| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества К оценке локальной погрешности численного решения параметризованной задачи Коши Е. Б. Кузнецовa, С. С. Леоновab a Московский авиационный институт b Российский университет дружбы народов
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10056 
Реферативные базы данных:
    В статье рассматривается задача Коши для нормальной системы $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений вида
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{y}}{dt}=\mathbf{F}(\mathbf{y},t), \quad \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0, \quad t \in [t_0;T], \quad t_0 < T < +\infty,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathbf{y}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, $\mathbf{F}\colon \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^n$, $t_0$ – начальная точка, $\mathbf{y}_0$ – вектор значений функции $\mathbf{y}(t)$ в точке $t_0$, $T$ – правая граница отрезка изменения аргумента $t$. Одним из наиболее эффективных методов численного решения задач вида (1), в случае их плохой обусловленности, является метод наилучшей параметризации (метод длины дуги) [1; гл. 2 и 3]. Он заключается в переходе к аргументу $\lambda$ – длине дуги интегральной кривой задачи (1). Дифференциал аргумента $\lambda$ удовлетворяет соотношению где $d\mathbf{y}=(dy_1(t),\dots,dy_n(t))^\top$ – дифференциал вектор-функции $\mathbf{y}(t)$.Система (1), преобразованная к аргументу $\lambda$ с дифференциалом (2), примет вид
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathbf{y}}{d\lambda}=\frac{1}{\sqrt{Q(\mathbf{y},t)}}\, \mathbf{F}(\mathbf{y},t), \quad \frac{dt}{d\lambda}=\frac{1}{\sqrt{Q(\mathbf{y},t)}}\,, \quad \mathbf{y}(0)=\mathbf{y}_0, \quad t(0)=t_0, \quad \lambda \in [0;\Lambda],
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\Lambda$ – правая граница отрезка изменения аргумента $\lambda$ и $Q(\mathbf{y},t)=1+\mathbf{F}^\top\,\mathbf{F}$. Эффективность применения аргумента $\lambda$ к решению задач вида (1), помимо упомянутой монографии [1; гл. 2 и 3], продемонстрирована, например, в [2]–[4]. В указанных работах получен ряд важных результатов, но они не касаются теоретической оценки локальной погрешности численного решения преобразованных задач вида (3). Для скалярного случая в [1; п. 2.2] и в [5] получена оценка локальной погрешности численного решения в окрестности предельной особой точки. В настоящей работе эта оценка обобщена на векторный случай и произвольные точки интегральной кривой. Теорема. Локальные погрешности $\Delta_t$ и $\Delta_{\lambda}$ полученных явным методом Эйлера численных решений задач (1) и (3) соответственно удовлетворяют неравенству где $E$ – единичная матрица порядка $n$ и $\|\mathbf{a}\|_2=(a_1^2+\cdots+a_n^2)^{1/2}$ для $\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_n)$. Доказательство. Предполагая, что функция $\mathbf{y} (t)$ достаточно гладкая, применим к ней формулу Тейлора в окрестности некоторой точки $t_j$ с сохранением линейных слагаемых и остаточным членом в форме Лагранжа:
$$
\begin{equation}
\mathbf{y}(t_j+\tau)=\mathbf{y}(t_j)+\tau\,\frac{d\mathbf{y}}{dt}(t_j)+ \frac{\tau^2}{2}\,\frac{d^2\mathbf{y}}{dt^2}(t_j+\theta_1\tau),\qquad \theta_1 \in (0;1),
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\tau$ – шаг интегрирования по аргументу $t$. Из (5) найдем величину локальной погрешности явного метода Эйлера для задачи (1): $\Delta_t= \dfrac{\tau^2}{2}\,\biggl\|\dfrac{d^2\mathbf{y}}{d t^2}(t_j+ \theta_1\tau)\biggr\|_2$. Аналогичные рассуждения позволяют получить оценку величины локальной погрешности метода Эйлера для задачи (3), преобразованной к наилучшему аргументу:
$$
\begin{equation}
\Delta_{\lambda} \leqslant \frac{l^2}{2} \biggl(\biggl\|\frac{d^2\mathbf{y}} {d\lambda^2}(\lambda_k+\theta_2 l)\biggr\|_2+ \biggl\|\frac{d^2 t}{d\lambda^2} (\lambda_k+\theta_2 l)\biggr\|_2\biggr), \qquad \theta_2 \in (0;1),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $l$ – шаг интегрирования по аргументу $\lambda$. Используя приведенные результаты, получим оценку локальной погрешности параметризованной задачи (3) для явного метода Эйлера. Для этого найдем вторые производные вектор-функции $\mathbf{y}$ и функции $t$ по аргументу $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2\mathbf{y}}{d\lambda^2}=\frac{1}{Q^2}(QE-\mathbf{F}\mathbf{F}^\top) \frac{d^2\mathbf{y}}{dt^2}(\lambda), \qquad \frac{d^2t}{d\lambda^2}=-\frac{1}{Q^2}\mathbf{F}^\top\, \frac{d^2\mathbf{y}}{dt^2}(\lambda).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Применяя производные (7) и соотношение $l=\tau\,\sqrt{Q(\mathbf{y}(\lambda_k),t(\lambda_k))}$ , связывающее шаги интегрирования $\tau$ и $l$, можно переписать оценку (6) в виде
$$
\begin{equation}
\Delta_{\lambda} \leqslant \frac{1}{Q}\bigl(\|Q E-\mathbf{F}\mathbf{F}^\top\|_2+ \|\mathbf{F}^\top\|_2\bigr)\,\frac{\tau^2}{2}\, \biggl\|\frac{d^2 \mathbf{y}}{d t^2}(\lambda_k+\theta_2 l)\biggr\|_2.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Осталось показать, что точке $\lambda_k+\theta_2 l$ соответствует точка $t_k+\theta_1\tau$. Ввиду взаимно однозначного соответствия между значениями аргументов $\lambda$ и $t$, значению $\lambda_k$ соответствует значение $t_{\lambda,k}=t_k$. А значению $\lambda_k+\theta_2 l$ соответствует $t_{\lambda,k}+\theta_1\tau$, где $\theta_1$ и $\theta_2$ связаны соотношением $\theta_1=\theta_2\sqrt{Q(\mathbf{y}(\lambda_k),t(\lambda_k))}$ . Это соответствие позволяет переписать оценку локальной погрешности (8) параметризованной задачи (3) в виде (4). Теорема доказана. Из оценки (4) следуют результаты монографии [1; п. 2.2] и статьи [5]. Как следствие доказанной теоремы также можно получить обобщение оценки локальной погрешности решения преобразованной к наилучшему аргументу задачи Коши (3) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности предельной особой точки. Следствие. В окрестности предельной особой точки локальная погрешность численного решения явным методом Эйлера преобразованной задачи (3) не превосходит локальную погрешность решения исходной задачи (1). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KuzLeo22} |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|