| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сергей Викторович Бочкарёв (некролог) Б. С. Кашин, С. В. Конягин
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10051 
Реферативные базы данных:
     8 июля 2021 г., не дожив полумесяца до восьмидесятилетия, скончался выдающийся советский и российский математик, специалист в области теории функций и функционального анализа Сергей Викторович Бочкарёв. В этой статье мы попытаемся рассказать о главных научных достижениях Сергея Викторовича, напомним основные вехи его жизненного пути. С. В. Бочкарёв родился 24 июля 1941 г. в г. Куйбышеве (ныне г. Самара). Его отец – Виктор Алексеевич Бочкарёв, уроженец г. Саратова, – известный литературовед, профессор, доктор филологических наук, долгие годы заведовал кафедрой русской и зарубежной литературы Куйбышевского государственного педагогического института. Мать – Татьяна Георгиевна Дёмина – инженер, преподавала в Куйбышевском машиностроительном техникуме. В 1958 г., после окончания с золотой медалью школы № 94 г. Куйбышева, С. В. Бочкарёв поступил в Московский физико-технический институт. В 1964–1967 гг. Сергей Викторович под руководством П. Л. Ульянова обучался в аспирантуре на кафедре высшей математики МФТИ. В 1969 г. защитил кандидатскую диссертацию в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР. Первое рабочее место Сергея Викторовича – Центральный экономико-математический институт АН СССР, где он проработал три года. С апреля 1971 г. до конца жизни, т. е. чуть более 50 лет, Сергей Викторович работал в отделе теории функций МИАН, сосредоточившись исключительно на научных исследованиях. В 1974 г. защитил в Стекловке докторскую диссертацию “Классы функций и коэффициенты Фурье по полным ортонормированным системам”. Список публикаций1 С. В. Бочкарёва содержит более 70 наименований. Мы коснемся только основных, на наш взгляд, достижений Сергея Викторовича, создавших ему среди специалистов по анализу непререкаемую репутацию “решателя принципиальных проблем”. Первый большой цикл работ С. В. Бочкарёва, составивший его докторскую диссертацию, посвящён исследованию свойств коэффициентов Фурье функций из различных функциональных пространств по классическим и общим ортонормированным системам. К моменту, когда Сергей Викторович занялся этой темой, уже были известны результаты (В. Орлич, П. Л. Ульянов, А. М. Олевский, Б. С. Митягин), показывающие, грубо говоря, что классические ортонормированные системы (тригонометрическая или система Хаара) обладают в определённом смысле наилучшими свойствами среди всех возможных полных в $L^2(0,1)$ ортонормированных систем. Однако именно С. В. Бочкарёв разработал метод, позволяющий с помощью единого подхода получить целый ряд результатов, подтверждающих указанный выше вывод. Приведём один из ранних результатов С. В. Бочкарёва в этом направлении. Теорема 1 ([1], см. также [6]). Пусть $\alpha\in(0,1)$. Для любой полной в $L^2(0,1)$ ортонормированной системы $\{\varphi_n(t)\}_{n=1}^\infty$ найдётся функция $f(t)\in \operatorname{Lip}\alpha$, $f(0)=f(1)$, такая, что где $\beta=\dfrac{2}{2\alpha+1}$, $c_n(f)=\displaystyle\int_0^1f(t)\varphi_n(t)\,dt$, $n=1,2,\dots$ . В случае тригонометрической системы $\{e^{2\pi int}\}_{n=-\infty}^\infty$ это утверждение было получено О. Сасом в 1922 г. как обобщение теоремы Бернштейна, относящейся к случаю $\alpha=1/2$. При этом Сас показал также, что для тригонометрической системы при $\beta>2/(2\alpha+1)$ для функций из класса $\operatorname{Lip}\alpha$ ряд (1) всегда сходится. Рассматривая вопросы о поведении коэффициентов Фурье функций из различных пространств, Сергей Викторович столкнулся с проблемой, которая, в отличие от вопроса, рассмотренного в теореме 1, оставалась открытой даже для тригонометрической системы. Речь идёт об известной проблеме Зигмунда, касающейся абсолютной сходимости рядов Фурье функций из пространства $V$ – функций ограниченной вариации на $[0,1]$. В 1928 г. А. Зигмунд показал, что если модуль непрерывности $\omega(f,\delta)$ периодической функции $f\in V$ удовлетворяет при $\delta\to 0$ соотношению $\omega(f,\delta)=O\bigl(\log^{-(2+\varepsilon)} (1/\delta)\bigr)$, $\varepsilon>0$, то ряд из коэффициентов Фурье функции $f$ по тригонометрической системе сходится абсолютно. Несколько позже было замечено, что доказательство Зигмунда даёт несколько больше, а именно что абсолютная сходимость ряда Фурье функции $f\in V$ имеет место, если сходится ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\,\sqrt{\omega\biggl(f,\frac{1}{k}\biggr)}<\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Вопрос об окончательности условия (2) долгое время оставался открытым, несмотря на усилия известных математиков. В 1973 г. С. В. Бочкарёв решил проблему Зигмунда, доказав, что имеет место следующая теорема.
Теорема 2 [2]. Пусть модуль непрерывности $\omega(\delta)$ удовлетворяет условию Тогда найдётся периодическая функция $f(t)$, $t\in[0,1]$, ограниченной вариации со свойством $\omega(f,\delta)=O(\omega(\delta))$, $\delta\to0$, для которой Доказательство теоремы 2 было основано на оригинальной конструкции случайного процесса, траектории которого – функции ограниченной вариации, имеющие требуемый модуль непрерывности и, для почти всех реализаций, не сходящийся абсолютно ряд Фурье. В 1974 г. С. В. Бочкарёв перенёс теорему 2 на произвольные полные равномерно ограниченные ортонормированные системы. Теорема 3 [3]. Пусть $\Phi=\{\varphi_n\}_{n=1}^\infty \subset L^2(0,1)$ – полная ортонормированная система функций, причём Для доказательства теоремы 3, т. е. для переноса утверждения о тригонометрической системе (теорема 2) на общие системы, С. В. Бочкарёву потребовалось установить новые оценки снизу роста на множестве большой меры функций Лебега системы $\Phi$:
$$
\begin{equation}
K_N^\Phi(\varkappa) =\int_0^1\biggl|\,\sum_{n=1}^N\varphi_n(\varkappa)\varphi_n(t)\biggr|\,dt,
\end{equation}
\tag{5}
$$
несколько усилив оценки, полученные ранее А. М. Олевским. К неравенствам, дающим оценку снизу нормы в $L^1(0,1)$ полиномов по различным равномерно ограниченным ортонормированным системам, Сергей Викторович неоднократно возвращался в последующие годы. Эти неравенства были использованы Бочкарёвым в 1975 г. в доказательстве фундаментального результата теории общих ортогональных рядов о том, что классический пример А. Н. Колмогорова расходящегося почти всюду тригонометрического ряда Фурье имеет общий характер, т. е. переносится на произвольные равномерно ограниченные ортонормированные системы. Точнее, им была установлена следующая теорема.
Теорема 4 [5]. Пусть $\Phi=\{\varphi_n(t)\}_{n=1}^\infty$ – ортонормированная на $[0,1]$ система функций такая, что имеет место (4). Тогда найдётся функция $\psi(t)\in L^1(0,1)$ такая, что её ряд Фурье по системе $\Phi$ расходится на некотором множестве положительный меры. Позднее в работе [11] С. В. Бочкарёв обобщил теорему 4 на случай произвольных ограниченных биортонормированных систем комплекснозначных функций, определённых на произвольном измеримом пространстве. Следует отметить, что задачи о сходимости почти всюду и методы, разработанные при их решении, не только имеют принципиальную важность для самой теории ортогональных рядов, но оказываются востребованными и в, казалось бы, далёких от этой теории направлениях математики. При этом ряд естественных вопросов из этой области, исследование которых началось более ста лет назад, до сих пор остаются открытыми. Помимо теоремы 4, имеющей общий характер, С. В. Бочкарёву принадлежат два глубоких и до сих пор “рекордных” результата о сходимости почти всюду и безусловной сходимости почти всюду рядов по классической ортонормированной системе Уолша. Теорема 5 [7], [10]. Если возрастающая последовательность $\rho(n)$, $n=1,2,\dots$, удовлетворяет условию то найдётся расходящийся почти всюду после некоторой перестановки членов ряд по системе Уолша $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n \omega_n(t)$, для которого $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n^2\rho_n<\infty$. Теорема 6 [9], [10]. Пусть $\varphi(u)$ – неубывающая на $[0,\infty)$ функция, $\varphi(0)=1$, удовлетворяющая условию $\varphi(u)=o(\sqrt{\log u}\,)$ при $u\to\infty$. Тогда существует функция $f(x)$, $x\in [0,1]$, с ряд Фурье–Уолша которой расходится почти всюду. Утверждение теоремы 5 независимо и одновременно с С. В. Бочкарёвым было получено также японским математиком С. Наката [13]. В связи с этим результатом обратим внимание на отсутствие теорем положительного характера о безусловной сходимости почти всюду рядов по системе Уолша или тригонометрической системе, использующих специфику этих систем. Неизвестно, в частности, влечёт ли конечность суммы $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n^2 (\log n)^2 < \infty$ безусловную сходимость почти всюду ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n w_n(t)$ (т. е. сходимость почти всюду для любой перестановки $\sigma$ ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_{\sigma(n)}w_{\sigma(n)}(t)$). При этом, как было установлено Д. Е. Меньшовым ещё сто лет назад, условие $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n^2 (\log n)^{2+\varepsilon} < \infty$, $\varepsilon > 0$, достаточно для безусловной сходимости почти всюду любого ортогонального ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n \varphi_n(t)$. Касаясь теоремы 6, подчеркнём, что до работы С. В. Бочкарёва [9] было известно только существование функций с расходящимся почти всюду рядом Фурье–Уолша в классах $L\varphi(L)$ c $\varphi(u)=O(\log\log u)$ при $u\to\infty$. Независимо и одновременно с С. В. Бочкарёвым принципиальное продвижение аналогичного теореме 6 характера в задаче о классах Орлича, содержащих функции с расходящимся почти всюду рядом Фурье по тригонометрической системе, было получено С. В. Конягиным [12]. С. В. Бочкарёву принадлежат фундаментальные результаты в теории базисов в функциональных пространствах. В 1974 г. в работе [4] им была решена одна из центральных в то время задач геометрии банаховых пространств – проблема Банаха о существовании базиса в пространстве $A$ аналитических внутри единичного круга функций, непрерывных в замкнутом круге. Конструкция базиса в $A$, предложенная в [4], основывалась на установленных С. В. Бочкарёвым свойствах ещё одной классической ортонормированной системы – системы Франклина. С использованием свойств ядер Фейера Сергей Викторович поставил точку в известной в 60–80-х годах прошлого века задаче об оценке сверху порядка роста степеней тригонометрических полиномов $P_n$, $n=1,2,\dots$, образующих базис в пространстве непрерывных периодических функций $C(0,2\pi)$. В работе [8] им был построен полиномиальный базис $\{P_n\}_{n=1}^\infty$ с $\operatorname{deg} P_n\leqslant 4n$, $n=1,2,\dots$, обладающий к тому же полезными интерполяционными свойствами. Научная деятельность С. В. Бочкарёва получила широкое международное признание. Он являлся приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков (Хельсинки, 1978 г.) и крупнейших международных конференциях. В 1977 г. С. В. Бочкарёв был удостоен международной премии Салема, а в 2015 г. за цикл работ “Тригонометрические и ортогональные ряды” – премии им. А. А. Маркова Российской академии наук. Не вызывает сомнения, что в летописи достижений всемирно известной российской, советской школы теории функций научные труды Сергея Викторовича Бочкарёва займут достойное место. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KasKon22} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|