E}+ \sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}^{\,-r}(\varphi))\|_{E\to E}<\infty,\qquad 0\leqslant r\leqslant n_0-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, факт гиперболичности диффеоморфизма $\overline{G}$, а значит, и лемма 2.2 полностью доказаны. Еще один известный результат гиперболической теории связан с углом между подпространствами $E_\varphi^{\rm \,u}$, $E_\varphi^{\rm \,s}$ из (2.2). Упомянутый угол задается формулой
$$
\begin{equation}
\angle(E_\varphi^{\rm \,u}, E_\varphi^{\rm \,s})= \inf\{\|v-w\|\colon v\in E_\varphi^{\rm \,u},\ w\in E_\varphi^{\rm \,s},\ \|v\|=\|w\|=1\}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Справедливо следующее утверждение (см. [6; лемма 7.3]). Доказательство. Зафиксируем произвольно векторы $v\in E_\varphi^{\rm \,u}$, $w\in E_\varphi^{\rm \,s}$, $\|v\|=\|w\|=1$, и целое $k\geqslant 0$. Далее, положим $a(k)=D(G^{\,k}(\varphi))(v-w)$ и заметим, что где в силу условий (1.21) Для получения оценки снизу на $\|a(k)\|$ обратимся к неравенству (2.4) и к эквивалентному (2.3) неравенству
$$
\begin{equation*}
\|D(G^{\,n}(\varphi))\xi\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^n\|\xi\|\quad \forall\,\varphi\in \mathbb{T}^{\infty},\quad \forall\,\xi\in E_\varphi^{\rm \,u},\quad \forall\,n\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Опираясь на эти факты, имеем
$$
\begin{equation*}
\|a(k)\|\geqslant \|D(G^{\,k}(\varphi))v\|-\|D(G^{\,k})(\varphi)w\|\geqslant \frac{1}{c_1}\biggl(\frac{1}{\mu_1}\biggr)^k-c_2\mu_2^k\to+\infty
\end{equation*}
\notag
$$
при $k\to+\infty$. Поэтому существует такое не зависящее от выбора векторов $v$, $w$ натуральное $k_0$, что $\|a(k_0)\|\geqslant 1$. А отсюда и из (2.24) (при $k=k_0$) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|v-w\|\geqslant N^{-k_0}\quad \forall\,v\in E_\varphi^{\rm \,u},\ w\in E_\varphi^{\rm \,s}\colon \|v\|=\|w\|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, в силу (2.22) в качестве константы $\alpha$ в (2.23) можно взять $N^{-k_0}$. Лемма 2.3 доказана. Завершая рассмотрение простейших свойств гиперболических диффеоморфизмов, исследуем вопрос о равномерной ограниченности проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$ из определения 2.1. Заметим, что в случае конечномерного тора факт равномерной ограниченности данных проекторов вытекает из их непрерывности. В случае же тора $\mathbb{T}^{\infty}$ этот факт нуждается в отдельной проверке. Лемма 2.4. Для любого гиперболического диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ выполняются свойства ограниченности Доказательство. Из очевидного равенства $P_{\varphi}+Q_{\varphi}=I$, где $I$ – единичный оператор в $E$, следует, что достаточно показать справедливость лишь первого свойства из (2.26). В предположении противного существует такая последовательность точек $\varphi_n\in \mathbb{T}^{\infty}$, что $\|P_{\varphi_n}\|_{E\to E}\to+\infty$, $n\to+\infty$. Далее, в силу теоремы о фиксации особенности (см. [28; гл. IV, § 1]) найдется элемент $\xi\in E$, для которого Без ограничения общности будем считать, что Тогда из соотношения с необходимостью имеемПокажем теперь, что
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}=1.
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
В связи с этим обратимся к формуле (2.28), из которой вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|Q_{\varphi_n}\xi\|-\|\xi\|&\leqslant \|P_{\varphi_n}\xi\|\leqslant \|Q_{\varphi_n}\xi\|+\|\xi\|, \\ 1-\frac{\|\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}&\leqslant \frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\leqslant 1+\frac{\|\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда с учетом (2.29) требуемое равенство (2.30) получается автоматически. Объединяя установленные предельные свойства (2.27), (2.29), (2.30), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\frac{P_{\varphi_n}\xi}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \frac{Q_{\varphi_n}\xi}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\biggr\|&= \frac{1}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}\biggl\| P_{\varphi_n}\xi+ \frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\,Q_{\varphi_n}\xi\biggr\| \\ &=\frac{1}{\|P_{\varphi_n}\xi\|} \biggl\|\xi+\biggl(\frac{\|P_{\varphi_n}\xi\|}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}-1\biggr) \,Q_{\varphi_n}\xi\biggr\| \\ &\leqslant\frac{\|\xi\|}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \biggl|1-\frac{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}\biggr|\to 0,\qquad n\to+\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\angle(E_{\varphi_n}^{\rm u}, E_{\varphi_n}^{\rm s})\leqslant \biggl\|\frac{P_{\varphi_n}\xi}{\|P_{\varphi_n}\xi\|}+ \frac{Q_{\varphi_n}\xi}{\|Q_{\varphi_n}\xi\|}\biggr\|\to 0,\qquad n\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее же противоречит оценке (2.23). Таким образом, наше допущение не верно, и на самом деле имеют место свойства (2.26). Лемма 2.4 доказана. 2.2. Сводка результатов о критерии гиперболичностиПриступим к описанию критерия гиперболичности для класса диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Как и в известном критерии конусов (см. [5; теорема 10.1.5]), мы постулируем существование некоторого изначального разложения пространства $E$ в прямую сумму замкнутых линейных подпространств. Условие 2.1. При любом $\varphi\in E$ справедливо разложение Для формулировки следующих двух условий фиксируем произвольно диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и натуральное $n_0$. Далее, положим где $\overline{G}$ – глобальное поднятие отображения $G$ (см. (1.23)). Затем, опираясь на соотношения (2.31), (2.32), введем в рассмотрение линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j,1}(\varphi) =P(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_1(f(\varphi)), \qquad j =1,2,
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j,2}(\varphi) =Q(f(\varphi))Df(\varphi)\colon E_j(\varphi)\to E_2(f(\varphi)), \qquad j =1,2,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
где $f$ – отображение (2.34). Условие 2.2. При любом $\varphi\in E$ обратим оператор $\Lambda_{1,1}(\varphi)$ из (2.35) и имеет место свойство ограниченности Для формулировки заключительного условия нам потребуются постоянные
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\alpha_1=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_1(\varphi)}, \\ &\alpha_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{2,2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\beta_1=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1,2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \\ &\beta_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2,1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi) \to E_1(\varphi)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\gamma_1=\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi) \Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))}, \\ &\gamma_2=\sup_{\varphi\in E} \|\Lambda_{2,1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
которые в силу неравенств (1.36), (2.33), (2.37) заведомо конечны. Используя развитую в работах [19], [29] технику, удается установить следующие два утверждения, дающие в совокупности интересующий нас критерий гиперболичности. Теорема 2.1. Любой диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ при выполнении условий 2.1–2.3 является гиперболическим. Теорема 2.2. Если диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ обладает свойством гиперболичности, то найдутся разложение (2.31) и натуральное $n_0$, для которых справедливы условия 2.1–2.3. Еще один важный результат, вытекающий из теорем 2.1, 2.2, касается $C^1$-грубости свойства гиперболичности. Для его формулировки рассмотрим банахово пространство $C^1_{\rm per}(E)\subset B^1_{\rm per}(E)$, элементами которого являются вектор-функции $g(\varphi)$ из $B^1_{\rm per}(E)$, обладающие дополнительным свойством ограниченности (1.55). Норму в этом пространстве зададим равенством
$$
\begin{equation}
\|g\|_{C^1_{\rm per}}=\sup_{\varphi\in E}\|g(\varphi)\|+ \sup_{\varphi\in E}\|g'(\varphi)\|_{E\to E}.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Справедливо следующее утверждение о $C^1$-грубости гиперболических диффеоморфизмов. Теорема 2.3. Пусть $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ – произвольный гиперболический диффеоморфизм, а $\overline{G}$ – отвечающее ему глобальное поднятие (1.23). Тогда найдется такое достаточно малое $\varepsilon=\varepsilon(G)>0$, что при любой вектор-функции $\Delta(\varphi)\in C^1_{\rm per}(E)$, $\|\Delta\|_{C^1_{\rm per}}<\varepsilon$ ($\|\,\cdot\,\|_{C^1_{\rm per}}$ – норма (2.42)) соответствующее возмущенное отображение также является гиперболическим диффеоморфизмом класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Поскольку подробные доказательства аналогичных утверждений содержатся в статье [22], то здесь приведем лишь общие схемы этих доказательств. Начнем с теоремы 2.1. Из лемм 2.1, 2.2 вытекает, что проблема ее обоснования сводится к проверке гиперболичности отображения (2.34). В связи с этим обсудим схему отыскания гиперболической структуры (2.8) для диффеоморфизма $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в (2.8) подпространства $\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi$, $\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ из разложения (2.31), но между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства $\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi$, $\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi$ могут быть представлены в параметрической форме
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi =\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_2=a(\varphi)u_1,\ u_1\in E_1(\varphi)\},
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi =\{\xi=u_1+u_2\in E\colon u_1=b(\varphi)u_2,\ u_2\in E_2(\varphi)\}.
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
Здесь $u_1\in E_1(\varphi)$ и $u_2\in E_2(\varphi)$ – векторные параметры на $\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi$ и $\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi$ соответственно, а подлежащие определению линейные операторы $a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)$, $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$ обладают следующими свойствами. Во-первых, они $2\pi$-периодичны по $\varphi$ и равномерно ограничены, т. е.
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}<\infty,\quad \sup_{\varphi\in E}\|b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
во-вторых, операторы $a(\varphi)P(\varphi)\colon E\to E$, $b(\varphi)Q(\varphi)\colon E\to E$ равномерно непрерывны по $\varphi\in E$ в равномерной операторной топологии. Как показано в работе [22], из условий $Df$-инвариантности подпространств (2.44), (2.45) для $a(\varphi)$, $b(\varphi)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (2.41)). В результате устанавливаем существование требуемых подпространств $\overline{E}^{\rm\,u}_\varphi$, $\overline{E}^{\rm\,s}_\varphi$. Используя их параметрические представления (2.44), (2.45), удается обосновать как оценки вида (2.18), (2.19), так и разложение (2.8) (вместе с равномерной непрерывностью проекторов $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$). Доказательство теоремы 2.2 существенно проще. Согласно лемме 2.1 поднятие $\overline{G}$ гиперболического диффеоморфизма $G$ также является гиперболическим, а значит, для $\overline{G}$ справедливы соотношения вида (2.8)–(2.11). Далее, введем в рассмотрение оператор $f(\varphi)=\overline{G}^{\,n_0}(\varphi)$, где натуральное $n_0$ подчинено требованиям ($c_j$, $\mu_j$, $j=1,2$, – постоянные из (2.10), (2.11)), и положим
$$
\begin{equation}
E_1(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}, \quad E_2(\varphi)=\overline{E}_\varphi^{\rm \,s} \quad \forall\,\varphi\in E,
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
где $\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}$, $\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}$ – подпространства из (2.8). Нетрудно увидеть, что выбранные таким способом натуральное $n_0$ и подпространства $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ удовлетворяют условиям 2.1–2.3. Справедливость условия 2.1 в рассматриваемой ситуации вытекает из равенств (2.8), (2.12), (2.16) и из леммы 2.4. Для проверки же выполнения следующих двух условий 2.2, 2.3 заметим, что операторы (2.35), (2.36) здесь приобретают вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Lambda_{1,1}(\varphi)&=Df(\varphi)\colon\overline{E}_\varphi^{\rm \,u}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\rm \,u},&\qquad \Lambda_{2,1}(\varphi)&=0, \\ \Lambda_{2,2}(\varphi)&=Df(\varphi)\colon\overline{E}_\varphi^{\rm \,s}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\rm \,s},&\qquad \Lambda_{1,2}(\varphi)&=0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.48}
$$
В свою очередь, объединяя формулы (2.48) с фактом обратимости дифференциала $Df(\varphi)$, приходим к выводу, что в данном случае $\beta_1=\beta_2=\gamma_1=\gamma_2=0$, а постоянные $\alpha_1$, $\alpha_2$ таковы, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_1&=\sup_{\varphi\in E} \|(Df(\varphi))^{-1}\|_{\overline{E}_{f(\varphi)}^{\rm\, u}\to \overline{E}_\varphi^{\rm \,u}}\leqslant c_1\mu_1^{n_0}<1, \\ \alpha_2&=\sup_{\varphi\in E} \|Df(\varphi)\|_{\overline{E}_{\varphi}^{\rm \,s}\to \overline{E}_{f(\varphi)}^{\rm \,s}}\leqslant c_2\mu_2^{n_0}<1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Тем самым, заведомо справедливы и условия 2.2, 2.3. Теорема 2.2 доказана. В случае теоремы 2.3 ситуация следующая. Нетрудно увидеть (см. аналогичные построения из [22]), что при малых $\Delta(\varphi)\in C^1_{\rm per}(E)$ отображение (2.43) по-прежнему принадлежит классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Поэтому в силу теоремы 2.1 для обоснования гиперболичности $G_{\Delta}$ достаточно показать, что при подходящем выборе подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ и натурального $n_0$ рассматриваемый диффеоморфизм удовлетворяет условиям 2.1–2.3. Поскольку исходное отображение $G$ предполагается гиперболическим, то в силу леммы 2.1 таковым является и его глобальное поднятие $\overline{G}$. Следовательно, имеют место соотношения (2.8)–(2.11). Далее, как и при доказательстве теоремы 2.2, в качестве $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ возьмем подпространства (2.47), положим $f_{\Delta}(\varphi)=\overline{G}_{\Delta}^{\,n_0}(\varphi)$, где $n_0\in\mathbb{N}$ удовлетворяет требованиям (2.46), и проверим выполнение в этом случае условий 2.1–2.3. Напомним, что справедливость для подпространств (2.47) условия 2.1 уже установлена выше. Для проверки же условий 2.2, 2.3 обратимся к свойствам (1.36), из которых вытекает, что для любого фиксированного $n\in\mathbb{Z}$
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|D(\overline{G}_{\Delta}^{\,n}(\varphi))- D(\overline{G}^{\,n}(\varphi))\|_{E\to E}\to 0\quad\text{при}\quad \|\Delta\|_{C^1_{\rm per}}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда с учетом свойств равномерной ограниченности и равномерной непрерывности проекторов $P(\varphi)$, $Q(\varphi)$ (см. (2.33)) заключаем, что, во-первых, при всех достаточно малых $\Delta\in C^1_{\rm per}(E)$ выполняется условие 2.2; во-вторых, величины $\alpha_j(\Delta)$, $\beta_j(\Delta)$, $\gamma_j(\Delta)$, $j=1,2$, отвечающие отображению $f_{\Delta}(\varphi)$ и задающиеся равенствами вида (2.38)–(2.40), при $\|\Delta\|_{C^1_{\rm per}}\to 0$ стремятся к конечным пределам $\alpha_j^0$, $\beta_j^0$, $\gamma_j^0$, $j=1,2$. Принимая во внимание формулы (2.48), нетрудно заметить, что $\beta_1^0=\beta_2^0=\gamma_1^0=\gamma_2^0=0$, $\alpha_1^0=\alpha_1$, $\alpha_2^0=\alpha_2$, где $\alpha_1$, $\alpha_2$ – величины (2.49). Тем самым, при малых $\Delta\in C^1_{\rm per}(E)$ заведомо справедливы и неравенства (2.41). Теорема 2.3 доказана. Завершая рассмотрение критерия гиперболичности, заметим, что в силу результатов из [22] аналоги теорем 2.1, 2.2 сохраняются и в ослабленной версии нашей теории, когда в определении класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, в определении 2.1 и в условии 2.1 требования равномерной непрерывности дифференциала $DG(\varphi)$ и проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$, $P(\varphi)$, $Q(\varphi)$ заменены обычной непрерывностью. Однако аналог теоремы 2.3 в полном объеме здесь установить не удается. Можно лишь показать, что в ослабленной версии теории свойство $C^1$-грубости для гиперболических диффеоморфизмов из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ имеет место при дополнительном требовании равномерной непрерывности проекторов $P_{\varphi}$, $Q_{\varphi}$. 2.3. Анализ примераНиже приводится конкретный пример гиперболического диффеоморфизма из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$, отличный от тривиального примера вида (2.5). Обратимся сначала к известному модифицированному отображению “кот Арнольда”, предложенному в работе [30]. Это отображение действует на торе
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}^2=\{\vartheta=\operatorname{colon}(\xi,\eta)\colon 0\leqslant \xi\leqslant 2\pi \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,\ 0\leqslant \eta\leqslant 2\pi \,(\operatorname{mod}\,2\pi) \}
\end{equation*}
\notag
$$
и в координатах $\xi$, $\eta$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\xi\mapsto \xi+\eta+\delta\cos \eta \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,\qquad \eta\mapsto \xi+2\eta \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,
\end{equation}
\tag{2.50}
$$
где $\delta=\operatorname{const}>0$. Анализ данного отображения на предмет гиперболичности проделан в [31], где было установлено, что оно является диффеоморфизмом Аносова при любом $\delta\in (0,1)$. Интересующий нас пример представляет собой некоторое обобщение диффеоморфизма (2.50) на бесконечномерный случай. Для его описания введем в рассмотрение банахово пространство $E$, состоящее из векторов
$$
\begin{equation}
\varphi=\operatorname{colon} (\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots),\qquad \vartheta_k=\operatorname{colon}(\xi_k,\eta_k)\in\mathbb{R}^2,\quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.51}
$$
для которых конечна норма (норму $\|\,\cdot\,\|_{*}$ в пространстве $\mathbb{R}^2$ выберем чуть позже). Далее, на бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где
$$
\begin{equation*}
\mathbb{Z}^{\infty}=\{\varphi=\operatorname{colon} (\vartheta_1, \vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots)\in E\colon \vartheta_k=\operatorname{colon}(\xi_k,\eta_k)\in\mathbb{Z}^2,\ k\geqslant 1\},
\end{equation*}
\notag
$$
определим оператор $G$ посредством равенства
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto\overline{G}(\varphi) \,(\operatorname{mod}\,2\pi) ,
\end{equation}
\tag{2.53}
$$
где $\overline{G}(\varphi)=\Lambda\varphi+g(\varphi)$,
$$
\begin{equation}
\Lambda\varphi=\operatorname{colon}(\Lambda_0\vartheta_1, \Lambda_0\vartheta_2,\dots, \Lambda_0\vartheta_k,\dots),\quad \Lambda_0=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.54}
$$
Что же касается вектор-функции $g(\varphi)$, то она действует на любой вектор (2.51) из $E$ по правилу
$$
\begin{equation}
g(\varphi)=\operatorname{colon}(\overline{\vartheta}_1, \overline{\vartheta}_2,\dots,\overline{\vartheta}_k,\dots),\qquad \overline{\vartheta}_k=\operatorname{colon}(\delta_k\cos(\eta_{k+1}),0),\quad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.55}
$$
где
$$
\begin{equation}
\delta_k=\operatorname{const}>0\quad \forall\,k\geqslant 1,\qquad \lim_{k\to+\infty}\delta_k=0.
\end{equation}
\tag{2.56}
$$
Введенное выше отображение (2.53) является одним из возможных обобщений конечномерного диффеоморфизма (2.50). Точнее говоря, оно представляет собой цепочку из счетного числа однонаправленно связанных двумерных отображений вида (2.50). Следует также отметить, что из формул (2.54)–(2.56) вытекают включения $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^{\infty})$, $g(\varphi)\in C^1_{\rm per}(E)$ и факт полной непрерывности соответствующего отображения (1.56). Таким образом, в силу теоремы 1.3 для доказательства диффеоморфности $G$ остается убедиться в обратимости при каждом $\varphi\in E$ линейного оператора $D\overline{G}(\varphi)\colon E\to E$. Что же касается включения $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{ T}^{\infty})$, то для его проверки необходимо дополнительно установить справедливость свойства ограниченности (1.27). Как будет показано в дальнейшем, эти факты имеют место при некоторых добавочных ограничениях на фигурирующие в (2.56) постоянные $\delta_k$, $k\geqslant 1$. При изучении вопроса об обратимости дифференциала $D\overline{G}(\varphi)=\Lambda+g'(\varphi)$ воспользуемся одним вспомогательным результатом. Перед его формулировкой оговорим следующее. Будем считать, что в приведенном ниже утверждении одним и тем же символом $\|\,\cdot\,\|$ обозначены как произвольная норма в $\mathbb{R}^m$, $m\geqslant 1$, так и соответствующая ей индуцированная норма в пространстве квадратных матриц размера $m\times m$. Лемма 2.5. Пусть при некотором натуральном $m$ заданы две последовательности $A_k$, $B_k$, $k\geqslant 1$, квадратных $(m\times m)$-матриц таких, что Доказательство. Зафиксируем произвольно последовательность векторов вида (2.59) и рассмотрим отвечающую ей последовательность
$$
\begin{equation}
x_s=A_s^{-1}y_s+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\biggl(\,\prod_{n=1}^kA_{s+n-1}^{-1} B_{s+n-1}\biggr)A_{s+k}^{-1}y_{s+k},\qquad s\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.63}
$$
Опираясь на соотношения (2.58), (2.63), несложно показать, что, во-первых, эта последовательность обладает требуемым в (2.61) свойством ограниченности и удовлетворяет системе (2.60); во-вторых, для нее справедлива оценка (2.62). Поэтому для завершения обоснования теоремы остается проверить, что соответствующая однородная система допускает только одно ограниченное решение $\{x_k,k\geqslant 1\}$ – нулевое. Пусть $\{x_k, k\geqslant 1\}$ – произвольное ограниченное решение системы (2.64). Тогда, привлекая первые $k$ уравнений этой системы, выражаем $x_1$ через $x_{k+1}$ по формуле
$$
\begin{equation}
x_1=(-1)^k\biggl(\,\prod_{n=1}^kA_{n}^{-1}B_{n}\biggr)x_{k+1}.
\end{equation}
\tag{2.65}
$$
Заметим, далее, что $\sup_{k\geqslant 1}\|x_k\|<\infty$, а из условий (2.57), (2.58) последовательно имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sup_{s\geqslant 1}\|A_s^{-1}\|<\infty,\qquad \sum_{k=1}^{\infty}\|A_{k+1}^{-1}\|\cdot\prod_{n=1}^{k} \bigl(\|A_{n}^{-1}\|\cdot\|B_{n}\|\bigr)<\infty, \\ \lim_{k\to+\infty}\prod_{n=1}^{k}\bigl(\|A_{n}^{-1}\|\cdot\|B_{n}\|\bigr)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя эти факты и переходя в равенстве (2.65) к пределу при $k\to+\infty$, убеждаемся в том, что $x_1=0$. Аналогичным образом, привлекая блок соотношений (2.64) с номерами $s,s+1,\dots,s+k-1$, приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
x_s=(-1)^k\biggl(\,\prod_{n=1}^kA_{s+n-1}^{-1}B_{s+n-1}\biggr)x_{s+k},\quad s\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.66}
$$
Как и в предыдущем случае, нетрудно увидеть, что при любом фиксированном $s\geqslant 1$ и при $k\to+\infty$ правая часть формулы (2.66) стремится к нулю. Тем самым, автоматически $x_s=0$ для всех $s\in\mathbb{N}$. Лемма 2.5 доказана. Прежде чем перейти к изучению свойств обратимости оператора $D\overline{G}(\varphi)$, уточним выбор нормы $\|\,\cdot\,\|_{*}$ в (2.52). С этой целью введем в рассмотрение собственные значения
$$
\begin{equation}
\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1,\qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1
\end{equation}
\tag{2.67}
$$
матрицы $\Lambda_0$ из (2.54) и отвечающие им собственные векторы
$$
\begin{equation}
e_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}} \operatorname{colon}(1,\lambda_s-1),\qquad s=1,2.
\end{equation}
\tag{2.68}
$$
Далее, опираясь на формулы
$$
\begin{equation}
\vartheta_k=t_k e_1+\tau_k e_2,\qquad t_k=(\vartheta_k, e_1),\quad \tau_k=(\vartheta_k, e_2),
\end{equation}
\tag{2.69}
$$
где $(\,\cdot\,{,}\,\cdot\,)$ – евклидово скалярное произведение, положим
$$
\begin{equation}
\|\vartheta_k\|_{*}=\max(c_1^0|t_k|,c_2^0|\tau_k|)\quad \forall\,k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.70}
$$
где постоянные $c_j^0>0$, $j=1,2$, пока произвольны. Что же касается оператора $\Lambda+g'(\varphi)$, то в переменных $t_k$, $\tau_k$, $k\geqslant 1$, из (2.69) он принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, t_k&\mapsto\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1,e_1)t_{k+1} +(C_k(\varphi)e_2, e_1)\tau_{k+1}, \\ \tau_k&\mapsto\lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_1,e_2)t_{k+1}+ (C_k(\varphi)e_2,e_2)\tau_{k+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.71}
$$
где $k\in\mathbb{N}$, а двумерные матрицы $C_k(\varphi)$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
C_k(\varphi)=-\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix} \delta_k\sin(\eta_{k+1}).
\end{equation}
\tag{2.72}
$$
Зафиксируем произвольно две ограниченные числовые последовательности $\overline{t}_k$, $\overline{\tau}_k$, $k\geqslant 1$, и рассмотрим счетную систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1,e_1)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2,e_1)\tau_{k+1} &=\overline{t}_k, \\ \lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_1,e_2)t_{k+1}+(C_k(\varphi)e_2,e_2)\tau_{k+1} &=\overline{\tau}_k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.73}
$$
В силу представления (2.71) проверка факта обратимости интересующего нас оператора $D\overline{G}(\varphi)$ сводится к доказательству существования у этой системы единственного решения $\{t_k,\tau_k,k\geqslant 1\}$, где $t_k$, $\tau_k$ – ограниченные числовые последовательности. Для удобства дальнейшего анализа перепишем систему (2.73) в векторной форме (2.60) при соответствующем выборе последовательностей (2.59), (2.61). А именно, положим
$$
\begin{equation}
x_k=\operatorname{colon}(t_k,\tau_k),\quad y_k=\operatorname{colon}(\overline{t}_k,\overline{\tau}_k),\quad A_k=\operatorname{diag}\{\lambda_1,\lambda_2\},\qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.74}
$$
$$
\begin{equation}
B_k=\begin{pmatrix} (C_k(\varphi)e_1,e_1)&(C_k(\varphi)e_2,e_1) \\ (C_k(\varphi)e_1,e_2)&(C_k(\varphi)e_2,e_2) \end{pmatrix},\qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.75}
$$
В результате получаем систему вида (2.60), к которой затем попытаемся применить лемму 2.5. Для проверки выполнения условий (2.57), (2.58) упомянутой леммы оценим нормы операторов $A_k$, $B_k$ из (2.74), (2.75). Принимая во внимание способ (2.70) задания нормы в $\mathbb{R}^2$ и опираясь на явные формулы (2.67), (2.68), (2.72), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|A_k^{-1}\|&=\frac{1}{\lambda_2},\quad \nonumber \\ \|B_k\|&=\max\biggl(|(C_k(\varphi)e_1,e_1)|+c_0|(C_k(\varphi)e_2, e_1)|,\nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{1}{c_0}|(C_k(\varphi)e_1, e_2)|+|(C_k(\varphi)e_2, e_2)|\biggr) \nonumber \\ &\leqslant\delta_k\max\biggl(\frac{1}{\sqrt{5}}+ c_0\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\,, \frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{c_0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.76}
$$
где $c_0=c_1^0/c_2^0$. Далее, распорядимся имеющимся в запасе свободным параметром $c_0>0$ таким образом, чтобы минимизировать правую часть неравенства из (2.76). В результате убеждаемся в том, что соответствующий минимум достигается при а для последовательности матриц $B_k$ при указанном выборе $c_0$ получаются оценки
$$
\begin{equation}
\|B_k\|\leqslant\frac{2\delta_k}{\sqrt{5}}\,,\qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{2.77}
$$
Всюду ниже считаем, что выполнено условие
$$
\begin{equation}
\theta_0\overset{\rm def}{=}\sup_{s\geqslant 1}\frac{1}{\lambda_2} \biggl(1+\sum_{k=1}^{\infty}\biggl(\frac{4}{\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}\biggr)^k \prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\biggr)<\infty.
\end{equation}
\tag{2.78}
$$
Тогда в силу (2.76), (2.77) мы заведомо находимся в рамках применимости леммы 2.5, из которой и вытекает требуемая обратимость $D\overline{G}(\varphi)$. Более того, из неравенства (2.62) и из способа задания нормы в $E$ (см. (2.52), (2.70)) заключаем, что в данном случае
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in E}\|(\Lambda+g'(\varphi))^{-1}\|_{E\to E}\leqslant \theta_0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta_0$ – постоянная из (2.78). Тем самым, при условии (2.78) интересующее нас отображение (2.53) является диффеоморфизмом класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Для получения условий гиперболичности диффеоморфизма (2.53) воспользуемся теоремой 2.1. Поскольку оператор (2.54) очевидным образом гиперболичен, то в качестве фигурирующих в разложении (2.31) подпространств в данном случае возьмем $E_1(\varphi)=E_1$, $E_2(\varphi)=E_2$. Здесь $E_1$, $E_2$ – корневые подпространства оператора $\Lambda$, имеющие вид
$$
\begin{equation}
E_1 =\Bigl\{u=\operatorname{colon} (\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots)\colon \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\vartheta_k=t_ke_1,\ t_k\in\mathbb{R},\ k\geqslant 1,\ \sup_{k\geqslant 1}|t_k|<\infty\Bigr\},
\end{equation}
\tag{2.79}
$$
$$
\begin{equation}
E_2 =\Bigl\{v=\operatorname{colon} (\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots)\colon \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\vartheta_k=\tau_ke_2,\ \tau_k\in\mathbb{R},\ k\geqslant 1,\ \sup_{k\geqslant 1}|\tau_k|<\infty\Bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.80}
$$
Очевидно, что введенное выше пространство $E$, состоящее из векторов (2.51), раскладывается в прямую сумму $E_1\oplus E_2$ и
$$
\begin{equation}
\Lambda u=\lambda_1 u\quad \forall\,u\in E_1,\qquad \Lambda v=\lambda_2 v\quad \forall\,v\in E_2.
\end{equation}
\tag{2.81}
$$
Что же касается проекторов $P$ и $Q$, отвечающих данному разложению, то они действуют по правилу
$$
\begin{equation}
P\xi=u,\quad Q\xi=v\qquad \forall\,\xi=\operatorname{colon}(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k,\dots)\in E,
\end{equation}
\tag{2.82}
$$
где $\xi_k\in\mathbb{R}^2$, $k\geqslant 1$, а векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ задаются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{4} u&=\operatorname{colon} (\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots),&\qquad \vartheta_k&=t_ke_1,&\quad t_k&=(\xi_k,e_1),&\quad k&\geqslant 1, \\ v&=\operatorname{colon} (\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_k,\dots),&\qquad \vartheta_k&=\tau_ke_2,&\quad \tau_k&=(\xi_k,e_2),&\quad k&\geqslant 1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.83}
$$
Обратимся теперь к отображению (2.34) при $n_0=1$ и заметим, что для отвечающих ему операторов (2.35), (2.36) в силу соотношений (2.79)–(2.83) получаются некоторые явные формулы. Для того чтобы вывести эти формулы, отождествим векторы $u\in E_1$, $v\in E_2$ с бесконечномерными векторами
$$
\begin{equation*}
t=\operatorname{colon}(t_1,t_2,\dots,t_k,\dots),\quad \tau=\operatorname{colon}(\tau_1,\tau_2,\dots,\tau_k,\dots),
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_k$, $\tau_k$ – координаты из (2.79), (2.80). В результате приходим к серии представлений
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1,1}(\varphi)\colon t\mapsto\overline{t} = \operatorname{colon}\bigl(\lambda_1t_1+(C_1(\varphi)e_1,e_1)t_2,\lambda_1t_2+ (C_2(\varphi)e_1,e_1)t_3,\dots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1, e_1)t_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{2.84}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2,1}(\varphi)\colon\tau\mapsto t =\operatorname{colon} \bigl((C_1(\varphi)e_2,e_1)\tau_2,(C_2(\varphi)e_2,e_1)\tau_3,\dots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad(C_k(\varphi)e_2,e_1)\tau_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{2.85}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1,2}(\varphi)\colon t\mapsto \tau =\operatorname{colon} \bigl((C_1(\varphi)e_1,e_2)t_2,(C_2(\varphi)e_1,e_2)t_3,\dots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad(C_k(\varphi)e_1,e_2)t_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{2.86}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2,2}(\varphi)\colon\tau\mapsto\overline{\tau} = \operatorname{colon}\bigl(\lambda_2\tau_1+ (C_1(\varphi)e_2, e_2)\tau_2, \,\,\lambda_2\tau_2+ (C_2(\varphi)e_2, e_2)\tau_3,\dots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\lambda_2\tau_k+(C_k(\varphi)e_2,e_2)\tau_{k+1},\dots\bigr),
\end{equation}
\tag{2.87}
$$
где, напомним, $C_k(\varphi)$, $k\geqslant 1$, – матрицы (2.72). Для проверки выполнения в данном случае условия 2.2 рассмотрим счетную систему вида
$$
\begin{equation}
\lambda_1t_k+(C_k(\varphi)e_1,e_1)t_{k+1}=\overline{t}_k,\qquad k\geqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.88}
$$
где $\{\overline{t}_k,k\geqslant 1\}$ – произвольная ограниченная числовая последовательность. Далее, опираясь на очевидные оценки
$$
\begin{equation*}
|(C_k(\varphi)e_1,e_1)|\leqslant\frac{\delta_k}{\sqrt{5}}\,,\qquad k\geqslant 1,
\end{equation*}
\notag
$$
и применяя лемму 2.5, приходим к выводу, что при дополнительном предположении
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0\overset{\rm def}{=}\sup_{s\geqslant 1}\frac{1}{\lambda_1} \biggl(1+\sum_{k=1}^{\infty}\biggl(\frac{2}{\sqrt{5}\,(3+\sqrt{5}\,)}\biggr)^k \prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\biggr)<\infty
\end{equation}
\tag{2.89}
$$
система (2.88) имеет единственное ограниченное решение $\{t_k,k\geqslant 1\}$. А отсюда и из представления (2.84) заключаем, что оператор $\Lambda_{1,1}(\varphi)$ обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in E}\|\Lambda_{1,1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_1} \leqslant\alpha_1^0.
\end{equation}
\tag{2.90}
$$
Оценки норм оставшихся операторов $\Lambda_{1,2}(\varphi)$, $\Lambda_{2,1}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ не вызывают затруднений. Действительно, опираясь на формулы (2.85)–(2.87), несложно показать, что
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{1,2}(\varphi)\|_{E_1\to E_2} \leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\cdot \sup_{\varphi\in E,k\geqslant 1}|(C_k(\varphi)e_1,e_2)|\leqslant \frac{c_2^0}{c_1^0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k,
\end{equation}
\tag{2.91}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{2,1}(\varphi)\|_{E_2\to E_1} \leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\cdot \sup_{\varphi\in E,k\geqslant 1}|(C_k(\varphi)e_2,e_1)|\leqslant \frac{c_1^0}{c_2^0}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k,
\end{equation}
\tag{2.92}
$$
$$
\begin{equation}
\|\Lambda_{2,2}(\varphi)\|_{E_2\to E_2} \leqslant \sup_{\varphi\in E,k\geqslant 1}(\lambda_2+|(C_k(\varphi)e_2, e_2)|)\leqslant \lambda_2+\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k.
\end{equation}
\tag{2.93}
$$
Обратимся теперь к заключительному условию 2.3 и убедимся в том, что требования (2.41) будут заведомо выполняться при
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0<1,\quad \alpha_2^0<1,\quad \frac{\alpha_1^0}{5}\Bigl(\,\max_{k\geqslant 1}\delta_k\Bigr)^2< (1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0),
\end{equation}
\tag{2.94}
$$
где $\alpha_1^0$ – величина (2.89), а постоянная $\alpha_2^0$ задается равенством
$$
\begin{equation*}
\alpha_2^0=\lambda_2+\frac{1}{\sqrt{5}}\max_{k\geqslant 1}\delta_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, из формул (2.38)–(2.40) и оценок (2.90)–(2.93) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_1\leqslant\alpha_1^0,\quad \alpha_2\leqslant\alpha_2^0,\quad \beta_1\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\,\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} \max_{k\geqslant 1}\delta_k,\quad \beta_2\leqslant\alpha_1^0\,\frac{c_1^0}{c_2^0}\, \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\,\max_{k\geqslant 1}\delta_k, \\ \gamma_1\leqslant\alpha_1^0\,\frac{c_2^0}{c_1^0}\, \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\,\max_{k\geqslant 1}\delta_k,\quad \gamma_2\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\, \max_{k\geqslant 1}\delta_k. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда, в свою очередь, вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\min(\beta_1\beta_2,\gamma_1\gamma_2)\leqslant\frac{\alpha_1^0}{5} \Bigl(\,\max_{k\geqslant 1}\delta_k\Bigr)^2<(1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0) \leqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подводя итог, отметим, что при условии (2.78) интересующее нас отображение (2.53) принадлежит классу $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, а при дополнительных ограничениях (2.94) оно согласно теореме 2.1 является гиперболическим. Однако, поскольку эти условия трудно проверяемы, то целесообразно заменить их более сильными, но одновременно и более простыми ограничениями. Для того чтобы сделать это, привлечем очевидные оценки
$$
\begin{equation}
\prod_{n=1}^k\delta_{s+n-1}\leqslant \Bigl(\,\max_{m\geqslant 1}\delta_m\Bigr)^k\quad \forall\,k,s\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.95}
$$
Учитывая их в формуле для $\theta_0$ (см. (2.78)), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\theta_0\leqslant\frac{1}{\lambda_2}\biggl(1+\sum_{k=1}^{\infty} \biggl(\frac{4}{\sqrt{5}\,(3-\sqrt{5}\,)}\, \max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr)^k\,\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, условие (2.78) заведомо справедливо при
$$
\begin{equation}
\max_{m\geqslant 1}\delta_m<\frac{\sqrt{5}\,(3-\sqrt{5}\,)}{4}\,.
\end{equation}
\tag{2.96}
$$
Для проверки условий (2.94), считая требование (2.96) выполненным, обратимся сначала к формуле (2.89). Снова опираясь на оценки (2.95), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0\leqslant\biggl(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\, \max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.97}
$$
Далее, используя неравенство (2.97), перейдем от (2.94) к более сильным условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \biggl(\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\,\max_{m\geqslant 1} \delta_m\biggr)^{-1}<1,\qquad \max_{m\geqslant 1}\delta_m<\frac{\sqrt{5}\,(\sqrt{5}-1)}{2}\,, \\ \frac{1}{5}\Bigl(\max_{m\geqslant 1}\delta_m\Bigr)^2< \biggl(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\, \max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr) \biggl(\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\, \max_{m\geqslant 1}\delta_m\biggr) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что все они в случае (2.96) справедливы автоматически. Следовательно, оценка (2.96) и есть искомое достаточно простое требование, гарантирующее как включение $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, так и гиперболичность диффеоморфизма (2.53).
3. Устойчивое и неустойчивое инвариантные слоения3.1. Бесконечномерный вариант теоремы Адамара–ПерронаВ известной теореме Адамара–Перрона речь идет о существовании для гиперболических диффеоморфизмов так называемых неустойчивых и устойчивых локальных многообразий. Как отмечено в монографии [10], построение таких многообразий может быть проделано либо методом Адамара [32] (известным также как метод преобразования графика), либо методом Перрона [33]. Оба метода основаны на представлении соответствующих локальных многообразий как графиков некоторых функций, которые удовлетворяют так называемым уравнениям инвариантности. Отличие же этих методов друг от друга состоит в способах отыскания решений данных уравнений. По Адамару решения могут быть найдены как неподвижные точки сжимающих операторов, действующих в подходящих функциональных пространствах. По Перрону решения могут быть получены путем применения теоремы о неявной функции к нелинейным операторам, действующим в некоторых пространствах последовательностей. Ниже мы останавливаем свой выбор на методе Адамара, поскольку он более геометричен. Недостатком такого подхода является то обстоятельство, что в этом случае гладкость локальных многообразий приходится доказывать отдельно. Прежде чем приступить к изложению нашего варианта теоремы о существовании локальных многообразий, уместно вспомнить следующую цитату из [3]: “…примерно каждые пять лет, если не чаще, кто-нибудь ‘открывает’ теорему Адамара–Перрона, доказывая ее либо по схеме доказательства Адамара, либо по схеме Перрона”. Такого рода “открытие” вынуждены совершить и мы. Оправданием нам служит то обстоятельство, что в случае тора $\mathbb{T}^{\infty}$ факт его некомпактности и отсутствие привычных конечномерных инструментов (таких как экспоненциальное отображение, с помощью которого обычно выписываются уравнения инвариантности) не позволяют воспользоваться какими-либо известными результатами. Итак, зафиксируем произвольно гиперболический диффеоморфизм $G$ из введенного нами класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ и рассмотрим его глобальное поднятие $\overline{G}$. Поскольку в силу леммы 2.1 диффеоморфизм $\overline{G}$ также гиперболичен, то имеют место соотношения (2.8)–(2.12). Опираясь на них, в первую очередь установим наличие локальных неустойчивых и устойчивых многообразий именно для отображения $\overline{G}$, а затем перенесем соответствующие результаты на $G$. Следует напомнить, что, как и в конечномерном случае, при фиксированном $\delta>0$ и при каждом $\varphi_0\in E$ указанные многообразия для $\overline{G}$ (которые будем обозначать через $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$ и $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$ соответственно) представляют собой вложенные $C^1$-гладкие диски, диффеоморфные дискам
$$
\begin{equation*}
\{\varphi=\varphi_0+u\colon u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0},\ \|u\|\leqslant \delta\},\qquad \{\varphi=\varphi_0+v\colon v\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0},\ \|v\|\leqslant \delta\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}$ – подпространства из (2.8), и касающиеся указанных дисков в точках $u=0$ и $v=0$ соответственно. Перед формулировкой теоремы о существовании локальных многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$, $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$ введем ряд обозначений. Прежде всего, зададим в пространствах $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$ и $\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}$ так называемые ляпуновские нормы. С этой целью зафиксируем постоянные $\sigma_1\in(\mu_1,1)$, $\sigma_2\in(\mu_2,1)$, где $\mu_1$, $\mu_2$ – константы из (2.10), (2.11), и положим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \|\xi\|_{\varphi_0}&=\sup_{n\in \mathbb{Z}, n\geqslant 0}\, \biggl\|\frac{1}{\sigma_1^n}D(\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0))\xi\biggr\|&\quad \forall\,\xi&\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0},&\quad \forall\,\varphi_0&\in E, \\ \|\xi\|_{\varphi_0}&=\sup_{n\in \mathbb{Z}, n\geqslant 0}\, \biggr\|\frac{1}{\sigma_2^n}D(\overline{G}^{\,n}(\varphi_0))\xi\biggr\|&\quad \forall\,\xi&\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0},&\quad \forall\,\varphi_0&\in E. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Обратим внимание на следующие обстоятельства. Во-первых, в силу выбора $\sigma_1$, $\sigma_2$ и оценок (2.10), (2.11) супремумы в (3.1) заведомо конечны. Во-вторых, и это самое главное, в новых нормах имеют место оценки
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \|(D\overline{G}(\varphi_0))^{-1}\xi\|_{\varphi_0}&= \!\sup_{n\in \mathbb{Z},n\geqslant 0}\,\biggl\|\frac{1}{\sigma_1^n} D(\overline{G}^{\,-(n+1)}(\varphi_1))\xi\biggr\|\leqslant \sigma_1\|\xi\|_{\varphi_1}&\quad \forall\,\xi&\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}, \\ \|D\overline{G}(\varphi_0)\xi\|_{\varphi_1}&= \!\sup_{n\in \mathbb{Z}, n\geqslant 0}\,\biggl\|\frac{1}{\sigma_2^n} D(\overline{G}^{\,(n+1)}(\varphi_0))\xi\biggr\|\leqslant \sigma_2\|\xi\|_{\varphi_0}&\quad \forall\,\xi&\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
здесь и далее $\varphi_1=\overline{G}(\varphi_0)$. В-третьих, нормы (3.1) равномерно эквивалентны исходной норме из $E$. Точнее говоря, справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\|\xi\|\leqslant\|\xi\|_{\varphi_0}\leqslant c\|\xi\|,
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $c=\max(1,c_1,c_2)$, а постоянные $c_1$, $c_2$ заимствованы из (2.10), (2.11). В целях упрощения последующих выкладок мы используем для норм (3.1) одно и то же обозначение $\|\xi\|_{\varphi_0}$. Это не вызовет недоразумений, так как из контекста всегда будет ясно, о какой именно норме идет речь. Кроме того, ниже под нормами $\|\,\cdot\,\|_{H_1\to H_2}$, где $(H_1,H_2)$ – всевозможные комбинации подпространств $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}$, $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$, $\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}$, понимаются соответствующие индуцированные нормами (3.1) операторные нормы. Добавим еще, что если некоторый линейный оператор $A\colon H_1\to H_2$ допускает расширение до оператора $A\colon E\to E$, то в силу (3.3) имеем Завершая обсуждение норм (3.1), заметим, что из (3.2) очевидным образом следуют неравенства
$$
\begin{equation}
\|(D\overline{G}(\varphi_0))^{-1}\|_{\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}}\leqslant\sigma_1<1,\qquad \|D\overline{G}(\varphi_0)\|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}}\leqslant\sigma_2<1.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Эти оценки будут существенно использоваться в дальнейшем. Собственно говоря, именно ради них и были введены специальные нормы (3.1). Ниже нам потребуются также специальные множества
$$
\begin{equation}
U_{\delta} =\bigl\{(u,\varphi_0)\in E\times E\colon\varphi_0\in E,\ u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0},\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
V_{\delta} =\bigl\{(v,\varphi_0)\in E\times E\colon\varphi_0\in E,\ v\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0},\ \|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\delta>0$ – некоторая фиксированная постоянная, а $\|u\|_{\varphi_0}$, $\|v\|_{\varphi_0}$ – нормы (3.1). Метрики в $U_{\delta}$ и $V_{\delta}$ зададим соответственно равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \forall\,w_j&=(u_j,\varphi_0^j)\in U_{\delta},&\quad j&=1,2, &\qquad \rho(w_1,w_2)&=\|u_1-u_2\|+\|\varphi_0^1-\varphi_0^2\|, \\ \forall\,w_j&=(v_j,\varphi_0^j)\in V_{\delta}, &\quad j&=1,2, &\qquad \rho(w_1,w_2)&=\|v_1-v_2\|+\|\varphi_0^1-\varphi_0^2\|, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где, как обычно, $\|\,\cdot\,\|$ – норма из $E$. Далее, через $C(U_{\delta})$ и $C(V_{\delta})$ обозначим совокупности вектор-функций $\Phi(u,\varphi_0)$ и $\Psi(v,\varphi_0)$ соответственно. Считаем, что эти функции определены на множествах (3.6) и (3.7), принимают значения из $E$ и равномерно непрерывно зависят от своих переменных в метриках (3.8). Предполагаем еще, что
$$
\begin{equation}
\sup_{(u,\varphi_0)\in U_{\delta}}\|\Phi(u,\varphi_0)\|<\infty,\quad \sup_{(v,\varphi_0)\in V_{\delta}}\|\Psi(v,\varphi_0)\|<\infty,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(u,\varphi_0+2\pi l)&=\Phi(u,\varphi_0)\qquad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,(u,\varphi_0)\in U_{\delta}, \\ \Psi(v,\varphi_0+2\pi l)&=\Psi(v,\varphi_0)\qquad \forall\,l\in\mathbb{Z}^{\infty},\quad \forall\,(v,\varphi_0)\in V_{\delta}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Подчеркнем, что требования (3.10), которые уместно назвать условиями $2\pi$-периодичности, вполне корректны. Например, в случае $(u,\varphi_0+2\pi l)$ компонента $u$ должна принадлежать подпространству $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0+2\pi l}$ и удовлетворять оценке $\|u\|_{\varphi_0+2\pi l}\leqslant \delta$. Но поскольку $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0+2\pi l}= \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$ (см. (2.12)) и $\|\xi\|_{\varphi_0+2\pi l}=\|\xi\|_{\varphi_0}$ при каждом $\xi\in \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, то автоматически $(u,\varphi_0+2\pi l)\in U_{\delta}$, а значит, выражение $\Phi(u,\varphi_0+2\pi l)$ имеет смысл. Аналогичные рассуждения справедливы и для случая $(v,\varphi_0+2\pi l)$. Перейдем теперь непосредственно к формулировке теоремы Адамара–Перрона. Ее аналогом для гиперболического отображения $\overline{G}$ является следующее утверждение. Теорема 3.1. Найдется такое достаточно малое $\delta>0$, при котором для любой точки $\varphi_0\in E$ диффеоморфизм $\overline{G}$ допускает неустойчивое и устойчивое локальные многообразия со следующими свойствами. 1) Справедливы включения $\Phi_*(u,\varphi_0)\in C(U_{\delta})$, $\Psi_*(v,\varphi_0)\in C(V_{\delta})$ и дополнительные соотношения
$$
\begin{equation}
\Phi_*(0,\varphi_0) \equiv 0, \qquad \Phi_*(u,\varphi_0) \in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0} \quad \forall\,(u,\varphi_0) \in U_{\delta},
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi_*(0,\varphi_0) \equiv 0, \qquad \Psi_*(v, \varphi_0) \in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0} \quad \forall\,(v,\varphi_0) \in V_{\delta}.
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
2) Частные производные Фреше $\partial\Phi_*(u,\varphi_0)/\partial u$, $\partial\Psi_*(v,\varphi_0)/\partial v$ существуют и равномерно непрерывны по $(u,\varphi_0)\in U_{\delta}$, $(v,\varphi_0)\in V_{\delta}$ в равномерной операторной топологии, т. е. равномерно непрерывны по норме пространства $L(E;E)$ операторы
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial\Phi_*}{\partial u}(u,\varphi_0)\overline{P}_{\varphi_0} \colon E\to E,\quad \frac{\partial\Psi_*}{\partial v}(v,\varphi_0)\overline{Q}_{\varphi_0} \colon E\to E,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{P}_{\varphi_0}$, $\overline{Q}_{\varphi_0}$ – проекторы из определения 2.2. Кроме того, выполняются требования
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi_*}{\partial u}(0,\varphi_0) \equiv 0, \quad \sup_{(u,\varphi_0)\in U_{\delta}}\biggl\|\frac{\partial\Phi_*}{\partial u} (u,\varphi_0)\overline{P}_{\varphi_0}\biggr\|_{E\to E} <\infty,
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Psi_*}{\partial v}(0,\varphi_0) \equiv 0, \quad \sup_{(v,\varphi_0)\in V_{\delta}}\biggl\|\frac{\partial\Psi_*}{\partial v} (v,\varphi_0)\overline{Q}_{\varphi_0}\biggr\|_{E\to E} <\infty.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
3) Имеют место свойства инвариантности вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)) \supset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{G}(\varphi_0)) \quad\forall\,\varphi_0\in E,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-1}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)) \supset\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta} (\overline{G}^{\,-1}(\varphi_0)) \quad \forall\,\varphi_0\in E.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
4) Найдутся такие постоянные $r_1,r_2>0$, $\nu_1,\nu_2\in(0,1)$, что при любом $n\in\mathbb{N}$ справедливы неравенства В дополнение к сформулированной теореме отметим, что, как следует из представлений (3.11), (3.12), при любых достаточно близких друг к другу значениях $\overline{\varphi}$, $\overline{\overline{\varphi}}\in E$ локальные многообразия $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})$, $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\overline{\overline{\varphi}})$ пересекаются в единственной точке. Обыгрывая этот факт, нетрудно установить, что имеет место следующее утверждение. Следствие 3.1.1. Найдется такое достаточно малое $\delta'>0$, что для любого $\varphi_0\in E$ и для любой точки $\overline{\varphi}$ из множества условие $\|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\varphi})- \overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\to 0$, $n\to+\infty$, влечет справедливость включения $\overline{\varphi}\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\varphi_0)$, а условие $\|\overline{G}^{\,n}(\overline{\varphi})- \overline{G}^{\,n}(\varphi_0)\|\to 0$, $n\to+\infty$, гарантирует выполнение включения $\overline{\varphi}\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta'}(\varphi_0)$. Действительно, предположим, например, что $\|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\varphi})- \overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\to 0$ при $n\to+\infty$ и в то же время $\overline{\varphi}\notin \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\varphi_0)$. В этом случае точка $\overline{\overline{\varphi}}=\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'} (\overline{\varphi})\cap\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta'}(\varphi_0)$ заведомо отлична от $\varphi_0$. Далее, очевидным образом имеем
$$
\begin{equation*}
\|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\overline{\varphi}})- \overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\leqslant \|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\varphi})- \overline{G}^{\,-n}(\overline{\overline{\varphi}})\|+ \|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\varphi})-\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что оба слагаемых из правой части этого неравенства при $n\to+\infty$ стремятся к нулю, а левая часть в силу (3.20) и включения $\overline{\overline{\varphi}}\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta'}(\varphi_0)$ допускает оценку
$$
\begin{equation*}
\|\overline{G}^{\,-n}(\overline{\overline{\varphi}})- \overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\geqslant \frac{1}{r_2}\biggl(\frac{1}{\nu_2}\biggr)^n\|\overline{\overline{\varphi}}- \varphi_0\|\to +\infty,\qquad n\to+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученное противоречие означает, что на самом деле $\overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\varphi_0)$. Приведенный выше дополнительный результат позволяет дать инвариантное описание локальных многообразий, не зависящее от выбора координат. Например, неустойчивое локальное многообразие, отвечающее точке $\varphi_0\in E$, – это множество точек $\varphi$ из некоторого шара $O(\varphi_0,\delta)\subset E$, $\delta=\operatorname{const}>0$, для которых $\|\overline{G}^{\,-n}(\varphi)-\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\to 0$ при $n\to+\infty$. В случае же устойчивого локального многообразия мы требуем выполнения предельного соотношения $\|\overline{G}^{\,n}(\varphi)-\overline{G}^{\,n}(\varphi_0)\|\to 0$ при $n\to+\infty$. Добавим еще, что из указанных инвариантных представлений локальных многообразий вытекает некоторая информация о характере возможных пересечений $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\overline{\varphi}})$, $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\overline{\overline{\varphi}})$, $\overline{\varphi},\overline{\overline{\varphi}}\in E$. Нетрудно увидеть, что пересекаться эти многообразия могут не произвольным образом, а подчиняясь некоему правилу. Точнее говоря, справедливо очередное Следствие 3.1.2. Предположим, что $\operatorname{int}\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\overline{\varphi})\cap\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\overline{\overline{\varphi}})\ne\varnothing$ при некоторых $\overline{\varphi}, \overline{\overline{\varphi}}\in E$ (через $\operatorname{int}\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\overline{\varphi})$ обозначено множество точек вида $\{\varphi=\varphi_0+u+\Phi_*(u,\varphi_0)\colon u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0},\ \|u\|_{\varphi_0}<\delta\}$). Тогда найдутся такие $\delta'\in(0,\delta)$ и $\theta\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\overline{\varphi}})$, что $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\theta)\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\overline{\varphi}})$. Аналогичное утверждение справедливо и для устойчивых локальных многообразий. Отдельно остановимся на вопросе о получении аналога теоремы 3.1 для исходного гиперболического диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Как оказывается, соответствующий результат не нуждается в отдельном обосновании, поскольку он автоматически следует из теоремы 3.1. Действительно, так как указанная теорема остается в силе при замене $\delta$ на меньшее значение $\delta'\in(0,\delta)$, то без ограничения общности будем считать параметр $\delta$ в ней настолько малым, что выполняются включения
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)\subset O\biggl(\varphi_0,\frac{\varepsilon_0}{2}\biggr),\quad \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)\subset O\biggl(\varphi_0,\frac{\varepsilon_0}{2}\biggr)\quad \forall\,\varphi_0\in E,
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
где $\varepsilon_0$ – величина из (1.8), $O(\varphi_0,\varepsilon_0/2)=\{\varphi\in E\colon \|\varphi-\varphi_0\|<\varepsilon_0/2\}$. В этом случае соответствующие локальные многообразия для $G$ определяются равенствами
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)= \operatorname{pr}[\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0))],\quad \mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)= \operatorname{pr}[\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}( \operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0))]\quad \forall\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Соотношения (3.6), (3.7), (3.11)–(3.16) свидетельствуют о том, что множества (3.22) являются $C^1$-гладкими дисками, вложенными в исходное многообразие $\mathbb{T}^{\infty}$, причем $T_{\varphi_0}\mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)= E_{\varphi_0}^{\rm \,u}$, $T_{\varphi_0}\mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)= E_{\varphi_0}^{\rm \,s}$, где $E_{\varphi_0}^{\rm \,u}$, $E_{\varphi_0}^{\rm \,s}$ – подпространства из разложения (2.2). Кроме того, из формул (3.22) и включений (3.17), (3.18) автоматически имеем
$$
\begin{equation}
G(\mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0))\supset \mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(G(\varphi_0)),\quad G^{-1}(\mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0))\supset \mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(G^{-1}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty},
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
т. е. справедливы стандартные свойства инвариантности. Выполняются в данном случае и аналогичные (3.19), (3.20) неравенства
$$
\begin{equation}
\rho(G^{-n}(\varphi),G^{-n}(\varphi_0)) \leqslant r_1\nu_1^n\rho(\varphi,\varphi_0) \quad \forall\,\varphi_0,\varphi \in\mathbb{T}^{\infty}\colon \varphi\in\mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0), \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
$$
\begin{equation}
\rho(G^{n}(\varphi),G^{n}(\varphi_0)) \leqslant r_2\nu_2^n\rho(\varphi,\varphi_0) \quad \forall\,\varphi_0,\varphi \in\mathbb{T}^{\infty}\colon \varphi\in\mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0), \quad \forall\,n \in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
с теми же самыми постоянными $r_1$, $r_2$, $\nu_1$, $\nu_2$. Для того чтобы убедиться в этом, отметим следующее. В силу сделанного выше выбора $\delta$ (см. (3.21)) и равенства (1.8) отображение (1.6) оказывается изометричным на множествах $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$, $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$. А отсюда и из (3.23) заключаем, что при любом $n\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho(G^{-n}(\operatorname{pr}(\varphi)),G^{-n}(\operatorname{pr}(\varphi_0)))= \|\overline{G}^{\,-n}(\varphi)-\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|\quad \forall\,\varphi_0,\varphi\in E\colon \varphi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0), \\ \rho(G^{n}(\operatorname{pr}(\varphi)),G^{n}(\operatorname{pr}(\varphi_0)))= \|\overline{G}^{\,n}(\varphi)-\overline{G}^{\,n}(\varphi_0)\|\quad \forall\,\varphi_0,\varphi\in E\colon \varphi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0), \\ \rho(\operatorname{pr}(\varphi),\operatorname{pr}(\varphi_0))= \|\varphi-\varphi_0\|\quad \forall\,\varphi_0,\varphi\in E\colon\varphi\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)\text{ или } \varphi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается воспользоваться известными неравенствами (3.19), (3.20) и убедиться в справедливости требуемых оценок (3.24), (3.25). 3.2. Доказательство существования липшицевых локальных многообразийКак обычно, для обоснования теоремы 3.1 достаточно установить факт существования и свойства лишь неустойчивых локальных многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$. Что же касается устойчивых локальных многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$, то они не нуждаются в отдельном рассмотрении, поскольку представляют собой неустойчивые многообразия обратного отображения $\overline{G}^{\,-1}$. Покажем сначала, что у диффеоморфизма $\overline{G}$ для любой точки $\varphi_0\in E$ существует многообразие (3.11) со свойствами (3.13), (3.17), (3.19). Однако вместо (3.15) мы установим пока только факт липшицевости соответствующей функции $\Phi_*(u,\varphi_0)$ по переменной $u$. Что же касается $C^1$-гладкости этой функции по $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, то она будет доказана отдельно. Для того чтобы воспользоваться методом Адамара, введем в рассмотрение так называемое пространство графиков $\mathscr{H}$. В связи с этим фиксируем произвольно достаточно малое $\delta>0$ (в последующем значение этого параметра будет уточняться). Далее, считаем, что $\mathscr{H}$ состоит из вектор-функций $\Phi(u,\varphi_0)\in C(U_{\delta})$ с аналогичными (3.13) свойствами
$$
\begin{equation}
\Phi(0,\varphi_0)\equiv 0,\qquad \Phi(u,\varphi_0)\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\quad \forall\,(u,\varphi_0)\in U_{\delta}.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Предполагаем еще, что
$$
\begin{equation}
\|\Phi(u_1,\varphi_0)-\Phi(u_2,\varphi_0)\|_{\varphi_0}\leqslant L\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}\quad \forall\,(u_1,\varphi_0),(u_2,\varphi_0)\in U_{\delta},
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
причем в левой части этого неравенства фигурирует вторая норма из (3.1), а в правой – первая. Что же касается постоянной $L\geqslant 0$, то она универсальна в том смысле, что не зависит от $u_1$, $u_2$, $\varphi_0$ и от конкретной функции $\Phi\in\mathscr{H}$. Ее выбором распорядимся в последующем. Метрику в $\mathscr{H}$ зададим равенством
$$
\begin{equation}
\forall\,\Phi_1,\Phi_2\in\mathscr{H}\qquad \rho(\Phi_1,\Phi_2)=\sup_{(u,\varphi_0)\in U_{\delta}}\|\Phi_1(u,\varphi_0)-\Phi_2(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}.
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Здесь и ниже одной и той же буквой $\rho$ обозначаются различные метрики. Это не вызовет недоразумений, так как из контекста всегда будет ясно, о какой именно из них идет речь. Нетрудно увидеть, что в силу (3.9) фигурирующий в (3.28) супремум заведомо конечен. Впрочем, в данном случае этот факт автоматически следует из требований (3.26), (3.27), влекущих оценку
$$
\begin{equation}
\|\Phi(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}\leqslant L\delta.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Необходимо также отметить, что пространство $\mathscr{H}$, снабженное метрикой (3.28), является полным. Согласно методу Адамара теперь мы должны задать в $\mathscr{H}$ так называемый оператор преобразования графиков $T$. Будем считать, что этот оператор действует по правилу где вектор-функция $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ такова, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\overline{G}\bigl(\{\varphi=\varphi_0+u+\Phi(u,\varphi_0)\colon u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0},\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta\}\bigr) \\ &\qquad\supset \{\varphi=\varphi_1+u+\overline{\Phi}(u,\varphi_1)\colon u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1},\ \|u\|_{\varphi_1}\leqslant \delta\},\qquad \varphi_1=\overline{G}(\varphi_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Наша ближайшая задача – убедиться в корректности определения оператора $T$, т. е. выразить фигурирующую в (3.31) функцию $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ через $\Phi(u,\varphi_0)\in\mathscr{H}$. При этом для удобства ниже будем считать, что $\varphi_0=\overline{G}^{\,-1}(\varphi_1)$, а $\varphi_1$ – независимая переменная, пробегающая пространство $E$. Заметим, что включение (3.31) означает существование для любого $\widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$, $\|\widetilde{u}\|_{\varphi_1}\leqslant \delta$, такого $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta$, что
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\varphi_0+u+\Phi(u,\varphi_0))=\varphi_1+\widetilde{u}+ \overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Далее, применяя к (3.32) проектор $\overline{P}_{\varphi_1}$ (см. определение 2.2), приходим к выводу, что переменные $\widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$ и $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$ связаны равенством
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}=\overline{P}_{\varphi_1}\bigl(\overline{G}(\varphi_0+u+ \Phi(u,\varphi_0))-\varphi_1\bigr).
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Таким образом, для того чтобы показать корректность определения оператора (3.30), необходимо выразить из (3.33) переменную $u$ через $\widetilde{u}$ и $\varphi_1$. Прежде чем приступить к анализу уравнения (3.33), рассмотрим сначала вспомогательное уравнение где $\varphi_1\in E$, $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $v\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}$, а вектор-функция $F$ со значениями в $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$ задана равенством
$$
\begin{equation}
F(u,v,\varphi_1)= \overline{P}_{\varphi_1}(\overline{G}(\varphi_0+u+v)-\varphi_1).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Далее, перепишем (3.34) в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
u=\Omega(u, \widetilde{u}, v, \varphi_1)\overset{\rm def}{=} \biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1} \biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)u- F(u,v,\varphi_1)+\widetilde{u}\biggr)
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
и проанализируем получившееся уравнение. В первую очередь следует убедиться в обратимости фигурирующего в (3.36) оператора $\partial F(0,0,\varphi_1)/\partial u$. Для этого нам потребуются формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial F}{\partial u}(u,v,\varphi_1)&= \overline{P}_{\varphi_1}D\overline{G}(\varphi_0+u+v)\colon \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}, \\ \frac{\partial F}{\partial v}(u,v,\varphi_1)&= \overline{P}_{\varphi_1}D\overline{G}(\varphi_0+u+v)\colon \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
Используя первую из них, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)=\overline{P}_{\varphi_1} D\overline{G}(\varphi_0)\big|_{\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}}= D\overline{G}(\varphi_0)\big|_{\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из (3.5) вытекает, что оператор $\partial F(0,0,\varphi_1)/\partial u$ непрерывно обратим и, более того,
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi_1\in E}\biggl\|\biggl(\frac{\partial F}{\partial u} (0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}\biggr\|_{\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}}\leqslant \sigma_1<1.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Для формулировки результата о разрешимости уравнения (3.36) по переменной $u$ нам потребуется аналогичное (3.6), (3.7) множество
$$
\begin{equation*}
W_{\delta}=\bigl\{(\widetilde{u},v,\varphi_1)\colon\varphi_1\in E,\ \widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1},\ \|\widetilde{u}\|_{\varphi_1}\leqslant \delta,\ v\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0},\ \|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
с аналогичной (3.8) метрикой
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,w_j=(\widetilde{u}_j,v_j,\varphi_1^j)\in W_{\delta},\quad j=1,2, \\ \rho(w_1,w_2)=\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|+ \|v_1-v_2\|+\|\varphi_1^1-\varphi_1^2\|. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Лемма 3.1. При подходящем уменьшении параметра $\delta$ из уравнения (3.36) однозначно определяется вектор-функция $u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in E$, равномерно непрерывная по совокупности переменных $(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta}$ и такая, что Доказательство. Утверждение леммы будет установлено, если мы покажем, что при соответствующем уменьшении $\delta$ и при любых $(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta}$ оператор удовлетворяет в шаре условиям принципа сжимающих отображений. Убедимся сначала в том, что оператор (3.40) переводит шар (3.41) в себя. Для этого предпримем некоторые дополнительные построения. А именно, обратим внимание, что в силу формул (3.35), (3.37) и очевидных соотношений
$$
\begin{equation*}
\overline{P}_{\varphi_1}D\overline{G}(\varphi_0) \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}= \overline{P}_{\varphi_1}\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}=0
\end{equation*}
\notag
$$
справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
F(0,0,\varphi_1)\equiv 0,\quad \frac{\partial F}{\partial v}(0,0,\varphi_1)\equiv 0,
\end{equation*}
\notag
$$
из которых, в свою очередь, вытекает представление
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber F(u,v,\varphi_1)-\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)u&= \int_0^1\biggl[\biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(tu,tv,\varphi_1)- \frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)u \\ &\qquad+\biggl(\frac{\partial F}{\partial v}(tu,tv,\varphi_1)- \frac{\partial F}{\partial v}(0,0,\varphi_1)\biggr)v\biggr]\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Формула (3.42) играет ключевую роль при оценке сверху нормы $\|\Omega\|_{\varphi_0}$. Объединяя эту формулу с равенствами (3.37) и учитывая свойство (3.4), приходим к выводу, что при всех $\varphi_1\in E$, всех $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$ таких, что $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta$, и всех $v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}$ таких, что $\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta$, справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl\|F(u,v,\varphi_1)- \frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)u\biggr\|_{\varphi_1} \\ \nonumber &\qquad\leqslant\delta\cdot \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}:\\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \bigl\|\overline{P}_{\varphi_1}(D\overline{G}(\varphi_0+u+v)- D\overline{G}(\varphi_0))\bigr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}} \\ \nonumber &\qquad\qquad+\delta\cdot \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}:\\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \bigl\|\overline{P}_{\varphi_1}(D\overline{G}(\varphi_0+u+v)- D\overline{G}(\varphi_0))\bigr\|_{\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}} \\ &\qquad \leqslant 2c\cdot\sup_{\varphi_1\in E} \|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E}\cdot \theta_0(\delta)\delta, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
где $c$ – постоянная из (3.3), а $\theta_0(\delta)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\theta_0(\delta)=\sup_{\varphi_1\in E}\, \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}: \\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \|D\overline{G}(\varphi_0+u+v)-D\overline{G}(\varphi_0)\|_{E\to E}.
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
Заметим еще, что в силу равномерной ограниченности проекторов $\overline{P}_{\varphi}$, $\overline{Q}_{\varphi}$ (см. (2.16), (2.26)) и равномерной непрерывности дифференциала $D\overline{G}$ все фигурирующие в (3.43), (3.44) супремумы заведомо конечны. Более того, при $\delta\to 0$ величина (3.44) стремится к нулю. Полученные выше неравенства (3.43) позволяют уже достаточно просто разобраться с оценкой для $\|\Omega\|_{\varphi_0}$. Действительно, объединяя указанные неравенства с (3.38) и принимая во внимание явную формулу для $\Omega$ (см. (3.36)), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\Omega(u, \widetilde{u},v,\varphi_1)\|_{\varphi_0}&\leqslant \sigma_1\biggl(\biggl\|F(u,v,\varphi_1)- \frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)u\biggr\|_{\varphi_1}+ \|\widetilde{u}\|_{\varphi_1}\biggr) \\ &\leqslant\sigma_1\Bigl(2c\cdot\sup_{\varphi_1\in E} \|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E}\cdot\theta_0(\delta)+1\Bigr)\delta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
В дальнейшем величину $\delta$ будем считать настолько малой, что
$$
\begin{equation}
2c\sigma_1\cdot\sup_{\varphi_1\in E}\|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E} \cdot \theta_0(\delta)<1-\sigma_1.
\end{equation}
\tag{3.46}
$$
В этом случае, как следует из (3.45), оператор (3.40) переводит интересующий нас шар (3.41) в себя. Проверка сжимаемости оператора (3.40) также не вызывает затруднений, но требует некоторого дополнительного ограничения на $\delta$. Действительно, привлекая вытекающую из (3.36) формулу
$$
\begin{equation*}
\Omega(u,\widetilde{u},v,\varphi_1)=u- \biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1} F(u,v,\varphi_1)+ \biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}\widetilde{u},
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \forall\,u_j\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\quad \|u_j\|_{\varphi_0}\leqslant\delta,\quad j=1, 2,\quad \forall\,(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta} \\ \|\Omega(u_1,\widetilde{u},v,\varphi_1)- \Omega(u_2,\widetilde{u},v,\varphi_1)\|_{\varphi_0}\leqslant \theta_1(\delta)\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.47}
$$
где
$$
\begin{equation}
\hspace{-1mm}\theta_1(\delta)=\sup_{\varphi_1\in E}\, \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}:\\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \biggl\|I-\biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}\, \frac{\partial F}{\partial u} (u,v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}},
\end{equation}
\tag{3.48}
$$
а через $I$ обозначен единичный оператор в $\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$. Заметим далее, что, как и в случае (3.44), величина (3.48) заведомо конечна и $\theta_1(\delta)\to 0$ при $\delta\to 0$ (по тем же причинам, что и выше). Уменьшая, если это необходимо, параметр $\delta$, всюду ниже считаем, что наряду с (3.46) выполняется условие Тогда согласно (3.47) оператор (3.40) является сжимающим, а значит, имеет в шаре (3.41) единственную неподвижную точку $u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)$. Подчеркнем, что в силу равномерной сжимаемости (константа сжатия (3.48) не зависит от $(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta}$) и равномерной непрерывности $\Omega(u,\widetilde{u},v,\varphi_1)$ по $(u,\widetilde{u},v,\varphi_1)$ функция $\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)$ равномерно непрерывна по $(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta}$. Далее, первые три свойства (3.39) выполняются для нее по построению, а периодичность $\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)$ по $\varphi_1$ – следствие аналогичной периодичности вектор-функции $\Omega$ (см. (3.36)). Лемма 3.1 доказана.В дальнейшем нам потребуются некоторые дополнительные свойства функции $\Sigma(\widetilde{u}, v, \varphi_1)$. Для их получения убедимся сначала в обратимости оператора $\partial F(u,v,\varphi_1)/\partial u$ при всех $\varphi_1\in E$, $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, $v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}$, $\|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$. В связи с этим введем в рассмотрение оператор
$$
\begin{equation*}
A(u,v,\varphi_1)= I-\biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}\, \frac{\partial F}{\partial u}(u,v,\varphi_1)\colon \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}
\end{equation*}
\notag
$$
и заметим, что в силу (3.48), (3.49)
$$
\begin{equation*}
\bigl\|(I-A(u,v,\varphi_1))^{-1}\bigr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}\leqslant\frac{1}{1-\theta_1(\delta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда вытекают требуемая обратимость $\partial F(u,v,\varphi_1)/\partial u$ и формула
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(u, v,\varphi_1)\biggr)^{-1}= \bigl(I-A(u,v,\varphi_1)\bigr)^{-1} \biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.50}
$$
Установленная выше обратимость оператора $\partial F(u,v,\varphi_1)/\partial u$ позволяет применить к уравнению (3.34) теорему о неявной функции в любой фиксированной точке $(u,\widetilde{u},v,\varphi_1)$, где $u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)$. Из упомянутой теоремы следуют непрерывная дифференцируемость $\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)$ по переменным $\widetilde{u}$, $v$ и равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial}{\partial\widetilde{u}}\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)&= \biggl(\frac{\partial F}{\partial u} (u,v,\varphi_1)\biggr)^{-1}\bigg|_{u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)}, \\ \frac{\partial}{\partial v}\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)&= -\biggl(\frac{\partial F}{\partial u}(u,v,\varphi_1)\biggr)^{-1} \frac{\partial F}{\partial v} (u,v,\varphi_1)\bigg|_{u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.51}
$$
Формулы (3.51) позволяют получить некоторые необходимые в последующем оценки. А именно, несложно увидеть, что при всех $(\widetilde{u},v,\varphi_1)\in W_{\delta}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl\|\frac{\partial}{\partial\widetilde{u}} \Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1} \to\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}&\leqslant q_1(\delta), \\ \biggl\|\frac{\partial}{\partial v} \Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0} \to\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}&\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.52}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q_1(\delta)&=\sup_{\varphi_1\in E}\, \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}: \\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \biggl\|\biggl(\frac{\partial F}{\partial u} (u,v,\varphi_1)\biggr)^{-1}\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1} \to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}, \\ q_2(\delta)&=\sup_{\varphi_1\in E}\, \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}: \\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \biggl\|\frac{\partial F}{\partial v} (u,v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.53}
$$
Заметим также, что, во-первых, в силу формул (3.37), (3.50) и равномерной непрерывности дифференциала $D\overline{G}$ величины (3.53) конечны и допускают при $\delta\to 0$ конечные пределы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_1(0)&=\sup_{\varphi_1\in E}\biggl\|\biggl(\frac{\partial F}{\partial u} (0,0,\varphi_1)\biggr)^{-1}\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}, \\ q_2(0)&=\sup_{\varphi_1\in E}\biggl\|\frac{\partial F}{\partial v} (0,0,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
во-вторых, $q_2(0)=0$, а для $q_1(0)$ в силу (3.38) имеем $q_1(0)\leqslant \sigma_1<1$. Тем самым, уменьшая надлежащим образом $\delta$, без ограничения общности будем считать, что в дополнение к (3.46), (3.49) имеет место неравенство Проделанные выше предварительные построения позволяют проанализировать интересующее нас уравнение (3.33). Для того чтобы сделать это, сначала перепишем его в эквивалентной форме
$$
\begin{equation}
u=\Gamma_{\Phi}(u,\widetilde{u},\varphi_1)\overset{\rm def}{=} \Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\big|_{v=\Phi(u,\varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.55}
$$
Следует, однако, заметить, что переход от (3.33) к (3.55) возможен лишь при условии
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{\varphi_0}=\|\Phi(u,\varphi_0\|_{\varphi_0}\leqslant\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
В связи с этим всюду ниже считаем, что фигурирующая в (3.27) константа Липшица удовлетворяет требованию Тогда в силу (3.29) нужное условие $\|\Phi(u,\varphi_0\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$ выполняется автоматически, а значит, переход от (3.33) к уравнению (3.55) правомерен. Перейдем к вопросу о разрешимости этого уравнения по переменной $u$. Ответ на него содержится в следующем утверждении. Лемма 3.2. При некотором дополнительном ограничении на константу $L$ из (3.27) уравнение (3.55) допускает единственное решение $u=u_{\Phi}(\widetilde{u}, \varphi_1)\in E$, равномерно непрерывное по совокупности переменных $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$ и такое, что Доказательство. Как и при обосновании леммы 3.1, введем в рассмотрение вспомогательный оператор и проверим для него выполнение в шаре (3.41) условий принципа сжимающих отображений. Для любых $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$, $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta$, в силу оценок (3.29), (3.52) и равенства $\Sigma(0,0,\varphi_1)\equiv 0$ (см. (3.39)) очевидным образом имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Gamma_{\Phi}(u,\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0}&= \|\Sigma(\widetilde{u},\Phi(u,\varphi_0),\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant\|\Sigma(\widetilde{u},\Phi(u,\varphi_0),\varphi_1)- \Sigma(0,\Phi(u,\varphi_0),\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad+\|\Sigma(0,\Phi(u,\varphi_0),\varphi_1)- \Sigma(0,0,\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant q_1(\delta)\delta+q_1(\delta)q_2(\delta) \|\Phi(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}\leqslant q_1(\delta)\delta+q_1(\delta)q_2(\delta)L\delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, при дополнительном условии на $L$, имеющем вид оператор (3.58) действительно преобразует шар (3.41) в себя. Добавим еще, что в силу (3.54) константы $L$, удовлетворяющие условию (3.59), заведомо существуют. Для проверки факта сжимаемости оператора (3.58) зафиксируем произвольно $u_j\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u_j\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, $j=1,2$, и воспользуемся неравенствами (3.27), (3.52). В результате убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\|\Gamma_{\Phi}(u_1, \widetilde{u}, \varphi_1)- \Gamma_{\Phi}(u_2,\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ \nonumber &\qquad=\|\Sigma(\widetilde{u},\Phi(u_1,\varphi_0),\varphi_1)- \Sigma(\widetilde{u},\Phi(u_2,\varphi_0),\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)L\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.60}
$$
Заметим, далее, что неравенство $q_1(\delta)q_2(\delta)L<1$ вытекает из (3.59) автоматически. А отсюда и из принципа сжимающих отображений делаем вывод о существовании у оператора (3.58) в шаре (3.41) единственной неподвижной точки $u=u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$. Остается добавить, что в силу равномерности сжатия и равномерной непрерывности $\Gamma_{\Phi}$ функция $u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ равномерно непрерывна по $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$. Что же касается дополнительных свойств (3.57), то, как и в случае (3.39), первые три из них справедливы по построению, а $2\pi$-периодичность по $\varphi_1$ вытекает из периодичности по $\varphi_1$ вектор-функции $\Gamma_{\Phi}(u,\widetilde{u},\varphi_1)$ (см. (3.55)). Лемма 3.2 доказана. Вернемся к вопросу об отыскании функции $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ из (3.31). С этой целью подставим $u=u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ в (3.32) и применим к получившемуся равенству проектор $\overline{Q}_{\varphi_1}$. В результате приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
\overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)= R(u,v,\varphi_1)\big|_{v=\Phi(u,\varphi_0),\ u=u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1),\ \varphi_0=\overline{G}^{\,-1}(\varphi_1)},
\end{equation}
\tag{3.61}
$$
где
$$
\begin{equation}
R(u,v,\varphi_1)=\overline{Q}_{\varphi_1}(\overline{G}(\varphi_0+u+v)- \varphi_1),\quad u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\quad v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0},\quad \varphi_1\in E.
\end{equation}
\tag{3.62}
$$
Далее, поскольку набор переменных $(\widetilde{u},\varphi_1)$ в (3.61) пробегает все множество $U_{\delta}$, то можно переобозначить $(\widetilde{u},\varphi_1)$ снова через $(u,\varphi_0)$. Что же касается функции $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$, то в этом случае для нее имеем
$$
\begin{equation}
\overline{\Phi}(u, \varphi_0)= \overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)\big|_{\widetilde{u}\to u,\, \varphi_1\to \varphi_0},
\end{equation}
\tag{3.63}
$$
где $\overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ – функция (3.61), а $\widetilde{u}\to u$, $\varphi_1\to \varphi_0$ – упомянутые выше операции переобозначения. Итак, мы показали, что оператор $T$ корректно определен на пространстве графиков $\mathscr{H}$. Установим теперь следующее утверждение, являющееся сутью метода Адамара. Лемма 3.3. При подходящем уменьшении параметра $\delta$ и при надлежащем выборе константы Липшица $L$ из (3.27) оператор (3.30) переводит пространство $\mathscr{H}$ в себя и является сжимающим. Доказательство. Считая все перечисленные выше ограничения на $\delta$ и $L$ выполненными (см. (3.46), (3.49), (3.54), (3.56), (3.59)), покажем сначала, что при некоторых дополнительных условиях на эти параметры справедливо включение $T(\mathscr{H})\subset\mathscr{H}$. Отметим сразу очевидные моменты: из соотношений (3.61)–(3.63) и из установленных выше свойств (3.57) функции $u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ автоматически вытекают включение $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)\in C(U_{\delta})$ и справедливость для $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ требований (3.26). Следовательно, в проверке нуждается лишь выполнение для функции $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ условия Липшица (3.27). Покажем сначала, что условию Липшица по переменной $\widetilde{u}$ удовлетворяет функция $u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$. В связи с этим фиксируем произвольно значения $\widetilde{u}_j\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}$, $\|\widetilde{u}_j\|_{\varphi_1}\leqslant\delta$, $j=1,2$, и полагаем $u_j=u_{\Phi}(\widetilde{u}_j,\varphi_1)$, $j=1,2$. Далее, из явного вида (3.55) функции $\Gamma_{\Phi}(u,\widetilde{u},\varphi_1)$ и из оценок (3.52), (3.60) последовательно выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|u_1-u_2\|_{\varphi_0}&=\|\Gamma_{\Phi}(u_1,\widetilde{u}_1,\varphi_1)- \Gamma_{\Phi}(u_2,\widetilde{u}_2,\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant \|\Gamma_{\Phi}(u_1,\widetilde{u}_1,\varphi_1)- \Gamma_{\Phi}(u_2,\widetilde{u}_1,\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad+\|\Gamma_{\Phi}(u_2,\widetilde{u}_1,\varphi_1)- \Gamma_{\Phi}(u_2,\widetilde{u}_2,\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)L\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}+ q_1(\delta)\|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|_{\varphi_1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из уже упоминавшегося выше неравенства $q_1(\delta)q_2(\delta)L<1$ имеем
$$
\begin{equation}
\|u_{\Phi}(\widetilde{u}_1,\varphi_1)- u_{\Phi}(\widetilde{u}_2,\varphi_1)\|_{\varphi_0}\leqslant \frac{q_1(\delta)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L}\,\|\widetilde{u}_1- \widetilde{u}_2\|_{\varphi_1}.
\end{equation}
\tag{3.64}
$$
Дальнейший способ действий таков. Сначала мы получим некоторые оценки на частные производные вектор-функции (3.62) по переменным $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, и $v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}$, $\|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$. Затем, объединяя эти оценки с неравенством (3.64), установим наличие свойства липшицевости по $\widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}$, $\|\widetilde{u}\|_{\varphi_1}\leqslant\delta$, у функции $\overline{\Phi}(\widetilde{u}, \varphi_1)$ (см. (3.61)). Для реализации описанной выше схемы привлечем вытекающие из (3.62) равенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial R}{\partial u}(u,v,\varphi_1)&=\overline{Q}_{\varphi_1} D\overline{G}(\varphi_0+u+v)\colon\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}, \\ \frac{\partial R}{\partial v}(u,v,\varphi_1)&=\overline{Q}_{\varphi_1} D\overline{G}(\varphi_0+u+v)\colon\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.65}
$$
Далее обратимся к первой формуле из (3.65) и заметим, что в силу соотношений
$$
\begin{equation*}
D\overline{G}(\varphi_0)\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}= \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1},\quad \overline{Q}_{\varphi_1}D\overline{G}(\varphi_0) \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}=0
\end{equation*}
\notag
$$
она может быть записана в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial R}{\partial u}(u,v,\varphi_1)=\overline{Q}_{\varphi_1} \bigl(D\overline{G}(\varphi_0+u+v)-D\overline{G}(\varphi_0)\bigr)\colon \overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда несложно вывести (см. аналогичное место выше, относящееся к неравенствам (3.43)), что при всех $\varphi_1\in E$, $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, $v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}$, $\|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\biggl\|\frac{\partial R}{\partial u} (u,v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}}\leqslant q_0(\delta)\overset{\rm def}{=} c\cdot\sup_{\varphi_1\in E}\|\overline{Q}_{\varphi_1}\|_{E\to E} \cdot \theta_0(\delta),
\end{equation}
\tag{3.66}
$$
где, напомним, $c$ – постоянная из (3.3), (3.4), а $\theta_0(\delta)$ – величина (3.44). В случае второй формулы из (3.65) при тех же значениях $\varphi_1$, $u$, $v$ очевидным образом выполняется неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\biggl\|\frac{\partial R}{\partial v} (u,v,\varphi_1)\biggr\|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}} \\ &\qquad\leqslant q_3(\delta)\overset{\rm def}{=}\sup_{\varphi_1\in E}\, \sup_{\substack{u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},\, v\in\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}: \\ \|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta,\,\|v\|_{\varphi_0}\leqslant \delta}} \bigl\|\overline{Q}_{\varphi_1}D\overline{G} (\varphi_0+u+v)\bigr\|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.67}
$$
Следует также отметить, что поскольку
$$
\begin{equation*}
\overline{Q}_{\varphi_1}D\overline{G} (\varphi_0)\big|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}}= D\overline{G}(\varphi_0)\big|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0} \to\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}},
\end{equation*}
\notag
$$
то в силу (3.5) при $\delta\to 0$ имеем
$$
\begin{equation*}
q_3(\delta)\to q_3(0)=\sup_{\varphi_1\in E} \|D\overline{G}(\varphi_0)\|_{\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_0} \to\overline{E}^{\rm \,s}_{\varphi_1}}\leqslant\sigma_2<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это обстоятельство, всюду ниже считаем $\delta$ настолько малым, что выполняется условие Убедимся теперь в том, что функция $\overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $\widetilde{u}$. С этой целью зафиксируем произвольным образом $\widetilde{u}_j\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$, $\|\widetilde{u}_j\|_{\varphi_1}\leqslant \delta$, $j=1,2$, положим $u_j=u_{\Phi}(\widetilde{u}_j,\varphi_1)$, $v_j=\Phi(u_j,\varphi_0)$, $j=1,2$, и привлечем формулу (3.61) вместе с оценками (3.64), (3.66), (3.67). В результате имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\overline{\Phi}(\widetilde{u}_1,\varphi_1)- \overline{\Phi}(\widetilde{u}_2,\varphi_1)\|_{\varphi_1}&= \|R(u_1,v_1,\varphi_1)-R(u_2,v_2,\varphi_1)\|_{\varphi_1} \\ \nonumber &\leqslant q_0(\delta)\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}+q_3(\delta) \|v_1-v_2\|_{\varphi_0} \\ \nonumber &\leqslant (q_0(\delta)+q_3(\delta)L)\|u_1-u_2\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant \frac{q_1(\delta)(q_0(\delta)+q_3(\delta)L)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L}\, \|\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2\|_{\varphi_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.69}
$$
Из очевидной связи между функциями $\overline{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ и $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ (см. (3.63)) следует, что они удовлетворяют условиям Липшица по $\widetilde{u} $ и $u$ соответственно с одной и той же константой. А отсюда и из (3.69) заключаем, что если постоянную $L$ выбрать корнем уравнения
$$
\begin{equation}
\frac{q_1(\delta)(q_0(\delta)+q_3(\delta)L)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L}=L,
\end{equation}
\tag{3.70}
$$
подчиненным условиям (3.56), (3.59), то для функции $\overline{\Phi}(u,\varphi_0)$ будет выполняться условие Липшица (3.27). Таким образом, проблема обоснования включения $T(\mathscr{H})\subset\mathscr{H}$ свелась к отысканию упомянутого корня. Нетрудно заметить, что уравнение (3.70) эквивалентно квадратному уравнению
$$
\begin{equation}
P(L)\overset{\rm def}{=}q_1(\delta)q_2(\delta)L^2+ (q_1(\delta)q_3(\delta)-1)L+q_1(\delta)q_0(\delta)=0.
\end{equation}
\tag{3.71}
$$
Далее, при условиях
$$
\begin{equation}
q_1(\delta)q_3(\delta)<1,\quad (1-q_1(\delta)q_3(\delta))^2>4q_1^2(\delta)q_2(\delta)q_0(\delta)
\end{equation}
\tag{3.72}
$$
уравнение (3.71) допускает на полуоси $L\geqslant 0$ два различных корня. В качестве константы $L$ из (3.27) возьмем наименьший из них, т. е. положим
$$
\begin{equation}
L=L_*(\delta)\overset{\rm def}{=}\frac{2q_1(\delta)q_0(\delta)} {1-q_1(\delta)q_3(\delta)+\sqrt{(1-q_1(\delta)q_3(\delta))^2- 4q_1^2(\delta)q_2(\delta)q_0(\delta)}}\,.
\end{equation}
\tag{3.73}
$$
Тогда требование (3.59) справедливо автоматически (оно вытекает из неравенства $P'(L)\big|_{L=L_*(\delta)}<0$). А поскольку в силу соотношений имеем $L_*(\delta)\to 0$ при $\delta\to 0$, то при малых $\delta$ будет справедливо и требование Для придания описанному выше выбору $L$ законной силы осталось проверить выполнение неравенств (3.72). Заметим, что первое из них является следствием уже наложенных ранее условий (3.54), (3.68). Второе же согласно (3.74) заведомо имеет место при $\delta=0$. Поэтому оно сохраняется и при малых $\delta>0$. Всюду ниже считаем, что $\delta$ выбрано именно таким. Предполагаем еще, что при этом выборе выполняется и неравенство (3.75). Покажем, далее, что при $L=L_*(\delta)$ (см. (3.73)) и при соответствующем уменьшении $\delta$ оператор $T$ является сжимающим в пространстве $\mathscr{H}$. Для этого сначала выявим зависимость от $\Phi\in\mathscr{H}$ функций $\Gamma_{\Phi}(u,\widetilde{u},\varphi_1)$ и $u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$. Опираясь на явный вид $\Gamma_{\Phi}$ (см. формулу (3.55)) и принимая во внимание оценки (3.52), приходим к выводу, что при любых $\Phi_1,\Phi_2\in\mathscr{H}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\|\Gamma_{\Phi_1}(u,\widetilde{u},\varphi_1)- \Gamma_{\Phi_2}(u,\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ \nonumber &\qquad=\|\Sigma(\widetilde{u},\Phi_1(u,\varphi_0),\varphi_1)- \Sigma(\widetilde{u},\Phi_2(u,\varphi_0),\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)\|\Phi_1(u,\varphi_0)- \Phi_2(u, \varphi_0)\|_{\varphi_0}\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)\rho(\Phi_1,\Phi_2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.76}
$$
где, напомним, $\rho(\Phi_1,\Phi_2)$ – метрика (3.28). Аналогичным образом, из уже установленных цепочек неравенств (3.60), (3.76) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|u_{\Phi_1}(\widetilde{u}, \varphi_1)- u_{\Phi_2}(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad=\|\Gamma_{\Phi_1}(u_{\Phi_1}(\widetilde{u},\varphi_1), \widetilde{u},\varphi_1)-\Gamma_{\Phi_2}(u_{\Phi_2}(\widetilde{u},\varphi_1), \widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0} \\ &\qquad\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)\rho(\Phi_1,\Phi_2)+ q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)\|u_{\Phi_1}(\widetilde{u},\varphi_1)- u_{\Phi_2}(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_*(\delta)$ – константа Липшица (3.73). А отсюда, в свою очередь, следует, что
$$
\begin{equation}
\|u_{\Phi_1}(\widetilde{u},\varphi_1)- u_{\Phi_2}(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_0}\leqslant \frac{q_1(\delta)q_2(\delta)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}\, \rho(\Phi_1,\Phi_2).
\end{equation}
\tag{3.77}
$$
Возвращаясь к интересующей нас проблеме сжимаемости оператора (3.30), рассмотрим две функции $\overline{\Phi}_1(\widetilde{u},\varphi_1)$ и $\overline{\Phi}_2(\widetilde{u},\varphi_1)$, определенные формулой (3.61) в случае $\Phi=\Phi_1$ и $\Phi=\Phi_2$ соответственно. Положим, далее, $u_j=u_{\Phi_j}(\widetilde{u},\varphi_1)$, $v_j=\Phi_j(u_j, \varphi_0)$, $j=1,2$. Опираясь на оценки (3.66), (3.67), нетрудно увидеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\overline{\Phi}_1(\widetilde{u},\varphi_1)- \overline{\Phi}_2(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_1}&= \|R(u_1,v_1,\varphi_1)-R(u_2,v_2,\varphi_1)\|_{\varphi_1} \\ &\leqslant q_0(\delta)\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}+ q_3(\delta)\|v_1-v_2\|_{\varphi_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.78}
$$
Что же касается фигурирующих в (3.78) норм $\|u_1-u_2\|_{\varphi_0}$, $\|v_1-v_2\|_{\varphi_0}$, то для первой из них справедлива оценка (3.77), а для второй имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|v_1-v_2\|_{\varphi_0}&=\|\Phi_1(u_1,\varphi_0)- \Phi_2(u_2,\varphi_0)\|_{\varphi_0}\leqslant \rho(\Phi_1,\Phi_2)+L_*(\delta)\|u_1-u_2\|_{\varphi_0} \\ &\leqslant \frac{1}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}\, \rho(\Phi_1,\Phi_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.79}
$$
Суммируя установленные неравенства (3.77)–(3.79) и опираясь на формулу (3.63), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\forall\,\Phi_1,\Phi_2\in\mathscr{H}\quad \rho(T(\Phi_1), T(\Phi_2))\leqslant q_*(\delta)\rho(\Phi_1,\Phi_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_*(\delta)=\frac{q_0(\delta)q_1(\delta)q_2(\delta)+q_3(\delta)} {1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Остается заметить, что поскольку $q_*(0)=q_3(0)<1$, то выполнения неравенства $q_*(\delta)<1$ добиваемся за счет очередного уменьшения параметра $\delta$. Лемма 3.3 доказана. Согласно установленной лемме и принципу сжимающих отображений при наложенных выше ограничениях на параметры $\delta$ и $L$ оператор (3.30) имеет в пространстве $\mathscr{H}$ единственную неподвижную точку $\Phi=\Phi_*(u,\varphi_0)$. Далее, при любом $\varphi_0\in E$ рассмотрим отвечающее этой неподвижной точке множество (3.11). Покажем, что оно и будет искомым локальным неустойчивым многообразием для диффеоморфизма $\overline{G}$. Сформулированная проблема сводится к проверке свойств (3.17) и (3.19). В связи с этим обратим внимание, что требуемая инвариантность (3.17) вытекает из включения (3.31) при $\Phi=\Phi_*(u,\varphi_0)$ с учетом равенства $T(\Phi_*)=\Phi_*$. Для доказательства же второго из упомянутых свойств зафиксируем произвольно точки $\varphi_0,\varphi\in E$ такие, что $\varphi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$, и рассмотрим связывающее их соотношение где $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant \delta$. Далее, поскольку имеют место вытекающие из (3.17) включения
$$
\begin{equation*}
\overline{G}^{\,-n}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)) \subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)),\qquad n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
то итерации $\overline{G}^{\,-n}(\varphi)$ точки (3.80) допускают представления вида
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-n}(\varphi)=\varphi_{-n}+u_n+\Phi_*(u_n,\varphi_{-n}),\qquad n\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.81}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varphi_{-n}=\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0),\qquad u_n\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_{-n}},\quad \|u_n\|_{\varphi_{-n}}\leqslant \delta.
\end{equation*}
\notag
$$
А так как (см. (3.3), (3.29), (3.81))
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\overline{G}^{\,-n}(\varphi)-\overline{G}^{\,-n}(\varphi_0)\|&= \|u_n+\Phi_*(u_n,\varphi_{-n})\|\leqslant \|u_n\|+\|\Phi_*(u_n,\varphi_{-n})\| \\ \nonumber &\leqslant \|u_n\|_{\varphi_{-n}}+ \|\Phi_*(u_n,\varphi_{-n})\|_{\varphi_{-n}} \\ &\leqslant (1+L_*(\delta))\|u_n\|_{\varphi_{-n}}\leqslant c(1+L_*(\delta))\|u_n\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.82}
$$
то проблема обоснования оценок (3.19) сводится к получению аналогичных оценок для последовательности $\|u_n\|$, $n\geqslant 1$. Анализ упомянутой последовательности существенно опирается на вытекающее из (3.32) при $\Phi=\Phi_*$ представление
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-1}(\varphi_0+u+\Phi_*(u,\varphi_0))= \varphi_{-1}+u_*(u,\varphi_0)+\Phi_*(u_*(u,\varphi_0),\varphi_{-1}).
\end{equation}
\tag{3.83}
$$
Здесь $(u,\varphi_0)$ – произвольный элемент из $U_{\delta}$, $\varphi_{-1}=\overline{G}^{\,-1}(\varphi_0)$, а вектор-функция $u_*(u,\varphi_0)$ со значениями в $\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_{-1}}$ получается из функции $u_{\Phi}(\widetilde{u},\varphi_1)$ (см. лемму 3.2) при $\Phi=\Phi_*$ и при замене аргументов $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$ на $(u,\varphi_0)\in U_{\delta}$. Действительно, опираясь на равенство (3.83), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
u_n=u_*(u_{n-1},\varphi_{-(n-1)}),\quad n\geqslant 1,\qquad u_0=u,
\end{equation}
\tag{3.84}
$$
где $u$ – вектор из (3.80). Далее, объединяя формулы (3.84) с неравенствами (3.3), (3.64) и свойством $u_*(0,\varphi_0)\equiv 0$, имеем
$$
\begin{equation}
\nonumber \|u_n\|_{\varphi_{-n}} =\|u_*(u_{n-1},\varphi_{-(n-1)})\|_{\varphi_{-n}}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\|u_*(u_{n-1},\varphi_{-(n-1)})-u_*(0,\varphi_{-(n-1)})\|_{\varphi_{-n}}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\nu_1\|u_{n-1}\|_{\varphi_{-(n-1)}},\quad \|u_n\|_{\varphi_{-n}}\leqslant \nu_1^n\|u\|_{\varphi_0},
\end{equation}
\tag{3.85}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \|u_n\| \leqslant \|u_n\|_{\varphi_{-n}}\leqslant \nu_1^n\|u\|_{\varphi_0}= \nu_1^n\|\overline{P}_{\varphi_0}(\varphi-\varphi_0)\|_{\varphi_0}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\leqslant\nu_1^n c\cdot\sup_{\varphi_0\in E} \|\overline{P}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot \|\varphi-\varphi_0\|,
\end{equation}
\tag{3.86}
$$
где в силу (3.59)
$$
\begin{equation}
\nu_1=\frac{q_1(\delta)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}<1.
\end{equation}
\tag{3.87}
$$
И наконец, объединяя получившиеся соотношения (3.82), (3.85)–(3.87), приходим к требуемым оценкам (3.19). Тем самым, существование у диффеоморфизма $\overline{G}$ неустойчивых липшицевых локальных многообразий полностью обосновано. 3.3. Гладкость локальных многообразийДля завершения доказательства теоремы 3.1 осталось убедиться в том, что фигурирующая в (3.11) вектор-функция $\Phi_*(u,\varphi_0)$, являющаяся, напомним, неподвижной точкой оператора (3.30), обладает свойством $C^1$-гладкости по переменной $u\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$. В силу формул (3.61)–(3.63) и равенства $T(\Phi_*)=\Phi_*$ для этого достаточно показать $C^1$-гладкость по $\widetilde{u}$ вектор-функции $\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)$, определяющейся из уравнения
$$
\begin{equation}
\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)= R(u,v,\varphi_1)\big|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1),\ v=\Phi_*(u,\varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.88}
$$
Здесь, напомним, $u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1)$ – решение уравнения
$$
\begin{equation}
u=\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\big|_{v=\Phi_*(u,\varphi_0)},
\end{equation}
\tag{3.89}
$$
$\varphi_0=\overline{G}^{\,-1}(\varphi_1)$, а $\varphi_1\in E$ – независимая переменная. Согласно общим идеям из [34] сначала мы покажем, что производная
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Phi_*}{\partial \widetilde{u}}(\widetilde{u},\varphi_1)= \eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\colon\overline{E}^{\rm\,u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1},\qquad (\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}
\end{equation}
\tag{3.90}
$$
(если она существует) удовлетворяет некоторому операторному уравнению. Затем, применяя к этому уравнению принцип сжимающих отображений, убеждаемся в существовании у него решения $\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\colon\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}$ (так называемой формальной производной). И наконец, установим, что построенная указанным способом функция $\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)$ действительно будет производной Фреше вектор-функции $\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)$. Руководствуясь описанной выше схемой, продифференцируем по $\widetilde{u}$ сначала уравнение (3.89), а затем равенство (3.88). В результате убеждаемся в том, что производная (3.90) должна удовлетворять уравнению
$$
\begin{equation}
\hspace{-1mm}\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)= [\mathscr{A}(\widetilde{u},\varphi_1)+ \mathscr{B}(\widetilde{u},\varphi_1) \eta_*(u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1),\varphi_0)] (I-\mathscr{C}(\widetilde{u},\varphi_1))^{-1} \mathscr{D}(\widetilde{u},\varphi_1),
\end{equation}
\tag{3.91}
$$
где $I$ – единичный оператор в $\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}$, а операторы $\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$, $\mathscr{D}$ заданы равенствами
$$
\begin{equation}
\mathscr{A}(\widetilde{u},\varphi_1) = \frac{\partial R}{\partial u}(u,v,\varphi_1)\bigg|_{u=u_{\Phi_*} (\widetilde{u},\varphi_1),\ v=\Phi_*(u,\varphi_0)}\colon \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1},
\end{equation}
\tag{3.92}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{B}(\widetilde{u},\varphi_1) =\frac{\partial R}{\partial v} (u,v,\varphi_1)\bigg|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1),\ v=\Phi_*(u, \varphi_0)}\colon \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1},
\end{equation}
\tag{3.93}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{C}(\widetilde{u},\varphi_1) =\frac{\partial}{\partial v}\, \Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\cdot\eta_* (u, \varphi_0)\bigg|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u}, \varphi_1),\ v=\Phi_*(u,\varphi_0)}\colon\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0},
\end{equation}
\tag{3.94}
$$
$$
\begin{equation}
\mathscr{D}(\widetilde{u},\varphi_1) =\frac{\partial}{\partial\widetilde{u}}\, \Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\bigg|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1), \ v=\Phi_*(u,\varphi_0)}\colon\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}.
\end{equation}
\tag{3.95}
$$
Рассмотрим теперь вопрос о существовании формальной производной. Для этого нам потребуется следующая лемма. Лемма 3.4. Уравнение (3.91) допускает решение $\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)$, являющееся линейным ограниченным оператором из $\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}$ в $\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}$. Это решение равномерно непрерывно по аргументам $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$ в равномерной операторной топологии, $2\pi$-периодически зависит от $\varphi_1$ и обладает свойствами Доказательство. Покажем, что в подходящем полном метрическом пространстве $\mathscr{H}'$ к уравнению (3.91) можно применить принцип сжимающих отображений. Будем считать, что элементами интересующего нас пространства $\mathscr{H}'$ являются линейные ограниченные операторы $\eta(\widetilde{u},\varphi_1)\colon \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to\overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}$, равномерно непрерывные по $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$ в равномерной операторной топологии (это означает, напомним, равномерную непрерывность по норме пространства $L(E;E)$ операторов $\eta(\widetilde{u},\varphi_1)\overline{P}_{\varphi_1}\colon E\to E$). Считаем еще, что операторы из этого пространства $2\pi$-периодически зависят от $\varphi_1\in E$ и удовлетворяют аналогичным (3.96) требованиям
$$
\begin{equation}
\eta(0,\varphi_1)\equiv 0,\quad \|\eta(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}}\leqslant L_*(\delta).
\end{equation}
\tag{3.97}
$$
Метрику в $\mathscr{H}'$ зададим посредством равенства
$$
\begin{equation}
\forall\,\eta_1,\eta_2\in\mathscr{H}'\quad \rho(\eta_1,\eta_2)=\sup_{(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}} \|\eta_1(\widetilde{u},\varphi_1)- \eta_2(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}}.
\end{equation}
\tag{3.98}
$$
Подчеркнем, что в силу (3.97) фигурирующий в (3.98) супремум заведомо конечен. Ясно также, что получившееся метрическое пространство оказывается полным. На следующем этапе доказательства леммы определим в $\mathscr{H}'$ оператор $T'$ по правилу где
$$
\begin{equation}
\overline{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1)= [\mathscr{A}(\widetilde{u},\varphi_1)+\mathscr{B}(\widetilde{u},\varphi_1) \eta(u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1),\varphi_0)] (I-\mathscr{C}_{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1))^{-1} \mathscr{D}(\widetilde{u},\varphi_1),
\end{equation}
\tag{3.100}
$$
$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$, $\mathscr{D}$ – операторы (3.92), (3.93), (3.95), а оператор $\mathscr{C}_{\eta}$ вместо (3.94) теперь задается формулой
$$
\begin{equation}
\mathscr{C}_{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1)= \frac{\partial}{\partial v}\,\Sigma(\widetilde{u},v,\varphi_1)\cdot \eta(u,\varphi_0)\bigg|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1),\ v=\Phi_*(u,\varphi_0)}.
\end{equation}
\tag{3.101}
$$
Наша основная задача – показать, что оператор (3.99), (3.100) переводит пространство $\mathscr{H}'$ в себя и является сжимающим. Прежде всего, проверим факт обратимости фигурирующего в (3.100) оператора $I-\mathscr{C}_{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1)$. С этой целью объединим условия (3.97) с оценками (3.52). В результате последовательно получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\mathscr{C}_{\eta} (\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}&\leqslant q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)<1, \\ \|(I-\mathscr{C}_{\eta} (\widetilde{u},\varphi_1))^{-1}\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}}&\leqslant \frac{1}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.102}
$$
Покажем, далее, что $T'(\mathscr{H}')\subset\mathscr{H}'$. Отметим сразу, что из соотношений
$$
\begin{equation*}
\mathscr{A}(0,\varphi_1)\equiv \frac{\partial R}{\partial u}(0,0,\varphi_1)\equiv 0
\end{equation*}
\notag
$$
и первого условия (3.97) вытекает требуемое тождество $\overline{\eta}(0,\varphi_1)\equiv 0$. Что же касается второго условия (3.97), то для его проверки в случае $\overline{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1)$ привлечем равенство (3.100), оценки (3.52), (3.66), (3.67), (3.102) и соотношения (3.70), (3.73). В результате убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation*}
\|\overline{\eta} (\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}}\leqslant \frac{q_1(\delta)(q_0(\delta)+q_3(\delta)L_*(\delta))} {1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}=L_*(\delta).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим еще, что в силу (3.100) для $\overline{\eta}(\widetilde{u},\varphi_1)$ выполняются также требования $2\pi$-периодичности по $\varphi_1$ и равномерной непрерывности по $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$. А это значит, что оператор $T'$ действительно переводит пространство $\mathscr{H}'$ в себя. Для проверки сжимаемости $T'$ зафиксируем произвольным образом элементы $\eta_j(\widetilde{u},\varphi_1)\in\mathscr{H}'$, $j=1,2$, и положим $\overline{\eta}_j(\widetilde{u},\varphi_1)=T'(\eta_j)$, $j=1,2$. Затем, опираясь на соотношение
$$
\begin{equation*}
(I-\mathscr{C}_{\eta_1})^{-1}-(I-\mathscr{C}_{\eta_2})^{-1}= (I-\mathscr{C}_{\eta_1})^{-1}(\mathscr{C}_{\eta_1}- \mathscr{C}_{\eta_2})(I-\mathscr{C}_{\eta_2})^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценки (3.52), (3.66), (3.67), (3.102), последовательно выводим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|(I-\mathscr{C}_{\eta_1}(\widetilde{u},\varphi_1))^{-1}- (I-\mathscr{C}_{\eta_2} (\widetilde{u},\varphi_1))^{-1}\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}\to \overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_0}} \\ &\qquad\leqslant \frac{q_1(\delta)q_2(\delta)}{(1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta))^2} \rho(\eta_1,\eta_2), \\ &\|\eta_1(\widetilde{u},\varphi_1)- \eta_2(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}\to \overline{E}^{\rm\, s}_{\varphi_1}}\leqslant \overline{q}(\delta)\rho(\eta_1,\eta_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \overline{q}(\delta)&=\frac{q_0(\delta)q_1^2(\delta)q_2(\delta)} {(1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta))^2}+ \frac{q_1^2(\delta)q_2(\delta)q_3(\delta)L_*(\delta)} {(1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta))^2} \\ &\qquad+\frac{q_1(\delta)q_3(\delta)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}= \frac{d}{dL}\biggl(\frac{q_1(\delta)(q_0(\delta)+q_3(\delta)L)} {1-q_1(\delta)q_2(\delta)L}\biggr)\bigg|_{L=L_*(\delta)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.103}
$$
А так как, напомним, $L_*(\delta)$ – наименьший положительный корень уравнения (3.70), то автоматически $\overline{q}(\delta)<1$. Тем самым, мы вправе воспользоваться принципом сжимающих отображений, из которого вытекает существование у оператора (3.99) единственной неподвижной точки $\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\in\mathscr{H}'$. Следует также добавить, что эта неподвижная точка является одновременно и решением уравнения (3.91). Лемма 3.4 доказана. Итак, мы нашли формальную производную вектор-функции $\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)$. Убедимся теперь в том, что эта функция действительно непрерывно дифференцируема по $\widetilde{u}$ и справедливо равенство (3.90), в котором $\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)$ – найденное выше решение уравнения (3.91). Для получения упомянутого результата нам потребуется функция
$$
\begin{equation}
z(\widetilde{u}, \varphi_1)=\varlimsup_{\Delta\widetilde{u}\to 0} \frac{\|\Phi_*(\widetilde{u}+\Delta\widetilde{u},\varphi_1)- \Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)-\eta_*(\widetilde{u},\varphi_1) \Delta\widetilde{u}\|_{\varphi_1}}{\|\Delta\widetilde{u}\|_{\varphi_1}}\,,
\end{equation}
\tag{3.104}
$$
где $\Delta\widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_1}$ – приращение аргумента. Отметим сразу следующие два обстоятельства. Во-первых, правая часть в (3.104) равномерно ограничена: из оценок (3.27), (3.96) следует, что $z(\widetilde{u},\varphi_1)\leqslant 2L_*(\delta)$ при всех $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$. Во-вторых, непрерывная дифференцируемость $\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)$ по $\widetilde{u}$ и равенство (3.90) будут установлены, если мы покажем, что $z(\widetilde{u},\varphi_1)\equiv 0$. Попытаемся оценить функцию $z(\widetilde{u},\varphi_1)$ сверху через ту же самую функцию $z(u,\varphi_0)$, но при $u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1)$, $\varphi_0=\overline{G}^{\,-1}(\varphi_1)$. Для этого нам потребуются обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)&= \Phi_*(\widetilde{u}+\Delta\widetilde{u},\varphi_1)- \Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1), \\ \Delta u&=u_{\Phi_*}(\widetilde{u}+\Delta\widetilde{u},\varphi_1)- u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1), \\ \Delta\Phi_*(u,\varphi_0)&=\Phi_*(u+\Delta u,\varphi_0)-\Phi_*(u,\varphi_0), \\ \widetilde{z}(u,\varphi_0)&=\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)- \eta_*(u,\varphi_0)\Delta u, \\ \widetilde{z}(\widetilde{u},\varphi_1)&=\Delta\Phi_*(\widetilde{u},\varphi_1)- \eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\Delta\widetilde{u}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что в силу неравенств (3.27), (3.64) (при $\Phi=\Phi_*$, $L=L_*(\delta)$) выполняются оценки
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}&\leqslant L_*(\delta)\|\Delta u\|_{\varphi_0}, \\ \|\Delta u\|_{\varphi_0}&\leqslant \frac{q_1(\delta)}{1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)} \|\Delta\widetilde{u}\|_{\varphi_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.105}
$$
Последующий способ действий таков. Сначала, опираясь на равенства (3.88) и (3.89), при $\Delta\widetilde{u}\to 0$ получаем асимптотические представления
$$
\begin{equation}
\nonumber \widetilde{z}(\widetilde{u},\varphi_1) = R(u+\Delta u,\Phi_*(u+\Delta u,\varphi_0),\varphi_1)- R(u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)- \eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\Delta\widetilde{u}
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\frac{\partial R}{\partial u}(u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)\Delta u+ \frac{\partial R}{\partial v}(u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1) \Delta\Phi_*(u, \varphi_0)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+o(\Delta u)+o(\Delta\Phi_*(u,\varphi_0))- \eta_*(\widetilde{u},\varphi_1)\Delta\widetilde{u},
\end{equation}
\tag{3.106}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \Delta u =\Sigma(\widetilde{u}+ \Delta\widetilde{u},\Phi_*(u+\Delta u,\varphi_0),\varphi_1)- \Sigma(\widetilde{u},\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber =\frac{\partial}{\partial \widetilde{u}}\, \Sigma(\widetilde{u},\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)\Delta\widetilde{u}+ \frac{\partial}{\partial v}\, \Sigma(\widetilde{u},\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+o(\Delta\widetilde{u})+o(\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)),
\end{equation}
\tag{3.107}
$$
здесь и в последующем $u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1)$. Далее, так как справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)=\widetilde{z}(u,\varphi_0)+ \eta_*(u,\varphi_0)\Delta u,
\end{equation}
\tag{3.108}
$$
то заменим в равенстве (3.107) величину $\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)$ этим выражением и из получившегося уравнения найдем $\Delta u$. В результате имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Delta u&=(I-\mathscr{C}(\widetilde{u},\varphi_1))^{-1} \biggl(\frac{\partial}{\partial v}\,\Sigma(\widetilde{u}, \Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)\widetilde{z}(u,\varphi_0) \\ &\qquad+\frac{\partial}{\partial \widetilde{u}}\,\Sigma(\widetilde{u}, \Phi_*(u, \varphi_0),\varphi_1)\Delta\widetilde{u}\biggr)+ o(\Delta\widetilde{u})+o(\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathscr{C}(\widetilde{u}, \varphi_1)$ – оператор (3.94). В свою очередь, подставляя данное соотношение вместе с (3.108) в формулу (3.106) и принимая во внимание равенство (3.91), убеждаемся в том, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \widetilde{z}(\widetilde{u},\varphi_1)&=\biggl[\frac{\partial R}{\partial v} (u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1) \\ \nonumber &\qquad+\biggl(\frac{\partial R}{\partial u}(u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)+ \frac{\partial R}{\partial v}(u,\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1) \eta_*(u,\varphi_0)\biggl) \\ \nonumber &\qquad\times(I-\mathscr{C}(\widetilde{u},\varphi_1))^{-1} \frac{\partial}{\partial v}\, \Sigma(\widetilde{u},\Phi_*(u,\varphi_0),\varphi_1)\biggr] \widetilde{z}(u,\varphi_0) \\ &\qquad+o(\Delta\widetilde{u})+o(\Delta u)+o(\Delta\Phi_*(u,\varphi_0)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.109}
$$
Формула (3.109) позволяет уже достаточно просто установить требуемую оценку сверху на функцию (3.104). Действительно, опираясь на неравенства (3.52), (3.66), (3.67), (3.102), (3.105), приходим к выводу, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\|\widetilde{z}(\widetilde{u},\varphi_1)\|_{\varphi_1}} {\|\Delta\widetilde{u}\|_{\varphi_1}}&\leqslant \biggl(q_3(\delta)+ \frac{(q_0(\delta)+q_3(\delta)L_*(\delta))q_1(\delta)q_2(\delta)} {1-q_1(\delta)q_2(\delta)L_*(\delta)}\biggr) \\ &\qquad\times\frac{\|\widetilde{z}(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}} {\|\Delta u\|_{\varphi_0}}\cdot \frac{\|\Delta u\|_{\varphi_0}}{\|\Delta\widetilde{u}\|_{\varphi_1}}+o(1)\\ &\leqslant \overline{q}(\delta) \frac{\|\widetilde{z}(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}}{\|\Delta u\|_{\varphi_0}} +o(1), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline{q}(\delta)$ – постоянная (3.103). А отсюда после предельного перехода при $\Delta\widetilde{u}\to 0$ имеем
$$
\begin{equation}
z(\widetilde{u},\varphi_1)\leqslant\overline{q}(\delta) z(u,\varphi_0)\big|_{u=u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1)}.
\end{equation}
\tag{3.110}
$$
Опираясь на оценку (3.110), нетрудно показать, что на самом деле справедливо тождество $z(\widetilde{u},\varphi_1)\equiv 0$. Для того чтобы сделать это, фиксируем произвольно точку $(\widetilde{u},\varphi_1)\in U_{\delta}$ и полагаем
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}_0=\widetilde{u},\qquad \widetilde{u}_k=u_{\Phi_*}(\widetilde{u}_{k-1},\varphi_{-(k-2)}),\quad k\geqslant1,
\end{equation}
\tag{3.111}
$$
где, как обычно, $\varphi_{-(k-2)}=\overline{G}^{\,-(k-1)}(\varphi_1)$. Заметим также, что в силу известных свойств функции $u_{\Phi_*}(\widetilde{u},\varphi_1)$ (см. (3.57)) справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
\widetilde{u}_k\in\overline{E}^{\rm\, u}_{\varphi_{-(k-1)}},\quad \|\widetilde{u}_k\|_{\varphi_{-(k-1)}}\leqslant \delta,\qquad k\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.112}
$$
Принимая во внимание формулы (3.111), (3.112), из (3.110) заключаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, z(\widetilde{u},\varphi_1)&\leqslant \overline{q}(\delta)z(\widetilde{u}_1,\varphi_0)\leqslant \overline{q}^2(\delta)z(\widetilde{u}_2,\varphi_{-1})\leqslant\cdots \leqslant\overline{q}^k(\delta)z(\widetilde{u}_k,\varphi_{-(k-1)}) \\ &\leqslant 2L_*(\delta)\overline{q}^k(\delta). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда в силу неравенства $\overline{q}(\delta)<1$ и произвольности $k$ требуемое тождество $z(\widetilde{u},\varphi_1)\equiv 0$ вытекает автоматически. Итак, мы показали существование у диффеоморфизма $\overline{G}$ гладких неустойчивых локальных многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$. Применяя затем все проделанные выше построения к диффеоморфизму $\overline{G}^{\,-1}$, убеждаемся в существовании для $\overline{G}$ аналогичных гладких локальных устойчивых многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$. Тем самым теорема 3.1, являющаяся аналогом известной теоремы Адамара–Перрона, полностью доказана. 3.4. Существование инвариантных слоенийКак обычно, разбиения $\mathcal{F}^{\rm \,u}$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}$ исходного многообразия $\mathbb{T}^{\infty}$ назовем неустойчивым и устойчивым инвариантными слоениями для гиперболического диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, если выполняются следующие требования: 1) элементы $\mathcal{F}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}(\varphi_0)$ разбиений $\mathcal{F}^{\rm \,u}$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}$, содержащие любую фиксированную точку $\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}$, есть $C^1$-гладкие погруженные в $\mathbb{T}^{\infty}$ подмногообразия (они называются глобальными листами слоений $\mathcal{F}^{\rm \,u}$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}$ в точке $\varphi_0$); более того, предполагаем существование такого универсального (т. е. не зависящего от $\varphi_0$) достаточно малого $\delta>0$, что для множества
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_{\delta}(\varphi_0)=\operatorname{pr}\bigl[\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)+ u+v\colon u&\in\overline{E}^{\rm \, u}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)},\ \|u\|_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)}\leqslant \delta, \\ v&\in\overline{E}^{\rm \,s}_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)},\ \|v\|_{\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0)}\leqslant \delta\bigr] \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
связные компоненты пересечений $\mathcal{F}^{\rm \,u}(\varphi_0)\cap B_{\delta}(\varphi_0)$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}(\varphi_0)\cap B_{\delta}(\varphi_0)$, содержащие точку $\varphi_0$, совпадают с локальными многообразиями $\mathcal{F}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)$ и $\mathcal{F}^{\rm \,s}_{\delta}(\varphi_0)$ соответственно (см. (3.22)); 2) имеют место свойства инвариантности
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\quad G(\mathcal{F}^{\rm \,u}(\varphi_0))=\mathcal{F}^{\rm \,u}(G(\varphi_0)),\quad G(\mathcal{F}^{\rm \,s}(\varphi_0))=\mathcal{F}^{\rm \,s}(G(\varphi_0)).
\end{equation}
\tag{3.113}
$$
Основным результатом как настоящего раздела, так и всей статьи, является следующая теорема. Теорема 3.2. Любой гиперболический диффеоморфизм $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ допускает устойчивое и неустойчивое инвариантные слоения. Доказательство. Как и при обосновании теоремы 3.1, достаточно убедиться лишь в существовании слоения $\mathcal{F}^{\rm \,u}$. В случае же $\mathcal{F}^{\rm \,s}$ можно перейти к обратному отображению $G^{-1}$ и повторить для него все рассуждения, связанные с доказательством существования слоения $\mathcal{F}^{\rm \,u}$. Установим сначала существование неустойчивого инвариантного слоения $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}$ для глобального поднятия $\overline{G}$ произвольного гиперболического диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. С этой целью, опираясь на методику из [3], введем в пространстве $E$ отношение эквивалентности по следующему правилу. Будем говорить, что точки $\overline{\varphi}$ и $\overline{\overline{\varphi}}$ из $E$ эквивалентны, если существует такая цепочка локальных многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_k)$, $k=0,1,\dots,n$, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_0),\quad \overline{\overline{\varphi}}\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_n), \\ \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_k)\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_{k+1})\ne \varnothing,\qquad k=0,1,\dots,n-1 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.114}
$$
(эту цепочку будем называть соединяющей). Далее, через $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ обозначим множество точек из $E$, эквивалентных данной точке $\varphi_0$. Обратим внимание, что в силу сформулированных определений при любом $\overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ справедливо включение $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$. Более того, в силу теоремы 3.1 и следствия 3.1.1 слой $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ локально (т. е. в окрестности любой своей точки $\overline{\varphi}$) совпадает с локальным многообразием $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\overline{\varphi})$. Тем самым, множество $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ представляет собой вложенное $C^1$-гладкое подмногообразие. А так как очевидным образом любые два слоя $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{\varphi})$ и $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{\overline{\varphi}})$ либо не пересекаются, либо совпадают, то совокупность
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}= \{\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0),\,\varphi_0\in E\}
\end{equation}
\tag{3.115}
$$
является слоением на $E$. Проверим теперь инвариантность слоения (3.115), т. е. справедливость аналогичных (3.113) равенств
$$
\begin{equation}
\forall\,\varphi_0\in E\quad \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0))= \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{G}(\varphi_0)).
\end{equation}
\tag{3.116}
$$
В связи с этим обратимся к формуле (3.32) при $\Phi=\Phi_*$, $\overline{\Phi}=\Phi_*$, где, напомним, $\Phi_*(u,\varphi_0)$ – неподвижная точка оператора (3.30). Далее, будем считать в ней $u\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_0}$, $\|u\|_{\varphi_0}\leqslant\delta$, независимой переменной, а $\widetilde{u}\in\overline{E}^{\rm \,u}_{\varphi_1}$ – функцией от $u$. Тогда из (3.29), (3.33) выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|\widetilde{u}\|_{\varphi_1}&= \|\overline{P}_{\varphi_1}(\overline{G}(\varphi_0+u+ \Phi_*(u,\varphi_0))-\overline{G}(\varphi_0))\|_{\varphi_1} \\ \nonumber &\leqslant c\cdot\sup_{\varphi_1\in E}\|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E} \cdot\sup_{\varphi\in E}\|D\overline{G}(\varphi)\|_{E\to E}\cdot \|u+\Phi_*(u,\varphi_0)\| \\ \nonumber &\leqslant c\cdot\sup_{\varphi_1\in E}\|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E} \cdot\sup_{\varphi\in E}\|D\overline{G}(\varphi)\|_{E\to E}\cdot (\|u\|_{\varphi_0}+\|\Phi_*(u,\varphi_0)\|_{\varphi_0}) \\ &\leqslant c(1+L_*(\delta))\sup_{\varphi_1\in E} \|\overline{P}_{\varphi_1}\|_{E\to E}\cdot \sup_{\varphi\in E}\|D\overline{G}(\varphi)\|_{E\to E}\cdot \delta\overset{\rm def}{=}\delta', \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.117}
$$
где $c$ – постоянная из (3.3), (3.4). А это, в свою очередь, означает, что имеют место включения
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0))\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\overline{G}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in E,
\end{equation}
\tag{3.118}
$$
где $\delta'$ – величина из (3.117). Опираясь на свойства (3.17), (3.118), несложно установить требуемые равенства (3.116). Действительно, покажем сначала, что выполняются включения
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0))\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{G}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in E.
\end{equation}
\tag{3.119}
$$
С этой целью фиксируем произвольно $\overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$. Тогда по определению (см. (3.114)) найдутся такие точки $\theta_k$, $k=0,1,\dots,n$, из $E$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_0),\quad \varphi_0\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_n), \\ \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_k)\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_{k+1})\ne \varnothing,\qquad k=0,1,\dots,n-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, принимая во внимание включения (3.118), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline{G}(\overline{\varphi})&\in \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_0))\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\overline{G}(\theta_0)),\quad \overline{G}(\varphi_0)\in \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_n))\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\overline{G}(\theta_n)), \\ \varnothing&\ne \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_k)\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_{k+1}))\subset \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_k))\cap \overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\theta_{k+1})) \\ &\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'}(\overline{G}(\theta_k)) \cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta'} (\overline{G}(\theta_{k+1})),\qquad k=0,1,\dots,n-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым, точки $\overline{G}(\overline{\varphi})$, $\overline{G}(\varphi_0)$ эквивалентны, а значит, $\overline{G}(\overline{\varphi})\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{G}(\varphi_0))$ и в силу произвольности $\overline{\varphi}\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$ справедливы включения (3.119). Для получения обратных включений
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0))\supset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{G}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in E
\end{equation*}
\notag
$$
установим эквивалентное им свойство
$$
\begin{equation}
\overline{G}^{\,-1}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0))\subset \overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\overline{G}^{\,-1}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in E.
\end{equation}
\tag{3.120}
$$
Для этого привлечем эквивалентные (3.17) соотношения
$$
\begin{equation*}
\overline{G}^{\,-1}(\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta}(\varphi_0)) \subset\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}_{\delta} (\overline{G}^{\,-1}(\varphi_0))\quad \forall\,\varphi_0\in E
\end{equation*}
\notag
$$
и повторим предыдущие рассуждения, заменяя $\overline{G}$ на $\overline{G}^{\,-1}$. В результате убеждаемся в справедливости включений (3.120), которые вместе с (3.119) эквивалентны условию инвариантности (3.116). Возвращаясь к исходному диффеоморфизму $G$, положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}^{\rm\, u}=\bigl\{\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)= \operatorname{pr}\bigl[\,\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u} (\operatorname{pr}^{-1}(\varphi_0))\bigr], \ \varphi_0\in\mathbb{T}^{\infty}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.121}
$$
Принимая во внимание уже установленные свойства глобальных листов $\overline{\mathcal{F}}^{\rm \,u}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$, нетрудно увидеть, что равенство (3.121) задает искомое неустойчивое инвариантное слоение для $G$. Теорема 3.2 доказана. Следующее утверждение касается глобальных аналогов неравенств (3.24) и (3.25). Перед его формулировкой определим так называемые внутренние метрики на глобальных листах $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$ и $\mathcal{F}^{\rm\, s}(\varphi_0)$. А именно, для любых точек $\overline{\varphi}$, $\overline{\overline{\varphi}}\in\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$ положим
$$
\begin{equation}
d^{\rm\,u}(\overline{\varphi},\overline{\overline{\varphi}})= \inf_{\{\theta\}}L(\theta).
\end{equation}
\tag{3.122}
$$
Здесь $\{\theta\}$ – совокупность непрерывных спрямляемых кривых $\theta(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, $\theta(0)=\overline{\varphi}$, $\theta(1)=\overline{\overline{\varphi}}$, целиком лежащих в $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$, а $L(\theta)$ – длина любой такой кривой. Подчеркнем, что в силу очевидной линейной связности любого листа $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$ множество $\{\theta\}$ заведомо не пусто. Внутренняя метрика $d^{\rm\,s}(\overline{\varphi}, \overline{\overline{\varphi}})$ на каждом устойчивом слое $\mathcal{F}^{\rm\, s}(\varphi_0)$ определяется по аналогичному (3.122) правилу. Теорема 3.3. При всех $n\in\mathbb{N}$ справедливы неравенства Доказательство. Сделаем сначала одно полезное наблюдение. Из способа построения глобальных листов $\mathcal{F}^{\rm \,u}(\varphi_0)$, $\varphi_0\in E$, следует, что для любых двух точек $\overline{\varphi}$, $\overline{\overline{\varphi}}$ из $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$, достаточно близких друг к другу, справедливо включение $\overline{\overline{\varphi}}\in \mathcal{F}^{\rm\, u}_{\delta}(\overline{\varphi})$, где, напомним, $\mathcal{F}^{\rm\, u}_{\delta}(\overline{\varphi})$ – локальное многообразие из (3.22). Принимая во внимание это обстоятельство, фиксируем любую непрерывную спрямляемую кривую $\theta(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, лежащую на многообразии $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\varphi_0)$ и соединяющую точки $\varphi_0$, $\varphi$. Далее, рассмотрим совокупность $\mathscr{T}$ всевозможных разбиений $0=t_0<t_1<\cdots<t_m=1$ отрезка $0\leqslant t\leqslant 1$. Считаем их мелкости настолько малыми, что Включения (3.125) позволяют для обоснования глобальных оценок (3.123) привлечь их локальные версии (3.24). Действительно, нетрудно заметить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \rho(G^{-n}(\varphi),G^{-n}(\varphi_0))&\leqslant \sum_{k=0}^{m-1}\rho\bigl(G^{-n}(\theta(t_{k+1})),G^{-n}(\theta(t_{k}))\bigr) \\ &\leqslant r_1\nu_1^n\sum_{k=0}^{m-1}\rho(\theta(t_{k}),\theta(t_{k+1})). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.126}
$$
Далее, переходя в правой части из (3.126) сначала к супремуму по разбиениям из $\mathscr{T}$, а затем к инфимуму по кривым $\theta(t)$, получаем требуемые неравенства (3.123). Случай (3.124) разбирается аналогично. Теорема 3.3 доказана. Характерной особенностью диффеоморфизмов Аносова на конечномерном торе $\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, является факт непустоты пересечения любых двух глобальных листов $\mathcal{F}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})$, $\mathcal{F}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})$, $\overline{\varphi},\overline{\overline{\varphi}}\in\mathbb{T}^m$. Сохраняется этот факт и в бесконечномерном случае. А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.4. Пусть $G$ – произвольный гиперболический диффеоморфизм из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Тогда для любых двух точек $x,y\in\mathbb{T}^{\infty}$ имеем Доказательство. Как обычно, сначала установим справедливость аналогичного (3.127) свойства для глобального поднятия $\overline{G}$ диффеоморфизма $G$, т. е. покажем, что
$$
\begin{equation}
\forall\,\overline{\varphi},\overline{\overline{\varphi}}\in E\quad \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})\ne\varnothing.
\end{equation}
\tag{3.128}
$$
В свою очередь, обоснование непустоты данного пересечения проводится по той же схеме, что и в конечномерном случае (см. [4]). А именно, зафиксируем произвольно $\overline{\overline{\varphi}}\in E$ и убедимся в том, что Заметим, что равенство (3.129) решает проблему непустоты пересечения (3.128). Действительно, если оно выполняется, то для любого $\overline{\varphi}\in E$ найдется такое $\psi_0\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})$, что $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\psi_0)= \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})$ и $\psi_0\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})$. Итак, проблема обоснования свойства (3.128) сводится к доказательству соотношения (3.129). Последнее же будет установлено, если мы покажем, что фигурирующее в (3.129) множество $\widetilde{E}$ вместе с любой своей точкой $\overline{\varphi}$ содержит целиком открытый шар $O(\overline{\varphi},r)\subset E$ не зависящего от $\overline{\varphi}$ радиуса $r>0$. Для доказательства требуемого факта введем в рассмотрение специальные окрестности $H_{\delta}(\varphi_0)$, определяемые для каждого $\varphi_0\in E$ по правилу
$$
\begin{equation}
H_{\delta}(\varphi_0)= \bigcup_{\psi\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi_0)} \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi).
\end{equation}
\tag{3.130}
$$
Покажем, что любая такая окрестность содержит некоторый шар $O(\varphi_0,r)\subset E$ не зависящего от $\varphi_0$ радиуса $r=\operatorname{const}>0$. Учитывая равенства (3.11), (3.12) и равномерную по $\varphi_0\in E$ малость
$$
\begin{equation}
\Phi_*(u,\varphi_0)=o(u),\quad u\to 0,\qquad \Psi_*(v,\varphi_0)=o(v),\quad v\to 0,
\end{equation}
\tag{3.131}
$$
перейдем от (3.130) к упрощенному множеству $\widetilde{H}_{\delta}(\varphi_0)$, отбросив в формулах для $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$ и $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi_0)$ соответствующие нелинейности. Указанное множество записывается в виде
$$
\begin{equation}
\widetilde{H}_{\delta}(\varphi_0)=\bigl\{\varphi=\varphi_0+u+v\colon u\in\overline{E}^{\rm\,u}_{\varphi_0+v},\ \|u\|_{\varphi_0+v}\leqslant\delta,\ v\in\overline{E}^{\rm\,s}_{\varphi_0},\ \|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta\bigr\}.
\end{equation}
\tag{3.132}
$$
Ясно также, что если мы установим справедливость при некотором $r>0$ включения $O(\varphi_0,r)\subset\widetilde{H}_{\delta}(\varphi_0)$, то в силу малости $\Phi_*(u,\varphi_0)$, $\Psi_*(v,\varphi_0)$ (см. (3.131)) аналогичный результат будет иметь место и для исходного множества (3.130). Из формулы (3.132) следует, что
$$
\begin{equation}
\overline{P}_{\varphi_0}(\varphi-\varphi_0)=\overline{P}_{\varphi_0}u=u+ (\overline{P}_{\varphi_0}-\overline{P}_{\varphi_0+v})u.
\end{equation}
\tag{3.133}
$$
Далее, для того чтобы выразить из (3.133) переменную $u$, проверим обратимость в $E$ оператора $I+(\overline{P}_{\varphi_0}-\overline{P}_{\varphi_0+v})$. Но этот факт верен, поскольку
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nonumber \|\overline{P}_{\varphi_0}-\overline{P}_{\varphi_0+v}\|_{E\to E}\leqslant \overline{\theta}_1(\delta)\overset{\rm def}{=} \sup_{\substack{\varphi_0\in E,\,v\in\overline{E}^{\rm\,s}_{\varphi_0}:\\ \|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta}}\|\overline{P}_{\varphi_0}- \overline{P}_{\varphi_0+v}\|_{E\to E}\to 0,\qquad \delta\to 0, \\ \bigl\|(I+(\overline{P}_{\varphi_0}- \overline{P}_{\varphi_0+v}))^{-1}\bigr\|_{E\to E}\leqslant \frac{1}{1-\overline{\theta}_1(\delta)}\,. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.134}
$$
Объединяя соотношения (3.133), (3.134) и считая a priori, что $\|\varphi-\varphi_0\|<r$, приходим к цепочке неравенств
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \|u\|_{\varphi_0+v}&\leqslant c\|u\|=c\bigl\|(I+(\overline{P}_{\varphi_0}- \overline{P}_{\varphi_0+v}))^{-1} \overline{P}_{\varphi_0}(\varphi-\varphi_0)\bigr\| \\ \nonumber &\leqslant\frac{c}{1-\overline{\theta}_1(\delta)}\cdot \sup_{\varphi_0\in E}\|\overline{P}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot \|\varphi-\varphi_0\| \\ &<\frac{c}{1-\overline{\theta}_1(\delta)}\cdot \sup_{\varphi_0\in E}\|\overline{P}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot r, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.135}
$$
где $c$ – постоянная из (3.3), (3.4). Аналогичным образом, исходя из формулы
$$
\begin{equation*}
\overline{Q}_{\varphi_0+v}(\varphi-\varphi_0)=\overline{Q}_{\varphi_0+v}v=v+ (\overline{Q}_{\varphi_0+v}-\overline{Q}_{\varphi_0})v,
\end{equation*}
\notag
$$
последовательно имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \nonumber \|\overline{Q}_{\varphi_0+v}-\overline{Q}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\leqslant \overline{\theta}_2(\delta)\overset{\rm def}{=} \sup_{\substack{\varphi_0\in E,\,v\in\overline{E}^{\rm\,s}_{\varphi_0}:\\ \|v\|_{\varphi_0}\leqslant\delta}}\|\overline{Q}_{\varphi_0}- \overline{Q}_{\varphi_0+v}\|_{E\to E}, \to 0,\qquad \delta\to 0, \\ \nonumber \bigl\|(I+(\overline{Q}_{\varphi_0}- \overline{Q}_{\varphi_0+v}))^{-1}\bigr\|_{E\to E}\leqslant \frac{1}{1-\overline{\theta}_2(\delta)}\,, \\ \|v\|_{\varphi_0}<\frac{c}{1-\overline{\theta}_2(\delta)}\cdot \sup_{\varphi_0\in E}\|\overline{Q}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot r. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.136}
$$
Остается заметить, что в силу неравенств (3.135), (3.136) требуемое включение $O(\varphi_0,r)\subset\widetilde{H}_{\delta}(\varphi_0)$ будет заведомо выполняться, если величина $r$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
\frac{c}{1-\overline{\theta}_1(\delta)}\cdot\sup_{\varphi_0\in E} \|\overline{P}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot r<\delta,\qquad \frac{c}{1-\overline{\theta}_2(\delta)}\cdot \sup_{\varphi_0\in E}\|\overline{Q}_{\varphi_0}\|_{E\to E}\cdot r<\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы установили существование такого $r>0$, что любая специальная окрестность (3.130) содержит шар $O(\varphi_0, r)\subset E$. Далее, опираясь на этот факт и применяя некоторый геометрический подход, убедимся в том, что $\widetilde{E}=E$. Суть нашего подхода состоит в следующем. Фиксируем произвольно точку $\overline{\varphi}\in\widetilde{E}$. Согласно формуле для $\widetilde{E}$ (см. (3.129)) найдется такое $\psi_0\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})$, что $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\psi_0)= \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})$. Далее, рассмотрим произвольную непрерывную кривую $\varphi(t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$, принадлежащую слою $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})$ и такую, что $\varphi(0)=\psi_0$, $\varphi(1)=\overline{\varphi}$. И наконец, введем в рассмотрение непрерывное семейство специальных окрестностей
$$
\begin{equation}
H_{\delta}(\varphi(t)),\qquad 0\leqslant t\leqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.137}
$$
Из явного вида $H_{\delta}(\varphi_0)$ (см. (3.130)) и очевидного равенства $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\psi_0)= \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}(\overline{\overline{\varphi}})$ вытекает включение $H_{\delta}(\varphi(0))\subset\widetilde{E}$. А поскольку
$$
\begin{equation}
\varphi(t)\in \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\psi_0)= \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi}),
\end{equation}
\tag{3.138}
$$
то формула (3.137) задает правило, по которому при любом $t\in (0,1]$ осуществляется непрерывное продолжение всего семейства многообразий $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$, $\psi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi(0))$, до семейства $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$, $\psi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi(t))$. Иными словами, для каждого многообразия $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$ из первого семейства существует цепочка вида (3.114), соединяющая его с некоторым локальным многообразием второго семейства, и то же самое верно, если эти семейства поменять местами. Действительно, возьмем разбиение $0=t_0<t_1<\cdots<t_m=1$ отрезка $0\leqslant t\leqslant 1$ настолько малым, чтобы выполнялись свойства
$$
\begin{equation}
\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\varphi(t_k))\cap \operatorname{int}\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta} (\varphi(t_{k+1}))\ne\varnothing,\qquad k=0,1,\dots,m-1
\end{equation}
\tag{3.139}
$$
(смысл обозначения $\mathrm{int}$ здесь тот же самый, что и в следствии 3.1.2, а возможность такого выбора разбиения гарантирована включением (3.138)). Далее, зафиксируем произвольно локальное многообразие $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$, $\psi\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi(t_0))$, и заметим, что в силу равномерной непрерывности функции $\Phi_*(u,\varphi_0)$ из (3.11) оно близко (в метрике Хаусдорфа) к $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\varphi(t_0))$. А отсюда и из (3.139) вытекает непустота пересечения $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)\cap H_{\delta}(\varphi(t_1))$. Но в силу следствия 3.1.2 пересекаться многообразие $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)$ может лишь с одним из неустойчивых локальных многообразий, входящих в $H_{\delta}(\varphi(t_1))$. Тем самым, существует единственное $\psi_1\in\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s}_{\delta}(\varphi(t_1))$ такое, что $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi)\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi_1)\ne\varnothing$. Аналогичным образом, рассматривая очередную пару значений $t=t_1$ и $t=t_2$, находим многообразие $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi_2) \subset H_{\delta}(\varphi(t_2))$ такое, что $\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi_1)\cap \overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}_{\delta}(\psi_2)\ne\varnothing$, и т. д. Из описанных геометрических построений вытекает справедливость включения $H_{\delta}(\varphi(t))\in \widetilde{E}$ при всех $0\leqslant t\leqslant 1$. А это значит, что семейство специальных окрестностей (3.137) задает некий туннель, проложенный в множестве $\widetilde{E}$ и соединяющий две его точки $\psi_0$ и $\overline{\varphi}$. В частности, двигаясь к концу туннеля, т. е. полагая $t=1$, приходим к выводу, что $H_{\delta}(\overline{\varphi})\subset\widetilde{E}$. Тем самым, автоматически $O(\overline{\varphi},r)\subset\widetilde{E}$ и, следовательно, $\widetilde{E}=E$. Подводя итог, отметим, что нами обосновано равенство (3.129), а значит, и свойство (3.128). Следует также добавить, что в случае конечномерного тора $\mathbb{T}^m$, $m\geqslant 2$, пересечение (3.128) состоит из одной точки (см. [4]). В бесконечномерном же случае удается доказать лишь непустоту этого пересечения. Убедимся, наконец, в справедливости требуемого свойства (3.127). Для его проверки зафиксируем произвольно точки $x,y\in\mathbb{T}^{\infty}$ и подберем такие $\overline{\varphi},\overline{\overline{\varphi}}\in E$, что $x=\operatorname{pr}(\overline{\varphi})$, $y=\operatorname{pr}(\overline{\overline{\varphi}})$. Тогда в силу (3.128) имеем
$$
\begin{equation*}
\varnothing\ne\operatorname{pr}[\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u} (\overline{\varphi})\cap\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s} (\overline{\overline{\varphi}})]\subset \operatorname{pr}[\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, u}(\overline{\varphi})]\cap \operatorname{pr}[\overline{\mathcal{F}}^{\rm\, s} (\overline{\overline{\varphi}})]= \mathcal{F}^{\rm\, u}(x)\cap\mathcal{F}^{\rm\, s}(y).
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 3.4 доказана. ЗаключениеВ настоящей статье нами предпринята попытка систематического изложения основ гиперболической теории на бесконечномерном торе. В связи с этим мы подробно остановились на определениях целочисленной решетки, бесконечномерного тора, касательного пространства, поднятий (локального и глобального), дифференциала, диффеоморфизма и т. д. Был также введен в рассмотрение и изучен специальный класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, в рамках которого удалось получить ряд базовых результатов. К таковым относятся критерий гиперболичности, $C^1$-грубость свойства гиперболичности, теорема Адамара–Перрона и теорема о существовании устойчивого и неустойчивого инвариантных слоений. Следует также подчеркнуть, что перечисленные результаты были установлены для гиперболических диффеоморфизмов на торе $\mathbb{T}^{\infty}$ при минимальных дополнительных условиях (1.21). Это особенно важно в связи с тем, что в бесконечномерном случае даже простейшие свойства гиперболических диффеоморфизмов, такие как отделенность от нуля угла между устойчивым и неустойчивым подпространствами, равномерная ограниченность проекторов и т. д., не выполняются автоматически. Их приходится доказывать, и соответствующие доказательства существенно опираются на фигурирующие в определении класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ требования (1.21). При отказе же от этих требований упомянутые утверждения получить не удается. В связи с вышесказанным естественно возникает следующий вопрос: можно ли расширить класс диффеоморфизмов $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ с сохранением для него всех упомянутых результатов. Ответ на данный вопрос пока не известен. Впрочем, каким бы ни был этот ответ, следует иметь в виду, что могут существовать и другие, отличные от $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, классы диффеоморфизмов, для которых также справедливы аналогичные результаты. Иными словами, на бесконечномерном торе $\mathbb{T}^{\infty}$ вполне допустимы различные версии гиперболической теории. Одна из таких версий изложена в статье [21]. Следующий блок нерешенных проблем касается вопроса о топологической сопряженности произвольного гиперболического диффеоморфизма $G$ из класса $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ со своей линейной частью, т. е. с линейным диффеоморфизмом (2.5). В отличие от конечномерного тора $\mathbb{T}^{m}$, $m\geqslant 2$, где, как известно [4], этот факт верен, в случае тора $\mathbb{T}^{\infty}$ такой результат получить не удается. Не ясно даже, вытекает ли из гиперболичности диффеоморфизма $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$ гиперболичность отвечающего ему линейного автоморфизма (2.5). Остается пока открытым и связанный с топологической сопряженностью вопрос о структурной устойчивости гиперболических диффеоморфизмов из $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Интересно отметить, что сформулированные проблемы топологической сопряженности и структурной устойчивости все же допускают частичное решение. Точнее говоря, их удается решить для некоторого класса $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$, более узкого, чем $\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$. Будем считать, что упомянутый класс $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ состоит из диффеоморфизмов $G\in\operatorname{Diff}(\mathbb{T}^{\infty})$, удовлетворяющих следующим дополнительным условиям. Во-первых, фигурирующий в представлении (1.24) линейный оператор $\Lambda$ порождает гиперболический автоморфизм (2.5). Во-вторых, вектор-функция $g(\varphi)$ из (1.24) удовлетворяет условиям теоремы 1.3. А именно, предполагаем, что имеет место свойство ограниченности (1.55) и вполне непрерывен в $E$ оператор (1.56). В-третьих, выполнены условия 2.1–2.3 при $n_0=1$, $E_1(\varphi)=E_1$, $E_2(\varphi)=E_2$, где $E_1$, $E_2$ – подпространства из разложения (2.7), отвечающего оператору (2.5). Подчеркнем, что в силу теоремы 2.1 каждый диффеоморфизм из $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ автоматически является гиперболическим. Теорема 1. Любой диффеоморфизм $G$ из класса $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ топологически сопряжен со своей линейной частью (2.5). Доказательство сформулированной теоремы при более слабых ограничениях, но в частном случае $\mathbb{T}^{\infty}=\ell_{\infty}/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $\mathbb{Z}^{\infty}$ – целочисленная решетка (1.5), приведено в статье [21]. Однако соответствующие построения из [21] сохраняются и для произвольного тора $\mathbb{T}^{\infty}$. Как оказывается, для диффеоморфизмов из класса $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ справедлив и результат о структурной устойчивости. Перед его формулировкой уточним соответствующие определения. В связи с этим введем в рассмотрение банахово пространство $\mathscr{H}^1_{\rm per}(E)$, состоящее из вектор-функций $g(\varphi)\in C^1_{\rm per}(E)$, для которых вполне непрерывны операторы (1.56). Норму $\|g\|_{\mathscr{H}^1_{\rm per}}$ зададим прежним равенством (2.42). Определение 1. Будем говорить, что диффеоморфизм (1.24) из $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ является $C^1$-структурно устойчивым, если существует такое $\varepsilon>0$, что для любой функции $\Delta(\varphi)\in\mathscr{H}^1_{\rm per}(E)$, $\|\Delta\|_{\mathscr{H}^1_{\rm per}}<\varepsilon$, соответствующее возмущенное отображение топологически сопряжено с невозмущенным отображением $G$. Определение 2. Диффеоморфизм (1.24) из $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ называется $C^1$-сильно структурно устойчивым, если, во-первых, он $C^1$-структурно устойчив и, во-вторых, найдется такое $\varepsilon>0$, что при всех $\Delta(\varphi)\in\mathscr{H}^1_{\rm per}(E)$, $\|\Delta\|_{\mathscr{H}^1_{\rm per}}<\varepsilon$, определено семейство гомеоморфизмов $\tau_{\Delta}\colon\mathbb{T}^{\infty}\to \mathbb{T}^{\infty}$ со следующими свойствами: Здесь $\operatorname{id}$ – тождественный оператор на торе $\mathbb{T}^{\infty}$, а сходимость предполагается равномерной. Опираясь в очередной раз на результаты работы [21], приходим к следующему утверждению. Теорема 2. Любой диффеоморфизм $G$ из $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ обладает свойством $C^1$-сильной структурной устойчивости. В заключение добавим, что классу $\widetilde{\operatorname{Diff}}(\mathbb{T}^{\infty})$ заведомо принадлежит рассмотренный нами пример (2.53)–(2.56) при выполнении условия (2.96). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|