| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Сообщения Московского математического общества Арифметический фрагмент в теории управления А. И. Овсеевич Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/RM10050 
Реферативные базы данных:
     1.В задаче о приведении линейной управляемой системы размерности $N$ в нуль естественным образом возникает [1]–[5] явно заданная матрица
$$
\begin{equation*}
Q=q^{-1}, \qquad q_{ij}=\int_0^1 \tau^{(i-1)+(j-1)}(1-\tau)\,d\tau= \frac{1}{(i+j)(i+j-1)}\,,\quad i,j=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Важность матрицы $Q$ связана, прежде всего, с тем, что она задает общую функцию Ляпунова для двух устойчивых матриц ${M}=-\operatorname{diag}(1,2,\dots,N)$ и $A+BC$, где $Ae_i=-ie_{i+1}$, $i=1,\dots,N$, $B=e_1^*$, $C=-(1/2)B^{*}Q$. Здесь $e_i$, $i=1,\dots,N$, образуют стандартный базис пространства $\mathbb{R}^N$ и $e_{N+1}=0$. В работе [6] было доказано, что матрица $Q$ – целочисленная и четная: $Q_{ij}\in 2\mathbb{Z}$, и сформулирована гипотеза о том, что ее матричные элементы делятся на $N(N+1)$. Доказательства в [6] основаны на рассмотрении ортогональных полиномов. Здесь мы докажем эту гипотезу с помощью аналогичных методов. Теорема 1. Каждый матричный элемент $(N\times N)$-матрицы $Q=(Q_{ij})$ – целое число, делящееся на $N(N+1)$. Доказательство. Рассмотрим сдвинутые полиномы Якоби, ортогональные относительно меры $d\mu=(1-x)\,dx$ на интервале $[0,1]$ и задаваемые формулой Родрига
$$
\begin{equation*}
{P_n}(x)=\frac{1}{n!\,(1-x)}\,\partial^n[(1-x) (x-x^2)^n]\in \mathbb{Z}[x],\qquad \partial=\frac{d}{dx}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $P_n\in\mathbb{Z}[x]$, поскольку оператор $(1/n!)\,\partial^n$ сохраняет $\mathbb{Z}[x]$. Выполнены соотношения ортогональности [7], [6]: $\displaystyle\int_0^1 {P_n}{P_m}\,d\mu=\dfrac{1}{2(n+1)}\,\delta_{mn}$, которые очевидно эквивалентны тому, что интегральный оператор c ядром (Кристоффеля–Дарбу) $K(x,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^N{2k} P_{k-1}(x)P_{k-1}(y)\in \mathbb{Z}[x,y]$ – ортогональная проекция на пространство полиномов степени $<N$. Покажем, что матрица $Q$ и ядро Кристоффеля–Дарбу связаны соотношением Для этого достаточно доказать, что при $k\leqslant N$
$$
\begin{equation}
\int Q(x,y)x^{k-1}\,d\mu(x)=\int K(x,y)x^{k-1}\,d\mu(x).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Левая часть (2) равна
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^N{Q}_{ij}\int x^{i-1}x^{k-1}\,d\mu(x)\,y^{j-1}= \sum_{i,j=1}^N{Q}_{ij}{q}_{ik}\,y^{j-1}= \sum_{j=1}^N\delta_{kj}\,y^{j-1}=y^{k-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
C другой стороны, оператор с ядром $K(x,y)$ действует на $x^{i-1}$ тождественно: и потому левая и правая части (2) совпадают. Имеется общая формула для ядра Кристоффеля–Дарбу [7; теорема 3.2.2 и уравнение (4.5.2)], которая в рассматриваемом случае сводится к
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N{2k} P_{k-1}(x)P_{k-1}(y)= -\frac{N(N+1)}{2N+1}\,\frac{P_{N}(x)P_{N-1}(y)-P_{N-1}(x)P_{N}(y)}{x-y}\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Поскольку рациональная дробь $N(N+1)/(2N+1)$ несократима, левая часть (3) содержится в идеале ${N(N+1)}{\mathbb{Z}}[x,y]$ кольца ${\mathbb{Z}}[x,y]$. Ввиду (1) это доказывает теорему. 2.Аналогичные результаты верны для матриц Гильберта [8]
$$
\begin{equation*}
(q_H)_{ij}=\int_0^1 \tau^{(i-1)+(j-1)}\,d\tau=\frac{1}{i+j-1}\,,\quad Q_H=q_H^{-1},\qquad i,j=1,\dots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1; вместо полиномов Якоби используются полиномы Лежандра. Для матрицы $Q_H$ имеется явное выражение, представленное, например, в [9]. В частности, целочисленность матрицы $Q_H$ хорошо известна. Однако утверждение о делимости из последней теоремы, возможно, является новым. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ovs22} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|