Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 2(464), страницы 189–194 DOI: https://doi.org/10.4213/rm10053 (Mi rm10053)

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10053

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages 361–367
DOI: https://doi.org/10.1070/RM10053

Реферативные базы данных:

Zoom inZoom out

7 ноября 2020 г. ушел из жизни Анатолий Михайлович Степин – выдающийся ученый и педагог, специалист в области динамических систем и эргодической теории. Его кончина стала горькой утратой для его родных, учеников, коллег, широкой математической общественности. А. М. Степин родился 20 июля 1940 г. в Москве. Во время войны он с матерью находился в эвакуации в Челябинске, а его отец, инженер-химик по специальности, в это время работал на оборонном предприятии. После окончания войны семья вернулась в Москву. Анатолий окончил с золотой медалью школу № 434 и, желая пойти по стопам отца, поступил в Московский энергетический институт на отделение теплофизики. В институте лекции по математике в то время читал известный своими работами по уравнениям с частными производными М. И. Вишик. Лекции заинтересовали одаренного студента, и после 3-го курса МЭИ он принял решение перевестись на механико-математический факультет Московского государственного университета. Решив непростую задачу перевода в другое учебное заведение, Анатолий Михайлович стал студентом кафедры теории функций и функционального анализа (ТФФА), выбрав в качестве научного руководителя Ф. А. Березина. Помимо семинара Березина он активно участвовал в семинаре Я. Г. Синая. Таким образом, Ф. А. Березин и Я. Г. Синай стали его научными соруководителями. Их тандем предопределил основу научных интересов Анатолия Михайловича: функциональный анализ, динамические системы и эргодическая теория, причем все эти ветви математики крепко переплелись в научных поисках Анатолия Михайловича и его учеников. Студенческие годы и обучение в аспирантуре ознаменовались яркими научными открытиями, Анатолий Михайлович начал сотрудничать со своими ровесниками Анатолием Борисовичем Катком и Валерием Иустиновичем Оселедцем. Это трио в значительной мере повлияло на развитие теории динамических систем.

В 1966 г. по итогам всесоюзного конкурса А. М. Степин был награжден медалью “За лучшую научную студенческую работу”. Совместно с А. Б. Катком и В. И. Оселедцем в 1967 г. он был удостоен премии Московского математического общества за цикл работ об аппроксимациях динамических систем периодическими преобразованиями. В 1968 г. Анатолий Михайлович под руководством Я. Г. Синая защитил кандидатскую диссертацию на тему “Применение метода аппроксимаций метрических автоморфизмов периодическими в спектральной теории” (официальные оппоненты: А. Н. Колмогоров и В. А. Рохлин) и стал преподавать в МГУ на кафедре ТФФА. В 1987 г. А. М. Степин защитил на мехмате МГУ докторскую диссертацию на тему “Спектральные и метрические свойства динамических систем и полугрупп преобразований” (официальные оппоненты: Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, Я. Г. Синай). Официальные оппоненты двух диссертаций Анатолия Михайловича – выдающиеся математики 20-го столетия, их поддержка сыграла важную роль в формировании его как математика и оказала заметное влияние на учеников А. М. Степина. За цикл работ под общим названием “Эргодическая теория и смежные вопросы” совместно с Б. М. Гуревичем и В. И. Оселедцем в 2009 г. Анатолий Михайлович был награжден премией им. А. Н. Колмогорова Российской академии наук. Деканат механико-математического факультета и ректорат МГУ многократно выражали ему благодарность за плодотворную научно-педагогическую деятельность. А. М. Степин был удостоен званий заслуженного профессора МГУ и почетного работника высшего профессионального образования РФ, награжден медалью “В память 850-летия Москвы”.

Первый результат Анатолия Михайловича, полученный им в студенческие годы, связан с проблемой А.Н. Колмогорова о групповом свойстве спектра автоморфизмов пространства Лебега. К началу 60-х годов прошлого столетия исследователи располагали весьма скудной информацией об устройстве непрерывных спектров эргодических систем. По контрасту с этим системы с дискретным спектром были полностью описаны, а их спектральные меры $\sigma$ обладали так называемым групповым свойством: $\sigma\gg\sigma\ast\sigma$. Имеет ли место это свойство для всех эргодических преобразований? Таким был вопрос Андрея Николаевича Колмогорова. В группе перекладываний отрезков А. М. Степиным была найдена конструкция сохраняющего меру действия диадической группы, спектр которого не подчинял свою свертку. Тем самым аналог проблемы Колмогорова получил отрицательное решение, что стимулировало дальнейшие исследования упомянутой проблемы и развитие А. М. Степиным вместе с А. Б. Катком и В. И. Оселедцем аппроксимационного подхода в эргодической теории. Достижения, удостоенные премии ММО и доложенные Анатолием Михайловичем в 1970 г. на Международном конгрессе математиков в Ницце, показали разнообразие ранее неизвестных спектральных и метрических свойств эргодических преобразований.

После блистательного начала своей научной карьеры А. М. Степин в 1971 г. принял предложение поехать на работу в университет Александрии с целью подготовки научных кадров для Арабской Республики Египет. По возращении в Москву он возобновил свою работу на кафедре ТФФА. Обычной практикой того времени была отправка студентов в начале третьего курса и сопровождающих их преподавателей “на картошку” в подмосковные колхозы и совхозы. Первая поездка А. М. Степина после возвращения из Египта во главе студентов его кафедры в сентябре 1973 г. закончилась тем, что он “приобрел” своих первых учеников: Р. И. Григорчука, С. И. Пидкуйко и А. Т. Таги-Заде. С этого момента началась работа студенческого семинара под руководством Анатолия Михайловича. Круг участников семинара постепенно пополнялся новыми студентами: среди них Ш. И. Ахалая, А. В. Сафонов, А. Г. Шухов, В. Н. Колокольцов, И. В. Микитюк, A. Ю. Плахов, О. Н. Агеев. К семинару Степина примкнули выпускники других кафедр В. В. Рыжиков и А. Н. Старков.

С середины 1970-х годов Анатолий Михайлович и Дмитрий Викторович Аносов начали руководить научно-исследовательским семинаром по динамическим системам, который регулярно проводился по понедельникам на мехмате МГУ. Это, без сомнения, был выдающийся семинар, на котором докладывали свои научные открытия многие известные математики, включая А. М. Вершика, Г. Каспарова, М. Любича, М. Мисюревича, С. Трубецкого, Ж.-П. Тувено, Л. П. Шильникова и многих других. Анатолий Михайлович был своеобразным “мотором” и “модератором” семинара: он принимал активнейшее участие в дискуссиях, задавая вопросы, нередко тут же находя ответы на вопросы участников семинара. Ему принадлежала определяющая роль в подборе докладчиков и выборе тематики заседаний. Без преувеличения можно сказать, что этот семинар сыграл важнейшую роль в развитии теории динамических систем и эргодической теории.

О разнообразии направлений, привлекавших А. М. Степина, можно судить по списку его трудов^1[x]1см. http://www.mathnet.ru/person8616. Отметим особый интерес Анатолия Михайловича к действиям групп преобразований, ставший одним из лейтмотивов его творчества. В начале 1970-х годов Анатолий Михайлович доказал теорему об изоморфизме бернуллиевских действий счетной группы с элементом бесконечного порядка. Это обобщение знаменитого результата Д. Орнстейна об изоморфизме схем Бернулли с одинаковой энтропией произвело сильное впечатление на зарубежных специалистов. Ж.-П. Тувено – свидетель энтузиазма ученых из университета Стэнфорда, вызванного этим достижением. Вместе с Б. С. Пицкелем А. М. Степин, используя идею рандомизации, в 1971 г. установил равнораспределенность энтропии для действия диадической группы и предположил, что этот аналог теоремы Шеннона–Макмиллана–Бреймана верен для действия всех коммутативных групп. Эта работа стимулировала дальнейшие исследования: гипотеза для широкого класса аменабельных групп была подтверждена Д. Орнстейном и Б. Вейсом, а окончательно, для всех аменабельных групп доказана Э. Линденштраусом. Дж. Киффер применил случайные порядки для определения энтропии действий произвольных аменабельных групп и доказал для них теорему Шеннона–Макмиллана. Развивая идею использования порядков и случайных упорядочений на группах, Анатолий Михайлович в совместной работе с А. Т. Таги-Заде 1980 г. получил вариационную характеризацию топологического давления аменабельных групп преобразований, а также доказал существование гиббсовских мер максимального давления. Действия групп на пространствах с мерой пронизывают идеологию многих начинаний Анатолия Михайловича в математике; они способствовали возникновению таких новых направлений в науке, как “измеримая теория групп” и “асимптотическая теория групп”. Вместе с А. Б. Катком и В. И. Оселедцем А. М. Степин был одним из первых, кто осознал важность изучения перекладываний отрезков. Групповые построения в эргодической теории, предложенные им и его учениками, были развиты в разных направлениях и привели к решению ряда проблем как эргодической теории, так и теории групп. Это касается задач, связанных со спектральными типами и исследованиями вокруг проблемы Рохлина об однородном спектре, а также вопросов, относящихся к понятию инвариантного среднего на группе, введенному Дж. фон Нейманом в 1929 г. Подход, основанный на приближении автоморфизмов пространства Лебега периодическими автоморфизмами, изложенный в двух совместных работах А. Б. Катка и А. М. Степина, позволил Анатолию Михайловичу дать ответ на вопрос Халмоша о существовании корней из сохраняющих меру преобразований. Наряду с А. М. Вершиком Анатолий Михайлович начал применять аппроксимации к действиям некоммутативных групп. Подобные методы, основанные на идее локального копирования группового закона, играют сейчас важную роль в эргодической теории и в теории групп. В частности, они привели в конечном итоге к понятию групп со свойством LEF (локальная вложимость в конечные группы) и способствовали появлению гиперфинитных и софических групп, введенных М. Громовым и Б. Вейсом.

А. М. Степин был первым, кто прочувствовал важность известного в алгебре неравенства Голода–Шафаревича и стоящей за ним конструкции для проблем, связанных с гипотезой фон Неймана о неаменабельных группах, а также для теории кодирования. На эту тему им совместно с А. Т. Таги-Заде даже была опубликована статья в журнале “Квант”, предназначавшемся прежде всего для школьников. В дальнейшем гипотеза Анатолия Михайловича о неаменабельности групп Голода подтвердилась и была доказана М. В. Ершовым даже для более широкого класса групп Голода–Шафаревича. В работах Анатолия Михайловича с Р. И. Григорчуком и О. Н. Агеевым пример Л. Д. Мешалкина изоморфизма сдвигов Бернулли, обобщенный А. Н. Лифшицем, был трансформирован в теорию иерархического кодирования, основанную на идеях комбинаторной теории групп и алгоритме Дэна. Идея локального изоморфизма была воплощена Анатолием Михайловичем совместно с Р. И. Григорчуком в построении пространства конечно порожденных групп, эта структура приобрела популярность и широко используется в теории групп. А. М. Степин был первым, кто в связи с этим пространством предложил применение категорных методов для решения задач, касающихся проблемы Бернсайда о периодических группах и вопросов неэлементарной аменабельности, поставленных М. Дэем в 1957 г.

Анатолий Михайлович является одним из пионеров постановки задач, связанных с вероятностными структурами на группах и графах, в частности на графах Кэли. Одна из его работ (совместно с Р. И. Григорчуком) дает решение задачи о фазовом переходе в модели Изинга на модулярной группе. Полученный в этой работе результат показал, что подход Ф. Лунда, Т. Редже и М. Разетти к модели Изинга на группе $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$, основанный на использовании следа фон Неймана и комбинаторики на словах, неправомочен ввиду неаменабельности группы. В отзыве на соответствующую статью рецензент написал, что авторы занимаются экзотическими вещами. Однако по прошествии 35 лет эта экзотика стала обычной темой в современных исследованиях случайных блужданий, перколяции и моделей статистической физики на группах и графах.

Анатолий Михайлович ввел понятие орнстейновской группы, понимая под ней группу, для которой энтропия Шеннона вероятностного распределения на алфавите является полным инвариантом изоморфизма сдвигов Бернулли на этой группе. Мы уже упомянули его результат о том, что группы с хотя бы одним элементом бесконечного порядка являются орнстейновскими. Анатолий Михайлович предположил, что все счетные бесконечные группы обладают этим свойством. Гипотеза, сведенная им к случаю групп бернсайдовского типа (т. е. периодических), получила широкую известность и была почти подтверждена Л. Боуэном. Окончательную точку в этом вопросе поставил Б. Сьюард, доказав (2018 г.), что все счетные бесконечные группы являются орнстейновскими в терминологии Степина. Развивая энтропийные методы, А. М. Степин получил важные результаты в проблеме классификации убывающих последовательностей измеримых разбиений пространства Лебега. Анатолий Михайлович является одним из пионеров применения когомологических инвариантов в классификационных задачах эргодической теории, в частности в проблеме траекторного изоморфизма. Он и его ученики внесли значимый вклад в теорию итераций одномерных отображений. При этом, не ограничиваясь теоретическими аспектами, Анатолий Михайлович совместно с Г. С. Чакветадзе выполнил работы прикладного характера, связанные с электрозондированием и бурением скважин.

А. М. Степину принадлежат работы, посвященные исследованию $C^\ast$-алгебр и алгебр фон Неймана. Вместе с В. Я. Голодцом им построены новые примеры негиперфинитных факторов типа $II_1$. Совместно с А. Г. Шуховым им исследована и в важных случаях вычислена энтропия автоморфизмов операторных алгебр, введенная А. Конном и Э. Штермером. Анатолию Михайловичу и его ученикам Я. Б. Воробцу и А. Ю. Плахову принадлежат яркие достижения в теории бильярдных динамических систем и плоских структур Вича, основанные на применении аппроксимационных методов, групп Кокстера и теории Тейхмюллера. Важные открытия cделаны А. М. Степиным в теории интегрируемых систем и гамильтоновой механике. Им и его учениками, прежде всего С. И. Пидкуйко и В. Н. Колокольцовым, выполнены работы по исследованию геодезических потоков, обладающих дополнительными полиномиальными или даже квадратичными по импульсам интегралами. Анатолием Михайловичем получено решение восходящей к И. М. Гельфанду и С. В. Фомину задачи вычисления унитарных инвариантов индуцированных потоков на однородных пространствах полупростых и разрешимых групп Ли. В начале 1980-х под влиянием работ В. И. Арнольда и других известных математиков Анатолий Михайлович начал заниматься задачей о полной интегрируемости гладких гамильтоновых систем со специальными симметриями на кокасательном расслоении $T^\ast(G/K)$ однородных компактных пространств $G/K$ в классе интегралов Нётер. Им и И. В. Микитюком были получены полное решение указанной задачи и другие значимые результаты в этой проблематике. Совместно с Ю. Д. Латушкиным Анатолий Михайлович исследовал полугруппы операторов взвешенного сдвига и построил общую теорию линейных расширений динамических систем с использованием таких полугрупп. При этом активно применялись методы операторных алгебр, показатели Ляпунова и мультипликативная эргодическая теорема Оселедца.

Вместе с И. В. Беляковым А. М. Степин исследовал экстремальные свойства многомерных многочленов Чебышёва, а с И. В. Цылиным опубликовал несколько работ по краевым задачам для эллиптических операторов на многообразиях. Применив топологическую теорему Фубини, Анатолий Михайлович и А. М. Еременко усилили ряд категорных результатов, ранее полученных Дж. Кингом и другими. Они доказали, что типичное преобразование коммутирует со свободным действием бесконечномерного тора и вкладывается в континуум неизоморфных потоков. Ученик Анатолия Михайловича Сян Дун Е (Xiangdong Ye) защитил в МГУ под его руководством кандидатскую диссертацию. Вернувшись в Китайскую Народную Республику, он создал свою научную школу по динамическим системам, которая стала играть важную роль в научной жизни Китая, а сам Сян Дун Е был избран действительным членом Китайской академии наук. Среди воспитанников Анатолия Михайловича есть приглашенные докладчики международных математических конгрессов разных лет, лауреаты престижных премий, доктора наук. Под его руководством осуществлена защита более 30 диссертаций.

Не жалея времени, вкладывая душу в работу с учениками, Анатолий Михайлович мог позвонить своему студенту даже ночью, чтобы обсудить поставленную задачу. Одним из нестандартных приемов “воспитания” подопечных было привлечение их к загородным поездкам, к общению и спортивным соревнованиям с участниками других семинаров (прежде всего, семинаров Я. Г. Синая и А. А. Кириллова). При этом футбол и волейбол были основными видами спорта, а интеллектуальные развлечения осуществлялись с помощью игры в шарады. Футбольная команда семинара А. М. Степина считалась непобедимой, и о ней, можно сказать, ходили легенды.

Не ограничиваясь контактами с московскими математиками, Анатолий Михайлович активно поддерживал отношения с представителями научных центров Санкт-Петербурга, Новосибирска, Обнинска, Харькова, Минска. Особо дружественные отношения сложились у Анатолия Михайловича с нижегородской математической школой (Л. П. Шильников, Л. М. Лерман, В. З. Гринес, Л. С. Ефремова и др.). Из зарубежных центров отметим научные связи с представителями британской школы динамических систем (У. Перри, М. Поликотт), французской (Ж.-П. Тувено, С. Трубецкой, С. Ферензи, А. Зорич) и польской (Я. Квятковский, Б. Каминский, М. Леманчик, М. Мисюревич). Анатолий Михайлович работал в редколлегиях журналов “Математический сборник”, “Фундаментальная и прикладная математика”, “Journal of Dynamical and Control Systems”, многие годы был членом Высшей аттестационной комиссии (ВАК).

В связи с 60-летием А. М. Степина в 2001 г. в “Успехах математических наук” была опубликована статья о его многогранном научном творчестве. В серии “Contemporary Mathematics” под редакцией Л. Боуэна, Р. И. Григорчука и Я. Б. Воробца в 2012 г. выпущен сборник статей, посвященных 70-летию Анатолия Михайловича. Первый выпуск журнала “Труды Московского математического общества” за 2021 г. посвящен 80-летию В. И. Оселедца и А. М. Степина. В него вошли статьи, написанные их коллегами и учениками на актуальные темы теории динамических систем (составитель выпуска В. В. Рыжиков). К глубочайшему сожалению, эта публикация состоялась уже после кончины Анатолия Михайловича. Краткий некролог в связи с его внезапной смертью опубликован в 2020 г. в журнале “Applied Mathematics and Nonlinear Sciences” в одном из выпусков, посвященных трудам конференции “Mathematical physics, dynamical systems, infinite-dimensional analysis – 2019”. Анатолий Михайлович был членом программного комитета конференции и в значительной мере способствовал ее успешному проведению.

Светлая память об Анатолии Михайловиче Степине навсегда останется в сердцах его родных, учеников, коллег.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AgeVorWei22}
\by О.~Н.~Агеев, Я.~Б.~Воробец, Б.~Вейс, Р.~И.~Григорчук, В.~З.~Гринес, Б.~М.~Гуревич, Л.~С.~Ефремова, А.~Ю.~Жиров, Е.~В.~Жужома, Б.~С.~Кашин, В.~Н.~Колокольцов, А.~В.~Кочергин, Л.~М.~Лерман, И.~В.~Микитюк, В.~И.~Оселедец, А.~Ю.~Плахов, О.~В.~Починка, В.~В.~Рыжиков, В.~Ж.~Сакбаев, А.~Г.~Сергеев, Я.~Г.~Синай, А.~Т.~Таги-Заде, С.~В.~Тихонов, Ж.-П.~Тувено, А.~Я.~Хелемский, А.~И.~Шафаревич
\paper Анатолий Михайлович Степин (некролог)
\jour УМН
\yr 2022
\vol 77
\issue 2(464)
\pages 189--194
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10053}
\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10053}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582591}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1490.01040}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..361A}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 2022
\vol 77
\issue 2
\pages 361--367
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM10053}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000819148900001}