В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$”, УМН, 77:4(466) (2022), 201–202; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 759

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	21-11-00010
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 21-11-00010).

Поступила в редакцию: 23.12.2021

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 4, Pages 759–761
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10047e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 37C15

Пусть $f^t$ – гладкий поток на замкнутом многообразии $M^n$, неблуждающее множество $\operatorname{NW}(f^t)$ которого состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия, размерность неустойчивого многообразия которых (индекс Морса) принимает значения $\{0,1,n-1,n\}$, а инвариантные многообразия различных седловых состояний равновесия не пересекаются. Будем говорить, что такой поток $f^t$ не имеет гетероклинических траекторий. В силу [4] многообразие $M^n$ гомеоморфно многообразию $\mathcal{S}^n_g$, где $\mathcal{S}^n_g$ – либо сфера $\mathbb{S}^n=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x|=1\}$ (при $g=0$), либо связная сумма $g>0$ копий многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$. Везде ниже сферой размерности $n$ называется многообразие $S^n$, гомеоморфное $\mathbb{S}^n$.

Обозначим через $G(\mathcal{S}^n_g)$ класс гладких потоков на $\mathcal{S}^n_g$, не имеющих гетероклинических траекторий, неблуждающее множество которых состоит из гиперболических состояний равновесия. Для таких потоков справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть $f^t\in G(\mathcal S^n_g)$, $g\geqslant 0$, $n\geqslant4$. Тогда все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индекс Морса, равный $1$ или $n-1$.

Для $g=0$ результат утверждения 1 доказан в работе [8]. Предположим, что $g>0$ и поток $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ имеет седловое состояние равновесия $\sigma$, индекс Морса $i$ которого принадлежит множеству $\{2,\dots,n-2\}$. Тогда в силу [10; теорема 2.1] найдется единственная пара $\alpha$, $\omega$ источникового и стокового состояний равновесия такая, что $\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}=W^{\rm s}_{\sigma}\cup \alpha$ и $\operatorname{clos}W^{\rm u}_{\sigma}=W^{\rm u}_{\sigma}\cup \omega$. Следовательно, замыкания устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий точки $\sigma$ являются сферами размерностей $n-i$ и $i$ соответственно, гладко вложенными во всех точках, кроме, быть может, точек $\alpha$, $\omega$. Эти сферы пересекаются в единственной точке $\sigma$, поэтому их индекс пересечения по модулю равен единице. В работе [3] показано, что группы гомологий $H_{i}(\mathcal{S}^n_g)$, $H_{n-i}(\mathcal{S}^n_g)$ тривиальны. Отсюда следует, что найдется сфера $S^{i}$, гомологичная сфере $\operatorname{clos}{W^{\rm u}_{\sigma}}$ и не пересекающаяся со сферой $\operatorname{clos}{W^{\rm s}_{\sigma}}$. Следовательно, индекс пересечения сфер $S^{i}$, $\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ равен нулю. В силу [9; § 70, теорема I] индексы пересечения сфер $S^{i}$, $\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ и $\operatorname{clos}W^{\rm u}_{\sigma}$, $\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ равны – таким образом, получаем противоречие.

Из [2], [7], [6] следует, что все потоки из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ являются грубыми (структурно устойчивыми). Проблема топологической классификации структурно устойчивых потоков с конечным неблуждающим множеством на многообразиях имеет долгую и богатую историю, начавшуюся с классических работ [2], [1]. Однако наиболее полные результаты получены для размерности $n\leqslant 3$, в то время как для $n>3$ существует небольшое число результатов (см. обзор [5]). Топологическая классификация потоков из класса $G(S^n)$, $n\geqslant 3$, получена в [8], где доказано, что полным топологическим инвариантом таких потоков является фазовая диаграмма – комбинаторный инвариант, представляющий собой обобщение схемы динамической системы Леонтович–Майера и графа Пейшото, применявшихся для топологической классификации грубых потоков на двумерных многообразиях. Для $n=3$ топологическая классификация потоков из класса $G(\mathcal{S}^n_g)$ на комбинаторном языке следует из более общих результатов работы [11]. В [12] построен пример потока Морса–Смейла на четырехмерном многообразии, замыкания двумерных инвариантных многообразий седловых состояний равновесия которого – дикие сферы. Этот пример свидетельствует о принципиальной невозможности классификации многомерных потоков в комбинаторных терминах. Утверждение 1 позволяет значительно расширить класс многообразий, для которых структура разбиения на траектории потока еще допускает комбинаторное описание.

Пусть $\mathcal{L}_{f^t}$ – множество всех замыканий инвариантных многообразий седловых состояний равновесия размерности $n-1$. В силу утверждения 1 каждый элемент из этого множества является сферой размерности $n-1$. Пусть $\mathcal{D}_{f^t}$ – множество компонент связности многообразия, полученного из $M^n$ удалением всех сфер, принадлежащих $\mathcal{L}_{f^t}$.

Двуцветным графом потока $f^t$ назовем граф $\Gamma_{f^t}$ со следующими свойствами: 1) множество $V(\Gamma_{f^t})$ вершин графа $\Gamma_{f^t}$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством $\mathcal{D}_{f^t}$, множество $E(\Gamma_{f^t})$ ребер графа $\Gamma_{f^t}$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством $\mathcal{L}_{f^t}$; 2) вершины $v_i$, $v_j$ инцидентны ребру $e_{i,j}$ тогда и только тогда, когда соответствующие им области $D_i,D_j\in \mathcal{D}_{f^t}$ имеют общую границу; 3) ребро $e_{i,j}$ имеет цвет $\mathrm{s}$ или $\mathrm{u}$ в зависимости от того, соответствует оно многообразию $\operatorname{clos}W^{\rm s}_p\in \mathcal{L}_{f^t}$ или $\operatorname{clos}W^{\rm u}_q \in \mathcal{L}_{f^t}$.

Теорема 1. Потоки $f^t,f'^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их графы $\Gamma_{f^t}$, $\Gamma_{f'^t}$ связаны изоморфизмом, сохраняющим цвет ребер.

Идея доказательства теоремы 1 состоит в следующем. Обозначим $\Omega^i_{f^t}$ множество всех состояний равновесия потока $f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$, размерность неустойчивых многообразий которых равна $i\in \{0,1,n-1,n\}$. Положим

$$ \begin{equation*} A_{f^t}=\Omega^0_{f^t}\cup W^{\rm u}_{\Omega^1_{f^t}},\quad R_{f^t}=\Omega^n_{f^t}\cup W^{\rm s}_{\Omega^{n-1}_{f^t}},\quad V_{f^t}=\mathcal{S}^n_g\setminus (A_{f^t}\cup R_{f^t}). \end{equation*} \notag $$

Образец цитирования: В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$”, УМН, 77:4(466) (2022), 201–202; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 759–761

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GriGur22}

\by В.~З.~Гринес, Е.~Я.~Гуревич

\paper Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 4(466)

\pages 201--202

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10047}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10047}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461389}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..759G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 4

\pages 759--761

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10047e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992300700006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165333447}

Список литературы